EJERCICIOS RESUELTOS DE MATEMATICAS N° 3

8/6/2019 EJERCICIOS RESUELTOS DE MATEMATICAS N 3

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UNIVERSITARIA AGUSTINIANA

ORDEN DE AGUSTINOS RECOLETOS

EJERCICIOS RESUELTOS DE MATEMATICAS N 3.

1. Hallar la ecuacin de la recta que pasa por el punto de interseccin de lasrecta 3x 2y + 10 = 0 y 4x + 3y 7 = 0 y por el punto (2, 1).

Rta:

Para encontrar el punto de intercepcin de las dos rectas las igualamos yencontramos los valores de cada variable, as:

0175

07341023

7341023

0734

01023

yx

yxyx

yxyx

yx

yx

Despejamos una variable:

175

0175

yx

yx

Reemplazamos dicha variable en la primera ecuacin:


2/26



17

61

611706117

010251150102)175(3

17501023

y

yy

yyyy

yxyx

Ahora reemplazamos el valor de yen la primera ecuacin para encontrar el

valor de la otra variable:


3/26



17

16

3

1

17

48

17

483

017

483010

17

1223

01017

6123

17

6101023

x

xx

xx

x

yyx

Entonces el punto de intercepcin de las dos rectas es:

17

61,

17

16

17

61

17

16

P

yx

La ecuacin de la recta es:

bmxy


4/26



Hallamos la pendiente m

2522

50

44

17

5017

44

17

162

17

611

1,217

61,

17

16

0

0

21

0

0

m

mmm

xx

yym

PPxx

yym

Ahora vamos a encontrar el punto de corte de la recta con el eje y.

25

69

25

441

25

44

1)2(25

22

1

bb

bb

mxyb


5/26



Entonces la ecuacin de la recta que pasa por el punto de interseccin de lasrecta 3x 2y + 10 = 0 y 4x + 3y 7 = 0 y por el punto (2, 1) es:

25

69

25

22 xy

2. Hallar la ecuacin de la recta que pasa por (2,3) y cuya abscisa en el origen

es el doble de la ordenada en el origen.

Rta:

xy 2 La abscisa en el origen y la ordenada en el origen son cero.

)0,0()3,2(21 PP


bmxy

Hallamos la pendiente m


6/26



2

3

2

3

20

30

0,03,2 210

0

mm

m

PP

xx

yym

Ahora vamos a encontrar el punto de corte de la recta con el eje y.

0)3(3

2

63)2(

2

33

bb

bb

mxyb

Entonces la ecuacin de la recta que pasa por (2,3) y cuya abscisa en el origen esel doble de la ordenada en el origen, es:

xy

2

3

3. Hallar la ecuacin de la recta:

a) Que pasa por (-4,3) y tiene pendiente .

b) Que pasa por (0,5) y m = -2


7/26


8/26



Rta:

2)5,0(1 mP La ecuacin de la recta es:

bmxy Ahora vamos a encontrar el punto de corte de la recta con el eje y.

5

05)0)(2(5

b

bbmxyb

Entonces la ecuacin de la recta que pasa por (-4,3) y tiene pendiente ., es:

52 xy

4. Hallar la ecuacin de la recta perpendicular a la recta 4x + y 1 = 0 que

pasa por el punto de interseccin de 2x 5y + 3 = 0 y x 3y 7 = 0.

Rta:

Para encontrar el punto de intercepcin de las dos rectas las igualamos y

encontramos los valores de cada variable, as:


9/26



0102

073352

73352073

0352

yx

yxyx

yxyxyx

yx

Despejamos una variable:

102

0102

yx

yx

Reemplazamos dicha variable en la primera ecuacin:

17017

035204

035)102(2

1020352

yy

yy

yy

yxyx

Ahora reemplazamos el valor de yen la primera ecuacin para encontrar el

valor de la otra variable:


10/26



44

2

88882

08820385203)17(52

170352

x

xx

xxx

yyx

Entonces el punto de intercepcin de las dos rectas es:

17,441744

P

yx

La recta es perpendicular a la recta 4x + y 1 = 0, entonces hallamos la

pendiente de sta recta y hallamos la pendiente de su recta perpendicular:


11/26



4

1

4

114

1414

014

2

22

211

m

mm

mmmxy

yx


bmxy Ahora vamos a encontrar el punto de corte de la recta con el eje y.

6)11(17

4

4417)44(

4

117

17,44

bb

bb

Pmxyb

Entonces la ecuacin de la recta perpendicular a la recta 4x + y

1 = 0 que pasapor el punto de interseccin de 2x 5y + 3 = 0 y x 3y 7 = 0, es:

64

1 xy


12/26



5. Hallar la ecuacin de la circunferencia:

a) De centro (3,-1) y R =5

b) De centro en el punto (4,-1) y pasa por (-1,3)

Rta:

a) De centro (3,-1) y R =5, la ecuacin cannica de la circunferencia es la

siguiente:

.),(

)()( 222

centrokh

rkyhx

25)1()3(

5)1()3(

5y)1,3(),(

)()(

22

222

222

yx

yx

rkh

rkyhx

La ecuacin de la circunferencia es: 25)1()3(22 yx

b) De centro en el punto (4,-1) y pasa por (-1,3), la ecuacin cannica de la

circunferencia es la siguiente:


13/26



.),(

)()( 222

centrokh

rkyhx

Hallamos el valor del radio:

41

1625

)4()5()4(]14[

)31()]1(4[

2

2

222

222

222

r

r

rr

r

41)1()4(

41y)1,4(),(

)()(

22

2

222

yx

rkh

rkyhx

La ecuacin de la circunferencia es: 41)1()4( 22 yx


14/26



6. Hallar la ecuacin de la elipse y dibujar la grfica:

a) Centro en el origen, un foco en el punto (2,0) y un vrtice en el punto (5,0).

b) Centro en el origen, un foco en el punto (-4,0) y semi eje menor 3.

Rta:

a) Centro en el origen, un foco en el punto (2,0) y un vrtice en el punto (5,0).

La ecuacin cannica de la elipse cuyo centro est en el origen, es la siguiente:

12

2

2

2

b

y

a

x


15/26



21425

252'2

5'5

22

222222

bb

bcab

cc

aa

12125

1

22

2

2

2

2

yxb

y

a

x

La ecuacin de la elipse es:

12125

22

yx

Su grfica es:


16/26



b) Centro en el origen, un foco en el punto (-4,0) y semi eje menor 3.

La ecuacin cannica de la elipse cuyo centro est en el origen, es la siguiente:

12

2

2

2

b

y

a

x

25169

43

4'4

3'3

22

222222

aa

acba

cc

bb

La ecuacin de la elipse es: 1925

22

yx

Su grfica es:


17/26



8. Dada la ecuacin de la elipse 25x2 + 4y2 = 100. Determinar:

a) Centro. b) Vrtice c) Focos d) Extremos del eje menor e) Grafica

Rta:

a) Centro.

1254

100

100

100

4

100

25

100425

22

22

22

yx

yx

yx

La ecuacin de la elipse es:1

254

22

yx

).0,0(),(

15

)0(

2

)0(

1)()(

2

2

2

2

2

2

2

2

centrokh

yx

b

ky

a

hx


18/26



Lo que nos indica que el centro est en el origen del plano cartesiano.

b) Vrtice.

242

aa

vrticea

Entonces un vrtice est en:

)0,2(

A

vrticeA

5252

bb

vrticeb

El otro vrtice est en:

)5,0(

B

vrticeB

c) Focos.


19/26


20/26



e) Grafica

9. Hallar la ecuacin de la hiprbola cuyos vrtices son V1 (0,-2); V2 (0,2) y focos

F1 (0,-5) y F2 (0,5).

Rta:

De acuerdo a los datos suministrados vemos que los vrtices y los focos estnsobre el eje yporque la coordenada en xes cero, la ecuacin cannica de la

hiprbola cuyo centro est en el origen y tiene el eje transverso vertical, es la

siguiente:

12

2

2

2

b

x

a

y

Las coordenadas de los vrtices corresponden a:

),0( aV Las coordenadas de los focos corresponden a:


21/26



),0( cF

5y2

)5,0(y)2,0( 22

ca

VV

Tenemos que hallar b.

bac 222

21

42525

2

2222

222

b

bb

acb

Con stos datos ya podemos escribir la ecuacin de la hiprbola que es la

siguiente:

1214

22

xy

10. Hallar las coordenadas de los focos y de los vrtices de cada una de las

siguientes hiprbolas:

a.1

1215

22

xy


22/26



b.

1

254

22

xy

Rta:

a. De acuerdo a los datos suministrados vemos que los vrtices y los focos

estn sobre el eje y ya que no hay desfasamiento en x, es decir, la

hiprbola tiene centro en el origen de coordenadas cartesianas, la ecuacin

cannica de la hiprbola cuyo centro est en el origen y tiene el ejetransverso vertical, es la siguiente:

12

2

2

2

b

x

a

y

1

1215

22

xy

Las coordenadas de los vrtices corresponden a:

),0( aV Las coordenadas de los focos corresponden a:

),0( cF Tenemos los valores de ay b, luego nos falta averiguar c.


23/26



27

271215

12y15

22

22

222

c

cc

ba

bac

Con stos datos ya podemos escribir las coordenadas de los focos y de los

vrtices que son las siguientes:

)15,0(

)15,0(

),0(

2

1

V

V

aV

)27,0(

)27,0(

),0(

2

1

F

F

cF

11. Hallar la ecuacin de una parbola con V (0,0) y abierta hacia la izquierda, si

pasa por (-5,7).

Rta:

De acuerdo a los datos suministrados vemos que el vrtice est en el origen del

plano cartesiano y si abre hacia la izquierda, la ecuacin cannica es la siguiente:


24/26



Pxy 42

Como las ramas abren hacia la izquierda, el eje de simetra es horizontal, luego la

ecuacin es de la forma Pxy 42 : Para 0P . Como la curva pasa

por el punto (-5, 7), ste satisface la ecuacin. Entonces:

20

49

20

7720

207)5(47

4

22

22

2

PPP

PP

Pxy

Efectivamente vemos que 0P .

Por consiguiente la ecuacin es de la forma:

xyxy

xyPxy

5

49

20

196

)20

49(44

22

22

La ecuacin de una parbola con V (0,0) y abierta hacia la izquierda, si pasa por (-

5,7) es:

xy5

492


25/26



12. Hallar la ecuacin de una parbola y de su directriz cuando V (4,-1) y F (4,5).

Rta:

De acuerdo a los datos suministrados vemos que el vrtice no est en el origen

del plano cartesiano y abre hacia la arriba ya que el eje de simetra est en x = 4y

la coordenada del fofo en las ordenadas es mayor que la coordenada en ese

mismo eje del vrtice, la ecuacin cannica para ste caso donde 0P y elvrtice no est en el origen, es la siguiente:

)(4)( 2 kyPhx

1y4

)1,4(

),(

kh

V

khV

Reemplazando en la ecuacin nos queda:

)1(4)4(

))1((4)4(

)(4)(

2

2

2

yPx

yPx

kyPhx

5

)5,4(),4(

P

FPF


26/26



Reemplazamos a Pen la ecuacin cannica:

)1(20)4(

)1)(5(4)4()1(4)4(

2

2

2

yx

yxyPx

La ecuacin de una parbola es:

)1(20)4( 2 yx

Para hallar la directriz sabemos que la directriz yes:

5

y

Py

Entonces la directriz de sta parbola pasa por y = -5.

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