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Taller Vertical de Matemática Nº 2 “Enrich-Creus-Carnicero” Autoría y recopilación: Ing. Rosa Enrich, Arq. Gustavo Fornari, Arq. Andrea Carnicero.

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El programa arquitectónico Uno de los problemas más significativos que enfrenta todo arquitecto en la reconstrucción

compleja de su objeto final, es la de trazar una serie de rutas con la cual constituir un camino

desde el programa arquitectónico hasta el objeto deseado. Éste se definiría como la búsqueda

previa e intencional del arquitecto, de todos los elementos, relaciones y sistemas que

aseguren alcanzar su finalidad en la producción de los espacios habitables, permitiendo la

plena satisfacción de los niveles de vida de la sociedad y de la optimización de los recursos

disponibles.

Muchos arquitectos han utilizado y aplicado la teoría de conjuntos y sistemas, así como la de

grafos. Desarrollaron técnicas especiales en la elaboración de croquis, diagramas y cuadros

de interrelaciones. Este es un método de "estructuración" en el que el dato se excluye de toda

teoría o carga ideológica y sensible para fijar su atención en su componente lógico-matemático

y procesarla mediante métodos electrónicos o estadísticos.

Este método utilizado se basa fundamentalmente en la observación del comportamiento para

llegar a una síntesis formal, esto es a conclusiones objetivas a partir de estas observaciones.

Actualmente, la preocupación esencial pasa por el desarrollo de nuevos aspectos teóricos a

los cuales se pueda recurrir eventualmente en demanda de los instrumentos idóneos para

resolver problemas puntuales y determinados.

En este trabajo, dentro de este contexto, intentaremos armar métodos de resolución

satisfactorios que nos permitan alcanzar nuestro fin de la manera más óptima y con la mejor

calidad.

Aplicación de la teoría de grafos Con su aplicación, clarificaremos las ventajas, puntos críticos y desventajas que puede

presentar la obra arquitectónica, en lo referente a sus sistemas y sub-sistemas (por ejemplo el

funcional-circulatorio, el de relaciones, las conexiones visuales, las acústicas o de adyacencia

y vecindad).

“Esta metodología puede ser aplicada a todo tipo de edificios. Usando este sistema de

análisis, en las primeras instancias del proyecto, podrían evitarse situaciones indeseables

generadas por una falta de sistematización clarificadora en el proceso de diseño, que se torna

más necesaria, cuanto más elevada es la complejidad del edificio en desarrollo." Vera

Spinadel y otros.

Hacia una formalización de conceptos En Matemática se describen las condiciones topológicas como aquéllas que no varían si se

deforma una figura o cuerpo elástico, estirándolo y doblándolo pero sin hacerle cortes, ni

agujeros ni pegar sus partes entre sí. Estas condiciones dan lugar a una compleja teoría. En el

Recopilación Teórica 1 Grafos

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caso de los espacios arquitectónicos, las cualidades topológicas se corresponden con las

condiciones de poseer límites comunes, de ser o no exteriores, la cantidad de espacios con

que limita o se comunica un lugar, las posiciones relativas de perimetralidad o centralización y

la interposición de un espacio con respecto a otros. Así, por ejemplo, si se solicitara la

construcción de dos locales (A y B) en la planta baja de un edificio que tuvieran comunicación

con el hall (H) del mismo y entre sí, la representación de estas condiciones topológicas podría

ser la que se indica en el recuadro de la derecha. El gráfico de la izquierda muestra el croquis

del hall y los locales.

A, B y H son puntos (vértices) que

representan a cada uno de los espacios

y r, m y s son líneas (aristas) que los

unen y representan las comunicaciones

entre ellos.

Este tipo de representación se denomina GRAFO y está formada por un conjunto finito de

vértices y un conjunto finito de aristas de modo tal que existe una determinada condición que

determina la presencia de cada arista uniendo a un par de vértices.

La Teoría de Grafos, constituye un modelo matemático apropiado y accesible para el estudio

de los problemas de organización de espacios arquitectónicos o urbanos; en especial se

adapta muy eficazmente al análisis de las cualidades referentes a la función mecánica

elemental (adaptándose muy especialmente a la investigación de los problemas topológicos y

circulatorios), tanto en la formulación de un marco teórico que acreciente su comprensión

como en la resolución de problemas concretos del diseño y en el desarrollo de técnicas

analíticas aplicables en los campos de crítica y de la historia.

El objetivo de este texto es que ustedes dispongan de los conceptos básicos de la teoría de

grafos, que se consideran de utilidad para diversas situaciones arquitectónicas. La práctica

arquitectónica futura determinará si es necesario profundizar en el estudio de esta teoría. Para

ello, encontrarán al final datos de bibliografía específica.

Veamos entonces, dichos conceptos.

El grafo y sus elementos

Definición de Grafo: Se llama grafo G a una terna (V , A , φ) en la que V es un conjunto finito de puntos (vértices), A es un conjunto finito de líneas (aristas) y φ es una aplicación que asocia a cada elemento de A un par de elementos de V.

Para nuestro ejemplo del croquis: V = { A , B , H } y A = { r , m , s } , siendo φ la aplicación

que determina que dos vértices están unidos por una arista si hay una puerta entre los

ambientes que los vértices representan.

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Formas de representación de un grafo

Hay muchas maneras de representar un grafo. Son ellas: matrices, rejillas, diagramas de

puntos vinculados por líneas -usualmente conocido como diagrama de vértices- y diagramas

de regiones. Vértices y aristas tienen, en cada caso, distinto modo de representación.

Tomemos como ejemplo el grafo de la página anterior:

Diagrama de vértices y aristas (no

tienen por qué ser rectilíneas)

Diagrama de regiones: suelen indicar

vecindad.

Matrices de adyacencia es una matriz

binaria (sus elementos son unos y ceros)

y cuadrada (filas y columnas representan

a los vértices). Los ceros indican que no

hay arista entre esos vértices y los unos

que sí la hay. Para nuestro ejemplo sería:

A B H

0 1 1 A

1 0 1 B

1 1 0 H

Matrices de incidencia es una matriz

binaria (sus elementos son unos y ceros).

Sus columnas representan a los vértices y

sus filas a las aristas. Los unos indican que

la arista incide en ese vértice. No tienen por

qué ser cuadradas

A B H

1 1 0 m

1 0 1 r

0 1 1 s

Rejilla de adyacencia: es una tabla de

doble entrada. En lugar de unos y ceros,

las relaciones se señalan con x. Es

siempre cuadrada, las cruces señalan

aristas

A B H

X X A

X X B

X X H

Rejilla de incidencia es una tabla de doble

entrada. En lugar de unos y ceros, las

relaciones se señalan con x. No tiene por

qué ser cuadrada, las cruces señalan vértice

y aristas incidentes.

A B H

X X m

X X r

X X s

Casi un Glosario

Es necesario que, antes de avanzar con los tipos de representaciones, nos pongamos de

acuerdo en algunas cuestiones relacionadas con los grafos.

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En principio, acordemos en nombrar los vértices con letras mayúsculas y las aristas con

minúsculas.

Sobre características y denominaciones especiales de sus elementos

Un vértice y una arista se dicen incidentes si el vértice es uno de los extremos de la arista.

Dos vértices son adyacentes si son extremos de una arista.

Dos aristas son adyacentes si tienen un vértice en común.

Grado de un vértice: es el número de aristas que inciden en él.

Un vértice es aislado si su grado es cero.

Un vértice es pendiente si su grado es uno.

Arista simple: es la única unión entre un par de vértices.

Aristas múltiples: son aquellas que tienen por extremos a los mismos vértices.

Lazos: son aristas cuyos extremos coinciden en un mismo vértice.

Cadena o camino: es una sucesión de aristas adyacentes. Su longitud está dada por la

cantidad de aristas que contiene.

Ciclo: es una cadena en la que el vértice inicial coincide con el vértice final y no se repite

ningún vértice intermedio. Su longitud está dada por la cantidad de aristas que contiene.

Un ciclo es máximo cuando contiene la mayor cantidad posible de aristas y es mínimo si su

longitud es la menor posible.

Así, por ejemplo, para el siguiente grafo:

Recordá que las letras mayúsculas denotan vértices y las minúsculas, aristas.

- F y d son incidentes.

- Los vértices B y C son adyacentes.

- Las aristas a, p y q también son adyacentes.

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- A tiene grado 6; B, D y E tienen grado 5; F es un vértice pendiente y G es un vértice aislado.

- a, b, c, d y e son aristas simples. - m, n y o forman una arista triple o 3-múltiple y p y q constituyen una arista doble o

2-múltiple. - t es un lazo y r y s constituyen un lazo múltiple. - La sucesión de aristas d a b es una cadena de longitud 3. - La sucesión de aristas c b p es un ciclo de longitud 3.

Sobre los tipos de grafos

Grafo vacío: es el que no tiene aristas pero sí vértices. Es decir, todos sus vértices son aislados.

Grafo sencillo: es aquél que no tiene

aristas múltiples ni lazos.

Grafo k-regular: es aquel en el que todos sus vértices tienen el mismo grado k.

Grafo completo de n vértices: es un grafo sencillo de n vértices en el que todo par de vértices determina una arista.

En los grafos completos, todos los vértices son de grado n – 1 y el número de aristas

del grafo es 2

)1n(nn

(Verificarlo con

un ejemplo).

Grafo complemento de G: es un grafo CG

tal que tiene los mismos vértices que G y sus aristas son las que le faltan a G para ser un grafo completo (que todo par de vértices determine una arista).

Grafo 2-regular

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Subgrafo de G: es todo grafo S cuyos vértices y aristas están incluidas en los conjuntos de vértices y aristas de A y la aplicación φ´ de S es una restricción de la aplicación φ de G. En especial se distinguen tres tipos de subgrafos:

Fig. b. Subgrafo restante respecto de un vértice (se elimina el vértice y las aristas que en él inciden). En este ejemplo es restante respecto del vértice T.

Fig. c. Subgrafo restante respecto de una arista (se elimina la arista). En este ejemplo es restante respecto de la arista ST.

Fig.d. Subgrafo generado por un subconjunto cualquiera de V(G) con las aristas que inciden en esos vértices en G.

Grafos isomorfos: son aquellos en los

que existe correspondencia biunívoca entre sus vértices y sus aristas y además en ambos se mantiene la misma aplicación φ.

Tienen igual cantidad de vértices y de aristas y se conservan las relaciones de adyacencia entre aristas como en los grafos de las figuras de al lado.

Grafo conexo: es aquel en el que se

puede pasar de un vértice a otro cualquiera del grafo recorriendo un camino.

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Grafo plano: es aquél para el que existe una representación bidimensional en el que no haya aristas que se crucen obligadamente. Un grafo aparentemente no plano tiene al menos una representación isomorfa en la que se confirma que es plano.

Grafo no plano: en estos grafos siempre hay al menos un par de aristas que se cruzan cuando se intenta una representación bidimensional.

En la fig. a se muestra el grafo de 5 vértices en el que cada uno de ellos está vinculado con los restantes. Es un grafo regular, no plano que se denomina K 5.

En la fig. b se muestra el correspondiente al problema de las tres casas y las tres utilidades. Es regular y no plano.

Ambos fueron usados por Kuratovski, matemático polaco que en 1930 enunció el teorema sobre grafos no planos.

Grafo dirigido o dígrafo: es un grafo en el que las aristas se definen por un par ordenado de vértices. Conceptualmente esto significa que la aplicación que define al grafo es un subconjunto del producto cartesiano V x V, siendo V el conjunto de vértices.

Grafo poligonal: Es un grafo plano conexo que es reunión de ciclos y tal que existe un ciclo máximo y un ciclo mínimo.

Sobre los grafos poligonales

En los grafos poligonales, el interior de cada ciclo se llama cara y se supone que la parte

infinita exterior que rodea al grafo es una cara, la cara del infinito y tiene como limitante el ciclo

máximo también llamado polígono envolvente.

En todos los grafos poligonales, es posible verificar la Fórmula de Euler:

Fig. a - K5 Fig. b - K3.3

Ciclo máximo: ABCDEA

Ciclo mínimo: ABEA

Si no existiera la arista BE, el ciclo máximo y el mínimo coincidirían.

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C + V – A = 2

Donde C es el número de caras (incluyendo la del infinito); V es el número de vértices y A es

el número de aristas.

Para verificar si un grafo es poligonal se cuentan sus vértices, sus aristas y sus caras,

incluyendo la del infinito y se aplica la fórmula de Euler.

Ejemplo:

Con respecto al uso de los grafos en situaciones arquitectónicas

Imaginemos un tema cualquiera de diseño arquitectónico para el cual han sido definidos un

conjunto de lugares o áreas de uso y un conjunto de relaciones de vecindad entre pares de

esos lugares. Un conjunto de objetos y relaciones entre pares de objetos como el descrito

coincide con el concepto matemático de grafo que acabamos de ver. Los vértices

representarán lugares, y la aplicación de incidencia será la relación de vecindad señalada que

se pondrá de manifiesto en las aristas que vinculan a los vértices. Si la aplicación fuera “que

se pueda transitar entre los locales”, cada arista representaría una comunicación entre lugares

Las restricciones que pudieran hacerse como, por ejemplo, relaciones de no-vecindad entre

determinados lugares podría definir otro tipo de grafo adonde los vértices serían los mismos

pero las aristas representarían vecindades no-deseables o indeseables. Incluso podría

hablarse de vecindades indiferentes. De considerar estas tres condiciones se obtendrían tres

grafos complementarios ya que su superposición daría lugar a un grafo completo.

Aplicación de los Diagramas de vértices y de regiones

Básicamente, los grafos pueden aplicarse de dos maneras diferentes en la representación

arquitectónica sencilla:

1. Diagramas de vértices: en los cuales los vértices del grafo representan espacios o áreas

de uso y las aristas indican vínculos (por ejemplo, fronteras o comunicaciones) entre esas

áreas.

2. Diagramas de regiones: en los cuales las regiones del grafo se corresponden con

regiones del proyecto, las aristas son límites o fronteras y los vértices son puntos de

confluencia de fronteras.

Caras: C = 5

Vértices: V = 6

Aristas: A = 9

Entonces: 5 + 6 – 9 = 2

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Los diagramas de vértices se corresponden aproximadamente, con los organigramas que

utilizan los arquitectos en las primeras etapas del proyecto y los diagramas de regiones no

difieren demasiado de las plantas de los edificios dibujadas con muy poca definición y algo

deformes. El diagrama de regiones de un edificio es isomorfo a su planta.

Ejemplo:

En la planta se señalan la cocina (K); el comedor (C); los dormitorios (D1 y D2), el baño (B) y el

paso (P).

Construyamos el diagrama de vértices que muestra las adyacencias y el diagrama de

regiones.

Diagrama de vértices

Los vértices representan espacios y

las aristas vecindad o adyacencia.

Este grafo es poligonal pues en él se verifica la fórmula de Euler:

C = 5 ; V = 7 ; A = 10 5 + 7 – 10 = 2

Un esquema posible para el diagrama de regiones es el siguiente:

Diagrama de regiones

Las aristas representan muros

entre los espacios, los vértices

indican confluencia de muros y las

caras representan a los espacios.

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Grafos Eulerianos y Hamiltonianos

La Teoría de Grafos permite el abordaje de problemas relativos a recorridos en los que se

intenta recorrer todas las aristas de un grafo sin repetirlas o, en otros casos, conectar todos los

vértices.

Grafos eulerianos

El primero de los casos corresponde a los grafos eulerianos. Estos son grafos en los que es

posible recorrer todas las aristas de un solo trazo sin pasar más de una vez por ninguna de

ellas.

El nombre de este tipo de grafos proviene del famoso matemático Euler, quien fue el primero

en estudiarlos para resolver el siguiente problema:

Los puentes de Königsberg: La ciudad alemana de Königsberg fue famosa por sus siete

puentes sobre el río Pregel que unen las dos orillas del río con dos islas y conectaban las islas

entre sí, como muestra la figura:

Cuentan que el alcalde del lugar propuso un desafío: recorrer los siete puentes sin pasar más

de una vez por el mismo puente. Cuentan también que el desafío resultaba interesante porque

el alcalde ofreció como recompensa a quien lo lograra: la mano de su hija.

Euler enfocó el problema representando cada parte de tierra por un punto y cada puente por

una línea, uniendo los puntos que se corresponden. Entonces, el problema anterior se puede

trasladar a la siguiente pregunta: ¿se puede recorrer el dibujo sin repetir las líneas?

Euler demostró que no era posible puesto que el

número de líneas que inciden en cada punto no es

par (condición necesaria para entrar y salir de cada

punto, y para regresar al punto de partida, por

caminos distintos en todo momento).

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En teoría de grafos esta idea se corresponde con la posibilidad de encontrar un ciclo euleriano

en un grafo, llamado así en su honor ya que fue él quien demostró que encontrar este tipo de

recorridos, consistentes en pasar por todas las aristas del grafo sin repetir ninguna de ellas,

sólo es posible en dos casos:

(I) Cuando el grafo tiene todos los vértices de grado par. En este caso el grafo se denomina

grafo euleriano general y el vértice de llegada coincide con el de salida.

(II) Cuando el grafo tiene dos vértices de grado impar. En este caso el grafo se denomina

grafo euleriano restringido y el vértice de llegada y el de salida son los de grado impar.

Por lo tanto, como el grafo que representa la situación de los puentes de Königsberg tiene más

de dos vértices de grado impar, es imposible realizar el recorrido propuesto.

Seguramente, este tipo de desafíos nos resultan conocidos, aunque nunca hubieras

sospechado que su resolución estuviera relacionada con modelos matemáticos. Este tipo de

recorridos es el que deben seguir por ejemplo los camiones de la compañía de limpieza de

calles de una ciudad.

Grafos hamiltonianos

Se llaman hamiltonianos aquellos grafos en los que es posible recorrer todos sus vértices, sin

pasar más de una vez por cada uno, aunque queden aristas sin recorrer. Se llaman generales

si finaliza en el vértice inicial y restringido cuando no finaliza en el vértice inicial.

Este tipo de recorridos resulta de interés, por ejemplo, para planificar el reparto de bebidas en

comercios o para un viajante que debe recorrer distintos pueblos, entre otros casos, utilizando

recorridos mínimos, por eso la necesidad de “recorrer” cada artista sólo una vez.

Por ejemplo, en un museo grande (al estilo del Louvre sería óptimo recorrer todas las salas

una sola vez. Diseñar un recorrido así implica es buscar un ciclo hamiltoniano en el grafo que

representa el museo (los vértices son las salas, y las aristas los corredores o puertas entre

ellas).

A veces se habla de camino o recorrido hamiltoniano a dicho recorrido.

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Recorrido hamiltoniano general: 1, 2, 3, 4, 5, 9, 8, 7, 6, 1

Recorrido hamiltoniano restringido: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

La figura que sigue, muestra un camino o recorrido hamiltoniano en el grafo del dodecaedro

¿Qué tipo de camino es? ¿Es el único?

Bibliografía:

Biggs, N. Matemática Discreta. Vicens Vives. Madrid. 1994.

Harary, F. Teoría de Grafos. Addison –Wesley Iberoamericana. México. 1969.

Notoli, H. Grafos. Aplicación a la Arquitectura y el Diseño. Editorial de Belgrano. Buenos Aires 1997.

Spinadel, V. y otros. Notas de Matemática EUDEBA. Buenos Aires. 1995.