Ejercicios Resueltos Goldstein

FORMULACIÓN DE LAGRANGE

1. Considérese un sistema con N grados de libertad descrito por el conjunto de coordenadas generalizadas qi (i=1,...,N), cuyas energías cinética y potencial, T y V, vienen dadas por

( ) ( )i

N

iiii

N

ii qVVqqfT ∑∑

====

1

2

1 , &

Demuéstrese que las ecuaciones de Lagrange son separables, de modo que los distintos grados de libertad no están acoplados y redúzcase el problema a cuadraturas.

A partir de la lagrangiana, L = T − V, calculemos las derivadas

2 iii

fqqL

&&

=∂∂

2dd2

dd 2

iii

ii

i

fqqfq

qL

t&&&

&+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

dd

dd 2

i

ii

i

i

i qVq

qf

qL

−= &∂∂

Así pues la ecuación de Lagrange para cada grado de libertad qi es

0=dd2

dd 2

i

iiii

i

i

qVqfq

qf

++ &&&

que como vemos sólo depende del propio grado de libertad qi, de manera que los distintos grados de libertad están desacoplados y cada cual evoluciona independientemente de los demás. En particular, la energía contenida en cada grado de libertad

2iiii VqfE += &

se conserva constante durante la evolución como es fácil ver, pues

dd

dd 2

i

ii

i

i

i

i

qVq

qf

qE

+= &∂∂

2 iii

i fqqE

&&

=∂∂

resultando que

=2+dd

dd

dd

dd

dd

3iiii

i

ii

i

ii

i

ii

i

iii qqfqqV

qqf

tq

qE

tq

qE

tE

tE

&&&&&&

&+=++=

∂∂

∂∂

∂∂

0=2+dd

dd

= 2⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ ii

i

ii

i

ii qf

qV

qqf

q &&&&

3

Así pues, las energías Ei son constantes determinadas por las condiciones iniciales, , 00 , ii qq &

( ) ( ) 0200 iiiiii qVqqfE += &

de manera que la evolución de cada grado de libertad viene dada por la integral

tf

VEqq

t

i

iiii d

00 ∫−

±=−

----------------------------------------------

2. Un punto de masa M describe, en el plano 0XY, una curva dada por la ecuación y = f(x) cuando está sometida a un potencial que sólo depende de y. Si v0 es la proyección de la velocidad sobre el eje 0X, se pide:

a) hallar una expresión general del potencial en función de f.

b) Aplique la expresión obtenida en el apartado anterior al caso de que la ecuación de la curva sea ay2 = x3.

a) Sea V(y) el potencial pedido. La lagrangiana de la masa puntual será

( ) ( )yVyxML −+= 22

2&&

de donde se obtienen las ecuaciones de Lagrange

( )

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=

=

yVyM

t

xMt

dd

dd

0dd

&

&

Integrando dos veces la primera ecuación se obtiene que la proyección del movimiento sobre el eje 0X es un movimiento uniforme con velocidad 0vx =& . La integral de la segunda ecuación con respecto de y determina el potencial

∫−= yyMCV d &&

donde C es una constante arbitraria. Como por otra parte

( ) ( )

( ) 20

0

dd

vxfy

vxfxxxfy

′′=

′==

&&

&&

la expresión del potencial es

( ) yxfMvCV d 20 ∫ ′′−=

y, para realizar la integral, hay que sustituir . )(1 yfx −=

4

b) Para el caso particular en que la función es axy

3

= , la función inversa es

, de manera que ( ) 3/12ayx =

( )

( ) 3/13/24

34

3

23

−==′′

=′

yaax

xf

axxf

Sustituyendo en la ecuación del apartado anterior y realizando la integral se llega al resultado.

-------------------------------------------------

3. Considérese una transformación desde un sistema estacionario de ejes cartesianos Oxyz a otro Ox’y’z’ que gira con velocidad angular constante ω alrededor del eje Oz. Transforme la lagrangiana de una partícula considerada libre en el sistema Oxyz a la correspondiente en el sistema Ox’y’z’, e identifique en esta última los términos que corresponden a las fuerzas de Coriolis y centrífuga.

La transformación de Oxyz a Ox’y’z’ es:

txtyytytxx

ϖϖϖϖ

sin cossin cos′+′=

′−′=

La energía cinética de la partícula viene dada por:

)(~21)(~)(

21)(

21 222222222 yxmyxyxmzyxmzyxmT ′+′+′′−′′+′+′+′=++= ωω &&&&&&&&

La expresión que aparece en las ecuaciones de Lagrange puede considerarse como una fuerza ficticia que aparece debida a las peculiaridades del sistema de coordenadas. En nuestro caso:

iqT ∂∂ /

xmymxT ′+′=′∂

∂ 2~~ ωω &,

con una expresión similar para iyT ′∂∂ / (la correspondiente parcial con respecto a z’es nula). Los dos términos de la expresión anterior pueden identificarse como las componentes de la mitad de las fuerzas de Coriolis y centrífuga, respectivamente. La

otra mitad de la fuerza de Coriolis procede del término ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

∂∂

iqT

dtd

& de las ecuaciones

de Lagrange.

------------------------------------------

5

4. Una cuenta de masa m desliza sin rozamiento a lo largo de un alambre circular de radio a. El alambre, situado verticalmente en un campo gravitatorio, gira alrededor de su diámetro vertical con velocidad angular ω. Para una velocidad angular ω mayor que un cierto valor crítico ωc, la cuenta tiene un punto de equilibrio mecánico estable en una posición dada por un ángulo θ0 respecto de la vertical. Se pide:

a) Encontrar ωc y θ0 ;

b) Obtener las ecuaciones del movimiento para pequeñas oscilaciones alrededor de θ0 y encontrar su periodo.

a) La energía cinética de la cuenta y el Lagrangiano son:

2222 )sen (21

21 θωθ ammaT += & .

θθωθ cossin mgamamaL −+= 22222

21

21 &

donde θ es el ángulo que forma la posición de la masa con el eje vertical de giro, correspondiendo 0θ = con la partícula en la posición más baja en el alambre.

La ecuación de Lagrange nos lleva a:

0sen cos sen 2 =−+ θθωθθ aga &&

En el punto de equilibrio,

0=θ&& , g = aω 2 cos θ, ó.: ω 2 = g/(a cos θ).

Esta última ecuación tiene una solución para ω sólo si ω 2 ≥ g/a, con lo que la velocidad angular crítica es

ag

C =ω

y el ángulo de equilibrio es

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= 20 cos arc

ωθ

ag

b) Si la cuenta efectúa pequeñas oscilaciones alrededor de θ0, podemos describir el movimiento en términos de un pequeño parámetro ε = θ − θ0. La ecuación del movimiento se transforma en

0) (sen )( cos )(sen 002

0 =++−++ εθεθωεθε aga &&

6

Para pequeños valores de ε, 1 cosy sen ≈≈ εεε . Teniendo en cuenta esto y el valor obtenido de θ0, la ecuación anterior queda en

01 42

22 =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+ ε

ωωε

ag

&&

La frecuencia de oscilación será:

42

2

1ω

ωa

g−=Ω

---------------------------------------------

5. Un elemento diferencial de arco de una cierta superficie se puede poner de la forma

221

21

2 )( dqqadqds +=

Se pide:

a) La ecuación que cumplen las líneas geodésicas de la superficie

b) Demostrar que las curvas cte. 2 =q son geodésicas

c) ¿Qué dependencia con el tiempo tiene, en el caso contemplado en b), la coordenada ? (Nota: las geodésicas son las trayectorias que sigue un punto sobre la superficie en ausencia de toda fuerza).

1q

a) En ausencia de toda fuerza, y considerando m=1,

( )221

21 )(

21 qqaqTL && +==

La coordenada es cíclica; luego 2q

212

)( qqaCqT

&&

==∂∂ (1)

donde C es una constante. Por otra parte, la energía total:

( )221

21 )(

21 qqaqE && += (2)

es también una constante del movimiento. Eliminando dt de (1) y (2), se obtiene una ecuación diferencial entre las coordenadas y que es precisamente la ecuación de las geodésicas. Integrando dicha ecuación se obtiene:

1q 2q

∫⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −

=

)(1)(2

121

12

qaC

qaE

dqq

7

b) Las curvas , recorridas con la ley horaria cte. 2 =q EtqEq 2,2 11 ==& , son soluciones de las ecuaciones (1) y (2).

c) De acuerdo con lo visto en b), la coordenada evoluciona según un movimiento uniforme.

1q

-----------------------------------------------

6. Si el sistema solar estuviese sumergido en una nube esférica uniforme de partículas sólidas, los objetos en el sistema solar experimentarían una fuerza gravitatoria total que sería

brrkFr −−= 2

Podemos asumir que la fuerza extra debida a la presencia de la nube es débil )( 3rkb << . Encuentre la frecuencia de las oscilaciones radiales de una órbita

cuasicircular (ésta es una órbita con pequeñas desviaciones radiales de la órbita circular).

La ecuación de movimiento es:

drrdV

rm ef )(−=&&

Si la partícula está en una órbita circular de radio , se cumple: 0r

020

30

2

0

)(br

rk

mrl

drrdV

rr

ef −−=−=

Estamos interesado en perturbaciones alrededor de esta órbita circular. Si esta perturbación es pequeña, podemos expandir el potencial efectivo alrededor de , 0r

L+′′−+′−+= )()(21)()()()( 0

20000 rVrrrVrrrVrV efefefef

Si utilizamos esta expansión en la expresión del lagrangiano, encontramos:

),()(21

21

02

02 rVrrrmL ef′′−−= &

donde hemos eliminado el término constante. La expresión anterior es el lagrangiano de un oscilador armónico, de frecuencia

mrVef )( 02

′′=ω

Diferenciando dos veces el potencial efectivo encontramos, para la frecuencia de las pequeñas oscilaciones radiales alrededor de la órbita circular,

8

1 2

30

k bmr m

ω⎛ ⎞

= +⎜ ⎟⎝ ⎠

-----------------------------------------------

7. Una cuenta de masa m puede deslizar sin rozamiento a lo largo de una varilla rectilínea. La varilla gira en un plano vertical, teniendo a uno de sus extremos como centro de giro y con velocidad angular constante, ω. En presencia de un campo gravitatorio constante, calcúlese la posición radial, r, de la cuenta como función del tiempo, si las condiciones iniciales son: r R r( ) ; &( ) .0 0 v= =

Si θ es al ángulo que forma la varilla con respecto a la horizontal, y r es la posición de la cuenta a lo largo de la varilla, la energía cinética en coordenadas polares es:

( ) ( )222222

21

21 ωθ rrmrrmT +=+= &&&

y la lagrangiana

( ) tmgrrrmL ωω sen21 222 −+= &

La ecuación del movimiento resulta:

tgrr ωω sen2 −=−&& ,

siendo su solución

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−+= tsen

2senh

2cosh 22 ω

ωω

ωωω

gtgvtRr

---------------------------------------

8. La lagrangiana para una partícula cargada moviéndose en un campo electromagnético es, en coordenadas cartesianas,

vA ⋅+−=ceeTL φ

a) Evaluar cuál es la dependencia en φ y A de los campos eléctrico y magnético, para que L genere la conocida ecuación newtoniana de movimiento en un campo electromagnético.

b) Seguidamente, demostrar que los campos son invariantes bajo la transformación (conocida como gauge)

).,(1),,(

ttc

t

r

rAA

Ψ−→

Ψ∇+→

∂∂φφ

A partir de la lagrangiana dada se verifica que:

9

,

,

3

1

3

1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=+=

+−=

∑

∑

=

=

k

i

k

iki

ii

i

k i

kk

ii

tA

rA

vcem

dtdA

cevm

vL

dtd

rA

vce

re

rL

∂∂

∂∂

ν∂∂

∂∂

∂∂φ

∂∂

&&&

quedando la ecuación del movimiento:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−= ∑

= k

i

i

k

kk

i

ii r

ArA

vce

tA

crevm

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂φ 3

1

1& .

Comparando con la conocida forma,

( )iii BvceeEvm ×+=& ,

queda,

).,(),(

),,(1),(),(

tt

ttc

tt

r

r

rArB

rArrE

×∇=

−−∇=∂∂φ

Una vez conocidas estas expresiones para los campos, verificar que son invariantes bajo la transformación gauge anterior es un ejercicio simple.

------------------------------------

9. Si dos lagrangianas, L y L’, son tales que:

( ) ( ) ;),(,,,,dt

tdMtLtL qqqqq +=′ &&

a) demostrar que llevan a las mismas ecuaciones del movimiento.

b) Comprobar que la transformación de potenciales del problema anterior pertenece a este caso, si L es la lagrangiana ahí detallada.

Calculamos para L y L’ las ecuaciones de Lagrange, pudiendo observar que para que sean idénticas debe cumplirse que:

.0=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

dtdM

qdtd

q kk &∂∂

∂∂

El ejercicio es trivial. Por otra parte, el efecto de la transformación gauge sobre la lagrangiana del problema anterior es:

),(21 t

ce

dtdL

tceL

ceemL rvAvvv Ψ+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ Ψ∇⋅+

Ψ+=′⋅+′−⋅=′

∂∂φ ,

tal como queríamos demostrar.

---------------------------------------------

10

10. Hallar y resolver las ecuaciones de Lagrange para el sistema formado por dos péndulos acoplados según indica la figura. Las varillas de longitud L y son rígidas de masa nula, mientras que la barra horizontal rígida de longitud

tiene una masa .

L′

D bm

Posición de los puntos de la barra:

Dxayxax ≤′≤−=′+= 0;cos;sin θθ

θθθθ &&&& sin;cos ayax ==

Energía cinética barra 22

0

22

221 θθρ && a

maxd

Db∫ =′=

T= )(21 2222 amLmmL b+′′+θ&

)(cos)coscoscos( LmmLamgLmmLamgV bb ′′++−=′′++−= θθθθ

Se comporta como un péndulo simple de longitud λ y masa µ tal que: 2222 amLmmL b+′′+=µλ

amLmmL b+′′+=λµ

Entonces:

amLmmLamLmmL

b

b

+′′++′′+

=222

λ

222

2)(amLmmL

amLmmL

b

b

+′′++′′+

=µ

-------------------------------------

11. Estudiar y resolver por el método de Lagrange el movimiento de la máquina de Atwood compuesta de la figura, en donde las masas de las poleas son y . 0 2m

11

Como las longitudes de los hilos son constantes, tenemos las ligaduras:

DConstxxxxCConstxx

==−+−==+

.)()(.

2324

21

de donde:

134

12

22 xxCDxxCx

−−+=−=

Además, la polea 2, de radio R gira a una velocidad angular , de modo que su energía cinética rotativa es:

)( 231 xxR && −= −ω

223 )(

21 xxTp && −= α

donde la constante α esta relacionada elementalmente con . 2m

Así, pues, usando y como las dos coordenadas independientes: 1x 3x

2134

233

222

211

213

244

233

222

211

)2(21

21

21

21)(

21

41

21

21

21

xxmxmxmxmxx

xmxmxmxmTT p

&&&&&&&

&&&&

++++++

=++++=

α - energía cinética.

)( 44332211 xmxmxmxmgV +++−= - energía potencial

)2(( 134331211 xxmxmxmxmgV +−+−−= + Constante-irrelevante.

Finalmente:

))()2(( 4334211 mmxmmmxgV −+−−−=

Ambos grados de libertad y están uniformemente acelerados, mientras que la energía es una función cuadrática de las velocidades.

1x 3x

---------------------------------------

12. Consideramos la evolución de un cuerpo puntual de masa , constreñido a moverse sin rozamiento sobre un anillo fijo circular en presencia de una

m

12

aceleración uniforme g . El anillo tiene radio , se encuentra en un plano vertical y su espesor es despreciable.

R

Puesto que el cuerpo se mueve sobre una curva (unidimensional),el número de grados de libertad del problema es la unidad (dos para una superficie, tres para un volumen). Claramente, la posición del móvil la fija una sola variable, el ángulo θ , por ejemplo. Habrá pues una única ecuación de Lagrange. Construyámosla.

La energía cinética T para una partícula de masa m que se mueve en el plano yx − es:

2 2( )2mT x y= +& & ,

de modo que, escribiendo x e en función de y y R θ ,

,cos;sin θθ RyRx −== (1)

y derivando respecto del tiempo, resulta para las energías cinética T y potencial V en función de θ ,

2

22 θ&mRT = (2)

.cosθmgRmgyV −==

Así pues, la ecuación de Lagrange (solo una para un problema con un solo grado de libertad) correspondiente al Lagraniano L .

)cos2

(2

θθ+=−=

gRmgRVTL&

(3)

es:

.0sin =+ θθg

R&&

(4)

Nótese que, gracias a las ligaduras, un problema plano que en principio hubiera requerido dos ecuaciones de segundo orden para x e , se ha despachado en términos de una sola para

yθ .Pero caben simplificaciones mayores aún, de resultas de las simetrías

(o invariancias) presentes. Obsérvese que el Lagrangiano ),( tL θ de hecho no depende del tiempo t . Ello implica automáticamente que la energía T V+ se conserva , y la ecuación (4) puede reducirse a una de primer orden. Efectivamente, introduciendo la nueva variable dependiente

13

θ&=p , (5)

y usando a θ como la nueva variable independiente (fórmula tradicional para reducir ecuaciones diferenciales ordinarias en las que la variable independiente , aquí , no aparece explícitamente)

t

θθθ

ddp

dd

dtd

dtd

== (6)

de modo que (4), que era de segundo orden, se vuelve de primer orden:

pR .0sin =+ θθ

gddp (7)

Integrando, se obtiene la ecuación de la energía

teConsEg

pR tancos2

2

==− θ (8)

La solución ahora se reduce a una cuadratura, puesto que al ser conocida )(θp (ecuación 8), (5) se convierte en la ecuación separable (y por tanto integrable)

REgd

pddt

/)cos(2)( θθ

θθ

−== (9)

-----------------------------------------

13. Péndulo plano de masa , cuyo punto de suspensión (de masa ) puede desplazarse en el mismo plano sobre una recta horizontal.

2m 1m

− Hay dos grados de libertad, que pueden caracterizarse por la coordenada de la primera masa, y por el ángulo

1xθ entre la varilla del péndulo y la vertical.

2

21

11xmT&

= ; 01 =V

)(2

22

22

22 yxmT && += ; 222 mgyV =

Pero θcos2 Ry −= , θsin12 Rxx += , de modo que

[ ]21

222 )cos()sin(

2θθθθ &&& RxR

mT ++=

.cos22 θgRmV −=

14

El Lagrangiano resulta inmediatamente de su definición, 2121 VVTTL −−+= , y análogamente resultarían las ecuaciones de Lagrange (el alumno deberá escribirlas como ejercicio).

Nótese que L no depende ni del tiempo (se conserva la energía total), ni de t x ( x es

coordenada cíclica , 0=∂∂

−xL , y se conserva su cantidad de movimiento conjugada,

xLp

∂∂

= ). El sistema de las ecuaciones de Lagrange de cuarto orden (dos de segundo

orden), pueden pues reducirse a una de segundo orden. Las dos integrales primeras asociadas a las consideraciones anteriores son

ConstRmmmxxLp =++=

∂∂

= θθ cos)( 22111

&&&

(4)

.2121 ConstVVTTE =+++= (5)

La ecuación (4) es fácil de interpretar como el hecho de la conservación de la cantidad de movimiento en la dirección (como siempre, esta propiedad resulta de la invariancia del problema ante traslaciones en la dirección ).

xx

.2211 xmxmp && += (6)

Para mayor simplificación, esta última ecuación también admite otra integración exacta (Problema para alumnos imaginativos: a ver quien es capaz de interpretar este hecho matemático como la invariancia de algún ente físico ante una transformación de alguna clase), igual que en el movimiento de una partícula libre(la suma de fuerzas en la dirección es nula). x

.sin)( 2121 ConstRmxmmtp =+++− θ (7)

Así pues, el problema queda reducido a uno de primer orden. Bastaría con resolver la ecuación de la energía total en la que la única variable desconocida sería θ , ya que y

pueden expresarse en función de 1x

1x& θ y mediante las ecuaciones (6) y (7). θ&

El lector deberá terminar el problema en detalle. Para ello, hacemos notar que esta única ecuación pendiente de resolución toma la forma más sencilla en el sistema de referencia que se mueve en la dirección con la velocidad constante del centro de masa de las dos partículas. Usando como coordenadas

x

)()(

21

2211

mmxmxm

c++

= y θ ,

c (la coordenada horizontal del centro de gravedad) resulta ser también cíclica, y la integral de la energía se reduce a:

22θ&R [ ]2

22 cos2sincosmEgRa =−+ θθθ ,

donde ).( 21

1

mmm

a+

=

El problema queda pues reducido a una cuadratura, como los anteriores,

15

2

22

cos2

sincos

mEgR

aRddt+

+=

θ

θθθ .

Ahora podemos pasar a completar la descripción del problema. Empezamos por :

θθθθθθθ cos)cos2cossin(21

21

212222

12222

11 gRmxRRxRxmVTL +++++=−= &&&&&& =

θθθθ coscos21

2 21222

221

21 gRmxRmRmxmm

++++ &&&&

Ecuaciones de Lagrange:

[ ] 0cos)(0 22111

=++⇒=∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂ θθ&&&

Rmxmmdtd

xL

xL

dtd

0sincos 2

2

21 =−++

⇒ θθθθ &&&&&xRmmm

θθθθθθθ

sinsin)cos(0;0 122122

2&&&&&

&xRmgRmxRm

dtdRmLL

dtd

+++==∂∂

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

0sincos1 =++ θθθ gxR &&&&

Coordenadas del centro de masas: ⇒−=++

= 2121

2211 ; xxrmm

xmxmc eliminando

y en función de c y

1x

2x r :

rmm

mcxr

mmm

cx21

12

21

21 ;

+−=

++=

222

222

211 2

121

21 ymxmxmT &&& ++=

Pero

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

++

++⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

++

−=+ 22

21

2

21

22122

21

1

21

122

222

211 )(2

2)(

221

22r

mmm

rcmm

mc

mr

mmm

rcmm

mcm

xmxm&&&&&&&&

&&

2)(

21 2

221

rcmm&

& µ++

con 21

21

mmmm

+≡µ y =2

2221 ym & θcos2 Ry −= = .sin

21 222

2 θθ &Rm

Así pues,

16

θ

θθµθ

cos

)sincos(22

)(

2

22

222

212

gRmV

mRmmcT

−=

+++

=&&

c es coordenada cíclica )0( =∂∂

cL de modo que .constc =& Además se conserva la

energía de modo que

EconstgRmmR ≡=−+ θθθµθ cos2)sincos( 22

2222 & (el doble de la energía total)

θθµ

θθ

22

2

2

sincos

cos2

mR

gRmE

+

+=&

θθθµ

θcos2sincos

2

22

2

gRmEm

Rddt+

+=⇒

-------------------------------------

14. Considérese el regulador ilustrado en la figura. ¿Cuántos grados de libertad hay? En función de los ángulos θ y φ , obténgase el Lagrangiano del sistema y escríbanse las ecuaciones de Lagrange. Utilizando las simetrías, redúzcase el problema a una cuadratura. Interprétense físicamente cada una de las ecuaciones de conservación (o integrales del movimiento) obtenidas.

φθ cossin1 Rx =

φθ sinsin1 Ry =

121 2;cos zzRz =−= θ

φθφφθθ sinsincoscos1 RRx &&& −=

φθθ sincos1 Ry && = 2222221

21

21 sincossin φθθφφθ &&&&&& RRzyxR +=++⇒+

θθ && sin1 Rz =

)sin4sin( 22222222 θθφθθ &&& RRRmT ++=

θcos6)(2 21 mgRzzmgV −=+=

El Lagrangiano es:

θθθφθθ cos6)sin4sin( 222222 mgRmRL +++= &&&

17

Nuevamente hay una variable cíclica, .0: =∂∂φ

φ L Evidentemente, si se varia φ en una

cantidad fija (por ejemplo girando el eje x a un ángulo dado φ∆ ), el sistema no se inmuta. Es invariante ante desplazamientos constantes de la variable φ . Se conserva

pues la cantidad φθφ

&&

222 sin2mRLp =

∂∂

= , fácilmente identificable con el momento

angular en la dirección vertical. Nuevamente, eliminando

φ& en términos de (constante) y haciendo uso de la ecuación de la energía, 2p

,sin4

)sin41(cos6 22

22222

θθθθ

mRpmRmgRVTE +++−=+= &

El problema se reduce a dos cuadraturas (o meras integrales):

θ

θθ

θθ ⇒−+

+=∫ ∫

22

22

22

sin4cos6

)sin41(

mRpmgRE

mRddt )(tθ=

----------------------------------

15. Dos puntos de masa están unidos por una varilla rígida sin peso de longitud ,el punto medio de la cual está obligado a moverse sobre una circunferencia

de radio . Escríbase la energía cinética en coordenadas generalizadas. Obténgase el Lagrangiano del sistema y escríbanse las ecuaciones de Lagrange. Utilizando las simetrías existentes, redúzcase el problema a una cuadratura. Interprétense físicamente cada una de las ecuaciones de conservación (o integrales del movimiento) obtenidas. Toda la acción ocurre en el plano vertical; la constante gravitatoria es

mb2

R

g .

+r =posición pto. superior = ; ji ++ + yx

=−r posición pto. inferior = ji −− + yx

Para simplificar el álgebra, introducimos la notación compleja (no es absolutamente imprescindible)

18

)1( −=+= iiyxr

−−−+++ +=+= iyxriyxr ;

Claramente 21Re θθ ii ber ±= −

±

2121 Re θθ θθ ii eibir &&& ±=± .

*rr=⋅ rr , donde *r es el complejo conjugado de r ; iyxr −=*

=±±= −−± )Re)(Re( 2121

21212 θθθθ θθθθ iiii beber &&&&&

)( )()(21

22

221

2 1221 ϑθθθθθθθ −− +±+= ii eeRbbR &&&&

)()(21 2

222

1222 θθ &&&& bRmrrmT +=+= −+

121 sin2)( θmgRyymgV =+=

)sin2( 122

221

2 θθθ RgbRmL −+= &&

Nótese que 2θ es coordenada cíclica, pues .02

=∂∂θL En otras palabras, al sistema no le

afecta que se le dé a la variable 2θ un desplazamiento constante θ∆ . Es por tanto “invariante ante traslación (giro)” de la variable 2θ . Se conserva pues 2p

teconsmbLp tan2 22

22 ==

∂∂

= θθ

&&

,

tmbp

22

202 2+= θθ

claramente asociado al momento de giro del sistema de las dos masas alrededor de su centro. También el momento angular de la Tierra alrededor del eje polar se conserva indepedientemente de su giro alrededor del Sol. El resto del problema es trivial, reduciéndose al de un péndulo simple plano.

----------------------------------------

16. Una partícula de masa m, sometida al campo gravitatorio terrestre, se mueve sin rozamiento sobre la superficie interior de un paraboloide de revolución colocado verticalmente.

a) Calcúlese su lagrangiana e identifíquense las magnitudes que se conservan durante el movimiento.

b) Hállese el potencial efectivo para el problema unidimensional equivalente y discútase el tipo de órbitas.

c) ¿Qué velocidad inicial ha de imprimirse a la partícula para que la órbita sea circular?

19

d) Calcúlese la frecuencia de las oscilaciones de pequeña amplitud en torno a esta órbita circular.

a) Sea ( )22 yxkz += la ecuación del paraboloide. Utilicemos coordenadas cilíndricas (ρ,ϕ) como se indica en la figura.

ϕ

ρ

m

z

y

x

Así pues,

⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

2

cos

ρϕρϕρ

kzseny

x ⇒ ⇒

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+=−=

ρρϕϕρϕρϕϕρϕρ

&&

&&&

&&&

kzseny

senx

2cos

cos

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=−+=

2222

222222

222222

4cos2coscos2cos

ρρϕϕϕρρϕϕρϕρϕϕϕρρϕϕρϕρ

&&

&&&&&

&&&&&

kzsensenysensenx

De modo que la energía cinética de la partícula es

( )222222 421

21 ρρϕρρ &&& kmmT ++=≡ 2v .

Siendo la energía potencial 2ρmgkmgzV =≡ .

En la lagrangiana L=T−V, la coordenada ϕ es cíclica, luego el correspondiente momento generalizado se conserva

l&&

≡=∂∂

ϕρϕ

2mL ,

que corresponde a la componente vertical del momento angular. Además, como la lagrangiana no depende del tiempo, la energía total se conserva.

b) La energía total de la partícula, suponiendo que 0≠l ,

( ) 22

2222

241

21

ρρ

ρρ mgkm

kmVTE +++=+≡l

&

20

depende de una sola coordenada, ρ, y puede tomarse como la energía de un problema unidimensional equivalente donde

( ) 2224121 ρρ &kmTef +≡

juega el papel de energía cinética, siendo ρ cierta coordenada curvilínea (no cartesiana), y

22

2

2ρ

ρmgk

mVef +=

l

el de energía potencial. En la figura se han representado los dos términos que contribuyen a este potencial efectivo, en el caso particular . 322 /2 kgm=l

La expresión de la energía total permite escribir la relación

ρρ

d)(2)41(

d22

efVEkm

t−

+= ,

cuya integración proporciona la ley horaria del movimiento. Así, para cada valor de l, los valores permitidos de la energía han de ser tales que , y para cada uno de estos valores existen dos valores extremos (máximo y mínimo) de ρ, que son las raíces

de la ecuación

efVE ≥

22

2

2ρ

ρmgk

mE +=

l . Cuando el valor de la energía total E coincide con

el mínimo de Vef, el movimiento es circular con radio ρ= ρc, que se obtiene de la condición de mínimo,

02d

d3

2

=−=c

cmín

ef

mmgk

Vρ

ρρ

l , es decir, gkmc 2

2 l=ρ .

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

0

4

8

12

PotencialGravitatorio

PotencialCentrífugo

PotencialEfectivo

ρ

Vef /(mg/k)

21

c) En la órbita circular, como el radio es constante, se tiene evidentemente 0=cρ& . Por otra parte, utilizando la expresión obtenida para el radio de la órbita, ρc, en la de la componente vertical del momento angular resulta el valor de la componente azimutal de la velocidad de la partícula,

gkc 2=ϕ& .

Así pues para conseguir que la partícula se mueva según una trayectoria circular con determinado valor del radio, cρρ = , hay que imprimirle una velocidad de componente únicamente azimutal y de módulo cgk ρ2 .

d) Para escribir la ecuación del movimiento general de la partícula, calculemos las derivadas

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+=∂∂

−+=∂∂

ρρρρ

ρρρϕρρ

&&&

&&

22

222

4

24

mkmL

mgkmkmL

La ecuación de Lagrange correspondiente conduce a la ecuación:

( ) 02441 3

22222 =+−++ ρ

ρρρρρ mgk

mmkkm l

&&& .

Supongamos ahora que el movimiento se aparta poco de una órbita circular, de manera que

( )ερρ += 1c , con ε « 1.

Sustituyendo en la ecuación del movimiento y despreciando los términos en ε de orden superior al primero, se llega a la ecuación

0

241

82 =

++ εε

gkmk

gkl

&&

que es la ecuación de un oscilador armónico de frecuencia

gkmk

gk

241

82

2

l+

=ω .

------------------------------------------

17. Plantee las ecuaciones del movimiento para el péndulo doble en el caso de pequeñas oscilaciones, escogiendo como coordenadas las longitudes de arco descritos por cada uno de los péndulos. Halle las frecuencias de los modos

22

normales en el caso en el que la masa del péndulo superior es mucho mayor que la del péndulo inferior.

La forma usual de abordar este problema puede quedar resumida en lo siguiente. Si describimos el problema en las variables generalizadas dadas por los ángulos de los péndulos daremos con una formulación que puede englobarse en la siguiente forma general de lagrangiano:

)()(21

,qUqqqML j

jiiji −= ∑ &&

con un punto de equilibrio en . El estudio de las desviaciones pequeñas alrededor del punto de equilibrio equivale a tomar sólo los términos lineales en las ecuaciones del movimiento, o lo que es lo mismo, la aproximación cuadrática a L:

0=iq

jji

ijijji

iji qqKqqTL ∑∑ −=,, 2

121

&&

El problema de hallar las frecuencias de los modos normales es el de resolver la ecuación especial de valores propios:

kkk AKAT ⋅=⋅2ω

en donde T no es una matriz diagonal. Para evitar el complicado problema de la diagonalización en este estadio, podemos en algunos casos diagonalizar la energía cinética ya de partida, en el lagrangiano cuadrático. Esto es lo que pasa en el problema presente. Veamos cómo podemos hacerlo.

El problema nos plantea un péndulo doble, con el superior de longitud L, y masa M, y el inferior,

de longitud l y masa m. La energía cinética no es difícil de hallar:

[ ])-cos(221

21 222222 θϕϕθϕθθ &&&&& LllLmMLT +++=

Para pequeños valores de θ y ϕ, podemos aproximar el coseno por 1. Como hay un término producto de sus derivadas temporales, estas coordenadas no son ortogonales (no diagonalizan la energía cinética), pero podemos hacerlas ortogonales sumando un múltiplo apropiado de θ a ϕ. De hecho, es fácil ver que una pareja de coordenadas ortogonales está dada por los desplazamientos

ϕθθ lLyLx += = ,

que no son otra cosa que las longitudes de arco descritos por cada una de las masas de ambos péndulos. Es fácil ver que, entonces, la energía cinética se convierte en:

2212

21 ymxMT && +=

En función de estas nuevas coordenadas ortogonales es fácil ver que las ecuaciones del movimiento son:

23

( )M m g mg mgx x yML M l M l

g gy x yl l

⎡ ⎤+= − + +⎢ ⎥

⎣ ⎦

= −

&&

&&

Hallar la ecuación característica para las frecuencias de los modos normales es relativamente trivial, sobre todo en el límite M>>m, quedando:

lg

Lg

≈≈ 22 y ωω

-----------------------------------------

18. Una partícula de masa unidad que puede moverse libremente en el plano XY, se encuentra inicialmente en reposo en el origen de coordenadas y está sometida a la fuerza que deriva del potencial V(x,y). El potencial es analítico cerca del origen, admitiendo el desarrollo

( ) ( ) ( ) ( )

2

2

21, 3

2

2

22

2

2232 rO

yxVxy

yVy

xVx

yVy

xVxrOVVyxV +++++≡+∇⋅+∇⋅=

∂∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂rr

Estúdiense los instantes iniciales del movimiento, desarrollando las ecuaciones de Lagrange en torno a la condición inicial. Resuélvanse estas ecuaciones suponiendo que, durante estos instantes, el desplazamiento es de la forma ( ) ( ) 5432 tOtttt +++= cbar , y determínense los vectores constantes a, b y c. Calcúlese, así mismo, la trayectoria durante este tiempo y la expresión de la lagrangiana.

La lagrangiana de la partícula es L = T − V, siendo ( )22212

21 yxT && +== v . Así pues,

cerca del origen, se tiene

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

000 ;

000 ; 2

2

2

2

2

2

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−−−==

−−−==

yxVx

yVy

yV

yLy

yL

yxVy

xVx

xV

xLx

xL

∂∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

&&

&&

lo que conduce a las ecuaciones de movimiento de Newton:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

000

000 2

2

2

2

2

2

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−−−=

−−−=

yxVx

yVy

yVy

yxVy

xVx

xVx

∂∂∂

∂∂

∂∂

∂∂∂

∂∂

∂∂

&&

&&

con las condiciones iniciales

( ) ( ) ( ) ( ) 00000 ==== yxyx &&

Por otra parte, según el enunciado, se tiene

24

( ) 1262 32 tOtt +++= cbar&&

Sustituyendo r y en las ecuaciones del movimiento e igualando las potencias del mismo orden en t, se obtienen los vectores buscados:

&&r

( )021

xVax ∂

∂−=

0=xb

( ) ( ) ( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+= 0000

241

2

2

2

yxV

yV

xV

xVcx ∂∂

∂∂∂

∂∂

∂∂

Haciendo en estas expresiones el intercambio x↔y, se obtienen las componentes y correspondientes.

Para calcular la trayectoria, x = x(y), hay que eliminar el tiempo t entre las componentes x e y de la ley de movimiento r(t). Para ello invertimos la serie de una de las componentes, la componente x por ejemplo, suponiendo para t un desarrollo de la forma

( ) 22/32/1 xOxxxt +++= γβα

de manera que

( ) 2 22/322 xOxxt ++= αβα

( )M

22/333 xOxt += α

Sustituyendo en la ley de movimiento, se tiene:

( ) ( ) 2 22/32 xOxxax x ++= αβα

de donde, igualando las potencias del mismo orden en x se encuentran los coeficientes del desarrollo de t,

, 0= , 2/1Kβα −= xa

lo que llevado a la componente y de la ley de movimiento, y = ayt2 + ..., proporciona la trayectoria pedida

( ) // 2

0

xOxxVyVy

x

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

=∂∂∂∂

que puede calcularse consecutivamente a todos los órdenes ---------------------------------------

19. Considérese un sistema formado por dos esferas de masa m unidas por una varilla rígida de masa despreciable y longitud 2l. El conjunto puede girar libremente en torno al punto medio de la varilla, equidistante de ambas esferas. Este punto está forzado a moverse sobre una circunferencia de radio R colocada verticalmente en el campo gravitatorio terrestre. Determínense las coordenadas generalizadas apropiadas para describir el movimiento del

25

sistema y calcúlese la expresión de su lagrangiana, si la gravedad es la única fuerza presente. Escríbanse las ecuaciones de Lagrange correspondientes y discútase el movimiento del sistema.

z

y

x

θ

ϕ

α

g

Para especificar el movimiento del sistema, lo más conveniente es dar la posición del centro de masas y referir a éste las posiciones de las dos esferas. Como el centro de masas está forzado a moverse sobre una circunferencia, su posición queda determinada dando el ángulo α que forma su radio vector. En cuanto a las esferas, como están unidas por una barra rígida, la distancia que las separa es fija y basta con especificar los ángulos polares esféricos (ϕ,θ) que determinan la orientación de la barra en el espacio. Así, como coordenadas generalizadas del sistema pueden tomarse los tres ángulos (α,ϕ,θ).

Con respecto a un sistema de coordenadas cartesianas con origen en el centro de la circunferencia de radio R, como en la figura, las posiciones de las esferas son:

cos

coscos

1

1

1

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=+=

=

θαϕθα

ϕθ

lRsenzsenlsenRy

lsenx

coscos

cos

2

2

2

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=−=

−=

θαϕθα

ϕθ

lRsenzsenlsenRy

lsenx

Calculando por derivación temporal las velocidades respectivas, resultan las siguientes expresiones para las energías cinéticas:

( )[ ]θαθϕθαϕϕθαθααθϕθ sensensensensenRlRsenllm

mT

coscoscos22

21

2222222

211

&&&&&&& ++−++=

=≡ v


mT

coscoscos22

21

2222222

222

&&&&&&& +++++=

=≡ v

de modo que la energía total del sistema es

( ) ( ) ( )[ ]22221 αθϕθ &&& RsenllmTTT ++=+=

Por otra parte, las energías potenciales de las esferas y la energía potencial total son

26

( )θα cos 11 lRsenmgmgzV +==

( )θα cos 22 lRsenmgmgzV −==

αmgRsenVVV 2 21 =+=

A partir de la lagrangiana, L ≡ T − V, calculemos las derivadas

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=∂∂

=∂∂

=∂∂

θϕϕ

θθ

αα

22

2

2

2

2

2

sin&&

&&

&&

mlL

mlL

mRL

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=∂∂

=∂∂

=∂∂

0

2

2

22

ϕ

θθϕθ

αα

L

mlL

mgRL

cossin

cos

&

La ecuación asociada al grado de libertad α,

( ) 0cos22dd 2 =− αα mgRmRt

&

está desacoplada de θ y de ϕ. Esta ecuación es precisamente la ecuación del péndulo simple,

cos gR

α α= −&&

de manera que el centro de masas de las esferas ejecuta un movimiento pendular independientemente de como estén girando las esferas. Es decir, el sistema en conjunto se comporta como un péndulo de masa 2m con dos grados de libertad internos que determinan el movimiento relativo de las dos esferas respecto de su centro de masas.

Por otra parte, la coordenada ϕ es cíclica de manera que una constante del movimiento es

CsenmlL== θϕ

ϕ∂∂ 222 &&

de donde, despejando, se obtiene

2

22 θϕ

senmlC

=&

La ecuación para θ es

( ) 0cos22dd 222 =− θθϕθ senmlmlt

&&

es decir, sustituyendo el resultado anterior, 2

2 2

cot 02 sin

Cml

θθθ

⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠

&&

que es la ecuación que determina el movimiento relativo de las esferas.

-----------------------------------------

27

20. Una partícula de masa m se mueve sobre la superficie de una esfera de radio R y se encuentra sometida al campo gravitatorio terrestre.



Tomemos un sistema de coordenadas cartesianas centrado en la esfera, tal como se indica en la figura

ϕ

θ R m

Utilizando coordenadas esféricas, la posición y velocidad de la partícula vendrán dadas por

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=

+=

−=

⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

θθ

ϕθϕϕθθ

ϕθϕϕθθ

θϕθϕθ

sen cos sen sen cos sen sen cos cos

cos sen sen cos sen

&&

&&&

&&&

RzRRyRRx

RzRyRx

de manera que las energías cinética y potencial de la partícula son, respectivamente,

( ) ( ) sen21

21

21 22222222 θϕθ &&&&& +=++== mRzyxmmT v

θcos 00 mgRVmgzVV +=+=

A partir de la lagrangiana, L = T − V, las ecuaciones correspondientes a los ángulos de orientación son

0dd

=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂θ∂

θ∂∂ LL

t &

0dd

=−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂ϕ∂

ϕ∂∂ LL

t &

Como la coordenada ϕ es cíclica su momento conjugado se conserva constante, lo que traduce la conservación de la componente correspondiente del momento angular, es decir,

28

sen 22 lmR =θϕ&

y la ecuación para θ se escribe como:

sen

cossen 33

2

θθ

θθmR

lmgmR +=&&

Definiendo el potencial efectivo

( ) sen2

cos1 22

2

θθ

mRlmgRVef ++=

la ecuación para θ queda en la forma

d

d1 2 θθ efV

mR−=&&

Una gráfica de Vef permite obtener cualitativamente una perspectiva general del tipo de órbitas.

0

1

2

3

4

5

ππ/2

θ

Vef

(R/g)

En la figura se ha representado la función (R/g)Vef para el caso particular . La curva a trazos corresponde al término gravitatorio y la curva a trazos y puntos al término centrífugo. La suma de ambos es la curva continua. Como puede verse, las órbitas posibles corresponden a trayectorias acotadas comprendidas entre dos valores, uno máximo y otro mínimo, del ángulo θ que dependen de la energía total de la partícula, la otra constante del movimiento. Para el valor de ésta correspondiente al mínimo de la curva de V

2 322 gRml =

ef, los dos valores de θ colapsan y la trayectoria corresponde a una circunferencia horizontal.

---------------------------------------------

21. Si se multiplica el lagrangiano por una constante las ecuaciones del movimiento no se ven afectadas. Suponga ahora que el potencial es una función homogénea

29

de grado m de las coordenadas: ( ) ( ) ( nrrrVmnrrrVnrrrV ,,2,1,,2,1,,2,1 KKK αααα =′′′= ) . Si

se reescala simultáneamente el tiempo (por un factor: β=tt' ) y las coordenadas

espaciales (por dicho factor: α=′l

l , con señalando una coordenada con dimensiones de longitud), una elección apropiada de ambos factores puede tener como efecto neto el de multiplicar el lagrangiano por una constante.

l

a) ¿Cuál es la relación entre α y β para que así suceda? b) Una vez obtenida ésta derive a partir de ella, como función de m, las relaciones entre l

l′ y cada uno de las reescalamientos siguientes: tiempos (

tt′ ), velocidades ( v

v′ ), energía ( EE ' ) y momento angular ( J

J ′ ). c) Obtenga de las relaciones del apartado b) lo siguiente: - la tercera ley de Kepler, - la relación cuando el potencial gravitatorio se aproxima por mgh

( ) 2 constante tl ×=

- la independencia del período con la amplitud en el oscilador armónico

a) Si el potencial reescala como , la energía cinética lo hace como mα 22

βα . Para sacar

factor común a ambos términos del lagrangiano ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛= 22 βααm , o ( )21 m−= αβ

b) las relaciones solicitadas son:

21

;;2;21 m

ll

JJm

ll

EE

m

ll

vv

m

ll

tt +

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′

c)

- En el potencial gravitatorio 1−=m . Sustituyendo en la primera relación en b), obtenemos ( ) ( )32 lltt ′=′ , que es la ley de Kepler (las distintas órbitas se transforman unas en otras mediante reescalamientos en el tiempo y el la longitud)

- En el caso del potencial mgh, 1=m , encontramos la clásica relación parabólica entre distancia y tiempo.

- Aquí . El período debe ser independiente de la amplitud. 2=m

22. Considérese un circuito clásico ( inductor-condensador) sin generador,

estudiado en Física General. Recordando que la energía almacenada en el inductor es

LC

2L21 I , siendo I la corriente que circula por él, y que la almacenada

en el condensador es CQ2

21 , establezca una analogía entre estos conceptos

eléctricos y los correspondientes de un sistema mecánico simple. A continuación plantee el Lagrangiano del sistema y obtenga la ecuación diferencial y la frecuencia intrínseca de este circuito resonante.

CL

30

El problema es muy simple. La analogía puede establecerse de la siguiente forma:

Posición – carga

Velocidad – corriente

Fuerza – diferencia de potencial

Masa – inductancia L

Constante del muelle – inversa de la capacitancia 1/C

La energía almacenada en el inductor 221 L I puede asociarse formalmente a un término

de energía “cinética”. Por su parte, la energía almacenada en el condensador es asimilable, también desde un punto de vista formal, al término de energía potencial de un muelle. En definitiva:

( ) 2212

21 1QL QCVTL −=−= &

de la que se obtiene la ecuación: ( ) 0L1 =+ QCQ&& ,de la que sigue fácilmente la frecuencia.

--------------------------------------------- 23. Una esfera uniforme de masa M y radio R se halla encastrada en un agujero

practicado en una fina lámina plana infinita, con una masa por unidad de área de valor σ , de forma a que el plano de la lámina coincida con el plano ecuatorial de la esfera. Un objeto de masa de masa se mueve sin rozamiento a lo largo del eje z (véase figura), perpendicular a la lámina y que pasa por el centro de la esfera. Construya el Lagrangiano del sistema

m

Z

La dificultad en este pr

partícula. Una vez obte

Consecuentemente, nos

separamos las contribu

simplemente, a una dis

oblema reside en encontrar el campo al que se ve sometida la

nido éste, la construcción del Lagrangiano es inmediata.

concentraremos únicamente en el primer objetivo. Para ello,

ciones del plano y de la esfera. Esta última es inmediata:

tancia del centro de la esfera, a lo largo del eje z z ,

2zGM

−

31

La contribución del plano puede calcularse de la forma siguiente. Tomemos un anillo de

radio ρ , alrededor del centro de la esfera.. Por razón de simetría, sólo tendremos que

calcular la componente z del campo producido por el anillo a la misma distancia

anterior z . En definitiva,

( )( )( ) 22222

ρρρσπρ

++−

z

zz

dG

El campo total producido por el plano resultará de integrar la expresión para el anillo en

el intervalo [ : )∞,R

22

2

Rz

zG

+−

σπ

--------------------------------------------- 24. Sabemos que el oscilador armónico tiene como parámetro característico la

frecuencia ω , que es independiente de las condiciones iniciales. Por el contrario, su amplitud máxima A sí que depende de estas últimas. Sin embargo, existen osciladores en los cuales los papeles de la frecuencia y amplitud máxima se invierten, en el sentido de pasar la frecuencia a ser dependiente de condición inicial y, al contrario, la amplitud máxima convertirse en un parámetro característico del sistema, independiente de la condición inicial. Un caso semejante ocurre en el sistema de la figura, en el que dos masas iguales están unidas por un eje rígido de masa nula. cada una de las masas se mueve sin rozamiento, y en ausencia de gravedad, a lo largo del eje correspondiente, bien sea el x, bien sea el y. Plantee el lagrangiano del sistema, y demuestre que lo aseverado es cierto: la frecuencia con la que oscila cada masa depende de la condición inicial, mientras que su amplitud máxima es siempre la misma.

x

y

A

Al no estar el sistema sometido a fuerzas, fuera de las ligaduras geométricas, el

lagrangiano y la energía cinética coinciden: son iguales a la energía cinética que tiene cualquiera de las partículas, en el instante en que pasa por el origen y la otra está en su

posición de equilibrio,

( )2

22

22

22um

xAxmAL =

−=

& (1)

donde es la velocidad de una partícula cuando pasa por el origen. Ordenando de nuevo términos en la ecuación (1), llegamos a:

u > 0

222

2222222 uxAuxuAxuxA =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⇒=+ &&

32

La ecuación final expresa la conservación de la energía de un oscilador armónico cuya frecuencia y amplitud máxima son, respectivamente, u

A y . El movimiento es el de oscilador armónico, pero en el cual la frecuencia depende de la condición inicial (a través de u ), mientras que la amplitud máxima es siempre constante.

A

--------------------------------------------- 25- Suponga que el lagrangiano para un cierto movimiento unidimensional viene

dado por ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= 22

21

21e kqqmtL &γ .

a) Escriba la ecuación del movimiento. ¿A qué sistema corresponde? b) ¿Existe alguna constante del movimiento? c) Ponga de manifiesto los distintos movimientos posibles

Suponga seguidamente que se define una nueva coordenada, , dada por S

qtS ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

2exp γ .

d) Escriba la ecuación del movimiento. ¿A qué sistema corresponde? e) ¿Existe alguna constante del movimiento? f) Ponga de manifiesto los distintos movimientos posibles g) ¿Cómo pondría en relación ambas descripciones?

Nota aclaratoria. En el enunciado propuesto en la hoja de examen se deslizó un error. Se sugería el cambio ( )tqS γexp= en lugar del que aparece en el presente enunciado. Está claro que con este último cambio el resultado carece de interés conceptual, tal como ha podido constatar la mayoría de los alumnos. La corrección, evidentemente, se ha hecho según el enunciado del examen, y no con el que aparece aquí. Sin embargo, sí que da interés al problema el cambio propuesto aquí, por lo que será aquél sobre el que elaboraremos. Para terminar, quiero felicitar a los tres alumnos que se han dado cuenta del “buen” cambio. Así lo han hecho constar en el examen a título de comentario y su iniciativa ha sido debidamente valorada a la hora de calificar. a) La ecuación de Lagrange lleva a:

( ) 0=++ kqqmqme t &&& γγ , o

0=++ qmkqq &&& γ ,

b) Aparentemente, podríamos contestar que no existe constante del movimiento al depender L explícitamente del tiempo. Pero esta respuesta es un poco precipitada. Veamos por qué. En un sistema mecánico, podemos disponer, en principio, de funciones que permanecen constantes a lo largo del movimiento: =constante. Estas se denominan constantes del movimiento o integrales primeras. Sin embargo, la definición de estas cantidades es más general, englobando una posibles dependencia explícita del tiempo, de forma que: = constante. Nada , en principio, excluye la existencia de este último caso de constante del movimiento, aunque, bueno es decirlo, se piensa en la primera forma al hablar de

( ) ( )( tqtqF &, )

( ) ( )( )ttqtqF ,, &

33

constante del movimiento. Lo que sí queda claro es que, si existe ( ) ( )( )ttqtqF ,, & = constante, no es aparente. Sigamos la evolución del problema para aclarar este extremo. c) Para una solución general del tipo , obtenemos la ecuación característica teq α∝

02 =++mkαγα

con soluciones

mk

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛±−=

2

22γγα

Las distintas posibilidades de movimiento nos vendrán dadas por el valor del

discriminante mk

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=∆

2

2γ , siempre que 0>γ .

Primer caso: . En este caso, la solución general queda como un movimiento oscilatorio amortiguado

0<∆

( )tBtAeqt

∆+∆=−

sencos2γ

Segundo caso: . Movimiento puramente amortiguado 0=∆

20

t

eqqγ

−=

Tercer caso: . Movimiento también puramente amortiguado 0>∆

( )ttt

BeeAeq ∆−∆−+= 2

γ

d) Escribimos el lagrangiano en función de la nueva variable

22

21

21

21 kSSSmL −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −= γ& ,

del que se obtiene la siguiente ecuación del movimiento 2

02

kS Sm

γ⎡ ⎤⎛ ⎞+ − =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

&& .

e) Ahora, sí que podemos hablar de una constante del movimiento. La ecuación anterior es la del oscilador armónico, que tiene formalmente la constante

22 2 cte

2kS Sm

γ⎡ ⎤⎛ ⎞+ − =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

&

Llegados a este punto, enlazamos con el apartado b). La expresión anterior, una vez desecho el cambio , nos proporciona la contestación a la pregunta que nos hacíamos ahí.

Sq →

f) Es fácil responder a este apartado manejando el signo de 2γ−mk , al igual que hicimos en el apartado c). Sin embargo, a la hora de hacer un análisis completo no deberá olvidarse el factor exponencial en la definición de . S

34

g) Ambas descripciones son totalmente equivalentes. La única diferencia es que en la segunda se enmascara el factor exponencial –que no por ello ha desaparecido- pudiéndose con ello poner en evidencia la constante del movimiento –cosa que no era trivial en la primera descripción.

---------------------------------------------

26- Tres puntos de masa pueden deslizarse sobre un círculo de radio , tal como indica la figura de la izquierda, sometidos a fuerzas derivables del potencial

m b

( ) ( )γβαγβα −−− ++= eee,, 0VV −los ángulos de separación γβα ,, son medidos en

radianes. Cuando 32πγβα === , el sistema se halla en equilibrio. Encuentre las

frecuencias de los modos normales del sistema para pequeños desplazamientos del equilibrio (ángulos 321 ,, θθθ ilustrados en la figura de la derecha)

Los ángulos α , β y γ , en términos de 21,θθ y 3θ , son:

1232 θθπα −+= ,

2332 θθπβ −+= ,

3132 θθπγ −+= .

Por su parte, el potencial queda:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −−+

−−+

−−−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

31231232

0θθθθθθ

π

eeeeVV

Habida cuenta de que estamos hablando de pequeños valores de 21,θθ y 3θ , esta expresión del potencial puede aproximarse por

( ) ( ) ([ 3123123

2

0 3 θθθθθθπ

−−−−−−≈−

eVV )

( ) ( ) ( ) ⎥⎦⎤−+−+−+ 2

312

232

12 21

21

21 θθθθθθ

La energía cinética va a ser dependiente de las velocidades lineales de las tres partículas. Como el radio b es constante, éstas serán b , para iθ& 3,2,1=i . En definitiva, el lagrangiano quedará

35

( )23

2 2 2 2 230 1 2 3 1 2 2 3

1

1 32 i

iL mb V e

π

3 1θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ−

=

= − + + + − − −∑ & ,

con sus correspondientes ecuaciones de Lagrange

( )2

2 31 0 1 2 32 0mb V e

π

θ θ θ θ−

+ − − =&&

( )2

2 32 0 2 3 12 0mb V e

π

θ θ θ θ−

+ − − =&&

( )2

2 33 0 3 1 22 0mb V e

π

θ θ θ θ−

+ − − =&&

Proceder en el análisis de modos normales es relativamente trivial, por lo que se dejan los detalles como ejercicio. La ecuación característica resulta ser

222 2 23

03 0mb V e mbπ

ω ω−⎛ ⎞

− + =⎜ ⎟⎝ ⎠

con soluciones

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=−

3031

0

πωe

mV

b

siendo la segunda degenerada.

---------------------------------------------

27.- En un sistema dinámico de 2 grados de libertad la energía cinética es 22

22

2

21

21

)(2qq

bqaq

T &&

++

= , y la energía potencial esta dada por 2dqcU += , con a, b,

c y d constantes. Mostrar que en función del tiempo es una ecuación de la forma con h, k y constantes.

2q2

02

22 )()2)(( tthkqkq −=+− 0t

NOTA: bxab

bxabxa

xdx+

−−=

+∫ 23)2(2

Dado que la energía cinética y la potencial no dependen ni del tiempo ni de la

coordenada tenemos 2 constantes del movimiento: 1q VTE += y 1q

L&∂

∂ , es decir:

ctepbqa

qqL

==+

=∂∂

12

1

1

&

&

cdqqqbqap

dqcqqbqa

qEVT ++++=+++

+==+ 2

22

222

21

222

22

2

21

21)(

221

)(2&&

&

que podemos rescribir como: 221

22

22 CqCqq =−&

con y constantes: , . 1C 2C dbpC 2211 −−= capEC 22 2

12 −−=Y de ahí integrar:

36

22

21222 q

qCCq

+=& → 0

212

22 ttdtqCC

dqq−==

+ ∫∫

21221

2120 3

)2(2qCC

CqCC

tt +−

−=−

que conduce directamente a la ecuación que queremos encontrar con 1

2

CC

k −= y

149 Ch = .

--------------------------------------------- 28.- Una partícula de masa y carga e se mueve bajo la influencia de campos eléctrico y magnético uniformes, mutuamente ortogonales. En un sistema de ejes cartesianos, estos campos son

m

jErr

E= y kBrr

B= . Encuentre las ecuaciones de movimiento y la trayectoria en el caso en el que la partícula se encuentra inicialmente en reposo en el origen de coordenadas. Las relaciones siguientes le pueden servir de ayuda

( ) ( Avvv

AB

AE

⋅−−⋅=

×∇=∂

)

∂−−∇=

φ

φ

emL

t

21

Los potenciales escalar y vectorial que dan los campos correctos, son

Ey−=φ

( )jiA xyB +−=21

El correspondiente lagrangiano queda

( ) ( )xyyxeBeEyzyxmL &&&&& −++++=21

21 222

Las ecuaciones de Lagrange correspondientes quedan 0mx eBy− =&& & eExeBym =+ &&&

0=zm && Queda claro de la tercera ecuación y de las condiciones iniciales ( ) 00 =z y , que el movimiento está confinado al plano

( ) 00 =z&xy . Las ecuaciones para e x y son lineales,

por lo que podemos considerar una solución general del tipo ( )tλexp , quedando la ecuación característica como

022242 =+ λλ Bem con autovalores

2

222

2,1 ,0mBe

−=λ

Con estos resultados en mano, podemos escribir la solución para la trayectoria de la partícula

37

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−= t

meB

eBmEt

BEx sen2

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−= t

meB

eBmEy cos12

Es fácil dibujar la correspondiente trayectoria. Es un cicloide con cúspides sobre el eje , separadas por una distancia x 22 eBmEπ . Esta distancia es la velocidad promedio en

la dirección , x BE , multiplicada por el período, eBmπ2 , de los términos sinusoidales.

x

y E

---------------------------------------------

29.- Razónese si la siguiente afirmación es verdadera o falsa: a) Las lagrangianas y ),,(1 tqqL & ttqAtqqLL ∂∂+= ),(),,(12 & son equivalentes, esto es, proporcionan las mismas ecuaciones de movimiento. a) La elección del Lagrangiano de un sistema nunca es única y dada una función lagrangiana, cualquier función de la forma ),,(1 tqqL & dttqdFtqqLL ),(),,(12 += & , también lo es (Sección 1.4 Goldstein, puede mostrarse por sustitución directa en las

ecuaciones de Lagrange de y de 2LtFq

qF

dtdF

∂∂

+∂∂

= & ).

Por tanto para que sea cierto en el caso que preguntado tendría que cumplirse que la función añadida solo dependiera del tiempo: . )(tA

--------------------------------------------- 30. Suponga por un momento que no sabe usted qué forma tiene la energía cinética y desconoce también las Leyes del movimiento de Newton. Le dicen a usted que el punto de partida para describir el movimiento de una partícula viene dado por las ecuaciones de Lagrange, cuya forma le dan, especificándole, sin más detalles, que el lagrangiano es un funcional de la forma ),,( tqqLL ii&= . Le piden que con estos datos descubra usted las leyes del movimiento de la partícula libre en coordenadas cartesianas. Usted sabe que ésta es una partícula en el espacio vacío sin fuerzas actuando sobre ella y le dan como pista el concepto de sistema inercial y el principio de relatividad de Galileo. 1. Explique por qué el lagrangiano no puede ser función de z, y, x , ni de cada una de las componentes de la velocidad, , , por separado. Tampoco del tiempo. ¿Sobre qué propiedades del espacio se basará su argumentación?

xv yv zv

38

Usted llega a la conclusión de que , donde )( 2vL vr es la velocidad de la partícula en un sistema inercial K y quiere descubrir la forma exacta. Para ello toma un segundo sistema inercial K’ que se mueve con velocidad constante infinitesimalmente pequeña ε− respecto de K . 2. Pruebe que L _(a constante). Le puede ayudar hacer una expansión en serie de Taylor, despreciar los términos cuadráticos en _ y recordar la propiedad

de invariancia bajo transformación

2avL =

dtdFLL +→ ' L .

3. Pruebe que es una elección consistente para el lagrangiano en cualquier sistema K’ que se mueva con velocidad finita

2'' vL =

0Vr

− respecto de K ; es decir, se satisface el principio de relatividad de Galileo. Los datos del problema son: A) El Lagrangiano es funcional de la forma: ),,( tqqLL ii &= .

B) Ecuaciones de Lagrange: 0=∂∂

−∂∂

ii qL

dtd

qL

&.

C) Estudiamos el movimiento en un sistema inercial. En este sistema de referencia una partícula libre permanecerá en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme por tiempo ilimitado. Esto es equivalente a decir que para este sistema el espacio es homogéneo e isótropo y el tiempo uniforme y de hecho esta es una de las posibles maneras de definir un sistema inercial (basta pensar, en el caso de la isotropía por ejemplo, que con una partícula de velocidad inicial no nula es imposible definir una dirección privilegiada del espacio, dado que sea cual sea la dirección inicial de la partícula el tipo de comportamiento siempre es el mismo). Por supuesto los sistemas inerciales son indistinguibles entre si por lo que las ecuaciones del movimiento han de ser iguales en todos ellos. D) Principio de relatividad de Galileo aplicado a un sistema de referencia inercial K’ se desplaza con velocidad infinitesimal ε− respecto a otro sistema inercial K nos informa que si la partícula libre se mueve con velocidad vr en el sistema K lo hará con velocidad

εrr

−v en el sistema K’. 1) Con los datos A) y C) es directo. La inclusión de una dependencia explicita respecto a las coordenadas o al tiempo implicaría que las ecuaciones del movimiento no respetarían la homogeneidad del espacio y el tiempo. Cualquier referencia a una dirección privilegiada, como sería una dependencia de la dirección del vector velocidad, no respetaría la isotropía del espacio. Por tanto el Lagrangiano solamente puede depender del módulo de la velocidad, es decir: . )( 2vLL = 2) Siguiendo las indicaciones del enunciado desarrollamos en serie el Lagrangiano para el sistema K’:

)(2)()2()'( 22

2222 εεεε OvvLvLvvLvL +

∂∂

−=+−=rrrr ,

39

y de la última afirmación de C) y la otra pista del enunciado del problema tenemos que

dtdFvLvL += )()'( 22 y para que esto se cumpla en la ecuación anterior tenemos que

cteavL

==∂∂

2 , de modo que arF εrr2−= , donde rr es el vector posición de la partícula.

3) Siguiendo el mismo razonamiento que en el anterior apartado tenemos que

)2()(2)(')'(' 200

2200

220

22 tVVrdtdvLVVvvVvvvL +−+=+−=−==

rrrrrr

que comprueba que los Lagrangianos de ambos sistemas son compatibles.

--------------------------------------------- 31. Una partícula de masa m se mueve sobre la superficie de un cono de ángulo α

(ver figura) y se encuentra sometida al campo gravitatorio terrestre. a) Calcúlese su lagrangiana e identifíquense las magnitudes que se conservan

durante el movimiento. b) Hállese el potencial efectivo para el problema unidimensional equivalente y

discútase el tipo de órbitas c) ¿Qué velocidad inicial ha de imprimirse a la partícula para que la órbita sea

circular? d) Suponga la masa m en una órbita circular tratada en el apartado anterior.

Suponga que se le imprime un muy pequeño impulso en dirección contraria al vértice del cono. ¿Qué tipo de trayectoria piensa usted que seguirá el sistema después de hacer esto? En el caso de seguir una trayectoria consistente en la composición de la trayectoria circular original y de una pequeña oscilación alrededor de ésta, calcule la frecuencia de las oscilaciones de pequeña amplitud en torno a la órbita circular. Hágalo sólo en el caso en que piense que esta trayectoria tiene sentido.

a) Siguiendo la figura, tenemos:

θ

α

m

z

y

x

R

,,sin,cos

zzRyRx

===

θθ

como la partícula tiene que moverse en la superficie del cono, tenemos una ligadura expresada por la ecuación:

40

ZR

zhR

=−

=αtan dónde definimos zhZ −= , siendo h la distancia del origen al

vértice del cono. Elegimos como coordenadas generalizadas a Z (que sólo tendrá sentido para ) y θ y definiendo

0≥Zαβ tg≡ obtenemos

,

),cossin(

)sincos(

ZzZZy

ZZx

&&

&&&

&&&

−=

+−=

−−=

θθθβ

θθθβ

con lo que el lagrangiano tiene la forma

( )( ) mgZZZmL +++= 22222 121 θββ && ,

en que la coordenada θ es cíclica y el correspondiente momento conjugado se conserva

θβθθ

&&

22mZLp =∂∂

=

que corresponde a la componente vertical del momento angular. Como la lagrangiana no depende del tiempo, también se conserva la energía. b) Si sustituimos la ecuación anterior en la ecuación del movimiento para la otra variable tenemos

( ) )(1 22 gZmZm +=+ θββ &&& Distinguimos ahora dos casos:

1) Inicialmente el momento angular es nulo, 0=θp , bien por estar situados en el vértice del cono, , o por no tener velocidad inicial en el plano xy, . En este caso el problema se reduce al movimiento de un cuerpo sobre un plano

inclinado. La ecuación anterior se simplifica a

0=Z 0=θ&

( )12 +=

βgZ&& , es decir es un

movimiento uniformemente acelerado en la coordenada Z. El potencial efectivo

es: ZgZgVeff αβ

22 cos

1=

+= .

2) Si podemos despejar de la ecuación del momento angular 0≠θp

22 βθ θ

mZp

=& , que introducimos en la ecuación para la variable Z

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+= 232

2

211

ββθ

Zmp

gZ&& ,

y si tomando como potencial efectivo la función tal que

ZV

Z eff

∂

∂−=&& , obtenemos

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+= gz

Zmp

Veff 222

2

2 211

ββθ .

Si dibujamos este potencial obtenemos una función monótonamente decreciente como la siguiente:

41

con en trazo continuo y las dos componentes en trazo punteado. Este potencial para la variable Z corresponderá a un movimiento acelerado, independientemente de las condiciones iniciales la masa tenderá a caer hacia Z cada vez mayores, que corresponden a z cada vez más negativos en la variable original. Por tanto el movimiento será una composición de un giro en el plano xy, dado por la variable

effV

θ , que por conservación del momento angular tendrá cada vez menor velocidad angular a medida que aumente el radio de giro, y de un movimiento acelerado en la dirección del eje negativo de la variable z. c) Con el potencial calculado no pueden existir órbitas circulares dado que nunca alcanza un mínimo. El único equilibrio que puede alcanzar la partícula vendría de considerarla en reposo sobre el vértice del cono. También podemos darnos cuenta de

esto al intentar calcular el valor de Z que anula

effV

ZVeff

∂

∂, obtendremos sólo valores de Z

negativos, para los que nuestras ecuaciones ya no son válidas. d) Si consideramos la partícula sobre el vértice del cono cualquier pequeña perturbación la sacará de su equilibrio inestable para producir un movimiento de caída acelerado como los descritos en el apartado b). Es decir no tiene sentido considerar pequeñas oscilaciones para potenciales sin mínimos.

--------------------------------------------- 32. Consideremos la definición general de sistema conservativo. A saber, aquel que cumple las siguientes tres condiciones: 1) es válida la forma estándar (holónoma o no holónoma) del lagrangiano; 2) el lagrangiano no es función explícita del tiempo; 3) las ecuaciones de ligadura pueden expresarse en la forma

( los coeficientes son nulos). Por otra parte, si el lagrangiano se 0l k kk

a dq =∑ l ta

42

expresa en la forma estándar holónoma y la energía cinética es una forma cuadrática homogénea de las jq& ’s, un sistema conservativo es además natural. a) Demostrar que la definición anterior de sistema conservativo lleva a la

conservación de la llamada función energía: jj j

Lqq

L∂−

∂∑ &&

(integral de Jacobi),

que se reduce a la energía total en el caso de un sistema natural. b) Ahora sea una masa m desliza sin rozamiento dentro de un tubo circular de radio r (véase figura). El tubo gira alrededor de su diámetro vertical (eje Z) con una velocidad angular constante ω . En las coordenadas polares de la figura, compare los sistemas de referencia asociados a un observador externo y a otro que gira con el tubo, respectivamente. ¿En cuál de los dos es este sistema simplemente conservativo y en cuál es también natural? Justifique su respuesta. c) Describa el sistema anterior en coordenadas esféricas. ¿Es el sistema ahora conservativo? Justifique su respuesta. En caso de no serlo, ¿cuál es la razón física para ello?

z

O r

θm

Si , entonces 2 1 0L T T T V= + + − 2 0jj j

Lh q L T Tq

V∂= − = − +

∂∑ &&

. Si reagrupamos

términos: 2 0V

h T V T T V′

′ ′== + − = +

Todo el truco del problema reside en “manejar” apropiadamente los términos en el Lagrangiano. Empecemos con los términos T y V en polares

2 2 2 2 212 ( se

cosT m r rV mgr

n )θ ω θθ

= +

=

&

dando el lagrangiano en sistema “laboratorio” 2 2 2 2 21

2 ( sen )L m r r mgr cosθ ω θ= + −& θ (1) Cumplimos las condiciones impuestas a un sistema conservativo y, por tanto, lo es. La integral de Jacobi es:

2 2 2 2 212 ( sen )h m r r mgr cosθ ω θ= − +& θ ,

que NO ES la energía total. Sin embargo, si escribimos de nuevo (1) de forma que L T V′ ′= − con

2 212 2

2 2 20 cos sen

T T mr

V V T mgr r

θ

θ ω θ

′ = =

′ = − = −

&

43

T’ es la energía cinética relativa a un sistema que gira con el tubo. La energía potencial V’ incluye el término gravitacional y el término 0T− que tiene en cuenta la fuerza centrífuga. En este caso nuestro sistema es natural y h T V′ ′= + , la energía total (¡cuidado, no en el sistema inercial!) En el caso de coordenadas esféricas ( ), ,r θ φ tenemos

2 2 2 2 212 ( se

cosT m r rV mgr

n )θ φ θθ

= +

=

& &

con la ligadura 0d dtφ ω− = . El sistema en esta representación NO ES conservativo ya que 0

k ta ω= − ≠ . Además, la expresión de Jacobi (T V+ , en este caso) no es constante

ya que la ligadura efectúa trabajo sobre el sistema.

---------------------------------------------- 33. Un bloque de masa M2 desliza sobre otro de masa M1 que, a su vez, desliza sobre un plano horizontal (Véase figura). Usando las coordenadas X1 y X2 de la figura, obtenga las ecuaciones diferenciales del movimiento a través de la formulación de Lagrange. Asuma ausencia de rozamientos.

X2

X1

M2

M1

La coordenada 1x es el desplazamiento absoluto de , mientras que 1m 2x es el desplazamiento de con respecto a Para obtener la velocidad absoluta de , usamos la ley del coseno para sumar la velocidad de y la velocidad de respecto de . Obtenemos:

2m 1m 2v 2m

1m 2m

1m2 2 22 1 2 1 22 cosv x x x x α= + −& & & &

siendo α el ángulo formado por el plano con la horizontal. Por lo tanto,

( )2 2 21 1 2 1 2 1 2

1 1 2 cos2 2

T m x m x x x x α= + + −& & & & &

En presencia del campo gravitatorio, los cambios en energía potencial proceden de cambios en el valor de 2x :

2 senV mgx α= − De aquí

( )2 2 21 1 2 1 2 1 2 2

1 1 2 cos sen2 2

L m x m x x x x mgxα α= + + − +& & & & &

Las ecuaciones correspondientes: ( )1 1 2 1 2 cos 0m x m x x α+ − =&& && &&

44

2 2 2 1 2cos sen 0m x m x m gα α− −&& && =

---------------------------------------------- 34.- Un modelo simple, y de gran utilidad, de molécula triatómica lineal es el de la figura. Vamos a examinar el caso en el que M>m. Plantee el problema en las coordenadas definidas por los desplazamientos de las tres masas de su posición de equilibrio, con sus correspondientes ecuaciones de Lagrange. Intente una solución

0i tx x ei iω= , siendo ω una frecuencia de modo normal

a) ¿Cuántas frecuencias independientes hay y cuáles son éstas? b) ¿A qué movimiento corresponde la menor de ellas?

m M M

k k

X1

1 2

3

( ) ( )2 22 2 21 2 3 2 1 3

1 1 1 1 12 2 2 2 2 2L T V Mx mx Mx k x x k x x= − = + + − − − −& & &

Ecuaciones : ( )( ) ( )( )

1 1 2

1 2 1 2 3

3 3 2

0

0

0

Mx k x x

mx k x x k x x

Mx k x x

+ − =

+ − + − =

+ − =

&&

&&

&&

El determinante para las frecuencias

2

2

2

02 0

0

k M kk k m k

k k M

ωω

ω

− −− − −

− −=

con soluciones

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +===

mM

Mk

Mk 210 321 ωωω ,,

Para 1 0ω = , los desplazamientos son 1 2 3x x x= = , dando a entender que el conjunto de las tres masas se mueve como un sólido rígido, sin oscilaciones internas.

----------------------------------------------

45

35. La transformación entre coordenadas cartesianas y polares viene dada por θsenrx = ,

θcosry = , siendo lo vectores unitarios en polares:

jiujiuθθ

θθ

θ cossensencos+−=

+=r

A diferencia de i y j, y no son constantes.

Puede observar, por ejemplo, que

ru θu

θθuu

=dd r y

rdd

uu

−=θ

θ

y

x

( )θ,r

urr

uθr trayectoria

θ

Rr

1) Sabido esto, calcule las componentes en coordenadas polares de la aceleración y acto seguido plantee las ecuaciones de Newton correspondientes. 2) Exponga la formulación lagrangiana para el problema y compare la forma anterior de obtención de las ecuaciones del movimiento con la que le ofrece ésta.

θθθ

θuuuuuuRv

dtdr

dtdr

dtd

ddr

dtdr

dtdr

dtdr

dtd

rr

rr

r +=+=+==

rr

rr

rr

dtdr

dtdr

dtd

dtdr

dtrd

dd

dtd

dtdr

dtdr

dtd

dtdr

dtd

dd

dtdr

dtrd

dtd

dtdr

dtdr

dtd

dtdr

dtd

dtdr

dtrd

dtd

uuuu

uuu

uu

uuuuuva

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−++=

++++=

++++==

θθθθ

θθθθθθ

θθθ

θθ

θθθ

θθθ

Con lo que encontramos

22 2

2 22r

r r

d r d dr d dr rdt dt dt dt dt

F Fm

θ

θ θ

θ θ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞= − + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

= +

a u

F u u

θ=u

46

36. Considere la máquina de Atwood de la derecha, en la que la única fuerza presente es la de la gravedad. a) ¿ Cuales son las ligaduras del sistema? b) Escriba el lagrangiano considerando las

posiciones de las masas y como coordenadas generalizadas.

1m 3m

c) Obtenga las ecuaciones del movimiento de estas

masas y determine la aceleración de y . 1m 3m

a) Las cuerdas tienen una longitud fija y, por tant

coordenadas xi para cada masa i, todas con orig 1 2 1 3 4 2 2, 2x x a cte x x x a c+ = = + − = =b) El sistema tiene dos grados de libertad, elegim El lagrangiano sin ligaduras tiene la formula

4 42

1 12i

i ii i

miL x m g

= =

= +∑ ∑& x

y a partir de las restricciones, 2 1x x= −& & y 4x x= −& &

( )

( ) (

2 23 31 21 1 3 3 1 3

2 1 1 3 3 4 2 1 3

, , , (2 2 2

2

m mm mL x x x x x x

m g a x m gx m g a a x

+= + +

+ − + + + −

& & & &

c) Y las ecuaciones de Lagrange

( )

( )

1 2 4 11 1

3 4 3 4 13 3

4 2

2

d L L m m m xdt x x

d L L m m x m xdt x x

⎛ ⎞∂ ∂= → + + +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

⎛ ⎞∂ ∂= → + +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

&&&

&& &&&

y de esta última ecuación obtenemos ( )3 4 4

33 4

2¨

m m g m xx

m m− −

=+

&&&& 1 y a partir de ella des

( )( ) (( )( )

1 2 3 4 4 1 23

1 2 3 4 3 4

2 24

m m m m m m mx

m m m m m m+ − − − −

=+ + +

&&

37. Sobre un anillo uniforme de radio R y masa M deanillo rota libremente, sin rozamiento, en torno al ejanillo. El momento de inercia del anillo en torno al ecoordenadas generalizadas los ángulos φ , que indicay θ , que indica la posición del plano del anillo respe(Véase la figura en la que se muestran el sistema par

47

m3

m2

m1

o, hay dos ligaduras holónomen en el punto de suspensióte

os como coordenadas genera

3 2 32 12x x x+ = − −& & & , el la

)

23 1 1 1

1

2 )

2

x x m gx

x

+ +

−

& &

( )

( )

4 3 1 2 4

3 4

2

.

m x m m m

m m g

= − −

= −

&&

pejamos en la otra

)3mg

sliza sin rozamiento una ce horizontal x que coincideje es 2 2I MR= . Utilizan la posición de la cuenta r

cto al eje vertical z: a dos ángulos diferentes θ

m4

as. Tomando n de la polea superior:

lizadas 1x y 3x .

grangiano se escribe

g,

uenta de masa m. El con un diametro del do como

especto al eje de giro,

).

a) Obténgase el Lagrangiano para el sistema . b) Obténganse las ecuaciones de Lagrange del sistema. c) Señale la/s cantidad/es conservada/s del sistema.

g

a) 212anilloT Iθ= &

2 2 2 21 1 ( )2 2cuentaT mR mR senφ φ θ= +& &

( ) cos( )cuentaV mgRsen φ θ= −

2 2 2 2 21 1 1 ( ) ( ) cos( )2 2 2

L I mR mR sen mgRsenθ φ φ θ φ= + + +& & & θ

b) 2 2L mR φφ

∂=

∂&

&

2 2 ( ) cos( ) cos( )cos( )L mR sen mgRθ φ φ θφ

∂= +

∂& φ

=

2 2 2 ( ) cos( ) cos( )cos( ) 0mR mR sen mgRφ θ φ φ θ φ− −&& &

48

2 2( )L I mR senθ φ θθ

∂= +

∂& &

&

2 2 2( ) 2 ( )cos( ) ( ) ( ) 0I mR sen mR sen mgsen senθ φ θ φ φ θφ φ θ+ + −&& && & & =

c) Calculando el hamiltoniano, será independiente del tiempo y se conservará la energía. El resto de momentos respecto a las vairables, x, y ,z, no se conservan ya que el sistema no es invariante ante traslaciones, ni tampoco ante rotaciones. No hay coordenadas cíclicas en ninguno de los sistemas de coordenadas.

------------------------------------------- 38.- El movimiento de una partícula de masa m está restringido, en el plano (x,y), a la parábola axy 2= . La acción de la gravedad actúa en el sentido y negativo. Utilizando el formalismo lagrangiano, resuelva los siguientes apartados: a) Escriba la ecuación para pequeñas oscilaciones alrededor del punto de equilibrio. b) Resuelva la ecuación obtenida en el apartado a) a)

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=+= 2

22

22

2222 41

211

21

21

21

axxm

dxdyxmx

dxdyxmyxmT &&&&&&

axmgmgyV

2

==

axmg

axxmVTL

22

2

22 41

21

−⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+==−= &

Y la ecuación de Lagrange queda

02441 222

2

=++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

axgx

axx

ax

&&&

El punto de equilibrio corresponde a (0,0), correspondiente al mínimo de potencial. Para oscilaciones pequeñas suponemos que despreciables los términos de orden superior a uno en x, obteniendo

02 =+axgx&&

a) La ecuación obtenida corresponde a un movimiento oscilatorio del tipo

con )sin()cos()( wtBwtAtx +=agw 2

= , dependiendo A y B de las

condiciones iniciales.

------------------------------------------- 39. Sea un sistema mecánico de n+m grados de libertad caracterizado por dos conjuntos de variables: n coordenadas qi y m coordenadas Qi. Con un lagrangiano

de la forma ( )1 1 1, , ; , , , , ,n nL q q q q Q Q& && &K K K m ,

es decir, las m coordenadas Qi no aparecen explícitamente en el funcional.

49

a) ¿Cuántas cantidades conservadas independientes puede tener este sistema? b) Recordemos que mediante un cambio de coordenadas del lagrangiano

similar al que da lugar al hamiltoniano pero únicamente sobre las coordenadas cíclicas se obtiene el routhiano. ¿Cuál es la forma genérica de este routhiano R cuando los momentos asociados a las coordenadas cíclicas

tienen valor inicial Mi, es decir, ( ) iti

i MQLtP =

∂∂

===0

0 & ?

c) Supongamos que se construye un nuevo lagrangiano, L’, a partir del anterior tomando

( ) ( )1 1 1 11

' , , ; , , , ' , , ' , ,m

n n m i ii

nL L q q q q Q Q q qβ ν=

= −∑& && &K K K K⋅

en el que ( )1' , ,i i iQ Q q qν= +& & K n y las ( )nqq ,,K1ν son funciones generales. ¿Qué se puede decir de las cantidades conservadas de este nuevo sistema? Dar el nuevo routhiano, R’, cuando los momentos asociados a las coordenadas cíclicas tienen ese mismo valor inicial Mi, es decir,

( ) iti

i MQLtP =

∂∂

===0

0''' & .

d) ¿Cuánto han de valer las constantes iβ para que ambos routhianos R y R’ sean iguales? ¿Qué relación habrá entonces entre la dinámica, las ecuaciones del movimiento, de los sistemas L y L’?

e) Supongamos una partícula de masa unidad, m=1, en un potencial

')',( arr

arW && ⋅⋅−−

= 31 α , y lagrangiano en polares

( ) )',(',' arWarrarL &&

& −+=22

1 222

. Dar las trayectorias de este

sistema por el método apuntado en los apartados anteriores en función de las soluciones de una partícula en un potencial central gravitatorio ,

( )r

arrarL 122

1 222 ++=

&&,

a) En principio podría haber hasta m+n cantidades conservadas en un sistema

mecánico de m+n grados de libertad. Con la forma dada para el lagrangiano sabemos que tiene al menos m momentos conservados, por las m coordenadas cíclicas Qi, más la energía, ya que es independiente del tiempo.

50

b) Los momentos asociados a las coordenadas cíclicas se conservan por lo que

ii

i MQLP =

∂∂

=& para todo tiempo. Por tanto

. ( )mnn

m

iii QQqqqqLMQR &K&&K&K& ,,,,,;,, 111

1−⋅= ∑

=

c) Se aplica lo comentado en el apartado a) y b) sin cambios.

( ) ∑∑==

⋅+++−⋅=m

iniimmnn

m

iii qqQQqqqqLMQR

111111

1,,,,,,,;,,'' K&K&&K&K& νβνν ( )

d) Si comparamos los dos routhianos obtenemos

( )∑∑∑∑====

⋅−=⋅−+⋅−−⋅=−m

iiii

m

iii

m

iii

m

iii MLMQLMQRR

1111

νβνβ'' &&

con lo que es evidente que si ii M=β ambos routhianos son idénticos. Por tanto, para las condiciones iniciales dadas en el enunciado se pueden relacionar las ecuaciones del movimiento de ambos sistemas. Si ( ) ( ) ( ) ( ) tQtQtqtq mn ,,,,, KK 11 es una solución de L,

el conjunto ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∫∫ ⋅−⋅− dtqqtQdtqqtQtqtq nmmnn ,,,,,,,,, KKKK 11111 νν es una solución de L’. Dado que las funciones ( )ni qq ,,K1ν son completamente arbitrarias esto permite relacionar problemas aparentemente diferentes resolviendo únicamente las ecuaciones más sencillas para L.

-------------------------------------------

40. En algunos problemas de mecánica es interesante conocer el movimiento en la vecindad de un punto de equilibrio. Tal cuestión se suele abordar con ayuda de la

aproximación lineal al problema, en la forma de un sistema d X AXdt

=

en el cual el vector X simboliza una pequeña perturbación alrededor del punto de equilibrio 0X y A es la denominada matriz jacobiana. Suponga un sistema mecánico caracterizado por dos variables (¡cuidado! dos variables, no dos grados de libertad), que denominaremos 1 2x y x . Nuestro problema lineal se reduce a estudiar las distintas clases de movimientos alrededor del origen y que dependerán del carácter y signo de los valores propios de la matriz A . Sean estos últimos 1 2yλ λ a) Considere los distintos casos posibles de movimiento según el carácter real o complejo, positivo o negativo, de los valores de 1 y 2λ λ . Considere sólo aquellos casos en los que 1 y 2λ λ son distintos.

b) Dibuje en el plano ( )1 2,x x las trayectorias correspondientes a los casos estudiados en el apartado anterior. a) y b)

51

d X AXdt

= , es una ecuación diferencial ordinaria de orden 1 y además autónoma, esto es,

no depende del tiempo. Si X es la perturbación alrededor del punto de equilibrio, entonces:

( ) ( )( ) ( )

01 1 1

02 2 2

x t x x tx t x x t

δδ

= += +

Puesto que es un sistema lineal su solución pasa por hallar los valores propios de la matriz Jacobiana, esto es:

11 12 11 12

21 22 21 22

0a a a a

Aa a a a

λλ

−⎛ ⎞= → =⎜ ⎟ −⎝ ⎠

Cuya solución es:

( )( ) ( ) ( )211 22 12 21 11 22 11 22 12 210 ; 0a a a a a a a a a aλ λ λ λ− − − = − + + − =

11 22 11 22 12 21Si T a a y a a a a= + ∆ = −

Finalmente: 2 4

2T Tλ ± − ∆

=

Por tanto, la solución del sistema de ecuaciones diferenciales es:

( )( )

1 2

1 2

1 1 2

2 3 4

t t

t t

x t c e c ex t c e c e

λ λ

λ λ

δδ

= += +

Donde son constantes que dependen de las condiciones iniciales y 1 2 3 4, ,c c c y c 1 2yλ λ los autovalores de la matriz A , Jacobiano de la transformación. Según el enunciado no tenemos en cuenta los valores degenerados, esto es, los valores en los que 1 2λ λ= . Entonces los casos posibles de movimiento según los autovalores a la vista de las soluciones del sistema serían:

1. Si 1 y 2λ λ son autovalores reales negativos tenemos un nodo estable, el estado generado por la perturbación es asintoticamente estable.

( )( )

1 2

1 2

1 1 2

2 3 4

t t

t t


λ λ

λ λ

δδ

= += +

52

1xδ

2xδ

2. Si 1 y 2λ λ son complejos con parte real negativa, también tenemos un estado

asintoticamente estable, con un foco muy estable.

( ) ( ) ( ) ( )( )Re Im Im1 2

t itx t e c e c eλ λ λδ −= + it

2

1xδ

2xδ

3. Si 1 yλ λ son complejos con parte real positiva, también tenemos un estado

inestable, generándose un foco muy inestable.

( ) ( ) ( ) ( )( )Re Im Im1 2

t itx t e c e c eλ λδ −= + itλ

53

1xδ

2xδ

4. Si 1 y 2λ λ son imaginarios puros de diferente signo, el estado generado es estable y

tendríamos un centro.

( ) ( ) ( )( )Im Im1 2

it itx t c e c eλ λδ −= +

1xδ

2xδ

5. Si 1 y 2λ λ son reales positivos se genera un estado inestable. Aparece un nodo inestable.

( )( )

1 2

1 2

1 1 2

2 3 4

t t

t t


λ λ

λ λ

δδ

= += +

54

1xδ

2xδ

6. Si 1 y 2λ λ son reales de distinto signo, el estado también es inestable. Tendríamos un punto silla.

( )( )

1 2

1 2

1 1 2

2 3 4

t t

t t


λ λ

λ λ

δδ

= += +

1xδ

2xδ

Podemos decir que es condición necesaria y suficiente para la estabilidad que todas las partes reales de los valores propios sean negativas. Basta con que uno de los valores propios tenga parte real positiva para que tengamos una solución inestable.

55

FORMULACIÓN DE LAGRANGE

1. Considérese un sistema con N grados de libertad descrito por el conjunto de coordenadas generalizadas qi (i=1,...,N), cuyas energías cinética y potencial, T y V, vienen dadas por

( ) ( i

N

iiii

N

ii qVVqqfT ∑∑

====

1

2

1 , )

Demuéstrese que las ecuaciones de Lagrange son separables, de modo que los distintos grados de libertad no están acoplados y redúzcase el problema a cuadraturas.

A partir de la lagrangiana, L = T − V, calculemos las derivadas

2 iii

fqqL

=∂∂

2dd

2 dd 2

iii

ii

i

fqqf

qqL

t+=

∂∂

dd

dd 2

i

ii

i

i

i qVq

qf

qL

−=∂∂

Así pues la ecuación de Lagrange para cada grado de libertad qi es

0=dd2

dd 2

i

iiii

i

i

qVqfq

qf

++

que como vemos sólo depende del propio grado de libertad qi, de manera que los distintos grados de libertad están desacoplados y cada cual evoluciona independientemente de los demás. En particular, la energía contenida en cada grado de libertad

2iiii VqfE +=

se conserva constante durante la evolución como es fácil ver, pues

dd

dd 2

i

ii

i

i

i

i

qVq

qf

qE

+=∂∂

2 iii

i fqqE

=∂∂

resultando que

=2+dd

dd

dd

dd

dd

3iiii

i

ii

i

ii

i

ii

i

iii qqfqqV

qqf

tq

qE

tq

qE

tE

tE

+=++=∂∂

∂∂

∂∂

0=2+dd

dd

= 2

+ ii

i

ii

i

ii qf

qV

qqf

q

3

Así pues, las energías Ei son constantes determinadas por las condiciones iniciales, , 00 , ii qq

( ) ( ) 0200 iiiiii qVqqfE +=

de manera que la evolución de cada grado de libertad viene dada por la integral

tf

VEqq

t

i

iiii d

00 ∫−

±=−

----------------------------------------------

2. Un punto de masa M describe, en el plano 0XY, una curva dada por la ecuación y = f(x) cuando está sometida a un potencial que sólo depende de y. Si v0 es la proyección de la velocidad sobre el eje 0X, se pide:

a) hallar una expresión general del potencial en función de f.

b) Aplique la expresión obtenida en el apartado anterior al caso de que la ecuación de la curva sea ay2 = x3.

a) Sea V(y) el potencial pedido. La lagrangiana de la masa puntual será

( ) ( )yVyxML −+= 22

2

de donde se obtienen las ecuaciones de Lagrange

( )

( )

−=

=

yVyM

t

xMt

dd

dd

0dd

Integrando dos veces la primera ecuación se obtiene que la proyección del movimiento sobre el eje 0X es un movimiento uniforme con velocidad 0vx = . La integral de la segunda ecuación con respecto de y determina el potencial

∫−= yyMCV d

donde C es una constante arbitraria. Como por otra parte

( ) ( )

( ) 20

0

dd

vxfy

vxfxxxf

y

′′=

′==

la expresión del potencial es

( ) yxfMvCV d 20 ∫ ′′−=

y, para realizar la integral, hay que sustituir . )(1 yfx −=

4

b) Para el caso particular en que la función es axy

3

= , la función inversa es

, de manera que ( ) 3/12ayx =

( )

( ) 3/13/24

34

3

23

−==′′

=′

yaax

xf

axxf

Sustituyendo en la ecuación del apartado anterior y realizando la integral se llega al resultado.

-------------------------------------------------

3. Considérese una transformación desde un sistema estacionario de ejes cartesianos Oxyz a otro Ox’y’z’ que gira con velocidad angular constante ω alrededor del eje Oz. Transforme la lagrangiana de una partícula considerada libre en el sistema Oxyz a la correspondiente en el sistema Ox’y’z’, e identifique en esta última los términos que corresponden a las fuerzas de Coriolis y centrífuga.

La transformación de Oxyz a Ox’y’z’ es:

txtyytytxx

ϖϖϖϖ

sin cossin cos′+′=

′−′=

La energía cinética de la partícula viene dada por:

)(~21)(~)(

21)(

21 222222222 yxmyxyxmzyxmzyxmT ′+′+′′−′′+′+′+′=++= ωω

La expresión que aparece en las ecuaciones de Lagrange puede considerarse como una fuerza ficticia que aparece debida a las peculiaridades del sistema de coordenadas. En nuestro caso:

iqT ∂∂ /

xmymxT ′+′=′∂

∂ 2~~ ωω,

con una expresión similar para iyT ′∂∂ (la correspondiente parcial con respecto a z’es nula). Los dos términos de la expresión anterior pueden identificarse como las componentes de la mitad de las fuerzas de Coriolis y centrífuga, respectivamente. La

otra mitad de la fuerza de Coriolis procede del término

/

∂∂

iqT

dtd de las ecuaciones

de Lagrange.

------------------------------------------

5

4. Una cuenta de masa m desliza sin rozamiento a lo largo de un alambre circular de radio a. El alambre, situado verticalmente en un campo gravitatorio, gira alrededor de su diámetro vertical con velocidad angular ω. Para una velocidad angular ω mayor que un cierto valor crítico ωc, la cuenta tiene un punto de equilibrio mecánico estable en una posición dada por un ángulo θ0 respecto de la vertical. Se pide:

a) Encontrar ωc y θ0 ;

b) Obtener las ecuaciones del movimiento para pequeñas oscilaciones alrededor de θ0 y encontrar su periodo.

a) La energía cinética de la cuenta y el Lagrangiano son:

2222 )sen (21

21 θωθ ammaT += .

2 2 2 21 1 sin cos2 2

L ma ma w mgaθ θ θ= + −

donde θ es el ángulo que forma la posición de la masa con el eje vertical de giro, correspondiendo 0θ = con la partícula en la posición más baja en el alambre.

La ecuación de Lagrange nos lleva a:

0sen cos sen 2 =−+ θθωθθ aga

En el punto de equilibrio,

0=θ , g = aω 2 cos θ, ó.: ω 2 = g/(a cos θ).

Esta última ecuación tiene una solución para ω sólo si ω 2 ≥ g/a, con lo que la velocidad angular crítica es

ag

C =ω

y el ángulo de equilibrio es

= 20 cos arc

ωθ

ag

b) Si la cuenta efectúa pequeñas oscilaciones alrededor de θ0, podemos describir el movimiento en términos de un pequeño parámetro ε = θ − θ0. La ecuación del movimiento se transforma en

0) (sen )( cos )(sen 002

0 =++−++ εθεθωεθε aga

6

Para pequeños valores de ε, 1 cosy sen ≈≈ εεε . Teniendo en cuenta esto y el valor obtenido de θ0, la ecuación anterior queda en

01 42

22 =

−+ ε

ωωε

ag

La frecuencia de oscilación será:

42

2

1ω

ωa

g−=Ω

---------------------------------------------

5. Un elemento diferencial de arco de una cierta superficie se puede poner de la forma

221

21

2 )( dqqadqds +=

Se pide:

a) La ecuación que cumplen las líneas geodésicas de la superficie

b) Demostrar que las curvas cte. 2 =q son geodésicas

c) ¿Qué dependencia con el tiempo tiene, en el caso contemplado en b), la coordenada ? (Nota: las geodésicas son las trayectorias que sigue un punto sobre la superficie en ausencia de toda fuerza).

1q

a) En ausencia de toda fuerza, y considerando m=1,

( )221

21 )(

21 qqaqTL +==

La coordenada q es cíclica; luego 2

212

)( qqaCqT

==∂∂ (1)

donde C es una constante. Por otra parte, la energía total:

( )221

21 )(

21 qqaqE += (2)

es también una constante del movimiento. Eliminando dt de (1) y (2), se obtiene una ecuación diferencial entre las coordenadas y q que es precisamente la ecuación de las geodésicas. Integrando dicha ecuación se obtiene:

1q 2

∫

−

=

)(1)(2

121

12

qaC

qaE

dqq

7

b) Las curvas , recorridas con la ley horaria cte. 2 =q EtqEq 2,2 11 == , son soluciones de las ecuaciones (1) y (2).

c) De acuerdo con lo visto en b), la coordenada evoluciona según un movimiento uniforme.

1q

-----------------------------------------------

6. Si el sistema solar estuviese sumergido en una nube esférica uniforme de partículas sólidas, los objetos en el sistema solar experimentarían una fuerza gravitatoria total que sería

brrkFr −−= 2

Podemos asumir que la fuerza extra debida a la presencia de la nube es débil )( 3rkb << . Encuentre la frecuencia de las oscilaciones radiales de una órbita

cuasicircular (ésta es una órbita con pequeñas desviaciones radiales de la órbita circular).

La ecuación de movimiento es:

drrdV

rm ef )(−=

Si la partícula está en una órbita circular de radio , se cumple: 0r

020

30

2

0

)(br

rk

mrl

drrdV

rr

ef −−=−=

Estamos interesado en perturbaciones alrededor de esta órbita circular. Si esta perturbación es pequeña, podemos expandir el potencial efectivo alrededor de r , 0

+′′−+′−+= )()(21)()()()( 0

20000 rVrrrVrrrVrV efefefef

Si utilizamos esta expansión en la expresión del lagrangiano, encontramos:

),()(21

21

02

02 rVrrrmL ef′′−−=

donde hemos eliminado el término constante. La expresión anterior es el lagrangiano de un oscilador armónico, de frecuencia

mrVef )( 02

′′=ω

Diferenciando dos veces el potencial efectivo encontramos, para la frecuencia de las pequeñas oscilaciones radiales alrededor de la órbita circular,

8

21

30

4

+=

mb

mrkω

-----------------------------------------------

7. Una cuenta de masa m puede deslizar sin rozamiento a lo largo de una varilla rectilínea. La varilla gira en un plano vertical, teniendo a uno de sus extremos como centro de giro y con velocidad angular constante, ω. En presencia de un campo gravitatorio constante, calcúlese la posición radial, r, de la cuenta como función del tiempo, si las condiciones iniciales son: r R r( ) ; ( ) .0 0 v= =

Si θ es al ángulo que forma la varilla con respecto a la horizontal, y r es la posición de la cuenta a lo largo de la varilla, la energía cinética en coordenadas polares es:

( ) ( )222222

21

21 ωθ rrmrrmT +=+=

y la lagrangiana

( ) tmgrrrmL ωω sen21 222 −+=

La ecuación del movimiento resulta:

tgrr ωω sen2 −=− ,

siendo su solución

+−+= tsen

2senh

2cosh 22 ω

ωω

ωωω gtgvtRr

---------------------------------------

8. La lagrangiana para una partícula cargada moviéndose en un campo electromagnético es, en coordenadas cartesianas,

vA ⋅+−=ceeTL φ

a) Evaluar cuál es la dependencia en φ y A de los campos eléctrico y magnético, para que L genere la conocida ecuación newtoniana de movimiento en un campo electromagnético.

b) Seguidamente, demostrar que los campos son invariantes bajo la transformación (conocida como gauge)

).,(1),,(

ttc

t

r

rAA

Ψ−→

Ψ∇+→

∂∂φφ

A partir de la lagrangiana dada se verifica que:

9

,

,

3

1

3

1

++=+=

+−=

∑

∑

=

=

k

i

k

iki

ii

i

k i

kk

ii

tA

rA

vcem

dtdA

cevm

vL

dtd

rA

vce

re

rL

∂∂

∂∂

ν∂∂

∂∂

∂∂φ

∂∂

quedando la ecuación del movimiento:

−+

−−= ∑

= k

i

i

k

kk

i

ii r

ArA

vce

tA

crevm

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂φ 3

1

1 .

Comparando con la conocida forma,

( )iii BvceeEvm ×+= ,

queda,

).,(),(

),,(1),(),(

tt

ttc

tt

r

r

rArB

rArrE

×∇=

−−∇=∂∂φ

Una vez conocidas estas expresiones para los campos, verificar que son invariantes bajo la transformación gauge anterior es un ejercicio simple.

------------------------------------

9. Si dos lagrangianas, L y L’, son tales que:

( ) ( ) ;),(,,,,dt

tdMtLtL qqqqq +=′

a) demostrar que llevan a las mismas ecuaciones del movimiento.

b) Comprobar que la transformación de potenciales del problema anterior pertenece a este caso, si L es la lagrangiana ahí detallada.

Calculamos para L y L’ las ecuaciones de Lagrange, pudiendo observar que para que sean idénticas debe cumplirse que:

.0=

−

dtdM

qdtd

q kk ∂∂

∂∂

El ejercicio es trivial. Por otra parte, el efecto de la transformación gauge sobre la lagrangiana del problema anterior es:

),(21 t

ce

dtdL

tceL

ceemL rvAvvv Ψ+=

Ψ∇⋅+

Ψ+=′⋅+′−⋅=′

∂∂φ ,

tal como queríamos demostrar.

---------------------------------------------

10

10. Hallar y resolver las ecuaciones de Lagrange para el sistema formado por dos péndulos acoplados según indica la figura. Las varillas de longitud y son rígidas de masa nula, mientras que la barra horizontal rígida de longitud

tiene una masa .

L L′

D bm

Posición de los puntos de la barra:

Dxayxax ≤′≤−=′+= 0;cos;sin θθ

θθθθ sin;cos ayax ==

Energía cinética barra 22

0

22

221 θθρ a

maxd

Db∫ =′=

T= )(21 2222 amLmmL b+′′+θ

)(cos)coscoscos( LmmLamgLmmLamgV bb ′′++−=′′++−= θθθθ

Se comporta como un péndulo simple de longitud λ y masa µ tal que: 2222 amLmmL b+′′+=µλ

amLmmL b+′′+=λµ

Entonces:

amLmmLamLmmL

b

b

+′′++′′+

=222

λ

222

2)(amLmmL

amLmmL

b

b

+′′++′′+

=µ

-------------------------------------

11. Estudiar y resolver por el método de Lagrange el movimiento de la máquina de Atwood compuesta de la figura, en donde las masas de las poleas son y . 0 2m

11

Como las longitudes de los hilos son constantes, tenemos las ligaduras:

DConstxxxxCConstxx

==−+−==+

.)()(.

2324

21

de donde:

134

12

22 xxCDxxCx

−−+=−=

Además, la polea 2, de radio R gira a una velocidad angular , de modo que su energía cinética rotativa es:

)( 231 xxR −= −ω

223 )(

21 xxTp −= α

donde la constante α esta relacionada elementalmente con . 2m

Así, pues, usando y como las dos coordenadas independientes: 1x 3x

2134

233

222

211

213

244

233

222

211

)2(21

21

21

21)(

21

41

21

21

21

xxmxmxmxmxx

xmxmxmxmTT p

++++++

=++++=

α - energía cinética.

)( 44332211 xmxmxmxmgV +++−= - energía potencial

)2(( 134331211 xxmxmxmxmgV +−+−−= + Constante-irrelevante.

Finalmente:

))()2(( 4334211 mmxmmmxgV −+−−−=

Ambos grados de libertad y están uniformemente acelerados, mientras que la energía es una función cuadrática de las velocidades.

1x 3x

---------------------------------------

12. Consideramos la evolución de un cuerpo puntual de masa , constreñido a moverse sin rozamiento sobre un anillo fijo circular en presencia de una

m

12

aceleración uniforme g . El anillo tiene radio , se encuentra en un plano vertical y su espesor es despreciable.

R

y

x θ

cosx =

cos

V

R

Puesto que el cuerpo se mueve sobre una curva (unidimensional),el número de grados de libertad del problema es la unidad (dos para una superficie, tres para un volumen). Claramente, la posición del móvil la fija una sola variable, el ángulo θ , por ejemplo. Habrá pues una única ecuación de Lagrange. Construyámosla.

La energía cinética T para una partícula de masa que se mueve en el plano m yx − es:

2 2( )2mT x= + ,

de modo que, escribiendo e en función de y y R ,

,;sin θθ RyR −= (1)

y derivando respecto del tiempo, resulta para las energías cinética T y potencial V en función de θ ,

2

22 θmRT = (2)

.θmgRmgyV −==

Así pues, la ecuación de Lagrange (solo una para un problema con un solo grado de libertad) correspondiente al Lagraniano . L

)cos2

(2

θθ+=−=

gRmgRTL (3)

es:

.0sin =+ θθg

(4)

Nótese que, gracias a las ligaduras, un problema plano que en principio hubiera requerido dos ecuaciones de segundo orden para x e , se ha despachado en términos de una sola para

yθ .Pero caben simplificaciones mayores aún, de resultas de las simetrías

(o invariancias) presentes. Obsérvese que el Lagrangiano ),( tL θ de hecho no depende del tiempo t . Ello implica automáticamente que la energía T V+ se conserva , y la ecuación (4) puede reducirse a una de primer orden. Efectivamente, introduciendo la nueva variable dependiente

13

θ=p , (5)

y usando a θ como la nueva variable independiente (fórmula tradicional para reducir ecuaciones diferenciales ordinarias en las que la variable independiente , t aquí , no aparece explícitamente)

θθθ

ddp

dd

dtd

dtd

== (6)

de modo que (4), que era de segundo orden, se vuelve de primer orden:

pR .0sin =+ θθ

gddp (7)

Integrando, se obtiene la ecuación de la energía

teConsEg

pR tancos2

2

==− θ (8)

La solución ahora se reduce a una cuadratura, puesto que al ser conocida )(θp (ecuación 8), (5) se convierte en la ecuación separable (y por tanto integrable)

REgd

pddt

/)cos(2)( θθ

θθ

−== (9)

-----------------------------------------

13. Péndulo plano de masa , cuyo punto de suspensión (de masa ) puede desplazarse en el mismo plano sobre una recta horizontal.

2m 1m

− Hay dos grados de libertad, que pueden caracterizarse por la coordenada de la primera masa, y por el ángulo

1xθ entre la varilla del péndulo y la vertical.

2

21

11xmT = ; 01 =V

)(2

22

22

22 yx

mT += ; 222 mgyV =

Pero θcos2 Ry −= , θsin12 Rxx += , de modo que

[ ]21

222 )cos()sin(

2θθθθ RxR

mT ++=

.cos22 θgRmV −=

14

El Lagrangiano resulta inmediatamente de su definición, 2121 VVTTL −−+= , y análogamente resultarían las ecuaciones de Lagrange (el alumno deberá escribirlas como ejercicio).

Nótese que no depende ni del tiempo (se conserva la energía total), ni de L t x ( x es

coordenada cíclica , 0=∂∂

−xL , y se conserva su cantidad de movimiento conjugada,

xLp

∂∂

= ). El sistema de las ecuaciones de Lagrange de cuarto orden (dos de segundo

orden), pueden pues reducirse a una de segundo orden. Las dos integrales primeras asociadas a las consideraciones anteriores son

ConstRmmmxxLp =++=

∂∂

= θθ cos)( 22111

(4)

.2121 ConstVVTTE =+++= (5)

La ecuación (4) es fácil de interpretar como el hecho de la conservación de la cantidad de movimiento en la dirección x (como siempre, esta propiedad resulta de la invariancia del problema ante traslaciones en la dirección x ).

.2211 xmxmp += (6)

Para mayor simplificación, esta última ecuación también admite otra integración exacta (Problema para alumnos imaginativos: a ver quien es capaz de interpretar este hecho matemático como la invariancia de algún ente físico ante una transformación de alguna clase), igual que en el movimiento de una partícula libre(la suma de fuerzas en la dirección x es nula).

.sin)( 2121 ConstRmxmmtp =+++− θ (7)

Así pues, el problema queda reducido a uno de primer orden. Bastaría con resolver la ecuación de la energía total en la que la única variable desconocida sería θ , ya que y

pueden expresarse en función de 1x

1x θ y mediante las ecuaciones (6) y (7). θ

El lector deberá terminar el problema en detalle. Para ello, hacemos notar que esta única ecuación pendiente de resolución toma la forma más sencilla en el sistema de referencia que se mueve en la dirección x con la velocidad constante del centro de masa de las dos partículas. Usando como coordenadas

)()(

21

2211

mmxmxm

c++

= y θ ,

c (la coordenada horizontal del centro de gravedad) resulta ser también cíclica, y la integral de la energía se reduce a:

22θR [ ]2

22 cos2sincosmEgRa =−+ θθθ ,

donde ).( 21

1

mmm

a+

=

El problema queda pues reducido a una cuadratura, como los anteriores,

15

2

22

cos2

sincos

mEgR

aRddt+

+=

θ

θθθ .

Ahora podemos pasar a completar la descripción del problema. Empezamos por :

θθθθθθθ cos)cos2cossin(21

21

212222

12222

11 gRmxRRxRxmVTL +++++=−= =

θθθθ coscos21

2 21222

221

21 gRmxRmRmxmm

++++

Ecuaciones de Lagrange:

[ ] 0cos)(0 22111

=++⇒=∂∂

−

∂∂ θθRmxmm

dtd

xL

xL

dtd

0sincos 2

2

21 =−++

⇒ θθθθxRmmm

θθθθθθθ

sinsin)cos(0;0 122122

2 xRmgRmxRmdtdRmLL

dtd

+++==∂∂

−

∂∂

0sincos1 =++ θθθ gxR

Coordenadas del centro de masas: ⇒−=++

= 2121

2211 ; xxrmm

xmxmc eliminando

y en función de y

1x

2x c r :

rmm

mcxr

mmm

cx21

12

21

21 ;

+−=

++=

222

222

211 2

121

21 ymxmxmT ++=

Pero

=

+

++

++

+

++

−=+ 22

21

2

21

22122

21

1

21

122

222

211 )(2

2)(

221

22r

mmm

rcmm

mc

mr

mmm

rcmm

mcm

xmxm

2)(

21 2

221

rcmm µ++

con 21

21

mmmm

+≡µ y =2

2221 ym θcos2 Ry −= = .sin

21 222

2 θθRm

Así pues,

16

θ

θθµθ

cos

)sincos(22

)(

2

22

222

212

gRmV

mRmmcT

−=

+++

=

c es coordenada cíclica )0( =∂∂

cL de modo que .constc = Además se conserva la

energía de modo que

EconstgRmmR ≡=−+ θθθµθ cos2)sincos( 22

2222 (el doble de la energía total)

θθµ

θθ

22

2

2

sincos

cos2

mR

gRmE

+

+=

θθθµ

θcos2sincos

2

22

2

gRmEm

Rddt+

+=⇒

-------------------------------------

14. Considérese el regulador ilustrado en la figura. ¿Cuántos grados de libertad hay? En función de los ángulos θ y φ , obténgase el Lagrangiano del sistema y escríbanse las ecuaciones de Lagrange. Utilizando las simetrías, redúzcase el problema a una cuadratura. Interprétense físicamente cada una de las ecuaciones de conservación (o integrales del movimiento) obtenidas.

φθ cossin1 Rx =

φθ sinsin1 Ry =

121 2;cos zzRz =−= θ

φθφφθθ sinsincoscos1 RRx −=

φθθ sincos1 Ry = 2222221

21

21 sincossin φθθφφθ RRzyxR +=++⇒+

θθsin1 Rz =

)sin4sin( 22222222 θθφθθ RRRmT ++=

θcos6)(2 21 mgRzzmgV −=+=

El Lagrangiano es:

θθθφθθ cos6)sin4sin( 222222 mgRmRL +++=

17

Nuevamente hay una variable cíclica, .0: =∂∂φ

φ L Evidentemente, si se varia φ en una

cantidad fija (por ejemplo girando el eje x a un ángulo dado φ∆ ), el sistema no se inmuta. Es invariante ante desplazamientos constantes de la variable φ . Se conserva

pues la cantidad φθφ

222 sin2mRLp =

∂∂

= , fácilmente identificable con el momento

angular en la dirección vertical. Nuevamente, eliminando

φ en términos de (constante) y haciendo uso de la ecuación de la energía, 2p

,sin4

)sin41(cos6 22

22222

θθθθ

mRpmRmgRVTE +++−=+=

El problema se reduce a dos cuadraturas (o meras integrales):

θ

θθ

θθ ⇒−+

+=∫ ∫

22

22

22

sin4cos6

)sin41(

mRpmgRE

mRddt )(tθ=

----------------------------------

15. Dos puntos de masa están unidos por una varilla rígida sin peso de longitud ,el punto medio de la cual está obligado a moverse sobre una circunferencia

de radio . Escríbase la energía cinética en coordenadas generalizadas. Obténgase el Lagrangiano del sistema y escríbanse las ecuaciones de Lagrange. Utilizando las simetrías existentes, redúzcase el problema a una cuadratura. Interprétense físicamente cada una de las ecuaciones de conservación (o integrales del movimiento) obtenidas. Toda la acción ocurre en el plano vertical; la constante gravitatoria es

mb2

R

g .

+r =posición pto. superior = ; ji ++ + yx

=−r posición pto. inferior = ji −− + yx

Para simplificar el álgebra, introducimos la notación compleja (no es absolutamente imprescindible)

18

)1( −=+= iiyxr

−−−+++ +=+= iyxriyxr ;

Claramente 21Re θθ ii ber ±= −

±

2121 Re θθ θθ ii eibir ±=± .

*rr=⋅ rr , donde *r es el complejo conjugado de r ; iyxr −=*

=±±= −−± )Re)(Re( 2121

21212 θθθθ θθθθ iiii beber

)( )()(21

22

221

2 1221 ϑθθθθθθθ −− +±+= ii eeRbbR

)()(21 2

222

1222 θθ bRmrrmT +=+= −+

121 sin2)( θmgRyymgV =+=

)sin2( 122

221

2 θθθ RgbRmL −+=

Nótese que 2θ es coordenada cíclica, pues .02

=∂∂θL En otras palabras, al sistema no le

afecta que se le dé a la variable 2θ un desplazamiento constante θ∆ . Es por tanto “invariante ante traslación (giro)” de la variable 2θ . Se conserva pues 2p

teconsmbLp tan2 22

22 ==

∂∂

= θθ

,

tmbp

22

202 2+=θθ

claramente asociado al momento de giro del sistema de las dos masas alrededor de su centro. También el momento angular de la Tierra alrededor del eje polar se conserva indepedientemente de su giro alrededor del Sol. El resto del problema es trivial, reduciéndose al de un péndulo simple plano.

----------------------------------------

16. Una partícula de masa m, sometida al campo gravitatorio terrestre, se mueve sin rozamiento sobre la superficie interior de un paraboloide de revolución colocado verticalmente.



c) ¿Qué velocidad inicial ha de imprimirse a la partícula para que la órbita sea circular?

19

d) Calcúlese la frecuencia de las oscilaciones de pequeña amplitud en torno a esta órbita circular.

a) Sea ( )22 yxkz += la ecuación del paraboloide. Utilicemos coordenadas cilíndricas (ρ,ϕ) como se indica en la figura.

m

ϕ

ρ

z

y

x

Así pues,

===

2

cos

ρϕρϕρ

kzseny

x

===

2222

222

222

4

cos

ρρϕρϕρ

kzseny

x

⇒ ⇒

=+=−=

ρρϕϕρϕρϕϕρϕρ

kzseny

senx

2cos

cos

+−

222

222

2cos2

ϕϕρρϕϕρϕϕρρϕϕρ

sensensen

++

coscos

ϕϕ

De modo que la energía cinética de la partícula es

( )222222 421

21 ρρϕρρ kmmT ++=≡ 2v .

Siendo la energía potencial 2ρmgkmgzV =≡ .

En la lagrangiana L=T−V, la coordenada ϕ es cíclica, luego el correspondiente momento generalizado se conserva

≡=∂∂ ϕρϕ

2mL ,

que corresponde a la componente vertical del momento angular. Además, como la lagrangiana no depende del tiempo, la energía total se conserva.

b) La energía total de la partícula, suponiendo que 0≠l ,

( ) 22

2222

241

21

ρρ

ρρ mgkm

kmVTE +++=+≡

20

depende de una sola coordenada, ρ, y puede tomarse como la energía de un problema unidimensional equivalente donde

( ) 2224121 ρρkmTef +≡

juega el papel de energía cinética, siendo ρ cierta coordenada curvilínea (no cartesiana), y

22

2

2ρ

ρmgk

mVef +=

el de energía potencial. En la figura se han representado los dos términos que contribuyen a este potencial efectivo, en el caso particular . 322 /2 kgm=

La expresión de la energía total permite escribir la relación

ρρ

d)(2)41(

d22

efVEkm

t−

+= ,

cuya integración proporciona la ley horaria del movimiento. Así, para cada valor de , los valores permitidos de la energía han de ser tales que , y para cada uno de estos valores existen dos valores extremos (máximo y mínimo) de ρ, que son las raíces

de la ecuación

efVE ≥

22

2

2ρ

ρmgk

mE += . Cuando el valor de la energía total E coincide con

el mínimo de Vef, el movimiento es circular con radio ρ= ρc, que se obtiene de la condición de mínimo,

02d

d3

2

=−=c

cmín

ef

mmgk

Vρ

ρρ

, es decir, gkmc 2

2 =ρ .

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

0

4

8

12

PotencialGravitatorio

PotencialCentrífugo

PotencialEfectivo

ρ

Vef /(mg/k)

21

c) En la órbita circular, como el radio es constante, se tiene evidentemente 0=cρ . Por otra parte, utilizando la expresión obtenida para el radio de la órbita, ρc, en la de la componente vertical del momento angular resulta el valor de la componente azimutal de la velocidad de la partícula,

gkc 2=ϕ .

Así pues para conseguir que la partícula se mueva según una trayectoria circular con determinado valor del radio, cρρ = , hay que imprimirle una velocidad de componente únicamente azimutal y de módulo cgk ρ2 .

d) Para escribir la ecuación del movimiento general de la partícula, calculemos las derivadas

+=∂∂

−+=∂∂

ρρρρ

ρρρϕρρ

22

222

4

24

mkmL

mgkmkmL

La ecuación de Lagrange correspondiente conduce a la ecuación:

( ) 02441 3

22222 =+−++ ρ

ρρρρρ mgk

mmkkm .

Supongamos ahora que el movimiento se aparta poco de una órbita circular, de manera que

( )ερρ += 1c , con ε « 1.

Sustituyendo en la ecuación del movimiento y despreciando los términos en ε de orden superior al primero, se llega a la ecuación

0

241

82 =

++ εε

gkmk

gk

que es la ecuación de un oscilador armónico de frecuencia

gkmk

gk

241

82

2

+=ω .

------------------------------------------

17. Plantee las ecuaciones del movimiento para el péndulo doble en el caso de pequeñas oscilaciones, escogiendo como coordenadas las longitudes de arco descritos por cada uno de los péndulos. Halle las frecuencias de los modos

22

normales en el caso en el que la masa del péndulo superior es mucho mayor que la del péndulo inferior.

La forma usual de abordar este problema puede quedar resumida en lo siguiente. Si describimos el problema en las variables generalizadas dadas por los ángulos de los péndulos daremos con una formulación que puede englobarse en la siguiente forma general de lagrangiano:

)()(21

,qUqqqML j

jiiji −= ∑

con un punto de equilibrio en q . El estudio de las desviaciones pequeñas alrededor del punto de equilibrio equivale a tomar sólo los términos lineales en las ecuaciones del movimiento, o lo que es lo mismo, la aproximación cuadrática a L:

0=i

jji

ijijji

iji qqKqqTL ∑∑ −=,, 2

121

El problema de hallar las frecuencias de los modos normales es el de resolver la ecuación especial de valores propios:

kkk AKAT ⋅=⋅2ω

en donde T no es una matriz diagonal. Para evitar el complicado problema de la diagonalización en este estadio, podemos en algunos casos diagonalizar la energía cinética ya de partida, en el lagrangiano cuadrático. Esto es lo que pasa en el problema presente. Veamos cómo podemos hacerlo.

El problema nos plantea un péndulo doble, con el superior de longitud L, y masa M, y el inferior,

de longitud l y masa m. La energía cinética no es difícil de hallar:

[ ])-cos(221

21 222222 θϕϕθϕθθ LllLmMLT +++=

Para pequeños valores de θ y ϕ, podemos aproximar el coseno por 1. Como hay un término producto de sus derivadas temporales, estas coordenadas no son ortogonales (no diagonalizan la energía cinética), pero podemos hacerlas ortogonales sumando un múltiplo apropiado de θ a ϕ. De hecho, es fácil ver que una pareja de coordenadas ortogonales está dada por los desplazamientos

ϕθθ lLyLx += = ,

que no son otra cosa que las longitudes de arco descritos por cada una de las masas de ambos péndulos. Es fácil ver que, entonces, la energía cinética se convierte en:

2212

21 ymxMT +=

En función de estas nuevas coordenadas ortogonales es fácil ver que las ecuaciones del movimiento son:

23

( )M m g mg mgx x yML M l M l

g gy x yl l

+= − + +

= −

Hallar la ecuación característica para las frecuencias de los modos normales es relativamente trivial, sobre todo en el límite M>>m, quedando:

lg

Lg

≈≈ 22 y ωω

-----------------------------------------

18. Una partícula de masa unidad que puede moverse libremente en el plano XY, se encuentra inicialmente en reposo en el origen de coordenadas y está sometida a la fuerza que deriva del potencial V(x,y). El potencial es analítico cerca del origen, admitiendo el desarrollo

( ) ( ) ( ) ( )

2

2

21, 3

2

2

22

2

2232 rO

yxVxy

yVy

xVx

yVy

xVxrOVVyxV +++++≡+∇⋅+∇⋅=

∂∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂rr

Estúdiense los instantes iniciales del movimiento, desarrollando las ecuaciones de Lagrange en torno a la condición inicial. Resuélvanse estas ecuaciones suponiendo que, durante estos instantes, el desplazamiento es de la forma ( ) ( ) 5432 tOtttt +++= cbar , y determínense los vectores constantes a, b y c. Calcúlese, así mismo, la trayectoria durante este tiempo y la expresión de la lagrangiana.

La lagrangiana de la partícula es L = T − V, siendo ( )22212

21 yxT +== v . Así pues,

cerca del origen, se tiene

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

000 ;

000 ; 2

2

2

2

2

2

−−−==

−−−==

yxVx

yVy

yV

yLy

yL

yxVy

xVx

xV

xLx

xL

∂∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

lo que conduce a las ecuaciones de movimiento de Newton:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

000

000 2

2

2

2

2

2

−−−=

−−−=

yxVx

yVy

yVy

yxVy

xVx

xVx

∂∂∂

∂∂

∂∂

∂∂∂

∂∂

∂∂

con las condiciones iniciales

( ) ( ) ( ) ( ) 00000 ==== yxyx

Por otra parte, según el enunciado, se tiene

24

( ) 1262 32 tOtt +++= cbar

Sustituyendo r y en las ecuaciones del movimiento e igualando las potencias del mismo orden en t, se obtienen los vectores buscados:

r

( )021

xVax ∂

∂−=

0=xb

( ) ( ) ( ) ( )

+= 0000

241

2

2

2

yxV

yV

xV

xVcx ∂∂

∂∂∂

∂∂

∂∂

Haciendo en estas expresiones el intercambio x↔y, se obtienen las componentes y correspondientes.

Para calcular la trayectoria, x = x(y), hay que eliminar el tiempo t entre las componentes x e y de la ley de movimiento r(t). Para ello invertimos la serie de una de las componentes, la componente x por ejemplo, suponiendo para t un desarrollo de la forma

( ) 22/32/1 xOxxxt +++= γβα

de manera que

( ) 2 22/322 xOxxt ++= αβα

( ) 22/333 xOxt += α

Sustituyendo en la ley de movimiento, se tiene:

( ) ( ) 2 22/32 xOxxax x ++= αβα

de donde, igualando las potencias del mismo orden en x se encuentran los coeficientes del desarrollo de t,

, 0= , 2/1 …βα −= xa

lo que llevado a la componente y de la ley de movimiento, y = ayt2 + ..., proporciona la trayectoria pedida

( ) // 2

0

xOxxVyVy

x

+

=

=∂∂∂∂

que puede calcularse consecutivamente a todos los órdenes

---------------------------------------

19. Considérese un sistema formado por dos esferas de masa m unidas por una varilla rígida de masa despreciable y longitud 2l. El conjunto puede girar libremente en torno al punto medio de la varilla, equidistante de ambas esferas. Este punto está forzado a moverse sobre una circunferencia de radio R colocada verticalmente en el campo gravitatorio terrestre. Determínense las coordenadas generalizadas apropiadas para describir el movimiento del

25

sistema y calcúlese la expresión de su lagrangiana, si la gravedad es la única fuerza presente. Escríbanse las ecuaciones de Lagrange correspondientes y discútase el movimiento del sistema.

z

y

x

θ

ϕ

α

g

Para especificar el movimiento del sistema, lo más conveniente es dar la posición del centro de masas y referir a éste las posiciones de las dos esferas. Como el centro de masas está forzado a moverse sobre una circunferencia, su posición queda determinada dando el ángulo α que forma su radio vector. En cuanto a las esferas, como están unidas por una barra rígida, la distancia que las separa es fija y basta con especificar los ángulos polares esféricos (ϕ,θ) que determinan la orientación de la barra en el espacio. Así, como coordenadas generalizadas del sistema pueden tomarse los tres ángulos (α,ϕ,θ).

Con respecto a un sistema de coordenadas cartesianas con origen en el centro de la circunferencia de radio R, como en la figura, las posiciones de las esferas son:

cos

coscos

1

1

1

+=+=

=

θαϕθα

ϕθ

lRsenzsenlsenRy

lsenx

coscos

cos

2

2

2

−=−=

−=

θαϕθα

ϕθ

lRsenzsenlsenRy

lsenx

Calculando por derivación temporal las velocidades respectivas, resultan las siguientes expresiones para las energías cinéticas:


mT

coscoscos22

21

2222222

211

++−++=

=≡ v


mT

coscoscos22

21

2222222

222

+++++=

=≡ v

de modo que la energía total del sistema es

( ) ( ) ( )[ ]22221 αθϕθ RsenllmTTT ++=+=

Por otra parte, las energías potenciales de las esferas y la energía potencial total son

26

( )θα cos 11 lRsenmgmgzV +==

( )θα cos 22 lRsenmgmgzV −==

αmgRsenVVV 2 21 =+=

A partir de la lagrangiana, L ≡ T − V, calculemos las derivadas

2

2

2 2

2

2

2

L mR

L ml

L ml sen

∂ α∂α∂ θ∂θ∂ ϕ θ∂ϕ

= −

= =

=

=

=

0

cos2

cos2

22

∂ϕ∂

θθϕ∂θ∂

α∂α∂

L

senmlL

mgRL

La ecuación asociada al grado de libertad α,

( ) 0cos22dd 2 =− αα mgRmRt

está desacoplada de θ y de ϕ. Esta ecuación es precisamente la ecuación del péndulo simple,

cos gR

α α= −

de manera que el centro de masas de las esferas ejecuta un movimiento pendular independientemente de como estén girando las esferas. Es decir, el sistema en conjunto se comporta como un péndulo de masa 2m con dos grados de libertad internos que determinan el movimiento relativo de las dos esferas respecto de su centro de masas.

Por otra parte, la coordenada ϕ es cíclica de manera que una constante del movimiento es

CsenmlL== θϕ

ϕ∂∂ 222

de donde, despejando, se obtiene

2

22 θϕ

senmlC

=

La ecuación para θ es

( ) 0cos22dd 222 =− θθϕθ senmlmlt

es decir, sustituyendo el resultado anterior, 2

2 2

cot 02 sin

Cml

θθθ

− =

que es la ecuación que determina el movimiento relativo de las esferas.

-----------------------------------------

27

20. Una partícula de masa m se mueve sobre la superficie de una esfera de radio R y se encuentra sometida al campo gravitatorio terrestre.



Tomemos un sistema de coordenadas cartesianas centrado en la esfera, tal como se indica en la figura

mR θ

ϕ

Utilizando coordenadas esféricas, la posición y velocidad de la partícula vendrán dadas por

−=

+=

−=

===

θθ

ϕθϕϕθθ

ϕθϕϕθθ

θϕθϕθ

sen cos sen sen cos

sen sen cos cos

cos sen sen cos sen

RzRRy

RRx

RzRyRx

de manera que las energías cinética y potencial de la partícula son, respectivamente,

( ) ( ) sen21

21

21 22222222 θϕθ +=++== mRzyxmmT v

θcos 00 mgRVmgzVV +=+=

A partir de la lagrangiana, L = T − V, las ecuaciones correspondientes a los ángulos de orientación son

0dd

=−

∂θ∂

θ∂∂ LL

t

0dd

=−

∂ϕ∂

ϕ∂∂ LL

t

Como la coordenada ϕ es cíclica su momento conjugado se conserva constante, lo que traduce la conservación de la componente correspondiente del momento angular, es decir,

28

sen 22 lmR =θϕ

y la ecuación para θ se escribe como:

sen

cossen 33

2

θθ

θθmR

lmgmR +=

Definiendo el potencial efectivo

( ) sen2

cos1 22

2

θθ

mRlmgRVef ++=

la ecuación para θ queda en la forma

d

d1 2 θθ efV

mR−=

Una gráfica de Vef permite obtener cualitativamente una perspectiva general del tipo de órbitas.

0

1

2

3

4

ππ/2

θ

Vef

5(R/g)

En la figura se ha representado la función (R/g)Vef para el caso particular . La curva a trazos corresponde al término gravitatorio y la curva a trazos y puntos al término centrífugo. La suma de ambos es la curva continua. Como puede verse, las órbitas posibles corresponden a trayectorias acotadas comprendidas entre dos valores, uno máximo y otro mínimo, del ángulo θ que dependen de la energía total de la partícula, la otra constante del movimiento. Para el valor de ésta correspondiente al mínimo de la curva de V

2 322 gRml =

ef, los dos valores de θ colapsan y la trayectoria corresponde a una circunferencia horizontal.

---------------------------------------------

21. Si se multiplica el lagrangiano por una constante las ecuaciones del movimiento no se ven afectadas. Suponga ahora que el potencial es una función homogénea

29

de grado m de las coordenadas: ( ) ( ) ( nrrrVmnrrrVnrrr ,,2,1,,2,1,,2,1 ……… αααα =′′′= )V . Si

se reescala simultáneamente el tiempo (por un factor: β=tt' ) y las

coordenadas espaciales (por dicho factor: α=′l

l l, con señalando una coordenada con dimensiones de longitud), una elección apropiada de ambos factores puede tener como efecto neto el de multiplicar el lagrangiano por una constante.

a) ¿Cuál es la relación entre α y β para que así suceda? b) Una vez obtenida ésta derive a partir de ella, como función de m, las relaciones entre l

l′ y cada uno de las reescalamientos siguientes: tiempos (

tt′ ), velocidades ( v

′v ), energía ( EE ' ) y momento angular ( J

J ′ ). c) Obtenga de las relaciones del apartado b) lo siguiente: - la tercera ley de Kepler, - la relación l cuando el potencial gravitatorio se aproxima por mgh

( ) 2 constante t×=

- la independencia del período con la amplitud en el oscilador armónico

a) Si el potencial reescala como , la energía cinética lo hace como mα 22

βα . Para sacar

factor común a ambos términos del lagrangiano

= 22 βααm , o ( )21 m−= αβ

b) las relaciones solicitadas son:

21

;;2;21 m

ll

JJm

ll

EE

m

ll

vv

m

ll

tt +

′

=

′

′

=

′

′

=

′−

′

=

′

c)

- En el potencial gravitatorio 1−=m . Sustituyendo en la primera relación en b), obtenemos ( ) ( )32 lltt ′=′ , que es la ley de Kepler (las distintas órbitas se transforman unas en otras mediante reescalamientos en el tiempo y el la longitud)

- En el caso del potencial mgh, 1=m , encontramos la clásica relación parabólica entre distancia y tiempo.

- Aquí m . El período debe ser independiente de la amplitud. 2=

22. Considérese un circuito clásico ( inductor-condensador) sin generador,

estudiado en Física General. Recordando que la energía almacenada en el inductor es

LC

2L21 I , siendo I la corriente que circula por él, y que la almacenada

en el condensador es CQ2

21 , establezca una analogía entre estos conceptos

eléctricos y los correspondientes de un sistema mecánico simple. A

30

continuación plantee el Lagrangiano del sistema y obtenga la ecuación diferencial y la frecuencia intrínseca de este circuito resonante.

CL

2Q

m

El problema es muy simple. La analogía puede establecerse de la siguiente forma:

Posición – carga

Velocidad – corriente

Fuerza – diferencia de potencial

Masa – inductancia L

Constante del muelle – inversa de la capacitancia 1/C

La energía almacenada en el inductor 221 L I puede asociarse formalmente a un término

de energía “cinética”. Por su parte, la energía almacenada en el condensador es asimilable, también desde un punto de vista formal, al término de energía potencial de un muelle. En definitiva:

( )212

21 1QL CVTL −=−=

de la que se obtiene la ecuación: ( ) 0L1 =+ QCQ ,de la que sigue fácilmente la frecuencia.

--------------------------------------------- 23. Una esfera uniforme de masa M y radio R se halla encastrada en un agujero

practicado en una fina lámina plana infinita, con una masa por unidad de área de valor σ , de forma a que el plano de la lámina coincida con el plano ecuatorial de la esfera. Un objeto de masa de masa se mueve sin rozamiento a lo largo del eje z (véase figura), perpendicular a la lámina y que pasa por el centro de la esfera. Construya el Lagrangiano del sistema

Z

La dificultad en este pr

partícula. Una vez obte

Consecuentemente, nos

separamos las contribu

simplemente, a una dis

oblema reside en encontrar el campo al que se ve sometida la

nido éste, la construcción del Lagrangiano es inmediata.

concentraremos únicamente en el primer objetivo. Para ello,

ciones del plano y de la esfera. Esta última es inmediata:

tancia del centro de la esfera, a lo largo del eje z z ,

31

2zGM

−

La contribución del plano puede calcularse de la forma siguiente. Tomemos un anillo de

radio ρ , alrededor del centro de la esfera.. Por razón de simetría, sólo tendremos que

calcular la componente z del campo producido por el anillo a la misma distancia

anterior z . En definitiva,

( )( )( ) 22222

ρρρσπρ

++−

z

zz

dG

El campo total producido por el plano resultará de integrar la expresión para el anillo en

el intervalo [ : )∞,R

22

2

Rz

zG

+−

σπ

--------------------------------------------- 24. Sabemos que el oscilador armónico tiene como parámetro característico la

frecuencia ω , que es independiente de las condiciones iniciales. Por el contrario, su amplitud máxima A sí que depende de estas últimas. Sin embargo, existen osciladores en los cuales los papeles de la frecuencia y amplitud máxima se invierten, en el sentido de pasar la frecuencia a ser dependiente de condición inicial y, al contrario, la amplitud máxima convertirse en un parámetro característico del sistema, independiente de la condición inicial. Un caso semejante ocurre en el sistema de la figura, en el que dos masas iguales están unidas por un eje rígido de masa nula. cada una de las masas se mueve sin rozamiento, y en ausencia de gravedad, a lo largo del eje correspondiente, bien sea el x, bien sea el y. Plantee el lagrangiano del sistema, y demuestre que lo aseverado es cierto: la frecuencia con la que oscila cada masa depende de la condición inicial, mientras que su amplitud máxima es siempre la misma.

x

y

A

Al no estar el sistema sometido a fuerzas, fuera de las ligaduras geométricas, el

lagrangiano y la energía cinética coinciden: son iguales a la energía cinética que tiene cualquiera de las partículas, en el instante en que pasa por el origen y la otra está en su

posición de equilibrio,

( )2

22

22

22um

xAxmAL =

−= (1)

donde es la velocidad de una partícula cuando pasa por el origen. Ordenando de nuevo términos en la ecuación (1), llegamos a:

u > 0

32

222

2222222 uxAuxuAxuxA =

+⇒=+

La ecuación final expresa la conservación de la energía de un oscilador armónico cuya frecuencia y amplitud máxima son, respectivamente, u

A y . El movimiento es el de oscilador armónico, pero en el cual la frecuencia depende de la condición inicial (a través de , mientras que la amplitud máxima es siempre constante.

A

u

--------------------------------------------- 25- Suponga que el lagrangiano para un cierto movimiento unidimensional viene

dado por

−= 22

21

21e kqqmtL γ .

a) Escriba la ecuación del movimiento. ¿A qué sistema corresponde? b) ¿Existe alguna constante del movimiento? c) Ponga de manifiesto los distintos movimientos posibles

Suponga seguidamente que se define una nueva coordenada, , dada por S

qtS

=

2exp γ .

d) Escriba la ecuación del movimiento. ¿A qué sistema corresponde? e) ¿Existe alguna constante del movimiento? f) Ponga de manifiesto los distintos movimientos posibles g) ¿Cómo pondría en relación ambas descripciones?

Nota aclaratoria. En el enunciado propuesto en la hoja de examen se deslizó un error. Se sugería el cambio ( tqS )γexp= en lugar del que aparece en el presente enunciado. Está claro que con este último cambio el resultado carece de interés conceptual, tal como ha podido constatar la mayoría de los alumnos. La corrección, evidentemente, se ha hecho según el enunciado del examen, y no con el que aparece aquí. Sin embargo, sí que da interés al problema el cambio propuesto aquí, por lo que será aquél sobre el que elaboraremos. Para terminar, quiero felicitar a los tres alumnos que se han dado cuenta del “buen” cambio. Así lo han hecho constar en el examen a título de comentario y su iniciativa ha sido debidamente valorada a la hora de calificar. a) La ecuación de Lagrange lleva a:

( ) 0=++ kqqmqme t γγ , o

0=++ qmkqq γ ,

b) Aparentemente, podríamos contestar que no existe constante del movimiento al depender explícitamente del tiempo. Pero esta respuesta es un poco precipitada. Veamos por qué. En un sistema mecánico, podemos disponer, en principio, de funciones que permanecen constantes a lo largo del movimiento: =constante. Estas se denominan constantes del movimiento o integrales primeras. Sin embargo, la definición de estas cantidades es más general,

L

( ) ( )( tqtqF , )

33

englobando una posibles dependencia explícita del tiempo, de forma que: = constante. Nada , en principio, excluye la existencia de este último caso de constante del movimiento, aunque, bueno es decirlo, se piensa en la primera forma al hablar de constante del movimiento. Lo que sí queda claro es que, si existe

( ) ( )( )ttqtqF ,,

( )( )( )tt ,qtqF , = constante, no es aparente. Sigamos la evolución del problema para aclarar este extremo. c) Para una solución general del tipo , obtenemos la ecuación característica teq α∝

02 =++mkαγα

con soluciones

mk

−

±−=

2

22γγα

Las distintas posibilidades de movimiento nos vendrán dadas por el valor del

discriminante mk

−

=∆

2

2γ , siempre que 0>γ .

Primer caso: ∆ . En este caso, la solución general queda como un movimiento oscilatorio amortiguado

0<

( )tBtAeqt

∆+∆=−

sencos2γ

Segundo caso: . Movimiento puramente amortiguado 0=∆

20

t

eqqγ

−=

Tercer caso: ∆ . Movimiento también puramente amortiguado 0>

( )ttt

BeeAeq ∆−∆−+= 2

γ

d) Escribimos el lagrangiano en función de la nueva variable

22

21

21

21 kSSSmL −

−= γ ,

del que se obtiene la siguiente ecuación del movimiento

02

22

=

−+ S

mkS γ .

e) Ahora, sí que podemos hablar de una constante del movimiento. La ecuación anterior es la del oscilador armónico, que tiene formalmente la constante

cte2

2

222 =

−+ S

mkS γ

Llegados a este punto, enlazamos con el apartado b). La expresión anterior, una vez desecho el cambio , nos proporciona la contestación a la pregunta que nos hacíamos ahí.

Sq →

34

f) Es fácil responder a este apartado manejando el signo de 2γ−mk , al igual que hicimos en el apartado c). Sin embargo, a la hora de hacer un análisis completo no deberá olvidarse el factor exponencial en la definición de . S g) Ambas descripciones son totalmente equivalentes. La única diferencia es que en la segunda se enmascara el factor exponencial –que no por ello ha desaparecido- pudiéndose con ello poner en evidencia la constante del movimiento –cosa que no era trivial en la primera descripción.

---------------------------------------------

26- Tres puntos de masa pueden deslizarse sobre un círculo de radio b , tal como indica la figura de la izquierda, sometidos a fuerzas derivables del potencial

m

( ) ( )γβαγβα −− ++= ee,, 0VV −e −los ángulos de separación γβα ,, son medidos en

radianes. Cuando 32πγβα ==

21 ,,

=

3

, el sistema se halla en equilibrio. Encuentre las frecuencias de los modos normales del sistema para pequeños desplazamientos del equilibrio (ángulos θθθ ilustrados en la figura de la derecha)

Los ángulos α , β y γ , en términos de 21 ,θθ y 3θ , son:

1232 θθπα −+= ,

2332 θθπβ −+= ,

3132 θθπγ −+= .

Por su parte, el potencial queda:

−−+

−−+

−−−=

31231232

0θθθθθθ

π

eeeeVV

Habida cuenta de que estamos hablando de pequeños valores de 21 ,θθ y 3θ , esta expresión del potencial puede aproximarse por

( ) ( ) ([ 3123123

2

0 3 θθθθθθπ

−−−−−−≈−

eVV )

35

( ) ( ) ( ) −+−+−+ 2

312

232

12 21

21

21 θθθθθθ

La energía cinética va a ser dependiente de las velocidades lineales de las tres partículas. Como el radio b es constante, éstas serán b , para iθ 3,2,1=i . En definitiva, el lagrangiano quedará

( )23

2 2 2 2 230 1 2 3 1 2 2 3

1

1 32 i

iL mb V e

π

3 1θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ−

=

= − + + + − − −∑ ,

con sus correspondientes ecuaciones de Lagrange

( )2

2 31 0 1 2 32 0mb V e

π

θ θ θ θ−

+ − − =

( )2

2 32 0 2 3 12 0mb V e

π

θ θ θ θ−

+ − − =

( )2

2 33 0 3 1 22 0mb V e

π

θ θ θ θ−

+ − − =

Proceder en el análisis de modos normales es relativamente trivial, por lo que se dejan los detalles como ejercicio. La ecuación característica resulta ser

222 2 23

03 0mb V e mbπ

ω ω−

− + =

con soluciones

=−

3031

0

πωe

mV

b

siendo la segunda degenerada.

---------------------------------------------

27.- En un sistema dinámico de 2 grados de libertad la energía cinética es 22

22

2

21

21

)(2qq

bqaq

T ++

= , y la energía potencial esta dada por U 2dqc += , con a, b,

c y d constantes. Mostrar que en función del tiempo es una ecuación de la forma con h, k y constantes.

2qt− 2

0 )(th=222 )2)(( kqkq +− 0t

NOTA: bxab

bxabxa

xdx+

−−=

+∫ 23)2(2

Dado que la energía cinética y la potencial no dependen ni del tiempo ni de la

coordenada tenemos 2 constantes del movimiento: 1q VTE += y 1q

L∂∂ , es decir:

ctepa

qqL

=+

=∂∂

11

1 bq2

=

36

cdqqqbqap

dqcqqbqa

qEVT ++++=+++

+==+ 2

22

222

21

222

22

2

21

21)(

221

)(2

que podemos rescribir como: 221

22

22 CqCqq =−

con C y C constantes: , . 1 2 dbpC 2211 −−= capEC 22 2

12 −−=Y de ahí integrar:

22

21222 q

qCCq

+= → 0

212

22 ttdtqCC

dqq−==

+ ∫∫

21221

2120 3

)2(2qCC

CqCC

tt +−

−=−

que conduce directamente a la ecuación que queremos encontrar con 1

2

CC

k −= y

149 Ch = .

--------------------------------------------- 28.- Una partícula de masa y carga e se mueve bajo la influencia de campos eléctrico y magnético uniformes, mutuamente ortogonales. En un sistema de ejes cartesianos, estos campos son E

m

jE= y kB B= . Encuentre las ecuaciones de movimiento y la trayectoria en el caso en el que la partícula se encuentra inicialmente en reposo en el origen de coordenadas. Las relaciones siguientes le pueden servir de ayuda

( ) ( Avvv

AB

AE

⋅−−⋅=

×∇=∂

)

∂−−∇=

φ

φ

emL

t

21

Los potenciales escalar y vectorial que dan los campos correctos, son

Ey−=φ

( )jiA xyB +−=21

El correspondiente lagrangiano queda

( ) ( )xyyxeBeEyzyxmL −++++=21

21 222

Las ecuaciones de Lagrange correspondientes quedan 0=− eBxm eExeBym =+

0=zm Queda claro de la tercera ecuación y de las condiciones iniciales ( ) 00 =z y , que el movimiento está confinado al plano

( ) 00 =zxy . Las ecuaciones para x e son lineales,

por lo que podemos considerar una solución general del tipo y

( )tλexp , quedando la ecuación característica como

37

022242 =+ λλ Bem con autovalores

2

222

2,1 ,0mBe

−=λ

Con estos resultados en mano, podemos escribir la solución para la trayectoria de la partícula

−= t

meB

eBmEt

BEx sen2

−= t

meB

eBmEy cos12

Es fácil dibujar la correspondiente trayectoria. Es un cicloide con cúspides sobre el eje x , separadas por una distancia 22 eBmEπ . Esta distancia es la velocidad promedio en la dirección x , BE , multiplicada por el período, eBmπ2 , de los términos sinusoidales.

x

y E

---------------------------------------------

29.- Razónese si la siguiente afirmación es verdadera o falsa: a) Las lagrangianas y ),,(1 tqqL ttqAtqqLL ∂∂+= ),(),,(12 son equivalentes, esto es, proporcionan las mismas ecuaciones de movimiento. a) La elección del Lagrangiano de un sistema nunca es única y dada una función lagrangiana, cualquier función de la forma ),,(1 tqqL dttqdFtqqLL ),(),,(12 += , también lo es (Sección 1.4 Goldstein, puede mostrarse por sustitución directa en las

ecuaciones de Lagrange de y de 2LtFq

qF

dtdF

∂∂

+∂∂

= ).

Por tanto para que sea cierto en el caso que preguntado tendría que cumplirse que la función añadida solo dependiera del tiempo: . )(tA

--------------------------------------------- 30. Suponga por un momento que no sabe usted qué forma tiene la energía cinética y desconoce también las Leyes del movimiento de Newton. Le dicen a usted que el punto de partida para describir el movimiento de una partícula viene dado por las ecuaciones de Lagrange, cuya forma le dan, especificándole, sin más detalles, que el lagrangiano es un funcional de la forma ),,( tqqLL ii= . Le piden que con estos datos descubra usted las leyes del movimiento de la partícula libre en coordenadas

38

cartesianas. Usted sabe que ésta es una partícula en el espacio vacío sin fuerzas actuando sobre ella y le dan como pista el concepto de sistema inercial y el principio de relatividad de Galileo. 1. Explique por qué el lagrangiano no puede ser función de z, y, x , ni de cada una de las componentes de la velocidad, , , por separado. Tampoco del tiempo. ¿Sobre qué propiedades del espacio se basará su argumentación?

xv yv zv

Usted llega a la conclusión de que , donde )( 2vL v es la velocidad de la partícula en un sistema inercial K y quiere descubrir la forma exacta. Para ello toma un segundo sistema inercial K’ que se mueve con velocidad constante infinitesimalmente pequeña ε− respecto de K . 2. Pruebe que L _(a constante). Le puede ayudar hacer una expansión en serie de Taylor, despreciar los términos cuadráticos en _ y recordar la propiedad

de invariancia bajo transformación

2avL =

dtdFLL +→ ' L .

3. Pruebe que es una elección consistente para el lagrangiano en cualquier sistema K’ que se mueva con velocidad finita

2'' vL =

0V− respecto de K ; es decir, se satisface el principio de relatividad de Galileo. Los datos del problema son: A) El Lagrangiano es funcional de la forma: ),,( tqqLL ii= .

B) Ecuaciones de Lagrange: 0=∂∂

−∂∂

ii qL

dtd

qL .

C) Estudiamos el movimiento en un sistema inercial. En este sistema de referencia una partícula libre permanecerá en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme por tiempo ilimitado. Esto es equivalente a decir que para este sistema el espacio es homogéneo e isótropo y el tiempo uniforme y de hecho esta es una de las posibles maneras de definir un sistema inercial (basta pensar, en el caso de la isotropía por ejemplo, que con una partícula de velocidad inicial no nula es imposible definir una dirección privilegiada del espacio, dado que sea cual sea la dirección inicial de la partícula el tipo de comportamiento siempre es el mismo). Por supuesto los sistemas inerciales son indistinguibles entre si por lo que las ecuaciones del movimiento han de ser iguales en todos ellos. D) Principio de relatividad de Galileo aplicado a un sistema de referencia inercial K’ se desplaza con velocidad infinitesimal ε− respecto a otro sistema inercial K nos informa que si la partícula libre se mueve con velocidad v en el sistema K lo hará con velocidad

ε en el sistema K’. −v 1) Con los datos A) y C) es directo. La inclusión de una dependencia explicita respecto a las coordenadas o al tiempo implicaría que las ecuaciones del movimiento no respetarían la homogeneidad del espacio y el tiempo. Cualquier referencia a una dirección privilegiada, como sería una dependencia de la dirección del vector velocidad, no respetaría la isotropía del espacio. Por tanto el Lagrangiano solamente puede depender del módulo de la velocidad, es decir: . )( 2vLL =

39

2) Siguiendo las indicaciones del enunciado desarrollamos en serie el Lagrangiano para el sistema K’:

)(2)()2()'( 22

2222 εεεε OvvLvLvvLvL +

∂∂

−=+−= ,

y de la última afirmación de C) y la otra pista del enunciado del problema tenemos que

dtdFvLvL += )()'( 22 y para que esto se cumpla en la ecuación anterior tenemos que

cteavL

==∂∂

2 , de modo que arF ε2−= , donde r es el vector posición de la partícula.

3) Siguiendo el mismo razonamiento que en el anterior apartado tenemos que

)2()(2)(')'(' 200

2200

220

22 tVVrdtdvLVVvvVvvvL +−+=+−=−==

que comprueba que los Lagrangianos de ambos sistemas son compatibles.

--------------------------------------------- 31. Una partícula de masa m se mueve sobre la superficie de un cono de ángulo α

(ver figura) y se encuentra sometida al campo gravitatorio terrestre. a) Calcúlese su lagrangiana e identifíquense las magnitudes que se conservan

durante el movimiento. b) Hállese el potencial efectivo para el problema unidimensional equivalente y

discútase el tipo de órbitas c) ¿Qué velocidad inicial ha de imprimirse a la partícula para que la órbita sea

circular? d) Suponga la masa m en una órbita circular tratada en el apartado anterior.

Suponga que se le imprime un muy pequeño impulso en dirección contraria al vértice del cono. ¿ Qué tipo de trayectoria piensa usted que seguirá el sistema después de hacer esto? En el caso de seguir una trayectoria consistente en la composición de la trayectoria circular original y de una pequeña oscilación alrededor de ésta, calcule la frecuencia de las oscilaciones de pequeña amplitud en torno a la órbita circular. Hágalo sólo en el caso en que piense que esta trayectoria tiene sentido.

a) Siguiendo la figura, tenemos:

θ

α

m

z

y

x

R

40

,,sin,cos

zzRyRx

===

θθ

como la partícula tiene que moverse en la superficie del cono, tenemos una ligadura expresada por la ecuación:

ZR

zhR

=−

=αtan dónde definimos zhZ −= , siendo h la distancia del origen al

vértice del cono. Elegimos como coordenadas generalizadas a Z (que sólo tendrá sentido para ) y θ y definiendo

0≥Zαβ tg≡ obtenemos

,

),cossin(

)sincos(

ZzZZy

ZZx

−=

+−=

−−=

θθθβ

θθθβ

con lo que el lagrangiano tiene la forma

( )( ) mgZZZmL +++= 22222 121 θββ ,

en que la coordenada θ es cíclica y el correspondiente momento conjugado se conserva

θβθθ

22mZLp =∂∂

=

que corresponde a la componente vertical del momento angular. Como la lagrangiana no depende del tiempo, también se conserva la energía. b) Si sustituimos la ecuación anterior en la ecuación del movimiento para la otra variable tenemos

( ) )(1 22 gZmZm +=+ θββ Distinguimos ahora dos casos:

1) Inicialmente el momento angular es nulo, 0=θp , bien por estar situados en el vértice del cono, , o por no tener velocidad inicial en el plano xy, . En este caso el problema se reduce al movimiento de un cuerpo sobre un plano

inclinado. La ecuación anterior se simplifica a

0=Z 0=θ

( )12 +=

βgZ , es decir es un

movimiento uniformemente acelerado en la coordenada Z. El potencial efectivo

es: Zgeff α

β2

2 cos1+

= gZ =V .

2) Si podemos despejar de la ecuación del momento angular 0≠θp

22 βθ θ

mZp

= , que introducimos en la ecuación para la variable Z

+

+= 232

2

211

ββθ

Zmp

gZ ,

y si tomando como potencial efectivo la función tal que

ZV

Z eff

∂

∂−= , obtenemos

41

−

+= gz

Zmp

Veff 222

2

2 211

ββθ .

Si dibujamos este potencial obtenemos una función monótonamente decreciente como la siguiente:

con V en trazo continuo y las dos componentes en trazo punteado. Este potencial para la variable Z corresponderá a un movimiento acelerado, independientemente de las condiciones iniciales la masa tenderá a caer hacia Z cada vez mayores, que corresponden a z cada vez más negativos en la variable original. Por tanto el movimiento será una composición de un giro en el plano xy, dado por la variable

eff

θ , que por conservación del momento angular tendrá cada vez menor velocidad angular a medida que aumente el radio de giro, y de un movimiento acelerado en la dirección del eje negativo de la variable z. c) Con el potencial calculado no pueden existir órbitas circulares dado que V nunca alcanza un mínimo. El único equilibrio que puede alcanzar la partícula vendría de considerarla en reposo sobre el vértice del cono. También podemos darnos cuenta de

esto al intentar calcular el valor de Z que anula

eff

ZVeff

∂

∂, obtendremos sólo valores de Z

negativos, para los que nuestras ecuaciones ya no son válidas. d) Si consideramos la partícula sobre el vértice del cono cualquier pequeña perturbación la sacará de su equilibrio inestable para producir un movimiento de caída acelerado como los descritos en el apartado b). Es decir no tiene sentido considerar pequeñas oscilaciones para potenciales sin mínimos.

---------------------------------------------

42

32. La relación entre las leyes cuánticas y clásicas puede expresarse en la forma en la que se trata en este problema. Para ello tomemos un sistema de un grado de libertad. La frecuencia de la radiación emitida por este sistema de acuerdo con las leyes cuánticas viene dada por hE∆=cuanν , siendo kn EEE −=∆ . Estos estados estacionarios de energía se calculan con ayuda de la condición de cuantización de la acción, ∫ == nhpdqI . En consecuencia, ( )hknII kn −=− . Si , es decir,

examinamos dos estados vecinos:

1=− kn

hI kII k =−=∆ +1 . Combinando esta expresión con la que nos da la frecuencia cuántica, obtenemos

IE ∆∆=cuan*ν (1)

para dos estados contiguos. Obtenga el equivalente clásico de la expresión (1) para el caso del oscilador armónico. ¿Encuentra usted alguna similitud entre las dos expresiones? ¿Podría comentar algo sobre las posibles diferencias?

( )dqVEmpdqI ∫ ∫ −== 2 Tanto la acción como la energía clásicas son funciones continuas. Busquemos la derivada de una respecto de la otra:

( )dq

VEmm

dEdI

∫ −=

2

que, para el caso del oscilador armónico, queda

∫∫∫ ==== Tdtqdqdq

pm

dEdI

en donde T es el período de oscilación. En consecuencia,

dIdE

T==

1*clasν

a comparar con (1). Tanto en mecánica clásica como cuántica las frecuencias vienen dadas por la relación de incrementos de la energía y de la acción, aunque en clásica estos incrementos son infinitamente pequeños mientras que en cuántica son finitos. De hecho, este resultado, demostrado para el oscilador armónico, es válido para todos los sistemas periódicos de un grado de libertad, aunque no haremos la demostración aquí.

--------------------------------------------- 33. Consideremos la definición general de sistema conservativo. A saber, aquel que cumple las siguientes tres condiciones: 1) es válida la forma estándar (holónoma o no holónoma) del lagrangiano; 2) el lagrangiano no es función explícita del tiempo; 3) las ecuaciones de ligadura pueden expresarse en la forma

( los coeficientes son nulos). Por otra parte, si el lagrangiano se

expresa en la forma estándar holónoma y la energía cinética es una forma cuadrática homogénea de las q ’s, un sistema conservativo es además natural.

0l k kk

a dq =∑ l ta

j

a) Demostrar que la definición anterior de sistema conservativo lleva a la

conservación de la llamada función energía: jj j

Lqq

L∂−

∂∑ (integral de Jacobi),

que se reduce a la energía total en el caso de un sistema natural.

43

b) Ahora sea una masa m desliza sin rozamiento dentro de un tubo circular de radio r (véase figura). El tubo gira alrededor de su diámetro vertical (eje Z) con una velocidad angular constante ω . En las coordenadas polares de la figura, compare los sistemas de referencia asociados a un observador externo y a otro que gira con el tubo, respectivamente. ¿En cuál de los dos es este sistema simplemente conservativo y en cuál es también natural? Justifique su respuesta. c) Describa el sistema anterior en coordenadas esféricas. ¿Es el sistema ahora conservativo? Justifique su respuesta. En caso de no serlo, ¿cuál es la razón física para ello?

z

O r

θm

Si , entonces 2 1 0L T T T V= + + − 2 0jj j

L L T Tq

h q V∂= − = − +

∂∑V′ ′

. Si reagrupamos

términos: 2 0

V

V T T′

− = +h T== +

Todo el truco del problema reside en “manejar” apropiadamente los términos en el Lagrangiano. Empecemos con los términos T y V en polares

2 2 2 2 212 ( se

cosT m r rV mgr

n )θ ω θθ

= +

=

dando el lagrangiano en sistema “laboratorio” 2 2 2 2 21

2 ( sen )L m r r mgr cosθ ω θ= + − θ (1) Cumplimos las condiciones impuestas a un sistema conservativo y, por tanto, lo es. La integral de Jacobi es:

2 2 2 2 212 ( sen )h m r r mgr cosθ ω θ= − + θ ,

que NO ES la energía total. Sin embargo, si escribimos de nuevo (1) de forma que L T V′ ′= − con

2 212 2

2 2 20 cos sen

T T mr

V V T mgr r

θ

θ ω θ

′ = =

′ = − = −

T’ es la energía cinética relativa a un sistema que gira con el tubo. La energía potencial V’ incluye el término gravitacional y el término 0T− que tiene en cuenta la fuerza centrífuga. En este caso nuestro sistema es natural y h T V′ ′= + , la energía total (¡cuidado, no en el sistema inercial!) En el caso de coordenadas esféricas ( ), ,r θ φ tenemos

2 2 2 2 212 ( se

cosT m r rV mgr

n )θ φ θθ

= +

=

44

con la ligadura 0d dtφ ω− =0

. El sistema en esta representación NO ES conservativo ya que

k ta ω= − ≠ . Además, la expresión de Jacobi (T V+ , en este caso) no es constante

ya que la ligadura efectúa trabajo sobre el sistema.

---------------------------------------------- 34. Un bloque de masa M2 desliza sobre otro de masa M1 que, a su vez, desliza sobre un plano horizontal (Véase figura). Usando las coordenadas X1 y X2 de la figura, obtenga las ecuaciones diferenciales del movimiento a través de la formulación de Lagrange. Asuma ausencia de rozamientos.

X2

X1

M2

M1

La coordenada 1x es el desplazamiento absoluto de , mientras que 1m 2x es el desplazamiento de m con respecto a Para obtener la velocidad absoluta v de , usamos la ley del coseno para sumar la velocidad de m y la velocidad de respecto de . Obtenemos:

2 1m 2

2

2m

1 m

1m2 2 22 1 2 1 22 cosv x x x x α= + −

siendo α el ángulo formado por el plano con la horizontal. Por lo tanto,

( )2 2 21 1 2 1 2 1 2

1 1 2 cos2 2

T m x m x x x x α= + + −

En presencia del campo gravitatorio, los cambios en energía potencial proceden de cambios en el valor de 2x :

2 senV mgx α= − De aquí

( )2 2 21 1 2 1 2 1 2 2

1 1 2 cos sen2 2

L m x m x x x x mgxα α= + + − +

Las ecuaciones correspondientes: ( )1 1 2 1 2 cos 0m x m x x α+ − =

2 2 2 1 2cos sen 0m x m x m gα α− − =

---------------------------------------------- 35.- Un modelo simple, y de gran utilidad, de molécula triatómica lineal es el de la figura. Vamos a examinar el caso en el que M>m. Plantee el problema en las coordenadas definidas por los desplazamientos de las tres masas de su posición de

45

equilibrio, con sus correspondientes ecuaciones de Lagrange. Intente una solución

0i tx x ei iω= , siendo ω una frecuencia de modo normal

a) ¿Cuántas frecuencias independientes hay y cuáles son éstas? b) ¿A qué movimiento corresponde la menor de ellas?

m M M

k k

X1

1 2

3

( ) ( )2 22 2 21 2 3 2 1 3

1 1 1 1 12 2 2 2 2

L T V Mx mx Mx k x x k x x= − = + + − − − − 2

Ecuaciones : ( )( ) ( )( )

1 1 2

1 2 1 2 3

3 3 2

0

0

0

Mx k x x

mx k x x k x x

Mx k x x

+ − =

+ − + − =

+ − =

El determinante para las frecuencias

2

2

2

02 0

0

k M kk k m k

k k M

ωω

ω

− −− − −

− −=

con soluciones

1 2 320, , 1k k M

M m mω ω ω = = = +

Para 1 0ω = , los desplazamientos son 1 2 3x x x= = , dando a entender que el conjunto de las tres masas se mueve como un sólido rígido, sin oscilaciones internas.

----------------------------------------------

36. La transformación entre coordenadas cartesianas y polares viene dada por θsenrx = ,

θcosry = , siendo lo vectores unitarios en polares:

jiujiuθθ

θθ

θ cossensencos+−=

+=r

A diferencia de i y j, u y u no son constantes.

Puede observar, por ejemplo, que

r θ

θθu

u=

dd r y

y

x

( )θ,r

ur

uθ trayectoria

θ

R

46

rdd

uu

−=θ

θ

1) Sabido esto, calcule las componentes en coordenadas polares de la aceleración y acto seguido plantee las ecuaciones de Newton correspondientes. 2) Exponga la formulación lagrangiana para el problema y compare la forma anterior de obtención de la ecuaciones del movimiento con la que le ofrece ésta.

θθθ

θuuuuuuRv

dtdr

dtdr

dtd

ddr

dtdr

dtdr

dtdr

dtd

rr

rr

r +=+=+==

rr

rr

rr

dtdr

dtdr

dtd

dtdr

dtrd

dd

dtd

dtdr

dtdr

dtd

dtdr

dtd

dd

dtdr

dtrd

dtd

dtdr

dtdr

dtd

dtdr

dtd

dtdr

dtrd

dtd

uuuu

uuu

uu

uuuuuva

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

−++=

++++=

++++==

θθθθ

θθθθθθ

θθθ

θθ

θθθ

θθθ

Con lo que encontramos

22 2

2 22r

r r

d r d dr d dr rdt dt dt dt dt

F Fm

θ

θ θ

θ θ = − + +

= +

a u

F u u

θ=u

47

Extremos condicionados de funciones. Multiplicadores de Lagrange. Resulta más sencillo entender primero el significado de los extremos condicionados sobre las funciones que estamos acostumbrados a manejar. Ejemplo. Encontrar los extremos de la función ( ) 22 yxyxf +=, sujeta a la restricción

01 =−+ yxyx :),(ϕ . Es decir, en lugar de optimizar sobre todo el plano (x,y) nos limitamos a una curva, unidimensional, sobre ese plano. Es evidente que el modo más sencillo de resolver este problema es reducir el problema al mínimo de una función con una sola variable:

xxy −= 1)( , que sustituyendo en f, ( )22 1 xxyxf −+=),( , y podemos derivar y

calcular el extremo: ( ) 0122 =−−= xxdxdf ,

21

21

00 == yx , .

Aunque el mismo proceso sería aplicable en funciones dependientes de un mayor número de variables, una manera de sistematizarlo es aplicar los multiplicadores de Lagrange: Construimos una nueva función ),(),();,( yxyxfyx ϕλλφ ⋅+= que comparte los extremos con f en la región que nos interesa, 0=),( yxϕ . El extremo de dicha función viene dado por un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas

.

,

,

0

0

0

=

=∂∂

+∂∂

=∂∂

=∂∂

+∂∂

=∂∂

ϕ

ϕλφ

ϕλφ

yyf

y

xxf

x

que, teniendo en cuenta yxyx ∂

∂−=

∂∂

→=∂∂

+∂∂

=→=ϕϕϕϕϕϕ 00 & las dos primeras

ecuaciones se reducen a 0=∂∂

+∂∂

=yxϕϕϕ& , es decir al mismo problema de antes.

1

PRINCIPIOS VARIACIONALES 1. Dados dos puntos O y A en un plano vertical, y en presencia de un campo gravitacional vertical,

hallar la curva que los une para que una partícula, que la recorra, tarde el mínimo tiempo posible en ir de un punto a otro, partiendo del reposo.

Sea 0XZ el plano vertical que contiene los dos puntos, O y A, y hagamos coincidir el origen con el punto O

O x

x= f(z) A

z

Si v es la velocidad de la partícula a lo largo de la curva y s el arco, será v = ds/dt, de modo que hay que minimizar la integral

ts

vO

A

= ∫ d

Con la elección de origen y como la partícula parte del reposo, su energía inicial es nula. Luego, de la conservación de la energía, resulta

1

20 22mv mgz v gz− = =, es decir

Sustituyendo en la integral y teniendo en cuenta que el elemento diferencial de arco en el plano es

d d ds x z= +2 2 , se obtiene

tg

x

zz

O

A

=+∫1

2

1 2&

d

donde hemos tomado z como variable independiente y & /x x z≡ d d . La ecuación de Euler-Lagrange del problema es

d

d z x

x

z

∂∂ &

&10

2+

=

Luego el término entre paréntesis no depende de z y podemos ponerlo igual a una constante C. Efectuando la derivada con respecto a &x , se obtiene la ecuación diferencial

( )&

&

x

z xC

x

z

C z

C z1 12 2+= =

− es decir

d

d

La curva pedida será

xC z

C zz

z

=−

∫1 20

d

donde, al integrar, ya hemos impuesto la condición de que la curva ha de pasar por el punto O=(0,0). Para calcular la integral, hagamos el cambio

C z = senθ2

con ello se obtiene, fácilmente,

( )xC

= −1

2 2 θ θsen

2

Por lo tanto, teniendo en cuenta la relación trigonométrica sencos2

2

1

2

θ θ=

−, la curva pedida viene

dada, de forma paramétrica, por ( )( )

x r

z r

= −

= −

θ θ

θ

sen

cos1

donde rC

=1

2 2 . Esta es precisamente la ecuación paramétrica de la cicloide desarrollada por una

circunferencia de radio r. El valor de r se determinada imponiendo que la cicloide ha de pasar por el punto A = (xA,zA). Por ejemplo, dividiendo las ecuaciones paramétricas de la curva y particularizando en A, resulta

x

zA

A

A A

A=

−−

θ θθ

sen

cos1

que es una ecuación transcendente para θ A . Por último, utilizando una de las ecuaciones paramétricas se encuentra

rz A

A

=−1 cosθ

Nótese que necesariamente el punto inicial O, desde el que se suelta la partícula, ha de ser un extremo de la cicloide, tal como hemos esquematizado en la figura.

------------------ 2. Como ejemplo de aplicación del cálculo de variaciones tenemos el siguiente problema. Sea un

muro rectilíneo, de longitud 2a. Deseamos instalar una alambrada de longitud L, que partiendo de un extremo del muro, termine en el otro extremo de éste ¿Cuál debe ser la forma dada al recorrido de la alambrada para que el área encerrada sea máxima?

El área encerrada por la alambrada es ydxa

a

−∫ , mientras que la longitud de la alambrada es

1 2+ ′ =−∫ y dx L

a

a. La ecuación de Lagrange se transforma en:

11

02

−′

+ ′

=d

dx

y

y

λ

Integrando y despejando ′y , queda:

( );

)(2

12

1

Cx

Cxy

+−

+−=′

λ

que, integrado a su vez da:

( ) 22

12 CCxy ++−= λ

Las constantes C C1 2 y se hallan con las condiciones de contorno de la alambrada, quedando:

y x a= − − −λ λ2 2 2 2 .

Para determinar λ volvemos a la condición

1 2+ ′ =−∫ y dx L

a

a

que nos lleva a:

( )λ

λa L=

1

2sen

Para hacer posible una solución de esta última ecuación trascendental, escojamos L a= π , para lo cual

λ = = −a y a x e 2 2 . Para esta elección y x( ) es un semicírculo centrado en el origen; solución que podíamos esperar intuitivamente.

FORMULACIÓN HAMILTONIANA: ECUACIONES

1. El punto de suspensión de un péndulo simple de masa y de longitud l está obligado a moverse a lo largo de una pista horizontal, y está conectado a un punto de la periferia de un volante de masa

m

M y de radio . El volante gira libremente alrededor de un centro fijo en la pista. Hallar la hamiltoniana del sistema, y las correspondientes ecuaciones del movimiento de Hamilton.

a

φφθ

cossincos2

lylax

−=+=

φφ

φφθθ

lsiny

lasinx

=

+−= cos2

( )

( )

⋅⋅=

+−

++=

−=

=====

=

−+=

∫

θφ

θφ

φφθφθθθφ

φ

ρπρππρ

θ

φθφθθθφ

A,21

coscossin2sin222

cos4122

21

cossin2sin22

22222

224

0

2

2

22222

L

mglalmmaIlmL

mglV

MRlaMlarrdrlI

IT

almmalmT

a

D

p

48

φθθ

φθφθθ

θφ

θ

φ

θφθφθ

2cos2sin2224)2sin24(2

12cossin2

cossin22sin24)1(

)1(21

2sin24cossin2cossin22

mlamaIml

mlalmalmaI

TT

P

P

maIalmalmml

−+≡∆

∆⋅

+=−

⋅−⋅=

⋅=

=

+−

−=

A

PAP

AP

A

φφθφθθφθ coscossin4222)2sin24(21 mglPPalmPmlPmaIH −

+++

∆=

No hay ninguna que sea obviamente cíclica, aunque H se conserva: H=E, al no depender explícitamente del tiempo.

Las ecuaciones de Hamilton son:

θθ

θθ

φφ

φφ

PHHP

PHHP

∂∂

=∂∂

−=

∂∂

=∂∂

−=

;

;

-------------------------------------------

2. La Lagrangiana de un sistema con dos grados de libertad puede escribirse en la forma

])()cos[(2

22 tqsintqtsinqmL ωωωωω ++=

¿Cuál es la Hamiltoniana correspondiente?¿Se conserva? Introduciendo la nueva coordenada

tqsinQ ω= , hallar la Lagrangiana en función de Q y su derivada, y también la correspondiente Hamiltoniana H .¿Se conserva H ?

49

[ ]

22

)cos(

)()cos(2

2222

22

mqtsinqmH

LqpH

tqtsinqtmsinqLp

tqtsintqtsinqmL

ωω

ωωωω

ωωωωω

−=

−=

+=∂∂

=

++=

donde

tsintq

tmsinpq

ωωω

ω1)cos( −=

Entonces la Hamiltoniana es:

2)cos(

2222 mqtq

tmsinpmH ωωωω

−−=

No se conserva al depender del tiempo.

22211

1222

1

21

21

)(2

cos

QmPm

H

QmPQQmL

tqtsinqQ

tqsinQ

ω

ω

ωωω

ω

−=

=+=

+=

=

Sí, se conserva.

-----------------------------------------

3. Considérese un cilindro de radio R, libre de girar respecto de su eje de simetría, situado verticalmente, y cuyo momento de inercia respecto de tal eje es I . Sobre la superficie lateral del cilindro está fija rígidamente una espira uniforme ó pista helicoidal, a lo largo de la cual puede deslizarse sin rozamiento un punto material de masa . El ángulo formado por la hélice respecto de la vertical es tal que desciende una altura

mπα2 por cada vuelta que

se da alrededor del cilindro. Supóngase que la partícula parte del reposo desde la parte superior del cilindro y se desliza bajo la influencia de la gravedad. Usando un sistema de coordenadas cualquiera, obtener la Hamiltoniana para el sistema combinado partícula-cilindro, y resolver completamente el movimiento del sistema. Interprétense todas las variables cíclicas del sistema.

50

αφθφθφ

−=+=+=

zryrx )sin(;)cos(

α siendo la constante de la espiral: πα2=L

[ ]2222 )((21 φαθφ ++= RmTparticula

2

21 θITcilindro =

αφmgV −=

[ ] φθθθφφφα mgaIRmL +++++=2

)2(21 2

22222

=

++

=θφ

θφθφα

θφ A),(21)(

),(21

22

222

ImRmRmRRm

T

⋅=

2

1

2

1

φφ

App

( )

+−−+

∆=

2

1222

22

21 )(,

21

pp

RmmRmRImR

ppTα

siendo 42222 ))(( RmmRIRm −++=∆ α

pero θ es cíclica de modo que es constante:2p .2 constp == β Lo que equivale a la conservación del momento angular total. De hecho, como el sistema parte del reposo

0=β ,

.0)( 22 =++ θφ ImRmR

Entonces,

.)(21 2

12 pImRT +

∆=

51

Definiendo ∆+

≡ImR 21

µ,

αφµ

mgp

H −=2

21

Las ecuaciones de movimiento son:

1pH∂∂

=φ ; φ∂

∂−=

Hp1

µφ 1p= ; αmgp =1

)0(;)( 01 ===−= φθαα tmgttmgp en .0=t

20 2

tmgµαφφ +=

242222

2

0 ))((2t

RmmRIRmImRmg

−+++

+=α

αφφ

Movimiento uniformemente acelerado:

µα

φmg

= ; ImR

mRmg+

= 2

2

µα

θ

----------------------------------------

4. Una Hamiltoniana de un grado de libertad tiene la forma

[ ]kbeebqpqbeptqpH ttt +++−= −−− )(22

),,(22

ααα ααα

en donde b,α y son constantes. k

a) Hallar la Lagrangiana asociada a esta Hamiltoniana.

b) Obtener una Lagrangiana equivalente que no dependa del tiempo explícitamente, explicando someramente la base del procedimiento seguido.

c) Escribir la Hamiltoniana correspondiente a esta segunda Lagrangiana y explicar su relación con la Hamiltoniana anterior.

22

22qpqpH γ

βα

+−=

con kbeebbe ttt ++≡≡ −−− )(; ααα ααγβ

HpqqqL −=),( qppH β

α−=

∂q ∂=

52

Entonces,

22

22 qpL γα−=

Sustituyendo el p:

22

2)(

2),( qqqqqL γ

βα−+=

Recuérdese que por el origen variacional de las ecuaciones de Lagrange L es

equivalente al Lagrangiano dtdFLL +≡1

siendo F arbitrario. Nótese que

=− teqdtd α2 .2 2 tt eqeqq αα α −− −

Resulta inmediato ver que

,22

)(2

2221 qkqeq

dtdLL t −=−≡ − αα α

de modo que el Lagrangiano equivalente es el del oscilador armónico:

221 22

qkqL −=α

y el Hamiltoniano asociado es:

.22

221 qkqH +=

α

----------------------------------------

5. Dos masas puntuales y están unidas por una cuerda de longitud constante . La primera partícula puede moverse libremente sin rozamiento sobre un plano horizontal, mientras la segunda cuelga verticalmente de la cuerda que pasa por un orificio practicado en dicha superficie. Obtener el

Lagrangiano, también el Routhiano correspondiente, y el Hamiltoniano. Reducir el problema a una cuadratura.

1m 2ml

1. Lagrangiano. Usamos z y θ como coordenadas.

53

1x θcos)( zl −= , entonces θθθ cossin)(1 zzlx −−−=

θsin)(1 zly −= , entonces θθθ sincos)(1 zzly −−=

22122122

21

211 )(

2221)(

21 θzl

mz

mmzmyxmT −+

+=++=

gzmV 2−=

gzmzlm

zmm

L 2221221 )(

22+−+

+= θ

Nótese que θ es coordenada cíclica: .0=∂∂θL El correspondiente momento conjugado

es constante

.)( 212 αθ

θ==−=

∂∂

= constzlmLp

2. Routhiano.

Es Vzlm

zmm

zlmLpppzR +−−+

−−=−= 221221221221 )(

22)();,( θθθ

Finalmente:

21);,( 21 =ppzR 221

221

22

2)(z

mmgzm

zlmp +

−−−

Las correspondientes ecuaciones de Lagrange tienen un solo grado de libertad, z , puesto que .2 α== constp

El potencial efectivo es .)(2 2

1

2

2 zlmgzm

−+−

α

.0=∂∂

−

∂∂

zR

zR

dtd

Entonces,

).)(2

()( 21

22

221 zlmp

gzmz

zmm−

−∂∂

=+

Naturalmente, una primera integral de la ultima ecuación es la ecuación de la energía:

constEzlm

pgzmz

mm==

−+−

+2

1

22

2221

)(22

Despejando z , se obtiene la solución para :)(tz

∫∫ ∫

−−+

+

==

21

22

221 )(2

)(

zlmp

gzmEmm

z

dztz

dzdt

54

Para la coordenada cíclica )(tθ tenemos:

[ ],

)( 21

2 dttzlm

pd∫ ∫ −

=θ

lo que reduce la solución a dos cuadraturas.

El Hamiltoniano es trivial de obtener al ser diagonal la matriz

a invertir:

21

1211 ;)(

mmp

zzmmzLp

+=+=

∂∂

=

21

2212 )(

;)(zlm

pzlmLp

−=−=

∂∂

= θθθ

T= 21

22

21

21

)(2)(2 zlmp

mmp

−+

+

=+= VTH gzmzlm

pmm

p22

1

22

21

21

)(2)(2−

−+

+

Evidentemente H es también cíclico en .0: 2 αθ

θ ==⇒=∂∂ constpH

Nótese que la existencia de una coordenada cíclica reduce en dos(no en uno) el orden del sistema a integrar, al desaparecer tanto la coordenada como su momento conjugado del problema diferencial. Ello no era obvio en los ejemplos anteriores en los que usamos el formalismo lagrangiano en vez del hamiltoniano.

------------------------------------------

6. A partir de la formulación de Lagrange para un sistema descrito por n coordenadas generalizadas q : i

a) constrúyase una función ( )tpqG ii ,,

i pi

, análoga a la hamiltoniana, en la que las variables independientes sean q y .

b) Dedúzcanse las correspondientes ecuaciones de movimiento.

a) A partir de la lagrangiana , construimos la función ( tqqL ii ,, ) ( )tpq ii ,,G mediante una transformación de Legendre:

( )tqqLpqG iiii ,,−= .

Diferenciando esta expresión se obtiene:

ttLq

qLq

qLqppqG i

ii

iiiii dddddd

∂∂

−∂∂

−∂∂

−+=

55

Aquí, el segundo y el tercer término se anulan en virtud de la ecuación de Lagrange, , mientras que de la definición de momento generalizado,

resulta: ii pqL =∂∂ / ii qLp ∂∂= / ,

ttLqppqG iiii dddd∂∂

−−=

De forma que la diferencial de la nueva función G expresada en función de t como variables independientes.

ii pq , y

b) Para obtener las ecuaciones de movimiento, comparamos el resultado anterior con la forma general de la diferencial de ( )tpqG ii ,, ,

ttGp

pGq

qGG i

ii

i

dddd∂∂

+∂∂

+∂∂

= ,

obteniéndose

ii p

Gq∂∂

= ,

ii q

Gp∂∂

−= ,

tL

tG

∂∂

−=∂∂ ,

que son las ecuaciones del movimiento pedidas.

-------------------------------------

7. En un sistema de n grados de libertad el cálculo de 2n constantes del movimiento del tipo fi(q1,..., qn, p1,...,pn, t), i = 1,...,2n, permite, en principio, integrar el problema. Considérese una partícula de masa m que se mueve en un plano vertical cartesiano (q1, q2) bajo la acción de la gravedad. Sin recurrir a la integración de las ecuaciones de Hamilton, sino utilizando éstas en la ecuación general de una constante del movimiento, encontrar cuatro constantes del movimiento de forma a recuperar a partir de ellas la conocida solución general: q1 = c1 + c2t ; q2 = c3 + c4t − gt2/2. (Nota) : busque soluciones a la ecuación en derivadas parciales para una constante del movimiento que dependan alternativamente de un par de variables conjugadas: primero, sólo de (q1, p1); segundo, sólo de (q2, p2). Combínelas después con otras constantes del movimiento triviales para dar el resultado pedido).

Tomando q1 como la coordenada espacial horizontal y q2 la vertical, la hamiltoniana de la partícula es

22

2

22

21 mgq

mp

mpH ++≡

56

de modo que

, 0 , , 21

2

2

1

1

mgqH

qH

mp

pH

mp

pH

====∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

y las ecuaciones de Hamilton son

−=

=

=

=

mgp

p

mp

qmp

q

2

1

22

11

0

Mientras que la condición para que una función f(q1, q2, p1, p2, t) sea una constante del movimiento es

02

2

1

1

2

=+++−tf

qf

mp

qf

mp

pfmg

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

Busquemos una solución a esta ecuación del tipo f(q1, p1, t). Una simple inspección de la ecuación permite ver que

11

1 cm

tpq =−

es una solución. Procediendo de forma equivalente, podemos ver que

21 mcp =

2

3

22

2 cgtm

tpq =−−

42 mcmgtp =+

son también soluciones. Combinando todas ellas, encontramos la trayectoria del tiro parabólico.

-----------------------------------------

8. La ecuación de movimiento de una masa que se desliza sin rozamiento bajo la influencia de la gravedad, a lo largo de un cable cuya forma es la de una curva suave

m

)(xfy = , viene dada por:

0hcoshsenhcosh 22 =++ xgsenxxxxx .

a) Demostrar que la simple definición xmp = lleva a una representación de la ecuación de movimiento anterior en variables que ( , )x p no es hamiltoniana.

b) Encontrar la buena definición del momento conjugado a la posición x que sí lleva a una representación hamiltoniana.

c) Encuentre el hamiltoniano.

a) Haciendo la transformación pxm = , la ecuación del movimiento se reduce a:

57

xH

xxmgx

mpp

pH

mpx

∂∂

∂∂

−=−−=

==

coshtanhtanh

,

2

Queda claro que, con estas ecuaciones, no se cumple pxHxpH ∂∂∂∂∂∂ 22 = . No pueden, por lo tanto, derivar de un formalismo hamiltoniano.

b) La energía potencial es V )(),( xfmgmgyyx == . Mientras, la cinética viene dada por:

( )22222 )(2

)(2

xfxxmyxmT ′+=+=

Una vez construido el lagrangiano, llegamos a la siguiente ecuación de Lagrange:

( )[ ]( ) ( ) 0)()()(2)(1

)()(1

2

2

=′′+′′′+′+

=′+′+

xfmgxfxfxxmxfxm

xfmgxfxmdtd

Identificando términos con los de la ecuación del enunciado:

xxfxxxfxf

xxf

senh )(;cosh senh )()(2

;cosh)(1 22

=′=′′′

=′+

De lo que deducimos fácilmente que:

xxf cosh)( =

Dicho todo lo anterior, es fácil ver que:

( ) ( )xmpxxxm

xLp 2

2

senh1;senh1

+=+==

∂∂

c)

( )

( ) xmgxm

p

xmgxxmpxLpxH

coshsenh12

1

coshsenh121

2

2

22

++

=++−=−=

------------------------------------------- 9. Obtenga el hamiltoniano de un móvil, sometido a un potencial V, que se

desplaza sobre un disco horizontal que gira con una velocidad angular constante ω . Hágalo en los sistemas de referencia del laboratorio y del disco y establezca la relación entre ambos hamiltonianos. Utilice la notación ( ) para las coordenadas en el sistema “laboratorio” y para las correspondientes en el sistema que gira con el disco.

lablab , yx( yx, )

58

Lo importante aquí, es tener en cuenta que, para la construcción del hamiltoniano, T y V tienen que ser evaluadas en el sistema inercial (laboratorio).

( )lablab2lab ,

2yxVvmL −=

Las ecuaciones que relacionan las coordenadas del sistema laboratorio y las del sistema no inercial giratorio, son:

θθθθ

sencossencos

lab

lab

xyyyxx

+=−=

Si el disco gira, por ejemplo, en el sentido contrario a las agujas del reloj, la diferenciación con respecto al tiempo de las ecuaciones (con tωθ = )

( )( )θθωθθ

θθωθθ

sencossencos

cossensencos

lab,

lab,

yxvvv

yxvvv

xyy

yxx

−++=

+−−=

Un simple cálculo nos lleva a:

( ) 22222lab 2 ryvxvvvv xyyx ωω +−+=

( )222 yxr += . Sustituyendo la expresión anterior en el lagrangiano inicial, obtenemos su representación en las coordenadas del sistema giratorio. El paso siguiente es el de la obtención de los momentos en el sistema giratorio.

( )

( )xvmvLp

yvmvLp

yy

y

xx

x

ω

ω

+=∂∂

=

−=∂∂

=

El hamiltoniano en el sistema no inercial se construye de la forma usual

LvpvpH yyxx −+= =

( ) ( ) ),(2

22

yxVxpypm

ppyx

yx +−++

ω

Finalmente, la relación entre ambos hamiltonianos se obtiene teniendo en cuenta que el correspondiente al sistema inercial será aquél que resulta de hacer nula la velocidad angular en la ecuación anterior:

zlHH ωωω −= =≠ 00

-------------------------------------------

10. La relación entre los hamiltonianos de una partícula moviéndose en un potencial V, definidos, respectivamente, en un sistema inercial y en un sistema no inercial que gira alrededor del eje z con velocidad angular constante ω , es

59

zinercialinercialno lHH ω−=− ( l es la componente correspondiente del momento angular definido en el sistema no-inercial). Haciendo uso de esta última relación demuestre el Teorema de Larmor, que asegura que puede eliminarse el efecto de un campo magnético estacionario uniforme sobre una partícula cargada en movimiento colocándose el observador en un sistema de referencia giratorio. Halle la frecuencia con la que debe girar el sistema de referencia no inercial (frecuencia de Larmor).

z

+ce

Ayuda: Recuerde que el lagrangiano de una partícula cargada en un campo

electromagnético viene dado por Avc

eemvL ⋅+Φ−= 2

21 . Recuerde también que la

ecuación ( rBA )×= 21 define un campo magnético uniforme. Por último, tome el eje z

como dirección del campo uniforme B y como eje de giro del sistema giratorio.

Dado el lagrangiano del enunciado del problema es fácil obtener el momento conjugado y el hamiltoniano (recuerde que estamos en un sistema inercial). Son, respectivamente,

Φ+

−== eA

cep

mHAvmp inercial

2

21 ,

H es constante sólo si los campos son estacionarios. En el campo magnético de características impuestas en el enunciado –campo magnético uniforme en la dirección z y ( rBA )×= 2

1 – el hamiltoniano se transforma en:

( )2 22 2 1 2

22 4 22x y

p e eBH B e zinercial m mmc

+= + + Φ −

lc

)

Podemos, ahora, invocar el problema 9. Es posible establecer una comparación con la relación del enunciado si tenemos claro que la componente del momento cinético canónico en el sistema inercial y en el no-inercial. Esto siempre puede comprobarse aplicando una transformación del sistema de coordenadas del laboratorio, ( 1 1,x y , a las

del sistema giratorio ( ),X Y :

1 1

1 1

sin sin ,sin sin

X x u wt y wtY y u wt x wt

= += −

.

Una vez comprobado esto es inmediato encontrar la frecuencia de Larmor y el hamiltoniano en el sistema giratorio:

mc

eBL 2

−=ω

Φ+

+= eBr

mce

mp

giratorioH 2241

22

2

2

2

Vemos que el término lineal en B está ausente. Esto indica que, si el campo es pequeño, la dependencia en éste es despreciable (en términos de segundo orden).

60

-------------------------------------------

11. Sabemos que no existe una forma estándar de obtener una función generatriz

que lleve a una formulación más conveniente. Sin embargo, el empleo de las propiedades que deseamos en la formulación de destino, permite obtenerla fácilmente. Un ejemplo clásico es el de la función ( )tQqF ,,1 en el caso de la caída libre de un cuerpo en un campo gravitatorio . Queremos que en la nueva formulación, el Hamiltoniano,

mgqK , sea sólo función de la coordenada, Q , y que

se cumpla la equivalencia entre los dos momentos, pP = . Obtenga a partir de estos requisitos la forma de la función ( )t,QqF ,1 . (Recuerde que qFp ∂= ∂1 ,

QFP ∂∂−= 1 y tFHK ∂∂+= 1 ) Partimos de la expresión HK = , que se traduce en el contexto presente en

( ) mgqm

pQ +=2

f2

,

entendiéndose que f expresa la forma de ( )Q K . De esta última expresión obtenemos

( )[ ]2122f2 gqmQmp −= Podemos hacer uso del requisito dado por la identificación de ambos momentos

QF

qFPp

∂∂

−=∂∂

== 11

Se desprende que ( ) mgQQ =f . Finalmente, la función generatriz resulta de la integración de la ecuación

( )[ ]qFqQgmp∂∂

=−= 12 21

2

dando ( ) ( )[ ]232

21 23

1, qQgmgm

QqF −−=

------------------------------------------- 12. ·Un cuerpo, de masa m=1, se mueve en un campo en el cual la energía potencial

es , siendo g la aceleración de la gravedad. Se sabe que la ecuación del movimiento es

g f x( )

0)()()( =++ xgCxxBxxA , siendo A(x), B(x) y C(x) tres funciones continuas. Si , axaaxaaxaxA 4-e243-e282-e241)( +−+=

a.- ¿Cuál es la expresión de la energía potencial?; Dibújela; b.- ¿ Cuál es la expresión del hamiltoniano?; c.- ¿ Cuál es la frecuencia de las pequeñas oscilaciones alrededor del equilibrio?

Sea V la energía potencia. La ecuación de Lagrange es: f(x)),( ggyyx ==

( ) ( ) 0fff2f1 2 =′′+′′′+′+ gxxx , con dxdff =′ .

Comparando con la ecuación 0)()()( =++ xgCxxBxxA ,

identificamos

61

2f1)( ′+=xA Si A x( ) es la expresión dada en el enunciado, tendremos:

2axe1f

axe1axae2f

ax4e24ax3e28ax2e242f

−−=⇒

−−−=′⇒

−+−−−=′ aaa

a) La energía potencial es V y su gráfica es: 2axe1

−−= g

b) El hamiltoniano es , con: VTH +=

( ) ( )( )( )2ax

2ax42ax32ax222

22222

e1

);(2

e4e8e412

f22

−

−−−

−=

=+−+

=′+=+=

gV

xAxmaaaxm

xxmyxmT

c) La frecuencia de las pequeñas oscilaciones alrededor del equilibrio (x=0) vendrá dada a partir del desarrollo de V para pequeños desplazamientos:

( ) )(e1 3222ax xOxgagV +≈−= − quedándonos con el término cuadrático, obtenemos el potencial de un oscilador armónico, de frecuencia:

mga 2

=ω

-------------------------------------------

13.- Encontrar el Lagrangiano y el Hamiltoniano de un péndulo que consta de una masa m unida a una vara rígida y sin masa AB de longitud l,libre de moverse en el plano vertical. El extremo A de la vara sólo puede moverse en la dirección vertical y de modo que su desplazamiento respecto al origen de coordenadas O esta fijado por una función del tiempo )(tγ . La gravedad actúa verticalmente y hacia abajo. b)Mostrar que la aceleración vertical del punto A, )(tγ , tiene el mismo efecto sobre la ecuación del movimiento que una campo gravitacional dependiente del tiempo.¿Se conserva el Hamiltoniano? ¿Es el Hamiltoniano igual a la energía total del sistema?

62

a) Tomando como coordenada la variable θ de la figura tenemos

θlsenx = , θγ coslz −= → , θθ coslx = θθγ lsenz +=

( )2 2 21 1 22 2

T mv m l lsen 2θ γ θ θ γ= = + + ; ( )γθ −−= coslmgV ,

( ) ( )2 2 21 2 c2

L m l lsen mg l osθ γ θ θ γ θ γ= + + + − ;

θγθθ θ senlmlmpL

+==∂∂ 2 → 2ml

senlmp θγθ θ −=

Vmml

senmlpLpH +−

−=−= 2

2

2

21)(

21 γ

θγθ θ

θ

b) θθγθγθθ

cos2 mlsenmlmlLdtd

++=∂∂ ; θθθγ

θmglsenmlL

−=∂∂ cos

0coscos2 =+−++ θθθγθθγθγθ mglsenmlmlsenmlml

.)( θθθγ

θ senltgsen

lg

lsen

−=−−= dónde γ+= gtg )( .

Dado que el Hamiltoniano depende del tiempo, a través de γ(t), no es una cantidad

conservada. La ecuación que define la coordenada θ, zt

xtg−

=)(γ

θ , también depende

del tiempo por lo que la Hamiltoniana no representa la energía total del sistema (puede comprobarse directamente sobre la expresión calculada).

------------------------------------------- 14. Razónese si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: a) Dado un sistema hamiltoniano (por simplicidad de un grado de libertad) una cantidad dinámica que depende explícitamente del tiempo podría ser constante del movimiento.

),,( tpqF

b) El sistema dinámico 212221

211 ;

2xxxxx

xaxx −=−−= , es un sistema

hamiltoniano. a) No existe ninguna condición que exija que una constante del movimiento no dependa del tiempo, siempre y cuando cumpla la condición:

63

[ ]tFFH∂∂

=, .

b) Para que un sistema sea hamiltoniano tiene que existir una matriz H tal que el sistema tenga la siguiente estructura

12

21 ;

xHx

xHx

∂∂

−=∂∂

=

y esto solo se cumplirá si 2

1 2

1 1 2 2

x xHx x x x∂ ∂∂

= = −∂ ∂ ∂ ∂

y fácilmente vemos que no se cumple para el sistema propuesto.

------------------------------------------- 15. A partir de la formulación de Lagrange para un sistema descrito por n coordenadas generalizadas : iq1. Constrúyase una función G análoga a la hamiltoniana, en la que las variables independientes sean q y .

),,( tpq ii

i ip2. Dedúzcanse las correspondientes ecuaciones de movimiento.

Realicemos una transformación de Legendre para

y diferenciemos dicha expresión

que, reorganizando queda

Por otro lado, teniendo en cuenta la forma funcional requerida para su diferencial total debe ser

Igualando ambas expresiones diferenciales

y reorganizando

Debido a la independencia de variables ha de cumplirse

64

Teniendo en cuenta las ecuaciones de Lagrange

obtenemos

con lo que las ecuaciones del movimiento con la nueva funcional G serán

-------------------------------------------

16. En el sistema representado en la figura, el cilindro se mueve por rodadura sobre una superficie lisa, la varilla del pédulo es rígida y muy ligera y la bola del péndulo es pequeña. (ver figura al inicio de la solución). Se pide: 1 - Hallar el lagrangiano , el hamiltoniano y las ecuaciones del movimiento suponiendo que la unión entre el péndulo y el cilindro es rígida. 2 - Hallar lo mismo que en el apartado anterior pero suponiendo que la unión entre el péndulo y el cilindro es articulada y sin rozamiento. 3 - En el caso anterior, hallar la reacción a la que está sometida la unión péndulo-cilindro. 4 - Hallar las frecuencias de oscilación para pequeñas desviaciones de la posición de equilibrio. Discutir los límites para M << m y m << M. (Nota: Este problema fue propuesto por un alumno en la sección de Buzón de Intercambio de la pagina web de la asignatura. NO es un problema planteado en los EXAMENES) 1). En el caso de una unión rígida el conjunto cilindro-péndulo tiene un único grado de libertad, ya que el desplazamiento del cilindro sobre el plano y el ángulo de oscilación del péndulo son proporcionales. Tomaremos como coordenada el ángulo θ que forma la horizontal con el péndulo.

65

-θ

La coordenada cartesiana X del cilindro, tomando como origen la posición del cilindro en la que θ=0, será: X Rθ= − → X Rθ= − , y las coordenadas del péndulo son: x lsen Rθ θ= − → cosx l Rθ θ θ= − ,

θcosly −= → . θθ senly =La Energía Cinética es la suma de las energías de la masa suspendida en el

péndulo y del cilindro, que tiene energía de translación y de rotación:

( ) ( )

( )

22 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 12 2 2 2 2 2 2

3 1 1 3 2 cos4 2 2 2

XT Iw MX m x y MR MX m x yR

MX m x y M m R ml mlR θ θ

= + + + = + + +

+ + = + + −

=

Construir ahora el Lagrangiano y el Hamiltoniano es inmediato:

2 2 21 3 2 cos cos2 2

L M m R ml mlR mglθ θ θ = + + − + ,

2 23 2 cos2

Lp M m R ml mlRθ θ θθ∂ = = + + − ∂

,

( )2

2 2

1 cos2 3 2 2 cos

pH p L mglm M R ml mlR

θθθ θ

θ= − = −

+ + −.

Las ecuaciones del movimiento son también inmediatas, calculemos ahora la ecuación de Lagrange

( )( )2 2 2 23 2 2 cos 0

L d Ldt

mlR sen mgl sen m M R ml mlR mlR sen mglsenθ θθ θ θ θ θ θ θ θ

∂ ∂− =

∂ ∂− − + + − + + =

(1). Si consideramos la ecuación de movimiento E T V= + , con

66

22 23 2 cos cos

2 2E M m R ml mlR mglθθ θ = + + − −

( ) 2

2 2

2 cos3 2 cos2

E mgl

M m R mlR ml

θθ

θ

+=

+ − +

, y por tanto

( )

2 2

0 0

3 2 cos2

2 cos

t M m R mlR mldt d

E mgl

θ θθ

θ

+ − + =

+∫ ∫ (2)

2). En el caso en que la unión es articulada tenemos dos grados de libertad. Necesitamos dos coordenadas generalizadas: mantendremos el ángulo θ del apartado anterior, y X, posición del cilindro

sincos

x X ly l

θθ

= += −

, cos

sinx X ly l

θ θ

θ θ

= +

=.

Y el Lagrangiano

( )2 2 2 21 32 cos cos2 4

L m X l Xl MX mglθ θ θ= + + + + θ (3)

y las ecuaciones de Lagrange: 2

2

3 cos sin 02

cos sin 0

x m M ml ml

xml ml ml

θ θ θ θ

θ θ θ

+ + − =

+ − =

, (4)

y a partir de ellas podemos despejar la ecuación para el ángulo 23 sincos sin 0

cos 2 cos 2lml m M ml g m Mθθ θ θ θθ θ

− + − − +

3= (5)

A partir de aquí es directo calcular el hamiltoniano y las ecuaciones del movimiento. 3). La reacción a la que esta sometida la unión péndulo-cilindro es igual a la fuerza ejercida para mantener la ligadura de esta unión. Para calcular esta fuerza sólo tenemos que plantear el problema ignorando la ligadura, con tres grados de libertad correspondientes a los movimientos horizontales de M y m y al vertical de m, y a partir de la expresión de la ligadura calcular el multiplicador de Lagrange correspondiente. Si suponemos que la masa m no esta ligada al cilindro y tomando como coordenadas generalizadas: z, coordenada horizontal del centro de masas, θ y r coordenadas polares de la masa m con el origen de coordenadas en el centro del cilindro, tenemos que

θrsenmzX '−= → , θθθ senrmrmzX 'cos' −−=θrsenMzx '+= → , θθθ senrMrMzx 'cos' ++=

θcosry −= → , θθθ cosrsenry −=

con Mm

mm+

=' y '1' mMm

MM −=+

=

y la ligadura vendrá dada por (notación del apartado 2.4 del Goldstein): 0),,( =−= lrrzf θ → → 0=dr 11 =ra , 011 == zaa θ .

Por tanto la Lagrangiana tendrá la siguiente expresión:

67

( ) ( ))

2 2 2 2 2 2 2 222

2

1 2

1 3 sin cos2 2

cos sin 2 sin cos cos

mL m M z m r r r rm

z r r rr m mgr

µ 2θ θ µ θ θµ

µ θ θ θ θ θ θ µ θ

= + + + + +

− + + − +

, con

)(1 MmmM +=µ , 22 )()23( MmmMmM ++=µ .

La única ecuación de Lagrange que necesitamos para calcular el valor de λ es:

01 =+∂∂

−∂∂

rarL

dtd

rL λ

11 =ra

, donde substituimos las condiciones de ligadura r ,

, para obtener la expresión de la fuerza de ligadura:

0, === rrl

2 2 212 2sin ( ) cos ( cos ) cos

2z l m sen l m sen mgµλ θ θ µ θ θ θ θ µ θ θ= − + − − + − .

4). A) Para el primer caso, tenemos que el punto de equilibrio es 0=θ , por lo que para oscilaciones pequeñas la ecuación (1), con 1cos, ≈≈ θθθsen y despreciando términos de orden mayor a 1, toma la forma

2 23 2 02

mgl m M R ml mlRθ θ + + + − = ,

y por tanto la frecuencia de oscilación será

2 23( ) 22

mglwm M R ml ml

=+ + − R

.

Sobre la que podemos tomar los siguientes limites: - M>>m, y entonces . Se comportaría prácticamente como un cilindro

girando sobre el plano, en el que no habría movimiento periódico. 0→w

- m>>M, y ( )22 2 2

gl glwR l lR R l

→ =+ − −

.

B) Idem para el segundo caso. La ecuación (5) la podemos escribir como:

( )32 03

2

g m M

Mθ θ

++ =

y por tanto

( )32

32

g m Mw

M

+= ,

y los limites son:

- M>>m, y entonces lgw = , que corresponde a la frecuencia de un péndulo

simple. El movimiento del cilindro será igual al del centro de masas, velocidad constante, y estará desacoplado del péndulo.

- m>>M, y 32

gw Mlm

→ , es decir cómo un péndulo de longitud 3'2Ml l . m

=

68

------------------------------------------- 17. Una partícula de masa m tiene su movilidad restringida a la superficie de una esfera de radio R. No actúan fuerzas exteriores sobre la partícula. a) ¿Cuál es el número de coordenadas generalizadas necesario para describir el problema? b) Escoja el sistema de coordenadas más apropiado y escriba el lagrangiano y el hamiltoniano c) Pruebe que el movimiento de una partícula se realiza a lo largo de un círculo máximo. a) y b) Son dos grados de libertad y escogiendo coordenadas esféricas

( )θϕθ 2222 sen21

+= mRL

y

+=

θϕ

θ 2

22

2 sen21 p

pmR

H

c) constantesenp 0 22 ==⇒=∂∂

−= θϕϕ ϕϕ mRHp

Podemos coger las coordenadas ( )ϕθ , tal que la condición inicial es ( ) 00 ==tϕ . Como en este caso no puede ser cero para todo tiempo, concluimos que θ2sen 0=ϕ para todo t. El movimiento de la partícula se realiza a lo largo de un círculo máximo.

------------------------------------------- 18. Obtenga las ecuaciones de Hamilton para los casos siguientes. 1.- Caso en el que las fuerzas generalizadasQ sean suma de una componente

derivada de un potencial y de otra que no lo es:

i

i ii

Vq

Q Q∂ ′= − +∂

2.- Caso de un sistema no holónomo, con ecuaciones de ligadura 0l k k l tk

a q a+ =∑ .

En un caso u otro tenemos, respectivamente

k

j jkk k j

Qd L Ladt q q λ′∂ ∂ − = ∂ ∂

∑

o, lo que es lo mismo k

k j jkk j

QLp aq λ′∂ − = ∂

∑

Por lo tanto, aplicando el procedimiento usual de obtención de las ecuaciones de Hamilton, se obtiene

k

k k j jkk k j

QH Hq p ap q λ′∂ ∂ = = − + ∂ ∂

∑

junto a las ecuaciones 0l k k l t

ka q a+ =∑

69

------------------------------------------- 19.- Una partícula de masa se mueve sobre la superficie de rotación dada

por la ecuación

1=m

ρ1

ρ1

2 −−=z , dónde . La partícula está sometida a la

acción de la gravedad (tomar por comodidad

222 yx +=ρ

1=g ) dirigida en el sentido negativo del eje z.

a) escribir el lagrangiano y el hamiltoniano del sistema. b) Determinar las integrales primeras del movimiento. c) Discutir las condiciones para las que existe movimiento en todo tiempo (no

alcanza reposo), las que producen una órbita acotada (en ρ ) y las que producen una órbita ilimitada.

a) Tomando coordenadas polares ya que es una superficie de revolución tenemos que el lagrangiano y el hamiltoniano vienen dados por

2

222

322 11

2211

21

ρρθρ

ρρρ +++

++=L y

22

2

2

32

2 112211

21

ρρρ

ρρ

−−+

++

=JPH , dónde θρ PJPP == , .

b) Las integrales primeras son la energía y el momento . θρ 2=Jc) Podemos interpretar el movimiento como uno unidimensional sujeto a un potencial efectivo

ρρ111

2 2

2

−

−=

JVeff .

Podemos distinguir ahora dos comportamientos i. Si el potencial esta acotado inferiormente 22 >J

Por tanto si el movimiento esta limitado, la variable 0<E ρ esta acotada superior e inferiormente. Si la variable 0≥E ρ aumenta indefinidamente. ii Si la gráfica del potencial efectivo tiende a menos infinito en el origen 22 ≤J

70

Por lo que si 0<E el movimiento esta acotado.

71

TRANSFORMACIONES CANÓNICAS, CORCHETES DE POISSON Y ECUACIÓN DE HAMILTON-JACOBI

1. En un Hamiltoniano de dos grados de libertad independiente del tiempo nos basta encontrar otra constante del movimiento para poder decir que el problema está integrado. Si esta segunda constante, I(p,q), es a su vez independiente del tiempo, debe satisfacer la condición: [I ,H ] = 0. Supongamos una partícula de masa unidad moviéndose en un potencial bidimensional

. Hallar: la constante más simple de la forma , donde e y f son funciones a determinar, y una forma

correspondiente del potencial V , para poder asegurar que el problema está integrado. ¿Cuál es el significado físico de I ? Con lo que usted sabe de mecánica, ¿ hay una forma consistente de hallar la forma general del potencial sin resolver ecuación alguna?

),( 21 qqV

21 )()()( pfpeI qqqp, +=

Si insertamos H e I en la condición [I ,H ] = 0, e igualamos los coeficientes de los términos en los momentos, encontramos:

.0 ,0 ,0 ,0212121

=+=+==qVf

qVe

qe

qf

qf

qe

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

De las tres primeras ecuaciones podemos obtener, por ejemplo:

12 , qfqe =−= .

La constante es entonces:

1221 pqpqI −= ,

que no es otra cosa mas que el momento angular. Es razonable pensar que el potencial es un potencial central,

)( 22

21 qqVV += ,

enteramente consistente con la cuarta ecuación en derivadas parciales.

--------------------------------

2. En el caso de un sistema unidimensional con la hamiltoniana

2

2

21

2 qpH −=

determínense las funciones f(q,p) y g(q,p) de manera que

( ) ( )tpqgpqfD ,, +=

sea una constante del movimiento.

La función D debe ser solución de:

73

[ ] , DHtD=

∂∂

lo que, utilizando la forma de D, lleva a la ecuación

+ HtgHfHg tqg

pH

qf

ppqpq ∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

−

Igualando los coeficientes de t, se llega a las ecuaciones

−=

0 =−qgHgH ∂∂∂∂

ppq ∂∂∂∂

gqf

pH

pf

qH

=−∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

La primer ecuación muestra que g = H es solución. Utilizando este resultado en la segunda, ésta queda

2

12

1 2

2

3 qp

qfp

pf

q−=−

∂∂

∂∂

con lo que

2

; 2

pqfq

pf

−=−=∂∂

∂∂

es decir:

2

pq

f −=

--------------------------

. Sean q y p la coordenada y el momento generalizados de un sistema material

terminar Q de la forma más general posible, de modo que la

b) ra P la solución general

------------

3de un grado de libertad; sean Q y P funciones de q y p tales que P = q + p. Sepide

a) Detransformación de (q,p) a (Q,P) sea canónica;

Demostrar que cualquiera que sea la expresión paviene dada por

),()( pqgPfQ +=

donde g(q, p) es solución particular de la ec ación [Q,P] = 1.

ara que la transformación sea canónica debe cumplirse

u

P

1=∂∂

∂∂

−∂∂

∂∂

pqqpQPQP

74

Si P = p + q, la condición anterior queda como:

.1=∂∂ pq∂

−∂ QQ

La solución de la ecuación anterior es suma de la correspondiente a la ecuación homogénea y de una solución particular de la ecuación completa. La integral de la ecuación homogénea es de la forma:

)(hom qpfQ +=

siendo f una función arbitraria. Por otra parte, Q = q es una solución particular de la ecuación inhomogénea, luego la solución general es:

)( qpfqQ ++=

Para el caso general en que P es una función cualquiera de p y q, la solución a la ecuación homogénea, [P,Q] = 0, es de la forma Q , como puede verificarse por

4. Una masa m está conectada a un resorte de constante k1 y oscila armónicamente sin rozamiento con una amplitud inicial A1. Se reduce la

uy despacio)

)(hom Pfsimple sustitución.

-----------------------------------

constante del resorte de modo adiabático (equivalente a hacerlo mde forma constante hasta llegar a un valor k2 (suponga, por ejemplo, que calentamos el resorte). Calcúlese la nueva amplitud de oscilación.

I.NOTA: Si p y q son el momento y la posición de la masa, la cantidad

∫= π2pdqI

donde la integral se define a lo largo de una sola oscilación completa, es lo que se llama un invariante adiabático. Ello quiere decir que, aunque la enegía del oscilador varíe, I permanece constante cuando la constante del resorte se reduce adiabáticamente. Utilícese este hecho para responder al problema. También podrá resultarle de utilidad saber que:

∫ +−= 2sen 1sen 2 xxdxx . 24

Para solucionar el problema hemos de recordar que, según el teorema de Stokes el variante adiabático I también puede escribirse como la integral de área sobre la perficie encerrada por la trayectoria de una oscilación completa en el espacio de fases:

insu

∫ ∫=π2

dpdqI

Para el oscilador armónico la ecuación de la trayectoria en el espacio de fases es la elipse

75

Eqmp =+ 222 11 ω m 22

con un área encerrada dada por 2πE/ω. Por lo tanto el invariante adiabático es I = E/ω. La condición de invariancia adiabática viene dada por:

2

2

1

1

ωωEE

=

Si escribimos la expresión anterior en términos de amplitudes de oscilación, la amplitud final puede expresarse como:

411 ⎞⎛ k

212 ⎟⎟

⎠⎜⎜⎝

=k

AA

-----------------------------------

5. La transformación desd o a otro móvil es , siendo la distancia entre los orígenes (siendo t el tiempo).

a) la transf par

del hamiltoniano en variables , cuando su representación en

e un sistema de referencia fij)(tDqQ −= D t( )

Encuentre:

ormación a los momentos generalizados;

b) la forma ),( PQvariables ( , )p q es )(22 qVmp + ;

c) las ecuaciones del movimiento en variab ), P . les (Q

) La función generatriz para la transformación

a )(tDqQ −= , es , tal que: ),(2 qPF

pq

QP

=∂∂

22 ; FF

=∂∂

Si , tendremos ( ))(2 tDqPF −= PqFp == ∂∂ 2 .

El nuevo hamiltb) oniano será:

DPDQVm

P

DPqVm

p

tqPFt

tpqHtPQK ,,(

&

&

−++

=−+

=+=

)(2

)(2

),,(),,()

2

2

2∂∂

c) Las ecuaciones del movimiento son:

76

)( DQVQ

P

DmP

PKQ

+−=

−==

∂∂

∂∂

&

&&

Combinándolas:

DmDQVQ

Qm &&&& −+−= )(∂∂

-------------------------------------------

6. Supongamos que en el problema de una partícula, de masa m, en caída libre en un campo gravitatorio, queremos efectuar una transformación canónica,

, que nos permita escribir el hamiltoniano en la nuevas variables como . Demuestre que la correspondiente función generatriz, , viene dada por:

),(),( QPqp →mgQK =

),(1 QqF

( )( ) gmqQgmF 22321 32 −−= .

Deseamos pasar de mgqm

pH +=2

2

a mgQK = . De la identificación de ambas

expresiones, obtenemos:

( )qF

mgqmgQmp∂∂ 12121)2( =−= ,

en donde es la función generatriz problema. Integrando la ecuación anterior, F1

( ) ( )( ) 2322

21211 2

31~~)2( qQgm

gmqdqmgmgQmF

q

−−=−= ∫ .

----------------------------------

7. Dada la transformación ),();,( pqPPpqQQ == para un problema mecánico unidimensional, demostrar que la condición simplética para que ésta sea canónica se reduce a que una cierta función escalar tome un determinado valor(¿cuál?).

Para el caso unidimensional, la condición simplética es:

∆=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= JMJM

pp

qq

pq

pqT

PQPQ

PPQQ

0110

77

siendo . Es pues necesario y suficiente que el determinante ∆ sea la unidad.

qppq PQPQ −≡∆

--------------------------------

8. Dadas las siguientes transformaciones ),();,( pqPPpqQQ == , determinar cuales son y cuales no son canónicas. Para aquéllas en las que la transformación contiene parámetros libres, determínense las condiciones que éstos deben verificar para que la transformación sea canónica. Razónense las respuestas en cada caso.

a) iiii pQqP =−= ;

b) iiii pQqP == ;

c) jijijiji pbQqaP =−= ;

d) jijijiji qBQpAP =−= ;

e) , donde es una función arbitraria de q 1)/(;)( −== dqdfpPqfQ f

f) qPpQ cos;sin ==

a) canónica; b) NO; c) canónica si 1−=a b% , siendo b la matriz transpuesta de b %

d) canónica si 1−−= BA ; e) canónica f) no canónica

-----------------------------------

9. ¿Para qué valores de los parámetros α y β representan las ecuaciones

pqPpqQ

β

βα

α

sincos

=

=

una transformación canónica? ¿Cuál es la forma de la función generatriz ? 3F

Para un sistema unidimensional la condición simpléctica se reduce a que el determinante

pP

qP

pQ

qQ

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

≡∆ sea la unidad.

En nuestro caso:

pqpqpqpq

βββαβββα

αα

αα

cossinsincos

1

1

−

− −=∆ 12 −= ααβ q

Deberá ser cierto que , lo que exige que 112 =−αβαq

78

2;21

== βα

La transformación es:

pqP

pqQ

2sin

2cos

=

=

además, qF

ppF

q∂∂

−=∂∂

−= 33 ; y ),(33 QpFF =

Rescribiendo las variables P y q en función de p y Q:

pQtgPp

Qq 2;2cos

2

==

de modo que pF

pQ

∂∂

−= 32

2cos y

QF

pQtg∂∂

−= 32

Las dos ultimas ecuaciones se integran inmediatamente a

)(22

2

3 pptgQF ϕ+−=

donde )( pϕ =constante de modo que,salvo una constante irrelevante se verifica finalmente que

2),(

2

3QpQF −= ptg2 .

-------------------------------------------

10. Resuelva el problema de Hamilton-Jacobi para una partícula que se mueve en un plano vertical sobre la parábola . 2axz =

)41(212;)(

21 22222 xaxmTxaxzzxmT +=⇒=+= &&&&&

2mgaxmgzV ==

2222 )41(21 mgaxxaxmL −+= &

Solo un grado de libertad, x . Para obtener el Hamiltoniano , 2 2(1 4 )Lp mx a x

x∂

= − = +∂

& , y:

.412

1 222

2

mgaxxa

pm

H ++

=

79

La ecuación de Hamilton-Jacobi se obtiene de substituir por ipiq

F∂∂ 2 en la expresión

0),,( 2 =∂∂

+t

FtqpH ii , de modo que:

)41(21

22 xam +022

22 =

∂∂

++⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

tF

mgaxx

F (Ecuación de Hamilton-Jacobi).

Puesto que H no depende explícitamente de t, tWF α−=2 donde const=α , y

α=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+2

2

22 )41(21 mgax

xW

xam,

que admite una integral inmediata, ya que

)41)((2 2222

xamgaxmx

W+−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂ α

∫ +−=⇒x

xaxmgadxmW0

222 )41)(1(2α

α .

La determinación de tWF α−=2 queda pues reducida a una cuadratura.

--------------------------------

11. Dado el Hamiltoniano , encontrar la transformación canónica que

lo convierte en

22 xpH x +=

242 1

QQPH += utilizando las propiedades de tales

transformaciones y la relación Q

x 1= .

Como sabemos que Q viene dada solo en función de x (normalmente llamada ), usaremos la función generadora , para la cual

q

),(2 xPF

xxPF

p∂

∂=

),(2 (1)

xPxPF

Q 1),(2 =∂

∂= (2)

Integrando (2),

)(2 qLxPF += (3)

y usando (1)

)()( 22

QGPQqLxPp +−=′+−= (4)

80

donde es en principio una función arbitraria. )(QG

Ahora bien, para este función generadora resulta que al Hamiltoniano transformado K es:

HK = (5)

[ ]

)(11

(4)devirtuden

222

22422

↑

+−+==+=+= QGPQQ

HpxQPQ

K

de este modo,

[ ]2242 )(QGPQQP +−= 0=⇒ G .

Finalmente,

Qx

PQp1

2

=

−=

es la transformación.

-------------------------------------

12. Sean las variables y y sean y q p Q P las nuevas variables que resultan de

una transformación canónica. Sabiendo que )(qf

pQ′

= , donde dq

qdfqf )()( =′

, y es una función dada que sólo depende de q , f

a. Obtener la función generadora de la transformación canónica.

b. Determinar completamente la nueva variable P en función de q y . p

c. ¿Qué puede decirse del Hamiltoniano que gobierna la evolución de y ? q p

d. Si no se conociese la función generadora, para el caso particular

pqQ = ; )ln(qP −= , ¿cómo podría averiguarse directamente si la transformación es canónica ó no?

a).- Usando la función generadora tal que 1( , )F Q q

QqF

p |1

∂∂

= (1,a)

qQF

P |1

∂∂

−= (1,b)

Puesto que se nos dice que )(qf

pQ′

= de (1,a) resulta:

81

qF

qfQp∂∂

=′= 1)( ,

e integrando,

)()(1 QqQfF ϕ+=

siendo ϕ una función arbitraria.

b).- De (1,b) )()( QqfP ϕ ′−−=⇒ y en función de y q : p

)(qfpQ′

=

))(

()(qf

pqfP′

′−−= ϕ (2)

c).- La condición para que la transformación sea canónica es independiente del Hamiltoniano, Nada puede pues decirse de H .

d).-

qPpqQ

ln−==

(3)

Está claro que este es un caso particular de (2) con qf ln;0 ==′ϕ . Por tanto la transformación es canónica. Si no supiésemos la forma de , podríamos hacer una comprobación directa de que se cumple la condición general

1F

JMJM T = , con ⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

pP

qP

pQ

qQ

M , y . ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=0110

J

De hecho

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−= 01q

qpM ; ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−=

0110

0

110

qq

p

q

pqTMJM

Se verifica pues que , de modo que la transformación (3) es canónica, por verificación directa. Nótese, por cierto, que para problemas con solo grado de libertad como éste, la condición

JMJM T =

1Det =⇔= MJMJM T , que es aún más trivial de probar.

-------------------------------------------

13. Resuelva el problema de una partícula con hamiltoniano

( )2 2 212 x y zmH p p p mg= + + + z , resolviendo su correspondiente ecuación de

Hamilton-Jacobi.

82

La ecuación, una vez hecha la separación de variables, queda como

( ) ( ) ( )Emgz

dz

zdW

dy

ydW

dx

xdW

m=+

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ 23

22

21

21

Si E es constante, cada uno de los sumandos diferenciales debe serlo a su vez

( ) ( )

( )3

23

21

2

22

21 ,1

21

21

α

αα

=+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

mgzdz

zdW

m

dy

xdW

mdx

xdW

m

Y las soluciones

( ) ( )

( ) ( ) 23

329

83

222 ,121

mgzmg

zW

mxyWmxxW

−±=

±=±=

α

αα

Las constantes 321 ,, ααα definen los nuevos momentos en una transformación canónica generada por ( )321 ,,,,, αααzyxSS = . La otra mitad de las nuevas coordenadas generalizadas definen las ecuaciones

( )t

mg

mgzS

tmxStmxS

−−

±=∂∂

=

−±=∂∂

=−±=∂∂

=

232

33

2222 ,

1211

α

αβ

ααβ

ααβ

que, invertidas, dan

( ) ( )

( )2323

222

,112

tgmg

z

tm

ytm

x

+−=

+±=+±=

βα

βα

βα

-------------------------------------------

14. El hamiltoniano de Toda caracteriza un conjunto de partículas que se mueven sobre un anillo, sometidas a fuerzas repulsivas, exponencialmente decrecientes. En el caso de tres partículas (véase figura), este hamiltoniano viene dado por:

83

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] 323exp12exp31exp3

12

21

−−−+−−+−−+∑=

= φφφφφφi

ipH

Aparte del hamiltoniano, existe una integral del movimiento obvia ¿Cuál es? Genere una transformación canónica que `ponga en evidencia esta nueva integral en el hamiltoniano transformado. (Nota: en la segunda parte del problema utilice la función generatriz , definiendo como nuevo momento esa integral de movimiento adicional)

F2

φ1

φ 3

φ 2

p1

p 3

p2

φ

Hay una integral del movimiento obvia, que es el momento total

cte.3213 =++= pppP (1)

ya que el hamiltoniano es invariante frente a rotaciones

0φφφ +ii a

Transformamos a los nuevos momentos 11 pP = , 22 pP = y dado por (1), con: 3P

( ) .321322112 φφφ PPPPPF −−++= .

Encontramos el nuevo hamiltoniano:

( )

( ) ( ) ( )

22 21 2 3 1 2

1 2 1 2

12

exp - exp - exp 3.

H P P P P P⎡ ⎤′ = + + − − +⎣ ⎦

Φ + Φ −Φ + Φ −⎡ ⎤⎣ ⎦

′H no depende de Φ3 : lo que demuestra la invariancia de P3

------------------------------------------- 15. Compruebe que para tres funciones se cumple

. Proceda expandiendo el lado izquierdo de la igualdad y reorganizando términos para obtener el lado derecho. ¿De qué relación se trata?

hgf ,,[ ][ ] [ ][ ] [[ gfhfhghgf ,,,,,, −=+ ]]

Reconocemos aquí la identidad de Jacobi y su comprobación aparece con detalle en la página 487 del Goldstein. 16. Sean q y p la coordenada generalizada y el momento generalizado de un

sistema material de un grado de libertad; sean Q y P funciones de q y p, tales

84

que . Se pide determinar P de la forma más general posible, de modo que la transformación de q y p a Q y P sea canónica.

pqQ tan=

Se tiene que

,tan;cos2 p

qQ

pq

pQ

==∂∂

∂∂

y una integral particular de la ecuación

1cos

tan 2 =−p

qqPp

pP

∂∂

∂∂ ,

se obtiene fácilmente haciendo P solamente función de p , por ser

pPpdp

dP senlntan

1=⇒= .

Luego ( )pqpP tanfsenln +=

es la solución del problema.

------------------------------------------- 17.- Un sistema de una partícula tiene como lagrangiano: ( ))(e 2

21t2 qVqmL −= &γ .

a) ¿A qué sistema corresponde? b) Una vez encontrado el hamiltoniano en variables ( )qp, , ¿cuál ha ser la

buena expresión para la función ( )tf tal que la función generatriz transforme el hamiltoniano en una constante del

movimiento en el caso en que

( ) ( )qPtftPqF =,,2

( ) 2221 qmqV ω= ?

a) La ecuación del movimiento es

qmqVqm &&& γ2−∂∂

−=

que corresponde a una partícula en un potencial V y bajo la influencia de un frenado qm &γ2− .

b) El hamiltoniano viene dado por la expresión

( ) tt eqVem

pH γγ 222

2+= − ,

que se reduce, en nuestro caso, a tt eqme

mpH γγ ω 2222

2

21

2+= − .

Nos piden ahora una función generatriz de la forma ( ) ( )qPtftPqF =,,2 para que transforme H en un nuevo hamiltoniano K que sea constante del movimiento. Nos bastará para ello asegurar que K no depende explícitamente del tiempo. Para ello, aplicando las ecuaciones de transformación

85

( ) ( )tfqPHKqtfQPtfp∂∂

+=== ;;

tenemos

tffQPefQmef

mPK tt

∂∂

++= −−− 12222222

21

2γγ ω

Si hacemos la identificación ( ) tetf γ=

obtenemos el resultado exigido.

------------------------------------------- 18.- Un conjunto de coordenadas generalizadas, se transforma en un nuevo conjunto , a través de: ),( 11 PQ ),( 22 PQ

),,,(, 221111211 pqpqPPqQ ==

),,,(, 221122212 pqpqPPqqQ =+= . a) Encontrar la expresión más general de y para que la transformación

sea canónica. 1P 2P

b) Mostrar la elección que reduce el hamiltoniano

( )2212

2

1

21

2qqp

qpp

H +++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −= a . 2

21 PPK +=

c) Resolver las ecuaciones de Hamilton en términos de las nuevas variables.

a) Buscaremos una función tal que ),,(2 tPqFi

i PF

Q∂∂

= 2 y i

i qF

p∂∂

= 2 , de :

211 qQ = y 212 qqQ += → . ),,()( 212211

212 tqqgPqqPqF +++=

Por tanto:

12111 2

qgPPqp

∂∂

++= ; 2

22 qgPp

∂∂

+=

con lo que

222 q

gpP∂∂

−= ; ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

+−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−−=12

2111

211

1 21

21

qg

qgpp

qqgPp

qP

b) Si suponemos que g es independiente del tiempo, HK = y si sustituimos las expresiones anteriores de y en K tenemos que 1P 2P

22

2

1211

21

21

2 qgp

qg

qg

qqpp

KH∂∂

−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

+−

==

que será igual a la hamiltoniana original si

21 qg

qg

∂∂

=∂∂ y ( ) 21

22

21

221

2

2 qqqqqqqg

−−−=+−=∂∂

y esta última expresión es fácilmente integrable a

)(31

1221

322

21 qfqqqqqg +−−−= y de la condición 21

22

21

21

2 qqqqqg

qg

−−−=∂∂

=∂∂

tenemos que 21

1

qqf

−=∂∂ y por tanto

86

( ) 31

221

322

212211

212 3

131 qqqqqqPqqPqF −−−−++= .

c) En el nuevo Hamiltoniano no aparecen ni ni por lo que y son constantes y

1Q 2Q 1P 2P

11

1 2PPHQ =∂∂

=& → α+= tPQ 11 2 ,

12

2 =∂∂

=PHQ& → β+= tQ2 .

-------------------------------------------

19. Un sistema de dos grados de libertad está descrito por la hamiltoniana

)()()( 2321212211 qgpqgpbqqgH −++−= ,

dónde es función únicamente de la variable . )( ji qg jq

a) Encontrar unas funciones, , y para que las funciones )( 11 qg )( 12 qg )( 23 qg

211 qqF = y 2

112 q

aqpF

−=

sean constantes del movimiento.

b) ¿Existen más constantes del movimiento algebraicas independientes? En caso de respuesta afirmativa, ¿ podría dar alguna sugerencia de constante?

c) ¿Puede construirse alguna constante más a partir de la identidad de Jacobi?. (Nota: identidad de Jacobi para las funciones H, v, w es

[ ][ ] [ ][ ] [ ][ ] 0,,,,,, =++ wHvHwvwvH )

d) Resolver la ecuación de Hamilton-Jacobi: 0, =∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

tS

qWqH , con

( ) ( ) 1 2, , ,S q P t W q P t tα α= − − ¿Qué constantes del movimiento obtenemos?

a) Para que sea constante del movimiento tiene que cumplir queiF [ ] 0, =iFH , de la definición de corchete de Poisson tenemos:

[ ] 0)()(, 1232122

1

22

1

21

1

11

1

11 =+−=

∂∂

∂∂

−∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

−∂∂

∂∂

= qqgqqgqF

pH

pF

qH

qF

pH

pF

qHFH

que tiene como solución y 112 )( qqg = 223 )( qqg = (o con los signos cambiados). Introduciendo esto en el corchete de la segunda constante:

[ ] 011, 11111

1

222

113

22

21

21

1

12 =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+++

∂∂

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

−= paqaqpqg

qqpaq

gqag

qqg

pqg

FH

que se cumple si . 211 1)( aqqg =

b) Con las funciones halladas el hamiltoniano tiene la forma

221122

21 qpqpbqaqH −++−=

87

que, salvo signos, es simétrica en las variables. De este modo es directo proponer una nueva función

1

223 q

bqpF

−=

que es fácil comprobar que es constante del movimiento

[ ] ( ) ( ) 02112, 2222211

21

2221

2213 =−−++−=−−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−= bqpbqpbq

qqbq

qpbq

qpbq

qFH .

También es evidente que el propio Hamiltoniano, independiente del tiempo, es otra constante del movimiento. Podríamos pensar que ya tenemos las 4 constantes posibles pero no son linealmente independientes, de hecho se puede ver que

( )321 FFFH −= . c) La aplicación de la identidad de Jacobi para generar nuevas constantes sólo produce soluciones triviales:

[ ] 1, 21 =FF , [ ] 1, 31 =FF , [ ] 21

32 ,FHFF −= .

d) La ecuación una vez hecha la separación de variables queda

EbqaqqqW

qqW

=+−∂∂

−∂∂ 2

2212

2

21

1

1

y separando las ecuaciones por variables tenemos

1211

1

1 α=−∂∂

aqqqW y 2

222

2

2 α=+∂∂

− bqqqW

que tiene como soluciones directas 21111 2

)ln( qaqW +=α y 22222 2

)ln( qbqW +−= α ,

de modo que la función generadora de la transformación canónica buscada es

ttqbqqaqS 212222

2111 2

)ln(2

)ln( αααα −−+−+=

y podemos encontrar las soluciones explicitas para las variables canónicas:

( ) tqS−=

∂∂

= 11

1 lnα

β y ( ) tqS−−=

∂∂

= 22

2 lnα

β

teetq 1)(1β= y teetq −−= 2)(2

β

y para las conjugadas: tt eaeeeaq

qqSp 11

111

1

11

ββαα

+=+=∂∂

= −− y 2 222 2 2

2 2

t tSp bq e e be eq q

β βα α − −∂= = − + = − +∂

.

Las constantes son 2121 ,,, ββαα cuyas fórmulas en función de las variables se puede despejar de las ecuaciones anteriores.

------------------------------------------- 20.- Sean y fff ,, 21 g funciones de las coordenadas, , de los momentos, , y del tiempo. Muestre que se cumplen las siguientes relaciones:

kq kp

a) [ ] [ ] [ gfgfgff ,,, 2121 +=+ ]]b) [ ] [ ] [ gffgffgff ,,, 122121 +=

88

c) [ ] ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂∂

+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡∂∂

=∂∂

tgfg

tfgf

t,,,

d) [ ]k

k pfqf

∂∂

−=,

e) [ ]k

k qfpf

∂∂

=,

-------------------------------------------

21.- Supongamos un sistema en una dimensión con coordenadas q y p. a) Demuestre que para la hamiltoniana del sistema la evolución de una función esta dada por

),,( tpqH),,( tpqf

[ ]tfHf

dtdf

∂∂

+= ,

b) Encuentre las condiciones que han de cumplir las constantes a,b y c para que sea canónica la transformación

pqaQ += 2 , . (1) 4cpbqP +=c) Para el sistema dado por la hamiltoniana

2242 44 ppqqqH +++= encuentre la transformación del tipo (1) tal que la nueva hamiltoniana, H’, sea la del oscilador armónico. d) Si tuviéramos una nueva transformación canónica sobre las coordenadas del apartado c): y , ¿cómo calcularíamos la transformación desde las variables originales a las finales,

( )tPQP ,,~ ( tPQQ ,,~ )( )tpqP ,,~ ( )tpqQ ,,~ ?. ¿Será canónica?. En caso

de conocer una transformación que simplifique la hamiltoniana H’ apunte el procedimiento.

a) Se obtiene de la definición del corchete de Poisson y las ecuaciones del movimiento de hamilton para el sistema. (Ver en el apartado 9-5 del Goldstein). b) En notación matricial tiene que cumplir:

JMJM T = y para este sistema tenemos

3

2 14

Q Qaqq p

MP P b cpq p

∂ ∂⎛ ⎞⎜ ⎟∂ ∂ ⎛ ⎞⎜ ⎟= = ⎜ ⎟∂ ∂⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

, 3

3

0 10 81 08 0

T b acp qMJM

b acp q⎛ ⎞− + ⎛ ⎞

= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟−− ⎝ ⎠⎝ ⎠

es decir, hay dos soluciones: 1,0 −== bc y a sin determinar y 0, 1a b= = − y c sin determinar. c) Probamos con la primera de las soluciones. Como la transformación es independiente del tiempo la nueva hamiltoniana se obtiene de la substitución de las nuevas variables, Pq −= y en la antigua hamiltoniana: 2aPQp −=

22224 )24()44(' QPaQPaaPHH ++−++−== en la que tomando nos lleva a 2=a

89

22' QPH += , formalmente la del oscilador armónico. Con lo que encontramos la transformación requerida. Se puede comprobar que la otra solución no conduce al hamiltoniano pedido. Para esta hamiltoniana la transformación )~cos(~2 QPP = )~(~2 QsenPQ = , nos lleva a PH 2'~ = . Sencillamente podemos igualar las expresiones de P y Q en ambascoordenadas para obtener:

qQPP −== )~cos(~2 y pqQsenPQ +== 22)~(~2 y de aquí despejar para cualquier conjunto:

QPQsenPp

QPq~cos~4~~2

,~cos~22−=

−= o

21

2 2

2

(2 )2

q pQ tnq

q q pP

− ⎛ ⎞+= −⎜ ⎟

⎝ ⎠+ +

=

%

%2

)

La composición de 2 transformaciones canónicas siempre es canónica.

------------------------------------------- 22.- Supongamos un sistema de un grado de libertad, con coordenadas q y p y hamiltoniana H, y una transformación canónica a las coordenadas y

junto con su función generatriz ( )pqQ ,

( pqP , ( )tQqF ,,1 . a) En general, ¿cree usted que pueden obtenerse todas las funciones generatrices , y ( )tPqF ,,2 ( )tQpF ,,3 ( )tPpF ,,4 de esa transformación? Ilustre su respuesta con ejemplo/s sencillo/s. En caso de poder disponer de más de una función generatriz ¿obtendremos siempre la misma hamiltoniana?. b) ¿Existe una única función generatriz del tipo ( )tQqF ,,1 asociada al cambio de coordenadas ( )pqQ , y ? En caso de poder disponer de más de una función generatriz ¿obtenemos siempre la misma hamiltoniana?. Dé también ejemplo/s sencillo/s.

( pqP , ))

)

( tQqF ,,1

a) No siempre será posible encontrar funciones de los 4 tipos para una misma transformación canónica. Partiendo de las ecuaciones de las nuevas variables, y , hay que comprobar qué parejas formadas por una variable antigua y una nueva son expresables en función de las otras dos. Como ejemplo simple de este caso tenemos la transformación:

( )tpqQ ,,( tpqP ,,

( ) qQtQqF =,,1 . Esta genera el cambio

QqF

p =∂∂

= 1 , 1FPQ∂

= − = −∂

q , para el que no es posible expresar p como función de q y

P, ni q como función de p y Q. Por tanto existirán sólo las funciones y .

( )tQqF ,,1

( )tPpF ,,4

Sin embargo sí hay casos en los que es posible, un ejemplo simple sería:

2

2

22

QqPqQp

−=

= , generada por la función . Para este caso tenemos todas las

combinaciones:

221 QqF =

90

2

3

2

2

2

Ppq

pQq

=

= −,

3

2

2

42

2

QpP

Qpq

−=

=

, 31

2

31

2

2

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

PpQ

pPq

y podremos calcular todas las funciones

generatrices:

2

2

2 4qPF −= , 2

2

3 4QpF −= ,

32

2

5

4 2 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

PpF .

Estas funciones generatrices, obtenidas unas de otras a través de QPFF −= 21 , y qpFF −= 31 QPqpFF −+= 41 y del oportuno cambio de coordenadas (ver sección

9-1 del Goldstein) siempre generan la misma hamiltoniana. b) No, no es única. Dado que la relación entre el cambio de coordenadas y la

función generatriz viene dado por ecuaciones del tipo: qF

p∂∂

= 1 QF

P∂∂

= 1 siempre

podemos añadir una constante y/o una función dependiente del tiempo. En este último caso las hamiltonianas serán diferentes según la función dependiente del tiempo que consideremos. Para el primer ejemplo de la sección anterior las transformaciones canónicas dadas por las funciones y ( ) qQtQqF =,,1 ( ) 2

1 ,,' tqQtQqF += , generan las mismas ecuaciones y , pero tiene hamiltonianas diferentes. Qp = qP −=

--------------------------------------------

23.- Sean un sistema hamiltoniano )(21),( 22 qpqpH += , la variable dinámica

y las condiciones iniciales pqqpg =),( 0)0(,0)0( ptptq ==== . Calcule la evolución temporal de la variable, siguiendo los siguientes procedimientos y comente brevemente las diferencias:

),( 0ptg

a) Integración directa de las ecuaciones de Hamilton. b) A partir del formalismo de Poisson obtenga la ecuación diferencial de

segundo orden de . ),( 0ptgc) Encuentre una transformación canónica cualquiera tal que la nueva variable

sea . Calcule el nuevo hamiltoniano y obtenga a partir de las nuevas ecuaciones de Hamilton.

),( qpgQ = ),( 0ptg

NOTA: las siguientes fórmulas pueden serle de utilidad:

QF

PqF

ptQqFF∂∂

−=∂∂

== 1111 ,),,,(

PF

Qq

FptPqFF

∂∂

=∂∂

== 2222 ,),,,(

QF

PpF

qtQpFF∂∂

−=∂∂

−== 3333 ,),,,(

PF

Qp

FqtPpFF

∂∂

=∂∂

−== 4444 ,),,,(

91

a) q

qHp

ppHq

−=∂∂

−=

=∂∂

=

&

&

, y por tanto qpq −== &&&tBtAtptBtAtq

sincos)(cossin)(

−=+=

, que para las

condiciones iniciales dadas: 0)0(

0)0(pAtp

Btq======

, tenemos tqtq sin)( 0= .

tp

ttptqtptg 2sin2

cossin)()()(202

0 ===

b) [ ] 2,dg g H g Hg g H pdt q p p q

∂ ∂ ∂ ∂= = = − = −

∂ ∂ ∂ ∂& 2q y

[ ], 2 2dg g H g Hg g H qp p qdt q p p q

( ) 4g∂ ∂ ∂ ∂= = = − = − − − = −

∂ ∂ ∂ ∂& & &

&& &

)2cos()2sin()( tBtAtg += , con las condiciones iniciales 0)0( ==tg , , nos

lleva a

20)( ptg =&

tp

tg 2sin2

)(20= .

c) Buscamos una transformación canónica desde el sistema de coordenadas p, q a otro

P, Q donde, por ejemplo, . Si despejamos pqgQ ==pQq = , podemos considerar la

función generatriz tal que ),(3 QpF

QF

P

pQ

pF

q

∂∂

−=

=∂∂

−=

3

3

, → → 3 ln ( )F Q p f Q= − + )('ln QfpP +=

siguiendo el enunciado del problema podemos tomar el caso más simple : 0)( =QfPP Qeqep −== ,

y el nuevo hamiltoniano será

)(21 222 PP eeQH += −

Las nuevas ecuaciones del movimiento serán: 2 2 2

2

P P

P

HQ Q eP

HP QeQ

−

−

∂= = − +∂∂

= − = −∂

&

&

e y para la ecuación de )()( tQtg = será

, dónde por substitución de las anteriores ecuaciones obtenemos , es decir la misma ecuación que en el apartado anterior.

2 2 2 22 2 2P PQ Q e P Qe Q e− −= − +&& && P P&

Q−2 2 2 2 2 2 2 22( )( ) 2 ( ) 4P P P P P PQ Q e e Qe e Q Q e e− − − −= + − − − + =&&

-------------------------------------------- 24.- a.- Demuéstrese que si el hamiltoniano de un sistema puede expresarse como

la función es una constante de movimiento.

),,,,),,(( 2211 ss pqpqpqfHH K= ),( 11 pqf

92

b.- Utilícese esto para encontrar una constante de movimiento para una partícula

en dos dimensiones bajo el potencial 3)(r

rarVrr

r ⋅= (siendo ar un vector constante

dado).

a) Para demostrar que 0=dtdf utilizaremos el formalismo de Poisson:

[ ] 0,111111111=

∂∂

∂∂

∂∂

−∂∂

∂∂

∂∂

=∂∂

∂∂

−∂∂

∂∂

=∂∂

∂∂

−∂∂

∂∂

== ∑= q

ffH

pf

pf

fH

qf

qH

pf

pH

qf

qH

pf

pH

qfHff

ii

s

i ii

&

b) El hamiltoniano de una particula sometida al potencial del problema la podemos escribir en coordenadas polares como:

32

22

22 rra

mrp

mpH r

rr⋅

++= θ , si elegimos el eje xr coincidiendo con el vector a podemos

escribir

r

mrmap

mp

rra

mrp

mpH rr

2

22

32

22

2cos2

2cos

22θθ θθ ⋅+

+=⋅

++= de modo que podemos

escribir que mrpf

mppfprH r

r 2

2

2),(

2)),(,,( θ

θθ

θ += , con =),( θθ pf θθ cos22 ⋅+ map ,

constante del movimiento.

--------------------------------------------

25.- Sea θρθρρ θρ

2222

2 sin21cos

21

21

−−+= PPH , y para el instante inicial

0)0( == θθ P y 1== ρρ P . Sea θραθρθρ sincos),,,( 2121 PPPPS += una función generatriz, siendo las nuevas coordenadas y momentos. 2121 ,,, PPxxa) Determinar los valores de α tales que el hamiltoniano de las nuevas variables sea integrable. b) Utiliza la transformación para determinar el valor de ρρρθ PP ,,, en el tiempo π=t . NOTA: las siguientes fórmulas pueden serle de utilidad:

QFPqFptQqFF ∂∂−=∂∂== 1111 ,),,,( PFQqFptPqFF ∂∂=∂∂== 2222 ,),,,( QFPpFqtQpFF ∂∂−=∂∂−== 3333 ,),,,( PFQpFqtPpFF ∂∂=∂∂−== 4444 ,),,,(

Lo primero es expresar las viejas variables en función de las nuevas

θραθρ

θαθ

θ

ρ

cossin

sincos

21

21

PPP

PPP

+−=

+=,

θαρθρ

sincos

2

1

==

xx

, de lo que obtenemos que )0( ≠α

22

21

21 xx += αα

ρ

y después de algunos cálculos tenemos que

( ) 2

22

12

222

1 221

αα

xxPPK −−+= , que para cualquier valor de 0≠α es separable y por

tanto integrable. Tenemos que

93

22

2

1 1

αxP

P

=

=

&

&

, , que podemos integrar directamente por separado 2

22

11

PxPxα=

=

&

&

BAtttx

AttP

++=

+=

2)(

)(2

1

1

y ( )tt

tt

DeCetP

DeCetx

−

−

−=

+=

22

2

1)(

)(

α

.

Con las condiciones iniciales dadas obtenemos el valor de las constantes 0)0(,1)0(,0)0(,1)0( 2121 ==== PPxx , 0,1 ==== DCBA .

Por tanto para π=t tenemos que 1

2)(

1)(2

1

1

++=

+=

πππ

ππ

x

P,

0)(0)(

2

2

==

ππ

Px

, que en las variables

originales da lugar a 12

)()(,0)()(2

1 ++==== ππππρπθθ xt

0

1

=

+=

θ

ρ π

P

P.

----------------------------------------------

26. Considere el hamiltoniano )sin( 22

212

2

22

21

21 qq

qp

qpH +++= y la función generatriz

2211

22

21

2PqPqqS +

+= .

a) Determinar la trasformación canónica asociada a la función S, en la región . 0, 21 >qq

b) Determinar el nuevo hamiltoniano en función de . ii PQ ,c) Dar las integrales primeras. Determinar las soluciones de la ecuación del movimiento dadas por el nuevo hamiltoniano d) Estudiar la posibilidad de obtener las soluciones a las ecuaciones del movimiento en las variables originales a partir de la solución obtenida en c). NOTA: las siguientes fórmulas pueden serle de utilidad:


a) La función generatriz depende de las coordenadas originales ( ) y de los nuevos momentos ( ), por tanto corresponde a y tenemos que

21 , qq

21 , PP ),,(2 tPqF

212

22

21

1 2qQ

qqQ

=

+=

122

21111 2Pqp

PqPqp=

+=

Por lo que la trasformación canónica viene dada por

212

21

2 QQq

Qq

−±=

±= ( )

1212

2121

2

2

PQQp

PPQp

−±=

+±=, y para la región tomaremos el signo

+.

0, 21 >qq

b) Substituyendo el cambio en la expresión de H obtenemos el hamiltoniano en las nuevas varibles

94

( ) )2sin(2 12

12

21 QPPPK +++= c) La variable 2Q es cíclica, por lo que se conserva y el hamiltoniano no depende

el tiempo por lo que también es constante: 2P

EKP == ,2 α . dEl resto de ecuaciones del movimiento:

)(4),2cos(2 111

1 PQQ

QP =

∂=−=

∂−= 21

1

P (1)

De este modo

PKK+

∂∂ &&

( ) ( ) )2sin(22)2sin(2 12

112

12

1

si definimos QPQPPE +++=+++= ααα

α+≡ 11' PP , tenemos que

2 2)2sin(24)2' 1

1EP −

±= y 2sin( Q−α '4 11 PQ =& 1QE −−±=

α

con lo que reducimos el problema a la integral

∫ −−±=

)0(1

11

1 ))2sin(2(8Q QEt

α de cuya integ

)(tQ dQración obtendríamos

A partir de esto y teniendo en cuenta (1) y

)(11 tQQ =

)2(4 212

2 PPKQ +=P∂∂

=& tenemos el resto en

función de ella y α=2P :

1 1( ) ( )4

P t Q t1 α= −& t)( αtQtQQ Q 4)0()()0( 1122 +−+=

d) Como la transfo ación entre variables sólo es válida si >+−+=

rm04)0()()0()( 1122 αtQQQtQ t

04)0()()0()0(2)()(2 1 >12121 −−+−=− αtQtQQQtQtQ , hay que tener cuidado que no siempre será válida. Podemos mencionar que en cuanto 0≠α y esté ac

a de las fronteras.

----------------------- 7.- a ) Mostrar, mediante cualquiera de los métodos posibles, que la

transformación

)(1 tQ otado, el movimiento terminará cruzando algun

-----------------------2

⎟⎠⎞

⎜⎛ −

−=⎟

⎞⎜⎝⎛ +=

piaqPapiaq

iQ 1,

21

⎝⎠ ai2donde a es una constante, es canónica. b) Aplicar esta transformación al oscilador armónico unidimensional de Hamiltoniano

( )2222

21 qwmpm

H +=

y encontrar un valor de la constante a que simplifique el nuevo Hamiltoniano (debe tener un único término).

ilador armónico original.

iera de las opciones permite comprobar que es una transformación canónica:

c) Encontrar las ecuaciones de Hamilton para Q y P y mostrar que permiten recuperar las soluciones del osc II. Solución

a) Cualqu

95

i) Los corchetes de Poisson satisfacen las siguientes condiciones: [ ] [ ] 0,, == PPQQ por la propia definición de los corchetes. [ ], =PQ e prueba del siguiente modo 1, s com

[ ] 12222

, =−

−=∂∂

∂∂

−∂ iaiipqpq∂

∂∂

=ai

PQPQ

ii) Se Escriben las variables antiguas en función de las nuevas

iaiaQP

( )PQa

q −=2

, i2 ( )PQi

p +=2

(1) a

y, con éstas y las originales, se com que prueba

Pq ∂=

∂pQ ∂∂ y

Qq ∂pP ∂

−=∂

y ∂Pp ∂qQ ∂

−=∂∂ y

Qq

p ∂P ∂=

∂∂ .

Los cálculos llevan a

Piq ∂==

∂paQ ∂∂

2 Qp

ia

qP

∂∂

−=−

=∂∂

2

Pq

aii

pQ

∂∂

−==∂∂

2

Qq

aii

pP

∂∂

==∂∂

2

iii) Encontrar una función generatriz. b) Aplicando la transformación (1) al Hamiltoniano original se obtiene que

( ) ⎥⎢ ⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

+++⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

−= QPa

waPQa

aim

H 2222

22 2

4

⎦

⎤

⎣

⎡ ⎞2

que se puede simplificar notablemente mediante la elección

⎛⎞⎛ mwm 2221

22

aa = o lo que es lo mismo

22wm mwiamwa ±=±= , .

mosTome mw para obtener: a ±=

c)

iwQPH −= Las ecuaciones de Hamilton son

iwQP

Q −=∂

=& , H∂ iwQ

P =∂

−=& PH∂ y las soluciones son

P 0= , donde es iniciales. Ahora hay que llevar estas solucione p qcuenta que las condiciones iniciale

P y 0P son las condicioniwteQQ −= 0 , iwte 0Q s a las variables originales y teniendo en

s antiguas dependen de las nuevas:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

ap

iaqi

Pap

iaqi

Q 000

000 2

1,21

con lo que recuperamos las soluciones del oscilador armónico.

28. Recuerde que las fu por

----------------------------------------------

nciones hiperbólicas vienen definidas ( ) ( ) ( )1

2inh x exp x exp x= − −⎡ ⎤⎣ ⎦ y s ( ) ( ) ( )12cosh x exp x exp x= + −⎡ ⎤⎣ ⎦

transformaciones .¿Cuál de las dos

sinh cosh1 ,p pQ P

q qα α

β β→ = =

96

cosh sinh2 ,p pQ Pq qα α

β β→ = =% %

puede representar una transformación canónica, siendo α y β reales? Tran uce a ue el determinante

sformación 1:Para un sistema unidimensional la condición simplectica se redq

pP

qP

pQ

qQ

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂≡∆ sea la unidad.

En nuestro caso: 1

1

sinh coshcosh sinh

q p q ppq p q

α α

α α

α β β βα β β

− − −

− − −

−∆ =

− β2 1q αβ α − −=

Deberá ser cierto que . No hay valores posibles.

2 1 1q αβα − − =

Transformación 2: En este caso:

1

1

cosh sinhsinh cosh

q p q ppq p q

α α

α α

α β β βα β β

− −

− − −

−=−

2 1q−

∆β

αβ α − −= −

Deberá ser cierto que

o

2 1 1q αβα − −− =12

α = − y 2β =

2;21

== βα


psinqP

pqQ

2

2cos

=

=

qF

ppF

q∂∂

−=∂∂

−= 33 ; y 33 QpFF ),además, (=

do las variables P y q en función de p y Q: Reexpresan

pQPQ2

p2cosq 2tg; ==

de modo que pF

pQ

∂∂

−= 32

2cos y

QF

pQ∂∂

−= 32tg

Las dos ultim diatamas ecuaciones se integran inme ente a

)(2tg23

donde )( p

2ppQF ϕ+−=

ϕ =constante de modo que,salvo una constante irrelevante se verifica finalmente que

2),(

2QpQF −= p2tg . 3

-------------------------------------------

97

29.- Una partícula se mueve bajola gravedad en el plano vertical xz (el eje z es

la influencia de

vertical y se dirige hacia arriba). La partícula estáconectada por una varilla rígida sin masa, de longitud l, a un punto que se mueve con velocidad constante de 0u > a lo largo del eje x (ver figura). a) Usando el ángulo θ que forma la varilla eje vertic

con un al como coordenada generalizada

l E. (1

r cuál/es de ellas se conserva/n. (1,5 pto)

encontrar el Lagrangiano (1 pto) b) Encontrar la ecuación del movimiento, lafunción Hamiltoniana H y la energía totapto) c) Comentar brevemente si H y E son iguales, poqué yd) Encuentre el Hamiltoniano del sistema en función de dos nuevas variables canónicas Q y P con la única condición de que cosQ θ= . (1,5 pto)


( , , ), ,1 1 1 1F F q Q t p F q P F Q= =∂ ∂ =−∂ ∂ ( ,2 2F F q , ), ,2 2P t p F q Q F P= =∂ ∂ =∂ ∂

( , , ), ,3 3 3 3F F p Q t q F p P F Q= =−∂ ∂ =−∂ ∂ ( , , ), ,4 4 4 4F F p P t q F p Q F P= =−∂ ∂ =∂ ∂

El punto del que está suspendida o coordenadas , a) la vara tiene com 0 , 0x x ut z= + =

con 0x constante. Las coordenadas cartesianas de la partícula en términos de θ son

0 sin , cosx x ut l z lθ θ= + + = − y sus derivadas

cos , sinx u l z lθ θ θ= + =& && & θica: La energía cinét

( )2

2 2cos2

l mmlu uθ θ θ+ +& &

La energía potencia debida a la gravedad

2 2

2 2m mT x z= + =& &

cosV mgz mgl θ= = − y por tanto el Lagrang ano es i

22 cos

2 2mlL T V mlu 2 cosm u mglθ θ= − = +& & θ θ+ +

b) La ecuación de Lagrange:

( θθθ

mldtdLL

dtd

=∂∂

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

= &&

20 ) ( )θθθθθθθθ

θθθθ

sinsinsinsin

sinsincos

mglmlmglmlumluml

mglmlumlu

+=++−=

−−−+

&&&&&&

&

22

l momento correspondiente a la coordenada E θ es

98

2 cosLp ml mluθ θ θ∂= = +&

θ∂ &y el Hamiltoniano es

2 22 2

2

cos1H p L cos cos2 2 2

p umu mp u mglml l

θθ θ

θθθ θ+ − − −

mientras que la energía total es

= − =&

22 cosmlE T V mlu 2 cos

2 2m u mglθ θ θ= + = +& & θ+ −

c) E y H no son iguales debido a que las coordenadas cartesianas x y z están ligadas a la coordenada generalizada θ por una expresión dependiente explícitamente del tiempo.

El Lagrangianao L no depende del tiempo explícitamente, y por tanto 0L∂= y el

t∂

solidario con el extremo móvil de la vara más una constante

hamiltoniano se conserva (es la energía de la partícula en el sistema de referencia 2mu−

conserva. Su diferencia con el Lagrangiano 2

). La energía E no se

E H− depende del tiempo. d) Lo único que se requiere es encontrar la transformación canónica que cumpla la condición dada cosQ θ= . Busquemos una función generatriz 2 ( , )F q P que sólo tenque cumplir que

drá

2 cosFQP

θ∂= = ∂

por tanto es válido tomar 2 cosF P θ= que lleva a 2 sinFp Pθ θθ

∂= =∂

. Las variables

antiguas en función de las nuevas nos llevan a 2

2 2 2 22

11 PQum(1 ) (1 )2 2

QK P Q u Q mglQ

ml l−

= − − − − −

-------------------------------------------

0.- Considere el sistema descrito por el hamiltoniano , 3 22 )(),,( tqpwtqpH +=siendo ω un parámetro. Introduzca la transformación P p= , Q q t= + .

t nsformació s

b) su función generatriz

a) U ilizando los corchetes de Poisson demuestre que esta tra n ecanónica. Determine ( )2 , ,F q P t , recordando que 2K H F= + ∂ ∂ . t

c) Escriba el nuevo hamiltiniano K . vim ento parad) Resuelva las ecuaciones del mo i P y

.

a) El único corchete de Poisson que no es trivial es

Q .

e) Obtener la solución ( )p t q t, ( )

[ ], 1Q P P QQ P ∂ ∂ ∂ ∂= − =

q p q p∂ ∂ ∂ ∂y por tanto la transformación es canónica.

99

b) Para encontrar la función generatriz de tipo 2 que genera la transformación habrá que resolver el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:

2 2,F Fp Qq P

∂ ∂= =∂ ∂

De la segunda relación deducimos inmediatamente ( ) (2 ,F P q t f q t= ⋅ + + ))

, con una

función arbitraria ( ,f q t . De la primera obtenemos ( ) (2 )F P q t h t= ⋅ + + . A partir

de ahora tomamos ( ) 0h t =c) El nuevo hamiltoniano tiene la siguiente expresión

2 22FK H w PQ Pt

∂= + = +

∂

d) Las ecuaciones de Hamilton que se obtienen de estas ecuaciones son 2 2

2

1

2

KQ Q w QP

KP P wQ

∂= ⇒ = +∂∂

= − ⇒ = −∂

& &

& & PQ.

Si integramos la ecuación primera por separación de variables:

( )2

0 02 2

2 2 1arctan tan1 2 2

dQ w Qdt t t Q w t tw Q w w w

= → = + → = ++

y substituyendo esto en la ecuación de P obtenemos también una ecuación separable 2

0 02 tan ( ) ln ( ) ln 2ln cos ( ) ( ) cos ( )P w w t t P t c w t t P t c w t tP= − + → − = + → = +

&0

e) Finalmente obtenemos para p(t) y q(t)

0

20

1( ) tan ( ) ,

( ) ( ) cos ( ).

q t w t t tw

p t P t c w t t

= + −

= = +

-------------------------------------------

31.- Consideremos un sistema con un único grado de libertad, con una variable generalizada y su momento asociado

qp .

a) Usando los corchetes de Poisson, demuestre que toda función ( , , )A q p t genera un Transformación Canónica Infinitesimal del tipo:

[ , ],[ , ],

Q q A qP p A p

αα

= += +

(1)

es decir, que la transformación (1) es canónica para el primer orden de α . b) ¿Cuál es la transformación infinitesimal dada por A q= ? ¿Cuál es su función generatriz

? ¿Es posible encontrar las otras tres funciones generatrices , ,

?

( , )2F q P ( , )1F q Q ( , )3F p Q( , )4F p P

c) Consideremos ahora que el Hamiltoniano del sistema es independiente de la variable generalizada : q ( , , ) ( , )H p q t H p t= . ¿Qué efecto tiene esta transformación sobre este Hamiltoniano? Interprete esto en función de la/s cantidad/es conservada/s y las simetrías del sistema.

100

a) La única condición que tienen que cumplir es [ , ] 1Q P = , que aplicando la definición de corchete de Poisson

[ ] [ ]2 2

[ , ] [ , ] , , , , (2)

1 , , (2) 1 (2) 1 (2)

Q P q p q A p A q p O

A A A Aq p O Oq p q p q p

α α

α α α α

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂

= + + − + = + − + = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦ ⎣ ⎦O

b) Sustituyendo directamente tenemos que ,Q q P p α= = − . Cuya función generatriz es 2 ( , )F q P Pq qα= − . También es posible encontrar la función 3( , )F p Q pQ Qα= − + No se pueden encontrar las funciones ( )1 , ,F q Q t , ( )4 , ,F p P t puesto que no es posible escribir momentos en función de coordenadas, ni viceversa. c) Si el Hamiltoniano no depende de la coordenada generalizada (el ejemplo más

simple: una partícula que no está sometida a ninguna fuerza 2

2pHm

= ) el Hamiltoniano

no es invariante bajo la transformación canónica del apartado b) ( ( )2

2P

Kmα−

= ) y no

corresponde a una simetría del sistema. Sin embargo, la variable q sí es cíclica y correspondería a la invariancia bajo translaciones en el esa coordenada, es decir, que la cantidad de movimiento asociada p P= , generatriz de la transformación, se conserva.

------------------------------------------- 32.- a) Demuestre que el corchete de Poisson de dos constantes del movimientos independientes del tiempo, f y g, es también constante del movimiento. b) Aplicando el procedimiento anterior podríamos generar infinitas constantes del movimientos. Sin embargo, también sabemos que en un sistema de n grados de libertad el número de integrales primeras está limitado a (2n-1). ¿Cómo pueden congeniarse estas dos proposiciones? Puede serle de interés la identidad de Jacobi: la suma de las permutaciones cíclicas de corchete doble de Poisson de tres funciones es nula.

a) Una función f es constante del movimiento si [ ],df ff Hdt t

∂= +

∂, que para

funciones independientes del tiempo [ ],f H 0= . Por tanto

[ ] [ ], 0 ,f H H= = − f

[ ] [ ], 0 ,g H H g= = − y aplicando la identidad de Jacobi

[ ] [ ] [ ], , , , , , 0u v w v w u w u v⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ = , identificando w=H, u=f, v= g obtenemos

[ ] [ ], , 0 ,H f g f g cte⎡ ⎤ = → =⎣ ⎦

101

b) A partir de la identidad de Jacobi, suponiendo u, v, w, como constantes del movimiento distintas, se pueden obtener tan sólo dos permutaciones linealmente independientes. La tercera ha de ser, necesariamente combinación lineal de las otras dos. Se llega, pues, a un momento en el que no se obtienen nuevas constantes del movimiento linealmente independientes.

------------------------------------------- 33.- El Hamiltoniano de un cuerpo en caida libre es

( )2

,2pH q pm

= +mgq

donde q es la altura de la particula y m es su masa. ( )a) Expresar q como una función de ,p P

4 4 ( , )F F p P=

para determinar la función generatriz , y la transformación canónica asociada, tal que el nuevo Hamiltoniano tenga la expresión ( ),K Q P P= .

b) Resolver las ecuaciones para Q t y e invertir la transformación para determinar q t y

( ) P t( ) ( )

( )p t

4 4 ( , )F F p P

a) Buscamos una función = tal que 4 4,q F p Q F P= −∂ ∂ = ∂ ∂

( ) ( )( )

y 2

, , ,2pP H q Q P p Q P mgqm

= = +

4 4 ( , )F F p P=

En esta última ecuación podemos despejar q y determinar una ecuación para determinar :

242 FP p m q

mg p∂−

= = −∂

cuya integral nos lleva a 3

4 2

1 ( )6

pP pF h Pg m m⎛ ⎞−

= + +⎜ ⎟⎝ ⎠

( )h P

,

donde es una función cualquiera.

4Q F P= ∂ ∂Utilizando esta ecuación en se obtiene que

'( )pQ h Pmg−

= +

[

Para que la transformación sea canónica debe cumplirse la condición ], 1Q P =

[ ]

, es decir

2 ' 1 ' ' ', '( ), 1 1 ''2

p p h p h h p h P pQ P h P mgq mg mg h hmg m q m mg p q m p q m⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛− ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= + + = − − + = + − = + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎢ ⎥ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝⎣ ⎦

( )h P que vemos se cumple para cualquier función . El caso más sencillo es cuando es una función nula. La transformación canónica queda pues

2

,2

p pQ P mgqmg m

= − = + .

( ),K Q P P= , P es una variable cíclica y por tanto b) En el nuevo Hamiltoniano

0, 1dP K dQ Kdt Q dt P

∂ ∂= − = = =

∂ ∂ 0 0,P cte P Q t t, es decir = = = − ,

102

e invirtiendo estas ecuaciones obtenemos

( )22

0 0( ),2p 0

01( )2

Pp mgQ mg t t q P mm

⎛ ⎞= − = − − = −⎜ ⎟

⎝ ⎠g g t t

mg= − −

Y se obtienen las fórmulas de movimiento uniformemente acelerado.

------------------------------------------- 34.- La relación entre las leyes cuánticas y clásicas puede expresarse en la forma en la que se trata en este problema. Para ello tomemos un sistema de un grado de libertad. La frecuencia de la radiación emitida por este sistema de acuerdo con las leyes cuánticas viene dada por , siendo hE kn EEE −=∆∆=cuanν . Estos estados estacionarios de energía se calculan con ayuda de la condición de cuantización de la acción, ( )hknI kI n −=−∫=I . En consecuencia, = nhpdq . Si , es decir,

examinamos dos estados vecinos:

1=− kn

III hkk =−=∆ +1 . Combinando esta expresión con la que nos da la frecuencia cuántica, obtenemos

IE ∆∆* (1) =cuanνpara dos estados contiguos. Obtenga el equivalente clásico de la expresión (1) para el caso del oscilador armónico. ¿Encuentra usted alguna similitud entre las dos expresiones? ¿Podría comentar algo sobre las posibles diferencias?

( )dqVEmpdqI ∫ ∫ −== 2 Tanto la acción como la energía clásicas son funciones continuas. Busquemos la derivada de una respecto de la otra:

( )dq

VEmm

dEdI

∫ −=

2

que, para el caso del oscilador armónico, queda

∫∫∫ ==== Tdtqdqdq

pm

dEdI

&

en donde T es el período de oscilación. En consecuencia,

dIdE

T==

1*clasν

a comparar con (1). Tanto en mecánica clásica como cuántica las frecuencias vienen dadas por la relación de incrementos de la energía y de la acción, aunque en clásica estos incrementos son infinitamente pequeños mientras que en cuántica son finitos. De hecho, este resultado, demostrado para el oscilador armónico, es válido para todos los sistemas periódicos de un grado de libertad, aunque no haremos la demostración aquí.

------------------------------------------- 35.- Sabemos que no existe una forma estándar de obtener una función generatriz que lleve a una formulación más conveniente. Sin embargo, el empleo de las propiedades que deseamos en la formulación de destino, permite obtenerla fácilmente. Un ejemplo clásico es el de la función ( )tQqF ,,1

mgq

en el caso de la caída libre de un cuerpo en un campo gravitatorio . Queremos que en la nueva

103

formulación, el Hamiltoniano, K , sea sólo función de la coordenada, Q , y que se cumpla la equivalencia entre los dos momentos, pP = . Obtenga a partir de estos requisitos la forma de la función ( )tQqF ,,1 . (Recuerde que , y qFp ∂∂= 1 QFP ∂∂−= 1

) tFHK ∂∂+= 1 Partimos de la expresión HK =

( )

, que se traduce en el contexto presente en

mgqm

pQ +=2

f2

( )Q

,

entendiéndose que f expresa la forma de K . De esta última expresión obtenemos

( )[ ]2122 gqm f2 Qmp −=

Podemos hacer uso del requisito dado por la identificación de ambos momentos

QF∂∂

−= 1

qFPp∂∂

== 1

( ) mgQQ =fSe desprende que . Finalmente, la función generatriz resulta de la integración de la ecuación

( )[ ]qFqQgmp∂∂

=−= 12 21

2

dando ( ) ( )[ ]23221, qQgmQqF −−=

)t

21 3 gm

------------------------------------------- 36. Razónese si la siguiente afirmación es verdadera o falsa: a) Dado un sistema hamiltoniano (por simplicidad de un grado de libertad) una cantidad dinámica que depende explícitamente del tiempo podría ser constante del movimiento.

,,( pqF

a) No existe ninguna condición que exija que una constante del movimiento no dependa del tiempo, siempre y cuando cumpla la condición:

[ ]t

H∂FF ∂

=, .

------------------------------------------- 37. El problema de la curva braquistócrona (curva que da el recorrido en un tiempo mínimo de una partícula en un campo gravitatorio entre dos puntos, digamos 0 y b) es un ejemplo clásico de cálculo de variaciones. La solución viene dada por la función y(x) que minimice una integral que, sin tener en cuenta

constantes, tiene la forma dxLdxxyxy

Jbb

∫∫ ⋅=+

=00

21'

)()(&

, donde x es la coordenada

horizontal e y la vertical. a) Comparando esta ecuación con la acción, integral del lagrangiano, plantee

la/s ecuación/es de Euler-Lagrange de este problema (no es necesario dar su expresión más simple).

b) Siguiendo con la analogía escriba la ecuación de Hamilton equivalente para este problema.

104

c) Escriba la ecuación de Hamilton-Jacobi equivalente para este problema. ¿Es resoluble mediante separación de variables? En caso afirmativo de una expresión para las soluciones e indique cómo recuperar la solución y(x).

Solución.

a) La acción tiene la forma . Por tanto sólo hay que tener

cuidado de identificar bien los términos dependientes e independientes. La x jugará el papel de variable independiente en nuestro problema, en lugar del tiempo de un problema típico en mecánica; la variable dependiente será y en lugar de q, y por tanto será el equivalente de q :

dttqqLS = ft

t⋅∫

0

),,( &

y& &

Braquistócrona Sistema mecánico Variable independiente x t Variable dependiente (coordenada generalizada)

y q

Derivada de variable dependiente

y& q&

Por tanto la ecuación de Lagrange es:

0=∂

−∂ LdL '' se obtiene una expresión difícil de manejar.

∂∂ ydxy &

( )21 yyy

yLp

&

&

& +=

∂∂

='b) La variable conjugada será por lo que el hamiltoniano

será y

pyL

21 ⋅−−='ypH −⋅=' &

0=∂∂

+∂∂

xSx

ySyH );,('c) La ecuación de Hamilton-Jacobi tendrá la forma

0=∂

+⎟⎟⎠

⎜⎜⎝ ∂

−−xy

12

∂⎞⎛ ∂ SSyx

SyS 122

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎟⎟⎠

⎞

⎝ ∂∂

⎜⎜⎛

, y

que es claramente separable en dos ecuaciones:

)(, yWxSxS

+⋅==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂ αα 2

2

dww

yy

∫ −= 21 α)(yy

S 122

=+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂ α W , por lo que ,

dww

xSy

∫ −+⋅= 21 αα

105

ySp∂∂

=Siendo S la función principal de Hamilton tenemos que y

∫−

−=∂∂

=y

dww

xS21

1α

αα

β que una vez resuelta la integral nos da la relación entre

x e y en función de las constantes α y β dependientes de las condiciones iniciales.

------------------------------------------- 38. Sean las siguientes transformaciones de variables:

212

=Q q , pPq

=

tan=

, 1.-

2.- Q q , ( ) 2cosP p k q= −

=

,

3.- Q p , ptP qm

+= −

1 1( , , )F F q Q t= 2 2 ( ,F F q

,

siendo k y m constantes. a) Encontrar si son transformaciones canónicas. b) Para aquellas que lo sean señalar si es posible encontrar funciones de tipo

, , )P t , 3 3( , , )F F p Q t= y 4 4 ( , , )F F p P t== (Nota: Verificar si es posible encontrar cada una de las cuatro funciones). En cada caso dar la expresión de al menos una de ellas. c) Encontrar el nuevo Hamiltoninano, , que resulta de aplicar la transformación

(3) al Hamiltoniano del oscilador armónico:

K

( )2 212

H p q= + .

a) Comprobamos directamente los corchetes de Poisson de las variables:

1.- [ ] 101=−=

∂∂−

∂∂∂

=q

qqppq

QPQ, ∂∂∂ PQP

2.- [ ] 101 22 =−=

∂∂

∂∂

−∂∂

∂∂

= qqq

PpQ

pP

qQPQ cos

cos,

3.- [ ] 110 =+=∂∂

∂∂

−∂∂

∂∂

=qP

pQ

pP

qQ

),( QqPP =)

PQ,

Luego las tres transformaciones son canónicas. b) No siempre es posible encontrar todas las cuatro funciones generatrices para una

transformación canónica. Por ejemplo en 1. No es posible escribir debido a las ecuaciones de la transformación.

Por tanto no será posible encontrar la ,( QqFF 11 = . Las otras tres sí son

posibles y tienen la forma 22 2

1 PqF = QpF 23 −=, , P

pF2

2

4 −=

),( QqFF 11 =qkqPF ⋅+= )tan(2 )arctan()( QpkF

2. No es posible escribir , las otras tres son posibles: , −=3 ),( PpFF 44 =. La forma de es

muy complicada aunque es posible decir que existe (recordar que no se pide la forma de todas las funciones posibles).

106

3. No es posible escribir . Las posibles son ),( QqFF 33 = mtQQq

2

2

−= , F1

( )22 2

qPt

mF +=mtpPpF

2

2

4 −=,

mtQQqF

2

2

1 −=c) Para la transformación 3) podemos usar la función generatriz y

tenemos

Qp

PmQt

=

−=q por lo que

( )m

QPmQtQ

mQF

221

21

21 22

22

221 −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=−+=

∂∂ qp

tHK +=

107

TRANSFORMACIONES CANÓNICAS, CORCHETES DE POISSON Y ECUACIÓN DE HAMILTON-JACOBI

1. En un Hamiltoniano de dos grados de libertad independiente del tiempo nos basta encontrar otra constante del movimiento para poder decir que el problema está integrado. Si esta segunda constante, I(p,q), es a su vez independiente del tiempo, debe satisfacer la condición: [I ,H ] = 0. Supongamos una partícula de masa unidad moviéndose en un potencial bidimensional

. Hallar: la constante más simple de la forma , donde e y f son funciones a determinar, y una forma

correspondiente del potencial V , para poder asegurar que el problema está integrado. ¿Cuál es el significado físico de I ? Con lo que usted sabe de mecánica, ¿ hay una forma consistente de hallar la forma general del potencial sin resolver ecuación alguna?

),( 21 qqV)( eI qp, = 21 )()( pfp qq +

Si insertamos H e I en la condición [I ,H ] = 0, e igualamos los coeficientes de los términos en los momentos, encontramos:

.0 ,0 ,0 ,0212121

=+=+==qVf

qVe

qe

qf

qf

qe

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

De las tres primeras ecuaciones podemos obtener, por ejemplo:

12 , qfqe =−= .

La constante es entonces:

1221 pqpqI −= ,

que no es otra cosa mas que el momento angular. Es razonable pensar que el potencial es un potencial central,

)( 22

21 qqVV += ,

enteramente consistente con la cuarta ecuación en derivadas parciales.

--------------------------------

2. En el caso de un sistema unidimensional con la hamiltoniana

2

2

21

2 qpH −=

determínense las funciones f(q,p) y g(q,p) de manera que

( ) ( )tpqgpqfD ,, +=

sea una constante del movimiento.

La función D debe ser solución de:

72

[ ] , DHtD=

∂∂

lo que, utilizando la forma de D, lleva a la ecuación

+ tqg

pH

qf

pHt

pg

qH

pf

qHg

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

−−=

Igualando los coeficientes de t, se llega a las ecuaciones

0 =−qg

pH

pg

qH

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

gqf

pH

pf

qH

=−∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

La primer ecuación muestra que g = H es solución. Utilizando este resultado en la segunda, ésta queda

2

12

1 2

2

3 qp

qfp

pf

q−=−

∂∂

∂∂

con lo que

2

; 2

pqfq

pf

−=−=∂∂

∂∂

es decir:

2

pqf −=

--------------------------------------

3. Sean q y p la coordenada y el momento generalizados de un sistema material de un grado de libertad; sean Q y P funciones de q y p tales que P = q + p. Se pide

a) Determinar Q de la forma más general posible, de modo que la transformación de (q,p) a (Q,P) sea canónica;

b) Demostrar que cualquiera que sea la expresión para P la solución general viene dada por

),()( pqgPfQ +=

donde g(q, p) es solución particular de la ecuación [Q,P] = 1.

Para que la transformación sea canónica debe cumplirse

1=∂∂

∂∂

−∂∂

∂∂

pQ

qP

qQ

pP

73

Si P = p + q, la condición anterior queda como:

.1=∂∂

−∂∂

pQ

qQ

La solución de la ecuación anterior es suma de la correspondiente a la ecuación homogénea y de una solución particular de la ecuación completa. La integral de la ecuación homogénea es de la forma:

)(hom qpfQ +=

siendo f una función arbitraria. Por otra parte, Q = q es una solución particular de la ecuación inhomogénea, luego la solución general es:

)( qpfqQ ++=

Para el caso general en que P es una función cualquiera de p y q, la solución a la ecuación homogénea, [P,Q] = 0, es de la forma Q , como puede verificarse por simple sustitución.

)(hom Pf

-----------------------------------

4. Una masa m está conectada a un resorte de constante k1 y oscila armónicamente sin rozamiento con una amplitud inicial A1. Se reduce la constante del resorte de modo adiabático (equivalente a hacerlo muy despacio) de forma constante hasta llegar a un valor k2 (suponga, por ejemplo, que calentamos el resorte). Calcúlese la nueva amplitud de oscilación.

I.NOTA: Si p y q son el momento y la posición de la masa, la cantidad

∫= π2pdqI

donde la integral se define a lo largo de una sola oscilación completa, es lo que se llama un invariante adiabático. Ello quiere decir que, aunque la enegía del oscilador varíe, I permanece constante cuando la constante del resorte se reduce adiabáticamente. Utilícese este hecho para responder al problema. También podrá resultarle de utilidad saber que:

∫ +−=2

2sen 41sen 2 xxdxx .

Para solucionar el problema hemos de recordar que, según el teorema de Stokes el invariante adiabático I también puede escribirse como la integral de área sobre la superficie encerrada por la trayectoria de una oscilación completa en el espacio de fases:

∫ ∫=π2

dpdqI

Para el oscilador armónico la ecuación de la trayectoria en el espacio de fases es la elipse

74

Eqmpm

=+ 222

21

21 ω

con un área encerrada dada por 2πE/ω. Por lo tanto el invariante adiabático es I = E/ω. La condición de invariancia adiabática viene dada por:

2

2

1

1

ωωEE

=

Si escribimos la expresión anterior en términos de amplitudes de oscilación, la amplitud final puede expresarse como:

41

2

112

=

kk

AA

-----------------------------------

5. La transformación desde un sistema de referencia fijo a otro móvil es , siendo la distancia entre los orígenes (siendo t el tiempo).

Encuentre: )(tDqQ −= D t( )

a) la transformación para los momentos generalizados;

b) la forma del hamiltoniano en variables , cuando su representación en variables ( , es

),( PQ)p q )(22 qVmp + ;

c) las ecuaciones del movimiento en variables . ),( PQ

a) La función generatriz para la transformación Q )(tDq −= , es , tal que: ),(2 qPF

pqF

QPF

==∂∂

∂∂ 22 ;

Si , tendremos ( )(2 tDqPF −= ) PqFp == ∂∂ 2 .

b) El nuevo hamiltoniano será:

DPDQVm

P

DPqVm

p

tqPFt

tpqHtPQK

−++

=−+

=+=

)(2

)(2

),,(),,(),,(

2

2

2∂∂

c) Las ecuaciones del movimiento son:

75

)( DQVQ

P

DmP

PKQ

+−=

−==

∂∂

∂∂

Combinándolas:

DmDQVQ

Qm −+−= )(∂∂

-------------------------------------------

6. Supongamos que en el problema de una partícula, de masa m, en caída libre en un campo gravitatorio, queremos efectuar una transformación canónica,

, que nos permita escribir el hamiltoniano en la nuevas variables como . Demuestre que la correspondiente función generatriz, , viene dada por:

),(),( QPqp →

(1 qFmgQK =

),Q

( )( ) gmqQgmF 22321 32 −−= .

Deseamos pasar de mgqm

pH +=2

2

a mgQK = . De la identificación de ambas

expresiones, obtenemos:

( )qF

mgqmgQmp∂∂ 12121)2( =−= ,

en donde es la función generatriz problema. Integrando la ecuación anterior, F1

( ) ( )( ) 2322

21211 2

31~~)2( qQgm

gmqdqmgmgQmF

q

−−=−= ∫ .

----------------------------------

7. Dada la transformación Q ),();,( pqPPpqQ == para un problema mecánico unidimensional, demostrar que la condición simplética para que ésta sea canónica se reduce a que una cierta función escalar tome un determinado valor(¿cuál?).

Para el caso unidimensional, la condición simplética es:

∆=

−

= JMJM

pp

qq

pq

pqT

PQPQ

PPQQ

0110

76

siendo . Es pues necesario y suficiente que el determinante ∆ sea la unidad.

qppq PQPQ −≡∆

--------------------------------

8. Dadas las siguientes transformaciones Q ),();,( pqPPpqQ == , determinar cuales son y cuales no son canónicas. Para aquéllas en las que la transformación contiene parámetros libres, determínense las condiciones que éstos deben verificar para que la transformación sea canónica. Razónense las respuestas en cada caso.

a) iiii pQqP =−= ;

b) iiii pQqP == ;

c) jijijiji pbQqaP =−= ;

d) jijijiji qBQpAP =−= ;

e) , donde es una función arbitraria de 1)/(;)( −== dqdfpPqfQ f q

f) qPpQ cos;sin ==

a) canónica; b) NO; c) canónica si 1−=a b , siendo b la matriz transpuesta de b

d) canónica si 1−−= BA ; e) canónica f) no canónica

-----------------------------------

9. ¿Para qué valores de los parámetros α y β representan las ecuaciones

pqPpqQ

β

βα

α

sincos

=

=

una transformación canónica? ¿Cuál es la forma de la función generatriz ? 3F

Para un sistema unidimensional la condición simplectica se reduce a que el determinante

pP

qP

pQ

qQ

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂


En nuestro caso:

pqpqpqpq

βββαβββα

αα

αα

cossinsincos

1

1

−

− −=∆ 12 −= ααβ q

Deberá ser cierto que , lo que exige que 112 =−αβαq

77

2;21

== βα


pqP

pqQ

2sin

2cos

=

=

además, qF

ppF

∂∂

−=∂∂

−= 33 ;q y ),(33 QpFF =

Rescribiendo las variables P y q en función de p y Q:

pQtgPp

Qq 2;2cos

2

==

de modo que pF

pQ

∂∂

−= 32

2cos y

QF

p∂

Qtg∂

−= 32


)(22

2

3 pptgQF ϕ+−=


2),(

2

3QpQF −= ptg2 .

-------------------------------------------

10. Resuelva el problema de Hamilton-Jacobi para una partícula que se mueve en un plano vertical sobre la parábola . 2axz =

)41(212;)(

21 22222 xaxmTxaxzzxmT +=⇒=+=

2mgaxmgzV ==

2222 )41(21 mgaxxaxmL −+=

Solo un grado de libertad, x . Para obtener el Hamiltoniano ,

)41( 22 xaxmxLp +=∂∂

= , y:

.412

1 222

2

mgaxxa

pm

H ++

=

78

La ecuación de Hamilton-Jacobi se obtiene de substituir por ipiq

F∂∂ 2 en la expresión

0),,( 2 =∂∂

+t

FtqpH ii , de modo que:

)41(21

22 xam +022

22 =

∂∂

++

∂∂

tF

mgaxx

F (Ecuación de Hamilton-Jacobi).

Puesto que H no depende explícitamente de t, tWF α−=2 donde const=α , y

α=+

∂∂

+2

2

22 )41(21 mgax

xW

xam,

que admite una integral inmediata, ya que

)41)((2 2222

xamgaxmx

W+−=

∂∂ α

∫ +−=⇒x

xaxmgadxmW0

222 )41)(1(2α

α .

La determinación de tWF α−=2 queda pues reducida a una cuadratura.

--------------------------------

11. Dado el Hamiltoniano , encontrar la transformación canónica que

lo convierte en

22 xpH x +=

24 1

QQ +2PH = utilizando las propiedades de tales

transformaciones y la relación Q1

=x .

Como sabemos que Q viene dada solo en función de x (normalmente llamada ), usaremos la función generadora , para la cual

q

),(2 xPF

xxPF

p∂

∂=

),(2 (1)

xPxPF

Q 1),(2 =∂

∂= (2)

Integrando (2),

)(2 qLxPF += (3)

y usando (1)

)()( 22

QGPQqLxPp +−=′+−= (4)

79

donde G es en principio una función arbitraria. )(Q

Ahora bien, para este función generadora resulta que al Hamiltoniano transformado K es:

HK = (5)

[ ]

)(11

(4)devirtuden

222

22422

↑

+−+==+=+= QGPQQ

HpxQPQ

K

de este modo,

[ ]2242 )(QGPQQP +−= 0=⇒ . G

Finalmente,

Qx

PQp1

2

=

−=

es la transformación.

-------------------------------------

12. Sean las variables y y sean Q y q p P las nuevas variables que resultan de

una transformación canónica. Sabiendo que )(qf

p′

=Q , donde dq

qdfqf

)()( =′

, y es una función dada que sólo depende de , f q

a. Obtener la función generadora de la transformación canónica.

b. Determinar completamente la nueva variable P en función de q y . p

c. ¿Qué puede decirse del Hamiltoniano que gobierna la evolución de y ? q p

d. Si no se conociese la función generadora, para el caso particular

pqQ = ; )ln(qP −= , ¿cómo podría averiguarse directamente si la transformación es canónica ó no?

a).- Usando la función generadora tal que ),(1 pQF

QqF

p |1

∂∂

= (1,a)

qQF

P |1

∂∂

−= (1,b)

Puesto que se nos dice que )(qf

p′

=Q de (1,a) resulta:

80

qF

qfQp∂∂

=′= 1)( ,

e integrando,

)()(1 QqQfF ϕ+=

siendo ϕ una función arbitraria.

b).- De (1,b) )()( QqfP ϕ ′−−=⇒ y en función de y q : p

)(qfpQ′

=

))(

()(qf

pqfP

′′−−= ϕ (2)

c).- La condición para que la transformación sea canónica es independiente del Hamiltoniano, Nada puede pues decirse de H .

d).-

qPpqQ

ln−==

(3)

Está claro que este es un caso particular de (2) con qf ln;0 ==′ϕ . Por tanto la transformación es canónica. Si no supiésemos la forma de , podríamos hacer una comprobación directa de que se cumple la condición general

1F

JMJM T = , con

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

pP

qP

pQ

qQ

M , y .

−

=0110

J

De hecho

−= 01q

qpM ;

−

=

−

−

−=

0110

0

110

qq

p

q

pqTMJM

Se verifica pues que MJM , de modo que la transformación (3) es canónica, por verificación directa. Nótese, por cierto, que para problemas con solo grado de libertad como éste, la condición

JT =

1Det =⇔= MJMJM T , que es aún más trivial de probar.

-------------------------------------------

13. Resuelva el problema de una partícula con hamiltoniano ( ) mgzpppH zyx +++= 222

21 , resolviendo su correspondiente ecuación de

Hamilton-Jacobi.

81

La ecuación, una vez hecha la separación de variables, queda como

( ) ( ) ( )Emgz

dz

zdW

dy

ydW

dx

xdW

m=+

+

+

23

22

21

21

Si E es constante, cada uno de los sumandos diferenciales debe serlo a su vez

( ) ( )

( )3

23

21

2

22

21 ,1

21

21

α

αα

=+

=

=

mgzdz

zdW

m

dy

xdW

mdx

xdW

m

Y las soluciones

( ) ( )

( ) ( ) 23

329

83

222 ,121

mgzmg

zW

mxyWmxxW

−±=

±=±=

α

αα

Las constantes 321 ,, ααα definen los nuevos momentos en una transformación canónica generada por ( )321 ,,,,, αααzyxS=S . La otra mitad de las nuevas coordenadas generalizadas definen las ecuaciones

( )t

mg

mgzS

tmxStmxS

−−

±=∂∂

=

−±=∂∂

=−±=∂∂

=

232

33

2222 ,

1211

α

αβ

ααβ

ααβ

que, invertidas, dan

( ) ( )

( )2323

222

,112

tgmg

z

tm

ytm

x

+−=

+±=+±=

βα

βα

βα

-------------------------------------------

14. El hamiltoniano de Toda caracteriza un conjunto de partículas que se mueven sobre un anillo, sometidas a fuerzas repulsivas, exponencialmente decrecientes. En el caso de tres partículas (véase figura), este hamiltoniano viene dado por:

82

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] 323exp12exp31exp3

12

21

−−−+−−+−−+∑=

= φφφφφφi

ipH

Aparte del hamiltoniano, existe una integral del movimiento obvia ¿Cuál es? Genere una transformación canónica que `ponga en evidencia esta nueva integral en el hamiltoniano transformado. (Nota: en la segunda parte del problema utilice la función generatriz , definiendo como nuevo momento esa integral de movimiento adicional)

F2

φ1

φ 3

φ 2

p1

p 3

p2

φ

Hay una integral del movimiento obvia, que es el momento total

cte.3213 =++= pppP (1)

ya que el hamiltoniano es invariante frente a rotaciones

0φφφ +ii

Transformamos a los nuevos momentos 11 pP = , 22 pP = y dado por (1), con: 3P

( ) .321322112 φφφ PPPPPF −−++= .

Encontramos el nuevo hamiltoniano:

( )[ ]( ) ( )[ ] ( ) .3exp-exp-exp

21

221

2213

22

21

−Φ+Φ−Φ+Φ

+−−++=′ PPPPPH

′H no depende de Φ3 : lo que demuestra la invariancia de P3

------------------------------------------- 15. Compruebe que para tres funciones se cumple

. Proceda expandiendo el lado izquierdo de la igualdad y reorganizando términos para obtener el lado derecho. ¿De qué relación se trata?

hgf ,,[ ][ ] [ ][ ] [[ gfhfhghgf ,,,,,, −=+ ]]

Reconocemos aquí la identidad de Jacobi y su comprobación aparece con detalle en la página 487 del Goldstein. 16. Sean q y p la coordenada generalizada y el momento generalizado de un

sistema material de un grado de libertad; sean Q y P funciones de q y p, tales que . Se pide determinar P de la forma más general posible, de modo que la transformación de q y p a Q y P sea canónica.

pqQ tan=

83

Se tiene que

,tan;cos2 p

qQ

pq

pQ

==∂∂

∂∂

y una integral particular de la ecuación

1cos

tan 2 =−p

qqPp

pP

∂∂

∂∂ ,

se obtiene fácilmente haciendo P solamente función de p , por ser

pPpdp

dP senlntan

1=⇒= .

Luego ( )pqpP tanfsenln +=

es la solución del problema.

------------------------------------------- 17.- Un sistema de una partícula tiene como lagrangiano: ( ))(e 2

21t2 qVqmL −= γ .

a) ¿A qué sistema corresponde? b) Una vez encontrado el hamiltoniano en variables ( )qp, , ¿cuál ha ser la

buena expresión para la función ( )tf tal que la función generatriz transforme el hamiltoniano en una constante del

movimiento en el caso en que

( ) ( )qPtftPqF =,,2

( ) 22qmω21q =V ?

a) La ecuación del movimiento es

qmqVqm γ2−∂∂

−=

que corresponde a una partícula en un potencial V y bajo la influencia de un frenado qmγ2− .

b) El hamiltoniano viene dado por la expresión

( ) tt eqVem

pH γγ 222

2+= − ,

que se reduce, en nuestro caso, a tt eqme

mpH γγ ω 2222

2

21

2+= − .

Nos piden ahora una función generatriz de la forma ( ) ( )qPtftPqF =,,2 para que transforme H en un nuevo hamiltoniano K que sea constante del movimiento. Nos bastará para ello asegurar que K no depende explícitamente del tiempo. Para ello, aplicando las ecuaciones de transformación

( ) ( )tfqPHKqtfQPtfp∂∂

+=== ;;

tenemos

84

tffQPefQmef

mPK tt

∂∂

++= −−− 12222222

21

2γγ ω

Si hacemos la identificación ( ) tetf γ=

obtenemos el resultado exigido.

------------------------------------------- 18.- Un conjunto de coordenadas generalizadas, se transforma en un nuevo conjunto , a través de: ),( 11 PQ ),( 22 PQ

),,,(, 221111211 pqpqPPqQ ==

),,,(, 221122212 pqpqPPqqQ =+= . a) Encontrar la expresión más general de y para que la transformación

sea canónica. 1P 2P

b) Mostrar la elección que reduce el hamiltoniano

( )2212

2

1

21

2qqp

qpp

H +++

−= a . 2

21 PPK +=

c) Resolver las ecuaciones de Hamilton en términos de las nuevas variables.

a) Buscaremos una función tal que ),,(2 tPqFi

i PF∂

Q∂

= 2 y i

i qF

p∂∂

= 2 , de :

211 qQ = y Q 212 qq += → . ),,()( 212211

212 tqqgPqqPqF +++=

Por tanto:

12111 2

qgPPqp

∂∂

++= ; 2

22 qgPp

∂∂

+=

con lo que

222 q

gpP∂∂

−= ;

∂∂

−∂∂

+−=

∂∂

−−=12

2111

211

1 21

21

qg

qgpp

qqgPp

qP

b) Si suponemos que g es independiente del tiempo, HK = y si sustituimos las expresiones anteriores de y en K tenemos que 1P 2P

22

2

1211

21

21

2 qgp

qg

qg

qqpp

KH∂∂

−+

∂∂

−∂∂

+−

==

que será igual a la hamiltoniana original si

21 qg

qg

∂∂

=∂∂ y ( ) 21

22

21

221

2

2 qqqqqqqg

−−−=+−=∂∂

y esta última expresión es fácilmente integrable a

)(31

1221

322

21 qfqqqqqg +−−−= y de la condición 21

22

21

21

2 qqqqqg

qg

−−−=∂∂

=∂∂

tenemos que 21

1

qqf

−=∂∂ y por tanto

( ) 31

221

322

212211

212 3

131 qqqqqqPqqPqF −−−−++= .

85

c) En el nuevo Hamiltoniano no aparecen ni ni por lo que y son constantes y

1Q 2Q 1P 2P

11

1 2PPHQ =∂∂

= → α+= tPQ 11 2 ,

12

2 =∂∂

=PHQ → β+= tQ2 .

-------------------------------------------

19. Un sistema de dos grados de libertad está descrito por la hamiltoniana

)()()( 2321212211 qgpqgpbqqgH −++−= ,

dónde es función únicamente de la variable . )( ji qg jq

a) Encontrar unas funciones, , y para que las funciones )( 11 qg )( 12 qg )( 23 qg

211 qqF = y 2

112 q

aqpF

−=

sean constantes del movimiento.

b) ¿Existen más constantes del movimiento algebraicas independientes? En caso de respuesta afirmativa, ¿ podría dar alguna sugerencia de constante?

c) ¿Puede construirse alguna constante más a partir de la identidad de Jacobi?. (Nota: identidad de Jacobi para las funciones H, v, w es

[ ][ ] [ ][ ] [ ][ ] 0,,,,,, =++ wHvHwvwvH )

d) Resolver la ecuación de Hamilton-Jacobi: 0, =∂∂

+

∂∂

tS

qWqH , con

( ) ( ) tPqWtPqS 1,,, α−= ¿Qué constantes del movimiento obtenemos?

a) Para que sea constante del movimiento tiene que cumplir queiF [ ] 0, =iFH , de la definición de corchete de Poisson tenemos:

[ ] 0)()(, 1232122

1

22

1

21

1

11

1

11 =+−=

∂∂

∂∂

−∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

−∂∂

∂∂

= qqgqqgqF

pH

pF

qH

qF

pH

pF

qHFH

que tiene como solución y 112 )( qqg = 223 )( qqg = (o con los signos cambiados). Introduciendo esto en el corchete de la segunda constante:

[ ] 011, 11111

1

222

113

22

21

21

1

12 =

−+++

∂∂

−=

−++

∂∂

+∂∂

−= paqaqpqg

qqpaq

gqag

qqg

pqg

FH

211 1)( aqqg =que se cumple si .

b) Con las funciones halladas el hamiltoniano tiene la forma

221122

21 qpqpbqaqH −++−=

que, salvo signos, es simétrica en las variables. De este modo es directo proponer una nueva función

86

1

223 q

bqpF −=

que es fácil comprobar que es constante del movimiento

[ ] ( ) ( ) 02112, 2222211

21

2221

2213 =−−++−=−−+

−−= bqpbqpbq

qqbq

qpbq

qpbq

qFH .

También es evidente que el propio Hamiltoniano, independiente del tiempo, es otra constante del movimiento. Podríamos pensar que ya tenemos las 4 constantes posibles pero no son linealmente dependientes, de hecho se puede ver que

( )321 FFFH −= . c) La aplicación de la identidad de Jacobi para generar nuevas constantes sólo produce soluciones triviales:

[ ] 1, 21 =FF , [ ] 1, 31 =FF , [ ] 21

32 ,FHFF −= .

d) La ecuación una vez hecha la separación de variables queda

EbqaqqqWq

qW

=+−∂∂

−∂∂ 2

2212

2

21

1

1

y separando las ecuaciones por variables tenemos

1211

1

1 α=−∂∂ aqq

qW y 2

222

2

2 α=+∂∂ bqq

qW

−

que tiene como soluciones directas 21111 2

)ln( qaqW +=α y 22222 2

)ln( qbq +−= αW ,

de modo que la función generadora de la transformación canónica buscada es

ttqbqqaqS 212222

2111 2

)ln(2

)ln( αααα −−+−+=

y podemos encontrar las soluciones explicitas para las variables canónicas:

( ) tqS−=

∂∂

= 11

1 lnα

β y ( ) tqS−−=

∂∂

= 22

2 lnα

β

teetq 1)(1β= y q teet −−= 2)(2

β

y para las conjugadas: tt eaeeeaq

qqSp 11

111

1

11

ββαα

+=+=∂∂

= −− y tt ebeeebqqq

Sp −−+=+−=∂∂

= 2222

2

2

22

ββαα .

Las constantes son 2121 ,,, ββαα cuyas fórmulas en función de las variables se puede despejar de las ecuaciones anteriores.

------------------------------------------- 20.- Sean y fff ,, 21 g funciones de las coordenadas, q , de los momentos, , y del tiempo. Muestre que se cumplen las siguientes relaciones:

k kp

a) [ ] [ ] [ gfgfgff ,,, 2121 +=+ ]]b) [ ] [ ] [ gffgffgff ,,, 122121 +=

c) [ ]

∂∂

+

∂∂

=∂∂

tgfg

tfgf

t,,,

87

d) [ ]k

k pfqf

∂∂

−=,

e) [ ]k

k qfpf

∂∂

=,

-------------------------------------------

21.- Supongamos un sistema en una dimensión con coordenadas q y p. a) Demuestre que para la hamiltoniana del sistema la evolución de una función esta dada por

),,( tpqH),,( tpqf

[ ]tfHf

dtdf

∂∂

+= ,

b) Encuentre las condiciones que han de cumplir las constantes a,b y c para que sea canónica la transformación

pqaQ += 2 , . (1) 4cpbqP +=c) Para el sistema dado por la hamiltoniana

2242 44 ppqqqH +++= encuentre la transformación del tipo (1) tal que la nueva hamiltoniana, H’, sea la del oscilador armónico. d) Si tuviéramos una nueva transformación canónica sobre las coordenadas del apartado c): ( )tPQP ,,~ y Q( tPQ ,, )~ , ¿cómo calcularíamos la transformación desde las variables originales a las finales, ( )tpqP ,,~ ( )tpqQ ,,~ ?. ¿Será canónica?. En caso de conocer una transformación que simplifique la hamiltoniana H’ apunte el procedimiento.

a) Se obtiene de la definición del corchete de Poisson y las ecuaciones del movimiento de hamilton para el sistema. (Ver en el apartado 9-5 del Goldstein). b) En notación matricial tiene que cumplir:

JMJM T = y para este sistema tenemos

=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

= 3412pb

aq

pP

qP

pQ

qQ

M ,

−

=

−+−

=0110

0880

3

3

bcpbbcpb

MJM T

es decir, 1,0 −== bc y a sin determinar. c) Como la transformación es independiente del tiempo la nueva hamiltoniana se obtiene de la substitución de las nuevas variables, Pq −= y en la antigua hamiltoniana:

2aPQp −=

22224 )24()44(' QPaQPaaPHH ++−++−== en la que tomando nos lleva a 2=a

22' QPH += , formalmente la del oscilador armónico.

88

Para esta hamiltoniana la transformación )~cos(~2 QPP = )~(~2 QsenPQ = , nos lleva a PH 2'~ = . Sencillamente podemos igualar las expresiones de P y Q en ambas coordenadas para obtener:

qQPP −== )~cos(~2 y pqQsenP +== 22)Q ~(~2 y de aquí despejar para cualquier conjunto:

QPQsenPp

QPq~cos~4~~2

,~cos~22−=

−= o

2)2(~

2~

222

21

pqqP

pqqtnQ

++=

+

−= −

La composición de 2 transformaciones canónicas siempre es canónica.

------------------------------------------- 22.- Supongamos un sistema de un grado de libertad, con coordenadas q y p y hamiltoniana H, y una transformación canónica a las coordenadas Q y

junto con su función generatriz ( )pq,

( pqP , ) ( )tQqF ,,1 . a) En general, ¿cree usted que pueden obtenerse todas las funciones generatrices , y ( )tPqF ,,2 ( )tQpF ,,3 ( )tPpF ,,4 de esa transformación? Ilustre su respuesta con ejemplo/s sencillo/s. En caso de poder disponer de más de una función generatriz ¿obtendremos siempre la misma hamiltoniana?. b) ¿Existe una única función generatriz del tipo ( )tQqF ,,1 asociada al cambio de coordenadas ( )pqQ ,

qF ,1

y ? En caso de poder disponer de más de una función generatriz ¿obtenemos siempre la misma hamiltoniana?. Dé también ejemplo/s sencillo/s.

( pqP ,)t,

)

)

( Q

a) No siempre será posible encontrar funciones de los 4 tipos para una misma transformación canónica. Partiendo de las ecuaciones de las nuevas variables, Q y , hay que comprobar qué parejas formadas por una variable antigua y una nueva son expresables en función de las otras dos. Como ejemplo simple de este caso tenemos la transformación:

( )tpq ,,( tpqP ,,

( ) qQtQqF =,,1 . Esta genera el cambio

QqF

p =∂∂

= 1 , qQF

P −=∂∂

= 1 , para el que no es posible expresar p como función de q y

P, ni q como función de p y Q. Por tanto existirán sólo las funciones y .

( )tQqF ,,1

( )tPpF ,,4

Sin embargo sí hay casos en los que es posible, un ejemplo simple sería:

2

2

22

QqPqQp

−=

= , generada por la función . Para este caso tenemos todas las

combinaciones:

221 QqF =

89

2

3

2

2

2

qpQ

qpp

−=

=,

3

2

2

42

2

QpP

Qpq

−=

=

, 31

2

31

2

2

2

=

=

PpQ

pPq

y podremos calcular todas las funciones

generatrices:

2

2

2 4qPF −= , 2

2

3 4QpF −= ,

32

2

5

4 2

=

PpF .

Estas funciones generatrices, obtenidas unas de otras a través de QPFF −= 21 , y qpFF −= 31 QPqpFF −+= 41 y del oportuno cambio de coordenadas (ver sección

9-1 del Goldstein) siempre generan la misma hamiltoniana. b) No, no es única. Dado que la relación entre el cambio de coordenadas y la

función generatriz viene dado por ecuaciones del tipo: qF

p∂∂

= 1 QF

P∂∂

= 1 siempre

podemos añadir una constante y/o una función dependiente del tiempo. En este último caso las hamiltonianas serán diferentes según la función dependiente del tiempo que consideremos. Para el primer ejemplo de la sección anterior las transformaciones canónicas dadas por las funciones y ( ) qQtQqF =,,1 ( ) 2

1 ,,' tqQtQqF += , generan las mismas ecuaciones y , pero tiene hamiltonianas diferentes. Qp = q−P =

--------------------------------------------

23.- Sean un sistema hamiltoniano )(21),( 22 qpqpH +=

(,0)0( tptq

, la variable dinámica

y las condiciones iniciales pqqpg =),( 0)0 p==== . Calcule la evolución temporal de la variable, siguiendo los siguientes procedimientos y comente brevemente las diferencias:

),( 0ptg

a) Integración directa de las ecuaciones de Hamilton. b) A partir del formalismo de Poisson obtenga la ecuación diferencial de

segundo orden de . ),( 0ptgc) Encuentre una transformación canónica cualquiera tal que la nueva variable

sea Q . Calcule el nuevo hamiltoniano y obtenga a partir de las nuevas ecuaciones de Hamilton.

),( qpg= ),( 0ptg


QF

PqF

ptQqFF∂∂

−=∂∂

== 1111 ,),,,(

PF

Qq

FptPqFF

∂∂

=∂∂

== 2222 ,),,,(

QF

PpF

qtQpFF∂∂

−=∂∂

−== 3333 ,),,,(

PF

Qp

FqtPpFF

∂∂

=∂∂

−== 4444 ,),,,(

90

a) q

qHp

ppHq

−=∂∂

−=

=∂∂

=, y por tanto qpq −==

tBtAtptBtAtq

sincos)(cossin)(

−=+=

, que para las

condiciones iniciales dadas: 0

0p)0

)0A(

(tp

Btq======

, tenemos q tsinqt)( 0= .

tp

ttptqtptg 2sin2

cossin)()()(202

0 ===

b) [ ] 22, qpqH

pg

pH

qgHg

dtdgg +=

∂∂

∂∂

−∂∂

∂∂

=== y

[ ] gqpqpqH

pg

pH

qgHg

dtgdg 4)(22, =−−=

∂∂

∂∂

−∂∂

∂∂

===

)2cos()2sin()( tBtAtg += , con las condiciones iniciales 0)0( ==tg , , nos

lleva a

20)( ptg =

tp

tg 2sin2

)(20= .

c) Buscamos una transformación canónica desde el sistema de coordenadas p, q a otro

P, Q donde, por ejemplo, Q . Si despejamos pqg ==pQq = , podemos considerar la

función generatriz tal que )Q,(3 pF

QF

P

pQ

pF

q

∂∂

−=

=∂∂

−=

3

3

, → → ) )('ln QfpP(ln3 QfpQF += +=

siguiendo el enunciado del problema podemos tomar el caso más simple : 0)( =QfPP Qeqep −== ,

y el nuevo hamiltoniano será

)(21 222 PP eeQH += −

Las nuevas ecuaciones del movimiento serán:

P

PP

QeQHP

eeQPHQ

2

222

−

−

=∂∂

−=

+−=∂∂

= y para la ecuación de )()( tQtg = será

, dónde por substitución de las anteriores ecuaciones obtenemos , es decir la misma ecuación que en el apartado anterior.

PeQ P22+eQ(2 22−= −

QePeQQ PP 222 22 +−= −−

Q QeeQQee PPPP 4)() 2222 =+−+ −Qe PP 2 22 + −−

-------------------------------------------- 24.- a.- Demuéstrese que si el hamiltoniano de un sistema puede expresarse como

la función es una constante de movimiento.

),,,,),,(( 2211 ss pqpqpqfHH …= ),( 11 pqf

91

b.- Utilícese esto para encontrar una constante de movimiento para una partícula

en dos dimensiones bajo el potencial 3)(r

rarV ⋅= (siendo a un vector constante

dado).

a) Para demostrar que 0=dtdf utilizaremos el formalismo de Poisson:

[ ] 0,111111111=

∂∂

∂∂

∂∂

−∂∂

∂∂

∂∂

=∂∂

∂∂

−∂∂

∂∂

=∂∂

∂∂

−∂∂

∂∂

== ∑= q

ffH

pf

pf

fH

qf

qH

pf

pH

qf

qH

pf

pH

qfHff

ii

s

i ii

b) El hamiltoniano de una particula sometida al potencial del problema la podemos escribir en coordenadas polares como:

32

22

22 rra

mrp

mpH r ⋅

++= θ , si elegimos el eje x coincidiendo con el vector a podemos

escribir mr

mapm

pr

ramr

pm

pH rr2

22

32

22

2cos2

2cos

22θθ θθ ⋅+

=⋅

++= + de modo que podemos

escribir que mrp

2

,θfm

ppfprH rr

2

2)(

2)),(,,( θ

θθ += , con =),( θθ pf θθ cos22 ⋅+p ma ,

constante del movimiento.

--------------------------------------------

25.- Sea θρθρρ θρ

2222

2 sin21cos

21

21

−−+= PPH

0=θ

, y para el instante inicial

)0( =θ P y 1== ρρ P . Sea θραθρθρ sincos 2P),,,( 121 PPPS += una función generatriz, siendo las nuevas coordenadas y momentos. 2121 ,,, PPxxa) Determinar los valores de α tales que el hamiltoniano de las nuevas variables sea integrable. b) Utiliza la transformación para determinar el valor de ρρρθ PP ,,, en el tiempo π=t . NOTA: las siguientes fórmulas pueden serle de utilidad:


Lo primero es expresar las viejas variables en función de las nuevas

θραθρ

θαθ

θ

ρ

cossin

sincos

21

21

PPP

PPP

+−=

+=,

θαρθρ

sincos

2

1

==

xx

, de lo que obtenemos que )0( ≠α

22

21

21 xx += αα

ρ

y después de algunos cálculos tenemos que

( ) 2

22

12

222

1 221

αα

xxPPK −−+= , que para cualquier valor de 0≠α es separable y por

tanto integrable. Tenemos que

92

22

2

1 1

αxP

P

=

=, , que podemos integrar directamente por separado

22

2

11

PxPxα=

=

BAtttx

AttP

++=

+=

2)(

)(2

1

1

y ( )tt

tt

DeCetP

DeCetx

−

−

−=

+=

22

2

1)(

)(

α

.

Con las condiciones iniciales dadas obtenemos el valor de las constantes 0)0(,1)0(,0)0(,1)0( 2121 ==== PPxx , 0,1 ==== DCBA .

Por tanto para π=t tenemos que 1

2)(

1)(2

1

1

++=

+=

πππ

ππ

x

P,

0)(0)(

2

2

==

ππ

Px

, que en las variables

originales da lugar a 12

2

++ππ)()(,0)()( 1 ==== ππρπθθ xt

0

1

=

+=

θ

ρ π

P

P.

----------------------------------------------

26. Considere el hamiltoniano )sin( 22

212

2

22

21

21 qq

qp

qpH +++= y la función generatriz

2211

22

21

2PqPqqS +

+= .

a) Determinar la trasformación canónica asociada a la función S, en la región . 0, 21 >qq

b) Determinar el nuevo hamiltoniano en función de . ii PQ ,c) Dar las integrales primeras. Determinar las soluciones de la ecuación del movimiento dadas por el nuevo hamiltoniano d) Estudiar la posibilidad de obtener las soluciones a las ecuaciones del movimiento en las variables originales a partir de la solución obtenida en c). NOTA: las siguientes fórmulas pueden serle de utilidad:


a) La función generatriz depende de las coordenadas originales ( ) y de los nuevos momentos ( ), por tanto corresponde a y tenemos que

21 , qq

21 , PP ),,(2 tPqF

212

22

21

1 2qQ

qqQ

=

+=

122

21111 2Pqp

PqPqp=

+=

Por lo que la trasformación canónica viene dada por

212

21

2 QQq

Qq

−±=

±= ( )

1212

2121

2

2

PQQp

PPQp

−±=

+±=, y para la región q tomaremos el signo

+.

0, 21 >q

b) Substituyendo el cambio en la expresión de H obtenemos el hamiltoniano en las nuevas varibles

93

( ) )2sin(2 12

12

21 QPPPK +++=c) La variable es cíclica, por lo que se conserva y el hamiltoniano no depende del tiempo por lo que también es constante:

2Q 2PEKP == ,2 α .

El resto de ecuaciones del movimiento:

)(4),2cos(2 211

111

1 PPPKQQ

QKP +=

∂∂

=−=∂∂

−= (1)

De este modo ( ) ( ) )2sin(22)2sin(2 1

211

21

21 QPQPPE +++=+++= ααα

si definimos α+≡ 11' PP , tenemos que

2)2sin(2' 1

1QEP −−

±=α y

2)2sin(24'4 1

11QEP −−

±==αQ

con lo que reducimos el problema a la integral

∫ −−±=

)(

)0(1

11

1 ))2sin(2(8tQ

Q QEdQ

tα

de cuya integración obtendríamos Q )(11 tQ=

A partir de esto y teniendo en cuenta (1) y )2(4 212

2 PPPKQ +=

∂∂

= tenemos el resto en

función de ella y α=2P :

α−= )(41)( 11 tQtP αtQtQQt 4)0()()0()( 1122Q +−+=

d) Como la transformación entre variables sólo es válida si 04)0()()0()( 1122 >+−+= αtQtQQtQ)()0()0(2)()(2 12121

04)0(1 >−−+−=− αtQtQQQtQtQ , hay que tener cuidado que no

siempre será válida. Podemos mencionar que en cuanto 0≠α y Q este acotado, el movimiento terminará cruzando alguna de las fronteras.

)(1 t

----------------------------------------------

27.- a ) Mostrar, mediante cualquiera de los métodos posibles, que la transformación

−

−=

+=

apiaq

iP

apiaq

iQ

21,

21

donde a es una constante, es canónica. b) Aplicar esta transformación al oscilador armónico unidimensional de Hamiltoniano

( )2222

21 qwmpm

H +=

y encontrar un valor de la constante a que simplifique el nuevo Hamiltoniano (debe tener un único término). c) Encontrar las ecuaciones de Hamilton para Q y P y mostrar que permiten recuperar las soluciones del oscilador armónico original. II. Solución

a) Cualquiera de las opciones permite comprobar que es una transformación canónica:

94

i) Los corchetes de Poisson satisfacen las siguientes condiciones: [ ] [ ] 0,, == PPQQ por la propia definición de los corchetes. [ ] 1, =PQ , se comprueba del siguiente modo

[ ] 12222

, =−

−=∂∂

∂∂

−∂∂

∂∂

=ai

ii

aai

ii

apQ

qP

pP

qQPQ

ii) Se Escriben las variables antiguas en función de las nuevas

( )PQaiq −=

22 , ( PQ

iap +=2

) (1)

y, con éstas y las originales, se comprueba que

Pp

qQ

∂∂

=∂∂ y

Qp

qP

∂∂

−=∂∂ y

Pq

pQ

∂∂

−=∂∂ y

Qq

pP

∂∂

=∂∂ .

Los cálculos llevan a

Pp

ia

qQ

∂∂

==∂∂

2 Qp

ia

qP

∂∂

−=−

=∂∂

2

Pq

aii

pQ

∂∂

−==∂∂

2

Qq

aii

pP

∂∂

==∂∂

2

iii) Encontrar una función generatriz. b) Aplicando la transformación (1) al Hamiltoniano original se obtiene que

( )

+++

−= QP

awmaPQ

awma

imH 2

22222

2

222 2

41

que se puede simplificar notablemente mediante la elección

2

222

awm

=a o lo que es lo mismo mwiamwa ±=±= , .

Tomemos mwa ±= para obtener: iwQPH −=

c) Las ecuaciones de Hamilton son

iwQPHQ −=∂∂

= , iwPQHP =∂∂

−= y las soluciones son

, , donde y son las condiciones iniciales. iwteQQ −= 0iwtePP 0= 0Q 0P

Ahora hay que llevar estas soluciones a las variables originales p y q teniendo en cuenta que las condiciones iniciales antiguas dependen de las nuevas:

−

−=

+=

ap

iaqi

Pap

iaqi

Q 000

000 2

1,21

con lo que recuperamos las soluciones del oscilador armónico.

---------------------------------------------- 28. Recuerde que las funciones hiperbólicas vienen definidas por

( ) ( ) ( )12sinh x exp x exp x= − − y ( ) ( ) ( )1

2x exp x exp x= +cosh − .¿Cuál de las dos transformaciones

sinh cosh1 ,p pQ Pq qα α

β β→ = =

95

cosh sinh2 ,p pQ Pq qα α

β β→ = =

puede representar una transformación canónica, siendo α y β reales? Transformación 1:Para un sistema unidimensional la condición simplectica se reduce a que el determinante

pP

qP

pQ

qQ

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂


En nuestro caso: 1

1

sinh coshcosh sinh

q p qq p q

α α

α α

pp

α β β βα β β

− − −

− − −

−∆ =

− β2 1q αβ α − −=

Deberá ser cierto que . No hay valores posibles. 2 1 1q αβα − − =

Transformación 2: En este caso:

1

1

cosh sinhsinh cosh

q p qq p q

α α

α α

pp

α β β βα β β

− − −

− − −

−∆ =

− β2 1q αβ α − −= −

Deberá ser cierto que 2 1 1q αβα − −− =

o 12

α = − y 2β =

2;21

== βα


psinqP

pqQ

2

2cos

=

=

además, qF

ppF

∂∂

−=∂∂

−= 33 ;q y ),(33 QpFF =

Reexpresando las variables P y q en función de p y Q:

pQPp

Qq 2tg;2cos

2==

de modo que pF

pQ

∂∂

−= 32

2cos y

QF

p∂∂

−= 32tgQ


)(2tg2

2

3 ppQF ϕ+−=


2),(

2

3QpQF −= p2tg .

96

NOTAS SOBRE TEORÍA DE PERTURBACIÓN

Las ecuaciones de la mayoría de los sistemas mecánicos no pueden resolverse

exactamente, por lo que es importante desarrollar métodos que permitan obtener

soluciones aproximadas. Uno de ellos -muchas veces el único que permite soluciones

analíticas- es el de la teoría de perturbación, ampliamente utilizado en todas las ramas

de la física. La idea es resolver un sistema por medio de otro resoluble muy cercano a

él. El sistema a resolver se define entonces como una “perturbación” del segundo, lo

que permite ir aproximándonos paso a paso a la solución. El procedimiento usual define

esta perturbación como una serie -de igual modo que aproximamos una función

analítica por una serie de potencias- y el objetivo de la teoría es ir resolviendo

consistentemente cada término de la serie.

Como veremos, un cálculo perturbativo involucra pequeños parámetros. Por otra

parte, los métodos numéricos permiten en la actualidad resolver problemas con gran

precisión sin necesidad de restringirse al ámbito de pequeñas perturbaciones de un

sistema conocido. Eso hace pensar que la teoría de perturbación deja de tener sentido.

Sin embargo, no es así. Ésta sigue siendo necesaria como comprobante de los resultados

numéricos (por lo menos en el rango de parámetros pequeños) y para establecer una

buena comprensión teórica de estos mismos.

Procederemos en estas notas dividiendo la exposición en dos partes. En una

primera, se trata la teoría elemental de perturbaciones. Corresponde a la versión no

canónica de la perturbación dependiente del tiempo que se desarrolla en la sección 11-2

del Goldstein. Existe una buena razón para hacerlo así. La serie de Lindstedt -así se

denomina- es más fácil de entender que la alternativa canónica, además de poner de

manifiesto en su génesis los problemas que pueden derivarse de una construcción

indebida de la serie perturbativa. Así, el alumno que lo desee, puede sustituir el estudio

de las seciones 11-2 y 11-3 del Goldstein por la sección que sigue.

La segunda parte de estas notas trata de aclarar el esquema básico de la teoría

canónica de perturbación independiente del tiempo (sección 11-4 del Goldstein). La

falta de tiempo nos obliga a detenernos en el cálculo en primer orden de perturbación en

sistemas de un solo grado de libertad. Con ello se ilustra la maquinaria básica, aunque,

97

bien está decirlo, los problemas interesantes empiezan justamente allí donde nos

paramos. Desgraciadamente, somos esclavos de las contingencias de un cuatrimestre –

el primero- con el tiempo útil muy recortado.

Un ejemplo del particular cuidado que hay que tener en teoría de perturbaciones:

Series de potencias de Lindstedt

A modo de ilustración, escogemos el ejemplo de un oscilador integrable de un

grado de libertad cuya ecuación del movimiento es

320

20 6

1 xxx εωω =+ (1)

obtenida expandiendo el hamiltoniano del péndulo ( φcos21 2 FGpH −= ) hasta incluir

términos de tercer orden en φ . Por comodidad rescribimos φ como x y introducimos la

notación . FG=20ω ε es un parámetro adimensional que pone de manifiesto la pequeña

magnitud del término cúbico, que pasa a ser considerado como una perturbación. Al

final del proceso se hace 1=ε . Expandimos x de forma directa

+++= 22

10 xxxx εε

(2)

y sustituimos la expresión (2) en la ecuación (1). Igualando términos en potencias

iguales de ε , obtenemos en orden cero

tAx 00 cosω= ,

(3)

o solución del oscilador armónico, mientras que para orden uno en ε , obtenemos la

ecuación

tAxx 0332

01201 cos

61 ωεωω =+

(4)

La ecuación (4) puede rescribirse como

98

)cos33(cos241

0032

01201 ttAxx ωωεωω +=+

(5)

El término en t03cos ω da como solución particular

tAx a 0

3

,1 3cos192

ω−= (6)

El segundo, por su parte, da

( tttAx b 000

3

,1 cos2sin64

ωωω += ) (7)

Mientras que la solución (6) corresponde a una solución de buen

comportamiento, la (7) tiene un término lineal en t que la hace crecer indefinidamente.

Este tipo de términos se denominan seculares, y no cabe duda de que no son algo

esperable en un sistema como el de la ecuación (1), cuyo movimiento debería estar

confinado y ser periódico. En otras palabras, el término forzante en cos t0ω provoca

una resonancia en el oscilador armónico −lado izquierdo de la ecuación (5)− que es

totalmente indeseable desde el punto de vista físico.

El resultado anterior indica que hemos hecho algo mal en el tratamiento.

Analizándolo con detenimiento, nos damos cuenta de que hemos supuesto que la

frecuencia del oscilador cúbico era 0ω , igual a la del oscilador armónico. Esto no

parece muy adecuado, en tanto en cuanto es de esperar que el oscilador cúbico tenga

frecuencia propia (sabemos que depende de la amplitud), distinta de 0ω . Es, en

consecuencia, consistente suponer la frecuencia de nuestro oscilador cúbico distinta de

0ω , pero no muy alejada de esta última, de forma a que sea resultado, tal como lo es

, de una expansión en (tx ) ε :

( ) +++= 22

10 ωεεωωεω (8)

Ahora, podemos repetir todo el proceso anterior con esta nueva hipótesis y ver si

desaparecen los términos seculares. Sustituimos (2) y (8) en (1), y simplificamos la

notación definiendo la derivada ( ) xtddxx 1−==′ ωω . Obtenemos en orden cero

000 =+″ xx (9)

99

mientras que para orden uno

0612 3

0100

11 =−+″+″ xxxx

ωω

(10)

Sustituyamos ahora en (10) la solución de (9)

tAtAAxx 0

3

00

13

11 3cos24

cos2

8ωω

ωω

+

+=+″ (11)

Recordemos ahora cuál era el problema con la ecuación (5). La contribución a la

forzante en t0cosω era la responsable del término secular −resonante. Sin embargo, la

ecuación (11), a diferencia de la (5), nos permite “eliminar” esta contribución, y de

hecho la secularidad, haciendo su coeficiente idénticamente nulo. Despejando 1ω ,

queda

02

161

1 ωω A−= (12)

Ahora la solución de (11) es completamente regular y periódica −tal como era de

esperar−

tAtDtCx 0

3

001 3cos192

sencos ωωω −+= (13)

La moraleja de este ejemplo es clara: ¡cuidado con los cálculos perturbativos!

Requieren un esmero especial para no caer en resultados no físicos. En nuestro caso se

descubrió con facilidad el error. El ejemplo era de un solo grado de libertad y la

inconsistencia trivial. Sin embargo, en problemas de más de un grado de libertad las

apariencias no son tan llamativas y el control del procedimiento se hace más dificultoso.

Teoría canónica clásica de perturbación

La mayoría de los sistemas multidimensionales −o forzados− no son integrables:

no existe solución a la ecuación de Hamilton-Jacobi. Sin embargo, en sistemas que no

difieran mucho de un sistema integrable, se puede intentar obtener soluciones

expandiendo la función generatriz en potencias de un pequeño parámetro ε y tratar de

encontrar la solución de la ecuación de Hamilton-Jacobi por aproximaciones sucesivas.

100

Existe, sin embargo, una dificultad, y es la aparición de pequeños denominadores que

impiden la convergencia de la serie. Estos pequeños denominadores están ligados a

resonancias entre grados de libertad, en el entorno de las cuales ocurre la destrucción

total de los invariantes y de la generación de movimientos caóticos. En este curso, no

vamos a hacernos eco de estas dificultades y sólo señalaremos que aún a pesar de ellas

las series son útiles ya que describen bastante bien el comportamiento en muchas zonas

del espacio de fases. Ilustraremos el método canónico para problemas de un grado de

libertad. Aunque aquí, todos los sistemas son integrables de oficio y debe existir una

solución cerrada, independientemente de la dificultad que entraña su obtención, las

series de potencias son útiles para aproximar con un cálculo sencillo la solución real, y

para obtener una transformación preparatoria a variables acción-ángulo en sistemas de

más de un grado de libertad.

Supongamos un problema de un grado de libertad escrito en la forma siguiente:

( ) ( ) ( ) ( )32

210 ,, εθεθε OJHJHJHH +++= (14)

( )JH 0 es un hamiltoniano cuya forma acción-ángulo −variables ( )θ,J −es conocida y

cuya solución

es:

JHtJJ

∂∂=+=

=

0

0

ωβωθ (15)

H es otro hamiltoniano que “cercano” a y cuya forma puede aproximarse por la

serie (14) −escrita hasta segundo orden. Por ahora nos ocuparemos de los aspectos

puramente formales del problema, sin preguntarnos cómo se obtiene la serie anterior.

0H

Nuestro problema consiste en hallar una transformación a unas nuevas variables ( )θ,J

para las cuales el hamiltoniano transformado H es función sólo de la acción J . Para

ello necesitamos hallar la correspondiente función generatriz ( )θ,JS , que vamos a

suponer, al igual que el hamiltoniano problema H , susceptible de expansión en ε

( ) ( ) ( )31 ,, εθεθθ OJSJJS ++= (16)

( ) ( ) ( ) ( )210 εε OJHJHJH ++= (17)

101

Obsérvese que la aproximación de orden cero a la función generatriz es la

transformación identidad JJ = y θθ = . A partir de (16), definimos las ecuaciones de

transformación entre los pares de variables ( )θ,J y ( )θ,J

( ) ( 21 ,ε )

θθ

ε OJS

JJ +∂

∂+= (18)

( ) ( 21 ,ε

θεθθ O )

JJS

+∂

∂+= (19)

Para hallar las viejas variables en función de las nuevas necesitamos invertir

apropiadamente (18) y (19), obteniendo:

( ) ( 21 ,ε )

θθ

ε OJS

JJ +∂

∂+= (20)

( ) ( 21 ,ε

θεθθ O )

JJS

+∂

∂−= (21)

Obsérvese que las formas (20) y (21) proceden de (18) y (19), respectivamente.

Hay, sin embargo, un detalle importante. Contrariamente a (18) y (19), aparece en

(20) y (21) como función de las nuevas variables. Lo que hemos hecho es sustituir en

(18) y (19)

1S

θ por su aproximación de orden cero θ . Las aproximaciones de orden

superior en ε afectarán a términos de orden superior en (20) y (21). Ahora nuestro

objetivo es encontrar la forma para que haga que el hamiltoniano 1S

( ) ( ) ( )( )θθθ ,,, JJJHJH = (22)

sea sólo función de J . Para ello vamos a trabajar el lado izquierdo de la ecuación (22).

Recordamos la forma que tiene H dada por (14) . Cogemos los dos primeros términos

de aquélla, y ( )JH 0 ( )θε ,1 JH , y aplicamos la transformación (20)-(21).

( ) =

+∂∂

+=θ

ε 100

SJHJH

( ) ( 2100 ε

θε O

SJH

JHJJ

+∂∂

∂∂

+=

) (23)

( ) ( ) ( )=

+

∂∂

−

+

∂∂

+=JJSJS

JHJHθ

εθθθ

εθ,

,,

, 1111

102

( ) ( )εθ OJH +,1 (24)

Insertamos las expresiones (23) y (24) en el lado izquierdo de la ecuación (22)

( ) ( ) ( ) ( 21

100 , εθ

θε OJH

SJH

JHJH +

+

∂∂

∂∂

+= ) (25)

que hemos de comparar, término a término, con la serie (17). El término de orden cero

no ofrece problemas

( )JHH 00 = (26)

A su vez, para el término de primer orden

( ) ( ) ( ) ( θθθ

,,

110

1 JHJS

JJH

JH +

∂∂

⋅

∂

∂= ) (27)

El lado izquierdo de (27) depende solo de J , por lo que debemos escoger tal

que desaparezca en el lado derecho de la misma ecuación la dependencia en

1S

θ . Para

ello definimos el promedio sobre la fase de 1H

( ) ( ) θθπ

π

dJHJH ∫=2

011 ,

21ˆ , (28)

función exclusivamente de J , y el resto

( ) ( ) ( )JHJHJH 111ˆ,,~ −= θθ , (29)

denominada usualmente parte oscilante de . Ahora podemos introducir (28) y (29) en

(27) de forma a definir

1H

( ) ( )JHJH 11ˆ≡ (30)

y definir como solución 1S

( ) ( ) ( ) 0,~,1

1 =+∂

∂θ

θθ

ω JHJS

J (31)

Recordamos que ( ) ( ) JJHJ ∂∂= 0ω . Si (31) tiene solución, el nuevo

hamiltoniano queda, a primer orden,

( ) ( ) ( ) ( 210

ˆ εε OJHJHJH ++= ) (32)

103

Queda, consecuentemente, por resolver la ecuación (31). Lo hacemos

expandiendo y en serie de Fourier 1S 1~H

( ) θin

nn JSS e11 ∑= (33)

( ) θin

nn JHH e~~

011 ∑

≠

= (34).

Sustituyendo en (31) vemos que, si ( ) 0≠Jω , constante10 =S y

0,~

11 ≠= n

inH

S nn ω

(35)

Con esto queda completada la evaluación de la serie perturbativa hasta primer

orden de perturbación. La teoría de perturbación de Poincaré-Zeipel (que es así como se

llama) puede, en principio, evaluarse en cualquier orden de perturbación, aunque

órdenes mayores que el primero empiezan a ser muy tediosos. Existen métodos

acelerados de cálculo, así como técnicas más modernas (transformaciones de Lie), que

evitan las dificultades de la técnica de Poincaré-Zeipel. Evitan especialmente el

problema de la mezcla de variables nuevas y viejas que nos hemos encontrado en las

ecuaciones (18)-(19). Sin embargo, las limitaciones de tiempo no nos van a permitir

abordar estas técnicas. Aquella persona que desee ampliar conocimientos puede ponerse

en contacto con el profesor de la asignatura para discutir este extremo.

Ejemplo

Para ilustrar el procedimiento anterior calcularemos el movimiento de libración

de un péndulo de longitud hasta primer orden. Recordemos su hamiltoniano l

φcos221 BpAH −=

con 21 mlA = y mglB = . El problema es no-lineal y se puede resolver por cuadraturas,

dándonos un buen caso de prueba del rango de validez de nuestra aproximación.

Recordemos los dos movimientos admisibles, libración y rotación, separados por una

104

separatriz de energía BE = , que “une” los dos puntos de equilibrio inestable πφ ±= .

Para BE < tenemos libración, mientras que la rotación aparece para BE > . La

resolución exacta del problema es bien conocida e invoca la función elíptica,

( )( )∫=

2

0 1

π

( )

ε

, (36) −

Κ21

22 sen ξκ

ξκ d

para expresar la dependencia de la frecuencia con la energía

( )[ ] libración1,2

1

0

<Κ= − κκπωκω (37)

( )( ) rotación1,1

0

>Κ

=−

κκκπ

ωκω (38)

con ( ) 21

0 AB=ω

0=

como la frecuencia del movimiento linearizado alrededor del punto de

equilibrio φ , y BE+=12 2κ

B

, como medida de la relación entre la energía total

y la energía de la separatriz .

E

Es el turno ahora de la aproximación perturbativa. La estableceremos en primer

orden de perturbación y compararemos con los resultados exactos que acabamos de dar.

Expandimos en serie de Taylor el hamiltoniano del péndulo alrededor del punto

de equilibrio 0=φ

−⋅+⋅−+= 6242212

21

!61

!41 φεφεφ BBBApH p (39)

Los dos primeros términos constituirán nuestra aproximación de orden cero.

2212

21

0 φBApH p +=

Hemos intercalado en la expansión (39) potencias de un parámetro . Ésta es

una práctica habitual en teoría de perturbación y tiene como objetivo identificar

los distintos órdenes de perturbación. Al final del proceso se elimina haciendo

1=ε . Ahora podemos preparar el sistema para aplicar la teoría anterior. Para

empezar, deberemos obtener la ecuación (14) para este ejemplo. Utilizamos para

ello las variables acción-ángulo del hamiltoniano “no perturbado”, ,

correspondiente al oscilador armónico.

0pH

105

Recordamos que en este caso: ( ) θsen2 21

RJq = ; ( ) θcos2 21

JRp = , con

( )1

2R B A= y ( ) ( ) JJABJH p 002

1ω== .

Quedará

2 32 4 2 6

00

1 sen sen6 90p

A JH J AJω ε θ ε θω

= − ⋅ + ⋅ + (40)

Puede ahora aplicarse el procedimiento de perturbación hasta primer orden.

(2

2 41

1 sen 3 4cos 2 cos 46 48p

AJH AJ )θ θ= − = − − − θ (41)

El procedimiento se deja como ejercicio. El nuevo hamiltoniano en primer orden

es:

( ) 20

116pH J J AJω= − (42)

En (42) ε ha sido igualado a 1.

106

Documents

Ejercicios Resueltos Goldstein