Establecemos diferencias entre Variaciones, Permutaciones y Combinaciones

APRENDIZAJE ESPERADO: Establece diferencias entre variaciones, permutaciones y combinaciones. INDICADOR DE EVALUACIÓN: Establece diferencias entre variaciones, permutaciones y

combinaciones a través de ejercicios propuestos.GRADO Y SECCIÓN: 5° - “A, B, Y C” ASIGNATURA: RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

DOCENTES RESPONSABLES: ARACELY E. HERNÁNDEZ LLANOS – JULIO SUAREZ CARRANZA

DIFERENCIA ENTRE VARIACIÓN, PERMUTACIÓN Y COMBINACIÓNLa diferencia entre combinaciones y por otro lado de las variaciones y permutaciones es el orden de los elementos.

PERMUTACIÓN Se agrupan de todas las formas posibles todos los elementos, importando el orden de colocación de cada elemento en los diferentes grupos. Ejemplo: ¿De cuántas maneras se pueden sentar 4 personas en 4 butacas numeradas. Hay el mismo número de elementos a combinar (4 personas, 4 butacas). Las butacas numeradas hacen que el orden importe. Solución: P4 = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24

VARIACIÓNSe agrupan de todas las formas posibles parte de los elementos totales, importando el orden de colocación de cada elemento en los diferentes grupos. Ejemplo: ¿De cuántas maneras se pueden sentar 4 personas en 5 butacas numeradas. Hay diferente número de elementos a combinar (4 personas en 5 butacas). Las butacas numeradas hacen que el orden importe. Solución:

V(5, 4) = 5 x 4 x 3 x 2 = 120

COMBINACIÓN. Se agrupan de todas las formas posibles parte de los elementos totales, no importando el orden de colocación de cada elemento en los diferentes grupos. Ejemplo: ¿De cuántas maneras se pueden sentar 3 personas (da igual como se llamen) en 5 butacas sin numerar. Hay diferente número de elementos a combinar (3 personas en 5 butacas). Las butacas sin numerar hacen que el orden no importe. Solución: C(5, 3) = 5! /3!(5-3)! = 10

OTROS EJEMPLOS

1. ¿Cuántos números de tres c i f ras d i ferentes se puede formar con los d íg i tos: 1 , 2 , 3 , 4 , 5?Solución.

No entran todos los e lementos. De 5 d íg i tos entran sólo 3.

Sí importa e l orden. Son números d ist intos e l 123, 231, 321.

No se repiten los e lementos. E l enunciado nos p ide que las c i f ras sean di ferentes.

“Insiste, perservera,todo final depende de tu esfuerzo.”

INSTRUCCIONES

Estimada estudiante mariana: A continuación se presenta una serie de ejercicios resueltos, donde debes justificar las

diferencias entre Variaciones, Permutaciones y Combinaciones. Resuelve los siguientes ejercicios de aplicación en tu cuaderno de trabajo, haciendo uso de

los conocimientos adquiridos en las sesiones anteriores. Encierra la respuesta de cada ejercicio en recuadro. Recuerda tener siempre orden y limpieza al trabajar la parte algorítmica de cada ejercicio.

V 35=5.4 .3=60

2. ¿Cuántos números de tres c i f ras se puede formar con los d íg i tos: 1 , 2 , 3 , 4 , 5?Solución. m = 5 k = 3No entran todos los e lementos. De 5 d íg i tos

entran sólo 3.Sí importa e l orden. Son números d ist intos e l

123, 231, 321.

VR35=53=125

3. ¿ A un concurso l i terar io se han presentado 10 candidatos con sus novelas . E l cuadro de honor lo forman e l ganador, e l f inal ista y un accés it . ¿Cuántos cuadros de honor se pueden formar?Solución. m = 10 k = 3No entran todos los e lementos. De 10

candidatos entran sólo 3.Sí importa e l orden. No es lo mismo quedar

ganador que f inal ista .No se repiten los e lementos. Suponemos que

cada candidato presenta una sola obra. V 3

10=10.9 .8=720

4.¿De cuántos part idos consta una l igui l la formada por cuatro equipos?Solución. No entran todos los e lementos.Sí importa e l orden.No se repiten los e lementos.

Variación de 2 en 4 = 12

5.- Cuántos resultados distintos pueden producirse al lanzar una moneda cuatro veces al aire. Solución. Influye orden y elementos, y estos se pueden repetir. k

= 2, n = 4.

VR24=42=16

6. Cuántos números de cuatro cifras distintos pueden formarse con los elementos del conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

Solución.

Influye orden y elementos, y estos no se pueden repetir. m = 7, k = 4.

V 47=7.6 .5 .4=840

7. ¿De cuántas formas diferentes se pueden repartir tres juguetes diferentes entre cuatro niños, de manera que ningún niño tenga más de un juguete? Solución.

Influye orden y elementos, y estos no se pueden repetir. m = 4 (niños), n = 3(juguetes).

V 34=4.3 .2=24

8. ¿De cuántas formas diferentes se pueden distribuir cinco bolas distintas en tres cajas diferentes? Solución.

Influye orden y elementos, y estos no se pueden repetir. m = 5 (bolas), n = 3 (cajas).

V 35=5.4 .3=60

9. Tienes las letras A B C D; quieres calcular las posibles maneras de escoger 3 letras de estas cuatro, como no importa el orden son combinaciones de 4 elementos tomados de 3 en 3.

Solución C(4,3) = 4!/(3!*1!) = 4 ……….(A,B,C - A,B,D - A,C,D - B,C,D)

y no importa el orden de las letras A,B,C es lo mismo que B,C,A y C,A,B

10. Si quieres calcular cuantas palabras (aunque no existan) de 3 letras se pueden formar con las 4 anteriores.

Solución. Utilizamos Variaciones de 4 elementos tomados de tres en

tres. V(4,3)=4!/(4-3)!=4!/1!=4!=24

11) Si quieres ver cuantas formas posibles hay de ordenar la cuatro letras son permutaciones de P4 = 4!=24

“Insiste, perservera,todo final depende de tu esfuerzo.”

EJERCICIOS DE APLICACIÓN1.- De cuántas maneras se pueden sentar 5 niños en 6 asientos numerados.

2.- De cuántas maneras se pueden ubicar 6 person as en 6 sillas numeradas.

3.- De cuántas maneras se pueden colocarse 5 llantas en una trimoto (mototaxi).

4.- ¿Cuántos números de dos cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4?

5.- Se tienen las letras de la palabra AMOR, ¿De cuántas formas posibles hay de ordenar las cuatro letras?.

6.- Se tiene las letras de la palabra REINA; quieres calcular las posibles maneras de escoger 3 letras de estas cuatro.

7.- ¿De cuántas formas diferentes se pueden distribuir cinco muñecas distintas en tres cajas diferentes?

8.- ¿Cuántos números de cuatro cifras se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5,6?

9.- ¿Cuántos palabras (con o sin sentido) se podrán formar con DODECAGENEON?

10.- A una reunión asistieron 20 personas. Si cada persona le dio un apretón de manos a cada uno de los otros. ¿Cuántos apretones de mano, en total, hubo en dicha reunión?

“Insiste, perservera,todo final depende de tu esfuerzo.”