El Problema Del Transporte

1

El problema clsico de transporte

consiste en determinar las cantidades de

un bien que deben de ser transportadas

desde un origen o centro de oferta hasta

un destino o centro de consumo con el

fin de incurrir en el menor costo total de

transporte posible y que al mismo

tiempo se satisfagan tanto los lmites de

oferta como los requerimientos de la

demanda.

El problema del

transporte Mtodo de la Esquina Noroeste,

Mtodo del Costo Mnimo,

Mtodo de Vogel y

Mtodo de Russell

2

Programacin Lineal

CBM-216-01

El problema del transporte

Dr. Carlos Mayobanex Cabral

3

ndice

Introduccin4

El modelo del transporte..5

Mtodo de Esquina Noroeste8

Mtodo del Costo Mnimo17

Mtodo de Vogel...26

Mtodo de Russell.36

Conclusin52

Bibliografa.53

4

Introduccin

Durante la Segunda Guerra Mundial (1939-1945) surge un modelo matemtico, mantenido

en secreto hasta 1947, que buscaba planificar los gastos y los retornos, reducir los costos al

ejrcito y aumentar las prdidas del enemigo. Se trata de la Programacin Lineal.

Se trata de un modelo que optimiza una funcin objetivo sujeta a ciertas restricciones que

expresamos como un sistema de inecuaciones lineales.

Este algoritmo matemtico es utilizado en la actualidad en una infinidad de campos siendo

uno de estos el transporte. La programacin lineal aplicada al transporte permite determinar

una distribucin ptima de los bienes, saber cunto se debe enviar de cada origen a cada

destino y con el menor costo.

La suposicin bsica del modelo es que el costo de transporte en una ruta determinada es

directamente proporcional al nmero de unidades transportadas en la misma. En general el

modelo se puede extender de manera directa para abarcar situaciones prcticas de las reas

de control del inventario, programacin del empleo y asignacin de personal, entre otros.

Para resolver este tipo de problemas, se han desarrollado ciertos mtodos que nos permiten

obtener una solucin inicial ptima, entre ellos encontramos el Mtodo de Esquina

Noroeste, el Mtodo del Costo Mnimo, el Mtodo de Vogel y el Mtodo de Russel; que

sern expuestos en el presente.

5

El Modelo de transporte

El problema clsico de transporte consiste en determinar las cantidades de un bien, que

desde el punto de vista econmico puede ser un producto final o cualquier insumo, que

deben de ser transportadas desde un origen o centro de oferta hasta un destino o centro

de consumo con el fin de incurrir en el menor costo total de transporte posible y que al

mismo tiempo se satisfagan tanto los lmites de oferta como los requerimientos de la

demanda. A excepcin de la cantidad disponible, la asignacin de las cantidades de

mercanca a cada uno de los destinos no es una restriccin. Esto quiere decir, que

tericamente cada uno de los orgenes puede proveer todo, parte o nada de su oferta,

para satisfacer la demanda de los destinos o centros de consumo.

La suposicin bsica del modelo es que el costo de transporte en una ruta determinada es

directamente proporcional al nmero de unidades transportadas en la misma. En general

el modelo se puede extender de manera directa para abarcar situaciones prcticas de las

reas de control del inventario, programacin del empleo y asignacin de personal, entre

otros.

Para tratar este tipo de problemas de transporte, se han desarrollado algoritmos o

procedimientos especiales a partir del mtodo simplex de programacin lineal, por cuanto

estos problemas tambin son del tipo de asignacin de recursos, y por tanto pueden ser

resueltos por el mtodo simplex, siempre y cuando el objetivo y las restricciones sean

lineales. Sin embargo debido a la estructura especializada que presentan estos problemas

de transporte, se presentan para ser resueltos por otras tcnicas ms eficientes desde el

punto de vista de clculo. A este tipo de procedimientos especializados se le conoce como

el Modelo de transporte.

El objetivo principal del modelo de transporte es:

Asignar la oferta disponible de cada uno de los centro de produccin y orgenes, de tal

manera que se optimice algn criterio de efectividad, para satisfacer la demanda de cada

uno de los destinos de centros de consumo.

Los criterios de efectividad ms corrientemente usados son:

1. Minimizar el costo total de transporte de los orgenes a los destinos.

2. Minimizar la distancia total recorrida de los orgenes a los destinos.

6

3. Maximizar la contribucin total a la utilidad por transportar producto de los

orgenes a los destinos.

Esquema de un problema de transporte

El siguiente esquema representa el modelo de transporte como una red con m fuentes y

n destinos. Una fuente o destino est representado por un nodo. El arco que une una

fuente y un destino representa la ruta por la cual se transporta la mercanca. La cantidad

de la oferta en la fuente i es ai y la demanda en el destino j bj. El costo de transporte

unitario entre la fuente i y el destino j es cij.

Si xij representa la cantidad transportada desde la fuente i al destino j, entonces, el

modelo general de PL que representa el modelo de transporte es

Minimizar z= =1

=1

Sujeto a =1 , = 1, 2, 3, ,

=1 , = 1, 2, 3, ,

0 para todas la y

El primer conjunto de restricciones hace referencia a que la suma de los envos desde una

fuente no puede ser mayor que su oferta; en forma anloga, el segundo conjunto requiere

que la suma de los envos a un destino satisfaga su demanda.

Cuando la oferta total es igual a la demanda total ( =1 =

=1 ), la formulacin

resultante recibe el nombre de modelo de transporte equilibrado.

7

Tabla de transporte

Es una forma de matriz donde sus renglones representan las fuentes y sus columnas el

destino. Los elementos de costo cij se resumen en la esquina noreste de la celda de la

matriz (i, j). La tabla de transporte es una forma ms resumida de representar el problema

de transporte.

Resolucin de los problemas de programacin lineal

1. En primera instancia, frente a un problema de transporte, se utiliza como base la

Tabla de transporte en la que se obtiene de manera fcil y directa una solucin

bsica inicial, en donde todas las filas y las columnas son tenidas en cuenta para

proporcionar una variable bsica (asignacin).

2. Cuando se ha realizado una asignacin, se debe tachar la fila (columna) con la

oferta (demanda) satisfecha, es decir, no se tendr en cuenta ningn valor que

est en esa columna o fila la para la prxima asignacin. Esto indica que las

variables restantes de la fila (columna) son iguales a cero (variables no bsicas).

3. Si se satisfacen una fila y una columna al mismo tiempo, slo una (fila o columna)

puede ser tachada; lo que indica la ubicacin automtica de variables bsicas

iguales a cero.

4. Se contina este proceso hasta que todos los valores de la tabla de transporte

estn tachados.

Los mtodos que se introducen a continuacin son alternativas para encontrar una

solucin bsica inicial.

8

Mtodo de la Esquina Noroeste

El mtodo de esquina noroeste es utilizado en programacin lineal para hallar una

solucin inicial factible al modelo dado. Es muy conocido por ser el ms fcil, sin embargo,

es el menos probable para dar una solucin acertada de bajo costo pues ignora la

magnitud relativa de los costos. Este es utilizado en la resolucin de problemas de

transporte o asignacin, y a pesar de su poca exactitud, es muy til a la hora de resolver

problemas manualmente y de forma rpida, dndonos soluciones muy cercanas al valor

ptimo. Los problemas deben representarse en forma matricial en donde las filas

normalmente representan las fuentes y las columnas los destinos.

Paso 1.

Asignar todo lo ms que se pueda a la celda seleccionada (la de la esquina noroeste de la

tabla) y ajustar las cantidades asociadas de oferta y demanda restando la cantidad

asignada.

Paso 2.

Salir del rengln o la columna cuando se alcance oferta o demanda cero, y tacharlo, para

indicar que no se pueden hacer ms asignaciones a ese rengln o columna. Si un rengln y

una columna dan cero al mismo tiempo, tachar slo uno (el rengln o la columna) y dejar

una oferta (demanda) cero en el rengln (columna) que no se tach.

Paso 3.

Si queda exactamente un rengln o columna sin tachar, detenerse. En caso contrario

avanzar a la celda de la derecha si se acaba de tachar una columna, o a la de abajo si se

tach un rengln. Seguir con el paso 1.

Ejemplo 1.

La empresa qumicos del caribe S.A posee 4 depsitos de azufre que deben ser usados

para fabricar 4 tipos de productos diferentes (A, B, C, D), adems por cada litro que se

haga de los productos A, B, C, y D se utilizan un litro de azufre. Se sabe que las

capacidades de cada depsito son de 100L, 120L, 80L, 95L respectivamente. La empresa

tiene un pedido de 125L de la sustancia A, 50L de la sustancia B, 130L de la sustancia C y

90L de la sustancia D.

9

Los costos que reaccionan la produccin de cada qumico con cada depsito se presenta a

continuacin:

A B C D

deposito1 2 3 4 6

deposito2

1 5 8 3

deposito3

8 5 1 4

deposito4 4 5 6 3

Tabla1

Formule una solucin para este problema de manera que se cumpla el pedido y se

minimice los costos:

De acuerdo a las especificaciones del problema podemos completar la tabla de la

siguiente manera:

10

Tabla2

El siguiente paso ser seleccionar el nmero de la esquina ms al noroeste:

Tabla3

En este punto se deber asignar la mayor cantidad de unidades posibles, de manera que

no sobrepase la capacidad de qumicos en litros de cada depsito y los litros requeridos de

cada qumico. En este caso se deber asignar el nmero 100.

Tabla4

Debido a que el deposito 1 se ha abastecido completamente se llega a una solucin:

A1=100, (es decir el deposito 1 suministrara 100 litros a la sustancia A), no obstante no es

necesario tener en cuenta esa fila. Se proceder ahora a elegir nuestra siguiente esquina:

11

Nuestra nueva esquina ser 1, como lo indica la tabla 5, adems los litros requeridos para

el deposito A sern 25 esto es porque A1=100, es decir ya se le han encargado 100 litros al

depsito 1 y por lo tanto los litros restantes sern 25.

Las unidades para nuestra nueva esquina sern 25. El procedimiento contina como se

hizo anteriormente.

Ahora el deposito 2 contiene 95 litros en total puesto que se le ha restado las 25 unidades

de A2. Nuestro nuevo punto esquina ser el 5:

12

La unidad que se tomara ser 50:

Ahora que todos los litros requeridos por la sustancia B han sido completados por lo tanto

no es necesaria esta columna. Presentaremos nuestra nueva esquina con su respectiva

unidad se muestra a continuacin:

La columna del depsito 2 ha sido completada por lo tanto no se tendr en cuenta, el

numero 85 resulta de la resta de 130-45. Nuestra nueva esquina con la respectiva unidad

se muestra a continuacin:

13

La columna del depsito 3 ha sido completada por tanto ya no se tendr en cuenta,

nuestra nueva esquina con nuestra nueva unidad ser:

Nuestra ltima tabla queda como sigue:

El resultado final para las asignaciones ser:

A1: 100 (se le asigna 100 litros al depsito 1 para suministrarle al qumico 2).

A2: 25 (se le asigna 25 litros al depsito 2 para suministrarle al qumico 2).

B2: 50 (se le asigna 50 litros al depsito 2 para suministrar al qumico B)

C2: 45 (se le asigna 45 litros al depsito 2 para suministrar al qumico C)

C3:80 (se le asigna 80 litros al depsito 3 para suministrar al qumico C)

C4: 5 (se le asigna 5 litros al depsito 4 para suministrar al qumico C)

D4: 90 (se le asigna 90 litros al depsito 4 para suministrar al qumico D)

En tabla el resultado final ser:

14

A B C D

deposito1 100 0 0 0 100

deposito2

25 50 45 0 120

deposito3

0 0 80 0 80

deposito4

0 0 5 90 95

125 50 130 90

Costo x unidad Valor Asignado Total

2 100 200

1 25 25

5 50 250

8 45 360

1 80 80

6 5 30

3 90 270

Zmin= 200+25+250+360+80+30+270 = 1215

8

8

8

8

2

1 5 8

6

1

3

15

Ejemplo 2.

Tres empresas suministran ordenadores a cuatro detallistas. La cantidad de demanda

semanal de los cuatro detallistas es de 150, 150, 400 y 100 ordenadores, respectivamente.

La oferta de las tres empresas esta dictada por la manos de obra regular disponible y se

calcula en 250, 300 y 250 unidades a la semana. El costo en euros del transporte por

unidad en la siguiente tabla

Detall.

Provee.

1 2 3 4 Oferta

1 10 20 30 20 250

2 20 40 10 20 300

3 10 30 50 30 250

Demanda 150 150 400 100

(a) Determinar el coste mnimo del programa de envo

Solucin:

Detall.

Provee.

1 2 3 4 Oferta

1 10 20 30 20 250 = 100

2 20 40 10 20 300 = 250

3 10 30 50 30 250 = 100

Demanda 150 150 = 50 400 = 150 100

150 100

50 250

150 100

16

Costo x unidad Valor asignado Total

10 150 1500

20 100 2000

40 50 2000

10 250 2500

50 150 7500

30 100 3000

= 1500+2000+2000+2500+7500+3000 = 18500

17

Mtodo del Costo Mnimo

El mtodo del costo mnimo es un algoritmo desarrollado con el fin de resolver problemas

del modelo de transporte, arrojando mejores resultados que el mtodo de la esquina

noroeste, dado que se enfoca en las rutas que presentan menores costos. Consiste en

asignar la mayor cantidad de unidades posibles (sujeta a las restricciones de oferta y/o

demanda) a la celda menos costosa de toda la matriz hasta finalizar el mtodo.

Paso 1.

De la matriz se elige la ruta (celda) menos costosa (en caso de un empate, este se rompe

arbitrariamente) y se le asigna la mayor cantidad de unidades posible, cantidad que se ve

restringida ya sea por las restricciones de oferta o de demanda. En este mismo paso se

procede a ajustar la oferta y demanda de la fila y columna afectada, restndole la cantidad

asignada a la celda.

Paso 2.

En este paso se procede a eliminar la fila o destino cuya oferta o demanda sea 0 despus

del Paso 1, si dado el caso ambas son cero arbitrariamente se elige cual eliminar y la

restante se deja con demanda u oferta cero (0) segn sea el caso.

Paso 3.

Una vez en este paso existen dos posibilidades, la primera que quede un solo rengln o

columna, si este es el caso se ha llegado al final el mtodo, detenerse.

La segunda es que quede ms de un rengln o columna, si este es el caso se repite todo el

proceso nuevamente empezando por el paso 1.

Ejemplo 1.

Una empresa energtica colombiana dispone de cuatro plantas de generacin para

satisfacer la demanda diaria elctrica en cuatro ciudades, Cali, Bogot, Medelln y

Barranquilla. Las plantas 1, 2, 3 y 4 pueden satisfacer 80, 30, 60 y 45 millones de KW al da

respectivamente. Las necesidades de las ciudades de Cali, Bogot, Medelln y Barranquilla

son de 70, 40, 70 y 35 millones de Kw al da respectivamente.

Los costos asociados al envo de suministro energtico por cada milln de KW entre cada

planta y cada ciudad son los registrados en la siguiente tabla.

18

Cali Bogot Medelln Barranquilla

Planta 1 5 2 7 3

Planta 2 3 6 6 1

Planta 3 6 1 2 4

Planta 4 4 3 6 6

Formule un modelo de programacin lineal que permita satisfacer las necesidades de

todas las ciudades al tiempo que minimice los costos asociados al transporte.

Solucin:

Elegimos la celda con el menor costo. En este caso en el que existen dos celdas con

el menor costo se rompe el empate arbitrariamente. Se tomar la celda

correspondiente a Bogot. Luego procedemos a asignar la mayor cantidad posible

a dicha celda.

Cali Bogot Medelln Barranquilla Oferta

Planta 1 5 2 7 3 80

Planta 2 3 6 6 1 30

Planta 3 6 1 2 4 60

Planta 4 4 3 6 6 45

Demanda 70 40 70 35

Como que satisfecha la columna de Bogot, se procede a tacharla completa y

ajustar el valor de la oferta correspondiente a la fila en la que se ubica la celda

trabajada.

40

19


Planta 1 5 2 7 3 80

Planta 2 3 6 6 1 30

Planta 3 6 1 2 4 60 = 20

Planta 4 4 3 6 6 45

Demanda 70 40 70 35

Volvemos a repetir el proceso desde un principio, buscando cul es nuestra

prxima celda con menor costo y le asignamos la mayor cantidad posible.


Planta 1 5 2 7 3 80

Planta 2 3 6 6 1 30

Planta 3 6 1 2 4 60 = 20

Planta 4 4 3 6 6 45

Demanda 70 40 70 35

Se tacha la fila correspondiente ya que se satisfizo y se ajusta el valor de la

demanda correspondiente a Barranquilla.


Planta 1 5 2 7 3 80

Planta 2 3 6 6 1 30

Planta 3 6 1 2 4 60 = 20

Planta 4 4 3 6 6 45

Demanda 70 40 70 35= 5

40

40

30

40

30

20


Planta 1 5 2 7 3 80

Planta 2 3 6 6 1 30

Planta 3 6 1 2 4 60 = 20

Planta 4 4 3 6 6 45

Demanda 70 40 70 = 50 35= 5


Planta 1 5 2 7 3 80

Planta 2 3 6 6 1 30

Planta 3 6 1 2 4 60 = 20

Planta 4 4 3 6 6 45

Demanda 70 40 70 = 50 35= 5


Planta 1 5 2 7 3 80

Planta 2 3 6 6 1 30

Planta 3 6 1 2 4 60 = 20

Planta 4 4 3 6 6 45

Demanda 70 40 70 = 50 35= 5

40

30

20

30

40 20

5

40

30

20

21


Planta 1 5 2 7 3 80 = 75

Planta 2 3 6 6 1 30

Planta 3 6 1 2 4 60 = 20

Planta 4 4 3 6 6 45

Demanda 70 40 70 = 50 35= 5


Planta 1 5 2 7 3 80 = 75

Planta 2 3 6 6 1 30

Planta 3 6 1 2 4 60 = 20

Planta 4 4 3 6 6 45

Demanda 70 = 25 40 70 = 50 35= 5


Planta 1 5 2 7 3 80 = 75

Planta 2 3 6 6 1 30

Planta 3 6 1 2 4 60 = 20

Planta 4 4 3 6 6 45

Demanda 70 = 25 40 70 = 50 35= 5

30

40 20

5

5

30

40 20

45

5

30

40 20

45

22


Planta 1 5 2 7 3 80 = 75 = 50

Planta 2 3 6 6 1 30

Planta 3 6 1 2 4 60 = 20

Planta 4 4 3 6 6 45

Demanda 70 = 25 40 70 = 50 35= 5


Planta 1 5 2 7 3 80 = 75 = 50

Planta 2 3 6 6 1 30

Planta 3 6 1 2 4 60 = 20

Planta 4 4 3 6 6 45

Demanda 70 = 25 40 70 = 50 35= 5


Planta 1 5 2 7 3 80 = 75 = 50

Planta 2 3 6 6 1 30

Planta 3 6 1 2 4 60 = 20

Planta 4 4 3 6 6 45

Demanda 70 = 25 40 70 = 50 35= 5

5

30

40 20

45

25

5 25

30

40 20

45

5 25

30

40 20

45

50

23

Ahora procedemos a multiplicar los nuevos valores asignados (cantidades) por sus

respectivos costos de la tabla inicial.

Variable de decisin Costo x unidad Valor asignado Contribucin total

X1,1 5 25 125

X1,2 2 0 0

X1,3 7 50 350

X1,4 3 5 15

X2,1 3 0 0

X2,2 6 0 0

X2,3 6 0 0

X2,4 1 30 30

X3,1 6 0 0

X3,2 1 40 40

X3,3 2 20 40

X3,4 4 0 0

X4,1 4 45 180

X4,2 3 0 0

X4,3 6 0 0

X4,4 6 0 0

Costo mnimo

Zmin = X1,1 + X1,2 + X1,3 + X1,4 + X2,1 + X2,2 + X2,3 + X2,4 + X3,1 + X3,2 + X3,3 + X3,4 + X4,1 + X4,2 + X4,3 +

X4,4

Zmin = 125 + 0 + 150 + 15 + 0 + 0 + 0 + 30 + 0 + 40 + 40 + 0 + 180 + 0 + 0 + 0 = 780

24

Ejemplo 2.






Detall.

Provee.

1 2 3 4 Oferta

1 10 20 30 20 250

2 20 40 10 20 300

3 10 30 50 30 250

Demanda 150 150 400 100

(a) Determinar el coste mnimo del programa de envo.

Solucin

P\D 1 2 3 4 Oferta

1 10 20 30 20 250= 100

2 20 40 10 20 300

3 10 30 50 30 250= 100

Demanda 150 150 400 =100 100

150

300

150 100

100

25


10 150 1500

10 300 3000

20 150 3000

20 100 2000

50 100 5000

Zmin= 1500 + 3000 + 3000 + 2000 + 5000= $ 14500

26

Mtodo de Vogel

El mtodo de aproximacin de Vogel es un mtodo heurstico utilizado para solucionar

problemas de transporte capaz de alcanzar una solucin bsica no artificial de inicio. Este

requiere la realizacin de un nmero generalmente mayor de iteraciones que los dems

mtodos heursticos existentes con este fin, sin embargo produce mejores resultados

iniciales que los mismos.

Paso 1.

Determinar para cada rengln (columna) una medida de penalizacin restando el

elemento de costo unitario mnimo en el rengln (columna) del elemento con costo

unitario siguiente al mnimo del mismo rengln (columna).

Paso 2.

Identificar el regln o columna con la mayor penalizacin. Romper los empates en forma

arbitraria. Asignar todo lo posible a la variable que tenga el mnimo costo unitario del

rengln o columna seleccionado. Ajustar la oferta y la demanda y tachar el rengln o la

columna ya satisfechos. Si se satisfacen un rengln y una columna en forma simultnea,

slo se tacha uno de los dos y al que queda se le asigna oferta o demanda cero.

Paso 3.

A) Si queda sin tachar exactamente un rengln o columna con cero oferta o demanda,

detenerse.

B) Si queda sin tachar un rengln (columna) con oferta (demanda) positiva, determinar las

variables bsicas en el rengln (columna) con el mtodo de costo mnimo. Detenerse.

C) Si todos los renglones y columnas que no se tacharon tienen cero oferta y demanda

(restante), determinar las variables bsicas cero por el mtodo del costo mnimo.

Detenerse.

D) En cualquier otro caso, seguir en el paso 1.

Ejemplo 1.

Una empresa energtica colombiana dispone de cuatro plantas de generacin para

satisfacer la demanda diaria elctrica en cuatro ciudades, Cali, Bogot, Medelln y

Barranquilla. Las plantas 1, 2,3 y 4 pueden satisfacer 80, 30, 60 y 45 millones de KW al da

respectivamente. Las necesidades de las ciudades de Cali, Bogot, Medelln y Barranquilla

son de 70, 40, 70 y 35 millones de Kw al da respectivamente.

27

Los costos asociados al envo de suministro energtico por cada milln de KW entre cada

planta y cada ciudad son los registrados en la siguiente tabla.

Formule un modelo de programacin lineal que permita satisfacer las necesidades de

todas las ciudades al tiempo que minimice los costos asociados al transporte.

Solucin

El primer paso es determinar las medidas de penalizacin y consignarlas en el tabulado de

costos, tal como se muestra a continuacin.

El paso siguiente es escoger la mayor penalizacin, de esta manera:

28

El paso siguiente es escoger de esta columna el menor valor, y en una tabla paralela se le

asigna la mayor cantidad posible de unidades, podemos observar como el menor costo es

2 y que a esa celda se le pueden asignar como mximo 60 unidades que es la capacidad

de la planta 3.

Dado que la fila de la Planta 3 ya ha asignado toda su capacidad (60 unidades) esta debe

desaparecer.

29

Se ha llegado al final del ciclo, por ende se repite el proceso

30

Iniciamos una nueva iteracin

Continuamos con las iteraciones,

31

Iniciamos otra iteracin

32

Al finalizar esta iteracin podemos observar como el tabulado queda una fila sin tachar y

con valores positivos, por ende asignamos las variables bsicas y hemos concluido el

mtodo.

Los costos asociados a la distribucin son:

33

Ejemplo 2.






Detall.

Provee.

1 2 3 4 Oferta

1 10 20 30 20 250

2 20 40 10 20 300

3 10 30 50 30 250

Demanda 150 150 400 100

(a) Determinar el coste mnimo del programa de envo.

Detall.

Provee.

1 2 3 4 Oferta Penalizacin

1 10 20 30 20 250 10

2 20 40 10 20 300 10

3 10 30 50 30 250 20

Demanda 150 150 400 = 100 100

Penalizacin 0 10 20 0

Nueva iteracin

Detall.

Provee.

1 2 3 4 Oferta Penalizacin

1 10 20 30 20 250 = 150 10

3 10 30 50 30 250 20

Demanda 150 150 100 100

Penalizacin 0 10 20 10

300

100

34

Nueva iteracin

Detall.

Provee.

1 2 4 Oferta Penalizacin

1 10 20 20 150 10

3 10 30 30 250 = 100 20

Demanda 150 150 100

Penalizacin 0 10 10

Nueva iteracin

Detall.

Provee.

2 4 Oferta Penalizacin

1 20 20 150 = 0 0

3 30 30 100 0

Demanda 150 100

Penalizacin 10 10

Nueva iteracin

Detall.

Provee.

4 Oferta Penalizacin

1 20 0 20

3 30 100 30

Demanda 100 = 0

Penalizacin 10

Nueva iteracin

Detall.

Provee.

4 Oferta Penalizacin

1 20 0 20

Demanda 0

Penalizacin 20

150

150

100

0

35


20 150 3000

30 100 3000

10 300 3000

10 150 1500

30 100 3000

= 3000+3000+3000+1500+3000 = 13500

36

Mtodo de Russel

El mtodo de Russell es un mtodo para encontrar la solucin inicial de un problema de

transporte de programacin lineal. De los mtodos analizados, es el mtodo ms preciso a

la hora de encontrar una solucin inicial ptima. No obstante, en ocasiones prefiere

utilizarse un mtodo menos ptimo pues se prefiere realizar menos clculos y sacrificar un

poco la cercana a la solucin ptima.

Paso 1.

Para cada fila y cada columna, determina los valores AI y BJ respectivamente. Estos

valores corresponden al valor mximo de CIJ en la columna j-sima y fila i-sima

respectivamente.

Paso 2.

Para cada una de las celdas Cij dela tabla de transporte, determinar el siguiente ndice:

ICIJ=AI+BJ-CIJ

Paso 3.

Seleccionar la celda con mayor ICij. Sobre esta celda se har la asignacin.

Paso 4.

Sea la cantidad de producto a asignar en la celda CIJ = XKM = min (OK, RM)

a) Si OkRM, se calcula la oferta que queda disponible en el origen K, que sera igual a

OK = OK - RM. Ya que la demanda es completamente satisfecha por Ok, se elimina la

columna M.

Paso 5.

Si se tienen (m + n 1) celdas asignadas, aqu termina el problema. Si no, se repite el

procedimiento hasta que queden suficientes celdas asignadas.

Paso 6.

Calcular el costo mnimo consiste en calcular CIJXKM

37

Ejemplo 1.

Se tienen tres distribuidores mayoristas que surten de bicicletas a tres comerciantes

detallistas. Las distancias recorridas entre cada uno de los proveedores y cada uno de los

comerciantes, as como las capacidades de los almacenes y los consumos de los

comerciantes, expresados en lotes de 10 bicicletas cada uno, se detallan en la siguiente

tabla:

Encuentre el numero ptimo de lotes de bicicletas que cada distribuidor debe de suplir a

cada uno de los comerciantes, de tal manera que se minimice la distancia total recorrida

entre distribuidores y comerciantes.

1era iteracin

Paso 1. Para cada fila y cada columna, determina los valores AI y BJ respectivamente. Estos


respectivamente.

Bj 9 10 7

Comerciantes Comerciante 1 Comerciante 2 Comerciante 3 Disponibilidad

Aj Distribuidores Cantidad Costo Cantidad Costo Cantidad Costo

6 Distribuidor 1 2 5 6 35



Requerimiento 30 45 35 110

Paso 2. Para cada una de las celdas Cij dela tabla de transporte, determinar el siguiente

ndice:

ICIJ=AI + BJ - CIJ

38


IC11 = A1+B1-C11 = 9 + 6 2 = 13

IC21 = A2+B1-C21 = 10 + 9 = 5 = 14

IC31 = A3+B1-C31 = 9 + 9 9 = 9

IC12 = A1+B2-C12 = 10 + 6 5 = 11

IC22 = A2+B2-C22 = 10 + 10 10 = 10

IC32 = A3+B2-C32 = 9 + 10 6 = 13

IC13 = A1+B3-C13 = 6 + 7 6 = 7

IC23 = A2+B3-C23 = 10 + 7 7 = 10

IC33 = A3+B3-C33 = 9 + 7 - 4 = 12

La celda con mayor ICIJ es la celda C21, por lo que trabajaremos sobre ella.

Paso 3. Sea la cantidad de producto a asignar en la celda CIJ = XKM = min (OK, RM)

- Debido a que C21 se localiza en la fila K que tiene una oferta de 250 y en la columna

M que tiene una demanda de 150:

XKM = min (OK, RM) = (55, 30)

- La oferta es mayor que la demanda, por lo que se saciar toda la demanda del

comerciante 1.

- La nueva oferta del distribuidor 2 ser O1 = 02 R1 = 55 30 = 25. La demanda del

comerciante uno es 0, por lo que se descartar su columna completa.

Bj -



Distribuidor 1 2 5 6 35

Distribuidor 2 30 5 10 7 25

Distribuidor 3 9 6 4 20

Requerimiento 0 45 35

Paso 4. Si se tienen (m + n 1) celdas asignadas, aqu termina el problema. Si no, se repite

el procedimiento hasta que queden suficientes celdas asignadas.

m + n 1 en este caso es igual a 3 (filas) + 3 (columnas) 1 = 5. Solo hemos asignado

cantidad a 1 celda, o sea que debemos repetir el proceso.

39

2da iteracin



respectivamente.

Bj - 10 7




10 Distribuidor 2 30 5 10 7 25




ndice:

ICIJ=AI + BJ - CIJ


IC12 = A1+B2-C12 = 10 + 6 5 = 11

IC22 = A2+B2-C22 = 10 + 10 10 = 10

IC32 = A3+B2-C32 = 6 + 10 6 = 10

IC13 = A1+B3-C13 = 6 + 7 6 = 7

IC23 = A2+B3-C23 = 10 + 7 7 = 10

IC33 = A3+B3-C33 = 6 + 7 - 4 = 9

La celda con mayor ICij es la celda C12. Se trabajar sobre esta celda.




XKM = min (OK, RM) = (35, 45)

40

- La demanda es mayor que la oferta, por lo que la demanda absorber toda la

oferta del distribuidor 2.

- La nueva demanda de comerciante 2 ser R2 = 02 R1 = 45 35 = 10. La oferta del

distribuidor 2 es 0, por lo que se descartar su fila completa.

Bj - 10 7



- Distribuidor 1 2 35 5 6 0







cantidad a 2 celdas, o sea que debemos repetir el proceso.

3era iteracin



respectivamente.

Bj - 10 7








ndice:

ICIJ=AI + BJ - CIJ


41

IC22 = A2+B2-C22 = 10 + 10 10 = 10

IC32 = A3+B2-C32 = 6 + 10 6 = 10

IC23 = A2+B3-C23 = 10 + 7 7 = 10

IC33 = A3+B3-C33 = 6 + 7 - 4 = 9

Existen 3 celdas con un ICIJ = 10, por lo que escogeremos la de menor costo. En este caso,

seleccionaremos C32.




XKM = min (OK, RM) = (20, 10)

- La oferta es mayor que la demanda, por lo que la demanda ser saciada por la

oferta del distribuidor 3.

- La nueva oferta de comerciante 2 ser O3 = 03 R2 = 20 10 = 10. La demanda del

comerciante 2 es 0, por lo que se descartar columna completa.

Bj - -











42

4ta iteracin

Observemos la tabla:

Bj - -







Se pudiera realizar una 4ta iteracin, pero esta no es necesaria.

Si observamos, el distribuidor 2 solo puede suplirle lotes al comerciante 3. El distribuidor

solo tiene 25 lotes para suplir, o sea que le suple sus lotes al comerciante 3.

Bj - -




Distribuidor 2 30 5 10 25 7 0



Igualmente, vemos que el distribuidor 3 solo puede suplirle sus lotes restantes al

comerciante 3. El comerciante 3 sigue demandando 10 lotes, y el distribuidor 3 tiene

exactamente 10 lotes, por lo que se los suple.

Bj - -






Requerimiento 0 0 0

NOTA: La suma de las columnas debe ser igual a las demandas establecidas al inicio del

problema. La suma de las filas debe ser igual a las disponibilidades establecidas al inicio

del problema.

43

Luego de que ya tenemos nuestra tabla optimizada. Hacemos el clculo de z:

Z= CIJ XKM


5 30 150

5 35 175

6 10 60

7 25 175

4 10 40

Nuestra Z ptima (costo ptimo) sera:

Zmn = 30 (5) + 35 (5) + 10 (6) + 25 (7) + 10 (4)

Zmn = 150 + 175 + 60 + 175 + 40

Zmn = 600

Igualmente podemos ver que la condicin de que la cantidad de celdas llenas debe ser

igual a (m + n 1) se cumple.

44

Ejemplo 2.

1ra iteracin



respectivamente.

Bj 20 40 50 30

Detallistas Detallista 1 Detallista 2 Detallista 3 Detallista 4 Disponibilidad

Aj Proveedores Cantidad Costo Cantidad Costo Cantidad Costo Cantidad Costo

30 Proveedor 1 10 20 30 20 250

40 Proveedor 2 20 40 10 20 300

50 Proveedor 3 10 30 50 30 250

Demanda Semanal

150 150 400 100 800


ndice:

ICIJ=AI + BJ - CIJ


IC11 = A1+B1-C11 = 30 + 20 10 = 40

IC21 = A2+B1-C21 = 40 + 20 20 = 40

IC31 = A3+B1-C31 = 50 + 20 10 = 60

IC12 = A1+B2-C12 = 30 + 40 20 = 50

IC22 = A2+B2-C22 = 40 + 40 40 = 40

IC32 = A3+B2-C32 = 50 + 40 30 = 60

IC13 = A1+B3-C13 = 30 + 50 30 = 50

IC23 = A2+B3-C23 = 40 + 50 10 = 80

IC33 = A3+B3-C33 = 50 + 50 50 = 50

IC14 = A1+B4-C14 = 30 + 30 20 = 40

IC24 = A2+B4-C24 = 40 + 30 20 = 50

IC34 = A3+B4-C34 = 50 + 30 30 =50

Celda con mayor ICIJ= C23. Se trabajar sobre esa celda.


45



XKM = min (OK, RM) = (300, 400)

- Debido a que la demanda es mayor que la oferta, la oferta aqu es completamente

absorbida por la demanda, y la nueva demanda de ese detallista 1 sera R3 = RM -

Ok = 400 300 = 100.

- La oferta del proveedor 2 sera O2 = 0. Debido a que ese proveedor no tiene ms

oferta disponible, se descarta su fila completa

Bj



Proveedor 1 10 20 30 20 250

- Proveedor 2 20 40 300 10 20 0

Proveedor 3 10 30 50 30 250

Demanda Semanal

150 150 100 100 800




cantidad a una celda, o sea que debemos repetir el proceso.

2da Iteracin



respectivamente.

Bj 10 30 50 30

46



30 Proveedor 1 10 20 30 20 250

- Proveedor 2 20 40 300 10 20 0

50 Proveedor 3 10 30 50 30 250

Demanda Semanal

150 150 100 100 800

A2 no se calcula ya que la O2 = 0.


ndice:

ICIJ=AI+BJ-CIJ


IC11 = A1+B1-C11 = 30 + 10 10 = 40

IC31 = A3+B1-C31 = 50 + 10 10 = 50

IC12 = A1+B2-C12 = 30 + 30 20 = 40

IC32 = A3+B2-C32 = 50 + 30 30 = 50

IC13 = A1+B3-C13 = 30 + 50 30 = 50

IC33 = A3+B3-C33 = 50 + 50 50 = 50

IC14 = A1+B4-C14 = 30 + 30 20= 40

IC34 = A3+B4-C34 = 50 + 30 30 = 50

Existen 5 celdas con su ICIJ = 50. Debido a esto, se selecciona la celda con el menor costo

por unidad. En este caso, se seleccionar la celda C31.




-

XKM = min (OK, RM) = (250, 150)

- Debido a que la oferta es mayor que la demanda, la demanda aqu es

completamente saciada por la oferta, y la nueva oferta del proveedor 1 sera Ok =

Ok - RM = 250 150 = 100.

47

- La oferta del proveedor 3 O3 = 100. Debido a que ese detallista no tiene que

demandar ms, se descarta su columna completa.

Bj -



Proveedor 1 10 20 30 20 250

- Proveedor 2 20 40 300 10 20 0

Proveedor 3 150 10 30 50 30 100

Demanda Semanal

0 150 100 100 800





3ra Iteracin



respectivamente.

Bj - 30 50 30



30 Proveedor 1 10 20 30 20 250

- Proveedor 2 20 40 300 10 20 0

50 Proveedor 3 150 10 30 50 30 100

Demanda Semanal

0 150 100 100 800

48

IC12 = A1+B2-C12 = 30 + 30 20 = 40

IC32 = A3+B2-C32 = 50 + 30 30 = 50

IC13 = A1+B3-C13 = 30 + 50 30 = 50

IC33 = A3+B3-C33 = 50 + 50 50 = 50

IC14 = A1+B4-C14 = 30 + 30 20= 40

IC34 = A3+B4-C34 = 50 + 30 30 = 50

Existen 4 celdas con su ICIJ = 50. Debido a esto, se selecciona la celda con el menor costo

por unidad.

Existen 3 de las 4 celdas con igual costo, en este caso se selecciona la celda que estn la

columna del detallista con la mayor demanda.

En este caso, se seleccionar la celda C32.




XKM = min (OK, RM) = (100, 150)

- Debido a que la demanda es mayor que la oferta, la oferta ser absorbida

completamente por la demanda. La nueva demanda del detallista 2 sera R2 = RM -

Ok = 150 100 = 50.

- La oferta del proveedor 3 sera O3 = 0. Debido a que ese ofertante no tiene qu

ofrecer, se descarta su fila completa.

Bj -



Proveedor 1 10 20 30 20 250

- Proveedor 2 20 40 300 10 20 0

- Proveedor 3 150 10 100 30 50 30 0

Demanda Semanal

0 50 100 100 800

49





4ta Iteracin

Observemos la tabla:

Bj -



Proveedor 1 10 20 30 20 250

- Proveedor 2 20 40 300 10 20 0

- Proveedor 3 150 10 100 30 50 30 0

Demanda Semanal

0 50 100 100 800

Se pudiera realizar una cuarta iteracin, pero esta no es necesaria.

El detallista 2 demanda 50 unidades, que slo pueden ser provistas por el proveedor 1.

Entonces el proveedor 1 se las provee. La demanda del detallista 2 es saciada y la oferta

del proveedor 1 se reduce de 250 a 50.

Bj - -

Detallistas Detallista 1 Detallista 2 Detallista 3 Detallista 4 Disp.


Proveedor 1 10 50 20 30 20 200

- Proveedor 2 20 40 300 10 20 0

- Proveedor 3 150 10 100 30 50 30 0

Demanda Semanal

0 0 100 100 800

Igualmente, vemos que el detallista 3 demanda 100 unidades que slo pueden ser

provistas por el proveedor 1. Este se las provee, por lo que la demanda del detallista 3 se

reduce a 0 y la oferta del proveedor 1 se reduce a 100.

50

Bj - -



Proveedor 1 10 50 20 100 30 100 20 100

- Proveedor 2 20 40 300 10 20 0

- Proveedor 3 150 10 100 30 50 30 0

Demanda Semanal

0 0 0 100 800

Igualmente, vemos que el detallista 4 demanda 100 unidades que slo pueden ser

provistas por el proveedor 1. Este se las provee, por lo que la demanda del detallista 3 se

reduce a 0 y la oferta del proveedor 1 se reduce a 0.

Bj - -



Proveedor 1 10 50 20 100 30 100 20 0

- Proveedor 2 20 40 300 10 20 0

- Proveedor 3 150 10 100 30 50 30 0

Demanda Semanal

0 0 0 0

NOTA: La suma de las columnas debe ser igual a las demandas establecidas al inicio del

problema. La suma de las filas debe ser igual a las disponibilidades establecidas al inicio

del problema.

Luego de que ya tenemos nuestra tabla optimizada. Hacemos el clculo de z:

Z= CIJ XKM


10 150 1500

20 50 1000

30 100 3000

30 100 3000

30 100 3000

20 100 2000

51

Nuestra Z ptima (costo ptimo) sera:

Z = 150 (10) + 50 (20) + 100 (30) + 100 (30) + 100 (30) + 100 (20)

Z = 1500 + 1000 + 3000 + 3000 + 3000 + 2000

Zmn = 13500

Igualmente podemos ver que la condicin de que la cantidad de celdas llenas debe ser

igual a (m + n 1) se cumple.

52

Conclusin

El modelo de transporte es una de las aplicaciones de la programacin lineal y es un

modelo comnmente utilizado para alcanzar diferentes objetivos, ya sea para minimizar el

costo total o la distancia del trasporte desde diferentes orgenes hasta diferentes

destinos, o para maximizar la contribucin total de la utilidad por realizar dicho

transporte.

Aunque existen diversos mtodos para incurrir a una solucin inicial del problema, existen

cuatro que fueron tratados en el trabajo, el mtodo de la Esquina Noroeste, el Mtodo del

Costo Mnimo, el mtodo de Vogel, y posteriormente, el mtodo de Russell. El primero es

el ms sencillo. La ventaja de este es que nos permite realizar los clculos a mano y

rpidamente pero los resultados obtenidos no son los ms ptimos. El del Costo Mnimo y

el de Vogel son los siguientes en cuanto a dificultad y mejores resultados obtenidos. Al

solucionar un problema por estos tres mtodos podemos observar que Zmn va

disminuyendo acercndonos al valor ms ptimo. El ltimo requiere de ms clculos, sin

embargo es el ms cercano a la realidad y por ende nos proporciona un mejor resultado.

La clave del modelo de transporte est en lograr una distribucin ptima de los productos

a los diferentes destinos, tomando en cuenta que todas las demandas deben satisfacerse

y todas las ofertas deben distribuirse en los diferentes destinos.

53

Bibliografa

Casuso, R. (1993). Programacin lineal y decisiones econmicas. Caracas.

Editorial Exlibris.

Hiller, F.; Liebermang, G. (1997). Introduccin a la Investigacin de

operaciones. Mxico. Mc Graw-Hill.

Taha, H. Investigacin de operaciones. Alfaomega

http://www.ingenieriaindustrialonline.com/herramientas-para-el-ingeniero-

industrial/investigaci%C3%B3n-de-operaciones/m%C3%A9todo-del-costo-

m%C3%ADnimo/

http://www.ingenieriaindustrialonline.com/herramientas-para-el-ingeniero-

industrial/investigaci%C3%B3n-de-operaciones/m%C3%A9todo-de-

aproximaci%C3%B3n-de-vogel/

http://invdoperaciones.wordpress.com/definicion/

http://invdoperaciones.wordpress.com/metodo-esquina-noroeste/

http://www.nebrija.es/~mrubio/ejercicios/ptransp.pdf

Documents

El Problema Del Transporte