el

fortoplano al

finitaj elementoj

Metodo de diskretaj elementoj - traba elemento

- triangula elemento- rektangula elemento

Laboro & EnergioEnergia ekvacioTeoremo de CASTIGLIANOTeoremo pri reciprokecoTeoremo de BETTIE-MAXWELLTeoremo pei reciprokeco de intenaj grandojEkvaciaro de virtuala laboro

Versio 03

strukturo de konstruteorio

Metodo de diskretaj elementoj

1. etapo

Elekto de elementoj

Elemento estas statike difinita parto de konstrukcio, kies proprecoj (rigideco/fleksibleco) estas konataj. Elementoj povas esti 1-,2-,3-dimensiaj. Nombro da elementoj estas principoe lauvola, sed praktike limigita pere kapablecoj de komputoroj.

Estas eble uzadi pli densan reton da elementoj en statike pli gravaj partoj

de konstrukcio.

2. etapo

Priskribo de nodoj

Elementoj kuplighas en nodoj. En chiu nodo oni intencas plenumi la gemetriajn kaj statikajn kondichojn. Krome, che 2- /3-dimensiaj elementoj oni shatus plenumi ankau la kontinuec-kondichojn lau la liniaj au ebenaj elemento-randoj. Povas okazi, ke la kontinuec-kondichojn ne estos plenumitaj, tiam oni devas enkonduki korektigan aproksimadom .

3. etapo

Solvo de ekvaciaro

Post difino de kontinuec-ekvacioj oni analizas la tutan ekvaci-sistemon simnile, kiel estas konate en metodo de transoko.

elementaro

konstrukcio

3-dimensia

2-dimensia

1-dimensia

Modeligo(dispartigo de konstrukcio je konformaj elementoj)

strukturo de konstruteorio

ξ

w(ξ)

i

j

wi

wj

φi

φj

Wi

Wj

wij

Pi

Pj

Mi

Mj

Wij

w

αn

AA-1

Ξn Cn

ε σD

ж = ?

„

αn = (α 1 , α 2 , α 3 , α 4 )Ξn = (1, ξ , ξ 2 , ξ 3 ),

Cn = Ξ``= (0, 0, 2, 6ξ )

n = 4 (nombro da parametroj α en w-funkcio)

Bn

Bn = Ξ`= (0, 1, 2ξ , 3ξ 2 ),

εwij= [1]

σ

W

virtualaj

realaj

eL

iL

wi

wj

eL = iLEkvacio de virtuala laboro

dξ Wij

Traba elemento

1. Dividu konstrukcion je elementoj (chi tie 1-dimensiaj)

2. Por chiu elemento prikalkulu ghian rigidecon (k)

En lokaj koordinatoj de elemento oni priskribu ghian deformitan akson helpe de potenca sumo kun n=4 parametroj, do:

w() = 1 + 2 + 32 + 43 = [1 2 3]{1 2 3 4}= nn

w‘() = 2 + 23 + 342 = [0 1 2 32 ]{1 2 3 4} = ()

w‘‘() = 23 + 64 = [0 0 2 6 ]{1 2 3 4} = Cnn

Por randoj =0 kaj =L oni ricevas

wi 1 0 0 01

i 0 1 0 02

wj 1 L L2 L3 3

j 0 1 2L 3L2 4

kaj fine: w() = n A-1wij = Bnwij

= w‘‘() = Cn A-1wij

= EJw‘‘() = D Cn A-1wij

El ekvacio de virtuala laboro ni prikalkulos serchatan rigidecon k

d = [Cn A-1wij ]* [D Cn A

-1]wij d =

= wij*(A-1)*{ Cn*DCn d } A-1wij

do, wijWij = wij*(A-1)*{ Cn*DCn d } A-1wij

finfine: Wij = (A-1)*{ Cn*DCn d } A-1wij = жwij

= An = wij =

ж = (A-1)*{ Cn*DCn d } A-1

strukturo de konstruteorio

1 0 0 0

0 1 0 0

-e/ L2 -2/L 3/ L2 -1/L

2/ L3 1/ L2 -2/L3 1/L2

A =

Cn*DCn = EJ

A-1 =

Numera kalkulado gvidos al sekvantaj rezultoj:

1 0 0 0

0 1 0 0

1 L L2 L3

0 1 2L 3L2

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 4 12

0 0 12 362

Cn*DCn d = EJ

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 4L 6L2

0 0 6L2 12L3

0

L

Rigideco de traba elemento:

12 6L -12 6L

6L 4L2 -6L 2L2

-12 -6L 12 -6L

6L 2L2 -6L 4L2

ж = EJ

L3

strukturo de konstruteorio

pdξw(ξ)

i

j

0

0

0

0

Wi

Wj

wij

Pi

Pj

Mi

Mj

αn

AA-1

ΞnCn

ε σD

W0=?

„Bn

εwij= [1] σ

W

virtualaj

realaj

eLv

=

eLr

wi

wj

Ekvacio de virtuala laboro:

Wij

p

w(ξ)

w(ξ) W0 = ?

konataj serchataj

pdξ

w(ξ)=

Fiksita trabo + distribuita forto p

3. Por fiksita trabo prikalkulu nodajn reakciojn W0.

En lokaj koordinatoj de elemento oni priskribu ghian deformitan akson (transloko-funkcio w) helpe de potenca sumo kun n=4 parametroj, do:

w() = 1 + 2 + 32 + 43 = [1 2 3]{1 2 3 4}= nn

kaj w() = n A-1wij

Ekvacio de virtuala laboro liveros serchatajn nodofortojn Wo:

wij*W0 = – w*()pd

wij*W0 = – (n A-1wij)*pd = – wij*(A

-1 )* n*pd

W0 = – wij*(A-1 )* n*pd = – H*pd

H = [1 2 3]A-1 =

= [L3 -32L + 23, L3 - 22L2 + 3L, 32L -23, - 2L2 + 3L]/L3

finfine: -6

-L

-6

L

pL

12W0 =

strukturo de konstruteorio

(

ξ

uk(c,h)

i

uj

uk

vj

vk

wijk

Uj

Uk

Vj

Vk

Wijk

w

αn

AA-1

Ξn Cn

ε σD

ж=?

‚

u = (α 1 + α 2ξ + α3)

n = 6 (nombro da parametroj α en w-funkcio)

Bn

εwij= [1]

σ

W

virtualaj

realaj

eL

iLeL = iLEkvacio de virtuala laboro

d vol Wij

j

k

vk(c,h)

ui(0,0)vi(0,0) vj(0,a)

uj(0,a)

ui

vi Vi

Ui

v = (α 4 + α 5ξ + α6)

αn = {α 1 , α 2 , α 3 , α 4 , α 5 , α 6 }

(vol )= tah/2 (t = dikeco de triangulo)

x

disko

Triangula elemento de disko

1. Dividu konstrukcion je elementoj (chi tie 2-dimensiaj)

2. Por chiu elemento prikalkulu ghian rigidecon (k)

En lokaj koordinatoj de elemento oni priskribu ghian deformojn helpe de transloko-funkcioj :

u = 1 + 2 + 3 = [1 0 0 0]{1 2 3 4 5 6}

v = 4 + 5 + 6 = [0 0 0 1 ]{1 2 3 4 5 6}

Por nodo-punktoj (i, j, k) la funkcio-valoroj estas

ui 1 0 0 0 0 0 1

uj 1 a 0 0 0 0 2

uk 1 c h 0 0 0 3

vj 0 0 0 1 0 0 4

vj 0 0 0 1 a 0 5

vk 0 0 0 1 c h 6

=u 0 1 0 0 0 0 {1 2 3 4 5 6}

=v 0 0 0 0 0 1

=u+v 0 0 1 0 0 0

= Cnn

1 0

0 0 = D = CnA-1 wijk

0 0 (1-)/2

= An = wijk

=

E

(1 - 2)

= =

= =

ж = [A-1]*{ Cn*DCn (vol) } [A-1]

ж = [A-1]*{ Cn*DCn d vol } [A-1]

strukturo de konstruteorio

El ekvacio de virtuala laboro oni ricevos rigidecon

Oni rimarku, ke matricoj C kaj D enhavas nur konstantaj

elementoj, do oni integaciaj nur volumon lau de vol, kaj

ж = [A-1]*{ Cn*DCn (vol) } [A-1]

kie inverso de matrico A egalas:

A-1 = A3

-1 0

0 A3-1

A3-1 =

ah 0 0

-h h 0

(c-a) -c a

/ah

Transpono de rigideco al globalaj koordinatoj

okazas lau transponanto T, liganta fortoarojn de loka () kaj globala (xy) koordinat-sistemoj:

Wxi cos 0 0 -sin 0 0 Wi

Wxj 0 cos 0 0 -sin 0 W j

Wxk 0 0 cos 0 0 -sin Wk

Wyi sin cos 0 0 Wi

Wyj 0 sin 0 0 cos 0 Wj

Wyk 0 0 sin 0 0 cos Wk

Wxy = *W

ж

K

=

*

W

Wxy wxy

w

xy

Rigideco en globalaj koordinatoj

K = * ж

strukturo de konstruteorio

h2 +(c-a)2

-h2 -(c-a) h2 +c2 simetrio

a(c-a) -ac a2

h(c-a) ch+h(c-a) ah (c-a)2 +h2

h(c-a) +ch ch ah -(c-a) -h2 c2 +h2

-ah ah 0 a(c-a) -ac a2

Et

2ah(1-2)Ж =

Rigideco en lokalaj koordinatoj

6*6

= (1- )/2

= (1+ )/2

strukturo de konstruteorio

ξ

(a,h)

i

uj

uk

vj

vk

wijkl

Uj

Uk

Vj

Vk

Wijkl

w

αn

AA-1

Ξn Cn

ε σD

ж=?

‚

u = (α 1 + α 2ξ + α3 + α 4ξ )

n = 8 (nombro da parametroj α en w-funkcio)

Bn

εwij= [1]

σ

W

virtualaj

realaj

eL

iLeL = iLEkvacio de virtuala laboro

d vol Wij

j

k(0,h)

(0,0) (0,a)

ui

vi Vi

Ui

v = (α 5 + α 6ξ + α7 + α 8ξ )

αn = {α 1 , α 2 , . . . α 8 }

(vol )= tah (t = dikeco de rektangulo)

l

Vl

Ulul

vl

disko

Rektangula elemento de disko

1. Dividu konstrukcion je elementoj (chi tie 2-dimensiaj)

2. Por chiu elemento prikalkulu ghian rigidecon (k)

En lokaj koordinatoj de elemento oni priskribu ghian deformojn helpe de transloko-funkcioj:

u = 1 + 2 + 3+ 4 = [1 0 0 0 0 ]{n}

v = 5 + 6 + 7+ 8 = [0 0 0 0 1 ]{n}

Por nodo-punktoj (i, j, k, l) la funkcio-valoroj estas

ui 1 0 0 0 0 0 0 0 1

uj 1 a 0 0 0 0 0 0 2

uk 1 0 h 0 0 0 0 0 3

vl 1 a h ah 0 0 0 0 4

vi 0 0 0 0 1 0 0 0 5

vj 0 0 0 0 1 a 0 0 6

vk 0 0 0 0 1 0 h 0 7

vl 0 0 0 0 1 a h ah 8

=u 0 1 0 0 0 0 0 {n}

=v 0 0 0 0 0 0 1 = Cnn

=u+v 0 0 1 0 1 0

tie la atrechoj estas liniaj funkcioj de , :

1 0

0 0 = D = CnA-1 wijk

0 0 (1-)/2

= An = wijkl

E

(1 - 2)

= =

= =

ж = [A-1]*{ Cn*DCn (vol) } [A-1]

=

~

Laboro & Energio

Energia ekvacio

Teoremo de BETTIE-MAXWELL

Teoremo pri reciprokeco de internaj grandoj

Teoremo pri reciprokeco de grando-aroj

Teoremo de CASTIGLIANO

Laboro & Energio - unuigo de mekanikaj eventoj

Ekvacioj de virtuala laboro

eL

iL

Q

u U

q

Izolita sistemo

Laboro & Energio

Energia ekvacio

Konekto de geometria kaj statika flankoj gvidas al nova shtupo de analizado. Ni eliru el mekanika nocio de laboro (L), kiun oni difinas kiel skalara produkto de forto- kaj transloko-vektoroj Laboro = (forto)(vojo)cosαKie α estas angulo inter direktoj de forto kaj vojo.

Plue ni pritraktas nur komponantojn de vojo kies direkto kongruas kun fortodirekto, tio signifas, ke chiam cosα = 1.

Ni distingos kunligitaj paroj: eksteraj fortoj Q kaj translokoj q, krome internaj fortoj U kun deformoj u.

Analogie ni difinos la eksteran kaj internan laborojn de konstruajho: eL = qQ iL = uU(escepte oni devas atenti fakton ke forto kreskas el nulo al fina grando, do el integracio aperos en supraj produktoj koeficiento ½ )

Fakte, sumo de intera kaj ekstera laboroj estas nulo:

eL + iL = 0 (energia ekvacio)

Oni povas ankau tion interpreti, kiel: eL = - iL

El supra principa legho de fiziko oni difinis la bazajn teoriojn de

mekaniko, kies strukturojn ni nun eksplikos.

Trabo fleksata

Laboro de eksternaj fortoj Q estas kalkulebla nur se oni konas vojon q. Por tio oni devus solvi tutan konstrukcion. Pli facile estas prikalkuli internan, elastan energion E surbaze de internaj fortoj U kaj respektivaj deformoj u.

Por chiuj U-komponantoj ni konas la rigidec-faktoron K, kiu au estas konstanta por chiu trabo-trancho x, au varias lau trabo-akso x.

La komponantojn de energio oni legu el kuplografoj.

?

E

Qq

Uu

[E,G, A, J, ][E,G, A(x), J(x), ]

K(x)K=konst

K

Uu

E =

N

T

M

U(x)u

E =

N(x)

T(x)

M(x)

(x)

dx

(

[A(x), J(x)]

L

L/EA

L/GA

L/EJ

½

½

½

½

½

½

½

dx/EJ(x)

dx/EA(x)

dx/GA(x)

T2L—— + —— + ——M2L N2L2EJ 2EA 2GA

—— + —— + ——M2 N2

EJ EA GAT2

)dx0

L

Laboro & Energio

Teoremo de CASTIGLIANO

Ghenerala formulo

„Transloko de punkto egalas je parta derivacio de interna energio E lau kunligita forto Q “

Quq U

E

/Q

R=1r UR

Qds/K U

1

/R/R

R=1r

UR

Qds/K U

1

FQ fR

Σ(FQ )(fR)

q = ------ Q

E

Interna energio egalas:

E = ½ U2

Kds

r = ----- = RE

KRU dsU

dsUK

UR=

Por konstantaj parametroj K oni povas integracii geometrie: :

dsUUR

FQ

fR

FQfR

a

L

L

b bb

a

L

L L L

a

La

La/2

2La/3

La•b La(b/2)

(La/2)(2b/3)

La(b/2)

(La/2)(b/3)(La/2)b

(2La/3)b (2La/3)b/2 (2La/3)b/2

Laboro & Energio

aQau aUaq

Qbub Ubqb

1

iLab

eLab

Laboro & Energio

Teoremo pri reciprokaj grando-aroj

Se al konstukcio agas du aroj da fortoj: kauzoj aQ kaj Qb , kiuj elvokas respektivajn efikojn aq ,qb, tiam potenciala laboro de interaj kaj eksternaj fortoj je reciprokaj vojoj (kuplitaj grandoj) egalas:

Le = aQqb

Li = aUub

kaj Le = Li,

au detale: aQqb = aUub

aro a

aro b

aQau aUaq

Qbub Ubqb

=eLabeLba

eL21

Q1 = 1u1 U1q1

Q2 = 1u2 U2q2

eL12 =

Laboro & Energio

Teoremo de BETTIE Laboroj de eksteraj fortoj en du sistemoj

eLab = aQqb

eLba = bQqa

eLab = eLba au aQqb = bQqa

(aparta kazo estas teoremo de Maxwell)

Teoremo de MAXWELL

Por aparta kazo: Q1 = 1 , Q2 = 1eL12 = 1.q2

eL21 = 1.q1

eLab = eLba au 1.q2 = 1.q1

(konata kiel teoremo pri reciprokaj translokoj)

aQau

aUaq

Qbub Ubqb

iLabiLba=

Laboro & Energio

Teoremo pri reciprokeco de internaj grandoj

iLab = auUb

iLba = aUub

iLab = iLba au auUb = aUub

aro a

aro b

aQau

aU

aq

sistemo (a)

sistemo (b)

bQbU

bq bu

Resume

Ekvacioj de virtuala laboro

Laboro & Energio