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T1 ELEC-H-200 / CHAP 6 MILIEUX MAGNÉTIQUES Diamagnétisme Lorsqu’on applique un champ extérieur, le moment orbital des électrons est modifié de telle sorte que la variation de moment dipolaire est dirigée dans le sens opposé au champ externe (suivant la loi de Lenz). Les moments magnétiques induits des atomes sont dirigés à l’opposé du champ magnétique. L’effet diamagnétique, qui est présent dans tous les matériaux, est très faible et il est souvent masqué par les effets paramagnétiques et ferromagnétiques.

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T1ELEC-H-200 / CHAP 6

MILIEUX MAGNÉTIQUES

Diamagnétisme

Lorsqu’on applique un champ extérieur, le moment orbital des électrons est modifié de tellesorte que la variation de moment dipolaire est dirigée dans le sens opposé au champ externe(suivant la loi de Lenz).

Les moments magnétiques induits des atomes sont dirigés à l’opposé du champ magnétique.

L’effet diamagnétique, qui est présent dans tous les matériaux, est très faible et il est souventmasqué par les effets paramagnétiques et ferromagnétiques.

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ELEC-H-200 / CHAP 6 T2

2 1 12

zem I R q v Rπ= =

2. 2 td dBE dl R E Rdt dtϕπ π= = − = −∫

12t

dBE Rdt

= −

12e t e e

dv dBq E m q Rdt dt

= = −

Effet du champ magnétique sur l'orbite électronique

2e eq q vI

T Rπ= =

est la période de rotation et la charge de l’électron.2T r vπ= eq

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ELEC-H-200 / CHAP 6 T3

Si le champ magnétique passe de 0 à , la vitesse passera de à avec BΔ 0v 0v v+ Δ

12

e

e

q Rv Bm

Δ = − Δ

2 21 12 4

eze

e

q Rm q v R Bm

Δ = Δ = − Δ

Le signe moins signifie que le moment ajouté est opposé au champ magnétique.Conformément à la loi de Lenz, le champ induit s'oppose à la variation du flux.La variation de moment magnétique est donc opposée à la direction de B.Ce phénomène est le diamagnétisme.

Paramagnétisme

Les atomes ont des moments magnétiques permanents mais leurs orientations sont aléatoiresen l’absence de champ extérieur.

Tendance à s’aligner suivant l’orientation du champ à cause du couple .m B×

L’alignement partiel des moments dipolaires vient ici renforcer le champ extérieur.

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ELEC-H-200 / CHAP 6 T4

Dans un champ magnétique non uniforme, un dipôle magnétique est soumis à uneforce :

( . )F grad m B=

en plus du couple . m B×

Un diélectrique est toujours attiré vers larégion de champ intense.

Répartition dipolaire en volume – Vecteur magnétisation

Pour étudier les phénomènes d’un point de vue macroscopique, on définit la magnétisation(ou l’aimantation) d’un milieu, comme le moment magnétique résultant par unité devolume :

(a) Un matériau paramagnétique ou ferromagnétique est attiré vers un aimant(b) Un matériau diamagnétique est repoussé par un aimant

: densité de moment magnétique M ( )A m

Le vecteur joue un rôle semblable à celui de la polarisation dans les milieux diélectriques. M P

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ELEC-H-200 / CHAP 6 T5

Champ créé par de la matière magnétisée

Potentiel vecteur d’un dipôle magnétique est

02

14

RmAR

μπ

×=

Un volume contient un moment dipolaire dτ ′ M dτ ′

02

1( )4

RMA R dRτ

μ τπ ′

× ′= ∫

2

1 1( ) RgradR R

′ =

où le gradient (donc les dérivées) est pris par rapport au point courant du volume . τ ′

R0 1( ) ( )

4A R M grad d

μ τπ ′

⎡ ⎤′ ′= ×⎢ ⎥⎣ ⎦∫

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ELEC-H-200 / CHAP 6 T6

En utilisant la formule

( )rot f G f rot G G grad f= − ×

avec et 1f R= ( , , )G M x y z′ ′ ′=

0 0( ) ( )4 4

rot M MA R d rot dR Rτ τ

μ μτ τπ π′ ′

′′ ′ ′= −∫ ∫

Srot G d G dS

ττ = − ×∫ ∫

0 0( )4 4 S

rot M M dSA R dR Rτ

μ μτπ π′ ′

′ ′×′= +∫ ∫

où est la surface extérieure du volume magnétisé . S ′ τ ′

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ELEC-H-200 / CHAP 6 T7

0 0

4 4magmag

S

J KA d dSR Rτ

μ μτπ π′ ′

′ ′= +∫ ∫

Le volume magnétisé peut donc être modélisé au moyen d’une densité volumique decourants de magnétisation

magJ rot M= 2( )A m

et d’une densité surfacique de courants de magnétisation

1mag nK M= × ( )A m

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ELEC-H-200 / CHAP 6 T8

Interprétation des courants de magnétisation

Magnétisation uniforme.

0magJ rot M= =

magJ

magK

magK

Bloc à l’intérieur de la matière aimantée

Le moment magnétique total du bloc est égal au produit de lamagnétisation par le volume :

m M a b c=

Le moment d’un dipôle est par définition le produit du courantpar la surface, et la surface de la boucle est ,S a c=

m I S I a c= = I M b=

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ELEC-H-200 / CHAP 6 T9

Le courant superficiel est le courant par unité de longueur (verticalement) sur chacune desfaces verticales :

K I b M= =

1nmagK M= ×

Magnétisation non uniforme

1 2 ( )z z z zI I I M b M M b M b= − = − + Δ = −Δ

.zz

MM ax

∂Δ =

zMI a bx

∂= −

zy

MIJa b x

∂= = −

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ELEC-H-200 / CHAP 6 T10

Équations magnétostatiques en présence de milieux magnétiques

Loi d’Ampère dans un milieu magnétique

0rot B Jμ=

La densité de courant doit inclure tous les courants :

magJ J J= +

0

1magrot B J J J

μ= = +

J rot M= +

0

1( )rot B M Jμ

− =

Nouvelle grandeur

0

1H B Mμ

= − ( )A m

excitation magnétique, champ magnétisant.

rot H J=

.cH dl I=∫

en général, la divergence de H ne s’annule pas.

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ELEC-H-200 / CHAP 6 T11

Milieux magnétiques linéaires

mM Hχ=

pour un matériau linéaire et isotrope.

La constante , sans dimension, est la susceptibilité magnétique du milieumχ

0 0( ) (1 )mB H M Hμ μ χ= + = +

0 r H Hμ μ μ= =

est la perméabilité du milieu et la perméabilité relative.μ rμ

: perméabilité du vide.0μ

Dans un milieu linéaire et homogène, la densité volumique de courant de magnétisation seraproportionnelle, en tout point, à la densité de courant libre :

( ) ( 1)mag m rJ rot M rot H Jχ μ= = = −

En particulier, s’il n’y a pas de courant libre à l’intérieur du matériau, on y aura et tous les courants de magnétisation seront en surface.

0magJ =

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ELEC-H-200 / CHAP 6 T12

: relation constitutive du matériau magnétique linéaireB Hμ=

: la relation constitutive d’un diélectriqueD Eε=

: relation constitutive d’un milieu conducteur.J Eσ=

Dans un milieu diamagnétique, la susceptibilité sera un très petit nombre négatif ,la perméabilité relative sera , et le champ magnétique sera (très légèrement) plus faibleque ce qu’il aurait été dans le vide.

510mχ−≅ −

1rμ <

Dans un milieu paramagnétique, la susceptibilité sera un très petit nombre positif ,la perméabilité relative sera , et le champ magnétique sera (très légèrement) plus grandque ce qu’il aurait été dans le vide.(contraire à celui des dipôles électriques dans un diélectrique où l’alignement des dipôles donneun champ « de réaction » de sens opposé au champ externe et donc un champ électrique intérieurnet plus faible).

510mχ−≅

1rμ >

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ELEC-H-200 / CHAP 6 T13

Conducteur cylindrique

.cH dl I=∫

2 12

12

I rH r bb

I r br

φ

φ

π

π

= <

= >

Le cuivre est diamagnétique (avec ),

cuivreM Hχ=53, 410cuivreχ −= −

2 1mag cuivre z cuivreIJ Jb

χ χπ

= =

sera opposé au courant libre, tandis que le courant superficielaura le même sens que I.magK

2 12

I rBb

φμπ

=

0 12

Ir

φμπ

=

r b<

r b>

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ELEC-H-200 / CHAP 6 T14

Solénoïde infini

Si l’axe du solénoïde est aligné suivant z :

où n est le nombre de spires par unité de longueur.

0 1zB n Iμ=

0=

à l’intérieur

à l’extérieur

Rempli d’un matériau magnétique linéaire

10

zH n I==

à l’intérieur

à l’extérieur

10

zB n Iμ==

à l’intérieur

à l’extérieur

Si le milieu est paramagnétique, le champ B est renforcé, tandis que si le milieu estdiamagnétique le champ est diminué. La densité superficielle de courant de magnétisation

1 ( 1 ) 1mag n nm mK M H n I φχ χ= × = × =

est en effet dans le même sens que I dans le cas paramagnétique et dans le sensopposé dans le cas diamagnétique .

( 0)mχ >( 0)mχ <

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ELEC-H-200 / CHAP 6 T15

Conditions aux limites

1 20 . 0 n nSdiv B B dS B B= ⇒ = ⇒ =∫

0cB dl Iμ=∫ ⇒ 1 2 01 ( )n B B Kμ× − =

0 ( )B H Mμ= + ⇒ 1 2 1 2( )n n n nH H M M− = − −

.cH dl I=∫ ⇒ 1 21 ( )n H H K× − =

où est la normale dirigée de 2 →1 et est la densité superficielle de courant libre à lasurface de séparation.

1n K

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ELEC-H-200 / CHAP 6 T16

En l’absence de courant libre de surface 0K =

1 2t tH H=

Dans le cas particulier de l’interface entre deux milieux magnétiques linéaires

1 1 2 2n nH Hμ μ=

1 2n nB B=

1 2

1 2

t tB Bμ μ

=

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ELEC-H-200 / CHAP 6 T17

Ferromagnétisme

Fer, nickel, cobalt ou leurs alliages : effet résultant des moments magnétiques est beaucoupplus grand que dans le cas du paramagnétisme ou du diamagnétisme.

Comme dans les milieux paramagnétiques, l’aimantation des matériaux ferromagnétiquesprovient du moment magnétique associé au spin des électrons dans la couche interne del’atome.

L’élément nouveau est une force d’interaction entre les dipôles voisins, qui est beaucoupplus grande que l’interaction magnétique directe.

Mécanique quantique : les moments magnétiques des atomes voisins ont tendance às’aligner parallèlement l’un à l’autre.

Les moments ne s’alignent parfaitement qu’à l’intérieur de petits domaines magnétiques dedimension inférieure à 1 mm.

Bien que l’alignement soit parfait à l’intérieur de chaque domaine (même en l’absence d’unchamp magnétique appliqué), les domaines ont des orientations aléatoires et il n’y a pas demagnétisation globale.

Le ferromagnétisme n’apparaît que dans lesmilieux où l’énergie est réduite si les spins sontparallèles plutôt que s’ils sont opposés.

Energie associée aux parois.Les dimensions et l’orientation aléatoire desdomaines correspondent à la situation oùl’énergie totale du système est minimale.

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ELEC-H-200 / CHAP 6 T18

Champ extérieur :

champ faible : les domaines dont les moments sont alignés parallèlement au champgrandissent aux dépens des autres.

champ plus élevé : les domaines subissent également une rotation qui les fait s’aligner sur lechamp extérieur.

champ suffisamment élevé : il ne restera qu’un seul domaine et le matériau sera saturé.

A très haute température, l’agitation thermique détruit l’organisation des domainesmagnétiques. Au-delà d’une température critique précise, appelée point de Curie (770°Cpour le fer), le matériau cesse d’être ferromagnétique et devient paramagnétique.

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ELEC-H-200 / CHAP 6 T19

Courbe de première aimantation et cycle d’hystérésis

c .cH dl N I=∫

12N IH

π= ( )A m

N est le nombre de spires.

H est directement proportionnel à : champ magnétisant.I

0 [ ]B H Mμ= +

il n’y a pas de relation simple entre M et H pour un matériau ferromagnétique.

12N IH

π≅

où a est le (grand) rayon du tore.

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ELEC-H-200 / CHAP 6 T20

H

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ELEC-H-200 / CHAP 6 T21

Matériaux ferromagnétiques

matériaux ferromagnétiques doux.

B Hμ≈

matériaux ferromagnétiques durs.

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ELEC-H-200 / CHAP 6 T22

Fer doux 2,1 5 000

cobalt 1,8 250

nickel 0,6 600

type permalloy 0,8 150 000 0,006 1,2

type alnico 1,5 1,3 60 000

ferrite doux 0,28 3000 0,1 24

ferrite dur 0,45 0,34 190 000

( )satB T maxrμ ( )rB T ( )cH A m

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ELEC-H-200 / CHAP 6 T23

Blindage magnétique

1 2n nB B=

1 2 0 1 2t t t tH H B Bμ μ= ⇒ =

1 2 20

rtg tg tgμθ θ μ θμ

= =

Les lignes de champ vont avoir tendance às’aligner le long de la paroi à l’intérieur dumatériau magnétique .Si le matériau magnétique entoure un appareil, lapénétration du champ magnétique dans la zoneintérieure sera fortement réduite.

1 2( )θ θ>>

appareil à protéger

matériau magnétique espace libre

1B1θ

2θ2B

1nmilieu 1

milieu 2

μ

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ELEC-H-200 / CHAP 6 T24

Point de fonctionnement d’un aimant

c

1 2B B=

1 1 2 2.cH d H H N I= + =∫

1 0 1B Hμ=

21 2 2

0

B H N Iμ

+ =

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ELEC-H-200 / CHAP 6 T25

12 2

0 2 2

N IH Bμ

= − +

aimant permanent

1 2 0 1B B Hμ= =

21 2

1

H H= −

12 2

0 2

H Bμ

= −

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ELEC-H-200 / CHAP 6 T26

Circuits magnétiques

matériau magnétique

section S

longueur moyenne

première approximation

1) On admet que les lignes de champmagnétique suivent, sans dispersion, lespièces ferromagnétiques dont elles épousentla forme et dans les entrefers, on leursuppose une forme schématique simple. Leflux magnétique est donc supposéconstant tout au long du circuit.

Φ

2) Dans chaque section, on admet que le champ B est uniforme et que le flux magnétique est donnépar :

.SB dS B SΦ = =∫

3) On suppose que les matériaux magnétiques sont linéaires avec une certaine perméabilité .μ

Un circuit magnétique est semblable à un circuit conducteur parcouru par un courant :

J BI⇔⇔Φ

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ELEC-H-200 / CHAP 6 T27

.cH d N I=∫

.SB dSΦ = ∫

Si les champs B et H sont liés par une relation linéaire → relation linéaire entre et .N I Φ

TN I =ℜ Φ

Semblable à la loi d’Ohm : V R I=

: force magnétomotrice ( ampères-tours )N I

. .i

ici i

H d H d= = ℜ Φ∑ ∑∫ ∫

Semblable à la loi des mailles de Kirchhoff :

ii

N I = ℜ Φ∑

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ELEC-H-200 / CHAP 6 T28

Pour une section de circuit de longueur :

..

.S

B dH d

B dSμℜ = =

Φ

∫∫∫

Si B est constant dans une section normale, /B S= Φ

ddS

μ

Φ

ℜ = =Φ

∫∫

si la section est constante

Sμℜ =

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ELEC-H-200 / CHAP 6 T29

Exemple 1

matériau 1

matériau 2

entrefer 1 1 2 2fmm N I N I= −

Les caractéristiques sont :

matériau 1 :

matériau 2 :

entrefer :

1 50 cm=

2 50 cm=

3 0, 2 cm=

1 0200μ μ=

2 02000μ μ=

3 0μ μ=

24 cmS =

61 4

0

0,5 4,97 10200 4 10μ −ℜ = =

52 4

0

0,5 4,97 102000 4 10μ −ℜ = =

36

3 40

2 10 3,98 104 10μ

−ℜ = =

1H −

1H −

1H −

61 2 3 9, 44 10Tℜ =ℜ +ℜ +ℜ =

1 1 2 2 TN I N I− =ℜ Φ

1H −

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ELEC-H-200 / CHAP 6 T30

Exemple 2

a bΦ = Φ +Φ

a béq

a b

ℜ ℜℜ =

ℜ +ℜ

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ELEC-H-200 / CHAP 6 T31

Exemple 3

Si on dispose des courbes de magnétisation des matériaux → calcul plus précis

matériau 1 fer

matériau 2 acier

acier

fer

On souhaite obtenir un flux de Φ 42 10 Wb−

4

4

2 10 0,54 10

B TS

Φ= = =

1 1800H =

2 200H =

A mA m

1 1 2 2 1000fmm H d H H At= = + =∫

1 1 2 2 1000fmm N I N I At= + =