Electrostatica - Distribucion Continua de Carga Electrica 2015-II.pdf

7/17/2019 Electrostatica - Distribucion Continua de Carga Electrica 2015-II.pdf

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M Sc NORBIL TEJADA CAMPOS

ELECTROSTATICA:Distribución Continua de Cargas Eléctricas

1

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA

FACULTAD DE INGENIERIA

ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA HIDRAULICA

CICLO ACADEMICO 2015-II



B. DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE CARGAS ELECTRICAS

Cuando un cuerpo macroscópico está cargado eléctricamente, puede suponerse que la cargaeléctrica se distribuye en forma continua a manera de una nube en su volumen y/o en su superficie

y que esta distribución se puede expresar por funciones continuas de R3 en R, llamadas:

V

qr

V

lim0

dV

dqr

1. Densidad volumétrica de carga:

ó

S

qr

S

lim0

dS

dqr

2. Densidad superficial de carga:

ó

l

qr

l

lim0

dl

dqr

3. Densidad lineal de carga:

ó

Sin embargo, debe tenerse cuidado al aplicar el concepto de distribución continua de carga en problemas microscópicos,puesto que la carga está localizada en partículas muy pequeñas (electrones y protones) entre cuales hay distancias

relativamente grandes y desde este punto de vista no tiene sentido hablar de distribuciones continuas de carga. 2



La fuerza que una distribución volumétrica de carga, , ejerce sobre una cargapuntual “q” puede obtenerse por superposición de las fuerzas que todas las cargaspuntuales ejercen sobre la carga “q”.

r

F d

V d

r r r r

qqd

K F d e

3

V

V d r r

r r r q F 3

04

y por lo tanto,

0

q

z

y

x

F d

r

r

qd

Fig. Principio de superposición para la fuerzade una distribución continua de carga

1. INTERACCION ELECTRICA

3




De manera análoga, la fuerza que una distribución superficial de carga, , ejercesobre una carga puntual “q” puede obtenerse por superposición de las fuerzas que

todas las cargas puntuales ejercen sobre la carga “q”.

r

F d

S d

0

q

z

y

x

F d

r

r

qd

Fig. Principio de superposición para lafuerza de una distribución continua de carga

r r

r r

qqd K F d

e

3

S

S d r r r r r q F

3

04

y por lo tanto,

4




Fig. Principio de superposición para la fuerza eléctrica deuna distribución muy general de carga sobre la carga “q”

F d

r

qd

0

+q1

+q

z

yx

1r

r

1 F

-q2

2r

2 F

3

1

3

04 r r

r r qd

r r

r r qq F

n

i i

ii

5



2. CAMPO ELECTRICO

6

Fig. Principio de superposición para el campo eléctrico generadopor una distribución muy general de carga en el punto “P”

E d

r

qd

0

+q1

P

z

yx

1r

r

1 E

-q2

2r

2 E

3

1

3

04

1

r r

r r qd

r r

r r qr E n

i i

ii



3. APLICACIONES

7

1. HILO DE LONGITUD INFINITA.- Calcular el campo eléctrico, en un punto del espacio,producido por un filamento muy largo portador de una densidad lineal de carga uniforme λ.

R

O

P

XZ

Y

λ



8

1. HILO:

E d

cosdE

dl

Ru

l r

R

A

O

P

Fig. Campo eléctrico producido por un filamento cargado

X

Z

Y

λ

La magnitud del campo eléctrico, que produce la porción “dl” del filamento enel punto P, es: (en dirección según AP)

2

04

1

r

dl dE

Por simetría del problema, la magnitud del campo eléctrico total que produciráel filamento en el punto P, será: (en la dirección según OP)

L r

dl dE E

cos

4cos

2

0

De la figura:

tansec Rl Rr

d Rdl 2sec

Tenemos:

2

00

cos2

d R

E

R E

02

En forma vectorial: R

u R

E

0

2

3. APLICACIONES



3. APLICACIONES

9

2. HILO DE LONGITUD FINITA.- Calcular el campo eléctrico, en un punto del ejeperpendicular a su centro (eje x), producido por una línea de longitud finita y portadora deuna carga Q distribuida uniformemente con una densidad lineal λ.

x

OP

X

-L

Y

λ(r)

+L



10

3. BARRA.- Una barra cargada de longitud “L” tiene una carga positiva por unidad de

longitud λ

y una carga total “Q”

. Calcular el campo eléctrico en un punto P del eje de labarra, a una distancia “d” de uno de los extremos.

P

d

λ

L

3. APLICACIONES



11

El campo eléctrico, ΔE, que produce el segmento “Δx” de la barra en el puntoP esta en la dirección negativa del eje x y su magnitud es:

2

04

1

x

q E

i x

dx

E

Ld

d

2

04

Análisis: Si el punto P, está lejos de la barra (d >> L), tenemos:

3. BARRA:

El campo eléctrico total, E, en el punto P debido a todos los segmentos de labarra, los cuales están a distancias diferentes del P, se obtiene por laecuación:

i Ld d

i x

E

Ld

d

11

4

1

400

i

Ld d

Q E

04

id

Q E

2

04

Esta es la forma que se espera para una carga puntual; por lotanto, a distancias grandes de la barra, la distribución de carga secomporta como una carga puntual de magnitud Q.

P

dL

x Δx Δq=λΔx

ΔE

x

y

Fig. Campo eléctrico producido por una barra cargada

3. APLICACIONES



12

4. VARILLA RECTA.- Una varilla delgada metálica de longitud L, lleva una carga por unidad

de longitud

constante. Calcular el campo y el potencial eléctrico en un punto arbitrariosobre la perpendicular a la varilla a uno de sus extremos.

3. APLICACIONES

P

λ

L0

X

Y



13

5. ALAMBRE SEMICIRCULAR.- Un alambre uniforme cargado de 14 cm se dobla paraformar un semicírculo como el que se muestra. Si el sólido tiene una carga total de -7.5 µC;determine la magnitud y dirección del campo eléctrico en O, el centro del semicírculo.

3. APLICACIONES

a



14

6. ANILLO.- Un anillo de radio “a” tiene una carga positiva uniforme por unidad delongitud, con una carga total Q. Calcular el campo eléctrico, en un punto sobre el eje delanillo y a una distancia “x” de su centro.

P

0

λ

a

3. APLICACIONES



15

6. ANILLO:

r ur qr E

2

04

1

x

i

i

i

x x P ur

x

r

qu E E

i

2

04

1cos

00

E

El campo eléctrico en un punto P creado por Δq, es:

Este campo tiene una componente x dada por ΔEx = ΔEcosθ, a lolargo del eje del anillo, y una componente ΔEy perpendicular a dichoeje, donde las componentes en perpendiculares se cancelaranmutuamente por los elementos simétricos del cuerpo.’

En este caso todos los elementos simétricos del anillo tienen unamisma contribución para el campo en el punto P, dado que todosequidistan de este punto. Por lo tanto, puede sumarse con facilidadsobre todos los segmentos con el fin de obtener el campo en elepunto P; así tenemos:

x

i

i x

i

i P uq

a x

xuq

r

x E

2/322

0

3

0 4

1

4

1

x x

Q

P ua x

xQudq

a x

x E

2/3220

2/3220

4

1

4

1

Análisis: Cuando x=0, en el centro del anillo, el campo eléctrico esnulo:

Fig. a) Campo eléctrico en P sobre el eje x debido a unelemento de carga Δq; b) El campo eléctrico total en el puntoP esta a lo largo del eje x. Nótese que la componenteperpendicular del campo en el P debido al segmento 1 secancela con la componente perpendicular debida al segmento2, la cual es opuesta a la componente 1.

3. APLICACIONES



16

7. DISCO.- Un disco circular de radio R tiene una densidad superficial de carga uniforme

σ. Encontrar el campo eléctrico, en un punto sobre el eje del disco y a una distancia “z”del centro del disco.

P

z

Z

Y

X0

σ

3. APLICACIONES



1717

7. DISCO:

disco r r

r r ad r r E

3

0

4

1

k z ji z r

00,0,0

k j seni senr

0cos0,,cos

teconsr tan

d d ad 200 R

disco z sen

d d z senr E

3

0 ,,cos

,,cos

4

1

k z R

z

z

z z E

220

2,0,0

Análisis: Cuando R es demasiado grande, ; el disco seconvierte en un plano infinito.

nr E z E

02

,0,0

R

P

z

z

y

x

σR

dq

’

φ ρ

r r

E d

Fig. Campo eléctrico producido por un discocargado

3. APLICACIONES



1818

8. PLANO INFINITO.- Calcular el campo eléctrico en un punto del espacio creado por unplano muy en el que existe una densidad de carga uniforme.

x

y

z

0

σ= constante

3. APLICACIONES



1919

8. PLANO INFINITO:

30

4

1

r r

r r sd r r E d

COS E d dE Z

teconsr tan

r r

r COS

Se obtiene la ecuación:

k r E

02

3. APLICACIONES

La expresión diferencial del campo eléctrico, en un punto P auna distancia “d” del plano es:

Donde:

Siendo el campo total en dirección del eje “z”, dado por laecuación:

S

z

r r

srd r E

3

04

1

k d jid r

00,0,0

k j yi x y xr

00,, 2/1222 d y xr r

k d j yi xr r

yd xd d y x

d r E z 2/3222

04

Fig. Simetrías en el cálculo del campo

eléctrico creado por una ¨plano infinito condensidad de carga homogénea



2020

9. ESFERA.- Calcular el campo eléctrico en un punto del espacio creado por una esfera deradio R cargada con una densidad volumétrica constante.

3. APLICACIONES

x

y

z

0

ρ= constante

R



2121

9. ESFERA:

3. APLICACIONES

Fig. Simetrías en el cálculo del campoeléctrico creado por una esfera condensidad de carga homogénea

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