ELECTRODINÁMICAjacobi.fis.ucm.es/rtandres/iesgd/1819/b2/campos/... · Resumen (iii) EM y ecuaciones de Maxwell (ME) I La primera distinción: vacío vs medios materiales I Geometría

ELECTRODINÁMICA

Resumen (i)

Introducción

I ¿�é es la electrodinámica?

I Magnetismo y electricidad: cargas en movimiento

Dinámica del campo magnetostático

I Fuentes del campo magnetostático: corrientes estacionarias

I Ley de Biot-Savart-Laplace (BSL):

I Corriente atravesando un hilo rectilíneo ilimitadoI Corriente atravesando una espiraI Corriente atravesando un solenoide

Resumen (ii)El campo magnético como agente externo

I El problema del plasma en un campo magnético externo

I La ecuación de Heaviside-Lorentz (HL)I Análisis de la ecuación HL

I Definición de ~BI Dinámica de una partícula cargada en un campo

magnético externo

I Fuerzas magnéticas entre hilos conductores ilimitados

Geometría del campo magnético

I Ley de Ampère y carácter general no-conservativo

I Analogías entre el campo eléctrostático y el magnetostático

Resumen (iii)EM y ecuaciones de Maxwell (ME)

I La primera distinción: vacío vs medios materiales

I Geometría de las ME en el vacío

I ME en medios: el problema fundamental del EM

I Condiciones de frontera+ME+ecuaciones materiales

Campos variables en el tiempo: inducción EM

I El EM como cubo de Rubik de la naturaleza

I Flujo magnético a lo largo de una superficie no cerrada

I FEM inducida en circuitos de geometría sencilla

I Le Châtelier-Brown presenta: Ley de Faraday-Lenz

Introducción

¿�é es la electrodinámica? (i)

La electrodinámica...es el estudio general del movimiento de cargas eléctricasI Corrientes eléctricas (electrónica)

I Dinámica de plasmas (astrofísica, HEP, ion-trapping (QI)...)

Es un enfoque más realista que la electrostáticaI de hecho sólo estudiamos ES como aproximación...

I el precio a pagar: es mucho más complicada...

¿Y nosotros qé vamos a hacer? (ii)Sin matemática... nos quedamos en la introducción:

I ¿�é sucede cuando un conjunto de cargas se mueven en unconductor?

I ¿�é sucede cuando un conjunto de cargas eléctricas en movimientointeractúan con otras cargas eléctricas móviles?

viejas conocidas...I velocidad ~v

I intensidad I = dq

dt

nuevas magnitudes...I Campo magnético ~B (aka inducción

magnética)

I Estático (magnetostática) /Variable en t

(magnetodinámica)I En el vacío / En medios

materiales





I intensidad I = dq

dt


magnética)



materiales





I intensidad I = dq

dt


magnética)



materiales

Campo magnetostático

Magnetostática (i)Estudio de campos magnéticos (¿?) estáticos

¿Cuáles son las fuentes de un campo magnético?¡Cargas eléctricas en movimiento!

I Tendremos NA cargas→ Corrientes (I ≡ dq

dt)

Las cargas estáticas no crean campo magnético

¿Y ĺas fuentes de un campo magnetostático?Corrientes estacionarias (I = cte)

I Otra nueva entelequia útil: ¿existen las corrientes estacionarias? ;)

I ¿Una carga eléctrica moviéndose es una corriente estacionaria? ;)

Magnetostática (i)Estudio de campos magnéticos (¿?) estáticos

¿Cuáles son las fuentes de un campo magnético?¡Cargas eléctricas en movimiento!

I Tendremos NA cargas→ Corrientes (I ≡ dq

dt)

Las cargas estáticas no crean campo magnético

¿Y ĺas fuentes de un campo magnetostático?Corrientes estacionarias (I = cte)

I Otra nueva entelequia útil: ¿existen las corrientes estacionarias? ;)

I ¿Una carga eléctrica moviéndose es una corriente estacionaria? ;)

Magnetostática (ii)

¿Pero y qé es el campo magnético?De momento:

I Una propiedad asociada al movimiento de cargas eléctricas

¿Sólo?... Biot-Savart-LaplaceUna corriente estacionaria a lo largo de un pequeño elementode longitud d

~l crea un campo magnético en un punto~r

d~B =µ0

4πI

d~l × ur

‖~r‖2 ley de BSL

I µ0 = 4π · 10−7 N/A2 (permeabilidad magnética del vacío)

Magnetostática (iii)

d~B =µ0

4πI

d~l × ur

‖~r‖2

I d~B ⊥ ~r,~l

I perpendicular a la trayectoria de las cargasI perpendicular al vector que une el elemento de corriente Id

~l

con el punto donde queremos calcular el campo magnético.

I [~B] = N/(A·m)≡ T (Tesla) ¡Es una unidad enorme! 104 gauss= 1 T

I Muy parecida a la ley de Coulomb en ES (cargas↔ corrientes)

Magnetostática (iv)

Pero...¡la vida real son cables de geometrías diversas!

Lo de siempre:Cualquier corriente circulando por cualquier camino puededescomponerse en infinitas corrientes infinitamentepequeñas...

~B =

∫d~B =

µ0

4πI

∫d~l × ur

‖~r‖2

Magnetostática (iv)

Pero...¡la vida real son cables de geometrías diversas!

Lo de siempre:Cualquier corriente circulando por cualquier camino puededescomponerse en infinitas corrientes infinitamentepequeñas...

~B =

∫d~B =

µ0

4πI

∫d~l × ur

‖~r‖2

Campo creado por una corriente en unhilo indefinido (i)

Corriente circulandopor un hilo ilimitado

~B =µ0

2πI

r

~ul × ~ur

I B = µ02π

I

r

I dirección ~ul × ~ur

Campo creado por una corriente en unhilo indefinido (ii)

Campo creado por una espira en su centro(i)

Corriente a través deuna espira

En el centro de la espira:

~B

∣∣∣∣centro

=µ0

2I

R

~ul × ~uR

I B = µ02

I

R

I dirección ~ul × ~ur = ±k

Campo creado por una espira en su centro(ii)

Campo creado por una espira en su centro(iii)

Campo dentro de un solenoide (i)

Corriente circulando en unsolenoide

~B =

{~0, exteriorµ0 n I ~ul × ~ur , interior

con n ≡ N/L.

I B = µ0n I ¡Constante!

I dirección ~ul × ~ur = ±k

Campo dentro de un solenoide (ii)

Campo creado por un solenoide (iii)

El campo magnéticocomo agente externo

La fuerza de Heaviside-Lorentz (i)

Fuerza de H-LUna partícula con carga q

moviéndose con velocidad ~v en uncampo magnético externo ~B sufreuna fuerza

~F = q~v × ~B.

I Si ~v ≡ 0→ ~F = ~0Sólo cargas en movimientosienten campo ~B

I ~F⊥~v ~F⊥~B~F es perpendicular encada punto al plano de~v,~B

La fuerza de Heaviside-Lorentz (i)

Fuerza de H-LUna partícula con carga q

moviéndose con velocidad ~v en uncampo magnético externo ~B sufreuna fuerza

~F = q~v × ~B.

I Si ~v ≡ 0→ ~F = ~0Sólo cargas en movimientosienten campo ~B

I ~F⊥~v ~F⊥~B~F es perpendicular encada punto al plano de~v,~B

Fuerza de Heaviside-Lorentz (ii)

Fuerza de Heaviside-Lorentz (iii)

Dinámica de una partícula cargada en un ~Bext constante

Ecuación delmovimiento~F = m

d2~rdt

2 = qd~rdt× ~B

~r(0) = ~0~v(0) = ~v0

SoluciónI Dri� + MCU

I Mov. helicoidal

Fuerza de Heaviside-Lorentz (iii)

Dinámica de una partícula cargada en un ~Bext constante

Ecuación delmovimiento~F = m

d2~rdt

2 = qd~rdt× ~B

~r(0) = ~0~v(0) = ~v0

SoluciónI Dri� + MCU

I Mov. helicoidal

Fuerza de Heaviside-Lorentz (iv)I ¡HL permite distinguir

partículas cargadas!

I Espectrómetros demasas

I Bubble chambersI Calorímetros de

aceleradores

Fuerza de Heaviside-Lorentz (iv)I ¡HL permite distinguir

partículas cargadas!

I Espectrómetros demasas

I Bubble chambersI Calorímetros de

aceleradores

Fuerza de Heaviside-Lorentz (v)

Nosotros...Sólo vamos a considerar lasituación en la que ~v0⊥~B

En ese caso:I Solo hay MCU

I ~F = q~v × ~B = mv

2

Run

Fuerza de Heaviside-Lorentz (v)

Nosotros...Sólo vamos a considerar lasituación en la que ~v0⊥~B

En ese caso:I Solo hay MCU

I ~F = q~v × ~B = mv

2

Run

Fuerza de Heaviside-Lorentz (vi)

¿Y si además tenemos un campo eléctrico externo?

Fuerza H-L generalizadaLa fuerza que sufre una carga test, q, al entrar en un campoeléctrico, ~E, y un campo magnético, ~B, externos es

~F = q~E︸︷︷︸fuerza eléctrica

+ q~v × ~B︸︷︷︸fuerza H-L

= q

(~E + ~v × ~B

).

I La fuerza H-L sirve para definir los campos ~E y ~B.

I Un campo eléctrico puede compensar los efectos de un campomagnético externo y hacer que una partícula cargada no se desvíe.

Fuerza de Heaviside-Lorentz (vi)

¿Y si además tenemos un campo eléctrico externo?

Fuerza H-L generalizadaLa fuerza que sufre una carga test, q, al entrar en un campoeléctrico, ~E, y un campo magnético, ~B, externos es

~F = q~E︸︷︷︸fuerza eléctrica

+ q~v × ~B︸︷︷︸fuerza H-L

= q

(~E + ~v × ~B

).

I La fuerza H-L sirve para definir los campos ~E y ~B.

I Un campo eléctrico puede compensar los efectos de un campomagnético externo y hacer que una partícula cargada no se desvíe.

Consecuenciasde la fuerza H-L

Fuerzas entre hilos conductores (i)

I Dos hilos rectilíneos con sendascorrientes estacionarias I1, I2separados por una distanciar << L1, L2

I Según BLS, el hilo 1 provoca uncampo magnético ~B1.

I Debido a ~B1 las cargas del hilo 2sienten una fuerza de HL.

I El mismo juego se repite para elotro hilo.

I CONCLUSIÓN:¡Los hilos se atraerán orepelerán!

























Fuerzas entre hilos conductores (ii)

I Según BLS, el hilo 1 provoca uncampo ‖~B1‖ = µ0I1

2πr

I Según HL, las N cargas del hilo 2sufren una fuerza

‖~F12‖ = Nq2 ‖~v2 × ~B1‖︸︷︷︸sin(~B1,~v2)=1

=µ0

2πNq2v2 I1

r

I La intensidad es constante: en untrozo del hilo 2 de longitud L

I2 =Nq2

t

= N

q2

L

L

t

→ I2L = Nq2v2



2πr


‖~F12‖ = Nq2 ‖~v2 × ~B1‖︸︷︷︸sin(~B1,~v2)=1

=µ0

2πNq2v2 I1

r


I2 =Nq2

t

= N

q2

L

L

t

→ I2L = Nq2v2



2πr


‖~F12‖ = Nq2 ‖~v2 × ~B1‖︸︷︷︸sin(~B1,~v2)=1

=µ0

2πNq2v2 I1

r


I2 =Nq2

t

= N

q2

L

L

t

→ I2L = Nq2v2

Fuerza entre hilos conductores (iii)

I Finalmente, si los portadores de carga son los mismos (∼ e−)

‖~F‖L

=µ0

2πI1I2

r

→ {I1 ‖ I2 → atracciónI1 ∦ I2 → repulsión.

( ley de Ampère)

I Las fuerzas magnéticas son muy pequeñas comparadas con las fuerzas eléctricas quehacen que los portadores se muevan.

I ∼ NA portadores + superposición= efectos apreciables

I Igualmente: si tenemos más de dos hilos→ SUPERPOSICIÓN

I En presencia de ~Bext los cables que tienen una configuración geométrica cerrada(¡circuitos!) dan lugar a un momento magnético que hacen que el circuito gire.

I Un e− atómico puede considerarse una pequeña espira cerrada. Frente a un ~Bext dará

lugar a un momento magnético atómico. Cuánticamente esto da lugar al número m.



‖~F‖L

=µ0

2πI1I2

r


( ley de Ampère)









‖~F‖L

=µ0

2πI1I2

r


( ley de Ampère)








Características del campo magnéticoI El campo magnético es, en general, no conservativo

I No existe el potencial magnéticoI No hablaremos de energía potencial magnéticaI No utilizaremos ningún tipo de conservación de la energía

I No existen cargas magnéticas individuales (monopolos)

I Las líneas de campo magnético siempre son cerradas

Analogías ES vs MSI Ley de Coulomb ‖~E‖ ∼ r

−2 vs BSL ‖~B‖ ∼ r−2

I Ley de Gauss∮S

~Ed~S ∼ Qint vs Ley de Ampère∮γ~Bd~l ∼ Iint

I Dipolo eléctrico (+q,−q) vs dipolo magnético (+I ,−I)


Características del campo magnéticoI El campo magnético es, en general, no conservativo

I No existe el potencial magnéticoI No hablaremos de energía potencial magnéticaI No utilizaremos ningún tipo de conservación de la energía

I No existen cargas magnéticas individuales (monopolos)

I Las líneas de campo magnético siempre son cerradas

Analogías ES vs MSI Ley de Coulomb ‖~E‖ ∼ r

−2 vs BSL ‖~B‖ ∼ r−2

I Ley de Gauss∮S

~Ed~S ∼ Qint vs Ley de Ampère∮γ~Bd~l ∼ Iint

I Dipolo eléctrico (+q,−q) vs dipolo magnético (+I ,−I)

Camposelectromagnéticos

Ecuaciones de Maxwell

~∇ · ~E =ρ

ε0~∇ · ~B = 0

~∇× ~E = −∂~B

∂t

~∇× ~B = µ0~J + µ0ε0∂~E

∂t

I Junto con la fuerza de HL yunas condiciones decontorno explican todo elEM conocido.

GeneralidadesI Acomodan los campos ~E y ~B a un mismo esquema teórico.

I No se trata de una unificación: es una síntesis.

I EDP acopladas→ campos EM retroalimentados

Ecuaciones de Maxwell

~∇ · ~E =ρ

ε0~∇ · ~B = 0

~∇× ~E = −∂~B

∂t

~∇× ~B = µ0~J + µ0ε0∂~E

∂t

I Junto con la fuerza de HL yunas condiciones decontorno explican todo elEM conocido.

GeneralidadesI Acomodan los campos ~E y ~B a un mismo esquema teórico.

I No se trata de una unificación: es una síntesis.

I EDP acopladas→ campos EM retroalimentados

Campos electromagnéticos (i)

¿�é es un campo electromagnético?

Es cualquier conjunto de dos campos vectoriales (~E,~B)solución de las ecuaciones de Maxwell.

Los campos ~E − ~B son duales...I Campos eléctricos variables provocan campos magnéticos variables...

I Campos magnéticos variables provocan campos eléctricos variables...

I La propagación de luz es un fenómeno de camposretroalimentándose...

Campos electromagnéticos (ii)Resulta que ~E y ~B no sólo son duales...

I Para verlo: veamos el papel de la velocidad en el magnetismo...

¿Te has parado a pensar en qé es un vector?I ¿Cuánta energía cinética tiene un coche circulando a 100 km/h?

I Si el observador está en la carretera: 12mv

2

I Si el observador está en el coche: 0

I ¿Cuál es el fuerza que sufre una partícula cargada en un ~Bext?

¿Depende de quién la mire?~FHL = q~v × ~Bext





2








2








2








2




Inducción EM en circuitos (i)

¿�é es el fenómeno de inducción EM?Es la generación de electricidad (campo eléctrico) a partir deun campo magnético.

I Es posible debido a una delas ecs. de Maxwell:

~∇× ~E = −∂~B

∂t

I Si ~B es variable, entonces ∃~E

FEM inducidaSe llama fem (fuerzaelectromotriz) inducida alvoltaje generado en uncircuito a través de unfenómeno de inducción EM.

I Se mide en voltios (V)




~∇× ~E = −∂~B

∂t







~∇× ~E = −∂~B

∂t




Inducción EM en circuitos (ii)

I No sólo un campo magnético variable provoca campo eléctrico, haymás posibilidades. . .

I Experimentalmente sabemos que. . .

Se produce fem inducida si...I ~B varía con t...

I el área del circuito varía...

I el ángulo (~B, n) varía...

I Para dar cuenta de todo definimos el flujo magnético















Flujo magnético

Flujo magnético

Se denomina flujo del campo ~B através de una superficie Σ a lamagnitud

φ ≡∫Σ

~B · n dS.

I Se mide en weber (Wb)(≡ N·m·A−1) en el SI.

I Es análogo al flujo eléctrico a travésde una superficie.

Si ~B es constantesobre Σ...

φ = ~B · n SΣ

= B

∣∣ΣSΣ cos θ.

Flujo magnético

Flujo magnético

Se denomina flujo del campo ~B através de una superficie Σ a lamagnitud

φ ≡∫Σ

~B · n dS.

I Se mide en weber (Wb)(≡ N·m·A−1) en el SI.

I Es análogo al flujo eléctrico a travésde una superficie.

Si ~B es constantesobre Σ...

φ = ~B · n SΣ

= B

∣∣ΣSΣ cos θ.

Ley de Faraday-Lenz

De forma general:

fem = −dφ

dt

= −d

dt

∫Σ

~B · n dS ley de Faraday-Lenz

pero para nosotros:

Ley de Faraday-Lenz B2-styleSi el campo magnético es constantesobre la superficie del circuito

fem = −dφ

dt

= −d

dt

(B

∣∣ΣSΣ cos(θ)

)I ¡Basta que varíe al menos una de las tres cosas para tener fem!

Ley de Faraday-Lenz

De forma general:

fem = −dφ

dt

= −d

dt

∫Σ


pero para nosotros:


fem = −dφ

dt

= −d

dt

(B

∣∣ΣSΣ cos(θ)


Ley de Faraday-Lenz

De forma general:

fem = −dφ

dt

= −d

dt

∫Σ


pero para nosotros:


fem = −dφ

dt

= −d

dt

(B

∣∣ΣSΣ cos(θ)


Aplicaciones importantes

El area del circuito varía

fem = −B

∣∣Σ

dSΣ

dt

cos θ

El ángulo entre ~B y n varía

fem = −B

∣∣ΣSΣ

d cos θdt

Aplicaciones importantes

El area del circuito varía

fem = −B

∣∣Σ

dSΣ

dt

cos θ

El ángulo entre ~B y n varía

fem = −B

∣∣ΣSΣ

d cos θdt

Ahora te toca a ti...

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