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EJERCICIOS RESUELTOS Sonia Almanza. 2C

Ejercicios resueltos

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Page 1: Ejercicios resueltos

EJERCICIOS RESUELTOS

Sonia Almanza.

2C

Page 2: Ejercicios resueltos

PROBLEMAS DE DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

En teoría de la probabilidad y estadística, la distribución de probabilidad

de una variable aleatoria es una función que asigna a cada suceso

definido sobre la variable aleatoria la probabilidad de que dicho suceso

ocurra. La distribución de probabilidad está definida sobre el conjunto de

todos los sucesos, cada uno de los sucesos es el rango de valores de la

variable aleatoria.

Cuando la variable aleatoria toma valores en el conjunto de los números

reales, la distribución de probabilidad está completamente especificada

por la función de distribución, cuyo valor en cada real x es la

probabilidad de que la variable aleatoria sea menor o igual que x.

Page 3: Ejercicios resueltos

Distribución de Bernoulli

1. Un jugador de basquetbol esta a punto de tirar hacia la parte superior del tablero. La probabilidad de que anote el tiro es de 0.55

a) Sea X=1 anota el tiros si no lo hace X=0 determine la media y la varianza de X

µ=1(p)+0(p) µ=p µ=1(0.55)+0(1-0.55)µ=0.55+0(0.45)µ=0.55

σ 2 x=p (1−p )σ^2 x=0.55(1-0.55)σ^2 x=0.55(0.45)σ^2 x=0.2475

b) Si anota el tiro su equipo obtiene dos puntos si lo falla .Su equipo no recibe puntos. Sea Y el numero de puntos anotados ¿Tiene la distancia de Bernoulli ?si es así encuentre la probabilidad de éxito. Explique por qué.

No tiene un distribución de Bernoulli por que los eventos posibles (éxito y fracaso) solo pueden tener valores cero y uno

TIRO SE 3 PUNTOS

c) Determine la media y la varianza de Y.

µ=3(0)+0(1-p)

µ=3(0.55)+0(1-0.55)

µ=1.65+0(0.45)

µ=1.65

σ^2 x =(3-1.65 )^20.55+(0-1.65)^2 0.45

σ^2 x =(1.35 )^20.55+(0-1.65)^2 0.45

Page 4: Ejercicios resueltos

σ^2 x =1.002375+1.225125

σ^2 x =2.2275

2. en un restaurante de comida rápida 25% de las órdenes para beber es una bebida pequeña 35% una mediana y 40% una grande. Sea X=1 se escoge aleatoriamente una orden de bebida pequeña y X=0 en cualquier otro caso sea X=1si la orden es una bebida mediana y Y=0 en cualquier otro caso. Sea Z=1 si la orden es una bebida pequeña o mediana Z=0 para cualquier otro caso.

a) sea px la probabilidad de éxito de X. Determine px P=(X=1) es igual a .25 por lo tanto X Bernoulli (.25)

b) sea py la probabilidad de éxito de Y. Determine py P= (y=1) es igual a .35 por lo tanto Y Bernoulli (.35)

c) sea pz la probabilidad de éxito de Z. Determine pzP= (z=1) es igual a .60 por lo tanto Z Bernoulli (.60)

d) ¿Es posible que X y Y sean iguales a 1?Si

e) ¿Es pz igual a PY y PY?

Si

3. Se lanza una moneda de 1y 5 c. sean X=1 si sale cara en la moneda de 1c y X=0 en cualquier otro caso. Sea Y=1 si sale cara en la moneda de 5c y Y=0 en cualquier otro caso. Sea Z=1 si sale cara en ambas monedas y Z =0 en cualquier otro caso.

a) sea px la probabilidad de éxito de X. Determine px.Ny=1 salga cara en la moneda de 1. P(X=1)=5 por lo tanto X Bernoulli (0)Px= (0) (1-.5) + (1) (.5)=p5

b) Sea py la probabilidad de éxito de X. Determine pyY=1 cuando salga la moenda de 5 p(x=1)=5 por lo tanto x Bernoulli Py= {0} (1-.5) +(1) (.5) =p5

Page 5: Ejercicios resueltos

c) Sea pz la probabilidad de éxito de X. Determine pz.{2=1} cuando cara en las dos monedas.P(z=2)=.5 por lo tanto X Bernoulli. Pz (2)(1-.5) + (1)(.5)= 2 = .5

d) ¿Son X y Y independientes?

Si son independientes X y Y.

4. Sean X y Y variables aleatorias de Bernoulli. sea z=XY.

a) Demuestre que Z es una variable aleatoria de Bernoulli.Puestoq ue los valores de XyY son 0 y 1, los valores posibles del producto Z=xy son también 0y1 por tanto Z=0 y ya sea X,Y o ambas, también son iguales a 0 por lo que nuevamente Z=XY.

b) Demuestre si XyY son independientes, entonces Pz= PxPyPz=P(z=1)=P(xy=1)=P(x=1yY=1)=P(x=1)=PxPy

DISTRIBUCION BINOMIAL

La última novela de un autor ha tenido un gran

éxito, hasta el punto de que el 80% de los lectores ya la

han leido. Un grupo de 4 amigos son aficionados a la

lectura:

1. ¿Cuál es la probabil idad de que en el grupo

hayan leido la novela 2 personas?

Page 6: Ejercicios resueltos

B(4, 0.2) p = 0.8 q = 0.2

2.¿Y cómo máximo 2?

2

Un agente de seguros vende pólizas a cinco

personas de la misma edad y que disfrutan de buena

salud. Según las tablas actuales, la probabil idad de que

una persona en estas condiciones viva 30 años o más es

2/3. Hállese la probabil idad de que, transcurridos 30

años, vivan:

1. Las cinco personas.

B(5, 2/3) p = 2/3 q = 1/3

2.Al menos tres personas.

Page 7: Ejercicios resueltos

3.Exactamente dos personas.

3

Un laboratorio afirma que una droga causa de

efectos secundarios en una proporción de 3 de cada 100

pacientes. Para contrastar esta afirmación, otro

laboratorio elige al azar a 5 pacientes a los que aplica la

droga. ¿Cuál es la probabil idad de los siguientes

sucesos?

1. Ningún paciente tenga efectos secundarios.

B(100, 0.03) p = 0.03 q = 0.97

2.Al menos dos tengan efectos secundarios.

Page 8: Ejercicios resueltos

3.¿Cuál es el número medio de pacientes que

espera laboratorio que sufran efectos secundarios si

el ige 100 pacientes al azar?

4

En unas pruebas de alcoholemia se ha observado

que el 5% de los conductores controlados dan positivo

en la prueba y que el 10% de los conductores

controlados no l levan aprovechado el cinturón de

seguridad. También se ha observado que las dos

infracciones son independientes.

Un guardia de tráfico para cinco conductores al

azar. Si tenemos en cuenta que el número de

conductores es suficientemente importante como para

estimar que la proporción de infractores no varía al

hacer la selección.

1. Determinar la probabil idad a de que exactamente

tres conductores hayan cometido alguna de las dos

infracciones.

Page 9: Ejercicios resueltos

2. Determine la probabil idad de que al menos uno

de los conductores controlados haya cometido alguna de

las dos infracciones.

5

La probabil idad de que un hombre acierte en el

blanco es 1/4. Si dispara 10 veces ¿cuál es la

probabil idad de que acierte exactamente en tres

ocasiones? ¿Cuál es la probabil idad de que acierte por lo

menos en una ocasión?

B(10, 1/4) p = 1/4q = 3/4

Page 10: Ejercicios resueltos

DISTRIBUCION DE POISSON

1.- Sea X ~ Poisson(4). Determine

a) P(X=1)b) P(X=0)c) P(X<2)d) P(X>1)e) μX

f) σx

a) P(X=1)= e-4 * 41

1!

P(X=1)= 0.018315638 * 41

P(X=1)= 0.018315638 * 4

P(X=1)= 0.073262555

b) P(X=0) = e-4 * 40

0 !

P(X=0)= 0.018315638 * 11

P(X=0)= 0.018315638 * 1

P(X=0)= 0.018315638

c) P(X<2)

P(X=1)= e-4 * 41

1! P(X=0) = e-4 * 4

0

0 !

P(X=1) = 0.018315638 * 41

P(X=0)= 0.018315638 * 11

Page 11: Ejercicios resueltos

P(X=1) = 0.018315638 * 4 P(X=0)= 0.018315638

* 1

P(X=1) = 0.073262555 P(X=0)= 0.018315638

P(X<2) =P(X=1)+P(X=0)P(X<2) =0.07326255+0.018315638P(X<2) =0.091578193

d) P(X>1)

P(X=2)= e-4 * 42

2! P(X=3)= e-4 * 4

3

3!

P(X=2)= 0.018315638 * 162

P(X=3)= 0.018315638 * 646

P(X=2)= 0.018315638 * 8 P(X=3)= 0.018315638 * 10.66666667

P(X=2)= 0.146525111 P(X=3)= 0.195366814

P(X=4)= e-4 * 44

4 ! P(X>1)= P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)

P(X=4)= 0.018315638 * 25624

P(X>1)=

0.146525111+0.195366814+ 0.195366814P(X=4)= 0.018315638 * 10.66666667

P(X=4)= 0.195366814 P(X>1)=0.537258739

e) μX

μX= 4

f) σx

σx= √ 4σx= 2

Page 12: Ejercicios resueltos

2.- suponga que 0.03 % de los contenedores plásticos producidos en cierto proceso tiene pequeños agujeros que los dejan inservibles. X representa el numero de contenedores en una muestra aleatoria de 10 000 que tienen este defecto. Determine:

a) P(X=3)b) P(X≤2)c) P(1≤X<4)d) μX

e) σx

a) P(X=3)= e-3* 33

3!

P(X=3)= 0.049787068 * 276

P(X=3)= 0.049787068 * 4.5

P(X=3)= 0.0224041807

b) P(X≤2)

P(X=0)= e-3 * 30

0 ! P(X=1)= e-3 * 3

1

1!

P(X=0)= 0.049787068 * 11 P(X=1)= 0.049787068 *

31

P(X=0)= 0.049787068 * 1 P(X=1)= 0.049787068 * 3

P(X=0)= 0.049787068 P(X=1)= 0.149361205

P(X=2)= e-3* 32

2! P(X≤2)= P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)

P(X=2)= 0.049787068 * 92 P(X≤2)=

0.049787068+0.149361205+ 0.149361205P(X=2)= 0.049787068 * 4.5

P(X=2)= 0.0224041807 P(X≤2)=0.42319008

Page 13: Ejercicios resueltos

c) P(X<2)

P(X=1)= e-3 * 31

1! P(X=2)= e-3* 3

2

2!

P(X=1)= 0.049787068 * 31 P(X=2)= 0.049787068 *

92

P(X=1)= 0.049787068 * 3 P(X=2)= 0.049787068 * 4.5

P(X=1)= 0.149361205 P(X=2)= 0.0224041807

P(X=3)= e-3* 33

3! P(X<2)= P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)

P(X=3)= 0.049787068 * 276

P(X<2)=

0.149361205+0.224041807+ 0.224041807P(X=3)= 0.049787068 * 4.5

P(X=3)= 0.0224041807 P(X<2)= 0.597444819

d) μX

μX= 3

e) σx

σx= √ 3σx= 1.732030808

3.- el numero de mensajes recibidos por el tablero computado de anuncios es una variable aleatoria de Poisson con una razón media de ocho mensajes por hora.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban cinco mensajes en una hora?b) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban diez mensajes en 1.5 horas?c) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban menos de tres mensajes en 11/2 horas?

a) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban cinco mensajes en una hora?

Page 14: Ejercicios resueltos

P(X=3)= e-8* 85

5!

P(X=3)= 3.354626279x10-4 * 32768120

P(X=3)= 3.354626279x10-4 * 273.0666667

P(X=3)= 0.09160366

b) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban diez mensajes en 1.5 horas?

P(X=10)= e-12* 1210

10 !

P(X=10)= 6.144212353x10-6 * 6.191736423x 1010

3628800

P(X=10)= 6.144212353x10-6 * 17062.76571

P(X=10)= 0.104837255

c) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban menos de tres mensajes en 11/2 horas?

P(X=0)= e-12* 120

0! P(X=1)= e-12* 12

1

1 !

P(X=0)= 6.144212353x10-6 * 11 P(X=1)= 6.144212353x10-6 *

121

P(X=0)= 6.144212353x10-6 * 1 P(X=1)= 6.144212353x10-6

* 12

P(X=0)= 6.144212353x10-6 P(X=1)= 7.373054824x10-5

P(X=2)= e-12* 122

2! P(X<3)= P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)

P(X=2)= 6.144212353x10-6 * 1442

P(X<3)= 6.144212353x10-6 +

7.373054824x10 -5

+

P(X=2)= 6.144212353x10-6 * 72 4.423832894x10-4 =

P(X=2)= 4.423832894x10-4 P(X<3)= 5.2225805x10-4

Page 15: Ejercicios resueltos

4.- una variable aleatoria X tiene una distribucion binomial y una variable Y tiene una distribucion de Poisson. Tanto X como Y tienen medias iguales a 3. ¿Es posible determinar que variable aleatoria tiene la varianza mas grande? Elija una de las siguientes respuestas:

i) Sí, X tiene la varianza mas grande.ii) Sí, Y tiene la varianza mas grandeiii) No, se necesita conocer el numero de ensayos,n, para X.iv) No, se necesita conocer la probabilidad de éxito, p, para X.v) No, se necesita conocer el valor de λ para Y.

Fórmula para determinar la varianza en una distribución binomial:σ2

x= (1-p)σ2

x= (1-3)σ2

x= -2

Formula para determinar la varianza en una distribución Poisson:σ2

y= λσ2

y= 3 Respuesta:ii) Sí, Y tiene la varianza más grande

5.- La concentración de partículas en una suspensión es 2 por mL. Se agita por completo la concentración, y posteriormente se extraen 3 mL. Sea X el numero de partículas que son retiradas. Determine.

a) P(X=5)b) P(X≤2)c) μX

d) σx

a) P(X=5)= e-6 * 65

5!

P(X=5)= 2.478752177x10-3 * 7776120

P(X=5)= 2.478752177x10-3 * 64.8

P(X=5)= 0.160623141

b) P(X≤2)

Page 16: Ejercicios resueltos

P(X=0)= e-6 * 60

0 ! P(X=1)= e-6 * 6

1

1!

P(X=0)= 2.478752177x10-3 * 11 P(X=1)= 2.478752177x10-3 *

61

P(X=0)= 2.478752177x10-3 * 1 P(X=1)= 2.478752177x10-3 * 6

P(X=0)= 2.478752177x10-3 P(X=1)= 0.014872513

P(X=2)= e-6 * 62

2! P(X≤2)= P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)

P(X=2)= 2.478752177x10-3 * 362

P(X≤2)=

2.478752177+0.014872513+ 0.044617539 P(X=2)= 2.478752177x10-3 * 18

P(X=2)= 0.044617539 P(X≤2)= 0.061968804

c) μX

μX= 6

d) σx

σx= √ 6σx= 2.4494897DISTRIBUCION NORMAL1. Determine el área bajo la curva normal

a) Ala derecha de z= -0.85.b) Entre z = 0.40 y z = 1.30.c) Entre z =0.30 y z = 0.90.d) Desde z = - 1.50 hasta z =-0.45

Estos resultados se obtuvieron con las tablas anexas al final de los problemas

A – 1 – 0.1977 = 0.8023

B – 0.9032 – 0.6554 = 0.2478

C – 0.8159 – 0.3821 = 0.4338

Page 17: Ejercicios resueltos

D – 0.0668 + (1 – 0.3264) = 0.7404

2- Las puntuaciones de una prueba estandarizada se distribuyen normalmente con media de 480 y desviación estándar de 90.

a) ¿Cual es la proposición de puntuaciones mayores a 700?b) ¿Cual es el 25º? ¿Percentil de las puntuaciones?c) Si la puntuación de alguien es de 600. ¿En que percentil se

encuentra?d) ¿Qué proporción de las puntuaciones se encuentra entre 420 y

520?

µ = 480 σ = 90

A - Z = (700-480)/90 = 2.44 el área a la derecha de Z es 0.0073

B – la puntuación de z en el 25 º percentil -0.67

El 25 º percentil es entonces 480 - 0.67 (90) = 419.7

C – z = (600-480)/90 = 1.33 el área a la derecha de z es 0.9082

Por lo que una puntuación de 600 esta en el percentil 91

D - z = (420 - 480)/90 = - 0.67

Z = (520 – 480)/90 = 0.44

El área entre z = - 0.67 y z = 0.44 es 0.6700 – 0.2514 = 0.4186

Page 18: Ejercicios resueltos

3- La resistencia de una aleación de aluminio se distribuye normalmente con media de 10 giga pascales (Gpa) desviación estándar de 1.4 Gpa.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra de esta aleación tenga resistencia mayor a 12 GPa?

b) Determine el primer cuartil de la resistencia de esta aleación.c) Determine el 95º. Percentil de la resistencia de esta aleación.

RESULTADOS

µ = 10 σ = 1.4

A) z = (12 -10)/1.4 = 1.43 el área ala derecha de z = 1.43 es 1 – 0.9236 = 0.0764

B) la puntuación de z en el 25 º percentil es -0.67

El 25 º percentil es entonces 10 - 0.67 (1.4) = 9.062 Gpa.

C) la puntuación de z en el 95 º percentil es 1.645

El 25 º percentil es entonces 10 + 1.645(1.4) = 12.303 Gpa.

4- La penicilina es producida por el hongo penicillium, que crece en un caldo, cuyo contenido de azúcar debe controlarse con cuidado. La concentración optima e azúcar es de 4.9 mg/mL. Si la concentración excede los 6 mg/mL, el hongo muere y el proceso debe suspenderse todo el día.

a) ¿Si la concentración de azúcar en tandas de caldo se distribuye normalmente con media 4.9 mg/mL y desviación estándar 0.6 mg/mL en que proporción de días se suspenderá el proceso?

b) El distribuidor ofrece vender caldo con una concentración de azúcar que se distribuye normalmente con medida de 5.2 mg/mL y desviación estándar de 0.4 mg/mL ¿este caldo surtirá efectos con menos días de producción perdida? RESULTADOS

A) (6 – 4.9)/0.6 =1.83 1 – 0.9664 = 0.0336

B) Z = (6 – 5.2)/0.4 = 2.00 1 – 0.9772 = 0.0228

Page 19: Ejercicios resueltos

Con este caldo el proceso se suspendería el 2.28% de los días

Page 20: Ejercicios resueltos

5- El volumen de las llantas llenadas por cierta maquina se distribuye con media de 12.05 onzas y desviación estándar de 0.03 onzas.

a) ¿Qué proporción de latas contiene menos de 12 onzas?b) La medida del proceso se puede ajustar utilizando calibración. ¿En que

valor debe fijarse la media para que el 99% de las latas contenga 12 onzas o mas?

c) Si la media del procesos sigue siendo de 12.05 onzas. ¿En que valor debe fijarse la media para que el 99% de las latas contenga 12 onzas o mas?

RESULTADOS

A) (12 – 12.05)/0.03 = -1.67 la proporción es 0.0475

B) Z= -2.33 entonces -2.33=(12 - µ)/0.03 despejando µ = 12 .07 onzas

C) – 2.33 = (12-12.05)/ σ despejando σ = 0.0215 onzas

Page 21: Ejercicios resueltos

TABLA PARA EL AREA A LA DERECHA DE Z

Page 22: Ejercicios resueltos

TABLA PARA EL AREA LA IZQUIERDA DE Z

DISTRIBUCION GAMMA

Page 23: Ejercicios resueltos

Ejercicio 1El número de pacientes que llegan a la consulta de un médico sigue una distribución dePoisson de media 3 pacientes por hora. Calcular la probabilidad de que transcurra menos de una hora hasta la llegada del segundo paciente.Debe tenerse en cuenta que la variable aleatoria “tiempo que transcurre hasta la llegada del segundo paciente” sigue una distribución Gamma (6, 2).Solución:

Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuas

Gamma (a p)a : Escala 6000

0p : Forma 2000

0Punto X 1000

0

Cola Izquierda Pr[X<=k] 0,9826Cola Derecha Pr[X>=k] 0,0174Media 0,3333Varianza 0,0556Moda 0,1667

La probabilidad de que transcurra menos de una hora hasta que llegue el segundo paciente es 0,98.

Ejercicio 2Suponiendo que el tiempo de supervivencia, en años, de pacientes que son sometidos a una cierta intervención quirúrgica en un hospital sigue una distribución Gamma con parámetros a=0,81 y p=7,81, calcúlese:

1. El tiempo medio de supervivencia.2. Los años a partir de los cuales la probabilidad de supervivencia es menor que 0,1.

Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuas

Gamma (a,p)a : Escala 0,8100p : Forma 7,8100

Cola Izquierda Pr [X<=k] 0,9000

Page 24: Ejercicios resueltos

Cola Derecha Pr [X>=k] 0,1000Punto X 14,2429Media 9,6420Varianza 11,9037Moda 8,4074El tiempo medio de supervivencia es de, aproximadamente, 10 años.

Page 25: Ejercicios resueltos

DISTRIBUCION T DE ESTUDENT

1. Sea T ~ t(4,0.5)a) Determinar μT

μt=40.5

=8

b) Determinar σ T

σ T=√ 40.5

2

=4

c) Determinar P(T≤1¿

P(T¿1¿=1−¿ ∑j=0

4−1

e−(0.5 ) (1 ) [ (0.5 ) (1 ) ] jj !

= 1- e –(0.5)(1)[(0.5)(1)]0

0 ! - e –(0.5)(1)

[(0.5)(1)]11 !

- e –(0.5)(1)[(0.5)(1)]2

2 ! - e

(0.5)(1)[ (0.5 ) (1 ) ]33 !

=1- 0.60653 -0.30327 -0.075816 -0.012636

=0.000175

Page 26: Ejercicios resueltos

d) Determinar P(T≥4¿

P(T¿1¿=1−¿ ∑j=0

4−1

e−(0.5 ) (3 ) [ (0.5 ) (3 ) ] jj !

= e –(0.5)(3)[(0.5)(3)] 0

0 ! - e –(0.5)(3)

[(0.5)(3)]11 !

- e –(0.5)(3)[(0.5)(3)] 2

2 ! - e

(0.5)(3)[ (0.5 ) (3 ) ]33 !

=0.22313 + 0.33470+0.25102 +0.12551

=0.9344

2. Sea T ~ Weibull(0.5,3)a) Determinar μT

μT=( 13 )2 !=23=0.6667b) Determinar σ T

σ T=√(13

2

) [4 !−(2 !)2 ]=√( 19)[24−4 ]=1.4907

c) Determinar P(T¿5¿P (T>5) =1-P(T≤1) = 1 – e-[(3)(1)]0.5=1−e−15

0.5

=0.0208

3. En el articulo “Parameter Estimation with Only One Complete Failure Observation”se modela la duracion en horas, de cierto tipo de cojinete con la distribucion de Weibull con parámetros

α=2.25 y β=4.474 X 10−4

a) Determine la probabilidad de que un cojinete dure mas de 1000 horas

P (T>1000 )=1−P ( t ≤1000 )=1−(1−e−[ (0.0004474 ) (1000 )]2.25 )=0.8490

b) Determine la probabilidad de que un cojinete dure menos de 2000 horas

P(T<2000)= P(T≤2000¿=1−e [ (0.0004474 ) (2000 )]2.25¿=0.5410

Page 27: Ejercicios resueltos

c) La función de riesgo se definio en el ejercicio 4 ¿Cuál es el riesgo en T=2000 horas?h(t) =α βα t α−1=2.25 (0.00044742.25 ) (20002.25−1 )=8.761 X10−4

4. La duración de un ventilador, en horas , que se usa en un sistema computacional tiene una distribución de Weibull con α=1.5 y β=0.0001a) ¿Cuáles la probabilidad de que un ventilador dure mas de 10

000 horas?

P(T>10 000 ) =1 –(1-e−¿ [(0.0001)(10000)]1.5¿=e−¿[(0.0001)(10000) ]1.5¿=0.3679

b) ¿Cuál es la probabilidad de que un ventilador dure menos de 5000 horas?

P(t<5000) =P(T≤5000¿=1−e[ (0.0001 ) (5000 )]1.5=0.2978

5. Un sistema consiste de dos componentes conectados en serie. El sistema fallara cuando alguno de los componentes falle. Sea T el momento en el que el sistema falla. Sean X1 y X2 las duraciones de los dos componentes. Suponga que X1 y X2 son independientes y que cada uno sigue una distribución Weibull con α=2 y β=0.2

a) Determine P(X1>5¿

P(X1>5¿=1−p (X1≤5 )=1−¿

b) Determine P(T≤5)

P(T≤5¿=1−P (T>5)=1−e−2=0.8647

c) T Tiene una distribución de Weibull= si es Así ¿Cuáles son sus parámetros?

Page 28: Ejercicios resueltos

Si, T~ Weibull (2, √0.08¿=Weibull (2 ,0.2828)

Page 29: Ejercicios resueltos

Un fabricante de focos afirma que su producto durará un promedio de 500 horas de trabajo. Para conservar este promedio esta persona verifica 25 focos cada mes. Si el valor y calculado cae entre –t 0.05 y t 0.05, él se encuentra satisfecho con esta afirmación. ¿Qué conclusión deberá él sacar de una muestra de 25 focos cuya duración fue?:

AQUÍ SE ENCUENTRAN LAS MUESTRAS QUE SE TOMARON PARA RESOLLVER EL PROBLEMA.

Solución:

Para poder resolver el problema lo que se tendrá que hacer será lo siguiente se aplicara una formula la cual tendremos que desarrollar con los datos con los que contamos.

Tendremos que sustituir los datos

t= x -μ

SI n α = 1- Nc = 10%

Page 30: Ejercicios resueltos

v = n-1 = 24

t = 2.22

Procedimiento:se demostrara la forma en que se sustituiran los datos.

VALOR DE LOS DATOS. . APLICACION DE LA FORMULA

µ=500 h t=505.36-500 t = 2.22

n=25 12.07 25

Nc=90% v = 25 -1 = 24

X=505.36 α = 1- 90% = 10%

S=12.07

Enseguida se muestra la distribución del problema según el grafico sig.

Page 31: Ejercicios resueltos