Ejercicios Relacion Entre Variables Con Modellus

5/9/2018 Ejercicios Relacion Entre Variables Con Modellus - slidepdf.com

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Siendo sistemáticos, en la realización de los experimentos los datos obtenidos deben estar

lo más ordenados, clara y explícitamente posibles; además, deberán verse allí tanto lasmagnitudes observadas como las incertidumbres y sus unidades. Por ello se sigue un orden

en el registro de los datos, de preferencia en orden creciente; los datos así tabulados

facilitarán la elaboración posterior de gráficas.

Propósito de la experimentación

Todo experimento parte de una cierta idea previa sobre lo que se espera encontrar de

otro modo no se sabría que buscar en los resultados de nuestro experimento; existe por

tanto una fuerte dependencia entre la teoría y el experimento por lo que no son los datos

al ajustarse a un modelo formal característico quien dicta las leyes y teorías sino más

bien la fuerte relación entre las teorías relacionadas con los datos obtenidos y la

plausibilidad de ellos como descripción de situaciones reales.

Uno de los propósitos perseguidos al realizar un experimento es trata de encontrar la

relación entre las variables y parámetros que se han seleccionado del fenómeno. Una

forma de buscar el tipo de relación que podría existir entre dos variables, es la de

marcar en un sistema de ejes coordenados, los valores asignados a la variable

independiente en el eje de las abscisas (eje de las x ), y los valores obtenidos para la

variable dependiente, en el eje de las ordenadas (eje de las y ), obteniendo así una curva

que podría caracterizar la relación buscada.

Toda curva obtenida a partir de los datos experimentales es una relación empírica,

aunque en algunos casos se denomina así a los resultados experimentales que, sin el

apoyo de un modelo teórico, se originan cuando se encuentra que los cambios en una

variable producen efectos diferentes en otra siendo necesario investigar la relación

funcional existente. De este modo, las relaciones empíricas representan el primer paso en

el descubrimiento de una ley.

Universidad Nacional Autónoma de México

Colegio de Ciencias y Humanidades

CCH-Oriente

Laboratorio Asistido por Computadora

Analisis gráficode datos

experimentalescon Modellus

Introducción

La comprensión de las leyes de la naturaleza por lo general se logra

mediante la experimentación donde se busca reproducir de manera

controlada el fenómeno de interés de tal forma que a través de la

observación y el análisis sistemático de los datos obtenidos se puedan comprobar las

conjeturas teóricas o hipótesis planteadas.



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Representación y análisis de los resultados experimentales

La presentación y análisis de estos resultados experimentales es una parte fundamental de

todo experimento: los datos obtenidos se presentan para su visualización generalmente en

una gráfica quedando de esta forma, concentrados los resultados numéricos

correspondientes a las mediciones efectuadas para su apreciación, caracterización y

análisis. En la mayoría de los casos una gráfica es más útil que una tabla de valores, porqueademás, de su análisis, se puede obtener información adicional por extrapolación ,

interpolación , cálculo de pendientes , entre otros; se trata de que la información que se

quiere representar, quede expuesta de una manera lo suficientemente clara y explícita

como para que la representación gráfica “hable por sí sola ”, como se muestra en la figura 1.

Figura 1 Tabulación de valores y su correspondiente gráfica.

Una gráfica debe servir para un posterior tratamiento de los datos, que lleve a inferir las

leyes subyacentes en ellos y profundizar así en las posibles implicaciones y

generalizaciones de los resultados obtenidos en los experimentos. (Gil y Rodríguez, 2001).

Para tal propósito, es necesario comenzar por la identificación de las variables

características cuyo cambio podría ser observado cualitativa y cuantitativamente.El conocimiento de las variables y la forma en que dependen unas de otras, esto es la

relación que existe entre ellas, permite obtener información del proceso para posteriormente

elaborar un modelo de él.

Una gráfica debe construirse sobre la base de una elección adecuada tanto de las variables

como de las escalas de los ejes; de una manera muy general, cuando se estudia la

fenomenología de un sistema cualquiera, se trata de obtener las variaciones o respuestas



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del sistema ante ciertas perturbaciones que podemos aplicarle de manera controlada. La

figura 2 representa esquemáticamente un sistema bajo estudio.

Figura 2 Representación de un sistema al que se estudia las respuestas i y , cuando se varía el conjunto de variables i

x .

Una variable es una cantidad a la cual puede asignársele, durante un proceso, un número

ilimitado de valores. Por otro lado, cuando una cantidad tiene un valor fijo, durante un

proceso, se llama constante. Se distinguen dos tipos de constantes: las absolutas y las

arbitrarias; las primeras tienen el mismo valor en todos los procesos, por ejemplo, π , e, 3, ...

en tanto que las segundas pueden tener un valor diferente en cada proceso particular. En la

física se acostumbra llamar parámetros a estas últimas.

Llamamos x i a las “variables de entrada o independientes”, es decir aquellas que podemos

controlar y variar. Ante los cambios de x i , el sistema exhibe sus características o

comportamientos a través de los cambios que sufren las variables y i , que pueden llamarse

las “variables de salida o dependientes”.

Al estudiar un sistema, es deseable, en la medida de lo posible, aislar las variables en

estudio. Para ello se diseña el experimento de modo tal que solo la variable independientevaríe por vez, manteniendo los restantes parámetros constantes y observando el resultado

en la variable dependiente; lo siguiente es determinar los límites dentro de los cuales se

modificará la variable independiente, así como determinar cuántos valores o qué valores

asignarle, esto es planificar el método a seguir en el estudio de tal fenómeno. De este modo

se puede observar la respuesta de una de las variables de salida ante las variaciones de

solamente una de las variables de entrada.

En resumen, para iniciar un experimento es necesario analizar con detenimiento y

determinar, según sea el objetivo perseguido los siguientes puntos:

1. Las variables a controlar.

2. El intervalo dentro del cual van a variarse dichas variables.

3. El método y los instrumentos para medirlas.

4. El número de puntos experimentales a medir.

5. El número de repeticiones de la medición para cada punto.



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Localización de los valores experimentales en un sistema de coordenadas

rectangulares

Un sistema de coordenadas rectangulares; consta de un par de líneas rectas mutuamente

perpendiculares; a la horizontal se le llama eje x o eje de las abscisas y a la vertical, eje y o

de las ordenadas; al punto donde cruzan ambas se le da el nombre de origen, y a las cuatro

regiones en las cuales los ejes dividen al plano, se les llama: primero, segundo, tercero ycuarto cuadrante respectivamente como se observa en la figura 3.

Figura 3. El sistema coordenado rectangular divide al plano en cuatro cuadrantes.

La localización de puntos sobre los ejes se hace fácilmente al subdividir estos en segmentos

iguales, numerándolos progresivamente desde el origen, y alejándose de él. La dirección

positiva del eje x es hacia la derecha, y la dirección positiva del eje y , hacia arriba. Los

segmentos del eje x no necesariamente deben ser iguales a los del eje y ; por otro lado, elorigen tampoco es siempre el cero, ni las subdivisiones de magnitud unitaria. Figura 4a y 4b

Figura 4ª. Los segmentos en que se subdivide el

eje X no necesariamente deben ser iguales a los

del eje Y.

Figura 4b. Los ejes coordenados no necesariamente

deben iniciar en cero.



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Debido a los sistemas de coordenadas, es posible localizar puntos en el plano, marcando

dos valores obtenidos experimentalmente. En la figura 5 se muestra un sistema coordenado

rectangular, en el cual se identifican los puntos P(3, 2), Q(-1, 4) y H(2, -2). En general,

cualquier punto S , se representa mediante la notación S(x, y) siendo x el valor de la abscisa

e y el de la ordenada; la pareja (x, y) recibe el nombre de coordenadas del punto S . Así pues,

las coordenadas de Q son -1 y 4; el primer número corresponde a la abscisa y el segundo a

la ordenada.

Figura 5. Sistema coordenado rectangular, en el cual se

identifican los puntos P(3, 2), Q(-1, 4) y H(2, -2).

Ejercicio no. 1

Trazar, en un sistema coordenado rectangular, los puntos: A(-1, -1), B(-4, 5), C(2, -5) y D(4, 3).

Indicar en que cuadrante se encuentra cada uno

de los puntos.

A(-1, -1), Cuadrante.........................................

B(-4, 5), Cuadrante..........................................

C(2, -5), Cuadrante..........................................

D(4, 3), Cuadrante............................................



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La utilidad de los sistemas coordenados rectangulares no sólo reside en que permite la

localización de puntos en el plano, sino también en que ayuda al trazado de graficas.

Una gráfica es una línea (recta o curva), constituida por puntos ( x, y ) que satisfacen una

ecuación de tipo y = f(x) .

Esto significa que la línea es el lugar geométrico de los puntos que cumplen con la relación

establecida entre las variables.

Suponiendo la función y = 3x 2 -5 , en ella la variable independiente es x , y como tal pueden

dársele valores arbitrarios, pero y es la variable dependiente cuyos valores resultan de

sustituir los de x en la función; entonces: si x = 0, y = -5; si x = l, y = -2 y así sucesivamente.

Con las parejas de valores obtenidos, se forma una tabulación, en donde se presentan los

valores de cada variable.

Tabla 1 Tabulación y representación gráfica de la función y = 3x-5 sin ser iguales las escalas en ambos ejes.

Esta no es la única tabulación posible, ya que x puede tomar valores negativos,

fraccionarios, muy grandes, etc.; pero siempre dará lugar a un valor para y a través de la

función. Como se ve, la tabulación consiste en parejas ordenadas de valores, que

representar puntos en el plano y por lo tanto pueden trazarse en un sistema coordenado

rectangular.

Interpolación y extrapolación

Al hecho de prolongar en una pequeña cantidad una línea recta o curva por cualesquiera desus extremos se le llama extrapolación y es una técnica que permite obtener coordenadas,

en forma aproximada, propias de la gráfica, que no se tenían inicialmente.

En cuanto a la magnitud de dicha prolongación al decirse que sea pequeña significa que no

vaya más allá de una distancia que comprometa la regularidad o simetría de la curva; la

decisión de llevar, hasta donde se juzgue prudente, una extrapolación; sólo depende de la

habilidad adquirida para apreciar el tipo de curva que se está manejando y el intervalo en

que refleja un comportamiento familiar a través de curvas, representativas de funciones



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algebraicas elementales (parábolas, hipérboles, etc.) o trigonométricas.

Existe también la técnica de interpolación, consistente en obtener una de las coordenadas,

por ejemplo x, fijando la otra, es decir y a través de la correspondencia que se establece

entre ambas en la gráfica en cuestión.

Ejercicio no. 2

Trazar la gráfica cuya tabulación aparece a continuación:

Extrapolar parax = 0 ¿cuánto valey ? ………………………………………………………………….……………….

Por interpolación, ¿Cuál es la ordenada del punto cuyaabscisa corresponde a 10.5? ……………………………

Proporcionalidad entre variables

Muchas de las leyes de la física se expresan mediante funciones del siguiente tipo:n

y Ax B= + , siendo “ A” y “ n ” constantes reales positivas o negativas; esta expresión

significa que “y ” y “ x n ” son proporcionales.

En el caso particular en que n = 1 y B = 0 , la proporcionalidad entre ambas variables es

directa .

Siempre que la n sea negativa, la proporcionalidad será inversa.

A la constante “ A” se le conoce con el nombre de “constante de proporcionalidad”.

A continuación se muestran ejemplos de leyes físicas de distinta proporcionalidad pero que

pueden expresarse como funciones del tipo n y Ax B= + , cuando B = 0 :



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F ma= Proporcionalidad directa, n = 1; constante de proporcionalidad A = m

2

2

gt h =

Proporcionalidad directa al cuadrado n = 2; constante de

proporcionalidad A =

1

2 g

pV k = Proporcionalidad inversa, n = -1; constante de proporcionalidad A = k

2

GMmF

r =

Proporcionalidad inversa al cuadrado, n = -2; constante de

proporcionalidad A = GMm

Tabla 2 Leyes físicas con distintas proporcionalidades del tipo n y Ax B= + para B = 0

Ejercicio no. 3

Escribe en Modellus las ecuaciones de la tabla 2 y obtén la gráfica de cada una de ellas

F ma=

Dibuja su gráfica

2

2

gt h =

Dibuja su gráfica



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pV k =

Dibuja su gráfica

2

GMmF

r =

Dibuja su gráfica

Ejercicio no. 4

Indicar en cada una de las siguientes expresiones, i) cuáles son las variables, ii) cuál es la dependiente, iii)

el tipo de proporcionalidad, iv) el valor de n y v) el valor de la constante de proporcionalidad.

Expresión Variables

Variable

independiente

Tipo de

proporcionalidad Valor de n

Constante de

proporciona-lidad

d vt =

0

1

4F

π

=

∈



10

0

2

I i

r =

2l

T g

π =

Gráficas de la función n y Ax B= +

De los casos de leyes físicas, o relaciones entre variables, correspondientes a problemas

comunes en la física, se aprecia que, un gran número de ellas las más importantes en un

curso a nivel medio se expresan por funciones del tipo n y Ax B= + ; pero siendo un poco

más riguroso en la observación de dichos casos, se destaca que los valores más frecuentes

de n son: 1, -1, 2, -2 y1

2. Sin embargo, n puede tomar otros valores muy diferentes a éstos.

De manera particular se tienen los siguientes cundo B toma el valor de cero:

Ejercicio no. 5

Obtén en Modellus las gráficas características para cada uno de los siguientes cinco casos:

1. Para n = 1, y Ax= , se trata de una recta que pasa por el origen y cuya pendiente es

“A”.

2. Para n = 2, 2 y Ax= , se trata de una parábola que pasa por el origen, pero no tiene

pendiente única y el valor de “A” deberá interpretarse de otra manera.

3. Para1

2n = ,

1

2 y Ax−

= , se trata de una parábola que pasa por el origen; pero cuya

concavidad es contraria a la del caso anterior.

Hasta ahora se han visto las gráficas relativas a valores positivos de n ; una característica de

ellas es que siempre pasan por el origen. Enseguida se presentan las gráficas para n < 0.

4. Para n = -1, 1 y Ax

−

= , es decir A

y x

= , se trata de una hipérbola equilátera.

5. Para n= -2, 2 y Ax

−

= , se trata de una hipérbola. Profesor Ramón Pérez

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