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ELECTROMAGNETISME – Equations du champ électromagnétique Leçon n°9: Théorème d'Ampère ___________________________________________________ Najla FOURATI et Patrick HOFFMANN 1/15 Leçon n°9 : Théorème d'Ampère 1. Le rotationnel en physique Figure 1 Soient une courbe orientée C et un champ régulier ( ) Ar uuuuur r , c'estàdire : A A et continus, x : la var iable d 'espace x " uur uur On nomme circulation C du champ ( ) Ar uuuuur r , de 1 vers 2 sur la courbe C , l'intégrale suivante: 2 2 1 1 C A d A T d L l = = uuur uur uuur uuur l l C C Figure 2

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ELECTROMAGNETISME – Equations du champ électromagnétique

Leçon n°9: Théorème d'Ampère ___________________________________________________ Najla FOURATI et Patrick HOFFMANN

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Leçon n°9 : Théorème d'Ampère

1. Le rotationnel en physique

Figure 1

Soient une courbe orientée C et un champ régulier ( ) A r uuuuur r

, c'est­à­dire :

A A et continus, x : la var iabled 'espace x

∂ ∀ ∂

uur uur

On nomme circulation C du champ ( ) A r uuuuur r

, de 1 vers 2 sur la courbe C , l'intégrale suivante:

2 2

1 1 C A d A T d

= • = • ∫ ∫ uuur uur uuur uuur

l l

C C

Figure 2

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L'intégration sur une courbe fermée sur un seul tour sera notée:

C A d = • ∫ uuur uur

l Ñ C

Figure 3

Pour un champ régulier A ur , il est toujours possible de calculer la circulation de A

ur sur un

cercle orienté, de rayon ρ et centré sur le point M. La normale unitaire n r détermine

l'orientation du plan du cercle, son sens et celui de la circulation sur le cercle ρ γ sont liés par

la règle du "tire­bouchon":

C A d ρ γ

= • ∫ uuuur uuur

l Ñ

Faisons tendre le rayon ρ vers zéro, la circulation qui en résulte sera notée dC :

0 0 dC lim C lim A d

ρ ρ → ρ → γ

= = • ∫ uuur uur

l Ñ

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Figure 4

Simultanément, l'aire de la surface sous­tendue par le cercle devient un infiniment petite notée

dS , associée à l'élément de surface:

dS n dS = ur uur

Le rapport des deux infiniment petits dC dS

tend une limite finie; celle­ci ne dépend que des

seules propriétés du champ A ur au point M considéré.

Cette limite sera le module d'un vecteur colinéaire et de même sens que la normale n r , noté:

0 lim A d

dC rot A n n dS dS ρ

ρ →

γ •

= = ∫

uuur uur

uuuuuuuuuuuur uuur uur uur l Ñ

que l'on nomme: rotationnel de A ur .

En multipliant scalairement cette expression par n r :

dC rot A n dS •

= uuuuuuuuuuuur uuur uur

rot A n dS dC •

= uuuuuuuuuuuur uuur uur

dC rot A dS •

= uuuuuuuuuuuur uuuuur uuur

L'élément de circulation est égale localement au flux élémentaire du rotationnel.

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( ) rot A uuuuuuuuuur uur

représente donc la circulation surfacique locale de A ur

sur une courbe fermée. Sa

direction est celle de la valeur locale la plus grande. Le sens est celui donné par la "règle du

tire­bouchon".

Figure 5

Considérons une surface ouverte Σ qui s'appuie sur une courbe orientée fermée C . Pour la circulation autour des surfaces élémentaires, cumulons les effets de deux éléments de

surface adjacents,

Figure 6

on observe la neutralisation du courant dans le tronçon commun. La circulation active est

celle du périmètre commun aux deux éléments de surface.

Figure 7

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Puis on recommence avec un troisième élément de surface adjacent. La encore la circulation

active est celle du périmètre commun.

Figure 8

En continuant de proche en proche on obtient finalement la somme des éléments de

circulation sur C :

dC A d = • ∫ ∫ uuur uur

l Ñ Ñ C C

Le cumul de tous les flux élémentaires à travers chacun des éléments de surface conduit

naturellement au flux du rotationnel à travers la surface orientée Σ , ce qui permet d'obtenir

l'expression du théorème de Stokes:

Figure 9

A dS A d rot Σ

= •

• ∫ ∫∫ uuuuuuuuuuuur uuur uur uuuur uuur

l Ñ C

Le rotationnel est noté, suivant les auteurs, à l'aide des symboles suivants:

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( ) ( ) rot A A curl A A = ∇ ∧ = = ∇ × uuuuuuuuuur uuuuuuuuuuur uur uur uur uur uur uur

En coordonnées cartésiennes, à partir des composantes du champ A ur :

x y z A A i A j A k = + + r ur uur uur

les composantes du rotationnel s'obtiennent par:

( ) x

y

z

A i x

rot A A A j y

A k z

∂ ∂ ∂ = ∇ ∧ =

∂ ∂

r

uuuuuuuuuur ur uur uur uur

uur

y y z x z x A A A A A A i j k y z z x x y rot A

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − + − + − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= uuuuuuuuuuuuuru uuuur ur uur uur

Le rotationnel est un opérateur linéaire:

( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2 rot A A rot A rot A λ + λ = λ + λ uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuruuuu uuuuuuuuuuuur uuuuuuuuuuuuru uuuur uuuuur uuuur uuuuur

En combinant le rotationnel avec les autres opérateurs vectoriels déjà rencontrés, il est aisé de

démontrer deux importantes formules. La première:

( ) rot gradf 0 = uuuuuuuuuuuuuuuuru uuuuuuuuur uur

sera utilisée pour déterminer si un champ de vecteur est un champ de gradient pur:

( ) ( ) ( ) rot A 0 f r / A r gradf = ⇒ ∃ = uuuuuuuuuur uuuuuuur uuuuuuuur uur ur ur ur

La seconde:

( ) div rot A 0

= uuuuuuuuuur uuur

au contraire permettra de savoir si un champ de vecteur est un champ de rotationnel pur:

( ) ( ) ( ) divB 0 A r / B r rot A = ⇒ ∃ = uuuuuuuuuur uuuuuur uur uur uur ur ur

Rappelons qu'un champ de vecteurs physiques vérifie le théorème de Helmholtz:

"Un champ de vecteur quelconque est la superposition d'un champ de gradient et d'un champ

de rotationnel".

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2. Le potentiel vecteur

Figure 10

Le champ magnétique est établi à l'aide de la loi de Biot et savart:

0 2

d u dB 4 r I µ ∧ =

π

uuur uur uur l

La totalité du champ ( ) B r uuuuur r

, s'obtient grâce au principe de superposition:

B dB = ∫ uuur uuur

Ñ C

Calculons ( ) div B ur , pour cela déterminons préalablement ( ) div d B

ur :

( ) 0 2

I d u dB div 4 r

div

µ ∧ = π

uuur uur uur l

Choisissons les axes cartésiens de sorte que:

d d k = uur ur

l l

Figure 11

y x z u i j k r r r

⇒ = + + r ur uur uur

u y d x d d i j r r

∧ − = + ⇒ uuur r ur r l l l

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( ) 0 3 3

I d 4 x y

y x dB 0 r r

div µ ∂ ∂ − π ∂ ∂

= + = ⇒ uuuur l

( ) ( ) dB dB div B div 0 div = = = ⇒ ∫ ∫ uuur uur uur

Ñ Ñ C C

( ) B 0 div = uuur

Cette équation est une des quatre équations de Maxwell. Elle signifie en particulier, compte

tenu des propriétés du rotationnel, qu'il existe un champ de vecteur A ur qui permet d'obtenir le

champ magnétique:

( ) ( ) ( ) B A r / B rot A div 0 = = ⇒ ∃ uuuuuuuuuur uuuuuuur uuur uur uur ur

A ur est désigné par l'appellation potentiel­vecteur. Remarquons qu'il est défini à un champ de

gradient arbitraire près, car:

( ) ( ) ( ) ( ) r , A' A grad rot A' rot A ∀ ϕ = + ϕ ⇒ = uuuuuuuuuuur uuuuuuuuuur uuuuuuuuuuuur uuuur uuur uuuur uuur ur

Par ailleurs: ( ) ( ) d B dB rot dA div 0 = = ⇔ uuuuuuuuuur uuur uuur ur

A partir de Biot et Savart:

0 2

d u dB 4 r I µ ∧ =

π

uur uur l

on obtient l'expression du potentiel­vecteur élémentaire:

0 d dA 4 r I µ

= π

uuur uur l

Figure 12

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En un point M on obtient par superposition:

( ) 0 d A A r d

4 r I

= = µ

π ∫ ∫ uuur uuuuur r ur l

Ñ Ñ C C

Dans le cas d'une distribution continue de courant, comme dans le cas d'un plasma, en

introduisant la densité ( ) j r uuuur r

de courant

comme suit:

d d T = ur uur l l

posons: d I j

dS = , densité de courant

d I d j dS d T dS d j d j = = = τ ur ur ur uur

l l l

où: d I j j T T dS

= = ur uur uur

est le vecteur densité

de courant

et où: d dS d τ = l est l'élément de volume

Pour une distribution volumique de courants dans un domaine D :

( ) 0 j A r d r 4 µ

= τ π ∫∫∫ ur uuuuuuurur

D

Les expressions du potentiel­vecteur obtenues ne sont valides que pour des courants en

régime permanent. Il sera nécessaire de les compléter pour l'étude des régimes transitoires.

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3. Théorème d'Ampère, (1827)

Soit B ur

le champ magnétique créé en M par le circuit C , dans lequel passe le courant permanent I.

Figure 15

D'après Biot et Savart et le principe de superposition:

0

2 I

4 dB d u B r

µ

π ∧ = = ∫ ∫

uuuuur uur uuur uuuuur l Ñ Ñ C C

Notre objectif est de déterminer la circulation de B ur sur une courbe quelconque fermée γ :

C B dM dM B dM dB γ γ γ

= • = • = • ∫ ∫ ∫ ∫ uuuuur uuuuur uuuuur uur uur uur

Ñ Ñ Ñ Ñ C

0 0 2 2

I 4

I d u dM d u C dM dB dM 4 r r γ γ γ

µ

π

µ ∧ • ∧ = • = • = π ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

uuur uuuuur uuur uur uur uuuuur uuuuur uur l l Ñ Ñ Ñ Ñ Ñ Ñ C C C

0 0 2 2 2

I I C C

4 4 dM d u u dM d C d d

r r γ γ γ γ

µ µ

π π • ∧ • ∧ = = = = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

uuuuur uuur uuuuur uuur uur uur l l Ñ Ñ Ñ Ñ Ñ Ñ Ñ

C C C

En ayant posé:

( ) 0 2 2

I u 4 r

d C dM d µ

• π

= ∧ r uuuuur uuur

l

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Figure 16

Notons l'élément de surface: 2 2 dM d d S d S n ∧ = =

uuuuuur uuuuur uuur uur l

La circulation C C d γ

= ∫ Ñ est le résultat de la somme sur la courbe γ de :

0 0 2 2 2 2

I

4

I d S d S

4 u u dC r r

µ

π

µ

π = • = • ∫ ∫

uur uur uuuur uuuur Ñ Ñ C C

Figure 17

δ Σ représente un domaine infiniment petit (bande fermée de largeur infiniment petite)

0 0 2 2 2 2

I I d S d S

4 4 u u dC r r δΣ

µ µ •

π π = • = ∫∫ ∫

uur uur uuuur uuuur Ñ C

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On remarque que cette intégrale, à un facteur près, est identique à l'expression de l'angle

solide dΩ :

2 2 d S u d r δΣ

• Ω = ∫∫ uur uuuur

Figure 18

C'est en fait l'angle solide prélevé dans l'espace lorsque l'on "regarde" la surface δ Σ (ou le

circuit C , car l'épaisseur de la bande est infiniment petite) depuis le point M.

Le déplacement dM uur

du circuit C engendre une surface Σ , dont dS r est l'élément de surface.

Figure 19

Après circulation sur γ (un tour), la surface fermée obtenue est du genre tore:

On distingue deux sortes de points M:

1°) si M est à l'extérieur du domaine limité par d 0 Σ ⇒ Ω =

2°) si M est à l'intérieur du domaine limité par d 4 Σ ⇒ Ω = π

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Pour la circulation totale:

0 0 2 2 2

I I d S d

4 4 u C r Σ γ

µ µ Ω

π π = • = ∫ ∫∫ ∫

uur uuuur Ñ Ñ

C

Topologiquement, 2 cas sont possibles:

1°)

Figure 20

γ n'enlace pas C , alors pour tous les points M de γ l'angle solide d 0 C 0 Ω = ⇒ =

2°)

Figure 21

γ enlace C , alors pour tous les points M de γ l'angle solide:

0 2 0

I d 4 d 4 C 4 C I

4 Σ

µ Ω = π ⇒ Ω = π ⇒ = π = = µ

π ∫∫

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Figure 22

En conclusion, pour une série de courants permanents: N 1 2 3 k I ,I ,I ...I ...I , seuls les courants

enlaçant la courbe γ , contribuent à la circulation sur γ , avec la valeur donné par l'expression

du théorème d'Ampère:

0 k enlacés

C B dM I γ

= • = µ ∑ ∫ uuuuuuur uuur

Ñ

Dans l'exemple de la figure 22, la valeur de la circulation sur la courbe γ vaut:

( ) 0 1 3 C I I = µ +

les autres courants n'étant pas enlacés par γ .

Dans le cas où la distribution des courants est continue:

Figure 23

0 enlacés I j dS Σ

µ • = ∫∫ uur uuuuur

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le théorème d'Ampère prend la forme:

0 C B dM j dS γ Σ

= • = µ • ∫ ∫∫ uuuuuuur uur uuuuur uuur

Ñ

En appliquant le théorème de Stokes à la circulation:

( ) B dM rot B dS γ Σ

• = • ∫ ∫∫ uuuuuuuuur uuuuur uuuur uur uur

Ñ

Il vient alors:

( ) 0 rot B j dS 0 Σ

− µ • = ∫∫ uuuuuuuuur ur uuuur uur

Cette relation étant vraie quelque soit la surface Σ qui s'appuie sur γ , on en déduit que:

0 rot A j

= µ uuuuuuuuuuuur uur uuur

Cette équation est l'expression locale du théorème d'Ampère, on la connaît sous le nom

d'équation de Maxwell­Ampère. Elle n'est valable que pour un régime permanent. Elle sera

complétée pour les régimes transitoires afin d'obtenir une des quatre équations de Maxwell.