HISTORIA

Y EPISTEMOLOGIA DE LAS CIENCIAS

EL PAPEL DEL PNDULO EN LA CONSTRUCCI~N DEL PARADIGMA NEWTONIANO SOLAZ PORTOLS, J.J.1 y SANJOS LPEZ, V2. 1. Institut de Batxillerat de Cullera. 2. Departament de Didactica de les Ciencies Experimentals. Universitat de Valencia. Apartado de Correos 22045.46071 Valencia.

SUMMARY

This paper shows the important role of one of the most common instruments, the pendulum, in the construction of the newtonian paradigm. From the analysis of some interesting applications carried out by the greatest scientists of that time, we conclude that the appropriate use of the pendulum in the classroom can be an easy way to introduce historical and epistemological evolution of basic physical concepts.

Desde que se ha establecido la conexin entre las apor- taciones de la Historia y Epistemologa de la Ciencia y la Didctica de las Ciencias, muchos han sido los traba- jos que muestran las aplicaciones de aqullas en la labor docente (Matthews 1990). El paralelismo aparente entre el desarrollo de las ideas histricas y de las concepciones cientficas de los aprendices (Saltiel y Viennot 1985) ha permitido el reencuentro entre las dos reas de conoci- miento y, con ello, su mutuo enriquecimiento.

En esta lnea, el trabajo que se presenta aqu trata de poner de relieve la notable influencia que los estudios con uno de los instrumentos ms humildes y presentes en nuestros laboratorios, el pndulo, han ejercido en el desarrollo conceptual de la ciencia mecnica desde su principio, contribuyendo a conformar uno de los pilares de la fsica clsica: el paradigma newtoniano. Por otro lado, se pretende evidenciar algunas consecuencias que pueden derivarse de dichos estudios y que resultan ser de

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gran inters didctico y espistemolgico. Puesto que el pndulo ha sido a la vez, testigo y motor de la construc- cin de la mecnica desde el siglo XVI al XIX, el anlisis de su contribucin al establecimiento de principios y leyes fundamentales, permite su uso didctico como hilo conductor de una investigacin dirigida en el aula, y puede acercar a nuestros alumnos al trabajo de algunos de los padres de la fsica clsica.

Para hacernos una idea de la importancia instrumental que tuvo el pndulo, basta con sealar que el nmero de referencias bibliogrficas sobre su teora y aplicaciones citadas en Bibliographie du pendule por Wolf (1889b), asciende aproximadamente a unas mil doscientas en el perodo comprendido entre 1632 -ao de publicacin en Florencia de la obra de Galileo Dialogo intorno ai due massimi sistemi del mondo, Tolemaico e Copernicano- y 1885.

Indicaremos en relacin con estos trabajos publicados, que el crecimiento mayor de su nmero se produjo tras la publicacin por Foucault en 185 1 de Demonstration physique du mouvement de rotation de la Terre au moyen du pendule, y que en ellos aparecen cientficos tan sobresalientes como Galileo, Huygens, Newton, Hooke, Halley, Mariotte, Bemouilli, Celsius, D' Alarnbert, Poisson, Young, Sabine, Stokes, etc.

G ~ L I L E O : LA CAIDA DE GRAVES Y EL PENDULO Parece claro que desde mucho antes del nacimiento de Galileo muchas personas haban visto oscilar un objeto del extremo de una cuerda hasta que finalmente quedaba en reposo. El anlisis que se hizo de su movimiento por parte de los aristotlicos fue el de una cada dificultosa de un cuerpo pesado unido a un hilo, que slo poda quedar parado en su posicin ms baja despus de un tiempo considerable. Galileo vio el pndulo desde otra perspectiva y rompi con el paradigma aristotlico con- siguiendo de este modo descubrir el pndulo: un cuerpo que segua un movimiento peridico (Khun 1987a). Tras esta ruptura, la atencin de Galileo se orient hacia la forma circular del movimiento y, segn crea, su isocronismo, llevndole a formular en la Jornada Prime- ra de los Discorsi la ley del isocronismo pendular bajo la forma de una proporcionalidad entre el tiempo de vibracin y la raz cuadrada de la longitud del pndulo (Azcrate et al. 1988). No obstante, lo que nos parece ms interesante son las consecuencias dinmicas extradas de sus experimentos con el pndulo, sin entrar en la controversia mantenida por los historiadores de la ciencia empiristas y eracio- nalistas~ acerca de la importancia real de la experimen- tacin en los descubrimientos de Galileo (Thuillier 1983 y 1990).

movimiento pendular (Khun 1987a) Galileo extrajo s- lidos argumentos para:

a) Entrever, sin llegar a enunciar ninguna ley, la nocin de inercia, principio segn el cual los cuerpos tienden a conservar su estado de reposo o de movimiento (Crom- bie 1987, Koyr 1980). b) Confirmar la hiptesis de que las velocidades adqui- ridas por un cuerpo que baja por planos de diferentes inclinaciones son iguales cuando las alturas de los pla- nos son iguales. Con este fin realiz el experiemento del pndulo y el clavo; en l el movimiento del pndulo se ve alterado al chocar la cuerda con un clavo, y la masa pendular alcanza siempre la misma altura independien- temente de la posicin del clavo e incluso de su participacin (Fig. 1) (Losee 1987).

Figura 1

c) Reconocer que los tiempos de cada de los graves son independientes de sus pesos, en contra de lo que sostena la fsica peripattica (Khun 1987a, Papp 1945). Es im- portante sealar al respecto que, para Galileo, el peso era todava una tendencia intrnseca hacia abajo, no algo que dependa de una relacin extrnseca con otro cuerpo atrayente, como generalizara Newton en su Teora de la Gravitacin Universal (Crombie 1987).

HUYGENS Y EL PNDULO: LA M&DICIN DEL TIEMPO, LA FUERZA CENTRIFPGA Y LA CONSERVACION DE LA ENERGIA Como apunta Koyr (1983), la ciencia moderna en el momento de su nacimiento se encontraba en una situa- cin paradjica: posea leyes matemticas exactas para la dinmica y a su vez era imposible aplicarlas porque no se podan efectuar mediciones precisas de una magnitud fundamental como es el tiempo.

As, observando las equivalencias entre el movimiento Huygens era consciente de ello, como tambin lo era de de una bola que rueda por un plano inclinado y el la necesidad prctica de disponer de relojes precisos, por 96 ENSEANZA DE LAS CIENCIAS, 1992, 10 (1 )

lo que al comienzo de su carrera cientfica se dedic a dar solucin a este problema. En un estudio sobre el pndulo simple, llevado a cabo en 1659, Huygens compar la duracin de la cada del pndulo con la de una cada libre. El resultado de tal estudio, publicado en la cuarta parte de su Horologium Oscillatorium, es totalmente equivalente a la frmula T=2n a. Por supuesto en su deduccin us aproximaciones que descartaban la de- pendencia del perodo con la amplitud (Bos 1980). Pero despus, comprob que las oscilaciones de un pndulo simple no son estrictamente iscronas sino que depen- den de la amplitud de la oscilacin adems de la longitud del hilo. Para corregir el discronismo que poda generar errores en las medidas de tiempos, pens en adaptar unas guas en forma de arcos curvados simtricamente en torno al punto de fijacin del hilo que permitieran redu- cir la longitud del pndulo cuando aumentase la ampli- tud de las oscilaciones (Dugas y Costabel 1988).

Sin embargo, Huygens fue todava mucho ms lejos al considerar en sus trabajos no solamente el pndulo ideal, matemtico, sino que se aboc al problema ms compli- cado del pndulo real, fsico. Paraello, model la solucin al problema basndose en el pndulo puntual galileano: imagin el pndulo fsico compuesto por un conjunto de partculas, cada una de las cuales puede ser considerada como si fuese un pndulo matemtico (Khun 1987a). Centrando de nuevo la atencin sobre la duracin de las oscilaciones, introdujo el concepto de centro de oscila- cin de un pndulo fsico, que define a partir de la longitud h de un pndulo simple que oscile isocrnica- mente con el compuesto, y que coincide con el punto O (Fig. 3) situado a una distancia h del eje sobre la lnea que une O con el centro de gravedad Z. Dicho concepto le permiti tratar un pndulo fsico como matemtico (Papp 1945).

Sin embargo sus inquietudes matemticas no quedaron satisfechas y su objetivo tcnico pas a ser terico: Figura 3 deseaba hallar la trayectoria de la lenteja que conduca a un perfecto isocronismo. En 1658 Huygens descubri que la completa independencia de la amplitud, y en consecuencia el perfecto tautocronismo, poda ser obte- nido si el movimiento de la masa pendular describa una cicloide, curva sta que haba estudiado previamente en conexin con un problema matemtico planteado por Pascal. Necesitaba entonces encontrar la forma de las guas que regulan la longitud para conseguir oscilacio- nes cicloidales, y sus investigaciones le llevaron a un hallazgo matemtico de gran importancia: la involuta (tambin llamada evolvente) de una cicloide es otra cicloide igual, o a la inversa, la evoluta de una cicloide es otra cicloide igual a ella. Expresado en otros trminos, si suspendemos del punto O (Fig. 2) un pndulo entre dos semiarcos de una cicloide, OA y OC, de igual longitud que ste, entonces m oscilar describiendo un arco de cicliode ABC. Tras la iniciacin de la teora de involutas y evolutas por Huygens se rectificaron otras muchas curvas, ponindose en cuestin el dogma peripattico- cartesiano de la no rectificacin de las curvas algebrai- En la determinacin de 10s centros de oscilacin de cas (Boyer 1986). diferentes pndulos, Huygens parti de dos principios:

Figura 2 -El centro de gravedad no puede alcanzar mayor altura que aqulla de donde descendi.

-En ausencia de friccin el centro de gravedad describe arcos iguales durante su ascenso y descenso.

Veamos un razonamiento similar al que Huygens utiliz (Bos 1980). Si consideramos el pndulo compuesto constituido por partculas de masa m,, cuyas distancias al eje son ri (Fig. 3), el centro de gravedad Z se encuentra a una distancia R del eje. Llamemos h a la longitud del pn- dulo simple iscrono cuya pndola se halla inicialmente a una altura h sobre la posicin ms baja, y v a la velocidad de aqulla en sta. Es evidente que cuando O descienda la distancia h, Z descender la distancia Rh/h. Adems cada una de las partculas mi cuando el punto O pase por la posicin ms baja tendr una velocidad vi= ri v/h y -segn afirman los principios formulados

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por Huygens- alcanzar posteriormente una altura h,. Por entre el Sol y cada uno de los planetas y que desva a otra parte, de acuerdo con la ley de Galileo de cada de stos de su movimiento inercial rectilneo atrayndolos los cuerpos v+khi y vz=kh, por tanto: hacia el centro del Sol.

hi = h(vi2/v2) = h(ri2/h2) Y como Z alcanzar en el ascenso una altura:

h'= Z mi hi / Z mi = Z mi.(ri2/ h2).h/ Zm que ha de ser tambin igual a la descendida, R.h/h, te- nemos:

Rhlh = X m,.(ri2/h2).h/ M siendo M la masa del pndulo compuesto. Por consi- guiente la distancia entre el centro de oscilacin O y el punto de suspensin viene dada por la expresin:

A pesar de este brillante anlisis, Hooke desconoca cmo relacionar la intensidad de una fuerza con la desviacin que produce, y por consiguiente, no pudo demostrar la operatividad de su hiptesis. Sin embargo, concret sus ideas mediante un modelo icnico: un pndulo cnico (Fig. 4). Cuando se separa la lenteja de su posicin de equilibrio, la fuerza resultante est diri- gida hacia su posicin de equilibrio y oscila sobre un plano que contiene la cuerda y la lenteja, pero si recibe un impulso lateral, la lenteja describe una curva similar a la rbita de un planeta. Segn sea el impulso, seguir un tipo de curva u otra. As, el pndulo cnico converta en clara y plausible su hiptesis: una nica fuerza central puede producir una rbita cerrada (Khun 1985).

h = Z m,r?/ M.R Figura 4

cuyo numerador Euler convino en llamar aos despus Momento de Inercia (Papp 1945). De lo expuesto con anterioridad 'se vislumbra que Huygens fue el verdadero introductor de 1aDinmica del Slido Rgido (Truesdell1975), y adems, con sus prin- cipios para el clculo de centros de oscilacin inici el 4 camino que conducira al Principio de Conservacin de _ - - ___--- ---____ - I 4 la Energa (Khun .1987b). - _ - - - ____ ; ____--- - \ \ La contribucin de Huygens a la construccin de la Mecnica y, en particular, al estudio del pndulo no acaba aqu. Realizando experimentos sobre el movi- miento de pndulos y el movimiento circular en general, y orientado por las lecturas de Descartes, observ la tendencia de los cuerpos a alejarse del centro cuando stos seguan una rbita circular que deba compensarse para que girasen equilibradamente (recurdese que este razonamiento es prenewtoniano). A dicha tendencia la llam fuerza centrfuga, y sus clculos la evaluaron como proporcional al cuadrado de la velocidad e inver- samente proporcional al radio del crculo (Casadella y Bibiloni 1985, Mason 1985).

HOOKE, EL PNDULO Y EL ANLISIS DEL MOVIMIENTO PLANETARIO Como seala Cohen (198 l), Hooke dio un paso decisivo hacia la Gravitacin Universal al introducir un nuevo mtodo de analizar el movimiento orbital de los plane- tas. La esencia del mtodo consiste en considerar que el movimiento observado en cada punto es el resultante de dos componentes: una inercial y otra centrpeta. La componente inercial tiende a lanzar el planeta a lo largo de una recta tangente a la curva descrita, mientras que la centrpeta desva continuamente el planeta de la trayec- toria anterior hacia el Sol. En consecuencia, la hiptesis de Hooke supone la existencia de una fuerza que opera

NEWT,ON Y EL PNDULO: MASA, PESO Y TEORIA DE LA GRAVITACION UNIVER- SAL El escabroso problema de interpretacin de la idntica aceleracin en la cada para cuerpos distintos por parte de los que, como Galileo, haban puesto en tela de juicio la cinemtica aristotlica, hall finalmente solucin con Newton. Este separ el concepto de peso, motivado por la fuerza externa de la gravedad que acta sobre el cuerpo, del de masa, que define como la cantidad de materia existente en l (Crombie 1987, Papp 1945). Y todava mucho ms importante es la conclusin de sus experimentos con pndulos de la misma longitud y distintos materiales reflejados en la Proposicin XXIV, Teorema XIX, del Libro Segundo de los Principia: la, proporcionalidad entre el peso y la masa de un cuerpo (Newton 1987). Tambin por medio de pndulos, y basndose en las investigaciones efectuadas previamente por Wren, Wa- llis, Huygens y Mariotte (Dugas y Costabel1988),Newton verific su tercera Ley del Movimiento, la igualdad de la accin y la reaccin (Newton 1987). Esta ley es la ms

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original de las tres Leyes del Movimiento, como el Tierra; e incluso, no comprendi la trascendencia de sus mismo Newton reconoce, concedindole a Galileo las resultados para la mecnica. La interpretacin de los dos primeras (Dugas y Costabel 1988), y todava hay resultados obtenidos por ambos fsicos aos ms tarde, quienes la utilizan equivocadamente al asociarla con una puso el acento en la nocin de sistema de referencia supuesta condicin de equilibrio y no con una situacin privilegiado -sistema de referencia inercial- y recono- de interaccin entre dos cuerpos y de simetra en el ci que las leyes del movimiento enunciadas por Newton Universo. llevan en s mismas el postulado de la existencia de

sistemas de referencia privilegiados para el movimiento Por ltimo, no podemos dejar de mencionar el papel (Costabel 1988). subsidiario que, a nuestro juicio, desempearon los estu- dios con y sobre el pndulo en la formulacin de la Ley De este modo, el descubrimiento hecho con un pndulo, de la Gravitacin Universal. En primer lugar, como el de Foucault, asent ms si cabe el paradigma newto- acabamos de ver, mediante experimentos con pndulos niano, ayudando a resolver una de las dificultades ms Newton determina que el peso de un cuerpo es directa- grandes de dicho paradigma y que el mismo Newton mente proporcional a su masa. En segundo lugar, recor- advirti: explicitar el sistema coordenado respecto del demos que Huygens deriv, merced a sus trabajos con cual se cumplen las leyes del movimiento (Symon 1979). pndulos, la relacin v2r para la fuerza centrfuga. En Por otra parte, ello permiti algunos aos despus que se tercer lugar, el pndulo cnico ratific el anlisis del buscara experimentalmente una evidencia de la existen- movimiento de los planetas efectuado por Hooke. Ade- cia de tales sistemas privilegiados, y con el fracaso ms parece ser que con la relacin v2r y la tercera ley de consiguiente, el advenimiento del paradigma relativista. Kepler, Hooke lleg a sugerirle a Newton que la fuerza centrpeta hacia el Sol era inversamente proporcional al cuadrado de la distancia, ley sta que fue crucial en la elaboracin por Newton de la Teora de la Gravitacin Universal (Cohen 1981). Y en cuarto lugar, por qu no admitir la posibilidad de que el modelo matemtico del que parti Newton en el desarrollo de sus ideas sobre CONCLUSIONES gravitacin -una masa puntual movindose en torno a un centro de fuerzas- se inspir en el tratamiento puntual 1. En el presente trabajo hemos visto cmo 10s cientfi- que hizo Huygens para el pndulo compuesto? cos, para resolver problemas, recurren a las soluciones

dadas para otros problemas. As, Galileo asimila la cada por un plano inclinado al movimiento de la lenteja de un pndulo; Huygens al introducir el concepto de centro de oscilacin de un pndulo fsico reduce ste a un conjunto de pndulos puntuales galileanos; Hooke encuentra en el

EL PNDULO DE FOUCAULT Y LOS SISTE- pndulo cnico el modelo apropiado para el estudio del MAS DE REFERENCIA INERCIALES O PRI- movimiento de los planetas alrededor del Sol; y Newton, VILEGIADOS al que muy probablemente el modelo de Huygens para el

pndulo compuesto junto con los trabajos de Hooke Los fsicos que continuaron la labor iniciada por Newton avivaron su genio para formular la Ley de la Gravitacin en la ciencia mecnica a lo largo del siglo XVIII, e Universal. Con ello, podemos mostrar a nuestros alum- incluso los creadores de la Mecnica Analtica, centra- nos una de las fases claves en la construccin del pensa- ron todos sus esfuerzos en desplegar consecuencias miento cientfico: la modelizacin de la realidad natural matemticas de los principios establecidos para el movi- (Matthews 1990). miento, y obviaron la reflexin acerca del vital papel que en el estudio del movimiento tiene el tipo de sistema de 11. Se nos revela el pndulo como un instrumento deci- referencia (Truesdell 1975). sivo en la construccin de la mecnica newtoniana, pues

como hemos visto particip en : En este contexto, el fsico francs Len Foucault public en 185 1 una memoria en la que se recogen sus experien- a) La elaboracin de las leyes del movimiento, especial- cias con un pndulo de 28 kg suspendido de un alambre mente en la de inercia y accin-reaccin. de acero de 67 m en la cpula del Panten de los Invlidos de Pars. En ella, partiendo de la premisa de b) El establecimiento de la Ley de la Gravitacin Univer- que el plano de oscilacin del pndulo permanece invariable, sal, al permitir el descubrimiento de que el peso es prob la rotacin de la Tierra sobre s misma mediante la proporcional a la masa, el clculo de la relacin v2/r para evidencia experimental de la rotacin del plano de osci- la fuerza centrpeta, la confirmacin del movimiento lacin respecto de la Tierra (Wolf 1889a). planetario por la accin de una fuerza central, y sugerirle

quiz a Newton el modelo matemtico de una masa Destacaremos que, muy probablemente, Foucault no puntual sometida a una fuerza central y su justificacin. conoca las investigaciones llevadas a cabo por Coriolis con anterioridad y en las que realizaba modificaciones c) El hallazgo del principio de conservacin de la ener- en la ley fundamental de la Dinmica para el movimiento ga mecnica. relativo de un cuerpo respecto de un sistema de referen- cia dotado, a su vez, de un movimiento respecto de la d) La iniciacin de la Dinmica del Slido Rgido. ENSEANZA DE LAS CIENCIAS, 1992, 10 (1) 99

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e) La concesin de la atencin necesaria a los sistemas de referencia inerciales y el establecimiento de los lmites de validez de las leyes newtonianas.

111. Gracias al pndulo, las leyes inconexas del movi- miento que enunciaron Galileo y Huygens, fueron sinte- tizadas y derivadas por la teonanewtoniana de la gravitacin y del movimiento. Para ello Newton en su teora formul con trminos teorticos ms precisos dichas leyes e introdujo hiptesis nuevas que establecieron vnculos lgicos entre aqullas (Bunge 1985, Hempel 1987). IV. Como han demostrado algunos didactas de la Fsica (Driver 1986, Gil 1986), los conceptos y principios del paradigma newtoniano no suelen ser asimilados a causa de la existencia en los alumnos de esquemas conceptuales propios que son difcilmente sustituidos por los modelos de enseanzalaprendizaje tradicionales. Por aadidura, tales esquemas conceptuales parecen guardar un cierto

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paralelismo con las concepciones en determinadas po- cas histricas (Saltiel y Viennot 1985). Desde esta pers- pectiva, y teniendo en cuenta que la pedagoga actual con sus modernos aparatos de laboratorio desvirta muchas veces la imagen histrica de la relacin entre ciencia creativa y medicin (Khun 1987c), proponemos la utili- zacin del pndulo para proceder a una verdadera re- construccin histrica en el aula; es decir, la reproduc- cin de razonamientos y experiencias que emplearon Galileo, Huygens, Hooke, Newton y Foucault, a la hora de abordar cuestiones como la cada de graves, el problema histrico de la medicin del tiempo, el principio de conservacin de la energa mecnica, los conceptos de masa, peso y gravedad, el movimiento de los planetas, la importancia de los sistemas de referencia inerciales, etc. Por otro lado, dicha reconstruccin histrica podra convertirse en una valiosa oportunidad de introducir la metodologa cientfica (Gil y Carrascosa 1985) en el proceso de enseanzalaprendizaje.

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