ELASTİK PİEZOELEKTRİK BİR CİSMİN ELEKTRO-TERMOMEKANİK DAVRANIŞI İÇİN

MATEMATİKSEL BİR MODEL

LOKMAN YÜNLÜ

YÜKSEK LİSANS TEZİ MAKİNE EĞİTİMİ ANABİLİM DALI

ISPARTA 2008

T.C. SÜLEYMAN DEMİREL ÜNİVERSİTESİ

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

ELASTİK PİEZOELEKTRİK BİR CİSMİN ELEKTRO-TERMOMEKANİK DAVRANIŞI İÇİN

MATEMATİKSEL BİR MODEL

Lokman YÜNLÜ

Danışman: Yrd. Doç. Dr. Melek USAL

YÜKSEK LİSANS TEZİ MAKİNE EĞİTİMİ ANABİLİMDALI

ISPARTA- 2008

Fen Bilimleri Enstitüsü Müdürlüğüne

Bu çalışma jürimiz tarafından MAKİNE EĞİTİMİ ANABİLİM DALI’ nda oy

birliği/oy çokluğu ile YÜKSEK LİSANS tezi olarak kabul edilmiştir.

Başkan: Yrd. Doç. Dr. Ümran ESENDEMİR

Kurum: Süleyman Demirel Üniversitesi Müh.-Mim. Fakültesi Makine Mühendisliği

Üye: Yrd. Doç. Dr. M. Reşit USAL

Kurum: Süleyman Demirel Üniversitesi Teknik Eğitim Fakültesi Makine Eğitimi

Üye: Yrd. Doç. Dr. Melek USAL (Danışman)

Kurum: Süleyman Demirel Üniversitesi Teknik Eğitim Fakültesi Makine Eğitimi

ONAY

Bu tez 23 / 01 / 2008 tarihinde yapılan tez savunma sınavı sonucunda, yukarıdaki jüri

üyeleri tarafından kabul edilmiştir.

…/…/20…

Prof. Dr. Fatma GÖKTEPE

Enstitü Müdürü

i

İÇİNDEKİLER

Sayfa

İÇİNDEKİLER. .................................................................................................. i

ÖZET .................................................................................................................. iii

ABSTRACT........................................................................................................ iv

TEŞEKKÜR........................................................................................................ v

ŞEKİLLER DİZİNİ............................................................................................. vi

SİMGELER DİZİNİ .......................................................................................... vii

1. GİRİŞ .............................................................................................................. 1

1.1. Sürekli Ortam Modeli .................................................................................. 9

1.2. Sürekli Ortam Hareketi ................................................................................ 10

1.3. Şekil Değiştirme........................................................................................... 12

1.4. Hareket ......................................................................................................... 22

1.4.1. Yay ve Hacim Elemanlarının Maddesel Türevi........................................ 25

1.4.2. Green- Gauss (Diverjans) Teoremi ........................................................... 28

1.5. Elektrostatik Denge Denklemleri................................................................. 32

1.5.1. Yük, Elektrik Alan ve Elektriksel Potansiyel ........................................... 32

1.5.2. Elektriksel Yer Değiştirme – Polarizasyon............................................... 33

1.5.3. Elektrostatiğin Maxwell- Faraday Teorisi ................................................ 34

1.6. Elektro – Termomekanik Denge Denklemleri ............................................ 36

1.6.1. Kütlenin Korunumu .................................................................................. 38

1.6.2. Lineer Momentum Denkliği...................................................................... 39

1.6.3. Açısal Momentum Denkliği...................................................................... 42

1.6.4. Enerji Denkliği .......................................................................................... 46

1.6.5. Termodinamiğin İkinci Kanunu (Clausius – Duhem Eşitsizliği).............. 52

2. KAYNAK ÖZETLERİ ................................................................................... 56

3. MATERYAL VE YÖNTEM .......................................................................... 62

3.1. Materyal ....................................................................................................... 62

3.1.1. Elastik Piezoelektrik Ortamların Termodinamiği ..................................... 62

3.1.2. Bünye Aksiyomları ................................................................................... 68

3.1.2.1. Nedensellik (Kozalite) Aksiyomu.......................................................... 68

3.1.2.2. Determinizm Aksiyomu......................................................................... 68

ii

3.1.2.3. Eşbulunma Aksiyomu ............................................................................ 69

3.1.2.4. Uygunluk Aksiyomu .............................................................................. 69

3.1.2.5. Objektivite Aksiyomu ............................................................................ 69

3.1.2.6. Maddesel Simetri Aksiyomu.................................................................. 71

3.1.2.7. Yöresellik Aksiyomu ............................................................................. 72

3.2. Yöntem......................................................................................................... 79

3.2.1. Anizotropik Ortamlarda Simetrik Gerime ve Polarizasyonun

Bünye Denklemlerinin Tayini................................................................. 79

4. ARAŞTIRMA BULGULARI ......................................................................... 87

4.1. Asimetrik Gerilmenin Tayini ....................................................................... 87

4.2. Yarı-Lineer Teori ......................................................................................... 87

4.2.1. Yarı-Lineer Bünye Denklemlerinin Uzaysal Koordinatlardaki İfadeleri.. 88

4.3. Yarı – Lineer Teoride Asimetrik Gerilmelerin Tayini................................. 92

4.3.1. Maddesel Koordinatlarda.......................................................................... 92

4.3.2. Uzaysal Koordinatlarda............................................................................. 93

5. TARTIŞMA VE SONUÇ ............................................................................... 97

6. KAYNAKLAR ............................................................................................... 99

ÖZGEÇMİŞ ........................................................................................................ 102

iii

ÖZET

Yüksek Lisans Tezi

ELASTİK PİEZOELEKTRİK BİR CİSMİN ELEKTRO-TERMOMEKANİK DAVRANIŞI İÇİN MATEMATİKSEL BİR MODEL

Lokman YÜNLÜ

Süleyman Demirel Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü

Makine Eğitimi Anabilim Dalı

Juri: Yrd. Doç. Dr. M. Reşit USAL Yrd. Doç. Dr. Ümran ESENDEMİR

Yrd. Doç. Dr. Melek USAL (Danışman)

Bu çalışmada elastik piezoelektrik bir cismin elektro-termomekanik davranışı modern sürekli ortamlar mekaniği çerçevesinde sistematik olarak incelenmiştir. Mekaniğin denge kanunları ile tutarlı olan termodinamiğin birinci ve ikinci kanunlarının birleştirilmiş şekli, serbest enerji fonksiyonunun zamana göre maddesel türevi cinsinden ifade edilmiştir. Serbest enerji fonksiyonunun bağımsız değişkenleri; Green deformasyon tansörü ve elektrik alan vektörü olarak belirlenmiştir. Termodinamik kısıtlamaların neticesi olarak serbest enerji fonksiyonunun bir simetrik tansör ile bir polar vektöre bağlı olduğu görülmüştür. Maddesel ortamın malzemeden kaynaklanan esas yapısı itibariyle anizotrop olduğu varsayılmıştır. Maddesel simetri aksiyomu kullanılmış ve ortamın sıkışabilirliği göz önüne alınarak gerilme ve polarizasyona ait bünye denklemleri bulunmuştur. Malzemenin anizotrop olma durumunu dikkate alıp, gerilme potansiyeli yaklaşık teorilerden bulunmuş, mekanik ve elektromekanik etkileşimler nonlineer kabul edilerek seri açılımı yapılmıştır. Bu seri açılımda dikkate alınan terimlerin türü ve sayısı ortamın nonlineerlik mertebesini belirlemiştir. Seri açılımıyla ortaya konulan gerilme potansiyeli bünye denklemlerinde yerine yazılıp deformasyon tansörüne ve elektrik alan vektörüne göre türevi alınarak gerilme ve polarizasyon alanı denklemleri nonlineer formda elde edilmiştir. Elde dilden bünye denklemleriyle problem çözmek zor olacağından dolayı bünye denklemleri belli ölçülerde lineerleştirilmiştir. Elde edilen lineer bünye denklemleri balans denklemlerinde yerlerine konularak alan denklemlerine ulaşılmıştır. ANAHTAR KELİMELER: Piezoelektrik, Polarizasyon, Anizotropi, Bünye Denklemleri, Gerilme, Lineerleştirme, Alan denklemleri.

2008, 102 sayfa

iv

ABSTRACT

M.Sc. Thesis

A MATHEMATICAL MODEL FOR THE ELECTRO-THERMOMECHANICAL BEHAVIOR OF AN ELASTİC PİEZOELECTRIC

BODY

Lokman YÜNLÜ

Süleyman Demirel University School of Applied and Natural Sciences Machine Education Department

Thesis Committee: Asst. Prof. M. Reşit USAL

Asst. Prof. Ümran ESENDEMİR Asst. Prof. Melek USAL (Supervisor)

In this study, in the frame of modern continuum mechanics, the electro-thermomechanical behavior of an elastic piezoelectric body has been systematically studied. Second law of thermodynamics, combined with the fırst law and consistent with mechanical balance laws, has been written in terms of the time rate of free energy function. Its arguments have been furnished with Green deformation tensor and electric field in the reference state. After the thermodynamical constraints, it has been seen that free energy function depends on a symmetric tensor and one polar vectors. The materialistic medium is supposed to be anisotropic due to its main structure sourced from the material. Material symmetry axioms have been used and by considering compressibility of medium constitutive equations of stress and polarization fields have been obtained. Considering the state of being anisotropic of the material, stress potential have been found out from the approximate theories, by being accepted of the mechanical and electro mechanical interactions to be nonlinear, the series expansion has been done. The kind and number of terms, in this series expansion, determine the nonlinearity - degree for material. The stress potential that is appeared by the series expansion is written in the place of it in the constitutive equations and stress and polarization field equations have been obtained in the form of nonlinear by taking its rate according to the deformation tensor and the electrical field vector. The constitutive equations have been linearized in certain degrees because solving problems with the obtained constitutive equations are very hard. By putting the obtained linear constitutive equations in their places in the balance equations, field equations have been reached. KEY WORDS: Piezoelectric, Polarization, Anisotropy, Constitutive Equations, Stress, Linearization, Field Equations. 2008, 102 pages

v

TEŞEKKÜR

Yüksek lisans çalışmamın yapılmasında yardım ve desteklerini esirgemeyen,

çalışmayı titizlikle yöneten ve beni yönlendiren değerli Danışman Hocam Yrd. Doç.

Dr. Melek USAL’a sonsuz teşekkürlerimi sunarım.

Tez çalışmalarımda karşılaştığım problem ve engellerde bilgi ve tecrübelerine

başvurduğum değerli Hocam Yrd. Doç. Dr. M. Reşit USAL’a sonsuz şükranlarımı

sunarım. Ayrıca, tezin yazılması esnasında yardımlarını esirgemeyen mesai

arkadaşlarım Arş. Gör. Ahmet KABUL ve Arş. Gör. Benek HAMAMCI ya teşekkür

ederim.

Bugünlere gelmemde büyük emekleri bulunan Annem, Babam ve Kardeşlerime

şükranlarımı sunuyorum.

Lokman YÜNLÜ ISPARTA, 2008

vi

ŞEKİLLER DİZİNİ Sayfa

Şekil 1.1. Ortalama yoğunluğun değişimi............................................................. 10

Şekil 1.2. Maddesel ve uzaysal koordinatlar......................................................... 11

Şekil 1.3. Sürekli ortamda belli bir andaki şekil değiştirme ................................. 14

Şekil 1.4. Maddesel türev...................................................................................... 23

Şekil 1.5. Yay elemanındaki değişim.................................................................... 25

Şekil 1.6. Süreksizlik yüzeyi içeren bölge ............................................................ 29

Şekil 1.7. Hareketli süreksizlik yüzeyi.................................................................. 31

vii

SİMGELER DİZİNİ

EC Birim hacim başına elektrostatik kuvvet çifti

1, −KLKL CC Green – Piola deformasyon tansörleri

1, −klkl cc Cauchy – Finger deformasyon tansörleri

D Elektriksel yer değiştirme alanı

kld Şekil Değiştirme (genleme) hızı tansörü

dS, ds Deformasyondan önceki ve sonraki köşegen uzunluğu

∇⋅+∂∂

= vtDt

D Zamana göre hareketi takip eden türev

E Elektrik alan vektörü

klKL eE , Maddesel (lagrange) ve uzaysal (Euler) genleme tansörü

klKL eE ~,~ Sonsuz küçük Lagrange ve Euler genleme tansörleri

f Birim kütle başına mekanik hacimsel kuvvet

[ ] −+ −= fff f ’ in süreksizlik yüzeyi boyunca sıçraması

EF Birim hacim başına düşen elektrostatik gövde kuvveti

K

kKkkK X

xxF∂∂

== , Deformasyon gradyanı

h Birim kütle başına ısı kaynağı

Eh Elektrostatik enerji kaynağı

Ii (i=1, 2, …..31) İnvaryant değerler

)3,2,1,(, =kKiI kK Maddesel ve uzaysal koordinatlardaki birim vektörler

FJ det= Deformasyon gradyanına ait matrisin determinantı

n Dış birim normal vektör

P Polarizasyon vektörü (elektrik dipol yoğunluğu)

viii

P Hidrostatik basınç

p P noktasının t anında uzaysal koordinatlardaki yeri

Q Maddesel koordinat sisteminin tam- ortogonal

transformasyon matrisi qf Birim hacme düşen serbest elektrik yükü

QK (X)=XK,k qk Maddesel koordinat sisteminde ısı vektörü

S Simetri grubuna ait dönüşüm matrisi

t Asimetrik gerilme tansörü

t Simetrik gerilme tansörü

)(nt n yüzeyine tesir eden gerilme vektörü

TT , T tansörü, T matrisi

kllLkKKL tXJXT ,,≡ Maddesel koordinatlarda antisimetrik gerilme tansörü

kllLkKKL tXJXT ,,≡ Maddesel koordinatlarda simetrik gerilme tansörü

u Yer değiştirme vektörü

vV , Deformasyondan önceki ve sonraki hacim

l

klk x

vV∂∂

=, Deformasyon hızı tansörü

,...)2,1(, =iii βλ Denklemleri kısaltmak için kullanılan kısaltmalar

ω Açısal hız vektörü

fw Yüzeysel serbest elektrik yük yoğunluğu

klw Spin tansörü

klKL δδ , Maddesel ve uzaysal koordinatlarda kronecker delta

ω Açısal hız vektörü

ix

ε Birim kütle başına iç enerji

0ε Boşluğun elektriksel permitivitesi

klmKLM εε , Maddesel ve uzaysal koordinatlarda permütasyon sembolü

η Birim kütle başına entropi yoğunluğu

θ (X,t) Bir t anında X maddesel noktasının mutlak sıcaklığı

ργ Birim kütle başına entropi üretimi

ρρ ,0 Deformasyondan önceki ve sonraki kütle yoğunluğu

σ Sürekli ortam içinde yer alan süreksizlik yüzeyi

ψρ0≡Σ Gerilme potansiyeli

kK xX , (K,k=1,2,3) Maddesel ve uzaysal koordinatlar

x,X Maddesel noktanın deformasyondan önce ve sonraki

konum vektörleri

ii PE1−−−≡ ρθηεψ Genelleştirilmiş serbest enerji yoğunluğu

∇ Gradyan operatörü

ρP

≡Π Birim kütle başına polarizasyon

Γ Toplam entropi üretimi

1

1. GİRİŞ

Bu çalışma, elastik piezoelektrik özellik taşıyan ortamların elektro-termomekanik

davranışlarını temsil eden bünye denklemlerine ait matematiksel bir modelin

oluşturulması amacını taşımaktadır. Modern sürekli ortamlar mekaniğinin temel ilke

ve aksiyomları, bu çalışmanın gerçekleştirilmesinde yol gösterici ve belirleyici

olmuştur. Hazırlanan bu tezin bilimsel bütünlük içindeki özel yerini tespit etmek için

gerekli görülen kavramlarla ilgili genel bilgiler aşağıda sistematik olarak verilmiştir.

Günümüzde mekanik ve malzeme bilimindeki gelişmeler ve eş zamanlı olarak ortaya

çıkan dizayn ve imalat teknolojilerindeki ilerlemeler çok sayıda yeni ve ileri

derecede mühendislik malzemesi üretti. Bu fonksiyonel malzemeler, mekanik,

elektrik, magnetik alan veya ısınma gibi bir dış fiziksel olayın etkisinde kaldığı

zaman şeklini ve maddesel özelliklerini değiştirme konusunda farklı davranışlar

sergilerler. Akıllı bir malzeme kendi içerisindeki ve çevresindeki değişikliklere

reaksiyon gösterebilen, kendisinden beklenen bir davranışı tüm kullanım süresi

boyunca optimum bir şekilde yerine getirebilen malzemelerdir. Piezoelektrik gibi

yarı iletken malzemeler, akıllı malzemeler sınıfına girmektedir. Gelişen ve yenilenen

teknolojide akıllı malzemelere olan talep her geçen gün daha da artmaktadır. Akıllı

malzemeler içinde piezoelektriğin yeri, mevcut kullanım alanlarının yoğunluğu

bakımından gelecekte de en çok ihtiyaç duyulan malzemelerden olacağının bir

göstergesidir. Bu tür malzemelerin nonlineer termomekanik davranışının bilinmesi

uygulama alanlarının genişlemesi bakımından faydalı olacaktır.

Piezoelektrik kelimesi Latince bastırmak-press anlamındaki “piezo” ön ekinden

türetilen bir kavramdır. Piezoelektrik iletken olmayan billurdan yontulmuş bir levha

belli bir doğrultuda uygulanan bir baskı (çekme ya da sıkıştırma) sonunda, billur

levhanın iki yüzünde ters işaretli yüklerin (+q ve -q) çıkmasıyla nitelendirilen bir

olaydır. Bilindiği gibi katı maddeler, yüklü parçacıklardan oluşur ve bir katı madde

içindeki negatif ve pozitif yüklü parçacıklar dengededir (yani katı madde elektriksel

olarak yüksüzdür). Ancak mekanik bir yolla malzeme üzerine mekanik bir kuvvet

uygulanarak, yüzey yüklerinin oluşması sağlanabilir. Bir kristalde piezoelektrik

2

özelliğin gözlenmesi bu yüzey yüklerinin oluşmasına bağlıdır. Fakat simetri

özellikleri bu yüklerin oluşması için gerekli koşulları kısıtlamaktadır. Bu nedenle

simetri merkezi olmayan kristaller bu iş için en uygun malzeme gurubunu

oluşturmaktadır. Elektriksel olarak yüksüz ve yapısal simetri merkezi bulunmayan

bir kristalde uygulanan basınç artı yüklerin merkezi ile eksi yüklerin merkezinin

birbirinden hafifçe ayrılmasına ve kristalin karşılıklı yüzeylerinde zıt yüklerin ortaya

çıkmasına neden olur. Yüklerin bu şekilde ayrılması bir elektrik alnı yaratır. Ve

kristalin karşılıklı yüzeyleri arasında ölçülebilir bir potansiyel fark oluşur.

Piezoelektrik etkiyi ifade eden bu sürecin terside geçerlidir. Ters piezoelektrik etkide

de karşılıklı yüzeylerin arasındaki bir elektrik gerilimi uygulanan kristalde boyutsal

bir şekil değişikliği oluşmaktadır.

Piezoelektrik etki 1880’de Pierre ve Jacgues Curie kardeşler tarafından

keşfedilmiştir. Pierre Curie önceleri Piroelektrik ve kristal simetrisi arasındaki ilgi

üzerine çalışmıştır. Bu çalışma, kardeşleri sadece basınçtan meydana gelen

elektriklenmeyi aramak zorunda bırakmış, fakat tahmini olarak basıncın ne yönde

uygulanabileceği ve kristal sınıflarının etkisi açıklanmamıştır. Aynı olay, turmalin ve

Rochelle tuzu gibi birçok diğer kristalde de bulunmuştur. Hankel “piezoelektrik”

ismini önermiştir. Piezoelektrik elektriksel ve mekanik sistemler arasındaki bir

etkileşimdir. Doğrudan (direkt) piezoelektrik etki mekanik gerilme tarafından

üretilen elektrik kutuplanmasıdır. Piezoelektrik özellik malzemenin kristal yapı

yöneliminin bir sonucudur. Bu özellik, mekanik gerilmelerin etkisinde kaldığı zaman

bir elektrik alanı üretebilen veya tersine elektrik alana sokulduğu zaman deforme

olabilen belirli kristal yapıdaki malzemelerin bir yeteneği olarak ta tanımlanabilir

(Yünlü, 2006).

Piezoelektrik malzemeler, gösterdikleri hızlı davranıştan dolayı titreşim kontrolü ve

aktif yapısal akustik kontrol gibi küçük strokların gerekli olduğu yüksek frekans

uygulamalarında tercihli bir şekilde kullanılmaktadırlar. Bir tetikleyicide veya

sensörde kullanılan piezoelektrik davranış bir elektrik alanın sebep olduğu gerinmeyi

hesaplayarak önceden tahmin edilebilir veya bu prosesin terside kullanılabilir.

Genellikle, gerinme ve elektrik alan arasındaki bağıntı nonlineerdir ve çevrim

3

esnasında gerinme-elektrik alan düzleminde bir histerisis olarak gözlenir. Bu

bağıntıyı tesis etmek için, tasarımcı zamanla, sürtünme etkisiyle, yaşlanma ve

piezoelektrik etkinin azalması ile değişen malzeme özelliklerini belirlemek zorunda

kalacaktır. Piezoelektrik malzemeler elektrik enerjisini mekanik enerjiye, mekanik

enerjiyi elektrik enerjisine çevirme yeteneğine sahip malzemeler oldukların için bu

özelliklerden yararlanılarak algılayıcı (sensör) ve tetikleyici (actuator) olarak sıkça

kullanılmaktadır. Elektrotlar yardımı ile bir gerilim uygulandığında mekanik bir

hareketle cevap vermesi veya mekanik bir baskı sonucunda bünyesine bağlanan

elektrotlardan gerilim elde edilmesi bu sert malzemelerin öncelikli olarak yapısal

sistemlerin üzerine araştırma yapılmasını ortaya çıkarmıştır (Doğrukol, 2002).

Malzemelerin incelenmesi genellikle mikromekanik ve makromekanik olmak üzere

iki ana sınıfa ayrılır. Mikromekanik analiz, matris ve takviye elemanların fiziksel ve

mekanik özelliklerinden yola çıkarak malzemenin genel davranışına ait mekanik

özelliklerin bulunmasını hedefler. Mikromekanik metotlar, enerji metodu ve

malzeme mekaniği metodu olmak üzere üç kısım’a ayrılabilir. Enerji metodu,

malzemenin bütününe ait elastik özellikler için alt ve üst sınırları belirlemeye çalışır.

Elastisite metodu, elastisitenin alan denklemlerini, matris malzemesi ve takviye

elemanları arasındaki sınır şartlarını kullanarak elastik modülleri bulmaya yönelir ve

genellikle sayısal çözümleme tekniklerini kullanır. Malzeme mekaniği metodu ise

elemanter mukavemetin basitleştirici kabullerini kullanarak daha kolay yoldan

sonuca gider ve genellikle deneysel verilere uyum sağlayan sonuçlara ulaşmayı

hedefler. Makromekanik metotlar da üç temel sınıfa ayrılır. Bunlar, Lineer

Anizotropik Elastisite, Nonlineer Anizotropik Elastisite Teorisi ve Sürekli Ortamlar

Teorisidir. Lineer Anizotropik Elastisite genellikle tabakalı yapıların incelenmesinde

kullanılır ve tabakaya ait genelleştirilmiş hooke yasasını belirlemeye çalışır. Sonlu

elastisite yaklaşımında malzemenin bir deformasyon enerjisi dağılımına sahip olduğu

ve bu dağılımın deformasyon dağılımından etkilendiği, gerilme dağılımının ise bu

enerjinin deformasyon gradyanına göre türevinden elde edildiği bilinmektedir (Usal,

2001).

4

Mekanik, genel anlamda Kuantum Mekaniği ve Sürekli Ortamlar Mekaniği olarak

ikiye ayrılmaktadır. Kuantum Mekaniği fizikçilerin ilgi alanına girmekte, atomik ve

atom altı parçacıkların davranışını incelemektedir. Sürekli Ortamlar Mekaniği ise

daha çok mühendislerin ilgilendiği ve uygulamasını yaptığı bir alan olup kendine

özgü alt dallara ayrılmaktadır. Bunların arasında katılar Mekaniği ve Akışkanlar

Mekaniği önemli bir yer işgal etmektedir. Günümüzde mevcut olan gelişmiş

teknoloji farklı bilim dallarının işbirliği sonucunda ortaya çıkmıştır. Mekanik,

sistemlerin denge ve hareket şartlarını, sistemin tersinmezlik derecelerini, sistemin

mikro ve makro davranışlarını inceleyen bir bilim dalıdır. Mekanik, sistemleri ve

sistemlerin çevreleri ile etkileşimlerini incelerken kuvvet, hareket, deformasyon

analizi, ömür tahmini, boyutlandırma, işe yaramama koşulları, ekonomiklik,

dayanım, estetik gibi kavramları bir arada kullanır. Tüm bunlar olurken disiplinleri

işbirliğine zorlar ve dolayısıyla diğer bilim dalları ile ilişki kurarak gerek teorik

gerekse uygulamalı alanlarda temel ilkelerini onların paylaşımına sunar (Usal, 2001).

Sürekli ortamlar mekaniği, kütle dağılımı sürekli kabul edilebilen maddesel

cisimlerin mekanik davranışını belirlemekle uğraşan bir bilim dalıdır. Maddesel bir

cisim gerçekte ayrık parçacıklardan oluştuğu için sürekli model ancak bir matematik

soyutlama olarak değerlendirilebilir. Bununla beraber sonlu bir hacimdeki parçacık

sayısının sonlu kalmasına karşın, çok özel durumlar dışında, genellikle çok büyük

olması, bu parçacıkların sayısını sonsuz kabul etmekle yapılan hatayı pek çok,

özellikle teknolojik, uygulamada kabul edilebilir sınırların içine sokar. Ortamın

makroskopik davranışı ile ilgilendiğimiz sürece sürekli model ile elde ettiğimiz

sonuçlar, çoğu zaman, aradığımız büyüklüklerin yerel çalkantılarının sistematik

olarak düzgünleştirilmiş değerlerine karşı gelir ve pratik açıdan gereksinimlerimizi

hemen hemen tümüyle karşılayabilen bilgileri bize sağlar. Ancak ortamı oluşturan

parçacıkların yapısı çok çeşitli türden etkileşmelere yol açtığı için ilke olarak sürekli

ortamların genel mekanik davranışını, çeşitli alanlarla etkileşimini göz önüne

almadan belirlemek mümkün değildir. Çağdaş sürekli ortamlar mekaniği bütün bu

etkileşimleri en genel biçimiyle rasyonel bir çerçeve içine sokabilme çabalarının bir

ürünüdür (Şuhubi, 1994).

5

Sürekli ortamlar mekaniği akışkanları (su, yağ, hava, vb.) ve katıları (kauçuk, metal,

seramik, ahşap ve yaşayan doku gibi) içerir. Süreklilik gibi malzemenin makroskopik

doğasını tanımlamada fenomenolojik yaklaşım tekniği kullanılır. Fenomenolojik

yaklaşım matematiksel denklemler ile deneysel verileri uygun hale getirmeyle

uğraşır ve özellikle katı mekaniğinde başarılı olmuştur (Holzapfel, 2000).

Kısım 1.1’de sürekli ortam modeli tanımlanmıştır. Geometrik ve kinematik temsilde

maddesel noktaların başlangıç anında bulundukları yer ve daha sonra işgal etmiş

oldukları yerlerin tespiti için bir referans sistemine ihtiyaç vardır. Bu nedenle kısım

1.2’de sürekli ortamın hareketi ile koordinat sistemleri hakkında bilgi verilmiştir.

Kısım 1.3’de maddesel ve uzaysal koordinatlarda yer vektörü, hareket deformasyonu

temsili, deformasyon gradyanı, Green, Cauchy, Piola ve Finger deformasyon

tansörleri, gerilmeyi oluşturan genleme (Strain) tansörü hakkında kısa bilgiler ve

ilgili natosyan verilmiştir.

Kısım 1.4’de ortamın hareketi sırasında parçacıklara ilişkin hız ve ivme gibi

kinematik büyüklükler ve daha genel olarak da şekil değiştirme karakteristiklerinin

zamanla değişim hızının nasıl ölçüleceği (maddesel türev) belirlenmeye çalışılmıştır.

Süreksizlik yüzeyi tanımlanarak genelleştirilmiş Green – Gauss (diverjans) teoremi

verilmiştir.

Kısım 1.5’de elektro-termomekanik denge denklemleri verilmektedir. Her bir denge

denklemi hem ortam içinde hem de süreksizlik yüzeyi içinde (veya ortam sınırında)

geçerli olan hali ile birlikte verilmiş olup sırasıyla kütle, lineer momentum, açısal

momentum, enerji dengesi ve entropi üretim eşitsizliğinden oluşmaktadır. Bunlardan

kütle balansı, katı ve akışkanlar mekaniğinden bilinen denklemin aynısıdır. Lineer

momentum dengesinde, mekanik kütlesel kuvvete ilave olarak malzeme içinde

oluşan elektrik dipol dağılımı ile elektrik alanının etkileşiminden ortaya çıkan

elektrostatik kütle kuvveti yer almaktadır. Açısal momentum dengesinde, mekanik ve

elektrostatik gövde kuvvetlerinin momentlerine ilave olarak ponderomotif kuvvet

çifti EPC ×≡E ve süreksizlik yüzeyi üzerinde elektrostatik gerilme tansörünün

zıplamasından kaynaklanan yüzeysel kuvvetin momentinin katkıları gelmektedir.

6

Açısal momentumun yerelleştirilmesinden, mekanik gerilme tansörünün )(t simetrik

olmadığı ortaya çıkmaktadır. Mekanik gerilme tansörü ile polarizasyon tansörünün

toplamından oluşan ve )(t şeklinde gösterilen, simetrik bir gerilme tansörü

tanımlanmıştır. Simetrik tansörlerin matematiksel yapıları önemli olduğu için, bünye

teorisi bu şekilde tanımlanan tansör üzerine kurulacak, neticede mekanik gerilme

tansörü buradan kolayca çekilebilecektir. Termodinamiğin 1. kanunu, yani iş-enerji

dengesi, termomekanik olaylar için serbest cismin toplam iç ve kinetik enerjisinin

zamana göre türevi, serbest cisme çevreden giren termomekanik yüklenme işi ve

serbest cisim içindeki ısı kaynağı ile dengededir. Eğer cisim dielektrik yani yalıtkan

olup bir elektrostatik alan içine konulmuş ise hacimsel ısı kaynağına )( hρ ilave

olarak, hacimsel elektrostatik enerji kaynağına )( Ehρ sahip olacaktır. (1.153) ifadesi

ile verilen )( Ehρ , sürekli ortam parçacığı için enerji kaynak terimi olarak

düşünülebilir. Çünkü sürekli ortamlar teorisinde iç alanların katkısı iç-enerji ve

gerilme tansörü vasıtasıyla ifade edilebildiği için, enerji kaynak terimi olarak; sadece

maddesel noktanın dışında olan faktörlerin katkısı dikkate alınır. Örneğin, parçacığın

kapsadığı uzay boşluğunda oluşan elektrik alanda depo edilen ve )21( 2

0Eε şeklinde

ifade edilen elektriksel enerji, enerji denklemindeki iç enerji )(ε teriminin içinde

olduğu varsayılmıştır. Enerji denkleminin yerel ifadesini veren (1.152)1 denkleminde EC veω ’nin tanımlarından ve )( Ehρ yi veren (1.158) ifadesinden

Π⋅=⋅=+ &&& EEP ρωρ kEk

E Ch olarak bulunmuştur. Burada E elektrostatik alanı, P

birim hacim başına elektrik dipol yoğunluğu olarak tanımlanan polarizasyonu, Π ise

birim kütle başına polarizasyonu göstermektedir. P nin üzerindeki nokta )(⋅ , zamana

göre hareketi takiben türev anlamında maddesel türevi göstermektedir. Balans

denklemlerine ilave olarak da termodinamiğin ikinci kanunu, yani entropi eşitsizliği

termomekanik denge denklemleri için olduğu gibi verilmiştir. Bu beş denge

denklemi daha sonra yerelleştirilerek zıplama şartı ile birlikte cismin herhangi bir

noktası ve süreksizlik yüzeyi üzerinde herhangi bir nokta için geçerli olacak şekilde

elde edilmiştir (Usal, 2001).

7

Kısım 3.1 de elastik piezoelektrik ortamların termodinamiğinden bahsedilmektedir.

Burada termodinamiğin 1. ve 2. kanunlarının birleştirilmesinden elde edilen

Clasusius-Duhem eşitsizliği temel başlangıç noktası olarak dikkate alınmaktadır. Bu

eşitsizlikte; entropi yoğunluğunun, iç enerjinin, polarizasyon yoğunluğunun ve

deformasyonun zamanla sıcaklığında uzaysak koordinatlara göre değişimi

termodinamik prososi temsil etmektedir. Bir termodinamik proseste iç enerji, entropi

ve elektrik polarizasyon değişiminin kontrolü mümkün olmayacağından, (3.2) de

verildiği tarzda bir Legendre transformasyonu uygulanarak, zamanla değişen terimler

iç enerji, entropi ve polarizasyon yerine serbest enerji, sıcaklık ve elektrik alanlarının

değişimi cinsinden yazılmıştır. Daha sonra bu eşitsizlikte yer alan asimetrik gerilme

tansörü yerine, (1.137) ifadesi ile tanımlanan gerilme tansörü yazılmıştır.

Clausius – Duhem eşitsizliğinin kullanılabilir hale getirilebilmesi için serbest

enerjinin zamana göre maddesel türevinin hesaplanıp yerine konulması gerekir.

Ancak bu işlem Σ nın hangi bağımsız değişkenlere bağlı olduğunu tespit etmeden

önce yapılamaz. Burada her şeye ait bilginin serbest enerji fonksiyonuna ait bilgiden

kaynaklandığını göz önünde bulundurarak daha kısa bir yol izlenmiştir. Eringen

(1980) ve Şuhubi (1994) tarafından tüm bünye fonksiyonları için geliştirilmiş olan

bünye aksiyomları tek tek ele alınmış ve bunların neticeleri, Clausius – Duhem

eşitsizliğini temsil eden (3.15) eşitsizliğinde yer alan serbest enerji Σ için dile

getirilmiştir. Kozalite, determinizm, eşbulma, uygunluk, objektivite, maddesel

simetri ve yöresellik aksiyomlarına göre, t anında X maddesel noktasının serbest

enerji yoğunluğu, cismi meydana getiren tüm X maddesel noktalarının hareket,

sıcaklık ve elektrik alan tarihlerine bağlıdır. Buna göre diğer bünye

fonksiyonellerinin argüman dağılımına bir benzerlik oluşturması açısından serbest

enerji fonksiyoneli dikkate alıp, daha sonra da sırasıyla objektivite, yakın civarsallık,

yakın hafıza ve uygunluk aksiyomlarını kullanılarak Σ nın genelde hangi

argümanlara bağlı olması gerektiği (3.45) denkleminde verilmiştir.

Kısım 3.2 de simetrik gerilme ve polarizasyon alanı hesaplanmıştır. Bunun için

simetrik gerilme ve polarizasyon alanı, gerilme potansiyeli Σ dan elde edildiğinden

Σ doğal durum olarak seçilen referans konumu etrafında, bağlı olduğu argümanların

8

bileşenleri cinsinden bir kuvvet serisine açılmıştır. (3.69) ifadesi ile verilen bu

açılımda Σ nın E tansörüne ve E vektörüne göre türevi alınıp (3.72) ve (3.77)

denklemlerinde yerine yazılarak, sıkışabilir piezoelektrik anizotrop ortamda simetrik

gerilmenin ve polarizasyon alanının nonlineer bünye denklemleri (3.75)ve (3.80)

ifadeleri ile verilmiştir.

Kısım 4.1 de asimetrik gerilme ortaya konulmuştur. Daha önce (3.76) ifadesi ile elde

edilen simetrik gerilme (3.80) ifadesi ile verilen polarizasyon alanında uygun indis

değişikliği yapılarak (4.1) denkleminde yerine yazılmıştır.

Kısım 4.2 de şekil değiştirmeler, )( ,Kkx , yer değiştirme gradyanları, )( ,LKU çok

küçük kabul edildiği takdirde (3.76), (3.81) denklemleri ile verilen polarizasyon alanı

ve simetrik gerilme belli ölçülerde lineerleştirilebilir ve lineer teoriyi de elde etmek

için ortam şekil değiştirdiğinde oluşan genleme tansörünün; 1<<KLE (K,L=1, 2,

3) şartını sağladığı varsayılmıştır (Şuhubi, 1994).

Kısım 4.3 de asimetrik gerilmenin lineer bünye denklemleri maddesel ve uzaysal

formda elde edilmiştir. (4.5) ifadesiyle verilen polarizasyon alanının maddesel lineer

bünye denkleminde uygun indis değişikliği yapılarak (4.1) ifadesinde yerine

yazılmasıyla, asimetrik gerilmenin maddesel formda lineer bünye denklemi (4.22)

ifadesi ortaya çıkmıştır. Benzer şekilde asimetrik gerilmenin uzaysal

koordinatlardaki lineer bünye denklemleri (4.25) ifadeleri ile elde edilmiştir. Bu

kısımda en son olarak, kısım 1.5 te verilen toplam elektriksel yer değiştirme vektörü

(4.30) ifadesiyle elde edilmiş ve kısım 1.6 da verilen Cauchy hareket denkleminin

kullanılmasıyla da (4.38) ifadesiyle verilen alan denklemi bulunmuştur.

9

1.1. Sürekli Ortam Modeli

Bir maddesel cismin içinde alacağımız tamamen keyfi her hacim bu cismin

kütlesinin bir kısmını içeriyorsa bu cisim bir sürekli ortam olarak nitelendirilebilir.

Buna göre sürekli bir ortamın bir noktası etrafında keyfi, yani istediğimiz kadar

küçük seçebileceğimiz bir Δv hacmini dikkate alırsak bu hacimde cismin bir Δm

kütlesi bulunacaktır. Bu nokta civarında ortalama yoğunluk,

vm

ort ΔΔ

=ρ (1.1)

olarak tanımlanır (Şuhubi, 1994). Sürekli ortam varsayımına göre Δv ne kadar küçük

olursa olsun içinde kütle bulunacağından yukarıdaki ifadenin Δv → 0 için bir limiti

olacaktır. Dolayısıyla ortamın göz önüne alınan noktadaki yoğunluğu bu limit

işleminin sonucu olarak,

dvdm

vm

v=

ΔΔ

=→Δ

lim0

ρ (1.2)

bulunur. Atomistik ölçeğe indiğimizde madde büyük ölçüde boşluklu bir yapı

sergiler. Buna göre bir noktada tanımlanan yoğunluğun statik olarak anlamlı bir

ortalamaya karşı gelebilmesi için Δv hacminin bir Δv* kritik değerinden büyük

olması gerekir. Δv < Δv* için bir noktada yoğunluk, Δv ye bağlı olarak, büyük

çalkantılar gösterir (Şekil 1.1).

Sürekli ortam modeli, sonlu bir hacimdeki parçacık sayısını sonsuz almaya

eşdeğerdir. Buna göre cismin içinde alınan bir V hacminde bulunan kütle miktarı,

∫=V

dvM ρ (1.3)

integrali ile hesaplanır. (Şuhubi, 1994).

10

Şekil 1.1. Ortalama yoğunluğun değişimi (Şuhubi, 1994)

1.2. Sürekli Ortam Hareketi

Bir sürekli ortamın hareketini belirlemek için bu ortamı oluşturan, sonsuz sayıdaki

bütün parçacıkların zamanla bulundukları uzaysal konumlarının belirlenmesi gerekir.

Ortamın belli bir andaki konumunun tamamen bilindiği varsayılır, bu konum referans

konumu olarak adlandırılır ve oluşturduğu hacimsel bölge V ile gösterilir. Ortamın

referans konumunu belirli kılmak için bir X1, X2, X3 kartezyen koordinat takımı

seçilir. Ortamın bir parçacığı, şimdi referans konumunda işgal ettiği P noktasının

yerini tanımlayan R yer vektörü, ya da eşdeğer olarak XK (K = 1, 2, 3)

koordinatlarıyla tamamen belirlenir. XK koordinatlarına maddesel koordinatlar

(Lagrange Koordinatları) adı verilir.

Sürekli bir ortamın hareketini belirlemek için referans konumundaki herhangi bir P

maddesel noktasının t anında uzayda bulunduğu konumu, yani p noktasının yerini,

belirlemek için x1, x2, x3 kartezyen koordinat takımı seçilir (Şekil 1.2). Bu koordinat

takımında p uzaysal noktası r yer vektörü, ya da xk (k = 1, 2, 3) koordinatlarıyla

belirlenir. Bu koordinatlara uzaysal koordinatlar (Euler koordinatları) adı verilir.

Gerek duyulduğu takdirde maddesel ve uzaysal koordinatlar çakışık olarak

seçilebilir.

Δm/Δv

Δv* Δv

ρ

11

Şekil 1.2. Maddesel ve uzaysal koordinatlar (Şuhubi, 1994)

Bir t anında her P parçacığının işgal ettiği p noktaları zamanla değişen bir v(t)

bölgesini oluşturur. Bu bölge ortamın t anındaki konumunu belirler. Buna göre

sürekli ortamın hareketi, her P noktasına bir t anında hangi p noktasının karşı

geldiğini gösteren bir dönüşüm olarak tanımlanır. Böyle bir dönüşüm,

),(),,( tXxxtRrr Kkk == (1.4)

sürekli bağıntıları yardımıyla tanımlanır. Tersi söylenmedikçe referans konumunun

t=0 anına karşı geldiği kabul edilir. Sürekli ortamın hareketini tanımlayan (1.4)

dönüşümünün bir fiziksel harekete karşı gelebilmesi için sürekli olması gerekir.

Ayrıca bu dönüşümün hacmi sonlu olan bir bölgeyi hacmi sıfır, ya da sonsuz bir

bölgeye dönüştürmemesi için, dönüşümün jakobyeni sıfırdan ve sonsuzdan farklı

olması gerekir. Yani,

∞≠

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

== ,0)(det),(

3

3

2

3

1

3

3

2

2

2

1

2

3

1

2

1

1

1

,

Xx

Xx

Xx

Xx

Xx

Xx

Xx

Xx

Xx

xtXJ Kk (1.5)

X3 x3

X2

x2

x1 X1

I1 I2

I3 i2 i1

i3

R

rP

p

V

v(t)

b

12

şartının sağlanması gerekir. Bir J(X,t) fonksiyonunu (1.5) in mutlak değeri,

∞<<== jxtXJtXj Kk 0,)det(),(),( , (1.6)

olarak tanımlanır. Temel varsayımımız uyarınca J ≠ 0 olduğundan j ile J arasındaki

fark çoğu zaman pratik bakımdan ortadan kalkar. Kapalı fonksiyon uyarınca (1.5) ya

da (1.6) koşulu (1.4) dönüşümünün sürekli bir tersinin olacağını ifade eder. Bu ilke

uyarınca (1.4) dönüşümünden,

),(),,( txXXtrRR kKK == (1.7)

Yazılabilir (Şuhubi, 1994). Fiziksel olarak bu bağıntılar, seçilmiş, belli bir uzay

noktasından çeşitli zamanlarda ortamın hangi parçacıklarının geçtiğini belirler ve v(t)

uzaysal bölgeler ailesini tek bir V maddesel bölgesine dönüştürür (Şuhubi, 1994).

1.3. Şekil Değiştirme

Referans konumunda verilen bir V bölgesini dolduran bir sürekli ortamın belli bir t,

örneğin t1, anında v(t) uzay bölgesine dönüştüğünü ve bu sürekli dönüşümün verilen,

),(),( txXXveyatXxx kKKKkk == (1.8)

hareket denklemlerinin t parametresinin t1 değeriyle tamamen belirlenmiş olduğu

varsayılır. Dolayısıyla başlangıçtaki, yani referans konumundaki herhangi bir P

parçacığı t1 anında p uzay noktasına taşınmış olur. P ve p noktalarının yer vektörleri,

kkKK ixrIXR == , (1.9)

ile verilir ve (1.8) bağıntıları yardımıyla birbirlerine bağlanır (Şekil 1.3). Bundan

sonra Einstein toplama uylaşımından yararlanılarak ve tekrarlanan iki indis üzerinde

13

1 den 3 e kadar toplama yapılacağı kabul edilir. Uzaysal ve maddesel koordinat

takımları arasındaki dönüşüm,

kKkKKkKk iIIi Λ== ,λ (1.10)

bağıntıları ile belirlenir. Λveλ katsayı matrisleri birbirinin tersidir ve,

kKKkKkkK iIIi ⋅=Λ⋅= ,λ (1.11)

olarak tanımlanır. Her iki koordinat takımı da dik olduğundan bu dönüşüm

ortogonaldir. Yani,

kKKkT veya λλλ =Λ==Λ −1 (1.12)

yazılabilir. KkΛ matrisi kKλ matrisinin transpozu olarak tanımlanmıştır. Dolayısıyla

bu katsayılar,

KLkLkKkllKkK δλλδλλ == , (1.13)

bağıntılarını gerçeklemek zorundadır. Burada δkl ve δKL büyüklükleri Kronecker delta

olarak adlandırılır ve birim matrisi temsil eder. Yani iki indis birbirine eşitse 1, farklı

ise 0 değerini alırlar. λ matrisi yardımıyla uzaysal koordinat takımında tanımlanmış

bir vektörü kendisine paralel kalarak maddesel koordinat takımına kaydırabilir, ya da

bu işlemin tersi yapabilir. Bu özellikler nedeniyle λkK katsayıları kaydırıcılar

(Shifter) olarak adlandırılır.

Deformasyonu temsil etmek için, şekil 1.3 de P parçacığına çok yakın olan başka bir

P′ parçacığı göz önüne alınır. P′ nün P ye göre konumunu sonsuz küçük dR

vektörüyle belirlenir. P′maddesel noktası hareketle t1 anında p′ uzay noktasına

taşınmış olur. p′ noktasının P nin görüntüsü olan p noktasına göre konumu da yine

sonsuz küçük olan dr vektörüyle belirlenir.

14

Şekil 1.3. Sürekli ortamda belli bir andaki şekil değiştirme (Şuhubi, 1994)

Bu vektörler maddesel ve uzaysal koordinat eksenleri üzerindeki bileşenleri

cinsinden,

kkKK idxdrIdXdR == , (1.14)

şeklinde yazılır. Ayrıca (1.8) bağıntısında zamanın sabit olduğunu göz önünde

tutularak diferansiyeli alınırsa,

kkKKKKkk dxXdXdXxdx ,, , == (1.15)

ifadeleri elde edilir. Bir alt indisten önceki virgül o indisin belirttiği değişkene göre

kısmi türevini gösterir, (1.15) deki xk,K ve XK,k ifadeleri aşağıdaki gibi tanımlanır.

k

KkK

K

kKk x

XXXxx

∂∂

≡∂∂

≡ ,, , (1.16)

Bir P parçacığında, örneğin t1 anında, hesaplanmış xk,K büyüklüklerine o maddesel

noktada ve o andaki şekil değiştirme gradyanı adı verilir ve boyutsuz F matrisi ile

gösterilir.

X3 x3

X2

x2

x1 X1

I1 I2

I3 i2 i1

i3

R

rP

p

V

v(t)

b

u+du

u

P′

p′

dR

dr

Referans konumu

t=t1 anındaki konum

15

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

==

3

3

2

3

1

3

3

2

2

2

1

2

3

1

2

1

1

1

,1),(

Xx

Xx

Xx

Xx

Xx

Xx

Xx

Xx

Xx

xtXF Kk (1.17)

0det ≠= Fj olduğundan F matrisinin bir F -1 tersi vardır. (1.8) bağıntılarını göz

önüne alır ve belli bir anda kısmi türevin zincir kuralını uygularsak,

KLLkkKkllKKk xXXx δδ == ,,,, , (1.18)

Yazılabilir. Buradan da,

[ ]kKXF ,1 =− (1.19)

ifadesi elde edilir. Bir matrisin tersini hesaplamak için her elemanın yerine

kofaktörünü koyarak oluşturduğumuz matrisin transpozunu matrisin determinantına

bölünmesi gerekir.

[ ]J

xKofaktörX Kk

kK,

, = (1.20)

Bilindiği gibi bir determinantı hesaplarken bir satırdaki elemanları kofaktörleriyle

çarpıp işaret kuralına uygun şekilde toplanır. Buna göre determinantın açılımı o

satırdaki elamanlara göre birinci derecedendir ve determinantın bir elemanına göre

türevini alırsak bu elemanın kofaktörünü elde ederiz. Bu sonuç,

[ ] kKKk

kKKkKk

jXx

jJXxKofaktörxJ

,,

,,,

=∂∂

⇒==∂∂ (1.21)

16

özdeşliğini verir. dR vektörünün boyu dS, dr vektörünün boyu ise ds ile gösterildiği

taktirde,

kkKK dxdxdrdrdsdXdXdRdRdS =⋅==⋅= 22 , (1.22)

şeklinde ifade edilir. (1.15) bağıntılarını kullanarak yukarıdaki ifadeler,

lkkllklKkK

LKKLLKLkKk

dxdxcdxdxXXdS

dXdXCdXdXxxds

==

==

,,2

,,2 ,

(1.23)

şeklinde elde edilir. Burada t anında hesaplanmış bileşenleri,

lKkKklLkKkKL XXtxcxxtXC ,,,, ),(,),( == (1.24)

ile verilen ifadeler sırasıyla Green ve Cauchy şekil değiştirme tansörleri veya

matrisleri adını alır. Bu matrislerin simetrik olduğu ve,

lkklLKKL ccCC == , (1.25)

bağıntılarının sağlandığı görülmektedir. C ve c büyüklüklerini matrisin yanı sıra

tansör olarak ta nitelendirilmesinin nedeni sırasıyla maddesel ve uzaysal

koordinatları dönüştürüp yeni koordinat takımlarına geçildiğinde bileşenlerinin

belirli bir kurala göre değişmesidir. KX koordinat eksenleri yine dik KX ′ koordinat

eksenlerine dönüştürülsün. Bu dönüşüm Q ortogonal matrisi yardımıyla gerçekleşir

ve koordinat eksenleri arasında,

LLKKLKLK XQXXQX ′==′ , (1.26)

ilişkileri yazılabilir. Buna göre C tansörünün yeni koordinat takımındaki bileşenleri,

17

L

N

N

k

K

M

M

k

L

k

K

kKL X

XXx

XX

Xx

Xx

XxC

′∂∂

∂∂

′∂∂

∂∂

=′∂

∂′∂

∂=′

MNLNKMNkMkLNKM CQQxxQQ == ,, (1.27)

şeklinde bulunur. Bu da C nin ikinci mertebe bir maddesel tansör olduğunu gösterir.

Burada (1.26) bağıntısının Q ortogonal bir matris olmasa da, yani koordinatları dik

olmayan bir takıma dönüştürüldüğünde de Q T yerine Q -1 matrisini alma koşuluyla

geçerli kalacağına dikkat edilmeli. Benzer olarak uzaysal koordinatları,

lklk xQx =′ (1.28)

ile dönüştürülürse c nin ikinci mertebe bir uzaysal tansör olduğunu gösteren,

mnkmkl cQQc ln=′ (1.29)

ifadesi elde edilir. Buraya kadar verilen ifadeler matris notasyonu kullanılarak

yazılırsa; dX ve dx sütun vektörleri,

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

3

2

1

3

2

1

,dxdxdx

dxdXdXdX

dX (1.30)

şeklinde tanımlanır. (1.15) bağıntıları matris notasyonu ile,

xdFXdXdFxd 1, −== (1.31)

yazılabilir. (1.22) ve (1.31) bağıntılarından,

18

xdFFxdXdXddS

XdFFXdxdxddsTTT

TTT

12

2

1 −−

==

== (1.32)

bulunur. (1.23) bağıntısı göz önünde tutulduğunda Green ve Cauchy şekil değiştirme

tansörlerinin şekil değiştirme gradyanlarına bağlı olarak,

11

, −−

== FFcFFC TT (1.33)

şeklinde ifade edilebileceği görülür. Bazı durumlarda (1.33) ile verilen matrisler

yerine terslerinin kullanılması gerekebilir. Bu matrisler ise,

T

FFCFFc T 1111 , −−−− == (1.34)

veya bileşenleri cinsinden,

kLkKKLKlKkkl XXCxxc ,,1

,,1 , == −− (1.35)

şeklinde ifade edilir. c -1 ve C -1 tansörleri sırasıyla Finger ve Piola şekil değiştirme

tansörleri olarak bilinir. Hareket denklemleri ),( tRrr= şeklinde verilmesi yerine P

parçacığının u yer değiştirme vektörüne bağlı olarak ifade edilir. Yer değiştirme

vektörünü (Şekil 1.3),

bRru +−= (1.36)

olarak tanımlanır. u vektörünü,

KKkk IUiuu == (1.37)

19

şeklinde yazarak uzaysal ve maddesel bileşenleri belirlenir. (1.8) hareket

denklemlerinden yararlanarak uzaysal ve maddesel yer vektörlerini r = r(XK,t) ve

R = R(xk,t) olarak ifade edilirse,

kkKK dxcdRdXCdr == , (1.38)

yazılabilir. Burada CK ve ck vektörleri,

KkKk

kkKkK

K IXxRcix

XrC ,, , =

∂∂

==∂∂

= (1.39)

olarak tanımlanmıştır. Bu vektörler cinsinden şekil değiştirme tansörleri,

lkklLKKL cccCCC ⋅=⋅= , (1.40)

olarak bulunur. (1.39)1 bağıntısından,

LkKkklLlKklLlkKkLK xxxxixixCC ,,,,,, ==⋅=⋅ δ (1.41)

bulunur ve benzer şekilde (1.39)2 bağıntısından da,

lKkKKLlLkKLlLKkKlk XXXXIXIXcc ,,,,,, ==⋅=⋅ δ (1.42)

bağıntısı bulunur. CK ve ck vektörlerinin fiziksel anlamı tanımlardan açıkça

görülmektedir. (1.39) ifadelerine benzer olarak,

kkKKKKkk iXCIxc ,1

,1 , == −− (1.43)

vektörleri tanımlanır. 1−kc vektörlerinin kc vektörlerine karşıt olduğu, yani,

kllk cc δ=⋅−1 (1.44)

20

bağıntısını sağladıkları görülür. (1.39) ve (1.43) bağıntılarından,

kllKKkKLlLKkLlLKKklk XxXxIXIxcc δδ ===⋅=⋅−,,,,,,

1 (1.45)

bulunur. Benzer şekilde 1−KC vektörlerinin de KC vektörlerine karşıt olduğu ve

KLLK CC δ=⋅−1 (1.46)

bağıntılarının sağlandığı gösterilebilir. (1.35) bağıntısı göz önünde tutulursa,

111111 , −−−−−− ⋅=⋅= LKKLlkkl CCCccc (1.47)

yazılabilir. c -1 ile c ve C -1 ile C tansörleri birbirlerinin tersleri olduğu için,

, KL11 δδ == −−

MLKMklmlkm CCcc (1.48)

bağıntılarının da geçerli olacağı açıktır. Cismin şekil değiştirmesinden söz edebilmek

için parçacıkları arasındaki uzaklığın hareketi sırasında değişmesi gerekmektedir.

Ortamın iki parçacığı arasındaki uzaklığın değişmesi için ds ≠ dS olması

gerektiğinden ortamın bir noktasındaki şekil değiştirmenin ölçümü olarak ds2 – dS2

büyüklüğü seçilir. (1.22) ve (1.23) bağıntıları yardımıyla,

lkklLKKL dxdxedXdXEdSds 2222 ==− (1.49)

yazılabilir. Burada EKL ve ekl simetrik tansörleri,

)(21),(),(

21),( klklklKLKLKL ctxeCtXE −=−= δδ (1.50)

21

olarak tanımlanır ve sırasıyla maddesel (Lagrange) ve uzaysal (Euler) genleme

tansörleri adını alır. Bir maddesel noktada E tansörünün değerini bildiğimiz takdirde

bu noktadan geçen sonsuz küçük dXK maddesel vektörünün hareketi sırasında

boyundaki değişim (1.49) bağıntısıyla belirlenir. Aynı boy değişimi bu parçacığın t

anındaki yerinde e tansörünün değeri yardımıyla da hesaplanabilir. (1.50) bağıntıları

matris formunda,

)(21),(

21 cIeICE −=−= (1.51)

yazılabilir. (1.15) bağıntılarından (1.49) da yararlanılırsa maddesel ve uzaysal

genleme tansörlerinin,

LlKkklKLlLkKKLkl xxeEXXEe ,,,, , == (1.52)

eşitlikleriyle birbirlerine bağlandığı görülebilir. (1.36) ve (1.39) bağıntıları, b vektörü

koordinatlara bağlı olmadığı için yer değiştirme vektörü cinsinden,

lkllklklkkk

k

LKLLKLKLKKK

K

iuiuixu

xrc

IUIUIXu

XRC

)(

)(

,,

,,

−=−=∂∂

−∂∂

=

+=+=∂∂

+∂∂

=

δ

δ

(1.53)

sonucu elde edilir. Şekil değiştirme tansörleri için yer değiştirme gradyanlarına bağlı

olarak,

lmkmkllkkl

lmmlkmmkmnlnnlkmmklkkl

LMKMKLLKKLLMMLKMMK

MNLNNLKMMKLKKL

uuuu

uuuuccc

UUUUUU

UUCCC

,,,,

,,,,

,,,,,,

,,

))(())((

,))((

))((

+−−=

−−=−−=⋅=

+++=++=

++=⋅=

δ

δδδδδ

δδδ

δδδ

(1.54)

22

sonuçları bulunur. Maddesel ve uzaysal genleme tansörleri de (1.50) tanımları yer

değiştirme gradyanı cinsinden,

)(21

)(21

,,,,

,,,,

lmkmkllkkl

LMKMKLLKKL

uuuue

UUUUE

−+=

++= (1.55)

şeklinde ifade edilir.

1.4. Hareket

Bu bölümde, ortamın hareketi sırasında parçacıklara ilişkin hız ve ivme gibi

kinematik büyüklükler hesaplanacak ve daha genel olarak ta şekil değiştirme

karakteristiklerinin zamanla değişim hızının nasıl ölçülebileceği belirlenmeye

çalışılacak. Ortamın hareketini tanımlayan maddesel koordinatlarla uzaysal

koordinatlar arasındaki dönüşüm (1.4) bağıntısıyla aşağıdaki şekilde verilmişti.

vXtXxx Kkk ∈= ),,( (1.56)

(1.56) bağıntısı V bölgesindeki belli bir X parçacığı seçildiğinde t parametresine bağlı

bir eğri gösterir. Sürekli ortamın hareketi sırasında X parçacığının izlediği yolu

gösteren bu eğriye göz önüne alınan parçacığın yörüngesi adı verilir. (1.56) bağıntısı

tüm ortam parçacıklarının yörüngeler ailesini tanımlamaktadır. Bunun için ilk olarak

sürekli ortamın parçacıklarına bağlı bir fonksiyonun zamanla değişim hızını ölçmek

gerekir.

Sürekli ortama bağlı bir skaler, vektör ya da tansör değerli bir alan büyüklüğü

≈f (X,t) şeklinde verilebilir. Maddesel gösterilimde böyle bir fonksiyon, ilgili alan

büyüklüğünün bir parçacıkta aldığı değerin bu parçacık yörüngesi üzerinde hareket

23

ederken zamanla nasıl değiştiğini bize verir. (1.56) ifadesinin tersi ≈f fonksiyonunda

kullanılırsa,

( )[ ] ( )txfttxXf ,,, = (1.57)

yazılabilir. ≈f (x,t) fonksiyonu göz önüne alınan alan büyüklüğünün uzaysal

gösterilimi adını alır. Maddesel ve uzaysal gösterilimde bu fonksiyon aynı sembolle

göstermesine karşın birbirine karşı gelen maddesel ve uzaysal noktalarda sayısal

değerleri eşit olmakla beraber ≈f (X,t) ve

≈f (x,t) fonksiyonları tümüyle farklı

fonksiyonlardır. Bir x uzay noktasında ≈f (x,t) fonksiyonu alan büyüklüğünün bu

noktadan çeşitli zamanlarda geçen farklı parçacıklarda aldığı değerleri gösterir.

Uzaysal gösterilimden maddesel gösterilime geçiş,

( ) ( )[ ]ttXxftXf ,,,≈≈

= (1.58)

dönüşümü yardımıyla sağlanır. Bir alan büyüklüğünün sürekli ortamın bir

parçacığını izlerken zamana göre değişim hızı maddesel türev olarak tanımlanır

(Şekil 1.4).

Şekil 1.4. Maddesel türev (Şuhubi, 1994)

Eğer maddesel gösterilim kullanılıyorsa maddesel türev XK koordinatlarını sabit

tutarak zamana göre hesaplanan türev olduğundan,

X x

t f(t

x+dx

t+dt f(t)+(df/dt)dt

24

( )≈

≈≈ =∂

∂= f

t

tXf

dt

fd&

, (1.59)

yazılabilir. Uzaysal gösterilim kullanıldığında (1.57) bağıntısını X değişkenlerini

sabit tutarak t değişkenine göre türetirsek zincir kuralına göre,

( )[ ]

SbtX

k

kSbtxSbtX

tx

x

f

t

f

t

ttXxf

dt

fdf

=

≈

=

≈

=

≈≈

≈ ∂∂

∂

∂+

∂

∂=

∂

∂==

,,& (1.60)

elde edilir. Bir parçacığın hızı r(R,t) yer vektörüne bağlı olarak,

( )k

kk

k it

xidt

dxt

t,Rrdtdr

∂∂

==∂

∂==v (1.61)

veya bileşenleri cinsinden,

( ) kkkk

k i,t

xdt

dxt,X vvv =∂∂

== (1.62)

şeklinde ifade edilebilir. Buna göre uzaysal gösterilimde ≈f alanının (1.60) ile verilen

maddesel türevi,

kk

ft

f

dt

fdf v

,≈

≈≈

≈+

∂

∂==& (1.63)

olur. (1.63) ifadesinin sağ tarafındaki ilk terim x koordinatları sabit tutularak zamana

göre alınmış türev olduğundan yerel değişme hızını gösterir. İkinci terim ise t anında

x noktasında bulunan parçacığın hareketinden kaynaklandığı için konvektif değişme

hızı adını alır.

25

1.4.1. Yay ve Hacim Elemanların Maddesel Türevi

Şekil 1.5. Yay elemanındaki değişim (Şuhubi, 1994)

Referans konumunda bir P maddesel noktasından geçen sonsuz küçük bir dS yay

elemanı ve bu elemanın t anındaki ds görüntüsü göz önüne alınırsa (Şekil 1.5), t

anına sonsuz yakın t+dt anında bu elemandaki değişim maddesel türevin tanımına

göre dtdsds )(•

+ olur. ds yay elemanının maddesel türevini belirlemek amacıyla önce

p noktasını p′ noktasına birleştiren dx vektörünün maddesel türevi hesaplanmaya

çalışılacak. Bu vektör referans konumundaki dX elemanter vektörünün hareket

altında t anındaki görüntüsü olduğundan KKkk dXxdx ,= yazılabilir. dXK bileşenleri

zamana bağlı olmadığından türetmenin zincir kuralından uygun şekilde

yararlanılarak,

llkllKKkKKk

Kk

KKKkKKkk

dxdxXdX

dXt

xX

dXxt

dXxdtddx

dtd

,,,,

,, )()()(

vvv ===

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

∂∂

=∂∂

== (1.64)

elde edilir. Dolayısıyla,

ll,kk dxdx v=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ •

(1.65)

dS P′ dX P

t=0

ds dx

p′

p

t t+dt

ds+[d/dt](ds)dt

26

yazılabilir. (1.64) de üçüncü ve beşinci ifadelerde dXK bileşenlerinin katsayılarını

eşitlersek şekil değiştirme gradyanının maddesel türevi,

( ) K,ll,kK,kK,kK,k xxxdtd vv ==⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

•

(1.66)

olarak bulunur. Hız gradyanı tansörü,

klklLL ,, vv =∇= (1.67)

ile tanımlanırsa, (1.65) ve (1.66) bağıntıları,

FLFxdLxd TT ==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ •

&, (1.68)

şeklinde de ifade edilebilir. Hız gradyanı tansörünün simetrik ve antisimetrik

kısımlarından oluşan iki yeni tansörü,

( ) ( ) lkk,ll,kkllkk,ll,kkl ww,dd −=−==+= vv21vv

21 (1.69)

veya,

( ) ( ) wdLLLwLLd TTT +=−=+= ,21,

21 (1.70)

bağıntılarıyla tanımlanır. d tansörüne şekil değiştirme hızı (bazen de genleme hızı)

tansörü, w tansörüne ise spin veya çevri tansörü adı verilir. (1.21) bağıntısından

yararlanarak önce,

( ) k,kK,ll,kk,KK,kK,k

JxXJxtd

dx

JdtdJ vv ==

∂∂

= (1.71)

27

şeklinde jakobyenin maddesel türevi elde edilir. Bir ortamın hacim elemanının

değişme hızı, jdVdv = olduğundan türetme ile,

( ) dVdtdjdv

dtd

= (1.72)

yazılabilir. jakobyenin maddesel türevinden faydalanılarak,

( ) dvdvdVjdvdtd

k,kk,k vvv ⋅∇=== (1.73)

bulunur. Referans konumunda V hacmi hareketle t anında v(t) hacmine dönüşürse

v(t) hacim integralinin maddesel türevi aşağıdaki şeklide hesaplanır.

( )( )

( ) ( )[ ]

( )( ) ( )

∫∫

∫∫∫

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +∂∂

==

Φ∂∂

=Φ∂∂

=

−•

tvkk

tv

VVtv

dvt

dvjj

dVtXjt

dVjtXt

dvtxdtd

,1

,,,

vφφ

φ

(1.74)

Maddesel türevin tanımından faydalanarak (1.74) ifadesi,

( )( )

( )dv

tdv

dtd

tvkk

tv∫∫ ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

∂

∂=

,vφ

φφ (1.75)

şeklinde yazılabilir. t ye göre kısmi türevi x değişkenleri sabit tutularak alındığı için

(1.75) bağıntısında sağ taraftaki ilk terimde türev ile integral operatörünün yeri

değiştirilebilir. Son terim de Green – Gauss integral teoremi kullanılarak v(t) hacmini

içine alan S(t) kapalı yüzeyi üzerindeki bir integrale dönüştürülürse,

( ) ( )( )∫ ∫∫ +

∂∂

=tv

ntStv

dadvt

dvdtd vφφφ (1.76)

28

elde edilir. nn ⋅=vv ortam hızının yüzeye dik bileşenidir. nvφ büyüklüğüne

φ alanının yüzey boyunca akısı adı verilir ve ortam hareketiyle bu fiziksel alanın S(t)

yüzeyinin bir tarafından öteki tarafına bu yüzeyin birim alanı başına birim zamanda

aktarılan kısmını gösterir.

1.4.2. Green – Gauss (Diverjans) Teoremi

Doğa yasalarından sürekli ortamların hareketini yöneten denklemlerin çıkartılmasına

olanak sağlayan bazı integral teoremlerinin genelleştirilmesi gerekir. Bilindiği gibi

bir ∂v kapalı yüzeyi ile sınırlanmış v hacminde tanımlanmış vektör ya da tansör

değerli sürekli bir fonksiyon için Green – Gauss veya diverjans teoremi olarak

bilinen teorem bu alanın diverjansının hacim içindeki integralini normal bileşeninin

yüzey üzerindeki integraline dönüştürür,

∫ ∫∂

⋅=⋅∇v v

dandv φφ (1.77)

n yüzeyin birim dış normalidir. φ bir vektör alanı olduğu takdirde yukarıdaki skaler

denklemin anlamı açıktır. φ ikinci mertebe bir tansör alanı ise (1.77) vektör

değerlidir ve,

lklklkkl inni φφφφ =⋅=⋅∇ ,, (1.78)

olarak tanımlanır. Şimdi v bölgesinde hareketli de olabilen bir σ yüzeyi üzerinde φ

tansör alanının süreksizlik göstermesi halinde diverjans teoreminin genelleştirilmiş

şeklini elde etmeye çalışacağız. v hacmini iki parçaya ayıran σ yüzeyinin dış

normalini keyfi olarak yönleyelim ve v bölgesini σ yüzeyinin dış normalinin

yöneldiği tarafta kalan parçasını v+, öteki parçasını ise v- ile gösterelim. v=v+∪ v-

olduğu açıktır. σ yüzeyi φ alanı için bir süreksizlik yüzeyi ise bu alan σ üzerindeki

29

9bir noktada, bu noktaya v+ ya da v- bölgeleri içinden yaklaşıldığına göre farklı

değerler alır. Bu değerler sırasıyla φ + ve φ - ile gösterilir (Şekil 1.6). φ tansör

alanının σ üzerindeki süreksizliğini ölçen sıçraması,

−+−= φφφ (1.79)

olarak tanımlanır.

Şekil 1.6. Süreksizlik yüzeyi içeren bölge (Şuhubi, 1994)

Doğal olarak bu büyüklük σ yüzeyinin koordinatlarının bir fonksiyonudur. φ alanı

v+∪σ kapalı yüzeyi ile sınırlanmış v+ ve v-∪σ kapalı yüzeyi ile sınırlanmış v-

bölgelerinde süreklidir. Dolayısıyla bu bölgelerde Green – Gauss teoremi (1.77)

şekliyle uygulanabilir. σ yüzeyinin bu anlamda dış normalinin v+ için –n olduğuna

dikkat edilirse,

∫ ∫∫

∫ ∫∫

− −

+ +

−

∂

+

∂

⋅+⋅=⋅∇

⋅−⋅=⋅∇

v v

v v

dandandv

dandandv

σ

σ

φφφ

φφφ , (1.80)

yazılabilir. Bu iki ifade taraf tarafa toplanırsa genelleştirilmiş Green – Gauss teoremi,

∂ v+ n

v+ n

- n σ

v−

φ+

φ−

∂ v−

30

dandandvvv∫ ∫∫∂

−⋅=⋅∇σ

φφφ (1.81)

şeklinde elde edilir. Sürekli alanlar için σ yüzeyi üzerinde 0=φ olacağı için

(1.81) denklemi (1.77) denklemine indirgenir. v(t) bölgesinin sürekli ortamda bir

maddesel bölge olduğu kabul edilirse ve σ süreksizlik yüzeyinin de verilen bir u hızı

ile hareket ettiği varsayılır (Şekil 1.7). Amaç (1.75) denklemini φ tansör alanının σ

üzerinde süreksizlik gösterdiği hale genelleştirmektir. Bunun için kısmi türev

operatörünü integralin içine sokarak (1.76) denklemini φ alanının içinde sürekli v+

ve v- bölgelerine ayrı ayrı uygulanırsa (Şekil 1.7),

( ) ( )( )

( ) ( )( )∫∫ ∫∫

∫∫ ∫∫

−

∂

+

∂

++∂

∂=

−+∂

∂=

− −−

+ ++

)(

)(

,

tn

tvn

tvtv

tn

tvn

tvtv

daudadvt

dvdtd

daudadvt

dvdtd

σ

σ

φφφ

φ

φφφ

φ

v

v

(1.82)

elde edilir. Bu denklem taraf tarafa toplanırsa,

( )( ),

)()(∫∫ ∫∫ −+

∂

∂=

∂ tn

tvn

tvtv

daudadvt

dvdtd

σ

φφφ

φ v (1.83)

31

Şekil 1.7. Hareketli süreksizlik yüzeyi (Şuhubi, 1994)

sonucu elde edilir. kkn n vv = olduğuna dikkat edilerek süreksizlik yüzeyi içeren bir

bölgede diverjans teoremini ifade eden (1.81) denklemi kullanılırsa,

( ) dandvdandatv t

kktv

kktv

kkn∫ ∫∫∫∂ ∂

+==)( )()(

,)( σ

φφφφ vvvv (1.84)

yazılabilir. Bu ifade (1.83) bağıntısına yerleştirilir, v(t) ve σ(t) bölgeleri üzerindeki

integralleri bir araya toplanır ve σ(t) yüzeyinin un normal hızının süreksizlik

gösteremeyeceğine dikkat edilirse sonuç olarak,

( )

∫∫

∫∫∫

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

)()(,

)()(,

)(

ttvkk

ttvkk

tv

daUdvdtd

daUdvdtd

dvdtd

σ

σ

φφφ

φφφ

φ

v

v

(1.85)

elde edilir. Burada σ(t) yüzeyi üzerinde tanımlanan,

n)u(uU nn ⋅−=−= vv (1.86)

∂ v−(t)

∂ v+(t) n

v+(t) n

- n σ (t)

v−(t)

un

32

büyüklüğüne yer değiştirme hızı adı verilir ve σ(t) yüzeyinin sürekli ortama göre

bağıl normal hızını gösterir. 0=nu olduğundan,

nU v−= (1.87)

bağıntısı geçerlidir.

1.5. Elektrostatik Denge Denklemleri

Piezoelektrik özellik mekanik alan ile elektrostatik alanın etkileşiminin sonucu

olarak ortaya çıkar. Bilindiği gibi, Piezoelektrik malzeme bir dış elektrik alana

girdiği zaman deforme olur ve bu elektrik alan cismi polarize eder. Ayrıca

Piezoelektrik malzeme deformasyona uğradığı zaman bir elektrik alan üretir ve yine

polarizasyon görülür. Polarizasyon alanı yalnızca elektrik alan vasıtası ile oluşmaz,

deformasyon alanı da belli bir polarizasyon alanı oluşturur.

1.5.1. Yük, Elektrik Alan ve Elektriksel Potansiyel

Deformasyon alanı ile elektrostatik alanın etkileşimi mikro düzeydeki kütle ve yük

etkileşimlerinin bir sonucudur. Elektrik yükünün mevcudiyeti fiziğin temel

postülatlarından biridir ve deneysel gözlemlerle kanıtlanmaktadır. Elektrik akımının

varlığı yüklerin hareketinden kaynaklanmaktadır. Modern fiziğe göre, malzeme

temel partiküllerin bir bileşimidir ve bu partiküllerden bazıları partiküller arası

kuvvetlerle birbirine bağlıyken bazıları da serbestçe hareket edebilirler. Bu temel

partiküllerden bazıları kütleye ilaveten yük denilen başka bir özelliğe sahiptir.

e = 1.6 10 19− Coulomb ile ifade edilen elektronik yük, yükün mümkün olan en küçük

kısmını temsil etmektedir. Herhangi bir uzaysal hacimde bulunan toplam yük

elektronik yükün tam katmanlarından meydana gelmektedir. Bu çalışmada, sürekli

ortam hipotezi gereğince yükün sonsuz bir şekilde bölünebileceği, ya da

incelediğimiz mikro hacim elemanı ne kadar küçük olursa olsun yeterli sayıda yük

içerdiği kabul edilecektir. Maddenin, pozitif ve negatif olarak nitelendirilen iki farklı

33

yük içerdiği düşünülmektedir. Deneysel gözlemler, izole edilmiş bir sistemde toplam

yükün korunduğunu ifade eden hipotezi destekler. Sistem içerisinde pozitif bir yük

miktarı meydana çıkar ve kaybolursa, buna eşit miktarda negatif yük miktarı açığa

çıkar veya kaybolur. Böylece yükün cebirsel toplamı sabit kalır. Yük aynı zamanda

serbest veya bağlı olarak da karakterize edilebilir. Serbest elektronlarla taşınan

yükler ve bir atomun iç elektron kabuklarında yer alan negatif yükler serbest ve bağlı

yüklere örnek olarak verilebilir (Eringen, 1963; 1972; Eringen ve Maugin, 1990).

Eğer V + S bölgesinde yük mutlak olarak sürekli ise, bir hacimsel yük yoğunluğu q

ve bir yüzeysel yük yoğunluğu w mevcuttur. Böylece V + S bölgesinde yer alan

toplam yük aşağıdaki gibi ifade edilebilir,

∫∫ +=SV

dawdVqQ [ ] 3LQq = [ ] 2L

Qw = (1.88)

1.5.2. Elektriksel Yer Değiştirme – Polarizasyon

Yüklere sahip partiküller bir dış elektrik alana girdiği zaman yükleri ile orantılı bir

şekilde belirli kuvvetlerin etkisi altında kalırlar. Ortamdaki serbest elektronlar bu dış

kuvvetlerin etkisi ile harekete geçerler. Pozitif ve negatif yüklü bağlı partiküller ise

birbirlerine göre bağıl bir yer değiştirmeye uğrarlar. Bu şekilde gerinmiş olan

malzemenin polarize olduğu kabul edilmektedir. Polarizasyon basit bir şekilde

aşağıdaki gibi açıklanmaktadır. Malzeme başlangıçta, çekirdeği +q0 yüküne sahip

olan ve çekirdek etrafında hareket eden elektronları eşit miktarda –q0 yüküne sahip

olan atomlardan meydana gelmiş bir yapı olarak düşünülmektedir. Bu durumda

yüklerin efektif merkezleri çakışıktır. Malzeme bir elektrik alanın etkisinde kaldığı

zaman, pozitif yükler negatif yüklere göre yer değiştirir. Bir V hacminin S yüzeyi

boyunca toplam yük transferi,

addqNQS∫= .0 (1.89)

34

şeklinde ifade edilir. Burada N birim hacimde polarize olan atomların sayısı d ise

pozitif yüklerin negatif yüklere göre yer değiştirme vektörünü göstermektedir. V deki

toplam bağlı yük orijinal olarak sıfır olduğundan, V de kalan toplam polarizasyon

yükü Qp aşağıdaki gibi ifade edilebilir,

∫ ∫ ∫∇−=−=−=S S V

p dVPdaPdadqNQ ...0

Pqp .−∇= (1.90)

burada,

dqNP 0= (1.91)

Polarizasyon vektörü olarak bilinir.

1.5.3. Elektrostatiğin Maxwell- Faraday Teorisi

Bu teori iki temel postülat ve bir bünye denklemi üzerine kurulmuştur:

1- Elektrostatik alan konservatif olduğundan kapalı bir C – eğrisi üzerindeki

sirkülasyonu sıfırdır (Faraday Yasasının özel hali).

∫ =G

dxE 0. (1.92)

2- Ortamın hacmi içindeki ve −σ süreksizlik yüzeyi üzerindeki serbest elektrik

yükleri cismin içindeki ve yüzeydeki elektrik deplasman alanı oluşturur (Gauss-

Coulomb Yasası).

∫∫ ∫ +=σ

dawdVqdaD fS V

f. (1.93)

35

Burada elektriksel deplasman alanı;

PED += 0ε (1.94)

Şeklinde tanımlanmakta olup, 0ε boşluğun elektriksel permitivitesi, P ise

polarizasyon alanıdır. P, birim hacim başına elektrik dipol yoğunluğu olup bünye

denklemi ile tayin edilmesi gereken bir alandır. Bu alan rijid cisimlerde yalnız

elektrik alanına bağlı olarak, şekil değiştirebilen cisimlerde ise aynı zamanda

deformasyon alanına da bağlı olarak ortaya çıkar.

Genelleştirilmiş Stokes teoremi kullanılarak (1.92) ifadesinin sol tarafındaki terim

aşağıdaki gibi yazılabilir.

[ ]∫∫ ∫ +×∇=⋅γ

dsEhdaEndxEC S

.)(. (1.95)

Genelleştirilmiş Greeen – Gauss Diverjans teoremi kullanılarak (1.93) denkleminin

sol tarafındaki terim ise aşağıdaki gibi ifade edilmiştir.

[ ]∫∫ ∫ ⋅+⋅∇=⋅σ

daDndVDdanDS V

)( (1.96)

(1.96) denklemi (1.92) ifadesinde kullanılarak bilinen usullerle yerelleştirilirse

aşağıdaki denklemler yazılabilir.

)(tV İçinde; fqD =⋅∇

)(tσ Üzerinde; [ ] fwnD =⋅ (1.97)

Ayrıca ortam ideal dielektrik kabul edilirse, hacımsal elektrik yük yoğunluğu 0=fq

alınır ve (1.97)1 denklemi aşağıdaki gibi ifade edilir.

36

)(tV İçinde; 0=⋅∇ D (1.98)

(1.95) denklemi, (1.92) ifadesinde kullanılarak bilinen usullerle yerelleştirilirse

aşağıdaki denklemler elde edilir.

)(tV İçinde; 0=×∇ E , φ−∇=E

)(tσ Üzerinde; [ ] 0=× En (1.99)

Buradaki φ skalerdir ve Elektrostatik potansiyel olarak adlandırılır. φ ’ nin

sonsuzdaki etkisi sıfırdır.

Bir dielektrik ortamın lokal durumu kısmen polarizasyonun değeri ile karakterize

edilebilir. Polarizasyon elektrik alanın bir fonksiyonudur. Böylece elastik bir

dielektrik ortamın bağımsız durum değişkenlerinden biri olarak elektrik alan vektörü

seçilebilir. İleride belirlenecek olan bünye denklemlerinden görüleceği gibi bu

çalışmada elektrik alan bağımsız bünye değişkeni olarak ele alınmaktadır (Eringen

ve Maugin, 1990; Erdem, 1975; Usal, 1994).

1.6. Elektro – Termomekanik Denge Denklemleri

Bu kısımda, bütün sürekli ortamların mekanik davranışlarını yöneten temel

ilkelerden söz edilecektir. Bu çalışmada ele alınan sürekli ortama ait bir serbest

cisme etki eden elektrostatik alan, bu cismin maddesel noktalarına hacimsel bir

kuvvet çifti uygular ve cismin enerjisine elektrostatik enerji olarak katkıda bulunur.

Termomekanik denge denklemleri şeklinde yazılması gerekmektedir. Bu çalışmada

sözü edilen denklemler önce global olarak yazılmış sonrada genelleştirilmiş Green-

Gauss ve Stokes teoremleri yardımı ile yerelleştirilerek yazılmıştır. Global

denklemlerde )(tV maddesel hacmi, )(tσ maddesel yüzeyi göstermektedir. Ayrıca

ortamın bir süreksizlik yüzeyi içerdiği kabul edilmiştir.

37

Korunum denklemlerinde sırasıyla aşağıda verilen genelleştirilmiş Gren-Gauss

teoremi ve hacim integrallerinin maddesel türevi kullanılacaktır, bu ifadelere ait

detaylı bilgiler Eringen (1980) ve Şuhubi (1994) adlı kaynaklarda yer almaktadır.

[ ]∫∫ ∫ ⋅−⋅=⋅∇∂ )()( )( ttV tV

dandandVσ

φφφ (1.100)

[ ]∫∫ ∫ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

)()( )(,),(

ttV tVkk daUdvv

dtddvtx

dtd

σ

φφφφ (1.101)

Bu denklemlerde φ herhangi bir alan büyüklüğü, )(tσ süreksizlik yüzeyi, u

süreksizlik yüzeyinin hızı, v sürekli ortamın hızı, U ise süreksizlik yüzeyinin sürekli

ortama göre bağıl yer değiştirme hızı olup aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

nvuvuU nn ⋅−=−≡ )( (1.102)

İntegral denklemlerde yer alan φ ve φU gibi alan büyüklüklerinin σ üzerindeki

süreksizliğini ölçen sıçrama değerleri

[ ] −+ −≡ φφφ ve [ ] )( −+−−++ −=−≡ φφφφφ UUUU (1.103)

Şeklinde tanımlanmaktadır. Sık kullanılan operatörlerden biri olan maddesel türev

operatörü, ∇⋅+∂∂

= vtdt

d ifadesiyle tanımlanarak bir φ fonksiyonu üzerine

uygulanışı

kk vt

vtdt

d,φ

φφφφφ+

∂∂

=∇⋅+∂∂

=≡⋅

(1.104)

Şeklinde verilir.

38

1.6.1. Kütlenin Korunumu

Kütlenin korunumu, bir maddesel hacmin toplam kütlesinin hareketi sırasında

değişmediğini ifade eder. Matematiksel olarak bu ilke, ),( txρ yoğunluk fonksiyonu

olmak üzere aşağıdaki eşitlikle verilir.

0),()(

== ∫ dvtxdtd

dtdM

tV

ρ (1.105)

(1.101) denkleminde φ yerine yoğunluk fonksiyonu ρ alınarak (1.105) denklemi

aşağıdaki gibi elde edilir,

[ ] [ ] 0),()()( )(

, =−+= ∫∫ ∫ttV tV

kk daUdvvdvtxdtd

σ

ρρρρ (1.106)

olur. Burada v(t) sürekli ortamın t anında doldurduğu uzay bölgesini, σ(t) ise bu

ortamda hareketli bir süreksizlik yüzeyini göstermektedir. Maddesel türevin

tanımından faydalanarak ρ nun maddesel türevi,

kkvtdt

d,ρ

ρρρ +∂∂

=≡⋅

(1.107)

Şeklinde yazılır. (1.107) denkleminde integral altındaki ifadelerin sürekli olduğu

kabul edilirse, integrandların sıfır olması gerekir. Buna göre süreklilik denkleminin

yerel formu için,

v(t) içinde 0v =+ k,kdtd ρρ veya 0v =+

∂∂

k,k )(t

ρρ

σ(t) üzerinde; [ ] 0=ρU (1.108)

39

Eşitlikleri elde edilir. Kütlenin korunumu bir parçacığı içine alan bir elemanter

maddesel hacim için aşağıdaki gibi yazılabilir.

),(),()()(0 txdvtxXdVX ρρ = (1.109)

Daha önce tanımlandığı gibi dv = JdV ye göre (1.109) denklemi,

),()(

),( 0

txJX

txρ

ρ = (1.110)

şeklinde ifade edilir. Bu denklemde, ρ0 (X); referans konumundaki ortamın bilinen

yoğunluğudur, J (x,t); jakobyendir. (1.101) denkleminde ψρφ ≡ alınarak ve

kütlenin korunumundan yararlanarak aşağıdaki ifade elde edilir.

∫∫∫ −=)t()t(v)t(v

daUdvdt

ddvdtd

σ

ψρψρψρ (1.111)

burada ψ birim kütle başına herhangi bir alan büyüklüğüdür.

1.6.2. Lineer Momentum Denkliği

Bu ilke herhangi bir maddesel cismin toplam lineer momentumunun zamana göre

değişme hızının, bu cismin üzerine etkiyen toplam kuvvete eşit olduğunu ifade eder.

Sürekli ortamın bir dm = ρdv elemanter parçacığının hızı v ise elemanter momentum

vdm = ρ vdv ve t anındaki toplam momentum,

∫=)(

)(tv

dvtP vρ (1.112)

olur. Ortamın üzerine etkiyen toplam kuvvet F ise bu ilkeye göre,

40

dtdPF = ise ∫==

)(tv

dvdtd

dtdPF vρ (1.113)

eşitliği geçerlidir.

Newton mekaniğinin temel varsayımları uyarınca F yalnız cisme etkiyen dış

kuvvetlerin toplamını gösterir. Bu kuvvet genellikle iki parçadan oluşur. Bunlardan

biri herhangi bir fiziksel dış alanın madde ile etkileşimi nedeniyle ortamın

parçacıklarına etkiyen, ortamda yayılı kütle kuvvetidir. Bu kuvvet cismin birim

kütlesi başına f yoğunluğuyla verilebilir. Dış kuvvetlerin diğer parçası ortamın

çevresiyle yüzeyi aracılığı ile etkileşiminden kaynaklanan, değme kuvveti türünden,

yüzeyinde yayılı yüzey kuvvetlerinden oluşur. Bu kuvvet, birim dış normali n

vektörü olan bir alan elemanına birim alanı başına etkiyen t(n) vektörü ile belirlenir.

Bu çalışmada sürekli ortam olarak düşünülen, Piezoelektrik özelliği olan ve elastik

davranış gösteren bir malzeme ele alınmıştır. Böylece bir malzemeye etkiyen dış

kuvvetlerin toplamını gösteren F tanımlamalardan faydalanılarak,

∫ ∫∂

++=)( )(

)()(tv tv

nE datdvFfF ρ (1.114)

(1.114) denklemindeki F üç parçadan oluşur. Bunlar; fρ birim hacim başına etkiyen

mekanik gövdesel (kütlesel) kuvvet. EF birim hacim başına etkiyen elektrostatik

gövdesel kuvvet yoğunluğu olup

EF E ∇⋅= P (1.115)

Şeklindedir (Eringen ve Maugin, 1990). )(nt , herhangi bir noktada yönelimi n normal

vektörüyle belirlenmiş bir alan elemanına etkiyen gerilme vektörü olup aşağıdaki

gibi ifade edilir.

41

tn ⋅=)(nt veya kllkn tnt =)( (1.116)

Bu durumda lineer momentum denkliği,

∫∫ ∫∂

⋅++=)()( )(

)(tVtV tv

E datndvFfdvdtd ρρ v (1.117)

şeklinde yazılabilir. Lineer momentum denkliğinin (1.117) k. bileşeni,

∫∫ ∫∂

++=)()( )(

)(tV

klltv tv

Ekkk datndvFfdv

dtd ρρ v (1.118)

olarak ifade edilir. (1.118) bağıntısının sol tarafındaki ifade (1.111) bağıntısında ψ

yerine vk alınarak aşağıdaki gibi yazılır,

[ ]∫∫∫ −=)()()( t

ktv

k

tVk daUdv

dtddv

dtd

σ

ρρρ vvv (1.119)

şeklinde yazılabilir. (1.118) denkleminin sağ tarafında yer alan yüzey integrali terimi

Green – Gauss teoreminden faydalanılarak aşağıdaki gibi yazılabilir.

[ ]∫∫∫ +=∂ )()(

,)( t

klltv

llktv

lkl datndvtdatnσ

(1.120)

(1.119) ve (1.120) ifadeleri (1.118) denkleminde yerine yazılıp eşitliğin sağ

tarafındaki ifadeler sol tarafa geçirilirse aşağıdaki denklem elde edilir.

[ ] 0)()(

, =+−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−− ∫∫ daUtndvFft

tkkll

tv

Ekkllkk

σ

ρρρ vv& (1.121)

42

(1.121) eşitliğinin sağlanabilmesi için integrandların sıfıra eşit olması gerekir. Bu

durumda aşağıdaki ifadeler yazılabilir.

v(t) içinde; Ekkllkk Fft ++= ρρ ,v&

σ(t) üzerinde [ ] 0=+ Utn klkl vρ (1.122)

(1.122)1 denklemindeki v& terimi ivme olarak adlandırılır ve maddesel türevin

tanımından aşağıdaki şekilde ifade edilir.

vvvvv ∇⋅+∂∂

===tdt

da & (1.123)

1.6.3. Açısal Momentum Denkliği

Bu korunum yasası, herhangi bir maddesel cismin sabit bir noktaya göre açısal

momentumunun zamana göre değişme hızının cisme etkiyen dış kuvvetlerin aynı

noktaya göre toplam momentine eşit olduğunu ifade eder. t anında ortamın bir

elemanter parçacığının sabit O noktasına göre yer vektörü x ise aynı noktaya göre

açısal momentumu, veya momentumunun momenti, dvxdmx vv ×=× ρ olur.

dolayısıyla O noktasına göre toplam açısal momentum,

∫ ×=)(

0 )(tv

dvxH ρv (1.124)

Şeklinde yazılabilir. O noktasına göre dış kuvvetlerin toplam momenti 0M , açısal

momentumun ilkesinden aşağıdaki gibi yazılabilir.

∫ ×==)(

00 )(

tV

dvvxdtd

dtdHM ρ (1.125)

43

Bu çalışmada ele alınan malzeme için, dış kuvvetlerin dağılımına göre 0M aşağıdaki

gibi yazılabilir.

[ ] ∫∫∂

×+++×=)(

)()(

0 )(tV

ntV

EE datxdvCFfxM ρ (1.126)

(1.126) denklemindeki EC terimi elektrostatik gövdesel kuvvet çifti olup aşağıdaki

gibi tanımlanır (Eringen ve Maugin, 1990).

EPC ×≡E (1.127)

(1.126) denklemindeki )(nt terimi (1.116) denklemleriyle verilen ifadenin aynısıdır.

Bu durumda (1.125) ve (1.126) ifadelerinden aşağıdaki denklem yazılabilir.

[ ] ∫∫∫∂

×+++×=×=)(

)()()(

)(tV

ntV

EE

tV

datxdvCFfxdvvxdtd ρρ (1.128)

(1.128) denkleminin sol tarafındaki ifade (1.111) denkleminde ψ terimi yerine vx×

alınarak, aşağıdaki ifade elde edilir.

[ ]∫ ∫∫ ×−×=×⋅

)( )()( tV ttV

davxUdvvxdvvxdtd

σ

ρρρ (1.129)

(1.128) denkleminin sağ tarafında yer alan )(tV∂ yüzey integrali Gren-Gauss

integral teoremi yardımıyla hacim integraline dönüştürülüp gerekli işlemler

yapıldığında aşağıdaki denklem elde edilir.

( ) ( )∫ ∫∂

++=)( )(

.tv tv

krprlplkprprkkprlplkr dvitxtdaitxn εεε

[ ]∫)(t

kprlplkr daitxnσ

ε (1.130)

44

(1.129) ve (1.130) denklemleri, (1.128) denkleminde yerine yazılır, sağ taraftaki

ifadeler sol tarafa geçirilirse, (k) bileşeni cinsinden aşağıdaki ifade elde edilir.

−+−−−− ∫∫ •

)()(, )()(

tV

Ekprprk

tvrpr

EPpplplk dvCtdvtFfx ερρε v

[ ] 0)(

=+∫t

pprrlplk daUtnxσ

ρε v (1.131)

(1.131) denklemindeki birinci ve üçüncü integraller lineer momentumun yerel

denkliğini gösteren (1.122) denklemi gereğince sıfırdır. Dolayısıyla (1.131) denklemi

aşağıdaki gibi ifade edilir,

0)()(

=+∫tv

Ekprprk dvCtε (1.132)

Şeklinde elde edilir. (1.132) denkleminden açısal momentumun yerel denge

denklemi aşağıdaki gibi yazılabilir.

V(t) içinde; 0=+ Ekprprk Ctε (1.133)

(1.127) ifadesindeki vektörel çarpım yapılarak EkC bileşeni (1.133) denkleminde

yerine yazıldığında

0)( =+ prprprk EPtε (1.134)

Olduğu görülür. (1.134) denklemindeki permütasyon tansörü prkε antisimetrik

olduğundan eşitliğin sağlanması için aynı denklemin parantez içinde yer alan

ifadenin ( prpr EPt + ) simetrik olması gerekir. Bu simetrik ifade aşağıdaki gibi

tanımlanmıştır ve simetrik özelliğinden dolayı ileride görüleceği üzere bünye

denklemlerinin bulunmasında kolaylık sağlar (Maugin, 1991)

45

prprrprp tEPtt =+≡ (1.135)

(1.135) ifadesindeki pr EP terimi polarizasyon gerilme tansörü olarak adlandırılır ve

aşağıdaki şekilde ifade edilir (Eringen ve Maugin,1990; Parkus,1979).

EPtE= veya prrp

EEPt = (1.136)

(1.135) ifadesinden rpt tansörü çekilirse aşağıdaki ifade elde edilir.

prrprp EPtt −= (1.137)

(1.137) ifadesinin r’ ye göre türevi alınırsa aşağıdaki ifade yazılabilir.

rprprrrrprrp EPEPtt ,,,, ( +−= (1.138)

(1.122)1 denklemi uygun indis değişimi yapılarak, (1.115) ve (1.138) ifadeleri

yerlerine yazılırsa lineer momentumun balansı aşağıdaki şekle indirgenir.

V(t) içinde; prrprrppp EPtfv ,, −+= ρρ & (1.139)

Burada rrpt , simetrik bir tansördür. (1.131) denkleminden zıplama şartı olarak

aşağıdaki ifade bulunur.

σ(t) üzerinde; [ ] 0=+ prprlklp Utnx νρε (1.140)

(1.140) denklemi, (1.122)2 denklemi ile verilen lineer momentumun korunumundaki

sıçrama şartı ile aynı olduğundan, denge denklemlerine ilave bir katkı getirmez.

46

1.6.4. Enerji Denkliği

Bu ilke; herhangi bir maddesel cismin toplam kinetik enerjisi ile toplam iç enerjisinin

toplamının zamana göre değişme hızının, cisme etkiyen dış kuvvetlerin gücü ile

birim zamanda cisme giren ya da cisimden çıkan tüm enerjilerin toplamına eşit

oluğunu ifade eder. Enerji denkliği matematiksel olarak aşağıdaki eşitlikle verilir.

( ) ∑++=+α

αUQWEKdtd (1.141)

Bu denklemde yer alan terimler; K kinetik enerji, E cismin iç enerjisi, W cisme

etkiyen kuvvetlerin birim zamanda yaptıkları toplam iş, Q birim zamanda cisme

giren veya çıkan ısı enerjisi, αU büyüklükleri ise çeşitli etkileşimler nedeniyle

cismin birim zamandaki enerji bilançosuna katkıda bulunan elektromagnetik veya

kimyasal kaynaklı diğer enerjileri gösterir. Burada toplam kinetik enerji K, elemanter

parçacıkların 2v2v 22 dvdm ρ= elemanter kinetik enerjilerinin toplamıdır. Bu

büyüklükler sırası ile aşağıdaki gibi ifade edilmiştir.

dvKtV∫=

)(

2

21 vρ (1.142)

W cisme etkiyen kuvvetlerin birim zamandaki toplam işi, başka bir deyişle toplam

gücüdür. Dolayısıyla W büyüklüğü,

∫∫ ⋅+⋅=∂ )()(

)(tvtv

n dvfdatW vv ρ (1.143)

olarak tanımlanır. Q birim zamanda cisme giren, ya da cisimden çıkan ısı enerjisidir.

Q iki türlü oluşur. Uygun bir etkileşim mekanizmasıyla, örneğin kimyasal, nükleer

reaksiyonlarla ya da elektrik akımıyla cismin içinde ısı enerjisi üretilir veya cisimden

ısı enerjisi çekilebilir. Böyle bir enerji birim zamanda cismin birim kütlesi başına h

47

büyüklüğü ile belirlenebilir. Radyasyon ve ısı iletimi yoluyla da cismin yüzeyinden

cisme giren veya cisimden çıkan ısı enerjisi ise q ısı akısı vektörü ile belirlenir. Bu

vektör doğrultusuna dik olan bir birim alandan birim zamanda geçen ısı enerjisini

gösterir. Buna göre,

∫ ∫∂

++⋅−=)( )(

)()(tv tv

E dvhhdanqQ ρ (1.144)

yazılabilir. Gerçekten cismin ∂v(t) yüzeyinde bir alan elemanından cisme giren ya da

cisimden çıkan ısı enerjisi buradaki ısı akısı vektörünün alan elemanının normali

doğrultusundaki bileşeni ile ölçülür. Zira q vektörünün yüzeye teğet olan bileşeni

cismin yüzeyini yalayıp geçen, dolayısıyla cismin enerji bilançosuna katkıda

bulunmayan bir ısı enerjisine karşı gelir. Toplam ısı enerjisi (1.144) ifadesi ile

tanımlandığında, n yüzeyin birim dış normalini gösterdiği takdirde 0>⋅nq

olduğunda bu durumun cismin içinden dışına doğru bir enerji akısına karşı

geleceğine dikkat edilmelidir. Uα büyüklükleri çeşitli etkileşimler nedeniyle cismin

birim zamandaki enerji bilançosuna katkıda bulunan elektromagnetik, kimyasal gibi

başka kaynaklı enerjileri gösterir ve bu çalışma çerçevesinde bu tür etkileşimler göz

önüne alınmayacak. E iç enerji ise, gözlemler ve deneyler cisme etkiyen dış

kuvvetlerin yaptığı işin, ısı enerjisinin v.s. yalnız cismin kinetik enerjisini

değiştirmeye harcanmadığını açıkça göstermektedir. Bu farkın, cismin iç enerjisini

değiştirmekte kullanıldığı kabul edilecek. İç enerji varlığı, kabaca, cismin

parçacıkları arasında çeşitli etkileşimlerden kaynaklanan iç kuvvetlerin yaptığı işe

bağlanabilir. Cismin sıcaklığının değişimi iç enerji değişiminin en belirgin

göstergesini oluşturur. Cismin iç enerjisi genellikle birim kütlesi başına ε iç enerji

yoğunluğu yardımıyla belirlenebilir,

∫=)(tV

dvE ερ (1.145)

∫ ∫∑ ⋅+⋅=)( )(

EC)(tV tV

E ddFU νωννα

α (1.146)

48

İlk defa bu denklemlerde ortaya çıkan büyüklüklerin anlamı aşağıda verilmiştir:

ε : birim kütle başına iç enerji yoğunluğu

q : birim zamanda ve alanda sistem sınırlarından giren veya çıkan ısı akısı vektörü

h : birim kütle başına ısı kaynağı

Eh : elektrostatik enerji kaynağı

ω : açısal hız

(1.142) - (1.146) eşitlikleri ile verilen ifadeler (1.141) enerji denkleminde yerine

konursa enerji denkliği aşağıdaki formda ortaya çıkar;

[ ] +⋅+⋅+++⋅=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + ∫∫

)()(

2 )(21

tv

EEE

tv

dvCFhhfdvdtd ωνρρερ vv

( )∫∂

⋅−⋅)(

)(tv

n danqt v (1.147)

(1.111) denkleminde ψ terimi yerine 2v21

+ε alınır ve (1.147) denkleminin sol

tarafındaki ifade,

∫∫∫ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

)(

2

)()(

2

21

21

ttvtv

daUdvdvdtd

σ

ερεερ vvvv && (1.148)

şeklinde elde edilir. (1.148) denklemindeki, vve &&ε terimleri iç enerji ve hızın

maddesel türevlerini göstermektedir. (1.147) denkleminin sağ tarafındaki ∂v(t)

üzerideki yüzey integrali Green – Gauss teoremi yardımıyla hacim integraline

dönüştürülerek gerekli işlemler yapılırsa,

∫ ∫∂

+−+=−)( )(

,,, )()(tV tV

kkklkllkklklklk dvqvtvtdaqvtn

[ ] daqvtnt

klklk∫ −)(σ

(1.149)

49

ifadesi elde edilir. (1.148) ve (1.149) denklemleri (1.147) denkleminde yerine

yazılırsa aşağıdaki ifade bulunur.

dvFftChhqttv

Ellkklllk

Ek

Ekkklkl∫ ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −−−+−+−+−

)(,,, )())( ρρωρερ vvv &&

021

)(

2 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−++− ∫ daqtnU

tklklk

σ

ερ vv (1.150)

(1.149) denkleminde (1.122)1 ifadesiyle verilen lineer momentumun korunumu

dikkate alınarak gerekli sadeleştirme yapıldığında,

dvChhqttv

kE

kE

kkkllk∫ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−+−

⋅

)(,, )( ωρερ v

021

)(

2 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+− ∫ daqvtnU

tkllkk

σ

ερ v (1.151)

İfadesine ulaşılır ve gerekli yerelleştirilme işlemleri sonucunda,

v(t) içinde; kE

kE

kkklkl Chhqt ωρρερ +++−= ,,v&

σ(t) üzerinde; 021 2 =−++ klklk qtnU vvερ (1.152)

Denklemleri elde edilir. (1.152)1 denklemindeki Ehρ terimi birim hacim başına

elektrostatik enerji kaynağı olarak adlandırılır ve aşağıdaki gibi ifade edilir.

klE

klllEE dtPEdtPEh +=+⋅= && :ρ (1.153)

(1.153) ifadesi sürekli ortam parçacığı için enerji kaynağı terimi olarak düşünülebilir.

Çünkü sürekli ortamlar teorisinde içi alanların katkısı iç-enerji ve gerilme tansörü

vasıtasıyla ifade edileceği için, enerji kaynağı terimi olarak sadece maddesel

50

noktanın dışında olan faktörlerin katkısı dikkate alınır. Örneğin; parçacığın kapladığı

uzay boşluğunda oluşan elektrik alanda depo edilen )21( 2

0 Ehε şeklindeki

elektriksel enerji, iç-enerji )(ε teriminin içinde olduğu düşünülür. (1.153)

denklemindeki P& terimi aşağıdaki tanımla verilir (Eringen ve Maugin, 1990).

νν ∇⋅−⋅∇+≡ PPPP )(&& (1.154)

(1.153) denklemindeki E

t terimi, polarizasyon gerilme tansörü olarak adlandırılmış

ve (1.136) denklemiyle ifade edilmiştir. (1.153) denklemindeki simetrik bir tansör

olan d, şekil değiştirme hızı (genleme hızı) tansörü olarak adlandırılır ve aşağıdaki

gibidir.

lkkllkkl dd =+= )(21

,, νν (1.155)

(1.154) ve (1.155) de verilen ifadeler (1.153) denkleminde yerine yazılırsa aşağıdaki

ifade elde edilir.

)(21

,,,, kllklkklklkkE EPPEPEPEh ννννρ ++−⋅+⋅= & (1.156)

Birim kütle başına polarizasyon Π ile gösterilerek aşağıdaki gibi tanımlanmıştır

(Eringen ve Maugin, 1990).

ρP

≡Π (1.157)

(1.157) ifadesinden yararlanarak P vektörünün maddesel

türevi ρρρ Π+Π=Π•

&& şeklinde alınıp süreklilik denklemi de göz önünde

51

bulundurularak (1.156) ifadesi uygun indis değişiklikleri ve sadeleştirmelerden

sonra,

kllklklkkllkE EPEPEPEh ,,, 2

121 νννρρ ++−Π⋅= & (1.158)

Şeklinde elde edilir. (1.152)1 denklemindeki CE terimi (1.127) denklemiyle

tanımlanmıştı. Açısal hız ω terimi de aşağıdaki gibidir.

νω ×∇=21 (1.159)

(1.127) ve (1.159) ifadelerinin sağ tarafında yer alan vektörel çarpım işlemleri

yapılarak, (1.152)1 eşitliğinin sağ tarafında yer alan en son terim mmEC ω aşağıdaki

gibi elde edilir.

lklkkllkmmE VEPVEPC ,, 2

121

−=ω (1.160)

(1.152)1 denklemindeki mmEE Ch ωρ + terimi, (1.158) ve (1.160) ifadelerinden

gerekli sadeleştirmeler yapılarak aşağıdaki gibi bulunur.

Π⋅=+ &ECh EE ρωρ (1.161)

(1.161) ifadesi (1.152)1 denkleminde yerlerine yazıldığında,

v(t) içinde; Π⋅++−= && Ehqt kkklkl ρρερ ,,v (1.162)

Şeklinde yerelleştirilmiş enerji denklemi elde edilir.

52

1.6.5. Termodinamiğin ikinci kanunu (Clausius – Duhem Eşitsizliği)

Entropi eşitsizliği veya Clausius – Duhem eşitsizliği de denilen bu kanuna göre,

serbest cisim içindeki entropinin zamana göre artışı, cisme hacim kaynaklarından ve

yüzeyden giren entropiden daha büyüktür veya en az ona eşittir. Termodinamiğin

ikinci kanunu, matematiksel olarak aşağıdaki gibi ifade edilir.

( ) ( )( )0≥Γ≡

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅−− ∫ ∫∫

∂tV tVtV

daqndvhdvdtd

θθρηρ (1.163)

(1.163) denkleminin sol tarafındaki ilk terim, (1.111) denkleminde ψ yerine )(η

yazılarak

( )[ ]

( )( )∫ ∫∫ −−

tV ttV

daUdvdvdtd

σ

ηρηρηρ & (1.164)

şeklinde elde edilir. (1.163) denkleminde son integral terimi Green – Gauss

teoreminden faydalanılarak aşağıdaki şekilde yazılır.

( ) ( )daqndvqdaqn

ttv tV∫∫ ∫ ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅∇=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅

∂ σ θθθ)(

(1.165)

(1.164) ve (1.165) denklemleri (1.163) eşitsizliğinde yerlerine yazılırsa aşağıdaki

ifade elde edilir.

( ) ( )0≥⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅−−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅∇+− ∫∫ daqnUdvqh

ttV σ θηρ

θθρηρ & (1.166)

(1.166) denkleminin yerelleştirilmesi sonucunda,

53

v(t) içinde; 0112 ≥≡∇⋅−⋅∇+− γρθ

θθθρηρ qqh

&

σ(t) üzerinde; 0≤⋅−

θηρ qnU (1.167)

denklemleri elde edilir. Burada ifade edilen denge denklemleri aşağıdaki gibi

özetlenerek maddeler halinde yazılabilir.

1. Kütlenin Korunumu (1.108) ve (1.110)

v(t) içinde; 0, =+ kkvρρ& veya 0)( , =+∂∂

kktvρρ

σ(t) üzerinde; 0=ρU

),()(

),( 0

txJX

txρ

ρ = (1.168)

2. Lineer Momentumun Korunumu (1.122)2 ve (1.139)

v(t) içinde; prrrrppp EPtf ,, −+= ρρ v&

σ(t) üzerinde; [ ] 0=+ Utn klkl vρ (1.169)

3. Açısal Momentumun Korunumu (1.133), (1.137) ve (1.140)

v(t) içinde; 0=+ Ekrpkrp Ctε , prrprp EPtt −=

σ(t) üzerinde; 0=+ pprrlplk Utnx vρε (1.170)

54

4. Enerjinin Korunumu (1.152)2 ve (1.162)

v(t) içinde; Π⋅++−= && Ehqt kkklkl ρρερ ,,v

σ(t) üzerinde; 021 2 =−++ klklk qtnU vvερ (1.171)

5. Entropi Eşitsizliği (1.167)

v(t) içinde; 0112 ≥≡∇⋅−⋅∇+− ργθ

θθθρηρ qqh

&

σ(t) üzerinde; 0≤⋅−

θηρ qnU (1.172)

6. Gauss Kanunu (1.98)

v(t) içinde; 0=⋅∇ D , PED += 0ε

σ(t) üzerinde; [ ] fDn ω=⋅ (1.173)

7. Faraday Kanunu (1.99)

v(t) içinde; 0=×∇ E , ϕ−∇=E

σ(t) üzerinde; [ ] 0=× En (1.174)

Yukarıda liste halinde verilen denge denklemlerinde yer alan ve bilinmeyen olarak

göz önüne alınacak büyüklükler sayılarıyla birlikte aşağıdaki gibi sıralanabilir.

)1(,)3(,)3(,)1(,)1(,)3(,)6(,)3(,)1( εηθνρ kkkklk Eqt Π (1.175)

55

(1.169)1 ve (1.171)1 denklemlerindeki f ve h gibi dış kaynakların bilindiği kabul

edilmiştir. (1.175) ifadesinden görüldüğü gibi bilinmeyen sayısı 22 tanedir. Buna

karşılık bu bilinmeyenleri tespit etmek için mevcut olan (1.168) - (1.174)

ifadelerinden 1+3+3+1+1+1+3 = 13 tane denklem elde edilebilmektedir. Bilinmeyen

sayısı, denklem sayısından çok olduğu için ilave denklemlere ihtiyaç duyulmaktadır.

İleride görüleceği üzere, aradaki farkı kapatacak olan 9 tane denklemin 6 tanesi

simetrik gerilme tansörüne 3 tanesi de polarizasyon vektörüne ait skaler bileşenler

şeklinde ortaya çıkacaktır. Bu denklemler, sürekli ortam olarak kabul edilen, elastik

Piezoelektrik bir maddesel cismin karakterini belirleyen bünye denklemleri olacaktır.

56

2. KAYNAK ÖZETLERİ

Modern sürekli ortamlar mekaniğine ait temel kavram, aksiyom ve denklemler

çalışmamızın her aşamasında kullanılmıştır. Sürekli ortalar mekaniği alanında

Eringen (1967, 1980), ve Şuhubi (1994)’nin kitapları temel kaynaklar olarak

kullanılmıştır. Eringen (1967), modern sürekli ortamlar mekaniğinin ana iskeletini

oluşturduğu bu eserinde sırasıyla gerinme, hareket, gerilme, sürekli ortamın

termodinamiği, bünye denklemleri ve elastisite teorisi, akışkanların dinamiği ve

termoelastisite konularını sistematik bir tarzda işlemiştir. Eringen (1980)’ de

yukarıdaki konulardan farklı olarak sürekli ortamların elektrodinamiğini ayrı bir

bölüm olarak vermiştir. Şuhubi (1994)’nin eseri ise Eringen (1967)’nin paralelinde

ancak daha detaylı yazılmış ve sürekli ortamlar mekaniği konusunda Türkçe

literatüre kazandırılmış bir başyapıt mahiyetindedir. Sürekli ortamlar mekaniği

konusunda yabancı literatürde çok sayıda yayın bulunmaktadır. Bunlar arasında

Jaunzemis (1967), Malvern (1969), Dawson (1976), Spencer (1980),

Chandrasekharaih ve Debnath (1994) önemli eserler olarak görülmektedir.

Termoelastisite ve uygulamaları konusunda Nowacki (1975)’ nin kitabı büyük bir

boşluğu doldurmaktadır. Nowacki bu eserinde termoelastisitenin temel denklemlerini

oluşturmakta, termoelastik ortamda harmonik dalgalar, peryodik olmayan

kaynaklardan doğan termoelastik dalgaların yayılması, düzlem termoelastisite

problemleri, anizotropik ve piezoelektrik cisimlerin termoelastisitesi,

magnetotermoelastisite konularını büyük bir titizlikle incelemektedir. Bu kaynak

özellikle uygulamalar yönünden oldukça zengindir (Usal, 2001).

Singh vd. (2006), yayınlamış olduğu makalesinde, Cr3+ katkılı basit PZN kristalinin

dielektrik ve piezoelektrik özelliklerini incelemiştir. %0.5 mol Cr2O3 katkılı PZN

kristallerini akış metoduyla üretmiştir. <001> merkezli tekli kristallerin dielektrik ve

piezoelektrik özellikleri incelemiş ve sonuçlar saf PZN tekli kristaliyle

karşılaştırılmıştır. Kromiyumla birleştirildiğinde dielektrik geçişi ve artık

kutuplaşması ve d33 değerlerinin düşüş gösterdiğini ve aksi bir durum olan zorlayıcı

alanı ile nitelik faktörü (qm) nin arttığını bulmuştur.

57

Zong vd. (2006), yayınlamış olduğu makalesinde Pb3O4 ile kuvvetlendirilmiş PZT-

PFW – PMN piezoelektrik seramiğinin yapısına WO3 ilave edilmesinin etkileri ve

elektriksel özelliklerini incelemiştir. WO3’ ün yapıya eklenmesiyle hacim yoğunluğu

ve seramiğin elektriksel özellikleri belirgin oranda değişmiş, Seramiğin

yoğunlaşmasını sağlayan likit- sıvı safhası oluşturulmuş ve kırılgan yapı değişmiştir.

WO3’ ün aşırı miktardaki karışımında ise dielektrik ve piezoelektrik özellikleri en

uygun elektriksel özellikler olarak belirlenmiştir.

Erdem vd. (2005), yayınlamış oldukları makalede, keyfi bir fiber ailesi ile takviye

edilmiş viskoelastik ve piezoelektrik bir malzemenin dış çevreden maruz kaldığı

elektromekanik yükler karşısında davranışını Sürekli Ortamlar Mekaniği kapsamında

sistematik bir şekilde incelemiştir. Cismin matris kısmının viskoelastik ve

piezoelektrik anizotropiye sahip olduğu buna ilaveten fiber takviyesi nedeniyle de

cismin tüm ortam olarak anizotropik bir yapıya sahip olduğunu varsaymıştır. Genel

yaklaşım tarzı olarak elastik gerilme ve elektriksel polarizasyon alanlarını, işlemler

içinde tanımlanan bir termodinamik potansiyelden (gerilme potansiyeli) türetmiştir.

Gerilme potansiyelinin ve dissipatif gerilme fonksiyonunun analitik olduğunu

varsayarak bağlı oldukları argümanları cinsinden Taylor serisinde açmıştır. Mekanik

etkileşimleri lineer, elektriksel etkileşimleri nonlineer olarak kabul etmiş ve bünye

denklemlerindeki fonksiyonları veren kuvvet serilerinin terimlerinin mertebelerini

buna göre tesbit etmiştir. Sonuç olarak ta elde edilen bünye denklemlerini denge

denklemlerinde yerine yazarak alan denklemlerini bulmuştur.

Ray vd. (2005), yayınlamış olduğu makalesinde, işlevlerine göre sınıflandırılmış

tabakaların, PFRC (Piezoelektrik Fiber takviyeli kompozit) malzemesiyle

birleşmesinin statik analizi için sınırlı sonlu eleman modeli türetilmesiyle

ilgilenmiştir. PFRC malzemesinin katmanı, FG (işlevsel olarak sınıflandırılmış)

tabakalarının dağıtımlı aktuatörü (dağıtımına neden olan) olarak görev yaptığını

kabul etmiştir. PFRC katmanındaki piezoelektrik fiber açısı değişkenliğinin FG

tabakalarını harekete geçirme kabiliyeti üzerinde önemle durmuştur. Sonlu elaman

modeli (FEM) ile kalın ve ince tabakalar için tam/doğru çözümlerle, katman FG

58

tabakasının yüzeyine minimum sertlikte bağlı olduğu zaman, maksimum sertlikte

bağlı olduğu zamandan daha etkili olduğunu gözlemlemiştir.

Yang vd. (2005), “ PZT – PZM – PZN Piezoelektrik seramiğinin yapısı ve elektriksel

özelliği ” konulu çalışmasında farklı içeriklere sahip olan Pb(Zr0.52 Ti0.48)O3 –

Pb(Mn1/3 Sb2/3)O3 – Pb(Zn1/3Nb2/3)O3 piezoelektrik seramiğini, erimiş tuz bireşimi ile

sentezlemiş, PZN içeriğinin; yapı, mikroyapı, dielektrik ve piezoelektrik özellikleri

üzerindeki etkisini detaylı bir şekilde incelemiştir. PZN içeriğinin %2 den %7 ye

kadar olduğu aralıklarda içerik arttıkça malzemenin tane boyutunun yavaş bir şekilde

azaldığını, malzemenin dielektrik ve piezoelektrik özelliklerinin önemli ölçüde

değiştiğini saptamışlardır.

Çalışkan (2002), yapmış olduğu yüksek lisans tezinde piezoelektrik seramikler gibi

akıllı yapıların havacılık ve uzay mühendisliğindeki uygulama alanları üzerine bir

çalışma yapmıştır. Çalışmasında kullandığı akıllı yapılar; düz, sonlu kiriş ve plak

geometrisindeki alüminyum yapılardan ve bunların yüzeylerine yapıştırılan PZT

(Lead- Zirconate- Titanate) yamalardan oluşmaktadır. Bu çalışmada öncelikle akıllı

kiriş ve plakaların yapısal modellemeleri yapılmış ve elde edilen bu modeller, akıllı

elemanların boyut, yerleşim ve piezoelektrik uyarı gerilimi gibi etkileri düşünülerek,

akıllı yapıların statik ve dinamik davranışlarının detaylı analizleri için kullanmıştır.

Çalışkan, bu tez çalışmasında yapısal modellemeler için ANSYS yazılımından

yararlanarak tasarım ve analiz esnasında sonlu elemanlar yaklaşımı ve deneysel

sistem tanımlama tekniklerini kullanmıştır.

Gözen (2002), yapmış olduğu yüksek lisans tezinde yüzeyine piezoelektrik malzeme

yapıştırılmış bir çubuğu analitik ve nümerik olarak incelemiş ve piezoelektrik

kullanımı olarak bir robot eli modeli oluşturmuştur. Bu çalışması yapılarda şekil

kontrolünün sağlanması ve dinamik davranışlarının anlaşılması açısından büyük

kolaylık sağlamıştır. Her iki yüzeyine simetrik olarak piezoelektrik malzeme

yapıştırılmış sonlu bir katılığa sahip yapıştırma katmanı varsayılan çubuğun statik bir

modelini oluşturmuş ve kayma gerilmelerin piezoelektrik malzemeden ana yapıya

nasıl iletildiğini incelemiştir. Ayrıca çalışmasının ikinci bölümünde akıllı yapılar,

59

uyarıcı malzemeler, smart kompozit yapılar ve uyarıcı malzemelerin kıyaslanması

gibi konularda da bilgi vermiştir.

Usal (2001), yapmış olduğu doktora tezinde, tek fiber ailesi ile takviye edilmiş

viskoelastik ve piezoelektrik özellik taşıyan bir biyolojik yapı elemanının nonlineer

davranışını, modern sürekli ortamlar mekaniği çerçevesinde sistematik olarak

incelemiştir. Mekaniğin denge kanunları ile tutarlı olan termodinamiğin birinci ve

ikinci kanunlarının birleştirilmiş şeklini, serbest enerji fonksiyonunun bağımsız

değişkenleri cinsinden ifade etmiştir. Matris malzemesinin izotrop olma özelliğini

dikkate almış, invaryantlar teorisini kullanarak fiber takviyeli, viskoelastik ve

dielektrik özellikli bir ortamın nonlineer elektromekanik davranışını belirleyen bünye

denklemini elde etmiştir. Daha sonra matris ortamın izotrop olma kısıtlamasını bir

tarafa bırakarak genel anizotrop bir ortam için simetrik gerilme, polarizasyon alanı

ve dissipatif gerilme için nonlineer bünye denklemlerini elde etmiştir. Tezinde

mekanik ve elektromekanik etkileşimleri nonlineer olarak kabul etmiş ve anizotrop

ortamlar için elde ettiği bünye denklemlerinde 5. ve 6. mertebeden malzeme

tansörlerine ulaşmıştır. Elde ettiği bu ifadelerin pratikte kullanılabilmesi için bünye

denklemlerini lineerleştirmiş ve en sonun da bu denklemleri Cauchy hareket

denklemi ve toplam elektriksel yer değiştirme vektörü ifadesinde yerine yazıp alan

denklemine ulaşmıştır. Tüm bunların sonucunda fiber takviyeli viskoelastik ve

piezoelektrik özellikler taşıyan ortamların elektro- termomekanik davranışlarını

temsil eden bünye denklemlerine ait matematiksel bir model oluşturmuştur.

Holmes vd. (2000), sensör uygulamaları için yeni piezoelektrik yapılar hakkında

ilginç araştırmalarda bulunmuşlardır. Bu araştırmalarda piezoelektrik seramik

cihazlar helisel bir yay şeklinde sinterlenmiş bir seramik tüp formunda oluşturulmuş,

tüpün iç ve dış yüzeyleri üzerine elektrodlar yerleştirilmiştir. Bu yapılar düşük elastik

uygunluk ve düşük doğal rezonans frekanslarına sahiptir. Cihazların rezonans

frekanslarını önceden belirleyebilen denklemler geliştirilmiş, bu denklemlerden elde

edilen sonuçların ölçülen değerlerle uyum içerisinde olduğu görülmüştür. İncelenen

cihazın frekans davranışı belirlenmiş ve klasik elektromagnetik jeofonlarla

kıyaslanmıştır. Klasik piezoelektrik sensörler piezoelektrik malzemeden yapılmış

60

bloklar veya diskler şeklindedir, hidrofonlarda veya ivmeölçerlerde basınç

dalgalarının ölçülmesi amacıyla kullanılırlar. Bu incelemenin asıl amacı sensör

uygulamaları için seramiklerin kesin şekli veya formu üzerinde bir inceleme yapmak

bu formların avantajlarını net bir şekilde belirlemektir. Kullanılan malzeme PZT

cinsinden bir piezoelektrik malzemedir.

Tauchert vd. (2000), akıllı kompozit yapılarla ilgili termo-piezo-elastisite

teorisindeki gelişmeler hakkında teorik incelemeleri gözden geçirmişlerdir. Piezo-

termo-elastik ortamın lineer davranışını yöneten denklemler belirlenmiş, potansiyel

fonksiyonlara dayalı bir genel çözüm prosedürü tanımlanmıştır. Önceden belirlenen

termal yükler ve elektriksel potansiyel dağılımlarının sonucunda sensör

uygulamalarının sonuçları belirlenmiş kiriş, plak ve kabuk gibi kompozit yapıların

piezoelektrik tetikleyicilerle nasıl kontrol edileceği anlatılmıştır.

Yağcı (1998), yapmış olduğu yüksek lisans tezinde, üzerine piezoelektrik malzeme

yapıştırılmış bir kirişin denetimini incelemiştir. Euler-Bernoulli kiriş varsayımını

kullanmış ve kirişleri değişik yapıştırıcı varsayımları kullanarak modellemiştir.

Analitik çözüm ile daha önce elde ettiği sayısal çözümler kullanılarak modelleri

doğrulamıştır. Algılayıcı ve eyleyici denklemleri statik ve dinamik durumlarda

denetlemiştir. Model konusunda daha fazla bilgi sahibi olmak için parametrik

çalışmalar yapmış, iki farklı yapıştırma modelini parametrik bir çalışma ile

kıyaslamıştır.

Ikeda (1990), yaptığı çalışmada piezoelektrik özelliğin temelleri konusunda çok

önemli sonuçlara ulaşmıştır. Bu çalışmasında elektrik, mekanik ve termal sistemler

arasındaki etkileşim proseslerini belirlemiş malzemenin piezoelektrik ve piroelektrik

özelliklerinin nasıl ortaya çıktığını anlatmıştır. Elektromekanik etkileşim ve

piezoelektrik bağlantıların termodinamik açıdan incelenmesini sağlamıştır. Kristal

simetri ve fiziksel sabitleri incelemiş, piezoelektrik ortamda sesin yayılımı, mekanik

ve dielektrik kayıpları ele almıştır. Ayrıca yaptığı bu çalışmada piezoelektrik

malzemeler ve elektromekanik transduserleri detaylı bir şekilde incelemiştir.

61

Mindlin (1972), yaptığı çalışmada, elastisite, piezoelektrik özellik ve kristal kafes

dinamiği hakkındaki çalışması bu tarihe kadar yapılan çalışmalara bir özet teşkil

etmekte ve malzemelerin mikro davranışlarını temsil eden atomik ölçekten makro

düzeyde elastik ve piezoelektrik davranışları temsil eden denklemleri elde

etmektedir. Tiersten (1971), bu alanda yapılan bir başka önemli çalışmaya imza

atmıştır. Çalışmasında termo- elektroelastisitenin nonlineer denklemlerine ulaşmak

için birisi elektronik yük sürekli ortamı, diğeri ise kafes (maddesel) sürekli ortamı

olmak üzere iki sürekli ortam etkileşimini göz önüne almıştır. Bu çalışmasında

elektrostatik gerilme tansörünü çok açık bir şekilde ortaya koymuştur.

62

3. MATERYAL VE YÖNTEM

3.1. Materyal

Bu çalışmada, materyal olarak elastik-piezoelektrik bir cisim ele alınmış ve ortamın

sıkışabilir olduğu kabul edilmiştir. Elektro-Termomekanik yükleme sonucunda ele

alınan ortamda ortaya çıkan gerilme ve polarizasyon alanı ifadelerinin hesabını

sağlayan bünye ve alan denklemleri çıkartılmıştır. Öncelikle tüm ortamlar için

geçerli olan genel balans denklemleri, Termodinamiğin ikinci prensibi (Clausius –

Duhem eşitsizliği), Elektrostatik alanların davranışı, bünye teorisinin aksiyomları ve

özellikle objektivite, maddesel simetri aksiyomları ve malzemenin simetri grubuna

ilişkin kavramlar bünye denklemlerinin ortaya konulmasında bir yöntem olarak

kullanılmıştır.

3.1.1. Elastik Piezoelektrik Ortamların Termodinamiği

Kısım 1.6’ nın sonunda bahsedildiği gibi denge denklemleri herhangi bir fiziksel

ortam için geçerli olan denklemlerdir. Bu bölümde termodinamiğin birinci ve ikinci

kanunu birleştirilip, bünye aksiyomları da kullanılarak gerilme, polarizasyon, entropi

yoğunluğu, iç enerji ve ısı akısı yoğunluğu tayin edilecektir. Çalışmanın bu

kısmında, ilk önce yukarıda adı geçen büyüklükler üzerindeki termodinamik

kısıtlamaları kullanarak, ortamın fiziksel ve topolojik özellikleri de dikkate alınıp

bünye denklemlerine de ait genel formüller çıkarılacak daha sonra da bünye

aksiyomlarının ilgili olanları kullanılarak bu formüller somutlaştırılacaktır.

Kısım 1.6’ daki (1.167)1 ifadesini pratik kullanım bakımından daha yararlı şekillerde

yazmak için, (1.162) ifadesinden ısı kaynağı )( hρ çekilir, (1.167)1 ifadesinde yerine

yazılırsa aşağıdaki ifade elde edilir.

011)( ,2, ≥−+Π−−−≡ kkklkl qtE θθ

νθ

ηθεθρργ &&& (3.1)

63

Bu ifadedeki entropi yoğunluğunun ve polarizasyonun maddesel türevi

termodinamik bir proses içinde kontrol edilemeyeceğinden dolayı bu büyüklüklerin

türevini, yukarıda verilen (3.1) ifadesinde kontrol edilebilen θ ve E büyüklüklerine

intikal ettirmek için aşağıdaki gibi tanımlanan bir Legendre transformasyonu

kullanılabilir.

Π⋅−−≡ Eθηεψ veya kk PE1−−−≡ ρθηεψ (3.2)

Yukarıdaki ifadede ψ , genelleştirilmiş Helmholtz serbest enerjisi adını alır ve

termodinamik bakımdan enerjinin kullanılabilir kısmını temsil eder. Daha ileride

belirtileceği gibi, serbest enerji yoğunluğunun hangi büyüklüklere bağlı olduğunu

malzemenin bünyesi belirleyecektir.

(1.157) tanımıyla verilen )(Π ’nin ve (3.2) ifadesindeki )(ε ’ nun maddesel türevi

(3.1) eşitsizliğinde yerine yazılırsa, kontrol edilebilir bağımsız değişkenler cinsinden

Entropi eşitsizliği (Termodinamiğin ikinci kanunu) aşağıdaki şeklini alır (Eringen ve

Maguin, 1990).

011)( ,2,1 ≥−+++−≡ −

kkkllkkk qtPE θθ

νθ

ρηθψθρργ &&& (3.3)

)(θ pozitif değerli olduğundan, (3.3) eşitsizliği )(θ ile çarpılırsa eşitsizlik

değişmeyecektir. (3.3) eşitsizliği )(θ ile çarpılıp gerekli sadeleştirmeler yapıldığında

aşağıdaki eşitsizlik elde edilir.

011)( ,,1 ≥−+++− −

kkkllkkk qtPE θθ

νθ

ρηθψρ &&& (3.4)

(3.4) eşitsizliğinde yer alan gerilme tansörü mekanik ve elektrik yüklemelerden

kaynaklanmaktadır ve simetrik değildir. Bu gerilme tansörünün yerine (1.137) ifadesi

ile verilen gerilme ifadesi yazılırsa, elde edilen yeni entropi eşitsizliği sadece

64

simetrik bir gerilme tansörünü ihtiva edeceğinden, simetrik tansörün avantajlarından

yararlanmayı sağlayacaktır. Dolayısıyla (3.4) eşitsizliği aşağıdaki şekilde yazılabilir.

01)( ,,, ≥−−−++− kkkkkllkklkl EPqEPt &&& θθ

ννηθψρ (3.5)

(3.5) eşitsizliğindeki kl ,ν terimi hız gradyanı tansörü olarak bilinir ve aşağıdaki gibi

tanımlanmıştır (Şuhubi, 1994).

lkkl L≡,ν veya vL ∇≡ (3.6)

Hız gradyanı tansörünün transpozu, simetrik olan şekil değiştirme hızı tansörü d ile

antisimetrik olan spin tansörü w ’nun toplamı olarak tanımlanmaktadır (Şuhubi,

1994).

ddL +≡T veya klkllk wd +≡,ν (3.7)

(3.7) ifadesinin transpozu alınırsa, hız gradyanı tansörü aşağıdaki gibi yazılabilir.

TT ddL += veya lklkkl wd +=,ν (3.8)

(3.6) eşitsizliğindeki klklt ,ν terimi (3.8) ifadesinden, klt gerilme tansörünün simetrisi

ve lkw spin tansörünün antisimetrisi nedeniyle aşağıdaki gibi elde edilir.

klklklkl dtt =,ν (3.9)

(3.9) ifadesi (3.5) eşitsizliğinde yerine yazılırsa, aşağıdaki eşitlik elde edilir.

01)( ,, ≥−−−++− kkkkkllkklkl EPqEPdt &&& θθ

νηθψρ (3.10)

65

(1.24)1 denklemiyle verilen Green deformasyon tansörünün maddesel türevi alınırsa, dkl cinsinden aşağıdaki gibi yazılır.

LlKkklKL xxdC ,,2=& (3.11)

(3.11) eşitliğinde bilinen işlemler tekrarlanırsa, dkl simetrik şekil değiştirme hızı

tansörü KLC& cinsinden aşağıdaki gibi bulunur.

lLkKKLkllk XXCdd ,,21 &== (3.12)

(3.10) eşitsizliğinde; ρ yerine (1.110) ifadesi, )( lkd yerine de (3.12) ifadesi yazılır

ve eşitsizlik (J) ile çarpılırsa aşağıdaki eşitsizlik elde edilir.

−−++− kllklLkKKLkl

EJPXXCtJ ,,,0 21)( νηθψρ &&

01, ≥− kkkk EPJqJ &θ

θ (3.13)

ψ ye bağlı gerilme potansiyeli aşağıdaki gibi tanımlanabilir.

ψρ0≡Σ (3.14)

Σ bundan böyle serbest enerji adı ile anılacaktır. (3.14) deki tanımıyla verilen

serbest enerjinin (3.13) de yerine yazılmasıyla eşitsizlik aşağıdaki yeni formuna

kavuşur.

−−++Σ− kllklLkKKLkl

EJPXXCtJ ,,,0 21)( νθηρ &&&

01, ≥− kkkk EPJqJ &θ

θ (3.15)

66

Σ ’nın objektif olması istendiğinden, argümanların tümü aşağıdaki (3.16) - (3.17)

ifadelerindeki tanımlarla maddesel koordinatlara göre yazılmıştır. Böylece (3.16)

ifadesiyle, (3.15) eşitsizliğinde yer alan serbest enerji yoğunluğunun, bu çalışmada

ele alınan ortam için hangi argümanlara bağlı olduğu ortaya çıkmıştır.

kllLkKkl tXXJT ,,≡ (3.16)

kkKK qXJQ ,≡ (3.17)

kkKk

kKkkK XPXPXJ Π==≡Π ,0,0, ρρ

ρ (3.18)

kKkK ExE ,≡ (3.19)

kKkK x ,,, θθ ≡ (3.20)

(3.16) - (3.20) tanımlarından aşağıdaki ifadeler yazılabilir.

KLLlKkkl TxxJt ,,1−= (3.21)

KKkk QxJq ,1−= (3.22)

KKkK xJP Π= −,

1 (3.23)

KkKk EXE ,= (3.24)

KkKk X ,,, θθ = (3.25)

(3.15) eşitliğinde, (3.16), (3.20), (3.22), (3.23) ifadeleri kullanılır ve gerekli işlemler

yapılırsa aşağıdaki eşitsizlik elde edilir.

67

0)(121)( ,,,,0 ≥+Π−−++Σ− kKklklKkKKKKLKL ExExQCT &&&& νθ

θθηρ (3.26)

(3.26) eşitsizliğinde parantez içindeki ifade, klKkx ,, ν terimi, şekil değiştirme

gradyanının maddesel türevi dikkate alınarak, •

== KlKlKkkl xx ,,,, νν şeklinde ve

kKk Ex &, terimi ise indis değişikliği yapılarak lKl Ex &

, şeklinde, ayrıca KlKl EEx &=•

,

şeklinde yazılabileceğinden, (3.26) eşitsizliği maddesel koordinatlardaki bileşenleri

cinsinden aşağıdaki formda ifade edilir.

0121)( ,0 ≥Π−−++Σ− KKKKKLKL EQCT &&&& θ

θθηρ (3.27)

(3.15) eşitliği elektrostatik bir alanın etkisinde bulunan ve elastik bir davranış

gösteren termomekanik alanlar için entropi üretiminin genel bir ifadesidir. Bu

eşitsizliğin kullanılabilmesi için Σ ’nın hangi bağımsız değişkenlere ne şeklide bağlı

olduğunun bilinmesi gerekir. Buna göre Σ ’nın argümanlarını seçmek formal olarak

belli bir malzeme seçmek demektir.

Bu çalışmada elektro- termomekanik bir alanın etkisinde bulunan, elastik davranış

gösteren bir maddesel cisim malzeme olarak seçilmiştir. Seçilen bu malzemeye göre

Σ ’ nın argümanları ve bağlı olduğu değişkenler, Eringen (1980) ve Şuhubi (1994)

daha genel ve sistematik bir yaklaşım izleyerek tüm bünye fonksiyonları için

geliştirdikleri bünye aksiyomlarını kullanarak bulunacaktır.

68

3.1.2. Bünye Aksiyomları

Şimdiye kadar elde ettiğimiz ve sürekli ortamlarda geçerli olan denge denklemleri

ortamın davranışını belirlememize yetmeyecektir. Bir malzemenin davranışını

bilebilmemiz için o malzemeyi başka malzemelerden ayıran özellikleri

denklemimizin içine almamız gerekir. Bir malzemenin fiziksel olarak geçerli bütün

davranışlarında etkili olacak tüm özelliklerini yansıtıcı genellikte ilişkilere çoğu

zaman gerek yoktur. Malzemenin incelenmek istenen davranışını belirleyen, daha

sade ilişkiler yeterli olacaktır. Çeşitli alan büyüklükleri arasında geçerli olan ve göz

önüne alınan malzemelerin yapısal özelliklerinden kaynaklanan bağıntılara bünye

bağıntıları veya bünye denklemleri adı verilir. Elastik malzemelerin bünye teorileri

üzerinde çalışırken yedi adet aksiyomu işleme katacağız. Bu denklemlerin cisimlerin

gözlenen ve de incelenmesi arzu edilen özeliklerini yansıtacak şekilde rasyonel ve

sistematik olarak üretilmesi ile uğraşan teori de bünye teorisi adını alır. Her

aksiyomda olduğu gibi bünye aksiyomları da doğadan elde edilen ilkel izlenimlere ve

rasyonel bir dönüşüm sistemine uyumlu bazı önermelerdir (Şuhubi, 1994).

3.1.2.1. Nedensellik (Kozalite) Aksiyomu

Bu aksiyom yalnız termal etkileşimlerin göz önüne alındığı ortamlarda

gözlemlenebilir yada ölçülebilir kabul edeceğimiz hareket ),( tXx ile sıcaklık

),( tXθ alanlarının bağımsız bünye değişkenler olarak seçilmesi gerektiğini ve

verilmiş kabul edilecek dış kuvvetlerle ısı kaynağı dışında denklik denklemlerine ve

entropi eşitsizliğine giren öteki alanların bağımlı bünye değişkenleri olduğunu ifade

eder. Başka bir deyişle bağımlı bünye değişkenleri, bağımsız bünye değişkenleri olan

hareket, elektrik alan ve sıcaklığın neden olduğu, yani bu değişkenlerden türeyen

büyüklüklerdir.

3.1.2.2. Determinizm Aksiyomu

Bu aksiyom bir sürekli ortamın belli bir parçacığındaki bağımlı bünye

değişkenlerinin, ya da bundan sonra kullanmayı tercih edeceğimiz deyimle sadece

69

bünye değişkenlerinin, ortamın bütün parçacıklarındaki hareket, elektrik alan ve

sıcaklığın ortamın tüm geçmişinde aldıkları değerler ile belirleneceğini ifade eder.

Yani cismin belli bir anda belli bir noktasındaki davranışı bütün parçacıklarının o

andan önceki tüm zamanlardaki hareket, elektrik alan ve sıcaklıklarının bilinmesiyle

kestirilebilmelidir. Buna göre X maddesel noktanın t anındaki gerilme potansiyeli,

[ ]XXXXxX ,),(,),(,),(),( tEttt ′′′′′′Σ=Σ θ VX ∈ tt ≤′<∞− (3.28)

şeklinde olur. Malzemenin hafızası olmadığından

[ ]XXXXxX ),,(,),(,),(),( tEttt ′′′Σ=Σ θ (3.29)

şeklini alır.

3.1.2.3. Eşbulunma Aksiyomu

Bu aksiyom bir malzemenin bünye denklemlerini geliştirirken başlangıçta bütün

denklemlerin aynı bağımsız bünye değişkenlerini içermesi gerektiğini ifade eder.

3.1.2.4. Uygunluk Aksiyomu

Bu aksiyom her türlü bünye denkleminin sürekli ortamlar mekaniğinin temel

ilkelerine, yani kütlenin korunumuna, lineer ve açısal momentumun denkliğine,

enerji denkliğine ve her bağımsız termodinamik süreç altında entropi eşitsizliğine

uyumlu olması gerektiğini ifade eder.

3.1.2.5. Objektivite Aksiyomu

Bu aksiyom bünye denklemlerinin uzaysal koordinat takımının her hangi bir rijid

hareketi altında form-invaryant kalması gerektiğini, başka bir deyişle bünye

fonksiyonellerinin biçiminin objektif olarak eşdeğer hareketler altında değişmeden

kaldığını ifade eder. Dolayısıyla birbirlerine göre rijid hareket eden koordinat

70

takımlarına yerleşmiş gözlemcilerin ortamın bu bünye denklemlerine göre

gözlemledikleri ya da ölçtükleri davranışlarının birbirinin aynısı olması gerekir.

Burada )(tH uygun bir ortogonal transformasyon matrisi )( IHHHH TT == ,

det 1+=H , =I birim matris, =)(tb Öteleme matris, t ise zaman orjininin t den

sabit bir a kayması ile elde edilen zaman dilimidir. Objektif olarak eşdeğer x ve x

hareketli,

atttbtXxtHtXx −=+′=′ ,)(),()(),( (3.30)

bağıntısı ile tanımlanmaktadır. Skaler değerli gerilme potansiyeli,

[ ] [ ]XXXXxXtXtXtXx ),,(,),(,),(),,(),,(,),( tEttE ′′′Σ=′′′Σ θθ

veya

[ ]

[ ]XXXXx

XtXtXtXx

),,(),,(,),(

),,(),,(,)(),()(

tEtt

EtbtH

′′′Σ

⇒+Σ

θ

θ

(3.31)

bağıntısı şeklinde olmak zorundadır.

A. Uzaysal koordinatların ötelenmesi

Bu durum için ItH =)( , ),()( tXt xb −= alınır. Bu değerler (3.30) de yerine

yazılırsa,

),(),(),( ttt XxXxXx −′=′ (3.32)

elde edilir. (3.32) denklemini (3.31) de yerine yazarsak gerilme potansiyeli aşağıdaki

şekilde olur.

[ ]XXXXxXxX ),,(,),(,),(),(),( tEtttt ′′−′Σ=Σ θ (3.33)

71

B. Uzaysal koordinatların rijid dönmesi

Bu durum için 0=b , 0=a , :)( tH keyfi olarak alınır. Bu değerler (3.30) de yerine

yazılırsa,

),()(),( tXtHt ′=′ xXx (3.34)

elde edilir. (3.34) denklemi (3.31) ifadesinde yerine yazılırsa gerilme potansiyeli

aşağıdaki şekilde elde edilir.

[ ]XXXXxX ),,(,),(,),()(),( tEtttHt ′′′Σ=Σ θ (3.35)

3.1.2.6. Maddesel Simetri Aksiyomu

Bir sürekli ortamın bir parçacığına bağlı fiziksel özellikler o maddesel noktadan

geçen doğrultulara bağlı değilse ve bu özellik ortamın bütün parçacıkları için geçerli

ise ortam izotroptur. Fiziksel özellikler doğrultuya göre değişiyorsa anizotroptur.

Ortamın fiziksel özellikleri parçacıktan parçacığa değişmiyorsa ortam homojendir,

değişiyorsa heterojendir. Bu durumda bünye denklemleri, maddesel koordinat

sisteminin B kadar ötelenmesi ve H ortogonal transformasyonuna göre form

invaryanttır.

BXHX +=′ (3.36)

Bu ifade (3.33) ifadesinde yerine yazılırsa aşağıdaki ifade elde edilir.

[ ]XXXXX ),,(,),(,),()(),( tEttxBXHxt ′′−+Σ=Σ θ (3.37)

72

3.1.2.7. Yöresellik aksiyomu

X noktasındaki bağımlı bünye değişkenlerinin ( ηε ,,,qt ) değerinin ancak o

parçacığın yakın yöresindeki bağımsız bünye değişkenlerinden ( θ,x ) etkileneceğini

ifade eder. Bir bakıma ortamı oluşturan parçacıklar arasındaki etkileşimlerin kısa

erişimli olduğu anlamına gelir. Matematiksel bir yapı kazanabilmesi için ortamın

X noktası civarındaki hareketi Taylor serisinde açarsak,

+−+= )(),(),(),'( ', KKKKkKkKk XXtXxtXxtXE

...)()(),(21 ''

, +−− LLKKKKLk XXXXtXx (3.38)

şeklinde yazılabilir.

(3.38) ifadesinin ilk iki teriminin alınmasıyla oluşan malzemeye basit termomekanik

malzemeler denir (Eringen, 1980). Yöresellik aksiyomuna göre Σ nın argümanlarına

olan bağımlılığı KX ′ ve KX arasındaki mesafe arttıkça hızla sönümlenmektedir.

)(),(),(),( , KKKKkKkKk XXtXxtXxtXx −′=−′ (3.39)

Buna göre gerilme potansiyeli indeks notasyonuyla yazılırsa,

],),(,),(,),([),( , KKKKKKk XtXtXEtXxtX θΣ=Σ (3.40)

şeklini alır.

Objektivite aksiyomu, (3.40) ifadesine bir kısıtlama daha getirir. Bu kısıtlamaya göre

gerilme potansiyeli, deforme olmuş malzemenin rijit hareketleri altında invaryant

kalmalıdır. Bu durumda, uzaysal koordinat sisteminin zamana bağlı

transformasyonları altında, Σ ’nın invaryant kalması gerekir. Cauchy teoremine göre

bu şartın sağlanması veΣ ’nın ilk argümanının tek değerli bir fonksiyonu olabilmesi

73

için kKkK x ix ,, = ya olan bağımlılığı, K,x vektörlerinin aşağıda belirtildiği gibi ikişer

ikişer skaler ve üçlü karışık çarpımlarına bağımlılığı şeklinde olması demektir

(Şuhubi, 1994).

KLLK C=,, .xx (3.41)

MLK ,,, . xxx × (3.42)

(3.40) ifadesindeki diğer argümanlar, maddesel koordinatlarda ifade edildiğinden

Cauchy teoremi bu argümanlar için söz konusu değildir ve bu argümanlar aynen

yerinde kalır. (3.41) ifadesi Green deformasyon tansörünün tanımıdır ve (3.35)

ifadesi ile verilmiştir (Şuhubi, 1994). (3.42) ifadesi ise deformasyon gradyanının

determinantını tanımlamakta olup (1.6) ve (1.168) denklemlerinde gösterildiği gibi

aşağıdaki gibi ifade edilir (Şuhubi, 1994).

MmLlKkklmKLM xxxt

XtedJ ,,,0

!31

),()( εε

ρρ

==≡X

(3.43)

(1.24)1 ve (3.43) ifadesinden faydalanarak (3.40) ifadesi aşağıdaki şekilde yazılabilir.

[ ]),(,),(,,),(,),(),( 1 tXEtXXttCt KKKKL θρ XXX −Σ=Σ (3.44)

Tutarlılık aksiyomuna göre, daha önce kütlenin korunumu yasasını

KLCtedt

J ==),(

0

Xρρ

şeklinde belirtmiştir, (3.44) ifadesinde de KLC nin mevcut

olması nedeniyle 1−ρ değişkenler listesinden çıkartılabilir.

Bu durumda mekanik bir yüklemeye maruz, elastik-piezoelektrik bir ortamın gerilme

potansiyelinin hangi argümanlara bağlı olduğu aşağıdaki denklem ile ortaya

çıkmıştır.

74

[ ]),(,),,(,),(),( tXXtXEtXCtX KKKKKKLK θΣ=Σ (3.45)

Bu eşitsizliğin bağımsız değişkenlerinin değişiminin bir lineer kombinezonu olarak

ifade edebilmek için Σ ’nın (3.45) ifadesiyle belirtilen argümanların maddesel

türevinin bilinmesi gerekir. Malzemelerin homojen olduğu kabul edilerek (3.45)

ifadesine verilen Σ ‘nın bağlı olduğu argümanlardan X kaldırılır. (3.45) ifadesinin

maddesel türevini alırsak aşağıdaki ifadeyi elde ederiz.

θθ&&&&

∂Σ∂

+∂Σ∂

+∂Σ∂

=Σ KK

KLKL

EE

CC

(3.46)

Bu ifadeyi (3.27) eşitliğinde yerine yazarsak aşağıdaki eşitsizlik elde edilir.

0)()1()2(21

00 ≥

∂Σ∂

+Π−∂Σ∂

+−∂

Σ∂− K

KKKL

KLKL E

EC

CT &&& θ

θρηρ (3.47)

(3.47) ifadesiyle verilen Entropi eşitsizliğindeki termodinamik proses, aşağıdaki gibi

bir sütun vektörüyle gösterilebilir.

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

θ&

&

&

K

KL

EC

S (3.48)

(3.48) ifadesiyle verilen sütun vektör, elastik ve piezoelektrik bir malzeme için

termodinamik prosesi temsil eden keyfi bir vektör olarak düşünülmüştür.

(3.47) eşitsizliğindeki argümanları, sağdan başlayarak θ ’ yı θ& şeklinde KLC ’yi KLC&

şeklinde KE ’ yı KE& şeklinde keyfi olarak değiştirebileceğimizden (3.47)

eşitsizliğinin sağlanabilmesi için θ& ’ nın KLC& ’ nın katsayıları sıfır olacaktır. KLC& ’

nın KE& ’ nın θ& ’ nın katsayıları sıfıra eşitlenecek aşağıdaki ifadeler elde edilir

(Şuhubi, 1994).

75

KLKL C

T∂

Σ∂= 2 (3.49)

θρη

∂Σ∂

−=0

1 (3.50)

KK E∂

Σ∂−=Π (3.51)

0=KQ (3.52)

elde edilir.

Diğer taraftan bünye denklemlerinden olan iç enerji )(ε ; (3.2) ve (3.14)

ifadelerinden aşağıdaki gibi yazılabilir.

kk PE1

0

1 −++Σ= ρηθρ

ε (3.53)

Bu ifade 0

1ρ

parantezine alınırsa,

)(10

0KKE Π++Σ= ηθρ

ρε (3.54)

ifadesi elde edilir. Bu ifadede η ve KΠ terimi yerine (3.50) ve (3.51) ifadesi yerine

yazılırsa, iç enerji )(ε aşağıdaki formda ortaya çıkar.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂Σ∂

−∂Σ∂

−Σ=K

K EE

θθ

ρε

0

1 (3.55)

76

Maddesel koordinatlarda ifade edilmiş olan simetrik gerilme tansörü, (3.21) göz

önüne alınarak uzaysal koordinatlarda aşağıdaki gibi yazılabilir.

LlKkKLkl xxTJt ,,1−= (3.56)

Bu ifadede, kütlenin korunumu 0

1

ρρ

=−J tarzında kullanılır ve KLT terimi yerine

(3.49) de ifadesi yazılırsa simetrik gerilme tansörü aşağıdaki tarzda yazılır.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂Σ∂

= LlKkKL

kl xxC

t ,,0

2ρρ (3.57)

Benzer işlemler (3.23) ile verilen polarizasyon bünye denklemleri ile

gerçekleştirilirse,

KkK

k xE

JP ,1

∂Σ∂

−= − (3.58)

İfadesi elde edilir.

(1.137) ifadesi ile verilen asimetrik gerilme tansörü klt yukarıdaki listede doğal

olarak gözükmemektedir. Bütünlüğü sağlamak amacıyla bu gerilme ifadesinde yer

alan simetrik gerilme polarizasyon terimleri (3.58) ve (3.57) de verilen formlar ile

yerine yazılırsa,

lkklkl EPtt −= (3.59)

İfadesi elde edilir. Bu ifade asimetrik gerilmenin uzaysal koordinatlardaki formudur.

(3.59) denkleminin maddesel koordinatlardaki formu aşağıdaki gibi elde edilmiştir.

1

,,−Π−=Π−= MLMKKLMlLlMKKLKL CETEXXTT (3.60)

77

Bu durumda asimetrik gerilmenin hesaplanması için; simetrik gerilme ve

polarizasyon alanına ait bünye denklemlerinin bulunması gerekmektedir. Simetrik

gerilme ve polarizasyon alanının serbest enerji fonksiyonu Σ ’ ya bağlı olduğu

(3.49) ve (3.51) denkleminde açıkça görülmektedir.

Bu aşamada, incelenen malzemenin uymak zorunda kaldığı maddesel simetri

kısıtlamalarından bahsetmek uygun olacaktır. ℑ , tercihli doğrultulara karşılık gelen

bir maddesel koordinat takımını yeni bir maddesel koordinat takımına dönüştüren ve

yapının fiziksel özelliklerini invaryant bırakan ortogonal matrislerden oluşmuş sonlu

bir grup olsun. Bu gruba incelenen kristal yapının simetri grubu denir ve ortogonal

grubun bir alt grubunu oluşturur, dolayısıyla )3(O⊆ℑ yazılabilir. Simetri grubu tam

ortogonal gruba eşitse malzeme izotroptur. ℑ simetri grubunun üyesi olan ve sonlu

sayıda ℑ∈=S matrislerinden oluşmuş bir simetri grubu dikkate alındığında, bünye

fonksiyonellerinin aşağıdaki koordinat dönüşümleri altında şeklen değişmez kalması

gerektiği görülmekledir (Şuhubi, 1994).

LKLK XSX =' ,

''KKLK

TLKL XSXSX ==

TSS

=

−

==1

ℑ∈∀=S (3.61)

(3.61) ile verilen maddesel simetri kısıtlaması, ),,( θECΣ=Σ bünye

fonksiyonellerini aşağıdaki gibi ifade etmeyi gerektirir.

Σ=Σ ' ⇒ ),,( '' θECΣ = ),,( θECΣ (3.62)

78

Bu bünye fonksiyonellerinin argümanları ise (3.61) ile verilen dönüşüm dikkate

alınarak aşağıdaki gibi yazılır.

T

MNLNKMKL SCSCCSSC =⇒= ''

ESEESE MKMK =⇒= '' (3.63)

(3.63) de verilen ifadeler (3.62) bünye fonksiyonellerinde yerine yazıldığında

aşağıdaki ifadeler elde edilir.

),,(),,,( θθ ECESSCS T Σ=Σ (3.64)

Bu çalışmada incelenen malzeme anizotroptur. Bu sebepten anizotropik yapıyı temsil

etmek için bünye fonksiyonellerinin seri açılımı yapılacaktır.

79

3.2. Yöntem

Bu çalışmada, tüm ortamlar için geçerli olan genel balans denklemleri,

Termodinamiğin 2. prensibi (Clausius-Duhem eşitsizliği ), Elektrostatik alanların

davranışı, bünye teorisinin aksiyomları ve özellikle objektivite, maddesel simetri

aksiyomları ve malzemenin simetri grubuna ilişkin kavramlar kaçınılmaz bir yöntem

olarak kullanılmıştır. Ele alınan malzemenin piezoelektrik özelliğinden dolayı

anizotrop bir ortam olduğu düşünülmüştür. Anizotrop bir ortamda bünye

fonksiyonelinin (gerilme potansiyeli) açık formunun elde edilmesi için yaklaşık

teorilerden faydalanılacaktır. Yaklaşık teoriler elde etmede en sistematik yaklaşım;

ortamın referans konumunu doğal durumu olarak seçmek ve bu durumda E=0 olduğu

için gerilme potansiyelini doğal durum etrafında genleme tansörünün bileşenleri

cinsinden bir MacLaurin serisine açmaktır. Lastik gibi bazı elastomerler dışındaki

katı cisimlerin çoğu ancak çok küçük genlemeler için elastik davranış

gösterdiklerinden böyle bir serinin ilk birkaç mertebeden terimi ile yetinmek

genellikle yeterli olur. Seri açılımıyla ortaya konulan gerilme potansiyeli, bünye

denklemlerinde yerlerine yazılıp, deformasyon tansörüne ve elektrik alan vektörüne

göre türevi alınarak gerilme ve polarizasyon alanı denklemleri non-lineer formda

elde edilecektir. Elde edilen bünye denklemleriyle problem çözmek zor olacağından

dolayı bünye denklemleri lineerleştirilmesi gerekmektedir. Lineer teoriyi elde etmek

için yer değiştirmeler, yer değiştirme gradyanları ve genleme hızları çok küçük kabul

edilir. Elde edilen lineer bünye denklemleri balans denklemlerinde yerlerine

konularak alan denklemlerine ulaşılacaktır.

3.2.1. Anizotropik Ortamlarda Simetrik Gerilme ve Polarizasyonun Bünye

Denklemlerinin Tayini

Bu çalışmada ele alınan malzemenin Piezoelektrik özelliğinden dolayı genel anlamda

anizotrop olduğu düşünülmüştür. Bu kısımda simetrik gerilme ve polarizasyon için

bünye denklemleri bulunacaktır. Bunun için bir yaklaşım olarak; ortamın referans

konumu doğal durum olarak seçilip gerilme potansiyeli bu doğal durum etrafında,

80

bağlı olduğu argümanların bileşenleri cinsinden bir kuvvet serisine açılarak gerilme

potansiyeline bağlı olan simetrik gerilme ve polarizasyon alanı hesaplanabilir.

C tansörü, E tansörü cinsinden KLKLKL EC 2+= δ şeklinde ifade edilebildiğinden

aşağıdaki ifade geçerlidir.

),,( θKKL EEΣ=Σ (3.65)

KLKL EC ∂Σ∂

=∂Σ∂2 (3.66)

KLE ve KE maddesel koordinatlara bağlı olduğundan, koordinat dönüşümlerinden bu

terimler etkilenir. Dolayısıyla notasyon kolaylığı sağlamak için Σ ’ nın θ ya olan

bağımlılığı gösterilmeyecektir. Buna göre (3.65) ifadesi, aşağıdaki gibi yazılabilir.

),( KKL EEΣ=Σ (3.67)

(3.67) fonksiyonu EE , cinsinden analitik kabul edilerek 0,0 == EE civarında bir

Taylor serisine açılırsa aşağıdaki ifade elde edilir.

QQ

KLKL

QKL EE

EE

EE00

)0,0(),(∂Σ∂

+∂Σ∂

+Σ=Σ

⎪⎭

⎪⎬⎫

∂∂Σ∂

+∂∂Σ∂

⎪⎩

⎪⎨⎧

+∂∂Σ∂

+ QKLQKL

NQNQ

MNKLMNKL

EEEE

EEEE

EEEE

0

2

0

2

0

2

!21

⎪⎩

⎪⎨⎧

∂∂∂Σ∂

+∂∂∂

Σ∂+ SNQ

SNQSQMNKL

SQMNKL

EEEEEE

EEEEEE

0

3

0

3

!31

⎪⎭

⎪⎬⎫

∂∂∂Σ∂

+∂∂∂

Σ∂+ NQKL

NQKLQMNKL

QMNKL

EEEEEE

EEEEEE

0

3

0

3

(3.68)

81

(3.68) seri açılımındaki kısmi türevler, X parçacığına ve sabit θ bağlı birer katsayı

olduklarından,

++Σ+Σ=Σ QQKLKLQKL EXEXXEE ),(),(),(),( 0 θβθθ

+++Σ QKLKLQNQQNMNKLKLMN EEXEEXEEX ),(),(21),(

21 θλθβθ

++Σ SNQQNSSQMNKLKLMNSQ EEEXEEE ),(31),(

31

~θβθ X

NQKLKLQNQMNKLKLMNQ EEEXEEEX ),(),(21

~~θλθλ + (3.69)

İfadesi yazılabilir. Ortam homojen olduğunda (3.69) ifadesindeki katsayı

fonksiyonlarının X ’e olan bağımlılığı kalkar. Bundan böyle katsayı fonksiyonlarının

argümanları yazılmayacaktır. (3.68) ve (3.69) ifadelerinden bu katsayılar aşağıdaki

gibi tanımlanır.

)0,0(0 Σ≡Σ

0KL

KL E∂Σ∂

≡Σ

0

0QE∂Σ∂

≡β

0

2

MNKLKLMN EE ∂∂

Σ∂≡Σ

0

2

NQQN EE ∂∂

Σ∂≡β

82

0

2

21

QKLKLQ EE ∂∂

Σ∂≡λ

0

3

21

SQMNKLKLMNSQ EEE ∂∂∂

Σ∂≡Σ

0

3

61

SNQQNS EEE ∂∂∂

Σ∂≡β

0

3

31

QMNKLKLMNQ EEE ∂∂∂

Σ∂≡λ

0

3

61

NQKLKLQN EEE ∂∂∂

Σ∂≡λ (3.70)

E tansörünün simetrisi ve (3.70) ifadesindeki tanımlarda türevlerin sıraya bağlı

olmaması nedeniyle, bu katsayılar aşağıda verilen simetri özelliklerini taşır.

LKKL Σ=Σ

MNKLKLNMLKMNKLMN Σ=Σ=Σ=Σ

NQQN ββ =

LKQKLQ λλ =

SQMNKLKLSQMNMNKLSQKLNMSQLKMNSQKLMNSQ Σ=Σ=Σ=Σ=Σ=Σ

SNQQSNNQSQNS ββββ ===

83

MNKLQKLNMQLKMNQKLMNQ λλλλ ===

KLNQLKQNKLQN λλλ == (3.71)

(3.66) ve (3.49) denklemine göre

PRPR E

T∂Σ∂

= (3.72)

Şeklinde tanımlanabilir.

(3.72) denklemindeki PRE∂Σ∂ terimi, (3.69) denkleminden aşağıdaki gibi hesaplanır.

++Σ+Σ+Σ=∂Σ∂

QPRQKLKLPRMNPRMNPRPR

EEEE

λ)(21

+Σ+Σ+Σ )(31

MNKLKLMNPRSQKLKLPRSQSQMNPRMNSQ EEEEEE

NQPRQNQKLKLPRQQMNPRMNQ EEEEEE λλλ ++ )(21 (3.73)

(3.73) denklemindeki Katsayıların indisleri uygun şekilde değiştirilir, (3.71)

ifadesiyle verilen simetri özellikleri de dikkate alınırsa, (3.73) ifadesi aşağıdaki gibi

yazılır.

+Σ++Σ+Σ=∂Σ∂

SQMNPRMNSQQPRQMNPRMNPRPR

EEEEE

λ

NQPRQNQMNPRMNQ EEEE λλ + (3.74)

84

(3.74) bağıntısı (3.72) denkleminde yerine yazılırsa aşağıdaki ifade elde edilir.

+Σ++Σ+Σ= SQMNPRMNSQQPRQMNPRMNPRPR EEEET λ

NQPRQNQMNPRMNQ EEEE λλ + (3.75)

0=E doğal durumda, ortamın gerilmesiz olduğu kabul edilirse 0=ΣPR sonucuna

varılır. Buna göre, (3.75) denklemi aşağıdaki gibi yazılır ve elde edilen denklem

piezoelektrik anizotrop bir ortamda gerilmenin bünye denklemidir.

+Σ++Σ= SQMNPRMNSQQPRQMNPRMNPR EEEET λ

NQPRQNQMNPRMNQ EEEE λλ + (3.76)

(3.1) kısmında polarizasyon alanı (3.51) ifadesiyle aşağıdaki gibi verilmişti.

R

R E∂Σ∂

−=Π (3.77)

RE∂Σ∂ terimi, (3.69) denkleminden aşağıdaki gibi hesaplanır.

++++=∂Σ∂

KLKLRQQRNRNRR

EEEE

λβββ )(21

+++ )(31

NQQNRSQQRSSNRNS EEEEEE βββ

QKLKLQRNKLKLRNMNKLKLMNR EEEEEE λλλ ++21 (3.78)

(3.78) denklemindeki katsayıların indisleri uygun şekilde değiştirilir. (3.71)

ifadesiyle verilen simetri şartları göz önüne alınarak (3.78) ifadesi aşağıdaki gibi

yazılabilir.

85

++++=∂Σ∂

NQRQNKLKLRQRQRR

EEEEE

βλββ

QKLKLQRMNKLKLMNR EEEE λλ 221

+ (3.79)

(3.79) ifadesi (3.77) denkleminde yerine yazılırsa aşağıdaki ifade elde edilir.

{ ++++−=Π NQRQNKLKLRQRQRR EEEE βλββ

⎭⎬⎫+ QKLKLQRMNKLKLMNR EEEE λλ 2

21 (3.80)

0E = doğal durumda, ortamda polarizasyon olmadığı kabul edilirse 0=Rβ

sonucuna varılır. Bu durumda mekanik ve elektromekanik etkileşimler nonlineer

kabul edilerek anizotropik özellik taşıyan ortamlarda polarizasyon alanı aşağıdaki

şekilde ifade edilmiştir.

[ +++−=Π NQRQNKLKLRQRQR EEEE βλβ

]QKLKLQRMNKLKLMNR EEEE λλ 221

+ (3.81)

(3.76) ve (3.81) denklemleri piezoelektrik bir anizotrop ortamda, ortamın sıkışabilir

kabul edildiği, mekanik ve elektriksel etkileşimlerin nonlineer kabul edildiği

durumda polarizasyon alanının ve gerilmenin maddesel bünye denklemleridir.

Polarizasyon alanının bünye denklemini veren (3.81) ifadesine dikkat edilirse, bu

çalışmada mekanik ve elektriksel etkileşimler ile ilgili yapılan kabuller altında

elektrik alanının, genleme tansörünün, elektrik alanının ikinci dereceden terimlerinin,

genleme tansörü ile elektrik alan vektörünün birlikte etkileşiminin polarizasyon

alanının oluşumuna katkıda bulundukları görülmektedir. Eğer mekanik ve elektriksel

etkileşimler lineer kabul edilirse, (3.81) ifadesinin ilk iki terimi dışında kalan terimler

ortadan kalkar. Ortamın sıkışabilir, mekanik ve elektriksel etkileşimlerin nonlineer

kabul edildiği piezoelektrik bir anizotrop ortamlarda simetrik gerilmenin bünye

denklemini veren (3.76) ifadesine dikkat edilirse ilk terim genleme tansörünün, ikinci

86

terim elektrik alandan kaynaklanan elektrostriktif etkinin, üçüncü terim genleme

tansörünün nonlineer etkisinin, dördüncü terim genleme tansörü ile elektrik alanının

birlikte etkileşiminin ve son terim ise elektrik alanın nonlineer etkisinin simetrik

gerilmeye olan katkılarını ifade etmektedir. Buna göre, (3.76) ve (3.81)

ifadelerindeki terimler bu çalışmada söz konusu kabuller altında ortaya çıkmış olup

özel hallerde bilinen klasik ifadelere indirgenmektedir. Oluşturulan bu matematiksel

model polarizasyon alanı ve simetrik gerilme bünye denkleminin maddesel

koordinatlardaki ifadeleridir.

87

4. ARAŞTIRMA BULGULARI

4.1. Asimetrik Gerilmenin Tayini

Bu kısımda, ele alınan malzemede ortaya çıkan asimetrik gerilme tansörü hem

maddesel hem de uzaysal koordinatlarda bulunacaktır. Asimetrik gerilme tansörü

(3.61) ifadesiyle aşağıdaki gibi verilmişti.

1−Π−= MRMPPRPR CETT (4.1)

(3.75) ile verilen simetrik gerilme denklemi ile (3.80) ifadesiyle verilen polarizasyon

alanı denklemi, (4.1) denkleminde yerine yazılırsa asimetrik gerilme aşağıdaki gibi

elde edilir.

++++Σ= NQPRQNQMNPRMNQQPRQMNPRMNPR EEEEEET λλλ

+++Σ −− 11MRMKLKLRMRMQRQSQMNPRMNSQ CEECEEEE λβ

++ −− 11

21

MRMMNKLKLMNRMRMNQRQN CEEECEEE λβ

12 −MRMQKLKLQR CEEEλ (4.2)

(4.2) ifadesi mekanik etkileşimlerin ve elektriksel etkileşimlerin nonlineer kabul

edildiği durumda ele alınan malzemede ortaya çıkan asimetrik gerilmenin maddesel

koordinatlardaki bünye denklemidir.

4.2. Yarı -Lineer teori

Şekil değiştirmeler, )( ,Kkx , yer değiştirme gradyanları, )( ,LKU ve çok küçük kabul

edildiği takdirde (3.76), (3.81) denklemleri ile verilen polarizasyon alanı ve simetrik

gerilme belli ölçülerde lineerleştirilebilir. Lineer Teoriyi elde etmek için ortam şekil

değiştirdiğinde oluşan genleme tansörünün;

88

1<<KLE (K,L=1, 2, 3) (4.3)

Şartını sağladığı varsayılacaktır (Şuhubi, 1994). Buna göre (3.81) ifadesiyle verilen

polarizasyon alanının bünye denklemindeki NQ EE terimi asimetrik gerilmede 3.

mertebeden elektrik alan vektörü ortaya çıkardığından ihmal edilebilir. (3.76) ile

verilen simetrik gerilmenin bünye denklemindeki QMN EE teriminin katsayısı 5.

dereceden malzeme tansörü olduğu için ihmal edebiliriz. Bu durumda, simetrik

gerilme ve polarizasyon alanının bünye denklemlerini aşağıdaki hale indirgenebilir.

NQPRQNQPRQMNPRMNPR EEEET λλ ++Σ= (4.4)

[ ]QKLKLQRKLKLRQRQR EEEE λλβ 2++−=Π (4.5)

Bu ifadeler (4.1) denkleminde yerine yazılırsa asimetrik gerilmenin yarı-lineer bünye

denklemi aşağıdaki gibi elde edilir.

++++Σ= −1MRMQRQNQPRQNQPRQMNPRMNPR CEEEEEET βλλ

11 2 −− + MRMQKLKLQRMRMKLKLR CEEECEE λλ (4.6)

4.2.1. Yarı - Lineer Bünye Denklemlerinin Uzaysal Koordinatlardaki İfadeleri

Lineer teoride Kkx , ve LKU , çok küçük olduğu kabul edildiğinden sürekli ortamların

bilinen bağıntılarından aşağıdaki ifadeler yazılabilir.

lLkKLlKk xx λλ≡,,

lLkKLlKk XX λλ≡,,

89

( )kllklkkl uuee ,,, 21~ +=≅

( )kllklkklkl uueed ,,, 21~ &&&& +=≅≅

( )kllklLkKkllLkKKLKL uueEE ,,21~~

+=≡≅ λλλλ

( )kllklLkKkllLkKKL uueE ,,21~ &&&& +=≡ λλλλ

kkKrRpPKKkRrPpKRrPp EExxxExx λλλ≡= ,,,,,

)1( ,1

kkuJ −=− (4.7)

Şeklindedir (Şuhubi, 1994).

Simetrik gerilmenin polarizasyon alanının lineer bünye denklemleri (4.4) ve (4.5)

ifadeleri ile maddesel formda elde edilmiştir. Bu lineer bünye denklemlerini uzaysal

formda elde etmek için kısım 3.1.1 de verilen aşağıdaki ifadelerden yararlanılır.

PRRrPppr TxxJt ,,1−=

RRrr xJP Π= −,

1

rpprpr EPtt −= (4.8)

(4.7)8 denklemine göre (4.8)1-2 denklemi tekrar yazılırsa

PRRrPpkkpr Txxut ,,, )1( −= (4.9)

90

RRrmmr xuP Π−= ,, )1( (4.10)

Şeklinde ifade edilir.

yazılır. (4.4) denklemi ile (4.7) ifadeleri kullanılarak (4.9) ifadesi,

[ ++Σ−= qPRQqQrRpPmnPRMNnNmMrRpPkkpr Eeut λλλλλλλλ ~)1( ,

]nqPRQNnNqQrRpP EEλλλλλ (4.11)

Şeklinde bulunur. (4.12) ifadesi aşağıdaki şekilde ifade edilebilir.

[ ]nqprqnqprqmnprmnkkpr EEEeut λλ ++Σ−= ~)1( , (4.12)

(4.12) denklemindeki prmnΣ , prqλ uzaysal malzeme tansörleri, PRMNΣ , PRQλ tansörleri

ile aynı simetri özelliklerini taşır ve (4.11) ifadesinden aşağıdaki gibi tanımlanır.

PRMNnNmMrRpPprmn Σ≡Σ λλλλ

PRQqQrRpPprq λλλλλ ≡

PRQNnNqQrRpPprqn λλλλλλ ≡ (4.13)

(4.5) denklemi, (4.10) ifadesinde yerine yazılır (4.7) ifadeleri de kullanılırsa, uzaysal

polarizasyon alanının lineer bünye denklemi aşağıdaki gibi bulunur.

( ++−−= klKLRrRlLkKqRQqQrRmmr eEuP ~)1( , λλλλβλλ

)qklKLQRrRqQlLkK Ee~2 λλλλλ (4.14)

91

(4.14) ifadesi aşağıdaki şekilde de ifade edilebilir.

( )qkklqrklklrqrqkkr EeeEuP ~2~)1( , λλβ ++−−= (4.15)

(4.15) denklemindeki rqβ , klrλ , klqrλ uzaysal malzeme tansörleri, RQβ , KLRλ , KLQRλ

tansörleri ile aynı simetri özelliklerini taşır ve (4.14) denkleminden aşağıdaki gibi

tanımlanır.

RQqQrRrq βλλβ ≡

KLRrRlLkKklr λλλλλ ≡

RKLQrRqQlLkKkqlr λλλλλλ ≡ (4.16)

(4.12) ifadesindeki prmnΣ (4.15) ifadesindeki klrλ ve klqrλ katsayıları

prnmprmn Σ=Σ

lkrklr λλ =

lkqrklqr λλ = (4.17)

Bu durumda (4.12) ve (4.15) bünye denklemleri, yer değiştirme gradyanının ve

türevinin bileşenleri cinsinden aşağıdaki ifadelere dönüşmüş olur.

[ ]nqprqnqqrpnmnmrpkkpr EEEuut λλ ++Σ−= ,, )1( (4.18)

)2)(1( ,,, qlkklqrlkklrqrqmmr EuuEuP λλβ ++−−= (4.19)

gerekli işlemler yapıldıktan sonra (4.18) ve (4.19) denklemleri aşağıdaki şekli alır.

92

nqkkprqnqkkprqnqprqnqprqnmprmnpr EEuEuEEEut ,,, λλλλ −−++Σ= (4.20)

qmmrqqlkklqrlkklrqrqr EuEuuEP ,,, 2 βλλβ +−−−= (4.21)

Yukarıdaki nmrpΣ , qrpλ , prqnλ rqβ , klrλ , klqrλ katsayıları, X parçacığına ve sabit θ

sıcaklığına bağlıdır.

(4.20) ve (4.21) denklemleri simetrik gerilmenin, polarizasyon alanının, ortamın

sıkışır, piezoelektrik bir ortamda uzaysal koordinatlardaki yarı lineer bünye

denklemleridir. (4.20) ifadesi sıkışabilir Piezoelektrik ortamlarda gerilme ifadesini

vermektedir.

Bundan sonraki kısımda asimetrik gerilmelerin lineer bünye denklemleri, maddesel

ve uzaysal koordinatlarda elde edilecektir. Daha sonra da kısım 1.5 ve 1.6 da verilen

elektriksel yer değiştirme vektörü ile alan denklemi bulunacaktır.

4.3. Yarı – Lineer Teoride Asimetrik Gerilmelerin Tayini

4.3.1. Maddesel Koordinatlarda

Daha önce kısım 4.1 de (4.1) denklemiyle asimetrik gerilmenin maddesel

koordinatlardaki hali ifade edilmişti.

(4.4) ve (4.5) ifadesiyle verilen polarizasyon alanı denkleminde uygun indis

değişikliği yapılarak (4.1) ifadesinde yerlerine yazılırsa, toplam asimetrik gerilmenin

maddesel lineer formu aşağıdaki gibi elde edilir.

+++Σ= NQPRQNQPRQMNPRMNPR EEEET λλ

111 2 −−− ++ MRMQKLKLQPMRMKLKLPMRMQPQ CEEECEECEE λλβ (4.22)

93

Gerilme ile bir arada gözükmesi açısından kısım 4.2 de (4.5) ifadesiyle verilen

polarizasyon alanının bünye denklemi aşağıda tekrar yazılmıştır.

[ ]QKLKLQRKLKLRQRQR EEEE λλβ 2++−=Π (4.23)

4.3.2. Uzaysal Koordinatlarda

Asimetrik gerilme kısım 1.6 da uzaysal koordinatlarda (1.137) ifadesi ile aşağıdaki

gibi verilmişti.

rpprpr EPtt −= (4.24)

(4.18) ve (4.19) ifadesiyle verilen polarizasyon alanı denkleminde uygun indis

değişikliği yapılarak (4.24)denkleminde yerlerine yazılırsa, asimetrik gerilmenin

lineer uzaysal formu aşağıdaki gibi elde edilir.

+−−++Σ= nqkkprqnqkkprqnqprqnqprqnmprmnpr EEuEuEEEut ,,, λλλλ

rqmmpqrqlkklqprlkklprqpq EEuEEuEuEE ,,, 2 βλλβ −++ (4.25)

Buraya kadar yapılan işlemlerde uzaysal koordinatlarda gerilme tansörüyle (simetrik

olmayan) polarizasyon vektörü (4.25)ve (4.21) denklemleriyle deplasman

vektörünün gradyanları elektrik alan cinsinden ifade edilmiş oldu. Bundan sonra ise,

(4.21) bünye denklemi, kısım 1.5 te (1.98) ifadesiyle verilen toplam elektriksel yer

değiştirme vektörünün diverjansını veren ifadede, elektrik alan vektörü yerine de

kısım 1.5 te verilen (1.99)1 ifadesi yazılarak, yani genel anlamda bünye denklemleri

balans denklemlerinde yerine konularak alan denklemleri bulunacaktır.

Kısım 1.5 te (1.94) ifadesiyle tanımlanan toplam elektriksel yer değiştirme vektörü,

PED += 0ε veya rrr PED += 0ε (4.26)

94

Şeklinde ve Gauss kanunu ile Faraday kanunu da kısım 1.5 te sırasıyla (1.98) ve

(1.99)1 ifadeleriyle aşağıdaki gibi verilmişti.

)(tV İçinde; 0, ==⋅∇ rrDD veya 0,,0 =+ rrrr PEε (4.27)

)(tV İçinde; rrE ,φ−= (4.28)

(4.21) denklemi (4.26) ifadesinde yerine yazılır ve elektrik alan yerine (4.28) ifadesi

yazılırsa toplam elektriksel yer değiştirme vektörü aşağıdaki gibi bulunur,

( )qmmrqqlkklqrlkklrqrqrr uuuD ,,,,,,,0 2 φβφλλφβφε −+−+−=

qmmrqqlkklqrlkklrqrq uuu ,,,,,, 2 φβφλλφ −+−∈−=

rqrqrq βδε −≡∈ 0 (4.29)

Ortamın homojen ve izotermal olduğu göz önünde bulundurularak, (4.29) ifadesinin

diverjansı alınır ve (4.27)1 denkleminde yerine yazılırsa aşağıdaki ifade elde,

−++−∈−== )(0 ,,,,,,, qrlkqlrkklqrlrkklrqrqrr uuuD φφμλφ

)( ,,,, qrmmqmrmrq uu φφβ +

klqrklqr λμ 2= (4.30)

Kısım 1.6 de (1.169)1 ifadesiyle verilen Cauchy hareket denkleminde elektrik alanı

yerine (4.28)ifadesi yazılırsa aşağıdaki ifade elde edilir.

prrrrppp Ptf ,,, φρνρ ++=& (4.31)

95

Kütlenin korunumundan 10

−= Jρρ ve (4.7)8 ifadesinden )1(/ ,01

kkuJ −==− ρρ

olduğunu dikkate alarak

)1( ,0 kku−= ρρ (4.32)

Yazılabilir. Ayrıca;

tu

uut

uuv p

kkpp

pp ∂

∂≅+

∂

∂=≅ ,& (4.33)

Şeklindedir. (Şuhubi, 1994). Buna göre (4.31) ifadesindeki pνρ & terimi (4.32) ve

(4.33) ifadelerinden aşağıdaki gibi yazılabilir.

2

2

02

2

,0 )1(tu

tu

u ppkkp ∂

∂≅

∂

∂−= ρρνρ & (4.34)

Bu durumda çok küçük hareketler yapan sıkışabilir, piezoelektrik bütün ortamlarda

hareket denklemi aşağıdaki gibi elde edilir.

prrrprpkkp Ptfu

tu

,,,,02

2

0 )1( φρρ ++−=∂

∂ (4.35)

(4.35) denklemindeki rprt , terimi (4.18) denkleminden ortamın homojen ve izotermal

olduğu göz önünde bulundurularak,

++−−Σ= )( ,,,,,,, nrqnqrprqnqrprqnrmprmnrpr ut φφφφλφλ

[ ])()( ,,,,,,,,,,,, nrqnqrkknqkrkprqnqrkkqkrkprq uuuu φφφφφφλφφλ ++−+ (4.36)

şeklinde ifade edilebilir.

(4.35) denklemindeki ( rrP , ) terimi (4.21) ve (4.28) ifadelerinden,

96

−++−= )(2 ,,,,,,, qrlkqlrkklqrlrkklrqrrqrr uuuP φφλλφβ

)( ,,,, qrmmqmrmrq uu φφβ + (4.37)

Şeklinde elde edilebilir. Bu durumda (4.36) ve (4.37) ifadeleri (4.35) hareket

denkleminde yerlerine yazılırsa aşağıdaki denklem elde edilir.

++−−Σ+−=∂

∂)()1( ,,,,,,,02

2

0 nrqnqrprqnqrprqnrmprmnpkkp ufu

tu

φφφφλφλρρ

[ ]+++−+ )()( ,,,,,,,,,,,, nrqnqrkknqkrkprqnqrkkqkrkprq uuuu φφφφφφλφφλ

−++− )(2 ,,,,,,,,,, pqrlkpqlrkklqrplrkklrpqrrq uuu φφφφλφλφφβ

)( ,,,,,, pqrmmpqmrmrq uu φφφφβ + (4.38)

(4.30) ve (4.38) ifadeleri ile φ,ku bilinmeyenlerini ihtiva eden alan denklemleri

bulunmuş olur. Bu alan denklemlerinin probleme uygun olarak verilen ilk ve sınır

şartları altındaki çözümü, göz önüne alınacak sınır değer probleminin matematiksel

yapısını oluşturur.

Bu şekilde (4.30) ve (4.38) alan denklemlerinden oluşan sistem; (1.97)2, (1.122)2 ve

(1.99)2 zıplama şartlarının muhteviyatı içinde bulunan sınır şartları ile birlikte

anizotropik, nonlineer, elastik ve Piezoelektrik ortamlar ile ilgili sınır – değer

problemlerinin yönetici denklemleri oluşturulur. Adı geçen sınır şartları açıkça

yazılacak olursa,

fn DD ω−= +

+= klkl ttn

+= kk EE (4.39)

şeklinde olduğu kolayca gösterilebilir.

97

5. TARTIŞMA VE SONUÇ

Bu çalışmada elastik piezoelektrik bir cismin elektro-termomekanik davranışını

matematiksel modellemek için modern sürekli ortamlar mekaniği kapsamında bir yol

izlenmiştir. Bu modellemeyi gerçekleştirirken genel termodinamik balans

denklemleri, Clausius-Duhem eşitsizliği, elektrostatik alanların davranışlarını

yöneten denklemler, bünye teorisi aksiyomlarına ilişkin kavramlar, gerilme

potansiyelinin (bünye fonksiyonelinin), ve alan denklemlerinin bulunması

malzemenin nonlineer davranışının modellenmesinin teorik temelleri

oluşturulmuştur. Böyle bir malzeme için bünye fonksiyonelleri; Green deformasyon

tansörü ve elektrik alan olarak ortaya çıkan serbest enerji fonksiyonu olarak

belirlenmiştir. Bu bünye fonksiyoneli ile vasıtasıyla ele alınan malzemede elektro-

termomekanik yükleme ile oluşan gerilme tansörü ve polarizasyon vektörü elde

edilmektedir. Malzemede ortaya çıkan gerilme tansörü ortamın polarize olmasından

dolayı asimetrik bir formda ortaya çıkmıştır. Simetrik bir tansörün avantajlarından

yararlanmak için (1.134)’e dayanarak (1.135) ile simetrik bir gerilme tansörü

tanımlanmıştır. Simetrik gerilme hesaplandıktan sonra asimetrik gerilme (1.137) den

bulunabilmektedir. Simetrik gerilme ve polarizasyon alanı argümanları belli olan

serbest enerji fonksiyonundan türetilmiştir. Çalışmanın 3.2 kısmında mekanik ve

elektriksel etkileşimler nonlineer kabul edilmiş, malzemenin özelliğinden dolayı

ortam anizotrop alınarak simetrik gerilmenin ve polarizasyon alanının nonlineer

bünye denklemleri elde edilmiştir. Bu denklemlerin elde edilmesinde seri açılıma

gidilmiştir. Seri açılımında alınan terimlerin türü ve sayısı belirlenirken mekanik ve

elektriksel etkileşimlerle ilgili kabuller dikkate alınmıştır. Polarizasyon alanı ve

simetrik gerilme serbest enerji fonksiyonundan türetildiği için kısım 3.5 de serbest

enerji fonksiyonu Taylor serisinde açılmış ve incelenen malzemede oluşan

polarizasyon alanının ve simetrik gerilmenin bünye denklemleri (3.75) ve (3.81)

ifadeleriyle belirlenmiştir.

Bulunması hedeflenen asimetrik gerilmeler çalışmanın 4. kısmında verilmiştir. Kısım

3.5 te bulunmuş olan polarizasyon alanı ve simetrik gerilme ifadelerini kullanarak

asimetrik gerilmenin bünye denklemleri elde edilmiştir (4.2).

98

Elde edilen bünye denklemlerinin uygulamaya dönük problemlerin çözümünde

kullanılması çok zor olduğundan, bünye denklemlerinde belli ölçülerde

lineerleştirme yapılmıştır. Lineer teoride şekil değiştirme ve yer değiştirme

gradyanları çok küçük olduğu kabul edilerek işlemlere başlanmış simetrik gerilmenin

ve polarizasyon alanının maddesel koordinatlarda yarı-lineer bünye denklemleri elde

edilmiştir.

Çalışmanın 4.3 kısmında daha önce kısım 4.2 de kısmen lineerleştirilen simetrik

gerilme ve polarizasyon alanı ifadeleri kullanılarak asimetrik gerilmenin lineer bünye

denklemleri maddesel koordinatlarda (4.22) ile, uzaysal koordinatlarda ise (4.25)

ifadeleri ile elde edilmiştir. Alan denklemlerine ulaşmak için (4.21) polarizasyon

bünye denklemi kısım 1.5 te verilen (4.27) denkleminde, (4.20) simetrik gerilme

bünye denklemi kısım 1.6 da verilen (4.31) Cauchy hareket denkleminde yerine

yazılmıştır. Bu yerine koyma işlemi sonucunda (4.30) ve (4.38) alan denklemleri

bulunmuştur.

99

6. KAYNAKLAR Akdoğan, E.K., 1994. Dielectric and Piezoelectric Properties of Doped PZT

Ceramics. M.Sc. Thesis, The Middle East Technical University, 163p. Chandrasekhariah, D.S., Debnath, L., 1994. Continuum Mechanics, Academics Pres,

595p., Boston. Çalışkan, T., 2002. Piezoelectric Ceramics and Their Applications İn Smart

Aerospace Structure. M.Sc. Thesis, The Middle East Technical University, 279p.

Dawson, T.H., 1976. Theory and Practice of Solid Mechanics. Plenum Pres, 281p.,

New York and London. Doğrukol, S., 2002. Piezoelektrik Malzemelerin Bünye Denklemleri. Süleyman

Demirel Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, Yüksek Lisans Tezi, 107s., Isparta.

Erdem, A. Ü., Usal, M.R., Usal, M., 2005. Keyfi Fiber Takviyeli Viskoelastik

Piezoelektrik Bir Cismin Elektro-Termomekanik Davranışı İçin Matematiksel Bir Model. Gazi Üniversitesi Mühendislik Mimarlık Fakültesi Dergisi, 20, 3, 305- 319.

Eringen, A.C., 1967. Mechanics of Continua. John Wiley and Sons. Inc, 502 p.,

New York. Eringen, A.C., 1980. Mechanics of Continua. Robert E. Krieger Pub. Co.,

Hungtington, 590p., New York. Gözen, Ş., 2002. Effects of surface-bonded piezoelectirc on beam structures. M.Sc.

Thesis, İstanbul Technical University, 57s. Hamamcı, B., 2006. Fiber Takviyeli Termoelastik Malzemeler İçin Matematiksel Bir

Model. Süleyman Demirel Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, Yüksek Lisans Tezi, 90s., Isparta.

Holmes, J. E., 2000. Novel Piezoelectric Structures for Sensor Applications. Journal

of the European Ceramic Society, 20, 2697- 2701. Holzapfel, A.G., 2000. Nonlineer Solid Mechanics. John Wiley and Sons Ltd, 455p.,

Chichester. Ikeda, T., 1990. Fundamentals of Piezoelectricity. Oxford University Pres, 263p. Jaunzemis, W., 1967. Continuum Mechanics. The Macmillan Company, 602p.,

New York.

100

Kabul, A., 2004. Fiber Takviyeli Hiperelastik Malzemeler İçin Matematiksel Bir

Model. Süleyman Demirel Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, Yüksek Lisans Tezi, 100s., Isparta.

Malvern, L.E., 1969. Introduction to the Mechanics of a Continuous Medium.

Prentice-Hall, 713p., New Jersey. Mindlin, R.D., 1972. Elasticity, Piezoelectricity and Crystal Lattice Dynamics. J.

Elasticity, 2, 217- 282. Nowacki, W., 1975. Dynamic Problems of Thermoelasticity. Noordhoff International

Publishing, 436p., Netherlands. Petterman, H. E., ve Suresh, S., 1999. A Comprenshive Unitcell Model: A study of

Compled Effect in Piezoelectric 1-3 Composites. Solid and Structure, 37, 5447- 5464.

Ray, M.C., Sachade, H.M., 2005. Finite element analysis of smart functionally

graded plates. İnternational Journal of Solids and Structures, 43, 5468- 5484. Serra, Ç., 2000. Compositional Modifications of PZT Based Piezoelectric Ceramics.

M.Sc. Thesis, The Middle East Technical University, 150p. Singh, G., Bhaumik, I., Ganesamoorthy, S., Karnal, A.K., Tiwari, V.S., 2006.

Dielectric and piezoelectric properties of the Cr+3 doped PZN single crystals. Materials Letters, 60, 3307- 3310.

Spencer, A.J.M., 1980. Continuum Mechanics. Longman Inc, 182p. Spencer, A.J.M., 1972. Deformasyon of Fibre-Reinforced Materials. Clarendon

Press, 182p., Oxford. Suresh, S., 1999. Theory of Indetation of Piezoelectric Materials. Acta Mat., 47, 7,

2153-2164. Şuhubi, S.E., 1994. Sürekli Ortamlar Mekaniği – Giriş. İ.T.Ü. Fen Edebiyat Fakültesi

Yayını, 243s. Tauchert, T.R., 1999. Developments in Thermopiezo Elasticity with Relevance to

Smart Composite Structure. Composite Structures, 48, 31- 38. Taşpınar, E., 1997. Production and Characterization of Lead Zirconate Titanate and

Lead Magnesium Niobate-Lead Titanate Piezoceramics. M.Sc. Thesis, The Middle East Technical University, 169p.

Tiersten, H.F., 1971. On The Nonlinear Equations of thermoelectro – Elasticity. Int.

J.Engng. Sci., 9, 587- 604.

101

Timoshenko, S.P., Goodier, J.N., 1970. Theory of Elasticity. Mcgraw Hill, 567p. Usal M., 2001. Biyolojik Bir Konstrüksiyon Elemanı için Matematiksel Modelleme.

Süleyman Demirel Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, Doktora Tezi, 232s., Isparta.

Usal, M.R., 2007. A Constitutive Formulation of Arbitrary Fiber- Reinforced

Viscoelastic Piezoelectric Composite Materials- I. İnternational Journal of Nonlinear Sciences and Numerical Simulation, 8 (2), 257-275.

Usal, M.R., 1993. Fiber Takviyeli Elastik Dielektrik Ortamların Elektro–

Termomekanik Davranışına ait Matematiksel bir Model. Erciyes Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, Doktora Tezi, 108s., Kayseri.

Yağcı, B., 1998. Modeling and Control of Beam Type Structures With Surface

Bonded Piezoelectric Sensors and Actuators. M.Sc. Thesis, The Middle East Technical University, 143p.

Yang, Z., Li, H., Zong, X., Chang, Y., 2005. Structure and electrical properties of

PZT-PMS-PZN piezoelectric ceramics. Journal of the European Ceramic Society, 26, 3197- 3202.

Yünlü, L., 2006. Piezoelektrik Malzemeler ve Teknolojideki Kullanım Alanları.

Süleyman Demirel Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, Yüksek Lisans Semineri, 40s., Isparta.

Zong, X., Yang, Z., Li, H., Yuan, M., 2006. Effects of WO3 addition on the structure

and electrical properties of Pb3O4 modified PZT-PFW-PMN piezoelectric ceramics. Materials Research Bulletin, 41, 1447- 1454.

102

ÖZGEÇMİŞ Adı Soyadı: Lokman YÜNLÜ

Doğum Yeri ve Yılı: K.Maraş 1981

Medeni Hali: Bekar

Yabancı Dili: İngilizce

Eğitim Durumu

Lise: 1995–1997 Osmaniye Endüstri Meslek Lisesi

Lisans: 1999–2003 Süleyman Demirel Üniversitesi Teknik Eğitim Fakültesi

Tesisat Öğretmenliği

Çalıştığı Kurum ve Yıl: 2005-… Arş. Gör. (Süleyman Demirel Üniversitesi

Fen Bilimleri Enstitüsü)