ELECTROTECNIA CIRCUITOS ELECTRICOS

EDITORIALUNIVERSITAT POLITCNICA DE VALNCIA

Elect

rote

cnia

. Circ

uito

s el

ctric

os

En este libro se ha destilado la parte sin la cual el resto de la Electrotecnia no existira: todos los conceptos fundamentales. El objetivo bsico es comprender la relacin que existe entre los elementos reales y su representacin mediante circuitos elctricos. Estos modelos, mucho ms sencillos que la realidad pero sucientemente exactos, nos permitirn analizar sistemas complejos, disear mquinas, etc.

ElectrotecniaCircuitos elctricosSaturnino Cataln Izquierdo

ElectrotecniaCircuitos elctricosSaturnino Cataln Izquierdo

ISBN 978-84-9048-117-2

Los contenidos de esta publicacin han sido revisados por el Departamento de Ingeniera elctrica de la UPV Coleccin Acadmica Para referenciar esta publicacin utilice la siguiente cita: CATALN IZQUIERDO, SATURNINO (2013) Electrotecnia: circuitos elctricos. Valencia: Universitat Politcnica Primera edicin, 2013 (versin impresa) Primera edicin, 2013 (versin electrnica) Saturnino Cataln Izquierdo

de la presente edicin: Editorial Universitat Politcnica de Valncia Distribucin: Telf. 963 877 012 / http://www.lalibreria.upv.es / Ref.: 6145-1-1-1 ISBN: 978-84-9048-117-2 (versin impresa) ISBN: 978-84-9048-139-4 (versin electrnica) Queda prohibida la reproduccin, la distribucin, la comercializacin, la transformacin y, en general, cualquier otra forma de explotacin, por cualquier procedimiento, de la totalidad o de cualquier parte de esta obra sin autorizacin expresa y por escrito de los autores.

Los contenidos de esta publicacin han sido revisados por el Departamento .. de la UPV

Coleccin Acadmica

Para referenciar esta publicacin utilice la siguiente cita: CATALN IZQUIERDO, SATURNINO (2013) Electrotecnia: circuitos elctricos. Valencia: Universitat Politcnica

Primera edicin, 2013

Saturnino Cataln Izquierdo

de la presente edicin: Editorial Universitat Politcnica de Valncia Distribucin: Telf. 963 877 012/ http://www.lalibreria.upv.es / Ref.: 223

Imprime: Byprint percom, sl

ISBN: 978-84-9048-117-2 Impreso bajo demanda

Queda prohibida la reproduccin, la distribucin, la comercializacin, la transformacin y, en general, cualquier otra forma de explotacin, por cualquier procedimiento, de la totalidad o de cualquier parte de esta obra sin autorizacin expresa y por escrito de los autores.

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prlogolectrotecnia es la denominacin clsica del estudio de lasaplicaciones tcnicas de la electricidad. El hbito hace que nolo percibamos, pero sin el conocimiento y dominio de la

electricidad no hubiera sido posible el intenso desarrollo que nuestraSociedad ha experimentado en el ltimo siglo. Resulta difcil encontrar cualquier actividad que no dependa de la energa elctrica o que noutilice la electricidad para transmitir informacin.

Y a pesar de su juventud la Electrotecnia es, desde hace tiempo, unaciencia madura. A ello han contribuido la inteligencia y el esfuerzohumano acumulado en estos pocos aos, pero no hubiera sido posible sinla simplicidad que muestran las leyes fsicas que gobiernan el campoelectromagntico como uno de los fundamentos de nuestro Universo.

En los inicios de cualquier ciencia su estudio solo puede realizarsesiguiendo, uno a uno, los pasos que se demuestran acertados de los quenos precediron, pero, conforme el conocimiento avanza, dcada a dcadao siglo a siglo, este procedimiento resulta inviable: No podemos repetirlo que hicieron todos nuestros antecesores.

Pero una ciencia madura puede estudiarse con ms comodidad: Todos los conceptos han sido razonablemente explicados previamente,se han encontrado los mejores caminos para conocerla y, adems, se handesarrollado un gran nmero de aplicaciones.

Tan peligroso resulta intentar superar el enfoque historicista dela primera poca centrndose en desarrollar aplicaciones actuales sinentender cmo funcionan realmente, porque se han olvidado losfundamentos bsicos, como mantener el estudio de procedimientos ymtodos que han quedado obsoletos.

En este texto hemos destilado la parte sin la cual el resto de laElectrotecnia no existira: todos los conceptos fundamentales. El objetivobsico es comprender la relacin que existe entre los elementos reales ysu representacin mediante circuitos elctricos. Estos modelos, muchoms sencillos que la realidad pero suficientemente exactos, nos permiti-rn analizar sistemas complejos, disear mquinas, ...Y sin granesfuerzo, gracias a las herramientas de clculo actuales.

S.CatalnAgosto 2013

E

v

ndiceEn la parte inicial de cada captulo se exponen los conceptos tericos. Enuna primera aproximacin puede ser suficiente el estudio de esta parte,sin embargo, es necesario realizar los ejemplos cortos que se incluyen encada captulo para garantizar que realmente se han entendido todos losconceptos. La conexin con los elementos reales slo puede lograrserealizando ensayos como los que se proponen en cada captulo. Final-mente, un nivel mucho ms profundo de comprensin se logra realizandolos problemas. Los conceptos abordados en cada captulo se construyensobre los precedentes: es importante avanzar de forma secuencial.

prlogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viibibliografa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi

1. CONCEPTOS BSICOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.- Fundamentos fsicos: Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . 32.- Leyes de Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.- Elementos pasivos ideales R, L, C. Ecuaciones de

definicin. Impedancia y admitancia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64.- Elementos activos ideales. Fuentes de potencia . . . . . . . . . . . 85.- Potencia y energa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86.- Nomenclatura. Convenios de signos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Ejemplos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Ensayos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Ideas bsicas sobre riesgos elctricos y seguridad . . . . . . . . 17

2. MEDIDA DE MAGNITUDES ELCTRICAS . . . . . . . . . . . . . . 191.- Valor instantneo, medio y eficaz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.- Errores de medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.- Medida de tensiones, intensidades y resistencias . . . . . . . . . 22Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Ensayos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.1.- Medida de resistencia elctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.2.- Medida de tensiones, corrientes y potencias . . . . . . . . . 27

vii

3. RESOLUCIN DE CIRCUITOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.- Topologa de circuitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.- Ecuaciones independientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.- Resolucin por mallas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.- Resolucin por nudos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345.- Solucin general de circuitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5.1.- Rgimen permanente con fuentes constantes . . . . . . . 375.2.- Rgimen estacionario con fuentes sinusoidales . . . . . 375.3.- Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385.4.- Rgimen transitorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46Ensayos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.1.- Circuitos con fuentes constantes en rgimen permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.2.- Transitorio y permanente en un circuito RC seriealimentado por una fuente constante . . . . . . . . . . . . 59

3.3.- Transitorio y permanente en un circuito RL serie alimentado por una fuente constante . . . . . . . . . . . . 60

3.4.- Transitorio y permanente en un circuito RC serie alimentado por una fuente sinusoidal . . . . . . . . . . . 61

3.5.- Transitorio y permanente en un circuito RL serie alimentado por una fuente sinusoidal . . . . . . . . . . . 63

4. TEOREMAS BSICOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 651.- Circuitos equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.- Linealidad y Superposicin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.- Principio de Sustitucin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.- Equivalente de Thvenin. Equivalente de Norton . . . . . . . . 71Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78Ensayos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.1.- Teorema de superposicin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804.2.- Circuitos equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5. RGIMEN ESTACIONARIO SINUSOIDAL . . . . . . . . . . . . . . 811.- Ventajas de la corriente alterna frente a la

corriente continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83viii

Electrotecnia: circuitos elctricos

3. RESOLUCIN DE CIRCUITOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.- Topologa de circuitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.- Ecuaciones independientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.- Resolucin por mallas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.- Resolucin por nudos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345.- Solucin general de circuitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5.1.- Rgimen permanente con fuentes constantes . . . . . . . 375.2.- Rgimen estacionario con fuentes sinusoidales . . . . . 375.3.- Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385.4.- Rgimen transitorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46Ensayos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.1.- Circuitos con fuentes constantes en rgimen permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.2.- Transitorio y permanente en un circuito RC seriealimentado por una fuente constante . . . . . . . . . . . . 59

3.3.- Transitorio y permanente en un circuito RL serie alimentado por una fuente constante . . . . . . . . . . . . 60

3.4.- Transitorio y permanente en un circuito RC serie alimentado por una fuente sinusoidal . . . . . . . . . . . 61

3.5.- Transitorio y permanente en un circuito RL serie alimentado por una fuente sinusoidal . . . . . . . . . . . 63

4. TEOREMAS BSICOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 651.- Circuitos equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.- Linealidad y Superposicin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.- Principio de Sustitucin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.- Equivalente de Thvenin. Equivalente de Norton . . . . . . . . 71Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78Ensayos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.1.- Teorema de superposicin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804.2.- Circuitos equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5. RGIMEN ESTACIONARIO SINUSOIDAL . . . . . . . . . . . . . . 811.- Ventajas de la corriente alterna frente a la

corriente continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.- Representacin grfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884.- Expresin general de la potencia instantnea p(t)

y la energa instantnea w(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915.- Potencia consumida. Potencia generada [P, Q , S] . . . . . . . . 956.- Factor de potencia. Energa activa y reactiva . . . . . . . . . . . . 997.- Teorema de Boucherot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 998.- Circuitos en rgimen estacionario no-sinusoidal . . . . . . . . . 10Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1Ensayos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

5.1.- Comportamiento de los elementos pasivos RLC lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

5.2.- Anlisis fasorial de circuitos en serie . . . . . . . . . . . . . 15.3.- Anlisis fasorial de circuitos en paralelo . . . . . . . . . . 15.4.- Circuitos equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

6. SISTEMAS TRIFSICOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.- Generacin de un sistema trifsico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.- Ventajas frente a los monofsicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.- Equivalentes estrella tringulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.- Anlisis: Estudio de una fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.- Potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.- Desequilibrio en la fuente y desequilibrio en la carga . . . . 17.- Resolucin de circuitos desequilibrados mediante

procedimientos generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1478.- Armnicos en sistemas trifsicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1489.- Limitaciones de los procedimientos generales . . . . . . . . . . 150Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162Ensayos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

6.1.- Conexin en estrella y conexin en tringulo de cargas equilibradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

6.2.- Mejora del factor de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1676.3.- Conexin en estrella de cargas desequilibradas . . . . . 1686.4.- Conexin en tringulo de cargas desequilibradas . . . . 1686.5.- Cargas trifsicas no-lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

2.- Particularizacin del anlisis de circuitos . . . . . . . . . . . . . . 84

11

ix

ndice

ANEXOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1713A.- Procesos fsicos que conducen a ecuaciones anlogas . . 173

Procesos trmicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173Procesos mecnicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

3.B.- Resumen de procedimientos de clculo . . . . . . . . . . . . . 178Mtodo clsico del Operador D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178Mtodo de la Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . 179

x


ANEXOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1713A.- Procesos fsicos que conducen a ecuaciones anlogas . . 173

Procesos trmicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173Procesos mecnicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

3.B.- Resumen de procedimientos de clculo . . . . . . . . . . . . . 178Mtodo clsico del Operador D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178Mtodo de la Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . 179

bibliografaResulta imposible, en un texto sobre aspectos fundamentales como esste, mencionar las fuentes de conocimiento que se han utilizado.Muchos conocimientos forman parte ya del acervo cuyo origen es difcilrastrear. Otros no han pasado del estado de notas manuscritas, como lasautnticas obras de arte que fueron las clases magistrales impartidas porel Prof. Jess Marn Montesinos. Para los interesados en indagar en laevolucin de la Electrotecnia resultar muy interesante:

A history of the theories of aether and electricity. E.T.Wittaker. 1910. Dublin university press series.

Para quienes deseen conocer los antecedentes ms inmediatos:

Tratado de electrotecnia. I.- Bases cientficas de la electrotecnia.Gnther Oberdorfer. 1956. Editorial Labor.

Fundamentos de la electrotecnia. I y II. La escuela del tcnicoelectricista. Alfred Holzt, H. von Beeren y H.Teuchert. Conocemos la ed. de 1961 de la Editorial Labor que nos regalnuestro maestro, el Prof. Francisco Romualdo Pascual.

Y para profundizar en los contenidos con un enfoque actual:

Teora de Circuitos. Enrique Ras Oliva. 1977. Marcombo.

Anlisis de Fourier y clculo operacional aplicados a la electrotec-nia. Enrique Ras Oliva. 1979. Marcombo.

xi

1CONCEPTOS

BSICOS

1.-Fundamentos fsicos: Ecuaciones de Maxwell2.-Ecuaciones de Kirchhoff

3.-Elementos pasivos ideales R, L, CEcuaciones de definicin. Impedancia y admitancia

4.-Elementos activos ideales. Fuentes de potencia: de tensin y de corriente

5.-Potencia y energa6.-Nomenclatura. Convenios de signos

Conceptos bsicos

1.- Fundamentos fsicos: Ecuaciones de Maxwell

La electrotecnia es, bsicamente, la aplicacin tecnolgica de losprincipios fsicos del electromagnetismo. En las ecuaciones de Maxwellreside el fundamento fsico de la electrotecnia yla importancia de estas ecuaciones reside en queforman un sistema que define completamente elcampo electromagntico en cualquier lugar delespacio.

Con los convenios de signos habitualesestas ecuaciones son:

Saturnino Cataln Izquierdo. UPV -2-

3

Circuitos elctricos

En Electrotecnia interesa una simplificacin que sea vlida parafrecuencias pequeas (hasta algunos kHz), as la cuarta ecuacin seconvierte, porque el segundo sumando es insignificante frente al primero,en la Ley de Ampere .

Adems, la resolucin de este sistema de ecuaciones (para todoinstante y en todo el espacio) no resulta en general factible. Es precisauna simplificacin que concentre las propiedades de todo el espacio enunos cuantos elementos discretos. A las ecuaciones simplificadasresultantes se denomina leyes de Kirchhoff y a los elementos discretosideales obtenidos: Resistencia, Bobina, Condensador y Fuente dePotencia.

2.- Leyes de Kirchhoff

Primera Ley: Si se aplica la ley de Ampere-Maxwell a unasuperficie (S) en forma de globo cuya abertura (L) tiende a un punto seobtiene:

Porque el primer trmino es la circulacin en un punto y el segundosumando se ha sustituido por su valor con arreglo a la ley de Gauss delCampo Elctrico. Como el primer sumando es la corriente que atraviesala superficie cerrada (S) y el segundo la variacin de la carga almacenadaen su interior, esta ecuacin demuestra el principio de conservacin dela carga elctrica.

Si la carga interior vara lentamente con el tiempo (como ocurre enla aplicaciones electrotcnicas) puede escribirse: Corriente que Atraviesauna Superficie Cerrada = 0, , separando entre corrientes entrantes ysalientes por la superficie:



4

Circuitos elctricos

En Electrotecnia interesa una simplificacin que sea vlida parafrecuencias pequeas (hasta algunos kHz), as la cuarta ecuacin seconvierte, porque el segundo sumando es insignificante frente al primero,en la Ley de Ampere .

Adems, la resolucin de este sistema de ecuaciones (para todoinstante y en todo el espacio) no resulta en general factible. Es precisauna simplificacin que concentre las propiedades de todo el espacio enunos cuantos elementos discretos. A las ecuaciones simplificadasresultantes se denomina leyes de Kirchhoff y a los elementos discretosideales obtenidos: Resistencia, Bobina, Condensador y Fuente dePotencia.

2.- Leyes de Kirchhoff

Primera Ley: Si se aplica la ley de Ampere-Maxwell a unasuperficie (S) en forma de globo cuya abertura (L) tiende a un punto seobtiene:

Porque el primer trmino es la circulacin en un punto y el segundosumando se ha sustituido por su valor con arreglo a la ley de Gauss delCampo Elctrico. Como el primer sumando es la corriente que atraviesala superficie cerrada (S) y el segundo la variacin de la carga almacenadaen su interior, esta ecuacin demuestra el principio de conservacin dela carga elctrica.

Si la carga interior vara lentamente con el tiempo (como ocurre enla aplicaciones electrotcnicas) puede escribirse: Corriente que Atraviesauna Superficie Cerrada = 0, , separando entre corrientes entrantes ysalientes por la superficie:


Conceptos bsicos

Segunda Ley: El campo elctrico electrosttico es conservativo y,en consecuencia, a cada punto del espacio se puede asignar un potencialelctrico, con lo que:

A esto se denomina diferencia de potencial o, simplemente, tensin. Sin embargo, la ley de Faraday-Henry indica que el campoelctrico puede ser no-conservativo.

En aplicaciones electrotcnicas puede distinguirse fcilmente entrezonas en las que slo existe el campo conservativo y zonas en las quecoexiste el campo conservativo con el no-conservativo. Las zonas en lasque el campo elctrico es nulo, porque su campo conservativo y sucampo no-conservativo son iguales y de sentido contrario, se denominanfuentes ideales. As, separando cualquier trayectoria cerrada en lossegmentos apropiados siempre es posible escribir:

En los tramos que hemos denominado fuentes ideales la integralvale cero porque E =0 ( ) ,en los dems tramos elcampo es conservativo y la integral puede sustituirse por su tensin:

Desde otro punto de vista, la integral de cada tramo puede separarseen su componente conservativa y su componente no-conservativa:

El primer parntesis se anula (es la circulacin de un campoconservativo), pero para los tramos que hemos denominado fuentes el


Captulo 1. Conceptos bsicos

5

Circuitos elctricos

campo elctrico Eno-conservativo 0. La integral del campo elctrico noconservativo se denomina fuerza electromotriz (f.e.m.):

Con lo que un enunciado habitual de la Segunda Ley de Kirchhoff es:

3.- Elementos pasivos ideales R, L, C. Ecuaciones de definicin.Impedancia y admitancia

Elementoideal

Elementoreal repre-sentativo

Ecuacinde defini-

cinRepresenta: Smbolo

R:Resistencia

Conducto-res

conversin deenerga electromag-ntica en otra forma

de energa

i(t)

u(t)

C:Capacidad

Condensa-dores

almacenamiento elctrico

u(t)

i(t)

L:Inductancia

Bobinas

almacenamiento magntico

u(t)

i(t)



6

Circuitos elctricos

campo elctrico Eno-conservativo 0. La integral del campo elctrico noconservativo se denomina fuerza electromotriz (f.e.m.):

Con lo que un enunciado habitual de la Segunda Ley de Kirchhoff es:

3.- Elementos pasivos ideales R, L, C. Ecuaciones de definicin.Impedancia y admitancia

Elementoideal

Elementoreal repre-sentativo

Ecuacinde defini-

cinRepresenta: Smbolo

R:Resistencia

Conducto-res

conversin deenerga electromag-ntica en otra forma

de energa

i(t)

u(t)

C:Capacidad

Condensa-dores

almacenamiento elctrico

u(t)

i(t)

L:Inductancia

Bobinas

almacenamiento magntico

u(t)

i(t)


Conceptos bsicos

Los elementos pasivos se definen por su tensin, en consecuencia,se sitan en el lado derecho de la 2 Ley de Kirchhoff. El punto departida de estos elementos ideales es sencilla:

R : En el interior de los conductores la densidad de cargas libres esmuy alta por lo que la corriente elctrica es proporcional a latensin aplicada

C : La primera ecuacin de Maxwell muestra que el campoelctrico crece proporcionalmente a la carga, como adems latensin es proporcional al campo elctrico, parece convenientedefinir una magnitud denominada capacidad elctrica que

refleje esta relacin: . Y, como la carga por unidad de

tiempo es la corriente, si la capacidad no vara:

L : Tal como indica la Ley de Ampere, el flujo magntico de unelemento es proporcional a la corriente . Adems,conforme a la tercera Ley de Maxwell, la fuerza electromotriz

es Para representar este elemento como una

tensin debe trasladarse este valor al lado derecho de la 2 Ley

de Kirchhoff cambiando de signo, esto es:

Pero no debe olvidarse que, una vez definidos estos elementosideales, en cualquier circunstancia en que se produzca:

la conversin de energa electromagntica en cualquier otraforma de energa la podremos representar mediante una R

el almacenamiento de energa electromagntica en forma decampo magntico lo representaremos mediante una L.

el almacenamiento de energa electromagntica en forma decampo elctrico lo representaremos mediante una C.



7

Circuitos elctricos

i(t)

e(t)

4.- Elementos activos ideales. Fuentes de potencia: de tensin y decorriente

Representan la conversin de cualquier forma de energa en energaelectromagntica. Se corresponden con las fuentes ideales definidas alobtener la Segunda Ley de Kirchhoff. Las fuentes ms simples quepueden definirse son:

DenominacinEcuacin de defini-

cinSmbolo

Fuente de tensinconstante

e = constante, ie = e(t), i

Fuente de corrienteconstante

i = constante, ei = i(t), e

5.- Potencia y energa

Los elementos pasivos almacenan energa en forma de campoelctrico (C) o magntico (L), o la convierten en otra forma de energa(R), en consecuencia absorben energa del sistema elctrico. Las fuentesconvierten en energa elctrica otras formas de energa, en consecuenciaaportan energa al sistema elctrico.

Elementos pasivos: R, L, C pconsumida = u i

Fuentes: pgenerada = e i

i(t)

e(t)



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Circuitos elctricos

i(t)

e(t)

4.- Elementos activos ideales. Fuentes de potencia: de tensin y decorriente

Representan la conversin de cualquier forma de energa en energaelectromagntica. Se corresponden con las fuentes ideales definidas alobtener la Segunda Ley de Kirchhoff. Las fuentes ms simples quepueden definirse son:

DenominacinEcuacin de defini-

cinSmbolo

Fuente de tensinconstante

e = constante, ie = e(t), i

Fuente de corrienteconstante

i = constante, ei = i(t), e

5.- Potencia y energa

Los elementos pasivos almacenan energa en forma de campoelctrico (C) o magntico (L), o la convierten en otra forma de energa(R), en consecuencia absorben energa del sistema elctrico. Las fuentesconvierten en energa elctrica otras formas de energa, en consecuenciaaportan energa al sistema elctrico.

Elementos pasivos: R, L, C pconsumida = u i

Fuentes: pgenerada = e i

i(t)

e(t)


Conceptos bsicos

Puede observarse que se satisface el principio de conservacin dela energa, por ejemplo, en un simple circuito con fuentes y elementospasivos en serie: , multiplicando ambos miembros por lacorriente del circuito:

Obviamente, cuando en un ele-mento pasivo se obtenga pconsumida < 0significar que est generando (apor-tando potencia elctrica al circuito) ycuando en una fuente se obtenga pgenerada< 0 significar que est consumiendo(convirtiendo energa elctrica en otraforma de energa).

La energa que absorben del cir-cuito los elementos pasivos se puedeobtener integrando la potencia. Esto essencillo sustituyendo la tensin o lacorriente por la ecuacin de definicindel elemento.

6.- Nomenclatura. Convenios de signos

Las Leyes de Kirchhoff se pueden enunciar de formas distintaspero equivalentes (vease, por ejemplo, CEI 60375). El conve-nio que utilizamos permite una interpretacin intuitiva delcomportamiento de cada elemento. Lo mismo ocurre con lossentidos de las flechas.

Es importante mantener los sentidos de tensiones, fuerzaselectromotrices y corrientes que hemos definido para cadaelemento pasivo y activo: de esta forma las ecuaciones dedefinicin permanecen y las potencias se determinan tal comose ha indicado.

Energa (J)

R

L

C



9

Circuitos elctricos

Las magnitudes temporales se indicaran normalmente enminsculas: e e(t), i i(t), pp(t)

Las magnitudes invariable con el tiempo se indicaran normal-mente en maysculas: E , I , P

A la relacin (u,i) que expresa la ecuacin de definicin de unelemento pasivo se denomina:

u = Z i Z impedancia ()

i = Y u Y admitancia (-1)



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Circuitos elctricos

Las magnitudes temporales se indicaran normalmente enminsculas: e e(t), i i(t), pp(t)

Las magnitudes invariable con el tiempo se indicaran normal-mente en maysculas: E , I , P

A la relacin (u,i) que expresa la ecuacin de definicin de unelemento pasivo se denomina:

u = Z i Z impedancia ()

i = Y u Y admitancia (-1)


Conceptos bsicos

R1

e1+

i R2

e2

Ejemplos:

1.1.1-Dada una carga elctrica puntual de 1 C en el vaco, determinar:a) El campo elctrico que produce a 1 mb) La energa almacenada por unidad de volumen en ese punto

Solucin: a) 9109 V/m b) 3,6108 J/m3

1.1.2.-Una corriente de 1 A circula por un conductor rectilneo suficientemente largosituado en el vaco. En sus inmediaciones no existen campos elctricos variables conel tiempo. Determinar:

a) El campo magntico que produce a 1 mb) La energa almacenada por unidad de volumen en ese punto

Solucin: a) 210-7 T b) 1,6 10-8 J/m3

1.2.1.-Un circuito elctrico est formado por una fuente de fuerza electromotriz: e= 2Vy una resistencia: ri= 0,02 conectadas en serie, determinar:

a) Tensin y corriente en todos los elementosb) Potencia generada en las fuentes y consumida en las cargasc) Energa generada en las fuentes y consumida en las cargas en 3 horas.

Solucin: a) uri= e= 2 V, iri= ie= 100 A b) Pcons, ri= 200 W, Pgen, e= 200 Wc) Energa consumida, ri = Energa generada, e = 600 W h = 2,16 MJ

1.2.2.-Para el circuito de la figura, deter-minar:

a) Tensin y corriente en todoslos elementos

b) Potencia generada en lasfuentes y consumida en lascargas

Solucin: a) UR1= 10 V, UR2= 40 V, IR1= IR2=Ie1= - Ie2= 1 Ab) Pcons, R1= 10 W, Pcons, R2= 40 W, Pgen, e1=70 W, Pgen, e2= -20 W

1.2.3.-Para el circuito de la figura, determinar:a) Tensin y corriente en todos los elementosb) Potencia generada en las fuentes y consumi-

da en las cargasSolucin: a) IR1= 7,5 A, IR2= 2,5 A,

UR1= UR2= EI1= - EI2= 500 V b) Pcons, R1= 3750 W, Pcons, R2= 1250 W,

Pgen, I1= 7500 W, Pgen, I2= -2500 W

I1 I2R1 R2

e1= 70 V R1= 10

e2= 20 V R2= 40

I1= 15 A R1= 200/3

I2= 5 A R2= 200



11

Circuitos elctricos

Problemas:

1.1.3.-Un campo magntico vara linealmente conforme a B(t)= kt (con k=1 T/s),determinar:

a) Flujo magntico que atraviesa una superficie de 1 m2 cuyo sentido esparalelo al del campo.

b) Fuerza electromotriz en una espira de 1 m2 orientada en sentido coincidentecon el flujo.

Solucin: a) (T) = t(s) b) -1 V

1.1.4.- Un conductor en el vaco es recorrido por una corriente i(t)= kt (con k=1 A/s).Alrededor del conductor existe un campo elctrico en el mismo sentido que la corrientede valor E(t)= mt (con m=1 {V/m}/s).Determinar la circulacin del campo magnticopara una trayectoria que incluya al conductor y defina una superficie de 1 m2 orientadaen sentido coincidente con la corriente.Solucin: 0[t + 8,8510

-12] (Tm)

1.1.5.-Para una bobina toroidal de R= 10 cm, r= 1 cm, formada por N1= 100 espirassituada en el aire. Determinar:Cuando la corriente I= 1 A.

a) Induccin y flujo magntico dentro y fuera del toroide.b) Energa magntica almacenada en el toroide.

Si la corriente es i(t)= cos (100 t)c) Flujo y fuerza electromotriz (orientada en sentido coincidente con el del

flujo)d) Coeficiente de autoinduccin L1. Depende del valor de la corriente?e) Si se bobina otro devanado de N2= 1000 espiras sobre el que ya existe, cual

es la fuerza electromotriz en este devanado?Solucin: a) Binterior= 200 T, interior= 6,2810

-8 Wb, en el exterior son cerob) 1,5610-2 J/m3, en todo el toroide 3,1 Jc) (t)= 6,2810-8 cos (100 t) Wb, e1 espira= 1,9810

-5 sen (100 t) V, lafuerza electromotriz en todo el devanado es e1= 1,9810

-3 sen (100 t) Vd) L1= 6,2810

-6 H, no depende de la corrientee) e2= 1,9810

-2 sen (100 t) V

1.1.6.- Resolver el problema anterior cuando el toroide est realizado en materialferromagntico de permeabilidad relativa r= 10

4.Solucin: a) Binterior= 2 T, interior= 6,2810

-4 Wb, en el exterior son cerob) 159,15 J/m3, en todo el toroide 31 mJc) (t)= 6,2810-4 cos (100 t) Wb, e1= 19,8 sen (100 t) Vd) L1= 6,2810

-2 H, no depende de la corrientee) e2= 198 sen (100 t) V



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Circuitos elctricos

Problemas:

1.1.3.-Un campo magntico vara linealmente conforme a B(t)= kt (con k=1 T/s),determinar:

a) Flujo magntico que atraviesa una superficie de 1 m2 cuyo sentido esparalelo al del campo.

b) Fuerza electromotriz en una espira de 1 m2 orientada en sentido coincidentecon el flujo.

Solucin: a) (T) = t(s) b) -1 V

1.1.4.- Un conductor en el vaco es recorrido por una corriente i(t)= kt (con k=1 A/s).Alrededor del conductor existe un campo elctrico en el mismo sentido que la corrientede valor E(t)= mt (con m=1 {V/m}/s).Determinar la circulacin del campo magnticopara una trayectoria que incluya al conductor y defina una superficie de 1 m2 orientadaen sentido coincidente con la corriente.Solucin: 0[t + 8,8510

-12] (Tm)

1.1.5.-Para una bobina toroidal de R= 10 cm, r= 1 cm, formada por N1= 100 espirassituada en el aire. Determinar:Cuando la corriente I= 1 A.

a) Induccin y flujo magntico dentro y fuera del toroide.b) Energa magntica almacenada en el toroide.

Si la corriente es i(t)= cos (100 t)c) Flujo y fuerza electromotriz (orientada en sentido coincidente con el del

flujo)d) Coeficiente de autoinduccin L1. Depende del valor de la corriente?e) Si se bobina otro devanado de N2= 1000 espiras sobre el que ya existe, cual

es la fuerza electromotriz en este devanado?Solucin: a) Binterior= 200 T, interior= 6,2810

-8 Wb, en el exterior son cerob) 1,5610-2 J/m3, en todo el toroide 3,1 Jc) (t)= 6,2810-8 cos (100 t) Wb, e1 espira= 1,9810

-5 sen (100 t) V, lafuerza electromotriz en todo el devanado es e1= 1,9810

-3 sen (100 t) Vd) L1= 6,2810

-6 H, no depende de la corrientee) e2= 1,9810

-2 sen (100 t) V

1.1.6.- Resolver el problema anterior cuando el toroide est realizado en materialferromagntico de permeabilidad relativa r= 10

4.Solucin: a) Binterior= 2 T, interior= 6,2810

-4 Wb, en el exterior son cerob) 159,15 J/m3, en todo el toroide 31 mJc) (t)= 6,2810-4 cos (100 t) Wb, e1= 19,8 sen (100 t) Vd) L1= 6,2810

-2 H, no depende de la corrientee) e2= 198 sen (100 t) V


Conceptos bsicos

1.1.7.- Entre dos placas planas paralelas de S=1 m2 y separadas d= 0,1 mm en aire seaplica una U=100V. Considerando despreciables los efectos de borde, determinar:

a) Campo elctrico que existe entre las placasb) Energa elctrica almacenadac) Carga elctrica en cada placa

Si la tensin entre placas comienza a oscilar conforme a u(t)= 100cos(100 t)d) Corriente que circulae) Capacidad

Solucin: a) 106 V/m b) 4,43 J/m3, en total 4,4310-4 Jc) 8,8510-6 Cd) -2,7810-3sen(100 t) que realmente slo circula por los elementosconductores pero, como es igual al sumando debido a la variacin del flujode campo elctrico en el aire aislante entre placas, se dice habitualmente quecircula entre placas en el sentido de la tensin. e) 88,5 nF

1.1.8.- Resolver el problema anterior cuando el aislante entre placas tiene una constantedielctrica relativa r= 10.Solucin: a) 106 V/m b) 44,25 J/m3, en total 4,4310-3 J

c) 8,8510-5 Cd) 2,7810-2sen(100 t) e) 885 nF

1.3.1.- Demostrar utilizando la geometra del problema 1.1.7, a partir de la definicin

de capacidad , que

1.3.2.- Demostrar utilizando la geometra del problema 1.1.5, a partir de la definicin

de inductancia , que . Donde .

Siendo, l: longitud de la lnea de campo magntico, S: seccin transversal del circuitomagntico

1.3.3.- Demostrar utilizando la geometra del problema 1.1.7, a partir de la expresin

de energa por unidad de volumen (J/m3), que la energa total es:

(J)

1.3.4.- Demostrar utilizando la geometra del problema 1.1.5, a partir de la expresin

de energa por unidad de volumen (J/m3), que la energa total es:

(J)



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Circuitos elctricos

Flujo magntico variable 2

11

Flujo magntico constante2

e, i

1.3.5.- Considerando un elemento cilndrico en el que existe un campo elctrico axialE=cte, demostrar que si el comportamiento del material se ajusta a entonces

. Con y siendo:

: conductividad ( m)-1

j: densidad de corriente (A/mm2)u: U1 - U2 , diferencia de potencial entre extremos del elemento cilndrico

l: longitud del elemento cilndricoS: Seccin del elemento

1.4.1.- Una espira de cobre (= 50 m/mm2) cerrada de seccin s= 1 mm2 y radio R=1/2 m, se encuentra inmersa en un campo magntico uniforme que provoca un flujointerior a la espira de valor = 5- 2t(s) Wb. Determinar para la espira:

a) F.e.m.b) Campo elctricoc) Densidad de corriented) Corrientee) Circuito de elementos ideales que mejor representa este sistema electromag-

ntico.Solucin: a) 2 V b) 2 V/m c) 108 A/m

d) 100 A e) Es el circuito que se ha resuelto en 1.2.1.

1.4.2.- Una espira como la del pro-blema 1.4.1 se conecta en serie conuna resistencia r= 2 cilndrica de 1cm de longitud. Determinar:

a) Corriente que circulab) Diferencia de potencial

entre 2 y 1c) Campo no-conservativo

en la espira en sentidocoincidente con el flujo

d) Campo conservativo en la espira en el mismo sentido que el anteriore) Campo resultante en la espiraf) Campo en la resistencia en el mismo sentido que los anteriores

Solucin: a) 0,99 A b) u21= 1,98 V c)2 V/md) -1,98 V/m e) 0,02 V/m f) 198 V/m

1.4.3.- Utilizando un modelo de Teora de Circuitos para el enunciado anterior,determinar:

a) Corriente que circulab) Diferencia de potencial entre 2 y 1

Solucin: Obviamente coincide con los resultados anteriores.



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Circuitos elctricos

Flujo magntico variable 2

11

Flujo magntico constante2

e, i

1.3.5.- Considerando un elemento cilndrico en el que existe un campo elctrico axialE=cte, demostrar que si el comportamiento del material se ajusta a entonces

. Con y siendo:

: conductividad ( m)-1

j: densidad de corriente (A/mm2)u: U1 - U2 , diferencia de potencial entre extremos del elemento cilndrico

l: longitud del elemento cilndricoS: Seccin del elemento

1.4.1.- Una espira de cobre (= 50 m/mm2) cerrada de seccin s= 1 mm2 y radio R=1/2 m, se encuentra inmersa en un campo magntico uniforme que provoca un flujointerior a la espira de valor = 5- 2t(s) Wb. Determinar para la espira:

a) F.e.m.b) Campo elctricoc) Densidad de corriented) Corrientee) Circuito de elementos ideales que mejor representa este sistema electromag-

ntico.Solucin: a) 2 V b) 2 V/m c) 108 A/m

d) 100 A e) Es el circuito que se ha resuelto en 1.2.1.

1.4.2.- Una espira como la del pro-blema 1.4.1 se conecta en serie conuna resistencia r= 2 cilndrica de 1cm de longitud. Determinar:

a) Corriente que circulab) Diferencia de potencial

entre 2 y 1c) Campo no-conservativo

en la espira en sentidocoincidente con el flujo

d) Campo conservativo en la espira en el mismo sentido que el anteriore) Campo resultante en la espiraf) Campo en la resistencia en el mismo sentido que los anteriores

Solucin: a) 0,99 A b) u21= 1,98 V c)2 V/md) -1,98 V/m e) 0,02 V/m f) 198 V/m

1.4.3.- Utilizando un modelo de Teora de Circuitos para el enunciado anterior,determinar:

a) Corriente que circulab) Diferencia de potencial entre 2 y 1

Solucin: Obviamente coincide con los resultados anteriores.


Conceptos bsicos

1.4.4.- Una espira cuya geometra es idntica a la del problema 1.4.1, pero cuyaconductividad no es conocida, se encuentra inmersa en un campo magntico uniformeque provoca un flujo interior a la espira de valor = 5- 2rit {flujo en Wb, ri es laresistencia de la espira en ohmios, tiempo en segundos). Determinar para la espira:

a) F.e.m.b) Corrientec) Circuito de elementos ideales que representa mejor este sistema electromag-

ntico.Solucin: a) 2ri V b) I= 2 A

c) Una fuente de corriente I en serie con ri

1.5.1.- Entre conductores de un cable coaxial (esto es, formado por un conductorcilndrico central y otro exterior tubular concntrico, separados por un aislante) existeuna diferencia de potencial de 100V. Por el conductor central circulan 10 A, queretornan por el conductor exterior. El radio del conductor central es R1= 10 mm. Elaislante es 1 mm de PVC (= 0, = 3,5 0). Determinar:

a) El campo elctrico en el aislanteb) La induccin en el aislantec) El vector de Poynting y la potencia total transmitida a

travs del aislanteSolucin: a) 105 V/m b) para r=10,5 mm vale1,910-4 T.

c) en r=10,5mm: p=15,12 W/mm2, en total P=997,5W, (aproximacin:B=cte radio).La potencia total obtenida como UI es 1000 W, la diferencia procede de laaproximacin de la induccin. La coincidencia es completa si se realiza la

integral

1.5.2.-Utilizando la geometra del problema anterior, demostrar a partir del vector dePoynting que la potencia P= UI



15

Circuitos elctricos

Ensayos:

Ideas bsicas sobre riesgos elctricos y seguridad

El riesgo es intrnseco a las actividades humanas y lo que denominamos nivel deseguridad aceptable es, fundamentalmente, un compromiso entre el nivel de riesgoadmisible y los medios de seguridad que se pueden disponer. La seguridad no es unconcepto esttico: Por una parte los niveles de riesgo admisibles por una sociedad semodifican con el tiempo y, por otra, los medios de seguridad que se pueden disponerson cada vez mayores conforme se producen innovaciones tecnolgicas.

En consecuencia, conviene tener siempre presentes las reglas bsicas para mantener entodo momento los niveles de riesgo en los valores ms bajos posibles:

1 Identificar todos los riesgos.2 Valorar la importancia de cada riesgo.3 Actuar para eliminar el riesgo o reducir los daos que puede provocar:

Disponer las medidas de seguridad.4 Realizar un seguimiento apropiado de los resultados obtenidos.5 Mejorar de forma continua, conforme las innovaciones tecnolgicas lo

permitan, los niveles de seguridad.

a) Peligros de la energa elctrica

La corriente elctrica, al atravesar el cuerpo humano, puede provocar numerososefectos: contracciones musculares involuntarias, daos en el sistema nervioso,quemaduras, etc. Cuando los daos afectan a la respiracin, al funcionamiento delcorazn o de otro sistema vital puede sobrevenir la muerte por electrocucin.

Los accidentes ms frecuente al utilizar energa elctrica son el electrochoque (cuandola corriente elctrica atraviesa el cuerpo humano) o las quemaduras motivadas por laproyeccin de los fragmentos incandescentes que aparecen producto de cortocircuitoso de arcos. En muchos otros casos, es el movimiento brusco involuntario que se producecomo consecuencia del electrochoque el que provoca los daos (cadas desde granaltura, atrapamiento en mquinas en movimiento, etc). Desgraciadamente se producenmiles de accidentes elctricos cada ao.

El efecto directo de la corriente sobre el cuerpo humano es variable para cada sujeto,pero depende del valor de la corriente, de la duracin del contacto y de la frecuencia de



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Circuitos elctricos

Ensayos:

Ideas bsicas sobre riesgos elctricos y seguridad

El riesgo es intrnseco a las actividades humanas y lo que denominamos nivel deseguridad aceptable es, fundamentalmente, un compromiso entre el nivel de riesgoadmisible y los medios de seguridad que se pueden disponer. La seguridad no es unconcepto esttico: Por una parte los niveles de riesgo admisibles por una sociedad semodifican con el tiempo y, por otra, los medios de seguridad que se pueden disponerson cada vez mayores conforme se producen innovaciones tecnolgicas.

En consecuencia, conviene tener siempre presentes las reglas bsicas para mantener entodo momento los niveles de riesgo en los valores ms bajos posibles:

1 Identificar todos los riesgos.2 Valorar la importancia de cada riesgo.3 Actuar para eliminar el riesgo o reducir los daos que puede provocar:

Disponer las medidas de seguridad.4 Realizar un seguimiento apropiado de los resultados obtenidos.5 Mejorar de forma continua, conforme las innovaciones tecnolgicas lo

permitan, los niveles de seguridad.

a) Peligros de la energa elctrica

La corriente elctrica, al atravesar el cuerpo humano, puede provocar numerososefectos: contracciones musculares involuntarias, daos en el sistema nervioso,quemaduras, etc. Cuando los daos afectan a la respiracin, al funcionamiento delcorazn o de otro sistema vital puede sobrevenir la muerte por electrocucin.

Los accidentes ms frecuente al utilizar energa elctrica son el electrochoque (cuandola corriente elctrica atraviesa el cuerpo humano) o las quemaduras motivadas por laproyeccin de los fragmentos incandescentes que aparecen producto de cortocircuitoso de arcos. En muchos otros casos, es el movimiento brusco involuntario que se producecomo consecuencia del electrochoque el que provoca los daos (cadas desde granaltura, atrapamiento en mquinas en movimiento, etc). Desgraciadamente se producenmiles de accidentes elctricos cada ao.

El efecto directo de la corriente sobre el cuerpo humano es variable para cada sujeto,pero depende del valor de la corriente, de la duracin del contacto y de la frecuencia de


Conceptos bsicos

AC-1 ninguna reaccin

AC-2 ningn efecto peligroso

AC-3 contracciones musculares, dificultades de respiracin,perturbacin de impulsos cardiacos

AC-4 paradas cardiacas, quemaduras graves en rganosinternos. Probabilidad (1)

Circuitos elctricos

IBUZC

t=

Se denomina contacto directo cuando la tensin de contacto (Uc) aparece bien porquese tocan simultneamente dos conductores activos1 de la instalacin, bien porque se tocaun conductor activo y el suelo2. Se denomina contacto indirecto cuando la tensin decontacto aparece al tocar simultneamente dos elementos pasivos (esto es, entre los queno debera existir diferencia de potencial ,por ejemplo: una estructura metlica y elsuelo).

Para el cuerpo humano no existe diferencia entre encontrarse sometido a uno u otro tipode contacto (ms alla de la distinta resistencia Zt que cada camino presenta o lapeligrosidad distinta que cada trayecto de la corriente por el interior del cuerpo supone)pero respecto a los medios de proteccin las diferencias son muy importantes.

b) Medios de proteccin

La proteccin frente a contactos directos recae exclusivamente en su eliminacin: bajoninguna circunstancia deben tocarse elementos activos de la instalacin. Para conseguiresto, los elementos activos se encuentran suficientemente alejados de nuestro alcanceo estn recubiertos de materiales elctricamente aislantes. Debe destacarse que losdaos que sufre una persona en caso de contacto directo no pueden limitarse por ningnmedio intrnseco a la instalacin. Dependen exclusivamente de factores tan impredeci-bles como el camino que sigue la corriente al circular por el cuerpo humano, laposibilidad de liberarse del contacto, el estado de la piel, etc.

La proteccin frente a contactos indirectos se realiza uniendo elctricamente todoslos elementos pasivos de la instalacin (estructuras metlicas, envolventes metlicas delos equipos elctricos, el suelo, etc). A esta unin equipotencial se le denominahabitualmente puesta a tierra de masas. Adems, suele ser necesario utilizar un elementoque detecte que se ha producido un defecto en la instalacin que podra originar uncontacto indirecto y que desconecte el circuito afectado. El elemento ms utilizado sedenomina dispositivo de corriente residual o interruptor diferencial. Los defectos quepueden dar lugar a contactos indirectos son detectados y desconectados por la propiainstalacin sin dao para las personas.

(1) Es decir dos conductores que normalmente estn sometidos a tensin elctrica

(2) n la mayora de instalaciones elctricas los conductores activos se encuentran a unpotencial peligroso respecto al suelo, paredes y dems elementos conductores unidosa stos.



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Circuitos elctricos

IBUZC

t=

Se denomina contacto directo cuando la tensin de contacto (Uc) aparece bien porquese tocan simultneamente dos conductores activos1 de la instalacin, bien porque se tocaun conductor activo y el suelo2. Se denomina contacto indirecto cuando la tensin decontacto aparece al tocar simultneamente dos elementos pasivos (esto es, entre los queno debera existir diferencia de potencial ,por ejemplo: una estructura metlica y elsuelo).

Para el cuerpo humano no existe diferencia entre encontrarse sometido a uno u otro tipode contacto (ms alla de la distinta resistencia Zt que cada camino presenta o lapeligrosidad distinta que cada trayecto de la corriente por el interior del cuerpo supone)pero respecto a los medios de proteccin las diferencias son muy importantes.

b) Medios de proteccin

La proteccin frente a contactos directos recae exclusivamente en su eliminacin: bajoninguna circunstancia deben tocarse elementos activos de la instalacin. Para conseguiresto, los elementos activos se encuentran suficientemente alejados de nuestro alcanceo estn recubiertos de materiales elctricamente aislantes. Debe destacarse que losdaos que sufre una persona en caso de contacto directo no pueden limitarse por ningnmedio intrnseco a la instalacin. Dependen exclusivamente de factores tan impredeci-bles como el camino que sigue la corriente al circular por el cuerpo humano, laposibilidad de liberarse del contacto, el estado de la piel, etc.

La proteccin frente a contactos indirectos se realiza uniendo elctricamente todoslos elementos pasivos de la instalacin (estructuras metlicas, envolventes metlicas delos equipos elctricos, el suelo, etc). A esta unin equipotencial se le denominahabitualmente puesta a tierra de masas. Adems, suele ser necesario utilizar un elementoque detecte que se ha producido un defecto en la instalacin que podra originar uncontacto indirecto y que desconecte el circuito afectado. El elemento ms utilizado sedenomina dispositivo de corriente residual o interruptor diferencial. Los defectos quepueden dar lugar a contactos indirectos son detectados y desconectados por la propiainstalacin sin dao para las personas.

(1) Es decir dos conductores que normalmente estn sometidos a tensin elctrica

(2) n la mayora de instalaciones elctricas los conductores activos se encuentran a unpotencial peligroso respecto al suelo, paredes y dems elementos conductores unidosa stos.


2MEDIDA

DEMAGNITUDES ELCTRICAS

1.- Valor instantneo, medio y eficaz2.- Errores de medida

3.- Medida de tensiones, intensidades y resistencias4.- Medida de potencia y energa

Medida de magnitudes elctricas

1.- Valor instantneo, medio y eficazDada una funcin de valor instantneo a(t), se define su valor eficaz

(o valor rms) como:

La definicin proviene de que una corriente alterna de valor eficazI produce el mismo efecto trmico en una resistencia que una corrientecontinua constante de valor I1.

El periodo de integracin (T) puede coincidir con el periodo de lafuncin, pero, habitualmente, incluye un nmero elevado de ciclos de lafuncin.

El valor medio de la funcin es:

En este caso, (T) es el periodo de integracin para el que se haobtenido el valor medio.

2.- Errores de medida

Se denomina error de medida a la diferencia entre el valor medidoy un valor de referencia que puede ser la lectura de un equipo patrn oel valor verdadero.

Es necesario diferenciar entre:a) Exactitud: Proximidad entre el valor medido y el valor verda-

dero.

(1)


21

Circuitos elctricos

b) Precisin: Proximidad entre los valores medidos obtenidos enmediciones repetidas de un mismo objeto.

c) Veracidad: Proximidad entre la media de un nmero infinitomediciones realizadas y el valor de referencia.

El valor real de lamagnitud se encuentradentro de un intervalodefinido por la lecturaofrecida por el equipode medida y su errorabsoluto mximo. Esteintervalo se define habi-tualmente mediante untrmino fijo y otro tr-mino proporcional a lalectura, por ejemplo:

La clase de un instrumento o de un sistema de medida sueleutilizarse para indicar un nivel de exactitud requerido para satisfacerdeterminados requisitos metrolgicos. Se designa por un ndice de claseque corresponde al lmite superior del error de la magnitud medidaexpresado en porcentaje de la magnitud asignada.

3.- Medida de tensiones, intensidades y resistencias

Ampermetro: Es un instrumento que permite medidas decorriente elctrica. Se instala siempre en serie con elelemento cuya intensidad se desea conocer. Como interesaque su influencia sobre el circuito sea mnima, la cada de



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ESCALA RESOLUCIN PRECISIN

200 mV 0,1 mV2 V 1 mV

20 V 10 mV200 V 0,1 V

1000 V 1 V

(0,5 % lectura + 1 dgito) (0,5 % lectura + 1 dgito) (0,5 % lectura + 1 dgito) (0,5 % lectura + 1 dgito) (0,8 % lectura + 2 dgitos)

Circuitos elctricos

b) Precisin: Proximidad entre los valores medidos obtenidos enmediciones repetidas de un mismo objeto.

c) Veracidad: Proximidad entre la media de un nmero infinitomediciones realizadas y el valor de referencia.

El valor real de lamagnitud se encuentradentro de un intervalodefinido por la lecturaofrecida por el equipode medida y su errorabsoluto mximo. Esteintervalo se define habi-tualmente mediante untrmino fijo y otro tr-mino proporcional a lalectura, por ejemplo:

La clase de un instrumento o de un sistema de medida sueleutilizarse para indicar un nivel de exactitud requerido para satisfacerdeterminados requisitos metrolgicos. Se designa por un ndice de claseque corresponde al lmite superior del error de la magnitud medidaexpresado en porcentaje de la magnitud asignada.

3.- Medida de tensiones, intensidades y resistencias

Ampermetro: Es un instrumento que permite medidas decorriente elctrica. Se instala siempre en serie con elelemento cuya intensidad se desea conocer. Como interesaque su influencia sobre el circuito sea mnima, la cada de



tensin en este aparato debe ser lo ms pequea posible por lo que suresistencia interna siempre es muy baja (del orden de dcimas de ohmiopara corrientes de algunos amperios)

En medidas de corrientes continuas (valor medio de la corriente) losampermetros indican un signo que informa del sentido de la corrienterespecto al que el propio aparato tiene definido como positivo. Engeneral, en los esquemas interesar dibujar el aparato de medida juntocon el sentido positivo interno. En medidas de corrientes alternas (valoreficaz de la corriente) no aparece indicacin de signo.

Voltmetro: Es un instrumento que realiza medidas de tensin elctrica(diferencia de potencial entre dos puntos). Se instala siempreen paralelo con el elemento cuya tensin se desea conocer. Eneste caso, para que su influencia sobre el circuito sea pequea,interesa que la corriente consumida por el aparato sea peque-a por lo que la resistencia interna debe ser muy elevada (delorden de decenas de megaohmios). Las consideraciones sobre signosrealizadas para el ampermetro siguen siendo vlidas para el voltmetro.

hmetro:Se utiliza para medidas de resistencia elctrica. La medicin larealiza inyectando una corriente sobre el elemento al que seconecta, midiendo tanto tensin como intensidad y realizandointernamente el cociente. Como slo pueden medir resisten-cias reales no ofrecen indicacin de signo.

Multmetro (polmetro): Las tres funciones bsicas enunciadas, e inclusootras, se encuentran integradas en este tipo de aparato que permitemedidas tanto en corriente continua como en alterna y dispone dediferentes escalas de medidas. Las indicaciones realizadas sobre signosson plenamente vlidas.

Vatmetro y vrmetro: Son instrumentos que realizan medi-das de potencia elctrica. Estn constituidos por dos elemen-tos: uno de medida de corriente, que se conecta en serie conel receptor o generador cuya potencia consumida o generada se desea


Captulo 2. Medida de magnitudes elctricas

23

Circuitos elctricos

conocer, y otro de medida de tensiones, que se conecta en paralelo conel mismo.

Medidores integrados: Son equipos que realizan, adems de la medidade tensiones y corrientes como los multmetros, la medida de potencia,energa, factor de potencia, distorsin armnica y otras magnitudeselctricas.

Osciloscopio: Permite la visualizacin en una pantalla de la tensininstantnea entre dos puntos de un circuito. El eje de abscisas eshabitualmente el tiempo, pudindose ajustar la escala (o base) de tiemposa voluntad desde, por ejemplo, microsegundos hasta segundos. El eje deordenadas es la diferencia de potencial (tensin) que existe en cadainstante entre los dos puntos que se estn midiendo y su escala puedetambin ajustarse a voluntad.

Medidores para aplicaciones especficas: En algunas aplicaciones lasmagnitudes presentan valores que requieren la utilizacin de equipos demedida especialmente diseados, por ejemplo para determinar laresistencia de aislamiento en los que es preciso utilizar tensiones demedida elevadas se utiliza un meghmetro. En otros casos, los medidoresespecficos facilitan la realizacin de medidas de forma normalizada ,por ejemplo los comprobadores de instalaciones.

Por razones de seguridad (por ejemplo para medir en alta tensin)o de simplicidad (por ejemplo para medir corrientes muy elevadas) enocasiones se adapta la magnitud real a otro valor ms apropiado. Esto seconsigue intercalando entre el circuito a medir y el equipo de medidadivisores de tensin o corriente, vlido tanto para medidas en continuacomo en alterna, o transformadores de medida, vlido slo en alterna.



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Circuitos elctricos

conocer, y otro de medida de tensiones, que se conecta en paralelo conel mismo.

Medidores integrados: Son equipos que realizan, adems de la medidade tensiones y corrientes como los multmetros, la medida de potencia,energa, factor de potencia, distorsin armnica y otras magnitudeselctricas.

Osciloscopio: Permite la visualizacin en una pantalla de la tensininstantnea entre dos puntos de un circuito. El eje de abscisas eshabitualmente el tiempo, pudindose ajustar la escala (o base) de tiemposa voluntad desde, por ejemplo, microsegundos hasta segundos. El eje deordenadas es la diferencia de potencial (tensin) que existe en cadainstante entre los dos puntos que se estn midiendo y su escala puedetambin ajustarse a voluntad.

Medidores para aplicaciones especficas: En algunas aplicaciones lasmagnitudes presentan valores que requieren la utilizacin de equipos demedida especialmente diseados, por ejemplo para determinar laresistencia de aislamiento en los que es preciso utilizar tensiones demedida elevadas se utiliza un meghmetro. En otros casos, los medidoresespecficos facilitan la realizacin de medidas de forma normalizada ,por ejemplo los comprobadores de instalaciones.

Por razones de seguridad (por ejemplo para medir en alta tensin)o de simplicidad (por ejemplo para medir corrientes muy elevadas) enocasiones se adapta la magnitud real a otro valor ms apropiado. Esto seconsigue intercalando entre el circuito a medir y el equipo de medidadivisores de tensin o corriente, vlido tanto para medidas en continuacomo en alterna, o transformadores de medida, vlido slo en alterna.



Ejemplos:

2.1.1- La tensin instantnea en una base de enchufe es u(t)= 325,3 cos(100 t) {u envoltios, t en segundos}, determinar:

a) El valor de la tensin en el instante t= 1 segundob) Periodo de la funcinc) La indicacin de un voltmetro en una escala de corriente continuad) El valor eficaz de la funcine) La indicacin de un voltmetro en una escala de corriente alterna

Solucin: a) u(t=1)= 226,6 V b) T= 20 ms c) Es el valor medio de la fun-cin, V= 0

d) Ueficaz= e) Indica (eficaz)-(medio), V=230 V

2.1.2.- Si la corriente que circula por un ampermetro es i(t)= 200+ 325,3 cos(100 t){i en amperios, t en segundos, repetir los apartados del problema anterior.Solucin: a) i(t=1)= 426,6 V b) T= 20 ms c) Indica el valor medio, A=

200Ad) Ieficaz= e) Indica (eficaz)-(medio), A=

230 A

2.2.1.- La documentacin de un voltmetro indica que el error de medida es:(0,2% de la lectura + 1 dgito). Determinar el intervalo en el que se encuentra el valorreal de la tensin si la lectura es:

a) 1,235 V b) 1,24 V c) 1,2 VSolucin: a) = 3,4710-3 V que es el 0,28% de la lectura. El valor real [1,233;

1,237] Vb) = 12,4810-3 V, el 1,0% de la lectura. El valor real [1,23; 1,25] Vc) = 102,410-3 V, el 8,5% de la lectura. El valor real [1,1; 1,3] V

2.3.1.- Un voltmetro de resistencia interna Rv= 10 M se utiliza para medir la tensinaplicada a un receptor que consume I= 1 A. Si el voltmetro indica 250 V, determinar:

a) La corriente que consume el voltmetrob) El valor relativo de la corriente del voltmetro respecto de la corriente del

receptorSolucin: a) iv= 25 A b) 0,0025 %, inapreciable con la precisin habitual

2.3.2.- Un ampermetro de resistencia interna RA= 0,2 , se utiliza para medir lacorriente que circula por un receptor que se alimenta a 100 V. Si el ampermetro indica2 A, determinar:

a) La tensin en el ampermetrob) El valor relativo de la tensin en el ampermetro respecto de la tensin del

receptor



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Circuitos elctricos

Solucin: a) uA= 0,4 V b) 0,4 %, similar a los errores de los aparatos demedida

2.3.3.- El voltmetro del problema 2.3.1 se utiliza para medir la tensin en uncondensador que, debido a que el aislante que separa las placas no es ideal, consume 5A cuando se encuentra completamente cargado. Si en esta situacin el voltmetromarca 25 V, determinar:

a) El valor relativo de la corriente del voltmetro respecto de la corriente delreceptor

b) Si la corriente del condensador se mide utilizando un ampermetro deresistencia interna RA= 100 , para que el error cometido al considerar lalectura de los aparatos igual a la tensin y corriente en el condensador elampermetro debera situarse antes o despus del voltmetro?

Solucin: a) Consume 2,5 A que es un 50% de la corriente del condensadorb) La tensin en el ampermetro es un 0,002% de la tensin en el condensa-dor: es mejor situarlo despus del voltmetro.



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Circuitos elctricos

Solucin: a) uA= 0,4 V b) 0,4 %, similar a los errores de los aparatos demedida

2.3.3.- El voltmetro del problema 2.3.1 se utiliza para medir la tensin en uncondensador que, debido a que el aislante que separa las placas no es ideal, consume 5A cuando se encuentra completamente cargado. Si en esta situacin el voltmetromarca 25 V, determinar:

a) El valor relativo de la corriente del voltmetro respecto de la corriente delreceptor

b) Si la corriente del condensador se mide utilizando un ampermetro deresistencia interna RA= 100 , para que el error cometido al considerar lalectura de los aparatos igual a la tensin y corriente en el condensador elampermetro debera situarse antes o despus del voltmetro?

Solucin: a) Consume 2,5 A que es un 50% de la corriente del condensadorb) La tensin en el ampermetro es un 0,002% de la tensin en el condensa-dor: es mejor situarlo despus del voltmetro.



Ensayos:

2.1.- Medida de resistencia elctrica

a) Medida de la resistencia de un receptor elctrico

Se medir con un hmetro el valor de una resistencia R.

b) Medida de la resistencia interna de ampermetros y voltmetros

Se medir con un hmetro el valor de la resistencia interna de un ampermetro en laescala de 2 A. Anlogamente se medir la resistencia interna de un voltmetro en laescala de 200V.

2.2.- Medida de tensiones, corrientes y potencias

Se medir la tensin, la corriente y la potenciasuministrada por una fuente a un receptor. Comosiempre, es preciso verificar que la tensinindicada en la placa de caractersticas del recep-tor, una bombilla (o lmpara incandescente) eneste caso, coincida con la tensin nominal (asig-nada) de la fuente. Cul es, a priori, la escalaapropiada para cada una de las medidas?

Considerando los valores obtenidos de resistencia interna del ampermetro y delvoltmetro y sus lecturas, Qu corriente consume el voltmetro en ese ensayo?Qu cada de tensin provoca el ampermetro en ese ensayo? Afectanapreciablemente al circuito?

Con las escalas elegidas de qu orden de magnitud es el error de medida de latensin y de la corriente?



27

3RESOLUCIN

DECIRCUITOS

1.-Topologa de circuitos2.-Ecuaciones independientes

3.-Resolucin por mallas4.-Resolucin por nudos

5.- Solucin general de circuitos

Resolucin de circuitos

1.- Topologa de circuitos

La topologa estudia las propiedades de los sistemas con indepen-dencia de su tamao o forma. En este apartado se definen algunosconceptos topolgicos desde el punto de vista de los Circuitos Elctricos.

Rama: es una parte de un circuito definida poruna pareja de valores {tensin, corrien-te}. Esto implica que debe tener nica-mente dos extremos.

Nudo: punto de confluencia de dos o ms ramas.

Los elementos o las ramas pueden estar conectados entre s:en serie: cuando la corriente que circula por ellos es siempre la

misma.en paralelo: cuando la tensin que existente en ellos es siempre la

misma.

Terminologa:Circuito conexo: aquel en el que partiendo de cualquier nudo sepuede llegar a los demsLazo: lnea cerrada formada con ramasMalla: lazo que no contiene ningn otro en su interiorrbol: conjunto de ramas conexas que, sin formar lazos, contienetodos los nudos. En un circuito se pueden definir mltiples rboles.Ramas del rbol: n de nudos (n) -1, porque cada rama define unnuevo nudo, excepto la primera que define dosEslabn: ramas que no estn en el rbol.

n de eslabones = n de ramas - n de ramas del rbol= r - (n-1)Como cada eslabn proporciona un lazo n de lazos = n de eslabones

2.- Ecuaciones independientes

En cualquier circuito conexo de (n) nudos y (r) ramas existen {r-(n-1)} lazos. As, el nmero de ecuaciones que pueden escribirse es (2r+1),mientras que el de incgnitas es (2r).


31

Circuitos elctricos

En realidad, el nmero de ecuaciones independientes es (2r) porquetodas las ecuaciones de lazo son independientes (cada lazo incorpora unnuevo eslabn) y todas la ecuaciones de rama son independientes, perouna de las ecuaciones de nudo es siempre suma de las restantes1.

En general, el sistema es resultante es compatible y determinado2.

La resolucin directa mediante la escritura de todas estas ecuacioneses el procedimiento ms general, pero en muchas ocasiones puedesistematizarse para que resulte an ms sencillo.

Ecuaciones

de nudo(1LdK)

n nudo

de lazo(2LdK)

r-(n-1) lazo

de rama (ec. de definicin)

r

Total: 2 r +1

Incgnitas

(u, i) de cada rama 2 r

(1) Es fcil comprobarlo definiendo un volumen cerrado que deje fuera un nico nudo,las corrientes entrantes en el nudo son las corrientes salientes del volumen cerrado yviceversa.

(2) Solo deja de serlo cuando numricamente coinciden dos ecuaciones o cuando resultaimposible satisfacer simultneamente dos de ellas, pero esta situacin nunca se da encircuitos elctricos reales.



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Circuitos elctricos

En realidad, el nmero de ecuaciones independientes es (2r) porquetodas las ecuaciones de lazo son independientes (cada lazo incorpora unnuevo eslabn) y todas la ecuaciones de rama son independientes, perouna de las ecuaciones de nudo es siempre suma de las restantes1.

En general, el sistema es resultante es compatible y determinado2.

La resolucin directa mediante la escritura de todas estas ecuacioneses el procedimiento ms general, pero en muchas ocasiones puedesistematizarse para que resulte an ms sencillo.

Ecuaciones

de nudo(1LdK)

n nudo

de lazo(2LdK)

r-(n-1) lazo

de rama (ec. de definicin)

r

Total: 2 r +1

Incgnitas

(u, i) de cada rama 2 r

(1) Es fcil comprobarlo definiendo un volumen cerrado que deje fuera un nico nudo,las corrientes entrantes en el nudo son las corrientes salientes del volumen cerrado yviceversa.

(2) Solo deja de serlo cuando numricamente coinciden dos ecuaciones o cuando resultaimposible satisfacer simultneamente dos de ellas, pero esta situacin nunca se da encircuitos elctricos reales.



3.- Resolucin por mallas

Consideremos, por ejem-plo, el circuito de la figuraformado por 3 ramas (fuentede tensin en serie con impe-dancia) y 2 nudos. Una ramacualquiera es el rbol del cir-cuito y las dos restantes sonlos eslabones que definen lasecuaciones de lazo, adems,resulta obvio que la ecuacindel nudo superior es la misma que la del nudo inferior.

Si se consideran las ecuaciones de lazo de todas las mallas escritasen el mismo sentido (por ejemplo horario):

Fijmonos que en estas ecuaciones se ha incluido tambin laecuacin de nudo (para obtener la corriente en la rama b) y las ecuacio-nes de definicin de cada elemento (e=cte, u = Z i). El resultado es lasimplificacin, por sustitucin, del sistema de seis ecuaciones con seisincgnitas que resultara aplicando el procedimiento general a un sistemade dos ecuaciones con dos incgnitas (las corrientes de malla i1 e i2).

Este sistema puede adoptar una forma matricial que facilite suresolucin:

Siendo:e1= ea - eb suma de fuerzas electromotrices de las

fuentes de la malla 1


Captulo 3. Resolucin de circuitos

33

Circuitos elctricos

e2= eb - ec suma de fuerzas electromotrices de lasfuentes de la malla 2

Z11= Za + Zb impedancia propia de la malla 1Z22= Zb + Zc impedancia propia de la malla 2Z12 = Z21 = - Zb impedancia comn a las mallas 1 y 2

As, en general, el mtodo de mallas consiste en resolver un sistemamatricial que se plantea directamente a partir del circuito, en el que lasincgnitas son las corrientes de malla y los datos las impedancias propiasy comunes y las fuerzas electromotrices:

Conocidas las corrientes de malla resulta sencillo obtener cualquierotra magnitud del circuito (tensiones en los elementos, potencias, ...).Debe notarse que para que la aplicacin de este mtodo sea rpida esnecesario que todas las fuerzas electromotrices de las fuentes seanconocidas, tal como es normal en las fuentes de tensin.

4.- Resolucin por nudos

Es el mtodo recproco al de mallas. Proporciona las tensiones detodos los nudos del circuitorespecto a uno de referencia,conocidas las intensidades quesuministran todas las fuentesde potencia y las admitanciasde todos los elementos pasivosdel circuito.

Consideremos, por ejem-plo, el circuito de la figura for-mado por 3 ramas (fuente decorriente en paralelo con admi-tancia) y 3 nudos. Dos ramas



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Circuitos elctricos

e2= eb - ec suma de fuerzas electromotrices de lasfuentes de la malla 2

Z11= Za + Zb impedancia propia de la malla 1Z22= Zb + Zc impedancia propia de la malla 2Z12 = Z21 = - Zb impedancia comn a las mallas 1 y 2

As, en general, el mtodo de mallas consiste en resolver un sistemamatricial que se plantea directamente a partir del circuito, en el que lasincgnitas son las corrientes de malla y los datos las impedancias propiasy comunes y las fuerzas electromotrices:

Conocidas las corrientes de malla resulta sencillo obtener cualquierotra magnitud del circuito (tensiones en los elementos, potencias, ...).Debe notarse que para que la aplicacin de este mtodo sea rpida esnecesario que todas las fuerzas electromotrices de las fuentes seanconocidas, tal como es normal en las fuentes de tensin.

4.- Resolucin por nudos

Es el mtodo recproco al de mallas. Proporciona las tensiones detodos los nudos del circuitorespecto a uno de referencia,conocidas las intensidades quesuministran todas las fuentesde potencia y las admitanciasde todos los elementos pasivosdel circuito.

Consideremos, por ejem-plo, el circuito de la figura for-mado por 3 ramas (fuente decorriente en paralelo con admi-tancia) y 3 nudos. Dos ramas



cualesquiera forman el rbol del circuito y la rama restante es el eslabnque define la nica ecuacin de lazo, adems, es sencillo comprobar quela ecuacin de, por ejemplo, el nudo inferior izquierdo es la suma de lasecuaciones de los otros dos nudos.

Si se consideran las ecuaciones de los nudos independientes 1 y 2,escribiendo la 1 Ley de Kirchhoff como:

denominando u1 y u2 a las tensiones de los nudos respecto al nudo 0, seobtiene:

De nuevo en estas ecuaciones se ha incluido tambin la ecuacin delazo (para obtener la tensin en la rama b) y las ecuaciones de definicinde cada elemento (I=cte, i = Y u). El resultado es tambin la simplifica-cin, por sustitucin, del sistema de seis ecuaciones con seis incgnitasque resultara aplicando el procedimiento general a un sistema de dosecuaciones con dos incgnitas (las tensiones de nudo u1 y u2).

Tambin este sistema puede adoptar una forma matricial que facilitesu resolucin:

Siendo:i1= ia - ib suma de corrientes aportadas por las

fuentes al nudo 1i2= ib - ic suma de corrientes aportadas por las

fuentes al nudo 2Y11= Ya + Yb admitancia propia del nudo 1Y22= Yb + Yc admitancia propia del nudo 2Y12 = Y21 = - Yb admitancia comn a los nudos 1 y 2



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Circuitos elctricos

As, el mtodo de nudos consiste en resolver un sistema matricialque se plantea directamente a partir del circuito, en el que las incgnitasson las tensiones de nudo y los datos son las admitancias propias ycomunes y las corrientes de las fuentes:

Conocidas las tensiones de nudo resulta sencillo obtener cualquierotra magnitud del circuito (corrientes en los elementos, potencias, ...).Debe notarse que para que la aplicacin de este mtodo sea sencilla esnecesario que todas las corrientes aportadas por las fuentes seanconocidas.


En los circuitos en los que los valores de las fuentes son invariablescon el tiempo y los elementos pasivos son nicamente resistencias, lasolucin se obtiene de forma inmediata aplicando los procedimientosanteriores. Sin embargo, en la mayora de circuitos intervienen bobinasy condensadores, cuyas ecuaciones de definicin incluyen derivadastemporales, y no todas las fuentes son invariables. Se requiere entoncesaplicar a los procedimientos anteriores las herramientas habituales pararesolver sistemas de ecuaciones integro-diferenciales1.

En los circuitos elctricos, igual que en cualquier otro sistemafsico2, cuando las magnitudes (tensiones, corrientes, ...) no dependen deltiempo se dice que se encuentra en rgimen permanente o estacionario.Normalmente la evolucin desde un rgimen permanente inicial a otrorgimen permanente final distinto requiere la variacin temporal de lasmagnitudes, esto es, la aparicin de un rgimen transitorio. Algunossistemas fsicos nunca llegan a alcanzar un rgimen permanente porquesus condiciones son cambiantes.

(1) En el Anexo 3B se ha incluido un breve recordatorio.

(2) Mecnico, trmico, hidrulico, ...Para poder comparar con los circuitos elctricos, sehan incluido algunos ejemplos en el Anexo.3A



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Circuitos elctricos

As, el mtodo de nudos consiste en resolver un sistema matricialque se plantea directamente a partir del circuito, en el que las incgnitasson las tensiones de nudo y los datos son las admitancias propias ycomunes y las corrientes de las fuentes:

Conocidas las tensiones de nudo resulta sencillo obtener cualquierotra magnitud del circuito (corrientes en los elementos, potencias, ...).Debe notarse que para que la aplicacin de este mtodo sea sencilla esnecesario que todas las corrientes aportadas por las fuentes seanconocidas.


En los circuitos en los que los valores de las fuentes son invariablescon el tiempo y los elementos pasivos son nicamente resistencias, lasolucin se obtiene de forma inmediata aplicando los procedimientosanteriores. Sin embargo, en la mayora de circuitos intervienen bobinasy condensadores, cuyas ecuaciones de definicin incluyen derivadastemporales, y no todas las fuentes son invariables. Se requiere entoncesaplicar a los procedimientos anteriores las herramientas habituales pararesolver sistemas de ecuaciones integro-diferenciales1.

En los circuitos elctricos, igual que en cualquier otro sistemafsico2, cuando las magnitudes (tensiones, corrientes, ...) no dependen deltiempo se dice que se encuentra en rgimen permanente o estacionario.Normalmente la evolucin desde un rgimen permanente inicial a otrorgimen permanente final distinto requiere la variacin temporal de lasmagnitudes, esto es, la aparicin de un rgimen transitorio. Algunossistemas fsicos nunca llegan a alcanzar un rgimen permanente porquesus condiciones son cambiantes.

(1) En el Anexo 3B se ha incluido un breve recordatorio.

(2) Mecnico, trmico, hidrulico, ...Para poder comparar con los circuitos elctricos, sehan incluido algunos ejemplos en el Anexo.3A



La resolucin de circuitos en rgimen permanente es mucho mssimple que la resolucin de los procesos transitorios. Afortunadamente,en las aplicaciones habituales, el rgimen que interesa conocer conprecisin es el permanente, pero no debe olvidarse la existencia deregmenes transitorios ni las caractersticas bsicas de stos para podergarantizar que el circuito funcionar correctamente siempre.

5.1.- Rgimen permanente con fuentes constantes

En rgimen permanente (esto ocurre normalmente cuando elcircuito ha permanecido largo tiempo sin ser modificado) esrazonable esperar que, si las fuentes son constantes, las tensionesy las corrientes en todos los elementos sean tambin constantes.Esto implica que en el anlisis en esta situacin slo intervienen lasfuentes y las resistencias1.

5.2.- Rgimen estacionario con fuentes sinusoidales

Cuando las fuentes son, tal como las del Sistema Elctrico dePotencia, sinusoidales (por ejemplo una funcin coseno de unaconstante, , por el tiempo) debemos esperar que finalmente todaslas tensiones y corrientes sean tambin sinusoidales. Esto no es

R sigue siendo R

Lequivale a un interruptor cerrado

C

equivale a un interruptor abierto

(1) Para representar correctamente las bobinas y condensadores, debe recordarse que uninterruptor cerrado presenta idealmente resistencia cero mientras que un interruptorabierto presenta resistencia infinita (y no deja circular corriente)



37

Circuitos elctricos

propiamente un rgimen permanente, pero su evolucin peridicaestacionaria permite un anlisis sencillo:

R si

L si

C si

5.3.- Continuidad

En los elementos pasivos ideales existen restricciones decontinuidad de algunas magnitudes. Podemos comprobarlo a partirde la energa que absorben del circuito. La energa es siempre unafuncin continua porque, en caso contrario, sera necesario aportaruna potencia infinita1, as:

Raunque (u) e (i) sean discontinuas,la energa sigue siendo continua.

sinrestricciones

Lla corriente debe ser continua paraque la energa sea continua

Cla tensin debe ser continua paraque la energa sea continua

(1) Esta situacin tambin ocurre habitualmente con la velocidad de los objetos: es

continua porque la energa cintica debe ser continua



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Circuitos elctricos

propiamente un rgimen permanente, pero su evolucin peridicaestacionaria permite un anlisis sencillo:

R si

L si

C si

5.3.- Continuidad

En los elementos pasivos ideales existen restricciones decontinuidad de algunas magnitudes. Podemos comprobarlo a partirde la energa que absorben del circuito. La energa es siempre unafuncin continua porque, en caso contrario, sera necesario aportaruna potencia infinita1, as:

Raunque (u) e (i) sean discontinuas,la energa sigue siendo continua.

sinrestricciones

Lla corriente debe ser continua paraque la energa sea continua

Cla tensin debe ser continua paraque la energa sea continua

(1) Esta situacin tambin ocurre habitualmente con la velocidad de los objetos: es

continua porque la energa cintica debe ser continua



5.4.- Rgimen transitorio

Los regmenes transitorios aparecen en muchas situacionesnormales: en muchos casos son el puente entre dos regmenes permanen-tes distintos. El estudio riguroso del rgimen transitorio requiere lautilizacin de procedimientos de clculo como los que se describen enla Anexo 3B, pero en muchos casos es suficiente con analizar losregmenes permanentes inicial y final para conocer la forma que tendrel transitorio:

1. Valores iniciales:El transitorio se inicia cuando se modifica cualquier elementodel circuito (el valor de una impedancia, el estado de uninterruptor, ...). Este instante inicial se considera habitualmenteel origen de tiempos, denominndose (t=0+) al instante justodespus de la modificacin del circuito y (t=0-) al instanteprevio. La situacin previa debe ser conocida (por ejemplo, unrgimen permanente que se resuelve con facilidad), as lastensiones y corrientes en cada elemento en (t=0+) se determinanresolviendo el circuito considerando las condiciones decontinuidad desde (t=0-).

2. Valores finales:Si, como es habitual, el punto final es un nuevo rgimenpermanente (t), su solucin se obtiene fcilmente resolvien-do el circuito considerando el comportamiento de los elemen-tos pasivos en esta situacin.

3. Forma del transitorio:El aspecto de las tensiones y corrientes en los elementos delcircuito a lo largo del transitorio puede conocerse a partir de lasraces que se obtengan en el polinomio caracterstico (si seutiliza el Mtodo del Operador D) o en el polinomio D(p) (si seutiliza la Transformada de Laplace). Pueden darse dos situacio-nes:



39

Circuitos elctricos

Que sean races reales:En este caso sern siempre negativas, lo que significaque el transitorio es una funcin exponencial que unelos valores iniciales con los valores finales.

Que sean races complejas:En este caso, como la solucin fsica es necesariamen-te real, aparecen siempre parejas de races complejasconjugadas (p1 = -a + j ) y (p2 = -a - j ) . Lasimplificacin del sumatorio de estas exponencialesmuestra que el transitorio es una sinusoide amorti-guada (e-a t) de velocidad angular .

En los sistemas elctricos la parte real de las races es negativa porlo que el rgimen transitorio desaparece al cabo de poco tiempo.Convencionalmente se considera que el transitorio finaliza cuando ladiferencia entre el valor instantneo de las tensiones e intensidades y elvalor final de estas magnitudes es inferior a 0,67% de la diferencia entreel valor inicial y el final. Al 20% de este tiempo se le denomina ,constante de tiempo del circuito (o, expresado al revs: se considera queel transitorio en los sistemas elctricos dura 5). En el caso simple de

circuitos con una sola raiz real .



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Circuitos elctricos

Que sean races reales:En este caso sern siempre negativas, lo que significaque el transitorio es una funcin exponencial que unelos valores iniciales con los valores finales.

Que sean races complejas:En este caso, como la solucin fsica es necesariamen-te real, aparecen siempre parejas de ra

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