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Ejercicios Resueltos de MicroeconomíaDocente: MSc. Alcides de Jesús Padilla Sierra
La función de utilidad del consumidor está dada por: U ( x1 , x2)=x1
12+x2
12,
sujeta a p1 x1+ p2 x2=ma. Calcule las demandas Marshallianas y las Hicksianas.b. Calcule la función de utilidad indirecta y la función de gasto.c. A través de la Identidad de Roy calcule las Marshallianas.d. A través del Lema de Shepard calcule las Hicksianas
Respuesta:
Como
U ( x1 , x2)=x1
12+x2
12
s.a: p1 x1+ p2 x2=m
a. Calcule las demandas Marshallianas y las Hicksianas.
a.1. Demandas Marshallianas
Utilizando la Relación Marginal de Sustitución RMS:
RMS=
∂U ( x1 , x2 )∂ x1
∂U ( x1 , x2 )∂ x2
=
1
2x1
12
1
2x2
12
=p1p2
⇒x2
12
x1
12
=p1p2
⇒x2
12=p1 x1
12
p2
x1
12=p2 x2
12
p1
Ahora:
x2=[ p1p2 ]2
x1
x1=[ p2p1 ]2
x2
Reemplazando en la Restricción Presupuestaria x2=[ p1p2 ]
2
x1para hallar la
demanda marshalliana 1:
p1 x1+ p2 [ p1p2 ]2
x1=m⇒ p1 x1+p12
p2x1=m⇒ x1 [ p1+ p12p2 ]=m
x1[ p1 p2+ p12p2 ]=m⇒
Demanda Marshalliana 1:
x1M=
p2p1 p2+ p1
2m
x1M=
p2p1 [ p2+ p1 ]
m
Ahora reemplazamos en la Restricción presupuestaria x1=[ p2p1 ]
2
x2para hallar
la demanda marshalliana 2:
p1 [ p2p1 ]2
x2+ p2 x2=m⇒p22
p1x2+ p2 x2=m⇒ x2[ p22p1+ p2]=m
x2[ p22+ p1 p2p1 ]=mDemanda Marshalliana 2:
x2M=
p1p1 p2+ p2
2m
x2M=
p1p2 [p1+ p2 ]
m
a.2. Demandas Hicksianas
Dada la función de utilidad
U ( x1 , x2)=x1
12+x2
12
Reemplazando x2=[ p1p2 ]
2
x1 en la función de utilidad quedaría:
U ( x1 , x2)=x1
12+[[ p1p2 ]
2
x1]12⇒U=x1
12+[ p1p2 ] x1
12⇒U=x1
12 [1+ p1p2 ]
U=x1
12 [ p2+ p1p2 ]
Despejando x1quedaría:
x1
12=[ p2
p1+ p2 ]UElevando al cuadrado
x1 ( p1 , p2 ,U )=[ p2p1+ p2 ]
2
U 2
Normalmente se utiliza la letra h para identificar las Hicksianas:
Demanda Hicksiana 1
h1 ( p1 , p2 ,U )=[ p2p1+ p2 ]
2
U2
Para hallar la demanda hicksiana 2 se utilizará el mismo procedimiento:
Reemplazando x1=[ p2p1 ]
2
x2 en la función de utilidad quedaría:
U ( x1 , x2)=[ [ p2p1 ]2
x2]12+x2
12⇒U=[ p2p1 ] x2
12+x2
12⇒U=x2
12 [ p2p1+1]
U=x2
12 [ p2+ p1p1 ]
Despejando x1quedaría:
x2
12=[ p1
p1+ p2 ]UElevando al cuadrado
x2 ( p1 , p2 ,U )=[ p1p1+ p2 ]
2
U 2
Demanda Hicksiana 2
h2 ( p1 , p2 ,U )=[ p1p1+ p2 ]
2
U2
b. Calcule la función de utilidad indirecta y la función de gasto
b.1. Función de utilidad indirecta
Para calcular la función de utilidad indirecta solamente reemplazamos las demandas Marshallianas en la función de utilidad directa, la cual quedará en función de los precios y de la renta, de la siguiente manera:
Dada la función de utilidad U ( x1 , x2)=x1
12+x2
12
Función de utilidad indirecta
V ( p1 , p2 ,m)=[ p2p1 [ p1+ p2 ]
m ]12+[ p1
p2 [ p1+ p2]m]
12
La función de utilidad indirecta puede quedar igual a:
V ( p1 , p2 ,m)=m12([ p2
12
p1
12 [ p1+p2]
12 ]+[ p1
12
p2
12 [p1+ p2 ]
12 ])
Entonces:
V ( p1 , p2 ,m)=m12 ( p2 [ p1+ p2]
12+ p1 [p1+ p2 ]
12
p1
12 p2
12 [ p1+ p2] )
V ( p1 , p2 ,m)=m12 ( [ p1+ p2 ]
12 [ p1+ p2]
p1
12 p2
12 [p1+ p2 ] )⇒
V ( p1 , p2 ,m)=m12 ( [ p1+ p2 ]
12
p1
12 p2
12 )
b.2. Función de gasto
La función de gasto es la suma de las demandas hicksianas en términos nominales. Para calcular la función de gasto se reemplaza las demandas hicksianas en la función de gasto, la cual quedará en función de los precios y de la utilidad, de la siguiente manera:
e ( p1 , p2 ,U )=p1h1+ p2h2⇒e ( p1 , p2 ,U )=p1[ p2p1+ p2 ]2
U2+ p2[ p1p1+ p2 ]2
U 2
La función de gasto puede ser igual a:
e ( p1 , p2 ,U )=U 2( p1 p22
[ p1+ p2 ]2+p12 p2
[ p1+ p2]2 )⇒e ( p1 , p2 ,U )=U2( p1 p2
2+ p12 p2
[p1+ p2 ]2 )Factorizando el numerador y ordenandolo quedaría:
e ( p1 , p2 ,U )=U 2( p1 p2 [p1+ p2 ][ p1+ p2 ]2 )⇒
e ( p1 , p2 ,U )=U 2( p1 p2
[ p1+ p2] )
c. A través de la Identidad de Roy calcule las Marshallianas.
Como la función de utilidad indirecta es igual a
V ( p1 , p2 ,m)=m12 ( [ p1+ p2 ]
12
p1
12 p2
12 )
Aplicando la Identidad de Roy hallamos las Marshallianas:
Marshalliana 1:
I . Roy [ x1]=−
∂V ( p1 , p2 ,m )∂ p1
∂V ( p1 , p2 ,m )∂m
=−x1M
I . Roy [ x1]=−
∂V ( p1 , p2 ,m )∂ p1
∂V ( p1 , p2 ,m )∂m
=−[m12( 12 [ p1+ p2]−12 p1
12 p2
12−12 [ p1+ p2 ]
12 p1
−12 p2
12
p1 p2)
12m
−12 ( [p1+ p2 ]
12
p1
12 p2
12 ) ]
I . Roy [ x1]=−[m12 ([ p1+p2]
−12 p1
12 p2
12 p1
12 p2
12−[ p1+ p2]
12 p1
−12 p2
12 p1
12 p2
12 )
m−12 [p1+ p2 ]
12 ]
I . Roy [ x1]=−[m([ p1+ p2 ]−12 p1 p2−[ p1+ p2 ]
12 p2)
[ p1+ p2]12 p1 p2
]I . Roy [ x1]=−m [ ([ p1+ p2 ]
−12 p1 p2)
[ p1+ p2 ]12 p1 p2
−([ p1+ p2]
12 p2)
[p1+ p2 ]12 p1 p2
]I . Roy [ x1]=−m [ 1
[ p1+ p2]− 1p1 ]⇒−m [ p1−p1−p2p1 [ p1+ p2] ]
I . Roy [ x1]=−m [ 1
[ p1+ p2]− 1p1 ]⇒−m [ −p2
p1 [ p1+ p2] ]
Demanda Marshalliana 1 utilizando la Identidad de Roy:
I . Roy [ x1]=[ p2p1 [p1+ p2 ] ]m
Marshalliana 2:
I . Roy [ x2 ]=−
∂V ( p1 , p2 ,m)∂ p2
∂V ( p1 , p2 ,m)∂m
=−x2M
I . Roy [ x2 ]=−
∂V ( p1 , p2 ,m)∂ p2
∂V ( p1 , p2 ,m)∂m
=−[m12 ( 12 [ p1+ p2]−12 p1
12 p2
12−12 [p1+ p2 ]
12 p1
12 p2
−12
p1 p2)
12m
−12 ( [p1+ p2 ]
12
p1
12 p2
12 ) ]
I . Roy [ x1]=−[m12 ([ p1+p2]
−12 p1
12 p2
12 p1
12 p2
12−[ p1+ p2]
12 p1
12 p2
−12 p1
12 p2
12 )
m−12 [p1+ p2 ]
12 ]
I . Roy [ x1]=−[m([ p1+ p2 ]−12 p1 p2−[ p1+ p2 ]
12 p1)
[ p1+ p2]12 p1 p2
]I . Roy [ x1]=−m [ ([ p1+ p2 ]
−12 p1 p2)
[ p1+ p2 ]12 p1 p2
−([ p1+ p2]
12 p1)
[p1+ p2 ]12 p1 p2
]I . Roy [ x1]=−m [ 1
[ p1+ p2]− 1p2 ]⇒−m [ p2−p1−p2p2 [ p1+ p2] ]
I . Roy [ x1]=−m [ −p1p2 [ p1+ p2] ]
Demanda Marshalliana 2 utilizando la Identidad de Roy:
I . Roy [ x1]=[ p1p2 [p1+ p2 ] ]m
d. A través del Lema de Shepard calcule las Hicksianas.
Como la función de gasto es
e ( p1 , p2 ,U )=U 2( p1 p2
[ p1+ p2] )Aplicando el Lema de Shepard hallamos las Hicksianas:
Hicksiana 1:
LemadeShepard=
∂ e ( p1 , p2 ,U )∂ p1
=h1
LemadeShepard=
∂ e ( p1 , p2 ,U )∂ p1
=U2( p2 [ p1+p2]−p1 p2[ p1+ p2]
2 )Lemade
Shepard=∂ e ( p1 , p2 ,U )
∂ p1=U2( p1 p2+ p2
2−p1 p2
[ p1+ p2 ]2 )Lemade
Shepard=∂ e ( p1 , p2 ,U )
∂ p1=U2( p2
2
[ p1+ p2]2 )
Demanda Hicksiana 1 utilizando el Lema de Shepard:
h1=U2 ( p2
2
[p1+ p2 ]2 )Hicksiana 2:
LemadeShepard=
∂ e ( p1 , p2 ,U )∂ p2
=h2e ( p1 , p2 ,U )=U 2( p1 p2
[ p1+ p2] )Lemade
Shepard=∂ e ( p1 , p2 ,U )
∂ p2=U2( p1 [ p1+ p2]−p1 p2
[ p1+ p2 ]2 )Lemade
Shepard=∂ e ( p1 , p2 ,U )
∂ p2=U2( p1 p2+ p1
2−p1 p2
[ p1+ p2 ]2 )Lemade
Shepard=∂ e ( p1 , p2 ,U )
∂ p2=U2( p1
2
[ p1+ p2]2 )
Demanda Hicksiana 2 utilizando el Lema de Shepard:
h2=U2 ( p1
2
[p1+ p2 ]2 )
