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ANALISIS MATEMATICO UNACH 2013 Quinto Semestre Página 1 DERIVADAS (1) Derivada de una constante K K x f ) ( 0 ) ´( x F LA DERIVADA DE UNA CONSTANTE es cero. Ejercicio nº 1) Sol: Ejercicio nº 2) Sol: Ejercicio nº 3) Sol: Ejercicio nº 4) Sol: Ejercicio nº 5) Sol: Ejercicio nº 6) Sol: Derivada de una función potencial: Forma simple r x x f r ) ( 1 . ) ´( r x r x f LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN POTENCIAL es igual al exponente por la variable elevado a una unidad menos. Ejercicio nº 7) Sol: Ejercicio nº 8) Sol: Ejercicio nº 9) Sol: Ejercicio nº 10) Sol: Ejercicio nº 11) Sol: Ejercicio nº 12) Sol:

Ejercicios resueltos derivadas

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Page 1: Ejercicios resueltos derivadas

ANALISIS MATEMATICO UNACH 2013

Quinto Semestre Página 1

DERIVADAS (1)

Derivada de una constante

KKxf )( 0)´( xF

LA DERIVADA DE UNA CONSTANTE es cero.

Ejercicio nº 1) Sol:

Ejercicio nº 2) Sol:

Ejercicio nº 3) Sol:

Ejercicio nº 4) Sol:

Ejercicio nº 5) Sol:

Ejercicio nº 6) Sol:

Derivada de una función potencial: Forma simple

rxxf r)( 1.)´( rxrxf

LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN POTENCIAL es igual al exponente por la

variable elevado a una unidad menos.

Ejercicio nº 7) Sol:

Ejercicio nº 8) Sol:

Ejercicio nº 9)

Sol:

Ejercicio nº 10) Sol:

Ejercicio nº 11)

Sol:

Ejercicio nº 12) Sol:

Page 2: Ejercicios resueltos derivadas

ANALISIS MATEMATICO UNACH 2013

Quinto Semestre Página 2

Ejercicio nº 13)

Sol:

Ejercicio nº 14)

Sol:

Ejercicio nº 15)

Sol:

Ejercicio nº 16)

Sol:

Ejercicio nº 17)

Sol:

Ejercicio nº 18)

Sol:

Ejercicio nº 19)

Sol:

Ejercicio nº 20)

Sol:

Ejercicio nº 21)

Sol:

Page 3: Ejercicios resueltos derivadas

ANALISIS MATEMATICO UNACH 2013

Quinto Semestre Página 3

Derivada de una función logarítmica: Forma simple

xxf ln)( x

xf1

)´(

Ejercicio nº 22) Sol:

Derivada de una función exponencial con base e: Forma simple

xexf )( xexf )´(

Ejercicio nº 23) Sol:

Derivada de una función exponencial con base distinta del número e:

Forma simple

xaxf )( aaxf x ln)´(

Ejercicio nº 24) Sol:

Ejercicio nº 25) Sol:

Ejercicio nº 26) Sol:

Ejercicio nº 27) Sol:

Ejercicio nº 28) Sol:

Derivada de una función trigonométrica tipo seno

xsenxf )( xxf cos)´´(

Ejercicio nº 29) Sol:

Page 4: Ejercicios resueltos derivadas

ANALISIS MATEMATICO UNACH 2013

Quinto Semestre Página 4

Derivada de una función trigonométrica tipo coseno

xxf cos)( xsenxf )´(

Ejercicio nº 30)

Derivada de una función trigonométrica tipo tangente: Forma simple

xtgxf )( x

xxtgxf2

22

cos

1sec1)´(

Ejercicio nº 31)

Derivada de una función trigonométrica tipo arco seno: Forma simple

xsenarcxf )( 21

1)´(

xxf

Ejercicio nº 32) Sol:

Derivada de una función trigonométrica tipo arco

tangente: Forma simple

xtgarcxf )( 21

1)´(

xxf

Ejercicio nº 33) Sol:

Page 5: Ejercicios resueltos derivadas

ANALISIS MATEMATICO UNACH 2013

Quinto Semestre Página 5

DERIVADAS (2)

)(. xfky )´(.´ xfky

LA DERIVADA DE UNA CONSTANTE POR UNA FUNCIÓN es igual a la

constante por la derivada de la función

Derivada de una función potencial: Forma simple

Ejercicio nº 1) Sol:

Ejercicio nº 2) Sol:

Ejercicio nº 3) Sol:

Ejercicio nº 4) Sol:

Ejercicio nº 5) Sol:

Ejercicio nº 6) Sol:

Ejercicio nº 7) Sol:

Ejercicio nº 8) Sol:

POTENCIAS

Sigue recordando:

Ejercicio nº 9)

Sol:

Page 6: Ejercicios resueltos derivadas

ANALISIS MATEMATICO UNACH 2013

Quinto Semestre Página 6

Ejercicio nº 10)

Sol:

Ejercicio nº 11) Sol:

Ejercicio nº 12) Sol:

Ejercicio nº 13) Sol:

Ejercicio nº 14) Sol:

Ejercicio nº 15) Sol:

Ejercicio nº 16) Sol:

Ejercicio nº 17) Sol:

Ejercicio nº 18) Sol:

Ejercicio nº 19) Sol:

Ejercicio nº 20) Sol:

Ejercicio nº 21) Sol:

Page 7: Ejercicios resueltos derivadas

ANALISIS MATEMATICO UNACH 2013

Quinto Semestre Página 7

)()( xgxfy )´()´(´ xgxfy

LA DERIVADA DE UNA SUMA DE FUNCIONES es igual a suma de las

derivadas de las funciones

Ejercicio nº 22) Sol

Ejercicio nº 23) Sol:

Ejercicio nº 24) Sol

Ejercicio nº 25) Sol:

Ejercicio nº 26) Sol:

Ejercicio nº 27) Sol:

Ejercicio nº 28) Sol:

Ejercicio nº 29) Sol:

)()( xgxfy )´().()().´(´ xgxfxgxfy

LA DERIVADA DE UN PRODUCTO DE FUNCIONES es igual a la derivada de

la primera función por la segunda función mas la primera función por la derivada

de la segunda función

Ejercicio nº 30)

Solución:

Ejercicio nº 31)

Solución:

Page 8: Ejercicios resueltos derivadas

ANALISIS MATEMATICO UNACH 2013

Quinto Semestre Página 8

Ejercicio nº 32)

Solución:

Ejercicio nº 33)

Solución:

)(

)(

xg

xfy

)(

)´().()´().(´

2 xg

xgxfxfxgy

LA DERIVADA DE UN COCIENTE DE FUNCIONES es igual a la derivada de

la función del numerador por la función del denominador menos la función del

numerador por la derivada de la función del denominador, dividido todo ello por

el denominador al cuadrado

Ejercicio nº 34)

Solución:

Ejercicio nº 35)

Solución:

Ejercicio nº 36)

Page 9: Ejercicios resueltos derivadas

ANALISIS MATEMATICO UNACH 2013

Quinto Semestre Página 9

Solución:

Ejercicio nº 37)

Solución:

Ejercicio nº 38)

Solución:

Derivada de una función logarítmica: Forma simple: Recuerda:

xxf ln)( x

xf1

)´(

Ejercicio nº 39) Sol:

Ejercicio nº 40) Sol:

Page 10: Ejercicios resueltos derivadas

ANALISIS MATEMATICO UNACH 2013

Quinto Semestre Página 10

DERIVADAS (3)

AVISO

En las fórmulas de las derivadas que aparecen a continuación, cuando ponemos la letra , lo que

estamos representando es una función que depende de la variable x, y que realmente se debe

escribir

Derivada de una función logarítmica: Forma compuesta simple

xuy ln u

uy

´´

LA DERIVADA DEL LOGARITMO NEPERIANO DE UNA FUNCIÓN DE x es

igual a la derivada de la función de x dividida entre dicha función

Ejercicio nº 1) Sol:

Ejercicio nº 2) Sol:

Ejercicio nº 3) Sol:

Ejercicio nº 4) Sol:

Ejercicio nº 5) Sol:

Ejercicio nº 6) Sol:

Page 11: Ejercicios resueltos derivadas

ANALISIS MATEMATICO UNACH 2013

Quinto Semestre Página 11

Ejercicio nº 7) Sol:

LOGARITMOS

Recuerda de la ESO:

El LOGARITMO DE “a” ELEVADO A “b” es igual al exponente b multiplicado

por el logaritmo de a

Ejercicio nº 8) Sol:

Ejercicio nº 9)

Sol:

Ejercicio nº 10)

Sol:

Ejercicio nº 11)

Sol:

Ejercicio nº 12)

Sol:

Page 12: Ejercicios resueltos derivadas

ANALISIS MATEMATICO UNACH 2013

Quinto Semestre Página 12

Ejercicio nº 13)

Sol:

Ejercicio nº 14)

Sol:

Ejercicio nº 15)

Sol:

Ejercicio nº 16)

Sol:

Ejercicio nº 17)

Sol:

Ejercicio nº 18)

Sol:

Ejercicio nº 19)

Page 13: Ejercicios resueltos derivadas

ANALISIS MATEMATICO UNACH 2013

Quinto Semestre Página 13

Sol:

Ejercicio nº 20)

Sol:

Ejercicio nº 21)

Sol:

Ejercicio nº 22)

Sol:

Ejercicio nº 23)

Sol:

Ejercicio nº 24)

Sol:

Ejercicio nº 25)

Sol:

Ejercicio nº 26)

Sol:

Page 14: Ejercicios resueltos derivadas

ANALISIS MATEMATICO UNACH 2013

Quinto Semestre Página 14

Ejercicio nº 27)

Sol:

Ejercicio nº 28)

Sol:

Ejercicio nº 29)

Solución:

Ejercicio nº 30)

Solución:

Ejercicio nº 31)

Solución:

Ejercicio nº 32)

Solución:

Ejercicio nº 33)

Solución:

Derivada de una función exponencial con base e: Forma compuesta

Page 15: Ejercicios resueltos derivadas

ANALISIS MATEMATICO UNACH 2013

Quinto Semestre Página 15

xuey xueuy ´

LA DERIVADA DEL NÚMERO “e” ELEVADO A UNA FUNCIÓN DE x es igual

al número “e” elevado a dicha función de x multiplicado por la derivada de dicha

función

Ejercicio nº 35) Sol:

Ejercicio nº 36) Sol:

Ejercicio nº 37) Sol:

Ejercicio nº 38) Sol:

Ejercicio nº 39) Sol:

Ejercicio nº 40) Sol:

DERIVADAS (4)

Derivada de una función potencial:

Ejercicio:

1142.)1(7)´(:

1)(

262

72

xxxxxfSolución

xxf

Ejercicio:

8/78/1

8

1)´(;:

)(

xxfxxfSolución

xxf

rxuyr

1´´

rxuuy

Page 16: Ejercicios resueltos derivadas

ANALISIS MATEMATICO UNACH 2013

Quinto Semestre Página 16

Ejercicio:

)24(2)12cos().12(412cos.2.12.2)´(:

12)( 2

xsenxxsenxxsenxfSolución

xsenxf

Ejercicio:

)(

)cos()24(cos.12..2)´(:

)(

23

2232

22

xxsen

xxxxxxxxsenxfSolución

xxsenxf

Ejercicio:

)15().15(cos1515.5.15cos.3)´(:

15cos)(

22

3

xsenxxsenxxfSolución

xxf

Ejercicio:

3

423

4

2

3/12

13

22.)1(

3

1)´(:

1)(

xxxxxfSolución

xxf

Ejercicio:

12sec1212sec2122

1)´(:

12)(

22

3

22

3

2/1

xxtgxxtgxfSolución

xtgxf

Ejercicio:

13cos13cot2

313cos313cot

2

1)´(:

13cot)(

22

1

22

1

2/1

xecxgxecxgxfSolución

xgxf

Ejercicio:

xecxgxecxgxfSolución

xgxf

22

3

22

3

2/1

coscot2

1coscot

2

1)´(:

cot)(

Derivada de una función logarítmica

Ejercicio

Page 17: Ejercicios resueltos derivadas

ANALISIS MATEMATICO UNACH 2013

Quinto Semestre Página 17

Solución:

Ejercicio

Solución:

Ejercicio

Solución:

Derivada de una función exponencial con base el número e

Ejercicio

Solución:

Ejercicio

Solución:

Ejercicio

Solución:

Ejercicio

Solución:

Derivada de una función exponencial con base distinta del número e

Ejercicio

Solución:

Ejercicio

Solución:

Ejercicio

Solución:

Page 18: Ejercicios resueltos derivadas

ANALISIS MATEMATICO UNACH 2013

Quinto Semestre Página 18

Derivada de una función trigonométrica tipo seno

Ejercicio:

22

2

)63cos().63(663cos363.2)´(:

63)(

xxxxxfSolución

xsenxf

Ejercicio:

6lncos.6

1)´(:

6ln)(

xx

xfSolución

xsenxf

Ejercicio:

tgxx

xfSolución

xtgsenxf

cos.cos

1)´(:

)(

2

Ejercicio:

xgxsen

xfSolución

xgsenxf

2cotcos.2

2)´(:

2cot)(

2

Ejercicio:

7272462

6272724

725

1cos1.170

2171cos.15)´(:

1)(

xxsenxx

xxxxsenxfSolución

xsenxf

Ejercicio:

xxLxx

xxfSolución

xxLsenxf

3cos.3

33)´(:

3)(

3

3

2

3

Ejercicio:

42424242

42

3cos3323cos.33.2)´(:

3)(

xxxx

x

LLxfSolución

senxf

Page 19: Ejercicios resueltos derivadas

ANALISIS MATEMATICO UNACH 2013

Quinto Semestre Página 19

Derivada de una función trigonométrica tipo coseno

Ejercicio:

222

22

22

63263663)63cos().63(12

63363263cos.2)´(:

63cos)(

xsenxxsenxx

xsenxxxfSolución

xxf

Ejercicio:

xxsenxx

xxfSolución

xxxf

2

2

2

4ln.4

18)´(:

4lncos)(

Ejercicio:

xsenxsenxsen

xsenxsenxsenxfSolución

xxf

coscoscos

coscoscos)´(:

coscoscos)(

Ejercicio:

33223

33

2.2323)´(:

2cos)(

xxsenxxxxfSolución

xxxf

Ejercicio:

6262352

5262623

624

11cos.148

2161.1cos4)´(:

1cos)(

xsenxxx

xxxsenxxfSolución

xxf

Ejercicio:

xxLsenxxLxx

x

xxLsenxx

xxxLxfSolución

xxLxf

33cos3

66

3.3

333cos2)´(:

3cos)(

33

3

2

3

3

23

32

Page 20: Ejercicios resueltos derivadas

ANALISIS MATEMATICO UNACH 2013

Quinto Semestre Página 20

Ejercicio:

4444

4

2222

2

33323.33.2)´(:

3cos)(

xxxx

x

senxLsenLxxfSolución

xf

Derivada de una función trigonométrica tipo tangente

Ejercicio

Solución:

Ejercicio

Solución:

Ejercicio

Solución:

Derivada de una función trigonométrica tipo cotangente

Ejercicio:

xecxgxfSolución

xgxf

2cos222cot1)´(:

2cot)(

22

Ejercicio:

726726

7

63cos632163cos3637)´(:

63cot)(

xecxxecxxfSolución

xgxf

Ejercicio:

223

2

cos2)´(:

cot)(

xecxxfSolución

xgxf

Derivada de una función trigonométrica tipo arco tangente

Ejercicio

Solución:

Ejercicio

Solución:

Ejercicio

Page 21: Ejercicios resueltos derivadas

ANALISIS MATEMATICO UNACH 2013

Quinto Semestre Página 21

Solución:

Derivada de una función trigonométrica tipo arco seno

Ejercicio

Solución:

Ejercicio

Solución:

Ejercicio

Solución: