El conjunto de Kakeya

Las tres imagenes siguientes son, respectivamente, de un cuadro suprema-tista de K. Malevich, de una escultura de L. Frechilla del Rey que adorna unaplaza de Madrid, y de un magnfico conjunto multidireccional de estalactitasque se encuentra en la cueva El soplao, de Santander. Pero podran tambienser consideradas como plasmaciones artsticas, o presentes en la naturaleza,de un objeto matematico muy interesante: el conjunto de Kakeya, o de Besi-covitch, formado por cilindros (rectangulos o prismas) secantes en multiplesdirecciones del espacio.

MalevichSuprematismo

Frechilla del ReyMirando a lo alto

EstalactitasEl Soplao (Santander)

Que aspecto tendra el conjunto plano de area mnima dentro del cualsea posible mover un segmento orientado (aguja) hasta invertir su posicion?

Se trata de una pregunta formulada por Soichi Kakeya en 1917 que se haconvertido en un tema central del Analisis Armonico contemporaneo. Tantopor sus conexiones directas con la transformada de Fourier ndimensional(teoremas de restriccion, sumabilidad esferica de series e integrales de Fourier,teorema de diferenciacion de Lebesgue), como por dar lugar a una serie depreguntas inquietantes en torno a dos paradigmas seneros del Analisis: lamedida de Lebesgue y la teora de integrales singulares.

Besicovitch, quien es uno de los creadores de la teora geometrica de lamedida, escribio un artculo en el American Mathematical Monthly (1963,697706), dando noticia de un trabajo suyo publicado en la Rusia de 1917en el que se haca la misma pregunta de Kakeya aportando una respuestaquizas sorprendente: Dado un numero positivo , sin que importe lo pequenoque este sea, Besicovitch construyo un conjunto de area menor que dondees posible invertir continuamente la posicion de la aguja.

1

1. La construccion de Besicovitch

b0 -

A

BB

0

h0 ( 1)

6

?

T0

Consideremos un triangulo T0, de altura h0 ( 1) y base b0, en el que po-demos girar un segmento de longitud unidaddesde la posicion AB hasta la AB, barriendoun angulo 0, como se indica en la figura.

Ahora bien, el mismo efecto puede conseguir-se en el conjunto P , obtenido dividiendo endos partes el triangulo T0 por la mediana desu base y trasladando despues los triangulos

resultantes haciendo que se solapen un poco.La magnitud del solapamiento la podemos controlar por medio del parame-

tro , 12 < 1, como se muestra en la siguiente figura:

T 10 T20

1 2

12b0

-12b0

-

T0

-h1=h0

6

?b1 = b0

-

P

h1

6

?b1

-

T1 R1

El conjunto P obtenido (arbol pequeno o pimpollo) consta de un tron-co, que es un triangulo T1 semejante a T0 con razon , y unas ramas R1.Un sencillo calculo nos da la relacion

area(P ) = area(T1) + area(R1) ={2 + 2(1 )2} area(T0)

cantidad que podemos hacer estrictamente menor que area(T0) sin mas queescoger el numero convenientemente (1

2 < 1).

Si designamos con 1, 2 a los angulos opuestos a la base b0/2 de lostriangulos obtenidos en la subdivision de T0, es claro que 0 = 1 + 2 y que

2

la aguja puede ser girada un angulo 1 en T10 (respectivamente 2 en T

20 ).

Observemos tambien que T 10 y T20 tienen dos lados paralelos y que siempre

podemos trasladar la aguja delgada (un segmento) a una posicion paralelaen cuanto dispongamos de una porcion de area para gastar, por pequena queesta sea, aunque quizas tengamos que irnos muy lejos para hacerlo, como seindica en la siguiente figura:

z

A B

B

AB

AA B

La combinacion de las dos estrategias anteriores permite usar el conjuntoP para girar la aguja un angulo total de 0 dentro de un area estrictamentemenor que la del triangulo de partida T0. La idea de Besicovitch consistio enrepetir esta construccion muchas veces.

Dado un entero positivo n, dividimos la base de un triangulo equilatero T0de altura h0 en 2

n segmentos de identica longitud. A partir de ellos obtenemosla descomposicion en triangulos

T0 = T10 T 20 T 2

n

0

. . .T 10 T 20 T 30

Con cada pareja T 2k10 , T2k0 , k = 1, . . . , 2

n1 construimos el pimpollo

P k1 = Tk1 Rk1

de la manera antes descrita, usando un parametro 1,12 1 < 1.

Observemos que los distintos triangulos T k1 , k = 1, . . . , 2n1, tienen, cada

dos consecutivos, un lado paralelo. Por tanto, pueden ser trasladados hastaposiciones adyacentes para formar un nuevo triangulo T1 que es semejante aT0 con razon 1. Trasladamos ahora tambien las ramas R

k1 a las posiciones

correspondientes Rk1 y obtenemos el primer arbol A1 = T1 R11 R2n11 :area(A1)

[21 + 2(1 1)2

]area(T0) .

3

Como el triangulo T1 es una union de 2n1 triangulos de base 1b02n+1

y altura h1 = 1h0, podemos repetir el proceso con otro parametro 2(12 2 < 1), y hacerlo sucesivamente un total de n veces con parame-

tros respectivos 1, 2, . . . , n, para obtener un arbol An = Tn {ramas}de manera que

area(An) {21

22 2n + 2

[(1 1)2 + 21(1 2)2

+ + 21 2n1(1 n)2]}

area(T0) .

Tomando ahora los valores

k = 1 1n+ 2 k =

n+ 1 kn+ 2 k , k = 1, 2, . . . , n

obtenemos

1 k =k

j=1

n+ 1 jn+ 2 j =

n+ 1 kn+ 1

k(1 k+1) = 1 k = n+ 1 kn+ 2 k .

Por tanto

area(An) {( 1

n+ 1

)2+ 2n

( 1n+ 2

)2}area(T0) 3

narea(T0) .

Finalmente observemos que los 2n triangulos de la subdivision originalde T0 pueden ser trasladados hasta encajar dentro de An y que si hemospartido de una altura h0 > 1, entonces la aguja puede ser girada

2pi6radianes

si anadimos a An un conjunto de area tan pequena como queramos. Paraacabar basta con tomar seis conjuntos de Besicovitch rotados cada uno deellos 2pi

6radianes respecto del inmediato anterior, para poder realizar el giro

completo.

Si partimos ahora de un triangulo con altura h0 = 2 entonces cadatriangulo contendra a un rectangulo de base 2n1 y altura 1. Eso nos per-mite tratar el caso de una aguja gruesa.

Proposicion 1. Para todo > 0 existe un conjunto plano P de medidamenor que C| log |1 (donde C es una constante fija e independiente de ),de manera que cualquier rectangulo del plano de dimensiones 1 y direccionarbitraria, puede ser trasladado dentro de P.

La proposicion anterior tiene una recproca en el sentido siguiente:

4

Proposicion 2. Existe una constante C > 0 tal que si un subconjunto delplano contiene a un rectangulo de dimension 1 en cada direccion, entoncessu area deber ser mayor que C/| log |.Demostracion. Sea P un subconjunto medible del plano que verifique lashipotesis de la proposicion. Para cada j, 0 j 1, designemos por Rj aun rectangulo de dimensiones 1 contenido en P cuya direccion, es decirel angulo que forma su lado mayor con la horizontal, sea j =

12pij.

Obtenemos un total de[1]+ 1 rectangulos, con la notacion habitual

[t] = parte entera de t.

Sea j la funcion indicadora de Rj, es decir j(x, y) = 1 si (x, y) Rj,mientras que j(x, y) = 0 en caso contrario.

Tenemos que = area(Rj) =

j(x, y) dx dy. Luego

1 j

area(Rj) =

j

j(x, y) dx dy

[area

(j

Rj

)]2[ (j

j(x, y))2

dx dy] 12

por la desigualdad de Holder.A continuacion observemos que [

j

j(x, y)]2dx dy =

j, k

j(x, y)k(x, y) dx dy

=j, k

area(Rj Rk

).

Un sencillo calculo trigonometrico nos permite obtener

area(Rj Rk

) 14

|j k|+ 1y

1 12

[area

(Rj

)] 12[j, k

1

|j k|+ 1] 12

[area

(Rj

)] 12 | log | 12

de donde obtenemos

area(P ) area(

Rj

) C| log |

uniformemente en > 0.

5

Si llevamos hasta el lmite la construccion de Besicovitch obtendremos unconjunto de medida cero que, sin embargo, contiene un segmento de longitudunidad en cada direccion del plano. Un tal conjunto, al que podemos llamarconjunto de Kakeya, tiene, no obstante, dimension fractal, o de Minkowski,maxima: dimM(K) = 2.

Para verlo recordemos que la dimension fractal del conjunto K es el valordel lmite siguiente:

dim(K) = lm0

[2 log

(area(K)

)log

]siendo K =

{x : dist(x;K) }.

Comoquiera que K contiene a un rectangulo de dimensiones 1 encualquier direccion del plano, la Proposicion 2 implica que

area(K) C| log | .

Por tanto log(area

(K))

log

log(log()

)| log | 0 0

Proposicion 3. Todo conjunto de Kakeya plano verifica que dimM(K) = 2.

2. La funcion maximal

Estos resultados sobre los conjuntos de Kakeya no pasaran de ser unamera curiosidad de no ser por sus implicaciones en teoras fundamentalesdel Analisis, tales como son la sumacion esferica de las series e integrales deFourier, los teoremas de restriccion de la transformada de Fourier a subva-riedades, o la ortogonalidad de operadores cuyos smbolos viven en distintasregiones del espacio de las fases.

Aunque en este artculo no pretendemos profundizar en estas interesan-tes conexiones, si conviene mencionar, no obstante, un objeto, la funcionmaximal de Kakeya, que esta en la base de todos ellos.

Recordemos el teorema de diferenciacion de Lebesgue que es la extensiondel teorema fundamental del Calculo al caso de funciones del espacio L1(Rn).Dice as:

lmQ x

1

(Q)

Q

f(y) d(y) = f(x) , c.t. x Rn .

6

Es valido para toda f L1(Rn), = medida de Lebesgue y donde Q xsignifica que el lmite esta considerado sobre todas las sucesiones de cubos Qque contienen al punto x y cuyo diametro tiende a cero.

Que ocurre si sustituimos la clase de los cubos por la de los rectangulos(cilindros o prismas) de tamano y direccion arbitrarios?

Pues bien, en ese contexto, resulta que el teorema de Lebesgue es falsoincluso para funciones de L(Rn), y los conjuntos de Kakeya originan losoportunos contraejemplos.

La version cuantitativa esta naturalmente asociada al siguiente objeto,llamado funcion maximal de Kakeya: dado N 1 consideremos la clase B nNde cilindros en Rn (rectangulos en el caso n = 2) cuyo radio r y altura hverifican la relacion h = rN , pero cuya direccion es arbitraria. Dada unafuncion localmente integrable f definamos

MnN f(x) = sup

xRB nN

1

(R)

R

|f(y)| d(y) .

La conjetura siguiente es una importante cuestion del Analisis Armoni-co contemporaneo que contiene una version cuantitativa de las propiedades(diferenciacion de integrales, dimension fractal) de los conjuntos de Kakeya:

Conjetura. En Rn, n 2, existen constantes finitas C(n), (n) tales que

M nNfLn(Rn) C(n)(logN

)(n)fLn(Rn)

para toda f Ln(Rn).En la referencia [5] encontramos la demostracion de la conjetura en el

caso n = 2. Los casos n 3 estan abiertos, aportando las referencias [6], [8]y [9] algunos resultados parciales que han sido mencionados explcitamenteentre las razones por las que J. Bourgain and T. Tao fueron galardonadoscon la Field Medal.

Referencias

[1] Kakeya, S.: Some problems on maxima and minima regarding ovals.Tohuku Sci. Reports 6 (1917), 7188.

[2] Besicovitch, A. S.: On Kakeyas problem and a similar one. Math.Z. 27 (1928), no. 1, 312320.

[3] Fefferman, C.: The multiplier problem for the ball. Ann. of Math.(2) 94 (1971), 330336.

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[4] Davies, R.: Some remarks on the Kakeya problem. Proc. CambridgePhilos. Soc. 69 (1971), 417421.

[5] Cordoba, A.: The Kakeya maximal function and the spherical sum-mation multipliers. Thesis University of Chicago, 1974. Amer. J. Math.99 (1977), no. 1, 122.

[6] Bourgain, J.: Besicovitch type maximal operators and applications toFourier Analysis. Geom. Funct. Anal. 1 (1991), no. 2, 147187.

[7] Cordoba, A.: The fat needle problem. Bull. London Math. Soc. 25(1993), no 1, 8183.

[8] Wolff, T.: An improved bound for Kakeya type maximal functions.Rev. Mat. Iberoamericana 11 (1995), no. 3, 651674.

[9] Katz, N. H. and Tao, T.: New bounds for Kakeya problems. J. Anal.Math. 87 (2002), 231263.

Antonio CordobaDepartamento de Matematicas

Facultad de CienciasUniversidad Autonoma de Madrid

Cantoblanco, 28049 Madrid (Spain)antonio.cordoba@uam.es

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