Ejercicios de derivadas e integrales

Este material puede descargarse desde http://www.uv.es/~montes/biologia/matcero.pdf

Departament d’Estad´ıstica i Investigacio´ Operativa Universitat de Val encia

Derivadas

Reglas de derivacion

Suma d

[f (x) + g(x)] = ft(x) + gt(x) dx

Producto

d [kf (x)] = kft(x)

dx d

[f (x)g(x)] = ft(x)g(x) + f (x)gt(x)dx

Cociente d

r f ( x )

lft(x)g(x) − f (x)gt(x)

=dx g(x) g(x)2

Regla de la cadena

d

dx {f [g(x)]} = f t[g(x)]gt(x)

d

dx {f (g[h(x)])} = f t(g[h(x)])gt[h(x)]ht(x)

Potencia

d (xk ) = kxk−1 d

[f (x)k ] = kf

(x)k−1f t(x)dx dx

d (√

x) = d

(x1/2) = 1 d

[l

f (x)] =f t( x )

dx dx 2√

x dx 2l

f (x)

d 1 d 1 d r

1 l

ft(x)= (x−1) = − = −

dx x dx x2 dx f (x) f (x)2

2

Reglas de derivacion (continuacion)

Trigonom´etricas

d (sin x) =

cos x dx

d (cos x) = sin

x dx−

d (tan x) = 1 +

tan2 x dx

d [sin f (x)] = cos f (x)ft(x)

dx d

[cos f (x)] = sin f (x)ft(x)dx

−

d [tan f (x)] = [1 + tan2 f

(x)]f t(x)dx

Funciones de arco

d (arcsin x) =

1

dx√1 − x2

d (arc cos x) =

−1

dx√1 − x2

d (arctan x) =

1

dx 1 + x2

d [arcsin f (x)] =

f t(x)

dxl

1 − f (x)2

d [arc cos f (x)] =

−f t(x)

dxl

1 − f (x)2

d [arctan f (x)] =

ft(x)

dx 1 + f (x)2

Exponenciales

d (ex) =

ex dx

d (ax) = ax ln

a dx

d (ef (x)) = ef (x)f t(x)

dx d

(af (x)) = af (x) ln af t(x)dx

Logar´ıtmicas

d (ln x) =

1

dx x

d (lg x) =

1 1 dx a x ln a

d (ln f (x)) =

ft(x)

dx f (x)

d (lg f (x)) =

ft(x) 1 dx a f (x) ln a

4

5

Soluci´on.- y =

2

b

b

x√

3

3

2

5

3

Ejercicios de derivadas

1. Determinar las tangentes de los ´angulos que forman con el eje positivo de las x las l ıneas tangentes a la curva y = x3 cuando x = 1/2 y x = −1, construir la gr´afica y representar las l ıneas tangentes.

Soluci´on.- a) 3/4, b) 3.

2. Determinar las tangentes de los ´angulos que forman con el eje positivo de las x las l ıneas tangentes a la curva y = 1/x cuando x = 1/2 y x = 1, construir la gr´afica y representar las l ıneas tangentes.

Soluci´on.- a) -4, b) -1.

3. Hallar la derivada de la funci on y = x4 + 3x2 − 6.

Soluci´on.- yt = 4x3 + 6x.

4. Hallar la derivada de la funci on y = 6x3 − x2.

Soluci´on.- yt = 18x2 − 2x.5 2

5. Hallar la derivada de la funci on y = x − x .

Soluci´on.- yt = 5x − 2x .

a+b a−b

a+b a−b3 2

6. Hallar la derivada de la funci on y = x −x +1 .2

t −5

7. Hallar la derivada de la funci on y = 2ax3 − x + c.

Soluci´on.- yt = 6ax2 − 2x .7 5

8. Hallar la derivada de la funci on y = 6x 2 + 4x 2 + 2x.5 3

Soluci´on.- yt = 21x 2 + 10x 2 + 2.

9. Hallar la derivada de la funci on y = √3x +

√3 x + 1 .

Soluci´on.- yt = 3 + 1 − 1 .2

√x 3

√3 x2 x2

10. Hallar la derivada de la funci on y = (x+1) .x 2

Soluci´on.- yt = 3(x+1) (x−1) .2x 2

11. Hallar la derivada de la funci on y = √

3 x2 − 2√x + 5.

Soluci´on.- yt = 2 1 − 1 .3

√3 x√

x2

√312. Hallar la derivada de la funci on y = ax + b − √x .

Soluci´on.- yt = 5

ax 2

√3

x3 bx− 5

+ 1

x− 7

.

x√

x x

33 −

22

66

13. Hallar la derivada de la funci on y = (1 + 4x3)(1 + 2x2).

Soluci´on.- yt = 4x(1 + 3x + 10x3).

14. Hallar la derivada de la funci on y = x(2x − 1)(3x + 2).

Soluci´on.- yt = 2(9x2 + x − 1).

y 2 x

y

a

(

3

1

(

2

s

(

y x

y

2

√

2

√

2

Soluci´on.- yt = r1 +

√3 2

x

4

15. Hallar la derivada de la funci on y = (2x − 1)(x2 − 6x + 3).

Soluci´on.- yt = 6x2 − 26x + 12.4

16. Hallar la derivada de la funci on = .b2 −x2

3 2 2

Soluci´on.- t = 4x (2b −x ) .(b2 −x2 )2

17. Hallar la derivada de la funci on y = a−x .

Soluci´on.- yt = − 2a .

18. Hallar la derivada de la funci on f (t) = t .2 2

Soluci´on.- ft(t) = t (3+t .

19. Hallar la derivada de la funci on f (s) = (s+4) .

Soluci´on.- ft(s) = (s+2)(s+4) .

320. Hallar la derivada de la funci on = .

x2 −x−24 3 2

Soluci´on.- t = x −2x −6x −2x+1 .(x2 −x−2)2

21. Hallar la derivada de la funci on y = (2x2 − 3)2.

Soluci´on.- yt = 8x(2x2 − 3).

22. Hallar la derivada de la funci on y = (x2 + a2)5.

Soluci´on.- yt = 10x(x2 + a2)4.

23. Hallar la derivada de la funci on y = √x2 + a2.

Soluci´on.- yt

= √ x2 +a2 .

24. Hallar la derivada de la funci on y = (a + x)√a − x.

Soluci´on.- yt = a−3x .−

25. Hallar la derivada de la funci on y = /

1+x .1−x

Soluci´on.- yt = 1 .(1−x) 1−x

26. Hallar la derivada de la funci on y = 2x −1 .x 1+x

Soluci´on.- yt = 1+4x 3 .

x2 (1+x2 ) 2

27. Hallar la derivada de la funci on y = √

3 x2 + x + 1.Soluci´on.- yt = 2x+1 .

3 (x +x+1)

28. Hallar la derivada de la funci on y = (1 + √

3 x)3.2

1 √3 x

1+

cos2

1+

√

2

s

s

x

c

5

29. Hallar la derivada de la funci on y = sin2 x.

Soluci´on.- yt = sin 2x.

30. Hallar la derivada de la funci on y = 2 sin x + cos 3x.

Soluci´on.- yt = 2 cos x − 3 sin 3x.

31. Hallar la derivada de la funci on y = tan(ax + b).

Soluci´on.- yt = a .

32. Hallar la derivada de la funci on y = sin x .

Soluci´on.- yt = 1 .

33. Hallar la derivada de la funci on y = sin 2x cos 3x.

Soluci´on.- yt = 2 cos 2x cos 3x − 3 sin 2x sin 3x.

34. Hallar la derivada de la funci on y = cot2 5x.

Soluci´on.- yt = −10 cot 5x csc2 5x.

35. Hallar la derivada de la funci on f (t) = t sin t + cos t.

Soluci´on.- ft(t) = t cos t.

36. Hallar la derivada de la funci on f (t) = sin3 t cos t.

Soluci´on.- ft(t) = sin2 t(3 cos2 t − sin2 t).√

37. Hallar la derivada de la funci on y = a

Soluci´on.- yt = − a sin 2x .

cos 2x.

38. Hallar la derivada de la funci on y = 1 tan2 x.

Soluci´on.- yt = tan x sec2 x.

39. Hallar la derivada de la funci on y = ln cos x.

Soluci´on.- yt = − tan x.

40. Hallar la derivada de la funci on y = ln tan x.

Soluci´on.- yt = 2 .

41. Hallar la derivada de la funci on y = ln sin2 x.

Soluci´on.- yt = 2 cot x.

42. Hallar la derivada de la funci on y = tan x−1 .

Soluci´on.- yt = sin x + cos x.

43. Hallar la derivada de la funci on y = ln /

1+sin x .1−sin x

Soluci´on.- yt = 1 .

44. Hallar la derivada de la funci on f (x) = sin(ln x).

Soluci´on.- ft(x) = cos(ln x) .

2

x

y

y

y

y 3 x

Soluci´on.- y =

y

x2

2

x

2

2

2

x

ex

Soluci´on.- y =

6

45. Hallar la derivada de la funci on f (x) = tan(ln x).

Soluci´on.- ft(x) = sec (ln x) .

46. Hallar la derivada de la funci on f (x) = sin(cos x).

Soluci´on.- ft(x) = − sin x cos(cos x).

47. Hallar la derivada de la funci on y = ln 1+x .1−x

Soluci´on.- t = 2 .1−x2

48. Hallar la derivada de la funci on y = log3(x2 − sin x).

Soluci´on.- t = 2x−cos x .(x2 −sin x) ln 3

249. Hallar la derivada de la funci on = ln .

1−x2

Soluci´on.- t = 4x .1−x4

50. Hallar la derivada de la funci on y = ln(x2 + x).

Soluci´on.- yt = 2x+1 .

51. Hallar la derivada de la funci on y = ln(x3 − 2x + 5).2

Soluci´on.- t = − .x3 −2x+5

52. Hallar la derivada de la funci on y = x ln x.

Soluci´on.- yt = ln x + 1.

53. Hallar la derivada de la funci on y = ln3 x.2

tx

54. Hallar la derivada de la funci on y = ln(x + √1 + x2).

Soluci´on.- yt = √ 1 .1+x

55. Hallar la derivada de la funci on y = ln(ln x).

Soluci´on.- yt = 1 .

56. Hallar la derivada de la funci on y = e(4x+5).

Soluci´on.- yt = 4e(4x+5).

57. Hallar la derivada de la funci on y = ax .2

Soluci´on.- yt = 2xax

ln a.

58. Hallar la derivada de la funci on y = 7(x +2x).

Soluci´on.- yt = 2(x + 1)7(x +2x) ln 7.

59. Hallar la derivada de la funci on y = ex(1 − x2).

Soluci´on.- yt = ex(1 − 2x − x2).

60. Hallar la derivada de la funci on y = e −1 .x

t(ex +1)2

Soluci´on.- y = x x

( 1

x

x

7

61. Hallar la derivada de la funci on y = esin

x.

Soluci´on.- yt = esin x cos x.

62. Hallar la derivada de la funci on y = atan nx.

Soluci´on.- yt = natan nx sec2 nx ln a.

63. Hallar la derivada de la funci on y = ecos x sin x.

Soluci´on.- yt = ecos x(cos x − sin2 x).

64. Hallar la derivada de la funci on y = ex ln(sin x).

Soluci´on.- yt = ex(cot x + ln(sin x)).

65. Hallar la derivada de la funci on y = x x .1

t −x2

66. Hallar la derivada de la funci on y = xln

x.

Soluci´on.- yt = xln x−1 ln x2.

67. Hallar la derivada de la funci on y = xx.

Soluci´on.- yt = xx(1 + ln x).

68. Hallar la derivada de la funci on y = ex .

Soluci´on.- yt = ex (1 + ln x)xx.

8

Integrales

Tabla de integrales inmediatas

r p+1

xpdx = x

+ Cp + 1

(p =/

−1)r (x)p+1

f (x)pft(x)dx = f

+ Cp + 1

(p =/

−1)

r 1

xdx = ln |x| + C

r ft(x)

f (x) dx = ln |f (x)| + C

r

sin xdx = − cos x + Cr

ft(x) sin f (x)dx = − cos f (x) + C

r

cos xdx = sin x + Cr

ft(x) cos f (x)dx = sin f (x) + C

r 1

cos2 xdx = tan x + C

r ft(x)

cos2 f (x) dx = tan f (x) + C

r 1

sin2 xdx = − cot x + C

r ft(x)

sin2 f (x) dx = − cot f (x) + C

r 1

1 + x2 dx = arctan x +

C

r ft(x)

1 + f (x)2 dx = arctan f (x) + C

r 1√ dx = arcsin x + C1 − x2

r ft(x)l

1

f (x)2 dx = arcsin f (x) + C

−

1

3

6

√

√

−

Tabla de integrales inmediatas (continuacion)

r −1

dx = arc cos x

+ C√1 − x2

r −ft(x)dx = arc cos f (x)

+ Cl1 − f (x)2

r

exdx = ex + C

rf t(x)ef (x)dx = ef (x) + C

r x

axdx = a

+ Cln a

r f (x)

f t(x)af (x)dx = a

+ Cln a

Ejercicios de integrales indefinidas

1. Calcular la integral [

x5dx.

Soluci´on.- x

+ C.6

2. Calcular la integral [

(x + √x)dx.

2 √ Soluci´on.-

x +

2x x + C.

2 3 3 x

√x

3. Calcular la integral

[

1

√x

−

4√

dx.

Soluci´on.- 6√x x2

102

x + C.

4. Calcular la integral [ x

dx.x

Soluci´on.-

2

x25

x + C.

1 4

5. Calcular la integral [

x2

+ + 2x x

dx.

1 8

√

1

√

Soluci´on.- − x

− √x

+ 2x + C.

6. Calcular la integral [ 1

dx.x

Soluci´on.-

4 √

4x3 + C.

1

3

7. Calcular la integral [

e5xdx.1

Soluci´on.-

e5x + C.5

8. Calcular la integral [

cos 5xdx.sin 5x

Soluci´on.- 5

+

C.

9. Calcular la integral [

sin axdx.cos ax

Soluci´on.- −

+ C.a

10. Calcular la integral [ ln x

dx.x

Soluci´on.-

1 ln2 x + C. 2

11. Calcular la integral [ 1

dx.sin2 3x

Soluci´on.- −

cot 3x + C.3

12. Calcular la integral [ 1

dx.cos2 7x

Soluci´on.-

tan 7x 7

+ C.

13. Calcular la integral [ 1

dx.3x − 7

Soluci´on.-

1

3 ln |3x − 7| + C.

14. Calcular la integral [ 1

dx.1 − x

Soluci´on.- − ln |1 − x| + C.

15. Calcular la integral [ 1

dx.5 − 2x

1Soluci´on.- −

2 ln |5 − 2x| + C.

16. Calcular la integral [

tan 2xdx.1

Soluci´on.- − 2

ln | cos 2x| + C.

17. Calcular la integral [

sin2 x

cos xdx. sin3 xSoluci´on.-

3+ C.

18. Calcular la integral [

cos3 x

sin xdx. cos4 xSoluci´on.- −

+ C.4

1

3

[

[ √

2 sin

19. Calcular la integral [

x√x2 + 1dx.

1Soluci´on.-

l(x2 + 1)3 + C.

3

x 20. Calcular la integral

dx. 2x2 + 3

Soluci´on.-

1 l2

x2 + 3 + C.2

21. Calcular la integral [ cos x

dx.sin2 x

1

Soluci´on.- − sin x

+ C.

22. Calcular la integral [ sin x

dx.cos3 x

Soluci´on.-

12 cos2

x

+ C.

23. Calcular la integral [ tan x

dx.cos2 x

Soluci´on.-

tan2

x2

+ C.

24. Calcular la integral [ cot x

dx.sin2 x

Soluci´on.- −

cot2

x+ C.

2

25. Calcular la integral [ ln(x + 1)

dx.x + 1

Soluci´on.-

ln2(x + 1)2

+ C.

cos x 26. Calcular la integral

dx. x

Soluci´on.- √2 sin x + 1 + C.

27. Calcular la integral [ sin 2x

dx.(1 + cos 2x)2

Soluci´on.-

1

2(1 + cos

2x)

1+ C.

28. Calcular la integral [sin 2x

dx.l1 + sin2 x

Soluci´on.- 2l

1 + sin2 x + C.√tan x + 1

29. Calcular la integral

[

2

cos2

x

dx.

Soluci´on.-

l(tan x + 1)3 + C.

2

2

x

2

[

1

3

30. Calcular la integral [ ln x

dx.x

Soluci´on.-

ln3

x

3

+ C.

31. Calcular la integral [ arcsin x

dx.√1 − x2

Soluci´on.-

arcsin2

x2

+ C.

32. Calcular la integral [ x

dx.x2 + 1

Soluci´on.-

1 ln(x2 + 1) + C.

2

33. Calcular la integral [x + 1

dx.x2 + 2x + 3

Soluci´on.-

1 ln(x2 + 2x + 3) + C.

2

34. Calcular la integral [

e2xdx.1

Soluci´on.-

e2x + C.2

35. Calcular la integral [

e x

dx.

Soluci´on.- 2e 2 + C.

36. Calcular la integral [

esin x cos xdx.

Soluci´on.- esin x + C.

37. Calcular la integral [

3xexdx.

3xex

Soluci´on.- ln 3

+ 1

+ C.

38. Calcular la integral [

e−3xdx.1 3x

Soluci´on.- −

3 e−

+ C.

39. Calcular la integral [

ex2 +4x+3(x + 2)dx.

Soluci´on.-

1 ex +4x+3 + C.

2

40. Calcular la integral [1

dx.1 + 2x2

1 √

Soluci´on.- √2

arctan(

2x) + C.

1 41. Calcular la integral √ dx.

1 − 3x2

1 √

1Soluci´on.- √

3 arcsin(

3x) + C.

1

[ 1

42. Calcular la integral √ dx.9 − x2

Soluci´on.- arcsin x

+ C.3

43. Calcular la integral [ 1

dx.4 + x2

Soluci´on.-

1

xarctan

2 2

+ C.

1

=

Integraci´on por partes

Recordemos la f ormula de la deriva del producto de funciones

d [u(x)v(x)] = ut(x)v(x) +

u(x)vt(x), dx

que expresada bajo forma de diferencial da lugar a

d[u(x)v(x)] = d[u(x)]v(x) + u(x)d[v(x)].

De donde se obtiene,

u(x)d[v(x)] = d[u(x)v(x)] − v(x)d[u(x)].

Integrando ahora ambos miembros tendremosr r

u(x)d[v(x)] = u(x)v(x) −

que se escribe tambi en en forma abreviada,

v(x)d[u(x)],

r rudv = uv − vdu. (1)

Esta expresio´n es conocida como la f´ormula de la integraci on por partes y es de gran utilidad para la resoluci on de integrales. Se aplica a la resoluci on de las integrales

[ udv a partir de

la integral [

vdu que se supone m as sencilla. La aplicaci on de (1) exige primero identificaradecuadamente en el integrando las funciones u(x) y v(x). Veamos un ejemplo

Ejemplo 1 Si queremos calcular la integralr

x3 ln xdx,

observemos que la integral de x3 es inmediata y que la derivada de ln x es tambi en muy sencilla. As ı, si asignamos

tendremosu = ln x y dv = x3dx,

4du =

dxy v =

x + C ,

si integramos ahorar

x3 ln xdx =

x

r rln x d

x4

4

41

l+ C1

x4=4 +

C1

ln x −

r

x4

4

+ C1

dxx

x4=4 +

C1

ln x −

r

x3

4

+ C1

dx x

4 4x x

− + C.4 16

Observemos que la primera constante de integraci´on C1 se cancela de la respuesta final (C1 ln x− C1 ln x). Este es siempre el caso cuando integramos por partes, por ello, en la pr´actica, nunca incluimos una constante de integracio´n en v(x), simplemente tomaremos para v(x)

1cualquier primitiva de dv(x).

1

e −

Algunos tipos de integrales que se resuelven por partes

[xnexdx u = xn dv = exdx

[xn sin xdx u = xn dv = sin

xdx

[xn cos xdx u = xn dv = cos

xdx

[xn ln xdx u = ln x dv = xndx

[arctan xdx

u = arctan x

dv = dx[

arcsin xdx

u = arcsin x

dv = dx

[ln xdx u = ln x dv = dx

Ejercicios de integraci´on por partes

1. Calcular la integral [

xexdx.

Soluci´on.- xex − ex + C.

2. Calcular la integral [

ln xdx.

Soluci´on.- x ln x − x + C.

3. Calcular la integral [

x2e3xdx.

x2Soluci´on.- e3x

32x 2

+9 27

+ C.

4. Calcular la integral [

x3e−xdx.

Soluci´on.- −e−x (x3 + 3x2 + 6x + 6

) + C.

5. Calcular la integral [

x sin xdx.

Soluci´on.- −x cos x + sin x + C.

6. Calcular la integral [

x2 cos 2xdx.2

Soluci´on.- x sin 2 x

+ x cos 2 x 1

2 2−

4 sin 2x + C.

7. Calcular la integral [

ex sin xdx.x x

Soluci

´on.- −

e cos x + e sin x + C.2

8. Calcular la integral [

x5ex3

dx.

x3

Soluci´on.- (x3 1) + C.3

−

1

0

0

0

Ejercicios de integrales definidas y c´alculo de ´areas

1. Calcular la integral definida [ 1

x4dx.1

Soluci´on.- .5

2. Calcular la integral definida [ 1

exdx.

Soluci´on.- e − 1.π

3. Calcular la integral definida [

2 sin xdx.

Soluci´on.- 1.

4. Calcular la integral definida [ 1 1

dx.

Soluci´on.- π

.4

0 1 + x2

5. Hallar el area de la figura comprendida entre la curva y = 4 − x2

y el eje X. 2Soluci´on.- 10 .

3

6. Hallar el area de la figura comprendida entre las curvas y2 = 9x e y = 3x. 1

Soluci´on.- .2

7. Hallar el area de la figura limitada por la hip´erbola equil atera xy = a2, el eje X y las rectas x = a y x = 2a.

Soluci´on.- a2 ln 2.