El ábaco de fichas

En la Edad Media calcular era una forma de poder; los notarios dependían de quienes supieran contar; en esa época muy pocos eran los que poseían esta habilidad. Para efectuar cálculos se empleaba fundamentalmente el ábaco de fichas y como forma de representar los números, se recurría a la numeración romana. Las operaciones aritméticas con el ábaco requerían numerosos ejercicios de aprendizaje, especialmente para las incómodas operaciones de multiplicación y división

Números romanos en un manuscrito del siglo XVI.

Al-Khwarizmi (780? -850)

Alrededor del año 825, en Bagdad, Muhammad Ibn Musa (780?-850?), llamado Al-Khwarizmi, reveló al mundo el contenido de los trabajos indues sobre aritmética, en los que los números se representan con nueve cifras y un cero.Los orígenes de esta numeración se remontan al siglo II, pero sólo empezaron a conocerse seis siglos después en el mundo árabe y sólo hasta el siglo XII en el mundo católico occidental sin mucha difusión y con mucha resistencia.

Dado que los copistas occidentales escribían de izquierda a derecha, mientras que los árabes lo hacían de derecha a izquierda, las cifras fueron modificándose hastala forma actual que se remonta al siglo XV.

En su obra Algorithmi de numero Indorum introdujo la numeración empleada por los matemáticos de la India y algunos procedimientos para realizar cálculos aritméticos, que posteriormente se conocerían con el nombre de algoritmos, siendo este término una latinización del nombre del autor

En la Alta Edad Media existía una forma práctica de representar los números mediante posiciones especiales de los dedos de ambas manos, lo cual facilitaba la memorización de las cantidades llevadas en las operaciones de cálculo mental y a la vez con el ábaco, por lo menos cuando en las fichas no había indicación de números.

Este tipo de numeración con los dedos fue llamado numeración digital

a quién se atribuye la creación de este simbolismo es al monje inglés Beda el Venerable (673-735); este tipo de numeración fue muy útil hasta antes de que se hiciera corriente el uso de la tinta y el papel.

El empleo de las diez cifras o dígitos para expresar un número entero o fraccionario cualquiera es uno de los acontecimientos más importante en la matemática de la Edad Media, por los siguientes motivos:

• Se muestra claramente la relación finito-vs-infinito: con sólo diez cifras o dígitos es posible nombrar cualquier número. Las secuencias de cifras crecen indefinidamente, se tiene entonces un ejemplo de infinito manejado con un sistema finito de símbolos.

• Se introduce el cero, hasta entonces inusitado, cuyo nombre inicial era circulus (círculo pequeño), posteriormente cifra (el vacío del árabe assifr) y también figura nihili (cifra de nada).

• Se introducen por primera vez las fracciones decimales.

Fray Luca Paccioli (1445-1514)escribió en 1494 Summa Arithmetica, A partir de esta obra se empezaronA popularizar los métodos que hoy conocemos para realizar operaciones aritméticas y representa el triunfo de los algoristas sobre los abacistas.

En 1202, Leonardo Pisano (1170-1240) más conocido comoFibonacci (hijo de Bonacci), publicó una obra titulada Ellibro sobre el ábaco, en la cual describió unos métodos para realizar operaciones aritméticas especialmente de multiplicación, los cuales denominó “métodos indios” y se propuso oponerlosa los que se empleaban con el ábaco

Propiedades de la suma :

1) x y z x z z x

2) , ( ) ( )x u y z x u z x u z

3) 0 0x x x x

= {0, 1,2, 3, … , n, … }.

Propiedades del producto:

1) x y z xz zx

2) , ( ) ( )x u y z xu z x uz

3) 1 1x x x x

, ( )

( )

x u y z x u z xu xz

y u z x ux zx

Propiedad distributiva

Los números naturales

= {…, -3, -2, -1, 0, 1,2, 3, … , n, … }.Propiedades de la suma :

1) x y z x z z x

2) , ( ) ( )x u y z x u z x u z

4) | 0

( )

x y x y y x

y x

3) 0 0x x x x

Los números enteros

Propiedades del producto:

1) x y z xz zx

2) , ( ) ( )x u y z xu z x uz

3) 1 1x x x x

, ( )

( )

x u y z x u z xu xz

y u z x ux zx

Propiedad distributiva

{ | , 0}p

p q y qq

Propiedades de la suma :

1) x y z x z z x

2) , ( ) ( )x u y z x u z x u z

4) | 0

( )

x y x y y x

y x

3) 0 0x x x x

Los números racionales

Propiedades del producto:

1) x y z xz zx

2) , ( ) ( )x u y z xu z x uz

3) 1 1x x x x

, ( )

( )

x u y z x u z xu xz

y u z x ux zx

Propiedad distributiva

1

4) , 0 | 1

( )

x x y xy yx

y x

ab

Suma al estilo Griego

ab

Resta al estilo Griego

1 ab

1

xluego x

Multiplicación al estilo Griego

x

1

O

x

1

x

1

O

1 a b

1luego x

x

División al estilo Griego

x1

a

b

O x1

a

b

O

1BA C

D

1BA C

D

Raíz cuadrada al estilo Griego

a 1

21,luego de donde

O

1

b

a

P

a b

22 2 2 21 1

0 ( ) (0 ) ( )2 2 4 2

a b a bx ax b x

Raíces de la ecuación de 2º grado con regla y compás

1

0 1

0 1 2 3 4-1-2-3

0 1 2 3 4-1-2-3

Los números reales

1/2 3/2 5/2 7/2 9/2-1/2-3/2-5/2

21

1

Hipasus de Metaponto,

2 2

2 2

2 2

2

2 ,

2 2 4 .

2 .

.

mcon m y n primos relativos

n

entonces n m luego m es par esto es

m k luego n k Cancelando se tiene

que n k

De donde n también es par

Los números irracionales

Si a y a entonces a

r y a r a , , 7, sin(5)e y muchos más son números irracionales

p

qAl realizar la división del número racional encontramos la expresión decimal del número.

Dicha división puede terminar, como en = 0,625

o puede ser infinita, pero con un tramo de cifras que se repite, como en

= 0,1818181818 . . . ,

podemos decir entonces, que los números racionales son aquellos cuya expresión decimal es finita o periódica.

5

8

2

11

Desarrollo decimal de los números racionales

Si un número tiene una expresión racional periódica o finita entonces es racional.

Ejemplo:

Encontrar el número racional r cuya representación decimal es:

r=2.315315315315…

Desarrollo:

Como son 3 las cifras que se repiten, multiplicamos r por 1000 y restamos.

r1000-r = 2315.315315315… - 2.315315315…así obtenemos:

999r= 2313

Por lo tanto:

r=2313

999

Desarrollo decimal del número

En el año 2004 empleando un computador Hitachi se obtuvo las primeras1.351.100.000.000 cifras decimales del desarrollo decimal de

!Los números irracionales no tienen un desarrollo decimal periódico!.

=3.14159265358979323846264338327950288419716939937510 58209749445923078164062862280348253421170679 82148086513282306647093844609550582231725359408128 48111745028410193852110555964462294895493038196 442881097566593344612847564823378678316527120190 45648566923460348610454326648213393607260249141273 7245870066063155881748815209209925409171536436 78925903600113305305488204665213841469519415116094 33057270365759593092186117381932611793105118548 07446237996274956735188575272489122793818301194912 36733624406566430860213949463952247371907021798 60943702770539217176293176752384674467669405132 00056812714526356082778577134275778960917363717872 1468440901224953430495853710507922796892589235 42019956112129021960864034418159813629774771309960 51871134999999837297804995105973173281609631859 50244594553469083026425223082533446850319311881 71010003137838752886587533208381420617177669147303 598253490428755468731159

86388235378759375195778 18577805321712268066130019278766111959092164201989…

Se dice que el número real a es mayor que 0, si a está a la derecha de 0.Se nota:

a>0

Se dice que el número real a es mayor que b, si a-b>0. Se nota:

a>b

Se dice que el número real a es menor que b, si b>a. Se nota:

a<b

Se dice que el número real a es menor o igual que b, si a<b o a=b. Se nota:

a b

Se dice que el número real a es mayor o igual que b, si a>b o a=b. Se nota:

a b

Relación de orden en

Ordenar las fracciones:

Primero reducimos a común denominador. Para ello, calculamos el m.c.m. de los denominadores:

                          .Obtenemos fracciones equivalentes a las dadas con denominador 20. Para ello dividimos 20 entre cada denominador y lo multiplicamos por el nume-rador. Las fracciones obtenidas son:

    

Estas fracciones las podemos ordenar fácilmente porque tienen el mismo denominador:     Así obtenemos:

              

Ejercicio

EjercicioOrganice los siguientes números en orden ascendente:

Desarrollo:

2 3 = 3.14626436994197

10 = 3.162277660168379

387

123= 3.146341463414634

22

7= 3.142857142857142

= 3.141592920353982355

113

223

71= 3.140845070422535

= 3.141592653589793

355

113

223

71

387

123

22

72 310

355

113

223

71

387

123

22

72 3 10< < < < < <

Primero se encuentra el desarrollo decimal de cada uno

Conjunto Intervalo Gráfico

{ x | a < x < b } ( a , b )

{ x | x < b } ( - , b )

{x | a ≤ x} [ a , )

{ x | a ≤ x < b } [ a , b )

{ x | x ≤ b } ( - , b ]

{ x | a ≤ x ≤ b } [ a , b ]

{x | a < x} ( a , )

[a

(a

)b

)b

(a

[a b)

b]

[a ]b

Desigualdades e intervalos

Valor Absoluto

Formalmente, el valor absoluto o módulo de todo número real a está definido por:

                           Note que por definición el valor absoluto de a siempre será mayor o igual que cero, y nunca negativo.

Propiedades fundamentales

1. |a| ≥ 0

2. |a| = 0 ⇔ a = 0

3. |ab| = |a| |b|

4. |a+b| ≤ |a| + |b|

Otras propiedades

1. |-a| = |a|

2. |a-b| = 0 ⇔ a = b

3. |a-b| ≤ |a-c| + |c-b|

4. |a-b| ≥ ||a| - |b||

5. |a/b| = |a| / |b| (si b ≠ 0)

Para a > 0, |x| < a si y sólo si -a < x < a.

Ejemplo:

Distancia entre dos números reales

Si a y b son dos números reales, se define la distancia entre a y b como

d(a,b)=|a-b|

Propiedades fundamentales

1. d(a, b) ≥ 0

2. d(a, b )= 0 ⇔ a = b

3. d(a, b)= d(b,a)

4. d(a, b) ≤ d(a, c)+ d(c, b)

A

B

C

U