COURS L1

Anne 2013-2014

Isabelle Sirot

Electricit Gnrale

Table des matires Electricit Gnrale ...................................................................................................................................... 1

Chapitre 1 : Lois gnrales ........................................................................................................................... 4

1 Introduction ............................................................................................................................................ 4

2 Grandeurs lectriques fondamentales .................................................................................................... 5

2.1 La charge lectrique ........................................................................................................................ 5

2.2 Le courant ....................................................................................................................................... 5

2.3 La tension ........................................................................................................................................ 5

2.4 Energie, Puissance .......................................................................................................................... 6

3 Loi dOhm ............................................................................................................................................. 7

3.1 Rsistance ....................................................................................................................................... 7

3.2 Loi dOhm ...................................................................................................................................... 7

3.3 Effet Joule ....................................................................................................................................... 7

3.4 Gnrateurs ..................................................................................................................................... 8

3.5 Rcepteurs ....................................................................................................................................... 9

Chapitre 2 : Analyse des circuits en courant continu ................................................................................. 10

1 Loi de Kirschoff ................................................................................................................................... 10

1.1Dfinitions ..................................................................................................................................... 10

1.2 Loi des mailles .............................................................................................................................. 10

1.3 Loi des Nuds .............................................................................................................................. 11

1.4 Rsistances en srie ...................................................................................................................... 12

1.5 Rgle du diviseur de tension ......................................................................................................... 12

............................................................................................................................................................ 12

1.6 Rsistances en parallle ............................................................................................................ 13

1.7 Rgle du diviseur de courant .................................................................................................... 13

............................................................................................................................................................ 13

............................................................................................................................................................ 13

2 Thormes ............................................................................................................................................ 14

2.1Transposition des sources .............................................................................................................. 14

............................................................................................................................................................ 15

2.2 Thorme de Superposition (de Helmholtz) ................................................................................. 15

2.3 Thorme de Thvenin ................................................................................................................. 15

2.4 Thorme de Norton ..................................................................................................................... 16

2.5 Equivalence entre modle de Thvenin et de Norton ................................................................... 16

2.6 Thorme de Millman ................................................................................................................... 17

Chapitre 3 : Analyse des circuits en rgime sinusodal .............................................................................. 18

file://morpheus/users/sirot/Isabelle/Cours/L1%20Electricit%20gnrale/Cours/Cours-12-13.docx%23_Toc374607153

1 Caractristique dune grandeur Sinusodale .................................................................................... 18

1.1 Dfinition dune grandeur sinusodale ..................................................................................... 18

1.2 Valeur moyenne ....................................................................................................................... 19

1.3 Valeur efficace ......................................................................................................................... 19

2 Loi dOhm gnralise ........................................................................................................................ 20

2.1 Impdance, admittance ................................................................................................................. 20

2.2 Comportement dune rsistance ................................................................................................... 20

2.3 Comportement dune bobine ........................................................................................................ 20

2.4 Comportement dun condensateur ................................................................................................ 21

2.5 Loi dohm gnralis, impdance dun diple ............................................................................. 22

2.6 Circuit RLC srie .......................................................................................................................... 23

2.7 Circuit RLC parallle .................................................................................................................... 23

Chapitre 1 : Lois gnrales

1 Introduction

Llectricit se retrouve partout dans la nature. La science de llectricit sest construite peu peu partir

de simple observations de phnomnes naturels. Nous pouvons lobserver lors dun orage par la foudre

(norme dcharge lectrique) et les clairs (arcs lectriques). Dans notre corps elle permet de transmettre

de linformation dans les nerfs par influx nerveux.

Deux mille ans dexprimentation, de recherches et de dveloppements thoriques ont permis les

premires applications de llectricit.

Thals de Milet, mathmaticien et philosophe grec (six sicles avant notre re) avait dcouvert quen

frottant lambre jaune avec un chiffon sec, elle attire des corps lgers tels que la poussire et les plumes. Il

est noter que le mot lectron, provient du grec ekektron qui signifie ambre jaune .

Ds le IIIe sicle, les Asiatiques savaient fabriquer des boussoles de divers types.

La possibilit de produire de llectricit (statique) fut acquise seulement au XVIIe sicle par les machines

de Guericke et puis celle de Huygens mais ce stade les rsultats obtenus ne constituent que des curiosits :

on ne cherche pas encore tablir des thories.

Dans lencyclopdie de Diderot et dAlembert (1751-1755) llectricit est encore dfinie de la faon

suivante : Ce mot (lectricit) signifie en gnral les effets dune matire trs fluide et trs subtile,

diffrente par ses proprits de toutes les autres matires fluides que nous connaissons

Charles Augustin de Coulomb pose pour la premire fois en 1780, les lois de lattraction lectrique et

magntique.

Alessandro Volta inventa la pile lectrique en 1800. La dcouverte de la pile lectrique fut une vritable

rvolution dans ce domaine de la physique car on pouvait enfin produire un courant lectrique. Llectricit

jusque-l statique devient dynamique, les recherches fondamentales vont pouvoir se dvelopper.

Georg Simon Ohm (1789-1854) va tablir la loi qui porte son nom. Ce savant put tablir puis gnraliser

sa loi en remplaant les piles Volta par des lments thermolectriques.

Ds le 18me sicle, les observations menrent des questionnements sur le rapport entre llectricit et le

magntisme mais cest James Clerck Maxwell (1831-1879) qui dcouvrit lexistence de londe de nature

lectromagntique devant relier champ lectrique et champ magntique.

Henry Hertz russit en 1887 produire lectriquement les ondes prvues par Maxwell et leur reconnaitre

les proprits dune lumire de grande longueur donde ; cest lorigine de toute la radiotechnique actuelle.

En 1882, Marcel Deprez ralise le premier transport dnergie lectrique en courant continu. A la mme

poque linvention du transformateur permet lutilisation pratique du courant alternatif. En 1891, Nikola

Tesla obtient la transmission dnergie lectrique grande distance par fil (courant triphas).

Aujourdhui llectricit est une source dnergie indispensable au cur du dveloppement de notre socit.

2 Grandeurs lectriques fondamentales

2.1 La charge lectrique

Les charges lectriques sont lorigine des phnomnes lectrique, elle est note q, son unit est le

Coulomb q=1,610-19C. Toute charge q est un multiple de cette charge lmentaire.

Les atomes sont neutres, ils possdent autant de charge positive (protons q=1,610-19C) que de charge

ngative (lectrons q=-1,610-19C)

Les conducteurs sont des matriaux dans lesquels le courant se dveloppe facilement car les lectrons

libres sont nombreux et peuvent se mouvoir facilement dun endroit un autre. La plupart des mtaux sont

des bons conducteurs, largent est le meilleur conducteur de tous, suivi du cuivre. Le cuivre est

gnralement employ comme conducteurs dans les fils lectrique.

Les matriaux isolant sont faiblement conducteurs, ils ont peu dlectrons libres on les utilise le plus

souvent quand on veut empcher le courant de passer (verre, plastique)

Les semi-conducteurs sont plutt isolants mais ils deviennent conducteurs si on lve la temprature ou

sils contiennent des impurets. Les semi-conducteurs sont la base des circuits lectroniques.

2.2 Le courant

Lorsque deux charges lectriques gales et opposes sont relies par un conducteur mtallique, les lectrons

se dplacent de la charge ngative (pole -) vers la charge positive (ple +). Ce flux dlectrons constitue le

courant lectrique, dont le sens est par convention oppos celui de la migration des lectrons. Un courant

lectrique est continu sil se dplace toujours dans le mme sens.

Lintensit dun courant lectrique exprime un dbit de charges travers une section de conducteur en unit

de temps en un point donn du circuit.

=d

d

i intensit du courant en Ampre

dq reprsente la quantit algbrique de charge (en Coulombs) traversant la section S du conducteur pendant

un intervalle de temps dt (en seconde).

2.3 La tension

Une charge q, place en un point ou le potentiel est v possde une nergie potentielle lectrique w= q . v

Lunit du potentiel lectrique est le volt (V)

On peut dfinir un potentiel de rfrence, tel que son potentiel soit nul, ce point est symbolis par une

masse.

La tension U entre deux points A et B dun circuit est la diffrence de potentiel entre ces deux points u=

vA-vB

Par convention, la tension u= vA-vB sera indique par une flche oriente de B vers A

2.4 Energie, Puissance

Au cours dun intervalle de temps dt une charge dq se dplace dans un lment entre deux points A et B

prsentant une diffrence de potentiel u= vA-vB. Elle voit son nergie potentielle varier de la quantit

dw=dq. (vA-vB) = dq.u

On sait que dq= i dt

dw = ui.dt en Joules (J)

Si la charge gagne de lnergie, llment est dit gnrateur.

Si la charge perd de lnergie lectrique, llment est dit rcepteur

Lnergie change au cours dun intervalle de temps T est

= . .

0

On dfinit la puissance comme le dbit de lnergie :

p=dw

dt = u.i

Si la tension et le courant sont constants, la puissance est constante. P= U.I

A B

u vA vB

3 Loi dOhm

3.1 Rsistance

Dans tout matriau, il existe une force qui soppose au dplacement des charges. Cette force dopposition

rsulte des collisions des lectrons entre eux et des collisions avec les atomes. Elle transforme lnergie

lectrique en nergie thermique ; on lappelle rsistance du matriau, elle sexprime en ohm

A une temprature donne, la rsistance dun conducteur de section transversale uniforme scrit

=

est la rsistivit de matriau en ohm-mtre

l la longueur en mtre

S la surface de la section en m2

3.2 Loi dOhm

George Simon Ohm a dmontr que la relation qui relie le courant la diffrence de potentielle est de la

forme.

uAB= vA-vB= R iAB

uAB est la diffrence de potentielle entre deux points entre A et B qui sexprime en Volt

iAB est le courant qui circule dans le diple AB en ampre

3.3 Effet Joule

La circulation de lnergie dans une rsistance provoque un dgagement de chaleur. Lnergie lectrique

est transforme en nergie thermique. La puissance est dissipe par effet Joule.

P= R I2

3.4 Gnrateurs

Un gnrateur est une source dnergie lectrique, elle dbite un courant i li sa forme lectromotrice e.

La diffrence de potentielle entre les bornes A et B scrit :

uA-uB= uAB = e-rI

r est la rsistance interne du gnrateur

Exemple de gnrateur : courant et tension continu

Groupement de gnrateurs

En srie

Est quivalent

Si n est le nombre total de gnrateurs

eq =e1+e2+e3+ +en

(Attention au sens des gnrateurs + dans le sens choisi des eq, -dans le sens oppos des eq)

rq=r1+r2+r3+rn

B A

- + I

E r

B A

e1

r1

e2 en e3

r2 r3 r n

B A

- + I

eq rq

En parallle

Avec eq= e et rq=r/n

3.5 Rcepteurs

Un rcepteur est un conducteur capable demmagasiner ou de transformer lnergie

lectrique quil reoit en dautres formes dnergie (moteurs)

Convention de courant et tension

Dans une rsistance (conducteur purement ohmique)

VAB=VA-VB=RI

Dans un gnrateur :

.

VAB=VA-VB= -e

A B I

R

e

e

e

r

r

r

A B

eq rq

A B

VAB

A B

VAB

e I

Chapitre 2 : Analyse des circuits en courant continu

1 Loi de Kirschoff

1.1Dfinitions

Une branche est une constitue dun ensemble de diples connects ensemble et traverss par le mme

courant.

Un nud est le point de jonction de trois conducteurs au moins.

Une maille est un parcours ferm constitu de branches successives du rseau.

Exemple :

Nuds : E, C

Branches : AB, AE, EF, FD, DC, BC, EC

Mailles : (A,B,C, E) ; (A, E, F, D, C, B) ; (E,F,D,C)

1.2 Loi des mailles

La somme algbrique des tensions des N branches d'une maille est nulle:

v1

v2

v3

v4

vj

vk

A

B C D

F E

+ v1 + v2 - v3 - v4 + vj - vk = 0

1.3 Loi des Nuds

La somme algbrique des courants au nud de N branches, est n

+i1 - i2 + i3 + i4 - ij - ik = 0

i1

i2

i3

i4

ij

ik

12

1.4 Rsistances en srie

Deux diples sont en srie quand ils ont une borne commune et quils sont traverss par le

mme courant.

N rsistances en srie peuvent tre remplaces par une rsistance dtes quivalente gale la

somme des N rsistances.

=

=1

1.5 Rgle du diviseur de tension

Soit le schma ci-dessous,

Lorsque quune tension U est applique aux bornes de deux rsistances, on peut calculer la

tension aux bornes de chaque rsistance

I =

(+) et U2= R2 I et U1= R1 I implique que :

R1 R2 R3 RN

A B

A B

Req

U U2

R1

R2 U1

I1

13

U2 = U R2

R1 + R2 U1 = U

R1

R1 + R2

1.6 Rsistances en parallle

Des diples sont dits en parallle quand ils ont deux bornes communes, ils ont la mme tension

leurs bornes.

N rsistances en parallles peuvent tre remplaces par une rsistance dtes quivalente.

1

=

1

=1

1.7 Rgle du diviseur de courant

Soit le schma ci-dessous,

R1

R3

RN

A B A B

Req

U

I

R1 R2

I2 I1

R2

14

Lorsque quun courant I est appliqu aux bornes de deux (N) rsistances en parallle, on peut

calculer le courant dans chaque rsistance

I=I1+I2 ; U= R2 I1 et U= R1 I2 U = Req I avec Req=(R1 R2/(R1+R1) ) mne aux quations

I1 = I R2

R1 + R2 I2 = I

R1

R1 + R2

2 Thormes

2.1Transposition des sources

Une source de tension est une source qui a ses bornes une diffrence de potentiel constante

quel que soit le courant dbit.

Une source de courant est une source qui dbite un courant constant quelle que soit la tension

ses bornes.

On peut substituer une source de tension une source de courant, comme on peut substituer

une source de courant une source de tension.

Soit la source de tension avec sa rsistance interne Rs qui est connecte une rsistance Rc.

Elle peut se transpose en une source de courant en parallle avec Rs et Rc.

=

+ =

()

+ =

+ (

)

On peut poser =

Ic scrit alors =

+ (expression dun diviseur de courant)

On pourra donc remplacer une source de tension par une source de courant selon le schma

suivant

Ic

Rs Rc

E

Rc Rs I

Ic

15

2.2 Thorme de Superposition (de Helmholtz)

Dans un rseau linaire, le courant (ou la tension) cre dans une branche par plusieurs sources

indpendantes agissant simultanment, est gal la somme des courants (ou des tensions)

produit(e)s dans cette mme branche par les diffrentes sources agissant isolment.

Mthode : Soit un circuit comportant n sources de tension ou de courant.

- Garder une seule source en liminant les (n-1) sources. Eliminer une source implique

court-circuiter les sources de tension, remplacer par un circuit ouvert les sources de

courant.

- Calculer les grandeurs (tension ou courant) entre les bornes demandes.

- Refaire la mme procdure avec chaque source.

- Le courant total (ou la tension totale) entre les bornes demandes est la somme

algbrique de tous les courants (ou tensions) calculs prcdemment

2.3 Thorme de Thvenin

Tout circuit linaire actif, vu entre deux bornes A et B, peut tre remplac par une source de

tension Eth en srie avec une rsistance Rth.

Mthode : retirer du rseau la branche ou sera raccorde les gnrateurs.

La tension de Thvenin quivalente Eth est la tension en circuit ouvert entre les bornes A et B.

Rs I = (E/Rs)

E

Rs

16

La rsistance quivalente de Thvenin Rth est la rsistance totale entre les deux bornes A et B,

les gnrateurs de tension sont court-circuits et les gnrateurs de courant sont remplacs par

des circuits ouverts.

2.4 Thorme de Norton

Tout circuit linaire actif, vu entre deux bornes A et B, peut tre remplac par une source de

courant IN en parallle avec une rsistance RN.

Mthode : retirer du rseau la branche ou sera raccorde les gnrateurs.

La source de courant IN est gale au courant de court-circuit circulant entre les points A et B

La rsistance quivalente de Norton RN est la rsistance totale entre les deux bornes A et B, les

gnrateurs de tension sont court-circuits et les gnrateurs de courant sont remplacs par des

circuits ouverts.

2.5 Equivalence entre modle de Thvenin et de Norton

Un modle de Thvenin est quivalent au modle de Norton si

Eth= RNIN et Rth=RN

B

Rth

B B

A A

Circuit linaire

actif Rc Rc Eth

RN

A

B

A

Circuit linaire

actif Rc Rc IN

B

17

2.6 Thorme de Millman

Le thorme de Millman permet de remplacer plusieurs sources de tension par une seule.

ER1 +

ER2 +

ER3

1R1

+1R2

+1R3

= VAB

E3

A

B

E1

R1

E2

R2 R3

18

Chapitre 3 : Analyse des circuits en rgime sinusodal

1 Caractristique dune grandeur Sinusodale

1.1 Dfinition dune grandeur sinusodale

Un courant sinusodal est un courant dont lintensit scrit :

i = Imax sin(t + )

I max est lamplitude maximale du courant

est la pulsation en radian s-1

est la phase lorigine (quand t=0) exprime en degr ou en radian.

Une onde sinusodale se reprsente de la faon suivante :

Un courant sinusodal est un courant priodique de priode T (en seconde).

La frquence du signal f =1

T sexprime en Hertz

La pulsation = 2 f

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

wt

Imax sin(wt+Phi)

T

Phi

Imax

19

Si la phase lorigine est nulle i = Imax sin(t), la fonction se reprsente de la

faon suivante :

1.2 Valeur moyenne

Un courant alternatif est un courant priodique dont la valeur moyenne de lintensit

instantane est nulle sur une priode.

I moy=1

T i(t) dt

T

0

I moy=1

T Imax sin(t) dt

T

0 = 0

1.3 Valeur efficace

La plupart des ampremtres ou voltmtres mesurent et affichent la valeur efficace

du courant ou de la tension. La valeur efficace dune tension sinusodale (ou dun

courant sinusodal) est gale la tension continue (courant continue) qui dgage la

mme quantit de chaleur dans une rsistance. Physiquement, les voltmtres (ou

ampremtres) mesurent la chaleur dgage par une onde sinusodale.

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

wt

i(t)=Imaxsin(wt)Imax

T

20

I eff=1

T i2(t) dt

T

0

I eff =Imax

2

2 Loi dOhm gnralise

2.1 Impdance, admittance

Pour un circuit linaire passif, on gnralise la loi dOhm en dfinissant limpdance Z=

qui

sexprime en ohm

Ladmittance est linverse de limpdance Y=

, elle sexprime en Siemens (ohm-1)

2.2 Comportement dune rsistance

Limpdance dune rsistance de valeur R est Z=R. Le courant et la tension sont en phase.

2.3 Comportement dune bobine

Si on fait circuler un courant lectrique I dans une bobine n spires, il y cration dune induction

lectromagntique dont la valeur est proportionnelle lintensit du courant . Lensemble

des spires canalise les lignes dinduction, ce qui donne un flux dinduction .

= .

S est la section droite de la bobine.

Soit un circuit ferm, travers par un flux, lorsque lon fait varier ce flux, le circuit devient le

sige dun courant induit Le sens du courant induit est tel que le flux quil produit travers

le circuit quil parcourt tend sopposer la variation du flux qui lui donne naissance. Il apparait

une force lectromagntique telle que

=

=

Le raisonnement inverse est aussi valable, si on applique une tension variable aux bornes dune

bobine dinductance L (Henry), lintensit i du courant qui la parcourt est telle que

=

RI

V

21

Si le courant est constant, la tension est nulle. La bobine peut tre remplace par un fil (court-

circuit ou interrupteur ferm).

Si i est sinusodal, i = Imax sin(t)

= Imax sin(t)

= cos(t) = sin(t +

2)

La tension est en avance de

sur le courant.

2.4 Comportement dun condensateur

Un condensateur est un composant passif constitu de deux conducteurs (armatures) , spars

par un dilectrique ou isolant. Un condensateur est un rservoir dnergie lectrostatique

capable demmagasiner de lnergie dans un champ lectrique.

Idalement un condensateur est capable de garder sa charge une fois dbranch du circuit.

Si le condensateur est travers par un courant dintensit i, la quantit de charges stockes

pendant un intervalle de temps dt considr constant est :

= = ( )

C est la capacit accumuler les charges en Farad (F). Pour un condensateur plan constitu de

deux armatures de mme surface S spar par un dilectrique de permittivit relative et

dpaisseur l

=0

0 =

1

36109

0est la permittivit du vide.

Si on applique une tension variable u (u= Umax sin(t)) aux bornes dun condensateur de

capacit C, lintensit i du courant qui parcourt les fils conducteurs auxquels sont branches les

armatures est telle que

=

= (Umax sin(t))

= cos(t) = C Umax sin(t +

2)

LI

V

CI

V

22

Le courant est en avance de

2 sur la tension.

2.5 Loi dohm gnralis, impdance dun diple

Pour simplifier ltude des circuits, on utilise la reprsentation complexe.

En rgime sinusodal, la tension et le courant peuvent scrire

u(t)= Umax cos(t + 1)

i(t) = Imax cos(t + 2)

Le rapport u(t) et i(t) nest pas significatif du comportement du diple car il dpend du temps.

Les tensions et les courants peuvent tre reprsents par les grandeurs complexes :

u(t) = Re ( Umax 1t ) = ax t

i(t) = Re ( Imax 2t ) = ax t

ax et ax sont appels amplitudes complexes. ax= Umax 1, ax= Imax 2

Pour un circuit linaire passif, on gnralise la loi dohm en dfinissant limpdance

= ax

ax=

Umax 1

Imax 2

Umax

Imax (12) = = +

Z= Umax

Imax et = (1 2)

= +

La partie imaginaire X sappelle la ractance.

Impdance dune rsistance

Limpdance dune rsistance est R ; son module est constant, sont argument est nul. Les

courant et tensions sont en phase.

||=R, =0

Impdance dune bobine

La tension aux bornes dune bobine = sin(t +

2)

||=Umax

Imax = et =

2

Dans la suite de ce document, par souci de simplicit, nous noterons, Z limpdance complexe.

ZL= jL

Impdance dun condensateur

Lintensit du courant est i = C Umax sin(t +

2)

||=Umax

Imax =

1

et =

2

Limpdance complexe dun condensateur

23

ZC=1

= -

2.6 Circuit RLC srie

Les composants sont en srie, nous pouvons additionner les impdances

ZT= ZR+ZC+ZL

ZT=R+(1/jC )+jL = R+ j (L 1/C)

|| = 2 + (L 1/C)2 et tg = (L 1/C)

donc

= tan1 (L 1/C)

=

(L 1/C)

2.7 Circuit RLC parallle

Les composants sont en parallle, nous pouvons additionner les admittances

YT= YR+YC+YL

(1/ZT)= (1/ZR)+ (1/ZC)+ (1/ZL)