Electromagnetics II 전자기학 2contents.kocw.net/KOCW/document/2014/mmu/leeyoungchul/4.pdf · 2016-09-09 · Advanced RF System Integration (ARSI) Lab. Young Chul Lee 12 B. 동축커패시터(동축원통형커패시터)

Advanced RF System Integration (ARSI) Lab. Young Chul Lee 1

Electromagnetics II전자기학 2

Prof. Young Chul Lee

초고주파 시스템 집적연구실Advanced RF System Integration (ARSI) Lab

http://cms.mmu.ac.kr/wizuniv/user/RFSIL/

제6장 : 정전 경계값 문제 3


6.5 저항과 정전용량

■ 저항

▪ 단면이 일정하지 않은 도체의 저항

òò

×

×==

dsσE

dlE

IVR

▪ 저항 계산 과정

1. 적당한 좌표계를 선택한다.2. 도체 양단 사이의 전위차를 Vo로 가정한다.3. V를 구하기 위하여 Laplace 방정식 ∇2V의 해를 구한다. 다음 E= - ∇V로부터

E를, 그리고 I = ∫σE·dS로부터 I를 구한다.4. 마지막으로 Vo/I에 의해 R을 구한다.


■ 평행판 커패시터

▪ 평행판 커패시터와 가정자리 전계효과

가정자리 전계효과

평행판 커패시터

▪ 정전용량 C: 두 도체 사이의 전위차 V에 대한 한쪽 극판에 대전된 전하량의 크기의 비

dlE

dsE

VQC

dlEVVV1

221

×

×==

×-=-=

òò

e

▪ 정전용량 C는 커패시터의 물리적인 성질을 나타내며, 단위는 farads(F)로 표시한다.


▪ 주어진 두 도체의 정전용량을 얻기 위한 방법

1. 방법 1

(1) Q를 가정하고, Q의 항으로 V를 결정(Gauss 법칙 포함)(2) V를 가정하고, V의 항으로 Q를 결정(Laplace 방정식 풀이 포함)

2. 방법 2

(1) 적당한 좌표계를 선택한다.(2) 두 도체가 +Q와 -Q로 대전되어 있는 것으로 한다.

(3) Coulomb의 법칙이나 Gauss의 법칙을 사용하여 E를 구하고, V=-∫E·dI에 의해 V를 구한다. V의 절대값만 필요하기 때문에 음의 부호는 무시해도 된다.

(4) 최종적으로 C = Q/V로부터 C를 구한다.


■ A. 평행판 커패시터

dεS

VQC

dxaaQ-dlEV

aQ-)(-aE

SQ

x0 x

1

2

xxs

s

==

=×úûù

êëé-=×-=

==

=

òò SQd

S

Sd

ee

eer

r


▪ 비 유전률 계산 및 에너지

QV21

2CQ)

εSd(

2Q

S2εSdεQdv

SεQε

21W

2CQQV

21CV

21W

CC

22

22

2

v 22

2

E

22

E

0r

===

==

===

=

ò

e


▪ Capacitor 연구 동향 1 ▪ DRAM(Memory Cell)

Cell


▪ Capacitor 연구 동향 2

▪ Tunable Capacitor 1

Si-substrate

BZN 1

IDC( M1: Pt )

BZN 2

L S

SiO2

l

Si-substrate

BZN 1

IDC( M1: Pt )

BZN 2

L S

SiO2

l

0.0E+00

2.5E-13

5.0E-13

7.5E-13

1.0E-12

1.3E-12

1.5E-12

1.8E-12

2.0E-12

2.3E-12

0 5 10 15 20 25DC Bias [V]

Cef

f [F]

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

Tun

abili

ty [%

]

2.4GHz-Ceff5.8GHz-Ceff2.4GHz-C_t5.8GHz-C_t

0.0E+00

2.5E-13

5.0E-13

7.5E-13

1.0E-12

1.3E-12

1.5E-12

1.8E-12

2.0E-12

2.3E-12

0 5 10 15 20 25DC Bias [V]

Cef

f [F]

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

Tun

abili

ty [%

]

2.4GHz-Ceff5.8GHz-Ceff2.4GHz-C_t5.8GHz-C_t

▪ Structure and Device ▪ Measured results

▪ 세계 최저전압에서 최고 가변율

(2006 APL 발표)


▪ Capacitor 연구 동향 3

▪ Tunable Capacitor 2

2E-10

3E-10

3E-10

4E-10

4E-10

5E-10

5E-10

6E-10

6E-10

7E-10

7E-10

0 1 2 3 4 5 6DC Bias [V]

Capacitance

[F]

0%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%

40%

Tunabili

ty[%

]

C-Rect. C-FingerT-Rect. T-Finger

▪ 가장자리전계 (Fringing E-field)를이용한 가변율 증가


▪ Capacitor 연구 동향 4▪ LPF

LL3

R=L=6.8 nH

LL1

R=L=6.8 nH

LL2

R=L=8.7 nH

CC3C=3.857 pF

CC2C=3.857 pF

CC1C=1.230 pF

CC4C=1.230 pF

TermTerm2

Z=50 OhmNum=2

TermTerm1

Z=50 OhmNum=1

550 um 250 um

Ctotal=1.3pF

515 um

0.5 1.0 1.5 2.0 2.50.0 3.0

-45

-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

-50

0

-45

-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

-50

0

freq, GHz

dB(SI_LPF7..S(1,1))dB(SI_LPF7..S(1,2))dB(SI_LPF7..S(2,1))dB(SI_LPF7..S(2,2))

dB(T

RX_T

2_72

..S(1

,1))

dB(T

RX_T

2_72

..S(1

,2))

dB(T

RX_T

2_72

..S(2

,1))

dB(T

RX_T

2_72

..S(2

,2))

M-S11, S22

M-S21

S-S11, S22

S-S21 L

C

C


▪ Capacitor 연구 동향 5▪ Diplexer

Size: 3.45 x 4.0 x 0.7 mm3


■ B. 동축 커패시터 (동축 원통형 커패시터)

▪ 내경=a, 외경=b (b>a), 길이=L인 동축도체▪ 두 도체 사이에 유전율이 ε인 균질의 유전체가 채워져 있고,▪ 도체 1과 2에 +Q와 –Q인 전하가 균일하게 분포

- 반경이 ρ(a<ρ<b)인 임의의 Gauss 원통표면에 Gauss의법칙을 적용,

abVQC

ab

ln

L ε π2/

lnεL 2π

Q

dρρa ρL2π

Q-dlEV

aρL 2π

QE

ρL2πεEdSEεQ

1

2 ρρ

1

2

ρ

ρ

==

=

×úû

ùêë

é=×-=

=

=×=

òò

ò

e

e


■ C. 구형 커패시터

▪ 내부 구의 반경=a, 외부 구의 반경=b (b>a), ▪ 두 도체 사이에 유전율이 ε인 균질의 유전체가 채워져 있고,▪ 내부와 외부 도체구에 각각 +Q와 –Q인 전하가 균일하게 분포

- 반경이 r (a<ρ<b)인 임의의 Gauss 원통표면에 Gauss의법칙을 적용,

ba

ba

Va

b

11ε 4π

VQC

11ε π4

Q

draaεr π4

QdlE

ar ε 4π

QE

r 4πεEdSEεQ

rr2

1

2

r2

2r

-==

úûù

êëé -=

×úûù

êëé-=×-=

=

=×=

òò

ò

▪ b = ∞ (외부 도체가 무한히 큰 구형 커패시터)- C=4πεa- 다른 한 전도체로부터 멀리 떨어져 있는 어떤

도체구, 즉 고립된 도체구의 경우- 구와 같은 크기지만 불규칙한 모양의 도체라도

거의 같은 값의 정전용량을 가진다. - 고립된 물체(고체)나 장비의 일부분에서의 기생

용량을 추정하는데 이용.


■ 커패시터의 직렬, 병렬 연결

▪ 직렬 연결- C1과 C2는 같은 전하량을 가짐.

21

21

21

CCCCC

C1

C1

C1

+=

+=

▪ 병렬 연결- 극판 사이의 전위차가 같음.

21 CCC +=


■ 매질의 이완시간

▪ 매질이 균질일 때만 성립

σεRC

dlE

dsE

VQC,

dsσE

dlE

IVR

=

×

×==

×

×== òòò e

▪ 커패시터의 저항- R: 극판의 저항이 아니라 극판 사이의 누설저항.

[평행판 커패시터] [원통형 커패시터] [구형 커패시터] [고립도체]

σSdR

dSC

=

=e

σL2ln(b/a)R

ln(b/a)L2C

p

pe

=

=

σ4(1/b)-(1/a)R

(1/b)-(1/a)4C

p

pe

=

=

σa41R

4C

p

pe

=

= a


Example■ 예제 6-12

그림에 있는 커패시터 각각에 대한 정전용량을 구하라. εr1 = 4, εr2 = 6, d = 5mm, S = 30 cm2로 하라.


풀이(1)

pF26.53=C+C=C2d

Sεε=C,2d

Sεε=dS/2εε=C

(b)

pF25.46=C+C

CC=C

dSε2ε=C,

dSε2ε=

d/2Sεε=C

(a)

21

r202

r10r101

21

21

r202

r10r101


6.6 영상법

■ 영상법

▪ 1848년 Lord Kelvin에 의해 도입된 영상법은 일반적으로 도체가 존재할 때 전하에의한 V, E, D와 ρS를 구하는데 사용.

▪ Poisson 방정식이나 Laplace방정식을 푸는 것이 아니고 도체의 표면이 등전위면이라는 사실을 이용하는 것.

▪ 이 방법은 모든 정전기장 문제에 적용하지는 못하지만, 약간 복잡한 문제를 간단한문제로 만들 수 있음.

영상이론은 접지된 무한한 완전도체평면 윗쪽에 존재하는 전하 구성요소를 전하 구성요소 그 자체와 이들의 영상, 그리고 도체평면 대신에등전위면으로 대치할 수 있다는 것을 나타낸 것이다.


▪ 영상법을 적용하기 위한 조건

1. 영상전하들은 도체영역 내에 존재해야 함.2. 영상전하들은 도체표면의 전위가 0이나 상수가 되도록 위치해야 함.


■ A. 접지된 도체평면 위의 점전하

▪ 완전도체평면으로부터 h만큼 떨어진 지점에 놓여 있는 점전하 Q고려

▪ 점 P(x, y, z)에서 전기장

),,(),0,0(),,(),,(),0,0(),,(

r4Qr-

r4Qr

EEE

2

1

32o

23

1o

1

-

hzyxhzyxrhzyxhzyxr+=--=-=-=

+=

+= +

pepe


úû

ùêë

é+++

+++-

-++

-++= 2/32222/3222

o ])([)(

])([)(

4QE

hzyxahzyaxa

hzyxahzyaxa zyxzyx

pe

▪ z=0일 때 E는 단지 z성분만 가지므로 E는 도체표면에 수직이 됨.▪ P점에서 전위

00)V(z0,zAt

])([1

])([1

4QV

4Q-

4Q

VVV0zAt

dlE-V

2/12222/1222o

2o1o

==£

úû

ùêë

é+++

--++

=

+=

+=³

×=

-+

ò

hzyxhzyx

rr

pe

pepe


▪ 유도된 전하의 면전하밀도

2/3222

0zn0ns

][2

|EεDρ

hyxQh

++=

== =

p

▪ 도체평면에 유도된 총 전하량

QhQh

dhQhhddQdddxdyyx

hyxQhdxdyds

-=+

=

+-=

+-=

=+=

++==

¥

¥ -

¥

¥

¥-

¥

¥-

ò

ò ò

ò ò ò

02/122

0

22/322i

2

0 0 2/322i

222

2/3222si

|][

)(21][

2Q

][22Q

,ρ][2

ρQ

r

rrp

rpfrr

p

frrp

p


■ B. 접지된 도체평면 위의 선전하

▪ z=0인 접지된 도체평면으로부터 거리 h만큼 떨어진 지점에 위치한 전하밀도 ρL C/m인 선전하 고찰.▪ Q를 ρL로 대치시킨 것을 제외하고는 점 전하와 동일한 영상시스템이 적용.▪ 무한한 길이의 선전하 ρL이 x=0, z=h에 존재한다면 영상전하 –ρL은 x=0, z=-h에 있게 되며, 두 선전하는 y축에 평행함.

▪ 점 P(x, y, z)에서 전기장

úû

ùêë

é++++

--+-+

=

+=--=-=-=

-+=

+= +

2/3222/322o

L

2

1

1o

L

1o

L

-

])([)(

])([)(

2E

),0,(),,0(),,(),0,(),,0(),,(

a2

a2

EEE

11

hzxahzxa

hzxahzxa

hzxhyzyxhzxhyzyx

zxzx

per

rr

rper

rper

rr

- z=0일 때 E는 단지 z성분만 존재하므로 E는 도체표면에 수직임.


▪ P점에서 전위

2/1

22

22

o

L

2211

2

1

o

L

2o

L1

o

L

)()(ln

2V

|ρ||,ρ|

ln2

ln2

ln2

VVV

dlE-V

úû

ùêë

é++-+

-=

==

-=

--

-=

+=

×=

-+

ò

hzxhzx

per

rrrr

per

rperr

per

- z<0에서는 V=0 즉, V(z=0) = 0


▪ 도체표면에 유도된 표면전하

)(

|EεDρ

22

0zn0ns

hxhL+

-=

== =

pr

- 도체평면에서 단위길이당 유도된 전하

L

2/

2/L

i

22L

si

ρ

tan

ρρ

r

ap

r

a

pr

p

p

-=

-=

=

+-==

ò

ò ò

-

¥

¥-

hdh

hx

hxdxhdx

Documents

Electromagnetics II 전자기학 2contents.kocw.net/KOCW/document/2014/mmu/leeyoungchul/4.pdf · 2016-09-09 · Advanced RF System Integration (ARSI) Lab. Young Chul Lee 12 B. 동축커패시터(동축원통형커패시터)