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7/17/2019 Electrostatica - Distribucion Continua de Carga Electrica 2015-II.pdf http://slidepdf.com/reader/full/electrostatica-distribucion-continua-de-carga-electrica-2015-iipdf 1/21 M Sc NORBIL TEJADA CAMPOS ELECTROSTATICA: Distribución Continua de Cargas Eléctricas 1 UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA HIDRAULICA CICLO ACADEMICO 2015-II

Electrostatica - Distribucion Continua de Carga Electrica 2015-II.pdf

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  • M.Sc. NORBIL TEJADA CAMPOS

    ELECTROSTATICA:Distribucin Continua de Cargas Elctricas

    1

    UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA

    ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA HIDRAULICA

    CICLO ACADEMICO 2015-II

  • B. DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE CARGAS ELECTRICAS

    Cuando un cuerpo macroscpico est cargado elctricamente, puede suponerse que la cargaelctrica se distribuye en forma continua a manera de una nube en su volumen y/o en su superficiey que esta distribucin se puede expresar por funciones continuas de R3 en R, llamadas:

    V

    qr

    V

    lim

    0

    dV

    dqr

    1. Densidad volumtrica de carga:

    S

    qr

    S

    lim

    0

    dS

    dqr

    2. Densidad superficial de carga:

    l

    qr

    l

    lim

    0

    dl

    dqr

    3. Densidad lineal de carga:

    Sin embargo, debe tenerse cuidado al aplicar el concepto de distribucin continua de carga en problemas microscpicos,puesto que la carga est localizada en partculas muy pequeas (electrones y protones) entre cuales hay distanciasrelativamente grandes y desde este punto de vista no tiene sentido hablar de distribuciones continuas de carga. 2

  • La fuerza que una distribucin volumtrica de carga, , ejerce sobre una cargapuntual q puede obtenerse por superposicin de las fuerzas que todas las cargaspuntuales ejercen sobre la carga q.

    r Fd

    Vd

    rr

    rr

    qqdKFd e

    3

    V

    Vdrr

    rrr

    qF

    3

    04

    y por lo tanto,

    0

    q

    z

    y

    x

    Fd

    r

    r

    qd

    Fig. Principio de superposicin para la fuerzade una distribucin continua de carga

    1. INTERACCION ELECTRICA

    3

  • 1. INTERACCION ELECTRICA

    De manera anloga, la fuerza que una distribucin superficial de carga, , ejercesobre una carga puntual q puede obtenerse por superposicin de las fuerzas quetodas las cargas puntuales ejercen sobre la carga q.

    r Fd

    Sd

    0

    q

    z

    y

    x

    Fd

    r

    r

    qd

    Fig. Principio de superposicin para lafuerza de una distribucin continua de carga

    rr

    rr

    qqdKFd e

    3

    S

    Sdrr

    rrr

    qF

    3

    04

    y por lo tanto,

    4

  • 1. INTERACCION ELECTRICA

    Fig. Principio de superposicin para la fuerza elctrica deuna distribucin muy general de carga sobre la carga q

    Fd

    r

    qd

    0

    +q1

    +q

    z

    yx

    1r r

    1F

    -q2

    2r

    2F

    3

    13

    04 rr

    rrqd

    rr

    rrqqF

    n

    i i

    ii

    5

  • 2. CAMPO ELECTRICO

    6

    Fig. Principio de superposicin para el campo elctrico generadopor una distribucin muy general de carga en el punto P

    Ed

    r

    qd

    0

    +q1

    P

    z

    yx

    1r r

    1E

    -q2

    2r

    2E

    3

    13

    04

    1

    rr

    rrqd

    rr

    rrqrE

    n

    i i

    ii

  • 3. APLICACIONES

    7

    1. HILO DE LONGITUD INFINITA.- Calcular el campo elctrico, en un punto del espacio,producido por un filamento muy largo portador de una densidad lineal de carga uniforme .

    R

    O

    P

    XZ

    Y

  • 81. HILO:

    Ed

    cosdE

    dl

    Rul r

    R

    A

    O

    P

    Fig. Campo elctrico producido por un filamento cargado

    X

    Z

    Y

    La magnitud del campo elctrico, que produce la porcin dl del filamento enel punto P, es: (en direccin segn AP)

    2

    04

    1

    r

    dldE

    Por simetra del problema, la magnitud del campo elctrico total que producirel filamento en el punto P, ser: (en la direccin segn OP)

    Lr

    dldEE

    cos4

    cos2

    0

    De la figura:

    tansec RlRr

    dRdl 2secTenemos:

    2

    00

    cos2

    dR

    E

    RE

    02

    En forma vectorial:Ru

    RE

    02

    3. APLICACIONES

  • 3. APLICACIONES

    9

    2. HILO DE LONGITUD FINITA.- Calcular el campo elctrico, en un punto del ejeperpendicular a su centro (eje x), producido por una lnea de longitud finita y portadora deuna carga Q distribuida uniformemente con una densidad lineal .

    xO

    P

    X

    -L

    Y

    (r)

    +L

  • 10

    3. BARRA.- Una barra cargada de longitud L tiene una carga positiva por unidad delongitud y una carga total Q. Calcular el campo elctrico en un punto P del eje de labarra, a una distancia d de uno de los extremos.

    P

    d

    L

    3. APLICACIONES

  • 11

    El campo elctrico, E, que produce el segmento x de la barra en el puntoP esta en la direccin negativa del eje x y su magnitud es:

    2

    04

    1

    x

    qE

    ix

    dxE

    Ld

    d

    2

    04

    Anlisis: Si el punto P, est lejos de la barra (d >> L), tenemos:

    3. BARRA:

    El campo elctrico total, E, en el punto P debido a todos los segmentos de labarra, los cuales estn a distancias diferentes del P, se obtiene por laecuacin:

    iLdd

    ix

    E

    Ld

    d

    11

    4

    1

    4 00

    i

    Ldd

    QE

    04

    id

    QE

    2

    04Esta es la forma que se espera para una carga puntual; por lotanto, a distancias grandes de la barra, la distribucin de carga secomporta como una carga puntual de magnitud Q.

    P

    dL

    x xq=x

    Ex

    y

    Fig. Campo elctrico producido por una barra cargada

    3. APLICACIONES

  • 12

    4. VARILLA RECTA.- Una varilla delgada metlica de longitud L, lleva una carga por unidadde longitud constante. Calcular el campo y el potencial elctrico en un punto arbitrariosobre la perpendicular a la varilla a uno de sus extremos.

    3. APLICACIONES

    P

    L0

    X

    Y

  • 13

    5. ALAMBRE SEMICIRCULAR.- Un alambre uniforme cargado de 14 cm se dobla paraformar un semicrculo como el que se muestra. Si el slido tiene una carga total de -7.5 C;determine la magnitud y direccin del campo elctrico en O, el centro del semicrculo.

    3. APLICACIONES

    a

  • 14

    6. ANILLO.- Un anillo de radio a tiene una carga positiva uniforme por unidad delongitud, con una carga total Q. Calcular el campo elctrico, en un punto sobre el eje delanillo y a una distancia x de su centro.

    P

    0

    a

    3. APLICACIONES

  • 15

    6. ANILLO:

    rur

    qrE

    2

    04

    1

    xi

    i

    i

    xxP ur

    x

    r

    quEE

    i

    2

    04

    1cos

    00

    E

    El campo elctrico en un punto P creado por q, es:

    Este campo tiene una componente x dada por Ex = Ecos, a lolargo del eje del anillo, y una componente Ey perpendicular a dichoeje, donde las componentes en perpendiculares se cancelaranmutuamente por los elementos simtricos del cuerpo.

    En este caso todos los elementos simtricos del anillo tienen unamisma contribucin para el campo en el punto P, dado que todosequidistan de este punto. Por lo tanto, puede sumarse con facilidadsobre todos los segmentos con el fin de obtener el campo en elepunto P; as tenemos:

    xi

    ix

    i

    iP uqax

    xuq

    r

    xE

    2/3220

    3

    0 4

    1

    4

    1

    xx

    Q

    P uax

    xQudq

    ax

    xE

    2/322

    0

    2/3220 4

    1

    4

    1

    Anlisis: Cuando x=0, en el centro del anillo, el campo elctrico esnulo:

    Fig. a) Campo elctrico en P sobre el eje x debido a unelemento de carga q; b) El campo elctrico total en el puntoP esta a lo largo del eje x. Ntese que la componenteperpendicular del campo en el P debido al segmento 1 secancela con la componente perpendicular debida al segmento2, la cual es opuesta a la componente 1.

    3. APLICACIONES

  • 16

    7. DISCO.- Un disco circular de radio R tiene una densidad superficial de carga uniforme. Encontrar el campo elctrico, en un punto sobre el eje del disco y a una distancia zdel centro del disco.

    P

    z

    Z

    Y

    X

    0

    3. APLICACIONES

  • 1717

    7. DISCO:

    disco rr

    rradrrE

    3

    04

    1

    kzjizr

    00,0,0

    kjsenisenr

    0cos0,,cos

    teconsr tan

    ddad 200 R

    disco zsen

    ddzsenrE

    3

    0 ,,cos

    ,,cos

    4

    1

    kzR

    z

    z

    zzE

    2202

    ,0,0

    Anlisis: Cuando R es demasiado grande, ; el disco seconvierte en un plano infinito.

    nrEzE

    02,0,0

    R

    P

    z

    z

    y

    x

    R

    dq

    rr

    Ed

    Fig. Campo elctrico producido por un disco cargado

    3. APLICACIONES

  • 1818

    8. PLANO INFINITO.- Calcular el campo elctrico en un punto del espacio creado por unplano muy en el que existe una densidad de carga uniforme.

    x

    y

    z

    0

    = constante

    3. APLICACIONES

  • 1919

    8. PLANO INFINITO:

    304

    1

    rr

    rrsdrrEd

    COSEddEZ

    teconsr tan rr

    rCOS

    Se obtiene la ecuacin:

    krE

    02

    3. APLICACIONES

    La expresin diferencial del campo elctrico, en un punto P auna distancia d del plano es:

    Donde:

    Siendo el campo total en direccin del eje z, dado por laecuacin:

    S

    zrr

    srdrE

    3

    04

    1

    kdjidr

    00,0,0

    kjyixyxr

    00,, 2/1222 dyxrr kdjyixrr

    ydxddyx

    drEz 2/3222

    04

    Fig. Simetras en el clculo del campoelctrico creado por una plano infinito condensidad de carga homognea

  • 2020

    9. ESFERA.- Calcular el campo elctrico en un punto del espacio creado por una esfera deradio R cargada con una densidad volumtrica constante.

    3. APLICACIONES

    x

    y

    z

    0

    = constante

    R

  • 2121

    9. ESFERA:

    3. APLICACIONES

    Fig. Simetras en el clculo del campoelctrico creado por una esfera condensidad de carga homognea