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Ejercicios resueltos de ecuaciones diferenciales
Hugo Lombardo Flores
13 Abril 2011
1 Ecuaciones diferenciales de primer orden
1.1 Ecuaciones lineales y reducibles a estas.
1.
dy
dx+ 2y = 0
Definimos el factor integrante.
p(x) = 2factor integrante: e
´2dx= e2x
multiplicamos la ecuacion por el factor integrante.
e2x dydx + 2e2x = 0
el lado izquierdo de la ecuacion se reduce a:ddx [e
2xy] = 0separamos variables e integramos.
´ddx [e
2xy] = 0´dx+ c
e2xy = c
y = ce−2x
2.dy
dx= 3y
forma lineal.
dydx − 3y = 0
p(x) = −3
Factor integrante: e´−3dx=e−3x
multiplicamos por factor integrante.
1
e−3x dydx − 3e−3xy = 0
´dydx [e
−3xy = 0´dx+ c
e−3xy = c
y = ce3x
3.
3dy
dx+ 12y = 4
pasamos la ecuacion a la forma lineal.
dydx + 4y = 4
3
p(x) = 4
Factor integrante: e´4dx=e4x
e4x dydx + 4e4xy = 4
3e4x
´ddx [e
4xy] =´e4xdx+ c
e4xy = 14e
4x + c
y = 14 + ce−4x
4.y′ = 2y + x2 + 5
forma lineal
y′ − 2y = x2 + 5
Factor integrante: e´−2dx = e−2x
e−2xy′ − 2e−2xy = e−2xx2 + 5e−2x
´ddx [e
−2xy] =´e−2xx2 + 5
´e−2x + c
e−2xy = − 52e−2x − 1
4e−2x(2x2 + 2x+ 1) + C
y = −x2
2 −x2 −
14 + 5
2 + ce2x
5.ydx− 4(x+ y6)dy = 0
ydx = 4(x+ y6)dy
dxdy = 4(x+y6)
y ; dxdy = 4x
y + 4y6
y
2
de�nimos la forma lineal.
dxdy −
4xy = 4y5
Factor integrante: e−4´
1y dy; e−4 log(y); elog(y)
−4
; y−4 = 1y4
1y4
dxdy −
1y4
4xy = 1
y4 4y5
ddy [
1y4x] = 4y
´ddy [
1y4x] = 4
´ydy
1y4x = 2y2 + C
x = 2y6 + cy4
6.xy′+ y = ex
y′+ 1xy = ex
x
Factor integrante:
e´
1xdx = elog x = x
xy′+ xxy = xex
x
ddx [xy] = ex
Integramos:
´ddx [xy] =
´exdx+ c
xy = ex + c
y = exx−1 + cx−1
7.
xdy
dx+ y =
2
y2
dydx + y
x = 2xy2 ...(1)
hacemos la sustitucion: u = y1−ndonde n = −2
u = y1−(−2) = y3;u1/3 = y
Derivamos esta ultima.
13u−2/3 du
dx = dydx
3
Sustituimos en la ecuacion diferencial 1.
13u−2/3 du
dx + u1/3
x = 2(u1/3)2
x
Acomodamos a la forma lineal, multiplicando toda la ecuacion por 13u
2/3.
dudx + 3ux = 6
x
Esta es una ecuacion lineal. De�nimos el factor integrante.
e3´
1xdx = e3 log x = elog x
3
= x3
Multiplicamos por factor integrante.
x3 dudx + 3x3 ux = x3 6x
ddx [x
3u] = 6x2
integramos.
´ddx [x
3u] = 6´x2 + c
x3u = 2x3 + c
u = 2 + cx−3
Sustituimos u = y3
y3 = 2 + cx−3
8. y1/2 dydx + y3/2 = 1; condicion y(0) = 4
dydx + y3/2
y1/2= 1
y1/2↔ dy
dx + y = y−1/2
u = y1−n; n = −1/2; u = y1−(−1/2) = y3/2
u2/3 = y
23u−1/3 du
dx = dydx
Sustituimos.
23u−1/3 du
dx + u2/3 = (u2/3)−1/2
Multiplicamos la ecuacion por 23u
1/3
dudx + 3
2u = 32
La ecuacion se redujo a una lineal.Factor integrante: e
32
´dx = e
32x
4
e32x du
dx + e32x 3
2u = e32x 3
2
ddx [e
32xu] = 3
2e32x
´ddx [e
32xu] =
´32e
32xdx+ c
e32xu = e
32x + c
u = 1 + ce−32x
Sustituimos u = y3/2
y3/2 = 1 + ce−32x � Solucion general.
Ahora aplicamos las condiciones iniciales. y(0) = 4
43/2 = 1 + ce−32 0
8− 1 = cc = 7Sustutuimos el valor de c en la ecuacion general.
y3/2 = 1 + 7e−32x� Solucion particular.
9.
y′+ 2
xy = −2xy2
u = y1−n; donde n = 2entonces:u = y1−2; u = y−1; u−1 = y
−u−2 dudx = dy
dx
sustituimos en la ecuacion.
−u−2 dudx + 2
xu−1 = −2x(u−1)2
multiplicamos por −u2
dudx −
2xu = 2x
esta es una ecuacion lineal con p(x) = − 2x
obtenemos el factor integrante.
e−2´
1xdx = elog x
−2
= x−2
x−2 dudx − x
−2 2xu = x−22x
ddx [x
−2u] = 2x−1
integramos.
5
´ddx [x
−2u] =´2x−1dx+ c
x−2u = 2 log x+ c
u = 2x2 log x+ cx2
sustituimos u = y−1
y la solución es entonces:
y = 12x2 log x+cx2
10,y′+ xy = xy−1/2
sea. n = −1/2
u = y1−n; u = y1−(−1/2); u = y3/2; y = u2/3
dydx = 2
3u−1/3
sustituimos en la ecuacion.
23u−1/3 + xu2/3 = x(u2/3)−1/2
multiplicamos por 23u
1/3
dudx + 3
2xu = 32x � que es una ecuacion lineal con p(x) = 3
2x
Factor integrante:
e32
´xdx = e
34x
2
e34x
2 dudx + e
34x
2 32xu = e
34x
2 32x
ddxe
34x
2
u = 32xe
34x
2
dx+ c
´ddxe
34x
2
u = 32
´xe
34x
2
dx+ c
e34x
2
u = e34x
2
+ c
u = 1 + ce−34x
2
sustituimos u = y3/2
y3/2 = 1 + ce−34x
2
6
1.2 Ecuaciones exactas y reducibles a exactas.
1.(2x− 1)dx+ (3y + 1)dy = 0
M(x, y) = 2x− 1;N(x, y) = 3y + 1Comprobamos que la ecuacion sea exacta, esto es si secumple la condicion
∂M∂y = ∂N
∂x
∂M∂y = 0 ; ∂N∂x = 0
son iguales, por lo tanto la ecuacion es exacta.Ahora tomamos una funcion fx(x, y) =M(x, y)
fx(x, y) = 2x− 1
integramos respecto a x, y la constante de integracion sera una funcion g(y)
´∂M∂x = 2
´xdx−
´dx+ g(y)
f(x, y) = x2 − x+ g(y)... (1)
Esta funcion la derivamos con respecto de y.
∂f∂y = g′(y)
igualamos con N(x,y)
g′(y) = 3y + 1
integramos respecto a y
´g′(y) = 3
´ydy +
´dy + c
g(y) = 32y
2 + y + c
sustituimos la funcion en (1).
x2 − x+ 32y
2 + y = c
esta es una solucion en forma implicita de la ecuacion.2.
(seny − ysenx)dx+ (cosx+ xcosy − y)dy = 0
M(x, y) = seny − ysenx; N(x, y) = cosx+ xcosy − y
∂M∂y = cosy − senx
∂N∂x = −senx+ cosy
7
∂M∂y = ∂N
∂x por lo tanto es una ecuacion exacta.
tomamos fx(x, y) = seny − ysenxintegramos con respecto a x
´fx(x, y)dx =
´(seny − ysenx)dx
f(x, y) = xseny − y(−cosx) + g(y)...(1)
derivamos esta ecuacion respecto a y, e igualamos con N(x,y)
fy(x, y) = cosx+ xcosy + g′(y) = cosx+ xcosy − y
g′(y) = −y
integramos respecto de y
´g′(y) = −
´ydy + c
g(y) = − 12y
2 + c
sustituimos en (1)
f(x, y) = xseny + ycosx− 12y
2
nos queda la solucion implicita.
xseny + ycosx− 12y
2 = c
3.(3x2y + ey)dx = −(x3 + xey − 2y)dy
M(x, y) = 3x2y + ey; N(x, y) = x3 + xey − 2y
My(x, y) = 3x2 + ey
Nx(x, y) = 3x2 + ey
My(x, y) = Nx(x, y) entonces es una ecuacion diferencial exacta.Integramos fx(x, y) con respecto de x, y obtenemos una funcion g(y) de
constante de integracion.
f(x, y) =´(3x2y + ey)dx
f(x, y) = x3y + xey + g(y)... (1)
Derivamos con respecto de y (1) e igualamos con N(x,y)
fy(x, y) = x3 + xey + g′(y) = x3 + xey − 2y
g′(y) = −2y
8
Integramos respecto de y
g(y) = −2´ydy + c
g(y) = −y2 + c
sustituimos en (1)
x3y + xey − y2 = c... solucion implicita.
4.(6xy − 2y2)dx+ (3x2 − 4xy)dy = 0
My(x, y) = 6x− 4y, Nx(x, y) = 6x− 4y
la ecuacion es exacta.integramos fx(x, y) respecto a x.
f(x, y) =´(6xy − 2y2)dx
f(x, y) = 3x2y − 2xy2 + g(y)...(1)
derivamos respcto de y
fy(x, y) = 3x2 − 4xy + g′(y)
igualamos con N(x,y)
3x2 − 4xy + g′(y) = 3x2 − 4xy �g′(y) = 0
integramos respecto de y
g(y) = c
sutituimos en la ecuacion (1)
3x2y − 2xy2 = c
5.(2y − 2xy3 + 4x+ 6)dx+ (2x− 3x2y2 − 1)dy = 0
con la condicion y(−1) = 0
My = 2− 6xy2 = NX
Una vez comprobada que sea exacta.integramos fx(x, y) respecto a x
f(x, y) =´(2y − 2xy3 + 4x+ 6)dx
f(x, y) = 2xy − 3x2y3 + 2x2 + 6x+ g(y)...(1)
9
derivamos respecto a y:
fx(x, y) = 2x− 3x2y2 + g′(y)
igualamo con N(x, y)
2x− 3x2y2 + g′(y) = 2x− 3x2y2 − 1�g′(y) = −1
integramos:
g(y) = −y + c
sustituimos en (1)
2xy − x2y3 + 2x2 + 6x− y = c... solucion implicita.
para y(−1) = 0
2(−1)2 + 6(−1) = c
c = −4
entonces la solucion particular al caso y(-1)=0 es:
2xy − x2y3 + 2x2 + 6x− y = −4
6.(−xy sinx+ 2y cosx)dx+ 2x cosxdy = 0;
Use el factor integrante µ(x, y) = xy
My(x, y) = −x sinx+ 2 cosx
Nx(x, y) = −2x sinx+ 2 cosx
NX 6=My
la ecuacion es no exacta, en este ejemplo se nos dio el factor integrante, porlo tanto procedemos a multiplicar toda la ecuacion por el factor integrante.
xy(−xy sinx+ 2y cosx)dx+ xy(2x cosx)dy = 0
(−x2y2 sinx+ 2xy2 cosx)dx+ (2x2y cosx)dy = 0
comprobamos que esta ecuacion sea exacta.
My(x, y) = −2yx2 sinx+ 4xy cosx
NX(x, y) = 4xy cosx− 2x2y sinx
MY = NX por lo tanto esta ecuacion es exacta y la resolvemos como tal.
10
fx(x, y) = −x2y2 sinx+ 2xy2 cosx
integramos respecto a x:
f(x, y) =´(−x2y2 sinx+ 2xy2 cosx)dx
f(x, y) = x2y2 cosx+ g(y)...(1)
derivamos respecto a y:
fy(x, y) = 2x2y cosx+ g′(y)
igualamos con Nx
2x2y cosx+ g′(y) = 2x2y cosx
g′(y) = 0
integramos respecto a y:
g(y) = c
sustituimos en (1)
f(x, y) = x2y2 cosx+ c
2 Ecuaciones de orden superior
2.1 Ecuaciones diferenciales de orden superior reducibles
a primer orden.
1. y′′ = 2x2
Integramos ambos lados de la ecuacion:´y′′ = 2
´x2dx+ c
y′ = 23x
3 + c1
Volvemos a integrar:´y′ = 2
3
´(x3 + c1)dx+ c2
y = ( 23 )(14 )x
4 + xc1 + c2
Solucion:
y = 16x
4 + c1x+ c2
11
2. y′′′ = sen(kx)
Integramos ambos lados de la ecuacion:´y′′′ =
´sen(kx)dx+ c1
y′′ = −kcos(kx) + c1´y′′ = −k
´cos(kx)dx+ c1
´dx+ c2
y′ = −k2sen(kx) + xc1 + c2´y′ = −k2
´sen(kx)dx+ c1
´xdx+ c2
´dx+ c3
y = k3cos(kx) + 12c1x
2 + c2x+ c3
3. y′′′ = 1x
Integrando:´y′′′ =
´1xdx+ c1
y′′ = log x+ c1´y′′ =
´log xdx+ c1
´dx+ c2
y′ = x log x− x+ c1x+ c2´y′ =
´x log xdx−
´xdx+ c1
´xdx+ c2
´dx+ c3
y = x2
2 (log x− 12 )−
12x
2 + c112x
2 + c2x+ c3
4. y′′ = x+ sinx
Integrando:´y′′ =
´xdx+
´sinxdx+ c1
y′ = 12x
2 − cosx+ c1´y′ = 1
2
´x2dx−
´cosxdx+ c1
´dx+ c2
y = 16x
3 − sinx+ c1x+ c2
5. y′′′ = x sinx, y(0) = 0 y′(0) = 0 y′′(0) = 2
Resolvemos la ecuacion diferencial integrando tres veces:´y′′′ =
´x sinxdx+ c!
y′′ = sinx− x cosx+ c1´y′′ =
´sinxdx−
´x cosxdx+ c1
´dx+ c2
y′ = − cosx− (cosx+ x sinx) + c1x+ c2´y′ = −
´cosxdx−
´cosxdx−
´x sinxdx+ c1
´xdx+ c2
´dx+ c3
y = − sinx− sinx− (−x cosx+ sinx) + 12c1x
2 + c2x+ c3
y = −3 sinx+ x cosx+ 12c1x
2 + c2x+ c3
12
2.2 Reducibles a primer orden
1. xy′′+ y′ = 0
De�niendo:
p(x) = dydx�
dpdx = d2y
dx2
xp′+ p = 0
nos queda una ecuacion lineal homogenea de orden 1 de variablesseparables.
1xdx = − 1
pdp´1xdx = −
´1pdp+ c1
log x = − log p+ log c1
log x = log( c1p )
Aplicando exponencial a ambos lados de la ecuacion.
x = c1p
hacemos p(x) = dydx
x = c!dy/dx
x = c1dxdy
integrando:´1xdx = 1
c1
´dy + c2
log x = 1c1y + c2
y = c1 log x + c2. La constante de integracion conviene que tomevalor positivo.
2.(x− 1)y′′ − y′=0De�nimos:
p(x) = dydx�
dpdx = d2y
dx2
(x− 1)p′ − p = 0
Dividimos entre (x− 1)x−1x−1p′ −
1x−1p = 0
p′ − 1x−1p = 0
nos queda una ecuacion lineal homogenea.dpdx −
1x−1p = 0
dpdx = 1
x−1p
1pdp =
1x−1dx
integrando:´1pdp =
´1
x−1dx+ c1
13
log(p) = log(x− 1) + log(c1)
log(p) = log[c1(x− 1)]
p = c1(x− 1)
haciendo p = dydx
dydx = c1(x− 1)
dy = c1(x− 1)dx
integrando:´dy = c1
´(x− 1)dx+ c2
y = c112x
2 − x+ c2
3.
2.3 Ecuaciones lineales homogeneas.
1.y′′+ y′ − 2y = 0
Resolvemos la ecuacion caracteristica asociada.
m2 +m− 2 = 0
(m+ 2)(m− 1) = 0
m1 = −2 m2 = 1
Suponemos una solucion y = emx
y1 = e−2x
y2 = ex
y(x) = c1e−2x + c2e
x
2.y′′ − 2y′+ y = 0
Ecuacion caracteristica asoiada m2 − 2m+ 1 = 0
(m− 1)2 = 0
m1,2 = 1
solucion y = emx
y1 = ex
y2 = y1´e´p(y)dy
y21dx
y2 = ex´e2x
e2x dx
y2 = exx
solucion.
y(x) = c1ex + c2xe
x
3. 4y′′ − 8y′+ 5y = 0
14
Ecuacion caracteristica.
4m2 − 8m+ 5 = 0
m1,2 = 8±√64−808
m1,2 = 1± 12 i
solucion.
y = c1exei
12x + c2e
xe−i12x
y = ex(c1ei 12x + c2e
−i 12x)
y = ex(c1cos12x+ c2sen
12x)
4.3y′′ − 2y′ − 8y = 0
Ecuacion caracteristica:
3m2 − 2y − 8 = 0
(3m+ 4)(m− 2)
m1 = 2
m2 = − 43
Solucion propuesta de la forma, y = emx
y1 = e2x
y2 = −e− 43x
Solucion:
y(x) = c1e2x + c2e
43x
5.yv − 10y′′′+ 9y′ = 0
Ecuacion caracteristica.
m5 − 10m3 + 9m = 0
m(m4 − 10m2 + 9) = 0
m1 = 0 (m2 − 9)(m2 − 1) m2,3 = ±3 m4,5 = ±1Entonces tenemos las soluciones:
y1 = e0 = 1
y2 = e3x
y3 = e−3x
y4 = ex
y5 = e−x
Solucion:
y(x) = c1 + c2e3x + c3e
−3x + c4ex + c5e
x
6. y′′+ 4y′+ 3y = 0 y(0) = 2 y′(0) = −3Ecuacion caracteristica.
m2 + 4m+ 3 = 0
15
m1,2 = −4±√−36
2
m1,2 = −2± 3i
Solucion:
y(x) = e−2x(c1 cos 3x+ c2 sin 3x)
y′(x) = e−2x(−3c1 sin 3x+ 3c2 cos 3x)− 2e−2x(c1 cos 3x+ c2 sin 3x)
Resolveremos para los casos y(0) = 2 y y′(0) = −3 particularmente.
Para y(0) = 2
2 = e0(c1 cos 0 + c2 sin 0)
2 = c1
Para y′(0) = −3−3 = e0(−3c1 sin 0 + 3c2 cos 0)− 2e0(c1 cos 0 + c2 sin 0)
−3 = 3c2 − 2c1
−3 = 3c2 − 2(2)
−3 + 4 = 3c2
c2 = 13
Por lo tanto la solucion para el caso en general es:
y(x) = e−2x(2 cos 3x+ 13 sin 3x)
7. d4ydx4 − 7 d
4ydx2 − 18y = 0
Ecuacion caracteristica:
m4 − 7m2 − 18 = 0
2.4 Ecuaciones no homogeneas de segundo orden
2.4.1 Coe�cientes indeterminados.
1.y′′+ 3y′+ 2y = 6
Resolvemos la ecuacion homogenea asociada
yh = y′′+ 3y′+ 2y = 0
Ecuacion caracteristica:
m2 + 3m+ 2 = 0
(m− 1)(m− 2)
m1 = 1 m2 = 2
yh = c1ex + c2e
2x
Ahora resolvemos la parte no homogena suponiendo una solucionparticular.
16
en este caso la parte no homogenea es 6, lo que nos sugiere usemosuna solucion de la forma A
yp = A
y′p = 0
y′′p = 0
Sustituimos en la ecuacion original.
0 + 3(0) + 2A = 6
A = 3
Entonces la solucion es y(x) = yh + yp
y(x) = c1ex + c2e
2x + 3
2. y′′+ y = sinx
Resolvemos primer la ecuacion homogenea asociada.
y′′+ y = 0
La ecuacion caracteristica de esta ecuacion es.
m2 + 1 = 0
m2 = −1 m1,2 = ±√−1 m1,2 = α± βi donde α = 0 y β = 1
m1,2 = ±iyh = c1e
αx cosβx+ c2eαx sinβx
yh = c1 cosx+ c2 sinx
Ahora buscamos una solucion particular, para sinx nos proponenuna solucion de la forma A sinx+B cosx, sin embargo podemosobservar que esta ya es una solucion de la ecuacion homogeneaasociada y′′ + y = 0, entonces segun la regla de multiplicacionpara este caso, debemos multiplicar por xndonde n es el numerode enteros positivos que elimina la duplicacion.
yp = Ax sinx+Bx cosx
y′p = A sinx+Ax cosx+B cosx−Bx sinxy′′p = A cosx + A cosx − Ax sinx − B sinx − Bx cosx − B sinx =
2A cosx− 2B sinx−Ax sinx−Bx cosxSustituimos en la ecuacion original
2A cosx−2B sinx−Ax sinx−Bx cosx+Ax sinx+Bx cosx = sinx
2A cosx− 2B sinx = sinx
2A = 0 entonces A = 0
−2B = 1 entonces B = − 12
Sustituyendo
yp = − 12x cosx
17
y(x) = yh + yp
y(x) = c1 cosx+ c2 sinx− 12x cosx
3. y′′ − 10y′+ 25y = 30x+ 3
Resolvemos la ecuacuion homogenea asociada.
m2 − 10m+ 25 = 0
m1,2 = 5
yh = c1e5x + c2xe
5x
La solucion particular propuesta para 30x+ 3 es Ax+B
yp = Ax+B
y′p = A
y′′p = 0
sustituimos en la ecuacion
−10(A) + 25(Ax+B) = 30x+ 3
25A = 30...(1) entonces A = 65
25B − 10A = 3...(2)
25B − 10( 65 ) = 3
25B = 3 + 12
B = 35
yp =65x+ 3
5
y(x) = yh + yp
y(x) = c1e5x + c2xe
5x + 65x+ 3
5
4. 14y′′+ y′+ y = x2 − 2x
Resolvemos la ecuacion homogenea asociada.14y′′+ y′+ y = 014m
2 +m+ 1 = 0
m1,2 = −2yh = c1e
−2x + c2xe−2x
Ahora suponemos una solucion particular para el caso de f(x) =x2 − 2x
yp = Ax2 +Bx+ C
y′p = 2Ax+B
y′′p = 2A
Sustituimos en la ecuacion original.14 (2A) + 2Ax+B +Ax2 +Bx+ C = x2 − 2x12A+B +Ax2 + 2Ax+Bx+ C = x2 − 2x
18
A = 1
2A+B = 2
B = 2− 2 = 012A+B + C = 012A+ C = 0
C = − 12A = − 1
2
yp = x2 − 12
y(x) = yh + yp
y(x) = c1e−2x + c2xe
−2x + x2 − 12
5. y′′+ 3y = −48x2e3x
Se resuelve la parte homogenea.
y′′+3y=0m2 + 3 = 0
m1,2 =√−3 m1,2 =
√3i
yh = c1cos√3x+ c2sen
√3x
suponemos una solucion particular para −48x2e3x
yp = e3x(Ax2 +Bx+ C)
y′p = 3e3x(Ax2 +Bx+ C) + e3x(2Ax+B)
y′′p = 9e3x(Ax2 + Bx + C) + 3e3x(2Ax + B) + 3e3x(2Ax + B) +e3x(2A) = 9e3x(Ax2 +Bx+ C) + 3e3x(4Ax+ 2B) + e3x(2A)
Susituimos en la ecuacion.
9e3x(Ax2+Bx+C)+3e3x(4Ax+2B)+ e3x(2A)+9e3x(Ax2+Bx+C) + 3e3x(2Ax+B) = −48x2e3x
9e3xAx2+9e3xBx+9e3xC+12e3xAx+6e3xB+2e3xA+9e3xAx2+9e3xBx+ 9e3xC + 6e3xAx+ 3e3xB = −48x2e3x
9A+ 9A = −4818A = −48A = − 8
3
B = 0
C = 0
6.y′′ − y′ = −3y′′-y′=0m2 −m = 0
m(m− 1) = 0
m1 = 0 m2 = 1
19
yh = c1e0x + c2e
x = c1 + c2ex
En este caso podemos ver claramente que existe ya una solucion quees c1igual con −3
entonces por la regla de multiplicidad. la solucion propuesta yp = Ax
yp = Ax
y′p = A
y′′p = 0
Sustituyendo en la ecuacion.
0−A = −3 entonces, A = 3
yp = 3x
y(x) = yh + yp
y(x) = c1 + c2ex + 3x
7. y′′′ − 6y′′ = 3− cosxEcuacion homogenea asociada yh = y′′′ − 6y′′ = 0
m3 − 6m2 = 0
m2(m− 6) = 0
m1,2 = 0 m3 = 6
yh = c1 + c2x+ c3e6x
La solucion particular propuesta para 3 − cosx es yp1 = A yp2 =Bcosx + Csenxsin embargo en la solucion yp1 se repite la con-stante, entonces la multiplicamos por x de acuerdo a la ley demultiplicidad nos queda.yp1 = Ax2
yp = Ax2 +Bcosx+ Csenx
y′p = 2Ax−Bsenx+ Ccosx
y′′p = 2A−Bcosx− Csenxy′′′p = Bsenx− CcosxSusituyendo en la ecuacion original.
Bsenx− Ccosx− 12A+ 6Bcosx+ 6Csenx = 3− Cosx−12A = 3 ; A = − 1
4
6B − C = 1...(1)
6C +B = 0...(2)
Igualando 1 y 2
B = 637
C = 137
yp =12x
3 + 637cosx+ 1
37senx
y(x) = c1 + c2x+ c3e6x − 1
4x2 + 6
37cosx+ 137senx
20
9.y′′+ 2y′+ y = senx+ 3cos2x
yh = y′′+ 2y′+ y = 0
m2 + 2m+ 1 = 0
(m+ 1)2 = 0
m1,2 = −1yh = c1e
x + c2xex
Solucion particular
yp = Acosx+Bsenx+ Ccos2x+Dsen2x
y′p = −Asenx+Bcosx− 2Csen2x+ 2Dcos2x
y′′p = −Acosx−Bsenx− 4Ccos2x− 4Dsen2x
sustituyendo.
−Acosx−Bsenx−4Ccos2x−4Dsen2x−2Asenx+2Bcosx−4Csen2x+4Dcos2x+Acosx+Bsenx+Ccos2x+Dsen2x = senx+3cos2x
−3Ccos2x− 3Dsen2x− 2Asenx+2Bcosx− 4Csen2x+4Dcos2x =senx+ 3Cos2x
−3C + 4D = 3...(1)
−3D − 4C = 0...(2)
C = 925
D = 1225
−2A = 1 ; A = − 12
2B = 0 ; B = 0
y(x) = c1ex + c2xe
x − 12cosx+ 9
25cos2x+ 1225sen2x
2.5 Variacion de parametro.
1. y′′+ y = secxResolvemos la parte homogenea de la ecuacion esta es yh = y′′+ y = 0Para la ecuacion homogenea asociada, resolvemos la ecuacion caracteristica.
m2 + 1 = 0
m2 = −1
m1,2 =√−1 ; m1,2 = ±i
m1,2 = α± βi ; donde α = 0 β = 1
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