SEMINARSKI RAD

Predmet: Matematika

EKSTREMI FUNKCIJA DVIJE PROMJENLJIVE

1. EKSTREMI FUNKCIJA DVIJE PROMJENLJIVE

1.1. Lokalni ekstrem funkcije dvije promjenljive

Definicija 2.1. za datu funkciju z = f (x, y ) koja je definisana na skupu D, kažemo da u tački

Mo ( Xo , Yo ) є D ima:1

a) lokalni minimum, ako postoji δ > 0 tako da je

f (x,y ) > f ( Xo, Yo ) (1)

za sve tačke (x, y) iz δ – okoline tačke Mo, različite od Mo.

b) b) lokalni maksimum, ako postoji δ > 0 tako da je

f ( x, y) < f ( Xo, Yo ) (2)

za sve tačke (x, y) iz δ – okoline tačke Mo, različite od Mo.

Ako u nejednakostima (1), odnosno (2), vrijede znakovi „>“, odnosno „<“, govorićemo o

strogom lokalnom minimumu, odnosno strogom lokalnom maksimumu.

(Strogi) lokalni minimum, odnosno (strogi) lokalni maksimum zovemo jednim imenom

(strogi) lokalni ekstremi.

Ukoliko bi nejednakosti (1) i (2) vrijedile za sve tačke (x,y) є D, onda bi umjesto o lokalnim

govorili o globalnim ekstremima.

Da bi tačka Mo ( Xo, Yo) bila ekstrem funksije z = f (x, y) moraju biti ispunjeni uslovi:

f'x (Xo, Yo) = 0 i f'y (Xo, Yo) = 0.

1 Matematika za ekonomiste; Dževad Zečić, Almir Huskanović, Hermina Alajbegović, Zenica,2009 str. 175

2

Definicija 2.2. Rješenja sistema jednačina f'x = 0 ^ f'y = 0 zovemo stacionarnim tačkama

funkcije z = f ( x,y ).

Svaki ekstrem funkcije z = f ( x,y ) je stacionarna tačka, al obrnuto ne vrijedi. Postupak

ispitivanja da li je stacionarna tačka ekstrem ili ne, te ako jeste ekstrem, da li je lokalni

minimum ili lokalni maksim je slijedeći:

Za datu stacionarnu tačku Mo ( Xo, Yo ) izračunamo brojeve

A = f xx ( Xo, Yo), B = fxy (Xo, Yo), C = fyy ( Xo, Yo), a zatim

D = AC - B².

Ako je D>0, funkcija z = f (x,y) u tački Mo (Xo, Yo) ima ekstrem i to:

a) lokalni minimum ako je A>0 ( C > 0 );

b) lokalni maksimum ako je A<0 ( C < 0 ).

Ako je D < 0, funkcija z = f (x,y) u tački Mo (Xo, Yo) nema ekstrema.

Ako je D = 0, potrebna su dalja ispitivanja.

Alternativno, ekstreme funkcije z = f (x,y) možemo odrediti i računanjem totalnog

diferencijala drugog reda funkcije f u stacionarnoj tački.

Ako je d² f (Xo, Yo) > 0, u stacionarnoj tački Mo (Xo, Yo) je minimum, a ako je

d² f (Xo, Yo) < 0, u stacionarnoj tački Mo ( Xo, Yo) je maksimum.

Ako je d² f (Xo, Yo) promjenljivog predznaka, u tački Mo (Xo, Yo) nema ekstrema.

Mi ćemo u daljem pretpostaviti da funkcija čije lokalne ekstreme tražimo ima parcijalne

izvode prvog i drugog reda, po obje promjenljive, kao i to da su mješoviti parcijalni izvodi

drugog reda neprekidne funkcije, pa su, zbog toga i jednaki.

Analogno kao i u slučaju ekstrema funkcije jedne promjenljive, vrijedi slijedeći teorem:

3

Teorem 1. Ukolio je funkcija diferencijabilna u tački i tačka 0 0,x y je tačka

lokalnog ekstrema te funkcije, tada je

i . (1)

Tačka u kojoj su prvi parcijalni izvodi funkcije jednaki nuli zove se stacionarna

tačka te funkcije. Ukoliko je stacionarna tačka funkcije, ona ne mora biti tačka

ekstrema te funkcije. Dakle, uslov (1) je potreban, ali ne i dovoljan uslov da tačka 0 0,x y

bude tačka ekstrena funkcije .

Analogno kao u slučaju ekstrema funkcije jedne promjenljive, kada smo dovoljan uslov za

egzistenciju ekstrema davali preko drugog izvoda funkcije (ukoliko postoji), u slučaju

funkcije dvije promjenljive, dovoljan uslov za egzistenciju ekstrema možemo dati pomoću

drugog diferencijala funkcije.

Sjetimo se, funkcija jedne promjenljive je u stacionarnoj tački imala maksimum ukoliko je tu

njen drugi izvod bio negativan, a minimum ukoliko je u toj tački drugi izvod bio pozitivan. U

slučaju da je drugi izvod bio jednak nuli, nismo imali odgovor ber ispitivanja trećeg izvoda.

Analogno, ukoliko je funkcija dvije promjenljive dva puta diferencijabilna u okolini

stacionarne tačke 0 0,x y , tada je 0 0,x y taka lokalnog maksimuma ukoliko je u u okolini te

tačke , a tačka je lokalnog minimuma ukoliko u okolini tačke 0 0,x y vrijedi

. Ukoliko funkcija mijenja znak u okolini tačke 0 0,x y ta tačka nije tačka

lokalnog ekstrema. Ukoliko je u tački 0 0,x y , tada nemamo odgovora i moramo ga

potražiti na neki drugi način.

Pogledajmo sada kako pomoću parcijalnih izvoda drugog reda formulisati dovoljan uslov za

ekstrem funkcije u stacionarnoj tački 0 0,x y . Sjetimo se da je

.

Izraz za drugi diferencijal možemo napisati na sljiedeći način:

4

Izraz ispred zagrade je nenegativan, a izraz u zagradi predstavlja kvadratnu funkciju po .

Ukoliko kvadratna funkcija mijenja znak, tada i mijenja znak, pa nemamo ekstrema.

Zbog toga je dovoljan uslov za egzistenciju ekstrema činjenica da kvadratna funkcija

ne mijenja znak, što će biti ispunjeno ukoliko je njena diskriminanta

manja od nule. Dakle, funkcija ima ekstrem u stacionarnoj tački 0 0,x y ukoliko je

. (2)

Sada možemo reći da ukoliko je 2'' '' '' 0xy xx yyf f f u stacionarnoj tački 0 0,x y , funkcija

u toj tački ima ekstrem. Ukoliko je u toj tački , funkcija nema

ekstrem, a ukoliko je u tački 0 0,x y , onda nemamo odgovora. Ukoliko

je 2'' '' '' 0xy xx yyf f f u stacionarnoj tački 0 0,x y , tada je 0 0,x y tačka maksimuma

ukoliko je , dok je to tačka minimuma ukoliko je .

Ovo možemo zapisati na nešto drugačiji način. Često, jednostavnosti radi, pišemo

, i . Ako stavimo ,

, , uvjet (2) možemo pisati u slijedećem obliku:

Ukoliko je determinanta

0A B

DB C

, stacionarna tačka 0 0,x y je tačka ekstrema i to maksimuma ukoliko je

, a minimuma ukoliko je .

Ukoliko je , u stacionarnoj tački 0 0,x y nemamo ekstrema, dok za odgovor

moramo potražiti na neki drugi način.

1.2. Vezani (uslovni) ekstremi funkcije

U nekim slučajevim trebamo naći ekstreme funkcije z = f ( x,y ) uz dodatni uslov

g (x,y) = 0

5

koga moraju zadovoljavati nezavisne promjenljive x i y.

Tada se formira funkcija

F (x,y) = f (x,y) +λ g (x,y),

Pri čemu parametar λ zovemo Lagranžovim ( Lagrange ) multiplikatorom.

Stacionarne tačke odredimo rješavanjem sistema jednačina

Zatim provedemo uobičajni postupak ispitivanja stacionarnih tačaka i nalaženja ekstrema

funkcija dvije promjenljive za funkciju F.

g 1 (x,y) = 0, g 2 (x,y) = 0,...,gn (x,y) = 0

Tada bismo formirali funkciju F pomoću n Lagražovih multiplikatora:

F (x,y ) = f ( x,y ) +Σ λi gi (x,y).

Stacionarne tačke bi se odredile rješavanjem sistema jednačina:

(i = 1,2....,n)

U ekonomiji, općenito, imamo ograničene resurse (sirovine, materijal, budžet i sl.) i važno je

maksimizirati dobit uz određene uslove koji su postavljeni na naše varijable. To zapravo znači

da mi želimo odrediti ekstrem neke funkcije više promjenljivih, pri čemu varijable

zadovoljavaju određene uslove. U tom slučaju govorimo o uslovnom ili vezanom ekstremu

funkcije.

Posmatrajmo sada neku funkciju ,f x y dvije promjenljive i pretpostavimo da varijable i

zadovoljavaju nekui uslov, tj. neku jednačinu koju možemo pisati u obliku .

Skup tačaka koje zadovoljavaju uslov označimo sa .

Definicija 1. (uslovnog ekstrema) Tačka 0 0,x y X je tačka uslovnog maksimuma

(minimuma) funkcije ukoliko postoji okolina tačke tako da vrijedi

6

(odnosno ) za sve tačke .

Uslovni maksimum neke funkcije dvije promjenljive je prikazan na slici 1. Kao što vidimo,

uslovni maksimum funkcije nije nužno jednak (u principu, on gotovo nikad i nije jednak)

maksimumu (bezuslovnom) funkcije. Može se desiti da funkcija dvije promjenljive uopšte

nema bezuslovni ekstrem, a da ima uslovne ekstreme.

Slika 12

Postoje dva osnovna metoda za određivanje uslovnog ekstrema funkcije dvije promjenljive.

To su metod supstitucije i Lagrangeov metod.

1.1.2. Metod supstitucije za određivanje uslovnog ekstrema funkcije dvije promjenljive

Pretpostavimo da tražimo ekstrem funkcije ,f x y uz uslov , 0g x y . U zavisnosti od

prirode uslova, iz jednačine je nekada moguće na jednoznačan način izraziti

jednu promjenljivu ( ili ) kao funkciju druge promjenljive. U tom slučaju uslovni ekstrem

funkcije možemo odrediti metodom supstitucije (zamjene) koja se sastoji u slijedećem:

2http://www.google.ba/ #hl=bs&source=hp&q=ekstremi+funkcija+dvije+promjenljive&btnG=Google+pretraga&gbv=2&bav=on.2,or.r_gc.r_pw.,cf.osb&fp=7c10abb1504c3f90&biw=1026&bih=629

7

Ukoliko je moguće izraziti promjenljivu , to znači da uslov , 0g x y možemo pisati u

obliku , za neku realnu funkciju . U tom slučaju funkciju možemo

posmatrati kao funkciju jedne promjenljive, tj. funkciju od , koja je jednaka i

možemo odrediti ekstrem ove funkcije kao funkcije jedne promjenljive. Taj ekstrem (ukoliko

postoji) će ujedno biti uslovni ekstrem funkcije uz uslov .

Analogno, ukoliko je moguće izraziti promjenljivu , tj. uslov pisati u obliku

, za neku realnu funkciju , tada funkciju možemo posmatrati kao

funkciju jedne promjenljive (u ovom slučaju, to je ) i odrediti njen ekstrem onako kako smo

određivali ekstrem realne funkcije jedne realne promjenljive.

Primjer 1. Odrediti ekstrem funkcije , uz uslov .

Rješenje. Kako iz uslova dobijamo , uvrštavajući to u izraz za , dobijamo

funkciju jedne promjenljive, . Kako je ,

to funkcija ima ekstrem za . Iz uslova dobijamo da je , i zbog , imamo

da je .

Primjer 2. Neka je količina proizvodnje neke fabrike određena Cobb-Douglasovom

funkcijom proizvodnje , pri čemu su cijene proizvodnih faktora rada i

kapitala jednake 3 i 6 (po uloženoj jedinici rada, odnosno kapitala). Odredimo minimalan

budžet potreban na proizvodnju 1200 jedinica proizvoda.

Rješenje. U ovom primjeru je potrebno naći minimalnu vrijednost funkcije budžeta, tj.

funkcije , uz uslov da proizvodimo 1200 jedinica proizvoda, tj. da vrijedi

, odnosno . Dakle, određujemo uslovni ekstrem funkcije

, uz uslov .

Iz uslova možemo izraziti promjenljivu , i dobiti da je . Uvrštavajući to u našu

funkciju , vidimo da je potrebno naći ekstrem funkcije jedne promjenljive

8

.

Odredimo prvi izvod ove funkcije. Imamo:

.

Nakon izjednačavanja s nulom, dobijamo da je odakle imamo dvije

vrijednosti za , od kojih je vrijednost jedina pozitivna (i odgovara uslovima

zadatka, jer broj jedinica uloženog kapitala ne može biti negativan). Kako je

, to je , pa se minimum funkcije dostiže za

.

Ta minimalna vrijednost budžeta je .

Dakle, minimalan budžet potreban za proizvodnju 1200 jedinica proizvoda je .

1.2.3. Lagrangeov metod za određivanje uslovnog ekstrema funkcije dvije promjenljive

Lagrangeov metod za određivanje uslovnog ekstrema funkcije dvije promjenljive koristimo u

slučajevima u kojima nije moguće iz uslova na jedinstven način izraziti ili . Na primjer,

ukoliko je uslov , tada je , pa varijablu ne možemo

na jedinstven način izraziti preko . Analogno, ni varijablu ne možemo iz ovog uslova na

jedinstven način izraziti preko . U tom slučaju koristimo Lagrangeov metod.

Napomenimo da je Lagrangeov metod moguće koristiti i u slučajevima kada je moguće jednu

varijablu jednoznačno izraziti pomoću druge varijable, ali je tada metod supstitucije

jednostavniji.

Posmatrajmo funkciju i neka su promjenljive i vezane uslovom

. Diferenciranjem tih jednakosti dobijamo.

,

.

Ukoliko drugu jednačinu pomnožimo sa a zatim obje jednačine saberemo dobijamo:

9

Ako je tada je .

Dakle, da bismo odredili stacionarne tačke funkcije pri čemu su promjenljive i

vezane uslovom trebamo riješiti sistem jednačina:

(*)

.

Članovi na lijevoj strani sistema su parcijalni izvodi funkcije .

Odavde vidimo da je ekstrem (bezuslovni) funkcije ujedno uslovni ekstrem

funkcije , uz uslov .

Posmatrajmo

.

Obzirom da je , to je i slično dobijamo , .

Dalje je , pa je .

Na osnovu ovih uvjeta može se pokazati da je:

.

Uvrštavanjem , koji su rješenje sistema (*) u izraz za , dobijamo

odgovor o prirodi uslovnog ekstrema. Ukoliko je tada funkcija u

tački ima maksimum, a ukoliko je tada funkcija u toj

tački ima minimum. Ukoliko je , tada ostaje otvoreno pitanje da li je to

tačka ekstrema i ako jeste da li u njoj funkcija ima minimum ili maksimum.

10

Na osnovu svega izloženog, možemo zapisati slijedeći postupak određivanja uslovnog

ekstrema:

1. formiramo Lagrangeovu funkciju

2. riješimo sistem jednačina po i dobijemo stacionarne

tačke;

3. za svaku stacionarnu tačku nađemo determinantu , gdje su , ,

, , (zapravo vrijednosti ovih izvoda u stacionarnim tačkama) i u

zavisnosti da li je veće, manje ili jednako nuli, odredimo prirodu stacionarne tačke.

Primjer 1. Neka je funkcija proizvodnje, a i neka su cijene proizvodnih

faktora L i K (po jedinici). Ako je T ukupan iznos kojim raspolažemo, određivanjem uvjetnog

ekstrema možemo naći uvjete koje zadovoljava optimalna kombinacija proizvodnih faktora,

kao i uslove koje treba ispunjavati funkcija da bi bila funkcija proizvodnje.

Dakle, potrebno je naći uslovni ekstrem (zapravo maksimum) funkcije , uz uslov da

je .

Prije svega, uslov ćemo napisati u obliku .

Formirajmo funkciju .

Sada odredimo prve parcijalne izvode ove funkcije i izjednačimo ih sa nulom:

,

,

.

Iz prve dvije jednačine je pa je (uslov za ekstrem).

To znači da je , pa je je optimalna kombinacija proizvodnih faktora i ona

koja ispunjavaja uslov

11

,

odnosno ona kombinacija i za koju je i .

Pogledajmo još koje uslove treba ispunjavati funkcija proizvodnje kako bi stacionarna tačka

bila upravo maksimum (u tom slučaju bi imali optimalnu kombinaciju proizvodnih faktora),.

Posmatrajmo , , , te , , i determinantu

.

Ukoliko je ovaj izraz manji od nule tu je proizvodni maksimum. Nakon izračunavanja imamo:

,

što predstavlja kvadratnu funkciju , pomnoženu nenegativnim brojem. To znači da je

za svaki odnos ako i samo ako je diskriminanta gornje kvadratne funkcije po

manja od nule, tj. ako i samo ako vrijedi .

Zbog toga proizvodna funkcija mora zadovoljavati takav odnos jer u protivnom ne bismo

mogli imati optimalnu kombinaciju proizvodnih faktora.

Cobb-Douglasova funkcija proizvodnje zadovoljava gornju relaciju, pa je upravo kombinacija

proizvodnih faktora koja zadovoljava jednačine i kombinacija koja

omogućava maksimum proizvodnje pri datom budžetu .

Primjer 2. Neka je funkcija zadovoljstva potrošača (eng. utility

function) dobrima i sa cijenama 2 i 5. Ako je budžet potrošača 51, koristeći Lagrange-

ovu funkciju odredimo optimalne nivoe nabavke dobara i .

Ovdje pod optimalnim nivoom nabavke smatramo onaj nivo nabavke dobara koji potrošaču

pruža maksimalno zadovoljstvo.

12

Rješenje. U ovom primjeru je potrebno odrediti maksimum funkcije

, uz uslov da je . Uslov pišemo u

obliku

Odgovarajuća Lagrangeova funkcija za ovaj problem je

. Sada određujemo stacionarne tačke. Potrebno

je riješiti sistem jednačina

; odakle dobijamo ,

; slično, ,

, to jest, .

Sada imamo dvije jednačine po i :

.

Sabiranjem ovih jednačina imao:

, to jest . Uvrštavanjem te vrijednosti u drugu jednačinu dobijamo , i na

kraju .

Odredimo sada da li je dobijena stacionarna tačka zaista maksimum funkcije zadovoljstva.

Imamo:

, , , , , pa je

, što znači da je za sa količinama i potrošač

na maksimalnom nivou zadovoljstva, ukoliko je njegov budžet 51.

13

2. ZAKLJUČAK

U ovom radu objašnjeno je kako se određuje lokalni ekstrem funkcije dvije promjenljive i

vezani (uslovni) ekstremi funkcije. Analogno kao u slučaju ekstrema funkcije jedne

promjenljive, kada smo dovoljan uslov za egzistenciju ekstrema davali preko drugog izvoda

funkcije (ukoliko postoji), u slučaju funkcije dvije promjenljive, dovoljan uslov za

egzistenciju ekstrema možemo dati pomoću drugog diferencijala funkcije.

U ekonomiji, općenito, imamo ograničene resurse (sirovine, materijal, budžet i sl.) i važno je

maksimizirati dobit uz određene uslove koji su postavljeni na naše varijable. To zapravo znači

da mi želimo odrediti ekstrem neke funkcije više promjenljivih, pri čemu varijable

zadovoljavaju određene uslove. U tom slučaju govorimo o uslovnom ili vezanom ekstremu

funkcije.

Takođe, u radu objašnjena su dva osnovna metoda za određivanje uslovnog ekstrema funkcije

dvije promjenljive, a to su metod supstitucije i Lagrangeov metod.

3. LITERATURA

14

1. Matematika za ekonomiste; Dževad Zečić, Almir Huskanović, Hermina Alajbegović,

Zenica,2009

2. Internet

15