LA SECCIÓ ÀURIA i

LA REGLA DE RUFFINI

Projecte de MatemàtiquesAina Llorach Rodríguez

Cristina Pueyo PrenafetaMaig 2011

4t B

ÍNDEX

1. Secció Àuria

2. Història sobre la Secció Àuria

3. La Regla de Ruffini

4. Paolo Ruffini

1.La Secció Àuria

La secció àuria és la relació que guarden dos segments a i b si entre el total i el segment major hi ha la mateixa relació que entre el segment major i el segment menor, o, si el tot és al segment major igual que el major és al segment menor. Anomenant a al segment (o nombre) major i b al menor, la formulació matemàtica de la definició es pot escriure com:

D’aquí s’obté el nombre d’or que és el nom donat en matemàtiques al quocient (número irracional) entre un segment menor i un segment major, que és el mateix que dividir un segment major entre una totalitat.

Si apliquem la proporció àuria obtenim la següent equació:

X =

El quocient d'aquestes dues quantitats resulta ser un número irracional conegut com a nombre auri o nombre d'or, i designat habitualment per la lletra grega φ (fi) en honor a Fídies, escultor i arquitecte grec del Partenó, o menys freqüentment amb τ (tau):

Les formes definides amb la raó àuria han estat molt sovint considerades estèticament agradables en la cultura d'occident, de manera que la proporció divina s'ha usat freqüentment al llarg de la Història en l'art i el disseny. Òbviament, també s'ha usat la inversa de la raó àuria Φ-1.

2.Història sobre la Secció Àuria

La secció àuria va ser descoberta en l’Antiga Grècia, el van obtenir els grecs al trobar la relació entre la diagonal d’un pentàgon i el costat. El nombre d’or va ser molt utilitzat durant el Renaixement, en les arts plàstiques i en l’arquitectura. Era considerat la proporció perfecta entre els costats d’un rectangle i fou la clau per algunes construccions de l’Antiga Grècia que es basaven en la geometria.

La relació àuria també existeix al “pentaculo”, un símbol pagà, que més tard va ser utilitzat per l’Església Catòlica per a representar a la Verge Maria; així com a l’Home de Vitruvio de Leonardo Da Vinci. Famós dibuix realitzat el 1490 que representa una figura masculina nua en dues posicions sobre impreses de braços i cames, i dins un cercle i un quadrat. Es tracta d’un estudi de les proporcions del cos humà masculí, realitzat per l’arquitecte de l’antiga Roma Viruvio, nom que dona títol al dibuix.

D’altra banda, el nombre d’or s’ha aplicat a altres construccions com a la piràmide de Keops, a temples de l’antiga Grècia, a l’Alhambra, en pintura (Dalí, Botticelli...) i, fins i tot en música (compositors com Bela Bartok o Olivier Messiaen van utilitzar la sèrie matemàtica de Fibonacci, basada en el nombre d’or, per a la duració de les notes d’algunes obres), i en la naturalesa.

3. La regla de Ruffini

Aquest mètode de Ruffini va ser descrit l’any 1808 on ens permet dividir un polinomi entre un binomi de la forma (x - a) (sent a un número real). A continuació hi ha els passos que s’han de fer per tal d’utilitzar aquest mètode.

P (x) = 3x + 4x + 2x – 7x + 5Q(x) = x – 2

1. Primerament has d’agafar els coeficients del polinomi donat i col·locar-los ordenats un al costat de l’altre. Després has d’escriure el nombre r a la cantonada de baix a l’esquerra, donant forma a una creu amb una extremitat allargada.

2. Després has de copiar el coeficient de més a l’esquerra i escriure’l sota la línia, just a la mateixa altura.

3. A continuació has de multiplicar el nombre de sota la línia per el nombre r, i el seu resultat, escriure’l una posició a la dreta però damunt la línia.

4. Seguidament has de sumar el producte de la primera muliplicació pel següent coeficient, i el seu resultat escriure’l sota la línia. Així ho hauràs de fer tantes vegades com coeficients hi hagin, fins obtenir un residu.

Els valors de sota la línia seran els coeficients del polinomi resultat de dividir entre (x - a). El grau del polinomi será sempre un menys del del coeficient. I com a divisió, tindrem un residu, l’últim nombre (en aquest cas 79).

El procés és fàcil, però en dos certs punts donats, hi ha un petit problema que cal solucionar-lo de la següent manera:

Problema 1; quan el binomi és (x + a) (a qualsevol nombre real). Aquest fet passa perquè és un nombre negatiu i passa que (x -(- a)) es transforma en (x + a). En aquest cas, el nombre r es canvia de signe, éssent així negatiu. Després només cal fer les operacions anomenades anteriorment.

Problema 2; quan en els coeficients hi falta alguna x elevada per ordre. En aquest cas s’hi posa un 0 en el seu lloc. Sempre s’ha de tenir en compte aquest fet, els nombres han d’estar ordenats, i en el cas que en falti un, s’hi posarà un 0.

La Regla de Ruffini es justifica basant-se en una multiplicació encaixada, que justament és la que minimitza les operacions necessàries a l’hora de calcular el valor numèric d’un polinomi. Podem concloure que aquesta regla es justifica, a més, amb el Teorema del Residu, que diu que si substituim la x pel nombre a en la Regla de Ruffini i seguidament fem les operacions segons digui el polinomi, ens hauria de donar el residu.

Comprovem-ho amb el polinomi anterior.

P(2) = 3·2 + 4·2 + 2·2 – 7·2 + 5 = 3·16 + 4·8 + 2·4 – 14 + 5 = 48 + 32 + 8 – 9 = 79

4. Paolo Ruffini

Paolo Ruffini va nèixer el 22 de setembre del 1765 a Valentano, Itàlia. Va graduar-se en filosofía, medicina i matemàtiques. Al 1787 va ser nomenat profesor a la Universitat de Módena. Més tard, es va negar a jurar lleialtat al càrrec proposat per Napoleó quan va fundar la República Cisalpina. Per aquest motiu li va ser prohibit l’educació, temps que va aprofitar per dedicar-se a la pràctica de medicina i l’investigació de la resolució de l’equació de cinquè grau per radicals. Després va ser readmès i va ocupar el càrrec de rector en la Universitat. Durant la seva vida va escriure un gran nombre de llibres. Entre les seves aportacions matemàtiques podem destacar la Regla de Ruffini. Paolo Ruffini va morir el 10 de maig de 1822 a Mòdena, després de patir el tifus durant més de cinc anys.