El gradiente De una funcin
Funcin vectorial
Dominio: [R] Rango: [R]
Dominio: [ R] Rango: [V]
DefinicinGRADIENTE DE UNA FUNCION DE DOS VARIABLES
la funcin: con derivadas parciales: Tiene como gradiente: y
la interpretacin:
El gradiente de la funcin es un vector en el plano
el ejemplo:Hallar el gradiente de Como: Entonces.. y ; en
Ahora en (1,2)
La primera consecuencia:FORMA ALTERNATIVA DE LA DERIVADA
DIRECCIONAL
--> MIENTRAS que
Sea diferenciable
Entonces la derivada de: en direccin del vector unitario u
es:
y va el ejemplo:_Hallar la derivada direccional de: en en la
direccin de a
podemos empezar buscando al vector u:
y luego hacerlo unitario:
y luego
y como
y ahora en:
sus propiedades:mientras f sea diferenciable en
1. Si
para todo u.
2. La direccin del mximo incremento de f est dada porEl valor
mximo de
3. La direccin del mnimo incremento de f est dada porEl valor
mximo de
Y por fin las aplicaciones...1.La temperatura en C en la
superficie de una placa metlica es
donde x y y se miden en cm. a) En qu direccin a partir de (2,
-3) aumenta ms rpido la temperatura? b) Cul es el ritmo de
crecimiento? Si colocamos un rastreador trmico en el punto (2, -3)
, cul ser la trayectoria del rastreador si ste se mueve
continuamente en direccin del mximo incremento de temperatura?
Direccin de la mxima temperatura
Trayectoria seguida por el rastreador
Otra particularidad ms:
EL GRADIENTE ES NORMAL A LAS CURVAS DE NIVEL Mientras f sea
diferenciable en y
Entonces
es NORMAL a la curva de nivel que pasa por
Por ejemplo, dibujar la curva de nivel que corresponde a
para:
Y hallar un vector normal a varios puntos de la curva
Superficie dada por
Curva de nivel dada por
Nota: todas la definiciones anteriores se pueden extender a
funciones de 3 o mas variables
muchas gracias
