Ejercicios Resueltos Nara Grupo 17

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTBAL DE HUAMANGA

(SEGUNDA UNIVERSIDAD FUNDADA EN EL PER)

FACULTAD DE INGENIERA DE MINAS, GEOLOGA Y CIVIL

ESCUELA DE FORMACIN PROFESIONAL DE INGENIERA

CIVIL

EJERCICIOS PROPUESTOS DE CINEMTICA DE PARTCULAS

Y CINEMTICA DE CUERPOS RGIDOS

DOCENTE:

Ing. Cristian CASTRO PREZ

CURSO:

Dinmica (IC - 244)

ALUMNOS:

CERDA AYALA, Wilbert Tefilo 16105692

ASTO BERROCAL, Richar 16090630

FELIX PAHUARA, Carlos 16095048

LLAMOJA CONDE, Carmen Mary 16001213

SEMESTRE ACADMICO:

2012 II

AYACUCHO - PER

3

Cinemtica

EJERCICIOS RESUELTOS DE CINEMTICA DE PARTCULAS Y CINEMTICA DE

CUERPOS RGIDOS

2.16. El bloque B se mueve hacia la derecha con una velocidad constante vo. Escribir la

expresin para la velocidad y aceleracin del punto c extremo inferior de la varilla , cuando desliza a lo largo del plano inclinado.

Solucin:

Hallando ecuacin:

. (1) .. (2)

Entonces de (3)

(3)

Ahora:

..(a) . (b) ..(c)

De (3) y (c)

( ) .. (3c)

De (b) y (2)

( ) .. (2b)

De (3c) y (2b)

De (2), (b) y usando la identidad

Luego usando la formula general:

( )

4

Cinemtica

2.18. Obtener una expresin para la velocidad del mbolo si la manivela gira con una rapidez

angular . Solucin:

A

A

A

v r

v k aSen i aCos j

v aCos i aSen j

/

/1

2 2 2

1

2 2 2

1 1

2 2 2

1 1

( ) ( )

B B A A

B AB A

B

B

B

v v v

v r v

v i k l a Cos i aCos j aCos i aSen j

v i aCos i l a Cos j aCos i aSen j

v i aCos aCos i l a Cos aSen j

Comparando coordenadas, tenemos:

1 /Bv aCos aCos m s

2.25. Un pequeo anillo m esta colocado sobre un aro de alambre de radio r. Una varilla OA

pasa por el anillo y gira alrededor del punto o sobre el aro con una velocidad . a) Si es una constante, hallar la velocidad y la aceleracin de M. b) Si M se mueve con una rapidez constante , hallar y . Solucin:

a) Si es una constante, hallar la velocidad y la aceleracin de M.

2

( ) ( 2 )

v e e

a e e

Por ley de cosenos: 2 2 2 2 cos

2 cos

r r r

r

2

2 ,

2 cos , 0

r sen

r

2 2 2 2 2 2

2 2 cos

4 4 cos

2

v r sen e r e

v r sen r

v r

O B

A

aSen

A

a l

O B aCos

r

r

5

Cinemtica

2 2 2

2 2

2 2 2 2 2 2

2

( 2 cos 2 cos ) ( 4 cos )

( 4 cos ) ( 4 )

( 4 ) cos ( 4 )

4

a r r e r e

a r e r sen e

a r r sen

a r

b) Si M se mueve con una rapidez constante , hallar y .

0

2

s v

s

s v r sen

2 2 2

2

2 cos

4

v

r sen

r

r sen

2.32. Hallar la velocidad angular de la barra AC para la posicin general que se muestra. es constante.

Solucin:

( )

2.43. El bloque esta originalmente B. El anillo en A rodea el poste y a la cuerda y se mueve

hacia abajo a razn de 1m/s. Cul es la velocidad del bloque cuando el anillo esta en D?

Solucin: 2 2 2( ) ..........(1)x y l t

1 4

4

axv t d

t

t s

6

Cinemtica

Cuando est en la posicin A: 2 2 2

2

4 (8 2 4)

53.4903 16

6.1229

f

f

f

x

x

x m

Derivando:

2 2 2( )

(8 2 4)

6.1229 4( 1) (8 2 4)

6.1229 4 8 2 4

8 8 2

6.1229

0.5411 /

x y

f B f A

B

B

B

B

xv yv l t

v v y v

v

v

v

v m s

2.57. El eje CD gira alrededor de AB con velocidad angular constante ; el disco gira con velocidad angular constante relativa al eje. La cuenta P se mueve en el interior y a lo largo de la ranura radial con rapidez relativa al disco y esta disminuyendo en la razn . Determinar la aceleracin de P suponiendo que esta a la mitad de su recorrido cuando la ranura est en su

posicin vertical, que se muestra. Efectuar los clculos cuando , , , , , a) Resolver utilizando un sistema mvil de coordenadas fijo en el disco.

b) Resolver utilizando un sistema mvil de coordenadas fijo en el eje CD.

Solucin:

En el disco:

1

2

5 2

r

O

r

a sj

a a i

r j

v sj

1 2 2 2

1 2 2 2

2

1 2 2

2

1 2 2

( ) 2

5 ( ) 2 ( )2

5 ( ) 22

5 22

5 ( ) 22

r O ra a a r v

a sj a i i i j i sj

a sj a i i k sk

a sj a i j sk

a a i s j sk

7

Cinemtica

En la barra:

2

2 2

1

2

5 22

0

5 2

5 2

r

O

r

a sj j sk

a

j

r ai j

v sj k

2 2 2

2 2 2

2

2 2

5 ( ) 2 ( )2

5 ( ) 22

5 22

r

r

r

a sj i i j i sj

a sj i k i sj

a sj j sk

2

2

5 2

5 2

r ov v v r

v sj i j

v sj k

2

2 2 1 1 1 2

2

2 2 1 1 1 2

2 2

2 2 1 1 2

2 2

1 1 2 2

5 5 5 2 ( ( )) 2 ( )2 2 2

5 5 2 ( ) 22 2

5 5 2 22 2

5 5 ( 2 ) ( ) 22 2

a sj j sk j j ai j j sj k

a sj j sk j ak i

a sj j sk ai i

a ai i s j

2sk

2.64. La barra delgada uniforme AB es de 12m de longitud y descansa horizontalmente sobre

un canal que, como se muestra, tiene paredes laterales de 45. Si la aceleracin angular de la barra es de en el sentido de las manecillas del reloj, hallar la velocidad angular de la barra para la cual la aceleracin del extremo a ser cero.

Solucin:

A x

B y

v v

v v

Se tiene que:

0 0A xa a cuando y 2 2 2..........(1)x y l

8

Cinemtica

Entonces:

............(4)

..........(3)

x

x

y

xSenB lCosB v

l

y v

x v

xTanB

y Se deriva: ( )

d dxyTanB

dt dt

2

2 2 2 2

..........(4)

2

y x

x y x y

v TanB y Sec B v

a v Sec B TanB a v Sec B y Sec B y Sec B TanB

Sustituyendo: 2 2 22 2 2

2 2 2

2

2 2 2 2 2 2

2x x y

x

x x x

xa v vl x l l l xa x x y y

y y y y y y y

a x l x a yl a y

Sustituyendo con las condiciones iniciales:

0

0

xa

y

Despejamos:

2

2 2

y

l y

2 0

0

2.82. El disco rueda sin deslizamiento con una velocidad angular de 9 rad/s en el sentido de las

manecillas del reloj, mientras que el bloque se desliza hacia abajo del plano inclinado. Hallar la

velocidad del punto P.

Solucin:

9 /k rad s

9 1.2

10.8 /

OAA

A

A

v r

v k j

v i m s

Mediante el centro instantneo de rotacin de la barra AB, en el tringulo ABC, tenemos:

/

/

4.8

3.6

6

A C

B C

BA m

r m

r m

/

/

10.8 / :

10.8

3.6

3 /

A

A AB A C

AAB

A C

AB

AB

Si v i m s

v r

v

r

rad s

9

Cinemtica

Determinamos la velocidad de P:

/

/

10.8 3 1.5

10.8 4.5 /

P A P A

P AP A AB

P

P

v v v

v v r

v i k i

v i j m s

11.7 /Pv m s

2.88. La rueda est rodando sin deslizamiento en la superficie horizontal sobre su cubo de 2.40

m de dimetro en el punto B. una barra rgida DE esta articulada al dimetro exterior de la rueda

en D y resbala a lo largo de la superficie horizontal. Hallar la velocidad de E, suponiendo que la

velocidad de A sea de 3 m/s hacia la derecha. Usar el mtodo de los centros instantneos.

Solucin:

Por la figura determinamos que:

3 /D Av v m s

Determinamos el centro instantneo de rotacin de la barra DE:

Hallamos el ngulo en el tringulo:

2.1

7.5

2.1

7.5

0.28

Sen

arcSen

Por el teorema de los senos hallamos rD/C y rD/C:

/

/

/

7.5

53 82.72

7.5 82.72

53

9.39

D C

D C

D C

r

Sen Sen

Senr

Sen

r m

/

/

/

7.5

53 37.28

7.5 37.28

53

5.69

E C

E C

E C

r

Sen Sen

Senr

Sen

r m

10

Cinemtica

Si vD= vA =3 m/s. Determinamos DE

:

/

/

3

9.39

0.32 /

0.32 /

D D C

D

D C

v r

v

r

rad s

k rad s

Por lo tanto la velocidad en E es:

/

5.69 0.32

1.82 /

1.82 /

E CE

E

E

E

v r

v j k

v i m s

v m s

2.91. La placa rectangular es mvil y, segn se muestra, sus extremos estn en contacto con el suelo y el plano inclinado. Si la aceleracin de A es 7.5m/s

2 hacia la derecha y la velocidad

angular de lado CD es cero, determinar la aceleracin angular del lado AB.

Solucin:

Se observa que el tringulo formado es equiltero.

Por ello:

/ ' / 'A C B Cr r

Entonces:

/ '

/ '

A A C

B B C

v r

v r

A Bv v

Como tambin:

A Ba a

/ '

2

7.5 3

2.5 /

A A Ca r

rad s

C

3m 60

60

60 3m

3m

11

Cinemtica

2.95. El cuerpo rgido ABC gira alrededor de un pivote sin friccin O con una celeridad angular

de 5 rad/s contraria a las manecillas del reloj y una aceleracin angular de 10 rad/s2 de sentido

opuesto. Determine la velocidad y aceleracin del bloque que desliza en el instante en que el

mecanismo adopta la posicin que se muestra.

Solucin:

2

5 /

10 /

k rad s

k rad s

En el cuerpo rgido ABC:

5 0.4 0.3

1.5 2 /

OCC

C

C

v r

v k i j

v i j m s

Para el bloque:

/

1.5 2 0.25

1.5 2 0.25

D CD C DC

D DC

D DC

v v r

v i i j k i

v i i j j

Comparando coordenadas:

1.5Dv ^

2 0.25 0

0.25 2

8

DC

DC

DC

1.5 /

8 /

D

DC

v i m s

k rad s

2

10 0.4 0.3 5 5 0.4 0.3

3 4 5 1.5 2

3 4 10 7.5

13 3.5 /

OC OCc

c

c

c

c

a r r

a k i j k k i j

a i j k i j

a i j i j

a i j m s

( ) ( )/ /

/ /

13 3.5 8 8 0.25 0.25

13 3.5 8 2 0.25

13 3.5 16 0.25

3 3.5 0.25

n tD C D C D C

D C D CD C DC DC DC

D DC

D DC

D DC

D DC

a a a a

a a r r

a i i j k k i k i

a i i j k j j

a i i j i j

a i i j j

12

Cinemtica


3Da ^

2

3.5 0.25 0

0.25 3.5

14 /

DC

DC

DC rad s

23 /Da i m s

2.98. a) En la posicin que se indica, la velocidad del pasador B es 6j0 m/s; determinar para este

instante la velocidad de la mosca parada en el eslabn C.

b) Determinar la aceleracin de la mosca suponiendo que la aceleracin de B sea horizontal.

Solucin:

a) Usando velocidad relativa con respecto a A: ( ) de donde se tiene

Hallando la velocidad en el punto C

( ) ( ) ( ) ( ) De donde se tiene:

Velodidad de la mosca en el instante que muestra la figura:

( )

Por coordenadas:

b) Si:

B Ba a i y

10AB k

2

0.6

60

60 /

ABB AB AB

B AB AB

B

B

a r

a k k i

a i

a rad s

/ /

1.5 3 3 1.5

1.5 13.5

C D C DC CD CD CD

C CD

C CD

a r r

a k j k k j

a i j

13

Cinemtica

/ /

1.5 13.5 60 1.2 0.9 ( 5 ) ( 5 ) 1.2 0.9

1.5 13.5 60 ( 30 ) 22.5 0.9 1.2

C B C BC B BC BC BC

CD BC

CD BC BC

a a r r

i j i k i j k k i j

i j i i j i j


2 /

30 /

CD

BC

rad s

rad s

Entonces:

/

/ /

1.5 2 13.5 3 3 0.6 2 0.6

1.8 8.1 /

P C P C

P

P C P CP CD CD CD

P

a a a

a i j k k j k j

a r r

a i j m s

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