126
429 8. CIRCUITE ELECTRICE Din punctul de vedere al electrocineticii, circuitul electric este un sistem fizic format dintr-unul sau mai multe "lanţuri" închise de corpuri conductoare (lanţuri numite şi ochiuri sau bucle), în care "acţionează" cel puţin un câmp electric imprimat şi/sau solenoidal. Din punctul de vedere al tehnicii, circuitul electric este alcătuit din surse şi din receptoare de energie electrică, conectate între ele în scopul transformării energiei dintr-o formă neelectrică (la surse) în alta (tot neelectrică, la receptoare) prin intermediul unor procese de câmp electromagnetic. După variaţia în timp a mărimilor electrice de circuit (t.e.m., intensitate a curentului, potenţiale ale diferitelor puncte ale circuitului etc.) există: circuite de curent continuu şi circuite de curent alternativ. 8.1. Elementele circuitelor electrice. Parametri de circuit Din punctul de vedere al proceselor de câmp, circuitele conţin ca elemente constitutive: rezistoare, bobine şi condensatoare, numite şi componente de circuit. Acestea pot fi active (în special rezistorul şi bobina), când sunt sediul unor tensiuni electromotoare, sau pasive. Dacă parametrii caracteristici ai acestor dispozitive (rezistenţă, inductanţă, capacitate) sunt independenţi de curentul electric sau de tensiunea aplicată la bornele lor, ele constituie elemente de circuit liniare. În conductoarele metalice, legea conducţiei electrice exprimată prin relaţiile J E ρ = sau Ri u = se realizează cu foarte mare precizie şi de aceea metalele sunt încadrate în categoria de conductoare numite liniare. În lichide, cu unele excepţii, deplasarea sarcinilor electrice se face de asemenea în concordanţă cu legea conducţiei. Curentul electric în gaze nu se supune însă nici măcar cu aproximaţie legii lui Ohm. Un astfel de mediu conductor în care curentul electric nu se supune legii conducţiei se numeşte neliniar. În afară de gaze, există numeroase corpuri conductoare neliniare: straturile de tranziţie dintre metale şi oxizii lor, anumite compoziţii ceramice, semiconducrorii etc. În cadrul elementelor de circuit electric sunt considerate neliniare arcul electric, dispozitivele semiconductoare, tuburile electronice sau ionice, bobinele cu miez de fier etc. Comportarea acestor componente în regim electrocinetic este descrisă de caracteristica tensiune - curent ) (i f u = sau ) (u f i = , numită caracteristică volt - amper, care este neliniară. Elementele neliniare, într-o reţea, aduc uneori prejudicii funcţionării reţelei însă alteori, particularităţile lor sunt folosite la rezolvarea unor probleme importante de electrotehnică. De aceea, cunoaşterea efectelor neliniarităţii circuitelor şi a consecinţelor ei este o chestiune de mare importanţă practică. 8.1.1. Parametrii circuitelor electrice Parametrii de circuit sunt mărimi fizice care caracterizează comportarea elementelor de circuit aflate în câmp electromagnetic. Ei sunt rezistenţa, conductanţa, inductivitatea (inductanţa) proprie, inductivitatea (inductanţa) mutuală, capacitatea, elastanţa precum şi impedanţa, admitanţa, reactanţa, susceptanţa -pentru circuitele de curent alternativ sinusoidal.

Electrotehnica - CAPITOLUL 8

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Bazele Electrotehnicii

Citation preview

Page 1: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

429

8. CIRCUITE ELECTRICE Din punctul de vedere al electrocineticii, circuitul electric este un sistem fizic format dintr-unul sau mai multe "lanţuri" închise de corpuri conductoare (lanţuri numite şi ochiuri sau bucle), în care "acţionează" cel puţin un câmp electric imprimat şi/sau solenoidal.

Din punctul de vedere al tehnicii, circuitul electric este alcătuit din surse şi din receptoare de energie electrică, conectate între ele în scopul transformării energiei dintr-o formă neelectrică (la surse) în alta (tot neelectrică, la receptoare) prin intermediul unor procese de câmp electromagnetic. După variaţia în timp a mărimilor electrice de circuit (t.e.m., intensitate a curentului, potenţiale ale diferitelor puncte ale circuitului etc.) există: circuite de curent continuu şi circuite de curent alternativ.

8.1. Elementele circuitelor electrice. Parametri de circuit

Din punctul de vedere al proceselor de câmp, circuitele conţin ca elemente constitutive: rezistoare, bobine şi condensatoare, numite şi componente de circuit. Acestea pot fi active (în special rezistorul şi bobina), când sunt sediul unor tensiuni electromotoare, sau pasive. Dacă parametrii caracteristici ai acestor dispozitive (rezistenţă, inductanţă, capacitate) sunt independenţi de curentul electric sau de tensiunea aplicată la bornele lor, ele constituie elemente de circuit liniare. În conductoarele metalice, legea conducţiei electrice exprimată prin relaţiile JE ρ= sau

Riu = se realizează cu foarte mare precizie şi de aceea metalele sunt încadrate în categoria de conductoare numite liniare. În lichide, cu unele excepţii, deplasarea sarcinilor electrice se face de asemenea în concordanţă cu legea conducţiei. Curentul electric în gaze nu se supune însă nici măcar cu aproximaţie legii lui Ohm. Un astfel de mediu conductor în care curentul electric nu se supune legii conducţiei se numeşte neliniar. În afară de gaze, există numeroase corpuri conductoare neliniare: straturile de tranziţie dintre metale şi oxizii lor, anumite compoziţii ceramice, semiconducrorii etc. În cadrul elementelor de circuit electric sunt considerate neliniare arcul electric, dispozitivele semiconductoare, tuburile electronice sau ionice, bobinele cu miez de fier etc. Comportarea acestor componente în regim electrocinetic este descrisă de caracteristica tensiune - curent )(ifu = sau )(ufi = , numită caracteristică volt - amper, care este neliniară. Elementele neliniare, într-o reţea, aduc uneori prejudicii funcţionării reţelei însă alteori, particularităţile lor sunt folosite la rezolvarea unor probleme importante de electrotehnică. De aceea, cunoaşterea efectelor neliniarităţii circuitelor şi a consecinţelor ei este o chestiune de mare importanţă practică.

8.1.1. Parametrii circuitelor electrice

Parametrii de circuit sunt mărimi fizice care caracterizează comportarea elementelor de circuit aflate în câmp electromagnetic. Ei sunt rezistenţa, conductanţa, inductivitatea (inductanţa) proprie, inductivitatea (inductanţa) mutuală, capacitatea, elastanţa precum şi impedanţa, admitanţa, reactanţa, susceptanţa -pentru circuitele de curent alternativ sinusoidal.

Page 2: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

430

Parametrii de circuit pot fi concentraţi, adică localizaţi în anumite elemente ale circuitului, sau distribuiţi (uniform sau după o anumită lege) şi depind de dimensiunile şi forma corpului, de natura materialului, de omogeneitatea şi izotropia sa etc. Ei sunt adesea sub influenţa unor factori de mediu cum sunt temperatura, umiditatea etc, înfluenţă care în unele aplicaţii poate fi neglijată.

8.1.2. Elemente de circuit

Elementele de circuit sunt constituite în scopul realizării unor anumite procese de câmp: rezistorul pentru a transforma energia electromagnetică în căldură, bobina pentru a produce câmp magnetic, condensatorul pentru a produce câmp electric. Comportarea lor este caracterizată prin parametri de circuit cum sunt: rezistenţa, conductanţa, inductanţa proprie şi/sau mutuală, capacitatea etc. Deşi construite pentru a prezenta un anumit parametru de circuit, orice elemente de circuit prezintă simultan mai mulţi parametri al căror efect este mai mult sau mai puţin semnificativ. În regimuri cvasistaţionare, nu şi la frecvenţe foarte ridicate, putem considera, fără erori pentru calculele practice, că rezistorul prezintă numai rezistenţă, bobina numai inductanţă iar condensatorul numai capacitate. În cele mai multe cazuri elementele de circuit nu au dimensiuni mari, iar acest lucru permite să neglijem distribuţia spaţială a parametrilor circuitului, pe care îi considerăm concentraţi.

Rezistoare

Aceste elemente au rolul de a introduce în circuit o rezistenţă electrică, consecinţă a proprietăţii fizice pe care o au. După mărimea rezistivităţii, corpurile care prezintă rezistenţă electrică pot fi: - conductori electrici, propriu-zişi, având rezistivitatea până la circa 1 Ωcm; - semiconductori, a căror rezistivitate este cuprinsă între circa 1 Ωcm şi 1010 Ωcm; - izolanţi, cu rezistivitatea mai mare decât limita considerată maximă pentru rezistivitatea semiconductorilor.

Limitele de mai sus sunt orientative şi nu riguroase: un corp cu rezistivitatea cuprinsă într-o categorie poate prezenta proprietăţi specifice altei categorii. Prezenţa rezistenţei în circuitele electrice are următoarele efecte: - căderea de tensiune, efect definit prin diferenţa de potenţial la bornele rezistorului de rezistenţă R atunci când este sub curentul i: Riu =∆ . Într-un circuit ca acela din figura 8.1, compus din sursa de t.e.m e , receptorul de energie R şi conductoarele de legătură cu rezistenţele

1R şi 2R rezultă: ri – căderea de tensiune pe rezistenţa internă a sursei, rieu −=0 – tensiunea la bornele sursei, iRiRuuul 2121 +=∆+∆=∆ – căderea de tensiune în conductoarele de legătură, luuu ∆−= 01 – tensiunea aplicată receptorului. În reţelele electrice industriale se admite o cădere de tensiune procentuală în conductoarele de legătură (în linie) de maximum 5 %, în vederea asigurării unei tensiuni normale de funcţionare la receptor; - pierderea de putere şi energie. În regim electrocinetic se produce o degajare de căldură. Viteza de transformare a energiei în căldură este egală cu puterea electrică absorbită de rezistor:

2Riuip == . Rezistoarele aparatelor electrice de încălzit sunt construite tocmai pentru realizarea acestui efect (efectul termic al electrocineticii).

Page 3: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

431

Rezistenţa unui conductor metalic variază cu temperatura ca şi rezistivitatea, după modelul )1(0 θ∆α+= RRR . În calculele practice este admisă înlocuirea lui R0 cu R20, temperatura de referinţă fiind de 20 °C, iar ∆θ fiind luată în raport cu această temperatură. Diferenţa dintre coeficienţii de temperatură ai rezistenţei şi rezistivităţii se poate neglija practic, luându-se

ρα=αR , deoarece variaţia dimensiunilor materialului cu temperatura este nesemnificativă faţă de variaţia rezistivităţii. În apropiere de zero absolut rezistivitatea majorităţii metalelor scade brusc. Fenomenul se numeşte supraconductivitate electrică (v. § 4.6.2). În zona de temperaturi cuprinsă între zero şi 100 °C rezistenţa conductoarelor variază liniar cu temperatura. Conductorii situaţi la limită între proprietăţile materialelor conductoare şi ale celor semiconductoare, cum sunt nichelina, constantanul, manganina, prezintă particularitatea unei rezistenţe practic constante între zero şi 200 °C. Ele servesc la confecţionarea reostatelor pentru pornirea motoarelor electrice şi la confecţionarea rezistenţelor pentru cuptoarele electrice. Caracteristicile )(ifu = pentru cazurile menţionate mai sus sunt cele din figura 8.2. Rezistenţa conductoarelor metalice se mai modifică şi ca urmare a tratamentelor mecanice şi termice; prin ecruisare rezistivitatea creşte iar prin tratamentele de recoacere sau de revenire creşte conductivitatea. Din punctul de vedere constructiv rezistoarele se clasifică în rezistoare fixe şi rezistoare variabile, iar din punctul de vedere al realizării părţii rezistive există trei tipuri de rezistoare: - rezistoare bobinate - la care partea rezistivă este un conductor metalic de mare rezistivitate bobinat pe un suport izolant; - rezistoare peliculare - la care elementul rezistiv este format dintr-o depunere peliculară, rezistivă, cu grosime mai mică decât 100 µm, pe un suport izolant; - rezistoare de volum - cu elementul rezistiv format dintr-un corp "masiv" de diferite forme (de obicei cilindrică). Rezistoarele de acest tip se numesc şi rezistoare chimice fiind realizate după o tehnologie de tip chimic. Rezistoarele fixe au simbolul grafic reprezentat în figura 8.3 şi sunt caracterizate prin: - rezistenţa nominală, nR şi toleranţa acesteia exprimată în procente din nR . Rezistoarele etalon au toleranţa de ± 1% sau ± 2,5%, rezistoarele de precizie au toleranţa de ± 2,5% şi ± 5%, iar cele de uz curent au toleranţe de la ± 5% până la ± 20%; - puterea de disipaţie nominală reprezintă puterea electrică maximă

2nn IR ce poate fi dezvoltată în rezistor fără ca temperatura acesteia să

depăşeasca valoarea maximă admisă; - tensiunea nominală, nU , definită ca fiind tensiunea maximă de durată ce poate fi aplicată la bornele rezistorului; - intervalul temperaturilor de lucru, în limitele căruia se asigură funcţionarea de durată a rezistorului.

Fig. 8.1

Fig. 8.2

Fig. 8.3

Page 4: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

432

Rezistoarele variabile al căror simbol de schemă este prezentat în figura 8.4 sunt caracterizate în funcţie de tipul lor constructiv prin: - rezistenţă iniţială, 0r , definită ca rezistenţa în poziţia iniţială a contactului mobil; - rezistenţa saltului iniţial, sr definită ca variaţia minimă a rezistenţei la deplasarea contactului mobil din poziţia iniţială; - rezistenţa de contact, kr , adică rezistenţa dintre contactul mobil şi partea fixă (rezistivă); - rezoluţia sau precizia reglării exprimată prin variaţia minimă posibilă a rezistenţei la deplasarea contactului mobil; - modul de variaţie al rezistenţei, de exemplu, liniară, logaritmică etc, în funcţie de parametrul de poziţie al contactului

mobil; - puterea necesară acţionării contactului mobil, numit şi cursor. Contactul mobil se execută în diverse moduri ca: lamelă, perie sau plot din bronz fosforos, alamă sau oţel "apăsat" pe parte fixă cu ajutorul unui arc spiral sau lamelar. Din punct de vedere constructiv, rezistoarele variabile pot fi de formă rectilinie sau circulare. Cele circulare pot fi elicoidale (cu deplasare elicoidală a cursorului) sau cu unghi de rotaţie. În montaje, rezistoarele variabile se pot conecta în două moduri: reostatic (fig. 8.5) şi potenţiometric (fig. 8.6).

Alte modalităţi de legare a rezistoarelor variabile sunt prezentate în figura 8.7: reostat cu scurtcircuitare (a), reostat dublu (b), potenţiometru cu contact fix (c). Potenţiometrul cu contact median fix realizează un reglaj de la –U la +U al tensiunii de ieşire.

Rezistoare neliniare. După alura caracteristicii volt – amper, deosebim elemente neliniare simetrice şi nesimetrice. Cele din prima categorie ( de exemplu: lampa cu filament metalic – figura 8.8a, lampa cu filament de cărbune - figura 8.8b, tubul baretor – cu filament de fier sau volfram şi umplut cu hidrogen sub presiune – figura 8.8c, termistorul –confecţionat din pulberi de oxizi de cupru, titan sau zinc, presate la temperaturi înalte – figura 8.8d, varistorul –confecţionat din carbură de siliciu – figura 8.8e) au curba caracteristică simetrică în raport cu originea axelor de

coordonate, ceea ce arată că rezistenţa lor depinde de curent în mod identic pentru ambele sensuri ale acestuia. La elementele nesimetrice (cum sunt dioda cu vid – figura 8.9a sau dioda semiconductoare – figura 8.9b) rezistenţa depinde şi de sensul curentului prin element.

Fig. 8.4

Fig. 8.5 Fig. 8.6

Fig. 8.7

Page 5: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

433

Caracterizarea rezistoarelor neliniare se face prin rezistenţa statică corespunzătoare punctului de funcţionare, M, şi prin rezistenţa dinamică. Prima, este definită prin:

α==∧

tg/ mMs iuR , (8.1) (v. fig. 8.10), iar cealaltă prin:

.tgddlim

0β=

=

∆∆

=∧

→∆MM

id iu

iuR (8.2)

Din cele de mai sus rezultă că rezistenţa statică are numai valori pozitive, rezistenţa dinamică putând fi negativă pe acele porţiuni ale caracteristicii pe care variaţiile tensiunii şi curentului au sensuri opuse. Rezistenţa dinamică ne indică modul cum variază rezistenţa rezistorului neliniar la creşterea tensiunii aplicată la bornele sale.

Rezistoare neliniare comandate. Prin comanda rezistoarelor se înţelege procedeul prin care se modifică poziţia sau forma caracteristicilor acestuia în planul de reprezentare ( iu, ). O deosebită importanţă practică o prezintă comanda prin mărimi electrice a rezistoarelor electrice neliniare. Caracteristica rezistorului fiind descrisă de relaţia )(uii = în care considerăm curentul ca "semnal de răspuns", dependent neliniar de "semnalul de excitaţie principal" u , prin comandă se realizează o nouă caracteristică ),( cuuii = , cu ajutorul unui al doilea semnal de excitaţie, cu , numit "semnal de comandă". Pentru un rezistor comandat, caracteristica .const)( ==

cuuii se numeşte caracteristică de sarcină sau

caracteristică de lucru iar .const)( == ucuii se numeşte caracteristică de comandă. Rezistoarele neliniare comandate cu cea mai largă utilizare în tehnică sunt trioda electronică şi trioda semiconductoare (tranzistorul) şi -pentru puteri mari- tiristorul.

Rezistorul liniar variabil în timp (parametric). Rezistorul parametric are ecuaţia caracteristică )()()( titRtu = , în care )(tR se numeşte rezistenţă parametrică. Rezistoarele eteroparametrice îşi

modifică rezistenţa sub acţiunea unor cauze exterioare. Ea poate varia continuu sau prin salt, instantaneu sau inerţial.

Fig. 8.10 Fig. 8.9

Fig. 8.8

Page 6: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

434

În tehnică, rezistoarele eteroparametrice au utilizări multiple şi se realizează într-o gamă largă de tipuri ca de exemplu: rezistoarele din particule de cărbune care îşi modifică rezistenţa sub acţiunea presiunii; rezistoarele filiforme care se alungesc în domeniul elastic, dacă sunt supuse la eforturi mecanice; termorezistenţele a căror rezistenţă se modifică sub acţiunea temperaturii etc. Rezistoarele autoparametrice sunt rezistoare neliniare neinerţiale, care îşi modifică rezistenţa dinamică sub acţiunea unor excitaţii periodice sau neperiodice, un exemplu tipic fiind dioda semiconductoare.

Bobine electrice

Bobina electrică este elementul de circuit constituit dintr-o succesiune de spire în serie şi destinat producerii câmpului magnetic, atunci când spirele sunt "parcurse" de curent, sau destinat a fi sediul unei tensiuni electromotoare induse, când circuitul bobinei se află într-un câmp magnetic variabil în timp. De asemenea, bobina ca element de circuit poate fi destinată limitării vitezei de creştere a curentului în circuit ca urmare a fenomenului autoinducţiei. În acest caz se spune că bobina este destinată introducerii într-un anume loc din circuit a unei inductanţe (inductivităţi) sau a unei reactanţe. Bobinele destinate producerii câmpului magnetic (bobine de excitaţie) şi acelea destinate producerii prin inducţie electromagnetică a curenţilor, intră în componenţa maşinilor şi aparatelor electrice cum sunt maşinile rotative, aparatele de măsurat, releele, contactoarele etc. Bobinele destinate introducerii inductivităţii în circuite se pot constitui ca bobine autonome cum sunt bobinele de inductanţă, bobinele de reactanţă, bobinele etalon, bobinele de şoc etc. Din punctul de vedere al electrocineticii bobinele sunt caracterizate prin parametrul inductivitate (inductanţă) proprie L şi/sau inductivitate (inductanţă) mutuală M. Inductivitatea este parametrul de circuit care exprimă, aşa cum s-a arătat în capitolul 5, posibilitatea circuitelor, aflate în regim electrocinetic, de a produce flux magnetic prin anumite suprafeţe. Clasificarea constructivă a bobinelor se face după criterii exterm de variate, ce nu pot fi cuprinse în acest capitol. De aceea ne limităm la câteva criterii generale. Din punctul de vedere funcţional bobinele pot fi fixe – pentru care inductivitatea L este constantă în tot timpul funcţionării şi variabile – pentru care variaţia inductivităţii este funcţional necesară. Simbolurile lor de schemă sunt prezentate în figura 8.11a şi, respectiv, 8.11b. Bobinele cuplate, caracterizate prin inductivitate mutuală M, se reprezintă pe scheme aşa ca în figura 8.12. În figura 8.12a este prezentat simbolul pentru bobine cu cuplaj fix, iar în figura 8.12b, simbolul pentru bobine cu cuplaj variabil. Asteriscurile cu care sunt marcate una din cele două extremităţi ale bobinei arată în mod convenţional asocierea sensului de referinţă al curentului cu sensul de bobinare al spirelor. Astfel,

dacă în prima bobină sensul curentului este de la borna polarizată către cea nepolarizată, atunci în cea de a doua bobină se induce o tensiune electromotoare cu sensul de referinţă tot de la borna polarizată către cea nepolarizată.

Fig 8.11 Fig 8.12

Page 7: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

435

Bobinele se realizează, de regulă, dintr-un conductor bobinat elicoidal, într-unul sau mai multe straturi, pe o carcasă din material izolant. Bobinele fără miez de fier sunt liniare în sensul că inductivităţile lor (L, M) sunt constante. Miezul de fier oferă posibilitatea obţinerii de inducţii magnetice mari cu ajutorul unor curenţi de intensitate relativ mică, pe seama permeabilităţii mari a materialului feromagnetic. Din cauza faptului că permeabilitatea magnetică a feromagneţilor depinde de intensitatea câmpului magnetic exterior, relaţia HB µ= nu este liniară. Tot neliniară va fi şi dependenţa )(if=Φ reprezentând caracteristica magnetică a bobinei (fig. 8.13) şi, prin urmare, inductivitatea bobinei

iNL /Φ= nu mai este constantă (cu N s-a notat numărul de spire). Bobina cu miez de fier este deci un element de circuit cu comportare neliniară. Carcasele bobinelor pot fi tubulare, cu secţiune pătrată, dreptunghiulară sau rotundă (după forma miezului) sau cu flanşe laterale sau intermediare. Materialul din care se execută se alege în funcţie de rezistenţa de izolaţie necesară în timpul funcţionării, de rezistenţa mecanică, de stabilitatea termică, de stabilitatea la umezeală etc. Bobinajul propriu-zis se execută din conductoare de cupru sau aluminiu cu secţiune rotundă sau dreptunghiulară, izolate cu emailuri (lacuri pe bază de polivinilacetat, răşini poliuretanice, epoxidice, siliconice etc), fibre textile (bumbac, mătase), fibre anorganice (sticlă) şi izolaţii mixte (email-bumbac, email-mătase etc). Bobinele tehnice sunt caracterizate prin următoarele mărimi: - inductivitate nominală L ; - rezistenţă electrică a înfăşurării r ; - rezistenţă de pierderi (echivalentă pierderilor în fier, prin curenţi turbionari şi prin histerezis, la o anumită frecvenţă de lucru –v. subcap. 7.3); - inducţia magnetică maximă în miez; - tensiunea de lucru (nominală); - curentul de lucru (nominal).

Bobina neliniară. Studiul bobinei cu miez de fier presupune rezolvarea sistemului neliniar :

t

RiuddΦ

+= ; (8.3)

)(iΦ=Φ . (8.4) Parametrul principal al bobinei neliniare îl constituie inductanţa ei. În cazul în care caracteristica de magnetizare este reprezentată în planul

),( HB se defineşte ca parametru permeabilitatea. Inductivitatea statică şi permeabilitatea magnetică statică sunt proporţionale cu panta dreptei OM (fig. 8.14):

α=Φ

= tgLM

Mst k

iL (8.5)

şi

α==µ µ tgkHB

M

Mst . (8.6)

unde iL kkk /Φ= şi HB kkk /=µ reprezintă coeficienţii de scară ai inductivităţii şi respectiv permeabilităţii.

Fig. 8.13

Fig. 8.14

Page 8: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

436

Inductivitatea dinamică şi permeabilitatea magnetică dinamică sunt proporţionale cu panta tangentei în M la curba de magnetizare:

(8.7) β=

Φ

= tgdd

LM

d ki

L

şi

(8.8) β=

=µ µtg

dd kHB

Md .

În figura 8.15 s-au trasat curbele )(iB , )(iLst şi )(iLd pentru întreg domeniul de variaţie al curentului. Se observă că ambele mărimi au numai valori pozitive.

Bobina neliniară comandată. Comanda bobinei neliniare se realizează prin aplicarea unui câmp magnetizant suplimentar, în mod obişnuit pe direcţia câmpului magnetic principal. Deosebit de importantă în practică este comanda în curent continuu, realizată cu o înfăşurare cu cN spire plasate pe acelaşi miez cu bobina propriu-zisă (înfăşurarea de sarcină) având sN spire (fig. 8.16).

Limitarea curenţilor induşi de circuitul de sarcină în cel de comandă se face, fie prin înserierea unei bobine de inductanţă, L , în înfăşurarea de comandă (fig. 8.16), fie dispunând bobinele pe două miezuri ca în figura 8.17a. În majoritatea aplicaţiilor practice interesează caracteristicile de comandă .const)( ==

cIsss IUU (valori eficace) – figura 8.17b şi .const)( ==sUcss III –

figura 7.17c. Bobina liniară variabilă în timp (parametrică) şi necuplată magnetic. Variaţia

inductivităţii unei bobine poate fi realizată fie prin variaţia dimensiunilor geometrice, fie prin variaţia permeabilităţii.

Bobina eteroparametrică este este prevăzută cu întrefier variabil (de exemplu maşinile cu poli aparenţi) sau cu posibilitatea introducerii în întrefier a unor lamele din material feromagnetic, în care se induc curenţi turbionari al căror câmp magnetic contribuie substanţial la modificarea înductivităţii. Ea se

poate realiza şi cu ajutorul unor cuplaje magnetice variabile în timp (de exemplu maşinile cu poli înecaţi). Traductoarele inductive de deplasare utilizează asemenea principii. Bobinele neliniare neinerţiale pot fi considerate autoparametrice deoarece inductanţa lor variază periodic în timp datorată variaţiei periodice a semnalului de excitaţie.

Fig. 8.15 Fig. 8.16

Fig. 8.17

Page 9: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

437

Condensatoare electrice

Elementul de circuit conceput să aibă ca parametru principal capacitatea este condensatorul electric, numit, uneori, capacitor. Utilizările condensatoarelor sunt multiple şi sunt bazate pe proprietatea pe care o au, de a restitui total sau parţial enrgia înmagazinată pentru stabilirea câmpului electric între armături. Din acest punct de vedere un rol deosebit îl joacă dielectricul, iar caracteristicile condensatoarelor depind de natura dielectricului folosit. Dacă dielectricul condensatorului nu este liniar, adică dacă permitivitatea depinde de intensitatea locală şi momentană a câmpului, atunci dependenţa )(uqq = dintre sarcina şi tensiunea condensatorului nu mai este liniară. În acest caz se pot defini mai multe capacităţi care depind de punctul de funcţionare al condensatorului (fig. 8.18). Capacitatea statică, sC , într-un anumit punct de funcţionare (fig. 8.18a) este definită prin relaţia:

α=∧

tg=uqCs , (8.9)

dependentă, după cum se vede, de tensiunea aplicată la bornele condensatorului. Capacitatea diferenţială dC , se defineşte prin relaţia (v. fig.8.18b ):

β=

=

∆∆

=∧

→∆tg

ddlim

0MM

ud iu

iuC . (8.10)

Ea ne arată cum variază sarcina la variaţia tensiunii în jurul punctului de funcţionare şi este ,de asemenea, o funcţie de tensiunea aplicată. Capacitatea dinamică a unui condensator neliniar reprezintă raportul dintre amplitudinea

aq∆ a variaţiei sarcinii şi amplitudinea corespunzătoare au∆ a variaţiei tensiunii, la alimentarea cu o tensiune variabilă în timp, alternativă, dar care are o componentă continuă 0U (ce corespunde punctului mediu de funcţionare) şi o componentă periodică sinusoidală:

⋅∆∆

=a

a

uqCdin (8.11)

Capacitatea dinamică depinde, la rândul ei, de punctul de funcţionare precum şi de amplitudinea componentei alternative şi de frecvenţa ei. Din punctul de vedere al dielectricului utilizat, condensatoarele se clasifică în: condesatoare cu dielectric gazos (cu aer, cu vid, cu azot sub presiune sau rarefiat etc), condesatoare cu dielectric lichid (ulei), condesatoare cu dielectric anorganic solid (hârtie, pelicule plastice etc) şi condensatoare cu dielectric mixt (cu dielectrici în combinaţii diverse). Condensatoarele cu vid sau condensatoarele cu gaz comprimat se folosesc la instalaţiile de înaltă tensiune şi de frecvenţe radio, deoarece au rigiditate dielectrică mare şi pierderi în dielectric foarte mici.

Fig. 8.18

Page 10: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

438

Prin rigiditate dielectrică înţelegem, după cum s-a arătat în capitolul 3, raportul dintre tensiunea sU la care apare străpungerea unui strat dielectric plasat între doi electrozi plani şi grosimea d a acestui strat:

(8.12) d

UE s

s =, [kV/cm].

Rigiditatea dielectrică este, prin urmare, egală cu valoarea maximă a intensităţii câmpului la care poate fi străpuns dielectricul şi este o caracteristică a oricărui material izolant. Condensatoarele cu ulei, având capacitatea specifică mai mare şi tensiunea de străpungere mare se folosesc în instalaţiile electroenergetice, la 50 Hz şi la tensiuni de lucru până la 100 kV. Condensatoarele electrolitice se folosesc la montajele de filtraj ale redresoarelor cu tensiuni până la 1000 V (valoare de vârf). Condensatoarele cu hârtie sunt ieftine şi sunt folosite în circuitele de joasă frecvenţă, în special la aplicaţii de tip industrial (de exemplu, pentru compensarea puterii reactive a lămpilor fluorescente). Din punct de vedere constructiv, condensatoarele pot fi condensatoare fixe, a căror capacitate se stabileşte la fabricaţie şi rămâne constantă pe întreaga durată de funcţionare şi condensatoare variabile a căror capacitate se poate modifica –în limite stabilite– în timpul funcţionării sau pentru reglaj iniţial. Simbolizarea lor în scheme este făcută ca în figurile 8.19a, respectiv, 8.19b. Condensatoarele fixe au diverse forme constructive: plan, cilindric, bobinat. Pentru obţinerea unor performanţe superioare se realizează tipuri speciale de condensatoare plane cum

sunt cele constituite dintr-o folie de mică argintată (pentru înlăturarea interstiţiei dielectric-armătură), condensatoarele ceramice cu strat de baraj (armătură-strat semiconductor-strat dielectric ceramic-strat semiconductor-armătură) care obţin capacităţi specifice foarte mari (permiţând miniaturizarea condensatoarelor) etc. Condensatoarele variabile se construiesc după două principii distincte: cu variaţia capacităţii prin variaţia suprafeţei armăturilor, distanţa dintre armături rămânând constantă sau, cu variaţia distanţei dintre armături, suprafaţa lor rămânând constantă. Condensatoarele din prima categorie sunt preferate deoarece prezintă o caracteristică

)(AfC = liniară (fig. 8.20a). Condensatoarele variabile prin reglarea distanţei dintre armături au caracteristica

)(dfC = neliniară (fig. 8.20b) şi sunt utilizate acolo unde sunt necesare reglaje foarte fine pe porţiuni mici.

Principalele caracteristici ale condensatoarelor sunt de natură electrică şi tehnologică. Caracteristicile electrice ale condensatoarelor sunt: - capacitatea electrică nominală nC , la condensatoarele fixe şi limitele nCC ÷0 între care poate fi reglată capacitatea unui condensator variabil;

- toleranţa capacităţii la condensatoarele fixe (±2% pentru clasa 0, ±5% pentru clasa I, ±10% pentru clasa II şi ±20% pentru clasa III); - tensiunea de străpungere sU ; - pierderile de putere în regim periodic permanent.

Fig. 8.19

Fig. 8.20

Page 11: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

439

Caracteristicile tehnologice ale condensatoarelor sunt: - tensiunea nominală (de lucru) continuă cU ; - coeficientul de siguranţă, dat de raportul cs UU / ; - tensiunea nominală de lucru alternativă U (valoare eficace); - temperatura maximă de lucru; - poziţia de funcţionare; - capacitatea specifică (µF/cm3). Condensatorul cu pierderi. Materialele izolante nu sunt în realitate dielectrici ideali

deoarece în ei apar mici curenţi de conducţie (care produc pierderi în dielectric şi încălzirea acestuia) sau prezintă fenomenul de histerezis dielectric caracterizat printr-o dependenţă neliniară (fig. 8.21) dintre sarcina q de pe armături şi tensiunea u aplicată condensatorului (sarea Seignette, titanatul de bariu), aşa cum s-a arătat în capitolul 3. Fenomenul de histerezis dielectric constă de fapt în rămânerea în urmă a inducţiei în raport cu câmpul electric, dependenţa q(u) reprezentând la altă scară dependenţa D(E) aşa cum rezultă din legea fluxului electric şi din relaţia de definiţie a tensiunii:

qAD =⋅∫Σ

d (8.13)

şi ulE =⋅∫

→21

d . (8.14)

Caracteristica )(uq pune în evidenţă proprietăţi remanente ale substanţelor numite seignettoelectrice sau feroelectrice. Ea reprezintă ciclul de încărcare al condensatorului, în timp ce relaţia )(EDD = reprezintă ciclul de polarizare electrică. Forma ciclului dinamic de histerezis depinde şi de conductivitatea dielectricului. Dacă se notează cu 0G conductanţa dielectricului şi cu 0i intensitatea curentului de conducţie prin dielectric, expresia curentului absorbit de la sursă va fi dată de relaţia:

⋅+=+=tquG

tqii

dd

dd

00 (8.15)

Pierderile dielectrice se obţin înmulţind relaţia de mai sus cu tensiunea la bornele condensatorului:

tquuGui

dd2

0 += (8.16)

şi sunt egale cu suma dintre pierderile prin conducţie: 2

0uGpJ = (8.17) şi pierderile prin histerezis dielectric:

⋅=tquph d

d (8.18)

Se vede că pierderile prin histerezis dielectric sunt proporţionale cu aria ciclului respectiv. Condensatorul liniar variabil în timp (parametric). Condensatoarele eteroparametrice

se construiesc cu distanţa între armături variabilă sau cu aria suprafeţei armăturilor variabilă şi prezintă interes în special pentru utilizarea lor ca traductoare. Condensatoarele neliniare sunt totodată condensatoare autoparametrice deoarece capacitatea lor dinamică variază periodic sub acţiunea semnalelor periodice.

Fig. 8.21

Page 12: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

440

Generatorul independent de tensiune

Generatorul ideal de tensiune este elementul activ de circuit a cărui tensiune la borne nu depinde de intensitatea curentului, generatorul fiind caracterizat de variaţia în timp a tensiunii electromotoare: (8.19) )(teu = . În planul ( iu, ) caracteristica de funcţionare este o dreaptă paralelă la axa io − (fig. 8.22). Deoarece intensităţii curentului îi corespunde univoc o valoare a tensiunii, generatorul ideal de tensiune poate fi considerat rezistor neliniar activ cu control de curent. Simbolul său grafic este acela din figura 8.23.

Generatorul este de tensiune continuă dacă tensiunea electromotoare este constantă în timp: Ete =)( . Generatorul real de tensiune continuă este caracterizat de tensiunea electromotoare E şi de rezistenţa gR (fig. 8.24), caracteristica de funcţionare fiind o dreaptă (fig. 8.25) de ecuaţie: (8.20) ggb IRUE =− .

Generatorul independent de curent

Generatorul ideal de curent este elementul activ de circuit având intensitatea curentului independentă de tensiune, ecuaţia caracteristică fiind: (8.21) )(tii g= . În planul ( iu, ) caracteristica de funcţionare este o dreaptă paralelă la axa uo − (fig. 8.26). Deoarece tensiunii îi corespunde univoc o valoare a intensităţii curentului, generatorul ideal de curent poate fi considerat rezistor neliniar activ cu control de tensiune. Simbolul său grafic este acela din figura 8.27.

Fig. 8.22 Fig. 8.23

Fig. 8.24 Fig. 8.25

Page 13: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

441

Dacă intensitatea curentului este constantă în timp, gg Iti =)( , generatorul este de curent continuu. Generatorul real de tensiune continuă este caracterizat de injecţia de curent gI şi de conductanţa gG (fig. 8.28), caracteristica de funcţionare fiind:

ggg UGII =− . (8.22)

8.2. Mărimi electrice de circuit

Studiul circuitelor linire se face cu ajutorul mărimilor intensitate a curentului electric de conducţie, densitate a curentului electric de conducţie, tensiune electromotoare şi tensiune electrică, mărimi care sunt numite, în mod obişnuit, mărimi electrice de circuit.

8.2.1. Intensitatea curentului de conducţie i

Asupra conductoarelor aflate în stare electrocinetică se exercită în câmpul magnetic forţe suplimentare în raport cu cele electrice, termomecanice şi cu cele magnetice determinate de deplasarea sarcinii odată cu conductorul sau de momentele magnetice ale corpurilor. O porţiune rectilinie de lungime l∆ (orientată în sensul deplasării sarcinii pozitive) este supusă în câmpul magnetic uniform forţei electromagnetice , ale cărei intensitate, direcţie şi sens satisfac regula efectuării produsului BliF ×∆= . Factorul de proporţionalitate i este o mărime primitivă, globală (integrală), scalară, pozitivă, negativă sau nulă, dependentă numai de starea electrocinetică a conductorului, pe care în felul acesta o caracterizează. Macroscopic, această mărime, numită intensitate a curentului electric de conducţie, este definită ca raport dintre forţa maximă ce corespunde cazului Bl ⊥∆ şi produsul modulelor celor doi vectori:

BlBl

Fi⊥∆

=.

. (8.23)

Unitatea de măsură a intensităţii curentului electric de conducţie, amperul [A], este definită ca fiind acea valoare a intensităţii curentului care stabileşte între două conductoare paralele, situate în vid la distanţa de 1m, o forţă electrodinamică de 2.10-7N/m (v. § 1.2.1). Unitatea de măsură este astfel aleasă încât, sub aspect microscopic, ea să corespundă unei viteze de deplasare a sarcinii prin secţiunea conductorului de un coulomb pe secundă [1C/s].

Fig. 8.26 Fig. 8.27

Fig. 8.28

Page 14: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

442

8.2.2. Densitatea curentului electric de conducţie

Caracterizarea locală a stării electrocinetice se face cu ajutorul mărimii numită densitate a curentului electric de conducţie. Ea este definită ca intensitate pe unitatea de arie perpendiculară pe direcţia deplasării sarcinilor, a unei suprafeţe ce se strânge în jurul punctului considerat (fig.

8.29): Ai

AiJ A d

dlim 0 =∆∆

= →∆ [A/m2]. Atribuind densităţii curentului de conducţie direcţia şi sensul

deplasării sarcinilor o definim ca fiind mărimea vectorială al cărei flux printr-o suprafaţă este egal cu intensitatea curentului prin acea suprafaţă (v. § 1.2.1):

(8.24) ;d.d AJi = (8.25) .d.∫

Σ

= AJi

În calculele tehnice de dimensionare ale conductoarelor circuitelor electrice se admite ipoteza conductorului filiform, ori de câte ori dimensiunile secţiunii sunt mici în raport cu lungimea conductorului. Aceasta revine la a considera densitatea de curent uniform repartizată în secţiune iar vectorul densitate de curent omoparalel cu tangenta la axa

conductorului. Dacă secţiunea conductorului este constantă, relaţia (8.25) devine: (8.26) JAi = , adică:

(8.27) ⋅=AiJ

Relaţia (8.27) este folosită pentru a verifica dacă densitea de curent în conductor rămâne în limita admisă.

8.2.3. Tensiunea electromotoare

Starea electrocinetică a conductoarelor este consecinţă a deplasării purtătorilor de sarcină în conductor atunci când nu mai este îndeplinită condiţia de echilibru electrostatic ( 0≠+ iEE ).

Mărimea valoric egală cu lucrul mecanic efectuat de forţele electrice şi neelectrice pentru a deplasa sarcina pozitivă de un coulomb de-a lungul unui contur închis se numeşte tensiune electromotoare de contur. Ea este modelată de circulaţia câmpului electric rezultant de-a lungul conturului:

(8.28) ( ) ∫∫∫ΓΓΓ

⋅+⋅=⋅+= lElElEEe ii

D

c ddd .

Prima integrală din membrul al doilea exprimă tensiunea electrică de-a lungul conturului Γ , iar cealaltă, tensiunea electromotoare imprimată. T.e.m. imprimată caracterizează sursele cu câmp electric imprimat, exprimând capabilitatea forţelor neelectrice de a efectua lucru mecanic pentru transportul sarcinii (v. subcap 4.3). În cazul unui regim electrocinetic staţionar transportul sarcinilor se realizează numai pe contururi închise. În acest caz tensiunea electromotoare de contur provine numai din tensiunea electromotoare imprimată deoarece 0d =⋅∫

Γ

lE , conform teoremei potenţialului electric staţionar,

regimul electrocinetic staţionar fiind întreţinut, aşa cum s-a arătat în capitolul 4, numai de cauze neelectrice. El se realizează pe seama consumului de energie neelectrică acumulate în câmpurile imprimate aşa cum se întâmplă, de exemplu, în sursele chimice, unde forţele neelectrice efectuează lucru mecanic pentru transportul sarcinilor pe seama consumului energiei unor reacţii chimice.

Fig. 8.29

Page 15: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

443

În regim electrocinetic nestaţionar intensitatea câmpului electric are o componentă potenţială – cE , numită şi câmp electric coulombian şi una rotaţională – sE , produsă prin inducţie electromagnetică, numită şi câmp electric indus: sc EEE += . În acest caz, tensiunea electromotoare de contur va fi produsă de câmpul electric indus şi de câmpul electric imprimat, fiind egală cu suma dintre t.e.m. indusă şi t.e.m. imprimată: ∫∫

ΓΓ

⋅+⋅= lElEe isc dd . (8.29)

Prin tensiune electromotoare între două puncte ale unei curbe deschise se înţelege circulaţia sumei câmpului electric indus şi a câmpului electric imprimat, efectuată între cele două puncte: ( ) .d∫

⋅+=ba

isab lEEe (8.30)

Din cele expuse, rezultă că t.e.m. este o mărime scalară, cu valoare pozitivă sau negativă în funcţie de sensul ales pentru integrare. Sensul ales pentru integrare va fi sensul de referinţă pentru care valoarea rezultată prin integrare va fi pozitivă (v. şi §. 2.5). Evident, unitatea de măsură pentru t.e.m. este voltul [V].

8.2.4. Tensiunea electrică

Tensiunea electrică exprimă capabilitatea forţelor câmpului electric rezultant de a efectua lucru mecanic pentru transportul sarcinii de-a lungul unei curbe, între două puncte ale acesteia, modelul său fiind:

( )∫→

⋅+=21)(

12 dc

sc

D

lEEu . (8.31)

Tensiunea la borne a unui dipol, bu , are ca model circulaţia câmpului electric rezultant pe o curbă deschisă, c , prin dielectricul ce separă bornele a şi b, iar tensiunea în lungul firului, fu , este definită de circulaţia câmpului electric coulombian pe curba deschisă Γ dusă prin conductor între cele două borne (fig. 8.30):

( ) bbac

sc

D

ab ulEEu =⋅+= ∫→)(

d , (8.32)

respectiv:

fba

c

D

abf ulEu =⋅= ∫→Γ)(

d . (8.33)

În regim electrocinetic nestaţionar cele două tensiuni sunt diferite, fb uu ≠ . În schimb, în

regimul electrocinetic staţionar ( 0=sE ) rezultă:

∫∫→Γ→

⋅=⋅ba

cbac

c lElE)()(

dd , (8.34)

deoarece circulaţia vectorului cE nu depinde de drum, aşa că fb uu = . Ca şi tensiunea electromotoare, prezentată în paragraful anterior, tensiunea electrică este o mărime scalară afectată de semnul plus sau minus dependente de sensul de integrare în raport cu sensul de referinţă. Sensul de referinţă este acela care dă o valoare pozitivă tensiunii şi care se indică printr-o săgeată sau un arc orientat unind cele două borne.

Fig. 8.30

Page 16: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

444

8.2.5. Asocierea sensurilor de referinţă

Caracterul algebric al unor mărimi scalare de circuit, rezultat din definiţia lor în care intervin elemente geometrice (de arie şi de curbă) orientate, susceptibile de valori pozitive, nule sau negative impune alegerea unor sensuri de referinţă pentru calculul lor precum şi stabilirea unor convenţii de asociere a acestor sensuri de referinţă, pentru cazurile în care intervin, în aceeaşi relaţie, mai multe asemenea mărimi. În absenţa unor reguli unice de asociere a sensurilor de referimţă, evident, scrierea ecuaţiilor şi concluziile asupra soluţiilor sunt susceptibile de interpretări şi chiar de erori. Din acest motiv, pentru scrierea legilor electromagnetismului se stabilesc reguli care se transmit şi teoremelor deduse din aceste legi. Ele au fost expuse cu ocazia prezentării legilor teoriei macroscopice a câmpului electromagnetic în subcapitolul 1.3. În cele ce urmează se reiau câteva din ele, cu referire la scrierea corectă a ecuaţiilor circuitelor electrice: i) în legile în care intervin fluxuri conservative prin secţiunile transversale S ale unor tuburi de linii de câmp şi circulaţii în lungul unor curbe C , în general deschise, sensul de referinţă al fluxului se ia acelaşi cu sensul de referinţă al circulaţiei - lA d||d (fig. 8.31).

Această regulă este folosită şi la scrierea sub formă integrală a legii lui Ohm, unde sensul de referinţă al tensiunii de-a lungul firului, fu , respectiv al t.e.m., se asociază cu sensul de referinţă al curentului, i : (8.35) ∫∫ ⋅=⋅+

SCi AJRlEE dd)( sau Rieu f =+ .

S-a considerat aria secţiunii aceeaşi în lungul tubului. Această regulă se va aplica, evident, şi la scrierea teoremei a II-a a lui Kirchhoff care este o consecinţă a legii lui Ohm;

ii) în legile în care intervin fluxuri prin suprafeţe închise Σ , se alege ca sens de referinţă sensul determinat de normalele exterioare ale suprafeţei. Astfel, la scrierea legii conservării sarcinii, asociind sensul de referinţă al curentului cu semnul pozitiv al sarcinii electrice Σq din interiorul suprafeţei Σ (fig. 8.32), rezultă:

(8.36) t

qAJd

dd Σ

Σ

−=⋅∫ sau ⋅−= ΣΣ t

qid

d

Aplicând această regulă la scrierea teoremei I a lui Kirchhoff, consecinţă a legii conservării sarcinii, se stabileşte ca sens de referinţă al curentului sensul normalei exterioare la suprafaţa imaginară ce înconjoară nodul (fig. 8.33) ;

Fig. 8.31

Fig. 8.32 Fig. 8.33

Page 17: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

445

iii) În scrierea teoremelor ce intervin în calculul circuitelor se întâlneşte adesea tensiunea la borne, modelată printr-o integrală de linie referitoare la curbe deschise, situate între două borne, A şi B (fig. 8.34).

La scrierea relaţiilor pentru circuite ca acela din figura 8.34 este necesară asocierea sensurilor pentru diferitele mărimi electrice în acelaşi mod în care s-a făcut această asociere la enunţarea legilor. Acolo unde sensurile de referinţă a două mărimi sunt independente între ele, trebuie să se prezinte în mod explicit convenţia folosită pentru scrierea relaţiilor dintre aceste mărimi.

La scrierea legii lui Ohm, curentul şi tensiunea electromotoare s-au asociat cu acelaşi sens de referinţă iar curentul şi tensiunea de-a lungul firului s-au asociat de asemenea cu acelaşi sens de referinţă.

Tensiunea la borne nu depinde de drumul de integrare. Ea poate fi calculată între cele două borne ale circuitului pe oricare porţiuni de contururi cuprinse între bornele A şi B ce trec prin conductor sau prin exterior.

Integrând pe conturul 'Γ în sensul curentului, adică de la borna B către borna A, rezultă:

.dd)( '

BAAB

A

BAB

uVVVlE =−=−=⋅ ∫∫→Γ

(8.37)

Integrând pe conturul "Γ , tot în sensul curentului, se obţine:

.dd)( "

ABBA

B

ABA

uVVVlE =−=−=⋅ ∫∫→Γ

(8.38)

Aşa dar, sensul pozitiv al tensiunii la bornele A şi B ar depinde, în fond, de sensul în care integrăm pe un contur ce trece prin cele două borne, urmând să precizăm acest lucru, în mod explicit, printr-o săgeată.

Pentru a se realiza însă o unitate în ceea ce priveşte modul de scriere a ecuaţiilor circuitului se adoptă următoarele convenţii de atribuire a sensului pozitiv pentru tensiunea la borne:

- regula de generator (sursă): Tensiunea la bornele sursei este pozitivă în sensul de la A la B, dacă curentul prin sursă are sensul dinspre borna B către borna A;

- regula de la receptor : Tensiunea la bornele receptorului este pozitivă în sensul de la A la B, atunci când curentul prin receptor are sensul tot de la borna A către borna B.

Prin atribuirea sensului pozitiv al tensiunii la borne în circuitul din figura 8.34. după cele două reguli, ecuaţia legii lui Ohm pe ramura sursei se va scrie: rieuAB =+− , (8.39) iar pe ramura receptorului: RiuAB = . (8.40)

Scriind acum ecuaţiile bilanţurilor de puteri: iuRiei AB+= 2 şi respectiv 2RiiuAB = se constată că regula de la receptor şi regula de la generator au urmărit atribuirea sensului pozitiv al tensiunii la borne, astfel încât puterea iup AB= vehiculată prin borne să fie pozitivă atunci când este efectiv cedată la generator şi primită de receptor.

Valoarea practică a regulilor de asociere a tensiunilor se poate aprecia integral în cazul circuitelor de curent alternativ, aşa cum se va vedea în subcapitolul 8.5. În figura 8.35 se exemplifică modul în care se aplică aceste reguli la scrierea ecuaţiilor unui dipol, de unde se poate vedea că pentru studiul dipolului regula adoptată este indiferentă, dar rezultatele calculelor trebuie înterpretate în raport cu sensurile de referinţă alese;

Fig. 8.34

Page 18: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

446

iu) în cazul condensatoarelor, regulile uzuale de asociere a sensurilor de referinţă sunt cele utilizate la formularea legii conservării sarcinii. În figurile 8.36 a şi b sunt indicate aceste sensuri de referinţă, iar ecuaţiile corespunzătoare sunt:

(8.41) ∫−= tiC

ub d1 cu tqi

dd

−= ,

respectiv:

(8.42) ∫= tiC

ub d1 cu ;dd

tqi =

ui) în cazul bobinelor, regulile care asociază sensurile de referinţă pentru fluxuri şi curenţii care le produc rezultă din legea circuitului magnetic în care, sensului de referinţă al fluxului îi este asociat sensul de referinţă al curenţilor după regula burghiului drept, toate inductivităţile fiind pozitive. În teoremele lui Maxwell pentru inductivităţi:

(8.43) ∑=

=Φn

kkjkj iL

1

,

inductivitatea mutuală jkL fiind pozitivă sau negativă, este însă necesar să se indice sensurile de referinţă pentru circuitele cuplate prin jkL (fig. 8.37) cu ajutorul asteriscurilor care indică bornele considerate de început ale bobinei (în sensul de bobinare). În funcţie de acestea, inductivitatea jkL se consideră pozitivă dacă ambii curenţi intră sau ies prin bornele marcate şi negativă dacă cei doi curenţi ies diferit în raport cu bornele respective.

Potrivit celor de mai sus, fluxul mutual din circuitul j produs de curentul ki va fi

kjkjk iL=Φ pentru circuitele a şi b, respectiv kjkjk iL−=Φ pentru circuitele c şi d. Figura 8.37e sugerează că bobinele au sensuri de bobinare diferite şi în raport cu sensurile asociate curenţilor se va lua 0>jkL ; uii) mărimile care nu respectă regulile de asociere a

sensurilor de referinţă se introduc în ecuaţii cu semn schimbat. Dacă din calcule rezultă valori negative, mărimile respective au sensul contrar celui de referinţă.

Fig. 8.35 Fig. 8.36

Fig. 8.37

Page 19: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

447

8.3. Circuite liniare de curent continuu Aceste circuitele se compun din surse de curent continuu şi din rezistoare, legate între ele prin conductoare a căror rezistenţă foarte mică se neglijează. Excepţie fac problemele transportului de energie în curent continuu unde, datorită lungimii relativ mari, rezistenţa conductoarelor de legătură trebuie luată în calculul căderilor de tensiune (v. § 8.3.2.).

Studiul circuitelor de curent continuu se face pe baza legilor electrocineticii ale căror consecinţe sunt reflectate în teoremele care vor fi prezentate în cadrul metodelor de rezolvare ale acestor circuite. Rezolvarea constă în a se determina intensităţile curenţilor din laturi când se cunosc caracteristicile rE, ale surselor şi rezistenţele R ale receptoarelor.

8.3.1. Circuitul simplu de curent continuu

Circuitul simplu (fig. 8.38) cuprinde o singură sursă de tensiune electromotoare E şi

rezistenţă internă r , debitând pe un rezistor de rezistenţă R . Conductoarele de legătură se consideră filiforme şi de rezistenţă neglijabilă. Se reaminteşte că prin conductor filiform se înţelege conductorul a cărui secţiune are dimensiuni mici în raport cu lungimea, ceea ce permite să se aprecieze că densitatea curentului electric de conducţie este uniform repartizată în secţiune şi că vectorul densitate de curent este tangent la axa conductorului în oricare punct al secţiunii.

Calculul intensităţii curentului

Relaţia de calcul a intensităţii curentului este furnizată de legea conducţiei: RiEU f =+ .

Tensiunea de-a lungul firului, datorată câmpului coulombian generat de acumularea pe electrozii sursei de curent a sarcinilor este nulă pentru conturul închis Γ , descris de circuit, aşa că vom avea:

( )IRrE += şi deci rR

EI+

= , (8.44)

în care rR + este rezistenţa totală a circuitului. Produsele de forma RI sau rI se numesc căderi de tensiune.

Din punctul de vedere practic, interesează valoarea intensităţii curentului prin receptorul de rezistenţă R sau prin conductoarele de legătură şi care este comod a fi exprimată în funcţie de tensiunea aplicată la bornele receptorului sau circuitului, potrivit formulării RIU = a legii conducţiei, cu atât mai mult cu cât, spre deosebire de tensiunea electromotoare, tensiunea se măsoară uşor cu voltmetrul.

Tensiunea la bornele sursei, aici egală cu tensiunea aplicată la bornele receptorului, este o mărime care intervine în mod obişnuit în calculul circuitelor.

La scrierea relaţiilor între mărimile de circuit, este necesară -după cum s-a arătat- asocierea sensurilor pentru diferitele mărimi electrice în acelaşi mod în care s-a făcut aceasta asociere la enunţarea legilor. Acolo unde sensurile de referinţă a două mărimi sunt independente între ele, trebuie să se prezinte în mod explicit convenţia folosită pentru scrierea relaţiilor dintre aceste mărimi.

Prin atribuirea sensului de referinţă al tensiunii la borne pentru circuitul din figura 8.38, de la A la B, este satisfăcută atât regula de la generator cât şi regula de la receptor. Astfel, în funcţie de sensul de referinţă al curentului, pentru ramura sursei, cuprinsă între cele două borne, se va scrie:

Fig. 8.38

Page 20: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

448

(8.45) rIEU =+− , iar pentru ramura receptorului: (8.46) .RIU =

Din prima ecuaţie se deduce: (8.47) ,rIEU −= de unde se vede că tensiunea electromotoare a sursei este egală tensiunea la borne cu la mersul în gol ( 0=I ) precum şi semnificaţia de „cădere de tensiune” a produsului rI .

Bilanţul puterilor şi energiilor. Transferul maxim de putere

Ecuaţia de tensiune (8.47), înmulţită în ambii membri cu intensitatea curentului, devine ecuaţia bilanţului de puteri: (8.48) ,2 UIrIEI =− în care: EI este puterea produsă de sursă (puterea generată – gP ), 2rI este pierderea de putere în

sursă, iar UI este puterea debitată – dP . Dacă se neglijează rezistenţa conductoarelor de legătură, puterea debitată de sursa rezultă

egală cu aceea consumată de receptor: (8.49) 2RIPc = .

Randamentul circuitului simplu este, prin definiţie, gc PP /=η . Înlocuindu-se puterile cu expresiile lor, rezultă:

(8.50) ⋅+

=+==ηrR

RE

rRER

EIRI 2

Randamentul va fi maxim atunci când puterea debitată va fi maximă şi se realizează cu condiţia 0d/d =RPd , de unde rezultă: (8.51) rR = , adică rezistenţa circuitului exterior sursei sa fie egală cu rezistenţa ei internă. Valoarea maximă a randamentului transformării energiei chimice în energie electrică este, prin urmare, de 50%.

În intervalul de timp de la 0 la t, ecuaţia de bilanţ energetic al circuitului simplu va fi: (8.52) ,2 tIUtIrtIE =− unde tIE este energia generată, tIr 2 – energia pierdută prin efect Joule în rezistenţa sursei, iar

tIU este energia debitată, egală în cazul de faţă cu aceea consumată de receptor: tRI 2 .

8.3.2.Transportul energiei în curent continuu

Atunci când energia este transportată de la sursă la receptor printr-o linie formată dintr-un conductor de ducere şi unul de întoarcere, având lungimea l (fig. 8.39) şi rezistenţa neneglijabilă, are loc o cădere de tensiune şi o pierdere de putere în linia de transmisie.

Dacă tensiunea la capătul liniei este 1U , curentul în linie are valoarea )/(1 RRUI l += , unde lR este rezistenţa liniei iar R , rezistenţa receptorului.

Datorită căderii de tensiune pe linia de lungime l , exprimată prin relaţia:

(8.53) IslIRU 2

1 ρ==∆ ,

tensiunea la bornele receptorului va fi: UUU ∆−= 12 . La o Fig. 8.39

Page 21: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

449

valoare mare a căderii de tensiune pe linie, tensiunea 2U la bornele receptorului poate fi insuficientă pentru funcţionarea normală. De aceea, secţiunea conductoarelor de legătura trebuie aleasă astfel încât căderea de tensiune pe linie să fie cel mult egală cu căderea de tensiune maximă admisă de receptor: .max.adUU ∆≤∆ .

Secţiunea necesară se va determina cu ajutorul relaţiei:

,2

.n

max.adnec I

Uls

∆ρ≥ (8.54)

unde nI este curentul nominal al receptorului înscris pe placa indicatoare sau calculat fie în funcţie de tensiunea nominală şi de rezistenţa receptorului, fie în funcţie de tensiunea şi puterea nominală:

⋅==n

nnn U

PR

UI2

2 (8.55)

Conductorul ales trebuie să corespundă şi din puncul de vedere al încălzirii maxime admise. La "trecerea" curentului prin conductor are loc încălzirea acestuia prin efect Joule, care corespunde unei pierderi de putere în linie: 2IRP l=∆ . Pentru ca temperatura conductorului să nu depăşească anumite limite, dincolo de care nu mai este garantată integritatea izolaţiei liniei, se verifică dacă intensitatea I a curentului pe linie nu este mai mare decât intensitatea maximă admisă în conductorul ales.

Puterea transmisă de sursă fiind:

,)()(

21

1

21

11 IRRRR

UIUP +=+

== (8.56)

rezultă că, datorită pierderilor de putere în linie, la receptor va ajunge puterea:

RR

UUIURIPPP+

===∆−=1

212

212 , (8.57)

iar randamentul transmisiei (liniei) care primeşte la intrare puterea 1P şi cedează la ieşire puterea

2P va fi:

⋅−=−

=+

===η11

1

1

2

1

2 1U

IRU

UURR

RUU

PP l

l

(8.58)

Randamentul unei linii trebuie să fie de circa 95%. Punând condiţia %5=∆ adP , rezultă un nou criteriu de dimensionare al acesteia, plecând de la relaţia pierderilor:

221

% 2100

IslIRPPP l

ad ρ==∆

=∆ ,

(8.59)

de unde, ţinându-se seama că 11 /UPI = , rezultă că secţiunea necesară este:

⋅∆

=− 2

1%2

1

102

UPlPs

adnec (8.60)

Secţiunea conductorului ales pe acest criteriu se verifică la cădere de tensiune ca mai sus.

8.3.3. Calculul circuitelor de curent continuu

Circuitele sau reţelele electrice de curent continuu, sunt circuite ramificate conţinând L laturi şi N noduri. Latura este porţiunea neramificată de circuit formată din rezistoare (latura pasivă), rezistoare şi surse (latura activă) sau numai surse de tensiune electromotoare. Nodul este punctul de ramificaţie în care se întâlnesc cel puţin trei laturi. Succesiunea de laturi care formează un contur închis se numeşte ochi de reţea. Se demonstrează ca o reţea având N noduri şi L laturi este constituită din L–N+1 ochiuri independente (al căror contur nu se obţine prin combinaţii ale contururilor altor ochiuri).

Page 22: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

450

Analiza reţelelor de c.c. se bazează pe legea lui Ohm, legea conservării sarcinii electrice şi pe teoreme, consecinţe ale legilor, care vor fi expuse în continuare.

Metoda reducerii

Metoda este aplicată reţelelor care grupează sursele separat de receptoare, ca în figura 8.40 şi reduce –practic– calculul circuitului electric la calculul circuitului simplu.

Dacă se înlocuiesc receptoarele printr-unul echivalent, de rezistenţă eR , în conformitate cu teoremele rezistenţelor echivalente, iar sursele cu una echivalentă, având tensiunea electromotoare

eE şi rezistenţa internă er , se reduce circuitul la unul simplu, ca în figura 8.41.

Teoremele rezistenţelor echivalente arată că: - rezistenţa echivalentă a n rezistoare în serie este dată de relaţia:

(8.61) ∑=

=n

iies RR

1

;

- rezistenţa echivalentă a n rezistoare în paralel este dată de relaţia:

(8.62) ⋅= ∑=

n

i iep RR 1

11

Tensiunea electromotoare echivalentă şi rezistenţa echivalentă a surselor în serie rezultă din aplicarea legii lui Ohm porţiunii de circuit din figura 8.42. Se obţine relaţia: (8.63) ( ) ( )IrrrEEEU nn +++=++++− ........ 2121 .

Înlocuindu-se cele n surse printr-una singură, se va scrie: (8.64) IrEU ee =+− şi prin identificarea relaţiilor (8.63) şi (8.64), membru cu membru, rezultă:

(8.65) ∑=

=n

kkes EE

1

şi

(8.66) .1∑=

=n

kkes rr

Fig. 8.40

Fig. 8.41

Fig. 8.42 Fig. 8.43

Page 23: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

451

Pentru sursele în paralel, care au aceeaşi tensiune la borne (fig. 8.43.), se scrie legea lui Ohm pentru fiecare latură: 111 IrEU =+− , 222 IrEU =+− , - - - - - - - - - - - (8.67) nnn IrEU =+− iar pentru sursa echivalentă se scrie, analog: eee IrEU =+− , (8.68) unde: nIIII +++= ...21 . (8.69)

Explicitând curenţii din ecuaţiile (8.67) şi (8.68) şi înlocuindu-i în ecuaţia (8.69) se obţine, prin identificara membrului stâng cu membrul drept:

=

==+++

+++= n

k k

n

k k

k

n

n

n

e

r

rE

rrr

rE

rE

rE

E

1

1

21

2

2

1

1

11...11

... (8.70)

şi

⋅=+++= ∑=

n

k kne rrrrr 121

11...111 (8.71)

Revenind la reţeaua din figura 8.40, se va obţine, succesiv: )(1 eee RrEI += , 1,...3,2 IRU mepAB = şi 22 / RUI AB= , ..., mABm RUI /= , 1, IRU pnepBC = şi nBCn RUI /= , np III −= 1

, unde mepR ,...3,2 şi pnepR , sunt rezistenţele echivalente ale rezistoarelor în paralel, al căror indice urmează după "ep". În continuare, fiind cunoscută tensiunea la bornele sursei, 1IRU e= , se pot determina curenţii prin ramurile sale cu ajutorul relaţiilor (8.64) la (8.66).

Metoda superpoziţiei

Aceasta metodă poate simplifica calculul reţelelor electrice în care lucrează mai multe surse de energie electrică. Ea se bazează pe principiul suprapunerii efectelor enunţat de Helmoltz, potrivit căruia, din suprapunerea mai multor stări de echilibru rezultă tot o stare de echilibru.

Potrivit acestui principiu, curentul într-o latură oarecare a circuitului va rezulta ca sumă algebrică a curenţilor produşi în acea latură de fiecare tensiune electromotoare în parte. În consecinţă, se determină curenţii produşi de fiecare sursă în latura de circuit respectivă, presupunând că sursa lucrează singură în reţea, şi se însumează apoi curenţii parţiali, ţinându-se seama de sensul lor.

Atunci când se calculează curenţii, se au în vedere rezistenţele Fig. 8.44

Page 24: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

452

interioare ale tuturor surselor de circuit. Cu alte cuvinte, se pasivizează laturile circuitului în afara de una singură.

Pentru exemplificare, se aplică metoda superpozitiei pentru circuitul din figura 8.44a. Se presupune, mai întâi, că în circuit acţionează numai sursa 1E , ca în figura 8.44b.

Notându-se rezistenţele laturilor 1 şi 2 cu 11'

1 rRR += şi 22'2 rRR += , curenţii produşi în

reţea de sursa 1E vor fi:

'2

'2'

1

1'1

RRRRR

EI

++

= , '2

'2'

1'

RRRII+

= şi ⋅+

= '2

'1

'2 RR

RII

Se calculează, în continuare, curenţii produşi în reţea de sursa 2E când sursa 1E este pasivizată (fig. 8.44c):

'1

'1'

2

2"2

RRRRR

EI

++

= , '1

'1'

2"

RRRII+

= şi ⋅+

= '1

'2

"1 RR

RII

Curenţii reali prin laturi vor rezulta prin suprapunerea celor calculaţi mai sus, ţinându-se seama de sensurile curenţilor din cele trei scheme: ''

1'

11 III −= , '2

''22 III −= şi ''' III += .

Metoda teoremelor lui Kirchhoff

Metoda fiind cunoscută încă de la fizica de liceu, se va reaminti aici numai metodologia

utilizării ei. Aplicarea teoremei I a lui Kirchhoff (consecinţă a legii conservării sarcinii electrice), cu

referire la nodurile reţelei, conduce la N–1 ecuaţii independente, iar aplicarea teoremei a II-a, cu referire la conturul ochiurilor independente (consecinţă a legii conducţiei electrice), conduce la alte L–N+1 ecuaţii. Se obţine un sistem de L ecuaţii, necesar şi suficient pentru determinarea celor curenţi din laturi.

Scrierea ecuaţiilor trebuie să se facă cu respectarea regulilor de asociere a sensurilor de referinţă şi comportaă următoarele etape:

- se atribuie curentului din fiecare latură un sens arbitrar, notat cu o săgeată; - se scriu ecuaţiile teoremei I pentru N–1 noduri, considerând pozitivi curenţii care ies din

nod şi negativi pe aceia care intră:

(8.72) ;1...1,0)(1

)( −==∑=

NpIn

pk

pk

- se alege un sens arbitrar de parcurgere a fiecărui ochi independent, notat cu o săgeată rondă, şi se scrie ecuaţia teoremei a II-a pentru fiecare:

(8.73) .1...1,)(1

)()(

)(1

)( +−==∑∑==

NLmIREn

mk

mkmk

n

mk

mk

În aceaste ecuaţii sunt pozitive tensiunile electromotoare orientate în sensul de parcurgere al ochiului şi căderile de tensiune corespunzătoare curenţilor care se asociază tot cu sensul de parcurgere; - soluţiile sistemului liniar format cu cele L ecuaţii (8.72) şi (8.73), sunt intensităţile curenţilor din laturi. Dacă unele rezultă cu valori negative, sensul curenţilor respectivi este invers faţă de acela presupus iniţial.

Page 25: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

453

Metoda tensiunii între noduri

Dacă reţeaua are două noduri, ca în figura 8.45, curenţii din laturile sale pot fi determinaţi printr-o metodă mai simplă şi mai rapidă decât prin rezolvarea ecuaţiilor obţinute prin aplicarea teoremelor lui Kirchhoff.

Se adoptă ca sens de referinţă pentru curenţii şi pentru tensiunile electromotoare sensul de la nodul B către nodul A şi se notează potenţialele nodurilor cu AV şi BV . Tensiunea între cele două noduri este: BA VVU −= .

Scriindu-se ecuaţia legii lui Ohm fiecare latură, se obţine expresia intensităţii curentului din latura respectivă sub forma:

( ) kkk

kk GUE

RUEI −=

−= . (8.74)

Teorema I a lui Kirchhoff aplicată nodului A conduce la relaţia:

( ) 01 111∑ ∑∑∑= ===

=−=−=n

k

n

kkkk

n

kkk

n

kk GUGEGUEI ,

de unde rezultă expresia tensiunii dintre noduri:

⋅=

=

=n

kk

n

kkk

G

GEU

1

1 (8.75)

În rezistenta kR a unei laturi se include şi rezistenţa kr a sursei respective, iar tensiunile electromotoare orientate de la nodul A către nodul B vor apare în relaţia (8.75) cu semnul minus.

Cunoscându-se tensiunea între noduri calculată astfel, se poate calcula intensitatea fiecăruia dintre curenţi cu ajutorul relaţiilor (8.74). Dacă din calcule rezultă valori negative de curenţi, înseamnă că sensul lor real nu se asociază cu sensul de referinţă ales.

Metoda circuitelor independente

Aceasta metodă, numită şi metoda buclelor sau metoda curenţilor de ochiuri a lui Maxwell, permite determinarea intensităţii curenţilor din reţelele electrice, cu ajutorul unui număr redus de ecuaţii faţă de acela ce rezultă din aplicarea teoremelor lui Kirchhoff.

În metoda circuitelor independente se consideră reţeaua ca o suprapunere de circuite simple, separate, aşa cum s-a reprezentat punctat în figura 8.46.

Se presupune că fiecare din aceste circuite sunt parcurse de curenţi proprii, notaţi cu J . Ei se numesc curenţi simpli, curenţi de buclă sau curenţi ciclici. Sensul curenţilor de buclă este ales arbitrar şi notat cu o săgeată rondă.

Pentru fiecare buclă în parte se scrie teorema a II-a a lui Kirchhoff, ţinându-se cont de următoarele:

- tensiunile electromotoare ale surselor care debitează în sens invers celui arbitrar ales pentru curentul din buclă, se iau cu semnul minus;

- în rezistenţele unei bucle, dau căderi de tensiune şi

Fig. 8.45

Fig. 8.46

Page 26: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

454

curenţii ciclici din buclele adiacente. Aceste căderi de tensiune se iau cu semnul minus atunci când curenţii care le produc sunt de sens contrar celui în care se parcurge bucla la care se face referirea.

Ţinându-se cont şi de rezistenţele surselor, care în figura 8.46 se consideră înglobate în rezistenţa totală a laturilor, se obţine un sistem de ecuaţii, în număr egal cu acela care rezultă din aplicarea teoremei a II-a a lui Kirchhoff în reţea:

( )∑=+++

11212111 .... EJRJRJR nn ,

( )∑=+++

22222121 .... EJRJRJR nn ,

(8.76) M

( )∑=+++

nnnnnn EJRJRJR ....2211 ,

în care jjR reprezintă suma rezistenţelor din bucla j , iar kjjk RR = reprezintă rezistenţa laturii

comune a circuitelor simple k şi j . Cu ( )∑

j

R s-a notat suma tensiunilor electromotoare din

circuitul simplu j . Curenţii reali din laturile reţelei se obţin prin suprapunerea curenţilor J din circuitele

simple care conţin latura respectivă. Sub formă matriceală, sistemul ecuaţiilor (8.76) se scrie:

(8.77)

nnnnn

n

n

nJ

JJ

RRR

RRRRRR

E

E

E

.

.

.

.........

......

.

.

.2

1

21

22221

11211

2

1

⋅=

∑∑

.

Sistemele de ecuaţii de tipul (8.77) se rezolvă imediat cu ajutorul unui subprogram din biblioteca MATLAB.

Metoda potenţialelor la noduri

Se consideră o reţea electrică şi o latură a acesteia, cuprinsă între nodurile j şi k (fig. 8.47). Ecuaţia legii lui Ohm, scrisă pentru fiecare asemenea latură, va conduce la ecuaţii de tipul:

jkjkjkkj IREVV =+− , din care rezultă intesităţile curenţilor cu expresii:

jk

kjjkjk R

VVEI

−+= ,

sau: (8.78) ( ) jkkjjkjk GVVEI −+= . Curenţii din laturi vor fi astfel determinaţi dacă se vor cunoaşte potenţialele nodurilor reţelei.

Dacă se consideră potenţialul nodului oarecare q drept potenţial de referintă ( 0=qV ) şi se vor scrie ecuaţiile teoremei I a lui Kirchhoff la toate nodurile, cu excepţia nodului q ,

folosind pentru curenţi expresiile (8.78) se obţin N–1 ecuaţii de forma:

Fig. 8.47

Page 27: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

455

∑∑∑ =−⋅k

jkjkk

kjkk

jkj EGVGGV , (8.79)

în care: jV este potenţialul nodului j ; ∑k

jkG este suma conductanţelor laturilor conectate în

nodul j ; kk

jkVG∑ este suma produselor dintre conductanţele laturilor din nodul j şi potenţialele

nodurilorde la celălalt capăt al laturii; jkE sunt tensiunile electromotoare ale surselor din laturile ce converg în nodul j . Produsele jkjkGE sunt pozitive când tensiunea electromotoare din latură este orientată către nodul j.

Notându-se jjk

jk GG =∑ şi jk

scjkk

jkjk IIEG ∑∑ == , unde scjkI este curentul de scurtcircuit

al laturii kj − , rezultă sistemul ecuaţiilor metodei sub forma:

,....

,....,....

2211

22222121

11212111

nnnnnn

nn

nn

IVGVGVG

IVGVGVGIVGVGVG

=+++

=+++=+++

M (8.80)

unde conductantele iiG sunt pozitive iar ijG sunt negative. Sistemul ecuaţiilor (8.80), scris sub forma:

nnnnnn

n

n

I

II

V

VV

GGG

GGGGGG

MMM

2

1

2

1

21

22221

11211

...

.......

=⋅ , (8.81)

se rezolvă rapid cu ajutorul subprogramelor aflate în biblioteca MATLAB.

Metodele generatoarelor echivalente

Aceste metode sunt utile pentru simplificările care se pot obţine în calcule, atunci când interesează, de fapt, intensitatea curentului într-o singura latură a unei reţele. Metoda generatorului echivalent de tensiune (Thévenin-Helmholtz) presupune o reţea pentru care se cere numai intensitatea curentului prin latura ce conţine rezistorul R din figura 8.48 (restul reţelei este sugerat prin chenarul punctat).

Pentru rezistorul R , restul reţelei este echivalent cu un generator ale cărui borne sunt A şi B.

Tensiunea electromotoare a generatorului echivalent este egală cu tensiunea 0ABU la bornele A, B când rezistorul R este deconectat, iar rezistenţa sa internă, 0ABR , se calculează, considerând sursele pasivizate, cu ajutorul teoremelor rezistenţelor echivalente. Fiind cunoscute aceste mărimi se obţine:

⋅+

=RR

UIAB

AB

0

0 (8.82)

Ecuaţia (8.82) reprezintă teorema Thévenin-Helmholtz , conform căreia curentul I debitat de reţeaua liniară pe rezistorul R este egal cu raportul dintre tensiunea de mers în gol la bornele A, B şi suma dintre rezistenţa exterioară R şi rezistenţa echivalentă a reţelei pasivizate, văzută prin aceleaşi borne (cu rezistorul R deconectat).

Fig. 8.48

Page 28: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

456

Metoda generatorului echivalent de curent (Norton), consideră aceeaşi reţea din figura 8.48 şi utilizează teorema Norton, conform căreia tensiunea U produsă în sarcină de reţeaua liniară activă care alimentează rezistenţa exterioară R este egală cu raportul dintre curentul de scurtcircuit al reţelei şi suma dintre conductanţa interioară a reţelei pasivizate şi conductanţa exterioară.

Din ecuaţia (8.82) se obţine:

(8.83) ,1

0

0

0

AB

sc

AB

AB

RR

IRU

I+

=

unde:

(8.84) scAB

AB IRU

=0

0 ,

este curentul de scurtcircuit al generatorului echivalent cu reţeaua . Introducându-se conductanţele şi ţinând cont de expresia (8.84), relaţia (8.83) devine:

(8.85) ABO

sc

ABO

sc

GGGI

GGII

+=

+=

1 sau

ABo

sc

GGI

U+

=

şi exprimă teorema lui Norton. Curentul de scurtcircuit al sursei se calculează considerând nodurile A şi B ale reţelei din

figura 8.48 ca fiind în contact galvanic (rezistenţa R deconectată iar bornele scurcircuitate cu un conductor de rezistenţă neglijabilă).

8.4. Circuite liniare în regim electrocinetic nestaţionar oarecare

Regimul electrocinetic numit aici nestaţionar oarecare este regimul variabil în care intensităţile curenţilor, tensiunile, potenţialele electrice etc sunt funcţii oarecare de timp. El se supune legilor electrocineticii, prezentate în capitolul 4: legea conservării sarcinii, legea transformării energiei prin curentul electric de conducţie (Joule - Lenz), legea conducţiei electrice (Ohm), legi a căror valabilitate nu este restrânsă la nici un regim de variaţie în timp a fenomenelor.

8.4.1. Ecuaţiile circuitelor electrice în regim variabil

Caracterizarea locală a regimului electrocinetic se face cu ajutorul legii lui Ohm

JEE i ρ=+ în care, intensitatea câmpului electric E poate avea o componentă de tip

coulumbian - cE şi una de tip rotaţional - sE produsă prin inducţie electromagnetică. Sub o formă mai desfăşurată, legea se scrie: (8.86) JEEE isc ρ=++ .

Sub forma globală, cu referire la o porţiune neramificată de conductor, legea are forma: (8.87) Rieeu if =++ , în care

fu este tensiunea de-a lungul firului, e este t.e.m. indusă iar ie este tensiunea

electromotoare provenită din câmpuri electrice imprimate. O porţiune neramificată de circuit poate conţine rezistoare, bobine, capacităţi. Diverşii

parametrii, consideraţi concentraţi, se admit ca fiind sediul unei singure forme de transformare a energiei. Dacă asupra unui circuit electric exercită o acţiune electromagnetică alt circuit din exterior, atunci la parametrii concentraţi se adaugă şi inductivitatea mutuală M .

Page 29: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

457

Exemplele următoare vor fi edificatoare pentru modul în care se scriu ecuaţiile circuitelor într-un asemenea regim în care, spre deosebire de cele din subcapitolul 8.3, câmpul electric nu mai este irotaţional:

i) pentru circuitul simplu cu rezistor, căruia i se aplică la borne o tensiune variabilă în timp )(tu (fig. 8.49), ecuaţia (8.87) va fi:

( ) Ritu = . (8.88) de unde rezultă:

( )⋅=

Rtui (8.89)

Curentul are deci aceeaşi formă de variaţie în timp ca şi tensiunea aplicată la borne; ii) ecuaţia (8.87) pentru bobina ideală -cu rezistenţa neglijabilă- (fig. 8.50), alimentată cu

tensiunea ( )tu se scrie: ( ) 0=+ etu , (8.90)

unde e este t.e.m. autoindusă:

tLi

tiL

tLi

te

dd

dd

dd

dd

−−=−=φ

−= (8.91)

şi prin urmare (considerându-se L =const. în timp) :

( ) ,0dd

=−tiLtu

adică:

( )tiLtu

dd

= (8.92)

şi

( ) ;d1∫= ttu

Li (8.93)

iii) circuitul simplu cu condensator din figura 8.51 are ecuaţia:

( ) ,

Cqtu = (8.94)

de unde: ( ),tCuq = (8.95)

( ) ( )tCtu

ttuC

tqi

dd

dd

dd

+== (8.96)

şi (considerându-se C =const. în timp):

( ) ;d1 tiC

tu ∫= (8.97)

iu) ecuaţia porţiunii neramificate de circuit care conţine mai mulţi parametrii (fig. 8.52) va fi: ( ) ,Rieeeutu mic =+++− (8.98)

unde ie este t.e.m. imprimată,

tiLe

dd

−= este

t.e.m. autoindusă, iar tiMem d

d−= este t.e.m. de

inducţie mutuală (considerându-se M constant în timp).

Fig. 8.49

Fig. 8.50

Fig. 8.51

Fig. 8.52

Page 30: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

458

Ţinându-se seama de relaţia (8.97) ecuaţia (8.98) se scrie:

(8.99) ( ) ⋅+++=+ ∫ tiCt

iMtiLRituei d1

dd

dd

Pentru circuitul închis al unei bucle dintr-o reţea complexă ( 0=u ) ecuaţia (8.99), exprimând teorema a II-a a lui Khirchhoff, va fi:

(8.100) ,d1dd ti

CtiLiRe k

k kk

kk

kkkk ∫∑∑∑∑ ++=

unde ke este suma t.e.m. a surselor (inclusiv a t.e.m. produse prin inducţie mutuală). Tensiunea electromotoare de inducţie mutuală se va introduce în membrul I al ecuaţiei

(8.100) cu semnul plus ( tiMem d/d−= ) dacă curenţii i şi i′ sunt ambii în sensul de parcurgere al buclei şi cu semnul minus ( tiMem d/d=− ) dacă ambii sunt în sens invers faţă de acela în care se parcurge bucla. Dacă cei doi curenţi au sensuri diferite, semnul este minus atunci când curentul i este în sensul de parcurgere al buclei şi plus în caz contrar.

8.4.2. Energetica circuitelor electrice în regim variabil

Se consideră circuitul din figura 8.53 a cărui ecuaţie este:

(8.101) ( ) ⋅++=Cq

tiLRitu

dd

Înmulţindu-se ambii termeni ai ecuaţiei (8.101) cu tiq dd = se obţine ecuaţia de bilanţ energetic pentru intervalul de timp td :

(8.102) .d1ddd 2 qqC

iLitRitui ++=

În intervalul de timp de la 0 la t în care intensitatea curentului creşte de la 0 la i iar sarcina pe armăturile condensatorului de la 0 la q , energia intrată în circuit se transformă o parte

în căldură în rezistenţa circuitului, iar cealaltă parte se acumulează în câmpul magnetic al bobinei şi în câmpul electric al condensatorului:

(8.103) ,d1ddd000 0

2 ∫∫∫ ∫ ++=qLt t

qqC

iLitRitui

adică:

(8.104) ⋅++= ∫∫ CqLitRitui

tt 22

0

2

0 21

21dd

Energiile înmagazinate în câmpul magnetic al bobinei şi în câmpul electric al condensatorului, reprezentate de ultimii doi termeni, se restituie circuitului în acele intervale de timp în care curentul este în scădere. Într-adevăr, în intervalul de timp de la 0 la t′ în care intensitatea curentului scade de la i la 0, iar sarcina condensatorului de la q la 0 ecuaţia de bilanţ este:

(8.105) ,d1ddd00

0

2

0

qqC

iLitRituiqi

tt

∫∫∫∫ +==′′

adică:

(8.106) ,21

21dd

22

0

2

0 CqLitRitui

tt

−−= ∫∫′′

Fig. 8.53

Page 31: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

459

sau:

⋅=++ ∫∫′′

tRiCqLitui

tt

d21

21d

0

22

2

0

(8.107)

Prin urmare, energia furnizată de sursă, energia înmagazinată în câmpul magnetic al bobinei şi aceea înmagazinată în câmpul electric al condensatorului se transformă, în acest interval de timp, în căldură în rezistenţa circuitului. Prin "înmagazinată în câmpul ..." se înţelege că energia aste rezidentă în materialul în care se produce câmpul (magnetic şi electric).

8.4.3. Metode operaţionale de rezolvare a circuitelor în regim variabil

Metoda directă de studiu a regimului variabil este laborioasă şi practic ineficientă în cazul circuitelor cu structura complicată. Pentru acestea devin practice metodele care transformă ecuaţiile integro-diferenţiale ale circuitelor în ecuaţii algebrice cu ajutorul operatorilor liniari care asociază funcţiilor de timp o anumită imagine.

Metoda transformatei Laplace

Calculul se sistematizează scriind direct ecuaţiile teoremelor lui Kirchhoff sub forma operaţională, care exprimă relaţiile dintre imaginile curenţilor şi tensiunilor.

La forma operaţională a teoremelor lui Kirchhoff se ajunge cu ajutorul teoremelor cunoscute ale transformării Laplace (v. cap. 9):

[ ]

+

+

=

=

∑∑∑∑

`uLu Lu L L

0 L L

CkLkRkkkkk

k

kk

e

i. (8.108)

Imaginile funcţiilor de timp din (8.108) sunt:

[ ] ( )[ ] [ ] ( )

[ ] ( ) ( )

[ ] [ ] ( ) ( ),

01dL1L

,0dd

LL

,LL,L

k

kk

kk

kCk

kkkk

kLk

kkkkRk

Kk

sCq

sIsC

tiC

u

sIsLti

Lu

sIRiRusIi

+==

ϕ−=

=

===

unde: ( )0kq este valoarea iniţială a sarcinii condensatorului şi ( )0kL este valoarea iniţială a fluxului bobinei din latura k .

Mărimile:

( )k

CkR sCsZRZ

kk

1, == şi kL sLsZk

=)( ,

se numesc impedanţe operaţionale proprii, ( ) kmkm sLsZ = se numeşte impedanţa operaţională mutuală dintre laturile k şi m , iar mărimea:

( ) ( ) ( ) ,000

k

kkk sC

qsE −ϕ=

se numeşte t.e.m. operaţională corespunzătoare condiţiilor iniţiale. În cazul condiţiilor iniţiale nule ( ) 0

0=sEk

. Cu precizările făcute, teoremele lui Kirchhoff sub formă operaţională se vor scrie:

Page 32: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

460

∑ =k

ki 0)L(

şi

( ) ( )[ ] [ ] [ ]∑ ∑∑

+

++=+

≠km

kmkm

kkk

kkk isLi

sCsLRsEE

kLL1L

0.

Se notează: ( )k

kkk sCsLRsZ 1

++= , numită impedanţă proprie operaţională a laturii k şi

se scriu teoremele lui Kirchhoff sub forma:

(8.109) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

+=+

=

∑∑∑∑∑∑

sIsZsIsZsEsE

sI

mk km

kmkK

kk

kk

k

kk

0

0

Se observă analogia formală dintre ecuaţiile (8.109) şi ecuaţiile lui Kirchhoff pentru regimul staţionar. Aceasta are drept consecinţă extinderea formal neschimbată la studiul regimurilor variabile a tuturor metodelor de calcul ale circuitelor: metoda curenţilor ciclici, metoda potenţialelor la noduri, metoda impedanţelor echivalente etc.

Exemplu: să se studieze variaţia în timp a curentului şi tensiunii la bornele condensatorului în circuitul din figura 8.54 după deschiderea la t = 0 a întrerupătorului K.

T.e.m corespunzătoare condiţiior iniţiale este:

( ) ( ) ( )sE

REL

sCCE

REL

sCqLisE −=−=−=

000 ,

iar ecuaţia operaţională a circuitului rezultă:

( )sIsC

sLRsE

REL

++=+

1 ,

de unde:

( ) ⋅++

+=

12 RCsLCssLR

RECsI

Se notează: δ=L

R2

şi 22 1

δ−=Ω

LC, rezultând expresia operaţională a curentului:

( ) ( )( ) 22

2Ω+δ+

δ+=

sRsEsI ,

expresie care se descompune în fracţii simple:

( ) ( ) ( ) .2222

Ω+δ+

ΩΩδ

+Ω+δ+

δ+=

sss

REsI

Se utilizează acum teorema deplasării şi se obţine:

( ) ⋅

Ω

Ωδ

+Ω= δ− tteREti t sincos

Forma operaţională a tensiunii la bornele condensatorului este:

( ) ( ) ( )( )1

12 +++

==RCsLCsRsLsREsI

CssU ,

de unde, cu aceleaşi notaţii se obţine:

( ) ( )[ ]( ) 22

/12Ω+δ+

−δ+=

sRCsEsU

şi

Fig. 8.54

Page 33: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

461

( ) ( ) ( ) ( )

Ω+δ+

Ω−

Ω+δ+Ω

Ωδ

+Ω+δ+

δ+=

222222

1sRCss

sEsU ,

care conduce la expresia:

( )

Ω

Ω+Ω= δ− t

RCLRtEetu t sin1

21cos .

Metoda răspunsului tranzitoriu

O mărime care evoluează în timp după o lege oarecare (fig.8.55) poate fi aproximată ca o

succesiune de mărimi în treaptă, retardate unele faţă de altele cu δ∆ . Aproximaţia este cu atât mai bună cu cât intervalele de timp sunt mai mici şi cu cât numărul treptelor este mai mare.

Se demonstrează că prima treaptă ( ) ( )tui 10 + , unde ( )t1 este funcţia treaptă

unitate, determină o mărime de ieşire ( ) ( )tfui +0 , ( )tf fiind răspunsul la funcţia

treaptă unitate. Se demonstrează, în continuare, că treptele retardate determină câte o mărime de ieşire de forma:

( ) ( ) ( ) ττ−τ′=ττ−

τ=

dddd tfutf

tu

it

i , (8.110)

stabilită în cazul în care intervalul de timp tinde către 0 şi numărul treptelor către infinit.

Prin aplicarea principiului superpoziţiei se poate scrie:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ττ−τ′++= ∫ d00

tfutfutut

ii . (8.111)

Mărimea de ieşire este deci exprimată prin integrala Duhamel care se mai poate scrie sub oricare din formele:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,d0

,d0

0

0

ττ−′τ++=

τττ−′++=

tfutfutu

ftutfutu

t

iie

t

iie

sau

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) τττ−++= ∫ d0 '

0

ftutfutut

iie .

Metodologia de calcul va fi următoarea: - se determină răspunsul sistemului la o mărime de intrare treaptă unitară; - se determină mărimea de ieşire cu ajutorul integralei Duhamel. Exemplu: să se determine expresia curentului tranzitoriu al unui circuit RL serie supus

tensiunii atUu −= e . Expresia generală a curentului este:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ττ−τ++=t

ii tfutfuti0

d0 ,

unde:

Fig. 8.55

Page 34: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

462

( )( )( )( ) .e

,e,0,e

τ−

τ−

−=τ′

=+=

ai

ai

i

ati

aUuUu

UuUtu

Pentru circuitul RL serie răspunsul la tensiunea treaptă unitate (E=1V) este:

( )

−=

− tLR

Rtf e11 ,

şi

( ) ( ).e11

−=τ−

τ−− tLR

Rtf

Rezultă:

( ) ( ) ( ).de11ee1

0

τ

−⋅⋅−+

−= ∫

τ−−ατ−− t

tLRt

LR

RaU

RUti

Efectuând calculele deducem:

( ) ⋅

−=

−− tLR

at

aLRUti ee

Metoda transformatei Fourier

Se numeşte transformata Fourier a funcţiei )(tf , funcţia )(ωΦ definită de relaţia:

(8.112) ( ) ( ) ( ) ttftFf t de0

j∫∞

ω−==ωΦ .

Transformarea inversă este definită de:

(8.113) ( ) ( ) ( ) ωωΦπ

==ωΦ ∫∞

∞−

ω− de21 j1 ttfF .

Notându-se ( ) ( )ω=πωΦ j

2G se scrie:

(8.114)

⋅ωω= ∫∞

∞−

ω d)j(e)( j Gtf t

)j( ωG se numeşte spectrul funcţiei )(tf . Este uşor de văzut că transformata Fourier şi transformata Laplace ale unei funcţii de timp

au expresii analoge, transformata Fourier obţinându-se din transformata Laplace prin simpla înlocuire a lui s cu ωj .

În consecinţă, metodologia de calcul a proceselor tranzitorii cu ajutorul transformării Fourier va fi analogă:

- se determină spectrul mărimii de intrare ( )ωjiU ; - se determină spectrele impedanţelor laturilor; - se determină spectrele curenţilor din laturi; - prin transformări inverse se determină expresiile valorilor instantanee ale curenţilor. Exemple: i) conectarea circuitului R, L pe o sursă de tensiune constantă E.

( ) ⋅ωπ

=ω ∫∞

∞−

ω−

j1

2de

21j j EtEU t

Page 35: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

463

Impedanţa spectrală a circuitului este: ( ) ω+=ω LRZ jj ,

iar intensitatea curentului rezultă din ecuaţia:

( ) ( )( )

( )( ) ⋅ω+ω

ωπ

=ωωω

= ∫∫∞

∞−

ωω

∞− LRE

ZUtI

tt

jjjde

j2de

jj j

j

Calculându-se integrala prin metoda reziduurilor se obţine:

( ) ;e1

−=

− tRL

REti

ii) conectarea circuitului R, L pe o sursă de tensiune sinusoidală. Fie ( ) tEte ω= sin2 .Conform identităţii lui Euler se poate scrie:

( ) ( )⋅−= ω−ω tt

jEte jj ee2

2

Deoarece mărimile din paranteză sunt complex conjugate se lucrează numai cu una din ele şi se ia dublul părţii reale a rezultatului:

( ) ( )

( ) ( )( )( )

( )[ ] ( )[ ]∫∫

∫∞

∞−

Ω∞

∞−

∞−

ω−Ω−

Ω+Ω−ωΩ

π=

Ω+Ω−ωπ=

Ω−ωπ=

π=Ω

.jjj

jde2

221

je

22

21

,12

221de

j22

21j

jj

j

LRE

LREti

EtEG

tt

t

Integrala se calculează prin metoda reziduurilor. Notându-se: ϕ=Ω+ jej ZLR cu 222 Ω+= LRZ şi

RLtg Ω

=ϕ , se obţine:

( ) ( ) ⋅

ϕ−ϕ−ω==

− tLR

tZ

EtFii esinsin2Re2

8.5. Circuite liniare în curent alternativ sinusoidal

În acest subcapitol se studiază comportarea circuitelor liniare, filiforme şi cu parametri

CLR ,, localizaţi, în regim electrocinetic periodic sinusoidal, numit curent alternativ sinusoidal.

8.5.1. Mărimi sinusoidale

Se ştie că o tensiune electromotoare sinusoidală, variabilă în timp, poate fi produsă -în principiu- prin rotirea unei spire sau a unei bobine într-un câmp magnetic fix (fig. 8.56).

Potrivit legii inducţiei electromagnetice:

( ) ( ) ,sincosddcos

dd

dd

tNBAtBAt

NBAt

Nt

Ne f ωω=ω−=α−=Φ

−= sau:

.sinmax tEe ω= (8.115) Dacă se alimentează cu aceasta tensiune electromotoare un circuit electric, prin circuit se

stabileşte un curent care trece periodic, în raport cu timpul, prin valori pozitive şi valori negative. Acelaşi lucru se întâmplă şi cu celelalte mărimi electrice sau magnetice: potenţiale, diferenţe de potenţial, câmp, flux etc.

Mărimile de acest gen se exprimă printr-o funcţie de timp )(tfa = . Dacă mărimea variabilă în timp (sau în spatiu) se reproduce identic la intervale de timp egale (fig. 8.57) , ea este o mărime periodică. Mărimea periodică a cărei variaţie în timp este sinusoidală se numeşte numai sinusoidală.

Page 36: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

464

Intervalul de timp minim, după trecerea căruia valoarea instantanee a mărimii periodice se repetă, în aceeaşi succesiune, de un număr infinit de ori, se numeşte perioadă şi se notează cu T .

Rezultă, prin definiţie, proprietatea: (8.116) ( ) ( ) ( ) ( )nTtfTtfTtftfa +==+=+== ...2 . Perioada se măsoară în secunde.

Raportul dintre un număr întreg de perioade şi timpul necesar producerii acestora se numeste frecvenţă :

(8.117) ⋅==TnT

nf 1

Unitatea de măsură a frecvenţei se numeşte hertz , cu simbolul Hz. Valoarea pe care o ia funcţia la un moment dat se numeşte valoare instantanee şi se notează

de obicei cu literă mică. Valoarea maximă, pozitivă sau negativă, pe care o poate lua valoarea instantanee pentru o anumită valoare a variabilei, se numeşte amplitudine.

Valoarea medie a unei mărimi periodice, definită în intervalul de timp 12 tt − ,este dată de relaţia:

(8.118) ( )∫−=

2

1

d112

t

tmed ttftt

A ,

iar valoarea medie pătratică sau eficace, în acelasi interval de timp, se calculează cu relaţia:

(8.119) ( ) ⋅−

= ∫2

1

d1 2

12

t

tef ttftt

A

Dacă valoarea medie pe o perioadă a mărimii periodice este nulă, ( ) 0d10

== ∫T

med ttfT

A ,

mărimea periodică este şi alternativă (fig. 8.58). Mărimile sinusoidale variabile în timp sunt mărimi

periodice alternative. Ele au forma )sin( ψ−ω= tAa m sau )cos( ψ−ω= tAa m în care ω intervine ca un factor constant numit pulsaţie, iar Ψ este un unghi care depinde de alegerea axelor de coordonate şi se numeşte faza iniţială.

Unghiul tω , caracterizând starea funcţiei la momentul t , se numeşte fază la timpul t .

Reprezentarea mărimilor sinusoidale se face luând pe abscisă fie unghiul (fig. 8.59a), fie timpul (fig. 8.59b).

Fig. 8.56 Fig. 8.57

Fig. 8.58

Page 37: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

465

În prima reprezentare, faza la timpul T este evident π2 şi deci, pentru o mărime sinusoidală, perioada este:

ωπ

=2T , (8.120)

iar frecvenţa:

πω

==2

1T

f , (8.121)

de unde rezultă: fπ=ω 2 . (8.122)

Mărimea sinusoidală se anulează pentru unghiul π±Ψ=ω kt în prima reprezentare şi respectiv, pentru timpul 4/2/ kTt ±ωΨ= în cea de a doua reprezentare.

În reţelele de curent alternativ, curentul, tensiunea şi celelalte mărimi electrice variază după curbe asemănătoare aceleia din figura 8.58. În fapt, reţelele de curent alternativ sunt reţele de curent periodic. În marea majoritate a cazurilor însă, variaţia acestor mărimi poate fi presupusă sinusoidală, ipoteză în care se studiază în acest subcapitol curentul alternativ.

Frecvenţa reţelelor industriale este standardizată la 50Hz în Europa şi 60Hz în S.U.A. Pentru utilizări speciale se mai întâlnesc: frecvenţe de 25Hz şi 162/3Hz în tracţiunea electrică, 200Hz în industria lemnului şi în industria minieră, 400Hz pe avioane şi submarine etc. În tehnica radioului şi televiziunii se utilizeaza frecvenţe de milioane sau miliarde de Hz. Frecvenţei de 50 Hz îi corespund perioada T=0,02s şi pulsaţia 1s314 −=ω .

Defazajul mărimilor periodice alternative sinusoidale

Tensiunea electromotoare sinusoidală având expresia (8.115) se anulează, evoluând în sens crescător, în momentele 0t date de relaţia ,20 π±=ω kt unde ,...2,1,0=k (fig. 8.60a). Trecând prin zero în sens crescător în momentul 0=t , corespunzător originii scării unghiului (sau a timpului în reprezentarea în funcţie de timp) se spune că mărimea este în fază cu originea.

Tensiunea electromotoare )sin(max ψ−ω= tEe , trecând prin zero în sens crescător la timpul

0t dat de relaţia π±ψ=ω kt 20 (fig. 8.60b), adică la kTkt ±ωψ

=ωπ

±ωψ

= 20 , este defazată în

urma originii . Unghiul π±ψ=ω=ψ kt 200 poartă numele de fază sau defazaj faţă de origine al mărimii

respective. Dacă reprezentarea se face în funcţie de timp, atunci timpul kTt +ωψ=ωψ= //00 este numit defazaj faţă de origine.

Fig. 8.59

Page 38: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

466

Defazajul faţă de origine poate fi şi negativ. În acest caz se spune că marimea )sin(max ψ+ω= tEe este defazată înaintea originii (fig. 8.60c).

Mărimile: )(sin 1max11 ψ−ω= tEe

şi )(sin 2max22 ψ−ω= tEe

sunt defazate una faţă de cealaltă cu un unghi 012 >ψ−ψ=ψd dacă tensiunea electromotoare 2e este defazată în urma tensiunii electromotoare 1e , respectiv 012 <ψ−ψ=ψd dacă 2e este defazată înaintea tensiunii electromotoare 1e . Defazajul exprimat în timp este ωψ= /ddt .

Dacă cele două tensiuni electromotoare trec simultan prin zero şi prin maxim ( 0,0 ==ψ dd t ) se spune ca ele sunt în fază (fig. 8.61a). Dacă în timp ce o una din ele este maximă iar cea de a doua este minimă, ambele anulându-se simultan dar în sensuri diferite, ( 2/, Ttdd =π=ψ ), mărimile sunt în opoziţie (fig. 8.61b). În fine, dacă în timp ce o mărime se anulează, cealaltă trece prin maxim sau minim, ( 4/,2/ Ttdd =π=ψ ), cele două mărimi sunt în cuadratură (fig. 8.61c).

În general, în electrotehnică nu intereseaza faza faţă de o origine oarecare, deoarece aceasta depinde de alegerea originii scării timpului. De aceea, mărimile alternative sinusoidale se definesc prin amplitudinile lor şi prin defazajul dintre ele, considerându-se -în mod arbitrar- că una din mărimi, denumită origine de fază are faza faţă de origine egală cu zero. Astfel, considerând în

Fig. 8.60

Fig. 8.61

Page 39: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

467

exemplul de mai sus tensiunea electromotoare 1e ca origine de fază, cele două tensiuni electromotoare se vor scrie: tEe ω= sinmax11 şi ( )dtEe ψ−ω= sinmax22 .

Decalajul marimilor periodice alternative sinusoidale

În electrotehnică se întâlnesc mărimi a căror variaţie sinusoidală nu se produce în timp ci în spaţiu, variabila de care depinde mărimea sinusoidală fiind spaţiul. Unghiul în raport cu originea scării spaţiului, al funcţiei, se numeşte decalaj faţă de origine.

Decalajul între două funcţii periodice alternative sinusoidale spaţiale corespunde unghiului dψ , egal cu diferenţa decalajelor faţă de origine, ale celor două funcţii. Toate definiţiile cu privire

la defazaje se aplică şi decalajelor. Mărimile care diferă între ele atât în timp cât şi în spaţiu, se numesc defazate în timp şi

decalate în spaţiu.

8.5.2. Efectele curentului alternativ sinusoidal

După cum s-a arătat, regimul electrocinetic este însoţit de efecte chimice, termice, magnetice etc., care constituie puncte de plecare pentru un mare număr de aplicaţii practice. Din acest punct de vedere, curentul alternativ sinusoidal prezintă aspectele prezentate în cele ce urmează.

Efectul chimic. Valoarea medie a curentului şi tensiunii electrice.

Conform legii electrolizei efectele chimice produse de curentul electric, depind proporţional de cantitatea de sarcină electrică transportată. Pentru un curent variabil, această cantitate de electricitate într-o perioadă a curentului alternativ este dată de relaţia:

∫ ⋅=T

tiq0

d

Un curent continuu, constant, care produce acelaşi efect chimic, ar trebui să aibă valoarea:

,d1

0∫==T

med tiTT

qI (8.123)

numită valoare medie a curentului. În mod analog se ajunge la noţiunea de valoare medie a tensiunii:

∫ ⋅=T

tuTmedU

0d1 (8.124)

Curentul alternativ are prin definiţie valoarea medie (pe o perioadă) nulă şi nu va produce efecte chimice. Cu atât mai mult nu va produce efecte chimice curentul alternativ sinusoidal. Pentru a obţine efecte chimice folosind surse de curent alternativ sinusoidal trebuie să procedăm la redresarea acestuia. Prin baia de electroliză, datorită prezenţei redresoarelor S, curentul va avea numai sensul săgeţilor de pe figura 8.62. În decursul fiecărei semiperioade a curentului alternativ, baia de electroliză este străbătută de curenţii: tIi m ω= sin1 şi .sin2 tIi m ω−= Valoarea medie a curentului prin baie într-o perioadă va fi:

.22

0d1

22

0)d2

2

0d1(1

mIT

tiT

Tti

Tti

TmedIπ

=∫∫ =+∫= (8.125)

Page 40: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

468

Efectul termic. Valoarea eficace a curentului şi tensiunii.

Dacă un rezistor de rezistenţă

R este alimentat la o tensiune sinusoidală u , curentul în rezistor va avea intensitatea i , tot sinusoidală, iar valoarea instantanee a puterii absorbită de rezistorva fi uip = .

În decursul unei perioade, circuitul absoarbe energia:

∫=T

tuiW0

d

În mod practic, puterea este evaluată ca o putere medie P , egală cu raportul dintre energia W absorbită de circuit în intervalul de timp considerat şi acel interval:

⋅== ∫T

tuiTT

WP0

d1

Ţinându-se seama de legea lui Ohm, se mai poate scrie:

(8.126) ⋅== ∫∫TT

tRu

TtRi

TP

0

2

0

2 d1d1

Curentul i , fiind alternativ sinusoidal, cu perioada T şi având forma: ( ),cosmax ϕ−ω= tIi

relaţia (8.126) devine:

(8.127) ( ) ( )[ ] ⋅=ϕ−ω+=ϕ−ω= ∫∫ 2d22cos1

2dcos

2max

0

22max

0

22max RI

ttT

RItt

TRI

PTT

Un curent constant, de intensitate I , care să producă în rezistorul R aceeaşi cantitate de căldură pe care o produce curentul sinusoidal i , trebuie să satisfacă relaţia:

22max

2RIRI

= ,

adică să aibă valoarea:

(8.128) 2

maxII = ,

numită valoare eficace (numită şi efectivă) a curentului alternativ. În mod analog se găseşte valoarea efectivă a tensiunii sinusoidale:

(8.129) ⋅== maxmax 707,02

UUU

Punând în evidenţă valorile eficace ale tensiunii şi curentului, valorile instantanee ale acestora se vor scrie:

(8.130) ( )ϕ−ω= tIi cos2

şi

(8.131) ( )⋅ϕ−ω= tUu cos2

Valorile eficace sunt utilizate deoarece ele sunt acelea care pot fi măsurate cu aparatele de măsură obişnuite. Pentru a le pune în evidenţă, mărimile curent, tensiune, tensiune electromotoare

Fig. 8.62

Page 41: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

469

se vor scrie în funcţie de valoarea eficace şi nu de amplitudine, aşa cum s-a procedat la scrierea expresiilor (8.130) şi (8.131).

Efectul magnetic

În capitolul 5 s-a arătat că expresia intensităţii câmpului magnetic H produs de solenoidul aproximat ca infinit lung are expresia (5.185'): niH = , în care n reprezintă numărul de spire pe unitatea de lungime a solenoidului. Evident, dacă intensitatea curentului variază în timp după o lege sinusoidală, atunci intensitatea câmpului magnetic va avea de asemenea o variaţie sinusoidală în timp: tHtInH ω=ω= sinsin2 max . (8.132) Tot după o lege sinusoidală vor evolua în timp inducţia magnetică HB µ= , fluxul fascicular

NBA=Φ etc.

Forţele electromagnetice

Un conductor de lungime l , aflat în regim electrocinetic de intensitate i şi aşezat perpendicular pe liniile unui câmp magnetic uniform de inducţie B , este supus unei forţe

Blif = , perpendiculară pe conductor şi pe direcţia câmpului, având sensul dat de regula efectuării produsului vectorial BliF ×= . Un exemplu de aplicaţie îl constituie aparatul magnetoelectric al cărui echipaj mobil este supus cuplului de forţe: .Blikfkm mm == Dacă curentul i este alternativ sinusoidal şi B este constant în timp, cuplul mediu la care va fi supus echipajul mobil:

med00

d1d1 BlIktmiT

BlktmT

M m

T

m

T

med === ∫∫

este nul, deoarece 0med =I . De aceea, în curent alternativ aparatul magnetoelectric nu dă nici o indicaţie. Un al doilea caz, reductibil la cel de mai sus este acela al forţei electromagnetice exercitată asupra unui conductor "parcurs" de un curent constant, de intensitate I , într-un câmp de inducţie magnetică periodică ( ):cosmax ϕ−ω= tBB

.0d1d1

00

==== ∫∫ med

TT

med liBtBliT

tfT

F

Dacă însă atât curentul cât şi inducţia sunt alternativ sinusoidale:

( )( )2cos

cos2

max

1

ϕ−ω=ϕ−ω=

tBBtIi

rezultă:

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ,2coscos22coscos2 2121max21 ϕ−ϕ−ω+ϕ−ϕ=ϕ−ωϕ−ω= tIBttBIf

iar valoarea medie pe o perioadă a forţei electromagnetice va fi:

( )⋅ϕ−ϕ= 21max cos22 IBFmed (8.133)

Asemenea forţe pot dezvolta un cuplu proporţional cu valoarea lor medie aşa cum se întâmplă la maşinile asincrone.

Page 42: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

470

Forţele electrodinamice

Între două conductoare paralele, având curenţii 1i şi 2i se exercită forţa electrodinamică (5.195):

⋅πµ

= ldiiF 212

4

Dacă cei doi curenţi sunt sinusoidali: ( )111 cos2 ϕ−ω= tII şi ( ),cos2 222 ϕ−ω= tII

forţa medie are expresia:

,d142d1

021

0∫∫ π

µ==

TT

med tiiTd

ltfT

F

care conduce la:

(8.134) ( ).cos42

2121 ϕ−ϕπµ

= IIdlFmed

Dacă cei doi curenţi sunt egali, iii == 21 , forţa medie de atracţie este proporţională cu pătratul valorii eficace a curentului. Pe acest principiu se construiesc aparatele de măsurat electrodinamice. Ele au două bobine, una fixă şi alta mobilă alimentate în serie sau independente. În primul caz, echipajul mobil este supus unui cuplu proporţional cu valorile eficace ale curentului sau tensiunii aplicate. Aparatul măsoară ca ampermetrul sau ca voltmetrul. În cel de-al doilea caz, alimentându-se o bobină cu o tensiune alternativă u , cealaltă bobină fiind "parcursă" de curentul i , produs de această tensiune într-un circuit, echipajul mobil va fi supus unui cuplu proporţional cu valorile efective ale tensiunii şi curentului şi deci, va avea o deviaţie proporţională cu puterea absorbită de circuitul considerat - aparatul va fi etalonat ca watmetru.

Forţa portantă a unui electromagnet

Forţa portantă a unui electromagnet de secţiune A şi cu inducţia B, are expresia (5.192):

⋅µ

= ABF0

2

2

În curent alternativ, ea variază periodic cu inducţia, dar rămâne tot timpul pozitivă. Inducţia magnetică fiind de forma tBB ω= sinmax , valoarea medie a forţei portante va fi:

(8.135) ABtBT

AtABT

FTT

med0

max2

0

2

00 0

2

4d1

2d

21

µ=

µ=

µ= ∫∫ .

Aparatele electromagnetice de măsurat se bazează pe atracţia unei piese de fier moale într-un câmp magnetic cu inducţia B , câmpul fiind produs de curentul din bobina fixă a aparatului. Echipajul lor mobil va avea astfel o deviaţie proporţională cu pătratul valorii eficace a curentului:

(8.136) 2

0

2

00

2

0

d12

d12

KItkiT

AtBT

AFTT

med =µ

= ∫∫ .

Page 43: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

471

8.5.3. Calculul circuitelor în regim sinusoidal

Ca şi în cazul circuitelor de curent continuu, calculul circuitelor de curent alternativ are ca obiectiv determinarea curenţilor în funcţie de caracteristicile surselor şi ale receptoarelor, curenţii sinusoidali trebuind să fie determinaţi prin valorile eficace şi prin defazajele lor în raport cu o origine comună a fazelor. Se utilizează ecuaţiile (8.88) la (8.100), stabilite pentru regimul variabil oarecare, a căror aplicare prezintă însă particularităţi specifice regimului sinusoidal.

Parametrii unui circuit electric de curent alternativ

Dacă se aplică armăturilor unui condensator o tensiune electrică, alternativă, variabilă în timp, între aceste armături apare un câmp electric, de asemenea variabil în timp. El va produce polarizarea dielectricului, sarcinile dipolare fiind într-o deplasare permanentă, corespunzătoare variaţiei câmpului respectiv. În dielectric apare un curent electric alternativ, care este un curent de deplasare (v. § 4.2.1). În consecinţă, în circuitele electrice de curent alternativ pot fi inserate condensatoare ale căror armături sunt separate prin dielectrici. Curentul de deplasare apare însă chiar în mediul care înconjoară elementele de circuit, întrucât între două elemente există întotdeauna o diferenţă de potenţial alternativă care produce un câmp electric variabil. Prin analogie cu ceea ce se petrece într-un condensator, este evident că toate elementele de circuit au capacitate electrică. Este de asemenea evident, că orice element de circuit are inductivitate proprie sau mutuală deoarece orice porţiune de circuit este înlănţuită de un flux magnetic atunci când circuitul este în regim electrocinetic. În curent alternativ, acest flux magnetic este variabil în timp şi deci fiecare porţiune de circuit este sediul unor tensiuni electromotoare de inducţie proprie şi mutuală. În ceea ce priveşte rezistenţa electrică, repartizarea ei pe întregul circuit este dovedită prin degajarea de căldură care se produce chiar şi în dielectricul condensatoarelor. În practică nu se consideră însă aceste fenomene fizice în toată complexitatea lor. În circuitele obişnuite se poate admite, după cum s-a mai arătat, că parametrii circuitelor sunt concentraţi în anumite puncte. Astfel, în cazul unui rezistor care are o capacitate proprie precum şi o inductivitate oarecare, se poate considera, atunci când curenţii de deplasare sau tensiunea electromotoare de inducţie sunt nesemnificative în raport cu curentul de conducţie, că este o rezistenţă pură. La frecvenţe joase, inductivitatea proprie a condensatorului şi curentul de conducţie prin condensator sunt de neglijat faţă de curenţii de deplasare. În fine, în cazul unei inductanţe, realizată în general sub forma unei bobine, curenţii de deplasare ce apar între spire sunt cu totul nesemnificativi faţă de cei de inducţie. De asemenea se poate neglija căderea de tensiune dată de curentul de conducţie, în raport cu tensiunea electromotoare de inducţie ce apare în bobină. Aceste aproximaţii pot fi făcute în toate circuitele electrice de frecvenţă joasă (industrială) cu excepţia liniilor lungi de transmitere a energiei electrice sau a celor de telecomunicaţii. Ele au o mare importanţă practică deoarece dau posibilitatea simplificării calculelor ca urmare a neglijării fenomenelor datorate câmpurilor electromagnetice variabile, luându-se în considerare numai variaţia câmpului electric din condensatoare şi a câmpului electric din bobine.

Page 44: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

472

Tensiunea la bornele parametrilor concentraţi

Un circuit electric de curent alternativ conţine rezistoare, bobine şi condensatoare legate într-un mod oarecare între ele. Diverşii parametri consideraţi concentraţi se admit ca fiind sediul unei singure forme de transformare a energiei electromagnetice: transformarea în căldură se face numai în rezistenţă, câmpul magnetic se produce numai în inductivitate, iar câmp electric numai în porţiunea unde se află capacitatea. Dacă asupra unui circuit, exercită o acţiune electromagnetică un altul din exterior, atunci la parametri concentraţi ai acestor circuite mai trebuie adăugată şi inductivitatea mutuală M . În cazul în care parametrii circuitului sunt invariabili în raport cu curentul care îi străbate sau cu tensiunea aplicată la borne, ei sunt parametri liniari. La parametri neliniari, variaţia în raport cu tensiunea sau curentul nu poate fi neglijată. La bornele elementelor liniare "străbătute" de curenţii electrici apar căderi de tensiune specifice parametrului acestora (figura 8.63). Astfel, la bornele unui element rezistiv de rezistenţă R se produce o cădere de tensiune dată de legea lui Ohm:

(8.137) ,RiuR = de asemenea variabilă în timp. Întrucât s-au neglijat tensiunile electro-motoare induse de câmpul de inducţie magnetică variabilă în porţiunea de circuit corespunzătoare

rezistorului, câmpul electric de-a lungul acestei porţiuni, a cărui integrală de linie este ru , este un câmp potenţial, astfel că:

.d∫→

⋅=ba

r lEu

Drumul de integrare poate fi luat oricare, cu condiţia să nu treacă prin câmpul magnetic al inductanţei.

Elementul capacitiv de capacitate C are tensiunea la borne:

(8.138) .id1∫== t

CCquc

Şi în această porţiune de circuit, câmpul electric este un câmp potenţial deoarece s-au neglijat tensiunile electromotoare de inducţie şi deci:

.d∫ ⋅=d

cc lEu

Drumul de integrare poate oricare, cu condiţia să nu treacă prin câmpul magnetic al bobinei. În porţiunea “bc” a circuitului, în care a fost concentrată inductanţa, curentul variabil

produce un flux variabil LiL =Φ care, la rândul său, va produce o tensiune electromotoare de inducţie:

⋅−=Φ

−=tiL

te L

L dd

dd

Întrucât a fost neglijată rezistenţa bobinei, tensiunea la bornele acestui element trebuie să fie egală şi de semn contrar cu tensiunea electromotoare indusă:

Fig. 8.63

Page 45: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

473

⋅=−=tiLeu LL d

d (8.139)

Şi în acest caz există relaţia: ,d∫

⋅=cb

L lEu

cu condiţia ca drumul de integrare să nu treacă prin câmpul magnetic al bobinei.

Asocierea sensurilor de referinţă în circuitele electrice de curent alternativ

Pentru studiul circuitelor electrice în curent alternativ este util, ca şi în curent continuu, să se atribuie un sens de referinţă curenţilor din circuit şi corespunzător, un sens tensiunilor electromotoare şi tensiunilor. Dacă însă, în cazul curentului staţionar atribuirea sensului curenţilor poate corespunde deplasării sarcinilor sub acţiunea câmpului electric dezvoltat de surse, în cazul curentului alternativ această atribuire de sens are caracter pur convenţional. Prin convenţie, se atribuie ca sens pentru curentul alternativ sensul transferului energiei de la sursă către receptor. Sensul tensiunilor electromotoare va fi, de asemenea, atribuit sensului transmiterii energiei de la generator către receptor. Rezultă că sensul tensiunilor şi căderilor de tensiune se atribuie prin aceleaşi convenţii care s-au făcut şi în curent continuu.

Parametri complecşi ai circuitelor de curent alternativ. Extinderea legii lui Ohm în complex

Alimentându-se un rezistor de rezistenţă R cu tensiunea alternativă sinusoidală,

ω= sin2 RR Uu , considerată în fază cu originea, curentul în circuit, conform ecuaţiei (8.89), va fi:

.sin2sin2 tItR

URui R

RRR ω=ω== (8.140)

Curentul în rezistor este în fază cu tensiunea aplicată la borne iar legea lui Ohm rămâne valabilă şi între valorile eficace ale curentului şi tensiunii:

,

RUI R

R = (8.141)

.RR RIU = (8.142) Fazorii tensiunii şi curentului sunt coliniari (fig. 8.64). Prin aplicarea tensiunii tUu LL ω= sin2 la bornele bobinei ideale (având rezistenţa neglijabilă), curentul calculat cu relaţia (8.93) are expresia :

.2

sin22

sin2d1

π

−ω=

π

−ωω

== ∫ tItLUtu

LI L

LLL (8.143)

Curentul are valoarea eficace:

,L

LLL X

UL

UI =ω

= (8.144)

unde cu LX L ω= s-a notat reactanţa inductivă şi este defazat cu 2π în urma tensiunii aplicată la borne. Diagrama fazorială este aceea din figura 8.65a. Dacă se ia curentul drept origine a fazelor, diagrama se construieşte ca în figura 8.65b. Condensatorul ideal (fără pierderi), alimentat cu o tensiune alternativă sinusoidală

tUu CC ω= sin2 , va stabili curentul conform ecuaţiei (8.96):

Fig. 8.64

Page 46: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

474

(8.145) .2

sin22

sin2d

d

π

+ω=

π

+ωω== tItUCt

uCi CCC

C

El este defazat cu 2π înaintea tensiunii aplicată la borne şi are valoarea eficace:

(8.146) ⋅=ω=C

CCC X

UUCI

Cu ω= CX C /1 s-a notat reactanţa capacitivă. Fazorii de curent şi de tensiune sunt reprezentaţi în figurile 8.66a şi 8.66b.

Se poate remarca o formă comună pentru relaţiile (8.141), (8.144) şi (8.146), asemănătoare legii lui Ohm:

⋅=

=

=

C

CC

L

LL

RR

XUI

XUI

RUI

;

;

Se presupun acum cele trei elemente legate în serie şi aflate sub acelaşi curent i . Tensiunile la bornele lor, potrivit ecuaţiilor (8.88), (8.92) şi (8.97), au expresiile: ,RiuR =

,ddtiLuL =

şi

,d1 tiC

uC ∫=

iar ecuaţia circuitului este:

(8.147) .d1dd ti

CtiLRiuuuu CLR ∫++=++=

Ecuaţia integro-diferenţială (8.147) poate fi transformată într-o relaţie liniară între fazorii asociaţi mărimilor instantanee. Pentru scrierea relaţiei între fazori trebuie să ţinem seama de regulile de asociere, de reprezentarea prin mărimi complexe a fazorilor şi de regulile de calcul cu fazori, expuse în § 9.1.3, şi anume: i) curentul ( )ϕ+ω= tIi sin2 este reprezentat prin fazorul I de modul I şi argument ϕ faţă de axa de origine a timpului. Acest fazor poate fi la rândul său reprezentat algebric sub forma numărului complex: (8.148) ( )ϕ+ϕ=+= sinjcosj IbaI , sau analitic sub forma: (8.149)

ϕ= jeII ;

Fig. 8.65 Fig. 8.66

Page 47: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

475

ii) produsul unui fazor cu un scalar este tot un fazor. Dacă se efectuează un produs de forma IR se obţine fazorul: ( ) ,esinjcos jϕ=ϕ+ϕ= RIRIIR acesta fiind tocmai fazorul ce reprezintă tensiunea la bornele elementului rezistiv: ( ) ,esinjcos jϕ=ϕ+ϕ= RRR UUU (8.150) deoarece, prin identificare cu expresia generală a fazorului, rezultă valoarea eficace RIU R = şi defazajul ;ϕ=ϕR iii) derivarea unui fazor, conduce tot la un fazor al cărui modul este de ω ori mai mare decât al fazorului iniţial şi este rotit faţă de acesta cu 2π înainte (în sens trigonometric). Produsul tIL dd conduce la fazorul:

ILILILU L ω=ω=

π

+ϕ+

π

+ϕω=

π

je2

sinj2

cos 2j

. (8.151)

Prin identificare, rezultă că fazorul LU , având modulul ILU L ω= şi argumentul 2π+ϕ=ϕL

, este tocmai acela care reprezintă tensiunea la bornele inductanţei;

iu) efectuând asupra fazorului I operaţia tIC d)/1( ∫ , se obţine fazorul:

.1je12

sinj2

cos1 2j

ω−=

ω=

π

−ϕ+

π

−ϕω

=

π

−ϕ

CI

CI

CU C (8.152)

Modulul acestui fazor fiind ω= CUC /1 , iar argumentul 2/π−ϕ=ϕC rezultă că el este

fazorul tensiunii de la bornele capacităţii. Din cele de mai sus se constată că, pentru a trece de la ecuaţia integro-diferenţială (8.147) operând cu diverse funcţii sinusoidale, la ecuaţia algebrică operând cu cantităţile complexe ce le reprezintă, trebuie să înlocuim valorile instantanee cu cantităţile complexe asociate, efectuând asupra acestora din urmă toate operaţiile de derivare şi integrare indicate de ecuaţie. Se obţine:

,d1dd tI

CtILIRUUUU CLR ∫++=++= (8.153)

de unde rezultă:

IC

LIRIC

jILIRU

ω−ω+=

ω−ω+=

1j1j (8.154)

Introducându-se reactanţele capacitivă şi inductivă, se aduce ecuaţia (8.154) la forma: ( ) .jjj IXXIRIXIXIRU CLCL −+=−+= (8.155) Cu ajutorul relaţiilor de mai sus definim următoarele mărimi de circuit:

- reactanţa circuitului:

;1ω

−ω=−=C

LXXX CL

D

(8.156)

- reactanţa complexă:

;j1j1jjjjω

+ω=ω

−ω=−=C

LC

LXXX CL

D

(8.157)

- reactanţa inductivă complexă şi reactanţa capacitivă complexă :

ω= LXD

L jj (8.158) şi

;j11jjω

−=−CC

XD

C (8.159)

Page 48: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

476

- impedanţa complexă:

(8.160) ( ) ,jj1j XRXXRC

LRZ CL

D

+=−+=

ω−ω+=

al cărei modul este impedanţa circuitului:

(8.161) ( ) .1 22222

2 XRXXRC

LRZ CL +=−+=

ω−ω+=

Argumentul impedanţei complexe, dat de relaţia:

(8.162) ,

1

tgRX

RXX

RC

LCL =

−=ω

−ω=ϕ

reprezintă, dar cu semn schimbat, defazajul curentului în raport cu tensiunea la bornele circuitului serie; - admitanţa complexă este mărimea inversă impedanţei complexe:

(8.163) .jj112222 BG

XRX

XRR

jXRZY

D

−=+

−+

=+

==

Mărimea:

(8.164) )/( 22 XRRGD

+= se numeşte conductanţă echivalentă, iar mărimea:

(8.165) )/( 22 XRXBD

+= se numeşte susceptanţă echivalentă .

Modulul admitanţei complexe: (8.166) ,22 BGY += se numeşte admitanţă ;

- mărimile inverse reactanţelor inductivă şi capacitivă se numesc susceptanţă inductivă, şi respectiv, susceptanţă capacitivă:

(8.167) ω

==LX

BL

D

L11

şi

(8.168) .1ω== C

XB

C

D

C

Cu notaţiile făcute până aici, ecuaţia (8.155) ajunge la forma: (8.169) ,IZU = numită , prin analogie, legea lui Ohm în circuitele de curent alternativ, cunoscută şi sub numele de teorema lui Joubert.

Din ecuaţia (8.155) mai rezultă că legea lui Ohm se aplică întocmai ca şi în curentul continuu dacă se asociază tensiunii de la bornele circuitului şi curentului fazori sub forma complexă şi se înlocuiesc totodată în schema circuitului inductanţa L cu reactanţa complexă

ωjL , iar capacitatea C cu reactanţa complexă ω− jC/1 Impedanţa totală complexă a circuitului fiind:

XRC

LRC

LRZ j1j1jj +=

ω−ω+=

ω−ω+=

fazorul curentului este dat de relaţia:

(8.170) ,ZUI =

Page 49: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

477

de unde, efectuându-se împărţirea cantităţilor complexe se deduc valoarea eficace şi defazajului curentului faţă de tensiunea de la borne:

ZU

I = (8.171)

şi ZZU argargarg −=−=ϕ , (8.172) deoarece tensiunea este origine de fază şi 0arg =U , sau:

( )( ) .

ReImarctg

II (8.173)

Teoremele lui Kirchhoff în curent alternativ sinusoidal

Teoremele lui Kirchhoff în valorile instantanee se scriu:

,01∑=

=n

kki (8.174)

.d1dd

1 1∑ ∑ ∫= =

++=

n

k

n

kk

k

kkkkk ti

CtiLiRe (8.175)

Transcriind relaţiile (8.174) şi (8.175) cu ajutorul cantităţilor complexe, se obţine:

∑=

=n

kkI

1

0 , (8.176)

.j

1j1 1∑ ∑= =

ω

+ω+=n

k

n

kk

kkkkkk I

CILIRE (8.177)

Cea de a doua ecuaţie poate fi scrisă în continuare:

.1j1 1 1∑ ∑ ∑= = =

=

ω

−ω+=n

k

n

k

n

kkkk

kkkk IZL

CLRE (8.178)

Relaţiile (8.176) şi (8.178) arată că rezolvarea circuitelor de curent alternativ simple sau complexe se face aplicând aceleaşi relaţii şi metode stabilite în curent continuu, cu deosebirea că aceste relaţii se transpun în scrierea complexă şi se respectă regulile de calcul în complex.

Regula semnelor pentru scrierea ecuaţiilor cu mărimi complexe rămâne valabilă aşa cum a fost stabilită la studiul reţelelor de curent continuu.

Cu toate că în curent alternativ sensul curentului se schimbă la fiecare semiperioadă, alegerea unui sens sau al altuia în cadrul reprezentării fazoriale le influenţează defazajul, rotind faza mărimii respective cu π. După cum se vede în diagrama din figura 8.67, în cazul în care într-o latură a unui circuit există o tensiune electromotoare E şi, pentru un sens ales al curentului, fazorul corespunzător este I , dacă se consideră pozitiv sensul contrar, curentul va fi reprezentat prin fazorul 'I egal ca modul dar opus lui I . Defazajul curentului faţă de tensiunea electromotoare E este α în primul caz şi α−π în cel de-al doilea.

În cazul existenţei unor cuplaje inductive, între elementele de circuit sau între circuite, trebuie să se ţină seama şi de tensiunile electromotoare induse prin inducţie mutuală, aşa cum s-a precizat în § 8.4.1. Fig. 8.67

Page 50: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

478

Dacă inductanţa mutuală între laturile k şi l (fig. 8.68) ale reţelei este klM , în latura k se va induce tensiunea electromotoare:

(8.179) ,dd

tiMe l

klkl −=

a cărei expresie complexă este: (8.180) .lmlmlklkl IZIjXIMjE

klkl−=−=ω−=

Mărimea: (8.181) MX m ω= se numeşte reactanţă mutuală iar mărimea: (8.182) MXZ mm ω== jj se numeşte impedanţă mutuală a laturilor.

Tensiunea electromotoare de inducţie mutuală se introduce în primul membru al relaţiei (8.178) cu semne care ţin seama de sensurile curenţiilor kI şi lI şi de sensul de parcurgere al buclei (v. § 8.4.1)

Circuite în serie fără cuplaje inductive

Circuitul din figura 8.69 este constituit din impedanţele:

,j......................

,j,j

222

111

nnn XRZ

XRZXRZ

+=

+=+=

legate în serie şi alimentate cu tensiunea U . Se notează cu I fazorul intensităţii curentului din circuit şi se scrie ecuaţia legii lui Ohm în complex obţinându-se: ( ) ,...... 121 IZZIZIZIZU nn ++=+++= sau ,IZU = în care: (8.183) nZZZ ++= ...1 este impedanţa echivalentă a circuitului în serie.

Sub forma dezvoltată, relaţia (8.183) se scrie:

(8.184) .jj...j1 1

11 ∑ ∑= =

+=++++=n

k

n

kkknn XRXRXRZ

Fig. 8.68 Fig. 8.69

Page 51: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

479

Punându-se impedanţa echivalentă complexă sub forma jXRZ += rezultă, prin identificare, rezistenţa echivalentă şi reactanţa echivalentă a circuitului serie:

∑=

=n

kkRR

1

(8.185)

şi

.1∑=

=n

kkXX (8.186)

Modulul impedanţei echivalente se calculează cu ajutorul relaţiei:

.2

1

2

1

22

+

=+= ∑∑==

n

kk

n

kk XRXRZ (8.187)

Modulul fazorului curent, care este egal cu valoarea eficace a curentului, se obţine ca raport al modulelor fazorului tensiune şi impedanţei complexe echivalente:

,22 XR

UZUI

+== (8.188)

iar argumentul va fi: .argargarg ZUI −= (8.189)

Tensiunea aplicată la bornele circuitului serie se poate lua ca origine a fazelor, aşa că 0arg =U , rezultând .argarg ZI −=

Curentul în circuit este defazat în urma tensiunii cu unghiul:

.arctgargRXZ ==ϕ (8.190)

Unghiul de defazaj dintre tensiune şi curent nu depinde de argumentul tensiunii ci numai de parametrii circuitului. Dacă în componenţa reactanţei echivalente X predomină elementul capacitiv, aceasta şi defazajul curent-tensiune vor fi negative, curentul fiind defazat înaintea tensiunii la borne cu unghiul ϕ .

Dacă expresia valorii instantanee a tensiunii este: ( ),cos2 α−ω= tUu atunci expresia valoarii instantanee a curentului va fi: ( ).cos2 ϕ−α−ω= tIi

Circuit cu impedanţe în serie cuplate inductive

În circuitul din figura 8.70, format din impedanţele 111 jXRZ += şi 222 jXRZ += , cele

două bobine de inductanţe 1L şi 2L sunt cuplate prin inductanţa mutuală M . Acestei inductanţe mutuale îi corespunde impedanţa mutuală

MZ m ω= j . Notându-se cu 1U şi 2U căderile de

tensiune în cele două impedanţe, ecuaţia circuitului este:

21 UUU += . (8.191) Căderea de tensiune în prima impedanţă este căderea de tensiune produsă de curentul I în rezistenţa 1R şi inductanţa 1L şi prin inducţie mutuală între 1L şi 2L : ( ).111 mm ZZIIZIZU +=+= (8.192)

Fig. 8.70

Page 52: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

480

Analog: (8.193) ( )mm ZZIIZIZU +=+= 222

şi din ecuaţia (8.181) rezultă: (8.194) ( ) ( ) ( ),22121 mmm ZZZIIZZIZZU ++=+++= de unde:

(8.195) ⋅=++

=ZU

ZZZUI

m221

Cu mZZZZ 221 ++= s-a notat impedanţa complexă echivalentă a circuitului. În cazul cuplajului diferenţial se schimbă semnul din faţa impedanţei mZ .

Reţea cu circuite derivaţie, necuplate

inductive

O astfel de reţea este compusă din independenţele nZZZ ..,,, 21 legate în paralel la o sursă de tensiune U (fig. 8.71).

Curenţii prin impedanţele în paralel vor fi:

,1

1 ZUI = ...,,

22 Z

UI = n

n ZUI = ,

iar curentul debitat de sursă se va obţine prin însumarea acestora:

(8.196) ⋅=

+++=+++=

ZU

ZZZUIIII

nn

1...11...21

21

Rezultă că impedanţa complexă echivalentă a reţelei are expresia:

(8.197) ⋅+++=nZZZZ

1...11121

În funcţie de admitanţe relaţia (8.196) capătă forma: (8.198) YUYYYUI n =+++= ...( 21 , admitanţa echivalentă complexă fiind: (8.199) ....21 nYYYY +++=

Sub formă dezvoltată, relaţia (8.199) se va scrie: (8.200) ,jj...jj 2211 BGBGBGBGY nn −=−++−+−= unde conductanţa echivalentă G şi susceptanţa echivalentă B sunt:

(8.201) ∑=

=n

kkGG

1

şi

(8.202) .1∑=

=n

kkBB

Admitanţa echivalentă va avea expresia:

(8.203) ⋅

+

=+= ∑∑==

2

1

2

1

22n

kk

n

kk BGBGY

Cunoscându-se impedanţele kZ şi tensiunea U la bornele circuitului se determină mai întâi curenţii prin valorile lor eficace kkk ZUI /= şi defazajele corespunzătoare kkk RX /tg =ϕ după

Fig. 8.71

Page 53: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

481

care, procedând corespunzător, se determină valoarea eficace şi defazajul curentului I : ZUI /= şi RX /tg =ϕ .

Reţea cu impedanţe în derivaţie, cuplate inductive

Reţeaua din figura 8.72 are două circuite în paralel între care există un cuplaj inductiv. La scrierea legii lui Ohm pe fiecare din ramurile circuitului, se ţine seama de toate căderile

de tensiune prin elementele celor două ramuri, după cum urmează: ,111

IRU R =

produsă în primul circuit de curentul 1I prin rezistenţa

1R ;

,j 111IXU L =′

produsă în primul circuit de curentul 1I prin reactanţa

1X ; ,j 2212 IZIXU mm ==

produsă în primul circuit de curentul 2I prin efectul inducţiei mutuale. În ceea ce priveşte circuitul al doilea, căderile de tensiune

,222IRU R =

22j2 IXU L =′ şi 2121 j IZIXU mm == au

semnificaţii asemănătoare. Cu aceste precizări, ecuaţiile circuitului sunt:

+=+=+=

.,,

21

122

211

IIIZIZIUZIZIU

m

m

(8.204)

Cei trei curenţi se obţin prin rezolvarea sistemului (8.204), rezultând:

,221

11

m

m

ZZZZZUI−

−=

221

12

m

m

ZZZZZUI−

−=

şi

⋅−−+

=+= 221

2121

2

m

m

ZZZZZZUIII

Din ultima relaţie, rezultă impedanţa echivalentă a reţelei:

⋅−+−

==m

m

ZZZZZZ

IUZ

221

221

La cuplaj diferenţial, se schimbă semnul din faţa lui mZ .

Circuite cuplate pur inductiv

Circuitele cuplate pur inductiv sunt complet lipsite de cuplaje galvanice, cuplajele realizându-se exclusiv prin inducţie mutuală (fig. 8.73).

Teoremele lui Kirchoff aplicate celor două circuite conduc la ecuaţiile: ,jjj 2111111 IXIXIXIRU m+′′+′+=

şi

Fig. 8.72

Page 54: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

482

,jjj 1222222 IXIXIXIRU m+′′+′+= ecuaţii care se scriu concentat sub forma:

(8.205)

+=+=

1222

2111

IZIZUIZIZU

m

m

S-au utilizat notaţiile: ( )( ) ,jj

,jj

222222

112111

XRXXRZXRXXRZ

+=′′+′+=+=′′+′+=

şi

.j mm XZ = Transformatoarele electrice

funcţionează după schema din figura 8.73, în care 1R şi 2R reprezintă rezistenţelor înfăşurărilor primară şi secundară,

1X ′ şi '2X reactanţele de

scăpări ale acestora iar "1X şi

2X ′′ , reactanţele utile corespunzătoare fluxului comun. În acest caz, 2U este o cădere de tensiune în impedanţa care constituie sarcina transforma-

torului, adică în impedanţa receptorului: rrr jXRZ += .

Ecuaţiile (8.205) devin: 1211 UZIZI m =+ şi ( ) ,0221 =++ rm ZZIZI cu soluţiile:

( ) mr

r

ZZZZZZUI 2

21

211 −+

−=

şi

( ) ⋅−+

−=mr

m

ZZZZZUI 2

2112

Puterea şi energia în circuite de curent alternativ sinusoidal

În regim sinusoidal, tensiunea la borne şi curentul dintr-un circuit având formele:

tUu ω= cos2 şi ( ),cos2 ϕ−ω= tIi puterea instantanee absorbită de circuit va fi: ( ) ( )[ ].2coscoscoscos2 ϕ−ω+ϕ=ϕ−ωω== tUIttUIuip

Dezvoltându-se şi ultimul termen din membrul al doilea se obţine pentru puterea instantanee expresia: (8.206) ( ) .2sinsin2cos1cos tUItUIp ωϕ+ω+ϕ=

Din ecuaţia (8.206) rezultă că puterea instantanee este o mărime periodică de pulsaţie dublă faţă de aceea a tensiunii şi curentului.

Fig. 8.73

Page 55: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

483

Diagrama din figura 8.74 ne arată că în intervalele de timp în care sensurile instantanee ale tensiunii şi si curentului au semne contrarii, circuitul debitează energie, iar în celelalte intervale absoarbe energie. Energia debitată se explică prin aceea că în intervalele respective de timp sunt cedate energiile înmagazinate în câmpurile condensatoarelor şi bobinelor. Energia absorbită este aceea transformată ireversibil în căldură în elementele rezistive ale circuitului.

Primul termen din partea dreaptă a ecuaţiei (8.206) reprezintă puterea absorbită în elementele rezistive ale circuitului. Cel de-al doilea, reprezintă puterea instantanee înmagazinată şi restituită integral de câmpurile electrice şi magnetice ale elementelor reactive ale circuitului, în decursul unei perioade a puterii instantanee.

Într-adevăr, dacă se presupune circuitul pur rezistiv ( 0=ϕ ), se obţine: ( ),2cos1 tUIp ω+= iar pentru circuitul pur reactiv( 2/π±=ϕ ): .2sin tUIp ω=

Revenind la ecuaţia (8.206), constatăm că valoarea medie a puterii instantanee p :

],W[,cosd1

0

ϕ== ∫ UItpT

PT

(8.207)

este egală cu valoarea medie a primului termen, care este puterea efectiv absorbită de circuit. Puterea P se numeşte putere activă. Energia corespunzătoare ei se transformă în circuit, ireversibil, în altă formă de energie.

Puterea instantanee corespunzătoare părţii reactive a circuitului are valoarea medie nulă, condensatorul şi bobina restituind integral energia înmagazinată în cursul unei perioade. Amplitudinea acestei puteri se notează cu Q şi se numeşte putere reactivă : [var].,sinϕ=UIQ (8.208) Se spune că aceasta este amplitudinea puterii reactive care circulă în reţea.

Pentru un circuit pur rezistiv vom avea UIP = şi 0=Q , iar pentru unul pur reactiv UIQ = şi 0=P .

Produsul UI între valoarea efectivă a termenului şi a curentului are semnificaţia de valoare maximă a puterii active pentru valori efective date ale celor două mărimi. Acest produs este întotdeauna pozitiv, se numeşte putere aparentă şi se notează cu S : ]VA[UIS = .

Puterea aparentă este o mărime de calcul şi este legată de P şi Q prin relaţiile: ,cosϕ= SP (8.209) ϕ= sinSQ (8.210) şi

,22 QPS += (8.211)

iar între P şi Q există relaţia evidentă:

Fig. 8.74

Page 56: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

484

(8.212) .tgϕ=PQ

Exprimându-se tensiunea şi curentul cu ajutorul fazorilor 0jeUU = şi ϕ−= jeII , se observă că puterii aparente i se poate asocia expresia complexă: (8.213) .jsinjcose j* QPUIUIUIIUS +=ϕ+ϕ=== ϕ

Semnul puterii reactive rezultă din semnul lui ϕ adică din caracterul capacitiv sau inductiv al reactanţei. Se convine, după cum se ştie, a se considera ca pozitivă puterea absorbită, iar cea generată ca negativă. Rezultă astfel că, într-o reţea, inductanţele funcţionează ca receptoare de putere reactivă iar capacităţile ca generatoare.

Dacă impedanţa circuitului este eee XRZ j+= , se obţin următoarele relaţii noi:

(8.214) ,j 222** IXIRIZIIZIUS eeee +==== de unde: (8.215)

2IRP e= şi (8.216) .2IXQ e=

Raportul dintre puterea activă absorbită într-un circuit şi puterea aparentă:

(8.217) ,coscosϕ=

ϕ==

UIUI

SPK

se numeşte factorul de putere al circuitului. Dacă în expresiile (8.207) şi (8.208), ϕ= cosUIP şi ϕ= sinUIQ se notează ϕ= cosIIa

şi ϕ= sinIIr

componentele activă şi reactivă ale curentului, constatăm că P şi Q nu depind de valoarea I a curentului ci de valorile acestor componente. Factorul de putere ne arată, deci, care este raportul dintre componenta activă, utilă, a curentului şi valoarea sa totală.

Energia activă este definită prin relaţia:

(8.218) ,d0

tPWt

a ∫=

iar cea reactivă prin:

(8.219) .d0

tQWt

r ∫=

Ele se măsoară cu ajutorul contoarelor de energie în unităţile practice kilowatt – oră [kWh] şi respectiv, kilovar – oră [kvarh].

Transferul puterilor şi energiilor active şi reactive

Puterea activă şi cea

reactivă pot fi transferate între două reţele, indiferent de natura cuplajului, electric sau magnetic, dintre ele.

Teoremele lui Kirchoff pentru circuitele cuplate pur inductiv din figura 8.75 conduc la ecuaţiile:

211111 jjj11

IXIXIXIRU mCL +−+= şi .jjj 122222 22

IXIXIXIRU mCL +−+=−

Fig. 8.75

Page 57: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

485

Dacă se înmulţeşte prima ecuaţie cu 1*I , iar cealaltă cu 2

*I şi se adună, membru cu membru, se obţine:

.jjjjj *21

22

21

22

21

222

211

*22

*11 2121

IIXIXIXIXIXIRIRIUIU mCCLL +−−++++= (8.220)

Avându-se în vedere că: QPSIU j* +== şi ,cos2 21

*212

*1 ϕ=+ IIIIII

unde ϕ este defazajul dintre cei doi curenţi, rezultă prin identificarea părţilor imaginare şi reale ale celor doi membrii ai ecuaţiei (8.220): 2

222

1121 IRIRPP ++= şi ,cos2 21

22

22

21

2121 2211

ϕ+−+−+= IIXIXIXIXIXQQ mCLCL de unde, se constată că în cea de a doua reţea se regăsesc puterile activă şi reactivă transmise primei reţele, mai puţin pierderile din ambele reţele.

Rezonanţa în circuitele de curent alternativ

Sursa de alimentare cu energie electrică furnizează circuitului electric în curent alternativ, atât energie activă cât şi energie reactivă care se înmagazinează în câmpurile electrice şi magnetice ale reţelei. În anumite cazuri, este posibil ca, în timp ce unele din aceste câmpuri acumulează energie, celelalte să cedeze o cantitate egală de energie, câmpurile electrice şi magnetice alimentându-se reciproc, iar schimbul de energie reactivă cu sursa şi, corespunzător, puterea reactivă furnizată de sursă, să fie nule. Deşi reţeaua are elemente reactive, ea va absorbi în acest caz de la sursă numai putere activă. Se spune că în reţea au loc fenomene de rezonanţă. Este evident că, în condiţii de rezonanţă, unghiul de defazaj între curentul absorbit de la reţea şi tensiunea aplicată la bornele circuitului este egal cu 0 ( 1cos =ϕ ), iar reactanţa echivalentă şi susceptanţa echivalentă sunt nule:

0222

22 ==+

== eee

ee BU

XRXUIXQ , (8.221)

de unde relaţia: ee BX = . (8.222)

Condiţia de rezonanţă se exprimă astfel, printr-o funcţie de forma: .0),,,( =ωCLRf

Rezonanţa se poate obţine, în consecinţă, fie variind parametrii CLR ,, ai circuitului când pulsaţia este dată, fie variind pulsaţia când parametrii CLR ,, sunt daţi.

Pulsaţia ω sau frecvenţa πω= 2f la care se produce rezonanţa, se numesc pulsaţie proprie , respectiv frecvenţă proprie a circuitului. Ele se mai numesc, de asemenea, pulsaţie de rezonanţă şi respectiv, frecvenţă de rezonanţă.

Reactanţa echivalentă a circuitului serie din figura 8.76a este:

,1ω

−ω=C

LX e (8.223)

iar condiţia de rezonanţă pentru acest circuit rezultă:

Fig. 8.76

Page 58: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

486

(8.224) .01=

ω−ω

CL

Condiţia de rezonanţă exprimă faptul că reactanţa inductivă este egală în valoare absolută cu reactanţa capacitivă.

Din ecuaţia (8.224) mai rezultă relaţia: (8.225) ,12 =ω LC din care se poate deduce condiţia de rezonanţă pentru oricare dintre cele trei mărimi, celelalte două fiind date: (8.226)

CL

LC 200

1,1ω

==ω şi ⋅ω

=L

C 201

Circuitul de rezonanţă are următoarele proprietăţi: - curentul în circuit are valoarea:

(8.227) ⋅+

==22 XR

UZUI

Dacă rezistenţa R este constantă, la rezonanţă când 0=eX impedanţa Z are valoare minimă, iar curentul valoare maximă :

(8.228) ,max RUI =

independentă de valorile reactanţelor Lω şi Cω/1 ; - căderea de tensiune la bornele inductanţei L este egală cu căderea de tensiune la bornele

capacităţii C . Ele fiind în opoziţie de fază, căderea de tensiune totală în elementele reactive, este nulă;

- căderea de tensiune în rezistenţă este egală cu tensiunea aplicată circuitului: (8.229) ;RURIU ==

- căderile de tensiune în inductanţă şi condensator pot fi scrise:

(8.230) ⋅==ω=ω=CL

RU

RU

LCL

RULILUU CL

1

Dacă se notează :

(8.231) ,δ=CL

se obţine:

(8.232) ⋅δ==RUUU CL

Mărimea δ are dimensiunile unei rezistenţe şi se numeşte impedanţă caracteristică a circuitului. La rezonanţă, ea este egală cu reactanţele parţiale ale circuitului:

(8.233) ,1

00 ω=ω==δ

CL

CL

astfel că:

(8.234) ,dU

RUUU CL =

δ==

unde cu δ= Rd s-a notat factorul de amortizare al circuitului. Observându-se că factorul de amortizare poate avea orice valoare subunitară sau

supraunitară, se constată că tensiunile la bornele inductivităţii şi capacităţii pot avea valori mai mari decât tensiunea aplicată circuitului. În circuitele de rezonanţă pot să apră astfel, supratensiuni mari între anumite puncte. Din acest motiv, rezonanţa în circuitele serie este numită rezonanţa tensiunilor.

Page 59: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

487

În circuitul derivaţie din figura 8.76b, susceptanţa echivalentă este

.1 CL

Be ω−ω

= (8.235)

Condiţia de rezonanţă 0=eB conduce la aceeaşi condiţie de rezonanţă ca şi în circuitul serie. Curenţii în inductanţă şi capacitate sunt egali şi în opoziţie de fază, iar suma lor este nulă:

,01=

ω+

ω=+ Cj

jLUII CL (8.236)

curentul reactiv total fiind nul. Curentul debitat de sursă este egal cu curentul RUI R = din rezistenţa R şi în fază cu

acesta, iar factorul de putere este egal cu unitatea. La rezonanţă, curenţii LI şi CI sunt în valorile efective:

,1γ===ω== U

LCU

LCUCUCII CL (8.237)

unde γ are dimensiunea unei conductanţe şi se numeşte admitanţă caracteristică . Dacă:

,γ<= UUGRU

e

adică:eG>γ sau ,1/ >γ= eGd unde eG este conductanţa echivalentă a circuitului iar d factorul

de amortizare, rezultă că inensităţile LI şi CI pot avea valori mai mari decât intensitatea curentului absorbit de la sursă. Din acest motiv, rezonanţa în circuitele derivaţie se numeşte rezonanţă de curenţi. Fenomenele de rezonanţă au numeroase aplicaţii utile în electrotehnică, în special în tehnica frecvenţelor înalte. În alte cazuri ele au efecte dăunătoare şi trebuie evitate. Folosindu-se proprietatea circuitului serie R,L,C, în care, la rezonanţă, curentul este maxim, fiind satisfăcută şi relaţia 12 =ω LC , se pot construi aparate pentru măsurarea rapidă a rezistenţelor, inductanţelor, capacităţilor sau frecvenţelor. Un asemenea aparat conţine un condensator etalonat şi un ampermetru. Elementul de măsurat întregeşte circuitul total R,L,C. Variind capacitatea condensatorului până se obţine condiţia de rezonanţă maxII = la care 12 =ω LC , se poate deduce parametrul măsurat. Condensatorul poate fi gradat, astfel încât să indice valoarea parametrului măsurat.

O aplicaţie practică în industrie a fenomenului de rezonanţă, de care se ocupă paragraful următor, este aceea a compensării puterii reactive în reţelele electrice, care este o problemă economică de prim ordin.

Trebuie remarcat însă faptul că fenomenele de rezonanţă pot fi dăunătoare atunci când nu sunt prevăzute. S-a arătat că în circuitul serie, dacă rezistenţa este prea mică, apar curenţi mari. Dacă şi amortizarea d este mică, fenomenul este însoţit de supratensiuni importante. Un asemenea fenomen are loc în cazul unor linii aeriene sau în cablu, puse sub tensiune la un capăt de către un generator sau un transformator: în cazul în care linia nu alimentează consumatori rezistenţa sa este mică iar reactanţa totală poate fi nulă. Se constată un curent mare de mers în gol iar, la capătul nealimentat , o tensiune mult mai mare decât tensiunea sursei. Asupra analizei procesului de rezonanţă în circuitele electrice se va reveni în § 8.8.2.

Îmbunătăţirea factorului de putere

Un factor de putere redus are, după cum s-a arătat, semnificaţia unui raport corespunzător între componenta activă a curentului furnizat de sursă şi valoarea totală a acestuia. Acelaşi raport

Page 60: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

488

există între puterea activă şi puterea aparentă furnizate de sursă. Cu alte cuvinte, la un factor de putere redus, puterea reactivă Q transportată are o pondere importantă.

O asemenea funcţionare are următoarele dezavantaje: i) un generator electric poate debita un curent maxim care nu poate fi depăşit fără riscul avarierii sale. Dacă receptoarele alimentate din generator au nevoie de un curent ϕ= cosUPI , rezultă că numărul maxim de receptoare ce pot fi alimentate din generator:

,cos/ maxmax P

UIIIn ϕ==

este cu atât mai mic cu cât ϕcos este mai mic; ii) dacă se notează cu R rezistenţa liniei de transport, pierderile prin efect Joule-Lenz au valoarea:

(8.238) ,cos22

2

2

2

2

222

ϕ====∆

UPR

USR

UIURRIP

invers proporţională cu pătratul factorului de putere. Dacă în relaţia (8.238) înlocuim 222 QPS += , rezultă că pierderile produse de cele două puteri sunt independente:

(8.239) ;22

22 Q

URP

URP +=∆

iii) transportul de putere reactivă produce în linia de transport căderi de tensiune suplimentare faţă de acelea determinate de transportul puterii active:

(8.240) ⋅ϕ

====∆cosUPZ

UZS

UUIZZIU

Ele sunt cu atât mai mari, cu cât factorul de putere este mai mic. Influenţa nefavorabilă pe care o au asupra reţelelor receptoarele cu factor de putere redus,

impune măsuri care să aducă la majorarea lui, adică la compensarea puterii reactive schimbate cu sursa. Acest lucru înseamnă realizarea rezonanţei în circuitul receptor respectiv.

Reamintindu-se că puterea reactivă, deşi nu contribuie la energia utilă consumată în circuit, este un element necesar în funcţionarea aparatelor şi maşinilor electrice, rezultă concluzia că cele de mai sus pot fi realizate pe calea instalării unor baterii de condensatoare care să producă la faţa locului energia reactivă necesară câmpurilor magnetice ale bobinajelor, maşinilor şi aparatelor.

Deoarece calculul economic arată că nu întotdeauna investiţia pentru realizarea unui factor de putere apropiat de unitate este economică, se stabileşte un factor de putere optim la valoarea căruia se caută să se corecteze factorul de putere natural al instalaţiei.

Dacă puterea reactivă în reţea este Q iar factorul de putere ϕcos şi se doreşte să se facă compensarea puterii reactive până la valoarea 'Q , căreia îi corespunde un factor de putere 'cosϕ , bateria de condensatoare va trebui să producă energia reactivă: (8.241) ( ).tg ϕ′−ϕ=′−= PQQQC

Din relaţia (8.216) a rezultat pentru puterea reactivă expresia:

(8.242) ,22

2 UCX

UXIQC ω===

şi ţinându-se seama de relaţia (8.241) rezultă capacitatea bateriei de condensatoare exprimată numai în funcţie de datele iniţiale:

(8.243) ( ) .10tgtg 62 F

UPC µ

ωϕ′−ϕ

=

Condensatoarele pentru îmbunătăţirea factorului de putere se fabrică în unităţi de 15kvar cu tensiuni nominale de 380V sau 6000V – indicativ CU 0,38-15, respectiv CU 6-15.

Montarea lor se face chiar la bornele maşinilor mari consumatoare de energie reactivă sau la punctele de distribuţie ale energiei (tablouri secundare, posturi de transformare).

Page 61: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

489

Bateriile de condensatoare vor avea în mod obligatoriu, atunci când sunt instalate la punctele de distribuţie, bornele legate în paralel cu un montaj cu lămpi, ca în figura 8.77, pe care să se facă descărcarea bateriei atunci când se deschide întreruptorul I. În caz contrar, personalul de deservire este în pericol de electrocutare. Descărcarea condensatoarelor legate direct la bornele motoarelor se face pe rezistenţa înfăşurărilor acestora.

Regimul deformant al reţelelor de curent alternative

Regimul sinusoidal al reţelelor de curent alternativ este un caz către care se tinde a se ajunge în practică dar care nu este realizat în general. Datorită funcţionării în aceste reţele a aparatelor deformante, cum sunt mutatoarele construite din elemente neliniare sau bobinele cu miez de fier, unda de curent şi de tensiune se poate abate mult de la forma sinusoidală.

Aparatele deformante sunt de două categorii: aparate care sunt cauza iniţială a producerii regimului deformant şi aparate care, fiind alimentate cu curenţi deformaţi, amplifică această deformaţie.

În prima categorie intră, după cum s-a menţionat, bobina cu miez de fier care deformează curentul chiar dacă este alimentată cu tensiune sinusoidală.

Presupunându-se că bobina are rezistenţă neglijabilă atunci fluxul

tuLi d∫==φ este sinusoidal

ca şi tensiunea şi defazat cu 2π în urmă. Curentul apare

însă puternic deformat deoarece dependenţa ( )iφ are alura ciclului de magnetizare (fig. 8.78).

Unda deformată de curent sau de tensiune este periodică, de perioadă T, dar nesinusoidală: ( ) ( ) ( )nTtuTtutu +==+= ... . (8.244)

Tensiunea nesinusoidală poate fi exprimată printr-o serie armonică:

( ) ( ).sin21

0 ∑=

ϕ+ω+=n

kkk tkUUtu (8.245)

Fiecare componentă sinusoidală dă naştere într-un circuit liniar la curenţi de forma: ( ),sin2 kkkk tkIi ϕ−ψ+ω= (8.246) iar curentul rezultat în circuit va fi de forma:

( ).sin21

01

0 kkk

n

k

n

kk tkIIiIi ϕ−ψ+ω+=+= ∑∑

==

(8.247)

Impedanţa circuitului pentru armonica de ordin k va fi:

,1 22

ω−ω+=

CkkRZk (8.248)

iar defazajul:

⋅ω−ω

=ϕR

CkLk

k

1

tg.arc (8.249)

Fig. 8.77

Fig. 8.78

Page 62: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

490

Experienţa confirmă existenţa tensiunilor şi curenţilor armonici, aceste mărimi putând fi efectiv măsurate.

Valoarea eficace a tensiunii nesinusoidale este prin definiţie:

(8.250) ,d11

220

0

2 ∑∫=

+==n

kk

TD

UUtuT

U

şi analog pentru curent:

(8.251) .1

220 ∑

=

+=n

kkIII

Puterea activă a circuitului este:

(8.252) ,cosd11

000

k

n

kkk

T

IUIUtuiT

P ϕ+== ∑∫=

puterea reactivă rezultă cu expresia:

(8.253) ,sin1

k

n

kkk IUQ ϕ=∑

=

iar puterea aparentă:

(8.254) .2

10

2

10

+

+== ∑∑==

n

kk

n

kk IIUUUIS

Se constată că: (8.255) .222 QPS +≠

Mărimea: (8.256) ],vad[,222 QPSD −−= se numeşte putere deformantă. Unitatea ei de măsură vad (adică volt amper deformant) mai poartă şi denumirea de bud (de la numele academicianului C. Budeanu, care a relevat semnificaţia acestei puteri).

Factorul de putere în regim deformant este:

(8.257) ⋅++

==222 DQP

PSPK

Caracterizarea formei de undă a mărimilor deformante se face cu ajutorul următorilor indicatori:

- coeficientul de distorsiune:

(8.258) ,1 20

2

21

IIIKD −

−=

unde 1I este valoarea eficace a armonicii fundamentale ( 1=k ); - coeficientul de vârf :

(8.259) ;2max <=I

IKV

- coeficientul de formă:

(8.260) ,med

f IIK =

unde:

(8.261) .d2 2/

0

tiT

IT

med ∫=

Page 63: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

491

Analiza armonică experimentală a undelor periodice (fig. 8.79), poate utiliza următorul algoritm pentru calculatorul digital:

- se împarte perioada în 2p părţi egale pasul fiind:

;22

ppπ

=α (8.262)

- se măsoară ordonatele ,, 21 YY ..., ,iY … şi se calculează coeficienţii seriei Fourier:

( ) ,sin1dsin2 2

10 pkY

pttktf

TA i

p

ii

T

=ω= ∑∫=

(8.263)

( )p

kYp

ttktfT

B i

p

ii

T

=ω= ∑∫=

cos1dcos2 2

10

(8.264)

şi

( ) ,21d1 2

100 ∑∫

=

==p

ii

T

YP

ttfT

C (8.265)

deoarece ,d pt π=α→ω ipt →ω şi ( ) ;/ pYdttf iπ→ω - atunci seria armonică pentru unda analizată va fi:

,cossin11

0 ∑∑==

ω+ω+=n

kk

n

kk tkBtkACy (8.266)

sau, ţinându-se seama de relaţiile cunoscute:

( ),sin1

0 ∑=

ϕ+ω+=n

kkk tkCCy (8.267)

unde:

22

kkk BAC += şi .tg kkk AB=ϕ (8.268) Calculul circuitelor liniare în regim deformat aplică principiul suprapunerii efectelor. Se calculează curenţii armonici produşi de fiecare armonică de tensiune în parte şi se însumează rezultatele. Evident, pot fi aplicate toate metodele de calcul utilizate pentru calculul regimului sinusoidal.

De exemplu, pentru circuitul serie CLR ,, alimentat cu t.e.m.: ...,2sin2sin2 210 +ω+ω+= tEtEEe se rezolvă ecuaţia circuitului:

,d1dd ti

CtiLRie ∫++=

pentru fiecare armonică de t.e.m. în parte. Se obţine: ( ) ( ) ...,sin2sin2 22110 +ϕ−ω+ϕ−ω+= tItIIi unde:

,00 R

EI = (8.269)

2

2 1

ω−ω+

=

CkLkR

EI kk

(8.270)

şi

Fig. 8.79

Page 64: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

492

(8.271) ⋅ω−ω

=ϕR

CkLk

k

1

tg

Armonica de ordin k produce rezonanţa pentru frecvenţa respectivă, dacă se realizează condiţia:

(8.272) ⋅ω

=ωCk

Lk 1

Intensitatea armonicii de curent de ordin k , la rezonanţă, va fi maximă în raport cu celelalte armonici şi cu atât mai importantă cu cât rezistenţa circuitului este mai mică.

Efectele regimului deformant. Regimul deformant este cauza unor efecte nedorite cum sunt apariţia unor cupluri parazite în maşinile electrice, creşterea puterii aparente urmată de creşterea pierderilor în reţele şi de scăderea factorului de putere, apariţia rezonanţei de tensiune pe anumite armonici urmată de străpungerea izolaţiei cablurilor, creşterea erorilor aparatelor de măsurat etc.

Comportarea elementelor liniare de circuit în regim deformant prezintă următoarele aspecte: - condensatorul alimentat cu tensiune deformată produce un curent şi mai deformat.

Aplicându-i-se tensiunea:

( ),cos2sin21∑=

ω′′+ω′=n

kkk tkUtkUu

armonicele de curent vor fi:

;2

cos2

sin21∑=

π

+ω′′+

π

+ω′ω=n

kkk tkUtkUkCi

- bobina atenuează regimul deformat, aşa cum rezultă din expresia intensităţii curentului:

.2

sin2

sin211∑=

π

−ω′′+

π

−ω′ω

=n

kkk tkUtkU

kLi

8.6. Circuite trifazate

O reţea în care acţionează mai multe tensiuni electromotoare de aceeaşi frecvenţă, dar cu defazaje diferite faţă de o origine comună a fazelor, formează un sistem polifazat. Circuitele care formează sistemul se numesc faze, iar numărul de circuite al sistemului se numeşte număr de faze. Dacă numărul de faze este 3, sistemul se numeşte trifazat.

În principiu, un sistem trifazat de t.e.m. se poate obţine prin rotirea într-un câmp magnetic uniform a trei bobine, cuplate la un ax comun şi decalate în spaţiu. Acelaşi efect se obţine dacă se roteşte câmpul, bobinele rămânând fixe. Cele trei tensiuni electromotoare induse vor fi defazate, unele faţă de altele, corespunzător decalajului dintre bobine. Sistemele trifazate de t.em. se produc însă, întotdeauna, ca sisteme simetrice. Un sistem simetric de mărimi electrice este constituit din mărimi având aceleaşi valori eficace şi acelaşi defazaj între mărimile consecutive. Dacă bobinele la care s-a făcut referirea mai sus sunt identice şi uniform decalate cu 3/2π , cele trei t.e.m. vor avea valorile eficace EEEE === 321 şi acelaşi defazaj de 3/2π între t.e.m. consecutive.

Luând tensiunea electromotoare indusă în bobina 1 ca origine a fazelor, cele trei tensiuni electromotoare vor fi:

Page 65: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

493

π

+ω=

π

−ω=

π

−ω=

ω=

.3

2sin23

22sin2

,3

2sin2

,sin2

3

2

1

tEtEe

tEe

tEe

(8.273)

Generatoarele trifazate produc sisteme simetrice de tensiuni electromotoare. Sistemele nesimetrice, caracterizate prin 321 E E E ≠≠ şi defazaje diferite între tensiuni electromotoare consecutive, sunt proprii regimurilor anormale de funcţionare (scurtcircuite între spire, puneri la pământ).

Cele trei bobinaje ale generatorului trifazat se numesc fazele generatorului. Sistemul simetric de tensiuni electromotoare se reprezintă grafic prin trei sinusoide defazate

între ele cu 3/2π ca în figura 8.80. Mai obişnuită însă decât reprezentarea prin valori instantanee,

este reprezentarea prin fazori (fig.8.81). Sistemul simetric (8.273) se poate reprezenta prin fazorii 21 , EE şi

3 E , cu aceeaşi origine, cu acelaşi modul şi cu unghiul de defazaj între fazorii consecutivi egal cu 3/2π . Aceşti fazori sunt reprezentaţi, la rândul lor de mărimile complexe:

=

=

=

π+

π−

32j3

32j2

0j1

ee

,e

EEEEEE

(8.274)

După cum se constată, sistemul fazorilor, formând o stea simetrică, are proprietatea: .0 321 =++ EEE (8.275) Aceeaşi proprietate o au şi valorile instantanee ale mărimilor reprezentate de aceşti fazori, suma lor fiind în orice moment nulă: 0321 =++ eee . (8.276)

Acest lucru este evident deoarece sensul fizic al reprezentării fazoriale constă în aceea că, proiecţiile fazorilor pe o anumită axă sunt egale în orice moment cu valorile instantanee ale mărimilor alternative sinusoidale pe care le reprezintă. Acelaşi lucru rezultă şi din adunarea membru cu membru a ecuaţiilor (8.273).

Fig. 8.80 Fig. 8.81

Page 66: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

494

8.6.1. Conexiunile sistemelor trifazate

Sistemele trifazate se formează din trei sisteme monofazate independente. Pentru a conecta trei receptoare la trei surse ar fi necesare şase conductoare, ca în figura 8.82 însă, prin anumite conexiuni între fazele generatorului, acest număr poate fi redus la trei sau la patru conductoare, ceeace constituie marele avantaj al sistemului trifazat.

Conexiunea în stea se obţine unind într-un punct comun toate sfârşiturile celor trei bobinaje ale generatorului din figura 8.83. Scurtcircuitarea este justificată de faptul că în acel punct suma curenţilor care intră şi care ies din nod este nulă. Un raţionament analog se poate face şi la receptor, astfel că se pot înlocui cele trei conductoare de întoarcere printr-unul singur.

Legătura la receptoare se va face cu trei conductoare care pleacă de la începuturile înfăşurărilor, numite conductoare de linie şi cu unul care pleacă din punctul o şi care se numeşte conductor neutru. (fig.8.84). Se obţine astfel o reţea cu conexiunea în stea cu fir neutru.

În cazul în care curenţii 21 , ii şi 3i spre receptor alcătuiesc un sistem simetric de curenţi,: 0321 =++ iii , iar conductorul neutru poate să lipsească. Se obţine astfel, o reţea cu conexiune în

stea fără fir neutru (fig. 8.85).

Conexiunea în triunghi se obţine legând sfârşitul unei faze a generatorului la începutul fazei următoare. Şi acest lucru este justificat, deoarece în bucla formată (fig. 8.86) suma celor trei tensiuni electromotoare induse este nulă: 0321 =++ eee .

Fig. 8.82

Fig. 8.83 Fig. 8.84

Fig. 8.85 Fig. 8.86

Page 67: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

495

Legătura la receptoare se face cu trei conductoare de linie care pleacă din vârfurile triunghiului. Se obţine astfel o reţea cu trei conductoare ca şi reţeua cu conexiune în stea fără fir neutru.

Sensul tensiunilor electromotoare se alege convenţional în ambele cazuri ca fiind de la sfârşitul bobinajului către începutul său. În ceea ce priveşte începutul şi sfârşitul bobinajelor, ele pot fi considerate tot arbitrar. Esenţial este ca între ceea ce numim începuturi şi respectiv sfârşituri să existe acel decalaj de 32π , altfel relaţiile (8.276) nu mai sunt valabile.

Conexiunile receptoarelor. Receptoarele alimentate din reţelele trifazate pot fi trifazate sau monofazate. Receptoarele mici sunt de obicei monofazate şi se montează fie între conductorul de linie şi conductorul neutru, dacă acesta din urmă există, fie, dar numai în cazuri speciale, între conductoarele de linie (fig. 8.87).

Receptoarele mari (de obicei motoarele electrice) sunt trifazate ca şi reţeaua. Asemenea generatoarelor, ele pot fi legate în stea (fig. 8.88) sau în triunghi (fig. 8.89).

Pentru alimentarea receptoarelor în stea, se leagă capetele stelei la conductoarele de linie. Neutrul receptorului poate fi legat la firul neutru al reţelei dacă există, sau poate să nu fie legat.

Pentru alimentarea receptoarelor în triunghi se leagă vârfurile triunghiului la conductoarele de linie.

De menţionat că, între schema de conexiuni a receptorului şi cea a generatorului nu există corespondenţă obligatorie - unul poate avea conexiunea în stea iar celălalt în triunghi. Numai receptoarele în stea cu neutru necesită, evident, o reţea în stea cu fir neutru.

Un receptor trifazat având toate impedanţele egale pe cele trei faze constituie ceea ce se numeşte o sarcină echilibrată. Egalitatea se referă la fiecare din parametrii R, L, C în parte, deoarece valorile acestora determină defazajul între tensiunea aplicată circuitului şi curentul din circuit. Fără excepţie, receptoarele trifazate constituie sarcini echilibrate, dezechilibrul producându-se numai în caz de defecţiuni.

Pentru buna funcţionare a unui sistem trifazat se urmăreşte ca acesta să fie alimentat cu tesiuni simetrice şi să fie echilibrat. Pentru a se obţine un sistem echilibrat de receptoare sau de sarcini, atunci când există alături de receptoare trifazate şi receptoare monofazate, se urmăreşte ca repartiţia acestora din urmă să se facă în raport cu fazele reţelei, astfel încât impedanţele totale ale receptoarelor care încarcă aceste faze să fie egale între ele.

O reţea alimentând cu un sistem simetric de tensiuni un sistem echilibrat de sarcini este o reţea simetrică şi echilibrată.

În general, echilibrarea sarcinii reţelelor care alimentează receptoare monofazate nu este posibilă, din cauza faptului că aceste receptoare, deşi sunt repartizate echilibrat pe fazele reţelei, nu pot fi obligate să funcţioneze simultan. Se va arăta, în cele ce urmează, că reţeaua care

Fig. 8.87

Fig. 8.88 Fig. 8.89

Page 68: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

496

alimentează receptoare monofazate (considerată reţea cu sarcină dezechilibrată) trebuie să fie o reţea cu patru conductoare (în stea cu neutru), iar pentru a se generaliza acest lucru ele se construiesc pentru a fi alimentate, cu foarte puţine excepţii, la tensiunea dintre conductorul de linie şi cel neutru.

Reţeaua care alimentează cu un sistem simetric de tensiuni un sistem neechilibrat de sarcini se numeşte reţea dezechilibrată. În fine, reţeaua care alimentează cu un sistem nesimetric de tensiuni un sistem echilibrat sau un sistem neechilibrat de sarcini se numeşte reţea nesimetrică.

8.6.2. Tensiunile, curenţii şi puterile în sistemul trifazat simetric şi echilibrat

Se consideră o reţea cu conductor neutru ca în figura 8.90 în care se disting două categorii de tensiuni:

- tensiunile 21 , uu şi 3u între conductorul neutru şi conductoarele de linie denumite tensiuni de fază. Aceste tensiuni sunt egale cu tensiunile electromotoare 321 ,, eee ale generatorului când acesta funcţionează în gol, sau cu aceste tensiuni electromotoare din care se scad căderile de tensiune când generatorul funcţionează în sarcină. Dacă sistemul este simetric, cele trei tensiuni se reprezintă printr-o stea simetrică de fazori

321 ,, UUU având toţi acelaşi modul fU (fig.8.91) şi

defazaţi unul faţă de celălalt cu 32π ; - tensiunile 2312 ,uu şi 31u între două conductoare consecutive de linie, denumite tensiuni de

linie.

Ţinându-se cont de relaţiile evidente 1221 uuu += , 2332 uuu += şi 3113 uuu += , rezultă următoarele relaţii între fazorii asociaţi acestor tensiuni:

(8.277)

−=−=−=

,

,

1331

3223

2112

UUUUUUUUU

adică tensiunile de linie egale cu diferenţa tensiunilor de fază. Însumându-se cele trei relaţii (8.277) membru cu membru, se ajunge la concluzia că suma

fazorială a tensiunilor de linie este întotdeauna nulă, ceea ce va fi valabil şi pentru valorile lor instantanee.

Pe diagrama din figura 8.91, ţinându-se cont de relaţiile (8.277), tensiunile de linie se reprezintă ca fazori ce alcătuiesc laturile triunghiului cu vârfurile determinate de steaua tensiunilor de fază. Dacă sistemul este simetric, au aceeaşi valoare eficace lU şi sunt defazate una faţă de alta cu acelaşi unghi 32π .

Fig. 8.90 Fig. 8.91

Page 69: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

497

Relaţia dintre valoarea efectivă a tensiunii de fază fU şi aceea a tensiunii de linie lU , se deduce din triunghiul isoscel OAB unde )3/sin(2 π= OAAB , ceea ce conduce la:

.3232

3sin2 fffl UUUU ==

π= (8.278)

Dacă generatorul este conectat în stea fără fir neutru sau în triunghi, reţeaua nu prezintă decât tensiunile de linie. Reţeaua cu conductor neutru este avantajoasă pentru că prezintă două tensiuni de valori eficace fU şi lU şi poate alimenta receptoare cu tensiunile nominale fU sau

lU . Pentru curenţii din reţea se aleg următoarele sensuri pozitive: - în bobinajele generatorului acelaşi sens ca şi tensiunea electromotoare; - în conductoarele de linie de la generator către receptor; - în fazele receptorului montat în stea de la conductoarele de linie către neutrul receptorului; - în fazele receptorului montat în triunghi, în sensul pozitiv al căderii de tensiune. Curenţii din conductoarele de linie se numesc curenţi de linie iar curenţii din fazele

generatoarelor sau receptoarelor se numesc curenţi de fază. În cazul generatoarelor montate în stea (fig. 8.90) şi al receptoarelor montate în stea,

curenţii de linie sunt aceeaşi cu cei de fază ai generatorului, respectiv ai receptorului. Dacă reţeaua are conductor neutru, curentul prin acesta este egal cu suma curenţilor de linie.

Acest lucru se scrie în complex: ,3210 IIII ++= (8.279) dacă sistemul de curenţi de linie nu este simetric, şi nulă dacă sistemul de curenţi este simetric: 0321 =++ III . (8.280)

Curenţii simetrici având aceeaşi valoare eficace lI şi fiind defazaţi unul faţă de celălalt cu 32π , conductorul neutru poate lipsi.

Dacă reţeaua nu are conductor neutru, generatorul sau receptorul fiind legate în stea, suma celor trei curenţi este nulă indiferent de faptul că cei trei curenţi de linie formează sau nu un sistem simetric. Se va arăta însă că funcţionarea receptoarelor va fi perturbată de apariţia între diversele faze ale unor tensiuni foarte diferite, chiar dacă tensiunile electromotoare ale generatorului alcătuiesc un sistem simetric şi că, în asemenea condiţii, funcţionarea este imposibilă.

În cazul generatoarelor sau receptoarelor montate în triunghi curenţii de fază sunt diferiţi de aceia din linie. La acest mod de conectare, atât pentru generator cât şi pentru receptor, tensiunea de fază este şi tensiune de linie.

Considerându-se cazul unui generator (fig 8.92), între curenţii de fază şi curenţii de linie există relaţiile:

−=−=−=

23313

12232

31121

IIIIIIIII

(8.281)

şi analog, în cazul receptorului. Din însumarea relaţiilor (8.281) rezultă:

,0321 =++ III (8.282) adică, şi în cazul montajului în triunghi suma curenţilor de linie este nulă, indiferent de faptul că sistemul curenţilor este sau nu simetric.

Dacă curenţii de fază vor fi reprezentaţi prin fazori cu aceeaşi origine, curenţii de linie vor fi reprezentaţi, potrivit relaţiilor (8.281), prin fazori care unesc vârfurile fazorilor de fază (fig.8.93).

Fig. 8.92

Page 70: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

498

Pentru sistemul simetric de curenţi, steaua şi triunghiul fazorilor sunt figuri geometrice regulate. Fazorii curenţilor de fază vor avea acelaşi modul fU , iar cei de linie acelaşi

modul lI , defazajul între fazorii succesivi fiind 32π . Din triunghiul isoscel AOB (fig. 8.93)rezultă:

(8.283) .3232

3sin2 fffl IIII ==

π=

Recapitulând, există următoarele relaţii între mărimile de fază şi cele de linie în cazul celor două tipuri de conexiuni: (8.284) ( ) ( )YY 3 fl UU = ,

(8.285) ( ) ( )YY fl II = , (8.286) ( ) ( )∆∆ = fl UU ,

(8.287) ( ) ( )∆∆ = fl II 3 . Calculul puterii în sistemul trifazat se face după acelaşi principiu ca şi în curentul alternativ

monofazat, prin putere trifazată înţelegându-se suma puterilor pe cele trei faze, conform teoremei conservării puterilor în reţelele electrice.

Pentru reţeaua cu conexiune în stea, la care tensiunile de fază au valorile eficace ,,, 321 UUU iar curenţii de fază sunt egali cu cei de linie, puterile activă şi reactivă debitate de generator sau absorbite de receptor sunt: (8.288) 333222111Y coscoscos ϕ+ϕ+ϕ= IUIUIUP şi (8.289) ,sinsinsin 333222111Y ϕ+ϕ+ϕ= IUIUIUQ unde

1ϕ , 2ϕ ,

3ϕ sunt defazajele între tensiunile şi curenţii de pe fazele respective, date de relaţiile:

(8.290) f

f

f

f

f

f

ZX

ZR

RX

=ϕ=ϕ=ϕ sin;cos;tg .

În cazul montajului în triunghi, unde tensiunile de fază sunt egale cu cele de linie, ,,, 312312 UUU curenţii de fază sunt ,,, 312312 III iar defazajele corespunzătoare ,,, 312312 ϕϕϕ rezultă:

(8.291) 313131232323121212 coscoscos ϕ+ϕ+ϕ=∆ IUIUIUP şi (8.292) .sinsinsin 313131232323121212 ϕ+ϕ+ϕ=∆ IUIUIUQ

Dacă sistemele de tensiuni şi cele de curenţi sunt simetrice: (8.293) ,321 fUUUU ===

(8.294) ,312312 lUUUU === (8.295) ,321 lIIII === (8.296) fIIII === 312312 şi (8.297) ,312312321 ϕ=ϕ=ϕ=ϕ=ϕ=ϕ=ϕ iar relaţiile (8.288), (8.289), (8.291), (8.292), devin: (8.298) ,cos3cos3Y ϕ=ϕ= lllf IUIUP

(8.299) ,sin3sin3Y ϕ=ϕ= lllf IUIUQ

Fig. 8.93

Page 71: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

499

ϕ=ϕ=∆ cos3cos3 llfl IUIUP (8.300) şi .sin3sin3 ϕ=ϕ=∆ llfl IUIUQ (8.301)

În concluzie, în sistemele simetrice, exprimarea puterilor în funcţie de mărimile de linie este aceeaşi, indiferent dacă montajul este în stea sau în triunghi.

Dacă tensiunile şi curenţii sunt date prin cantităţi complexe, puterile aparente se calculează direct cu relaţiile: ,3 *

Y ff IUjQPS =+= (8.302) respectiv: ,3 *

ff IUjQPS =+=∆ (8.303) mărimile de fază fiind cele specifice montajului respectiv.

8.6.3. Reţele de curent alternativ trifazat cu sarcini dezechilibrate Dezechilibrul în reţelele fără conductor neutru poate avea consecinţe care să conducă la perturbarea funcţionării tuturor consumatorilor. Se poate presupune că reţeaua din figura 8.94 este echilibrată, dar că dezechilibrul se produce accidental într-unul din următoarele două moduri:

- prin ruperea conductorului de linie 1. În acest caz, tensiunile la bornele receptoarelor 2Z şi 3Z devin egale cu 2U23

şi respectiv 2U23− . Pe diagrama din figura 8.95 punctul neutru al ansamblului de receptoare se deplasează în O'. Valoarea eficace a tensiunii la bornele celor două receptoare a scăzut de la fU , cât era înainte de defect, la

ffl UU 86,0232U == , iar potenţialul punctului neutru al receptoarelor are, faţă de valoarea iniţială luată ca referinţă, o creştere egală cu 2Uf

, reprezentată prin fazorul 'oU ;

- prin scurtcircuitarea impedanţei din faza 1. În noua situaţie, tensiunile la bornele impedanţelor 2Z şi 3Z au devenit 12U şi respectiv 31U , valoarea efectivă crescând de la aceea corespunzătoare tensiunii de fază, la aceea corespunzătoare tensiunii de linie, adică s-a majorat de

3 ori. Punctul O al ansamblului de receptoare s-a deplasat pe diagrama fazorială în punctul AO ≡′′ iar potenţialul punctului neutru al sarcinii a crescut cu valoarea fU reprezentată prin

fazorul "oU (v. fig. 8.95).

În ambele cazuri, funcţionarea receptoarelor din fazele 2 şi 3 este perturbată fie datorită scăderii tensiunii de alimentare, fie datorită creşterii sale, care poate conduce la distrugerea receptoarelor.

Dacă sistemul de sarcini este echilibrat, iar sistemul tensiunilor de alimentare este simetric, nu există nici o diferenţă de potenţial între punctul neutru O al generatorului şi punctul neutru O' al sarcinii.

Fig. 8.94 Fig. 8.95

Page 72: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

500

Într-adevăr, calculul după metoda perechilor de noduri aplicat reţelei din figura 8.94 conduce la următoarea expresie pentru deplasarea neutrului, notată cu OOU ' :

(8.304) 321

332211

YYYYEYEYEU OO ++

++=′

şi deoarece 321 ZZZ ≡≡ , rezultă YYYY === 331 şi

(8.305) ( ) ,03

321 =++

=′ YEEEYU OO

întrucât 0321 =++ EEE sistemul tensiunilor electromotoare fiind simetric. Inegalitatea impedanţelor 321 ,, ZZZ pe fazele sistemului face ca OOO UU −=' să fie diferit de

zero şi, aşa cum se vede în diagrama fazorială din figura 8.96, tensiunile la bornele receptoarelor vor fi:

(8.306)

−=−=

−=

.

,

033

022

011

UEUUEUUEU

,

Ele sunt diferite şi alcătuiesc un sistem nesimetric de tensiuni, chiar dacă sistemul tensiunilor electromotoare 321 ,, EEE care alimentează reţeaua este simetric. Pentru a simetriza reţeaua, este necesar să se folosească un conductor neutru, de impedanţă foarte mică, ce leagă

punctul neutru al generatorului cu punctul neutru al receptoarelor. În acest caz, presupunându-se că impedanţa conductorului neutru este 0Z , tensiunea OOU ' va fi egală cu:

(8.307) ⋅+++++

=0321

332211' YYYY

YEYEYEU OO

Din relaţia (8.307), cunoscută ca relaţia lui Milmann, se vede că dacă impedanţa conductorului neutru este foarte mică, 00 →Z , atunci ∞→0Y şi 0' →OOU . Conductorul neutru simetrizează reţeaua, iar receptoarele alcătuind un sistem dezechilibrat de sarcini pot funcţiona fără inconveniente. Tensiunea la bornele consumatorilor rămâne egală cu tensiunea de fază, chiar dacă se întrerupe

un conductor de linie, iar în cazul scurtcircuitării unei faze a receptorului, curentul care va lua naştere în circuitul format din conductorul de linie şi conductorul neutru, circuit de impedanţă practic nulă, va fi atât de mare încât fuzibilul montat pe linia scurtcircuitată se va topi, întrerupând-o.

Din motivele arătate, execuţia şi exploatarea reţelelor trifazate are în vedere că întreruperea conductorului neutru nu poate avea loc nici accidental şi nici voit. Pentru aceasta pe conductorul neutru nu se montează întreruptoare sau siguranţe fuzibile, iar continuitatea i se verifică periodic, legăturile sale în reţea trebuind să fie făcute astfel încât rezistenţele de contact să fie minime.

8.6.4. Studiul sistemelor trifazate nesimetrice cu ajutorul componentelor simetrice

Sistemele trifazate nesimetrice de mărimi electrice sinusoidale sunt reprezentate prin sisteme nesimetrice de fazori. Un asemenea sistem de fazori poate fi însă descompus în trei sisteme trifazate, dintre care două simetrice, unul de succesiune directă, altul de succesiune inversă şi unul homopolar, ceea ce permite să se efectueze studiul reţelei pe o singură fază, la fel ca în reţeaua simetrică.

Fig. 8.96

Page 73: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

501

Fie dd VV =1 fazorul principal al sistemului simetric de succesiune directă, ii VV =1 fazorul principal al celui de succesiune inversă şi hV fazorul sistemului homopolar (fig. 8.97).

Fazorii sistemelor de succesiune dirsctă şi inversă se exprimă în funcţie de fazorii principali respectivi după cum urmează:

.

,

,

3π2j3

3π2j-2

1

+=

=

=

eVV

eV V

VV

dd

dd

dd

(8.308)

şi

.

,

,

3π2j3

3π2j2

1

−=

=

=

eVV

eV V

VV

ii

ii

ii

(8.309)

Se introduce operatorul lui Steimnetz 32jea π= şi deoarece 232j ae =π− , rotirea fazorului cu 34π înainte fiind echivalentă cu rotirea cu 32π înapoi, ecuaţiile (8.308) şi (8.309) se scriu:

dd

d2

d

dd

VV,VV

,V V

aa

3

2

1

=

=

=

(8.310)

şi

.a

a2

3

2

1

ii

ii

ii

VV

,VV,VV

=

=

=

(8.311)

Fazorii sistemului nesimetric vor rezulta prin însumarea fazorilor de acelaşi indice ai sistemelor simetrice componente:

.aa,aa

,

23

22

1

idh

idh

idh

VVVVVVVV

VVVV

++=

++=

++=

(8.312)

Prin adunarea celor trei ecuaţii (8.312) membru cu membru şi ţinându-se seama că 01 2 =++ aa se obţine:

( ).31

321 VVVV h ++= (8.313)

Se înmulţeşte a doua ecuaţie (8,312) cu a şi a treia cu 2a . Deoarece 1a3 = şi aa4 = , prin adunarea membru cu membru a ecuaţiilor, se obţine:

( ),VaVaV31V 3

221 ++=d (8.314)

apoi, înmulţindu-se a doua ecuaţie (8,312) cu 2a şi a treia cu a , rezultă:

( ).VaVaV31V 32

21 ++=i (8.315)

Descompunerea în componente simetrice nu este numai un artificiu de calcul. Experienţa arată că ele corespund unei realităţi certe, componentele simetrice de curent şi de tensiune putând fi măsurate, iar efectele lor putând fi constatate în reţelele şi aparatele electrice.

Fig. 8.97

Page 74: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

502

Gradul de dezechilibrare al unui sistem trifazat de fazori se defineşte prin gradul de disimetrie :

(8.316) d

ii V

V=ε

şi prin gradul de asimetrie :

(8.317) ⋅=εd

hh V

V

În practică, sistemul se consideră simetric dacă %5≤εi şi %5≤εh

. Potrivit principiului suprapunerii efectelor, regimul de curenţi din reţeaua liniară rezultă

prin suprapunerea în laturile sale a curenţilor produşi de sistemele de t.e.m. de secvenţă directă, inversă şi homopolară, ca şi cum acestea ar lucra independent. Impedanţele opuse de elementele reţelei tensiunilor de secvenţe diferite pot fi însă diferite, aşa cum se arată în continuare.

Se numeşte impedanţă directă a reţelei, impedanţa efectivă pe fază opusă curenţilor sistemului direct. În acelaşi mod se definesc impedanţa inversă şi impedanţa homopolară.

Se constată că elementele ale căror faze sunt echilibrate şi care nu comportă părţi rotative, opun curentului o impedanţă care nu depinde de succesiunea fazelor tensiunii aplicată la borne (transformatoare, linii, circuite, circuite receptoare pasive). Maşinile rotative prezintă impedanţe diferite curenţilor din sistemul direct faţă de curenţii sistemului invers (

id ZZ ≠ ). Reţelele electrice fără conductor neutru, având punctul neutru izolat, prezintă o impedanţă

infinită curenţilor din sistemul homopolar. Conductorul neutru fiind străbătut de toţi curenţii care formează sistemul homopolar, ţinându-se seama de căderea de tensiune care se produce în acest conductor, se consideră ca având impedanţa

03ZZ h = , unde 0Z este impedanţa lui proprie.

Totalitatea circuitelor receptoare pasive care absorb puterea aparentă S la tensiunea de fază U şi la factorul de putere ϕcos , prezintă impedanţa:

(8.318) ( ).sinjcos3

3

2

* ϕ−ϕ=

==

SU

US

UI

UZ d

Puterea aparentă complexă se obţine cu ajutorul relaţiei: (8.319) .*

33*

22*

11 IUIUIUS ++= Fazorii de tensiune şi de curent în funcţie de componentele lor simetrice fiiind:

(8.320)

idh

idh

idh

UUUUUUUU

UUUU

23

22

1

aa,aa

,

++=

++=

++=

şi, respectiv:

(8.321)

,

,

,

**2**3

*2***2

****1

idh

idh

idh

IaIaII

IaIaII

IIII

++=

++=

++=

introducându-se aceste mărimi cu expresiile lor în ecuaţia (8.319) se obţine: (8.322) .333 ***

iiddhh IUIUIUS ++= Ţinându-se seama şi de relaţiile 0jeUU = şi ϕ−= jeII rezultă şi expresiile puterilor activă şi

reactivă:

(8.323) ( )

( ).sin3sin3sin3jcos3cos3cos3j

iidddhhh

iiidddhhh

IiUIUIUIUIUIUQPS

ϕ+ϕ+ϕ++ϕ+ϕ+ϕ=+=

Page 75: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

503

8.7. Regimul deformant în sistemele trifazate

Aşa cum s-a arătat în § 8.5.3, regimul deformant (sau nesinusoidal) este regimul electrocinetic alternativ în cadrul căruia forma de undă a cel puţin uneia dintre mărimile electrice de circuit (t.e.m., curent electric de conducţie sau tensiune electrică) nu este sinusoidală. În circuitele electronice (al căror rol constă în procesarea semnalelor) nu se utilizează noţiunea de regim deformant, deoarece multe din aplicaţiile electronicii constau în producerea unor semnale electrice cu formă nesinusoidală ( de exemplu: dreptunghiulară, triunghiulară sau în dinţi de fierăstrău, trenuri de impulsuri, semnale electrice modulate etc. - v. cursul "Semnale, circuite şi sisteme"/SCS).

În alte aplicaţii ale electronicii, în care semnalele (mărimile electrice de circuit) trebuie să-şi păstreze aceeaşi formă de undă, sinusoidală sau nu (cum este cazul generatoarelor de semnal sinusoidal, amplificatoarelor, atenuatoarelor etc.), deformarea semnalelor (nedorită în aceste aplicaţii) se studiază prin aşa numita analiză a distorsiunilor. Distorsiunile se datoresc neliniarităţii circuitelor electronice şi/sau caracteristicilor de transfer pe care le au unele din etajele circuitelor. Deoarece studiul distorsiunilor se face la alte cursuri (S.C.S., "Măsurări electronice", "Dispozitive şi circuite electronice" ş. a.), în cadrul acestui subcapitol nu va fi abordat acest caz.

În circuitele electrice din aplicaţiile industriale (cu puteri mari), regimul deformant apare cu efecte însemnate în reţelele sistemelor energetice locale sau naţionale, care toate sunt de tip trifazat, cauzele apariţiei acestui regim ( care de la un anumit "nivel" este dăunător şi deci inacceptabil, trebuind să fie eliminat) fiind: alimentarea utilizatorilor cu tensiuni la borne nesinusoidale (datorate unor imperfecţiuni constructive ale alternatoarelor, din centralele electrice sau caracteristicilor neliniare ale unor elemente de circuit cu miezuri magnetice saturate –alternatoare şi transformatoare, aflate în amonte de barele de alimentare cu energie electrică a utilizatorului); alimentarea utilizatorilor prin cabluri trifazate subterane de lungime mare; efectul corona (v. Fizica) din liniile trifazate de transport de înaltă tensiune, de la 110kV în sus; conectarea la reţeaua trifazată de alimentare cu energie electrică a unor aparate aşa-zis deformante (mutatoare de mare putere, motoare electrice cu "fier" saturat, transformatoare pentru sudare etc.) precum şi a bateriilor de condensatoare paralel simple folosite la compensarea puterii reactive.

Prezenţa în reţelele electrice trifazate a unui regim deformant duce la apariţia unor efecte nedorite care aduc prejudicii, uneori însemnate, atât consumatorilor cât şi operatorilor (care realizează transportul şi distribuţia energiei electrice), dar şi unor sisteme colaterale (cum ar fi cele de telecomunicaţii). Aceste efecte dăunătoare constau în aceea că aparatele deformante devin generatoare de armonici, astfel că între sursele producătoare de tensiuni electromotoare sinusoidale şi între aparatele deformante apare o dublă circulaţie de putere activă: de la sursă spre aparatul deformant ( pe unda fundamentală) şi în sens invers (pe armonici). Rezultă de aici o serie de consecinţe nefavorabile reţelei şi receptoarelor conectate la reţea, care au fost enumerate în § 8.5.3 (creşterea puterii aparente prin componenta sa deformantă, creşterea pierderilor de putere activă în reţea şi la consumatori, creşterea impedanţei aparente în reţea -definită prin IU / , creşterea erorilor aparatelor de măsurat, de comandă - control şi de automatizare, introducerea de paraziţi în aparatura şi instalaţiile electronice etc.).

8.7.1. Particularităţile regimului deformant în reţelele trifazate

O sursă trifazată de tensiuni deformată produce tensiunile:

,sin21

1 ∑=

ω=n

kk tkUu

Page 76: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

504

(8.324) .

32sin2

,3

2sin2

13

12

=

=

π

+ω=

π

−ω=

n

kk

n

kk

ktkUu

ktkUu

Se constată că toate armonicele pare sunt nule şi că armonicele de ordin k=3n+1 formează sisteme de succesiune directă, în timp ce armonicele de ordin k=3n-1 formează sisteme de succesiune inversă. Armonicele de ordin k=3n formează sisteme homopolare.

Se mai constată că tensiunile de linie ,2112 uuu −= 3223 uuu −= şi

1331 uuu −= nu conţin armonici de ordin trei sau multiplu de trei.

Valorile eficace ale tensiunilor de fază sunt: (8.325) ,...2

72

52

32

1 ++++= UUUUU f iar acelea ale tensiunilor de linie:

(8.326) ( ) ( ) ( ) ( ) ....33332

7

2

5

2

3

2

1 ++++= UUUUU Dacă fazele generatorului sunt legate în triunghi ele vor fi parcurse de curentul de circulaţie

produs de tensiunea:

(8.327) ,3

2cos21sin21

3210 ∑=

π+ω=++=

n

kk

ktkUuuuu

care este format numai din armonici de ordin trei şi multiplu de trei (pentru 13 ±= nk se obţine 00 =u ). Pentru a se evita apariţia curenţilor de circulaţie, generatoarele trifazate au, de regulă,

conexiunea în stea.

8.7.2. Combaterea regimului deformant

Dispozitivele de compensare a fenomenelor deformante sunt destinate absorbirii armonicelor. Acest lucru se realizează cu compensatoare statice alcătuite din baterii de

condensatoare în serie cu bobine, alcătuind circuite dipolare L,C conectate trifazat (fig. 8.98) la reţeaua de alimentare în curent alternativ.

Condensatoarele şi bobinele trebuie să aibă factori înalţi de calitate pentru a nu produce pierderi de putere activă. Ele formează circuite rezonante serie, acordate pe frecvenţa armonicii de compensat. Pentru o filtrare eficientă a armonicilor produse de receptoarele deformante trebuie cunoscute atât structura armonică a undelor de tensiune şi curent, cât şi parametrii reali ai circuitelor.

În principiu, calculul unui compensator static al fenomenelor reactive şi deformante se face astfel:

- se determină capacitatea C a condensatorului, în aşa fel încât, să fie compensată puterea reactivă pe fază fQ :

(8.328) ;2 211UfQC f π=

- se calculează inductivitatea νL conectată în serie cu condensatorul, astfel încât să se obţină acordul de circuit rezonant serie pe armonica ν ce

trebuie absorbită: (8.329) ( ) .21 2

1fCL πν=ν Pentru o proiectare eficientă trebuie să se ţină seama însă de reactanţa echivalentă a reţelei

de alimentare, de toleranţele elementelor de circuit, de efectul circulaţiei altor armonici, de efectele derivei termice, de rezonanţa paralel filtru–reţea etc. Este posibil, însă, ca însuşi filtrul să

Fig. 8.98

Page 77: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

505

devină, în anumite condiţii de exploatare, un aparat deformant prin amplificarea unor armonici de ordin superior. De aceea este necesar ca, în funcţie de condiţiile locale de lucru, parametrii filtrului să poată fi ajustaţi corespunzător.

Deoarece condiţiile locale de lucru ale filtrului pot fi temporare, o exploatare raţională a compensatoarelor statice necesită verificarea periodică, prin măsurări, a încărcării cu armonici şi a acordului filtrului.

8.8. Cazuri aparte în studiul circuitelor electrice În cadrul acestui subcapitol vor fi prezentate câteva situaţii mai deosebite care intervin,

adeseori, în studiul circuitelor electrice şi anume: - regimul tranzitoriu al circuitelor electrice; - comportarea circuitelor electrice în radiofrecvenţă; - circuite electrice cu parametrii de circuit neliniari; - reprezentarea circuitelor electrice ca diporţi (cuadripoli); - liniile electrice lungi.

8.8.1. Regimul tranzitoriu al circuitelor electrice

Din punctul de vedere al „evoluţiei” în timp, regimul electrocinetic al circuitelor electrice (staţionar sau nestaţionar) poate fi permanent şi tranzitoriu.

Regimul permanent este acela în care mărimile ce caracterizează sistemul electrocinetic îşi păstrează mereu aceleaşi valori: în regim staţionar (de curent continuu) mărimile electrice de circuit (t.e.m., tensiunile la borne şi curenţii) sunt constante în timp, parametrii de circuit au aceeaşi valoare (rezistenţe sau conductanţe) şi structura reţelei se păstrează aceeaşi în regim nestaţionar, mărimile electrice de circuit au tot timpul aceeaşi formă de undă (cu aceleaşi valori maxime şi minime, aceleaşi valori efective, aceeaşi fază iniţială şi aceeaşi pulsaţie), iar componentele electrice de circuit, mereu în aceeaşi structură, au parametrii de circuit (rezistenţe/conductanţe, capacităţi/elastanţe, inductivităţi-proprii şi mutuale) neschimbaţi. Dacă cel puţin una din caracteristicile electrocinetice (înşiruite anterior) se modifică, atunci circuitul electric trece la alt regim permanent.

Această trecere de la un regim electrocinetic permanent la alt regim electrocinetic permanent nu se poate face instantaneu, ci numai printr-un regim variabil în timp denumit regim tranzitoriu. „Saltul” de la un regim permanent la altul nu poate fi brusc (de tip treaptă) deoarece schimbarea stării permanente duce la modificări ale câmpurilor electromagnetice aferente circuitului ceea ce implică anumite transferuri de energie electromagnetică, de forma:

∫=2

1

dP

P

U

Ue uqW – electrică şi ∫ ϕ=

2

1

dP

P

I

Im iW – magnetică,

(v. § 1.5.3) în care UP1, UP2 şi IP1, IP2 sunt valorile caracteristice ale tensiunilor şi curenţilor în regimurile permanente 1 şi 2 ce „încadrează” regimul tranzitoriu. Cum un transfer instantaneu al acestei energii (oricât de mici) ar însemna ca derivatele lor în raport cu timpul (dWe∪m/dt) să fie infinite, adică un dt=0 sau o putere a sistemului infinită, ceea ce practic nu poate fi posibil, face ca regimul tranzitoriu sa aibă o „anumită” durată. După cum se va vedea mai încolo, durata unui regim tranzitoriu este teoretic infinită (ceea ce ar însemna că un al doilea regim permanent nu mai este posibil!). Practic, regimul tranzitoriu evoluând de cele mai multe ori exponenţial după un timp –în general– scurt, se ajunge la valori ale mărimilor caracteristice stării electrocinetice de 0,9÷0,95 din noul regim permanent. În legătură cu acest fapt, pentru multe sisteme fizice de tip electromagnetic, se defineşte un aşa-numit timp de stabilire care fixează durata regimului tranzitoriu la timpul necesar ca o mărime de stare (ce prezintă importanţă pentru aplicaţia avută în

Page 78: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

506

vedere) să ajungă la 0,9 din valoarea care (teoretic) va fi luată de acea mărime în noul regim permanent.

Ca urmare, din punctul de vedere al definiţiilor date, funcţionarea unui circuit electric poate fi privită ca o înşiruire de regimuri permanente şi tranzitorii. Deşi practic scurt, în unele aplicaţii, analiza regimului tranzitoriu este determinantă, rolul ei constând în a exprima cum variază în timp mărimile de stare electrocinetică şi ce parametru – timp îi este caracteristic (care, după cum se va vedea, se numeşte constantă de timp şi se notează mai întotdeauna cu τ).

Modele de calcul ale regimului tranzitoriu

O modalitate de descriere a trecerii de la un regim permanent la altul o constituie

introducerea unei modificări bruşte a unei mărimi de stare a circuitului electrocinetic analizat (de pildă conectarea bruscă a unei surse electrice cu t.e.m. continuă sau sinusoidală). Acest lucru se poate face prin utilizarea funcţiei treaptă unitate a lui Heaviside (v. § 9.1.4) definită astfel:

(TR 1) ( )

>⇒<⇒

=0100

tt

th ,

unde t este timpul. O astfel de idealizare este întotdeauna justificată atunci când, pe scara timpului prin care se studiază fenomenul, durata modificării (de pildă, durata de acţionare a unui contact) este neglijabilă. Când acest semnal este derivat, apare în mod natural derivarea în punctul de discontinuitate, ceea ce implică aplicare unor elemente de teoria distribuţilor.

În principiu calculul circuitelor electrice în regim tranzitoriu se face cu ajutorul teoremei lui Ohm generalizate (v.subcap.8.4) şi al teoremelor lui Kirchhoff în curent variabil. Acestea, în funcţie de structura circuitului, conduc la o ecuaţie sau la un sistem de ecuaţii diferenţiale sau integro-diferenţiale care, după caz pot fi rezolvate fie prin metodele clasice (v. Ecuaţiile fizicii-matematice), fie prin aplicarea unor operatori de transformare –cum ar fi transformata Laplace (v.§ 9.1.5)− care este justificată aici –când perturbaţia se consideră de forma (TR1)– deoarece, în acest caz, în circuite apar funcţii de discontinuitate şi derivatele acestora şi se caută soluţia unor

ecuaţii diferenţiale în aceste condiţii. Spre exemplificare se va considera studiul

regimului tranzitoriu de „încărcare” a unui condensator de la o sursă de curent continuu, cu t.e.m. E, prin închiderea bruscă a întreruptorului K (fig. 8.8/1). Condensatorul electric cu capacitatea C (considerat ideal) este în serie cu un rezistor cu rezistenţa electrică R.

Presupunându-se că închiderea întreruptorului K este foarte rapidă şi are loc la t=0, rezultă că tensiunea u ce se aplică laturii R, C este dată de funcţia:

(TR 2) ( )

>⇒<⇒

=000

tEt

tu sau u=Eh,

adică de treapta unitate Heaviside h –definită prin expresia (TR1)– multiplicată cu E. După închiderea bruscă a întrerupătorului K, urmează regimul tranzitoriu de încărcare a condensatorului, în care sarcina electrică pe armăturile condensatorului (q), curentul electric din circuit (i) şi tensiunea la bornele condensatorului (uc) sunt funcţii de timp: q(t), i(t) şi uc(t); scopul analizei acestui regim tranzitoriu (de încărcare a condensatorului electric) este tocmai acela de a determina aceste funcţii de timp.

Modelul original (iniţial), al acestui regim tranzitoriu (cu sensurile de referinţă indicate ca în figura 8.8/1) este (după cum se ştie din subcap. 8.4):

Fig. 8.8/1

Page 79: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

507

∫+= tiC

Riu d1 ,

∫= tiq d şi i=dq/dt= q& ,

CqtiC

u R /d1∫ == , (TR 3)

CqqRCq

tq

Ru /dd

+=+= & etc.

Ultima ecuaţie, ţinându-se seama de expresia (TR 2) a lui u, se mai poate scrie şi în forma:

EhCq

qR =+& ,

sau –împărţindu-se cu 0≠R şi notându-se cu τ=RC– în forma:

hRE

RCq

q =+& sau RhEqq /τ/ =+& . (TR 4)

Termenul RC are dimensiunea de timp, se notează cu τ şi se numeşte constanta de timp a circuitului R, C serie. Într-adevăr dimensional rezultă:

[ ] [ ] [ ] [ ][ ]

[ ][ ]

[ ] [ ][ ] [ ]tI

tIUQ

IUCR =

⋅=⋅=⋅=τ .

Semnificaţia fizică, dar şi geometrică (referitoare la reprezentarea mărimilor q, u, uR, … în raport cu timpul), va fi arătată ceva mai încolo.

Pentru t>0 soluţia ecuaţiei diferenţiale (TR 4), care reprezintă problema lui Cauchy cu condiţii iniţiale, este de forma: q=ql+qp , (TR 5) unde ql este „soluţia liberă”, adică soluţia ecuaţiei omogene: 0τ/ =+ qq& , (TR 6) care se oţine separându-se variabilele şi integrându-se membru cu membru:

τ/00ln

τln

τdd

τdd t

l eqqqtqtqqq

tq −=→+

−=∴=∴−= , (TR 7)

unde qo este constanta de integrare, o constantă arbitrară determinată prin condiţia iniţială. Termenul de qp, din soluţia (TR 5) a problemei Cauchy (TR 4), reprezintă o soluţie

particulară a ecuaţiei neomogene; o astfel de soluţie particulară este sarcina electrică de pe armăturile condensatorului în regimul permanent care urmează după regimul tranzitoriu de încărcare, când condensatorul ajunge la sarcina maximă posibilă qp=CE (determinată de t.e.m. E).

Atunci soluţia (TR 5), în care se înlocuieşte ql cu expresia ei (TR 7) şi qp cu CE, devine: CEeqq t += − τ/

0 , (TR 8) care, în condiţiile iniţiale –la t=0– face q(t=0)=0 (deoarece condensatorul este neîncărcat) şi atunci (TR 8) devine: CEeq += − τ/0

00 , ceea ce permite determinarea constantei de integrare: qo=−CE, astfel că expresia definitivă a soluţiei (TR 8) este: ( )τ/1 teCEq −−= sau ( )τ/1 teQq −−= , (TR 9) unde Q este sarcina electrică a condensatorului în noul regim permanent.

Reprezentarea grafică a soluţiei (TR 9) este dată în figura 8.8/2a; aşadar condensatorul se încarcă exponenţial, viteza de încărcare depinzând de constanta de timp τ (aici τ=RC).

Această semnificaţie a lui τ este dovedită, concret, prin următoarele:

Page 80: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

508

– dacă la exponenţiala soluţiei q(t) se duce, într-un punct oarecare (de exemplu, chiar în originea O), tangenta geometrică, (tg) în figura 8.8/2b, atunci –din triunghiul dreptunghic OAB– rezultă:

(TR 10) ( )

τ

τddtgα τ/0

CEABOA

eCEABOAtq

tABOA

=⇒

=⇒== −

,

conform interpretării pe care o are derivata unei funcţii (ca fiind tangenta trigonometrică a tangentei geometrice la curba ce reprezintă funcţia, în punctul considerat – aici originea O, unde t=0). Deoarece segmentul OA este Q=CE ( OA =Q=CE) rezultă din ultima egalitate (TR 10) că:

(TR 11) ABCEABCE

=∴= ττ

,

adică τ (constanta de timp) este egală cu subtangenta la curba q(t) în punctul considerat (în exemplul din figura 8.8/2b este subtangenta AB în punctul O, în origine, aşa cum se arată în figura 8.8/2c);

– dacă se consideră t=3τ şi se calculează valoarea sarcinii electrice a condensatorului în regim tranzitoriu (deci la un moment egal cu trei constante de timp după începerea acestui regim) se constată:

( ) ( )

( )04979,0108554,2011

11e-13 33-

−=

−=

=

−==τ=

QQ

eQQtq

,

adică, rotunjind valoarea lui e-3 la 0,05, rezultă: q(t=3τ)=0,95Q,

ceea ce înseamnă că după numai trei constante de timp, în regimul tranzitoriu se ajunge la 95% din valoarea finală (atinsă teoretic la un timp infinit) a noului regim permanent. În multe aplicaţii din Electronică se consideră ca suficientă atingerea valorii de 90% din cea finală; în această situaţie timpul în care se ajunge la acest nivel (numit adesea timp de stabilire) este:

( ) 101,0

11,01110090 τ/

τ// ==∴=∴−= − t

tt e

eeQQ τ şi τ3,210lnτ ==t .

Practic, se consideră că după 2,3τ la 3τ regimul tranzitoriu a luat sfârşit. Celelalte mărimi electrice ale circuitului R, C (fig.8.8/1), în regim tranzitoriu se determină

direct din q(t) cu relaţiile (TR 3); astfel: – intensitatea curentului electric i(t) este:

(TR 12) ( )[ ] τ/τ/τ/τ/

τ1

ddd/d tttt e

REe

RCCEeCEeCE

ttqi −−−− ===−== ,

Fig. 8.8/2

Page 81: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

509

adică în momentul închiderii bruşte a contactului K din figura 8.8/1 (la t=0), în circuit apare un

„şoc” de curent ( ) REeREti /0 τ/0 === − , după care curentul scade exponenţial, cu o subtangentă

τ, până la zero (t→∞⇒ i=0); – tensiunea la bornele condensatorului electric uc(t) este:

( ) ( )τ/τ/ 1111 ttC eEeCE

Cq

Cu −− −=−== , (TR 13)

ceea ce înseamnă că ea creşte de la uc=0 (pentru t=0) la uc=E, teoretic la infinit (t→ ∞ ). O interpretare energetică are rolul de a dovedi faptul că regimul tranzitoriu, de exemplu

pentru circuitul R, C din figura 8.8/1, este impus de necesitatea transferării energiei electrice necesare producerii câmpului electric în dielectricul condensatorului. Astfel, energia disipată ireversibil în căldură în intervalul de timp de la 0 la t este (conform legii transformării de energie în conductori):

.2τ

2τdd τ/2

2

0

τ/22

0

τ/22

2

0

2

+−⋅=−⋅=== −−−∫∫ t

tt

tt

t

R eR

EeR

EteRERtRiW

Energia produsă de sursă în acelaşi interval de timp este:

( )τττdd τ/2

0

τ/2

0

τ/2

0

+−=−=== −−−∫∫ tttt

tt

E eR

EeR

EteR

EtEiW .

Se constată că WE≠ WR, fiind mai mare. Rezultă că nu toată energia produsă de sursă a fost transformată în căldură. Diferenţa:

( )

( ) ( )[ ] 22τ/τ/2τ/2

τ/2τ/2

τ/2τ/2

211

2112

21

12τ21

2τττ

Cttt

ttttRE

CueECeeRCR

E

eeR

EeeR

EWW

=−=++−⋅=

=++−⋅=

−++−=−

−−−

−−−−

reprezintă energia electrică acumulată în câmpul electric al condensatorului cu capacitatea electrică C, corespunzător valorii uc a tensiuni la bornele sale.

Considerându-se din nou schema din figura 8.8/1, dacă se ia R=0 atunci va rezulta u(t)=Eh şi prin urmare: Q=Cu=CEh=Qh, (TR 14) pentru cazul când q(t<0)=0. Aşadar condensatorul se încarcă brusc cu sarcina Q=CE, ceea ce înseamnă că q(t) este de forma treptei Heaviside, cu saltul Q în origine. Se pune acum problema determinării curentului cu care se încarcă acest condensator (când R=0); din relaţia (TR 14) va rezulta: .d/dd/d thQtqi == (TR 15)

Aşadar, pentru t=0 curentul este i=0, iar pentru t>0 curentul este de asemenea i=0 şi deoarece în origine h(t) nu este derivabilă se poate trage concluzia că i este zero peste tot, cu excepţia originii, unde ia o valoare infinită. Acest răspuns nu este însă satisfăcător, deoarece dacă se înlocuieşte E cu 2E, atunci sarcina electrică devine 2Q, iar saltul în origine a lui q(t) este acum 2Q. Se pune, firesc, întrebarea: în acest caz (în care în loc de E s-a luat 2E) curentul este „infinit” în origine exact ca în cazul precedent? (s-ar putea, în mod naiv, să se întrebe „cât de infinit” este în acest caz curentul i ?!). Iată, deci, că este necesar să se generalizeze noţiunea de derivată astfel încât o funcţie cu salt să fie derivabilă în punctul de salt, iar derivata să exprime şi mărimea saltului. Această generalizare o realizează teoria distribuţiilor (ale cărei noţiuni de bază sunt prezentate în paragraful 9.1.5).

Pe baza acestor noţiuni, în cazul din figura 8.8/1 unde sarcina electrică a condensatorului cu capacitatea C (pus brusc sub tensiunea constantă E la t=0), dacă la t<0 el este descărcat, are expresia: Q=ECh(t)=Qh(t),

Page 82: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

510

iar curentul prin condensator este: (TR 16) i=Dq=QDh=Qδ, unde D este operatorul pentru derivarea distribuţiilor (v.§ 9.1.5) şi δ reprezintă funcţia impuls a lui Dirac. Expresia (TR 16) arată că intensitatea curentului i depinde de valoarea saltului Q.

Deşi distribuţia Dirac, δ(t), nu este de tip funcţie, se poate calcula cu funcţii care sunt şiruri reprezentative Dirac şi care converg slab către distribuţia Dirac. Convergenţa slabă face metoda inutilizabilă în calculul numeric. Pentru exemplul condensatorului, la care prin expresia (TR 12) s-a determinat:

τ/d/d teREtqi −== ,

dacă se consideră 0→R , atunci 0→τ şi se obţine şirul reprezentativ Dirac:

(TR 17) τ

τ/te −

.

Reprezentarea grafică a şirului (TR 17) e-t/τ/τ=f(τ), pentru câteva valori ale timpului, obţinută printr-un program de rutină MATLAB, arată aşa ca în figura 8.8/3 (considerându-se t=const.≠ 0, pentru că la t=0 şirul este 1/τ), şi evidenţiază clar ce se întâmplă când t→0. Astfel, la t=0,2s (un timp destul de departe de t=0) se remarcă trecerea la impulsul Dirac exponenţial.

Pentru R foarte mic rezultă i(+0)=E/R foarte mare, iar τ devine foarte mic (deci exponenţiala tinde rapid către zero, fiind un „impuls exponenţial”). Acest exemplu este intuitiv, dar nu este riguros deoarece soluţia s-a obţinut pentru R≠ 0 (singurul caz posibil practic, deoarece R=0 este un caz ideal, neexistând în realitate conductori perfecţi pentru conectarea condensatorului la o sursă, care –şi ea– nu poate fi ideală, adică cu rezistenţa internă r=0). Dealtfel, R=0⇒ τ=0 pentru care şirul (TR 17) este nedeterminat.

Se vor considera, în continuare, alte două cazuri

semnificative pentru aplicaţiile practice. Rezistor în serie cu o bobină ideală (fig.8.8/4). Dacă se conectează brusc (prin închiderea

rapidă a întrerupătorului K) o sursă electrică cu t.e.m. constantă E la bornele unei laturi R, L serie (fig.8.8/4), tensiunea la borne va fi: u=Eh(t)=Eh, astfel că modelul ce descrie regimul tranzitoriu care se produce când la t=0 se închide K este: (TR 18) Ri+Ldi/dt=Eh.

Împărţindu-se cu L, relaţia (TR 18) devine:

(TR 19) hLE

tii

LR

=+dd sau LhEtii /d/d

τ1

=+ ,

în care s-a făcut înlocuirea L/R=τ. Acest termen, L/R, are dimensiunea timp şi este denumit constanta de timp (τ) a circuitului R, L serie. Într-adevăr, dimensional:

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

"tau"

f ("t

au")

t=0,2s

t=0,5s

t=1s

t=2s

Fig. 8.8/3

Page 83: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

511

[ ] [ ][ ]

[ ][ ]

[ ][ ]

[ ] [ ][ ] [ ]tU

tUII

URL

=⋅

=⋅Φ

==−

1

1

τ .

Ecuaţia diferenţială (TR 19) are soluţia: i=il+ip⇒ t>0, (TR 20) unde il este soluţia „liberă” (a ecuaţiei omogene) şi ip este o soluţie particulară a ecuaţiei neomogene (TR 19), care reprezintă o problemă Cauchy cu condiţii iniţiale.

Luându-se ecuaţia omogenă i/τ+di/dt=0 şi separând-se variabilele, adică scriindu-se în forma di/i=−dt/τ, rezultă, prin integrare: lni=-t/τ+lnIo, unde Io este constanta de integrare (o constantă arbitrară ce se va determina din condiţiile iniţiale). Atunci soluţia liberă a curentului este:

Il=Ioe-t/τ. O soluţie particulară a curentului, ip, este

aceea din regimul permanent la care se va ajunge atunci când o bobină ideală (adică având numai parametrul L, cu R=0 şi C=0) este conectată printr-un rezistor la o sursă ideală de curent continuu (cu t.e.m. E şi rezistenţă internă r=0) şi care este: ip=E/R. Atunci soluţia (TR 20) devine: i=Ioe-t/τ+E/R, (TR 21) care în condiţiile iniţiale –când t=0⇒ i(t=0)=0, deoarece miezul bobinei iniţial nu este magnetizat– devine: 0=Ioe-t/τ+E/R ∴Io=-E/R.

Atunci expresia definitivă a intensităţii curentului electric, i(t), din circuitul unei bobine ideale conectată brusc la o sursă de curent continuu printr-un rezistor este:

( )τ//1 teREi −= , (TR 22)

al cărui grafic i(t) este arătat în figura 8.8/5. Tensiunea la bornele bobinei din figura 8.8/4, uL(t),

din regimul tranzitoriu se determină imediat, fiind cunoscută expresia (TR22) a curentului i(t) din latura R, L serie:

.τ1)1(

dd

dd τ/τ/τ/ ttt

L EeLR

RELe

RELe

RE

tL

tiLu −−− ===

−== (TR 23)

Pentru R foarte mic rezultă uL(+0) = E, cea mai mare tensiune posibilă în regim tranzitoriu a tensiunii la bornele bobinei. La limită, când R = 0 (cazul bobinei ideale), prin ridicarea nedeterminării din formula (TR 22) rezultă:

,tLEi =

care creşte liniar indefinit. Latura R, L, C serie conectată brusc la o sursă de curent continuu (fig. 8.8/6). Dacă se

aplică brusc (prin închiderea rapidă a întrerupătorului K) o t.e.m continuă E, deci o tensiune la borne în forma unei funcţii treaptă: u(t) = Eh(t) ⇒ u(t<0) = 0, atunci va urma un regim tranzitoriu caracterizat de un curent i = i(t) cu i(t<0) = 0 şi având modelul (v. subcap. 8.4):

∫ =++ ),(d1dd tEhti

ctiLRi (TR 24)

care reprezintă o ecuaţie integrodiferenţială cu condiţii iniţiale, tipică pentru descrierea sistemelor fizice cu un singur grad de libertate.

Fig. 8.8/4

Fig. 8.8/5

Page 84: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

512

Pentru a se exemplifica şi modalitatea de utilizare a calculului operaţional bazat pe transformata Laplace în studiul regimului tranzitoriu al circuitelor electrice, se va determina expresia curentului i(t) –ca soluţie a ecuaţiei (TR 24)– aplicându-se acestei ecuaţii, în fiecare membru, transformata Laplace (v. § 9.1.4). Se va obţine (considerându-se condiţiile iniţiale nule):

(TR 25) L =

++ ∫ ti

CtiLRi d1

dd

L ,1)(1)]([ Es

slsc

sLRtEh =

++→

de unde rezultă transformata Laplace a curentului I(s):

(TR 26)

LCs

LRsL

EscsLRs

EsI1

1)/1(

)(2 ++

⋅=++

= .

introducându-se notaţiile: R/L = 2α şi 1/LC = ω0

2 , unde α reprezintă atenuarea circuitului şi ω0 – pulsaţia oscilaţiilor libere ale circuitului L, C (v. § 8.8.2), expresia transformatei Laplace a curentului devine:

(TR 27) ,2

1)(20

2 ωα ++⋅=

ssLEsI

care este de forma unei fracţii raţionale P(s)/Q(s) cu: P(s) ≡ 1 şi Q(s) ≡ s2 + 2αs + ω0

2 , având, deci, originalul (ca funcţie de timp) dată de teorema de dezvoltare a lui Heaviside (v. § 9.1.4) şi anume:

L -1ts

n

k k

k k

sQsP

sQsP

e)(')(

)()(

1∑=

=

,

unde Q’(s) = dQ(s)/ds –în cazul expresiei (TR 27) Q’(s) = 2s + 2α– iar sk(k = 1,2,...,n) sunt rădăcinile simple ale ecuaţiei Q(s) = 0, care pentru cazul relaţiei (TR 27) sunt:

s2 + 2αs + ω02 = 0 ⇒ s1,2 = −α± .

ωα1ωαωα

2

00

20

2

−±−=− j

Atunci expresia curentului i(t), din regimul tranzitoriu al circuitului R, L, C serie (v. fig. 8.8/6), este:

+

−−−

+

+

−+−

=

−±α−

−±α− t

e

j

e

jLEti

t2

0ωα

10jω

2

00

α2ωα1ωα2

1

α2ωα1ωα2

1)(2

00

ωα

1jω

2

00

sau, în definitiv:

(TR 28) .ωα1ωsine

ωα1

2

002

0

0

tL

Ei t

⋅= α−

Fig. 8.8/6

Page 85: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

513

La frecvenţe înalte (de exemplu în aplicaţiile din Radiotehnică) ciecuitele (R), L, C serie (care nu au conectat un rezistor anume, dar în care R este rezistenţa echivalentă pierderilor, în practică relativ mică) au amortizarea LR 2/α = mică în raport cu pulsaţia LC/1ω0 = , adică α<<ω0 (de remarcat că α şi ω0 au aceeaşi dimensiune şi anume [t]-1); în acest caz expresia (TR 28) devine, cu o bună aproximaţie:

,ωsineω 0

α

0

tL

Ei t−= (TR 29)

care are forma de undă a unor oscilaţii libere amortizate, aşa ca cea reprezentată în figura 8.8/7. După cum se poate constata din figura 8.8/7 curentul

i(t) reprezintă nişte oscilaţii pseudoarmonice, de formă sinusoidală dar cu valoarea maximă Imax = Imax(t) = (E/ω0L)е-αt, scăzând exponenţial potrivit atenuăii α = R/2L a circuitului, şi având pseudoperioada T = 2π/ω0. La un circuit ideal (ipotetic fără pierderi), R = 0 şi deci α = 0, caz în care oscilaţiile libere au amplitudinea constantă (deoarece e-(α=0)t = 1 şi Imax = E/ω0L = const.), adică devin oscilaţii libere ce se întreţin timp nelimitat.

În cazul în care amortizarea circuitului creşte, ajungând să satisfacă ecuaţia:

CLR /20)ω/α(1 20 =⇒=− ,

se produce un regim tranzitoriu limită (regim critic) aperiodic, neoscilant, când rădăcinile s1,2 sunt rădăcini reale. Ascest fapt rezultă imediat din relaţia (TR 28), în care argumentul sinusului devine imaginar (deoarece 0ω>α ), transformându-se într-un sinus hiperbolic.

Ecuaţiile diferenţiale pentru modelarea regimului tranzitoriu al circuitelor electrice Revenindu-se la ecuaţia diferenţială (TR 4) scrisă sub forma:

hIqq 0

.

/ =+ τ unde I0 = E/R şi căutând soluţia astfel încât q(t<0) = 0 (adică o funcţie cu salt în origine) va trebui determinată derivata în sens distribuţii a lui q(t) care este (v. § 9.1.5):

,DD 0

.

0

.

δδ QqqQqq −=∴+=

unde Q0 este saltul în origine. Înlocuindu-se .q în (TR 4), sub forma precedentă, rezultă:

.τ/D 00 δ+=+ QhIqq (TR 30) Se numeşte „soluţie elementară în D+’” soluţia ecuaţiei:

δ=+ τ/D ee qq sau, sub forma produsului de convoluţie: .)τ/'( δ=∗δ+δ eq

Făcându-se împărţirea (în sensul inversului de convoluţie) se obţine:

....!3τ

!2τ1

τ/'τ/

22

he

tt

hq te

−=

+

+=δ+δδ

=

Atunci, soluţia ecuaţiei(TR 30) este:

Fig. 8.8/7

Page 86: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

514

),(e)( 00τ/

00 δ+∗=δ+∗= − QhIhQhIqq te

în care ultimul termen are forma: ,ee τ/

00τ/ hQQh tt −− =δ∗

deoarece δ este unitate în produsul de convoluţie, iar Q0 este o constantă. Pe de altă parte:

).1()1(τ

)1(ττe

dτedτ)τ()τ(ee

/0

/0

/00

τ/0

0

τ/0

τ/00

τ/

ττ

ττ

ττ

tt

tt

t

R

t

ehQehI

heII

IthhIhIh

−−

−−

−−−

−=−=

=−−=−=

==−=∗ ∫∫&

&&

Se verifică astfel soluţia (TR 9) găsită anterior, dar cu Q0 = 0. Se poate da acum o interpretare fzică soluţiei găsite pentru ecuaţia (TR 30), adică:

(TR31) .e)e1( τ0

τ/ tt hQQhq −− +−= Astfel, se observă că Q0 are rolul „condiţiei iniţiale” care –în cazul de faţă– este sarcina

iniţială a conmdensatorului. Dacă la t = 0 condensatorul este descărcat, atunci Q0 = 0, deci rezultă soluţia arătată anterior. Soluţia (TR 31) este valabilă oricare ar fi Q. În particular, se poate presupune că iniţial condensatorul este încărcat chiar cu sarcina electrică Q0; atunci: ,0 hQq = adică sarcina electrică a condensatorului rămâne constantă pentru t>0. Încărcarea bruscă a condensatorului cu Q0 la t = 0 −adică termenul Q0 din ecuaţia (TR 30)− corespunde unui curent

,00 Qi δ= ceea ce se verifică imediat prin derivarea lui hQq 0= (sursă instantanee, la t = 0). Se va verifica acum soluţia (TR 31) pentru ecuaţia (TR 30). Se obţine:

,eτ1ee

τ1eD τ/

0τ/

0τ/τ/ hQQhQQQq tttt −−−− −δ++δ−δ=

însă: ; ,)0()(e),()(,e τ/τ/ >ϕδ<=ϕ>=ϕδ<>=ϕδ< −− QQttQtQ tt aşadar:

,eτ1e

τ1D τ/

00τ/ hQQhQq tt −− −δ+=

care –introdusă în ecuaţia (TR 30)– conduce la:

.eτ1e

τ1

τ1e

τ1e

τ1

00τ/

0τ/τ/

00τ/ δ+=+−+−δ+ −−−− QhIhQhQQhhQQhQ tttt

Însă:

01

τ1 I

REEC

RCQ ===

şi astfel se obţine verificarea soluţiei (TR 31) pentru ecuaţia (TR 30). Se va considera acum un exemplu, importamt pentru câteva aplicaţii din Electronică-

Radiotehnică, care conduce la un sinstem de ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi, şi anume două circuite R, L, C serie cuplate magnetic, cu o inductivitate mutuală M (aşa ca în figura 8.8/8), al

cărui model este un sistem de două ecuaţii diferenţiale.

Se ştie (v. Matematica) că sistemele de ecuaţii de ordin superior (liniare şi cu coeficienţi constanţi) pot fi aduse întotdeauna la forma unui sistem de ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi (reciproca nefiind adevărată), ceea ce face şi mai reprezentativ exemplul schemei din figura 8.8/8. Modelul circuitelor din această schemă este:

Fig. 8.8/8

Page 87: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

515

=+++

=+++

0dd1

dd

dd

dd1

22222

1

211111

ti

LqC

iRti

M

eti

Mti

LqC

iR

Eliminându-se ti d/d 2 din prima ecuaţie şi ti d/d 1 din a doua ecuaţie se obţine:

=

=

−+

−−

−+

−−

−=

−+

−−

−+

−−

−=

22

11

221

22

11

212

12

212

121

212

1

212

2

222121

12211

222

21

212

21

212

21

21

ddd

d)()(d

d)()(d

d

it

q

it

q

qLLMC

Lq

LLMCMi

LLMLR

iLLM

MRe

LLMM

ti

qMLLC

MqMLLC

Li

MLLMR

iMLL

LRe

MLLL

ti

Pentru rezolvarea acestui sistem se introduce următoarea notaţie vectorială (matriceală): x’ = [i1, i2, q1, q2], un vector (matrice) linie, care reprezintă transpusul vectorului (matricei) coloană x. Notându-se cu A şi B matricele corespunzătoare ultimului sistem de ecuaţii se obţine: x& =Ax+Be (TR 32) în care matricele pătratice A şi B au structura (oarecum rară):

, )()(

)()(

A

−−

−−−

−−−

−−−

=

0010

0001

2212

12

2112

21

122

21

2212

2211

22

2122

21

21

MLLCL

MLLCM

MLLL

RMLL

MR

MLLCM

MLLCL

MLLMR

MLLL

R

.B

−−

=

0

0

221

221

2

MLLMMLL

L

Dacă ar fost conectate mai multe surse în circuit, atunci în locul lui e ar fi apărut un vector (matrice) coloană u cu transpusa: u’ = [e1, e2, ..., em] , în cazul în care ar fi existat m surse independente. Dacă, generalizând, circuitul ar fi avut n variabile independente, atunci dimensiunile matricei x ar fi fost n. Cu aceste notaţii, ecuaţia (TR 32) ia forma: ,BAxx u+=& A∈M(m, n, R) şi B∈M(m, n, R), (TR 33)

Page 88: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

516

unde A∈M(m, n, R) se citeşte: “matricea A are m linii, n coloane iar elementele ei sunt numere naturale” (în mod similar B).

Se poate introduce acum derivata în sens distribuţii (în D+’): Dx = δ ’∗ x = x’ + x0 δ , unde x0 este vectorul care reprezintă saltul în origine (condiţii iniţiale). Întroducându-se această derivată în ecuaţia (TR 33) va rezulta: (TR 34) δ( ’I – δA)∗ x = Bu + x0 δ , în care I este matricea unitate pe Rn. Pentru a se găsi soluţia elementară şi soluţia ecuaţiei (TR 34) se procedează ca în cazul precedent şi anume: (TR 35) δ( ’I – δA)∗ xe = I δ , unde xe este soluţia lementarăe , care se determină prin „împărţire” (în sensul convoluţiei în D+’):

,e...]!3)A(

!2)A(AI[ AI'I A

32thttth =++++→δ−δδ

aici h fiind distribuţia Heaviside, iar tAe fiind multiplicată pe D+’. Această soluţie se poate verifica în cazul ecuaţiei (TR 35), prin efectuarea produsului de convoluţie ca invers al „împărţirii”, din care rezultă: ,IAeAeeeAeI' AAAAA δ=−+δ=∗δ−∗δ ttttt hhhh verificarea fiind deci imediată.

În virtutea faptului că (D+’, +, ∗) nu are divizori ai lui zero, rezultă că soluţia găsită este unică. Atunci şi soluţia ecuaţiei (TR 34) este unică, rezultând: (TR 36) .xuB)xBu()AI'(x 0

AA0

1 tt hehe +∗=δ+∗δ−δ= − Se poate verifica această soluţie generală în cazul ecuaţiei (TR 34). Cei doi termeni ai

soluţiei (TR 36) au următoerea interpretare fizică: pentru t<0 rezultă x(t<0) = 0; dacă reţeaua electrică din figura 8.8/8 nu posedă surse, înseamnă că n = 0 şi soluţia devine: (TR 36’) xl = heAtxo , aceasta fiind soluţia „liberă”, ca efect al condiţiilor iniţiale x0. Dacă x0 = 0 iar u ≠0, atunci rezultă soluţia „forţată” a ecuaţiei, dar în soluţie mai apare un termen (datorită produsului de convoluţie) care reprezintă soluţia „proprie” a reţelei.

Dacă reţeaua este asimptotic stabilă, atunci rezultă: .0x0xlim 00

A ≠∀⇒=∞→

t

the

Se numeşte „regim tranzitoriu” soluţia pentru un interval de timp în care soluţia liberă şi cea proprie nu pot fi neglijate. Durata regimului tranzitoriu este deci stabilită convenţional, în funcţie de acurateţa măsurării, şi se determină prin intervalul de timp după care mărimile caracteristice fenomenelor tranzitorii nu mai pot fi măsurate.

Dacă parametrii R, L, C din reţeaua electrică sunt toţi strict pozitivi, atunci reţeaua este stabilă în sensul că se respectă condiţia: 0lim xe At

th

∞→<∞ ,

ceea ce înseamnă că mărimile de stare electrică ale relaţiei, sub efectul condiţiilor iniţiale, sunt cel puţin mărginite; evident, reţeaua poate fi şi asimptotic stabilă dacă există elemente disipative în circuit (adică R>0). Condiţia necesară şi suficientă ca reţeaua să fie asimptotic stabilă este ca valorile proprii ale matricei A să aibă toată partea reală negativă. Dacă matricea A are valori proprii cu partea reală zero, dar cu ordin de multiplicare unu, atunci reţeaua este stabilă, adică heAtx0 rămâne mărginită când t→∞. Dacă heAtx0 nu este mărginită pentru t→∞, atunci reţeaua este instabilă (de exemplu când conţine rezistenţe dinamice negative R<0, ceea ce este posibil practic prin existenţa în circuitele electrice a unor componente cu parametri neliniari, cum ar fi –de exemplu– dioda „tunel”).

Page 89: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

517

Pentr cazul particular al reţelei din figura 8.8/8, dacă în bucla R1, L1, C1 se introduce brusc (prin închiderea rapidă a unui întreruptor) o sursă de curent continuu cu t.e.m. E, deci e=Eh(t), atunci se produce un regim tranzitoriu oscilatoriu amortizat în care –de exemplu– curentul i2(t) are forma de undă arătată în figura 9.8/9. Au loc două puilsaţii de oscilaţie:

kk II −=+= 1/ωωşi1/ωω 001 , unde: LC/1ω0 = cu condiţia ca L1 = L2 = L şi

C1=C2=C), iar 21/ LLMk = este coeficientul de cuplaj magnetic al celor două bucle.

Alte aplicaţii specifice regimului tranzitoriu Se vor comenta, aici, trei exemple specifice

de regim tranzitoriu, care apar în special în circuitele electronice din sistemele automate şi din procesarea semnalelor.

Eşantionarea. Se consideră un semnal f(t) astfel încât oricărui t îi corespunde o valoare (şi anume una) notată cu f(k). Se aleg pe scara timpului puncte echivalente tk în care se măsoară f(tk ) şi se exprimă numeric. Alegându-se scara timpului într-un mod convenabil, punctele de pe axa t pot fi k∈N. „Distanţa” între punctele alese pe axa timpului, adică intervale de timp tk-tk-1, numit pas de eşantionare, trebuie ales suficient de mic pentru a se reda numeric cât mai bine forma de undă a semnalului f(t). Dacă însă este ales prea mic, în calculul numeric pot apărea erori mari datorită unor diferenţe prea mici ce pot rezulta în timpul calcului şi, eventual, al împărţirilor la aceste valori infime. Alegerea pasului de eşantionare este, în fapt, o problemă de optimizare, pasul optim depinzând şi de alte criterii (v. cursul Teoria transmiterii informaţiei).

Sistemul de eşantionare are următorul model din teoria distribuţiilor (v.§ 9.1.5):

.,)(,)()()(

)()(,)()(,,)(

11

1 11

Nktkfkkf

ttfttftf

kk

k

k kkk

kk

∈>ϕδ=<ϕ=

>=ϕδ<>=ϕδ>=<ϕδ<

∑∑

∑ ∑∑∞

=

=

= =

=

Seria:∑∞

=

ϕ1

)()(k

kkf este local finită, deoarece orice ϕ∈D are suport compact, adică pentru

fiecare ϕ seria conţine un număr finit de termeni, deci este însumabilă pentru orice ϕ. Prin urmare se poate considera că blocl (etajul) de eşantioane primeşte la intrare semnalul continuu f(t),

rezultând la ieşire un răspuns de forma ,)(1∑∞

kkf δ unde f(k) reprezintă valorile funcţiei de la

intrare în punctele de eşantioane k∈N. Sistemul de eşantioane descris se numeşte convertor analog-numeric, funcţionarea lui constând dintr-un şir de regimuri tranzitorii cu o constantă de timp foarte mică în raport cu pasul de eşantioane.

Restabilirea. Este procesul prin care, pe baza unui şir de valori discrete f(k), se „refece” funcţia continuă de timp f(t). Dispozitivul (aparat, etaj, sistem etc.) care realizează restabilirea se numeşte şi convertor numeric-analogic. Acest dispozitiv păstrează (memorează) valoarea fiecărui eşantion pe durata pasului de eşantioane. Semnalul este „netezit” apoi prin faptul că toate canalele prin care se transmite au bandă de trecere limitată. Modelul restabilirii este următorul:

Fig, 8.8/9

Page 90: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

518

),)((α)(0∑∞

δ∗= kr kftf

unde:

.]1,0[0]1,0[1

α

∉⇒∈⇒

=tt

Acest model arată că:

∑ ∑∫ ∑ ∫

∑∑∞ ∞ ∞

∞∞

+ϕ=+ϕ>=+ϕ=<

>>=+ϕ−δ<>=<ϕδ∗<

0 0

1

0 0

1

0

00

),()()()()()(),(α

)τ()(),τ(),(α,)(α

ktkfktkfktkft

tkfktkf k

care reprezintă distribuţia generată de funcţia:

+∉⇒+∈⇒

=]1,[0

]1,[)()(

kktkktkf

tf r .

În figura 8.8/10 este reprezentat semnalul f(t), acelaşi semnal eşantionat şi –apoi– semnalul restebilit, fr(t).

Integratorul analogic. Un bloc integrator (utilizat în numeroase aplicaţii, în special aparatele de măsurat electronice) se reprezintă prin schema, tip simbol, din figura 8.8/11.

Se consideră că x(t<0)=0 şi ,0)0( =<tx& iar condiţia iniţială se notează cu x0 = x(0). Deoarece x(t) are salt în origine, derivata sa trebuie considerată în sens distribuţii, adică:

,D 0δ+= xxx & care de fapt descrie funcţionarea integratorului în acest regim tranzitoriu. Pentru verificare, trebuie determinată primitiva în D+’ a lui Dx; va rezulta:

),(')D( txxxhxh =∗δ=∗δ∗=∗ sau:

,)( 00 hxxhxxh +∗=δ+∗ && astfel încât:

,)()τ(dτ)τ(dτ)τ()τ( 00

0 hxtxxxxthxht

t

R−===−=∗ ∫∫ &&&

verificare fiind obţinută. Semificaţia fizică este următoarea: pentru t<0 la toate cele trei borne

semnalele sunt zero. La t=0 se aplică brusc condiţia iniţială (sursa instantanee) determinată de x0, iar pentru t>0 rezultă semnalul integrat x(t) care porneşte, la t=0, din x0. 8/8/20

8.8.2. Comportarea circuitelor electrice în radiofrecvenţă

În cadrul acestui paragraf va fi analizat modul de comportare al unor circuite electrice

tipice, cu parametri R, L, C constanţi (în timp, faţă de temperatură şi alte condiţii de mediu) şi liniari (relativ la tensiunea la borne, curenţii electrici şi frecvenţă), atunci când mărimile electrice de circuit (t.e.m. e, tensiuni u, şi curenţi i) sunt de formă armonică, dar au o pulsaţie ω (frecvenţă f = ω /2 π ) variabilă şi situată în domeniul valorilor foarte înalte, utilizate practic în

Fig. 8.8/10

Fig. 8.8/11

Page 91: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

519

radiocomunicaţii (de aceea, frecvenţele foarte înalte, în gama 10 kHz…100 MHz, se mai numesc şi radiofrecvenţe).

Regimul armonic al circuitului serie

Se consideră circuitul R, L, C serie din figura 8.8/12, în care mărimile electrice de circuit

sunt reprezentate fazorial, prin E şi l (vezi § 9.1.3.). După cum se ştie (vezi subcapitolul 8.5), modelul

acestui circuit este:

[R+j(ω L-Cω1 )] I = E ,

de unde rezultă:

I = E)ω1ω(

1CLjR −+

. (R1)

Aşa cum arată expresia (R1), curentul electric depinde de frecvenţă. Această dependenţă interesează în mod deosebit în problemele de circuite radio; de aceea se va analiza dependenţa curentului de frecvenţă, presupunându-se regimul armonic permanent (deoarece în cazul unei variaţii rapide în timp, dω /dt mare, se produc efecte tranzitorii). În aceste condiţii, dacă pulsaţia ia valori în intervalul ω = [0, ∞], fiecare determinare (valoare a lui ω ) fiind în regim armonic permanent, se observă că pentru o anumită pulsaţie (notată cu 0ω ), cele două reactanţe devin egale: 0ω L = 1/ 0ω C, de unde rezultă:

0ω = LC1 , (R2) care se numeşte pulsaţia oscilaţiilor libere sau pulsaţia proprie a circuitului sau −încă– pulsaţia de rezonanţă. La această valoare a pulsaţiei, curentul devine:

I =RE

−fazorial sau REI = − în valori efective. (R3)

Relaţia (R3) caracterizează fenomenul de rezonanţă din circuitul R, L, C serie (figura 8.8/12). Pentru a se studia comportarea circuitului în jurul rezonanţei, se va analiza separat variaţia modulului fazorului I , adică | I | = I – valoarea efectivă a curentului electric din bucla R, L, C serie, adică:

22 )ω1ω(

1

CLREI

−+= (R4)

Deoarece, în aplicaţiile practice din radiotehnică, pierderile din condensator sunt mici, se poate accepta ca factor de calitate (notat cu Q) expresia: RLQ 0ω= (R5) care, introdusă în expresia (R4), conduce la:

20

0

2 )ωω

ωω(1

1

−+

=

QREI (R6)

Reiese de aici că la rezonanţă – când ω = 0ω – curentul efectiv trece printr-o valoare maximă:

REI =max . (R3’)

Pentru generalizarea studiului, se analizează valoarea raportată a curentului I(ω ) / I(ω = 0ω ), ceea ce însemană I/Imax, care va avea expresia:

Fig. 8.8/12

Page 92: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

520

(R7)

20

0

2max )ωω

ωω(41

1

−+

=

QI

I

şi reprezentarea grafică I/Imax = ƒ(ω ) – denumită curbă de rezonanţă – arătată în figura 8.8/13, unde este reprezentată (cu linie întreruptă) şi variaţia defazajului (I, E) = ϕ (ω ).

Cunoaşterea factorului de calitate Q permite să se studieze relativ simplu comportarea circuitului în jurul frecvenţei (pulsaţiei) de rezonanţă. Astfel, se poate dezvolta paranteza de la numitorul expresiei (R7) în serie Taylor, în jurul punctului ω0, şi –prin limitare numai la primii doi termeni ai seriei– se obţine:

(R8) ω)ω1

ω1()

ωω

ωω(

00ω

0

00

∆++≈− Q .

Introducându-se această expresie (R8), a parantezei, în relaţia (R7) rezultă:

(R9) 2

0

2max )ωω(41

1∆

+

=

QI

I ,

unde ∆ω este o variaţie finită, mică, a lui ω . Formula (R9) este utilizată la studiul curbei de rezonanţă numai în jurul pulsaţiei 0ω , ceea

ce în cazul aplicaţiilor practice acoperă un mare număr de cazuri. Astfel, cu ajutorul relaţiei (R9) se poate defini aşa–numita lărgime de bandă, notată cu 2∆ bω , a circuitului ca fiind intervalul de frecvenţe (pulsaţie), delimitat de pulsaţiile 1ω şi 2ω pentru care raportul curenţilor scade până la

valoarea 1/ 2 (în care caz puterea din circuit scade la jumătate):

(R10) 2

1)ω()ω(

)ω()ω(

ω2ωω0

2

2

112 ==⇒∆=−

II

II

b

D

.

Pentru determinarea acestor două pulsaţii în conformitate cu definiţia (R10), se egalează membrul drept al expresiei lui I/Imax cu 1/ 2 , adică:

2

02 )ωω(41

12

1

bQ ∆+= ,

de unde rezultă:

2

0

2 )ωω

(412 bQ∆

+=

sau:

(R11) α2ω

ω2 9 ===∆LR

Qb adică şi αω =∆ b ,

unde 0210 ωωωωω −=−=∆ b (v.fig.8/8/13).

Prin urmare, lărgimea de bandă a circuitului R, L, C serie (adică diferenţa 2ω - 1ω =2∆ bω ) este invers proporţională cu factorul de calitate Q al circuitului. Cu cât acest factor de calitate este mai ridicat, cu atât banda de trecere se îngustează curba de rezonanţă a circuitului fiind mai “selectivă” pe pulsaţia 0ω .

Fig. 8.8/13

Page 93: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

521

În ceea ce priveşte caracteristica fază frecvenţă, indicată prin linia întreruptă ϕ(ω ) în figura 8.8/13, în jurul pulsaţiei de rezonanţă ea se determină scriindu-se expresia (R1), a fazorului curentului, sub forma:

)ωω

ωω(j1

1

)ωω

ωω(j1

10

0

max0

0

−+=

−+=

QI

QREI . (R12)

La rezonanţă (ω = 0ω ), paranteza de la numitor se anulează, în care caz curentul este în fază cu t.e.m. Pentru frecvenţe foarte mici, argumentul numitorului expresiei (R12) se apropie de –π /2, deci curentul va fi defazat cu aproape + π /2 faţă de t.e.m. (curent capacitiv), iar la frecvenţe foarte mari defazajul curentului se apropie de – π /2 faţă de t.e.m. (curent inductiv).

Rezonanţa circuitului R, L, C serie este denumită şi rezonanţa tensiunilor; într-adevăr, la rezonanţă tensiunea la bornele bobinei este:

EQRELILU L jjωjω 00 === ,

iar tensiunea la bornele condensatorului este:

EQER

LRE

CI

CU C j

ωj

ω1j

ω1j 0

00

−=−=−=−= ,

deoarece la rezonanţă 0ω L = 1/ 0ω C. După cum se vede, cele două tensiuni sunt egale în amplitudine, dar se află în opoziţie de fază. Din acest motiv, la însumarea lor în lungul circuitului ele se anulează la rezonanţă, când I = E/R. Pe de altă parte, amplitudinea celor două tensiuni este cu atât mai mare cu cât factorul de calitate Q este mai mare (la un Q = 100, la bornele bobinei şi condensatorului apar tensiuni de o sută de ori mai mari decât t.e.m. a sursei de alimentare, fapt folosit în aplicaţiile practice din radiocomunicaţii, de recepţionare a semnalelor slabe în mod selectiv).

Regimul armonic al circuitului paralel

Schema echivalentă a unui circuit format dintr-o bobină (cu inductivitatea proprie L şi cu rezistenţa de pierderi R) şi un condensator electric (cu capacitatea C şi cu pierderi neglijabile) legate în paralel şi situate într-o latură de curent în regim armonic permanent (curent reprezentat prin fazonul I ) este arătată în figura 8.8/14.

Impedanţa complexă a acestui circuit este:

CLRCLR

Zjω1)jω(

jω)jω(++

+= .

În majoritatea aplicaţiilor practice din radiofrecvenţă, bobina are un factor de calitate Q = 0ω L/R, astfel că R << ω L (la pulsaţii ω cu valori apropiate de pulsaţia de rezonanţă 0ω ). Atunci, impedanţa circuitului R, L, C paralel este, cu o bună aproximaţie:

1ω(j1

1)ω1ω(j

RCRLRC

LCLR

CLZ

−+=

−+≈ ,

care, prin introducerea factorului de calitate RCR

LQ0

0

ω1ω

== , devine:

)

ωω

ωω(j1

10

0

−+=

QRCLZ . (R13)

Fig. 8.8/14

Page 94: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

522

Condiţia aproximativă de rezonanţă fiind ω 0ω= 2/1= , impedanţa complexă a circuitului la pulsaţia de rezonanţă are valoarea maximă:

(R14) RCLZ =max .

Atunci, tensiunea la bornele circuitului IZU ⋅= , are expresia:

)

ωω

ωω(j1

1

)ωω

ωω(j1

10

0

max0

0

−+=

−+==

QIZI

QRCLIZU ,

sau –dacă se notează Zmax ⋅ I = Umax−:

)

ωω

ωω(j1

10

0

max

−+=

QUU .

Expresia tensiunii efective în jurul rezonanţei raportată la cea maximă este:

(R15) 2

0

220

0

2max )ωω(41

1

)ωω

ωω(1

1∆

+

=

−+

=

QQU

U

care s-a obţinut prin acelaşi procedeu de calcul cu cel aplicat în cazul circuitului R, L, C serie, deviaţia de pulsaţie ∆ω având o valoare foarte mică în raport cu 0ω .

Curba de rezonanţă normalizată –adică U/Umax = ƒ (ω )– şi caracteristica (U,I) =ϕ =ƒ(ω ) –adică unghiul de defazaj ϕ dintre fazorul U al tensiunii la bornele circuitului şi fazorul I al curentului din latura în care este conectat grupul R, L, C– sunt reprezentate în figura 8.8/15.

Prin urmare, la frecvenţe mici curentul este inductiv (cu tensiunea defazată înaintea curentului, la limită –când ω→0– cu ϕ →+ π /2), iar la frecvete mari curentul este capacitiv (cu ϕ → – π /2), ceea ce rezultă şi direct din evaluarea expresiei (R15).

Circuitul L, C paralel este denumit şi circuit cu rezonanţa curenţilor. Într-adevăr, dacă se calculează curenţii din laturi la rezonanţă rezultă:

- în latura bobinei: IZLjRI )ωω()ω( 001 ==+ ∴

ILR

RCL

I0

1 jω+=

şi dacă R << j 0ω L (neglijându-se în raport cu reactanţa bobinei):

IQIR

LI

CRI

LRCL

I jω

jjω

1jω

0

001 −=−==≈ ,

deoarece, la rezonanţă, 1/ 0ω C= 0ω L şi 0ω L/R = Q (factorul de calitate al bobinei);

- în latura condensatorului:

IZC

I )ωω(jω

10

02 == ∴ IjQI

RL

ICRCLI === 0

02

ωjjω ,

Se vede că cei doi curenţi sunt defazaţi cu π , iar amplitudinea lor este de Q ori mai mare decât amplitudinea curentului din latura de alimentare.

Fig. 8.8/15

Page 95: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

523

Circuitul L, C paralel în regim periodic nesinusoidal

În practica circuitelor radio se întâlneşte deseori cazul în care grupul L, C paralel este

conectat în circuitele unui tranzitor care lucrează în regim neliniar. În acest caz, deşi semnalul aplicat pe bază sau poartă este o tensiune sinusoidală, curentul i, din circuitul în care se găseşte conectat grupul L, C paralel, este periodic, dar nesinusoidal.

Deoarece curentul este periodic, el poate fi exprimat în forma unei serii Fouriei (vezi subcapitolul 8.7):

)ωcos()( 00

0 k

n

kk tkITti ϕ+=+ ∑

=

.

Pe baza liniarităţii circuitului R, L, C se poate aplica principiul superpoziţiei şi deci se poate calcula tensiunea fiecărei armonice în parte, considerându-se că circuitul este “acordat” pe armonica 1 (ceea ce înseamnă că L şi C sunt astfel aleşi încât să îndeplinească condiţia:

01/1 ω=LC . Luându-se în considerare numai valorile absolute ale fazorilor (adică valorile efective ale tensiunilor şi curenţilor) se poate scrie: 1max1 0

IZU =ω ,

2max2

2max

2

0

0

0

02

2max2 32

491)

2ωω

ω2ω

(1

10

IZQ

Q

IZ

QIZU ≈

+

=

−+

=ω ,

3max3 83

0IZ

QU =ω ,

şi aşa mai departe. Se observă că toate expresiile amplitudinilor armonicelor superioare de tensiune au pe Q la

numitor; pe de altă parte amplitudinile armonicelor superioare de curent I2, I3, … sunt din ce în ce mai mici. În consecinţă, când factorul de calitate Q al circuitelor L, C este mare, tensiunile date de armonicele superioare la bornele circuitului sunt din ce în ce mai mici faţă de armonica fundamentalei U 0ω1 . Acelaşi rezultat s-ar fi obţinut şi în cazul când circuitul ar fi fost acordat pe una din armonicele superioare: tensiunea acestei armonice este mult mai mare decât al celorlalte.

În practică se consideră că la bornele circuitului apare o tensiune sinusoidală corespunzătoare frecvenţei pe care este acordat circuitul. Această proprietate importantă de selectivitate a circuitelor acordate este larg utilizată în circuitele radio (la filtrele trece bandă, la amplificatoarele selective, la unele metode de măsurare a reactanţelor etc.).

Regimul armonic al circuitelor cuplate inductiv

Se are în vedere circuitul din figura 8.8/16, tipic pentru cuplajul inductiv. Considerându-se cele două circuite (1 şi 2) identice, adică având R1= R2 = R, L1 = L2 = L şi

C1 = C2 = C, ceea ce înseamnă că şi Z1 = R1 + j(ω L1 – 1/ωC1) = Z2 = R2 + j(ω L2 – 1/ωC2) = Z = R + j(ω L – 1/ωC), ecuaţiile fazoriale ce descriu regimul electrocinetic permanent armonic al circuitelor cuplate este:

=+=+

, 0ω,ω

21

21

IZIMjEIMjIZ

de unde rezultă:

Fig.8.8/16

Page 96: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

524

(R16) 2221 ω MZ

ZEI+

= şi 2222 ω

ωMZMjE

I+

−= ,

unde:

(R17) . )]ωω

ωω(j1[)

ω1ω(j 0

0

−+=−+= QRC

LRZ

Introducându-se în expresiile fazorilor celor doi curenţi (R16) această a doua relaţie pentru Z, din (R17) rezultă:

(R18)

+−+−=

+−+

−+=

,

ωω)]

ωω

ωω(j1[

,

ωω)]

ωω

ωω(j1[

)ωω

ωω(j1

20

22220

0

02

20

22220

0

0

01

QkQ

kQ

REjI

QkQ

Q

REI

ωω

deoarece 00

0

0

0

ωω11

ωωω

ωω

ωω QkRRL

MR

LRR

LLMM === (ştiut fiind faptul că M/L = k este

coeficientul de cuplaj şi 0ω L/R = Q este factorul de calitate). Expresiile (R18) arată că dacă cele două circuite (1 – “primar” şi 2 – “secundar”) se

îndepărtează foarte mult, astfel încât k = 0), circuitul primar se reduce la circuitul serie (vezi relaţia R6), iar în circuitul secundar curentul se anulează, deoarece sursa de energie se află în primar.

Pentru determinarea caracteristicii amplitudine – frecvenţă a valorilor efective ale curentului din “secundar” I 2=I2 (adică a curbei de rezonanţă a circuitului cuplat magnetic), se

consideră că pulsaţia ω variază puţin în jurul valorii de rezonanţă == LC/10ω const. Astfel, dacă ω − 0ω = ∆ω , atunci:

←∆

=∆−≈−000

ω0

0 ωω2ω)

ω1

ω1()

ωω

ωω(

0conform relaţiei (R18).

Notându-se cu xD

= 2∆ω / 0ω , care în radiotehnică se numeşte “dezacordul relativ” deoarece reprezintă dublul variaţiei relative a pulsaţiei faţă de 0ω , expresia curentului I2 din (R18) devine:

(R19) .1ωω

2j)1(j

)j1(j

022222222 ≈⇒++−

−=++

−≈QxQkxQ

kQRE

QkQxkQ

REI

Valoarea absolută a lui I2 din expresia finală (R19) este:

(R20) .

12)1(2

4)1(

2244222244

22222222

+++−+=

=++−

QkQkxQQkxQ

kQRE

xQQkxQkQ

REI

Extremumurile lui I2 din ultima expresie (R20) sunt determinate de extremumurile numitorului, care se obţin din ecuaţia prin care derivata expresiei de la numitor în raport cu x este egală cu zero: 4Q4x3 + 4(Q2 – k2Q4)x = 0 sau:

Page 97: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

525

Q2x3 + (1 – k2Q2)x = 0 . Soluţiile acestei ecuaţii sunt:

01 =x la care este un minimum al lui I2 .

22

321

Qkxx −±== la care se produc doua valori maxime ale lui I2 ,

Se vede că pentru k<1/Q apar două rădăcini imaginare conjugate, adică curba I2 = ƒ(x) prezintă numai un maxim pentru x=0. Valoarea: kc = 1/Q (R21) se numeşte coeficient de cuplaj critic. Pentru orice valoare k > kc (adică k>1/Q), curba prezintă un minimum la x=0, adică la 0ω (deoarece, prin definiţie, x = 2∆ 0ω/ω , atunci x=0 ⇒ ∆x=0 ⇒

0ωω = ) şi două maxime simetric dispuse faţă de x=0, pe dreapta lui x (adică două pulsaţii diferite

1ω şi 2ω , simetrice faţă de 0ω , deci cu 0ω 021 ωωω −=− , pe axa pulsaţiilor ω ). Pentru unghiul critic (k = kc =1/Q) şi pentru x=0 (deci ω = 0ω ), curentul are valoarea

maximă: I2 = E/2R = I2max , (R22) ceea ce permite rescrierea expresiei (R20) sub forma:

222222

max2

2

41(

2

xQQkxQ

kQI

Iy

++−== ,

care arată că la rădăcinile x2,3, adică la x2 = (k2Q2 – 1)/Q2, deci în punctele de maximum, curentul este de asemenea: I2 = E/2R = I2max.

Pentru orice cuplaj sub valoarea critică (k<1/Q), valoarea maximă a lui I2 este mai mică decât I2max= E/2R, ceea ce se poate constata, cu uşurinţă, punându-se x=0 în relaţia (R20).

Toate aceste constatări sunt arătate în graficul din figura 8.8/17. O caracteristică importantă în radiotehnică a circuitelor R, L, C cuplate inductiv (ca cel din

figura 8.8/16) este lărgimea de bandă 2∆ bω (vezi figura 8.8/17). La cuplaj magnetic critic (cu kc =1/Q) expresia (R23) devine:

,4)2(

222222 xQxQ

y+−

=

care, pentru o atenuare până la y= 2/1 , conduce la:

(2 – Q2xb2)2+ 4Q2 xb

2 = 8 ∴ sau Q4xb4 = 4,

de unde rezultă xb = Q/2 şi ţinându-se seama de

faptul că x=2∆ω / 0ω , se obţine în definitiv:

∴∆

=0ωω22 b

Q.

ω2ω2 0

Qb =∆ (R24)

Comparându-se această expresie a lărgimii de bandă cu relaţia (R11), rezultă că lărgimea de bandă în cazul circuitelor cuplate inductiv la cuplaj critic este de 2 ori mai mare decât la un circuit simplu R, L, C. Dacă se realizează însă un cuplaj peste cuplajul critic, caracteristica amplitudine-frecvenţă a acestui circuit aproximează cel mai bine caracteristica de selectivitate ideală (un dreptunghi), decât un singur circuit acordat, ceea ce explică larga utilizare a acestor circuite (cu cuplaj inductiv şi cu Qk /1> ) în montajele din radiotehnică.

Fig.8.8/17

Page 98: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

526

8.8.3. Circuite electrice neliniare

Circuitele electrice neliniare sunt circuitele ai căror parametri R(G), L, M şi C(S) au valori care se modifică în funcţie de mărimile electrice de circuit: i sau / şi u, deci sunt funcţii de tipul

( )iuRR ,= , ( )iuGG ,= , ( )iuLL ,= , ( )iuMM ,= , ( )iuCC ,= , ( )iuSS ,= etc. În principiu, nici o componentă de circuit (rezistor, bobină, condensator/capacitor şi –cu atât mai mult– componentele electronice de circuit: diode, tranzistoare, tiristoare, tuburi cu vid sau cu gaze etc.) nu sunt perfect liniare, liniaritatea fiind considerată o situaţie ideală, deşi în practică –în multe situaţii (chiar şi în electronică)– se consideră că circuitele sau unele componente de circuit sunt liniare cu o bună aproximaţie sau între anumite limite ale tensiunilor şi curenţilor electrici (liniare pe porţiuni).

În cazul circuitelor electrice care nu pot fi admise ca fiind liniare (deci sunt circuite neliniare), modelele ce descriu starea lor electrocinetică sunt formate din ecuaţii cu coeficienţi variabili şi principala caracteristică a acestor modele (şi circuite) constă în aceea că ele nu satisfac teoremele de superpoziţie.

Un exemplu tipic de element puternic neliniar îl constituie dioda „tunel” (v. Fizica şi cursul Componente şi circuite electrice liniare). Caracteristica aşa-numită „curent-tensiune”, adică

( )UfI = a diodei „tunel” este reprezentată în figura 8.8/18. În situaţia în care tensiunea şi curentul variază suficient de puţin în jurul punctului static M

se poate scrie: (N1) iII += 0 şi uUU += 0 .

Admiţându-se că funcţia IU f→ este diferenţiabilă în punctul M se poate scrie:

dUfI

∂∂

= dU

şi aproximându-se diferenţialele cu diferenţele finite i şi u din relaţiile (N1) rezultă:

Uf

Ufu

Ufu

Ufi

dd

dd

=∂∂

⇒=∂∂

= .

Notându-se rU

f D 1dd

= , unde r este rezistenţa

dinamică (v. subcap. 8.1) a diodei în punctul M, ea este fundamental diferită de rezistenţa

0

0

IU

RD

= , numită rezistenţa statică sau în curent continuu (v. subcap. 8.1). Într-adevăr din

interpretarea geometrică (v. fig. 8.8/18) rezultă:

=R ctgα şi ∧

=r ctgβ observându-se că –în acest caz– r este o „rezistenţă negativă” în punctul M.

Reluându-se cazul general al reţelelor electrice neliniare, modelul lor este: (N2) =

X f ( )UX ,' , unde =′X [ ]nXXX ,,, 21 K , considerat ca matrice transpusă (pentru simplificarea scrierii în pagină), este vectorul de stare al reţelei (de exemplu curenţii din ramuri) iar U este vectorul de comandă al reţelei (de exemplu tensiuni electromotoare). Ecuaţia este neliniară, dar pentru un punct static ( )00 , UX şi pentru semnale suficient de mici x şi u în jurul punctului static rezultă din (N2):

( )uU,xXf 00 ++=•

x .

Fig. 8.8/18

Page 99: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

527

Dacă f este analitică, se poate dezvolta în serie Taylor şi reţinându-se numai termenii de ordinul întâi, ştiindu-se că f ( ) 0, 00 =UX , rezultă:

uUf

xXf

x00 ∂

∂+

∂∂

=•

, (N3)

unde 0/ Xf ∂∂ este derivata vectorului coloană ( )nfff ,,, 21 K în raport cu variabila vector coloană ( )02010 ,,, nXXX K . Operaţia de derivare conduce atunci la o matrice nn× , reală, astfel că se poate nota: A=∂∂ 0X/f .

Elementele jia sunt parametrii dinamici ai reţelei, care pot lua şi valori negative. Calculându-se derivatele parţiale 0/ Uf ∂∂ se obţine o matrice mn× notată cu B: 0/ UfB ∂∂= şi ecuaţia (N3) devine:

uBxAx +=•

. (N4) Prin urmare, problema s-a redus la rezolvarea unei ecuaţii liniare. Prin trecerea de la modelul (N2) la (N4) s-a omis însă restul din seria Taylor. Efectul renunţării la acest rest nu este întotdeauna neglijabil, astfel încât modelul (N4) îl poate aproxima bine (admisibil) pe (N2) numai în condiţiile în care acest rest este neglijabil.

De exemplu, dacă matricea A are valori proprii nule, atunci reţeaua „în primă aproximaţie” descrisă de modelul (N4) poate fi afectată de termenii de ordin superior ai seriei Taylor, la care s-a renunţat.

Această metodă cvasiliniară este foarte răspândită în multe aplicaţii. Un cadru mai general de utilizare a modelului (N4) îl constituie situaţia în care vectorii (coloanele) 0X şi 0U nu mai sunt constante şi devin funcţii de timp. Atunci acelaşi procedeu conduce la ecuaţia liniară cu coeficienţi variabili:

Ax =•

(t) Bx + (t) u , (N5) în care matricea de stare A(t) şi matricea de comandă B(t) nu mai sunt constante. Modelul (N5) este caracteristic aşa – numitelor circuite parametrice (v. § 8.9.5)

Aceste probleme nu se pot rezolva eficient şi exact fără utilizarea unui sistem de calcul performant şi al unor pachete de programe de tip produs-utilizator specializate, bazate pe calcule numerice. Calculul numeric de rezolvare a ecuaţiei diferenţiale (N5) poate fi echivalent rezolvării directe a ecuaţiei neliniare (N2).

O metodă practică este însă următoarea: pentru intervale scurte de timp se poate întâmpla ca sistemul (N4), constant în primă aproximaţie, să-l poată înlocui pe cel liniar, calculele fiind acceptabile numai pentru acel interval scurt de timp. Pentru următorul interval de timp (de asemenea suficient de scurt), calculul se face tot cu ecuaţia (N4), dar cu alte matrice A şi B. Valorile finale ale lui x şi u din primul interval sunt considerate valori iniţiale pentru cel de-al doilea interval ş.a.m.d.

8.8.4. Cuadripoli

În foarte multe aplicaţii practice, un circuit electric sau o porţiune din el, un dispozitiv (de

exemplu un tranzistor) sau numai o simplă componentă de circuit, un aparat de adaptare ce face posibilă conectarea între ele a două circuite electrice diferite funcţional (ca, de exmplu: un amplificator electronic, un filtru, un redresor, un transformator, o linie de transport a energiei electromagnetice etc., etc.), toate acestea pot fi „privite” ca un „bloc” sau „etaj” format dintr-o schemă ce are două borne de intrare (1 şi 1′ în figura 8.8/19) şi două borne de ieşire (2 şi 2′ – fig. 8.8/19), care poartă numele generic de cuadripol şi se reprezintă aşa ca în figura 8.8/19. Mai

Page 100: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

528

mult, intrarea şi ieşirea fiind formate dintr-o pereche de borne ele pot fi reduse la o aşa-numită „poartă” (poartă de intrare, poartă de ieşire) astfel că blocul este considerat –mai general– ca un diport, aşa cum se arată în figura 8.8/20. În unele aplicaţii (ca, de exemplu, în schemele logice) circuitele pot fi tratate –din punct de vedere funcţional– ca un multiport, cu mai multe perechi de borne de acces (una din ele putând fi comună, ca –de exemplu– borna de masă).

Mărimile existente („aplicate” sau care „atacă”) la intrare cuadripolul (tensiune la borne 1u , curent electric 1i , puteri instantanee 1p sau aparente 1S ) sunt denumite generic semnal (semnal de intrare, deşi –lexical– se face o tautologie), iar mărimile ce „rezultă” (adică „citite”) la ieşirea cuadripolului sunt denumite – la modul generic– răspuns (semnal de ieşire).

Cuadripolul are, în interiorul lui, o structură care din punctul de vedere al comportării cuadripolului în relaţia „intrare” → „ieşire” nu interesează, dar este formată din rezistoare, bobine şi condensatoare. Dacă în această structură interioară nu există surse electrice (cu t.e.m. sau curenţi de scurtcircuit, adică mărimi specifice surselor) atunci despre cuadripol se spune că este pasiv (aşa cum se va vedea la cursul Dispozitive şi circuite electronice, tranzistoarele sunt reprezentabile prin cuadripoli care nu sunt pasivi, deoarece –prin specificul lor funcţional– tranzistoarele sunt cuadripoli ce conţin în interiorul lor surse de tensiune şi surse de curent (v. fig. 8.8/21). Dacă toţi parametrii cuadripolului (R, L, C, M) sunt constanţi şi independenţi de mărimile semnalelor de la porţi, atunci cuadripolul este liniar şi funcţionarea sa este descrisă de modele (ecuaţii) liniare.

Cuadripolul poate avea orice fel de regim electrocinetic permanent: staţionar (de curent continuu) caz în care semnalele pe porţi sunt constante în timp ( 11111 ,, IUPIU = ;

22222 ,, IUPIU = ) şi nestaţionar, fie armonic – situaţie în care semnalele de la porţi sunt reprezentate în complex ( ∗= 11111 ,, IUSIU ; ∗= 22222 ,, IUSIU ), fie oarecare – situaţie în care semnalele sunt reprezentate în planul complex al frecvenţelor, ca funcţii de o variabilă complexă s ω+α= j , prin transformatele Laplace ( ) ( )sIsU 11 , , ( )sU 2 şi ( )sI 2 .

În cele ce vor urma se va prezenta o teorie succintă a cuadripolilor consideraţi: pasivi, liniari şi în regim armonic permanent, semnalele fiind fazorii tensiunilor, curenţilor şi puterilor aparente (aşa ca în figura 8.8/19). Pentru a nu complica scrierea –dar şi pentru a mări gradul de generalizare al modelelor– fazorii vor fi notaţi mai simplu, cu 11 , iu , 2u şi 2i (dar cu precizarea că reprezintă numere complexe), iar impedanţele complexe şi admitanţele complexe nu vor mai fi subliniate (se va scrie mai simplu Z şi Y, printr-o generalizare la cazul regimului nestaţionar oarecare ele reprezentând şi impedanţele / admitanţele operaţionale, după cum 11, iu , 2u şi 2i pot reprezenta tot atât de bine şi transformatele Laplace – ca funcţii imagine în planul ω+α j ).

În aceste condiţii, vectorul coloană al semnalelor (de la intrare: 11, iu ) şi vectorul coloană al răspunsului (de la poarta de ieşire: 2u , 2i ) sunt dependente liniar prin aplicaţia:

2

2

1

1

iu

iu

a , (C1)

Fig. 8.8/19 Fig. 8.8/20

Page 101: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

529

care reprezintă un sistem de ecuaţii liniare, ce pot fi reprezentate şi matriceal, matricea care corespunde aplicaţiei (C1) este o matrice A, formată din două linii şi două coloane cu elemente numere complexe – ceea ce se scrie A∈M(2, 2, c). Atunci se poate scrie:

=

1

1

iu

A

2

2

iu

sau

=

2

2

2221

1211

1

1

iu

aaaa

iu

sau

+=+=

2222211

2122111

iauaiiauau

. (C2)

La un cuadripol, având la porţile sale 4 semnale liniar independente ( 11 , iu , 2u , 2i ), există 6 posibilităţi de a defini aplicaţii liniare pe vectori coloană (cu cele două elemente asociate prin

combinări de patru elemente luate câte două 62

122134C4

2 ==××

= ) şi anume:

1) cuadripol cu parametri A, descris prin modelul (C2); 2) cuadripol cu parametri B descris de:

=

2

2

iu

B

1

1

iu

sau

+=+=

1221212

1121112

iBuBiiBuBu

, (C3)

care reprezintă răspunsul în funcţie de semnal; 3) cuadripoli cu parametri Z (impedanţă peste tot):

=

2

1

uu

Z

2

1

ii

sau

+=+=

2221212

2121111

iZiZuiZiZu

, (C4)

care exprimă tensiunile pe porţi în funcţie de curenţi; 4) cuadripoli cu parametri Y (admitanţă peste tot):

=

2

1

ii

Y

2

1

uu

sau

+=+=

2221212

2121111

uYuYiuYuYi

, (C5)

care exprimă curenţii (de atac şi citit) în funcţie de tensiunile la borne; 5) cuadripoli cu parametri H („hibrizi”):

=

2

1

iu

H

2

1

ui

adică

+=+=

2221212

2121111

uhihiuhihu

; (C6)

6) cuadripoli cu parametri G:

=

1

2

iu

G

2

1

iu

sau

+=+=

2221211

2121112

igugiigugu

. (C7)

De exemplu, funcţionarea unui tranzistor bipolar cu emitorul comun poate fi descris printr-un cuadripol H, cu modelul (C6) care reprezintă o schemă internă cu structura din figura 8.8/21, parametri jih ( 2,1, ∈ji ) fiind determinaţi experimental, pentru fiecare tip constructiv de tranzistor, de către fabricant.

În continuare se va analiza numai modelul (C2), cu matricea A (celelalte modele putând fi analizate în acelaşi mod). Semnificaţia termenilor jia , ai matricei A, se deduce uşor prin interpretări fizice; astfel la aşa-zisul „mers în gol” al cuadripolului (caracterizat de condiţia 02 =i ) sistemul Fig. 8.8/21

Page 102: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

530

(C2) devine:

20

1011201110 u

uauau =∴= , cu dimensiunea [ ] [ ]111 =a ,

20

1021202110 u

iauai =∴= , cu dimensiunea [ ] [ ]Ya =21 .

Aşadar 11a este un factor de proporţionalitate adimensional (care, în multe aplicaţii, este denumit amplificarea de tensiune a cuadripolului la mersul în gol, notată cu 0A ), iar elementul 21a are dimensiunea unei admitanţe (reprezentând, în fapt, admitanţa de transfer a cuadripolului la mersul în gol, notată cu 0Y ).

În cazul scurtcircuitării cuadripolului la ieşire (ceea ce înseamnă 02 =u ) sistemul (C2) dă:

2

1122121 i

uaiau sc

sc =∴= , cu dimensiunea [ ] [ ]Za =12 ,

sc

scscsc i

iaiai

2

1222221 =∴= , cu dimensiunea [ ] [ ]122 =a .

Prin urmare, elementul 12a al matricei A are dimensiunea unei impedanţe (denumită impedanţa de transfer a cuadripolului în scurtcircuit, notată cu scZ ), iar elementul 22a este adimensional (putând fi denumit amplificarea de curent în scurtcircuit a cuadripolului, notată cu

scA ). Ţinându-se seama de aceste semnificaţii ale elementelor matricei A, modelul (C2) devine:

(C8)

+=+=

2201

2201

iAuYiiZuAu

sc

sc sau

=

2

2

0

0

1

1

iu

AYZA

iu

sc

sc .

Din sistemul (C8) se pot calcula direct (prin metoda determinanţilor a lui Kramer) semnalele 2u şi 2i în funcţie de 1u şi 1i :

−−

−=

=

−−

−=

=

.

,

100

01

00

0

00

10

10

2

100

10000

1

1

2

uYZAA

Yi

YZAAA

YZAAiYuA

i

iYZAA

Zu

YZAAA

YZAAAiZu

u

scscscscscsc

scsc

sc

scsc

sc

scsc

sc

sc

Folosindu-se notaţia ∆=− 00 YZAA scsc (adică determinantul sistemului) sistemul precedent devine:

(C8′ ) ( )

( )

+−∆

=

−∆

=

,1

,1

10102

112

iAuYi

iZuAu scsc

sau, în scriere matriceală:

(C3′)

−∆

=

1

1

002

2 1iu

AYZA

iu scsc ,

Page 103: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

531

care –de fapt– reprezintă modelul (C3) cu matricea B, ale cărei elemente ( 11B , 12B , 21B şi 22B ) rezultă imediat din ecuaţia (C3′ ).

Mai departe, înlocuindu-se vectorul

1

1

iu

cu expresia lui din ecuaţia (C8), rezultă

identitatea:

−∆

=

2

2

0

0

002

2 1iu

AYZA

AYZA

iu

sc

scscsc sau =

2

2

iu

I

2

2

iu

,

unde I este matricea unitate, ceea ce înseamnă:

I

−∆

=

=

sc

scscsc

AYZA

AYZA

0

0

00

11001

.

Dacă la ieşirea cuadripolului se conectează o impedanţă LZ (indicele L provenind de la denumirea uzuală de impedanţă de lucru) şi se aplică la intrare o tensiune 1u , atunci celelalte mărimi, 1i , 2i şi 2u sunt unic determinate (de pildă 22 iZu L= ). Prin urmare, în ecuaţia (C8) dacă se da 1u rezultă 1i , 2u şi 2i , ceea ce arată că, de fapt, dimensiunea bazei în care s-a considerat matricea A nu este doi, ci unu, deoarece sistemului (C8) i se poate adăuga relaţia suplimentară: 22 iZu L= , astfel că sistemul (C8) devine (prin înlocuirea lui 2u cu 2iZ L ):

( )( )

+=+=

,201

201

iAZYiiZZAu

scL

scL

din care rezultă: - impedanţa de intrare a cuadripolului, iZ , măsurată la bornele de intrare 1-1′:

scL

scLD

i AZYZZA

iu

Z++

==0

0

1

1 ; (C9)

- impedanţa de intrare a cuadripolului la mersul în gol ( ∞→⇒= LZi 02 ), notată cu 0iZ :

00

01

10 /

2

YAiu

Zi

D

i ===

, (C10)

ce rezultă din sistemul (C8) în care s-a luat 02 =i ; - impedanţa de intrare a cuadripolului la mersul în scurtcircuit ( 002 =⇒= LZu ), notată

cu sciZ :

scsc

u

D

sci AZiu

Z /01

1

2

===

, (C11)

ce rezultă direct din (C9) în care se pune 0=LZ ; - impedanţa caracteristică a cuadripolului la intrare, notată cu cZ şi definită prin:

sc

scscii

D

c AYZA

ZZZ0

00 =⋅= .

Dacă la un cuadripol se inversează intrarea cu ieşirea (fapt care se precizează cu apostrof′), în sensul că atacul se face la bornele 2-2′ (ale ieşirii) şi citirea se face la bornele 1-1′ (ale intrării), sistemul (C8) capată forma:

Page 104: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

532

(C12)

′′+′′=′

′′+′′=′

1102

1102

iAuYi

iZuAu

sc

sc ,

în legatură cu care se defineşte impedanţa caracteristică a cuadripolului văzută de la ieşire:

(C13) ′′

′′=′⋅′=′

sc

scscii

D

cAY

ZAZZZ

0

00 .

Comparându-se acum ecuaţiile (C8′ ) cu (C12) rezultă (în condiţii de liniaritate) prin aplicarea teoremei circuitelor fundamentale independente: (C14) 100 =−=∆ YZAA scsc , valabilă pentru orice cuadripol liniar pasiv. Atunci, ecuaţiile (C8′ ) capată forma (rezultată din faptul că 1=∆ ):

(C15)

+−=

−=

10102

112

iAuYiiZuAu scsc cu ′= 0

0i

sc ZYA

şi ′= scisc Z

AZ

0

.

Comparându-se sistemul de ecuaţii (C15) cu sistemul (C12) şi ţinându-se seama că cel puţin 2u este arbitrar, rezultă schimbarea reciprocă a locurilor termenilor 0A şi scA , astfel că

impedanţa caracteristică ′cZ – definită prin expresia (C13)– mai poate fi calculată şi cu formula:

(C13′) 00 AY

ZAZ scsc

c =′ .

Impedanţele caracteristice cZ şi ′cZ au o deosebită importanţă pentru schemele în care mai

mulţi cuadripoli sunt conectaţi în lanţ (sau cascadă) –aşa cum se arată în figura 8.8/22– pentru realizarea aşa-numitei adaptări (a ieşirii unui cuadripol cu intrarea celui care urmează în lanţ). Pentru evidenţierea adaptării, se va conecta la ieşirea 2-2′ a cuadripolului o sarcină cu impedanţa

egală cu cea critică de la ieşire ′iZ . Atunci, impedanţa de la intrarea cuadripolului, iZ , care la

ieşire are impedanţa ′= cL ZZ (calculată la bornele 1-1′ cu expresia ei C9) este:

(C16) csc

sc

scscsc

scscsc

scscsc

scscsc

scc

scci Z

AYZA

AZ

YA

AY

AZ

YA

ZA

AAYZA

Y

ZAYZA

A

AZY

ZZAZ ==

+

+

=

+

+

=+′+′

=0

0

000

000

000

000

0

0 .

Rezultă, deci, că dacă la ieşirea 2-2′ se conectează o sarcină cu impedanţa ′cZ

(caracteristică ieşirii) atunci la intrarea 1-1′ se măsoară o impedanţa egală cu impedanţa cZ (caracteristică intrării). De asemenea, este valabilă şi reciproca în sensul că dacă la bornele 1-1′ se conectează o latură cu impedanţa cZ , atunci –privit dinspre ieşire– la bornele 2-2′ se măsoară o

impedanţă egală cu ′cZ .

La cuadripolii simetrici, adică la acei cuadripoli care îndeplinesc condiţiile de simetrie:

′= 00 ii ZZ şi ′= scisci ZZ ,

deci care se comportă identic indiferent de poarta prin care se face atacul, rezultă imediat:

Page 105: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

533

sc

sccc AY

ZAZZ

0

0=′= . (C17)

Relaţiile (C17) şi (C16) arată că dacă un cuadripol este simetric şi „lucrează” pe o impedanţă cZ conectată la ieşire, atunci la intrare, impedanţa măsurată va fi impedanţa caracteristică a cuadripolului. Se spune despre acest cuadripol că funcţionează în modul adaptat.

Aşa cum s-a mai aratat, mai mulţi cuadripoli pot fi conectaţi în cascadă, după o schemă ca cea din figura 8.8/22.

Potrivit sensurilor de referinţă indicate în această figură, pentru fiecare cuadripol se poate scrie o ecuaţie de forma (C2), adică:

=

1

1

iu

A1

2

2

iu

, =

2

2

iu

A2

3

3

iu

, …, =

n

n

iu

An

+

+

1

1

n

n

iu

,

şir din care rezultă imediat:

=

1

1

iu

A1 · A2 · … · An

+

+

1

1

n

n

iu

. (C18)

Dacă se consideră întregul lanţ ca fiind un singur cuadripol de matrice A, se poate scrie:

=

+

+

1

1

1

1

n

n

iu

iu

A

şi prin identificarea acestei ecuaţii matriciale cu ecuaţia (C18)rezultă că matricea A a întregului lanţ este egală cu produsul matricelor kA (k=1,2,…,n) ale fiecărui cuadripol din lanţ adică :

k

n

kn AAAAA121 ...=Π=⋅⋅⋅= , (C19)

cuadripolul în lanţ comportându-se ca un singur cuadripol, echivalent. Pentru a se exemplifica procedura de tratare a unui circuit ca diport (cuadripol) în lanţ, se

vor considera cuadripolii din figura 8.8/23. Pentru cuadripolul capacitor din figura 8.8/23a, folosind

notaţiile şi sensurile de referinţă indicate în figură, se scriu următoarele relaţii bine cunoscute (v.subcap.8.4):

.d/d ,

,

21

21

tuCiiii

uuu

cc

c

c

⋅===+=

(C20)

Aplicându-se transformata Laplace (v.§ 9.4.1)egalităţii (C20), membru cu membru se obţine:

( ) ( ) ( ) ( ).1şi sIsC

sUssCUsI cccc =

Pentru cuadripolul rezistor din figura 8.8/23b se poate scrie :

Fig. 8.8/22

Fig.8.8/23

Page 106: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

534

( ) ( )

.,şi,

21

21

iiisRIsURiuuuu

R

RRRRR

+=====

Folosindu-se numai transformata Laplace, matricele A(s) ale acestor doi cuadripoli rezultă că sunt :

- pentru cuadripolul capacitor: ( )( ) ( ) ( )

( ) ,A 21

=

sIsU

ssIsU

CC

C

de unde, prin identificare cu ecuaţia ( )

=

10/11

:)8(sC

sC CA ;

- pentru cuadripolul rezistor:

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

=∴

=

1/101

21 Rs

sIsU

ssIsU

RR

RR AA .

Atunci pentru un cuadripol ca cel din figura 8.8/24, care este o cascadă de trei cuadripioli: capacitorul (fig.8.8/23a) – rezistorul (fig.8./23b) – capacitorul(fig .8.8./23a) , matricea A(s) echivalentă daterminată conform relaţiei (C19), este :

sCR11+

+

sCRsC121

(C21) ( ) ( ) ( ) ( ) =⋅⋅= ssss CRC AAAA

R1

sCR

11+

sc

C

AYZA

0

0

Ca aplicaţie practică cuadripolul din figura 8.8/24 reprezintă un filtru trece sus, în „ T ”.

Se observă că acest cuadripol este simetric, deoarece scAA =0 şi verifică relaţia

100 =−=∆ YZAA scsc ; astfel, din matricea (C21) rezultă :

11211112

=

+⋅−

+

sCRsCRsCR.

De asemenea se verifică şi altă condiţie de simetrie şi anume cea referitoare la impedanţele caracteristice : cc ZZ ′= .

În particular, pentru semnalele armonice, pentru care jω=s , rezultă :

,τ undeτω

11cu jω

11 2200 RCACR

A =+=+=

care arată că pentru ∞→ω şi 10 =A şi deci 2201 uuAu == , iar pentru ,0/şi,0ω 0120 ==∞→= AuuA ceea ce înseamnă că acest cuadripolul este un filtru de trece

sus, care „ blochează trecerea ” componentelor continue şi parţial pe cele de frecvenţă joasă şi permite „trecerea ”semnalelor cu frecvenţă înaltă. Pragul de separare depinde de valoarea pe care o are constanta de timp CR=τ ce intervine în expresia atenuării de tensiune la funcţionarea în gol şi anume : ,ωτ/1A 0 ≈ deoarece la frecvenţe joase 1ωτ/1 >> şi, ca urmare, ωτ/1ωτ/11 ≈+ .

8.8.5. Linii electrice lungi

Circuitele electrice studiate până in prezent au fost caracterizate prin parametri localizaţi în

laturile reţelei. În practică se întâlnesc însă numeroase aplicaţii în care circuitele au parametri distribuişi si

utilizarea unei scheme cu parametri localizaţi nu mai poate fi acceptată ca schemă echivalentă

Fig.8.8/24

Page 107: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

535

situaţiei reale. Unul din aceste cazuri îl constituie liniile de conductoare izolate între ele, foarte lungi, utilizate la transportul energiei electromagnetice (pe lungimi de sute de km), cablurile de distribuţie a acestei energii (cu lungimi de mii de metri ),liniile telefonice, cabluri pentru distribuirea emisiunilor TV şi multe altele. În cazurile acestor linii (cu parametri distribuiţi în lungul lor, de obicei în mod uniform, şi indicaţi prin R în [ ]Ω/m , L în [ ]H/m şi C în [ ]F/m ), tensiunile şi curenţii electrici nu depind numai de timp ci şi de distanţa în lungul liniei (de exemplu, de la „capul”/ intrarea ei la un punct considerat de pe linie).

În continuare, se va considera o linie bifilară cu parametrii uniformi distribuiţi în lungul ei. Tensiunile la bornele de intrare ale liniei (la bornele 1-1`) este 1u ,iar tensiunea la bornele de ieşire (la bornele 2-2` ) este 2u ; aceste tensiuni sunt funţii numai de timp: ( ) )(u,0u 11 ttx == şi

( ) )(u,u 22 ttlx == , unde l este lungimea liniei. Parametri liniei, exprimaţi pe unitate de lungime, sunt: rezistenţa specifică a conductorului

liniei (R) în serie cu inductivitatea electrică (L) a liniei şi transversal (în derivaţie de-a lungul liniei) conductanţa specifică izolaţiei liniei (G) şi capacitatea electrică specifică între conductoarele liniei (C). Pentru o fracţiune de linie, de lungime x∆ , schema electrică a liniei arată aşa ca în figura 8.8/25.

Conform notaţiilor din această figură, modelul liniei electrice lungi este :

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

∂∂

⋅∆+∆=∆+−

∆+∂∂

⋅∆+∆+⋅∆=∆+−

),,(),(,,

,,,,,

txut

xCtxxuGtxxitxi

txxit

xLtxxixRtxxutxu (L1)

adică un sistem de ecuaţii cu derivate parţiale în raport cu timpul. Împărţindu-se în ambele ecuaţii, ambii membri, cu ∆x rezultă :

∂∂

+⋅=∆

−∆+−

∆+∂∂

+∆+⋅=∆

−∆+−

).,(),(),(),(

),,(),(),(),(

txut

CtxuGx

txitxxi

txxit

LtxxiRx

txutxxu

Dacă se trece la limită (∆x→0) şi simplificându-se notaţia mărimilor electrice (prin renunţarea la indicarea argumentului, care a fost specificat iniţial) se obţine :

∂∂

+=∂∂

∂∂

+=∂∂

tuCGu

xi

tiLRi

xu

, (L2)

adică un sistem de ecuaţii cu derivate parţiale în raport cu timpul. Sistemul (L2) este cunoscut şi sub numele de ecuaţia telegrafiştilor deoarece primele ei aplicaţii practice au fost efectuate în domeniul telegrafiei (la transmiterea de date prin linii electrice la distanţă). Se va aplica acestui sistem, transformata Laplace (v. § 9.1.4) ştiind că:

Fig.8.8/25

Page 108: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

536

L ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),ddde,de,,

0 0∫ ∫∞ ∞

−− =∂∂

=∂∂

=∂∂

=

∂∂ sU

xsU

xttxu

xttxu

xtxu

xstst

care arată că, deoarece integrala este definită, transformată U(s) nu mai depinde de t; va rezulta pentru sistemul (L2):

(L3)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) .

dd

,d

d

+=−

+=−

sUsCGxsI

sIsLRxsU

Eliminându-se prin derivare I(s) din cele două ecuaţii ale sistemului (L3), rezultă:

(L4) ( ) ( ) ( )( ).υcu0υd

d 222

2

sCGsLRsUx

sU++==−

Soluţia generală a ecuaţiei (L4) este: (L5) ( ) xx beaesU υυ += − , unde coeficienţii a şi b nu depind de x. Semnificaţia fizică a acestei soluţii ne este cunoscută (v. § 7.1.3): pe o linie se propagă un semnal care se atenuează cu x (acesta fiind echivalentul undei directe) şi un semnal care se atenuează de la finele liniei (ieşire) către capul ei (intrare), echivalentul undei inverse (unda reflectată).

Din prima ecuaţie a sistemului (L3), şi ţinându-se seama de expresia (L5) a lui U(s), se poate calcula transformata Laplace a curentului, care este:

( ) ( )

( ) ( )( )( )

( ) ( ) .eeeesaueeυ

:adică,eυeυ

υυυυυυ

υγ

xxxxxx

xx

basIsCGsLRbasI

sLRsCGsLRbasIsLR

basIsLR

−=++

→−=++

+−=

+

−=+

−−−

Folosindu-se notaţia:

(L6) ( ),sZsCGsLR

c

D

=++

unde Zc(s)este impedanţa critică a liniei (bifilare) precum şi condiţiile la limită (la x=0):

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ),

,

10

10

sUbasU

sIsZbasIsZ

x

cxc

=+=

=−=

=

=

(conform notaţiilor din fig. 8.8/25), rezultă coeficienţii a şi b:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

,2

,2

1111 sIsZsUb

sIsZsUa cc −

=+

=

astfel că expresiile definitive ale transformatelor Laplace ale tensiunii şi curentului în lungul unei linii bifilare sunt:

(L7) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

−−

+=

−+

+=

x

c

cx

c

c

xcxc

sZsIsZsU

sZsIsZsU

sI

sIsZsUsIsZsUsU

υ11υ11

υ11υ11

e2

e2

e2

e2 .

Aşa cum s-a demonstrat în paragraful precedent, la fel se poate arăta şi aici (linia bifilară din figura 8.8/25 fiind şi ea tot un cuadripol) că dacă linia este conectată la ieşire pe impedanţa caracteristică )/()()( sCGsLRsZ c ++= , atunci la intrare se măsoară impedanţa caracteristică (cuadripol simetric), ceea ce înseamnă: (L8) ( ) ( ) ( )sIsZsU c 11 = .

Page 109: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

537

Din ecuaţia (L7) se observă că dacă condiţia (L8) este îndeplinită, atunci dispare unda reflectată (al doilea termen din membrul drept se anulează). La transmisiile pe cablu sau linii acest fapt prezintă o deosebită însemnătate, deoarece prin conectarea întotdeauna a impedanţei caracteristice problema practică a adaptării liniei este rezolvată.

Pentru studiul regimului armonic permanent, la o pulsaţie ω dată, se folosesc aceleaşi relaţii –adică (L3)…(L7)– în care se introduce s=jω şi transformatele Laplace se înlocuiesc cu fazorii de tensiune şi de curent. Astfel ecuaţia (L3) devine:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

jωdd

jωdd

+=−

+=−

xUCGxIx

xILRxUx )(L3'

sau, deoarece ZLR =+ jω , (impedanţa complexă “longitudinală” a liniei) şi YCG =+ jω (admitanţa complexă “transversală” a liniei) sistemul (L3`) se mai scrie şi în forma:

.d/dd/d

==

UYxIIZxU

(L3``)

Impedanţa caracteristică (complexă) a liniei lungi bifilare, în regim armonic, este conform definiţiei (L6):

YZCGLR

Z c /jωjω

=++

= . (L6`)

Atunci, expresiile fazorilor de tensiune şi de curent ale liniei bifilare lungi în regimul armonic, care se deduc din ecuaţiile generale (L7) în care υ devine aici

( )( ) YZCGLR =++= jωjωυ , sunt:

( ) ( )

( ) ( )

−++=

−++=

xc

c

xc

c

xc

xc

IZUZ

IZUZ

I

IZUIZUU

υ11

υ11

υ11

υ11

e2

1e2

1

e21e

21

, (L7`)

în care ujUU ϕ= e1 şi ijII ϕ= e , unde U1 şi I1 sunt valorile efective ale tensiunii şi curentului la capul (intrarea) liniei, iar iu ϕϕ şi sunt fazele iniţiale ale tensiunii şi curentului la bornele 1-1` (la intrare).

Dacă, în altă ordine de idei, linia bifilară este fără pierderi (nedisipativă), caz ce poate fi admis cu o bună aproximaţie în unele aplicaţii din radiocomunicaţii, atunci R=0 şi G=0, modelul (L2) al liniei devenind:

∂∂

=∂∂

∂∂

=∂∂

tuC

xi

tiL

xu

.

Prin derivarea primei ecuaţii în raport cu x şi a celei de a doua în raport cu t sistemul acesta devine: ,// //şi// 2222222222 tuLCxutuCtxixtiLxu ∂∂=∂∂∴∂∂=∂∂∂−∂∂∂=∂∂− ceea ce înseamnă:

sau012

2

2

2

=∂∂

−∂∂⋅

tu

xu

LC LCu=0 , (L9)ٱ

unde operatorul lui d`Alambert este, aici:

Page 110: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

538

LCٱ 2

2

2

21txLC ∂∂

+∂∂

−= .

După cum se vede ecuaţia (L9) este un caz particular al ecuaţiei undelor (v. §. 7.1.2) Pentru extinderea analizei liniilor lungi, se poate formula acum problema lui Couchy

generalizată pentru ecuaţia undelor (L9): )(/);()0( 100 xutuxutu t =∂∂=+= += .

Se consideră : )(şi)(),0( 11

0nn RCuRCutCf ∈∈≥∈ şi se prelungesc funcţiile u şi f cu

valoarea zero pentru t<0:

, 000~;

000~

<⇒≥⇒

=

<⇒≥⇒

=ttf

ftty

u

rămânând să se arate că funcţia ),(~ txu satisface ecuaţia undelor (L9) sub forma :

(L10) )()()()(),(~~1

'0 txuxxutxfu δδ ++= ,

în care )(0 xu şi )(1 xu sunt „salturile ” la t=0. Modelul (L10) reprezintă o tratare a ecuaţiei telegrafiştilor pentru liniile bifilare ideale (considerate fără pierderi), care defineşte o ecuaţie de tipul (L9) – un caz particular al ecuaţiei undelor, prin teoria distribuţiilor, singura capabilă să descrie sensul derivatelor în care semnalele cresc brusc (sub forma de treaptă, dreptunghi) care apar permanent în cazul uzual al transmiterii datelor în cod de impulsuri.

Atunci pentru orice ∈ϕ D )( 1+nR se poate scrie :

< ,, uuLC >=<ϕ ∫ ∫∞

>=ϕ0

nRLC u =

ϕ∆−

∂ϕ∂

=ϕ ∫ ∫∞

ε→εtx

LCtutxnRLC dd1limdd 2

2

0

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .,~~d0,

d0,dd~d0,0,

d0,0,dd]d,,

d,,dd1[lim

101

0

0

2

2

0

1

ϕδ+δ+=ϕ+

+∂

ϕ∂−=

∂∂

ϕ+

+∂

ϕ∂−ϕ=

∂ε∂

εϕ+

+ε∂

εϕ∂−ϕ

∆−

∂∂

=

∫ ∫ ∫

∫∫ ∫∫

∫ ∫ ∫

+

ε→ε

txutxufxxxu

xtxutxfx

txux

xxutxtxfx

txux

xxutxtxu

LCtu

n

n n n

nnn

n n

R

R R R

RRR

R R

Astfel, condiţiile iniţiale 10 uşiu au rolul unor surse instantanee iniţiale (se reaminteşte cazul condensatorului care la t=0 se încarcă brusc cu 0Q ). Atunci, însă, perturbaţiile iniţiale 1u îi corespunde stratul dublu ( ) ( )txu δ0 , iar perturbaţiei iniţiale 1u îi corespunde stratul simplu ( ) ( )txu δ1 ambele în planul t=0.

Dacă s-a găsit soluţia fundamentală a ecuaţiei ( )txuLC ,δ= , fie aceasta fu , rezultă soluţia unică ( )txfuLC ,= şi anume ( ) .00 =<⇒∗= tffuu f Acest produs de convoluţie este denumit „forma potenţialului retardat”(v. § 7.1.4.).

Page 111: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

539

8.9. Aplicaţii În domeniul strict al circuitelor electrice există o mare varietate de aplicaţii tehnice, în numeroase cazuri practice: de la cele din zona puterilor mari (industriale), cum ar fi reţelele sistemului electroenergetic (cu probleme legate de calculul curenţilor de scurtcircuit, analiza regimului deformant, calculul componentelor simetrice, determinarea pierderilor de putere activă, optimizarea "structurilor" de transfer a energiei electromagnetice între furnizori şi consumatori - v. § 8.9.1 etc.), schemele echivalente ale maşinilor electrice şi până la problemele de analiză şi sinteză din domeniul electronicii (a circuitelor de curenţi slabi, cu componente neliniare şi diverse forme de semnale etc.). De aceea, în acest subcapitol referitor la aplicaţiile privind circuitele electrice, spaţiul tipografic restrâns a impus o selectie limitată numai la câteva cazuri, fiind preferate acelea legate de utilizarea tehnicilor de modelare şi simulare asistată de calculator (de tip CAD/CAM – v. subcap. 9.3), care să realizeze deschiderea către disciplinele de profil (Maşini electrice, Instalaţii electrice, Electroenergetică, Componente şi circuite electronice, Electronică aplicată etc.).

8.9.1. Utilizarea calculului matriceal la analiza circuitelor electrice Analiza asistată de calculator a reţelelor electrice cu multe laturi şi noduri se face simplu şi exact prin utilizarea modelelor de calcul scrise sub formă matriceală, aşa cun se arată în cele două aplicaţii ce urmează. Aplicaţia 8.1. Se propune determinarea intensităţii curenţilor în reţeaua din figura 8.1-1, cunoscându-se: R4=R5=3Ω, R6=6Ω, R7=3Ω, E1=E3=100V, r1=r2=r3=1Ω. Secvenţa unei sesiuni de lucru MATLAB construită conform modelului metodei curenţilor ciclici, şi anume:

E1=100;E2=20;E3=100; r1=1;r2=1;r3=1; R4=3;R5=3;R6=6;R7=3; E=[E1;E2;-E3] R=[r1+R4+R6,-R6,-R4; -R6,r2+R5+R6,-R5; -R4,-R5,r3+R4+R5+R7]; J=R\E; I=[J(1);J(2);J(1)-J(3);J(2)-J(3);J(2)-J(1);-J(3)];

returnează rezultatul:

I =16.1364, 11.1364, 17.9545, 12.9545, -5.0000, 1.8182,

cifrele reprezentând, în ordinea indicilor, intensităţile curenţilor din laturi.

Aplicaţia 8.2. Se presupune sistemul trifazat simetric din figura 8.2-1 care alimentează din nodurile sursă, notate cu 0 şi respectiv cu 1, nodurile consumatoare notate cu 2, 3, 4 şi 5.

Într-un asemenea sistem, asemănător sistemelor industriale de distribuţie a energiei electrice, potenţialele nodurilor sunt dependente de

Fig. 8.1-1

Fig. 8.2-1

Page 112: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

540

curenţii din laturi astfel că regimul permanent va trebui determinat prin iteraţii succesive până la închiderea bilanţului de puteri cu precizia dorită. Se cunosc puterile iii QPS j+= cerute la nodurile consumatoare şi admitanţele laturilor reţelei notate în figura 8.2-2. Se presupune că nodul

0 este nod de echilibru, adică nodul în care tensiunea este invariantă fazorial. Se cere să se determine tensiunile nodurilor independente şi pierderile de putere activă în reţea, la închiderea bilanţului de puteri cu o eroare relativă mai mică decât 10-4.

Ecuaţia de funcţionare a reţelei este: [ ] [ ][ ]IZU =∆ ,

unde: [ ]U∆ şi [ ]I sunt matricea creşterilor de tensiune faţă de nodul de referinţă şi, respectiv, matricea curenţilor injectaţi în noduri, având fiecare n-1 linii iar [ ]Z =M(n-1, n-1, C) este matricea impedanţelor proprii şi de transfer a reţelei în raport cu nodul de referinţă căruia i se atribuie indicele 0.

Un element ik

Z al matricei [ ]Z se defineşte ca fiind valoric egal cu căderea de tensiune dintre nodul k şi nodul de referinţă, atunci când în nodul i este injectat curentul 0j1+ care vehiculează prin reţea către nodul de referinţă. De asemenea, matricea [ ]Z poate rezulta din relaţia [ ] [ ] 1−= YZ ,

elementele diagonale ale matricei [ ]Y fiind suma admitanţelor care converg în noduri, iar elementele nediagonale sunt admitanţele de legătură între noduri (acolo unde există) luate cu semn schimbat.

Procedura-funcţie dintr-o sesiune de lucru MATLAB (autor as. ing. Liana Georgescu) care rezolvă rapid problema are următoarea structură:

DATELE DE INTRARE Numărul nodurilor: N=6; Tensiunea la nodul de echilibru: U0=6.3; Tensiunile nodurilor independente pentru prima iteraţie: U=[6;6;6;6;6]; Sarcinile nodurilor independente. Se atribuie semnul (-) nodurilor consumatoare: S=[0.800+0.260i;-0.640-0.210i;-0.800-0.260i;-0.640-0.210i;-0.800-0.260i]; Matricea de admitanţe nodale: YNN=[0.1860 - 1.1895i 0 -0.0811 + 0.4560i -0.1049 + 0.7335i; 0 0.0811 - 0.4560i -0.0811 + 0.4560i 0; -0.0811 + 0.4560i -0.0811 + 0.4560i 0.1622 - 0.9120i 0; -0.1049 + 0.7335i 0 0 16.5909 - 8.7747i; 0 0 0 -16.4860 + 8.0412i]; Precizia cu care se doreşte închiderea bilanţului de puteri: er=.0001; ALOCĂRI S1=zeros(N-1,1); I=zeros(N-1,1); UNE=[U0; U0; U0; U0; U0]; DU=zeros(N-1,1); Unod=zeros(N-1,1); CORPUL RUTINEI Matricea impedanţelor de transfer: Z=inv(YNN); e1=.011; f1=.011; while (e1>er)&(f1>er) Calculul curenţilor generaţi/ejectaţi la noduri: for i=1:N-1

Fig. 8.2-2

Page 113: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

541

I(i)=conj(S(i))/conj(U(i)); end; Calculul variaţiilor de tensiune faţă de nodul de echilibru şi al tensiunilor nodurilor: DU=Z*I; Unod=DU+UNE; Recalcularea puterilor injectate/rejectate la noduri şi calculul abaterilor relative ale puterilor active şi reactive: for i=1:N-1 S1(i)=0; Y0=[0 0 0 0 0;0 0 0 0 0;0 0 0 0 0;0 0 0 0 0;0 0 0 19.5925-7.8370i 0]; for j=1:N-1 if j~=i S1(i)=S1(i)+Unod(i)*conj((Unod(i)-Unod(j))*(-YNN(i,j)))+Unod(i)*conj((Unod(i)-U0)*Y0(i,j)); end; end; end; for i=1:N-1 ep(i)=abs((real(S(i))-real(S1(i)))/real(S(i))); eq(i)=abs((imag(S(i))-imag(S1(i)))/imag(S(i))); end; Selectarea abaterilor maxime: for i=2:N-1 if ep(i)<ep(i-1) e=ep(i-1); else e=ep(i); end; if eq(i)<eq(i-1) f=eq(i-1); else f=eq(i); end; end; Calculul puterii injectate la nodul de echilibru: S0=0; for i=1:N-1 for j=1:N-1 S0=S0+U0*conj((U0-Unod(i))*Y0(i,j)) end; end; Rezultatele iteraţiei: U=Unod; Un=U Sn=S1 e1=e; f1=f; end; p=real(S0); for i=1:N-1 p=p+real(S(i)) end; end; end

iar rezultatul returnat este:

» Tensiunile nodurilor - kV: 6.3588 + 0.1618i, 6.2673 - 0.0013i, 6.1165 - 0.2563i, 6.2846 - 0.0002i, 6.2832 - 0.0006i;

Puterile la noduri - MVA: 0.7992 + 0.2588i, -0.6401 - 0.2101i, -0.7984 - 0.2613i, -0.6400 - 0.2101i, -0.8000 - 0.2601i, Puterea la nodul de echilibru -MVA: 2.0990 + 0.7498i Pierderea de putere activă - MW: 0.0190 Numărul de iteraţii: k1 = 3

Page 114: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

542

8.9.2. Analiza circuitelor trifazate în regim nesimetric Cele două aplicaţii prezentate în continuare se referă la două cazuri frecvent întâlnite în practică. Aplicaţia 8.3. Un receptor trifazat cu conexiunea în stea, având impedanţele egale

Ω==== 10321 RZZZ şi impedanţa neutrului Ω= 3/5NZ este alimentat cu tensiunile nesimetrice: V][1501 =V , [V]j1802 −=V şi V][j2103 =V . Se cer curenţii de linie şi curentul în conductorul neutru. O procedură-funcţie MATLAB pentru această problemă are conţinutul:

DATE DE INTRARE V1=150; V2= -180*i; V3=210*i; Z1=10; Z2=10; Z3=10; ZN=5/3; a=-1/2+(sqrt(3)/2)*i;

CALCULUL COMPONENTELOR SIMETRICE DE TENSIUNI ŞI CURENŢI Vh=(V1+V2+V3)/3; Vd=(V1+a*V2+(a.^2)*V3)/3; Vi=(V1+(a.^2)*V2+a*V3)/3; I1d = Vd/R; I2d=(a.^2)*Vd/R; I3d=a*Vd/R; I1i = Vi/R; I2i=a*Vi/R; I3i=(a.^2)*Vi/R; Ih=Vh/(R+3*ZN);

CALCULUL EXPRESIILOR COMPLEXE ALE CURENŢILOR I1=I1d+I1i+Ih; I2=I2d+I2i+Ih; I3=I3d+I3i+Ih; IN=3*Ih;

VALORILE EFICACE ALE CURENŢILOR I1=abs(I1c), I2=abs(I2c), I3=abs(I3c), IN=abs(INc)

Rezultatul, în amperi, este:

» I1 =13.3375, I2 =18.4089, I3 =20.7338, IN =10.1980

Aplicaţia 8.4. Pentru controlul simetriei curenţilor în reţeaua trifazată cu trei conductoare (fără conductor neutru) se folosesc montaje ca acela din figura 8.4-1. Se cere să se stabilească o relaţie între impedanţele 2Z şi 3Z pentru ca ampermetrul A să indice: a) numai componenta directă de curent; b) numai componenta inversă de curent. Curentul din latura ampermetrului are expresia în complex:

(8.4-1) 332

32

32

2 IZZZ

ZIZZZ

ZIAA

A +++

++= .

Reţeaua neavând conductor neutru, componenta homopolară de curent este nulă, 0=hI , iar curenţii 1I şi 2I exprimaţi în funcţie de componentele simetrice vor fi: (8.4-2) id III aa2

2 += şi (8.4-3) id III 2

3 a+a= . Înlocuindu-se curenţii în relaţia (8.4-1) cu expresiile lor (8.4-2) şi (8.4-3) se obţine:

A

idA ZZZ

IZZIZZI++

++=

32

232

22

3 )a+a()aa( .

Pentru ca aparatul să măsoare numai componenta directă va trebui să existe relaţia 0)a+a( 23

2 =ZZ , adică:

060

222

23 aa1 jeZZZZ =−=−= .

Cea de a doua condiţie va fi îndeplinită dacă 0)a+a( 22

3 =ZZ , adică:

Fig. 8.4-1

Page 115: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

543

060

332

32 aa1 jeZZZZ =−=−= .

8.9.3. Calculul regimului deformant în reţelele de curent alternativ

Sunt prezentate în continuare numai două aplicaţii: una cu referire la circuitele electrice "de curenţi tari" şi alta relativă la structura semnalelor în general. Aplicaţia 8.5. Un circuit electric este alimentat cu tensiunea nesinusoidală : )303sin(215sin215020 0+ω+ω+= ttu , în [V], curentul debitat de sursă fiind: )303sin(25)30sin(2304 00 +ω++ω+= tti , în [A].

Interesează valorile efective ale curentului şi tensiunii, puterea activă consumată, factorul de putere al circuitului şi reprezentările grafice şi spectrale ale tensiunii şi curentului. Se foloseşte o procedură-funcţie MATLAB cu următorul conţinut:

U0=20;U1=150;U2=15;I0=4;I1=30;I2=5;FI1=pi/6;FI2=pi/3; t=0:.001:.039; fe=1/ (t(2)-t(1)); u=U0+U1*sqrt(2)*sin(2*pi*50*t)+U2*sqrt(2)*sin(3*pi*100*t+pi/6); Xt=fft(u); Xm=abs(Xt); N=length(u); X=Xm(1:N/2+1); f=[0:N/2]*fe/N; subplot(221); plot(t,u,'w');grid; xlabel('t[s]'); ylabel('u[V]'); subplot(222); stem(f,X,'w');grid xlabel('f[Hz]'); ylabel('U(f)[V]')' i=I0+I1*sqrt(2)*sin(2*pi*50*t+pi/6)+I2*sqrt(2)*sin(3*pi*100*t+pi/2); Yt=fft(i); Ym=abs(Yt); N=length(i); Y=Ym(1:N/2+1); f=[0:N/2]*fe/N; subplot(223); plot(t,i,'w');grid; xlabel('t[s]'); ylabel('i[A]'); subplot(224); stem(f,Y,'w');grid xlabel('f[Hz]'); ylabel('I(f)[A]')' U=sqrt(U0.^2+U1.^2+U2.^2) I=sqrt(I0.^2+I1.^2+I2.^2) P=U0*I0+U1*I1*cos(FI1)+U2*I2*cos(FI2) S=U*I COSFI=P/S

Rezultatul prelucrării datelor este:

>>U =152.0691V; I = 30.6757A; P =4.0146e+003W; S =4.6648e+003VA; COSFI = 0.8606,

iar graficele cerute sunt cele reproduse în figura 8.5-1. Aplicaţia 8.6. Din date experimentale este cunoscut un semnal prin punctele de

coordonate prezentate în tabelul 8.6-1: Tabelul 8.6-1

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y 0,0 10,0 20,0 32,0 18,0 44,0 54,0 42,0 76,0 84,0 70,0

0 0.02 0.04 -200

0

200

400

t[s]

u[V]

0 500 0

2000

4000

6000

f[Hz]

U(f)[V]

0 0.02 0.04 -50

0

50

t[s]

i[A]

0 500 0

500

1000

f[Hz]

I(f)[A]

Fig. 8.5-1

Page 116: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

544

Se cere să se aproximeze semnalul prin interpolare spline cubică şi să i se facă analiza spectrală.

Cu ajutorul procedurii:

x=[0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10]; y=[0.0,10.0,20.0,32.0,18.0,44.0,54.0,42.0,76.0,84.0,70.0]; xi=0:0.1:10; yi=spline(x,y,xi) axis([-1,10,-10,100]) subplot(211) plot(x,y,xi,yi,x,y,'w');grid xlabel('x') ylabel('y') fe=1/ (xi(2)-xi(1)); Xt=fft(yi); Xm=abs(Xt); N=length(yi); X=Xm(1:N/2+1); f=[0:N/2]*fe/N; subplot(212); stem(f,X,'w');grid xlabel('f[Hz]'); ylabel('Y(f)[V]')'

se obţin rezultatele prezentate în diagramele din figura 8.6-1.

8.9.4. Calculul procesului tranzitoriu din circuitele electrice Vor fi prezentate două aplicaţii net diferite care -ambele- se bazează pe utilizarea calculului operaţional (v. § 9.1.4) asistat de calculator.

Aplicaţia 8.7. Regimul tranzitoriu al unei linii lungi fără pierderi, atacată la intrare cu o t.e.m. constantă, ( ) Econstte == . , la ieşirea căreia este conectat un condensator (fig. 8.7-1).

Linia lungă bifilară din figura 8.7-1, cu lungimea l , este caracterizată de parametrii ei uniform distribuiţi L (în H/m ) şi C (în F/m ), având rezistenţa R (în /mΩ )= 0 şi G (în S/m )=0 deoarece linia este considerată fără pierderi. În această situaţie ecuaţiile liniilor lungi, cunoscute din paragraful 8.8.5 – v. expresiile (L2), (L3) şi (L4), care au soluţia (L5) sub forma

transformatei Laplace – şi anume:

( ) xx basU νν− += ee cu ( )( )sCGsLR ++=ν ,

sau - folosindu-se funcţiile hiperbolice - : (8.7- 1) ( ) xBxAsU ν+ν= shch ,

unde A şi B sunt constante arbitrare (ce pot fi funcţii de s ) care se determină din condiţiile la limită ale problemei, devin (v. şi figura 8.7 -1):

( ) ( ) ( )sIsZsU 222 = cu ( )2

21

sCsZ = ,

0 2 4 6 8 10 0

50

100

x

y

0 1 2 3 4 5 0

2000

4000

6000

f [Hz]

Fig. 8.6-1

Fig. 8.7-1

Page 117: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

545

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )sZsZs

EsZsZ

sUsIll 22

12

1+

=+

= → ( )( ) ( )

lsCl

xlsC

xl

sEsU

νρ+ν

−νρ

+−ν=

ch1sh

ch1sh

2

22 (8.7- 2)

unde ( )sZl este impedanţa operaţională a liniei. Ţinându-se seama de faptul că în cazul acestei aplicaţii (linie fără pierderi) ν şi ρ devin: LCs=ν şi C

L=ρ , atunci ultima expresie din (8.7 - 2), a lui ( )sU 2 , ia forma:

( ) ( ) ( )lchllsh

xlxllsEsU

νγ+νν−νγ+−νν

=chsh

2 , (8.7- 3)

în care 2

1C

C=γ , unde 1C este capacitatea totală a liniei (calculată la bornele de alimentare / început ale liniei – v. fig. 8.7-1), fiind ClC =1 . Pentru a putea găsi soluţia original a ecuaţiei (8.7-1), adică ( ) ( )[ ]sULtu 2

12

−= prin teorema dezvoltării, adică prin aplicarea formulelor (9.55) sau (9.56) – v. § 9.1.4. - trebuie găsite valorile lui s care satisfac ecuaţia: 0=νγ+νν lchllsh . (8.7- 4) Deoarece circuitul electric examinat nu conţine rezistene electrice (căci nu are pierderi de putere), rădăcinile ecuaţiei (8.7-4) sunt pur imaginare, ceea ce permite să se considere: β=ν jl , astfel că ecuaţia (8.7- 4) capătă forma: ,0sincos0chjshjj =ββ−βγ→=βγ+ββ (8.7- 5) care este o ecuaţie transcendentă (cu lν−=β j ), astfel că fiecărei rădăcini pozitive îi corespunde o rădăcină negativă egală cu ea în valoare absolută (aceasta se vede din faptul că ecuaţia (8.7- 5) nu se schimbă dacă se înlocuieşte β cu β− ). Folosindu-se teorema dezvoltării (9.56), adică:

( ) ( )( )

( )( )∑

+∞

−∞=

+=k

ts

kk

k k

sRssP

RPtf e

00

' ,

în care se ia / - v. (8.7- 3) -/: ( ) ( ) ( )[ ]ExlxllsP −γγ+−νν= chsh , ( ) lllsR νγ+νν= chsh şi ( ) ( ) 2ututf == (tensiunea instantanee la ieşirea din linie) rezultă (ştiindu-se că LCs=ν ):

( ) ( ) ( ) LClllllssRsR νγ+νν+ν== shchshd/d' , astfel că originalul ecuaţiei (8.7- 3) este - conform dezvoltării (9.56):

( ) ( )( )

νγ+νν+ν−νγ+−νν

+= ∑∞+

−∞=k

ts

kkkkk

kkk k

llllLClsxlxllEu e

shchshchsh1 .

Ţinându-se seama că: kkl β=ν j , LClLCl

ls kkk

β=

ν= j , soluţia de mai sus poate fi scrisă

în forma:

Page 118: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

546

(8.7- 6). ( ) ( )

βγ+ββ+ββ

γ+

−ββ

+== ∑∞+

∞−

β tLCl

kkkkk

kk klxl

lxl

Extuuj

esincossin

cossin1, .

Din a doua ecuaţia (8.7- 5) se obţine: kkk βββ=γ cos/sin , care introdusă în expresia (8.7- 6), conduce - după transformările de rigoare - la :

(8.7- 7)

β+β

β−= ∑

∞+

−∞=

β

k

tLCl

kk

k k

lx

Euj

e2sin2

sin21 .

Pentru că însumarea în raport cu valorile negative ale lui kβ (valori negative ale lui k ) se poate înlocui cu o însumare în raport cu valorile pozitive ale lui kβ , relaţia (8.7- 7), în care se schimbă semnul lui kβ (se presupune că rădăcinile sunt astfel numerotate încât valorilor pozitive k le corespund rădăcinile pozitive kβ , deoarece creşterii rădăcinii îi corespunde creşterea lui k ), relaţia (8.7 -7) devine:

(8.7- 8)

β

β+β

β−= ∑

=1

cos2sin2

sin41

k

k

kk

k

tLCl

lx

Eu ,

care constituie soluţia problemei propuse de aplicaţia 8.7 (v. fig. 8.7-1), adică tensiunea instantanee în lungul liniei, deci ( )xtu , , dacă se cunosc rădăcinile kβ ale ecuaţiei (8.7- 5). Considerându-se, pentru exemplificarea numerică, faptul că linia bifilară fără pierderi este un cablu coaxial de antenă TV cu datele: - lungimea ml 160= , - capacitatea specifică 2nF/m=C , - inductiviatea specifică mL /nH2= , - produsul 899 10.810.2.10.2160 −−− ==LCl , - capacitatea de la ieşire F12 µ=C şi - tensiunea continuă ce va fi aplicată brusc (de tip semnal treaptă) la intrare V6=E , se cere să se reprezinte, pe baza soluţiei (8.7- 8), forma de undă a tensiunii la ieşire ( )lxtu =, şi la jumătatea cablului ( )2/, lxtu = .

În această situaţie, 32,010.1/160.10.2/ 6921 ===γ −−CC

D

, iar problema ce trebuie rezolvată -considerându-se numai primii patru termeni ai sumei din expresie (8.7 - 8)- este : (8.7-5') 0sincos32,0 =ββ−β

(8.7- 6') ( )

2/

4

1810.8

cos2sin2

sin416

lxlx

k

k

kk

k

tlx

tu

==

=−

β

β+β

β−= ∑

Problema (8.7 -5'), (8.7- 6') a fost rezolvată în două etape: - printr-o subrutină MATHCAD pentru rezolvarea ecuaţiilor transcendente (cu un algoritm

destinat ecuaţiilor trigonometrice) a fost rezolvată ecuaţia (8.7-5'). Din mulţimea, teoretic infinită,

Page 119: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

547

a soluţiilor acestei ecuaţii pentru coeficientul 32,0=γ , au fost reţinute practic numai patru şi anume: 334,6;240,3;538,0 321 =β=β=β şi 32,0459,94 =γ⇐=β . Au fost determinate mai multe soluţii ( ;592,125 =β ;728,156 =β ;...867,187 =β ) dar valorile lor nu mai sunt semnificative pentru evaluarea expresiei (8.7-6');

- printr-un simplu program MATLAB ce conţine o instrucţiune de evaluare a funcţiei (8.7-6') –în care au fost introduşi coeficienţii 1β , 2β , 3β şi 4β calculaţi anterior– şi o instruciune de trasare grafică (program care a fost aplicat de două ori, o dată pentru lx = şi a doua oară pentru

2/lx = ) s-au obţinut graficele din figura 8.7-2, cu: a reprezentând funcţia ( )tu la sfârşitul liniei ( lx = ) şi b cu forma lui ( )tu la mijlocul liniei (pentru 2/lx = ).

Aplicaţia 8.8. Să se determine forma curentului ( )ti dintr-un circuit R , L serie alimentat de la o sursă cu t.e.m. în formă de dinţi de ferăstrău (fig. 8.8 -1). Tensiunea electromotoare din acest circuit are forma unor impulsuri triunghiulare periodice. Fie T perioada t.e.m şi E valoarea maximă pe care o atinge e ; atunci, în intervalul

Tt <<0 , t.e.m are forma unei funcţii rampă, adică:

( ) TtfEttTEte <<⇐== 0

( ) ( ) ( )TttteTte ,∉⇐=+ , unde Tf /1= este frecvenţa de repetiţie a t.e.m. În regim permanent, curentul din acest circuit ( )ti este de asemenea periodic şi se poate determina utilizând transformata Laplace: ( ) ( ) ( )sZsEsI /= , (8.8- 1) în care: ( ) sLRsZ += este impedanţa operaţională a circuitului R , L serie (v. subcap. 8.4), iar transformata Laplace a t.e.m. ( ) ( )[ ]teLsE = este dată de:

( ) ( )∫

−−== −−−

TsTsTst

sTsEtte

TEsE

0

ee11d .

Atunci, transformata Laplace a curentului (8.8 -1) are expresia:

a b

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1-2

0

2

4

6

8

10

12

14

t[s]

u[V]

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1-2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

t [s]

u[V]

Fig. 8.7-2

Fig. 8.8-1

Page 120: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

548

(8.8- 2) ( ) ( )sLR

sTTs

EsIsTsT

+−−

=−− ee1

2 .

Acum singura problemă care se mai pune este găsirea originalului ( )[ ]sILti 1)( −= . Dar, folosindu-se transformarea Mellin-Fourier (v. § 9.1.4) scrisă, aici, sub forma:

(8.8- 3) ( ) ( ) ( )( )( )∫ ∫

Γ Γ−

−−

− −+−−

π=

−π= s

sLRssT

TEssIti st

sT

sTsTst

sT dee1ee1

j2de

e1j21

2 ,

unde Γ desemnează un contur de integrare în planul complex al frecvenţelor, el trebuie astfel ales încât punctele singulare ale lui ( )sI să se afle în afara domeniului (în "stânga" liniei Γ ). Pentru simplificarea integrării, se "desparte" integrala (8.8-3) în două părţi, notate cu 1S şi 2S :

( )∫Γ +π

= ssLRs

S stde1j2

121

(8.8- 4) ( )( )∫Γ

=−+π

= ssLRs

S stsT

sT

dee1

ej2

12

( )( )∫Γ

−+π= s

sLRs sT

Tts

de1

ej2

1 )(

,

astfel că:

(8.8-5) ( )

−= 2

1 STSEti .

Integrala 1S se poate calcula cu teorema reziduului, deoarece în interiorul conturului de integrare Γ există numai un singur punct singular 0=s (adică un pol de ordinul al doilea). Se obţine:

( )111 −α

α= t

RS ,

unde LR /=α (reprezentând o atenuare a circuitului R , L serie). Integrala 2S , ţinându-se seama de particularităţile ei, este:

T

t

LS α−

α−

−α−=

e1e1

2 .

Atunci soluţia problemei, adică expresia originalului curentului electric ( )ti este, înlocuindu-se 1S şi 2S în (8.8 -5):

(8.8- 6) ( )

( )TtTT

tREtii T

t

,0e1

e1

∈⇒

−==α−

α−

.

Luându-se, ca exemplu numeric, pentru circuitul din figura 8.8- 1: Ω= 50R , mH50=L ,

V5=E şi s10s10 5 µ== −T , pentru care 13 s100010.50/50 −− ==α , un simplu program

MATLAB, de evaluare a expresiei (8.8- 6), cu aceste date, şi de reprezentare grafică a lui ( )ti a dus la forma de undă redată în figura 8.8 -2.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 104.995

5

5.005

5.01

t [microsecunde]

i [A

] *10

0

Fig. 8.8-2

Page 121: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

549

8.9.5. Calculul circuitelor electrice neliniare şi parametrice După cum se ştie, se numesc circuite neliniare acele circuite electrice al căror răspuns y este o funcţie neliniară a semnalului x – ca, de exemplu 2axy = sau ( )xxay = etc. –şi care –mai general definite– nu satisfac teoremele de superpoziţie, adică ( )11 xfy = şi ( )22 xfy = dau

( )2121 xxfyy +≠+ . În cazul circuitelor electrice neliniare, parametrii lor sunt descrişi de caracteristicile ( )xfy = , de exemplu tensiune - curent. Tot din categoria circuitelor electrice neliniare fac parte şi aşa- numitele circuite parametrice. Se numesc circuite parametrice (cu parametri variabili în timp) acele circuite electrice ai căror parametri variază datorită unor cauze exterioare, altele decât semnalul de excitaţie. Variaţia parametrilor este descrisă prin funcţii de timp. Totuşi, în cazul circuitelor parametrice, proprietăţile de omogenitate şi aditivitate sunt valabile, ceea ce ar permite să se considere o asemănare a acestor circuite cu circuitele liniare. Dar, pe de altă parte, răspunsul circuitelor parametrice are o formă de undă diferită de aceea a semnalului de excitaţie, datorită caracterului variabil în timp al parametrilor, astfel că –din punctul acesta de vedere– circuitele parametrice se apropie de comportarea circuitelor electrice neliniare. La un circuit electric neliniar, când semnalul (de excitaţie) rezultă din însumarea a două semnale sinusoidale, în spectrul răspunsului apar, în afara armonicelor celor două semnale, şi alte armonice rezultate din neliniaritatea parametrilor (numite armonice de combinaţie), pulsaţiile lor rezultând din suma şi diferenţa pulsaţiilor celor două semnale de excitaţie. Astfel, dacă cele două semnale au pulsaţiile 1ω şi 2ω , răspunsul are pulsaţia ω ce rezultă din combinaţia: 21 ω±ω±=ω qp , nqp ,...,2,1,0, = , spunându-se că răspunsul a suferit distorsiuni de neliniaritate. La circuitele parametrice, când semnalul de excitaţie rezultă din suma a două semnale sinusoidale, răspunsul acestor circuite nu are armonice de combinaţie ale semnalelor ca cele date de relaţia precedentă. În schimb apar –în semnalul răspuns– alt tip de armonice de combinaţie ale căror pulsaţii rezultă din suma şi diferenţa pulsaţiilor semnalelor (de excitaţie) la care se adaugă şi componentele sinusoidale ale parametrilor de circuit, deoarece ele variază periodic în timp. Din punctul acesta de vedere, apare diferenţa esenţială - calitativă dintre circuitele electrice parametrice şi circuitele electrice neliniare. Aplicaţia 8.9. Să se calculeze curenţii din laturile unei punţi electrice stabilizatoare (fig. 8.9 -1) ce conţine două rezistoare neliniare identice.

Cele două rezistoare neliniare identice, 3 şi 4, sunt conectate în două braţe (laturi) ale punţii opuse (v. fig. 8.9- 1), în celelalte două laturi aflându-se două rezistoare liniare identice (1 şi 2), având rezistenţele Ω=== 521 RRR . Diagonala de măsurat are o rezistenţă liniară cu valoarea

Ω= 8NR , iar pe diagonala de alimentare se aplică o tensiune continuă V10=U . Caracteristica tensiune - curent (denumită şi "volt-amper") ale rezistoarelor neliniare (3 şi 4) este indicată grefic în figura 8.9-2.

În acest caz, semnalul (de excitaţie) este reprezentat de tensiunea U de pe diagonala de alimentare, iar răspunsul îl constituie mulţimea curenţilor electrici din laturi - adică

54321 ,,,, IIIIII = (v. fig. 8.9-1). Cu ajutorul teoremelor lui Kirchhoff se obţine următorul sistem de ecuaţii:

0541 =−− III la nodul c ,

05311 =+− IRIRIR Nn pentru ochiul a-c-b-a, (8.9- 1)

UIRIR n =+ 4411 pentru ochiul a-c-b-U-a,

Page 122: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

550

în care ultimile două ecuaţii sunt neliniare (datorită rezistenţelor 3nR şi 4nR ) şi în care - din motive de simetrie - : 21 II = şi 43 II = . (8.9- 2) Pentru rezistoarele neliniare nR se are în vedere că: ( )333 IRR nn = şi ( )444 IRR nn = , (8.9- 3) conform graficului din figura 8.9 -2. astfel, pentru un punct M de pe grafic: MMM IUR /= .

Alegându-se valori arbitrare pentru rezistenţele statice 3nR şi 4nR se determină –cu ajutorul sistemului (8.9-1), (8.9-2)– curenţii 1I , 3I şi 5I . Apoi cu ajutorul relaţiilor (8.9-3) - sau a graficului din figura 8.9-2 (care poate fi introdus în sistemul de calcul automat prin scanare)- rezultă noi valori (corectate) ale rezistenţelor statice 3nR şi 4nR . Cu aceste noi valori, o a doua rezolvare a sistemului (8.9-1), (8.9-2), conduce la noi valori ale curenţilor, care - prin (8.9-3) sau graficul din figura 8.9-2 – determină o a doua corecţie pentru rezistenţele neliniare statice nR ş.a.m.d. Procedeul se repetă până când valorile corecţiilor rezistenţelor, adică: ( )1−∆−∆=∆ knnn RRR

k ,...,2,1=k

unde k este numărul iteraţiei, devin mai mici decât o corecţie maximă admisă (de exemplu Ω=∆ 1,0nR ).

Rezultatele obţinute printr-o procedură iterativă MATHCAD (cu listarea valorilor rezultate după fiecare iteraţie) sunt:

Iteraţia K

Rn3=Rn4 [Ω]

I1=I2 [A]

I3=I4 [A]

I5 [A]

U5=Ucd [V]

1 10 0,818 0,590 0,228 1,816 2 12,7 0,770 0,483 0,287 2,296 3 14,8 0,774 0,423 0,321 2,568 4 16,1 0,730 0,393 0,337 2,696 5 16,5 0,726 0,386 0,340 2,720 6 16,6 0,725 0,385 0,340 2.720

din care rezultă că soluţia s-a obţinut după numai şase iteraţi (când Ω=− 1,056 nn RR ), fiind

A725,021 == II ; A385,043 == II şi A34,05 =I . Aplicaţia 8.10. Conversia energiei cu ajutorul circuitelor parametrice cuplate magnetic aflate în regim electrocinetic sinusoidal (fig. 8.10-1).

Fig. 8.9 -1 Fig. 8.9 -2

Page 123: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

551

Circuitul din această figură are ca parametri (variabili în timp) inductivităţile proprii ( 1L şi 2L ) şi inductivitatea mutuală ( M ). În cazul acestei aplicaţii se urmăreşte determinarea expresiei generale a energiei cedate şi absorbite de circuit, atunci când energia câmpului electromagnetic poate fi convertită (transformată) în energie calorică şi mecanică. Aplicându-se legea conducţiei electrice circuitului din figura 8.10-1, cu sensurile de referinţă indicate pe schemă, rezultă:

( ) ( )211111 dd

dd Mi

tiL

tiRu ++=

şi (8.10-1)

( ) ( )122222 dd

dd Mi

tiL

tiRu ++= ,

în care: 1R , 2R , 1L , 2L şi M sunt parametrii circuitului, 1u , 2u – valorile instantanee ale tensiunilor la borne şi 1i , 2i – valorile instantanee ale curenţilor electrici din cele două laturi cuplate magnetic. Înmulţindu-se cele două egalităţi (8.10-1), în ambii membrii, prima cu 1i şi a doua cu 2i , se obţine –prin însumare– puterea instantanee schimbată de circuit, pe la borne, cu exteriorul:

( )

( ) ( ) ( ).dd

dd

dd

dd

1221222

111222

211212211

Mit

iMit

iiLt

i

iLt

iiRiRppiuiup

+++

+++=+=+= (8.10- 2)

Deoarece parametrii 1L , 2L şi M sunt funcţii de timp, termenii ce conţin derivate în raport

cu timpul din expresie (8.10-2) se pot dezvolta astfel:

( )

,21

dd

dd

21

dd

21

21

dd

dd

dd

dd

dd

211

121

121

211

121

11

111111

+=

=−

+=

=

+=

iLtt

Li

tL

iiLtt

Li

ti

Lt

LiiiL

ti

(8.10- 3)

Fig. 8.10-1

Page 124: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

552

( ) ,21

dd

dd

21

dd 2

2222

2222

+= iL

ttLiiL

ti (8.10- 4)

(8.10- 5) ( ) ( ) ( ),dd

dd

dd

dd

dd

dd

1221212

2121 Mit

iiMitt

Miiti

Mt

MiiMit

i −+=

+=

(8.10- 6) ( ) ( ) ( ).dd

dd

dd

dd

21212112 Mit

iiMitt

MiiMit

i −+=

Prin introducerea expresiilor (8.10-3)...(8.10-6) în relaţia (8.10-2), ea devine:

(8.10- 7) ,21

21

dd

dd

dd

21

dd

21

21222

21121

222

121

222

211

+++++++= iMiiLiL

ttMii

tL

it

LiiRiRp

astfel că energia schimbată de circuit, pe la borne, cu exteriorul este:

(8.10- 8) ( )

( ) ( ) tt

tt

iMiiLiLtMiiLiLi

tiRiRtpW

021222

211

0212

221

21

0

222

211

0

221d2dd

21

dd

++++++

++==

∫∫

Se consideră că:

( ),cos2 1111 α+ω= tIi ( )2222 cos2 α+ω= tIi , (8.10- 9) ( )[ ]111011 sin1 γ+Ω+= tmLL , ( )[ ]222022 sin1 γ+Ω+= tmLL , ( )[ ]γ+Ω+= tmMM sin10

şi admiţându-se că timpul t este un multiplu al perioadelor acestor mărimi electrice ( 1i şi 2i ) şi parametri de circuit ( 1L , 2L şi M ), se pot face câteva comentarii importante referitoare la expresia energiei W , din membrul drept al egalităţii (8.10 -8): - primul termen creşte cu timpul si reprezintă energia electromagnetică transformată ireversibil în căldură prin efectul electrocaloric al electrocineticii; - al doilea termen poate constitui, în anumite condiţii, o mărime crescătoare în timp ce reprezintă energia care se poate transforma în lucru mecanic (dacă cele două circuite se pot deplasa, unul în raport cu celălalt); - al treilea termen reprezintă energia câmpului magnetic (din miezul bobinelor) care oscilează (fluctuează) periodic în timp. Determinarea condiţiilor în care se poate produce conversia energiei electromagnetice în lucru mecanic este posibilă în urma efectuării integralelor din al doilea termen al expresiei (8.10-8). Astfel fie:

(8.10- 10) ( ) ( )∫∫ γ+Ωα+ωΩ==tt

tttmLILiW0

11112

11012

10

1211 ,dcoscosd

21

în care s-a ţinut seama de relaţiile (8.10-9). După efectuarea operaţiilor se obţine:

Page 125: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

553

( ) ( )

.d]2)2cos[(21d]2

2[cos21dcos

0111111

1100

1111012

11

γ−α+Ω−ω+γ+α+

+Ω+ω

+γ+ΩΩ=

∫∫t

tt

ttt

tttmLIW

. (8.10- 11)

Din analiza acestei expresii (8.10-11) rezultă că singura componentă care poate creşte cu timpul este al treilea termen numai în cazul îndeplinirii condiţiei: 112 Ω=ω . (8.10- 11) După cum se va arăta la Maşini electrice, o astfel de condiţie (8.10-11) poate fi satisfăcută în cazul maşinilor electrice cu poli aparenţi la care conversia energiei electromagnetice în lucru mecanic are loc chiar dacă există un singur circuit (din cele două) în regim electrocinetic (sub curent). Există motoare sincrone rotative (sau chiar şi cu maşina de translaţie alternativă - motoare liniare) care au o singură înfăşurare a cărei inductivitate variază după forma exprimată de a treia ecuaţie din (8.10-9). O astfel de situaţie poate fi realizată prin deformarea alternativă a circuitului magnetic al unui electromagnet. Conversia inversă, a lucrului mecanic în energie electromagnetică este de asemenea posibilă în regim de autoexcitaţie parametrică, condiţia de conversie optimă fiind dată tot de relaţia (8.10-11), cu 11 2ω≥Ω . La condiţii similare conduce şi analiza expresiei:

∫=t

LiW0

2222 d

21 . (8.10- 13)

În sfârşit termenul din (8.10-7):

( ) ( ) ( ) ,dcoscoscos2d0

22112100

21 ttttmIIMMiiWtt

M γ+Ωα+ωα+ωΩ== ∫∫ (8.10- 14)

unde s-a ţinut seama de ecuaţiile (8.10-9), poate fi scris sub forma echivalentă:

( )[ ] +γ+α+α+Ω+ω+ωΩ= ∫ ttmIIMWt

M dcos0

2121210

( )[ ] +γ−α+α+Ω−ω+ω+ ∫ ttt

dcos0

2121

( )[ ] +γ+α−α+Ω+ω−ω+ ∫ ttt

dcos0

2121

( )[ ] ,dcos0

2121 ttt

∫ γ−α−α+Ω−ω−ω+ (8.10- 15)

unde ultimele trei integrale din membrul drept pot reprezenta energie crescătoare în timp dacă sunt îndeplinite condiţiile:

Page 126: Electrotehnica - CAPITOLUL 8

554

021 =Ω−ω+ω ; 021 =Ω+ω−ω şi 021 =Ω−ω−ω , (8.10- 16) adică pulsaţia variaţiei sinusoidale în timp a inductivităţii mutuale este, faţă de pulsaţiile curenţilor: (8.10- 17) 21 ω±ω±=Ω . De asemenea, expresia (8.10-15) mai arată că mărimea enrgiei convertite depinde de fazele iniţiale ( 1α , 2α şi 1γ , 2γ , γ ) ale semnalelor (curenţilor) şi parametrilor. Relaţia (8.10-16) sau (8.10-17) indică posibilitatea conversiei energiei numai în cazul în care pulsaţia parametrului (Ω ) este egală cu suma sau diferenţa pulsaţiilor celor doi curenţi ( 1ω şi

2ω ). Dacă ω=ω=ω 21 şi ω=Ω 2 , maşina poate funcţiona ca motor şi generator sincron. În cazul

21 ω≠ω şi 21 ω−ω=Ω sau 12 ω−ω=Ω maşina este capabilă să funcţioneze ca motor sau generator asincron. În particular, dacă 01 =ω (sau 02 =ω ) adică unul dintre curenţi este continuu,

1ω=Ω (sau 2ω=Ω ), maşina funcţionând ca generator sau motor sincron.