EJERCICIOS RESUELTOS INTEGRALES VIVIANA · PDF fileEJERCICIOS RESUELTOS INTEGRALES VIVIANA BARILE M Viviana Barile M I.- INTEGRACIÓN INDEFINIDA. INTEGRALES INMEDIATAS. Definición:

EJERCICIOS RESUELTOS INTEGRALES VIVIANA BARILE M

Viviana Barile M

I.- INTEGRACIÓN INDEFINIDA. INTEGRALES INMEDIATAS. Definición: Si ( )F x es una función cuya derivada '( ) ( ) ; F x f x x I , entonces ( )F x se llama primitiva de ( )f x .

LISTA DE INTEGRALES INMEDIATAS.

1.- ( ) ( )d f x dx f x Cdx

2.- ( )u v w dx udx vdx wdx

3.- ; ; ( )k u dx k udx k cte u u x 4.- 1

1

nn xx dx C

n

5.- x xe dx e C 6.- ln

xx aa dx C

a 7.- lndx x C

x

8.- cos( )sen( ) axax dx C

a

9.- sen( )cos( ) axax dx C

a

10.- ln sec( )

( )ax

tg ax dx Ca

11.- ln sen( )

( )ax

ctg ax dx Ca

12.-ln sec( ) ( )

sec( )ax tg ax

ax dx Ca

13.-ln sec( ) ( )

sec( )co ax ctg ax

co ax dx Ca

14.- 2 ( )sec ( ) tg axax dx Ca

15.- 2 ( )cos ( ) ctg axec ax dx Ca

16.- sec( )sec( ) ( ) axax tg ax dx C

a 17.-

sec( )sec( ) ( ) co axco ax ctg ax dx Ca

18.- 2 2 2

1dx bxarctg Cab aa b x

19.- 2 2 2

1dx bxarcsen Cb aa b x

20.- 2 2 2

1 arccosdx bx Cb aa b x

21.- 2 2 2

1 secdx bxarc Cb ax b x a


Viviana Barile M

FÓRMULAS DE RECURRENCIA.

1.- 1 21sen ( ) cos sen ( ) ( 1) sen ( ) ; 2n n nx dx x x n x dx nn

2.- 1 21cos ( ) cos ( ) sen( ) ( 1) cos ( ) ; 2n n nx dx x x n x dx nn

3.- 1 21( ) ( ) ( ) ; 21

n n ntg x dx tg x tg x dx nn

4.- 2

2sec ( ) ( ) 2sec ( ) sec ( ) ; 21 1

nn nx tg x nx dx x dx n

n n

SUSTITUCIONES TRIGONOMETRICAS.

TIPO DE INTEGRAL SUSTITUCION

2 2 2( , ) ; 0 ; 0f x a b x dx a b sen( )ax ub

2 2 2( , ) ; 0 ; 0f x b x a dx a b sec( )ax ub

2 2 2( , ) ; 0 ; 0f x a b x dx a b ( )ax tg ub

INTEGRACION DE FUNCIONES RACIONALES.

Sea f una función racional, entonces las integrales de la forma (sen( ),cos( ))f x x dx , se resuelven

utilizando la sustitución:

2

2 ; 2 1xu tg dx du

u

2

2 2

2 1sen ; cos1 1

u ux xu u

.


Viviana Barile M

EJERCICIOS RESUELTOS INTEGRALES INDEFINIDAS

1.- Calcular las siguientes integrales:

a) 1 ln x dx

x

b) 11

x dxx

c) 2 5xx dx d) ( )arctg x dx

e) 2

2

11

x

x

e dxe

f) 2

19

dxx g)

sen(2 ) ln( ( ))dx

x tg x

Solución:

a) Sea 31

2 2 32 21 ln (1 ln )3 3

dxu x du I u du u C x Cx

b) Sea 2 2

2 12 2 2 21 1 1

u u u u ux u dx udu I udu du duu u u

222 ( 2) 2 2 2 ln 1 2 2 2 ln 1

1 2 2u xu du u u x x C

u

c) Por partes: Sea 2 52 ; 5ln 5

xxu x du xdx dv dx v

2 25 5 5 22 5ln 5 ln 5 ln 5 ln 5

x x xxI x xdx x x dx .

Integrando por partes nuevamente 5xx dx , se tiene que:

5 ; 5ln 5

xxu x du dx dv dx v

Luego: 2 25 2 5 5 5 2 5 5ln 5 ln 5 ln 5 ln 5 ln 5 ln 5 ln 5 ln 5

x x x x x x

I x x dx x x

d) Sea 22dxu x du dx udu

x . Luego: 2 ( )I u arctg u du .

Integremos por partes: Sea 2

2( ) ; 21

du up arctg u dp dv udu vu


Viviana Barile M

2 2 2 2

2 2

1 1 12 ( ) 2 ( )2 2 2 21 1

u u du u uI arctg u arctg u duu u

2 1 12 ( ) ( ) 2 ( ) ( )

2 2 2 2u xarctg u u arctg u C arctg x x arctg x C

e) 2 2 2 2

2 2 2 2 2

1 121 1 1 1

x x x x

x x x x x

e e dx e du eI dx dx dxue e e e e

2 2 21 1 1 1 1 1ln ln 1 ln ln 1 ln 1

2 2 2 2 2 2x x xduu e u C e e C

u

f) 2 2 2

1 1 13 39 3

xdx dx arctg Cx x

g) Sea 21ln( ) sec ( )sen cos 2 2sen cos

dx du dxu tgx du x dxtgx x x x x

1 1 1ln ln ln( ( ))

2sen cos ln( ( )) 2 2 2dx duI u C tg x C

x x tg x u

2.- Calcular las siguientes integrales, usando sustitución trigonométrica.

a) 29 4x dx

x

b) 24

dxx

Solución:

a) 22 29 4 3 2x x hagamos 3 2

x sen z

3 cos 2

dx z dz y 29 4 cos x z

29 4 x dx

x

= 3 cos 3 cos 3 2 2

z z dzsen z

= 2 2cos 13 3 z sen zdz dz

sen z sen z


Viviana Barile M

= 3 cos 3 ec z dz sen z dz

= 3ln cos cot 3 cos ec z gz z c

= 2

23 9 43ln 9 42 2

x x cx x

= 2

23 9 43ln 9 42

x x cx

b) 2 2 24 2x x hagamos 2 x tgz

22 sec dx z dz y 24 2 sec .x z pues 2 24 4 sec 2 sec x z z 2 sec z

si sec para z o2 2

z

luego : 2

2

2 sec 2 sec sec 4

dx z dz z dzzx

= ln sec z tgz c

= 24ln

2 2x x c

3.- Calcule los siguientes integrales de funciones racionales .

a) 2 3 4xdx

x x b) 22

2 41 1

x dxx x

Solución:

a) 2 1 4 1 43 4

x x A Bx x X xx x

/ 1 4x x

4 1x A x B x

11 5x A

445

x B

1 4 1 4 ln 1 ln 45 1 5 4 5 5

dx dxI x x cx x


Viviana Barile M

41 ln 1 45

x x c

b) 2 2 22

2 4111 1 1

x Ax B C Dxxx x x

2 2 22 4 1 1 1 1x Ax B x C x x D x

3 22A C x A B C D x

2A B C x B C D Igualando polinomios se tiene que:

0A C 2 0A B C D

2 2A B C 4B C D

Resolviendo el Sistema se llega a:

2A 1B 2C 1D

Reemplazando :

2 2 22

2 4 2 1 2 1 /111 1 1

x x dxxxx x x

2 2 22

2 4 2 1 2111 1 1

x x dx dxdx dxxxx x x

2 2

2 12 ln 111 1

x dxdx xxx x

2 1ln 1 2 ln 11

x arctg x x cx

4.- APLICACIONES INTEGRAL INDEFINIDA.

a) Un fabricante descubrió que el costo marginal cuando se producen q unidades viene dado por:

2( ) 3 60 400mC q q q dólares por unidad.


Viviana Barile M

Si el costo total de producción de las 2 primeras unidades es US$ 900. ¿Cuál es el costo total de producción de las 5 primeras unidades? b) Se estima que dentro de x meses la población de cierto pueblo cambiará a una razón de

2 6 x personas por mes. Si la población actual es 5.000 personas.¿Cuál será la población dentro de 9 meses?

Solución:

a) Recuerde que el costo marginal es la derivada de la función costo total ( )C q .

Luego: 2 3 2( ) '( ) 3 60 400 ( ) ( ) 30 400m mC q C q q q C q C q dq q q q K

Sea sabe que (2) 900 900 8 120 800 212C K K .

3 2 3( ) 30 400 212 (5) 5 30 25 400 5 212 $1587C q q q q C US b) Sea ( )P x la población dentro de x meses, entonces la razón de cambio de ésta, con respecto al

tiempo es la derivada:

2 6dP xdx

Se concluye que la función de población ( )P x es una antiderivada de 2 6 x , es decir:

32( ) (2 6 ) 2 4dPP x dx x dx x x C

dx

Para encontrar el valor de C, usamos la condición inicial de que en la actualidad, o sea, en x = 0, la población es 5000, es decir:

32(0) 5.000 5.000 2 0 4 0 5.000P C C

Finalmente: 32( ) 2 4 5000P x x x , y dentro de 9 meses la población será de:

32(9) 2 9 4 9 5.000 5.126P


Viviana Barile M

EJERCICIOS RESUELTOS INTEGRAL DEFINIDA.

1.- Suponga que: 1 4 1 4

1 1 1 1

( ) 5 ; ( ) 2 ; ( ) 7 ; ( ) 4f x dx f x dx h x dx h x dx

Calcular:

a)1

4

( )f x dx b) 4

1

(3 ( ) 5 ( ))h x f x dx

Solución:

a) 1 4

4 1

( ) ( ) 2f x dx f x dx

b) 4 4 4

1 1 1

(3 ( ) 5 ( )) 3 ( ) 5 ( )h x f x dx h x dx f x dx

1 4 1 4

1 1 1 1

3 ( ) ( ) 5 ( ) ( )h x dx h x dx f x dx f x dx

3 (7 4) 5 (5 2) 33 35 68

2.- Suponga que 1

0

( ) 3f x dx . Hallar 0

1

( )f x dx si:

a) ( )f x es impar b) ( )f x es par. Solución:


Viviana Barile M

a) f impar ( ) ( ) ( ) ( )f x f x f x f x

0 0 0 1

1 1 1 0

( ) ( ) ( ) ( ) 3f x dx f x dx f x dx f u du

b) f par ( ) ( )f x f x

0 0 0 1

1 1 1 0

( ) ( ) ( ) ( ) 3f x dx f x dx f u du f u du

3.- Sea f una función continua en � , que satisface la ecuación:

2

0

1 1( ) sen(2 ) cos(2 ) ; 2 2

x

f t dt x x x x x

Calcular: ; '4 4

f f

.

Solución:

2

0

1 1( ) ( ) sen(2 ) cos(2 ) ( )2 2

xd df t dt f x x x x x f xdx dx

2 sen2x x 2 cos 2 sen2x x x ( ) 2 2 cos 2f x x x x

'( ) 2 2cos 2 4 sen2f x x x x . Luego = ; ' 24 2 4

f f

.

4.- Si h es continua, f y g derivables, y sea ( )

( )

( ) ( )g x

f x

F x h t dt , entonces:

'( ) ( ( )) '( ) ( ( )) '( )F x h g x g x h f x f x

Si

3

2

( ) ln ; 0x

x

F x tdt x , calcule '( )F x .

Solución:


Viviana Barile M

3 2 2 2 2'( ) ln( ) 3 ln( ) 2 3ln 3 2 ln 2 ln 9 4F x x x x x x x x x x x x

APLICACIONES INTEGRAL DEFINIDA

1.- Si la función de demanda es 285 4y x x , hallar el excedente del consumidor si:

a) 0 5x

b) 0 64y Solución: a) y 64 40 2 2

85 4 ( 2) ( 89)y x x x y 3 5 x Si 2

0 05 85 4 5 5 40x y . Excedente del consumidor:

55 32 2 1

30 0

(85 4 ) 5 40 85 2 200 1333xx x dx x x

b) Si 20 0 064 ( 2) (64 89) 3y x x

Excedente del consumidor:

33 3

2 2

0 0

(85 4 ) 3 64 85 2 192 363xx x dx x x

2.- Si la ley de oferta es 2( 2)y x y el precio se fija en 0 25y , hallar el excedente del productor.


Viviana Barile M

Solución: 25 2( 2)y x 4 -2 3 Si 2

0 0 025 25 ( 2) 3y x x Excedente del productor:

3

2 30

0

23 25 ( 2) 75 / 363

xx dx

3.- La cantidad demandada y el correspondiente precio, en situación de competencia pura se determinan con

las funciones de demanda y oferta 236y x e 2

64xy , respectivamente. Determinar el

correspondiente excedente del consumidor y el excedente del productor. Solución:

2

2 236 6 5 120 2 64xy x x x

0 02 6 12x y

36


Viviana Barile M

12 6 -6 2 6 6

Excedente del consumidor:

2 62 6 3

2

0 0

(36 ) 2 6 12 36 24 6 78.43xx dx x

Excedente del productor:

2 62 6 2 3

0 0

2 6 12 6 24 6 6 19.64 12x xdx x

EJERCICIOS RESUELTOS CALCULO DE AREAS.

1.- Calcular el área de la región limitada por las curvas 2 1y x e 3y x .

y 3y x


Viviana Barile M

1 2 3 5 x

1y x Solución: Puntos de intersección:

2 1 2 (2,-1)1

2 5 (5,2)3y xx yy xx y

Primer método.

2 2

3 31 1

y x x yy x x y

22

1

( ) ( 3) ( 1)A R y y dy

2 3

21

9( ) 3 /2 3 2y yA R y y

Segundo método.

3

1

y x

y x


Viviana Barile M

1 2( ) ( ) ( )A R A R A R , donde 2 5

1 21 2

( ) 2 1 ; ( ) ( 1 ( 3))A R x dx A R x x dx

2.- Calcular el área entre las curvas ; 9 ; 0y x y x y .

y x

9y x 4.5 9 Solución:

Punto de intersección: 9 9 4.5x x x x x

4.5 9

0 4.5

( ) 9 6.363 6.363 12.726.A R x dx x dx

3.- Determine el área comprendida entre el eje x y la curva 1 cos 4 ; 0y x x . Solución:

2 2

0 0 0

1 1 1 cos 21 cos 4 1 cos 2 2 2 2 2

uA x dx u du du

2 2

2

0 0

2 2cos cos 2 2

u du u du

Pero:

23

2 232

cos 0cos cos

cos 2

u uu u u

u u


Viviana Barile M

32 2

32 2

2

0

2 cos cos cos 2

A u du u du u du

3

2 2322

20

2 sen / sen / sen / 2 22

u u u

.

EJERCICIOS RESUELTOS INTEGRALES IMPROPIAS

1.- Calcular las integrales impropias de primera especie:

a) 0

cosxe xdx

b) 21

x

x

e dxe

Solución:

a) Calculemos cosxI e xdx por partes.

Sea x xu e du e dx ; cos sendv xdx v x .

sen sen sen cos cosx x x x xI e x e xdx e x e x e xdx

(sen cos )sen cos 2 (sen cos )2

xx x x e x xI e x e x I I e x x I

Luego:

0

0 0

(sen cos ) (sen cos ) (sen0 cos 0)cos lim lim2 2 2

tx tx

t t

e x x e t t ee xdx

La integral impropia diverge.

b) 0 0

2 2 2 2 20 0

lim lim1 1 1 1 1

tx x x x x

x x x x xt tt

e e e e edx dx dx dx dxe e e e e

Pero: 2 2 ( ) ( )1 1

xx

x

e dudx arctg u arctg ee u

.

Luego: 002 lim( ( ) / lim( ( ) /

1

xx x t

tx t t

e dx arctg e arctg ee


Viviana Barile M

0 0 0lim ( 1 ( )) lim(arg ( ) (1)) (45 0) (90 45) 90t t

t tarctg arctg e tg e arctg

La integral impropia converge.

2.- Calcular la integral impropia de segunda especie: 1

ln 22

0

xx e dx .

Solución:

1 1ln 2 ln 2

2 2

00

limx x

tt

x e dx x e dx

, pero:

1 12 x xu ux e dx e du e e , utilizando el

cambio de variable 2

1 dxu dux x

.

1 1 11 1 1

ln 2 ln 2 ln 2

ln 22 ln 2

0 0 0lim lim / lim 0x x t

tt t tt

x e dx e e e e e

La integral impropia converge.

3.- Para la función ( )f t continua ( o seccionalmente continua ) 0,t , se define la función:

0

( ) ( ) ; stF s e f t dt s

�

Si 2( ) ; 0tf t e t . Encuentre todos los valores de s � para los cuales la función ( )F s está bien

definida; es decir, 0

( ) ste f t dt

es convergente.

Solución:


Viviana Barile M

2 (2 ) (2 ) (2 )

0 0 0 0 0

2( ) = =2

st st t t st t s t sse f t dt e e dt e dt e dt e dts

(2 ) (2 ) (2 ) 00

0

1 1 1lim (2 ) lim / lim2 2 2

bt s t s b b s

b b bs e dt e e e

s s s

( 2 )1 lim2

b s

be

s

0 1 112 2s s

Converge si 2 0 2 2 s s s límite.

Diverge si 2 0 2 2 s s s límite.

EJERCICIOS RESUELTOS INTEGRALES DOBLES

1-Calcular:

a) 4 3

2 2 3

1 2

( 2 y ) dx dyx x y

b) 2 ( ) dx dyI

x sen x y 0, x 0,1I

c) 1 1

0 1

dx dyy

y

e

Solución:

a) 4 3 4 3

2 2 3 2 2 3 32

1 2 1

( 2 y ) dx dy = ( ) / dy3xx x y x y y x

= 4 3

2 2 3

1

( ) 3x x y xy


Viviana Barile M

= 3 4 41

35 5 5( ) /3 3 4

y y y 9954

b) 1

2 2

0 0

( ) ( ) I

x sen xy dx dy x sen xy dy dx

= 10

0

cos( ) / x xy dx

= 2 2

00

x( cos ) d = ( cos ) / = 2+2 2

x x x x x xsenx

c) 1 1 1 1

11-y

0 1 0 0

( ) / ( (1 ) ) dyy y y y

y

e dx dy xe dy e y e

= 1

2- Dada la función ( , )f x y xy y la región tringular R limitada por las rectas 0, 2 , 2y y x x Hallar el valor de las intrgrales :

a) yR

( , ) dA b) ( , ) dAXR

f x y f x y

Solución: a)

4 2 2yy x x

2

2( , ) / 0 2, 0 2XR x y x y x �

2 y( , ) / 0 4 , 22yR x y y x

�

a) 2 2 2 22

2 30

0 0 0 0

( , ) / 2 82

x

xx

R

yf x y dA xy dxdy x dx x dx


Viviana Barile M

b) 4 2 4 42 3

2

0 0 022

( , ) dA= / (2 ) 82 8y

yRy

x yf x y xy dx dy y dx y dy

3-Calcular :

22 4 2

0 0

4

x yx e dy dxy

Solución:

2 2( , ) / 0 4 , 0 2xR x y y x x �

4 24 4y x x y xR 2

Como 2

es complicada de calcular, cambiamos el orden de integracion.4

ye dyy

2( , ) / 0 4, 0 4yR x y y x y � Luego:

2 42 4 4 42 2 2 24

00 0 0 0 0

/4 4 4 2

yx y y yyx e x e e xdy dx dx dy dy

y y y

= 21

2 4

yey

(4 )y 4 4

2 8

0 0

1 1 ( 1).2 4

ydy e dy e

EJERCICIOS PROPUESTOS INTEGRAL INDEFINIDA.

1.- Calcular las siguientes integrales utilizando algún método conocido:


Viviana Barile M

a) 3(4 8 3)x x dx b) 1 12 2( )x x x dx

c) ln( 1)

1x dx

x d)

2 2xx e dx

e) ln xdx f) 2 3 x x dx

g) 2x

x dxe h) 4sen cos x x dx

i) cos x dx

x j) 1 sen1 cos

x dxx

k) 4tg x dx l) 2

arcsen1

xdxx

m) 2

35 9

dxx

n) 2

12 5

dvv v

ñ) 4 9

x

x

e dxe o) 3

22( 4 5)dx

x x

p) 3 2

( 2)( 4)x dx

x x

q) 2

32

dxx x

r) 2 9dx

x s) 2 3 4xdx

x x

t) 1x x dxx

u) 225

x dxx

v) axxe dx w) 2sen 3 x dx

x) 2

69 x

dxe y)

24t dt

t

z) 2 29 ( 1)xdx

x x

EJERCICIOS PROPUESTOS INTEGRAL DEFINIDA.


Viviana Barile M

1.- Calcular las siguientes integrales definidas:

a) 1

2 4

0

( 1)x x dx b) 3

1

3 6x dx

c)

12

12

2

2

11

x dxx

d)

4

0 1x

x

e) 1

1

2 1x x dx

f) 2

0

11 sen

dxx

g) 1

2 20

4 2( 1)( 2 2)

x dxx x x

h)

3 2

21 4 5

dxx x

i) 3

ln( 2)e

e

x dx

j) 2

0

1 cos x dx

k) 10

0.05

0

800 xe dx l) 0

11 cos

dxx

m) 1

ln e

x x dx n) 2 1

e dxx


Viviana Barile M

EJERCICIOS PROPUESTOS AREA Y APLICACIONES

1.- Encuentre las antiderivadas de g (x) a) 29 4 3g x x x

b) 3 22 - 3 - 7 g x x x x

c) 4 3 5 10 6 5 g x x x x x

d) 21 - 2g x x

e) 3 1

1xg xx

2.- Resuelva: a) Si 26 5f x x x ; encuentre 0 2F x si F b) Si 2 12 6 1f x x x ; encuentre 1 5F x si F c) Si 2`' 9 8f x x x ; encuentre f -1 1x si f d) Si '' 4 1f x x ; encuentre f ' 2 2, 1 3x si f f

e) Si 19 '' - 5f x x ; encuentre f ' 1 2 , 1 8x si f f

3) Calcula ,dFdx

en los puntos donde ésta exista:

a) c) e 2

x

0dtxF

t

xe

dttxF1

ln

b)

xsen

0 211 dtt

xF d) 3 2

2cos

x

xF x t dt


Viviana Barile M

4) Una función está dada por:

2

12 8 1 ; 1

xt t dt x Calcular : 1 , ' 1 , '' 1f f f

5) Una función g (x) esta definida por:

dsssexgx s 2422

1

Determine valores extremos concavidad, intervalos de concavidad. 6) Una función g satisface:

31

4 - 6 , 0 1

x

x

t tg x dt xt

.Encuentre puntos críticos de sig .

7) Si x representa el tiempo que una persona permanece frente a una caja en un supermercado y C(x) el

costo de atención por persona dependiendo del tiempo que permanece frente a la caja. Si g(x) representa el comportamiento del tiempo x, entonces se puede calcular el costo esperado por persona mediante:

. ,b

ag x c x dx donde ba, representa al conjunto de valores de x.

Si en un caso en el cual se presenta este fenómeno:

2310 1 23 2 3

100 1, 3

t Si x

g x Si x

Si x

$ 15 1.75$ 18 1.75 $ 25 2.25

Si xc x Si l x

Si x

Determine el costo que se espera por persona.

8) Sea 1 16

xg x x � .

a) Determine el valor de tal que 5

1

lg x dx ; 0 xg

b) Con determinado en (a) calcule:

5

. txd e g x dt

dt , evaluada en t = 0


Viviana Barile M

9) Calcular :

22

20

0,1 , si

2 - 1,2

x xg x dx g x

x x

10) Hallar el área de la región R limitada por las curvas: a) 2 22 ; 4 -y x x y x x

b) 2 2 ; y ax x a

c) 212 3 ; 0y x y

d) 3 2 3 ; 1y x x y x

e) 1 1 ; y x x x y x

f) 2 26 ; 2y x x y x x

g) 2 ; 6y x y x

h) 2 ; 2 - ; -1y x y x y x

i) 2 2 33 ; 3 ; 0 ; 3 y x x y x x x x

j) 3 2 26 8 ; 4y x x x y x x

k) 4 2 22 ; 2y x x y x

l) 1 , , 0 , 2 y x y y xx

11) Hallar el área de la región R limitada por :

a) 1 , 1 entre 0 ln 5 1

x

x

ey y x y xe

b) 22 0 , 4 0 , 0x y x x y y

c) 22 21 , 1-y x y x

d) 3 , ln , 1 , 2xy y x x y x 12) Determine el valor de la constante a de manera que el área de la región R limitada por :


Viviana Barile M

-1 , 0 , 2

xy e y x a , sea igual a 1.

13) Determine los valores de la constante positiva “k” de modo que el área de la región R, limitada por las

curvas 2 e 2 - 2 entre -1 y 2 y x k y x x x sea igual a 12.Grafique la situación planteada.

14) Una compañía planea incrementar su producción de 10 a 15 unidades diarias. La función de costo

marginal es 2( ) 20 108C x x x . Al rediseñar el proceso de producción y adquirir nuevo equipo,

la compañía puede cambiar la función de costo marginal a 21( ) 12 75.2

C x x x

Determine el área entre las gráficas de las dos curvas de costo marginal desde x =10 hasta x =15. Interprete esta área en términos económicos.

15) Una empresa tiene como función de ingresos marginales mensual IMG = 2x y la función de costo marginal mensual CMG = x 3 en millones de pesos, donde x representa el nº de unidades producidas y vendidas en miles.

a). Grafique ambas funciones marginales en el mismo sistema de coordenadas y cálcule el área de la

región comprendida entre ellas.

b). Indique claramente el significado del resultado obtenido en (a) en el contexto del problema.

16) La propensión marginal a consumir (en billones de dólares) está dada por:

12

0,50,62

dcdx x

Cuando la renta es cero el consumo es de 10 billones de dólares. Hallar la función consumo.

17) Una máquina industrial genera ingresos a razón de 2 5.000 - 20 ,dI tdt

dólares al año.

Simultáneamente genera gastos a razón de 210000.2 tdtdg

, dólares al años.

Determine cantidad de años que hace que el uso de esta maquinaria sea provechoso para la empresa que la posee. ¿Cuáles son las ganancias netas totales generados por esta maquinaria, en esta cantidad de años?

18) Si la curva de demanda está dada por:

30 q 3 - 22 qp

y la curva de oferta: p =3q +16.


Viviana Barile M

Encontrar al excedente en el consumo cuando p = 22.

19) Si 3 2 27 / y 73D q q f q q .Definen las curvas de demanda y oferta.

Encontrar el excedente de consumo y producción. 20) La función de demanda y oferta ( en libre competencia) son:

21 1 9 - ; 1 3 respectivamente4 4

y x y x .

Si se establece un impuesto adicional de 3 por cantidad unitaria sobre la mercancía. Calcular la disminución del excedente del consumidor.

21) Determine el excedente del consumidor y del productor, suponiendo que se ha establecido el equilibrio en el mercado y las funciones de oferta y demanda, respecto a un producto, están dadas por:

a) Oferta : 52 2y x

Demanda : 2 100 -y x

b) Oferta : 0.1 9 - 2y x

Demanda : 25 - 0.1y x

c) Oferta : 2

6 4xy

Demanda : 2 36 -y x

d) Oferta : 2

64xy

Demanda : 2 36 -y x e) Oferta : 2 50 6y x

Demanda : 2 300 - 4y x


Viviana Barile M

EJERCICIOS PROPUESTOS INTEGRALES IMPROPIAS

1.- Calcular las integrales impropias de primera especie.

a)

1

)1( dxex x b)

0

cos dxxex

c)

0

3)12( xdx

d)

2

2)4( xdx

e)

dx

ee

x

x

21 f)

dx

xx

42

g)

12)1(

dxxx

h) dxe

ex

x

1 1

i)

2 ln xxdx

j) dxx

xx 1

)1ln(2

12

2

2.- Calcular las integrales impropias de segunda especie.

a)

4

22 4xdx

b) dxx

x

3

329

c)

2

024 x

dx d)

1

023 5xx

dx


Viviana Barile M

e)

0

32 3

2)4(xx

f)

2

0 sen1cos

dxx

x

g)

4

22 4xdx

h)

7

13 1x

dx

i)

d

1

02 2

1 j)

2ln

0

2 1

dxex x

3.- Haciendo uso de la definición de integral impropia, calcule el área bajo la curva:

a) 2

lnx

xy , entre xx 1 .

b) x

y 1 , entre 10 xx .

c) xey e )0 ( 0 xy

4.- Demostrar que:

00

22

2 dxx

edxedxex

xx

5.- Se sabe que una función es “función de distribución de probabilidad” si 1 )(

dxxf . Demuestre que

la siguiente función es una función de probabilidad:

caso otroen 0

0 )100(

20000)( 3 xsi

xxf

6.- Una función f positiva se llama función de densidad de probabilidad si 1 )(

dxxf .

a) Demuestre que si 0c , la función f, definida por cxecxf )( , cuando 0x y

0)( xf para 0x , es una función de densidad de probabilidad. b) Calcular el promedio definido por:


Viviana Barile M

dxxfx )(

c) Calcular la desviación estándar definida por:

21

)()( 2

dxxfx

7.- En probabilidades, se define la función Gamma por: 0 ; )( 1 xdttex xt

a) Calcule )1( . b) Demostrar que )()1( xxx

EJERCICIOS PROPUESTOS INTEGRALES DOBLES 1). Calcular las integrales dobles, por interacción

a) 2 2 I

x y dx dy Si 0,2 0,5I x

b) 3

1 yx

Ie dx dy

x Si 1,3 0,2I x

c) 2 2 2

I

dx dyx x y

Si 1,2 0,1I x

d) I

x dx dyy Si 1,1 1,2x


Viviana Barile M

2). Calcular las integrales iteradas

a) 22

0 0

xy dy dx

b) 22

12

y

yx y dx dy

c) 21

0 0

yx xe dy dx

d) 2 21 0

e y dx dyx y

e) 2

2 2 12 21 02

1 x xex dy dx

x y

f) 2 2 2

0 04

xx dy dx

g) 3). Para cada integral doble, intercambie el orden de integración.

a) 22 2

1,

x

xf x y dy dx

b) 3

2 4 2

0,

y

yf x y dx dy

c) 2

2 6

3,

x

xf x y dy dx

d) 3 4

0 3,

y

y f x y dx dy

Además representa la región de integración.

4). Invertir la descripción de cada uno de los dominios de 2� y calcular: , R

f x y d A en el orden

que más convenga.

a) AR

y dx ;

2 2, /1 2 cx y x e

Rlmx y

�

b) R

y d A ; 2

2 2

, / 0

0

x y x aR

y a x

�


Viviana Barile M

c)

1R

d Ax ;

2, / 0 11 arccos2 4

x y xR

x y

�

d) 1 xR

x d Ae

; 2, / 0 1

x

x y xR

e y e

�

5). Calcular las siguientes integrales sobre los dominios que se indican.

a) 4 R

d A ; 2 2: 1R x y

b) 2 2 R

x y d A ; 2 2: 4 4R x y

c) 24 A

1Rd

y ;

: 3 0

R y xyx

d) 21

1Rd A

y ; 1: , , 2 2

R y x y x y

e) 2212 y

Rx e d A ; 3: , R y x y x en el 1° cuadrante

6). Usando integral doble, calcular el área de la región limitada por las curvas indicadas. a) El eje ,y los rectas 2 , 4y x y

b) 2 0y x ; 2y x

c) 2x y ; 22x y y

d) y lm x ; xy e ; 1x ; 3x

e) 2 2 34 8x a y a ; 2y x ; 0x

f) 2 2 2

3 3 3x y a ; x y a 7). Calcular por integración doble el área de cada región achurada, definida por los siguientes gráficos.


Viviana Barile M

a b 2 cosy a a 0 y sen a 2 1 a a 1 2 a

Documents

EJERCICIOS RESUELTOS INTEGRALES VIVIANA · PDF fileEJERCICIOS RESUELTOS INTEGRALES VIVIANA BARILE M Viviana Barile M I.- INTEGRACIÓN INDEFINIDA. INTEGRALES INMEDIATAS. Definición: