EJERCICOS ESTADÍSTICA

2014Llanos palacios, enzo.

Estadística aplicada

Facultad de Ingeniería civil

Trabajo Práctico

Solución de ejercicios

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA Facultad de Ingeniería civil


1.- Se seleccionan tres canicas de una urna que contiene cinco canicas rojas y tres verdes. Después de registrar el número X de canicas rojas, las canicas se reemplazan en la urna y el experimento se repite 112 veces. Los resultados que se obtienen son los siguientes:

Pruebe la hipótesis con un nivel de significancia de 0.05 de que los datos registrados se pueden ajustar con una distribución hipergeométrica h (x; 8, 3, 5), x = 0, 1, 2, 3.

Datos:Variable aleatoria X: números de canicas rojas.Repeticiones del experimento m = 112 veces.

Hipótesis nula H0: X ~ h(x, 8, 3, 5) x = 0, 1, 2, 3.Hipótesis alternativa H1: es falso.

Nivel de significancia α = 0.05.

Incógnita: Rechazo o No Rechazo de la hipótesis nula.

Solución:

Aplicando la distribución hipergeométrica a nuestros datos:

P(x = 0)=

(5 ¿ ) ¿¿

¿¿¿¿e0 = (112)*(0.01786) = 2.

P(x = 1)=

(5 ¿ ) ¿¿

¿¿¿¿e1 = (112)*(0.26786) = 30.

SOLUCIÓN DE EJERCICIOS Página 2 de 4

X ~ h(x, N, n, k) => P(x = xi) =

(k ¿ ) ¿¿

¿¿¿¿ x = 0, 1, 2, 3... n.

x 0 1 2 3

f 1 31 55 25



P(x = 2)=

(5 ¿ ) ¿¿

¿¿¿¿e2 = (112)*(0.53571) = 60.

P(x = 3)=

(5 ¿ ) ¿¿

¿¿¿¿e3 = (112)*(0.17857) = 20.

I xi P(x = xi) ei = mpi oi j1 0 0.01786 2 1 12 1 0.26786 30 313 2 0.53571 60 55 24 3 0.17857 20 25 3

Totales ~ 1 112 112

Combinamos las clases adyacentes, donde las frecuencias esperadas son menores que cinco. En consecuencia, el numero total de intervalos se reduce de cuatro a tres, lo que tiene como resultado υ = 2 grados de libertad.

Utilizando Teorema :

Con nuestros datos, el

valor χ2

está dado entonces por:

χ2=∑i=1

n (o i−ei )2

ei

=(32−32 )2

32+

(55−60 )2

60+

(25−20 )2

20=0+ 25

60+ 25

20=1. 667

Para un nivel de significancia igual a α, encontramos el valor crítico χ α2

de la tabla A.5., y entonces χ2> χα

2constituye la

región critica.

Con el uso de la tabla A.5., encontramos χ0 .052

= 5.991 con υ = 2 grados de libertad.

Respuesta:

Como χ2< χα

2, 1.667 < 5.991, No se rechaza la hipótesis nula. Concluimos que no hay

suficiente evidencia para sospechar que la distribución no es hipergeométrica.


Una prueba de la bondad de ajuste entre las frecuencias observadas y esperadas se basa en la cantidad

χ2=∑i=1

n (o i−ei )2

ei

Donde χ2

es un valor de una variable aleatoria cuya distribución muestral se aproxima muy de cerca con la

distribución ji cuadrada con υ = k – 1grados de libertad. Los símbolos o

i y e

i representan las frecuencias observada y esperada, respectivamente, para la i-ésima celda.



2.- Se Cuando X1, X2…Xn . son variables de Poisson independientes. Cada una con parámetro λ y n es grande, la media maestral tiene aproximadamente una distribución normal con µ = E () = λ y σ2 = V () = λ / n. Esto implica que:

z= x− λ

√ λ/n

Tiene aproximadamente una distribución normal estándar Para probar H0: λ= λ0, se puede reemplazar λ con λ en la ecuación para Z para obtener un estadístico de prueba. Normalmente se prefiere este estadístico a estadístico de muestra grande con denominador s/√n(cuando las x i son Poisson) porque está explícitamente hecho a la medida de la suposición de Poisson. Si el número de solicitudes de consultoría recibidas por un cierto estadístico durante una semana de trabajo de cinco días tiene una distribución de Poisson y el número total de solicitudes de consultoría durante un periodo de 36 semanas es de 160, ¿sugiere esto que el número promedio de solicitudes semanales excede de 4.0? Haga la prueba con α=0.02.

Solución:

Queremos contrastar H0: l=4 vs H0: l>4 utilizando la prueba estadística z=x−4

√4 /n .

Para la muestra dada, n = 36 y =16036 =4.444; si z=4.444−4

√4/36=1.33 . A nivel de 0.02,

rechazamos H0 y z ≥z0.02 & 2.05 (desde 1- Φ (2.05)=0.202). Debido a 1.33 no es ≥2.05.

Respuesta:

Ho, no debe ser rechazada en este nivel.


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