Ejercicios Resueltos Transf Z

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA SALESIANA

EJERCICIOS DESARROLLADOS TRANSFORMADA Z

Determinar las transformadas Z de las siguientes señales en tiempo discreto usando la definición

a) x n u n

Usando el par de Transformada Z: 1

1,

1zn z

a u n z az a az

Para este caso se tiene que 1a

1

1, 1

1 1z z

u n zz z

b) 10nx n e u n

Igual que en el caso anterior, se usará el mismo par de transformada Z, y para este caso 10na e

por lo tanto la transformada Z será:

10 1010 10 1

1,

1zn z

e u n z ez e e z

c) sinnx n e n u n

Para mejorar el proceso de cálculo, se pasa el valor del sin(n) a exponenciales complejas, por lo

tanto se tiene lo siguiente:

2

jn jnn e e

x n e u nj

Multiplicando término a término se tendrá:

1 1 1 1

1 1 1 1

2 2 2 2

1 1

2 2

j n j n j n j nn jn n jn

j n j n j n j n

e e e e e ex n u n u n u n

j j j j

x n e e u n e u n e u nj j

Por tanto usando la propiedad 1

1,

1zn z

a u n z az a az

1 1

1 11 1

1 1 1 1,

2 2 1 1

j n j n zj j

e u n e u n z ej j e z e z

1 1

1 1

1 1,

2 2j n j n z

j j

z ze u n e u n z e

j j z e z e


1 1

1 1

2

1sin ,

2

1sin

2

j jzn

j j

zn

z e z ee n u n z z e

j z e z e

ze n u n

j

1 2jze z

1

2 1 1 1 1

1 1

2 1 1 1 1

1 1

2 1 1 2

,

1sin ,

2

1sin ,

2

j

j j j j

j jzn

j j j j

j jzn

j j

zez e

z z e e e

z e ee n u n z e

j z z e e e

z e ee n u n z e

j z z e e e

Tomando en cuenta que:

1 1

sin 12 2

j jj j e e ee ee

j j

; 2 cos 1j je e e e

Se tiene que:

2 2

sin(1)sin ,

2 cos 1zn ez

e n u n z ez ez e

d) x n n

Tomando en cuenta que este x[n] es una secuencia unilateral se tiene que:

0 0

1n n

n n

X z x n z n z

, para todo valor de z

e) x n u n u n

z n n n

n n n

x n u n u n z u n z u n z

,

Tomando en cuenta que u[‐n] va de ‐∞ hasta 0 y que al cambiar el signo de la potencia de z

cambian los límites de la sumatoria se tiene:

0

0 0 0

z n n n n

n n n n

x n z z z z

, en este punto es necesario analizar de

manera individual cada sumatoria pues cada una tiene su propia región de convergencia:


10

1, 1

1n

n

z zz

, 1

0

1, 1

1n

n

z zz

, debido a ambas transformadas unilaterales

son analizadas sobre el mismo valor, en este caso 1 se tiene que no existe transformada z bilateral.

f) 10x n u n u n

De acuerdo con las características de x[n] esta señal iría de 0 a 10 con amplitud 1, sin embargo en

la sumatoria a la 10

10

0

10z n n

n n

x n u n u n z z

,

Utilizando la fórmula para sumatorias:

1

0

1, 1

1

, 1

MM

n

n M

, donde M‐1 =10 y β=z‐1 y por tanto cumpliendo el primer caso de esta

fórmula, se tiene lo siguiente:

1111 10 1111 1011 11

1 10

1 11 1 11

1 1 1 11 11

z

zz z zz z zz zx n

z z zz z zz z

Tomando en cuenta que z es un valor complejo, z=re‐jω, recordando que la ROC de la transformada

Z depende exclusivamente de la magnitud de z se tendrá que:

10 10

1 1

j j

j

z z re reX z

z re

, por tanto:

10

2

cos cos 10 sin sin 10 12

1 2 cos 1

j j

j

re reX z r

re r r

Lo que significa que la transformada Z para este ejercicio es todo el plano Z

g) 01n n

x n u n a u n n Determinar las restricciones en el número

complejo |a| y el entero n0 dado que la ROC de X(z) es 1<|z|<2

0 0

0 0

1 10

0 0

1 1 1 10

0 0

1 1 1

1 1

n nn nn n n nn n

n n n n

n n n nn n

n n n n n n

u n a u n n z a z z az

u n a u n n z a z z a z


Analizando individualmente cada una de las partes se tiene que:

1 11

0

1; 1

1

n

n

z para zz

1 1

11

1 1

z

z

z z

0

0

1 11

; 11

nn

n n

aza z para a z

a z

1 1

1

a z

z

a

z a

Por tanto la transformada Z bilateral será:

0

0 1 1

11 ;1

1 1

nn n azu n a u n n z a

z a z

Comparando con los datos iniciales del ejercicio se tiene que |a|=2 y n0 puede ser cualquier

valor arbitrario

h) 13

5

n

x n u n

En este caso antes de usar tablas y propiedades usamos las fórmulas para las Sumatorias, en este

caso:

1

3

1 1 13 3

5 5 5

n n nzu n u n z

Usaremos la fórmula: , 11

kn

n k

31 3

1

1 1

5 12513 , 1

5 51 1

5 5

nz

z z

zu n

z z

UNIVE

1

5

n

Determ

propie

a)

En este

Toman

Entonc

en X(z)

c

c

cn

cn

e

e

Sacand

RSIDAD POLIT

3 zu n

minar las tran

dades

cx n e

e caso se nece

ndo en cuenta

ces en la resp

):

2os

3

2os

3

nu

nu

do factor com

TÉCNICA SALE

3

125 1

z z

nsformadas Z

2cos

3cn n

esita dela pro

a que:

pectiva transf

z

z

n

en

z

e

mún 1 / e‐2c

ESIANA

3

1

5z

, para

Z de las siguie

u n

opiedad de es

formada z de

2

2

2

2

c

2co

c c

c

c c

c c

z z

e e

z z

e e

z z

e e

z z

e e

la ROC se tie

entes señales

scalamiento:

2

3

e f[n], lo que

2cos

3

2cos

3

2cos

3

2os 1

3

c

z

ne que

1

5

1

5

1

5

z

z

s en tiempo d

se deberá ha

1

1

1

z z

discreto usand

acer es reem

1

5

do tablas y

plazar z por zz/a


2

2

2

1 2cos

32cos

3 2 2cos 1

3

1

2cos

3

cc c

zcn

c c

czcn

zz e

e ene u n

z z

e e

n ee u n

2

2cos

3

1

c

c

z z e

e

2 22

2 cos3

c cz ze e

Simplificando

2 2

2cos

32cos

23 2 cos3

c

zcn

c c

z z en

e u nz ze e

NOTA:

Ejercicios en los cuales se usen funciones trigonométricas, y no se pueda aplicar directamente las

tablas y propiedades, lo mejor es pasar estas funciones a sus versiones con exponenciales

complejas, como por ejemplo para el caso de:

2 2

7 7

2 2sin cos

7 3

2cos

2 3

n nj j

n nx n u n

e e nx n u n

j

Al cambiar el seno por la respectiva expresión con exponenciales complejas se obtiene el caso del

ejercicio anterior; también puede existir el caso de que en lugar de la función seno se encuentre

otra función multiplicando a 2

cos3

nu n

, en cuyo caso el coseno se deberá intercambiar

por la función compleja respectiva.


DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES PARCIALES

1. X(z) posee polos simples y reales

1 2

1 2

( ) ...( ) ( ) ( )

( ) ( )k

k

k

k k z p

AA AG z

z p z p z p

A z p G z

Por ejemplo

31 2

11 1

22 2

3

5 3( )

( 1)( 2)( 3) ( 1) ( 2) ( 3)

5 1 35 3 5 3( 1) 1

( 1)( 2)( 3) ( 2)( 3) ( 1 2)( 1 3)

5 2 35 3 5 3( 2) 7

( 1)( 2)( 3) ( 1)( 3) ( 2 1)( 2 3)

5( 3)

z z

z z

Az A AG z

z z z z z z

z zA z

z z z z z

z zA z

z z z z z

zA z

3 3

5 3 33 5 36

( 1)( 2)( 3) ( 1)( 2) ( 3 1)( 3 2)z z

z

z z z z z

2. X(z) posee polos múltiples y reales

1 2

1 22 3

1

( ) ( )( )

( ) ( )( )...( )

( ) ... ...( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ki

k r

k i i i

N z N zG z

D z z p z p z p

AA k k kG z

z p z p z p z p z p

Para el Caso de los valores de Ak se sigue el mismo procedimiento al punto anterior.

( )i

rr i

z pk z p F z

1 ( )

i

rr i

z p

dk z p F z

dz

1

1 1

1( )

1 ! i

rr

r irz p

dk z p F z

r dz

Por ejemplo

31 23 2 3

1( )

( 2) ( 1)( 1) ( 2) ( 1) ( 1)

kA B k kG z

s z zz z z z z

33 3

11

1 / 2, 1 / 2

1 1 1( 1) 1

( 2) ( 1)( 1 2)( 1) ( 2) zz

A B

k zz zz z z

A partir de este punto se tiene:


32 3

11

2 2 2 22

1 1( 1)

( 2)( 1) ( 2)

2 1 2 1 10

2 1 1 2

zz

d dk z

dz dz z zz z z

zk

z z

2 23

1 2 3 211

22

2 3 3 33

1

1 1 1 1( 1)

2! 2 ( 2)( 1) ( 2)

2 3 1 6 1 42 3 6 41 11

2 22 1 1 2

zz

z

d dk z

z zdz z z z dz

z zk

z z

3 3

1 1 1 1 1( )

2 2( 2) ( 1)( 1) ( 2) ( 1)G z

z z zz z z z

3. X(z) posee polos complejos

Por ejemplo:

Usamos la forma

( )

1 4 1 4

j jMe MeG z

z j z j

1

1 4 1 4

1201

2

1 4 1 4

1202

3 7 3 71 4

1 4 1 4 1 4

3 1 4 7 3 51.95

1 4 1 4 2 4

3 7 3 71 4

1 4 1 4 1 4

3 1 4 7 3 51.95

1 4 1 4 2 4

z j z j

j

z j z j

j

z zA z j

z j z j z j

jA j e

j j

z zA z j

z j z j z j

jA j e

j j

120 1201.95 1.95

( )1 4 1 4

j je eG z

z j z j

1 2

2

( ) 3 7 3 7( )

( ) 1 4 1 4 1 4 1 42 17

N z z z k kG z

D z z j z j z j z jz z


Para el caso de la Transformada Z inversa al aplicar el teorema del residuo o fracciones parciales

recordar X (z) deberá ser una función racional y a la vez que primero se debe verificar si X(z) es una

fracción propia o impropia, es decir que la mayor potencia la debe poseer el denominador en cuyo

caso se trata te fracciones propias, en el caso de tener fracciones impropias es necesario realizar

primero la respectiva división polinomial.

10 1

11

...( )( )

( ) 1 ...

MM

NN

b b z b zN zX z

D z a z a z

Una Función impropia se da cuando (M≥N) se puede representar como la suma de un polinomio y

una función propia racional:

3 2 1

2 1

3 2 1 2 1

3 2 1 1

2 1

2 1

1

1 113 1

3 6( )1 5

16 6

1 11 1 53 1 1

3 6 6 6

1 52 2 1

3 3

11

61 5

16 6

1

6

z z zX z

z z

z z z z z

z z z z

z z

z z

z

Es necesario de asegurar de que el residuo posea menor orden del cociente, en este caso X(z)

resultará ser:

1

1

2 1

16( ) 1 2

1 51

6 6

zX z z

z z

Ahora ya sobre esta fracción se puede aplicar el método

de fracciones parciales.

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