Ejercicios Unidad II- Lindo -

EJERCICIOS UNIDAD II

PROBLEMA 1

Una cafetería que trabaja las 24 horas requiere el siguiente número de meseras:

Hora del día 2-6 6-10 10-14 14-18 18-22 22-02No. mínimo de meseras 4 8 10 7 12 4Cada mesera labora 8 horas consecutivas cada día. Formule el problema con un modelo de programación lineal, si se desea obtener el número mínimo de meseras para satisfacer las condiciones anteriores. Para entender bien el problema se diseñó la siguiente tabla:

Periodo i Invervalo de tiempo

Requerimiento mínimo de meseras

Personal remanente del turno anterior

Personal que ingresa cuando comienza el periodo i

Variable desicional Xi

1 2 - 6 4 0 (X6) 4 (X1) X1

2 6 - 10 8 4 (X1) 4 (X2) X2

3 10 - 14 10 4 (X2) 6 (X3) X3

4 14 - 18 7 6 (X3) 1 (X4) X4

5 18 - 22 12 1 (X4) 11 (X5) X5

6 22 - 02 4 11 (X5) 0 (X6) X6

Es muy importante enfatizar que la parte más difícil de la formulación de modelos es la definición de las variables decisionales. Por esta razón es imperioso entender bien el problema.

Llamaremos Xi = No de meseras que comienzan a laborar cuando se inicia el periodo i.

De tal manera que:

X3 = N° de meseras que comienzan a laborar cuando se inicia el periodo 3X5 = N°de meseras que comienzan a laborar cuando se inicia el periodo 5.Etcétera

Parece ocioso insistir en este punto pero la experiencia del aula lo justifica.

Explicación de la Tabla:

Inauguramos la cafetería a las 2 AM. Abrimos el negocio cortamos el listón y nos preguntamos ¿Qué personal Remanente quedo del Turno

anterior?, respondemos, 0. Para cumplir con en requerimiento mínimo de meseras en el intervalo de 2 - 6 A. M., se necesita que

ingresen al menos 4 meseras ( las X1). En el siguiente intervalo nos preguntamos. ¿Qué número de meseras queda como remanente del

turno anterior?. Nos respondemos 4 (las X1 que trabajarán también en el intervalo de 6 - 10 A. M. Para completar sus 8 horas consecutivas de ese día.

Luego razonamos ¿Qué número de meseras deberán ingresar cuando se inicia el periodo 2, para cumplir con el requerimiento de al menos 8?, Respondemos 4 (pero estas son las X2). Así continuamos hasta completar el ciclo de 24 horas. Advertimos que la ley que gobierna la condición general de las restricciones es:

Personal remanente del turno anterior + Personal que comienza a trabajar

cuando se inicia el periodo >= Requerimiento mínimo de meseras en el intervalo

Nótese que los números conseguidos en la tabla no son los valores de las variables decisionales, sino simples

números que sirven para ilustrar al entendimiento del problema.

Formulación del modelo

1. Función objetivoMin Z = X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6

2. Restricciones

s.a. X6 + X1 >= 4 X1 + X2 >= 8 X2 + X3 >= 10 X3 + X4 >= 7 X5 + X6 >= 4

3. Restricciones de no negatividad

Xi >= 0

PROBLEMA 2

Se desea preparar alimento para pollos, necesitándose una carga diaria de 100 libras de mezcla. La fórmula deberá contener:

1. Al menos 0.8%, pero no más de 1.2% de calcio.2. Al menos 22% de proteínas.3. Al menos 5% de fibra cruda.

Se supone que los principales ingredientes son piedra caliza (carbonato de calcio), maíz y melaza de soya. El contenido nutritivo de estos ingredientes queda resumido en la tabla siguiente:

Libras de sustancia nutriente / Libras de ingredienteIngredientes Calcio Proteína Fibra Costo ($ Libra)Caliza 0.380 0.000 0.000 0.0164Maiz 0.001 0.090 0.020 0.0463Melaza 0.002 0.500 0.080 0.1250El objetivo del modelo es minimizar el costo de una carga.

PROBLEMA 3

Una compañía elabora dos productos, A y B. El volumen de ventas del producto A es cuando menos 60% de las ventas totales de los dos productos. Ambos productos utilizan la misma materia prima, cuya disponibilidad diaria está limitada a 100 kilos. Los productos A y B utilizan esta materia prima a los índices o tasas de 2 gr/unidad y 4gr/unidad, respectivamente. El precio de venta de los dos productos es $20 y $40 por unidad.

Formule el modelo de programación lineal

Hacemos una tabla con la información esencial

PRODUCTOSA B Disponibilidad / dia

Precio ($/u) 20 40Materia prima (gr/u) 2 4 100 kgs.Ventas Mayores que 60% de (A+B)Formulación del modelo

1. Definición de las variables desicionalesXA = Unidades del producto A a producirXB = Unidades del producto B a producir

2. Formulación de la función objetivo

Max Z = 20XA+ 40XB

3. Restricciones

s.a.

a) Restricción para la materia prima2XA + 4XB <= 100 X 1000

b) Restricción para las ventasXA>=0.6 (XA +XB)

c) Restricción de no negatividadXA, XB>=0

PROBLEMA 4

Oscar de la Renta fabrica camisas para caballero y blusas para dama para Gigante S.A. Gigante aceptará toda la producción que le proporcione Oscar de la Renta. El proceso de producción incluye corte, costura y empacado. Oscar de la Renta emplea a 25 trabajadores en el Departamento de Corte, a 35 en el Departamento de Costura y a 5 en el Departamento de Empacado. La fabrica trabaja un turno de 8 horas, solo 5 días a la semana. La siguiente tabla proporciona los requerimientos de tiempo y las utilidades por unidad para las 2 prendas.

Utilidad porPrenda Corte Costura Empacado unidad $/prenda

Camisas 20 70 12 2.50Blusas 60 60 4 3.20

Formule el modelo de programación lineal e incluye el Análisis Dimensional.

Formulación del modelo

1. Definición de las variables desicionales

X1 = No. de camisas a producir por semanaX2 = No. de camisas a producir por semana

2. Formulación de la función objetivo

Max Z = 2.50X1+ 3.20X2

3. Restricciones

s.a.

a) Corte

20X1 + 60X2 <= 35 x 8 x 5 x 60

b) Costura 70X1+ 60X2 <= 25 x 8 x 5 x 60

c) Empaquedato

12X1 + 4X2 <= 5 x 8 x 5 x 60

d) Restricción de no negatividad

X1, X2 >=0

PROBLEMA 5

Una compañía de transporte posee dos tipos de camiones; el camión del tipo A tiene 20 m3 de espacio refrigerado y 40 m3 de espacio no refrigerado, y el camión del tipo B tiene 30 m3 de espacio refrigerado y 30 m3 de espacio no refrigerado.

Una fábrica de productos alimenticios debe embarcar por lo menos 900 m3 de productos refrigerados y 1200 m3 de productos no refrigerados. ¿Cuantos camiones de cada tipo debe alquilar la fábrica para minimizar los

costos, si el camión del tipo A se alquila a razón de $3.00 por Km. y el camión del tipo B a razón de $4.00 por Km.

Formule un modelo de programación lineal.

PROBLEMA 6

Una compañía tiene 3 plantas con una capacidad de producción en exceso. Las 3 tiene la facilidad de fabricar un producto y la Gerencia decidió usar una parte de la capacidad de producción en este sentido:

Este producto se puede hacer en 3 tipos de tamaño grande, mediano y chico, que nos dan una ganancia neta por unidad de 12, 10 y 9 respectivamente, las plantas 1,2 y 3 tienen personal en exceso al igual que equipo para producir sin importar el tamaño o combinaciones de tamaño que se fabriquen, sin embargo, la cantidad de espacio que existe de almacén impone una restricción en los rangos de producción.

Las plantas 1, 2 y 3 poseen 9000, 8000 y 3,800 m2 de área de almacén que pueden ser utilizadas, respectivamente.

Cada unidad de los tamaños grande, mediano y chico requiere 20, 15 y 12 m2 respectivamente.

Las predicciones de venta indican que 600, 800 y 500 unidades de los tamaños grande, mediano y chico cuando menos deben ser vendidos para mantener una carga uniforme de trabajo.

PROBLEMA 7

Una compañía de publicidad esta planeando una campaña de anuncios con un presupuesto de $10 000000.00. Esta considerando dos medios: anuncios de $100,000.00 en la radio, o comerciales de $200,000.00 en televisión. Cada anuncio en la radio llega a una audiencia de 12,000 escuchas y cada comercial en televisión es visto por 20,000 personas. La compañía quiere maximizar la audiencia total, pero también está preocupada por dos grupos específicos dentro de esta audiencia: mujeres entre los 21 y 35 años y hombres mayores de 40. La compañía quiere llegar por lo menos a 10,000 de estas mujeres y a 8,000 de los hombres. Los medios de difusión han proporcionado los siguientes datos:

DIVULGACIÓN POR ANUNCIOMujeres (21-35) Hombres (más de 40)

Radio 2,000 1,500TV 4,000 5,000

Formule un modelo de programación lineal

PROBLEMA 8

La empresa Juguetes Mexicanos S.A., desea producir 3 tipos de juguetes. Ellos encontraron que un modelo de lancha implica: una operación de corte de madera de 1 hora, 2 horas de pintura y 4 horas de ensamble; el precio por unidad es de $100.00. Un modelo de automóvil requiere: 3 horas de corte, 3 horas de pintura y 2 horas de ensamble y cada unidad se vende a $90.00. Un modelo de comedor implica: 2 horas de tiempo de corte, 2 horas de pintura y 1 hora de ensamble y cada unidad se vende en $95.00. La disponibilidad: de tiempo de corte es de 1,000 horas, de pintura 900 horas y de 1,200 horas para el ensamble.

Los costos de los materiales necesarios para producir una unidad de producto son: $28.00/ lancha; $32.00/ automóvil y $24.00/comedor. Por otra parte, cada hora de tiempo cuesta $10.00 por corte, $8.00 para pintura y $9.00 para ensamble. La empresa juguetera firmó un contrato con el Consorcio Gigante, S.A. de C.V., en el que la primera, se compromete a entregar en exclusiva a más tardar el 13 de diciembre un lote de lanchas y autos, que al menos sumen 25,000. También se sabe que la demanda de comedores es de 4,500.

Formule un modelo de programación lineal, que maximice la utilidad neta total.

PROBLEMA 9

La Sucursal Noreste de Bimbo, S.A. necesita comprar un lote adicional de automóviles para el personal de la empresa. Tal necesidad se deriva del programa de Contingencia Ecológica del Departamento del Distrito Federal. La empresa tomará la decisión de compra considerando la información de la tabla anexa, y la oferta de la distribuidora de automóviles de conseguir las placas con las calcomanías correspondientes con los colores deseados.

Lunes Martes Miércoles Jueves ViernesColores que Rosa Rosa Rojo Rojo Azuldescansan Amarillo Azul Verde Verde AmarilloUnidades de 54 54 54 54 54la compañíaUnidades 41 41 41 41 41necesariasUnidades 21 18 24 24 19que descansanDiferencia 33 36 30 30 35Se requiere 8 5 11 11 6adicionarFormule un modelo de programación lineal que resuelva el problema.

PROBLEMA 10

La Sra. Marqués tiene un pequeño negocio de aguas frescas preparadas, al momento. Su capacidad máxima de producción es de 200 litros por día. Sus productos principales son limonadas y naranjadas. El precio por litro de limonada es de $6 y de $5 para el litro de naranjada. Ella utiliza 15 mitades de limón y 0.25 kg. de azúcar para preparar un litro de limonada y 8 mitades de naranja y 0.2 kg. de azúcar para preparar un litro de naranjada. La disponibilidad de limones es de 302 unidades y de 274 naranjas. Respecto al azúcar cuenta

únicamente con 25 kg. Si el ciento de limones cuesta $10.00, el de naranjas $8 y el kilogramo de azúcar $5.

¿Cuántos litros de limonada y cuántos de naranjada deberá preparar la Sra. Marqués para optimizar la utilidad neta total?

PROBLEMA 11

El Sr. Jiménez ha recibido $225 000.00 por su seguro de retiro y bonificaciones por antigüedad en su trabajo. El desea invertir en acciones y bonos bancarios en una institución de crédito. El juzga maximizar el rendimiento de su inversión sabiendo que las acciones deben de ser no más de 80% del total y deben de ser por lo menos el 20%. En cuanto a los bonos su asesor le recomienda comprar a lo más el 75% y cuando menos el 10% del total. También se sabe que existe un bono que resulta en particular interesante y quiere invertir en el, por lo menos $100,000. Se estima que la tasa de rendimiento en bonos es del 17% y en acciones del 12%. ¿Cuánto debe invertirse en bonos y cuánto en acciones?. Formule el modelo de programación lineal

PROBLEMA 12

Después de analizar las condiciones de mercado de una fábrica de tabacos produce sus ventas en los 4 siguientes trimestres:

Trimestre 1 2 3 4Valor esperado 712 578 547 1216 (En miles de paquetes)

El problema es determinar su producción en los cuatro trimestres para minimizar el costo de producción. La fábrica opera en 2 turnos con capacidades límites de 550 y 453 respectivamente (en miles de paquetes por trimestre). El costo de producir 1000 paquetes $600 en el primer turno y $736 en el segundo.

Formule el modelo de programación lineal.

PROBLEMA 13

Una compañía tiene tres plantas que manufacturan un cierto producto el cual se distribuye en 4 centros de demanda. Las plantas 1, 2 y 3 producen respectivamente, 12, 17 y 11 cargas por mes. Cada centro de demanda recibe 10 cargas por mes. La distancia en kilómetros de cada planta a cada uno de los centros se presenta en la tabla:

Centros de distribuciónPlanta 1 2 3 4

1 800 1300 400 7002 1100 1400 600 10003 600 1200 800 900

El costo de cada carga es de $100 más $0.50 por kilómetro recorrido. ¿Cómo debería ser el plan de transporte

para minimizar el costo total de distribución?


PROBLEMA 14

Un distribuidor de productos planea vender paquetes de productos A y B mezclados. Cada paquete pesa por lo menos 2 kilos. Tres tipos de productos A y B componen el paquete y se compra en lotes de 200 kilos. Los tipos 1, 2 y 3 cuestan respectivamente $20, $8 y $12 además:

El peso de los tipos 1 y 2 no debe ser mayor de 1.6 kilos El peso combinado de los tipos 1 y 3 debe ser al menos la mitad del peso total del paquete Cualquier tipo de producto B debe ser al menos el 10% del paquete total. Se desea encontrar la

composición del paquete que ocasione un costo mínimo


PROBLEMA 15

Una compañía de transporte dispone $400 000.00 para compra de nuevo equipo considerando tres tipos de vehículos. El vehículo A puede transportar 10 toneladas con velocidad promedio de 35 KM/HRA. y el costo de $8000. El vehículo B con capacidad de 20 toneladas, 30 KM/HRA. y un costo de $13000. El modelo C de 18 toneladas 30 KM/HRA. y costo $15000. El equipo A requiere una tripulación de un hombre y si se opera durante tres turnos por día, puede trabajar un promedio de 18 hrs/día. Los modelos B y C requieren una tripulación de 2 hombres c/u mientras que B se puede trabajar 18 horas/día en 3 turnos, C puede promediar 21 horas/día. La compañía dispone de 150 choferes por día, debe exceder de 30. Cuántos vehículos de cada tipo debe comprar la compañía. Si busca maximizar las toneladas-km por día?


PROBLEMA 16

Una compañía fabrica 2 clases de cinturones de piel. El cinturón A es de alta calidad, y el B es de baja calidad. La ganancia respectiva por cinturón es de $0.40 y $0.30. Cada cinturón de tipo A requiere el doble del tiempo que el que usa el de tipo B, y si todos los cinturones fueran de tipo B, la compañía podría fabricar 1,000 al día. El abastecimiento de piel es suficiente únicamente para 800 cinturones diarios ( A y B combinados). El cinturón A requiere una hebilla elegante, de las que solamente se dispone de 400 diarias. Se tiene únicamente 700 hebillas al día para el cinturón B. Establezca las ecuaciones de programación lineal para el problema.

PROBLEMA 17

Un carpintero elabora mesas, sillas, escritorios y libreros y desea saber que cantidad de cada uno de ellos deberá producir con objeto de maximizar sus ganancias, dado que cuenta con un suministro limitado de madera de dos tipos y una mano de obra también limitada. Cuenta con 1500 pies de madera No. 1, 1000 pies 2 de madera No. 2 y 800 hrs.-hombre. Existen también ciertos compromisos que el ha contraído para la fabricación de algunos muebles.

Los datos de fabricación son los siguientes:

Las mesas consumen 5 pies 2 de madera No. 1 y 2 pies 2 de madera No. 2, así como 3 hrs-hombre. El carpintero se comprometió a fabricar 40 de estas mesas. La ganancia obtenida por mesa es de $1200.00.

Las sillas consumen 1 pie 2 de madera No. 1 y 3 pies 2 de madera No. 2 y requiere 2 hrs.-hombre. Existe el compromiso de entregar 130 de ellas. La ganancia por silla es de $50.00

Los escritorios llevan 9 pies 2 de madera No. 1 y 4 pies 2 de madera No. 2, necesitándose 5 hrs.-hombre. Existe el compromiso por 30 de ellos. Ganancias por escritorio de $150.00

El carpintero sabe que puede vender todo lo que produzca de mesas, sillas y escritorios. Los libreros utilizan 12 pies 2 de madera No. 1, 1 pie 2 de madera No. 2 y llevan 10 hrs.-hombre. El

sabe que puede vender como máximo 10 libreros y obtiene una ganancia de 100.00 por cada uno.


PROBLEMA 18

El Ing. Juan F. González dirige un rancho experimental para la cría de cabras y desea alimentar a sus animales correctamente aprovechando al máximo sus recursos. Cuenta con 10 sementales y 300 animales de vientre y posee información de sus necesidades alimenticias en productos básicos así como en la aportación de esos productos.

Calorías de 2,600 a 2,800 unidades diarias

Proteínas de 1,600 a 2,000 unidades diariasPor cabra al día Minerales de 770 a 890 unidades diarias

Vitamina A de 8,000 a 9,000 unidades diariasKilos de alimento de 3.5 a 6.0 kilos

Vitamina Proteína Minerales Vitamina

1.20 Alfafa2.30 Sorgo0.30 Pastura

3.90 Unidad Compuesta

Formule un modelo de programación lineal para determinar qué cantidad de cada alimento debe estar contenida en la mezcla, para minimizar los costos de alimentación.

PROBLEMA 19

La compañía SOMEX produce refrigeradores, estufas y lavadoras. Durante el año entrante se eso era que las ventas sean las siguientes:

Producto Trimestre1 2 3 4

Refrigeradores 2000 1500 3000 1000Estufas 1500 1500 1000 1500Lavadoras 1000 3000 1500 3000La compañía desea programar su producción para que cada trimestre satisfaga los requisitos de demanda. La gerencia ha decidido que el nivel de inventario para cada producto sea de al menos 100 unidades al final de cada trimestre. Al principio del primer trimestre no existe inventario de ningún producto.

Durante un trimestre solo se tienen 8500 hrs. de producción disponibles. Un refrigerador requiere 0.5 hrs. una estufa 2 hrs. y una lavadora 1.5 hrs. de tiempo de producción. Los refrigeradores no pueden manufacturarse en el cuarto trimestre debido a que la compañía planea modificar las herramientas para una nueva línea de producto.

Suponga que cada artículo dejado en inventario al final de un trimestre incurre en un costo de $5 por llevarlo han inventario. La compañía desea una planeación de su producción que no exceda la limitación de tiempo de producción, que satisfaga las demandas de cada trimestre y los requerimientos de inventarios, y que mantenga los costos por llevar el inventario a su mínimo valor.

Sea Rt, St y Dt, el número de refrigeradores, estufas y lavadoras fabricadas en el periodo t. Defina, cualquier otro símbolo que necesite . Demuestre que el problema se puede formular como un problema de programación lineal.

PROBLEMA 20

Una empresa desea publicitar un producto nuevo en base a un presupuesto de $600,000 que se puede invertir en televisión y revistas. Cada comercial de televisión cuesta $8,000 y se estima que lo ven 100,000 personas; por otro lado, cada anuncio de revista cuesta $4,000 y se estima que lo ven 25,00 personas. Ya sea decidido colocar cuanto menos tres anuncios en revistas. Además se sabe que conviene tener por lo menos tantos comerciales de televisión como anuncios en revistas.

Formule el problema con programación lineal.

PROBLEMA 21

FARMA tiene tres plantas de producción y 2 centros de distribución. Las capacidades de producción de las

plantas A, B, C, y las demandas de los centros de distribución D, E, así como los costos de flete, se dan han la matriz incompleta de transporte. Existen además las siguientes condiciones:

la planta A nunca abastece el centro de consumo D. Por otra parte la producción que se queda en las plantas origina costos de almacenamiento por cada unidad. En la planta A $10, en la B $20 y en la C $5.

D E F

A 50 1000B 30 40 500C 20 60 800

1200 800Con esta información:

Completar la tabla Obtener la solución óptima.

PROBLEMA 22

Formular el modelo de programación lineal que optimizaría el costo en la preparación de un alimento para cerdos que requiere las condiciones nutricionales y las materias primas integrantes de la mezcla, que se dan en la tabla. En la misma tabla se presentan los costos de cada materia prima.

Materia prima diaria Kg. maiz Kg. grasas Kg. alfalfa Req. mínimoCarbohidratos 90 20 40 200Proteínas 30 80 60 180Vitaminas 10 20 60 150Costo $/Kg 3 8 6

Formule el modelo de programación lineal correspondiente Identifique un caso especial del simplex, explicando el porque se manifiesta.

PROBLEMA 23

Una pastelería debe hacer dos tipos de pasteles en sabores de chocolate y fresa, los cuales tienen una utilidad de $55 y $40 respectivamente. El pastel de chocolate requiere 45 minutos de horneado y 10 huevos; para el pastel de fresa se requiere de 35 minutos de horneado y 8 huevos. Para tal propósito se dispone de 16 horas de horneado y 200 huevos. Además, se sabe que aunque la demanda puede ser la misma, por motivos de mercado no de conviene vender más de 30 pasteles de chocolate y de los de fresa debe vender al menos 25.


PROBLEMA 24

La fabrica de muebles " AGUILAR " produce escritorios, mesas y sillas. La manufactura de cada mueble requiere de madera y de dos tipos de trabajo especializado: acabado y carpintería. La a cantilada que se necesita de cada recurso para producir cada tipo de mueble se muestra en la siguiente tabla. Se cuenta con 16 (m2) de madera, 20 horas de acabado y 8 horas de carpintería. Se vende un escritorio a $400, una mesa a 200 y una silla a $100. La Cía. sabe que a lo mas puede vender 5 mesas. La Cía. requiere maximizar el ingreso total.

Verifique las unidades de cada una de las relaciones del modelo primal Determine las unidades de las variables duales y Verifique la unidades de cada relación del modelo

dual.

Tabla de recursosRecursos Esritorio Mesas SillasMadera m2 8 6 1Acabado hrs. 4 2 1.5Carpintería hrs. 2 1.5 0.5Formule el modelo de programación lineal

PROBLEMA 25

Una persona fabrica y vende dos tipos de bombas hidráulicas, bomba normal y extragrande. El proceso de manufactura asociado con la fabricación de bombas implica tres actividades: Ensamblado, pintura y pruebas (control de calidad). Los requerimientos de recursos para ensamble, pintura y pruebas de las bombas se muestran en la siguiente tabla. La contribución a las utilidades por la venta de una bomba normal es $50.00 en tanto que la utilidad por una bomba extragrande es por la venta de una bomba extragrande es $75.00. Existe disponibles por semana 4800 horas de tiempo de ensamble, 1980 horas de tiempo de pintura y 900 horas de tiempo prueba. Las experiencias anteriores de venta señalan que la compañía espera vender cuando menos 300 bombas normales y 180 de las extragrandes por semana.

Tipo Ensamble Tiempo de pintado PruebaNormal 3.6 1.6 0.6Extragrande. 4.8 1.8 0.6Formule el modelo de programación lineal.

PROBLEMA 26

Banco Monterrey se encuentra en el proceso de formular su política de préstamos para el próximo trimestre. Para ese fin se asigna un total de $12 millones. Siendo una institución de servicios integrales, está obligado a otorgar préstamos a diversos clientes. La tabla que sigue señala los tipos de préstamos, la tasa de interés que cobra el Banco y la posibilidad de que el cliente no cubra sus pagos, irrecuperables o incobrables, según se estima por experiencia.

Tipo de préstamo Tasa de interés Probabilidad de incobrablesPersonal 0.140 0.10Automovil 0.130 0.07Casa habitación 0.120 0.03Agrícola 0.125 0.05Comercial 0.100 0.02Se supone que los pagos que no se cubren son irrecuperables y, por lo tanto, no producen ingresos por concepto de intereses. La competencia con otras instituciones financieras del área requiere que el Banco asigne cuando menos el 40% de los fondos totales a los préstamos agrícolas y comerciales. Para dar asistencia a la industria de la habitación en la región. los préstamos para casa habitación deben ser iguales cuando menos al 50% de los préstamos personales, para automóvil y para casa habitación. El banco tiene asimismo, una política establecida que especifica que la relación global de pagos irrecuperables no pueden ser superior a 0.04.


PROBLEMA 27

Un pequeño banco asigna un máximo de $20000 para préstamos personales y para automóvil durante el mes siguiente. el banco cobra una tasa de interés anual del 14% a préstamos personales y del 12% a préstamos para automóvil. Ambos tiempos de prestamos se saldan en periodos de 3 años. El monto de los préstamos para automóvil debe ser cuando menos dos veces mayor que el de los prestamos personales. La experiencia pasada a demostrado que los adeudos no cubiertos constituyen el 1% de todos los préstamos personales. ¿Como deben asignarse los fondos?.


PROBLEMA 28

Jugos Vegetales tiene un contrato anterior para recibir 60 000 Kilos de tomates maduros a $7/Kg. de las cuales producirá jugo de tomate y puré de tomate enlatados. Los productos enlatados se empacan en cajas de 24 latas cada una. Una lata de jugo requiere ½ kilo de tomates frescos en tanto que una de puré requiere sólo 1/6 Kg. La partición de la compañía en el mercado está limitada a 2000 cajas de jugo y 6000 cajas de puré. los precios al mayoreo por caja y de puré son $18 y $9, respectivamente. Genere un programa de producción para esta compañía.


PROBLEMA 29

Una planta armadora de radios produce dos modelos, 1 y 2 en la misma línea de ensamble. la línea de

ensamble consta de 3 estaciones. Los tiempos de ensamble en las estaciones de trabajo son:

Minutos por unidadEstación de trabajo 1 2

1 6 42 5 53 4 6

Cada estación de trabajo tiene una disponibilidad máxima de 480 minutos por día. Sin embargo, las estaciones de trabajo requieren mantenimiento diario, que contribuye al 10%, 14% y 12% de los 480 minutos totales de que se dispone diariamente para las estaciones 1, 2 y 3, respectivamente. La compañía desea determinar las unidades diarias que se ensamblarán del modelo 1 y 2 a fin de minimizar la suma de tiempos no ocupados (inactivos) en las tres estaciones.


PROBLEMA 30

Una compañía de productos electrónicos produce 2 modelos diferentes de radios, cada uno en una línea de producción de volumen diferente. La capacidad diaria de cada línea es de 60 y 75 radios respectivamente. Cada unidad del primer modelo utiliza 10 piezas de cierto componente electrónico en tanto que cada unidad del segundo modelos requiere 8 piezas del mismo componente. La disponibilidad diaria máxima del componente especial es de 800 piezas. La ganancia por unidad de los modelos 1 y 2 es $30 y $20, respectivamente. Determine la producción diaria óptima de cada modelo de radio.


PROBLEMA 31

Dos productos se elaboran al pasar en forma sucesiva por tres máquinas. El tiempo por máquina asignado a los 2 productos esta limitado a 10 horas por día. El tiempo de producción y la ganancia por unidad de cada producto son:

Minutos por unidadProducto Máquina 1 Máquina 2 Máquina 3 Ganancia

1 10 6 8 2.002 5 20 15 3.00

Determine la combinación óptima de los dos productos.


PROBLEMA 32

Una compañía puede anunciar su producto mediante el uso de estaciones de radio y televisión locales. Su presupuesto limita los gastos en publicidad a $1000 por mes. Cada minuto de anuncio en la radio cuesta $5 y cada minuto de publicidad en televisión cuesta $1000. La compañía desearía utilizar la radio cuando menos 2 veces más que la televisión. La experiencia pasada muestra que cada minuto de publicidad por televisión genera en términos generales 25 veces más ventas que cada minuto de publicidad por la radio. Determine la asignación óptima del presupuesto mensual para anuncios por radio y televisión.


PROBLEMA 33

Una compañía elabora 2 tipos de sombreros. Cada sombrero del primer tipo requiere dos veces más tiempo de mano de obra que un producto del segundo tipo. Si todos los sombreros son exclusivamente del segundo tipo, la compañía puede producir un total de 500 unidades al día. El mercado limita las ventas diarias del primero y segundo tipos a 150 y 200 unidades. Supóngase que la ganancia que se obtiene por producto es de $8 para el tipo 1 y $5 para el tipo 2. Determine el número de sombreros de cada tipo que deben elaborarse para minimizar la ganancia. Formule el modelo de programación lineal.

PROBLEMA 34

Una compañía manufacturera descontinuó la producción de cierta línea de productos no redituable. Esto creó un exceso considerable en la capacidad de producción. La gerencia requiere dedicar esta capacidad a uno o más de tres productos; llámense productos 1, 2 y 3. En la siguiente tabla se resume la capacidad disponible de cada máquina que puede limitar la producción:

Tiempo disponibleTipo de máquina (en horas - máquina por semana)

Fresadora 500Torno 350Rectificadora 150El número de horas-máquina que se requiere para cada unidad de los productos respectivos es:

Coeficiente de productividad (en horas-máquina por unidad)

Tipo de máquina Producto 1 Producto 2 Producto 3Fresadora 9 3 5Torno 5 4 0Rectificadora 3 0 2El departamento de ventas ha indicado que las ventas potenciales para los productos 1 y 2 exceden la tasa máxima de producción y que las ventas potenciales del producto 3 son 20 unidades por semana. La ganancia unitaria sería de $50, $20 y $25, respectivamente, para los productos 1, 2 y 3. El objetivo es determinar cuántos productos de cada tipo debe producir la compañía para maximizar la ganancia.


PROBLEMA 35

Un fabricante de televisores tiene que decidir el número de unidades de 27 y 20 pulgadas que debe producir en una de sus plantas. La investigación de mercado indica que se pueden vender a lo más 40 unidades de 27 pulgadas y 10 unidades de 20 pulgadas cada mes. El número máximo de horas de trabajo disponibles es 500 por mes. Un televisor de 27 pulgadas requiere 20 horas de trabajo y uno de 20 pulgadas requiere 10 horas de trabajo. Cada unidad de 27 pulgadas vendida produce una ganancia de $120 y cada de 20 pulgadas produce una ganancia de $80. Un distribuidor está deacuerdo en comprar todos los televisores producidos si los números no exceden los máximos indicados por la investigación de mercado.

Formule un modelo de programación lineal Resuelva este modelo gráficamente

PROBLEMA 36

Una compañía fabrica tres productos que requieren recursos P y Q. La gerencia requiere determinar cuántas unidades de cada producto fabricar de manera que se maximice, la ganancia. Para cada unidad del producto 1 se requiere 1 unidad del recurso P y2 unidades del recurso Q. Para cada unidad del producto 2 se requieren 3 unidades del recurso P y 2 del recurso Q. La compañía tiene 200 unidades del recurso P y 300 del recurso Q. Cada unidad del producto 1 da una ganancia de $1 y cada unidad del producto 2, hasta 60 unidades, da una ganancia de $2. No se obtienen ganancias por fabricar más de 60 unidades del producto 2, el exceso deberá desecharse.

Formule un modelo de programación lineal Resuelva este modelo gráficamente ¿Cuál es la ganancia total que resulta?

PROBLEMA 37

Una compañía de seguros está introduciendo dos nuevas líneas de productos: seguro de riesgos especiales e hipotecas. La ganancia esperada es 5 por unidad sobre el seguro de riesgos especiales y 2 por unidad sobre hipotecas. La administración requiere establecer las cuotas de venta para las nuevas líneas de productos al fin de maximizar la ganancia esperada. los requerimientos de trabajo son los siguientes:

Horas de trabajo por unidadDepartamentos disponibles Riesgo especial Hipotecas Horas de trabajo

Procesamiento 3 2 2400Administración 0 1 800Reclamaciones 2 0 1200


PROBLEMA 38

Usted es el gerente de producción de una fábrica de tres tipos de refacciones para automóviles. La fabricación de cada parte requiere procesamiento en dos máquinas, con los siguientes tiempos de procesamiento (en horas):

RefacciónMáquina A B C

1 0.02 0.03 0.052 0.05 0.02 0.04

Cada máquina esta disponible 40 horas al mes. La ganancia unitaria de cada parte fabricada está dada por:

RefacciónMáquina A B C

1 50 40 30Usted quiere determinar la mezcla de refacciones que debe producir para maximizar la ganancia total.

Formule el modelo de programación lineal para este problema.

PROBLEMA 39

La siguiente tabla resume los hechos importantes sobre dos productos, A y B, y los recursos Q, R y S, requeridos para producirlos.

Recursos utilizados por unidad de productosRecursos disponibles Producto A Producto B Cantidad recursos

Q 2 1 2R 1 2 2S 3 3 4

Ganancia por unidad 3 2Todas las suposiciones de programación lineal se cumplen

Formule un modelo de programación lineal Resuelva este modelo gráficamente

PROBLEMA 40

Suponga que acaba de heredar $6000 y desea invertirlos. Al oír esta noticia dos amigos distintos le ofrecen la

oportunidad de participar como socio en dos negocios, cada uno planeado por cada amigo. En ambos casos, la inversión significa dedicar un poco de tiempo el siguiente verano, al igual que invertir efectivo. Con el primer amigo al convertirse en socio completo tendría que invertir $5000 y 400 horas, y su ganancia estimada (ignorando el valor de su tiempo) sería $4500. Las cifras correspondientes a la producción del segundo amigo son $4000 y 500 horas, con una ganancia estimada de $4500. Sin embargo, ambos amigos son flexibles y le permitirían entrar en el negocio con cualquier fracción de la sociedad; la participación en las utilidades sería proporcional a esa fracción. Como de todas maneras usted es tá buscando un trabajo interesante para el verano (600 horas a lo sumo), ha decidido participar en una o ambas propuestas, con la combinación que maximice la ganancia total estimada. Es necesario que resuelva el problema de obtener la mejor combinación.


PROBLEMA 41

Un Centro Comercial vende 2 tipos de bebidas no alcohólicas: el refresco de cola comercial y la marca propia del refresco de cola, más económica. El margen de utilidad del primero es de 5 centavos por lata, mientras que la utilidad del segundo suma una ganancia bruta de 7 centavos por lata. En promedio, el centro Comercial no vende mas de 500 latas de ambas bebidas de cola al día. Aun cuando el primero es una marca más conocida, los clientes tienden a comprar más latas de la marca propia del centro comercial, porque es considerablemente más económica. Se calcula que las ventas de la marca propia superan a las ventas de la marca conocida en una razón de 2.1 por lo menos. Sin embargo, el centro comercial vende, como mínimo, 100 latas de la marca conocida al día.

¿Cuantas latas de cada marca debe tener en existencia el centro comercial diariamente para maximizar su utilidad?

Formule un modelo de programación lineal

PROBLEMA 42

Una Compañía ensambla 2 tipos de gabinetes de cocina de madera precortada : regulares y el de lujo. Los gabinetes regulares están pintados de blanco y los de lujo están barnizados. Tanto la pintura como el barnizado se lleva acabo en un departamento. La capacidad diaria del departamento de ensamble puede producir un máximo de 200 gabinetes regulares y 150 de gabinetes de lujo. El barnizado de un gabinete de lujo se lleva el doble de tiempo que pintar uno regular. Si el el departamento de pintura/barnizado se dedica únicamente a las unidades de lujo, terminaría 180 unidades diarias. La compañía calcula que las utilidades por unidad de los gabinetes regulares y de lujo son de 100 y 140 dólares, respectivamente.

Formule el modelo de programación lineal y encuentre el programa de producción óptima por día.

PROBLEMA 43

Laboratorios Pinol fabrica dos productos de limpieza para el hogar, A y B, procesando dos tipos de materia

prima y II . El procesamiento de una unidad de materia prima cuesta 8 dólares y produce .5 unidad de solución B. Además, el procesamiento de una unidad de materia prima II cuesta 5 dólares y produce .6 unidad de solución A y .4 unidad de solución B. La demanda diaria de la solución A es entre 10 y 15 unidades y la de la solución B es entre 12 y 20 unidades.


PROBLEMA 44

Cooperativa eléctrica Monclova, es propietaria de una planta generadora de energía con turbinas de vapor. Debido a que Monclova es rica en depósitos de carbón, la planta genera vapor con carbón. sin embargo, esto crea el problema de satisfacer los estándares de emisión. Las regulaciones de la Agencia de Protección Ambiental limitan la descarga de bióxido de azufre a 2000 partes por millón y la descarga de humo de las chimeneas de la planta a 20 libras por hora. La cooperativa recibe dos grados de carbones pulverizados, C1 y C2, para ser utilizados en la planta. Por lo común, los dos grados se mezclan antes de quemarlos. Por si simplicidad, supondremos que el contaminante de azufre de la mezcla ( en partes por millón ) es un promedio ponderado de la proporción de grado empleado en la mezcla. Los siguientes datos se basan en el consumo de 1 tonelada por hora de cada uno de los dos grados de carbón.

Descarga de azufre Descargas de humo Valor generadoGrado de carbón en partres por millón en libras por hora en libras por hora

C1 1800 2.1 12,000C2 2100 0.9 9,000

Determine la proporción óptima para mezclar los dos grados de carbón. Determine el efecto de relajar el límite de descarga de humo 1 libra sobre la cantidad de vapor

generado por hora.

PROBLEMA 45

La División de Educación Continua ofrece un total de 30 cursos cada semestre. Los cursos que ofrece generalmente son de dos tipos: prácticos, como trabajos de madera, procesador de palabras y mantenimiento de automóviles y humanísticos, como historia, música y bellas artes. Para satisfacer las demandas de la comunidad, es necesario ofrecer por lo menos 10 cursos de cada tipo, cada semestre. La División calcula que los ingresos por ofrecer esos cursos prácticos y humanísticos son aproximadamente 1500 y 1000 dólares por curso, respectivamente.


PROBLEMA 46

DACS de México S. A. de C. V., consultora de sistemas, desarrolladora de sistemas de información, y

distribuidora de equipo de computo, ubicada en el D. F., cuenta con 50 equipos de computo, con objeto de distribución, de los cuáles CELANESE MEXICANA, planta Zacápu, mich. requiere 20 equipos, planta Ocotlan, Jal. requiere 18 equipos, planta Toluca requiere 10 equipos, oficinas corporativas D. F. requiere 15 equipos. El costo en pesos del transporte, a las mencionadas es la siguiente:

Distribución (=>) Zacapú, Ocotlán, Toluca DistritoDistribuidor Jalisco Jalisco Federal

D.F. 250 550 200 80 Formule el modelo de programación lineal.

PROBLEMA 47

En Banamex se requiere el siguiente número de personal para dar soporte a la red de esta institución:

Horas 2-6 6-10 10-14 14-18 18-22 22-2Personas 6 10 4 10 5 3Cada persona labora 8 horas consecutivas al día. Formular el problema de programación lineal si se desea obtener el número mínimo de personal para la satisfacción de las anteriores restricciones.

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Ejercicios Unidad II- Lindo -