Electromagnetismo, Electrostática

Electrosttica

Dr. Ing. Edilberto Vsquez Daz ELECTROMAGNETISMO

Udep

CARGA ELCTRICA

LEY DE COULOMB

CAMPO ELCTRICO

POTENCIAL ELCTRICO

CORRIENTE ELCTRICA

CIRCUITOS

RESNICK, R. ; HALLIDAY, D. Fsica Volumen 2. Tercera edicin en espaol. Compaa Editorial Continental S.A. Mxico. 1994. SEARS, F. ; ZEMANSKY, M; et al. Fsica Universitaria Volumen 2. Novena edicin. Editorial Adisson-Wesley Longman de Mxico S.A. 1999. TIPLER, P. Fsica para la ciencia y la tecnologa. Volumen 2, Cuarta edicin. Editorial Revert S.A. Barcelona. 2000.

Introduccin: Estructura Atmica de la materia

Partcula Masa (kg) Carga (C)

electrn 9.1x 10-31 -1.6x 10-19

protn 1.67x 10-27 +1.6x 10-19

neutrn 1.67x 10-27 0

Z = nmero electrones = nmero protones Elemento

Un tomo tiene el mismo nmero de electrones que de protones es neutro ; In positivo : le faltan electrones In negativo: tiene electrones aadidos

0 ep qZqZQ

ee qnQ

ee qnQ

1. La carga elctrica La carga elctrica, como la masa, es una propiedad

fundamental de la materia.

Existen dos tipos de carga elctrica: positiva y negativa: protones y electrones

Las cargas elctricas del mismo signo se repelen y las cargas elctricas de signos contrarios se atraen.

Las caractersticas y propiedades de los tomos y molculas se deben a las interacciones elctricas entre las partculas que los componen.

La carga puntual Una carga puntual es una partcula cuyas dimensiones son relativamente muy pequeas frente al espacio en el cual se la analiza y tiene una carga elctrica neta. F

F

F

F

F

F

Propiedades de la carga elctrica

La unidad de carga en el sistema internacional de unidades es el coulomb y su smbolo es C. Los valores tpicos de carga se expresan utilizando algunos prefijos del sistema internacional.

Prefijo micro ( = 10 6) 1 C = 10 6 C

Prefijo nano ( = 10 9) 1 C = 10 9 C

Prefijo pico (p = 10 12) 1 pC = 10 12 C

Caractersticas de la carga

i) Dualidad de la carga: Todas las partculas cargadas pueden dividirse en positivas y negativas, de forma que las de un mismo signo se repelen mientras que las de signo contrario se atraen.

ii) Conservacin de la carga: En cualquier proceso fsico, la carga total de un sistema aislado se conserva. Es decir, la suma algebraica de cargas positivas y negativas presente en cierto instante no vara. Se sabe que la carga se transfiere entre cuerpos, con lo cual un cuerpo tendr exceso de electrones, y por tanto carga negativa, y el otro tendr dficit de electrones, lo que equivale a una carga positiva, sin embargo, la carga neta de los dos cuerpos no cambia

iii) Cuantizacin de la carga: La carga elctrica siempre se presenta como un mltiplo entero de una carga fundamental, que es la del electrn.

eNQ

Conservacin de la carga

Los cuerpos son elctricamente neutros. Esto quiere decir que poseen la misma cantidad de carga positiva y carga negativa en su interior.

Un cuerpo se carga elctricamente si pierde o gana electrones. La carga no se crea ni se destruye slo se transfiere: entre tomos, entre molculas, entre cuerpos.

Mtodos: Conduccin. Frotamiento: dos cuerpos de diferente electronegatividad

(facilidad para atraer electrones) Induccin.

Dependiendo de la carga existe fuerzas de la atraccin o repulsin entre los cuerpos.

Las fuerzas elctricas entre cuerpos cargados tienen muchas aplicaciones industriales: rociado electrosttico de pintura y el recubrimiento con polvos electrostticos, la precipitacin de cenizas volantes, la impresin sin impacto por chorro de tinta y el fotocopiado

Impresin Lser La impresin lser se basa en electrosttica para llevar a cabo el siguiente proceso: 1. Primero, a medida que un tambor fotosensible gira, sobre su

superficie se forma la imagen a imprimir como puntos electropositivos, debido a la accin de un haz de luz lser, u otra forma de luz puntual.

2. Estos puntos electropositivos atraen partculas de tner electronegativas, apareciendo as sobre la superficie de dicho tambor la imagen a imprimir conformada por puntos negros de tner negativo adheridos.

3. El papel a imprimir es cargado con carga positiva, y pasa junto al tambor a medida que ste gira. As atrae los puntos con tner electronegativo adheridos al tambor, pasando la imagen del tambor al papel. Despus, el tner adherido al papel debe ser fundido por calor, para que quede fijado al papel

Impresin Lser

Conduccin (Contacto)

Bola neutra

Bola cargada negativa

Bola y varilla se repelen Igual carga

Frotamiento

Varilla de plstico

lana

Triboelectricidad "Electricidad que aparece por frotamiento entre dos cuerpos".

SERIE TRIBOELCTRICA + Vidrio Cabello humano Nylon Lana Piel Aluminio Polister Papel Algodn Acero Cobre Nquel Goma Acrlico Poliuretano PVC Tefln -

Triboelectricidad "Electricidad que aparece por frotamiento entre dos cuerpos".

El frotamiento de una pieza de vidrio y otra de tefln y su posterior separacin darn lugar a una carga electrosttica negativa sobre la pieza de tefln y otra de igual magnitud y carga positiva sobre la de vidrio. La misma experiencia realizada por ejemplo con polister y nquel dara cargas positivas y negativas respectivamente en sus superficies pero con magnitud menor de la cantidad de carga elctrica en culombios

Induccin

Las cargas elctricas del mismo signo se repelen y las cargas elctricas de signos contrarios se atraen.

F

F

F

F

F

F

Conductores y aislantes

Aislantes : materiales en los que la carga elctrica no se puede mover libremente.

Madera, plstico, roca

Conductores: los electrones tienen libertad de movimiento.

Metales, ..

Semiconductores: se pueden comportar como conductores o como aislantes.

2. Ley de Coulomb

La fuerza entre cargas puntuales est dirigida a lo largo de la lnea que las une.

La fuerza vara inversamente proporcional con el cuadrado de la distancia que los separa y es proporcional al producto de las cargas.

La fuerza es repulsiva si las cargas son del mismo signo y atractiva si son de signo diferente.

q1

q2

r1

r2

r12

F12

F21

F12 + F21 = 0

r1 - r2 = r12

Ley de Coulomb. Frmula

Fuerza ejercida por q1 sobre q2

kconstante de Coulomb

e0 Permitividad del vaco

122

12

2112 r

r

qqkF

2291099.8 CNmk 04

1

ek

2212

0 1085.8 NmCe

q1

q2

r1

r2

r12

F12

F21

F12 + F21 = 0

r1 - r2 = r12

Ley de Coulomb. Sistema de cargas

Principio de superposicin de fuerzas: La fuerza neta ejercida sobre una carga es la suma vectorial de las fuerzas individuales ejercidas sobre dicha carga por cada una de las cargas del sistema.

Cargas discretas

i

i

i

i

i

iTotal rr

qqkFF

3

0

Ejercicio 1 Tres cargas puntuales se

encuentran sobre el eje x; q1 est en el origen, q2 en x = 2,00 m y q0 en x > 2,00 m.

a) Encontrar la fuerza neta sobre q0 ejercida por q1 y q2, si q1 = 25,0 nC, q2 = -10 nC y x = 3,50 m.

b) Encontrar una expresin de la fuerza neta sobre q1 y q2 en el intervalo 2,00 m < x < .

Solucin

a) Se sabe que

b) Tambin, si q0 est a una distancia x > 2,00 de q1:

2r

QqkF

iF

imF

)N799,0(

)N367,0(

0,2

0,1

iFneta )N432,0(

i

x

qkqFi

x

qkqF

2

020,22

010,1

)00,2(;

i

x

q

x

qkqFneta 2

2

2

10

)00,2(

Ejercicio 2 Pregunta

La carga q1 = +25,0 nC est en el origen, la carga q1 = 15,0 nC est en la posicin x = 2,00 m, y la carga q0 = +20,0 nC est en el punto x = 2,00 m, y = 2,00 m como se indica en la figura. Determinar el valor de la fuerza resultante sobre q0.

Solucin

Se halla la resultante en x e y de las dos fuerzas que actan sobre q0:

jF

jiF

)N1074,6(

N)1097,31097,3(

70,2

770,1

-34,9N;1084,4 7 netaF

Distribuciones continuas de Cargas Dependiendo de la forma de la distribucin, se definen las siguientes

distribuciones de carga

dl

dq

Lineal

ds

dq

Superficial

dv

dq

Volumtrica

Captulo II. Campo Elctrico 2.1 Introduccin: Campo gravitacional

de la tierra

2

TmMF G kr

211

26.67*10

NmG

kg

2.2 Campo Elctrico

El campo elctrico existe cuando existe una carga y representa el vnculo entre sta y otra carga al momento de determinar la interaccin entre ambas y las fuerzas ejercidas. Tiene carcter vectorial (campo vectorial) y se representa por medio de lneas de campo. Si la carga es positiva, el campo elctrico es radial y saliente a dicha carga. Si es negativa es radial y entrante.

Campo elctrico cargas puntuales

Carga positiva = fuente Carga negativa = sumidero

- +

rr

QkrE )(

2

r

r

QkrE )(

2

Radiales Proporcionales a la carga Inversamente proporcionales al cuadrado de la distancia

La unidad con la que se mide es: N/C La letra con la que se representa el campo elctrico es la E. Al existir una carga sabemos que hay un campo elctrico entrante o saliente de la misma, pero ste es comprobable nicamente al incluir una segunda carga (denominada carga de prueba) y medir la existencia de una fuerza sobre esta segunda carga.

E

El campo elctrico Cargas Puntuales

F0 + + + +

+ +

+ + A

Q

B + qo P

Campo elctrico de cargas puntuales positivas y negativas

2

0

r

Qk

q

FE

q

FE

o

+ + + + + Q

r P

qo +

Fo E

- - - - - Q

r P

qo +

Fo E

rr

kQr

r

kQ

q

FE

32

0

rr

kQqr

r

kQqEqF

32

2.3 Lneas del campo elctrico

Las lneas de campo indican la direccin del campo elctrico; el campo apunta en la direccin tangente a las lneas de campo en un punto cualquiera

+ -

2.3 Lneas de campo elctrico

Las lneas se trazan de modo que la magnitud del campo elctrico, E, sea proporcional al nmero de lneas que cruzan el rea unitaria perpendicular a las lneas. Mientras ms cercanas entre s estn las lneas, ms intenso ser el campo. Las lneas de campo elctrico comienzan en cargas positivas y terminan en cargas negativas; y el nmero que comienza o termina es proporcional a la magnitud de la carga

Qu forma tendra el campo elctrico de dos cargas?

EJEMPLOS DE LNEAS DE CAMPO ELCTRICO

Carga puntual

Dos cargas iguales

Dipolo elctrico

Q(-)=2Q(+)

Qu signos tienen las cargas q1, q2 y q3?

La carga q1 es positiva por cuanto las lneas de fuerza salen de la carga.

La carga q2 es negativa por cuanto las lneas de fuerza ingresan a la carga.

La carga q3 es positiva por cuanto las lneas de fuerza salen de la carga.

q1 q2 q3

Electric Field Applet

2.4 Clculo del Campo Elctrico

A Partir de la Ley de Coulomb

A Partir de la Ley de Gauss. Basada de el flujo de campo elctrico

qFE

Campo creado por una carga puntual

P Q

ruF

E

2

04

1

r

Q

q e

Q1

Q2

Q3

E

r1

r2

r3

E1

E2

E3

E r

ur

i

i

i

ii r

QruEE

2

04

1

e

2.4 Clculo de Campo elctrico Cargas Puntuales

Ejercicio 3

Una carga positiva q1 = +8,00 nC en el origen y una segunda carga positiva q2 = +12,00 nC en x = 4,00 m. Determine el campo elctrico resultante a) En el punto P1, ubicado en x = 7,00 m. b) En el punto P2, ubicado en x = 3,00 m.

Solucin

a)

b)

iCNiCNE )/0,12()/47,1(

iCNE )/5,13(

iCNiCNE )/108()/99,7(

iCNE )/100(

2.4 Campos creados por distribuciones continuas de Cargas

Dependiendo de la forma de la distribucin, se definen las siguientes

distribuciones de carga

dl

dq

Lineal

ds

dq

Superficial

dv

dq

Volumtrica

Clculo del campo elctrico en cada caso:

r

L

2u

r

dlkE

rS

2u

r

dskE

rv

2u

r

dvkE

rur

dqkE

2

2.3 Campos creados por distribuciones continuas

Distribucin lineal de carga

P

r

LL

rr

dL

r

dquuE

2

0

2

0 4

1

4

1

ee

r

dL

dE

ur

: densidad lineal de carga

dL

dq

Distribucin superficial de carga

dS

+

+

++

r

P dE

ur

S E u u

14

140 2 0 2e e

dqr

dSr

r

S S

r

: densidad superficial de carga dS

dq

Distribucin volumtrica de carga

dVr

dE

P

ur

E u u

14

140 2 0 2e e

dqr

dV

rr

V V

r

: densidad volumtrica de carga dV

dq

2.4 Clculo del Campo Elctrico para Distribucin Continua de Carga

A Partir de la Ley de Coulomb

A Partir de la Ley de Gauss. Basada de el flujo de campo elctrico

Campo creado por una lnea infinita larga

jjE

cos2cos22r

dxkdE

x=y tan

dcos

ydx

2

dy

y

kE cos

cos

cos2

90

02

2

2

j

jjjE

y2y

k2dcos

y

k

0

90

90e

Campo elctrico creado por una distribucin uniforme lineal de carga en un anillo de radio a, en un punto x de su eje.

Campo elctrico creado por una distribucin uniforme de carga en forma de disco de radio R, en un punto de su eje.

r

dq

P dEx

dEy

X

x

daadAdq 2

23

23

2222

2

xa

adakx

xa

dqkxdEx

)1(2)

1(22

222

0

220

2/3220 22 23

xR

xk

xaxk

xa

adaxk

xa

adakxE

RRR

x

Flujo de un campo elctrico

Analoga con un campo de velocidades en un fluido.

Volumen que atraviesa la superficie A en un tiempo dt

Flujo ~ Volumen por unidad de tiempo

dtAvAdtvV

cos

Avdt

dV

Una superficie se representa vectorialmente con un vector perpendicular a la misma y de mdulo su rea.

A

Acos

vdt

Ley de Gauss El flujo del vector campo elctrico a travs de una

superficie cerrada es igual a la carga encerrada en su interior dividida por la permitividad del medio.

La superficie Gaussiana no es una superficie real ( es

matemtica). La ley de Gauss simplifica los clculos de campo elctrico en

casos de gran simetra (El campo elctrico sobre la superficie es cte).

0eencQAdE

2m

C

N

04

1

ek 4 encQk

2291099.8 CNmk

Clculos de E con ley de Gauss

Carga puntual Superficie Gaussiana: Cascaron esfrico de radio r

+

dA

r

)4( 2rEAdE

0eencQAdE

rr

QkE 2

enckQrE 4)4(2

Ejemplo 1: Campo elctrico prximo a un plano infinito de

carga.

2121 TTTST

AdEAdEAdEAdEC

dAEdAE

EA2dAE2 AAdE

AkEA 42

kE 2

4 encQk

Ejemplo 2: Campo elctrico a una distancia r de una carga

lineal infinitamente larga de densidad de carga uniforme .

cc STST

AEAEAEAE dAEdddd21

)rl2(EdAEdAEd cc SS

AE

lkkqrlE 44)2(

r

kE

2

Ejemplo 3: Campo elctrico debido a una corteza esfrica

uniformemente cargada.

Ejemplo 4: Campo elctrico debido a una esfera

uniformemente cargada.

AQ /

AQ /

Comportamiento de los materiales frente a un campo elctrico

A partir de ahora, al hablar de conductores nos referiremos nicamente conductores metlicos slidos.

Los iones positivos (ncleos + electrones ligados) estn distribuidos formando la red cristalina, y los electrones de la ltima capa de los tomos (el 4s1 del ejemplo del Cu) se mueven libremente respecto a los iones, pero sin salir del metal formando una nube o gas electrnico, por lo que se denominan electrones libres. Esta movilidad de los electrones libres es lo que caracteriza a los metales como buenos conductores

Conductores en equilibrio

Un material conductor es aquel que permite el transporte de carga elctrica. En general, los slidos metlicos son buenos conductores, ya que sus electrones de valencia estn poco ligados a los ncleos atmicos, lo que permite que se muevan con facilidad a travs del material. Este tipo de electrones poco ligados se denominan electrones

libres.

Conductores en equilibrio

En un conductor existen cargas con libertad de movimiento (electrones libres).

Una carga elctrica es capaz de moverse al aplicar un campo.

Si el campo se produce una redistribucin de cargas en el interior hasta la situacin de equilibrio electrosttico.

E = 0 E = 0

Conductor NEUTRO en un campo elctrico

El campo interior siempre es nulo.

Deforma las lneas de campo exterior.

Se produce una redistribucin de carga en la superficie debido a la fuerza elctrica.

extE

indE

0 indEEE ext

Cuerpo dielctrico neutro sometido a un campo elctrico externo

Un cuerpo no conductor neutro no existen cargas libres. Los cuerpos no conductores estn constituidos por molculas, muchas de ellas pueden ser idealizadas como dipolos elctricos

- +

Dipolo elctrico: representacin de dos cargas elctricas de igual magnitud q pero de signos contrarios separadas una distancia d. Tiene como caracterstica fundamental el momento dipolar elctrico que apunta desde la carga negativa a la positiva y se define como:

- +

-q +q

dp

q

dp

q


l sin

l

-

+

O

E

q

Si se tiene un dipolo elctrico sometido a un campo elctrico, existirn fuerzas sobre las cargas elctricas que ejercern un par respecto a un punto fijo de giro

E

q

sinsinsin pEqlElEq

E


Ep

p

E

(a) (c) (b)


+ - + - + -

+ - + - + -

+ - + - + -

+ - + - + -

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

+ - + - + -

(a)

-

-

-

-

-

-

-

+

+

+

+

+

+

+

(b)

bE

E

extE

-Qb +Qb

E

extE

-Qb +Qb

bEEE ext

Variacin del campo elctrico cuando se utiliza un dielctrico

El vector polarizacin El vector polarizacin mide el grado o nivel de polarizacin de la sustancia dielctrica por accin de un campo elctrico que se manifiesta con la acumulacin de carga inducida en las paredes del dielctrico. El vector expresa el momento dipolar total por unidad de volumen. Si se llama n al nmero de molculas (dipolos) por unidad de volumen y a la componente del momento dipolar de cada molcula en la direccin del campo elctrico al que est sometido el dielctrico se tiene:

P

P

Ep

E

EpnP

Vector polarizacin N dipolos

por volumen

Momento dipolar

Si se tiene un dielctrico ya polarizado, se obtiene que componente del momento dipolar total (segn la definicin del momento dipolar elctrico, tomando como carga la carga total inducida en las paredes del dielctrico) ser igual en magnitud a:

dQp btotalE

Siendo d el espesor del dielctrico en la direccin de aplicacin del campo elctrico. Asumiendo que hay una distribucin uniforme de la carga inducida en la superficie A del dielctrico tal que, siendo la densidad superficial de carga inducida:

AQ bb b

dAp btotalE

La magnitud del vector polarizacin ser entonces:

b bb

Ad AdP

V Ad

EpnP

EP

El vector polarizacin P es paralelo y proporcional al vector campo elctrico E.

Donde se denomina susceptibilidad elctrica y es caracterstica del material, expresa la respuesta de un medio a la accin de un campo elctrico externo.

- +

-q +q

dp

q

+f -f

d

Eext

Eext=f/o

-b +b

E incluye tanto el efecto de las cargas libres como el de las cargas de polarizacin

EP

bfE

e0

1

El vector desplazamiento elctrico

Se define el vector desplazamiento elctrico como:

D

EP

EEED

ee 00

PED

0e

ED

e

El vector desplazamiento elctrico es paralelo al vector de campo elctrico y

sigue la misma direccin. es la permeabilidad del medio o la constante dielctrica absoluta.

La magnitud del vector desplazamiento elctrico ser:

bbfPED

eee

0

00

1

fD

bP EP Eb

0e

bfbf EEEE

0e

EEE f

e

e

0

0

fEE

ee 0

e

e 0fEE

0eee r

r

fEE

e

permeabilidad relativa

Teorema de Gauss para el vector campo elctrico dentro de un material dielctrico

0e

bf QQdAE

bf QQd e AE

0

El flujo del vector campo elctrico a travs de una superficie cerrada es igual al valor de la carga neta contenida en dicha superficie

Teorema de Gauss para el vector desplazamiento elctrico

ADdADdADddTTT

222

ADAD

AADd f AD

fQd AD

El flujo del vector desplazamiento elctrico a travs de una superficie cerrada es igual al valor de la carga libre en dicha contenida en dicha superficie

Teorema de Gauss para el vector polarizacin

APdAPdAPddTTT

222

APAP

AAPd b AP

bQd AP

El flujo del vector desplazamiento elctrico a travs de una superficie cerrada es igual al valor de la carga inducida contenida en dicha superficie.

Relacin entre la carga libre y la carga inducida

fQd AD

ED

e

fQd e AE

0eee r

0ee rfQdAE

bf QQd e AE

0 0e bf QQdAE

r

fb QQe

11

La permitividad relativa equivale a la constante del dielctrico re

Precipitador electrosttico

funcionando apagado

Que pasa con el campo elctrico en conductores (en equilibrio electrosttico)? El campo elctrico se anula en el interior del conductor Si tiene carga neta, esta se encuentra nicamente en la superficie

Potencial elctrico

Dr. Ing. Edilberto Vsquez

2012-II Universidad de Piura

Conocimientos previos

b

a

dxxFW )(

x

x

79

Trabajo realizado por una fuerza variable

El signo del trabajo depende de la relacin entre las direcciones de la fuerza y el desplazamiento

x

F

F

F

Energa potencial mecnica El trabajo de una fuerza F que se aplica

sobre un cuerpo que se desplaza de a a b es igual a:

Si la fuerza que realiza el trabajo es conservativa, el trabajo puede expresar como la diferencia de las energas potenciales inicial y final.

Un caso tpico es la energa potencial gravitacional relacionada con el trabajo del peso de un cuerpo.

a bW U

b

a

y

a b a b

y

a b

W m( g )dy mg y mgy

W U

80

- -( - ) a b a b b aW U U U U

b

a

ba dxxFW )(

Trabajo-cambio de energa potencial gravitacional

a bW U

La expresin del trabajo y la variacin de la energa potencial significa que:

Si el trabajo de una pelota que cae figura (a) es positivo (peso de una pelota), la energa potencial gravitatoria disminuye.

Si el trabajo de una pelota que sube figura (b) es negativo, la energa potencial gravitatoria aumenta.

31/07/2012 81

Energa potencial

Los cuerpos tienden a la mnima energa y al mximo desorden. Entonces los campos definen la tendencia natural hacia la mnima energa.

Energa potencial elctrica

La tendencia natural de una carga prueba ante una carga puntual positiva Q es de alejarse siguiendo un sentido radial, lo que indica que tendr menor energa estando ms alejada de la carga positiva Q

+

+ +

+ +

+ + +

+

Energa potencial elctrica

La tendencia natural de una carga de prueba ante una carga puntual negativa Q es de acercarse siguiendo un sentido radial, lo que indica que tendr menor energa estando ms cerca de la carga negativa Q

-

- -

- -

- - -

+

P

Integral de lnea del campo elctrico

E

d l

Lnea tangente

a la trayectoria

A

B

q0

+

Q

Se tiene una carga puntual Q positiva que define un campo elctrico. En un punto P a una distancia r de Q se tiene una partcula de prueba cargada positivamente q0 que se desplaza por una trayectoria AB como se muestra en la figura. El campo vara a lo largo de la trayectoria ( es nico en cada punto de la trayectoria).

E

B

A

lE

d

Se define la integral de lnea del campo vectorial como E

Donde tiene direccin de la recta tangente a la trayectoria AB en el punto P y el sentido del desplazamiento (de A a B).

l

d


P

E

d l

Lnea tangente

a la trayectoria

A

B

q0

+

Q

B

A

lE

d

B

A

B

A

lE cosEdld

dl cos = dr,

Donde es el vector de proyeccin en direccin radial del campo, por lo tanto:

r

d

B

A

r

r

B

A

lE Edrd

Donde rA y rB son las distancias radiales a los puntos A y B (inicio y fin de la trayectoria AB)


P

E

d l

Lnea tangente

a la trayectoria

A

B

q0

+

Q

B

A

lE

d

B

A

r

r

B

A

lE Edrd

B

A

r

r

B

A

lEBA

2 r

1

r

1kQdr

r

kQd

Reemplazando E para una carga puntual segn la ley de Coulomb

Segn el resultado obtenido, la integral de lnea es independiente de la trayectoria, slo depende de la posicin inicial y final

Trabajo realizado por el campo elctrico

E

q

A

B dl

B

A

B

A

B

A

AB dEqdEqdW l

l

l

F

BA

BArr

kqQW11

Q

BA r

1

r

1kQl

dE

B

A

Energa potencial electrosttica

B

A

ABAB dEqUUUW l

.

q

A

B dl

UA

UB

Julio J

E

Q

UUUW ABAB )(

Campo elctrico es un campo conservativo

ABA

ABrr

kqQdEqUUUB 11

. l

La variacin de energa potencial elctrica nicamente depende de la posicin inicial y de la posicin final de la trayectoria, sin importar la forma de sta

Potencial elctrico

VA UA = q VA

VB UB = q VB

B

A

AB

B

A

dEVVdV l

.

q

A

B dl

ldE

q

dUdV .

Voltio V V=J/C

E

Q

El potencial elctrico se define como la energa potencial por unidad de carga de prueba. El potencial elctrico se definir entonces como

AB

ABrr

kQVV11

AB

ABrr

kqQUU11 Julio J

Trabajo y Energa Potencial

ABArr

kqQdEqUB 11

. l

BA

B

ABA

rrkqQdEqW

11l

E

q

A

B dl

Q

Potencial elctrico

+

+ +

+ +

+ + +

+ E

ld

A B

Si la carga de prueba va de A a B, en todo punto de la trayectoria AB es paralelo a con lo cual

Eld 0

B

A

B

A

lE Edld

0 AB VVV

B

A

AB dEVV l

.

Entonces: VA > VB

Al desplazar la carga de prueba positiva en direccin del campo elctrico producido por una carga positiva, la carga de prueba pasa de un punto de mayor potencial a otro punto de menor potencial y su variacin de potencial es negativa. sta es la tendencia natural de movimiento.

Potencial elctrico

+

+ +

+ +

+ + +

+ E

ld

A B

Si la carga de prueba va de B a A, en todo punto de la trayectoria BA es antiparalelo a con lo cual

E

ld 0Edld A

B

A

B

lE

0 BA VVV

A

B

BA dEVV l

.

Entonces: VA > VB

Al desplazar la carga de prueba positiva en direccin contraria al campo elctrico producido por una carga positiva, la carga de prueba pasa de un punto de menor potencial a otro punto de mayor potencial y su variacin de potencial es positiva. Esta es una tendencia no natural de movimiento.

El potencial de un punto El potencial en un punto P referido a un punto R arbitrario ser:

lE

P

R

dVVV(P) RP

Si se toma como referencia un punto en el infinito, el potencial del punto P respecto al finito, o simplemente el potencial del punto P ser:

rr

kQVVVP

PP

11

P

Pr

kQV

Con esto, el potencial del infinito (sabiendo que ) ser:

r

Ya se ha visto que es independiente de la trayectoria seguida entre R y P, muchas veces el punto de referencia es el infinito o en la prctica es la Tierra (con sus grandes dimensiones y su capacidad de absorber infinita carga presentar un potencial nulo)

0V

El campo elctrico y el potencial de la tierra

Si se considera al globo terrqueo como una esfera conductora, el potencial de un punto en la superficie respecto al infinito es prcticamente cero y de igual modo el campo elctrico.

0T

TR

kQV 0

2

T

TR

kQE

RT es el radio de la tierra es muy grande

Potencial: esfera conductora cargada

0int E

0Rr

Interior

+

+

+

R

+r

Sint

E = 0

A

B

BA dEVV l

.

cteVVV BA

Potencial: esfera conductora cargada

0

2

sup

4

e

R

R

Rk

R

QkV

24 R

Q

S

Q

cteV0int E

0Rr

Interior

r

kQVRr

Exterior

+

+

+

R

+r

Sint

E = 0 r

E

dS

Sext

E

0

224

e

r

R

r

Rk

r

QkVext

Potencial en un punto debido a un dipolo

d +q -q x

y

P

r r1

r2

r2 r1

22 1

1 2

1 1 2 1 2

P i

i

r rq qV V V V k kq

r r r r

cos12 drr

2

21 rrr

2

cos

r

kqdVP

32

cos

r

kpx

r

kpVP

El potencial VP es cero si P est en un plano perpendicular que pasa por el centro del dipolo. El campo elctrico no realizar trabajo al traer una carga desde el infinito si sta sigue al direccin de una lnea sobre dicho plano. El potencial VP es mximo en = 0 y = 180.

P

2

2222

22

2

)()()(

x

pkvax

ax

pk

ax

kqaV

ax

axkqaxkq

ax

qk

ax

kqV

x

Cuantificacin de energa potencial y potencial elctrico

La energa potencial de la carga q0 en un campo de dos cargas q1 y q2.

q0

q1

r1

q2 r2

1 2 ie 0 e 0

i1 2 i

q q qU k q k q

r r r

A1

10APr

1

r

1qkqUU

Ar

Cuantificacin de energa potencial y potencial elctrico

Energa potencial asociada al acto de reunir a varias cargas (q1, q2, q3) en una sola vecindad.

q1

q2 r12

q3

r23

r13 i j1 2 1 3 2 3

e e

i j12 13 23 ij

q qq q q q q qU k k

r r r r

0q

UV PP

Si se tiene una carga de prueba q0 que se desplaza desde una distancia infinita de un sistema de cargas hasta un punto P bajo el influjo del campo elctrico del sistema de cargas. El potencial elctrico Vp en P debido al conjunto de cargas se define como

Preguntas de discusin

Pregunta 01

En la figura, la carga pequea positiva es obligada a acercarse a la esfera cargada positivamente.

Explique si la energa potencial de la carga pequea aumenta o disminuye conforme se acerca a la esfera grande.

Respuesta: Aumenta puesto que se debe realizar un trabajo externo, en contra de las fuerzas del campo, para moverlo.

103

+

+

+ +

+ +

+ + +

Pregunta 02

Una pequea partcula cargada, abandonada en el interior del campo elctrico representado, inicia un movimiento horizontal con cierta aceleracin. Qu suceder con la energa cintica, potencial y mecnica de la partcula: aumentar, disminuir o se mantendr? La respuesta a la pregunta anterior depender del signo de la carga que tiene la partcula?

Respuesta. La energa cintica aumenta, la potencial disminuye, la total se mantiene igual. No depende del signo de la carga.

Ejercicio

Ejercicio

A qu distancia de una carga puntual de -7,20 C debe colocarse una carga puntual de +2,30 C para que la energa potencial U del par de cargas sea de -0,400 J? (Considere que U = 0 J cuando estn separadas una distancia infinitamente grande).

Datos

q1= -7,20 C

q2= +2,30 C

U = -0,400 J

Solucin

r

qqkU 21

6 69 ( 7,20 10 )( 2,30 10 )0,400 9,0 10

r

104

Despejando,

6 69 ( 7,20 10 )( 2,30 10 )r 9,0 10

0,400

r 0,373 m

Ejercicio

Una carga puntual q1 est situada en el origen y una segunda carga puntual q2 est situada sobre el eje x en x = a, como se muestra en la figura. Determinar el potencial en cualquier punto del eje x.

Solucin El potencial total es la suma de

potenciales debido a cada una de las cargas.

Luego

Grficamente

105

1 2 1 2

1 2

0,

q q q qV k k k k

r r x x a

con x x a

Ejercicio

Dos cargas puntuales de +5 nC se encuentran sobre el eje x. Una se encuentra en el origen y la otra en x = 8 cm. Determine el potencial (a) en el punto P1 situado sobre el eje x en x = 4 cm y (b) en el punto P2 situado en el eje y en y = 6 cm.

1

1

1 2

11 21

2,25 k

P

P

q qV k k

r r

V V

106

Solucin

a)

2

2

1 2

12 22

1,20 k

P

P

q qV k k

r r

V V

b)

Enunciados acerca del potencial elctrico

El potencial cerca de una carga positiva aislada es positivo y el potencial cerca

de una carga negativa aislada es negativo. Consideramos una carga de

prueba

La expresin del trabajo y la variacin de la energa potencial significa que:

Si el trabajo es negativo, el potencial es positivo.

Si el trabajo es positivo, el potencial negativo.

lE

P

R

dVVV(P) RP

Enunciados acerca del potencial elctrico Si el potencial en un punto determinado es nulo, no significa que no exista campo elctrico

22 1

1 2

1 1 2 1 2

P i

i

r rq qV V V V k kq

r r r r

d +q -q

y

P

r1 r2

0

0

21

E

V

rr

P


Si el campo elctrico en un punto es nulo tampoco significa que el potencial en ese punto sea nulo

0int E

0Rr

Interior

+

+

+

R

+r

Sint

E = 0

A

B

BA dEVV l

.

cteVVV BA


El potencial de un punto ser la suma de los potenciales Vi debido a diferentes efectos

Para hallar el potencial en este caso, se halla el potencial debido a cada carga o distribucin de carga presente como si fuese la nica que existiese y luego se suma los potenciales parciales hallados, con lo cual se est haciendo una superposicin de efectos.

1 2

1

..N

n i

i

V V V V V

Clculo del potencial elctrico de distribuciones de carga continua

dsdq dAdq dvdq

r

dqkdV

rdq

kdVV

Potencial en un punto debido a un anillo cargado

r

kqdq

r

k

r

dqkV

22 xar

22 xa

kqV

22

)2(

xa

akV

Potencial en un punto debido a un disco cargado

rdq

kV

daa)2(dq

xxRk2V 22 Para un valor de x>>>R:

x

qk

x

Rkx

2x

Rxk2V

22

x

Rx

x

Rz

x

RzxR

22

111

2

2

2

2

222

21

Superficies equipotenciales Se denominan superficies equipotenciales a la familia de superficies que unen puntos que tengan el mismo valor de potencial elctrico

Las superficies equipotenciales siempre estn en ngulo recto con las lneas de campo. Por lo tanto, el trabajo realizado por el campo cuando una carga se mueve en una superficie equipotencial es cero. De igual modo, el trabajo es cero si parte de un punto de una superficie equipotencial y llega a otro punto de la misma superficie despus de haber pasado por otras superficies equipotenciales

E

q

A) Campo constante

B) Campo de una carga puntual

E

Superficies equipotenciales

- +

Superficies equipotenciales para dos cargas puntuales

Aplicacin de superficies equipotenciales

Se tienen dos esferas conductoras de radios R1 y R2 (R1 < R2), muy alejadas entre s. unidas por un cable conductor ideal.

Al estar muy alejadas, las dos esferas se comportan como conductores independientes, salvo por el hecho de que estn conectadas por un hilo. Este hilo, al ser ideal, no aade capacidad ni carga al sistema, pero garantiza que ambas esferas estn al mismo potencial, ya que las cargas pueden moverse de una esfera a la otra hasta que la diferencia de potencial elctrico se haga cero.

0. B

A

AB dEVV l

El potencial en cada una de las esferas ser, en funcin de su carga

20

22

10

11

44 R

QV

R

QV

ee

Si las dos esferas estn al mismo potencial nos queda

lo que nos dice que la carga ser mayor en la esfera ms grande, en una cantidad proporcional a su radio (doble radio, doble carga).

Como adems la carga total es Q, tenemos el sistema de ecuaciones

con solucin

El potencial en el conjunto es

21

22

21

11

RR

QRQ

RR

QRQ

)(444 21020

2

10

1

RR

Q

R

Q

R

QV

eee

Al estar muy alejadas, las dos esferas se comportan como conductores independientes, salvo por el hecho de que estn conectadas por un hilo. Este hilo, al ser ideal, no aade capacidad ni carga al sistema, pero garantiza que ambas esferas estn al mismo potencial, ya que las cargas pueden moverse de una esfera a la otra.

El potencial en cada una de las esferas ser, en funcin de su carga

Si las dos esferas estn al mismo potencial nos queda

lo que nos dice que la carga ser mayor en la esfera ms grande, en una cantidad proporcional a su radio (doble radio, doble carga).

Como adems la carga total es Q, tenemos el sistema de ecuaciones

con solucin

El potencial en el conjunto es

21

22

21

11

RR

QRQ

RR

QRQ

)(444 21020

2

10

1

RR

Q

R

Q

R

QV

eee

POTENCIAL ELCTRICO. GRADIENTE

B

A

qo d

F

E

Como la fuerza elctrica est dirigida hacia abajo, debemos ejercer sobre la carga una fuerza externa F hacia arriba si queremos que la partcula se mueva con velocidad constante

El trabajo desarrollado por esta fuerza ser

d Eqd FW oextextAB

Potencial elctrico: Es el trabajo desarrollado por la fuerza externa por unidad de carga puntual

o

extAB

ABq

WVV

Caso particular de un campo uniforme dEVV AB

Unidades del potencial: Voltio (V)

Unidades del campo elctrico: V/m o N/C

Caso general: Campo elctrico no uniforme y trayectoria no rectilnea

Debemos dividir la trayectoria en pequeos desplazamientos infinitesimales, de forma que

B

Ao

B

Aext

extAB rdEqrdFW

B

Ao

extAB

AB rdEq

WVV

El potencial en este caso ser

B

A

E

F

rd

Eqo

qo

Para un desplazamiento curvilneo kdzjdyidxrd

la variacin de potencial es

dzEdyEdxErdEdV zyx

Con esta expresin, podemos, conocido el potencial elctrico, calcular el campo elctrico asociado

Si dzz

Vdy

y

Vdx

x

VdV

z

VE ;

y

VE ;

x

VE zyx

De esta forma

kz

Vj

y

Vi

x

VkEjEiEE zyx

VE

El campo elctrico E en todo punto apunta en la direccin de mximo decrecimiento del potencial elctrico V

Rigidez dielctrica y efecto corona

a) Rigidez dielctrica: Es el valor de campo elctrico a partir del cual un medio no conductor comienza a ionizarse.

b) Efecto Corona: Si el campo elctrico en un conductor es ligeramente superior a la rigidez dielctrica del medio circundante, las molculas a su alrededor sern ionizadas y el medio circundante aparecer como incandescente. A este efecto de aparecer como incandescente se denomina efecto corona.

Video de un arco elctrico en alta tensin

Generacin de Rayos

Tierra Carga Inducida

Dielctrico (Aire) Capacitor Nube-tierra

Dipolo Clula de tormenta

Generacin de Rayos

Corriente de retorno

Punto de encuentro

Ejemplo

Se tienen dos esferas conductoras de radios R1 y R2 (R1 < R2), muy alejadas entre s (de forma que la influencia de una sobre la otra es despreciable), pero unidas por un cable conductor ideal. El conductor almacena una carga Q. Cunta carga se va a cada esfera? En cul de las

dos es mayor la carga almacenada?

En cual de las dos esferas es mayor la densidad de carga? Y el campo elctrico en la superficie?

En lo que respecta a su comportamiento elctrico, los materiales pueden dividirse en dos categoras: conductores de electricidad y aislantes (dielctricos). Un material dielctrico ideal no tiene cargas libres y no muestra conductividad en presencia de un campo elctrico exterior. En los dielctricos reales tpicos la conductividad es 10 elevado a 20 veces menor que en un buen conductor, y como este es un factor tremendo, por lo general es suficiente decir que los dielctricos son no conductores.

Sin embargo, todos los materiales se componen de molculas, y las de los dielctricos son de hecho afectadas por la presencia de un campo elctrico externo, de modo que las partes positivas y negativas de cada molcula se desplazan de sus posiciones de equilibrio en sentidos opuestos. Estos desplazamientos en el caso de los materiales aislantes estn limitados a fracciones muy pequeas del dimetro molecular debido a las intensas fuerzas restauradoras que se forman por el cambio de configuracin de carga de la molcula. El efecto total desde el punto de vista macroscpico se visualiza con mayor claridad como un desplazamiento de toda la carga positiva en el dielctrico con relacin a la carga negativa. Se dice que el dielctrico est polarizado, y que sus molculas tienen un momento dipolar inducido.

El grado de polarizacin depende no slo del campo elctrico exterior aplicado, sino tambin de las propiedades de las molculas que forman el material dielctrico. La relacin entre la polarizacin P del dielctrico y el campo elctrico E se denomina susceptibilidad elctrica y especifica completamente el comportamiento del material.

Si el campo elctrico aplicado a un dielctrico se hace muy intenso, empezar a sacar electrones de las molculas, y el material se convertir en un conductor. En el caso de un dielctrico slido, una chispa, o una descarga disruptiva, atraviesa el material y el dielctrico se perfora en el proceso que tiene lugar. La chispa deja a su paso una huella en el material carbonizado y esa zona afectada del dielctrico queda inservible como material aislante. En el caso de un dielctrico lquido la chispa tambin origina una traza de material conductor a su paso, pero la violencia de la explosin basta normalmente para dispersar los productos de la combustin.

Para cada dielctrico existe un cierto lmite de la intensidad de campo elctrico por encima del cual el material pierde sus propiedades aislantes y se convierte en conductor. La intensidad mxima de campo elctrico que un dielctrico puede soportar sin rotura se denomina rigidez dielctrica, medida normalmente en Voltios/cm.

La rigidez dielctrica o tensin de perforacin de un dielctrico no es una constante porque depende de las propiedades fsicas del material, condiciones del medio ambiente y naturaleza y duracin de la tensin aplicada as como de la frecuencia con que el material la sufre. Se pueden distinguir dos tipos de perforacin: elctrica y trmica. Junto a estos dos tipos es necesario considerar tambin la perforacin por ionizacin, que es el resultado de la ionizacin del gas alojado en las pequesimas cavidades o burbujas que pueden tener los materiales dielctricos slidos o lquidos.

En definitiva, la rigidez dielctrica de los materiales depende principalmente de: - La heterogeneidad del campo elctrico aplicado, y por extensin de la forma de los conductores, - Naturaleza e intensidad de la ionizacin de las incrustaciones de gas, y - Cambios qumicos que pueda experimentar el material.

Efectivamente, la forma es importante. Imaginemos un conductor de forma puntiaguda como el capirote de un nazareno, el campo en la punta ser mucho mayor que en el resto del capirote. La razn es, cualitativamente, que las cargas tratan de extenderse hacia fuera de la superficie del conductor tanto como les es posible: la punta del capirote. La punta representa por tanto una densidad superficial de carga grande, lo que implica un campo intenso en esta regin.

Una forma de ver que el campo es ms intenso en aquellas regiones del conductor de menor radio de curvatura es la de considerar dos esferas, una grande y otra pequea. Imaginemos ahora una esfera del tamao de un baln de baloncesto y otra como una bola de golf, separadas unos 30 centmetros en el espacio y unidas por un delgado hilo de cobre. La funcin del hilo es la de mantener ambas esferas al mismo potencial. Se puede demostrar que los campos estn aproximadamente en proporcin inversa de los radios de las esferas, (despreciando los efectos que cada esfera origina en la distribucin de carga de la otra). Por lo tanto el campo es mayor en la superficie de la esfera pequea.

Este resultado es tcnicamente muy importante, porque el aire se perforar si el campo elctrico es muy intenso. Lo que ocurre es que alguna carga suelta (electrn o in) en algn lugar del aire es acelerada por el campo, y si el campo es muy grande, la carga puede adquirir suficiente velocidad antes de impactar otro tomo. El resultado es que empiezan a producirse cada vez ms iones cuyo movimiento constituye una descarga disruptiva o arco elctrico. [Vase Video de un arco elctrico en alta tensin] Una superficie ms redondeada evitara la perforacin.

La temperatura tambin es importante. El deterioro de los aislantes a temperaturas elevadas es gradual. Se manifiesta principalmente por resecarse o carbonizarse el material, lo que lo hace quebradizo, hacindole perder resistencia mecnica ms que rigidez dielctrica. Tras una carbonizacin severa, la rigidez dielctrica puede quedar muy perjudicada, pero el fallo se asocia ms generalmente a defectos mecnicos del aislante originado por vibraciones o esfuerzos mecnicos en los cortocircuitos.

Documents

Electromagnetismo, Electrostática