UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO

FACULTAD DE ECONOMÍA

DIVISIÓN DE ESTUDIOS PROFESIONALES

(DEPARTAMENTO DE INSTRUMENTALES Y ECONOMÍA DE LA EMPRESA)

PROF. FRANCISCO JAVIER REYES ZÁRATE

Ciudad Universitaria, D.F. Sem. 2014-2

Análisis de Riesgos y Portafolios de Inversión

Unidad Cuatro. Fundamentos cuantitativos

para la modelación de volatilidad

El Modelo GARCH

FRANCISCO J. REYES Z., POSGRADO DE INGENIERÍA-UNAM

Análisis, Conformación e Integración de las variables

Estadística descriptiva de los rendimientos diarios de índices

accionarios de los mercados del TLCAN

Aplicación de la metodología: Estadística descriptiva e inferencial

Análisis, Conformación e Integración de las variables

Conforme a los hechos

estilizados, en la evidencia

empírica se hallaron las

características siguientes:

1. El rendimiento de las series

no es iid, aunque se

muestre una pequeña

correlación serial.

2. Las series de rendimientos

al cuadrado o absolutos

muestran una profunda

correlación serial.

3. Los rendimientos

esperados condicionales

son cercanos a cero.

Conforme a los hechos

estilizados, en la evidencia

empírica se hallaron las

características siguientes:

4. La volatilidad parece variar con el tiempo.

5. Los rendimientos de la serie son leptocúrticos

o con colas pesadas.

6. Los rendimientos extremos aparecen

agrupados.

Análisis, Conformación e Integración de las variables

EL ESTUDIO DE LA VOLATILIDAD FINANCIERA

La volatilidad es la desviación estándar (o raía cuadrada de la varianza)

de los rendimientos de un activo de portafolios.

Es un indicados fundamental para la cuantificación de riesgos de

mercado porque representa una medida de dispersión de los rendimientos

con respecto al promedio o la media de los mismos en un periodo

determinado.

La mayor parte de los rendimientos se sitúan alrededor de un punto y

pococ a poco se van dispersando hacia las colas de una distribución dada

(normal por lo general).

. La serie no es constante en algunos

periodos (Heteroscedasticidad)

. Efecto Clúster (agrupamiento de

datos)

VOLATILIDAD HISTÓRICA

En este método se hace énfasis en el pasado inmediato, es decir, todas

las observaciones tienen el mismo peso específico y el pronóstico está

basado en las observaciones históricas.

Para su cálculo, se utiliza la fórmula de la desviación estándar:

Investigaciones (De Lara, 2001) han demostrado que es mejor

considerar solamente el cuadrado de los rendimientos, por lo que

una forma más práctica sería:

2

1

( )n

i

i

r

n

2

1

( )

1

n

i

i

r u

n

VOLATILIDAD DINÁMICA O SUAVIZAMIENTO

EXPONENCIAL (EWMA)

Una manera de capturar el dinamismo de la volatilidad de los mercados es

mediante el uso del suavizamiento exponencial de las observaciones históricas

durante algún periodo, generalmente anual.

Esta metodología le proporciona mayor peso a las últimas y más recientes

observaciones que a las primeras o más alejadas en el tiempo.

Esto representa una ventaja sobre el promedio simple de las observaciones o

volatilidad histórica: la volatilidad dinámica captura rápidamente fuertes

variaciones de precios en los mercados debido a su ponderación, y por ello es

posible genera mejores pronósticos en épocas de volatilidad.

2 2

0

1 T

t r i

i

rT

Partiendo del supuesto

de media de los

rendimientos igual a

cero, la volatilidad

histórica es:

VOLATILIDAD DINÁMICA O SUAVIZAMIENTO

EXPONENCIAL (EWMA)

Asignando al cuadrado de los rendimientos un peso específico w

2

1

2

it

T

i

it rw

De tal manera que wi=ʎi-1(1-ʎ); 0<ʎ<1, entonces:

2

1

12 )1( it

T

i

i

t r

Este modelo depende de un parámetro

ʎ que se encuentra entre 0 y 1,

conocido como factor de

decaimiento (decay factor), el cual

determina los pesos que se aplican a las

observaciones y la cantidad efectiva de

datos que se utilizarán para la

estimación de la volatilidad.

VOLATILIDAD DINÁMICA O SUAVIZAMIENTO

EXPONENCIAL (EWMA)

2

1

12 )1( it

T

i

i

t r

• Mientras más pequeño es ʎ, mayor

peso tienen los datos más recientes.

• Así, si ʎ =1, el modelo se convierte

en la volatilidad histórica con pesos

uniformes a todas las

observaciones, i.e, dado que una

observación hace n días es

multiplicada por ʎn-1 y éste es un

factor muy pequeño en la medida

en que n es grande, menos peso

tienen las observaciones más

lejanas.

0.00

0.50

1.00

1.50

1 3 5 7 9 1113151719212325272931333537394143

Decay Factor MX Peso

A= Lambda^(i-1)

Distribución de pesos de la volatilidad exponencial

Resumen volatilidad

Peso Petróleo Gruma

Des. Est. 0.68% 0.97% 1.32%

EWMA 0.80% 1.27% 1.21%

Dif. 0.12% 0.30% 0.11%

Modelos GARCH (Generalized Autoregressive Conditional Heterokedasticity)-

Autoregresivos Condicionales Generalizados heteroscedáticos)

- Es un modelo cuyo propósito es estimar la varianza no

condicional de los rendimientos de los activos financieros.

- Son procesos autoregresivos generalizados con

heteroscedasticidad condicional; es decir, modelos que

suponen que la varianza cambia a través del tiempo.

- Existen diferentes especificaciones de los modelos

GARCH para estimar la volatilidad del rendimiento de los

activos financieros. A continuación se describe el modelo

GARCH(1,1), el cual es el más común en la estimación de

la volatilidad.

Modelo GARCH (1,1)

Este modelo estima la varianza condicional (volatilidad), en

función del cuadrado de los errores rezagados un periodo y

de la varianza condicional del periodo anterior (término

autoregresivo).

2 2 2

1 1 1 1ˆt t t

Para que el modelo sea

estacionario, es decir,

que converja a un nivel

de equilibrio, se

requiere que los

parámetros cumplan

las restricciones

siguientes:

1) +1 (persistencia de volatilidad (Test de Wald,

donde H0: +=1 P>0.05;

Ha: +1 P<0.05

Mientras mayor sea la suma, mayor será la persistencia.

1) es el término de error, en donde se supone que:

N(0,𝝈𝟐 t).

(1)

- La varianza se estima a partir de los residuales de la ecuación de

regresión de la media condicional. Para estimar la media,

generalmente se utiliza el modelo autoregresivo de orden uno, es

decir, el rendimiento en el periodo actual se explica

exclusivamente por el valor rezagado del rendimiento.

Modelo GARCH (1,1)

- Otros métodos de estimación de la media condicional de los

rendimientos: promedios móviles y más sofisticados como redes

neuronales y algoritmos genéticos (¡cuidado!: estimaciones

ineficientes de la media condicional implican estimaciones

inconsistentes de la volatilidad, no así lo contrario

(Bollerslev et.al, 1992).

(2)

- Cabe destacar que, a diferencia de los modelos ARMA,

donde la varianza se estima con base en los rendimientos

observados, los modelos GARCH utilizan rendimientos

esperados medidos con base en la ecuación (2).

- Sin embargo, como los rendimientos esperados no son

observables, la estimación de la volatilidad requiere de

métodos de optimización conocidos como de “máximaverosimilitud” (cuyas propiedades asintóticas son:

consistencia, normalidad asintótica, eficiencia de primero e

incluso de segundo orden tras corregir el sesgo).

- Por lo anterior, su estimación en Excel o SPSS es muy

complicado o nulo (se recomienda utilizar software

especializado, como Eviews, RATS y STATA, entre otros).

Modelo GARCH (1,1)

Los modelos GARCH toman en cuenta la correlación temporal y las discontinuidades de las

series de tiempo. La ecuación es despejada algebraicamente para obtener la volatilidad no

condicional:

Modelo GARCH (1,1)

2 2 2

1 1 1 1ˆt t t

2 2

tˆ E( )= tcomo

2 2 2

1 1 1 1ˆt t t

2 2

1 1 1ˆ ( )t t

En un régimen estacionario 2 2

1ˆ ˆt t

1 1

ˆ1

t

Función de autocorrelación (FAC)

La función de autocorrelación (FAC) y la función de autocorrelación parcial (FACP)

miden la relación estadística entre las observaciones de una serie temporal. Por ejemplo,

el coeficiente de autocorrelación entre la variable yt y la misma variable un período antes,

yt-1, al que denominaremos coeficiente de autocorrelación de primer orden, se formula

como:

Dado el supuesto de estacionariedad, se tiene que var(yt) = var(yt-1) , por lo que

Función de autocorrelación (FAC)

En general, para un desfase de k períodos se tiene que:

y cuando k=0,

A efectos de la identificación del modelo, debemos comparar el valor que esta función

presentaría para los distintos modelos teóricos, con una estimación de la misma para nuestra

serie. Pues bien, el estimador muestral de la FAC, para el que utilizaremos la expresión rk,

viene dado, con ciertas condiciones y aproximaciones que no trataremos aquí por:

¿Qué es la función de autocorrelación parcial (FACP)?

• La función de autocorrelación parcial mide la “aportación” que a las

variaciones de una variable como yt tiene otra variable, digamos yt-2,

aislados los efectos de las posibles restantes variables, por ejemplo yt-1.

• Por el contrario, la función de autocorrelación ignora el hecho de que

parte de la correlación que pueda existir entre, por ejemplo yt y yt-2, se

debe a que ambas están correlacionadas con yt-1. Pues bien, los distintos

coeficientes de autocorrelación parcial de los modelos teóricos se

denotan como Φkk , y los estimados para nuestra muestra como Φkk.

• La utilidad de los mismos se deriva de que en determinadas ocasiones

el simple conocimiento de la fac muestral no sería suficiente para la

determinación del verdadero proceso generador de la serie.

Función de autocorrelación (FAC)

• Aunque no entraremos en el detalle de la formulación teórica sí es

importante conocer algunas propiedades de la facp. En primer lugar,

por definición la facp de orden 1 es igual a la fac de orden 1. En segundo

lugar, en el modelo teórico, el coeficiente de autocorrelación parcial

coincide con el último coeficiente autorregresivo de un modelo AR. En

otros términos, el coeficiente de correlación parcial de orden 1 será el

valor de en un AR(1); el de orden 2 coincidirá con en un AR(2), y así

sucesivamente.

• En la práctica, los coeficientes de autocorrelación parcial calculados

no son buenos estimadores de los parámetros correspondientes, aunque

pueden servir como valores iniciales para el proceso iterativo de

cómputo que ha de seguirse.

¿Qué es la función de autocorrelación parcial (FACP)?

•Aunque no entraremos en el detalle de la formulación teórica, sí es

importante conocer algunas propiedades de la FACP.

•En primer lugar, por definición la FACP de orden 1 es igual a la FAC de

orden 1.

•En segundo lugar, en el modelo teórico, el coeficiente de autocorrelación

parcial coincide con el último coeficiente autorregresivo de un modelo AR.

En otros términos, el coeficiente de correlación parcial de orden 1 será el

valor de Φ1 en un AR(1); el de orden 2 coincidirá con Φ2 en un AR(2), y

así sucesivamente.

•En la práctica, los coeficientes de autocorrelación parcial calculados no

son buenos estimadores de los parámetros correspondientes, aunque

pueden servir como valores iniciales para el proceso iterativo de cómputo

que ha de seguirse.

MARCO TEÓRICO: MODELOS EWMA, GARCH Y TARCH

ESTRATEGIA DE PORTAFOLIOS

Se especificarán modelos para el cálculo de

la volatilidad* para especificar la varianza y

a su vez introducirla en un portafolios de

inversión, el cual será determinante para

cuantificar los modelos Value at Risknecesarios para el análisis de riesgo.