EL CÁLCULO DESARROLLA TU MENTE … · Limites Unilaterales ... Límites Infinitos ... engrandecer nuestro país al aportar mi humilde trabajo formando la generación de relevo

Guia de Cálculo I pág. 1

Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro Guédez

UNIVERSIDAD “ALONSO DE OJEDA”

FACULTAD DE INGENIERIA CIUDAD OJEDA - ZULIA

Ejercicios resueltos y propuestos de Cálculo I y sus aplicaciones

EL CÁLCULO DESARROLLA TU MENTE TRANSFORMA TU VIVIR

xD (Disciplina + Esfuerzo + Consagración) = Profesionales Altamente Capacitados



INTRODUCCIÓN.....................................................................................................................4 NÚMEROS REALES .................................................................................................................6

Desigualdades ....................................................................................................................6 Inecuaciones ......................................................................................................................6 Intervalos ..........................................................................................................................7 Ejercicios Propuestos .........................................................................................................12 Valor Absoluto .................................................................................................................. 13 Propiedades del valor absoluto ............................................................................................13 Ejercicios Propuestos .........................................................................................................15

FUNCIONES......................................................................................................................... 16 Dominio y Rango...............................................................................................................16 Simetría De Funciones .......................................................................................................17 Criterios De Simetría..........................................................................................................17 1.- Función Afín ................................................................................................................ 18 2.- Función Cuadrática .......................................................................................................18 3.- Función Exponencial .....................................................................................................19 Gráficas de la función exponencial: ......................................................................................19 Función Exponencial de base e ............................................................................................20 4.- Función Logarítmica......................................................................................................21 Grafica de la Función Logarítmica ........................................................................................22 Funciones Trigonométricas y sus gráficas..............................................................................22 5.- Función Seno ...............................................................................................................22 Gráfica de y = Sen(x) ........................................................................................................23 6.- Función Coseno............................................................................................................23 Gráfica de y = Cos(x) ........................................................................................................23 7.- La función Tangente .....................................................................................................23 Gráfica de y = tan(x) ........................................................................................................24 8.- La función Cotangente...................................................................................................24 Gráfica de y = cot x ..........................................................................................................24 9.- La función Secante .......................................................................................................24 Gráfica de y = sec(x) ........................................................................................................25 10.- La función Cosecante ..................................................................................................25 Gráfica de y = csc(x) ........................................................................................................25 Función compuesta............................................................................................................25

LIMÍTES..............................................................................................................................33 Definición informal de límite................................................................................................33 Definición formal de límite ..................................................................................................33 Ejercicios Propuestos .........................................................................................................38 Teoremas sobre límites de funciones algebraicas....................................................................39 Ejercicios Propuestos .........................................................................................................45 Teoremas sobre límites de funciones Trigonométricas .............................................................47 Teoremas sobre límites de funciones Trascendentales.............................................................48

Formulario de Identidades Trigonométricas..............................................................................48 Ejercicios Propuestos .........................................................................................................49 Teorema De Estricción .......................................................................................................51 Ejercicios propuestos .........................................................................................................51 Limites Unilaterales ...........................................................................................................52 Limites por la derecha:.......................................................................................................52 Limites por la izquierda ......................................................................................................52

Teorema 26......................................................................................................................... 52 Ejercicios Propuestos .........................................................................................................52 Limites Al Infinito .............................................................................................................. 53



Límites al infinito de funciones polinomicas. ..........................................................................55 Límites Infinitos ................................................................................................................ 56 Ejercicios Propuestos .........................................................................................................59 Nota: NE equivale a No Existe .............................................................................................60 Asíntotas Horizontales y Verticales.......................................................................................60 Asíntota Horizontal ............................................................................................................60 Asíntota Vertical................................................................................................................ 60 Ejercicios Propuestos .........................................................................................................60

CONTINUIDAD DE FUNCIONES...............................................................................................61 Continuidad de una función en un punto ...............................................................................61 Continuidad de una función en un intervalo ...........................................................................61 Continuidad lateral ............................................................................................................61 Continuidad de funciones Algebraicas ...................................................................................61 Continuidad de Polinomios y de Funciones Racionales .............................................................62 Continuidad de la función compuesta: ..................................................................................62 Teorema del valor intermedio..............................................................................................62 Ejercicios propuestos .........................................................................................................62

DERIVADAS......................................................................................................................... 64 Pendiente de la recta tangente a una curva...........................................................................64 Definición de Derivada .......................................................................................................64 Derivadas de orden superior: ..............................................................................................64 Ejercicios propuestos .........................................................................................................65 Tabla de Derivadas ............................................................................................................65 Ejercicios propuestos .........................................................................................................66 Derivada de la función compuesta: ......................................................................................68 Regla de la cadena: ...........................................................................................................68 Ejercicios propuestos .........................................................................................................68 Derivación Logarítmica.......................................................................................................69 Ejercicios Propuestos .........................................................................................................69 Derivada implícita: ............................................................................................................70 Ejercicios propuestos .........................................................................................................70 Regla de L’Hopital.............................................................................................................. 71 Ejercicios propuestos .........................................................................................................71 Técnicas de graficación: .....................................................................................................72 Puntos críticos de una función. ............................................................................................72 Extremos Absolutos de una función......................................................................................72 Extremos Relativos de una función.......................................................................................72 Crecimiento y decrecimiento de una función..........................................................................73 Concavidad....................................................................................................................... 73 Punto de inflexión.............................................................................................................. 73 Ejemplos Ilustrativos .........................................................................................................73 Ejercicios propuestos .........................................................................................................77

Referencias Bibliográficas ...................................................................................................... 79



INTRODUCCIÓN

¿Por qué la resolución de problemas?

El hombre en su quehacer práctico dentro de la sociedad es un “solucionador” de

problemas lo cual lo ubica por encima de los animales más inteligentes del mundo entero y

dentro de su entorno se hace más importante, ser capaz de resolver problemas, que obtener

o acumular y manejar una simple información. El lenguaje matemático se universaliza cada

vez mas, haciéndose más preciso y exacto, y menos propenso a ambigüedades por esto el

estudio de la Matemática nos debe llevar por el camino de la inteligencia y autorrealización

hacia un mundo cada vez mas humano y perfecto.

La presente guía constituye un recurso didáctico para ser utilizado en el aprendizaje

del Cálculo I, aquí se proponen ejercicios que abarcan todos los aspectos considerados como

fundamentales en todo el curso de esta cátedra.

Mi motivación principal al realizar esta guía es ofrecer al estudiante, que cursa su

nivel universitario; una compilación de ejercicios que conforman el background para las

asignaturas Cálculo I, II, III y IV así como también para las todas asignaturas del área

numérica. La misma es producto de la recopilación de ejercicios interesantes a través de la

investigación e integración de textos de diversos autores y sobre todo del mí propio intelecto.

Los propósitos de la esta guía se centran en:

Propiciar la independencia intelectual del educando a través de la resolución de

problemas que le permitan desarrollar sus habilidades para aprender a

autorregular y controlar sus pensamientos y acciones.

Generar situaciones que propicien en el estudiante la adquisición de

conocimientos, habilidades, actitudes y valores relativos al área intelectual,

científica, tecnológica y humanística.

Promover en el educando el desarrollo de la investigación, la creatividad, el auto

aprendizaje, la transferencia de conocimientos habilidades y destrezas y la

formación de valores favorables para el desempeño como estudiante, futuro

profesional y generación de relevo en una sociedad democrática y en un mundo

cada vez mas globalizado.

Propiciar en el estudiante el desarrollo del autoestima e incentivación que

estimulen el aprendizaje efectivo de la Matemática.

Apreciado estudiante para que pueda serte provechoso el contenido de esta guía te

aconsejo resolver paso a paso por lo menos el 80% de los ejercicios propuestos en cada



grupo.

Los problemas y ejercicios se han distribuido y presentado con una jerarquización en

su nivel de dificultad de resolución de los más sencillos y significativo a lo más complejo e

interesante.

La realización ordenada de los ejercicios presentados en este material auxiliar conlleva

al afianzamiento de los hábitos de estudio no solo en Matemática sino también en todas las

asignaturas. Otro aspecto que considero fundamental en este trabajo es la abundante y

variada cantidad de ejemplos ilustrativos y ejercicios propuestos que se presentan agrupados

por objetivos y/o contenidos.

Estoy plenamente convencido que el uso adecuado de esta guía ayudara de forma

determinante y definitiva a los alumnos a superar las debilidades detectadas en los

contenidos matemáticos fundamentales.

Someto esta versión de la guía al criterio de mis colegas y alumnos con la finalidad de

realizar las modificaciones necesarias y enriquecerla con sus valiosos e importantes aportes a

través de sus criticas constructivas y poder así mejorarla para que pueda llevar por el camino

de la excelencia intelectual y profesional a los alumnos que la utilicen adecuadamente.

Para finalizar quiero expresar mi mas alto nivel de agradecimiento a las autoridades

de la Universidad Alonso de Ojeda, a todo el personal que labora en esta ilustre universidad y

a los estudiantes, por brindarme la excelente oportunidad de realizar una labor dirigida a

engrandecer nuestro país al aportar mi humilde trabajo formando la generación de relevo

que enaltecerá nuestra cultura e idiosincrasia.

Pedro R. Guédez L

Prof. de Matemática



NÚMEROS REALES Desigualdades

Ejemplos:

a) 4 < 8 se lee “cuatro es menor que ocho”

b) 5 > -3 se lee “cinco es mayor que menos tres”

c) 3 ≤ 7 a se lee “tres es menor o igual que a”

d) 8 ≥ 8 se lee “ocho es mayor o igual que ocho”

Propiedades de las desigualdades

Si x , y , a ℜ∈ entonces:

No. Propiedad Ejemplo

1.- X < y ⇒ a+x < a+y -2 < 4 ⇒ 5+(-2) < 5+4 ⇒ 3 < 9

2.- X < y ⇒ -a+x < -a+y -6<-1⇒ -3-6 < -3-1 ⇒ -9 < -4

3.- X < y ∧ a>0 ⇒ a·x < a·y 11 < 17 ∧ 2 > 0 ⇒ 22·11 < 2·17 ⇒ 22 < 34

4.- X < y ∧ a<0 ⇒ a·x > a·y -3 < 5 ∧ -4 < 0 ⇒ (-4) · (-3) >(-4) ·5⇒12 > -20

5.- 0

x1

0x >⇒> 031

03 >⇒>

6.- Si (x<0∧ y<0)∨ (x>0∧ y>0)⇒

X < y⇒y1

x1

>

2 < 5 ⇒51

21

>

Todas estas propiedades se cumplen también para las desigualdades >≥≤ ,,

a>0 es equivalente a decir que “a” es un número positivo

a<0 es equivalente a decir que “a” es un número negativo

Todo número positivo es mayor que cualquier número negativo

Todo número negativo es menor que cualquier número positivo

Inecuaciones

Ejemplos de inecuaciones:

3x5

2

72x c) x65 x

32

b) 52x a) ≥+

>+<

Desigualdad Expresión o

proposición donde intervienen los

símbolos ≤ , <, ≥ , >

definir una relación de orden

usados para

Inecuación Expresión de la forma

ax<b la cual se cumple

Un conjunto infinito de valores de la variable

para es una



Intervalos

Tipos de intervalos

1. Finito

1.1. ( ) { }bxa x ba, <<ℜ∈

1.2. [ ] { }bxa x b,a ≤≤ℜ∈

1.3. ( ] { }bxa x b,a ≤<ℜ∈

1.4. [ ) { }bxa x b,a <≤ℜ∈

2. Infinito

2.1. ( ) { }ax x a, >ℜ∈∞+

2.2. [ ) { }ax x ,a ≥ℜ∈∞+

2.3. ( ) { }bx x b ,- <ℜ∈∞

2.4. ( ] { }bx x b , ≤ℜ∈∞−

2.5. ( ) { }ℜ∈∞+∞ x x ,-

Ejemplos Ilustrativos

Ejemplo Ilustrativo 1 Hallar la solución de la inecuación: )1(x102

-5x7

)1x2(31

23x

+≤+−

El m.c.m(2,3,5,10)=30 Multiplicando todos los términos de la inecuación por el m.c.m. tenemos:

)16(x-x42)1x2(1045x +≤+− 6-6x-x4210x2045x ≤−−

6-x361025x ≤− 10-6x3625x +≤−

4x11- +≤ )4()1()x(-11(-1) +⋅−≥⋅ Observa que al multiplicar por (-1) la desigualdad cambia de ≥≤ a

4x11 −≥

114

x −

≥

Sol: [114

−

, +∞ )

Conjunto solución de una

Inecuación

conjunto de números reales

Satisfacen la inecuación

que es un

Intervalo subconjunto de

la recta real es un

∞+

∞+

∞+

∞+

∞+

∞−

∞−

∞−

∞−

∞−

0

114−

+∞ −∞

[114

−

, +∞ )

a ( ∞+∞−

b )

a [ ∞+∞−

b ]

a ( ∞+∞−

b ]

a [ ∞+∞−

b )

a ( a [

b ) b ]



0 -5 +∞ −∞

(-5 , +∞ )

0 -5 +∞ −∞

( −∞ , -5)

Ejemplo Ilustrativo 2 Determinar el conjunto solución de la inecuación: 015x7x2 2 >−+

015x7x2 2 >−+ al factorizar la expresión 15x7x2 2 −+ obtenemos )5x()3x2( +⋅− así: 0)5x()3x2( >+⋅−

para que un producto de dos factores sea mayor que cero (positivo) estos factores deben ser ambos del mismo signo lo cual nos lleva a analizar dos casos a saber: CASO I: Ambos factores negativos (-).(-) 2x-3<0⇒ x<3/2 X+5<0⇒ x<-5

CASO II: Ambos factores positivos (+).(+) 2x-3>0⇒ x>3/2 x+5>0⇒ x>-5

Luego el conjunto solución de la inecuación se obtiene por medio de la unión de las dos soluciones anteriores. SolT = SolI ∪ SolII SolT = x∈ ( −∞ , -5) ∪ (3/2 , +∞ ) otra forma mas simplificada de expresar este conjunto es: SolT = x∉[-5 , 3/2]

Ejemplo Ilustrativo 3 Determinar el conjunto solución de la inecuación: 2x

51x11x3

−≤

++

0 -5 +∞ −∞

23

SolT = x∈ ( −∞ , -5) ∪ (3/2 , +∞ )

Otra forma de representar esta solución sería:

SolT = x∉[-5 , 3/2]

0 -5 +∞ −∞

23

SolI = ( −∞ , -5)

La Solución del CASO I la obtenemos por la intersección de ambos

j

0 -5 +∞ −∞

23

SolII = (3/2 , +∞ )

La Solución del CASO II la obtenemos por la intersección de

b j

0 2

3+∞ −∞

( −∞ , 3/2)

0 2

3+∞ −∞

(3/2 , +∞ )



Analicemos otro método de resolución:

2x5

1x11x3

−≤

++

02x

51x11x3

≤−

−++

0)2x()1x(

)1x(5)2x()11x3(≤

−⋅++⋅−−⋅+

0)2x()1x(

5x522x11x6x3 2≤

−⋅+−−−+−

0)2x()1x(

)9x(3 2≤

−⋅+−

0)2x()1x()3x()3x(3≤

−⋅+−⋅+⋅

Calculemos los números críticos, los cuales son los valores de la variable que hacen cero tanto el numerador como el denominador Por lo tanto los números críticos serán: x+3=0⇒ x=-3 x-3=0⇒ x=3 x+1=0⇒ x=-1 x-2=0⇒ x=2

Intervalos ( −∞ , -3] [-3 , -1) (-1 , 2) (2 , 3] [3 , +∞ )

Valor de prueba -4 -2 0 5/2 4 Factores (x+3) - + + + + (x-3) - - - - + (x+1) - - + + + (x-2) - - - + +

)3x()3x(3 −⋅+⋅ + - - - + )2x()1x( −⋅+ + + - + +

0)2x()1x()3x()3x(3≤

−⋅+−⋅+⋅ + - + - +

Conjunto solución No Si No Si No SolT = x∈[-3 , -1) ∪ (2 , 3]

Del ejercicio anterior observa que la solución a la inecuación 2x

51x11x3

−≥

++ es:

0 -3 +∞ −∞ 3 2 -1

] [ ) ( ) ( ] [



0 3 +∞ −∞

(3 , +∞ )

0 3 +∞ −∞

( −∞ , 3)

SolT = x∈( −∞ , -3] ∪ (-1 , 2) ∪ [3, +∞ ) ¿por qué?

Ejemplo Ilustrativo 4 Resolver la inecuación 2x38x

−≤−−

2x38x

−≤−−

02x38x

≤+−−

0x3

)x3(2)8x(≤

−−⋅+−

0x3

x268x≤

−−+−

0x32x≤

−−−

para que un cociente sea menor que cero (negativo) el numerador y el denominador deben ser de signos distintos por lo cual analizaremos dos casos: CASO I: numerador (-) y denominador (+)⇒ (-) ÷ (+) -x-2≤0 (-1)(-x-2)≥ (-1)(0) x+2≥0 x ≥ -2 3-x>0 -x>-3 (-1)(-x)< (-1)(-3) x<3

CASO II: numerador (+) y denominador (-)⇒ (+) ÷ (-) -x-2≥0 (-1)(-x-2)≤(-1)(0) x+2≤0 x≤-2 3-x<0 -x<-3 (-1)(-x)> (-1)(-3) x>3

0 -2 +∞ −∞ 3

SolI = [-2, 3)

La Solución del CASO I la obtenemos por la intersección de ambos conjuntos

0 -2 +∞ −∞ 3

SolII = φ

La Solución del CASO II la obtenemos por la intersección de ambos conjuntos

0 -2+∞ −∞

[-2 , +∞ )

0 -2+∞ −∞

( −∞ ,-2]



Luego el conjunto solución de la inecuación se obtiene por medio de la unión de las dos soluciones anteriores. SolT = SolI ∪ SolII SolT = x∈[-2, 3) ∪ φ SolT = x∈[-2, 3)

Ejemplo Ilustrativo 5 Calcular el conjunto solución de la inecuación 6x5x2x 23 −<−

6x5x2x 23 −<− 06x5x2x 23 <+−−

Factoricemos la expresión 6x5x2x 23 +−− Las posibles raíces enteras de la expresión 6x5x2x 23 +−− son los divisores de -6 son 6 , 3 , 2 , 1 ±±±± Aplicando la regla de Ruffini tenemos +1 -2 -5 +6 +1 +1 -1 -6 +1 -1 -6 0 +1 -1 -6 -2 -2 +6 +1 -3 0 +1 -3 +3 +3 +1 0 Por lo cual la expresión 6x5x2x 23 +−− se puede factorar como (x+2)(x-1)(x-3) entonces 06x5x2x 23 <+−− ⇒ (x+2)(x-1)(x-3) <0 y sus números críticos son x=-2 , x=1 , x=3

Intervalos ( −∞ , -2) (-2 , 1) (1 , 3) (3 , ∞+ )

Valor de prueba -3 0 2 4 Factores (x+2) - + + + (x-1) - - + + (x-3) - - - +

(x+2)(x-1)(x-3) - + - + Conjunto solución Si No Si No Así el conjunto solución de la inecuación 06x5x2x 23 <+−− será SolT =( −∞ , -2) U (1 , 3)

1 -2 +∞ −∞ 3 0

) ( ) ( ) (

0 -2 +∞ −∞ 3

SolT = x∈[-2 , 3)



Ejercicios Propuestos Resolver las siguientes inecuaciones:

Solución Solución

1) 3x-73--5x ≤ [-5 , +∞ ) 2) x2x-2-2 ≤−≤ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡− 0 , 3

2

3) 6x25x −>+ (-2 , +∞ ) 4) 53-2x31 ≥≥ [4 , 8]

5) 021

-x23

≤ ⎥⎦

⎤−∞ 3

1 , ( 6) 04-3xx2 <+ (-4 , 1)

7) 2

4x34

x6 −>

− (-∞ ,2) 8) )6x(

31

)2x(54

−<− ⎥⎦⎤−∞ 7

6- , (

9) 9x4 2 ≤≤ [-3,-2]U[2,3] 10) ( ) ( ) 01x352x <−⋅+ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−

31 , 2

5

11) 4x2 ≥ (-∞ ,-2] U [2 ,+∞ ) 12) ( ) ( ) 05x3-x ≥+⋅ (-∞ ,-5] U [3 ,+∞ )

13) 010-3xx2 ≥+ (-∞ ,-5] U [2 ,+∞ ) 14) 043x2 ≥+ φ

15) 0xx2 ≤− [0 , 1] 16) 4x3x

2x1x

++

≥−−

(-4 , -1) U (2 ,+∞ )

17) 02-x2x

>+

(-∞ ,-2) U (2 ,+∞ ) 18) ( )0

1x

-8x

3<

+ (-∞ ,-1) U (0 ,+∞ )

19) 1x3

21x

1

−<

+ (-∞ ,-1] U (1/3 , 3) 20) 4

5-x)12(x

<+

(-∞ ,5) U (11 ,+∞ )

21) x3

xx-21x

+

<+

(-∞ ,-3) U (2 ,+∞ ) 22) x23

47-3x

1

−≥ ⎜

⎝⎛

⎥⎦⎤

1431 , 2

3 U (7/3 ,+∞ )

23) 23 4x-x4-x ≤ (-∞ ,-4]U[-1,1]

24) 11x6x

2x4

>−+

−−

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛+

∪⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

4

1451,21,

4

1451

25) xx1x 23 +>+ { }1),1( −∞+−

26) 08x4x2x 23 ≥+−− ⎟⎠⎞

⎢⎣⎡ ∞+− ,2

27) 0x4x3

2x3x23

2<

−+−+

(-2,-1) U (1/2 ,+∞ )

28) 01xxx

xx2x23

345>

−−+−+

(-∞ ,0) U (1 ,+∞ )

29) 1x2

11x

21-x

x

2 −≥

++ ),1()2

1,1( ∞+∪−



30) ( )4

1x33x

21

x221

34 −

≥−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− ⎥⎦

⎤⎜⎝⎛ −∞− 5

1,

31) 2)(x103

-3x2

)3x(21

52x

+≤−− [9/2 ,+∞ )

32) 0

6x5x6x

6xx2x

4x1x

222<

+−+

+−−

−+

−−

(-∞ ,-2) U (2 , 3)

33) 3 23 2 1x1xx3 +<−+ ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+−−−

4

171,

4

171

34) 3x3

21x

x2 −≥

−+

⎟⎟

⎠

⎞

⎢⎢⎣

⎡∞+∪

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎜⎜⎜

⎝

⎛+

−∞− ,21

32

241321,

35) ( )4

4x

2x-x

2

2

<+

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−

−∞−

233

211

, U ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+∞+

−,

233

211

36) 3x1x1x −≤−−+ ⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎢⎢⎢

⎣

⎡

∞++

,3

343

Valor Absoluto

Propiedades del valor absoluto

No. Propiedad Ejemplo

1.- x- = x 4- = 44 =

2.- yxyx ⋅=⋅ ( ) 3232- ⋅−=⋅

326- ⋅=

6=6

3.-

y

x

yx

=

44 312

4

3

12

312

=

=

=

Valor absoluto Valor absoluto de un

número real x denotado por x esta definido ⎩

⎨⎧

<−≥

=0 x si x0x si x

x por el



4.- Desigualdad Triangular

yxyx +≤+

( ) 125125- +−≤+

125125 +−≤+−

1257 +≤

177 ≤

5.- Si ∧ℜ∈a a>0 entonces

x < a sii –a < x < a

3>0 ∧ x < 3 sii –3 < x < 3

6.- Si ∧ℜ∈a a>0 entonces

x > a sii x > a ∨ x < -a

12>0 ∧ x > 12 sii x > 12 ∨ x < -12

NOTAS:

1.- Las propiedades 6 y 7 se cumplen también para las desigualdades no estrictas ( ≥≤, )

2.- xx2 =

Ejemplo Ilustrativo 1 Calcular la solución de la ecuación 2x 5 5x 6− = −

Según la definición de valor absoluto se de cumplir que

2x 5 5x 62x 5x 5 6

3x 11

x3

1x

3

− = −− = −− = −

−=−

=

( )2x 5 5x 6

2x 5 5x 62x 5x 5 6

7x 1111

x7

− = − −

− = − ++ = +

=

=

Ejemplo Ilustrativo 2 Calcular la solución de la ecuación 4x 1

2x 32x 1

+= +

−

Según la definición de valor absoluto se de cumplir que

Ecuación 1 Ecuación 2

( ) ( )

4x 12x 3

2x 14x 1 2x 3 2x 1

+= +

−+ = + ⋅ −

2

2

4x 1 4x 2x 6x 3

4x 4

+ = − + −

=

2x 1x 1== ±

( )

( ) ( )

4x 12x 3

2x 14x 1 2x 3 2x 1

+= − +

−+ = − − ⋅ −

2

2

4x 1 4x 2x 6x 3

4x 8x 2 0

+ = − + − +

+ − =

2

2

2x 4x 1 0

b b 4acx

2a

+ − =

− ± −=



( ) ( )24 4 4 2 1x

2(2)

4 16 8x

4

− ± − −=

− ± +=

4 24x

4

4 2 6x

4

2 6x

2

− ±=

− ±=

− ±=

Aca se descarta el signo negativoya que dicho valor no satisface laecuacion original

6x 1

2= − +

Finalmente la solución de 4x 1

2x 32x 1

+= +

− es: x=1 ; x=-1 ; 6

x 12

= − +

Ejercicios Propuestos 1.- Resolver las siguientes ecuaciones con valor absoluto

Solución Solución

1) 51x2 =+ x=2

x=-3 2) 48x3 =− x= 3

28 x= 320

3) 85x2 =+ X= 32 x= 2

13− 4) x 2

4 xx 3+

= +−

x= 14±

x= 111 +−

5) x231x21x3

+=−+ X=

8651 ±−

x= 41 6) x2

3x5x

+=−+ x= 321 + x= ± 1

7) x4x7 −= X= 32− x= 2

1 8) 5x43x2 +=+ x=-1 x= 34−

9) 5x33x5 +=− X=4 x= 41− 10) x232x −=− x=1 x= 5

3

11) 52-x2x

=+

X=3 x= 34 12) 4

3-2x83x

=+

x=4 x= 114

2.- Resolver las siguientes inecuaciones con valor absoluto, traza la gráfica del conjunto solución 13) 2x1 ≤− [-1 , 3] 14) 34x ≥+ (-∞ ,-7] U [-1 ,+∞ )



15) 35x2 <− (1 , 4) 16) 24x3 ≤− ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ 2 , 32

17) 7x5 >− (-∞ ,-2) U (12 ,+∞ ) 18) 9x47 ≤− [ ]4 , 21−

19) 35x2 >− (-∞ ,1) U (4 ,+∞ ) 20) x36x3 −> (1 ,+∞ )

21) x4x29 ≥− ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−

23 , 2

9 22) 6x24x −≤+ (-∞ , 32 ] U [10 ,+∞ )

23) 43-2x2x

<+

(-∞ , 910 ) U (2 ,+∞ ) 24)

21

x35x-6

≤+

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

35 , 11

9

25) 12

1r ≥

+ (-∞ ,-3] U [1 ,+∞ ) 26)

52

153r

>− (-∞ ,1) U ( 37 ,+∞ )

27) 23

2x1x

1xx2

≤+

−+

⎟⎟⎠

⎞⎢⎣

⎡∞+∪⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡− ,31

51- , 2

1 28) 1x3x2

3-x2

−−

<

R-{1}

29) 2x3x1xx2 22 −+−>+− ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ∞+∪

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+−

,34

175,

4

175

En las expresiones siguientes obtenga todos lo valores de x para que esta sea un número real

1) x58 − (-∞ , 58 ] 2) 16x2 − (-∞ ,-4] U [4 ,+∞ )

3) 10-3xx2 + (-∞ ,-2] U [5 ,+∞ ) 4) 4x5x2 +− (-∞ ,1] U [4 ,+∞ )

FUNCIONES

Dominio y Rango

que Función

Una función de un conjunto A en un

conjunto B

regla o relación

es una

Asigna un único elemento “y” del conjunto B a cada

elemento x del conjunto A o Dominio y

se escribe y = f(x)

El conjunto A se denomina dominio de f. El conjunto de todos los valores f(x) en R⊂B, es decir{ }Axtq)x(f ∈ , se denomina Rango o imagen de f. Diremos que x es la variable independiente e y es la variable dependiente.

x • Dominio

• Y=f(x) Rango

A f

B

• r

• a

R



Simetría De Funciones La simetría nos permite tener una idea general de la gráfica de una función así que consideraremos algunos aspectos muy importantes de simetría que no ayudaran en el trazado de las graficas de funciones. Criterios De Simetría La grafica de una función es:

a) simétrica respecto al eje x si y solo si al sustituir y por –y se obtiene una ecuación

equivalente.

b) simétrica respecto al eje y si y solo si al sustituir x por –x se obtiene una ecuación

equivalente.

c) simétrica respecto al origen si y solo si al sustituir x por –x y simultáneamente y por –y se

obtiene una ecuación equivalente

Función Par Una función f(x) se denomina par cuando la imagen de cualquier elemento x del dominio es igual a la imagen de su elemento opuesto de x, de otra forma se dice que f(x) es par si para toda x en el dominio de f, f(x) = f(-x). La grafica de una función par es simétrica respecto al eje y Función Impar Una función f(x) se denomina impar cuando la imagen de cualquier elemento x del dominio es igual al opuesto de la imagen del elemento opuesto de x, de otra forma se dice que f(x) es par si para toda x en el dominio de f, f(x) = -f(-x). La grafica de una función par es simétrica respecto al origen de coordenadas. Ejemplos:

Simetría respecto al Función

Origen Eje x Eje y xy=1 Si No No

f(x)= x No No Si

f(x)=x2 No No Si

Simetría respecto a un punto

dos puntos A , B son simétricos respecto a un tercer punto O

este punto O es el punto

medio del segmente AB si

Simetría respecto a una recta

dos puntos A , B son simétricos respecto a una recta l

la recta l es perpendicular

al segmente AB en su punto medio

si



Estudio Detallado Algunas Funciones Importantes 1.- Función Afín Se define como función afín a toda expresión de la forma f(x) = mx + b donde m,b ℜ∈ Representación gráfica La representación gráfica de la función afín en el plano real es una línea recta por esta razón la función afín también es llamada función lineal El dominio y el rango de f es el conjunto de todos los números reales Pendiente de la recta Toda recta forma un ángulo α con el semi-eje x positivo medido en sentido antihorario, la medida de

dicho ángulo esta comprendida entre 0º y 180º es decir 1800 ≤≤ α este ángulo recibe el nombre de Inclinación de la recta. Y la pendiente de la recta que denotamos por m esta dada por la tangente de dicho ángulo así m= )(tg α En función de la pendiente podemos considerar los siguientes casos:

a) Si m=0 la recta es horizontal siendo α = 0º

b) Si m 0 ⟩ la recta estará inclinada hacia la derecha 90 0 ⟨⟨ α

c) Si m 0 ⟨ la recta estará inclinada hacia la izquierda 018 90 ⟨⟨ α d) Si m no está definida o equivalentemente no existe la recta será vertical en este caso no se

cumple la definición de función ya que a un elemento x del dominio son asignadas infinitas imágenes “y” del rango.

Puntos de corte con los ejes coordenados i) Corte con el eje y: Haciendo x=0 obtenemos que la recta corta al eje y en el punto donde “y” vale

b (y = b)

ii) Corte con el eje x: Al hacer y=0 la recta cortará el eje x en mb

x−

=

2.- Función Cuadrática Se define como función cuadrática a toda expresión de la forma f(x) = ax2 + bx + c donde a,b,c, ℜ∈ y a 0≠

Representación grafica La representación gráfica de la función cuadrática en el plano real es una curva llamada parábola El dominio de f es el conjunto de todos los números reales El rango de la función lo estudiaremos en función del valor de “a”



4aD-

, f :Rg 0 a Si ii)

, 4aD-

f :Rg 0a Si )i

⎥⎦

⎤⎜⎝

⎛ ∞−=⟨

⎟⎠

⎞⎢⎣

⎡ ∞+=⟩

Corte con los ejes coordenados i) Corte con el eje y: haciendo x=0 obtenemos que la parábola corta al eje y en el punto donde “y” vale c ( y = c ) ii) Corte con el eje x: los cortes con el eje x los analizaremos en función del discriminante

a) Si D ⟩ 0 la parábola corta al eje x en dos puntos los cuales se calculan mediante la expresión

2aDb-

x±

=

b) Si D = 0 la parábola corta al eje x en un solo punto el cual se calcula mediante la expresión

2a-b

x =

c) Si D ⟨ 0 la parábola no corta al eje x Vértice de la parábola

El vértice de la parábola se calcula mediante la fórmula V= ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛4aD-

, 2ab-

Este vértice de la parábola será un Máximo (todos los puntos de la parábola están por debajo de él ) Si el valor de a es negativo (a ⟨ 0) por lo contrario será un Mínimo (todos los puntos de la parábola están por encima de él ) si el valor de a es positivo (a ⟩ 0) 3.- Función Exponencial La función exponencial se expresa mediante una ecuación de la forma: y = bx, donde b es un número real positivo, diferente de la unidad y la función f(x) esta definida para todos los valores reales de x. f(x) = bx b > 0 ∀ b≠1 donde b es una constante llamada base y el exponente x es una variable. El dominio de f, es el conjunto de todos los números reales. El rango de f es el conjunto de los números reales positivos.

b toma solamente valores positivos para evitar números complejos como (-2)1/2 ó 2− Gráficas de la función exponencial:

Siendo D el discriminante de la ecuación cuadrática

ax2 + bx + c=0 y se calcula mediante la formula

D=b2 - 4ac



Gráfica de la función exponencial x2 f(x) =

Gráfica de la función exponencial x

21

f(x) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

X x

21

f(x) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

-3 8 -2 4 -1 2 0 1 1 0,5 2 0,25 3 0,125

Función Exponencial de base e Para fines de introducción, las bases 2 y ½ son elecciones convenientes; sin embargo, cierto número irracional, designado como e, es el que se usa con mayor frecuencia como base exponencial, tanto para fines teóricos como prácticos. De hecho, f(x) = ex se menciona con frecuencia como la función exponencial debido a su amplio uso y su gráfico se representa seguidamente.

X y=f(x) -3 1/8 -2 ¼ -1 ½ 0 1 1 2 2 4 3 8



Gráfica de la función exponencial y = ex

X y = ex -3 0,0498 -2 0,1353 -1 0,3679 0 1 1 2,7183 2 7,3891 3 20,0855

Gráfica de la función exponencial y = 10e(-0.5x) 4.- Función Logarítmica y = logb x en la cual la base b es un número real positivo diferente de la unidad. Esta función esta definida para valores mayores que cero x > 0 . En general, se define la función logarítmica con base b como la inversa de la función exponencial de base b (b > 0, b ≠ 1). Definición de la función logarítmica: Para b > 0 y b≠1, y = logb x es equivalente a x = by

(El logaritmo base b de x es la potencia que se debe elevar b para obtener x) y = log10 x es equivalente a x = 10y y = loge x es equivalente a x = ey a este logaritmo se le conoce como el logaritmo Neperiano y se denota por Ln en honor a su descubridor John Neper (1550-1617) El dominio de una función logarítmica será el conjunto de los números reales positivos y su rango el conjunto de todos los números reales.

X y = 10e(-0.5x) -3 44,8169 -2 27,1828 -1 16,4872 0 10,0000 1 6,0653 2 3,6788 3 2,2313



Grafica de la Función Logarítmica

y = logb x para b>1 y = logb x o<b<1 DOMINIO = (0, ∞+ ) DOMINIO = (0, ∞+ )

RANGO = R RANGO = R

Propiedades de la función logarítmica Las funciones logarítmicas tienen muchas y muy útiles propiedades que se deducen directamente del hecho de que son inversas de funciones exponenciales. Estas propiedades permiten convertir problemas de multiplicación en problemas de adición, los de división en problemas de resta y los que implican elevar a una potencia y extraer raíces, en multiplicaciones. Además, permiten resolver ecuaciones exponenciales tales como 2 = 10x Propiedades de las funciones logarítmicas

Si b , M y N son números reales positivos , b ≠ 1 y p es un número real, entonces Logaritmo en base b Logaritmo Neperiano 1. Logb bu = u 1. Ln eU = U 2. Logb X2Y = logb X + logb Y 2. Ln X2Y = Ln X + Ln Y

3. Logb YX

= logb X - logb Y 3. Ln YX

= Ln X - Ln Y

4. Logb XP = p logb X 4. Ln XP = p Ln X 5. Logb 1 = 0 5. Ln 1 = 0 Funciones Trigonométricas y sus gráficas 5.- Función Seno está definida por: y = Sen(x)

Dominio: El dominio es el conjunto de todos los números reales R. Rango: El Rango es el intervalo [ ]1- , 1 Periodo: Tiene periodo 2π. Discontinuidad: Es continua en todo su dominio (No hay discontinuidad) Intercepción con el eje x: Intercepta al eje x en los puntos x = nπ donde n ∈ Z



Gráfica de y = Sen(x)

Gráfica de y = Cos(x) 6.- Función Coseno está definida por: y = Cos(x)

Dominio: El dominio es el conjunto de todos los números reales R. Rango: El Rango es el intervalo [ ]1- , 1 Periodo: Tiene periodo 2π. Discontinuidad: Es continua en todo su dominio (No hay discontinuidad)

Intercepción con el eje x: Intercepta al eje x en los puntos x = (1+2n)2π

donde n ∈ Z

Gráfica de y = Cos(x)

7.- La función Tangente se definen por: Y= Tag(x) = )xcos()x(sen para todos los números reales x

para los cuales cos(x) ≠ 0.

Dominio: El dominio es el conjunto de todos los números reales excepto los de la forma x =

(1+2n)2π

donde n ∈ Z

Rango: El Rango es el conjunto de los números reales R Periodo: Tiene periodo π.

Discontinuidad: Es discontinua en x = (1+2n)2π

; donde n ∈ Z



Intercepción con el eje x: Intercepta al eje x en los puntos x = nπ ; donde n ∈ Z

Gráfica de y = tan(x)

8.- La función Cotangente se definen por: Y= Cot(x) = )x(sen)xcos( para todos los números reales x

para los cuales sen(x) ≠ 0.

Dominio: El dominio es el conjunto de todos los números reales excepto los de la forma x= nπ donde n ∈ Z

Rango: El Rango es el conjunto de los números reales R Periodo: Tiene periodo π. Discontinuidad: Es discontinua en x = nπ donde n ∈ Z

Intercepción con el eje x: Intercepta al eje x en los puntos x = (1+2n)2π

; donde n ∈ Z

Gráfica de y = cot x

9.- La función Secante se definen por: Y= Sec(x) = )xcos(

1 para todos los números reales x para

los cuales cos(x) ≠ 0.

Dominio: El dominio es el conjunto de todos los números reales excepto los de la forma

x = (1+2n)2π

; donde n ∈ Z

Rango: El Rango es el conjunto R – (-1,1)



Periodo: La función Secante es de periodo 2π.

Discontinuidad: La función Cotangente es discontinua en x = (1+2n)2π

; donde n ∈ Z

Intercepción con el eje x: No intercepta al eje x Gráfica de y = sec(x)

10.- La función Cosecante se definen por: Y= Csc(x) = )x(sen

1 para todos los números reales x

para los cuales cos(x) ≠ 0.

Dominio: El dominio es el conjunto de todos los números reales excepto los de la forma x =nπ ; donde n ∈ Z

Rango: El Rango es el conjunto R – (-1,1) Periodo: Tiene periodo 2π. Discontinuidad: La función Cotangente es discontinua en x = nπ ; donde n ∈ Z Intercepción con el eje x: No intercepta al eje x

Gráfica de y = csc(x) Función compuesta

que Función Compuesta

f y g dos funciones, la

función compuesta

Otra función

es Se denota por (f g)(x) y se define

como (f g)(x)= f(g(x)) donde x∈ al dom de g tq g(x) esté en el dom de f

sean



La composición es un proceso que se realiza en dos pasos como lo indica el siguiente esquema. Ejemplos Ilustrativos Ejemplo Ilustrativo 1 Halla el Dominio, Rango y traza la gráfica de la función f(x) = 2x-3 Cálculo del Dominio: Observemos que en la expresión 2x-3no existe alguna restricción para los valores de la variable x ya que ella o aparece ubicada en un denominador o dentro de un radical de índice par, por lo cual la variable x puede tomar cualquier valor, por esta razón el dominio de la función f será el conjunto de los números reales que simbolizamos por: R. de esta forma concluimos que: Dom:f = ) , ( ∞+∞− = R Cálculo del Rango: Para calcular el rango despejamos la variable x para así poder analizar el comportamiento de la variable “y” los cual nos representará el Rango de f

Y=2x-32

3yxx23y

+=⇒=+⇒ , basados en un análisis análogo al anterior podemos concluir que el

Rango de la función f es el conjunto de los números reales, así Rg:f = ) , ( ∞+∞− = R Gráfica de la función: Para trazar la grafica de la función f(x) = 2x-3 construimos una tabla de valores formada solo por dos valores ya que la gráfica de la función es lineal (una línea recta ) x y (x , y) 0 -3 (0 , -3) A 2 1 (2 , 1) B

Ejemplo Ilustrativo 2 Dada la función h(x) = 5x − Halla el Dominio, Rango y traza la gráfica de la

función.

x g f(g(x)) g(x) f

Gráfica de f(x)=2x-3

A

B



Cálculo del Dominio: La expresión 5x − por definición de raiz cuadrada estará completamente

determinada para valores positivos del radicando por lo cual 5x05x ≥⇒≥− , por lo cual la variable x puede tomar valores a la derecha de 5, por esta razón el dominio de la función h será ) , 5[x ∞+∈ y simbolizado por: Dom:h = ) , 5[ ∞+ Cálculo del Rango:

a) Para x=5 Y= ⇒− 55 y=0

b) Para cualquier valor de x mayor que 5 ( 5x > ) 5x − siempre dará como resultado un numero

positivo o mayor que cero, luego de a) y b) los valores de “y” serán mayores o iguales a cero lo cual escribimos ),0[y0y +∞∈⇒≥ y el rango de la función h será Rg:h = ),0[ +∞

Gráfica de la función: Para trazar la grafica de la función construimos la tabla de valores x y (x , y) 5 0 (5 , 0) A 6 1 (6 , 1) B

7 41,12 ≈ (7 , 2 ) C

8 73,13 ≈ (8 , 3 ) D

9 2 (9 , 2) E

10 23,25 ≈ (10 , 5 ) F

11 44,26 ≈ (11 , 6 ) G

12 64,27 ≈ (12 , 7 ) H

13 82,28 ≈ (13 , 8 ) I

Ejemplo Ilustrativo 3 Calcula domino y rango y traza la grafica de la función 9x

x4)x(g

2

2

−=

Cálculo del Dominio: Analizando la expresión 9x

x42

2

− debemos considerar que esta quedará definida

cuando el denominador sea distinto de cero lo cual nos lleva a expresar que:

3x3x9x9x09x 222 ±≠⇒≠⇒≠⇒≠⇒≠− , por lo cual el dominio de la función g será el

conjunto R sin el +3 ni el -3es decir: Dom:g = R- { }3,3 −+ Cálculo del Rango: Para calcular el rango despejamos la variable “x” para lo cual tenemos:

Gráfica de h(x)= 5x −

A

B C

D E F G H I



)1(4y

y9x

4yy9

x

4yy9

x

y9)4y(x

y9x4xy

x4y9xy

x4)9x(y

9xx4

y

2

2

2

22

22

22

2

2

−=

−=

−=

=−

=−⋅

=−⋅

=−⋅

−=

Gráfica de la función: Para trazar la grafica de la función construimos la tabla de valores

x y (x,y) -9 4,5 (-9 , 4,5) A -8 4,7 (-8 , 4,7) B -7 4,9 (-7 , 4,9) C -6 5,4 (-6 , 5,37) D -5 6,3 (-5 , 6,25) E -4 9,1 (-4 , 9,1) F -2 -3,2 (-2 , -3,2) G

-1,5 -1,3 (-1,5 , -1,3) H -1 -0,5 (-1 , -0,5) I

-0,5 -0,1 (-0,5 , -0,1) J 0 0,0 (0 , 0) K 1 -0,5 (1 , -0,5) L

1,5 -1,3 (1,5 , -1,3) M 2 -3,2 (2 , -3,2) N 4 9,1 (4 , 9,1) O 5 6,3 (5 , 6,25) P 6 5,3 (6 , 5,3) Q 7 4,9 (7 , 4,9) R 8 4,7 (8 , 4,7) S 9 4,5 (9 , 4,5) T

Ejemplo Ilustrativo 4 Determine el dominio rango y trace la grafica de la función y = x1x −−

Sigamos cuidadosamente el siguiente desarrollo

Para que la expresión (1) exista se debe cumplir

que 04y

y9≥

−siendo la solucion de esta inecuación

el conjunto ⎟⎠⎞

⎢⎣⎡ +∞⎥⎦

⎤⎜⎝⎛ ∞− ,4U0, por lo cual tenemos que:

el rango de la función g será Rg:g = ⎟⎠⎞

⎢⎣⎡ +∞⎥⎦

⎤⎜⎝⎛ ∞− ,4U0,

o Rg:g = )4,0(y ∉

A B C D E

F

G H

I J K L

MN

O

P Q R S T

Gráfica de h(x)= 9X

X42

2

−



)1()x1(x21y

)x1(x21y

1)x1(x2y

x1)x1(x2xy

x1x1x2xy

x1xy

x1xy

2

2

2

2

222

22

−=−−

−−=−

+−−=

−+−−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−⋅−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

−−=

Cálculo del Dominio: En el segundo miembro de la expresión (1) se debe cumplir que x(1-x) lo cual

no lleva a establecer x(1-x)≥0 y al resolver dicha inecuación se obtiene que x ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡∈ 0,1 por lo cual el

dominio de la función dada será Dom: = ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ 0,1

Cálculo del Rango: En el segundo miembro de la expresión (1) observamos que 2

1y2

−−

es igual a una

raíz cuadrada por lo tanto debe ser positiva y como x toma el valor 1 dicha expresión también puede

ser igual a cero lo que nos lleva a establecer la inecuación 02

1y2≥

−−

que al resolverla se obtiene

1y1 ≤≤− ; ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−∈ 1,1y por lo que el Rg:= ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡− 1,1

Gráfica de la función: Para trazar la grafica de la función construimos la tabla de valores

x y (x , y) 0 -1,0 ( 0 , -1) A

0,2 -0,4 ( 0,2 , -0,4) B 0,4 -0,1 ( 0,4 , -0,1) C 0,6 0,1 ( 0,6 , 0,1) D 0,8 0,4 ( 0,8 , 0,4) E 1 1,0 ( 1 , 1) F

A

B

C

D

E

F

Gráfica de y= x1x −−



Ejemplo Ilustrativo 5 Calcula el dominio, Rango y traza la gráfica de la función 4-x

xf(x) =

Por definición de valor absoluto tenemos:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≤−−−

≥−−

=

04xsi)4x(

x

04xsi4x

x

y

Lo cual podemos desglosar en:

A)

1yy4

x

y4)1y(x

y4xxy

xy4xy

xy)4x(

4xsi4x

xy

−=

=−

=−

=−

=⋅−

>−

=

sustituyendo esta expresión en la condición 4x > obtenemos

41y

y4>

− al resolver esta inecuación

obtenemos SolA= ),1(y ∞+∈

B)

1yy4

x

y4)1y(x

y4xxy

xy4xy

xy)4x(

4xsi)4x(

xy

+=

=+−

−=−−

=+−

=⋅−−

<−−

=

sustituyendo esta expresión en la condición 4x < obtenemos

41y

y4<

− al resolver esta inecuación

obtenemos SolB= ),1(y ∞+−∈ la solución total la obtenemos al unir las dos soluciones anteriores SolT = SolA U SolB ⇒ SolT = ),1( ∞+ U ),1( ∞+− ⇒ SolT = ),1( ∞+− por lo tanto Rg:f = ),1( ∞+− Al observar las dos condiciones que cumple la variable x nos damos cuenta que: Dom:f = )4,(−∞ U ),4( ∞+ lo cual se traduce en Dom:f =R-{ }4

X y (x , y) -6 -0,6 (-6 , -0,6) A -4 -0,5 (-4 , -0,5) B -3 -0,4 (-3 , -0,4) C -2 -0,3 (-2 , -0,3) D -1 -0,2 (-1 , -0,2) E 0 0 (0 , 0) F 1 0,3 (1 , 0,3) G 2 1 (2 , 1) H 3 3 (3 , 3) I 5 5 (5 , 5) J 6 3 (6 , 3) K 7 2,3 (7 , 2,3) L 8 2 (8 , 2) M

A B C D E F

G H

I K

L M

J

Gráfica de 4-x

xf(x) =



Ejemplo Ilustrativo 6 Dada la función x1

1f(x)

+= calcula el dominio el rango y traza su gráfica

Cálculo del Dominio: Analizando el denominador nos damos cuenta que este nunca podrá ser nulo ya

que no existe valor de x para el cual su raíz cuadrada sea igual a -1 sin embargo el radicando de x debe ser mayor o igual que cero lo que nos lleva a establecer que 0x ≥ y el dominio de f(x) será Dom:f = [ )∞+,0 Cálculo del Rango: la expresión dada la podemos expresar como sigue:

yy1

x

y1xy

1xyy

1)x1(y

x1

1y

x1

1f(x)

−=

−=⋅

=⋅+

=+⋅

+=

+=

Para cualquier valor de x en el dominio de la función, la x siempre será un valor mayor o igual a

cero, de esta manera 0y

y1≥

− y al resolver esta inecuación obtenemos ( ]1,0 por lo cual Rg:f= ( ]1,0

Gráfica de la función: x y (x , y) 0 1 (0 , 1) A 1 0,5 (1 , 0,5) B 2 0,41 (2 , 0,41) C 3 0,37 (3 , 0,37) D 4 0,33 (4 , 0,33) E 5 0,31 (5 , 0,31) F 6 0,29 (6 , 0,29) G 7 0,27 (7 , 0,27) H

A

B C D E F G H

Gráfica de x1

1f(x)

+=



Ejercicios Propuestos 1.- Halla dominio, rango y traza la gráfica de las siguientes funciones:

Solución Solución

1) 3xf(x) += Dom: [-3 , +∞ ) Rg: [0 , +∞ )

2) 1x3f(x) −= Dom: R Rg: R

3) x-3f(x) = Dom: (-∞ , 3] Rg: [0 , +∞ )

4) 2x-16f(x) −= Dom: [-4 , 4] Rg: [-1 , 0]

5) 2x-1h(x) = Dom:[-1 , 1] Rg: [0 , 1] 6) 3 2 4xf(x) −=

Dom: R Rg: R

7) 4-xf(x) 2= Dom: (-∞ ,-2]U[2 , +∞ ) Rg: [0 , +∞ )

8) 4-xy = Dom: [4 , +∞ ) Rg: [0 , +∞ )

9) 2x-4f(x) = Dom: [-2,2] Rg: [0 , +∞ ) 10) x-1xh(x) −=

Dom: [0 , 1] Rg: [-1 , 1]

11) 3 22 )1x(f(x) −= Dom: R Rg: [0 , +∞ ) 12) 3xy = Dom: R

Rg: R

13) ( ) 21xy 2 +−= Dom: R Rg: [2 , +∞ ) 14) ( ) 12xy 3 −+=

Dom: R Rg: R

15) 2x3(x) +=ϕ Dom: R Rg: [0 , +∞ ) 16) 2x1y +=

Dom: R Rg: [1 , +∞ )

17) xy=1 Dom: R-{0} Rg: R-{0} 18) xy=-1

Dom: R-{0} Rg: R-{0}

19) y=x4 Dom: R Rg: [0 , +∞ ) 20) y=x2

Dom: R Rg: [0 , +∞ )

21) 23x-xf(x) 2 += Dom: (-∞ , 1]U[2 , +∞ ) Rg: [0 , +∞ )

22) 2x

7f(x)

−= Dom: R-{2}

Rg: R-{0}

23) 2)1x(

1f(x)

+= Dom: R-{-1}

Rg: (0 , +∞ ) 24) 1x

1s(x)

+= Dom: R-{1}

Rg: R-{0}

25) x4

xf(x)

−= Dom: R-{4}

Rg: R-{-1} 26) x7

xf(x)

−−

= Dom: R-{7} Rg: R-{1}

27) 2)2x(

2f(x)

−−

= Dom: R-{2} Rg: (-∞ , 0) 28) 2x

1f(x) = Dom: R-{0}

Rg: (0 , +∞ )

29) 3x

x4F(x)

2

2

−= Dom: R-{ 3± }

Rg: (-∞ , 0]U(4 , +∞ ) 30)

2

2

x8x3

F(x)+

= Dom: R Rg: [0 ,3)

31) 2

2

x9x5

F(x)−

= Dom: R-{ 3± } Rg: (-∞ , 5)U[0 , +∞ )

32) 6x

x9F(x)

2

2

+−

= Dom: R Rg: [0 ,9)

33) 3x

1f(x)

+= Dom: R-{-3}

Rg: (0 , +∞ ) 34) 2x

3f(x)

−

−= Dom: R-{-2}

Rg: (-∞ , 0)

35) 4x

xf(x)

−= Dom: R-{4}

Rg: (-1 , +∞ ) 36) x8

xf(x)

−

−= Dom: R-{8}

Rg: (-∞ , 1)



37) t1

1f(t)

+= Dom: [0 , +∞ )

Rg: (0 , 1] 38)

3x2

f(x)+−

= Dom: R-{-3} Rg: R-{0}

39) 1x21x4

F(x)2

+−

= Dom: R-{1/2} Rg: R-{-2}

40) 4x

1f(x)

2 −= Dom: R-{-2 , 2}

Rg: (0 , +∞ )

41) 4x

11x7xf(x)

2

2

−

−+= Dom: R-{-2,2}

Rg: R 42) 6xx

12x4x3xf(x)

2

23

−−

+−−= Dom: R-{-2 , 3}

Rg: R-{-4 , 1}

43) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

>=<+

=-2x si x-42-x si 3-2x si 7x6

g(x) 44) ⎩⎨⎧

≥+<+=

-3x si 3x-3x si x2g(x)

45) ⎪⎩

⎪⎨⎧

≥

<=

0x si x

0x si x1

f(x) 46) ⎩⎨⎧

≥+<+=

1x si 1x-1x si 1x h(x)

Dom: R Rg: (-∞ , 0]U[1 , +∞ )

47) ⎩⎨⎧

=≠−

=2x si 02x si 1x2

g(x) 48) ⎩⎨⎧

>−≤+=

5x si )5x( 5x si 4xs(x)

2

49) ⎩⎨⎧

>+≤+= 1x si 22x

1x si 2xr(x) 22

50)

2.- En los siguientes ejercicios se definen las funciones f y g determine a) g)(x)(f b) )(x)f(g

c) )(x)f(f d) g)(x)(g y el rango de cada una de ellas.

1) f(x)=x-5 ; g(x)x2-1 2) x1

g(x) ; 1x1x

f(x) =−+

=

3) 1-x g(x) ; xf(x) 2== 4) 2x3g(x) ; 1x f(x) 2 −=+=

5) 2x

xg(x) ;

1x1

f(x)−

=+

= 6) x

1 g(x) ; xf(x) 2 ==

7) 2x g(x) ; 1-xf(x) 2 +== 8) 223 xxf(x) ; x3x g(x) −=+=

9) xx2f(x) ; e g(x) 3x −== 10) x

1 g(x) ; xf(x) 3 ==

LIMÍTES Definición informal de límite: Sea f (x) una función definida en un intervalo abierto que contiene a “a”, posiblemente excepto en “a”. Si f (x) se acerca de manera arbitraria a L para toda x suficientemente cerca de a, se dice que f se aproxima al límite L conforme x se aproxime a “a”, y se escribe: L)x(flím

ax=

→

Definición formal de límite: Sea f(x) una función definida en todo número de algún intervalo abierto I que contiene a “a” excepto posiblemente en el mismo número “a”. Decimos que el límite de

la función f(x) cuando X tiende a “a” es L y se escribe como: L)x(flímax

=→

sii para cada número ε>0,

existe un δ(ε)>0 tq si εδ <−⇒<−< |L)x(f||ax|0



A continuación se desarrollaran algunos ejemplos ilustrativos para comprobar unos limites usando la definición Ejemplos Ilustrativos

Ejemplo Ilustrativo 1 Probar que 35xlím4x

=+→

Se debe probar que 35xlím4x

=+→

si ε35x cuando δ 4x tq 0δ 0ε <−−<−>∃>∀

( ) ( )

(A) ε35x

14x

ε35x

4x

ε35x

95x

ε35x

35x35x

ε35x

<+−

⋅−

<+−

−

<+−

−+

<+−

+−⋅−−

<−−

Debemos restringir δ para conseguir una cota superior de 35x

1

+−tomando un 1≤δ a partir de

δ 4x <− por lo cual tendremos:

38

1

35x

1

38

1

35x

1

310

131035x38

105x8

105x814x1

1 4x

+<

++

+<

++<

+

+<++<+

<+<

<+<<−<−

<−

De esta forma la expresión (A) se transforma en:

3)8(ε4x

ε38

14x

+⋅<−

<+

⋅−

Que al comparar con δ 4x <− obtenemos 3)8(εδ +⋅= por lo que debemos tomar

3))8(ε , 1min(δ +⋅= Ejemplo Ilustrativo 2 Probar que 0a axlím 22

ax>∀=

→



Se debe probar que 22

axaxlím =

→ si εax cuando δ ax tq 0δ 0ε 22 <−<−>∃>∀

εaxax

εa)a)(x-(x

εax 22

<+⋅−

<+

<−

Debemos restringir δ para conseguir una cota superior de ax + tomemos un 1≤δ y por lo cual

tendremos:

a21

axa21

ax

)a21(ax

a21ax

a21axa211ax1

1ax

+=

<−+

<−

<+⋅−

+<⋅+

+<+<+−<−<−

<−

εδ

δ

ε

ε

De esta forma debemos tomar ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+

=2a1ε

, 1minδ

Ejemplo Ilustrativo 3 Demostrar que 21

1x1x

lím1x

=−−

→

Se debe demostrar que 21

1x1x

lím1x

=−−

→ si ε

21

1x1x

que siempre δ 1x 0 tq 0δ 0ε <−−−

<−<>∃>∀

( )

[ ]

ε)1x(2

11xε

)1x(2

)1x(ε

)1x()1x(2

)1x(

ε)1x()1x(2

)1x()1x(ε

)1x()1x(2

)1x()1x(ε

)1x(2)1x(

ε)1x(2

)1x2x(

ε)1x(2

1x2xε

)1x(21x2x2

ε)1x(2

)1x(1x2ε

21

1x1x

222

2

2

2

2

222

<+⋅

⋅−⇒<+⋅

−−⇒<

+⋅−⋅

−−

⇒<+⋅−⋅

+⋅−−⇒<

+⋅−⋅

+⋅−−⇒<

−⋅−−

⇒<−⋅

+⋅−−

⇒<−⋅

−⋅+−⇒<

−⋅+−−⋅

⇒<−⋅

−−−⋅⇒<−

−−

Restringiendo δ conseguiremos una cota superior de 2)1x(2

1

+⋅ tomando un 1≤δ a partir de

δ 1x <− por lo cual tendremos:

x 1 1

1 x 1 1

− <

− < − <

0 x 2

0 x 2

< <

< <



1 x 1 2 11 1

12 1 x 1

< + < +

< <+ +

2 2

2 2

2

1 11

( 2 1) ( x 1)1 1 1

22 ( 2 1) 2 ( x 1)

1 122 ( x 1)

< <+ +

< <⋅ + ⋅ +

<⋅ +

ε2

1x

ε21x

ε21

1x

⋅=

<−

⋅<−

<⋅−

δ

δ

Por lo que debemos tomar ε)2 , 1min(δ ⋅=


)1x2x(lím 2

21x

=−+→

Demostremos que 41

)1x2x(lím 2

21x

=−+→

si ε41

)1x2x( cuando δ 21

x tq 0δ 0ε 2 <−−+<−>∃>∀

(A) ε21

x2

5x2ε

21x2

25x2

ε4

)1x2()5x2(

ε4

5)x2(4x4ε

45

x2xε41

1x2x 2

22

<−⋅+

⇒<−

⋅+

⇒<−⋅+

<−+

⇒<−+⇒<−−+

Si restringimos δ podemos obtener una cota superior de 2

5x2 + tomemos un 1≤δ así tendremos:

1x 1

2

11 x 1

2

− <

− < − <

12 ( 1) 2 x 2 1

2

2 2x 1 2

⎛ ⎞⋅ − < − < ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

− < − <

2 6 2x 1 6 2 64 2x 5 8− + < − + < +< + <

4 2x 5 82 2 2

2x 52 4

2

+< <

+< <

2x 54

2+

<



Ahora bien con esta cota podemos expresar (A) como sigue

δ<−

<−

<−⋅

<−⋅+

21

x

4ε

21

x

ε21

x4

(A) ε21

x2

5x2

De lo anterior concluimos que 4ε=δ y como hepos impuesto dos restricciones a δ debemos tomar la

menor entre ella que será ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

4ε

, 1minδ


x5

1lím

1x=

−→

El ejercicio se basa en demostrar que 21

x5

1lím

1x=

−→ si δ 1x 0 tq 0δ 0ε <−<>∃>∀ cuando

ε<−− 2

1

x5

1 basándonos en la búsqueda de un δ que dependerá de ε y cumplirá la condición

anterior así que:

(A) )x5x522

11x

)x52(x52

11x

)x52(x52

)1x(

)x52(x52

x1

)x52(x52

)x5(4

)x52(x52

)x52)(x52(

x52

x5221

x5

1

ε

εεε

εεεε

<−+−⋅⋅

⋅−

⇒<−+⋅−⋅

⋅−⇒<−+⋅−⋅

−−⇒<

−+⋅−⋅

+−

⇒<−+⋅−⋅

−−⇒<

−+⋅−⋅

−+−−⇒<

−⋅

−−⇒<−

−

En este momento restringiremos a δ para poder conseguir una cota superior de )x5x522

1

−+−⋅⋅

Para lo cual tomaremos 1≤δ x 1 1

1 x 1 1

− <

− < − <

0 x 2( 1) 0 ( 1) x ( 1) 2< <

− ⋅ > − ⋅ > − ⋅

2 x 03 5 x 5 (B)− < − << − <

3 5 x 5

2 3 2 5 x 2 5 (C)

< − <

⋅ < ⋅ − < ⋅



2 3 3 2 5 x (5 x) 2 5 51 1 1

2 5 5 2 5 x (5 x) 2 3 3

⋅ + < ⋅ − + − < ⋅ +

< <⋅ + ⋅ − + − ⋅ +

1 1 1

2 (2 5 5) 2 (2 3 3)2 2 5 x (5 x)

1 1

2 (2 3 3)2 2 5 x (5 x)

< <⎡ ⎤⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ +⋅ ⋅ − + −⎣ ⎦

<⎡ ⎤ ⋅ ⋅ +⋅ ⋅ − + −⎣ ⎦

De esta forma hemos conseguido una cota superior para la expresión )x5x522

1

−+−⋅⋅ la cual nos

permite transformar la expresión (A) en:

ε

ε

ε

⋅+⋅<−

<+⋅

⋅−

<−+−⋅⋅

⋅−

)332(21x

)332(2

11x

(A) )x5x522

11x

Comparando esta ultima expresión con δ 1x <− obtenemos que εδ ⋅+⋅= )332(2 y como tenemos

dos valores para δ basta con tomar el menor de ambos valores así ε)3)3(22 , 1min( ⋅+⋅=δ Ejercicios Propuestos 1.- Usar la definición de limite para demostrar que:

1) 3)8x5(lím1x

=+−→

Sol: ε=δ51

2) 2)x37(lím3x

−=−→

Sol: ε=δ31

3) 5)x31(lím2x

−=+−→

Sol: ε=δ31

4) 21x1x

lím2

1x−=

+−

−→ Sol: ε=δ

5) 10)x3x(lím 2

5x=−

→

Sol: )81

,1min( ε=δ 6) 1xlím 2

1x=

→ Sol: )

31

,1min( ε=δ

7) 21x

4lím

3x=

−→ Sol: )

21

,1min( ε=δ 8) 24x

2lím

5x=

−→ Sol: )

41

,21

min( ε=δ

9)21

1x1x

lím1x

=−−

→ Sol: )2,1min( ε=δ 10) 35xlím

4x=+

→

Sol:

))322(,1min( ε+=δ

11) 9)1x2(lím4x

=+→

Sol: ε=δ21

12) 23

2x3x3

lím2x

=+−→

Sol: )32

,1min( ε=δ

13)31

x1

lím3x

−=−→

Sol: )6,1min( ε=δ

14)

31

x23

1lím

3x=

−−→

Sol:

))2179(21

,1min( ε+=δ



15) 1)xx5(lím 2

3x−=−−

−→ Sol: )

61

,1min( ε=δ

Teoremas sobre límites de funciones algebraicas Teorema 1 Si ℜ∈a entonces

axlímax

=→

Ejemplos

a) 8xlím8x

−=−→

b) 2xlím2x

=→

c) 23

xlím2

3x

−=

−→

Teorema 2 Límite de una constante Si c = cte entonces

cclímax

=→

Ejemplos a) 1212lím

5x=

→ b) 33

7x55lím =

−→ c) 9)9(lím

3x−=−

−→

Teorema 3 Límite de una Combinación Lineal Si c = cte y f(x) es una función entonces

)x(flímc)x(fclímaxax →→

⋅=⋅

Ejemplos

a) 632xlím2x2lím3x3x

=⋅=⋅=⋅→→

b) 31551

xlím51

5x

lím15x15x

=⋅=⋅=→→

Teorema 4 Si m = cte ∧ b = cte entonces

bma)bmx(límax

+=+→

Ejemplos

a) 16462)4x2(lím6x

=+⋅=+⋅→

b) 34

331

5)3x5(lím3

1x

−=−⋅=−⋅

→

Teorema 5 Límite de una Suma Si G)x(glím

ax=

→ y H)x(hlím

ax=

→ con G,H ∈ R entonces

HG)x(hlím)x(glím)x(h)x(glímaxaxax

+=+=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

→→→

Ejemplos

a) 28)2(38límx3lím)8x3(lím2x2x2x

=+−=+=+−→−→−→

b) 823

25x2lím5lím)x25(lím2

3x23x2

3x=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+=+=+→→→

Teorema 6 Límite de una Diferencia Si G)x(glím

ax=

→ y H)x(hlím

ax=



−=−=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

→→→

Ejemplos

a) 11)0(51límx5lím)1x5(lím2x2x0x

−=−=−=−−→−→→

b) 2732límx3lím)2x3(lím7x7x7x

−=−=−→→→

Teorema 7 Límite de un Producto Si G)x(glím

ax=

→ y H)x(hlím

ax=





•=•=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ •

→→→

Ejemplo [ ] [ ] 15354)1(3)1(2)4x(lím)3x2(lím)4x()3x2(lím

2x2x1x−=⋅−=+−⋅−−=+⋅−=+⋅−

−→−→−→

Nota: Los teoremas 5, 6 y 7 pueden ser aplicados para cualesquier número finito de funciones Teorema 8 Límite de un Cociente Si G)x(glím

ax=

→ y H)x(hlím

ax=

→ con G,H ∈ R con H ≠ 0 entonces

HG

)x(hlím

)x(glím

)x(h)x(g

límax

ax

ax==

→

→

→

Ejemplo

203

406

353814

)7(538)7(2

)x53(lím

)8x2(lím

x538x2

lím7x

7x

7x

−=

−=

++−

=−−+−

=−

+=

−+

−→

−→

−→

Teorema 9 Límite de una Potencia Si G)x(glím

ax=

→ y m , n ∈ Z con n ≠ 0 entonces

nmn

m

ax

nm

axG)x(glím)x(glím =

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

→→

Ejemplo

[ ] [ ] ( ) 4648)4(2x2límx2lím 33 2323

2

4x3

2

4x==−=−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=

−→−→

Dos consecuencias inmediatas del teorema 9 son los corolarios 9.1 y 9.2 Corolario 9.1 Si en el teorema 9 hacemos n = 1 y g(x) = x entonces

mmax

axlím =→

Ejemplo

272

271

231

2x2lím3

3

31x

==⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=→

Corolario 9.2 Límite de una raíz Si n es un número entero positivo par 0L ≥ y en el teorema 9 hacemos m = 1 entonces

[ ] n1

n1

axn

axGg(x) lím)x(g lím ==

→→

Ejemplo

[ ] [ ] 2)2()32(5)3(353x lím5x3 lím 5155

15

125

12

ax

5 2

3x===+=+=+

→→

Teorema 10 Límite de un polinomio: Si P(x) es una función polinómica y Ra ∈

)a(P)x(P límax

=→

Ejemplo

711518271)3(5)3(2)3()1x5x2x(lím 2323

3x=+++−=+−−−+−=+−+

−→



Teorema 11 Si G)x(glímax

=→

y H)x(hlímax

=→

con G,H ∈ R* entonces

H

)x(hlím

ax

)x(h

axG)x(glím)x(glím

ax

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ →

→→

Ejemplo [ ] [ ]

1649

47

24

1)2(

)2(21

xx21

límxx21

lím268)2(38)x38(lím

2x

)x38(

2x

2x

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−−++

−→

+

−→

−→

Ejemplos Ilustrativos Ejemplo Ilustrativo 1 Calcular el 2 3

1x 3

lím (2x 1)→

− aplicando los teoremas

potencia una de Límite 9 T )1x2(lím)1x2(lím

3

2

31x

32

31x ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−=−

→→

729343

97

192

191

2

potencia una de Límite 9 T1límxlím2

lineal ncombinació una de Limite de Límite 3 T1límxlím2

diferencia una de Límite 6 T1lím2xlím

3

3

3

3

31x

2

31x

3

31x

2

31x

3

31x

2

31x

−=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⋅=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⋅=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−=

→→

→→

→→

Ejemplo Ilustrativo 2 Aplica los teoremas de limite para calcular ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

+⋅⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

−→ 2x3

3x53x2x42

lím3

2

1x

9.2 C 2x3

3x53x2x42

lím2x3

3x53x2x42

lím3

2

1x3

2

1x ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

+⋅⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

+⋅⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

−→−→

2

3x 1 x 1

2 4x 5x 3lím lím T 7

2x 3 3x 2→− →−

⎛ ⎞− +⎛ ⎞= ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠⎝ ⎠

2

x 1 x 13

x 1 x 1

lím(2 4x ) lím(5x 3) T 8

lím(2x 3) lím(3x 2)→− →−

→− →−

− += ⋅

− −



2

x 1 x 1 x 1 x 13

x 1 x 1 x 1 x 1

2

x 1 x 1 x 1 x 13

x 1 x 1 x 1 x 1

lím 2 lím 4x lím 5x lím 3 T 5 - T 6

lím 2x lím 3 lím 3x lím 2

lím 2 4 lím x 5 lím x lím 3 T 3

2 lím x lím 3 3 lím x lím 2

→− →− →− →−

→− →− →− →−

→− →− →− →−

→− →− →− →−

− += ⋅

− − −

− += ⋅

− −

( )( )

2

x 1 x 1 x 1 x 13

x 1 x 1x 1 x 1

2

3

lím 2 4 lím x 5 lím x lím 3 T 9

2 lím x lím 3 3 lím x lím 2

2 4( 1) 5( 1) 3 (A) T 1 - T 2

2( 1) 3 3( 1) 2

→− →− →− →−

→− →−→− →−

− += ⋅

− −

− − − += ⋅

− − − −

2 4 5 32 3 3 2

2 25 5

425

25

− − += ⋅

− − − −

− −= ⋅

− −

= ⋅

=

Apreciado lector observa que en este ejercicio la expresión (A) es equivalente a sustituir el valor al cual está tendiendo la variable x en el límite original lo cual simplifica el procedimiento de la aplicación de los teoremas en el cálculo de los límites siendo esto un artificio matemático que usaremos de aquí en adelante para calcular los límites.

Ejemplo Ilustrativo 3 Calcular 2

2

2

2x 4xx2

1x3xlím ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

+−−→

36121

611

428164

4)2()2(2

1)2(3)2(

4xx2

1x3xlím

222

2

22

2

2

2x=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−+++

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−−−

+−−−=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

+−−→

Observa que al sustituir la variable x por el valor al cual tiende desaparece la expresión 2x

lím−→

Ejemplo Ilustrativo 4 Calcular 1x2x

9x6xlím

2

2

21x +−

++→

49149

17

21

27

121

321

1x3x

lím)1x(

)3x(lím

1x2x

9x6xlím

2

22

2

21x2

2

21x2

2

21x

==⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

+=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−+

=−

+=

+−

++→→→

Ejemplo Ilustrativo 5 Calcular 32

2

2x 3x4x4

10x3xlím

++

−−→

312

2712

38161064

3)2(4)2(4

10)2(3)2(

3x4x4

10x3xlím

3333

2

23

2

2

2x

−=

−=

++−−

=+⋅+⋅

−⋅−=

++

−−→



Analicemos ahora las indeterminaciones del tipo 00

y las estrategias para resolver dichas

indeterminaciones

Ejemplo Ilustrativo 6 Hallar el valor del x3x

x9x6xlím

2

23

0x −

+−→

Si sustituimos x por el valor se obtiene 00

)0(3)0(

)0(9)0(6)0(2

23

=−

+− lo cual es una indeteminación

trabajando con la expresión x3x

x9x6x2

23

−

+− se debe factorizar tomando un factor común x tanto en el

numerador como en el denominador 2x(x 6x 9) xx(x 3)− +

=− x

2 2x 6x 9 x 6x 9x 3 x 3− + − +

⋅ =− −

lo cual se resume

como 3x

9x6x

x3x

x9x6x 2

2

23

−+−

=−

+− teniendo que

33

93)0(

9)0(6)0(3x

9x6xlím

x3x

x9x6xlím

22

0x2

23

0x−=

−=

−+−

=−

+−=

−

+−→→

de esta manera

3x3x

x9x6xlím

2

23

0x−=

−

+−→

y no 00


6x5xlím

2

2

3x −+

++−→

Observemos lo que sucede al sustituir x por -3

00

991515

3696159

3)3(2)3(

6)3(5)3(

3x2x

6x5xlím

2

2

2

2

3x=

−−

=−−+−

=−−+−

+−+−=

−+

++−→

Obtenemos la indeterminación 00

sin

embargo el valor real de este limite es 41

veamos como se calcula este valor

2

2

(x 3)(x 3)(x 2)x 5x 6(x 3)(x 1)x 2x 3

++ ++ += =

+ −+ − (x 3)+

(x 2) (x 2) (x 2)1

(x 1) (x 1) (x 1)+ + +

⋅ = ⋅ =− − −

de lo cual se puede concluir que

)1x()2x(

3x2x

6x5x2

2

−+

=−+

++ y así

41

1323

1x2x

lím3x2x

6x5xlím

3x2

2

3x=

−−+−

=−+

=−+

++−→−→

En este ejercicio se factorizó por tanteo tanto el numerador como el denominador observa que para el numerador se escogieron dos números que multiplicados den 6 y que sumados den 5 ellos son el 3 y el 2 y en el denominador se escogieron dos números que multiplicados den 3 y que restados den 2 siendo estos el 3 y el 1

Ejemplo Ilustrativo 8 Calcular 4x

8xlím

2

3

2x −

−→

evidentemente es una indeterminación 00

trabajando

con la expresión 4x

8x2

3

−

−mediante factorizaciones basadas en diferencia de cubos y diferencias de

cuadrados se obtiene2 23 3 3

2 2 2

(x 2)(x 2)(x 2x 2 )x 8 x 2(x 2)(x 2)x 4 x 2

−− + +− −= = =

− +− − (x 2)−

2 2 2(x 2x 2 ) x 2x 4(x 2) x 2+ + + +

⋅ =+ +



Por lo que 32)2(

4)2(2)2(2x

4x2xlím

4x

8xlím

22

2x2

3

2x=

++⋅+

=+

++=

−

−→→


lím4

1x −−

→ es obvio que cuando x 1→

00

1x1x4

=−−

por esta razón se

debe factorizar el numerador usando diferencia de cuadrados dos veces

( ) ( )22 2 2 24 x 1x 1 (x 1)(x 1) (x 1)(x 1)(x 1)x 1x 1 x 1 x 1 x 1

−− − + − + +−= = = =

− − − − ( )x 1−2 2(x 1)(x 1) (x 1)(x 1)⋅ + + = + +

De esta forma se establece que )1x)(1x(1x1x 2

4

++=−−

por lo que

4)11)(11()1x)(1x(lím1x1x

lím 22

1x

4

1x=++=++=

−−

→→

Ejemplo Ilustrativo 10 Calcular x3

x9xlím

2

9x −

−→

La factorización del denominador no es evidente y tampoco significativa, en estos casos en que se tienen raíces cuadradas se procede mediante el método de racionalización así se utilizara la conjugada

del denominador la cual es x3 +

2

2 2

x(x 9) x(x 9)(3 x) x(x 9)(3 x) x(x 9)(3 x)x 9x 3 x9 x3 x 3 x 3 x (3 x)(3 x) (3) ( x)

x(9 x)(3 x) 9 x9 x

− − + − + − +− += ⋅ = = =

−− − + − + −

− − + −= =

− 9 x−( )x (3 x) x(3 x)⋅ − + = − +

Entonces )x3(xx3

x9x2

+−=−

− y así [ ] 5469)93(9)x3(xlím

x3

x9xlím

9x

2

9x−=⋅−=+−=+−=

−

−→→


10x3xlím

2

2

2x −+

−+→

Por una indeterminación del tipo 00

Trabajaremos con la expresión 35x

10x3x2

2

−+

−+ para aplicar el

procedimiento de racionalización

2 2 22 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

2 2 2 2

2

(x 3x 10)( x 5 3) (x 5)(x 2)( x 5 3)x 3x 10 x 3x 10 x 5 3

x 5 3 x 5 3 x 5 3 ( x 5 3)( x 5 3) ( x 5) (3)

(x 5)(x 2)( x 5 3) (x 5)(x 2)( x 5 3) (x 5)(x 2)( x 5 3)x 5 9 x 4 x 2

(x 5)(x 2)( x 5 3)(

+ − + + + − + ++ − + − + += ⋅ = =

+ − + − + + + − + + + −

+ − + + + − + + + − + += = =

+ − − −

+ − + +=

x 2x 2)(x 2)

−=

− + x 2−

2 2(x 5)( x 5 3) (x 5)( x 5 3)x 2 x 2

+ + + + + +⋅ =

+ +



221

442

4)39(7

22)352)(52(

2x)35x)(5x(

lím35x

10x3xlím

22

2x2

2

2x==

+=

++++

=+

+++=

−+

−+→→


x1lím

21x −+

−→

Cuando x 1→00

23x

x12

=−+

−por lo que se debe racionalizar pero en este caso se usa el

procedimiento en el numerador y en el denominador (doble racionalización)

22

2 2 2 2 2

2 2 22 2

2 22 2 2

2

(1 x)(1 x)( x 3 2)1 x 1 x x 3 2 1 x

1 xx 3 2 x 3 2 x 3 2 ( x 3 2)( x 3 2)(1 x)

(1) ( x) ( x 3 2) (1 x) ( x 3 2) (1 x) ( x 3 2)

(x 3 4) (1 x) (x 1) (1 x)( x 3) (2) (1 x)

(x 1) ( x 3 2)

(x

− + + +− − + + += ⋅ ⋅ =

++ − + − + + + − + + +

⎡ ⎤− ⋅ + + − ⋅ + + − ⋅ + +⎣ ⎦= = =⎡ ⎤ + − ⋅ + − ⋅ ++ − ⋅ +⎢ ⎥⎣ ⎦

− − ⋅ + +=

(x 1)

1) (x 1) (1 x)

−=

− ⋅ + ⋅ + (x 1)−

2 2( x 3 2) ( x 3 2)

(x 1) (1 x) (x 1) (1 x)

− + + − + +⋅ =

+ ⋅ + + ⋅ +

Luego tenemos que 122

)24(

)11()11(

)231(

)x1()1x(

)23x(lím

23x

x1lím

22

1x21x−=

⋅+−

=+⋅+

++−=

+⋅+

++−=

−+

−→→

Ejercicios Propuestos

Ejercicios Resp. Ejercicios Resp.

1) )4x2(lím3x

+→

10 2) )6x8x2(lím 23x

−+−→

-12

3) 326x

)10x5x(lím −+−→

3136 4) 22

52x

)3x6(lím +→

9801/625

5) 2x27x

lím2

21x +

−→

-9/4 6) 2x3x4

lím34x ++

→ 19/66

7) 1x

5x2xlím

2

2

1x +++

→ 4 8)

1−s

s2 s− 6−

s2 5s− 14−lim→

½



9) 1x

x4 1−

x2 1+lim→

0 10) 2x

x2 4x− 4+

x2 8x− 12+lim→

0

11) 2−x

2x3 5− x2 2x− 3−

4x3 13x2− 4x+ 3−lim→

83/95 12) 3−x

3 5 2x+

5 x−lim→

-1/2

13) 4x

3x2 3x− 4+

2x2 x− 1−lim→

2/3 14) 1x1x

lím3

1x −−

→ 3

15) x2x3

xx2x4lím

2

23

0x +

+−→

½ 16) 2x5x3

10x3xlím

2

2

2x −−

−+→

1

17) 2x4x

lím2

2x −−

→ 4 18)

2−x

x3 x2+ 2 x⋅−

x2 x− 6−lim→

-6/5

19) 20x12x

6x5xlím

2

2

2x +−

+−→

1/8 20) 5x

x 1− 2−

x 5−lim→

¼

21) ( )

hxhx

lím33

0h

−+→

3x2 22) 9x

3 x−

9 x−lim→

1/6

23) x

1x1lím

0x

−+→

½ 24) 3−x

x2 9−

2x2 7x+ 3+lim→

530

25) 0x

1 3 1 x+−

xlim→

-1/3 26) 32

x

8x3 27−

4x2 9−lim

→

223

27) 1x

1− x3+

x 1−lim→

3 28) 8y

7 3 y+ 3−

y 8−lim→

1/72

29) 3x

x 3−

x3 27−lim→

391

30) 0h

2 4 h−−

hlim→

¼

31) 7r

5 4 3r+−

7 r−lim→

3/10 32) 0x

x 2+ 2−

xlim→

241

33) 1x

3 x 1−

x 1−lim→

1/3 34) 0h

3 h 1+ 1−

hlim→

1/3

35) 2−x

x3 x2− x− 10+

x2 3x+ 2+lim→

-15 36) 1−x

2x2 x− 3−

x3 2x2+ 6x+ 5+lim→

-1

37) 4x

x2 16−

x 4−lim→

8 38) 2−x

x3 8+

x 2+lim→

12

39) 3x

x3 27−

x 3−lim→

27 40) 4x

x 2−

x 4−lim→

¼



41) 12

x

34x2 4x+ 3−

4x2 1−lim

→

3 2 42) 3−z

z2 9−

z 3+lim→

-6

43) 1x

x4 1−

x2 1−lim→

2 44) 0t

9 t− 3−

tlim→

-1/6

45) 1−x

2x2 x− 3−

3x2 8x+ 5+lim→

-5/2 46) 1−x

x4 1−

x 1+lim→

-4

47) 0r

3r a+( )2 3

a2−

rlim→

3 a3

2 48)

9x

2 x 6−

x 9−lim→

1/3

49) 0x

4x4 1+ x2 1+−

x2lim→

-1/2 50) 0x

4x4 1+

4x2 1+−

x2lim→

-1/4

51) 1x

2x3xlím

2

2

1x −−+

−→ -1/2 52)

x3

xx9lím

2

9x −

−→

54

53) 4x

x2 16−

x2 x+ 20−lim→

8/9 54) 1x

x 1−

x2 3+ 2−

lim→

2

55) 3x

x2 x+ 12−

x2 5x− 6+lim→

7 56) 1x

2x

x2 1−

1

x 1−−

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

lim→

½

57) 2x

x 2−

x2 5+ 3−

lim→

3/2 58) 6tt

t4t4tlím

2

23

2t −−++

−→ 0

59) x2x3

xx2x4lím

2

23

0x ++−

→ 1/2 60)

1x

1xlím

3

1x −

−→

2/3

61) 22x

31x2lím

4x −−

−+→

232

62) 35x

2x2lím

22x −+

−→

¾

63) 23x

x1lím

21x −+

−→

-1 64) 2x3x

1xlím

2

2

1x −−

−−→

8/5

Teoremas sobre límites de funciones Trigonométricas Sea “a” un número real en el dominio de la función trigonométrica dada entonces: Teorema 12 (a) sen sen(x)lím

ax=

→

Teorema 13 (a) cos cos(x)lím

ax=

→

Teorema 14 (a) tg tg(x)lím

ax=

→



Teorema 15 (a) csc csc(x)límax

=→

Teorema 16 (a) sec sec(x)lím

ax=

→

Teorema 17 (a) ctg ctg(x)lím

ax=

→

Dos límites trigonométricos Importantes

Teorema 18 1x

)x(senlím

0x=

→

Teorema 19 0x

)xcos(1lím

0x=

−→

Teoremas sobre límites de funciones Trascendentales Teorema 20 ax

axe elím =

→

Teorema 21 (a) Log (x)Loglím bb

ax=

→

Una consecuencia inmediata del teorema 21 es el corolario 21.1 haciendo b=e obtenemos el logaritmo natural o Neperiano llamado así en honor a su descubridor Jhon Nepper teniendo que:

(x) Ln (x)Loge = Corolario 21.1 (a) Ln Ln(x)lím

ax=

→0a >∀

Formulario de Identidades Trigonométricas

1. 1)x(Sen)x(Cos 22 =+ 2. coh

)(Csc hco

)(Sen =θ=θ

3. )x(Tan1)x(Sec 22 += 4. cah

)(Sec hca

)(Cos =θ=θ

5. )x(Cot1)x(Csc 22 += 6. coca

)(Cot caco

)(Tan =θ=θ

h = Hipotenusa co = Cateto Opuesto ca = Cateto Adyacente

7. 1)x(Csc)x(Sen = 8. ( ) ( ) ( ) ( )[ ]x nm Cosx nm Cos21

nx Sen mx Sen +−−=

9. 1)x(Sec)x(Cos = 10. ( ) ( ) ( ) ( )[ ]x nm Cosx nm Cos21

nx Cos mx Cos −++=

11. 1)x(Cot)x(Tan = 12. ( ) ( ) ( ) ( )[ ]x nm Senx nm Sen21

nx Cos mx Sen −++=

13. )x(Cos)x(Sen

)x(Tan = 14. ( ) ( ) ( ) ( )[ ]x nm Senx nm Sen21

nx Sen mx Cos −−+=

θ

h co

ca



15. )x(Sen)x(Cos

)x(Cot = 16. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ySenxCosyCosxSenyx Sen ⋅+⋅=+

17. [ ])x2(Cos121

)x(Sen2 −= 18. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ySenxSenyCosxCosyx Cos ⋅−⋅=+

19. [ ])x2(Cos121

)x(Cos2 += 20. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ySenxCosyCosxSenyx Sen ⋅−⋅=−

21. )x(Sen)x(Sen −=− 22. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ySenxSenyCosxCosyx Cos ⋅+⋅=−

23. (x) Cos)x(Cos =− 24. )x(Cos)x(Sen2)x2(Sen =

25. )x(Tan)x(Tan −=− 26. )x(Sen)x(Cos)x2(Cos 22 −=

27. (x) Cot)x(Cot −=− 28. )y(Tan)x(Tan1

)y(Tan)x(Tan)yx(Tan

⋅−+

=+

29. )x(Sec)x(Sec −=− 30. )y(Tan)x(Tan1

)y(Tan)x(Tan)yx(Tan

⋅+−

=−

31. (x) Csc)x(Csc −=−

Ejercicios Propuestos

Resp. Resp.

1) )xcos(lím1x

π→

-1 2) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ π→ 2

xsenlím

1x 1

3) )x(tglímx π→

0 4) x

)x(tglím

0x→ 1

5) )y5(sen

y3lím

0y→ 3/5 6) )x(cos1

)x(cos1lím

0x +−

→

0

7) 2

3

0x x

)x(senlím→

0 8) )x(cos1

)x(senlím

2

0x −→ 2

9) 0β

sin 5β( )

sin 2β( )lim→

5/2 10) )x5(sen)x3(sen

lím0x→

3/5

11) 0θ

csc 3θ( )

cot θ( )lim→

1/3 12) 20x x

)x(cos1lím

−→

½

13) x

)x4(senlím

0x→ 4 14)

2

2

0x x

)x(cos1lím

−→

1

15) x

)x(cos33lím

0x

−→

0 16) )xcos()x(sen)x(tg1

lím4x −

−π→

2−

17) 0x

2x

sin 3x( )lim→

2/3 18) 0x

sin 9x( )

sin 7x( )lim→

9/7

19) 0α

sin 3α( )

sin 6α( )lim→

½ 20) 0x

x2

sin 3x( )( )2lim→

1/9

21) 0x

sin 3x( )( )5

4x5lim→

243/4 22) 0x

x

c os x( )lim→

0



23) 0x

1 cos 4x( )−

xlim→

0 24) 0z

1 cos 2z( )−

4zlim→

0

25) 0x

3x2

1 cosx

2⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

2−

lim→

12 26) 0x

1 cos x( )( )2−

2x2lim→

½

27) 0x

tan x( )

2xlim→

1/2 28) 0x

tan 2x( )( )4

4x4lim→

4

29) 0x

1 cos 2x( )−

sin 3x( )lim→

0 30) 0x

1 cos x( )( )2−

xlim→

0

31) 0t

4t

tan t( )lim→

4 32) x

x4senlím

0x→ 4

33) [ ]gxcotxcossenx2lím2x

+−π→

2 34) 30x x

senxtgxlím

−→

½

35) 2x

x

0x xe

exlím

−

+→

1 36) xcos1

xlím

0x −→ 2/√2

37) 2

2

0x x3x

senlím→

1/9 38) )xcot(xlím0x→

1

39) 2

1x2

0x xx

xelím

+

+−

→ E 40)

1e

1elím

x

3 x

0x −

−

→

41) 1e1e

límx

x3

0x −−

→ 42)

1e2ee

límx2

xx2

0x −−+

→

42) 1e1e

límx3

x4

0x −−

→ 44) 1e4

3e4e4lím

x2

xx2

0x −−+

→

43) 1e1e

límx2

x4

0x −−

→



Teorema De Estricción Se le llama también el teorema del emparedado del Sándwich o del encaje y se refiere a una función

ƒ cuyos valores quedan contenidos entre los valores de otras dos funciones g y h que tienen el

mismo limite L en el punto a. Al estar atrapado entre los dos valores de las dos funciones que se

aproximan a L, los valores de ƒ deben aproximarse a L.

Ejemplos ilustrativos 1.- Dada ( )21x32)x(g −≤− Hallar )x(glím

1x→

Solución:

( ) ( )22 1x32)x(g1x3 −≤−≤−− por propiedad de valor absoluto

( ) ( )22 1x32)x(g1x32 −+≤≤−− transponiendo de miembro el 2

( )( ) ( )( )2

1x1x

2

1x1x32lím)x(glím1x32lím −+≤≤−−

→→→ Aplicando lím

( ) ( )21x

2 1132)x(glím1132 −+≤≤−−→

sustituyendo x por 1 para calcular el limite

2)x(glím21x

≤≤→

por propiedades de limite

2)x(glím1x

=→

por teorema del Sándwich

Ejercicios propuestos Usa el teorema de estricción para hallar los siguientes limites:

1.-⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⋅→ x

1cosxlím 2

0x 2.- ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⋅→ x

1senxlím 2

0x 3.- ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⋅→ x

1cosxlím 2

0x

4.- Si x)xcos(2)x(gx2 2 ∀≤≤− Hallar )x(glím

0x→

5.- Si 1x1x5)x(fx25 22 ≤≤−−≤≤− Hallar )x(flím

0x→

Teorema 25 Teorema de estricción

Si ƒ(x) < g (x) < h (x) para toda x en un intervalo abierto que contiene a a (excepto quizás en a) y L)x(hlím)x(flím

axax==

→→ entonces: L)x(glím

ax=

→



Limites Unilaterales Limites por la derecha:

Limites por la izquierda

Teorema 26 El Límite de f(x) existe y es igual a L sii Laigualessonyexisten)x(flímy)x(flím

axax −+ →→

Ejercicios Propuestos En cada caso trazar la grafica y hallar el límite indicado:

1.- ⎪⎩

⎪⎨

⎧

>−=−<

=1xsi31xsi11xsi2

)x(f )x(flím)c)x(flím)b)x(flím)a1x1x1x →→→ −+

2.- ⎩⎨⎧

≥<−

=0xsi20xsi2

)x(g )x(glím)c)x(glím)b)x(glím)a0x0x0x →→→ −+

3.- ⎪⎩

⎪⎨

⎧

>+

=<+

=

1xsi2x

1xsi41xsix32

)x(f2

)x(flím)c)x(flím)b)x(flím)a1x1x1x →→→ −+

4.- ⎩⎨⎧

−>−−≤+

=4xsix44xsi4x

)x(h )x(hlím)c)x(hlím)b)x(hlím)a4x4x4x →→→ −+

5.- ⎪⎩

⎪⎨⎧

>+

≤−=

1xsix2

1xsix4)x(g

2

2

)x(glím)c)x(glím)b)x(glím)a1x1x1x →→→ −+

6.- ⎪⎩

⎪⎨⎧

>−≤=

2tsit282tsit)t(h

2 )t(hlím)c)t(hlím)b)t(hlím)a

2x2x2x →→→ −+

7.- ⎪⎩

⎪⎨

⎧

>−=<+

=1rsir271rsi21rsi3r2

)r(f )r(flím)c)r(flím)b)r(flím)a1x1x1x →→→ −+

8.- ⎪⎩

⎪⎨

⎧

>−

=<−

=

2xsix4

2xsi42xsi4x

)x(f2

2

)x(flím)c)x(flím)b)x(flím)a2x2x2x →→→ −+

se dice que f(x) tiene un límite por la izquierda L en “a” y escribimos

ε<−⇒<<δ−∀>δ∃>ε∀=−→

L)x(faxatq00siL)x(flímax

Se dice que f(x) tiene un límite por la derecha L en “a” y escribimos

ε<−⇒δ+<<∀>δ∃>ε∀=+→

L)x(faxatq00siL)x(flímax



9.-

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>−≤≤−−

−<

=2xsi2

2x2six4

2xsi2

)x(f 2 )x(flím)c)x(flím)b)x(flím)a2x2x2x −→−→−→ −+

)x(flím)f)x(flím)e)x(flím)d2x2x2x →→→ −+

10.-⎪⎩

⎪⎨

⎧

>−≤≤−

−<+

=xsix1

1x1six

1xsi1x

)x(f 2 )x(flím)c)x(flím)b)x(flím)a1x1x1x →→→ −+

)x(flím)f)x(flím)e)x(flím)d1x1x1x −→−→−→ −+

Limites Al Infinito

Aquí consideraremos un problema diferente al considerado en capítulos anteriores. En ellos nos

hemos preguntado qué pasa con f(x) cuando x se aproxima a un valor determinado c. Aquí nos

preguntaremos qué pasa con f(x) cuando x crece ilimitadamente (x crece sin cota) o cuando decrece

ilimitadamente (decrece sin cota). Estos son los límites al infinito.

Teorema 27 Si n es cualquier entero positivo, entonces

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

=

=

−∞→

+∞→

0x1

lím)b

0x1

lím)a

nx

nx 0x ≠∀

Propiedades de los límites al infinito Ejemplos 1.- Si k es una constante entonces

kklím)bkklím)axx

==−∞→+∞→

( ) ( ) 55lím)b1212lím)axx

=−=−−∞→+∞→

Se dice que f(x) tiene un límite L cuando x tiende a mas infinito y escribimos

ε<−⇒>∀∃>ε∀=+∞→

L)x(fMxtqM0siL)x(flímx

Se dice que f(x) tiene un límite L cuando x tiende a menos infinito y escribimos

ε<−⇒<∀∃>ε∀=−∞→

L)x(fNxtqN0siL)x(flímx



2.- Si n es un número natural par entonces

+∞=+∞=−∞→+∞→

n

x

n

xxlím)bxlím)a +∞=+∞=

−∞→+∞→

8

x

4

xxlím)bxlím)a

3.- Si n es un número natural impar entonces

−∞=+∞=−∞→+∞→

n

x

n

xxlím)bxlím)a

( ) ( ) −∞=++∞=−−∞→+∞→

5

x

3

x2xlím)b4xlím)a

4.- Si n es un número natural par entonces +∞=

+∞→

n

xxlím +∞=+

+∞→

4

x7x3lím

5.- Si n es un número natural impar entonces −∞=+∞=

−∞→+∞→

n

x

n

xxlím)bxlím)a −∞=−+∞=

−∞→+∞→

5

x

3

x6x9lím)bx7lím)a

Ejemplos Ilustrativos

1.- Calcular ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+

∞→12

x

1lím

3x

Solución: Tenemos

3 3x x x

1 1lím 12 lím lím12 0 12 12

x x→∞ →∞ →∞

⎛ ⎞+ = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

2.- Calcular ( )3

xl im 3x 5x 6→∞

− − +

Solución: Usualmente, con el fin de utilizar las propiedades anteriores, se procede en estos casos del

siguiente modo:

( )3 32 3x x

5 6l im 3x 5x 6 l im x 3

x x→∞ →∞

⎛ ⎞− − + = ⋅ − − +⎜ ⎟⎝ ⎠

Observa que lo que se hizo fue factorizar la expresión "sacando" el término de mayor exponente, por

esta razón dentro del paréntesis quedan fracciones en las que aparece la variable en el denominador.

El objetivo que se persigue con esto es muy claro: estas fracciones que acabamos de mencionar

tienden a 0 y, por lo tanto, el límite solo va a depender del término de mayor exponente. Entonces,

( )

( )

3 32 3x x x

3 32 3x x x x x

5 6l im 3x 5x 6 l im x l im 3

x x

5 6l im 3x 5x 6 l im x l im3 l im l im ( 3 0 0) 3

x x

→∞ →∞ →∞

→∞ →∞ →∞ →∞ →∞

⎛ ⎞− − + = ⋅ − − +⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞− − + = ⋅ − − + = ∞ ⋅ − − + = ∞ ⋅ − = − ∞⎜ ⎟⎝ ⎠

El procedimiento que acabamos de utilizar en el ejemplo anterior se usa en el cálculo de muchos de

los límites al infinito.



3.- Calcular 2

2x

x 5 x 4lim

x 2 x 1→∞

+ ⋅ +− ⋅ +

Solución: Procedemos del siguiente modo: se divide entre la variable de mayor exponente tanto en el numerador como en el denominador

0 02 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2x x x x

22 2 2 2

0 0

x 5 x 4 x 5x 4 5 41

x 5 x 4 1 0 0xx x x x xlim lim lim lim 12 1 1 0 0x 2 x 1 x 2 x 1 x 2x 1 1x xx x x x

→∞ →∞ →∞ →∞

+ ⋅ ++ + + +

+ ⋅ + + += = = = =

− +− ⋅ + − ⋅ + − +− +

Límites al infinito de funciones polinomicas.

El procedimiento usado es bastante general y podemos deducir de él las dos reglas siguientes.

Regla 1: Si tenemos un polinomio p(x)=anxn+an-1xn-1+ ··· +a1x+a0 (con an diferente de 0) entonces

( )n n 1 n 2 nn n 1 n 2 1 0 nx x

lim a x a x a x ... a x a lim a x− −− −→+∞ →∞

+ + + + + = y también

( )n n 1 n 2 nn n 1 n 2 1 0 nx x

lim a x a x a x ... a x a lim a x− −− −→−∞ →−∞

+ + + + + =

Regla 2: Si tenemos dos polinomios n n 1 n 2

n n 1 n 2 1 0P(x) a x a x a x ... a x a− −− −= + + + + + , con an distinto de 0)

y m m 1 m 2m m 1 m 2 1 0Q(x) b x b x b x ... b x b− −

− −= + + + + + con an y bm distintos de cero entonces

n n 1 n 2n n 1 n 2 1 0

m m 1 m 2x xm m 1 m 2 1 0

a x a x a x .. . a x aP (x )l im lim

Q (x ) b x b x b x .. . b x b

− −− −

− −→ ∞ → ±∞− −

⎛ ⎞+ + + + += ⎜ ⎟⎜ ⎟+ + + + +⎝ ⎠

Este limite se resuelve según análisis que se compone de tres casos que son:

CASO CONDICION RESULTADO

I Si n=m n

xm

aP(x)lim

Q(x) b→∞=

II Si n<m x

P(x)lim 0

Q(x)→∞=

III Si n>m x

P(x)lim

Q(x)→∞= ±∞



Límites Infinitos Teorema 28 Si r es cualquier número entero positivo, entonces

⎪⎩

⎪⎨⎧

∞+∞−=

+∞=

−

+

→

→

paresrsiimparesrsi

x1

lím)b

x1

lím)a

r0x

r0x

Teorema 29 Si a es cualquier número real y si c)x(nlímy0)x(dlím

axax==

→→, donde c es una

constante diferente de cero, entonces:

+∞=→>→ )x(d

)x(nlímentonces)x(ddepositivosvaloresdetravésa0)x(dy0cSi)I

ax

−∞=→>→ )x(d

)x(nlímentonces)x(ddenegativosvaloresdetravésa0)x(dy0cSi)II

ax

−∞=→<→ )x(d

)x(nlímentonces)x(ddepositivosvaloresdetravésa0)x(dy0cSi)III

ax

+∞=→<→ )x(d

)x(nlímentonces)x(ddenegativosvaloresdetravésa0)x(dy0cSi)IV

ax

Teorema 30 i) Si ∞+=

→)x(glím

ax y c)x(hlím

ax=

→ ∀ c ∈ R entonces

∞+=+=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

→→→)x(hlím)x(glím)x(h)x(glím

axaxax

ii) Si ∞−=

→)x(glím

ax y c)x(hlím

ax=

→ ∀ c ∈ R entonces

∞−=+=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

→→→)x(hlím)x(glím)x(h)x(glím

axaxax

Teorema 31

Sea f(x) una función definida en todo número de algún intervalo abierto I que contenga al numero “a”, excepto, posiblemente en el numero “a”. Cuando x tiende a “a” f(x) crece sin límites lo cual se escribe:

N)x(fax0sitq00Nsi)x(flímax

>⇒δ<−<>δ∃>∀+∞=→

Sea f(x) una función definida en todo número de algún intervalo abierto I que contenga al numero “a”, excepto, posiblemente en el numero “a”. Cuando x tiende a “a” f(x) decrece sin límites lo cual se escribe:

N)x(fax0sitq00Nsi)x(flímax

<⇒δ<−<>δ∃<∀−∞=→



Si ∞+=

→)x(glím

ax y c)x(hlím

ax=

→ ∀ c ∈ R* entonces

∞−=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ •<

∞+=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ •>

→

→

)x(h)x(glím 0c Si)ii

)x(h)x(glím 0c Si )i

ax

ax

Teorema 32 Si ∞−=

→)x(glím

ax y c)x(hlím

ax=

→ ∀ c ∈ R* entonces

∞+=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ •<

∞−=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ •>

→

→

)x(h)x(glím 0c Si)ii

)x(h)x(glím 0c Si )i

ax

ax

Nota Los teoremas 29 30 31 y 32 también son validos para los límites unilaterales es decir si

−+ →→ axax Ejemplos ilustrativos Calcular los siguientes límites.

Ejemplo Ilustrativo 1 Calcula: 22x )2x(

x3lím

−→

Solución: Observe que podemos escribir

( ) ( )2 2

3x 13x

x 2 x 2= ⋅

− − así

( ) ( ) ( )2 2 2x 2 x 2 x 2 x 2 x 2

3x 1 1lim lim3x lim 3 lim x lim 3 2 6

x 2 x 2 x 2→ → → → →= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ +∞ = ⋅ +∞ = +∞

− − −

Ejemplo Ilustrativo 2 Calcular: 1x

x2lím

21x −+→

En este caso: 2

2x 2x 2x 1(x 1) (x 1) (x 1) (x 1)x 1

= = ⋅+ ⋅ − + −−

luego

2x 1 x 1 x 1 x 1

2x 2x 1 2x 1 2lím lím lím lím 1

(x 1) (x 1) (x 1) (x 1) 1 1x 1+ + + +→ → → →

⎡ ⎤= ⋅ = ⋅ = ⋅ +∞ = ⋅ +∞ = +∞⎢ ⎥+ − + − +− ⎣ ⎦

Ejemplo Ilustrativo 3 Hallar el 2x 1

2xlím

x 1−→ −

En este caso: 2

2x 2x 2x 1(x 1) (x 1) (x 1) (x 1)x 1

= = ⋅+ ⋅ − + −−

luego



2x 1 x 1 x 1 x 1

2x 2x 1 2x 1 2lím lím lím lím 1

(x 1) (x 1) (x 1) (x 1) 1 1x 1− − − −→ → → →

⎡ ⎤= ⋅ = ⋅ = ⋅ −∞ = ⋅ −∞ = −∞⎢ ⎥+ − + − +− ⎣ ⎦

Ejemplo Ilustrativo 4 Calcula: 9x

2xlím

23x −

+−→

2

x 2 x 2 x 2 1(x 3) (x 3) (x 3) (x 3)x 9

+ + += = ⋅

+ ⋅ − + −−

2x 3 x 3

x 3 x 3

2x 3

x 2 x 2lím lím como x 3 x 3 x 3 0

(x 3) (x 3)x 9

x 2 1 3 2 1 5lím lím

(x 3) (x 3) 3 3 0 6x 2

límx 9

− −

− −

−

−

→ →

→ →

→

⎡ ⎤+ += → ⇒ < ⇒ − <⎢ ⎥+ ⋅ −− ⎣ ⎦

+ += ⋅ = ⋅ − = ⋅ −∞ = −∞

+ − ++

= −∞−

Ejemplo Ilustrativo 5 2x 1

3lím 5x

(x 1)→−

⎡ ⎤+⎢ ⎥+⎣ ⎦

2 2x 1 x 1 x 1

3 3lím 5x lím lím 5x

(x 1) (x 1)→− →− →−

⎡ ⎤+ = +⎢ ⎥+ +⎣ ⎦

( )( )

( )2

2

2

x 1 x 1 x 1 0 x 1 0Si x 1 x 1 0

x 1 x 1 x 1 0 x 1 0

+

−

⎧ → − ⇒ > − ⇒ + > ⇒ + > ⎫⎪→ − ⇒ ⇒ + >⎨ ⎬⎭→ − ⇒ < − ⇒ + < ⇒ + >⎪⎩

Entonces 2x 1 x 1

3lím y lím 5x 5

(x 1)→− →−= +∞ = −

+por lo tanto

2 2x 1 x 1 x 1

3 3lím 5x lím lím 5x 5

(x 1) (x 1)→− →− →−

⎡ ⎤+ = + = +∞ − = +∞⎢ ⎥+ +⎣ ⎦

en conclusión

2x 1

3lím 5x

(x 1)→−

⎡ ⎤+ = +∞⎢ ⎥+⎣ ⎦

Ejemplo Ilustrativo 6 x5x

6xlím

25x −

−+→

Descomponemos la función de la siguiente manera

( )2

x 6 x 6 x 6 1x x 5x x 5x 5x

− − −= = ⋅

−−−

x 5

x 6 5 6 1lím

x 5 5+→

− − −= = y x 5 x 5 x 5 0+→ ⇒ > ⇒ − > así:

x 5

1lím

x 5+→= +∞

−

Luego 2x 5

x 6 1lím ( ) ( )

5x 5x+→

−= − ⋅ +∞ = − ⋅ + ∞ = −∞

−

2x 5

x 6lím

x 5x+→

−= −∞

−



Ejercicios Propuestos 1.- Calcula los siguientes límites aplicando las propiedades y los teoremas vistos anteriormente.

Solución Solución

1) 2x x4

xlím

+

−−∞→

1 2) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−+

+∞→1x1xlím 22

x 0

3) 1x4x3

1x2xlím

23

3

x −++−

−∞→ 1/3 4) ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −+

−∞→x1xxlím 2

x −∞

5) 1x4x35x2x

lím2

3

x −++−

+∞→ +∞ 6)

1xx1

lím2

x ++

−∞→ -1

7) 1x4x)x(Senx

lím2

2

x −+−

+∞→ 1 8) 2x x

4x1

2lím +−+∞→

2

9) 1x4x4

5xx3lím

23

3

x −++−

+∞→ 3/4 10)

x1x

límx

++∞→

1

11) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −+

+∞→x3xlím 2

x 0 12)

5x3

1x2x4lím

3

23

x −

+−+∞→

4/3

13) 3 3

2

x 1x

3xlím

+

−+∞→

1 14) 1xx1

lím2

x ++

+∞→ 1

15) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −+

+∞→x1xxlím 2

x ½ 16)

x

x x2

1lím ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++∞→

℮2

17) x2x

elím+∞→

+∞ 18) x4x

elím −+∞→

0

19) )x2(Coselím )x3(x

⋅−+∞→

0 20) )x2(Lnlímx +∞→

+∞

21) )x2(Lnxlím0x

⋅+→

0 22) 1x

1lím

1x −→ NE

23) ( )21x 1x

1lím

−→ +∞ 24)

1x1

lím1x +

−−→

NE

25) 2x3x

lím2x −

−+→

+∞ 26) x31

lím0x +→

+∞

27) 9x

xlím

2

2

3x −+→ +∞ 28)

x31

lím0x→

NE

29) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−→ x1

1lím0x

−∞ 30) 2x

1lím

2x −−→ −∞

31) 4x3x

lím22x −−

+→ −∞ 32)

8xx2

lím8x ++−→

−∞

33) ( )23x 3x

2lím

−→ −∞ 34) ( )27x 7x

4lím

−→ +∞

35) 1xx21

lím21x −−

−→ +∞ 36)

1xx21

lím21x −−

→ NE

37) ( )22

3x 3x

x2lím

−

−→

+∞ 38) 22x x4

xlím

−

−−→

−∞



39) ( ) 32

21x

3x2xlím−

−→−−

− +∞ 40) ( ) 3

22

1x3x2xlím

−

−→−−

+ +∞

Nota: NE equivale a No Existe Asíntotas Horizontales y Verticales Asíntota Horizontal Asíntota Vertical Ejercicios Propuestos Determinar las asíntotas horizontales y verticales de las siguientes funciones y trazar su gráfica

1) 1x4x2)x(f 3 +−= 2) 2

2

x4

x)x(f

−= 3)

1x

x)x(f

2

2

−=

4) 2x3x

)x(f−+

= 5) 4x

8)x(f

2 −

−= 6)

1xx

1x4x)x(f

5

3

+−

++=

7)2x

1)x(f = 8)

6xx

1x)x(f

2 −−

+= 9)

4x

x)x(f

2 +=

10)1xx

x2)x(f

2

3

+−= 11)

2x4

x)x(f

−= 12)

1x

2x)x(f

2

2

−

−=

13)1x

x)x(f

2 −= 14)

4x

1)x(f

2 −= 15)

( )22x

1)x(f

−=

16) ( )24x

3)x(f

+

−= 17)

4x

8)x(f

2 += 18)

5x2x

)x(f−

=

La recta y = b es una asíntota horizontal de la curva de la función y = ƒ(x) si se cumple cualquiera de las dos condiciones:

b)x(flímób)x(flímxx

==−∞→+∞→

La recta x = a es una asíntota vertical de la curva de la función y = ƒ(x) si se cumple cualquiera de las dos condiciones:

±∞=±∞=−+ →→

)x(flímó)x(flímaxax



CONTINUIDAD DE FUNCIONES Continuidad de una función en un punto

Continuidad de una función en un intervalo Continuidad lateral Continuidad de funciones Algebraicas Teorema Si las funciones f y g son continuas en el punto x = a entonces las siguientes funciones son continuas en el punto x = a a) )x(g)x(f)x(g)x(f −+ b) )x(g)x(f ⋅ c) ℜ∈∀⋅ k)x(fk

d) 0)a(gsi)x(g)x(f

≠

e) [ ] [ ] nm

nm

)x(fsi)x(f está definida en un intervalo que contenga a “a” con m,n Ζ∈

Se dice que la función y = ƒ(x) es continua en el punto x = a de su dominio sii:

)a(f)x(flímax

=→

Se dice que la función y = ƒ(x) es continua en el intervalo abierto (a , b) sii es continua en todo punto de dicho intervalo.

Se dice que la función y = ƒ(x) es continua a la derecha del número x = a de su dominio sii

)a(f)x(flímax

=+→

y continua a la izquierda del número x = a de su dominio sii

)a(f)x(flímax

=−→



Continuidad de Polinomios y de Funciones Racionales Teorema a) Todo polinomio es continuo en cualquier punto de la recta real. b) Toda función racional es continua en todo punto donde el denominador sea distinto de cero. Continuidad de la función compuesta: Si f(x) es una función continua en x=c y g(x) es continua en f(c) entonces ( )( )xfg es continua en x=c Observemos la siguiente gráfica Teorema del valor intermedio Ejercicios propuestos Ejercicios propuestos Evaluar la continuidad de cada una de las funciones dadas a continuación en el punto indicado.

1) ⎩⎨⎧

≥<−

=0xsi20xsi2

)x(g en x= 0 2) ⎩⎨⎧

=≠−

=2x si 02x si 1x2

g(x) en x=2

3)⎪⎩

⎪⎨

⎧

>=<+

=-2x si x-42-x si 3-2x si 7x6

g(x) en x=-2 4) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

>+

=<+

=

1xsi2x

1xsi41xsix32

)x(f2

en x= 1

5)⎪⎩

⎪⎨⎧

≥<−=3x si 1-2x3x si 4xg(x)

2 en x=3 6)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>−=−<

=1xsi31xsi11xsi2

)x(f en x= 1

7) ⎩⎨⎧

−>−−≤+

=4xsix44xsi4x

)x(h en x=-4 8) ⎪⎩

⎪⎨⎧

>−≤=

2xsit282tsit)t(R

2 en x=2

Se la función y = ƒ(x) es continua en el intervalo cerrado [a , b] y y0 es un número comprendido entre f(a) y f(b) existe por lo menos un número x0 comprendido entre a y b tal que f(x0)=y0

f

c f(c)

Continua en c

g

g(f(c))

Continua en f(c)

Continua en c

fg



9) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

>−=<+

=1rsir271rsi21rsi3r2

)r(f en r=1 10) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

>−

=<−

=

2xsix4

2xsi42xsi4x

)x(f2

2

en x=2

11) ⎪⎩

⎪⎨⎧

≤+

<+=

-2x si 3x

-2x si x2g(x) en x=-2 12)

⎪⎩

⎪⎨⎧

>+

≤−=

1xsix2

1xsix4)x(g

2

2

en x=1

13) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

>−≤≤−

−<+=

xsix11x1six

1xsi1x

)x(f 2

En x=-1 y x=1

14)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>−≤≤−−

−<

=2xsi2

2x2six4

2xsi2

)x(f 2

En x=-2 y x=2

15)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≥<<

≤+

=4x si x-6

4x4- si x-16

-4x si 6x

g(x) 2

En x=-4 y x=4

16) ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

≠−

−−=

4xsi 2

4xsi4x

4x3x)x(f

2

en x=4

17) ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

≠−=

3x si 0

3x si 3xg(x) en x=3 18)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>−=−<

=1xsi31xsi11xsi2

)x(f en x= 1

19) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

>−=<+

=1xsix271xsi 51xsi3x2

)x(f en x= 1 20) 1x en 1xg(x) =+=

21)⎪⎩

⎪⎨

⎧

>+=<+

=1xsi4x

1xsi 41xsi3x2

)x(f2

en x= 1

En los ejercicios siguientes indica ¿para qué valor de x? falla la continuidad de la función dada

1) 1x)x(g 2 += Ninguno 2) 2x

x3f(x)

−= x=2

3) 3x4x

1xf(x)

2 +−

+= x=1, x=3 4) ( ) 2

1x3f(x)

−−= x=3

5) 2x

2xg(x)

2 −−

= x=2, x=-2 6) 9x

x2x8f(x)

2

2

−

−= x=3 , x=-3

7) 3x

2f(x)

−= x=3 8)

6x4x-x

1xf(x)

23 ++

+= x=2 ,x=3 , x=-1



DERIVADAS Pendiente de la recta tangente a una curva

Definición de Derivada

Existen otros tipos de notaciones como: fDdxdf

dxdy

)x('f'y x

Teorema Si f es una función derivable en x=c, entonces f es continua en x=c Derivadas de orden superior: Luego de derivar una función podemos estar interesados en hallar la derivada de esta derivada. En efecto tales derivadas reciben el nombre de derivadas de orden superior Sea f(x) una función derivable por lo cual f’(x) existe, entonces si f’(x) es derivable podemos hallar la derivada de f´(x) la cual se denota por f’’(x) y se llama segunda derivada de f, de igual forma si f’’(x) es derivable su derivada será la tercera derivada de f y se denota por f’’’(x) y asi sucesivamente. A partir de la primera derivada estaremos en presencia de las derivadas de orden superior las cuales podemos denotar como se indica a continuación

Orden de la derivada Notaciones

1 fDdxdf

dxdy

)x('f'y x

2 fDdx

fd

dx

yd)x(''f''y 2

x2

2

2

2

3 fDdx

fd

dx

yd)x('''f'''y 3

x3

3

3

3

4 fDdx

fd

dx

yd)x(fy 4

x4

4

4

4)4()4(

5 fDdx

fd

dx

yd)x(fy 5

x5

5

5

5)5()5(

La pendiente de la recta tangente a una curva en el punto (x,f(x)) es el número representado por m el cual se calcula mediante la fórmula:

h)x(f)hx(f

límm0h

−+=

→ siempre que este limite exista

La derivada de la función f(x) con respecto a la variable x es la función f’ cuyo valor en x está dado por:

h)x(f)hx(f

lím)x('f0h

−+=

→ siempre que este limite exista



n fDdx

fd

dx

yd)x(fy n

xn

n

n

n)n()n(

Ejemplo: dada la función f(x)= 6x3x25

x32 23 +−+

f’(x)= 2x2+5x-3 f’’(x)= 4x+5 f’’’(x)= 4 f(4)(x)= 0 f(5)(x)= 0 f(n)(x)= 0 4n ≥∀ Ejercicios propuestos 1.- Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva dada en el punto indicado.

a) 1x)x(g 2 += en (0,1) b) 3xy = en (-2,-8)

c) 2x4)x(f −= en (-1,3) d)2x

x)x(f

−= en (3,3)

e) x)x(g = en (4,2) f) ( ) 11x)x(h 2 +−= en (1,1)

g) x3x)x(f 3 += en (1,4) h) 2x

1)x(f = en (-1,1)

2.- Hallar la derivada de la función dada usando la definición y evaluarla en el punto dado.

a) )0('g)1('g1x3x2)x(g 2 −+= b) )2('f)5('f6x4)x(f −+=

c) )1('f)2('fx2x1

)x(f −−

= d) )3('f)2('f)1('ft

1)t(f

2−=

e) )21('R)1('R)0('R1s2)s(R += e) )1('f)0('f5x3x2x)x(f 23 −+−−=

Tabla de Derivadas

1. 0cDx = c= cte 8. uuD

Ln(u)D xx = 15. 2

xx

u1

uD )u arcSen(D

−=

2. uDnu)u(D x1nn

x−= 9. uD u Cos )u Sen(D xx = 16. 2

xx

u1

uD - )u arcCos(D

−=

3. vDuD)vu(D xxx +=+ 10. uD u Sen- )u Cos(D xx = 17. 2x

xu1

uD )u arcTan(D

+=

4. uvDvuD)uv(D xxx += 11. uD uSec )u Tan(D x2

x = 18. 2x

xu1

uD- )u arcCot(D

+=

5. 2xx

xv

vuDuvD)

vu

(D−

= 12. uD uCsc )u Cot(D x2

x −= 19. 1uu

uD )u arcSec(D

2

xx

−=



6. uDe)e(D xuu

x = 13. uD Cot u Csc )u Csc(D xx −= 20. 1uu

uD - )u arcCsc(D

2

xx

−=

7. uD Ln(a) a)(aD xuu

x = 14. uD u Tanu Sec )u Sec(D xx =

Ejercicios propuestos 1.- Calcula la primera derivada de las siguientes funciones algebraicas.

1) 34)x(g = 2) x4x3)x(f 2 −=

3) 1)x(h −= 4) 32 t23t3)t(f −=

5) 5x23

)x(f −= 6) 4 53 t4t9)t(R +−=

7) 4x3)x(f 2 −= 8) ( )63 ss3)s(g −=

9) 7x8x6)x(f 2 +−= 10) ( ) ( )x6x51x2)x(f 34 +⋅−=

11) 2x5x3x)x(f 23 ++−= 12) ( ) ( 1x2x21x2x2)x(f 22 ++⋅+−=

13) 23 xx3x)x(f −++= 14) ( )

( )8x8x2)x(f 3

3

+−=

15) 424 x4x5xy −− −+−= 16) ( )

1x35x1x2

)x(f −⋅++

=

17) 31

23

s3s2)s(f −= 18) x2

1x3x3)x(f

2 +−=

19) 23

21

y2y2)y(Q −=−

20) x

3xx4)x(f

2 +−=

21) 24 x

3

x

5)x(h += 22) ( ) ( ) ( )7x31x22x)x(f +⋅+⋅−=

23) 2xx

2)x(h 3

4+−= 24)

( )( ) ( )5x3x2

3xx)x(f

+⋅−−⋅

=

25) x2x

10)x(h −= 26)

( )( ) ( )1x2x

1x2x)x(f

−⋅−+⋅

=

2.- Calcula la primera derivada de las siguientes funciones trascendentales y trigonométricas.

1) 4)x(sen3)x(f −= 2) 1z

)zcos(2)z(f

+=

3) x)x(sen4)x(f −= 4) x

)xcos()x(T =

5) )x(csc)x(tg)x(f −= 6) )xcsc()x(ctg)x(f ⋅=



7) )xcos(x)x(f = 8) )ycos()y(ctg)y(f ⋅=

9) )x(sen2x4)x(f −= 10) )xcos(1

)x(sen)x(M

−=

11) x

)x(sen)x(f = 12)

)scos(4s

)s(R+

=

13) )t(sec)t(sen)t(H −= 14) 4)xcos(

)x(tg)x(f

−=

15) )xcos()x(sen3)x(f ⋅= 16) )x(sen1

)x(cot)x(H

−=

17) )xcos(x2)x(senx)x(f 2 += 18) )r(sen1)r(sen1

)r(f−+

=

19) )x(tg)x(csc3)x(f ⋅= 20) 1)xcos(1)x(sen

)x(f+−

=

21) )x(cot)x(tg)x(f −= 22) ( ) ( ))x(cosx)x(senx2)x(f 2 +⋅−=

23) xe4)x(f x −= 24) 2)r(csc1)r(csc2

)r(f+−

=

25) xxe)x(f = 26) 1)x(tg1)x(tg

)x(f−+

=

27) x2x)x(f += 28) )x(cos2)x(xsen2)x(cosx)x(f 2 −−=

29) 1xe2)x(f += 30) ( ) ( ))x(cosx)x(senx)x(f +⋅−=

31) x)3/1()x(f = 32) 3xLn)x(f =

33) 1x4)x(f +−= 34) x2e)x(f =

35) xe

)x(fx

= 36) x22ex)x(f =

37) )x2(Ln)x(f = 38) x

xLn)x(f =

39) xe

x)x(f = 40) xLne)x(f x=

41) xLnx)x(f 3 ⋅= 42) x

x

2

e)x(f

2

=

43) [ ])x(sene2Ln)x(f x ⋅= − 44) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛= − 2xecos)x(f

45) )xLn(Ln)x(f = 46) ))xLn((secLn)x(f =

47) 3 xLnx)x(f ⋅= 48) [ ])xLn(cos)xLn(senx)x(f +⋅=

49) xLnex)x(f x23 ⋅⋅= − 50) )x(senexLnx3)x(f 2x3 ⋅⋅⋅=



Derivada de la función compuesta: Regla de la cadena: Ejemplos Ilustrativos Dadas f (x)= x5 y g (x)= 7x2-4x Hallar )x()'gf( Según la fórmula de la regla de la cadena debemos calcular )x('gy))x(g('f)x()'f( Por lo cual obtenemos: f’(x)= 5x4 f’(g(x))= 5 (7x2-4x)4 g’(x)= 14x-4

)4x14()x4x7(5)x)`(gf( 42 −⋅−= Otra forma de expresar la regla de la cadena Si u es una función de x es decir u=g(x) entonces u(u)·D'f f(u)D xx = Ejercicios propuestos 1.- Usa la regla de la cadena para hallar la derivada de la función dada.

1) 3)1x2()x(f += 2) 2

2

x1

)x2(ctg)x(f

+=

3) 42 )5x4x()x(f −+= 4) ))x5(tg )x3((sec)x(f 22=

5) x3x2)x(f 3 −= 6) )x4(sec)x(f 2=

7) 234 )1x2x7x2()x(f −+−= 8) )1x3(cos)x(f 23 +=

9) 22 )4x()x(f −+= 10) 234t ))t3(csc)t4(ctg(D −

11) 232 )1x3()5x3()x(f −+= 12) )x4(sen3)x3(cos4)x(f −=

13) 21 )3x4()5x2()x(f −− +−= 14) )x2sec()x2(sec31

)x(f 3 −=

15) )4x3()1x5()3x()x(f 223 −++= 16) )x(csc)x(ctg)x(f 44 −=

17) 2

2x7x

)x(f ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+−

= 18) )x(tg)x(sec)x(f 22 ⋅=

19) 2

2 2xx3

1x2)x(f ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−+

−= 20) )1x3(sen)x(f 22 −=

21) 22

32

)4x(

)5x()x(f

+

−= 22) 322 )xxtg()x(f −=

Si g(x) es una función diferenciable en x y la función f(x) lo es en g(x), entonces la función compuesta gf es diferenciable en x y por tanto )x('g))x(g('f)x()'gf( ⋅=



23) 22

423

)5x3(

)2x3()1x4()x(f

+

+−= 24)

1)x2(cos

)x2(sen3)x(f

2 +=

25) 2))x(cos3)x(sen2()x(f −= 26) )x3sencos(4)x(f =

27) )x2(cossen)x(f 2= 28) x

x

2

e)x(f

2

=

29) [ ])xLn(cos)xLn(senx)x(f +⋅= 30) ))xLn((secLn)x(f =

31) [ ])x(sene2Ln)x(f x ⋅= − 32) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛= − 2xecos)x(f

33) 3 xLnx)x(f ⋅= 34) )xLn(Ln)x(f =

35) xLnex)x(f x23 ⋅⋅= − 36) )x(senexLnx3)x(f 2x3 ⋅⋅⋅=

Derivación Logarítmica Este método fue ideado por Johan Bernoulli (1667-1748) y se basa en el uso ventajoso de de las propiedades de logarítmicas para calcular derivadas de expresiones complejas que contienen productos, cocientes, raíces y potencias. El método en cuestión consiste en aplicar logaritmos en

ambos miembros de la ecuación y = f(x) ⇒ Ln(y) = Ln )x(f , aplicar las propiedades logarítmicas a la

expresión Ln )x(f para simplificarla al máximo y luego derivar implícitamente respecto a la variable x

Ejercicios Propuestos Utilice el método de derivación logarítmica para hallar y’

1) )1x(xy += 2) x3xxy 2 −=

3) )5x3)(4x5)(3x(y 22 −−+= 4) 2

22

)1x(

x3xxy

−

−=

5) x3x2y 3 −= 6) )x4(sen)x4(secy 35=

7) 4322 )1x()1x(xy +−= 8) )t3(csc)t4(ctgy 43=

9) 23 )8x(y −−= 10) 232 )1x3()5x3(y −+=

11) 31x1x

y−+

= 12) 1x

)1x(xy

23

+

−=

13) 3

2)1x(

1xxy

2

+

+= 14) 2)4x(

)2x)(1x5(xy

−++

=

15) )9x3)(1x3)(7x(y 2 −++= 16) 21 )1x()3x2(y −− −+=

17) 3 2 )3x2)(1x()2x)(1x(x

y++−+

= 18) )x(tg)x(secy 22 ⋅=



19)

3

2 9x6x4x2

y ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−++

= 20) 22

423

)5x3()2x3()1x4(

y+

+−=

21) )3x()2x(x

y5

−+

= 22) 1x1x

y2

2

+−

=

23) 42

325

)7x3()2x()1x3(

y−

−−= 24) )x(senxy =

25) 3 xLn

xy = 26) )xsec(2y =

27) )x(tg)x(sen)x(f = 28) )x(senxy =

29) 2

4

3

1x35x

3x5y ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −⋅

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

= 30) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +⋅⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −⋅

=5x3x2

3xxy

31) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −⋅⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +⋅

=1x2x

1x2xy 32) x

3xx4y

2 +−=

Derivada implícita: En algunas oportunidades podemos encontrar ecuaciones que definen la variable “y” como una función de x explícitamente como por ejemplo y = 2x2-6x+1 dichas ecuaciones se derivan de manera sencilla con los procedimientos y reglas estudiadas anteriormente, sin embargo en otras ocasiones podemos encontrarnos frente a ecuaciones como 2y2x3+3y3x2= yx5 en las cuales en algunas oportunidades no se puede despejar la variable “y” es por esto que estudiaremos un método para el calculo de estas derivadas el cual se llama derivación implicita. Ejercicios propuestos Hallar DxY y DyX:

1) 16yx 22 =+ 2) 1y9x4 22 =− 3) 2222 yxyx +=

4) 24 y3)3x2( =+ 5) 5xy3yx2 33 =+ 6) yx2xy =+

7) 4ycscxsec 22 =+ 8) 0xy)xy(ctg =+ 9) xtg)yx(ctgysec 22 =−+

10) x4y3yx 22 =+ 11) 23 y10x4xy3 =− 12) 12y4xy 2 =−

13) 3x)xy(sen 2 −= 14) 2yx4y

3x+=

+ 15) 23 x10y4yx3 =−+

16) xee yyx2 =−⋅ 17) 1)x(seny3ex y =⋅−⋅ 18) yx4yx 2 =−+

19) 8y)ycos( 2 =− 20) x2)y(Lne y4 =− 21) 1x3e 2yyx2 +=−⋅



Regla de L’Hopital Sean g(x) y h(x) dos funciones derivables en un intervalo abierto I=(a ,b) excepto posiblemente en c ∈ I y supongamos que: a) 0)x('hIcx ≠∈≠∀

b) )x(h)x(g

límcx→

produce la forma indeterminada 00

y

c) )x('h)x('g

límcx→

existe y es igual a L

entonces )x(h)x(g

límcx→

=)x('h)x('g

límcx→

=L

Esta regla puede ser generalizada a los casos en que x +∞→ , x −∞→ , x +→ c , x −→ c y las

indeterminaciones del tipo ∞+

+∞ ,

∞+−∞

, ∞−

+∞,

∞−−∞

, 0 ∞⋅ , 0∞ , 00 , ∞1 y ∞−∞

Ejercicios propuestos Utilice la regla de L’Hopital para resolver los siguientes ejercicios

Resp. Resp.

1) x

1elím

x

0x

−→

2 2) 1x2x)xcos(1

lím21x +−+

→

π

2

2π

3)

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

+→ )x2(cosLn

)x3(cosLnlím

0x 9/4 4)

3x6x55xx3

lím2

2

x −++−

+∞→ 3/5

5) x2

xexlím −

+∞→⋅ 0 6)

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

+→ )x3(tgLn

)x2(tgLnlím

0x

1

7) )x(Lnxlím 20x

⋅+→

0 8) 2x1

0x)x(coslím ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

→ 2

1e−

9) x

1x3

0xx5elím ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

→ e-2 10)

x1

x3x

x5elím ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

+∞→ 3e

11) ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−

→ 220x x1

)x(sen1

lím 1/3 12) 30x x

)x(senxlím

−→

1/6

13) x23

xexlím −

+∞→⋅ 0 14) )x(Lnxlím 3

0x⋅

+→ 0

15) ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −→ x

23lím

xx

0x Ln(3/2) 16) )xcos()x(sen

)x(tg1lím

4x −−

π→ 2−



17) 0x

2x

sin 3x( )lim→

2/3 18) 0x

sin 9x( )

sin 7x( )lim→

9/7

19) 0α

sin 3α( )

sin 6α( )lim→

½ 20) 0x

x2

sin 3x( )( )2lim→

1/9

21) x2

x2

xe

x3

1lím −+∞→

⋅⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛− e-6 22)

x3/1

xx21lím ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +

+∞→ 1

23) 0x

sin 3x( )( )5

4x5lim→

243/4 24) 0x

x

c os x( )lim→

0

25) ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−

→)xcsc(

x1

lím0x

0 26) )x(sen

0xxlím

→ 1

27) 0x

1 cos 4x( )−

xlim→

0 28) 0z

1 cos 2z( )−

4zlim→

0

29) ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−

→)x(ctg

x1

lím 220x

2/3 30) )2x(tg)1x(lím 22

1xπ⋅−

+→ -4/π

31) 0x

3x2

1 cosx

2⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

2−

lim→

12 32) 0x

1 cos x( )( )2−

2x2lim→

½

33) 0x

tan x( )

2xlim→

1/2 34) 0x

tan 2x( )( )4

4x4lim→

4

35) 0x

1 cos 2x( )−

sin 3x( )lim→

0 36) 0x

1 cos x( )( )2−

xlim→

0

37) 0t

4t

tan t( )lim→

4 38) x

x4senlím

0x→ 4

38) [ ]gxcotxcossenx2lím2x

+−π→

2 40) 30x x

senxtgxlím

−→

½

Técnicas de graficación:

Puntos críticos de una función.

Definición: Si C ∈ al dominio de f y si f`(c)= 0 ó f`(c) no existe entonces C se llama un punto crítico de f.

Extremos Absolutos de una función

Sea f(x) una función definida sobre un intervalo I de números reales y sea c∈I i) f(c) es un Máximo Absoluto de f en I si f(c) ≥ f(x) para todo x en I ii) f(c) es un Mínimo Absoluto de f en I si f(c) ≤ f(x) para todo x en I

Extremos Relativos de una función



i) f(c) es un Máximo Relativo de f si f(c) ≥ f(x) para todo x en algún intervalo abierto que contiene a c

ii) f(c) es un Mínimo Relativo de f si f(c) ≤ f(x) para todo x en algún intervalo abierto que

contiene a c

Crecimiento y decrecimiento de una función. 1. Sea f una función continua en el intervalo cerrado [ ]b,a y diferenciable en (a,b) entonces: Si f`(x) > 0 )b.a(X ∈∀ entonces f es creciente en [ ]b,a Si f`(x) < 0 )b.a(X ∈∀ entonces f es decreciente en [ ]b,a Si f`(x) = 0 )b.a(X ∈∀ entonces f es constante en [ ]b,a 2. Criterio de la primera derivada: Sea C un número crítico de una función f continua al intervalo

(a,b) que contiene a C, si f es derivable en ese intervalo excepto quizás en C, entonces f(c) puede clasificarse así:

2.1 Si f`(x) cambia en C de positiva a negativa, f(c) es una máximo relativo 2.2 Si f`(x) cambia en C de negativa a positiva, f(c) es una mínimo relativo

Concavidad Teorema: Sea f una función diferenciable en algún intervalo abierto que tenga a C entonces: Si f``(c) > 0 la gráfica de f(x) es cóncava hacia arriba f(c)) (c, en Si f``(c) < 0 la gráfica de f(x) es cóncava hacia abajo f(c)) (c, en

Punto de inflexión Definición 1 El punto (c, f(c)) es un punto de inflexión de la gráfica de la función f, si la gráfica tiene ahí una recta tangente y si existe un intervalo abierto I que contenga a C, tal que si X está en I entonces: 1. f``(x) < 0 Si X < C y f``(x) > 0 Si X > C 2. f``(x) > 0 Si X < C y f``(x) < 0 Si X > C Definición 2 Si f es una función continua en el intervalo (a , b) y su grafica cambia su concavidad en un punto c ∈(a , b) [o sea, es cóncava hacia abajo a un lado de C y cóncava hacia arriba al otro lado], se dice que (c , f(c)) es un punto de inflexión de f.

Ejemplos Ilustrativos 1.- Trazar la grafica de f(x) = 3x2-6x+3 Calculemos la primera y segunda derivada f’(x) = 6x-6 f’’(x) = 6 Calculamos los números críticos es decir los valores de x para los cuales la primera y la segunda derivada son cero o no existen, como en este caso ambas derivadas son funciones polinómicas no tiene denominador así no existirán valores de la variable x para los cuales el denominador sea igual a cero.



f’(x) = 0 si 6x-6 =0 ⇒ 6x = 6 ⇒ x = 1 La segunda derivada nunca será cero puesto que siempre será igual a 6 luego el único numero critico es x = 1 el cual determina dos intervalos en la recta real

Intervalos Valor de Prueba

f(x)=y 3x2-6x+3

f’(x) 6x-6

f’’(x) 6

Características de la grafica

)1,(−∞ 0 - + La grafica decrece y es cóncava hacia arriba

x = 1 0 El punto (1 , 0) es un Mínimo Relativo

),1( ∞+ 2 + + La grafica crece y es cóncava hacia arriba

Tomando en cuenta toda la información de la tabla anterior obtenemos la siguiente gráfica 2.- Trazar la grafica de f(x) = -x3 +3x2-2 Calculemos la primera y segunda derivada f’(x) = -3x2+6x f’’(x) = -6x+6 Calculamos los valores de x para los cuales la primera es igual a cero o no existen. f’(x) = 0 si -3x2+6x =0 ⇒ -3x(x-2)=0⇒ x = 0 v x = 2 La primera derivada siempre existirá Calculamos los valores de x para los cuales la segunda es igual a cero o no existen.

f(x) = 3x2-6x+3



f’’(x) = 0 si -6x+6=0 ⇒ -6x=-6⇒ x = 1 La segunda derivada siempre existirá Luego los números críticos son x = 0 , x = 1 , x = 2 los cuales determinan cuatro intervalos en la recta real


f(x)=y -x3 +3x2-2

f’(x) -3x2+6x

f’’(x) -6x+6


)0,(−∞ -1 - + La grafica decrece y es cóncava hacia arriba x = 0 -2 El punto (0 , -2) es un Mínimo Relativo

)1,0( 21 + + La grafica crece y es cóncava hacia arriba

x = 1 0 El punto (1 , 0) es un Punto de Inflexión )2,1( 3/2 + - La grafica crece y es cóncava hacia abajo

x = 2 2 El punto (2 , 2) es un Máximo Relativo ),2( ∞+ 3 - - La grafica decrece y es cóncava hacia abajo

En función de la información de la tabla anterior podemos trazar la siguiente gráfica

3.- Utilicemos las técnicas de graficación para trazar la grafica de 4x

xy

2 −=

Calculemos la primera derivada

22

2

22

22

22

2

)4x()4x(

)x('f)4x(

4x2x)x('f

)4x()x2(x4x

)x('f−+−

=⇒−

−−=⇒

−⋅−−

=

X=0 X=1 X=2

f(x) = -x3 +3x2-2



En conclusión 22

2

)4x()4x(

)x('f−+−

=

Calculemos la segunda derivada

42

332

42

2222

)4x()x16x4x8x2)(4x(

)x(''f)4x(

)x2)(4x(2)4x()4x(x2)x(''f

−+++−−

=⇒−

−−−−−−=

42

22

42

32

)4x()12x(x2)4x(

)x(''f)4x(

)x24x2)(4x()x(''f

−+−

=⇒−

+−=

Finalmente simplificando obtenemos

En conclusión 32

2

)4x()12x(x2

)x(''f−+

=

Calculamos los números críticos

La primera derivada 22

2

)4x()4x(

)x('f−+−

= nunca será igual a cero ya no existe un valor de Rx ∈

para el cual 0)4x( 2 =+

)x('f no existe si 4x04x0)4x( 2222 =⇒=−⇒=− Resolviendo esta ecuación obtenemos x=2 y x=-2 por lo tanto x=2 y x=-2 son números críticos

De igual forma la segunda derivada 32

2

)4x()12x(x2

)x(''f−+

= será igual a cero si existe un valor

de Rx ∈ para el cual 0)12x(x2 2 =+ para que este producto sea igual a cero se deben cumplir dos

condiciones que x=0 ó que 012x2 =+ pero esta ultima expresión no puede llegar a ser igual a cero Así que x=0 es un número critico

)x(''f no existe si 4x04x0)4x( 2232 =⇒=−⇒=− Resolviendo esta ecuación obtenemos x=2 y x=-2 por lo tanto x=2 y x=-2 son números críticos Finalmente los números críticos son x=-2 x=0 x=2

∞+=+→

)x(flim2x

y ∞−=−→

)x(flim2x

asi la recta x=2 es una asuntota vertical

∞+=

+−→)x(flim

2x y ∞−=

−−→)x(flim

2x asi la recta x=-2 es una asuntota vertical


f(x)=y

4xx

2 −

f’(x)

22

2

)4x()4x(

−+−

f’’(x)

32

2

)4x()12x(x2

−+


)2,( −−∞ -3 - - La grafica decrece y es cóncava hacia abajo



x = -2 No

Definido

)0,2(− -1 - + La grafica decrece y es cóncava hacia arriba

x = 0 0 El punto (0 , 0) es un Punto de Inflexión

)2,0( 1 - - La grafica decrece y es cóncava hacia abajo

x = 2 No

Definido

),2( ∞+ 3 - + La grafica decrece y es cóncava hacia arriba

Usando la información de la tabla anterior obtenemos la siguiente gráfica

Ejercicios propuestos Usar las técnicas de derivación para trazar la gráfica de las siguientes funciones.

1) 1x4x2)x(f 3 +−= 2) 2

2

x4

x)x(f

−= 3)

1x

x)x(f

2

2

−=

4) 2x3x

)x(f−+

= 5) 4x

8)x(f

2 −

−= 6)

1xx

1x4x)x(f

5

3

+−

++=

4xx

y2 −

=

X=-2 X=0 X=2

Punto de Inflexión



7)2x

1)x(f = 8)

6xx

1x)x(f

2 −−

+= 9)

4x

x)x(f

2 +=

10)1xx

x2)x(f

2

3

+−= 11)

2x4

x)x(f

−= 12)

1x

2x)x(f

2

2

−

−=

13)1x

x)x(f

2 −= 14)

4x

1)x(f

2 −= 15)

( )22x

1)x(f

−=

16) ( )24x

3)x(f

+

−= 17)

4x

8)x(f

2 += 18)

5x2x

)x(f−

=

19) 3xf(x) += 20) 1x3f(x) −= 21) 1x

1s(x)

+=

22) 2x-1h(x) = 23) 1x21x4

F(x)2

+−

= 24) 4-xf(x) 2=

25) 4x

11x7xf(x)

2

2

−

−+= 26) 3 2 4xf(x) −= 27) 2x-4f(x) =

28) ( ) 21xy 2 +−= 29) ( ) 12xy 3 −+= 30) 2x3(x) +=ϕ

31) 2x1y += 32) xy=1 33) 4-xy =

34) 6xx

12x4x3xf(x)

2

23

−−

+−−= 35)

t1

1f(t)

+= 36) y=x3

37) 2)1x(

1f(x)

+= 38) y=x2 39)

2x

1f(x) =

40) 2x

7f(x)

−= 41)

3x2

f(x)+−

= 42) 3)X21()x(f −=

43) f(x)= X3-6X2+9X+1 44) 1X

1X)x(f

2

2

−

+= 45)

1X1X

)x(f−+

=

Esta información ha sido Producida Recopilada y Transcrita por:

Pedro R. Guédez y Carmen L. Guédez Se prohíbe su reproducción total o parcial con fines comerciales o de lucro



Referencias Bibliográficas

Louis Leithold, El Cálculo con Geometría Analítica, Editorial Harla, México 1986

Rolan E. Larson Cálculo y Geometría Analítica, Mc Graw Hill, México 1999

Thomas / Finney, Cálculo de una variable, Paerson Educación, México 1998

Robert T. Smith y Roland B. Minton Cálculo Volumen I Mc Graw Hill, España 2002

N Piskunov, Cálculo Diferencial e Integral Editorial Limusa, México 2001

William Anthony Granville, Cálculo Diferencial e Integral Editorial Uteha, México 1952

Dennis Zill. C. Cálculo con Geometría Analítica. Editorial Harla.

Ayres, Frank Y Elliot Mendelson. Cálculo. Editorial Mc Graw Hill

Swokowski, Eral. W. Cálculo Con Geometría Analítica Editorial Iberoamericana

Purcell , Edwin y VARBERG, Dale. Cálculo con Geometría Analítica. Editorial Prentice Hall.

Michael Spivak. Calculus (Cálculo Infinitesimal) Tomos I y II Editorial Reverté España 1970

Elbridge P. Vance An Introduction To Modern Mathematics Fondo Educativo Interamericano S.

A. EEUU 1968

Saturnino L Salas y Einar Hile Calculus de una y varias variables con Geometría Analitica

Editorial Reverté S. A. España 1977

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