El Infinito Matematico

El Infinito Matematico

Lorena Dıaz Garcıa <[email protected]>

Miguel Angel Vilela Garcıa <[email protected]>

20 de enero de 2005

Indice general

1. Introduccion 1

2. El infinito en La India 4

2.1. Nombrando el infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2. Infinito matematico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3. La civilizacion Griega 7

3.1. La Escuela Pitagorica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.2. La escuela de Parmenides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.3. Platon y Aristoteles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.4. El metodo de exhaucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4. Europa antes de Cantor 15

4.1. El metodo de induccion matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.2. Los indivisibles, la semilla de los infinitesimales . . . . . . . . . . . . . . . 16

4.3. El Renacimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.4. El calculo infinitesimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.5. Nuevas Geometrıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

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2

5. El paraıso de Cantor 24

5.1. Georg Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5.2. El siglo XX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

6. Conclusion 31


Resumen

Mas grande que lo mas grande, mas pequeno que lo mas pequeno. . .

A lo largo de la historia, la idea del Infinito siempre ha sido fuente de controversia. Men-cionado en la India desde hace 5000 anos, estudiado extensamente por los griegos clasicos,el infinito parecıa conducir siempre a paradojas. Cantor resolvio algunas de las relacio-nadas con lo infinitamente grande, mientras que la invencion del Calculo Infinitesimal deNewton y Leibniz nos ayudo a trabajar con lo infinitamente pequeno. Pero por muchoque avance la matematica, la fascinacion por el Infinito nunca dejara de formar parte dela naturaleza humana.

CAPITULO 1

Introduccion

– I’VE SEEN THE INFINITE. IT’S NOTHING SPECIAL.– Don’t be daft. You can’t see the Infinite. ’Cos it’s infinite.– I HAVE.– All right, what did it look like?– IT’S BLUE.– ’S black.– NOT WHEN SEEN FROM THE OUTSIDE. THE NIGHT SKY IS BLACK.

BUT THAT IS JUST SPACE. INFINITY, HOWEVER, IS BLUE.

Terry Pratchett, Soul Music (1994)

El estudio de la historia del Infinito plantea el dilema de centrarse unicamente en el con-cepto matematico puro o abarcar tambien los aspectos filosoficos y religiosos relacionadoscon el. Historicamente no se puede separar la faceta religiosa y filosofica puesto que desdesiempre ha jugado un papel importante en el desarrollo de las ideas y teorıas matematicasacerca del Infinito.

En este trabajo hemos decidido concentrarnos en el aspecto matematico del Infinito, pues-to que es nuestro verdadero objetivo. Las consideraciones filosoficas y religiosas tendranun papel secundario que se desvanecera a medida que el concepto matematico vaya ganan-do fuerza. En realidad, las consideraciones filosoficas no han dejado de estar presentes enlas mentes de todos los matematicos que se enfrentaron con algun problema relacionadocon el Infinito.

En la cultura hindu la relacion del infinito con la religion es un punto clave puesto quela idea de lo infinito como divino surge miles de anos antes que el infinito matematico.Como veremos mas adelante, la idea del Infinito ha estado presente en las mentes de loshindues desde tiempos ancestrales, pero no fue hasta bien entrada la Edad Media cuandose comenzaron a desarrollar matematicas relacionadas con el infinito en las civilizacioneshindu y arabe.

1

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En la Grecia clasica, ambas facetas del infinito conviven, pues la religion tiene una graninfluencia en los pensadores y al mismo tiempo las Matematicas experimentaron un de-sarrollo muy importante. La relacion entre Matematicas y Filosofıa se hizo especialmentepatente en los estudios de los antiguos griegos.

Desde que la gente comenzo a pensar sobre el mundo en el que vivimos surgieron lasprimeras preguntas sobre el Infinito. Cuestiones sobre si el tiempo y el espacio son finitoso infinitos. Dudas existenciales acerca de cosas como ¿que pasarıa si viajaramos en undireccion constante indefinidamente, llegarıamos al fin del mundo o podrıamos continuarviajando eternamente?

Los antiguos griegos tropezaron con la primera cuestion fundamental sobre el Infinito:la divisibilidad de la materia. ¿Se puede dividir la materia en piezas cada vez mas pe-quenas infinitamente o por el contrario llegado a un punto las piezas alcanzan un tamanoindivisible?

Pitagoras decıa que “todo es un numero” y que la Naturaleza se componıa de los numerosNaturales. Los defensores de la teorıa atomica creıan que la materıa estaba compuesta porun numero infinito de partes indivisibles que denominaron atomos, teorıa que fue atacadapor Parmenides y su escuela. Zenon escribio unas paradojas con las que mostro que tantola creencia de que la materia era continua y divisible como la teorıa atomica llegarıan aconclusiones aparentemente contradictorias. Naturalmente estas paradojas surgieron deconsiderar erroneamente el Infinito.

Por su parte, Aristoteles introdujo una idea que dominarıa el pensamiento de los siguientesdos mil anos y aun en el actualidad es un argumento persuasivo para algunos. Rechazabael infinito “actual” proponiendo en su lugar un infinito “potencial”. Su idea era queaunque no seamos capaces de concebir los numeros Naturales en su totalidad, estos sonpotencialmente infinitos en el sentido de que dada una coleccion finita de ellos siemprese puede encontrar una coleccion finita mayor. Unos dos mil anos mas tarde, Cantor dijoque Aristoteles estaba haciendo una distincion puramente linguıstica[18].

. . . en realidad el infinito potencial solo tiene una realidad prestada, hastael punto en que un concepto de infinito potencial siempre apunta a un conceptologico de infinito actual de cuya existencia depende.

Ante esta dualidad del Infinito cabe preguntarse ¿como pudo Euclides demostrar quelos numeros primos son infinitos? Lo que hizo fue demostrar que los numeros primosson potencialmente infinitos. Su demostracion muestra que dada una coleccion finita denumeros primos debe haber siempre un numero primo que no este en tal coleccion.

Descubrimientos recientes sugieren que no todos los matematicos griegos se limitaron atrabajar unicamente con el infinito potencial. Algunos autores, como Arquımedes, traba-jaron mucho con esta idea, utilizando el metodo de exhaucion ideado por Eudoxo. PeroArquımedes reconoce en El Metodo que estos razonamientos no son verdaderas demostra-ciones matematicas.


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Entrada la Edad Media, los matematicos hindues introdujeron el cero en su sistema y estu-vieron trabajando en el para conseguir que respetara las operaciones aritmeticas usuales.Bhaskara II afirmo que una cantidad dividida por cero resultarıa en una fraccion con de-nominador cero que considero una cantidad infinita. Con ello intento introducir tambienel infinito en su sistema, al igual que el cero. Logicamente esto no funciono, pues comomas tarde dirıa el mismo Bhaskara II significarıa que multiplicando cero por infinito seobtendrıa cualquier numero, por lo que todos los numeros serıan iguales.

En el siglo X el matematico arabe al-Karaji utilizo una forma no rigurosa de demostra-cion por induccion matematica, cientos de anos antes de su primera formulacion rigurosacomo metodo de demostracion. En el Renacimiento, Pascal demostro la relacion entre loscoeficientes binomiales del triangulo de Pascal por medio de induccion matematica, sintener conocimiento sobre el trabajo de al-Karaji.

La primera persona en enfrentarse de verdad con el infinito fue Galileo Galilei[16]. Seenfrento con las cantidades infinitamente pequenas al estudiar el problema de las dosruedas proponiendo convertir la menor en la mayor anadiendo una cantidad infinita deincrementos infinitamente pequenos. Aparecen en escena los indivisibles, la semilla de losinfinitesimales.

Para tratar con las cantidades infinitamente grandes establecio una biyeccion (aunque esteconcepto entrarıa en escena mucho mas tarde) entre los numeros naturales y los cuadradosperfectos. Llego a la conclusion de que no se podıa considerar que dos cantidades infinitasestuvieran relacionadas por igualdad o desigualdad.

En esta epoca John Wallis introdujo el sımbolo del infinito que utilizamos actualmente(∞). Eligio este sımbolo por la posibilidad de recorrer esa curva, llamada lemniscataindefinidamente.

Decadas despues del surgimiento de los indivisibles, Newton y Leibniz desarrollaron, deforma paralela sus propias versiones del Calculo Infinitesimal. Newton desarrollo su tra-bajo con anterioridad, pero no pudo publicarlo. Pocos anos despues Leibniz publico susdesarrollos y fue acusado de plagio por Newton, cuya obra sobre el Calculo Infinitesimalno se publicarıa hasta un par de decadas despues de su muerte.

Quizas uno de los eventos mas significantes en el desarrollo del concepto del infinito fuela publicacion del Paradoxes of the infinite en 1840, en las que Bolzano abogaba por laexistencia del infinito utilizando la idea de conjunto que definio por primera vez.

La formalizacion final del Calculo Infinitesimal vino de la mano de Weierstrass en el s.XIX. La siguiente gran revolucion al respecto llegarıa en 1966 cuando Robinson introdujoel “analisis no-estandar”, que trata los infinitesimales como cualquier otra cantidad.

Pero antes de eso aparecio en escena Georg Cantor. Pionero de la teorıa de conjuntos,introdujo el concepto de “numerabilidad”. Demostro que hay infinitos “mas grandes” queotros, en particular que el cardinal de R es mayor que el de N. Trabajo tambien con losordinales infinitos (transfinitos), definiendo sus curiosas reglas operacionales. Cantor fueel primero en mirar al infinito a la cara. Esperemos que no sea el ultimo.


CAPITULO 2

El infinito en La India

Om purnam-adah purnam-idam, purnaat purnam-udacyate.Purnasya purnam-aadaaya, purnam-eva-avashishyate.

Mantra Shanti Vedico (ca. 3000 a.C.)

2.1. Nombrando el infinito

Los mantras son cantos que se entonan antes de comenzar cualquier estudio o ensenanzaVedica. Su objetivo es traer paz, armonıa y concentracion alla donde sean cantados. Elmantra que abre este capıtulo proviene del capıtulo 40 del Sukla Yajur Veda, el “Librodel Ritual”, una coleccion de rituales liturgico (Upanishads) entre los que se incluyen losdos mas sobresalientes de la religion Hindu: el Upanishad Brihadaranyaka y el UpanishadIsavasya. Antes de su estudio siempre se cantan esos versos.

El concepto fundamental del mantra es el de purnam, un termino que admite diversasinterpretaciones. El idioma original del mantra es el sanscrito, y sus distintas traduccionescoinciden en lo siguiente:

Purnam-adah Eso es purnampurnam-idam, esto es purnam,purnaat purnam-udacyate. de ese purnam nace este purnam.Purnasya purnamadaya, si le quitas a ese purnam este purnam,purnameva vashishyate. lo que queda es purnam.

La raız de la palabra purnam es pri, que significa “llenar”. Ası purnam se traduce comolleno, pleno, ıntegro, completo, ilimitado. En ocasiones se interpreta como “sin principioni fin” e incluso “circular”. La version mas difundida y aceptada de este mantra lo traducedirectamente como “infinito”, aunque otras versiones aseguran que significa “cero”. Unatercera interpretacion dice que ambos conceptos estan presentes en el mantra, que se

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2.2. INFINITO MATEMATICO 5

refiere a un principio de dualidad, denotando que cero e infinito son inversos el uno delotro. Esta ultima lectura parece en un principio demasiado rebuscada, sin embargo, hayindicios de que podrıa estar en lo cierto.

Existen otras palabras en sanscrito para designar el concepto de infinito, como ananta(sin fin) y aditi (sin principio). El termino asamkhyat, que se traduce como innumerable,aparece en el Upanishad B’had Rayaka del Yajur Veda (capıtulo 16). Tambien en esteUpanishad se dice que los misterios de Indra son ananta.

2.2. Infinito matematico

La pasion de la civilizacion hindu por los numeros grandes es un factor fun-damental en el descubrimiento del sistema posicional. No solo fue un in-centivo para ir mas alla de la realidad “calculable” sino que llevo a unacomprension de la nocion de infinito matematico mucho mas tempranaque la de nuestra civilizacion

Georges Ifrah - Histoire Universelle des Chiffres (1981)

En el capıtulo 5.15 del Atharvaveda encontramos un himno con los numerales del uno aldiez: eka, dva, tisra, chatasra, pancha, sat, sapta, asta, nava, dasha y las decenas del 10al 100 dasha, vinshati, trinshat, chatvarinshat, panchashat, sasti, saptati, ashiti, navati,shata y por ultimo el numero mil: sahasra.

En otro mantra del Yajur Veda (17.2) encontramos las potencias de diez hasta un billon:

Ima me agna istaka dhenavah santveka cha dasha cha dasha cha shatamcha shatam cha sahasram cha sahasram chayutam chayutam cha niyutam chaniyutam cha prayutam charbudam cha nyarbudam cha samudrashcha madh-yam chantashcha parardhashchaita me agna ishtaka dhenavah santvamutra-musminlloke.

Que se traduce como:

¡Oh, Agni! Que estos ladrillos sean vacas para mı. Una y diez diez y cien,cien y mil, mil y diez mil, diez mil y cien mil, cien mil y un millon y diezmillones y cien millones y mil millones y diez mil millones y cien mil millonesy un billon. ¡Oh, Agni! Que estos ladrillos sean vacas para mı en este mundoy en el otro mundo.

Pero no solo con palabras expresaban los hindues los numeros grandes. La notacion sans-crita tenıa una calidad conceptual excelente. Era facil de usar y facilitaba la concepcionde los mayores numeros imaginables. Se cree[13] que los hindues vedicos conocıan la dife-rencia fundamental entre un numero muy grande e infinito y que sabıan que un numero


2.2. INFINITO MATEMATICO 6

infinito no puede conseguirse mediante un numero finito de operaciones con numerosfinitos.

Yativrsabha (500-570) describio en su obra Tiloyapannatti el sistema de las medidasde tiempos infinitos. Yativrsabha era seguidor del Jainismo, una religion y filosofıa queconcebıa un mundo infinito en espacio y tiempo. Esto les llevo a considerar distintasmedidas de infinito y en este aspecto parece ser que fueron los unicos que se preocuparonpor esto antes de Cantor.

Georges Ifrah asegura en [7] que los hindues descubrieron que cero e infinito son nocionesmutuamente inversas mil anos antes que los europeos. Esta es probablemente la aportacionmas importante de los hindues al concepto de infinito matematico.

Brahmagupta (598-670) estuvo cerca de tropezar con el infinito al intentar ampliar laaritmetica para incluir la division por cero. En su intento –brillante aunque no del todocorrecto– definio la division por cero del siguiente modo: un numero positivo divido entrecero es una fraccion con denominador cero, mientras que cero dividido por cero es cero.

Unos de los matematicos hindues mas celebres es Bhaskara II (1114 - 1185), mas conocidoen la india como Bhaskaracharya, que significa “Bhaskara el Profesor”. Segun VictorKatz[8], Bhaskaracharya acometio en su obra Lilavati la division por cero, tratando demejorar el intento de Brahmagupta. Afirmo que cualquier numero multiplicado y divididopor cero es ese mismo numero.

Posteriormente, en Bijaganita, afirmo que cualquier numero divido entre cero es infinito.Sin embargo, si esto fuese cierto, al multiplicar infinito por cero obtendrıamos cualquiernumero, i.e. todos, por lo que todos los numeros serıan iguales. Los matematicos hinduesno llegaron a admitir que la division por cero no es posible.

Dice Madhukar Mallayya en [10] que el cero utilizado por Bhaskaracharya en su reglase equipara al concepto moderno de “infinitesimal”. Aunque esta consideracion no esinfundada, quizas este viendo ideas mas alla de las pretensiones de Bhaskaracharya.


CAPITULO 3

La civilizacion Griega

No existe lo mas pequeno entre lo pequeno ni lo mas grande entre lo grande,sino siempre algo aun mas pequeno y algo aun mas grande[11].

Anaxagoras de Clazomenae (ca. 500 – 428 a.C.)

Los filosofos de la antigua Grecia fueron los primeros en investigar a fondo el concepto deinfinito, por ejemplo en sus discusiones acerca si un segmento de recta es infinitamentedivisible, o si en algun momento se llegarıa a un punto indivisible, un atomo.

Sin embargo, no llegaron a aceptar el infinito en su sistema matematico. Estuvieron cercade desarrollar el calculo con dos mil anos de antelacion, de no ser por su deficiente sistemade notacion matematica. Fueron maestros en Geometrıa, pero su contribucion al Algebradeja mucho que desear[11]. No fue hasta el s. III d.C. cuando Diofanto desarrollo unanotacion basada en pseudoformulas mas que en largas frases, el algebra sincopada.

El carecer de las ventajas del Algebra –su generalidad y la posibilidad de expresar demanera abstracta la relacion entre dos variables– les causo una gran suspicacia alrededorde todo lo que tuviera que ver con el infinito (el llamado horror infiniti).

No hay duda de que los griegos antiguos discutieron mucho sobre la naturaleza de lalogica y del infinito. Pero el legado que su cultura nos dejo fue que el infinito es un tema aevitar. Aun peor, las generaciones posteriores se aferraron a este pensamiento con fervorcasi religioso.

La primera escuela filosofica[5] se creo en Mileto en el s.VII a.C. y se caracterizaba porbuscar el principio de todas las cosas, el cual Tales (640-560)1 pensaba que era el agua.Anaximandro (610-547) consideraba que todas las cosas son “definidas”, mientras que suprincipio es indefinido a-peiron. Esta es la primera aparicion en la civilizacion griega deltermino “infinito” en el sentido de indefinido e indeterminado.

1Todas las fechas de esta seccion son aproximadas y antes de Cristo, a menos que se especifique lo

contrario

7

3.1. LA ESCUELA PITAGORICA 8

El infinito era tabu. Tenıan que prescindir de el a cualquier precio, o si nohabıa mas remedio, camuflarlo con argumentos ad absurdum y similares.

Tobias Dantzig (Number - the Language of Science.)

3.1. La Escuela Pitagorica

Esta escuela surgio en Croton, Grecia, en el s. VI bajo la tutela de Pitagoras de Samos(569-475). Los pitagoricos suelen considerarse como los primeros verdaderos matematicos,ya que introdujeron los estandares de rigor que caracterizan a esta ciencia. No aceptabanninguna afirmacion a menos que pudiera deducirse logicamente de los datos previamenteestablecidos: exigıan demostraciones. Los griegos tambien fueron los primeros en abstraer-se del calculo practico y abordar la matematica como una disciplina puramente intelectual.

Los pitagoricos pensaban que la matematica, y por ende la naturaleza entera, estabacompuesta y podıa expresarse por los numeros naturales. Dividıan la Matematica encuatro campos[1]: quadrivium, numeros y aritmetica; musica, aplicaciones de los numeros;geometrıa, caracterısticas de las cosas y astronomıa, objetos en movimiento.

Pitagoras desarrollo la tesis de Anaximandro con una base matematica[5]. Para el, todaslas cosas se derivaban de la sıntesis de lo definido y lo indefinido, lo limitado y lo ilimitado.La realidad nace de la armonıa entre opuestos: lo impar (uno, limitado, forma) y lo par(dos, ilimitado, materia) ya que de uno y dos surgen todos los numeros y las figurasgeometricas. El infinito se entiende como una disposicion a recibir lo finito.

3.1.1. Los inconmensurables

El sistema de creencias pitagorico con el dogma “todo es numero” se vio amenazado conla aparicion de los inconmensurables: cantidades que no se pueden expresar como unarelacion entre dos numeros enteros.

Uno de los primeros numeros inconmensurables (irracionales) con los que se toparon fuela relacion entre la diagonal y el lado de un cuadrado de lado 1, lo que nosotros conocemoscomo

√2. Tambien fueron los primeros en descubrir la razon aurea φ.

Estos nuevos entes, que ni siquiera entraban dentro de su definicion de numero, rompierontodos los esquemas de los pitagoricos. Ante un descubrimiento que entraba en conflictocon sus creencias su reaccion fue ocultarlo. El gran merito de los pitagoricos fue reformulartoda su teorıa anterior para evitar encontrarse con los inconmensurables. Ası, transfor-maron su teorıa de proporciones en una de transformacion de areas, evitando por poco eldesastre.

Papo nos cuenta que Teeteto de Atenas (417-369) se inspiro en el trabajo de Teodorosobre los inconmensurables y que realizo grandes avances en la teorıa de numeros irra-cionales. Los libros X y XIII de los Elementos de Euclides son una recopilacion de sus


3.2. LA ESCUELA DE PARMENIDES 9

descubrimientos. Algunos historiadores como van der Waerden afirman que en realidadlos escribio el.

3.2. La escuela de Parmenides

La escuela de Parmenides es una de las muchas que nacieron del descubrimiento de losinconmensurables. Esperaban conservar los puntos positivos de los pitagoricos pero almismo tiempo tratar con los inconmensurables.

Parmenides de Elea (520-440)[18] concebıa el pensamiento y la materia como una unicacosa, mas universal que las demas. Bajo esta premisa, Parmenides afirmo que la multipli-cidad cuantitativa y la diversidad cualitativa son solo aparentes[5].

Su discıpulo Meliso de Samos mostro el absurdo inherente a esta concepcion: si la existen-cia es una entidad unica, no puede ser ilimitada, porque esto implica una “no-existencia”,una negatividad. Por tanto es limitada y por fuerza su lımite ha de ser exterior a ella yconsecuentemente... ¡no existir!

Democrito de Abdera (460-370) demostro la coherencia de la multiplicidad empleando elconcepto de vacıo: no necesitamos utilizar la nada, la no-existencia absoluta, sino quebasta con pensar en la ausencia de materia.

Ası se rompe la contradiccion, que nacıa de la oposicion absoluta entre existencia y no-existencia. Esto abre la posibilidad de considerar algo “infinito” en un sentido positivo,definido y no solo en sentido indeterminado.

Democrito se inspiro en las ideas atomistas de su maestro Leucipo para idear una visiondel mundo fısico mucho mas compleja y sistematica que la de todos sus predecesores.Concebıa el vacıo como un espacio infinito donde un infinito numero de atomos componenla realidad. Estos atomos son eternos e invisibles, tan pequenos que su tamano no puededisminuir (de ahı el nombre athomos, indivisible).

La belleza de la teorıa de Democrito es que combina lo infinitamente grande con lo in-finitamente pequeno. Segun Heath, Democrito consideraba los solidos como la suma deinfinitos planos paralelos, y podrıa haber utilizado esta idea para hallar los volumenes delcono y la piramide, como nos cuenta Arquımedes. La similitud con el moderno calculoinfinitesimal es evidente.

3.2.1. Zenon de Elea

Zenon (495-430) pertenecıa a la escuela de Parmenides. No se conserva ninguna obrasuya, pero parece ser que escribio solamente un libro[18]. Segun Proclo, esta obra contenıacuarenta paradojas acerca del movimiento y la continuidad, de las cuales solo conocemoscuatro. Cada una de ellas ataca un aspecto diferente del concepto de infinito. Consideradas


3.2. LA ESCUELA DE PARMENIDES 10

individualmente, parecen sencillas de refutar. Pero si las tenemos todas en cuenta, muchasde las refutaciones “evidentes” chocan las unas con las otras.

Las paradojas de Zenon jugaron un papel importante en el desarrollo de la nocion deinfinitesimal. Los matematicos de su epoca vieron que la unica forma de evitar las dificul-tades que causaba la idea del infinito era librarse de ella. Por eso desterraron el infinito desu ciencia, o lo camuflaron como pudieron. Por ejemplo, no incrementaban ni disminuianmagnitudes ad infinitum, sino que usaban con magnitudes finitas que podıan aumentar odisminuir “tanto como se quisiera”.

Sin embargo, la mayorıa de los filosofos posteriores a Zenon despreciaron sus paradojas yestas quedaron sin resolver. Dos mil anos mas tarde fueron rescatadas y constituyeron unimpulso para el renacimiento matematico, tal como cuenta Russel en [15].

Las cuatro famosas paradojas de Zenon son en realidad la misma, que de hecho no es unaparadoja puesto que no muestra la contradiccion que pretende poner de manifiesto. Lasparadojas son[9]:

La Dicotomıa. Para poder recorrer una distancia hay que recorrer primero la mitad,pero antes de recorrer la mitad ha de recorrerse la mitad de la mitad, i.e. la cuartaparte, que a su vez no podra recorrerse sin antes recorrer la octava parte. Estasecuencia se prolonga infinitamente, por lo que se requiere un numero infinito depasos para recorrer la distancia original.

Ası “demostraba” que el movimiento era imposible.

Utilizando el lenguaje matematico actual esto se expresa por

1 =1

2+

1

4+

1

8+

1

16+ · · · =

∞∑

n=1

1

2n(3.1)

que como ya sabemos en efecto es una serie infinita geometrica de razon r = 1/2.

Esta serie es convergente y su suma es, en efecto, 1 = 1/21−r

Evidentemente, Zenon sabıa que las distancias podıan cubrirse en lapsos finitos detiempo. Aun ası no resolvio la paradoja sino que la dejo para futuras generaciones.Al menos tuvo la humildad de admitir que el infinito estaba mas alla del alcanceintelectual de su generacion. Las paradojas de Zenon tuvieron que esperar otrosveinte siglos antes de ser resueltas.

Aquiles y la tortuga. En una carrera entre Aquiles y una tortuga, Aquiles concedeventaja a la tortuga, dejandola salir desde una posicion adelantada. Antes de poderadelantarla, Aquiles debe correr hasta el lugar desde el que partio la tortuga, peropara entonces esta se habra desplazado hasta algun punto mas lejano. De nuevoAquiles debera correr hasta el punto que ha alcanzado la tortuga pero cuando elllegue, ella se habra desplazado aun mas. Esta situacion se repite eternamente yAquiles jamas podra adelantar a la tortuga.

La cuestion clave es, como en la Dicotomıa, la posibilidad de sumar una cantidadinfinita de sumandos (intervalos de tiempo) y aun ası obtener un resultado finito.


3.3. PLATON Y ARISTOTELES 11

La flecha. Consideramos una flecha en movimiento. Dividamos el tiempo en instantes in-divisibles. En cada instante la flecha no puede moverse, pues si lo hiciera podrıamosdividir el instante –supuestamente indivisible–. Dado que los instantes son indivisi-bles, una cantidad finita de tiempo (la duracion del vuelo de la flecha) se componede un numero finito de instantes. Pero si la flecha no se mueve en cada instante,tampoco se mueve en la suma de los instantes, por lo que no se mueve durante suviaje.

El truco esta en que no se puede de dividir el tiempo en instantes indivisibles, puestoque el tiempo es continuo del mismo modo en que son continuas las rectas de lageometrıa griega.

El estadio. Esta paradoja es un poco mas oscura que las anteriores. Versa sobre dossujetos moviendose en la misma direccion pero en sentidos opuestos con igual velo-cidad. Zenon parece deducir que el doble de la velocidad es lo mismo que la mitadde la velocidad.

Se parte de la suposicion de que no se pueden dividir ni el tiempo ni la distancia enun numero infinito de partes, por lo que deben tener algun tipo de partes indivisibles(las menores), algo ası como atomos del tiempo y de las distancias.

Desde el punto de vista de un observador inmovil, los sujetos en movimiento recorren“medio atomo de distancia” durante “cada atomo de tiempo”. Por otra parte, paracada sujeto en movimiento, el contrario esta recorriendo “cada atomo de distancia”durante solo “medio atomo de tiempo”.

Parece ser que el motivo por el que Zenon escribio sus paradojas fue poner de manifiestolos peligros de trabajar con el infinito. Pero los matematicos de la epoca (y los de todas)no estaban dispuestos a privarse de una herramienta tan sugerente. La cuestion era difıcilde resolver, y la primera solucion parcial vino de mano de Aristoteles.

3.3. Platon y Aristoteles

Los filosofos de la la Academia de Platon tambien discutieron sobre el infinito y la conti-nuidad. Aristoteles de Estagira[18] (384-322), discıpulo aventajado de Platon, elaboro unateorıa en la que negaba la continuidad y divisibilidad infinita de los objetos geometricos.Las bases de su teorıa las podemos encontrar en su Fısica.

Su “solucion” al problema del infinito fue separar el concepto en dos: infinito potenciale infinito actual. Aristoteles acepta el uso del infinito en potencia, pero rechaza el delinfinito real. Un infinito potencial es simplemente un proceso que no acaba nunca.

El rechazo al infinito real deja sin respuesta muchas cuestiones, entre ellas la de las seriesinfinitas, ya que se opondrıa a afirmaciones como 0,999 · · · = 1. Sin embargo, Aristotelesnunca acepto este argumento:


3.3. PLATON Y ARISTOTELES 12

Mi argumento no les arrebata nada a los matematicos aunque deniega la exis-tencia del infinito en el sentido de algo tan grande que no se puede ir masalla. Porque en realidad, ellos no necesitan utilizar el infinito, sino solo queuna recta finita sea tan larga como quieran... ası que no habra diferenciapara ellos en lo que respecta a las demostraciones.

Aristoteles de Estagira, Fısica (ca. 384 – 322 a.C.)

Es cierto que esta distincion entre infinitos es muy practica, y de hecho los predecesores deAristoteles, como Eudoxo y Euclides ya habıan usado el concepto de infinito en potencia.Admitiendo solo este tipo de infinito se evitaba el debate filosofico al mismo tiempo quese abrıa la posibilidad de desarrollar nueva matematica.

El infinito actual planteaba mayores problemas, por ejemplo, Aristoteles argumentabaque nada es infinito, en el sentido de eterno, porque nada es para siempre: la materiano es estatica o fijada[2]: siempre se transforma. En su incapacidad para imaginar algoilimitado, afirmaba cosas como “el fin es el lımite”.

Una de las eternas cuestiones abiertas en la Academia de Platon es si una recta puededividirse infinitamente. Euclides en sus Elementos definio una lınea como longitud sinanchura y postulo que cualquier segmento de recta puede prolongarse indefinidamente.Los griegos decıan que los puntos estan en las rectas, pero las rectas no se componen depuntos. Aristoteles razonaba lo siguiente:

Decir que una linea se compone de infinitos puntos potenciales equivale a decir que unalınea puede dividirse en cualquier punto, que cualquier punto potencial puede convertirseen uno actual. La continuidad de una recta consiste en el hecho de que cualquier punto“actualizado” de la recta mantendra unidos los segmentos a sus dos lados. De otra forma,no tiene sentido hablar de un punto potencial que une dos semirrectas potenciales.

Despues de tantas vueltas seguıan sin presentar una solucion, por lo que se conformaroncon decir que, aunque una recta no puede dividirse infinitamente (infinito actual), sı quepuede dividirse tantas veces como sea necesario (infinito potencial). Al parecer, esta clasede “soluciones” que en realidad no solucionan nada eran comunes en la epoca. Ante elproblema de si el punto por el que se dividen dos semirrectas es unico o no, Aristotelesrespondio[12]: el punto es uno en numero pero dos en forma (logos).

Esta claro que la incapacidad de los griegos para concebir lo infinitamente grande, y sobretodo lo infinitamente pequeno les supuso un grave lastre. Lo cierto es que la continuidades un concepto muy complicado que roza el terreno filosofico, mas que matematico. Paralos griegos, los numeros eran discretos, la geometrıa era continua, y ambas cosas estabanbien diferenciadas.

De todas formas, la aportacion de Aristoteles fue de gran importancia, y sus ideas siguieronvigentes hasta siglos despues de su muerte. En el s. XIII, Tomas de Aquino se adentro enel concepto de infinito actual, asociandolo a la divinidad. En el s. XVII, Descartes dijo:

Los esfuerzos para conocer el infinito equivalen a convertirlo en casi-infinito.


3.4. EL METODO DE EXHAUCION 13

3.4. El metodo de exhaucion

Leucipo, Democrito y Antıfono fueron tres grandes figuras griegas que contribuyeron a lainvencion del “metodo de exhaucion”. Pero fue Eudoxo de Cnido (395-390 BC) quien loformalizo, dandole una base cientıfica[18].

Ademas, desarrollo una teorıa de la proporcion que tiene el merito de servir para compararinfinitesimales sin hacer uso de ellos. Se basa en un teorema que “disfraza” los procesos[ ad infinitum] de la siguiente forma:

magnitudes desiguales, si se resta de la menor una magnitud mayor que sumitad, y de lo que queda, una magnitud menor que su mitad y si repeti-mos este proceso continuamente entonces obtendremos una magnitud quesera menor que la magnitud menor dada

Euclides, Elementos (Libro X, proposicion 1)

Vemos que Euclides agrego la teorıa de Eudoxo a sus Elementos, de hecho parece ser queel libro entero esta basado en sus trabajos, si no escrito por el mismo. Por ejemplo, en laproposicion 2 del libro XII Euclides utiliza la exhaucion junto con una doble reduccion alabsurdo para probar que “cırculos son entre sı como los cuadrados sobre sus diametros”.

Eudoxo tiene el merito de haber inspirado con sus obras a matematicos de todos los tiem-pos, especialmente a Arquımedes que se baso en el metodo de exhaucion para conseguirsus resultados. Tambien Dedekind en el siglo XIX d.C. declaro que Eudoxo habıa sido sugran inspiracion.

3.4.1. Arquımedes

Arquımedes de Siracusa (287-212) es la cumbre de la matematica griega. Conocemos suobra gracias a Heath[6], pero su libro mas importante estuvo perdido durante muchotiempo. El Metodo, escrito en el s. III a.C. y perdido desde entonces (es posible quese hubieran conservado copias, pero no esta claro donde ni quien tenıa acceso a ellas)reaparecio en un monasterio de Jerusalen a finales del s. XIX d.C.

En este libro, Arquımedes cuenta como llego a establecer los teoremas que luego probarıarigurosamente con metodos geometricos. El autor reconoce que sus metodos no son de-mostraciones matematicas al uso, sino en algunos casos mecanicas y en otros metodosrecursivos, que utilizan el espinoso concepto de infinito.

De hecho, de no haber estado perdido esta obra durante tanto tiempo, probablemente elnacimiento del calculo diferencial se habrıa adelantado algunos siglos. Arquımedes utilizael metodo de exhaucion y compresion no solamente en este libro, sino tambien en otrasobras como Sobre la cuadratura de la parabola.


3.4. EL METODO DE EXHAUCION 14

Tambien lo uso para obtener la primera acotacion historica para el valor del inconmen-surable que expresa la relacion entre el diametro y la longitud de una circunferencia, quenostros llamamos π. De nuevo utilizo este metodo en Sobre la medida del cırculo paraestablecer que el area de un cırculo equivale a la de un triangulo rectangulo cuyos catetosson el radio y la longitud de la circunferencia. Veamos como lo hizo (figura 3.1):

Tomese un cırculo y circunscrıbase por (para compresion) o inscrıbase en (para exhaucion)un polıgono regular. El area del polıgono sera una aproximacion por exceso (compresion)o por defecto (exhaucion) del area del cırculo. Por tanto sabemos que el area del cırculoes una magnitud que esta entre las dos areas de los polıgonos inscrito y circunscrito. Siahora aumentamos el numero de lados del polıgono, la aproximacion sera mejor.

Figura 3.1: Metodo de exhaucion.

Arquımedes llego hasta 96 lados para aproximar el valor de π, pero era consciente deque repitiendo el proceso indefinidamente se llegarıa al valor exacto. La idea fundamentalsubyacente es el concepto de lımite, el pilar sobre el que se edificarıa el calculo. De hecho,la similitud entre este metodo y la integracion es evidente.


CAPITULO 4

Europa antes de Cantor

Los meandros y giros paradojicos del infinito han descolocado a muchos grandespensadores. La primera persona que verdaderamente entendio el conceptofue el muy notable Galileo Galilei.

Brian Clegg, Brief History of Infinity (2003)

El hecho de que los conjuntos infinitos no se comporten como los conjuntos finitos nosignifica que el infinito sea un concepto inconsistente. Significa que los numeros infinitosobedecen unas reglas artimeticas diferentes de las de los numeros finitos. Este nuevo tipode aritmetica empezo a tomar forma en el seno del calculo a finales del siglo XVII.

Durante la Edad Media, tras la desintegracion del Imperio Romano, se produjo una rup-tura en el desarrollo cultural de Europa, un periodo de estancamiento cultural durante elcual no se produjeron avances notables en relacion con el estudio del infinito matematico.

No obstante, sı que se produjeron avances “menores” en la Matematica que cultivaron lasemilla para el desarrollo del metodo de induccion matematica y los infinitesimales.

4.1. El metodo de induccion matematica

El metodo de demostracion por induccion matematica tiene sus orıgenes mucho tiempoantes de que su primera formulacion rigurosa[18]. Este metodo permite demostrar propo-siciones que se cumplen para un numero infinito de valores enteros.

El matematico arabe Al-Karaji (953-1029) utilizo una forma no rigurosa de induccionmatematica en sus argumentos. Lo que hizo fue demostrar que una proposicion era ciertapara n = 1, luego demostro el caso n = 2 utilizando el resultado obtenido para n = 1.Ası demostro los cinco primero casos (hasta n = 5) para luego afirmar que este pro-ceso se puede continuar infinitamente. Utilizando este metodo al-Karaji dio una bonita

15

4.2. LOS INDIVISIBLES, LA SEMILLA DE LOS INFINITESIMALES 16

descripcion de la generacion de los coeficientes binomiales mediante el triangulo de Pascal.

Siglos mas tarde, en pleno Renacimiento (siglo XVII), Blaise Pascal (1623-1662) no sabıanada del trabajo de al-Karaji pero sabıa que Francisco Maurolico (1494-1575) utilizo unaforma de induccion matematica a mediados del siglo XVI. Pascal dijo acerca de su propiaversion del triangulo[18]:

Aunque esta proposicion puede tener un numero infinito de casos, dare unademostracion muy corta basandome en dos lemas. El primero, que es evidente,es que la proposicion es cierta para la segunda fila. El segundo es que si laproposicion es cierta para una fila cualquiera entonces es necesariamente ciertapara la fila siguiente. A partir de esto se ve claramente que la proposicion esnecesariamente cierta para todas las filas; dado que es cierta para la segundafila por el primer lema; luego por el segundo lema debe ser cierta para la tercerafila, y por tanto para la cuarta y ası hasta el infinito.

4.2. Los indivisibles, la semilla de los infinitesimales

Aunque como hemos dicho durante la Edad Media no se produjeron avances notablesen relacion con el estudio del infinito matematico, en esta oscura era se descubrio unaparadoja relacionada con el infinito[16]:

Sean dos cırculos, uno de ellos con el doble de radio que el otro. La cir-cunferencia del circulo mayor sera entonces el doble que la del cırculo menor.Ambas circunferencias tienen un numero infinito de puntos, pero la mayor de-berıa tener un numero mayor de puntos que la menor. Sin embargo, dibujandoun radio observamos que para cualesquiera puntos P , Q de la circunferenciamenor se corresponden exactamente un punto P ′ y un punto Q′ de la circunfe-rencia exterior. Ası tenemos dos magnitudes infinitas que son al mismo tiempoiguales y distintas.

P

Q

P ′

Q′



A principios del siglo XVII, Galileo Galilei (1564-1642) dio una solucion a este problemaproponiendo convertir el cırculo pequeno en el grande anadiendole una cantidad infinita deagujeros infinitamente pequenos. Al respecto de las dificultades de este tipo de problemasGalileo dijo[18]:

Estas dificultades son reales, y no son las unicas. Pero recordemos queestamos tratando con infinitos e indivisibles, y ambos trascienden nuestro en-tendimiento finito, los primeros por su enorme magnitud y los ultimos por lodiminutos que son.

Otra paradoja intersante y muy similar a esta en la que trabajo Galileo, es la rotacion deuna pareja de ruedas[3]:

Dos ruedas unidas rıgidamente por su eje, de modo que al girar una de las ruedas la otrase ve obligada a girar exactamente igual y a la misma velocidad angular. El radio de unaes el doble del radio de la otra. Se situan sobre dos raıles horizontales de modo que ambaspuedan rodar sobre su correspondiente rail.

Hacemos rodar las dos ruedas sobre sus respectivos raıles y observamos que al estar rıgi-damente unidas por sus ejes ambas han recorrido la misma longitud de rail, digamos queuna cuarta parte de la circunferencia de la rueda mayor. La rueda menor ha recorridola misma distancia que la rueda mayor a pesar de que la longitud de su cuarto de cir-cunferencia (que ha recorrido el rail superior) es tan solo la mitad del desplazamientoefectuado. La rueda menor solo ha podido rodar su cuarto de circunferencia, pero se havisto obligada a desplazarse la misma distancia que la rueda mayor.

Si consideramos las ruedas como polıgonos regulares (por ejemplo hexagonos) obser-varıamos que al rodar la rueda hexagonal mayor esta pivotarıa sobre una de sus esquinasy al hacerlo levantarıa la rueda hexagonal menor del rail superior. La rueda hexagonalmenor puede desplazarse una distancia mayor que la de su lado precisamente gracias aque pierde el contacto con su rail.



Sin embargo, en el caso de las ruedas circulares la rueda menor no pierde el contacto consu rail en ningun momento. No hay saltos como en el caso de las ruedas hexagonales, oal menos no lo parece.

Galileo imagino que la rotacion de las ruedas circulares producıa un numero infinito desaltos infinitamente pequenos que sumarıan entre todos la diferencia entre los cuartos decircunferencia de las ruedas mayor y menor.

De hecho, esto es lo que sucede en nuestra realidad fısica. Consideremos un automovilmientras toma una curva. Para cada una de sus ruedas la velocidad de rotacion sera dife-rente, proporcional a la distancia de la rueda al centro de curvatura de la trayectoria delautomovil.

Si los ejes de las ruedas traseras estuvieran unidos rıgidamente de forma que no pudierangirar a velocidades distintas, al menos una de las ruedas derraparıa al verse obligada adesplazarse a una velocidad distinta de la que le permite su rotacion. Es por esto que losautomoviles tienen al menos un diferencial por cada eje tractor, para permitir que cadarueda gire con independencia de su companera.

Galileo afirmo que los problemas derivados de tratar con el infinito surgıan porque . . .

. . . intentamos, con nuestras mentes finitas, discutir acerca del infinito,dandole esas propiedades que damos a lo limitado y finito; pero esto no escorrecto puesto que no podemos hablar de que dos cantidades infinitas seanuna mayor o menor que la otra.

Esta ultima afirmacion la apoya la paradoja de Galileo[16]:

Consideremos la secuencia de los numeros naturales n y los cuadrados perfectos n2

1 2 3 4 5 6 7 8 . . .1 4 9 16 25 36 49 64 . . .

Se produce una situacion paradojica, dado que por una parte parece evidente que lamayorıa de los numeros naturales no son cuadrados perfectos y por tanto el conjunto delos cuadrados perfectos es menor que el conjunto de los numeros naturales.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 . . .1 4 9 16 . . .

Hay muchos mas numeros naturales en los huecos entre sus cuadrados perfectos correspon-dientes y estos huecos crecen a medida que los numeros son mas grandes. Pero, por otraparte, cada numero natural es la raız cuadrada de justamente un cuadrado perfecto, porlo que parece que hay tantos cuadrados perfectos como numeros naturales. Se concluyeque hay una biyeccion entre cada numero de ambas secuencias.


4.3. EL RENACIMIENTO 19

Para Galileo esto significaba que la totalidad de los numeros es infinita, y que atribu-tos tales como “iguales”, “mayor” o “menor” no eran aplicables al infinito, sino solo acantidades finitas. Mas tarde Cantor demostrarıa que se equivocaba.

Por otra parte, Johannes Kepler (1571-1630) publico en 1615 Nova stereometria dolio-rum vinarorum (Geometrıa solida de un tonel de vino), un estudio sobre volumenes derevolucion. Esta obra tuvo su origen en su segunda boda, en la cual observo un curiosometodo para estimar el volumen de un barril de vino mediante una barra diagonal des-lizante. Kepler resolvio el problema por medio de “indivisibles”, basandose en el trabajode Arquımedes.

Mas tarde, Bonaventura Francesco Cavalieri (1598-1647) desarrollo un metodo de indivi-sibles que influyo en el posterior desarrollo del calculo infinitesimal.

La teorıa de los indivisibles de Cavalieri, presentada en su obra Geometria indivisibilibuscontinuorum nova quadam ratione promota en 1635 consitio en un desarrollo del meto-do de exhaucion de Arquımedes que incorporaba la teorıa de magnitudes geometricasinfinitamente pequenas de Kepler.

Debido a su falta de rigor el metodo de Cavalieri recibio muchas crıticas, que tuvieronpor respuesta por su parte una mejora de su exposicion en su publicacion Exercitationesgeometricae sex. Esta obra se convirtio en la fuente principal para los matematicos delsiglo XVII.

Gilles Personne de Roberval (1602-1675) dio un paso mas al considerar que las lınasestaban formadas por la suma de un numero infinito de partes indivisibles. Introdujometodos para comparar las magnitudes de los indivisibles, por lo que aunque no tuvieranmagnitud por sı mismos podıan definirse relaciones entre sus magnitudes[18].

Esto constituyo un paso adelante, pues por primera vez se podıan ignorar magnitudes queeran despreciables respecto de otras. Sin embargo, aunque Roberval fue capaz de utilizarsu metodo correctamente no escribio de manera precisa ni rigurosa las condiciones enlas que su metodo podıa aplicarse. Esta carencia permitio que surgieran paradojas quecausaban rechazo hacia los indivisibles, por lo que el metodo fue rechazado.

4.3. El Renacimiento

Este movimiento surge en Italia a fines del siglo XIV y principios del XV, expandiendosecon fuerza a Europa a mediados del siglo XV. Se caracteriza por un renovado interes porel pasado grecorromano clasico.

En esta epoca se establecio el sımbolo del que utilizamos actualmente para el infinito.John Wallis lo utilizo por vez primera en De sectionibus conicis en 1655 y en Arithmeticainfinitorum en 1656. Wallis eligio este sımbolo para representar el hecho de que se puederecorrer esa curva (llamada lemniscata una y otra vez, infinitamente.


4.4. EL CALCULO INFINITESIMAL 20

El avance mas importante logrado en relacion con el infinito matematico en el siglo XVIIfue el desarrollo del calculo infinitesimal (diferencial e integral) por parte de Newton yLeibniz. Entre 1664 y 1666, Newton desarrollo el calculo infinitesimal a partir de las obrasde varios autores anteriores y contemporaneos a el, a saber: sus compatriotas John Wallis eIsaac Barrow, ası como Descartes, Francesco Bonaventura Cavalieri, Johann van WaverenHudde y Gilles Personne de Roberval.

Anos mas tarde Leibniz desarrollo paralelamente su propia version del calculo infinitesi-mal, sin tener ningun conocimiento de los resultados obtenidos por Newton. Dado quela obra de Newton sobre calculo infinitesimal aparecio impresa unos 65 anos despues deser escrita, fue Leibniz el primero en publicar sobre el tema, alrededor de 1675. En laactualidad utilizamos principalmente su notacion.

4.4. El calculo infinitesimal

Isaac Newton (1643-1727) rechazo los indivisibles en favor de su propia teorıa[18].

El “metodo de las fluxiones” se basaba en su vision de que la integracion de una funcion erasimplemente el proceso inverso a su derivacion (o diferenciacion). Tomando la derivacioncomo operacion basica desarrollo metodos analıticos simples con los que unifico variastecnicas anteriores, desarrolladas separademente para resolver problemas aparentementeno relacionados como el calculo de areas, tangentes, longitudes de curvas, maximos ymınimos.

Newton escribio este metodo en su obra De Methodis Serierum et Fluxionum en 1671pero no pudo publicarla, por lo que no aparecio impresa hasta 1736.

Las fluxiones eran una forma de medir la variacion instantanea de una magnitud, es decirla variacion en un intervalo infinitamente pequeno. Naturalmente no se libro de tenerque verselas con el infinito, puesto que tenıa que considerar incrementos infinitamentepequenos. En cierto modo, esta fue la respuesta de Newton a la paradoja de la flecha deZenon[18]:

Si, como dice Zenon, todo esta o quieto o en movimiento cuando ocupaun espacio igual a sı mismo, mientras el objeto movido esta en el instante, laflecha movil no se moverıa.

Las fluxiones de Newton produjeron estupendos resultados matematicos, pero los ma-tematicos de la epoca se mostraban cautos en cuanto al uso de los incrementos infinita-mente pequenos. La famosa cita de George Berkeley resume las objeciones a las fluxiones:

¿Y que son esas fluxiones? ¿Las velocidades de incrementos que se desva-necen? No son ni cantidades finitas ni cantidades infinitamente pequenas ninada. ¿No podrıamos llamarlos fantasmas de cantidades perecidas?


4.4. EL CALCULO INFINITESIMAL 21

Los infinitesimales tambien tenıan su aplicacion Fısica. Thomas Harriot (1560-1621) resol-vio en 1950 el problema optico de Alhazen, resolviendo un problema equivalente. Fenton[4]conjetura que Harriot podrıa haber utilizado tecnicas infinitesimales para demostrar talequivalencia. Lo que se sabe es que Harriot introdujo ideas al respecto que fueron redes-cubiertas mas tarde por Barrow.

Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716) comenzo a estudiar la geometrıa de los infi-nitesimales en la Royal Society de Londres, paralelamente y (discutiblemente) sin tenerconocimiento de los desarrollos de Newton. En 1674 escribio a Oldenburg y este le res-pondio que Newton y Gregory habıan encontrado ya metodos mas generales que el suyo.

A partir de 1672 y mientras vivio en Parıs, Leibniz desarrollo su propia version del calculoinfinitesimal. En 1673 aun se esforzaba por desarrollar una buena notacion para su calculoy sus primeros resultados aun no habıan madurado.

El 21 de Noviembre de 1675 publico un manuscrito utilizando la notacion∫

f(x) dx porprimera vez. En este manuscrito publico tambien la regla del producto para la deriva-cion. En el otono de 1676 descubrio la relacion dxn

dx= n xn−1 para n tanto entero como

fraccionario.

A la vista de esta publicacion, Newton escribio a Leibniz una carta en la que exponıamuchos de sus propios resultados, pero sin describir el metodo. Esta carta tardo bastanteen llegar a Leibniz, por lo que aunque este respondio inmediatamente, Newton creyo queLeibniz habıa tenido tiempo de sobra (seis semanas) para trabajar en su respuesta. A raızde esta carta Leibniz se dio cuenta de que debıa publicar rapidamente una relacion mascompleta de sus propios metodos.

Newton escribio entonces una segunda carta a Leibniz el 24 de Octubre de 1676 que esterecibio en Junio de 1677 cuando ya se habıa ido de Parıs. Aunque de buenas maneras,Newton escribio esta carta convencido de que Leibniz le habıa robado sus metodos. Leibnizrespondio proporcionando a Newton algunos detalles sobre su version del calculo diferen-cial, incluyendo la regla para derivar la composicion de funciones, conocida actualmentecomo “regla de la cadena”.

Leibniz descubrio en 1676 las derivadas de las funciones basicas, independientemente deNewton, y en 1677 descubrio las reglas para derivar productos, cocientes y composicionesde funciones. En 1684 publica detalles de su calculo diferencial en Nova Methodus pro Ma-ximis et Minimis, itemque Tangentibus, que incluye la notacion actual para las derivadasy las reglas para derivar potencias, productos y cocientes.

En 1736 John Colson publico una traduccion al ingles de la obra Principia de Newton,que el mismo no pudo publicar cuando la escribio en 1671. Este retraso en la publicacionde la obra de Newton tuvo como consecuencia la disputa entre Newton y Leibniz por laautorıa del calculo infinitesimal.

Desde la publicacion del calculo infinitesimal se suceden mas trabajos en la materia de lamano de diferentes autores:

Brook Taylor (1685-1731) publica en 1715 Methodus incrementorum directa et inversa


4.5. NUEVAS GEOMETRIAS 22

(Metodos directos e indirectos de incrementacion), una importante contribucion al calculoen la que trata soluciones singulares para ecuaciones diferenciales, cambios de variable yuna forma de relacionar la derivada de una funcion con la de su funcion inversa.

Jean Le Rond d’Alembert (1717-1783) recibio en 1747 el premio de la Academia de Prusiapor su trabajo Reflexion sur la cause generale des vents (Reflexion sobre la causa generalde los vientos) en el que utilizo ecuaciones en derivadas parciales para estudiar los vientos.

Ya en el siglo XIX, Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855) trato las ecuaciones diferen-ciales en el segundo volumen de su segundo libro, publicado en 1809.

Bernard Bolzano (1781-1848) publico en 1817 Rein analytischer Beweis (Demostracionanalıtica pura), que contiene un intento de liberar el calculo del concepto de infinitesimal.Bolzano definio las funciones continuas sin utilizar infinitesimales. Esta obra incluye elteorema de Bolzano-Weierstrass.

Quizas uno de los eventos mas significantes en el desarrollo del concepto del infinito fue lapublicacion de por este autor de Paradoxes of the infinite en 1840, obra en la que abogabapor la existencia del infinito utilizando la idea de conjunto que definio por primera vez:

Denominare conjunto a una coleccion en la que el orden de sus partes esirrelevante y donde esencialmente nada cambia si se altera el orden.

La respuesta a por que definiendo un conjunto es convierte en realidad el infinito actuales bien simple: podemos considerar los numeros enteros como un conjunto y este es unaentidad unica que debe ser infinita. Aristoteles los veıa como la union de subconjuntosfinitos arbitrariamente grandes. Una vez asentado el concepto de conjunto la existenciade estos subconjuntos lleva a la conclusion de que el conjunto de los numeros enteros esinfinito.

La ultima gran aportacion al calculo diferencial la hizo Karl Weierstrass (1815-1897).Todo el calculo se basa en una idea fundamental: el concepto de lımite, sin el cual notienen sentido los trabajos de Newton y Leibniz. Las objeciones que sus detractores tenıanhacia el calculo normalmente estaban basadas en la falta de precision en la definicion deeste concepto. Weierstrass zanjo el asunto definitivamente dando la definicion formal masconocida: la llamada definicion ε − δ.

4.5. Nuevas Geometrıas

Girard Desargues (1591-1661) invento una nueva forma de hacer Geometrıa, desmarcando-se del estilo griego que dominaba la Geometrıa de su epoca. Esta nueva geometrıa, conoci-da hoy por el nombre de Geometrıa Proyectiva, consituyo su trabajo mas importante[18].

Publico este trabajo en Brouillon project d’une atteinte aux evenemens des rencontresdu Cone avec un Plan, que trataba sobre secciones planas de un cono. Se publicaron


4.5. NUEVAS GEOMETRIAS 23

unas pocas copias impresas en Parıs en 1639, de las cuales se conserva solo una, quese encontro en 1951. Hasta entonces solo se conocıa su trabajo a traves de una compiamanuscrita hecha por Philippe de la Hire.

En este libro, corto pero muy denso, revelo que las conicas pueden tratarse en terminos depropiedades que son invariantes a traves de proyecciones. Ası nos dio una teorıa unificadapara las conicas.

Aunque Desargues era buen conocedor de los trabajos de los antiguos griegos, decidio ex-plicar estas materias a su manera y sin referencias directas a los teoremas en el vocabu-lario de estos. Tal vez lo hiciera en reconocimiento de que su propio trabajo se hallabaprofundamente en deuda con la tradicion practica, especialmente con su estudio de laperspectiva. Es muy probable que las nuevas ideas de Desargues surgieran de su trabajocon la perspectiva y otros relacionados.

Johann Friedrich Gauss (1777-1855) se intereso desde los primeros anos del siglo XIX enla posiblidad de que existiera una geometrıa no Euclıdea, aunque durante anos solo tuvoideas vagas y no quiso publicarlas por temor a danar su reputacion.

Su mayor interes se centro en la Geometrıa Diferencial, campo en el que publico numerososartıculos. En 1828 introdujo la Geometrıa Diferencial al publicar Disquisitiones generalescirca superficies curva, su obra mas renombrada en este campo. En realidad este artıculotuvo su motivacion en el interes de Gauss por las geodesicas, pero incluıa ideas geometricascomo la curvatura de Gauss.


CAPITULO 5

El paraıso de Cantor

Nadie podra expulsarnos del paraıso que Cantor ha creado para nosotros

David Hilbert (1862-1943)

En cualquier exposicion sobre el infinito antes o despues surgira el nombre de Cantor. Elhecho de que este documento se divida en “Europa antes de Cantor” y esta seccion dauna idea de la importancia del trabajo de este matematico en el desarrollo del conceptode infinito.

Esto es porque la concepcion moderna del infinito cuantitativo se basa en los trabajos queCantor, Gottlob Frege, Richard Dedekind y otros desarrollaron a finales del siglo XX.

5.1. Georg Cantor

Georg Ferdinand Cantor (1845-1918) nacio en Rusia pero vivio casi toda su vida enAlemania. Estudio Matematicas en Gottingen y fue profesor de esta materia en Halle.Presidio la Mathematical Society en el bienio 64-65. Su amigo Heine le dirigio hacia elestudio de la unicidad de la representacion de una funcion como una serie trigonometrica,tema sobre el cual hizo avances importantes.

Fue en 1872 cuando trabo amistad con Richard Dedekind y en su correspondencia conel empezo a investigar acerca de la numerabilidad de conjuntos infinitos, un conceptoque explicaremos mas adelante. En los trabajos de Cantor esta el germen de la teorıa deconjuntos, y de hecho son muchısimo mas sencillos de entender usando la terminologıade esta teorıa. Aquı la usaremos por simplicidad, pero hay que darle credito a Cantor nosolo por recorrer el camino, sino por ir creandolo al mismo tiempo bajo sus propios pies.

El terreno sobre el que caminaba Cantor, los conjuntos infinitos, era bastante traicionero ydesafiaba a la intuicion. El ejemplo clasico de este hecho es el llamado “Hotel de Hilbert”,

24

5.1. GEORG CANTOR 25

ideado por el matematico David Hilbert (1862-1943).

Imaginemos un hotel con infinitas habitaciones, que estan todas llenas. Cuando un nuevocliente solicita una habitacion, el dueno no tiene mas que pedirle a los inquilinos actualesque se muden a la habitacion siguiente (las habitaciones estan numeradas). Ası, el nuevocliente puede alojarse en la habitacion numero uno. Si llegaran infinitos nuevos clientes,solo tendrıa que pedirle a los ocupantes de la habitacion n que se mudaran a la 2n,solucionando ası el problema.

Volviendo a Cantor, Ruckerbook[14] le cita ası:

El infinito actual surge en tres contextos: primero cuando se hace realidaden su forma mas completa, un ser de otro mundo, totalmente independiente,in Deo, al que yo llamo Infinito Absoluto o simplemente Absoluto; segundo,cuando ocurre en la contingencia del mundo creado; tercero cuando la mentelo entiende in abstracto como una magnitud matematica, numero o tipo deorden.

Cantor acuno el termino transfinito para el infinito que surge. en el tercer contexto Dentrode los numeros transfinitos distinguio. entre los ordinales y los cardinales .

5.1.1. Cardinales transfinitos

Normalmente entendemos el cardinal de un conjunto como el numero de elementos quecontiene, por tanto dos conjuntos tendran el mismo cardinal cuando contengan el mis-mo numero de elementos. Esto funciona bien para conjuntos finitos, pero no podemosextenderlo a conjuntos infinitos.

Para establecer cuando dos conjuntos infinitos tienen el mismo cardinal, necesitamos laidea de “biyeccion”. Este concepto esta presente en todos los trabajos de Cantor sobreeste tema, aunque en los primeros solo implıcitamente. El termino y la definicion rigurosatuvieron que esperar un poco mas.

Utilizando este concepto podemos afirmar que dos conjuntos tienen el mismo cardinal sise puede establecer una biyeccion entre ellos, y esta definicion es valida para conjuntostanto finitos como infinitos.

De hecho, el concepto de biyeccion es util tambien para dar una definicion rigurosa de“conjunto infinito”. Dedekind en 1888 lo definio certeramente como es aquel que admiteuna biyeccion con un subconjunto suyo.

Una vez establecido esto, Cantor se planteo si el cardinal de todos los conjuntos infinitosserıa el mismo. Ya Galois habıa probado que el cardinal de los numeros naturales (N)es el mismo que el de los numeros pares (2N) (aunque por supuesto el no lo enunciabaası). A los conjuntos con este cardinal Cantor los llamo numerables. Un primer resultadosorprendente que encontro Cantor es que N2 tambien es numerable.



La siguiente pregunta que se planteo fue si el conjunto de los numeros racionales (Q) serıanumerable. Mediante un razonamiento ingenioso, ilustrado por la figura 5.1 demostro quesı lo son.

Figura 5.1: Siguiendo la flecha, eliminando los numeros repetidos y duplicando cada frac-cion con signo negativo, obtenemos una biyeccion entre N y Q

Despues de esto, parecıa logico suponer que todos los conjuntos infinitos son numerables,esto es, que hay “solo una clase de infinito”. Pero Cantor consiguio demostrar que elconjunto de los numeros reales (R) no es numerable.

Esta demostracion revoluciono la concepcion del infinito que se tenıa hasta aquel mo-mento. Familiarmente podrıamos decir que mostraba que la mayorıa de los numeros sontrascendentes y que hay infinitos mas grandes que otros.

Naturalmente, la comunidad matematica de la epoca era muy reacia a este tipo de ideasy Cantor dio de lleno con la oposicion de muchos matematicos, liderados por LeopoldKronecker. La incomprension y el desden de sus contemporaneos hacia su trabajo llevo aCantor a una grave depresion que acabarıa con su muerte en un hospital psiquiatrico en1918.

Las publicaciones de Cantor durante los ultimos anos de su vida muestran el deterioro desu mente. Sostenıa que Francis Bacon era el verdadero autor de las obras de Shakespeare yrealizo mucha investigacion a este respecto. Pero antes de que su enfermedad le superara,publico muchas obras de gran valor matematico.

Siguiendo con la cuestion de la no-numerabilidad de R, su demostracion se basa en unmetodo diagonal bastante sencillo de comprender (figura 5.2):



Figura 5.2: Si escribimos todos los numeros entre el 0 y el 1 de esta manera, el numero0.a1b2c3 . . . no estarıa entre ellos. Esto demuestra que no se puede establecer una biyeccionentre N y R.

Habiendo demostrado que el cardinal de N y el de R son distintos, era logico darles unnombre. Cantor eligio la primera letra del alfabeto hebreo para este menester. Ası, elcardinal de N es ℵ0 (aleph sub cero) y el de R es c, o tambien ℵ1 (aleph sub uno).

Esta segunda notacion para el cardinal de R es quizas imprecisa, ya que sugiere que noexiste ningun conjunto cuyo cardinal este entre ℵ0 y ℵ1. Esta es la llamada hipotesis delcontinuo que tambien enuncio Cantor.

Cantor paso toda su vida intentando probar la hipotesis del continuo, sin conseguirlo.De hecho, mas tarde se demostro que si asumimos los axiomas de Zermelo-Fraenkel, estahipotesis es indecidible1.

5.1.2. Ordinales transfinitos

Aparte de los cardinales infinitos, Cantor tambien considero los ordinales infinitos, a losque llamo numeros transfinitos. En teorıa de conjuntos se define un ordinal como el tipode orden de un conjunto bien ordenado[17]. Es facil comprobar que todo conjunto finitoen el que este definido un orden total esta bien ordenado.

El primer ordinal transfinito, denotado ω, es el tipo de orden del conjunto de los numerosnaturales

ω = {0, 1, 2, . . .}Este es el numero transfinito de Cantor mas “pequeno”. En orden creciente, los numerosordinales son:

0, 1, 2, . . . , ω, ω + 1, ..., ω + ω, ω + ω + 1, . . . (5.1)

Donde ω + 1 = {0, 1, 2, . . . , ω}

Esta notacion resulta poco intuitiva ya que 1 + ω = ω pero ω + 1 > ω.

1No se puede demostrar ni refutar


5.2. EL SIGLO XX 28

Incluso existen numeros ordinales que no se pueden construir a partir de otros mas pe-quenos utilizando un numero finito de sumas, multiplicaciones y exponenciaciones. Estosordinales verifican la ecuacion de Cantor.

El primero de estos ordinales es

ε0 = ωωω·

·

·

ω

︸︷︷︸

ω

= 1 + ω + ωω + ωωω

+ · · · (5.2)

El segundo es

ε1 = (ε0 + 1) + ω(ε0+1) + ωω(ε0+1)

(5.3)

La ecuacion de Cantor dice que:

ωε = ε (5.4)

donde ω es un ordinal y ε es un cardinal inaccesible, esto es, un cardinal que no puedeexpresarse en terminos de cardinales menores que el.

Tambien pueden definirse la suma, la multiplicacion y la exponenciacion de los numerosordinales. Aunque estas definiciones funcionan bien para tipos de orden, esto no suelehacerse. Hay dos metodos comunmente utilizados para definir operaciones sobre ordinales:uno utiliza conjuntos y el otro la induccion matematica.

5.2. El siglo XX

Durante el siglo XX se desarrollaron dos importantes ramas de la Matematica que tenıansus raıces en el siglo XIX: la teorıa de conjuntos y la topologıa. Tambien surgieron algunasideas nuevas estrechamente relacionadas con el infinito, como el Analisis no estandar y laTeorıa del Caos. Exploraremos brevemente estas dos materias.

5.2.1. Analisis no estandar

Hay buenas razones para creer que el analisis no estandar, en alguna de susversiones, sera el analisis del futuro

Kurt Godel (1906 – 1978)

Exactamente 250 anos despues de la muerte de Leibniz, en 1966, Abraham Robinsonpublico un libro revolucionario sobre lo que bautizo como “analisis no estandar”. En este


5.2. EL SIGLO XX 29

libro se tratan los infinitesimales como a Leibniz le habrıa gustado: son numeros comocualquier otro y obedecen a las mismas leyes que los demas[17].

Para ello se introducen los numeros hiperreales, que permiten la existencia de infinitesima-les “genuinos”. Esta innovadora tecnica encuentra aplicaciones en campos tan variadoscomo espacios de Banach, ecuaciones diferenciales, teorıa de la probabilidad, economıamatematica y fısica matematica.

Los axiomas empleados en el analisis no estandar son axiomas teoricos de primer orden,pero muchas de las materias que en el analisis clasico se axiomatizan con axiomas de mayororden pueden reformularse en el analisis no estandar como axiomas de primer orden.

Basicamente lo que se consigue es una gran simplificacion tanto de los teoremas comode sus demostraciones. Hay una cantidad creciente de resultados obtenidos mediante estetipo de analisis que no se traducen al analisis clasico, porque en analisis no estandar lademostracion queda mucho mas clara o intuitiva.

Se espera que algun dıa se obtengan ası resultados que no se puedan obtener mediante elanalisis clasico por el simple hecho de que llevarıan demasiado tiempo (siglos, quiza).

5.2.2. Fractales

Los fractales son figuras autosimilares (similares a sı mismas), en el sentido de que unaparte de la figura tiene la misma estructura que la figura completa. Esta similitud recursivase encuentra en numerosas formas en la Naturaleza: las lıneas de las costas, los perfilesde las montanas, las ramas de los arboles, los nervios de una hoja, etc.

Gaston Maurice Julia (1893-1978) y Pierre Joseph Louis Fatou (1878-1929) descubrieronestructuras autosimilares en aplicaciones iterativas en el plano complejo. Durante losanos 20 Julia y Fatou lideraron el estudio de estas estructuras, pero debido a que nohabıan computadores capaces de crear los graficos que vemos actualmente el interes por losfractales se reducıa a los pocos matematicos capaces de entender la matematica subyacenteen las figuras que hoy conocemos.

Julia y Fatou estudiaron funciones iterativas definidas del plano complejo en sı mismo,pero dado que las funciones lineales tienen un comportamiento poco interesante, sus estu-dios se centraron en las funciones no lineales mas simples: las funciones cuadraticas, queen el plano complejo C se definen ası:

{x1 ∈ C

xn+1 = x2n + c

(5.5)

Benoit Mandelbrot (1924-) se ayudo de los graficos por ordenador para obtener las figurasque hoy dıa conocemos con el nombre de fractales, como por ejemplo el conjunto de Man-delbrot. Ademas de desarrollar nuevas ideas matematicas, tambien tuvo que desarrollaralgunos de los primeros programas para crear los graficos.


5.2. EL SIGLO XX 30

Figura 5.3: Conjunto de Mandelbrot.


CAPITULO 6

Conclusion

Cuando uno se enfrenta a la historia del infinito, lo primero que piensa es como abarcarun tema tan extenso en un tiempo finito. Cuando empezamos a profundizar, nos damoscuenta de las dificultades que ha tenido la humanidad para concebir siquiera este concepto.

Tardamos siglos en empezar a imaginar con nuestra mente finita algo sin fin, pero unavez lo conseguimos, no dejamos de plantearnos cuales eran sus consecuencias.

La historia del infinito, como la de la mayorıa de los conceptos matematicos, se componede muchos pequenos avances y unos pocos grandes saltos. La diferencia entre esta y otrasideas es que el infinito nos inspira un respeto casi reverencial, por lo que los pequenos pasosson especialmente cautos, mientras que los grandes saltos tardan mucho en reconocersecomo avances.

El infinito matematico es probablemente el concepto sobre el que menos se ha avanzadoen mas tiempo. Parece como si le tuvieramos miedo, algunos incluso lo equiparan a Dios.A la vista del progreso tan grande que supuso la invencion del calculo diferencial, nuestrasmentes matematicas se preguntan de cuanto conocimiento nos esta privando este temorinfundado.

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Bibliografıa

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Documents

El Infinito Matematico