Ejercicios Resueltos de La Guia de Supremos (1)

Ignacio Domingo Trujillo [email protected]

Supremos e Ínfimos

a) Sea :f definida por 23

12)(

n

nnf . En caso que exista, conjeture el valor del

))(Im( fInf y ))(Im( fSup , y demuestre que tu conjetura es correcta.

Solución:

Encontraremos el ))(Im( fInf :

Lo primero que debemos analizar son los elementos del conjunto )Im( f , (para tener una idea del comportamiento de la función).

213

112)1(

23

12)(

14

9)4(

11

7)3(

8

5)2(

5

3)1(

n

nnf

n

nnfffff

Notemos que si 1n se tiene que )1()( nfnf , por lo tanto )()1( nff , .1n

Ahora bien, .5

3)1( f Entonces necesitamos demostrar que .

23

12

5

3

n

n(3)

Partamos con que 10 n .1n 1

23

12

5

3

125233

51069

659100

10

n

n

nn

nn

nn

n

1 Desigualdad trivial, proveniente de la máxima simplificación de la ecuación 3.

Preposición 1: Si s es cota superior de A y además s pertenece a A, implica que s es Máximo y Supremo de A.

Preposición 2: Si s es cota inferior de A y además s pertenece a A, implica que s es Ínfimo y Mínimo de A.


Por tanto, ,)(5

3 nnf esto implica que

5

3es cota inferior de la )Im( f y como

)Im(5

3f se tiene que el 5

3))(Im( fInf .2

Ahora, encontraremos el ))(Im( fSup 3:

Para cada 0 existe ))(Im()(/)Im()( fSupnffnf

Notemos que 3

2es cota superior y además un posible supremo4, entonces demostremos que

3

2es supremo.

3

2

23

12

n

n

2 Preposición 1.3 Se desea probar que cierto número es un supremo o ínfimo, se debe escoger entre dos tipos de demostraciones la que ocupa la Preposición 1, y la que recurre al épsilon. Cada ejercicio tiene solo una manera de resolverse, por ello se debe tener extremo cuidado al elegir el tipo de demostración. El secreto está en analizar si el supremo o ínfimo es un elemento con n finito (f(n) con n finito, se ocupa preposición 1, 2), o si se trabaja con n infinito (ocupar demostración por épsilon, como se ve en el siguiente ejemplo).4 ¿Por qué es un posible supremo? Como la función es creciente )1()( nfnf al hacer crecer n, los

valores que dirigen la ecuación son el 2n en el numerador y el 3n en el denominador, cuando los n son

grandes se simplifican y se intuye el posible supremo, en este caso 3

2.

El ejercicio que se expone a continuación no utiliza la preposición 1, sino que recurre a la demostración por . Esta demostración se ocupa cuando se escoge un n lo suficientemente grande que nos asegura la convergencia a nuestro supremo o ínfimo.

Definición de Supremo: Para cada 0 existe Aa / )(ASufaDefinición de Ínfimo: Para cada 0 existe )(/ AInfaAa


3

2

9

1

23

13

233

4212

233

212

3

2

23

12

n

n

nnn

nn

n

n

Entonces existe por “Propiedad Arquimediana”, ,3

2

9

1

N con .0 N

3

2

23

12

233

212

233

4212

23

13

3

2

9

1

N

N

NN

NNN

N

N

3

2))(Im(

))(Im()(/)Im()(

fSup

fSupNffNf

b) Sea :f definida por1000

)(

n

nnf . En caso que exista, conjeture el valor del

))(Im( fSup , y demuestre que tu conjetura es correcta.

10001

1)1(

1000)(

1003

3)3(

1002

2)2(

1001

1)1(

n

nnf

n

nnffff

Notemos que si 1n se tiene que )1()( nfnf .

Propiedad Arquimediana, siempre es posible encontrar un RN , con . RN


Nuestro supremo tentativo es el 1, ya que la función es creciente para todo n y los valores que dirigen la ecuación son el n en el numerador y el n en el denominador, cuando los n son grandes se simplifican y se intuye el posible supremo, en este caso1.

Apliquemos Definición de Supremo:

Para cada 0 existe ))(Im()(/)Im()( fSupnffnf

Para nuestro caso particular, “para cada 0 existe

11000

/)Im()(n

nfnf ”

10001000

10001000

10001000

10001

11000

n

n

nnn

nnn

n

Entonces existe por “Propiedad Arquimediana”, ,10001000

N con .0 N

11000

10001

10001000

10001000

10001000

N

N

NN

NNN

N

N

1))(Im(

))(Im()(/)Im()(

fSup

fSupNffNf


METODOLOGÍA (Supremos e Ínfimos):

Caso1: Demostrar diciendo que si s es cota superior de A y además s pertenece a A, implica que s es Máximo y Supremo de A (Preposición 2 en el caso del ínfimo)

1. Analizar elemento de la )Im( f , para los primeros números naturales.2. Encontrar un posible Supremo, con n finito. (Encontrar un posible Ínfimo, con un n

finito)3. Demostrar que es cota superior. (Demostrar que es cota inferior)4. Aplicar Preposición 1. (Aplicar Preposición 2)

Caso 2: Demostrar usando definición por épsilon del supremo “para cada 0 existe Aa / )(ASufa ”. (“para cada 0 existe )(/ AInfaAa ”)

1. Analizar la convergencia de la función cuando la n crece.2. Encontrar un posible Supremo, con n infinito. (Encontrar un posible Ínfimo, con un

n infinito)3. Despejar la n de la definición de supremo.4. Probar que existe un N tal que se cumpla la definición de supremo, aplicando

la propiedad arquimediana.5. Reemplazar la n despejado por N de la propiedad arquimediana.6. Devolverse y formar nuevamente la definición de Supremo.7. Concluir que el Supremo tentativo, es el Supremo.

Partiremos por dar una serie de ejemplos tipos (de supremos e ínfimos).


6. Si BA y B es acotado superiormente ¿Es cierto que )()( BSupASup ?

Solución:

Ma para todo Aa , pues B es acotado superiormente. A es acotado superiormente.

p.d. )()( BSupASup si BA

)(BSup , es cota superior de A

)(ASup , es la menor de las cotas superiores de A.

)()( BSupASup

7. Si BA y A es acotado inferiormente ¿Es cierto que ?)()( BInfAInf

Solución:

Diciendo que A es acotado inferiormente, no podemos asegurar B tenga cota inferior, al no tener cota inferior no podemos aplicar el Teorema de Ínfimo (Me refiero a teorema del ínfimo, porque es una consecuencia del axioma de supremo).

8. Si A es acotado superiormente, defina AdeerioraesccC __sup_cot__/el cual es un conjunto acotado inferiormente (¿Por qué?). ¿Es cierto que ?)()( ASupCInf

Solución:

(¿Por qué?)Al ser C cota superior de A, AaCc , tal que ac .Implica que todo Aa es cota inferir de C C es acotado inferiormente.

p.d. )()( ASupCInf

/)( sASup as CsAa _, , luego cs Cc (o sea, para todo c cota superior de A)

)(CMins , pues Cs)()inf()( ASupCCMins

)()inf( ASupC


9. Si BA, , tales que ba Aa , Bb . ¿Es cierto que BbbASup )( ?

Solución:

*ab tal que Aa * para todo .Bb

B es acotado inferiormente.

B tiene ínfimo

Luego, A es acotado superiormente (pues B tiene ínfimo) A tiene supremo.

bASup )( , para todo Bb , pues todo AaBb . Luego b es cota superior de A.

Ab sup

10. Si BA, , tales que ba , Aa , Bb . Además para cada 0 existe a en A y b en B tales que ab , entonces ¿es cierto que )inf()( BaSup ?

Solución:

*ab tal que Aa * para todo .Bb

B es acotado inferiormente.

B tiene ínfimo. que para cada 02

existe )(

2/ BInfbBb

(1)

Ahora, ab * tal que Bb * para todo .Aa

A es acotado superiormente.

A tiene Supremo. que para cada 02

existe )(

2/ ASup

εaAa

(2)

Luego, restando (1)-(2) que para cada 0 existe

)()(/, ASupBInfabBbAa .

Citando enunciado “para cada 0 existe a en A y b en B tales que ab ”

)()(

0)()(

ASupBInf

ASupBInf


12. ¿Es cierto que todo conjunto no vació de números racionales, acotado superiormente tiene su supremo en Q?

13. Para A , defina AaaA / . ¿Es cierto que A es acotado superiormente si y solamente si –A es acotado inferiormente? ¿Es cierto que )()( ASupAInf ?

Por demostrar que “si A es acotado superiormente -A es acotado inferiormente.”

Luego, A es acotado superiormente Aama , . (3)Si multiplicamos (3) por -1, tenemos Aama , -A es acotado inferiormente.

Por demostrar que “si -A es acotado inferiormente A es acotado superiormente.”Luego, -A es acotado inferiormente Aama , (4)

Si multiplicamos (4) por -1, tenemos Aama , eso que A es acotado superiormente.

¿Es cierto que )()( ASupAInf ?Para cada 0ε existe εASupaAa )(/ (5)Si multiplicamos (5) por -1, tenemos “para cada 0ε existe εASupaAa )(/ ”

Esa es la definición de ínfimo, luego )()( ASupAInf .

14. Para BA, , no vacíos, .,/ BbAabaBA ¿Es cierto que A y B son acotados superiormente si y solamente si A+B lo es? ¿Es cierto que el supremo de

)()()( BSupASupBASup ? Si su respuesta es negativa agregue condiciones para asegurar la igualdad.

Demostremos primero que si A y B son acotados superiormente, esto implica que A + B es acotado superiormente.

Si A es acotado superiormente existe 1M , tal que A.a ,1Ma

Si B es acotado superiormente existe 2M , tal que B.b ,2Mb

Luego, al sumar las dos definiciones.

A + B es acotado superiormente, pues existe 2M1M , tal que

AaBb ,21 MMba


Ahora demostremos que si A+B es acotado superiormente, entonces A y B son acotados superiormente.Si A + B es acotado superiormente, entonces existe M , tal que AaBb ,Mba

Es fácil darse cuenta que Aa ,Ma y Bb ,Mb .

De esto se concluye que A y B son acotados superiormente.

¿Es cierto que el supremo de )()()( BSupASupBASup ?

Definamos lo siguiente:αASup )(βBSup )(

Por demostrar que para todo 0ε existe εβαbaBAba /

Definición de supremo,

- Para cada 02

existe α

εaAa

2/

- Para cada 02

existe β

εbBb

2/

Luego, sumando las dos definiciones,

Para cada 0ε existe εβαbaBAba /

)()()(

)sup(

BASupBSupASup

BAβα

15. Encuentre supremos e ínfimos, si existen, de

n

n

nA /

1

Apliquemos igualdad anterior )()()( DSupCSupDCSup

n

nA /

11 ,

n

nDnCDCA /

1/1

211)(

)(11

ASup

DSupCSupDCSup

Aplicando igualdad lógica )()()( DInfCInfDCInf


101)(

)(01

ASup

DInfCInfDCInf

16. Sea x , fijo. Defina xkZkAx / el cual es acotado superiormente (¿por

qué?). Denote el supremo de xA por xASup x )( . A ese número le llamaremos la parte

entera de x.

kx * tal que ,_* fijox para todo .Zk

B es acotado superiormente.

a) Muestre que Zx .

b) Muestre que si Zx entonces xx .

c) ¿Es cierto que zxzx ?

Escojamos 7,3x e 4,2y , tendremos

56

231,6

4,27,34,27,3

zxzx

d) Es cierto que cualquier numero entero se puede escribir de la forma

2

1nn , para

un único n ?

e) ¿Es cierto que xnxn , para cualquier valor de n y de x ?

Documents

Ejercicios Resueltos de La Guia de Supremos (1)