Pablo Medina Cofré

24-08-2010

EL57A EL57A –– SISTEMAS ELSISTEMAS ELÉÉCTRICOSCTRICOSDE POTENCIA IDE POTENCIA I

Herramientas matemáticas.

• En general, en ingeniería podemos separar el estudio de los fenómenos en:– Régimen permanente.– Transitorios.

• Un buen conocimiento del régimen permanente es necesario, ya que la mayor parte del tiempo los sistemas operan ahí.

• Herramientas de cálculo simples, que permitan aprovechar el hecho de que d/dt=0 o que se tienen “sistemas harmónicos”, son muy necesarias.

El root mean square.

• Para una función f(t) en el intervalo [to,to+T], se define el valor medio cuadrático (RMS) como:

( )0

0

21t T

t

f f t dtT

+

= ∫

• Para una función sinusoidal de amplitud A y período T=1/(2πf)

( )12

2 2

0

1cos 2

12

f

f A ft dt

f

π

ππ

= =∫2

A

( ) ( )2 1 1cos 2

2 4u sen u= +

• En electricidad, a la amplitud se le llama “valor efectivo”. Luego:

2

ef

RMS

VV =

El root mean square.

• Si se calcula la energía disipada por la resistencia del circuito en un ciclo:

( )( )

( ) ( ) ( )( )2 2cos cosef efV t V t

i t p t v t i tR R

ω ω= ⇒ = =

( ) ( ) ( )1 1

22 2

2 2

0 0

1 1cos

2

f f

ef

ef

VE t p t dt V t dt

R R

π π

ω= = = ⋅ =∫ ∫2

RMSV

R

• El VRMS de la fuente alterna es el voltaje de una fuente continua que entrega la misma energía a la resistencia durante un ciclo.

( )cosefV tω

2ef

RMS

VV =

Transformada fasorial.

• Motivación: calcular la tensión del condensador:

( ) ( ) ( )2 cosRMS c c

dV t RC v t v t

dtω ϕ+ = +

( )cosefV tω

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )2 2 2 2

2 cos sin1 0

11

cef

c

V s

RC s ss

v

sV

RC R

s

C

ϕ ω ϕ

ω ω

⋅ −

+ + ++

+=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

cos sin2 1 0ef c c

sV sRC V s RCv

s s

ϕ ω ϕω ω

− = + − + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ){ } ( ) ( )2 2 2 2

cos cos cos sin sin /

cos cos sin

t t t L

sL t

s s

ω ϕ ω ϕ ω ϕ

ωω ϕ ϕ ϕ

ω ω

+ = −

+ = −+ +

Transformada fasorial.

• En sistemas de potencia, interesa mucho saber el comportamiento en régimen permanente sinusoidal.

– En el caso del condensador, si t es “grande”, el término en verde(respuesta a entrada cero) desaparece.

– El término en rojo, en el dominio del tiempo, tiene una componente transiente y otra harmónica.

• Por lo tanto, sería conveniente contar con una herramienta que permita calcular la respuesta de régimen permanente, despreciando los términos transitorios.

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )2 2 2 2

2 cos sin1 0

11

cef

c

V s

RC s ss

v

sV

RC R

s

C

ϕ ω ϕ

ω ω

⋅ −

+ + ++

+=

Transformada fasorial.

( ){ } ( ){ }cos j j t j t

ef RMSF v t F V t V e e Veϕ ω ωω ϕ= + = = &

( ) ( ) ( ){ }{ }

Re 2 cos sin

Re 2

RMS

j t j

RMS

v t V t j t

V e eω ϕ

ω ϕ ω ϕ= + + +

= ⋅

• En una ecuación diferencial, si la función “forzante” es de frecuencia angular ω, las soluciones de estado estable también.

• La transformada fasorial de una función (o fasor) es única para todo t. También se puede ver que es lineal.

• El factor ejωt está siempre presente, razón por la cual suele omitirse. Lo mismo ocurre con el factor raíz de dos.

( ) ( )cosefv t V tω ϕ= +

Transformada fasorial.

• Transformada de la derivada:

( ) ( ){ }2 cos 2 sinef ef

dF V t F V t

dtω ϕ ω ω ϕ + = − +

( )0

12 cos

t

efF V t Vj

ω ϕω

+ =

∫ &

2j

j j t j j t

RMS RMSV e e e j V e eπ

ϕ ω ϕ ωω ω= =

• La derivada “giró” al fasor en 90° y lo multiplicó por ω.

• En términos prácticos, el operador derivada se reemplaza por el operador jω.

• Se propone demostrar que:

( ){ }j F v t j Vω ω= = &( ) cos

2sen t t

πω ϕ ω ϕ

+ = − + +

Transformada fasorial.

• Volviendo a nuestro ejemplo:

( ) ( ) ( )2 cosef c c

dV t RC v t v t

dtω ϕ+ = +

( ) ( ){ } ( ){ }j

RMS c cV e j RC F v t F v tϕ ω= +

( )1 j

c RMSV j RC V e ϕω+ =&

( )( )

( )( )1

2

12 cos tan

1c efv t V RC

RCϕ ω

ω

−= ++

( )( )( )1tan

2

1

1

j RC

c RMSV V eRC

ϕ ω

ω

−+=

+&

Cálculo en p.u.

• Esta materia se estudió en los cursos anteriores.

• Sin embargo, el trabajo en este curso se hace con esta metodología, razón por la cual se analizará al menos el uso de “base trifásica”.

• Motivación: Analizar el circuito de la figura:

IL

Vfn Z

IL

Vfn Z

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]. . . . . .

fn L

ff

V V Z Ohm I A

V p u Z p u I p u

=

⇓

=

3 1

3

3

ff fnb b

b b

V V

S Sφ φ

=

=( )

3

3

1 1 3

2

22

1

33

3

ff L L

ff

ff

fn ff

b

b b b b

b

b

b b

b

b b b

SS V I I

V

V

V VZ

S S S

φ

φ

φ φ φ

φ

= ⇒ =

= = =

Cálculo en p.u.

• Definiendo dos cantidades bases, se tienen las restantes.

• En el curso, V y S serán las bases principales.• El cálculo en p.u. se utiliza porque:

– Evita complicaciones con las unidades– Permite la rápida detección de errores (ej.: en los SEP’s, las tensiones son valores cercanos a uno).

– El trabajo en sistemas con diferentes niveles de tensión se simplifica … no es necesario incorporar “transformadores ideales” a la representación.

• Para que el método “funcione”, la base trifásica de potencia debe ser común para todo el sistema.

Cálculo en p.u.

1 1 1 1

2 1 2 2

ideal

ideal

V Z I V

V Z I V

= +

= − +

& & &

& & &

1 1

1 1 1 2 2 2

2 2

ideal ideal

ideal ideal

V VV Z I V Z I

V V= + +& & & & & &

* *

1 1 2 2ideal idealV I V I=& &

2

1 1

1 1 1 2 2

2 2

ideal ideal

ideal ideal

V VV I Z Z V

V V

= + +

& & & & &

{3

11 2 21 1

11 2 2 11

1

3

3

ideal

ideal

b

totfn fn b

bb b bb

b

S

VV V VI Z

VV V V VI

I

φ

= +& && &

[ ] [ ] [ ] [ ] 121 1 1 2

1 2

. . . . . . . . ideal

ideal

tot bff ff

b

VVV p u I p u Z p u V p u

V V= +& & & &

Si se eligen los voltajes bases de ambos sectores iguales a la relación de vueltas, ¡todo se simplifica!

1idealV

2idealV

1Z 2Z

Potencia activa y reactiva monofásica.

• La potencia instantánea consumida por una carga es:

( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 cos 2 cosrms rmsp t v t i t V t I tω ω ϕ= = +

( ) ( )2 cos cosrms rmsV I t tω ω ϕ= +

( ) ( )...¿ ?

cos cos 2

Constante Conocido

rms rms r

Oscil

ms rms

a al doble de

V I V I t

ω

ϕ ω ϕ= + +1442443 144424443

• Expandiendo el término oscilante:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) cos cos cos 2 sin sin 2rms rms rms rms rms rmsp t V I V I t V I tϕ ϕ ω ϕ ω= + −

( )( ) ( )( ) 1 cos 2 sin 2p t t tP Qω ω= + −

¡Bautizo!

Potencia Activa Potencia Reactiva

Potencia activa y reactiva monofásica.

• Al integrar en un periodo la potencia instantánea:– El primer término nunca es cero, pero oscila.

– El segundo término es cero, por lo que no produce trabajo útil.

• Para probar lo anterior, analizaremos el sistema físico de la derecha. Calcularemos cuál es el trabajo que desarrolla en un ciclo cada componente de la potencia instantánea.

ω

I

( )( ) ( )( ) 1 cos 2 sin 2p t t tP Qω ω= + −

Potencia activa y reactiva monofásica.

• Concepto de potencia compleja:

* cos sinrms rms rms rmsS VI V I jV I P jQϕ ϕ= = + = +& &&

( ){ } ( ){ }( ){ } ( ){ }

2 cos

2 cos

rms rms

j

rms rms

V F v t F V t V

I F i t F I t I e ϕ

ω

ω ϕ

= = =

= = + =

&

&

• La forma de la expresión anterior se debe en parte al uso de valores efectivos en la definición de fasores.

Potencia activa y reactiva trifásica.

• La potencia instantánea en un sistema trifásico es:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 a a b b c cp t v t i t v t i t v t i tφ

= + +

• Si el sistema es equilibrado:

( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )3

cos cos cos 120 cos 1202

cos 120 cos 120rms rms

t t t tp t V I

t tφ

ω ω ϕ ω ω ϕ

ω ω ϕ

− + − ° − − ° + =

+ ° − + °

( ) ( ) ( ) ( ) ( )3

0

3cos cos 2 cos 2 240 cos 240rms rmsp t V I t t tφ

ϕ ω ϕ ω ϕ ω ϕ = + + + + − ° + − + °

14444444444244444444443

( )3

3 cosrms rmsp t V Iφ

ϕ=

Potencia activa y reactiva trifásica.

• La potencia activa es constante y genera trabajo neto no nulo en un ciclo.

• A diferencia del caso monofásico, no tiene “componente reactiva”, pero existe componente reactiva en cada una de las fases.

• Por un asunto de uniformidad, se asume que existe una potencia reactiva trifásica y Q3f=3Q1f

• ¿Qué potencia es esta si no “existe” la potencia reactiva trifásica?

Fuente: ABB