EL PROBLEMA DE LA MOCHILA

Optimización y Simulación

Ing. Laura Sofía Bazán Díaz

EJEMPLO

• Un barco de 4 toneladas puede cargarse con uno o más de tres artículos. La siguiente tabla da el peso unitario wi en toneladas y el ingreso unitario en miles de dólares , ri para el artículo i. El objetivo es determinar la cantidad de unidades de cada artículo que maximizará el rendimiento total.

Articulo i wi ri

1 2 31

2 3 47

3 1 14

ETAPA 3

• Como el peso unitario wi y el peso máximo W son enteros, el estado xi asume solo valores enteros.

ETAPA 3• El peso exacto a ser asignado

a la etapa 3 (artículo 3) no se conoce con anticipación pero puedo suponer uno de los valores 0, 1, 2, 3 y 4 (porque W=4 toneladas y w3=1.

• Un valor de m3 es factible solo si w3*m3<=x3. Por lo tanto se excluyen todos los valores no factibles (con w3*m3>x3). El ingreso para el artículo 3 es 14m3. En consecuencia, la ecuación recursiva para la etapa 3 es:

f3(x3)= máx 14m3, para m3=0,1,..4

CÁLCULOS PARA LA ETAPA 3

14m3 Solución óptimax3 m3=0 m3=1 m3=2 m3=3 m3=4 f3(x3) m*30 0 - - - - 0 01 0 14 - - - 14 12 0 14 28 - - 28 23 0 14 28 42 - 42 34 0 14 28 42 56 56 4

CÁLCULOS PARA LA ETAPA 2

47m2+f3(x2-3m2) Solución óptimaX2 m2=0 m2=1 f2(x2) m*30 0+0=0 - 0 01 0+14=14 - 14 02 0+28=28 - 28 03 0+42=42 47+0=47 47 14 0+56=56 47+14=61 61 1

• Max{m2}=4/3=1 o m2=0 o 1• f2(x2)=max 47m2+f3(x2-3m2)

CÁLCULOS PARA LA ETAPA 1

31m1+f2(x1-2m1) Solución óptimax1 m1=0 m1=1 m1=2 f1(x1) m*10 0+0=0 - - 0 01 0+14=14 - - 14 02 0+28=28 31+0=31 - 31 13 0+47=47 31+14=45 - 47 04 0+61=61 31+28=59 62+0=62 62 2

• Max{m1}=4/2=2 o m1=0 o 1 o 2• f1(x1)=max 31m1+f2(x1-2m1)

SOLUCIÓN ÓPTIMA

• Dado que W=4 toneladas, del estado 1, x1=4, se da la alternativa óptima m*1=2; es decir que en el barco se cargarán dos unidades del artículo 1. Esta asignación deja, x2=x1-2m1=4-2*2=0 para las etapas 2 y 3. De la etapa 2, x2=0 da por resultado m2=0, lo cual deja x3=x2-3m2=0-3*0=0 unidades para la etapa 3. Luego a partir de la etapa 3, x3=0 da m*3=0. Por lo tanto, la solución óptima completa es: m1*=2, m*2=0 y m*3=0. El rendimiento asociado es f1(4)=$62000.

• ¿Qué sucede si la capacidad del barco es de 3 toneladas en lugar de 4? La nueva solución óptima puede determinarse como

• (x1=3)(m1*=0) (x2=3)(m2*=1) (x3=0)(m3*=0)• Por lo tanto la solución óptima es (m*1, m*2,

m*3)=(0,1,0) y el ingreso óptimo es f1(3)=$47000

EJERCICIO

• Un excursionista debe empacar 3 artículos: alimento, botiquín de primeros auxilios y ropa. La mochila tiene una capacidad de 3 pies cúbicos. Cada unidad de alimento ocupa 1 pie cúbico, el botiquín ocupa ¼ de pie cúbico y cada pieza de ropa ocupa aproximadamente ½ pie cúbico. El excursionista asigna pesos de prioridad de 3, 4 y 5 al alimento, el botiquín y la ropa, respectivamente, lo que significa que la ropa es lo más valioso de los tres artículos. Por experiencia, el excursionista debe llevar al menos una unidad de cada artículo y no más de dos botiquines. ¿Cuántas unidades de cada artículo debe llevar el excursionista?