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Ejercicios resueltos de dinámica del libro de BEER Mecánica Vectorial para Ingenieros
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MENESES 6466
1) (15.11) En el problema 15.10 determine la velocidad y aceleracin de la esquina B, suponiendo que la velocidad angular es de 9 rad/s y que aumenta a razn de 45 rad/s2. Problema (15.10) La varilla doblada ABCDE gira alrededor de una lnea que une los puntos A y E con una velocidad angular constante de 9 rad/s. Si se sabe que la rotacin es en el sentido de las manecillas del reloj segn se observa desde E, determine la velocidad y aceleracin de la esquina C
Datos: = 9 = 45 2
Se observa desde E que gira en direccin de las manecillas del reloj
Incgnitas: Determinar:
=? =?
Anlisis grfico:
Clculos:
Unitario del vector
= 400 + 400 + 200
MENESES 6466
= = 1600 400 + 400 + 200 Clculo de la velocidad angular en forma vectorial
= = 9 1600 400 + 400 + 200 = 9600 400 + 400 + 200
= 6 + 6 + 3
Clculo de la aceleracin angular en forma vectorial
= = 45 2 1600 400 + 400 + 200 = 45600 400 + 400 + 200 2 = 45600 400 + 400 + 200 2
= 30 + 30 + 15 2 Clculo del radio en forma vectorial
=
= 0 + 150 + 200 (400)
= 400 + 150 + 200
Velocidad: =
= 6 + 6 + 3 400 + 150 + 200 = 6 6 3
400 150 200 = 750 + 0 + 1500
= . + . Aceleracin: =
+
MENESES 6466
=
+
= 30 + 30 + 15 2 400 + 150 + 200 + 6 + 6 + 3 750 + 0 + 1500 = 30 30 15
400 150 200+ 6 6 3750 0 1500 = 3750 + 7500 + 9000 + 11250 4500
= (12750 + 11250 + 3000 ) 2
= (. + . + )
2) (15.22) Las dos poleas que se muestran pueden operarse con la banda V en cualquiera de tres posiciones. Si la aceleracin angular del eje A es 6 rad/s2 y si el sistema est inicialmente en reposo determine el tiempo requerido para que el eje B alcance una velocidad de 400 rpm con la banda en cada una de las tres posiciones.
Datos: = 6 2 0 = 0
Incgnitas: =? = 400 = 400 21
1 60
= 403 Con la banda en cada una de las tres posiciones.
Anlisis Grfico: Primera posicin de la banda:
= = =
= 403 12
MENESES 6466
= 203 ()
= 0 + = =
()
Ecuacin () ():
= 203 6 2
= 109 = .
Segunda posicin de la banda:
= = =
= 403 1.51.5 = 403 ()
= 0 + =
=
() Ecuacin () ():
= 403 6 2
= 209 = .
Tercera posicin de la banda:
= = =
MENESES 6466
= 403 21 = 803 () = 0 + = =
()
Ecuacin (1) (2):
= 803 6 2
= 409 = .
3) (15.57) Una cremallera recta descansa sobre un engrane de radio r y est fija a un bloque B en la forma que se indica. Si se denota con la velocidad angular en el sentido de las manecillas del reloj del engrane D con el ngulo que forma la cremallera y la horizontal. Obtenga expresiones para la velocidad del bloque B y la velocidad angular de la cremallera en trminos de r, y .
Datos Radio = r Velocidad angular = ngulo =
Incgnitas Obtener expresiones para y en trminos de r, y
MENESES 6466
Anlisis Grfico ENGRANAJE D
= =
CREMALLERA CB
Anlisis vectorial de las velocidades
= (1)
90
MENESES 6466
ANLISIS DE LA LONGITUD CB
tan =
= tan
(2)
Ecuacin (2) en (1)
= tan cos =
=
=
sin =
= sin
= cos sin
= tan =
= tantan
=
MENESES 6466
4) (15.68) En la posicin mostrada, la barra DE tiene una velocidad angular constante de 10rad/s en el sentido de las manecillas del reloj. Si h = 500mm, determine:
a. La velocidad angular de la barra FBD, b. La velocidad del punto F.
Datos
= 10
= 500 Incgnitas
=? =?
Anlisis grfico
BARRA ED
= = 10 223.61
= 2.2361
BARRA AB
= = 420
MENESES 6466
BARRA BD
De la barra BD se calcula los ngulos y las longitudes CD y CB
= tan1 100300 = 18.435
= 90 + 18.435 = 108.435
= 63.435 18.435 = 45 = 180 45 108.435 = 26.565
Ley de senos para calcular las distancias BC y DC
sin(45) = 316.228sin(26.565) = 500 = 0.5
sin(108.435) = 316.228sin(26.565) = 670.822 = 0.671
Calcular la velocidad con la distancia CD y la velocidad angular :
= =
= 2.236 0.671
MENESES 6466
= . Ya obtenida la se puede calcular la :
= = 3.33 0.5 = 1.665
BARRA FB
Realizar el tringulo de velocidades vectorialmente
=
= 3.33 0.527
= 1.905
Usando la ley de cosenos para calcular el literal b)
2 = 1.6652 + 1.9052 2 1.665 1.905 cos(71.57)
= 2 Calcular el ngulo sin()
= sin(71.57)
71.57
MENESES 6466
sin()1.905 = sin(71.57)2 = 1.905 sin(71.57)2
= 64.64 = .
5) (15.103) Con el mtodo de la seccin 15.7, retome el problema 15.65 (15.65) En la posicin mostrada, la barra AB tiene una velocidad angular de 4 en el sentido de las manecillas del reloj. Determine la velocidad angular de las barras BD y DE.
Datos
= 4
Incgnitas =? =?
= 1.905 = 1.665
= 64.64 71.57
MENESES 6466
BARRA AB
Clculo de ngulos
= tan1 800400 = 63.435
= 180 90 = 26.565
Clculo de la distancia AB
= 8002 + 4002 = 894.43
=
= 4 894.43 = 3577.71
BARRA ED
Clculo de ngulos
= tan1 500400 = 51.34 = 90 = 38.66
Clculo de la distancia ED
= 5002 + 4002 = 640.31
BARRA BD
Clculo de distancias
sin 51.34 = sin 65.23 = 800 sin 51.34sin 65.23 = 687.99 688
65.25
63.44 51.34
MENESES 6466
sin 63.435 = sin 65.23 = 800 sin 63.435sin 65.23
= 788 = =
= 3577.71 688 = .
=
= 5.2 788 = 4097.6
= = 4097.6 640.21 = .
6) (15.114) Un tambor de 3 pulg de radio est rgidamente unido a otro tambor de 5 pulg de radio en la forma que se indica. Uno de los tambores rueda sin deslizarse sobre la superficie mostrada, y se enrolla a una cuerda alrededor del otro tambor. Si en el instante que se ilustra el extremo D de la cuerda
tiene una velocidad de 8 y una aceleracin de 30
, ambas
dirigidas hacia la izquierda, determine las aceleraciones de los puntos A, B y C de los tambores.
MENESES 6466
Datos = 5 = 3
= 8 = 30 2
=
Incgnitas
=? =? =?
VELOCIDAD ANGULAR
= = 2
= 8 2 = 4
SECCIN AB
= +
= + + + : + 0 = 30 +( 2) 0 = 30 2 + ( 2) = 15 2 = 2 = 16 3
= 48 2 SECCIN GA
= = = 15 2 3
= 45 2
MENESES 6466
TRAMO GB
= + = + +
= (2 ) +(2 ) +( ) = (2 ) ( )
= 30 2 = 2
= 16 2 5 = 80 2 Clculo de la aceleracin
= 2 + 2 = 85.44 2
= tan1
= 69.44
= . . TRAMO GC
= + = + +
= 45 2 +(2 ) +( ) = 45 2 16 5
= 35 2 = 15 5 2 = 75 2
MENESES 6466
Clculo de la aceleracin
= 2 + 2 = 82.76 2
= tan1
= 64.98
= . .
7) (15.149) En el problema 15.148, demuestre que la trayectoria de P es una lnea recta cuando = . Obtenga expresiones para la velocidad y la aceleracin correspondientes en cualquier momento t. (15.148) Una rueda de radio r gira sin deslizarse a lo largo del interior de un cilindro fijo de radio R con una velocidad angular constante . Al denotar con P el punto de la rueda en contacto con el cilindro en t=0, obtenga expresiones para las componentes horizontal y vertical de P en cualquier momento t. (La curva que describe el punto es un hipocicloide).
Datos:
= 2
Incgnitas: Obtener expresiones para la velocidad y la aceleracin en cualquier momento de la trayectoria.
MENESES 6466
Anlisis grfico
= = = 0
Sabiendo que la rueda de radio r gira sin deslizarse, se puede concluir que el arco PC es igual al arco OC
= +
=
= ( + ) =
Si = 2
entonces ( + ) = 2
+ = 2 =
Al conocer que los ngulos son iguales entonces podemos decir que
= = = = = = 0
Trayectoria de la partcula:
Componentes x:
= ( ) cos r cos
MENESES 6466
= (2 ) cos cos = cos cos
= 0 Se puede concluir que la trayectoria de la partcula est en el eje y
Componentes y:
= ( ) cos cos = cos cos
= 2 cos = cos = (1 cos)
Derivando para obtener la velocidad:
= = sin = ( ) = = 2 cos sin
= 2 cos = ( )