INGENIERIA EN AUTOMATIZACION Y CONTROL INDUSTRIAL

Control Autom atico 1Problemas Resueltos

UNIVERSIDAD NACIONAL DE QUILMES

29 de julio de 2003Pagina 1 de 2

Resolucion de problemas utilizando el criterio de Routh-Hurwitz

En este apunte veremos tecnicas para utilizar el criterio de Routh cuando el primer termino de una de laslıneas es cero o si una lınea entera es cero mediante ejemplos. Porultimo veremos una aplicacion del criteriode Routh.

Caso 1:Consideremos primero el caso en donde el primer elemento de una fila es cero, pero al menos uno delos otros elementos es no nulo. Tomemos el polinomioP(s) = s5 + 3s4 + 2s3 + 6s2 + 3s+ 3, el arreglonumerico que resulta es

s5 1 2 3s4 3 6 3s3 0 2s2

s1

s0

=⇒

s5 1 2 3s4 3 6 3s3 |ε| 2s2 6− 6

ε

s1 2+ |ε|22−2|ε|

s0 3

Si ahora hacemos|ε| −→ 0+, observamos que

lim|ε|→0+

6− 6|ε|

< 0 y lim|ε|→0+

2+|ε|2

2−2|ε|> 0

por lo que concluimos que el polinomioP(s) no es Hurwitz y dado que existen dos cambios de signosen la primer columna del arreglo numerico de Routh,P(s) tiene dos raıces con parte real positiva.

Caso 2:Consideremos ahora el caso en el que toda una fila es nula, para ello utilicemosP(s) = s5+6s4+12s3+12s2 +11s+6 y armemos el arreglo numerico de Routh:

s5 1 12 11s4 6 12 6s3 10 10s2 6 6s1 0 0 Pa(s) = 6s2 +6

nuevos1 12 0 ←− dPa(s)ds = 12s

s0 6

No hay cambios de signo en la primera columna. Por lo tanto, todas las raıces tienen parte real negativa.excepto un par que son

Pa(s) = 6s2 +6 = 0 ⇒ s=± j

Aplicacion del criterio de Routh

El metodo de Routh lo podemos utilizar para determinar los intervalos de los parametros para los cuales unsistema realimentado como el de la Figura 1, permanece estable. Veremos ahora algunos ejemplos:

Ejemplo 1 Consideremos el sistema de la Figura 1. Las propiedades de estabilidad del sistema estan enfuncion de la ganancia de realimentacion K en la ecuacion caracterıstica1+KG. La ecuacion caracterısticapara el sistema esta dada por

1+Ks+1

s(s−1)(s+6)= 0 ⇒ s3 +5s2 +(K−6)s+K = 0.

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h - -

�6

- y−

r G(s)

Kcon G(s) =

s+1s(s−1)(s+6)

Figura 1: Un sistema en realimentacion

El arreglo de Routh correspondiente es

s3 1 K−6s2 5 Ks1 4K−30

5s0 K

Para que el sistema permanezca estable, necesitamos que

4K−305

> 0 y K > 0

por que si K> 7.5 el sistema permanecera estable.

Ejemplo 2 Consideremos la siguiente planta nominal y el controlador

Go(s) =100

(s−0.5)(s+4)K(s) =

(s+3)s2 +4s+5

Supongamos que el controlador tiene una gananciaλ . Estudiemos para que valores deλ el sistema a LCpermanece estable. El polinomio caracterıstico1+ λK(s)Go(S) viene dado por

P(s) = (s2 +4s+5)(s2 +3.5s−2)+100λ︸ ︷︷ ︸K

(s+3)

= s4 +7.5s3 +17s2 +(9.5+K)s+(3K−10)

El arreglo de Routh correspondiente es

s4 1 17 3K−10s3 7.5 9.5+Ks2 118−K

7.5 3K−10s1

[(9.5+K)(118−K

7.5 )−7.5(3K−10)]

7.5118−K

s0 3K−10

Para que sea estable, de las filas correspondientes a s2 y s0 tenemos que

K >103

K < 118

y de s1 tenemos que

−k2−60.25K +1683.5118−K

> 0 ⇒ K > 118 o K ∈ (−81.02,20.77)

como la ganancia K es positiva, la interseccion de todas las condiciones nos da la condicion final: k∈ (3.33,20.77)Recordemos que el parametro original eraλ por lo que habra que escribir el intervalo el funcion deel.