Dvopolni elementiZdružena referentna usmjerenja

Zadovoljena referentna usmjerenja Nezadovoljena referentna usmjerenja

Otp

or Sim

bol

I i (t )=u(t )R

i (t )=−u( t)R

U u (t )=R ∙i(t ) u (t )=−R ∙i(t )

Kapa

cite

t Sim

bol

I i (t )=C du(t)dt

i (t )=−Cdu(t)dt

U u (t )= 1C∫−∞

t

i ( τ )dτ=uc (0 )+ 1C∫0

t

i (τ )dτ u (t )=−1C

∫−∞

t

i (τ )dτ=−uc (0 )− 1C∫0

t

i (τ )dτ

Indu

ktivi

tet Si

mbo

lI i (t )= 1

L∫−∞

t

u (τ )dτ=iL (0 )+ 1L∫o

t

u (τ )dτ i (t )=−1L

∫−∞

t

u (τ )dτ=−iL (0 )−1L∫o

t

u ( τ )dτ

U u (t )=L di(t )dt

u (t )=−Ldi(t )dt

Lapl

aceo

va

tran

sfor

mac

ija

kapa

cite

ta

U (s )= 1sC

I ( s)+uc (0 )s

I ( s )=sCU ( s )−Cuc (0)

Lapl

aceo

va

tran

sfor

mac

ija

indu

ktivi

teta

I ( s )= 1sLU ( s )+

iL (0 )s

U (s )=sLI (s )−L iL(0)

Impedancija kapaciteta: ZC=1sC

Impedancija induktiviteta: ZL=sL

Četveropolni elementiElement Definicijske jednadžbe

Tran

sfor

mat

or

Točk

ice

na is

toj

stra

niu1 ( t )=L1

d i1dt

+Mdi2dt

u2 ( t )=L2d i2dt

+Mdi1dt

Točk

ice

na

supr

otni

m s

tran

ama

u1 ( t )=L1d i1dt

−Md i2dt

u2 ( t )=L2d i2dt

−Md i1dt

Preznak M određen položajem točkica

Ponekad umjesto međuinduktiviteta zadan koeficijent veze: k=M

√L1L2 k po apsolutnom iznosu uvijek manji od jedinice: 0<|k|<1 transformator s k=1 naziva se perfektni transformator

Idea

lni t

rans

form

ator

Točk

ice

na is

toj

stra

ni

u1 ( t )=n ∙u2( t)

i1 ( t )=−1ni2(t)

Točk

ice

na

supr

otni

m s

tran

ama

u1 (t )=−n ∙u2( t)

i1 (t )=1ni2(t)

n – omjer transformacije

Gira

tor

-

u1 (t )=r ∙ i2(t)

u2 (t )=−r ∙i1(t)

r – pozitivna i realna konstanta koja ima dimenziju Ω

Neg

ativn

i ko

nver

ter u1 (t )=k1 ∙u2(t )

i2 ( t )=k2∙ i1( t)

k=k1 ∙ k2

k – omjer konverzije, realna konstanta

Element ModelO

pera

cijs

ko p

ojač

alo

Definicijske jednadžbe:u3=A ∙(u2−u1)i2=i1=0A→∞

Za potrebe analize – ulazne stezaljke su na istom potencijalu (prividni kratki spoj) Ulazi imaju beskonačan otpor – ulazne struje jednake nuli

Strm

insk

o po

jača

lo

Definicijski jednadžbe:i3=gm ∙(u2−u1)

i2=i1=0 Za potrebe analize – ulazni i izlazni otpor beskonačan (ulazne struje jednake nuli) gm konstanta koja ima dimenziju Siemensa i naziva se strminom

Stru

jni p

rijen

osni

k (C

CII-C

urre

nt c

onve

yor)

Definicijske jednadžbe:ux=uy i y=0 iz=ix

y – naponski ulazni signal uy ; i y=0 z – strujni izlazni signal iz x – naponski izlazni signal ux ili strujni ulazni signal ix

Ope

raci

jsko

poj

ačal

o sa

str

ujno

m

povr

atno

m v

ezom

Definicijske jednadžbe:ux=uy i y=0 iz=ixu0=uz

y – naponski ulazni signal uy ; i y=0 z – strujni izlazni signal iz o – naponski izlazni signal u0 x – naponski izlazni signal ux ili strujni ulazni signal ix

Transformacija otpora važno svojstvo idealnog transformatora, giratora i negativnog konvertera jest transformacija otpora

Idea

lni t

rans

form

ator

Otpor RulT gledan sa priključnica 1-1' jednak je:

RulT=−n2u2i2

=n2 R

Gira

tor

RulG=u1i1

=−r2i2u2

= r2

R

Neg

ativn

i kon

vert

er

RulNK=u1i1

=k1k 2u2i2

=−k1 k2R

Primjeri mreža s operacijskim pojačalimaNaponski ovisni naponski izvor s negativnom konstantom pojačanja

uiz=−R2R1

uul

Naponski ovisni naponski izvor

uiz=(1+R A

RB)uul

Naponski ovisan strujni izvor

iiz=1R2uul

- uz ispunjen uvjetR1R4

=R2R3

Jedinično pojačalo (naponsko slijedilo)

uiz=1 ∙ uul

Girator

u1=R ∙ i2u2=−R ∙ i1

Strujno ovisni naponski izvor

u3=−R ∙ i1

Negativni konverter

k 1=1

k 2=RA

RBu1=k1 ∙ u2i2=k 2∙ i2

Transformacije izvorazadani ugi otpor R

ig=ugR

u Laplaceovoj domeni:

I g (s )=U g(s )R

zadani ig i otpor Rug ( t )=i g ∙ R

u Laplaceovoj domeniU g ( s )=I g(s)∙ R

zadani ugi kapacitet C

ig (t )=Cdug(t)dt

u Laplaceovoj domeni:I g (s )=U g(s)∙ sC

zadani ig i kapacitet C

ug ( t )= 1C∫0

t

ig (τ )dτ

u Laplaceovoj domeni:

U g ( s )=I g(s )sC

zadani ugi induktiv. L

ig (t )=1L∫0

t

ug (τ )dτ

u Laplaceovoj domeni

I g (s )=U g(s )sL

zadani igi induktiv. L

ug ( t )=Ld ig( t)dt

u Laplaceovoj domeniU g ( s )=I g(s)∙ sL

Primjer posmicanja izvoraPo

smic

anje

nap

onsk

og iz

vora

Posm

ican

je s

truj

nog

izvo

ra

Theveninov teorem

Napon UT naponskog izvora jednak je naponu na otvorenim priključnicama promatrane mreže. Impedancija ZT je jednaka impedanciji gledanoj sa prilaza mreže uz ugašene sve neovisne izvore (ovisni izvori

ostaju u krugu) i uz početne uvjete na kapacitetima i induktivitetima jednake nuli.

Nortonov teorem

Struja IN strujnog izvora jednaka je struji kroz kratko spojene priključnice promatrane mreže Admitancija YN je jednaka admitanciji gledanoj sa prilaza mreže uz ugašene sve neovisne izvore (ovisni izvori

ustaju u krugu) i uz početne uvjete na kapacitetima i induktivitetima jednake nuli.

Teorem superpozicije odziv mreže koji je posljedica istovremenog djelovanja svih nezavisnih izvora, jednak je sumi prislnih odziva

koje bi prouzrokovao svaki nezavisni izvor sam za sebe, ako bi djelovao u mreži za to vrijeme. (Drugim riječima, zaredom izjednačujemo s nulom sve nezavisne izvore osim jednoga; zavisni izvori ostaju upaljeni).

Laplaceova transformacija L (f ( t ) )=∫0

∞

e− st f ( t )dt

Transformacija pariodične f-je s periodom T: F ( s )= 11−e−sT

∫0

T

e−st f (t )dt

Teorem o konvoluciji: ( f 1∗f 2 ) ( t )≔∫0

t

f ( τ ) ∙ f ( t−τ )dτ→F1(s) ∙F2(s )

Tablica Laplaceovih transformacija1→

1s f ( t−a ) ∙ s ( t−a )→e−asF (s)

t→1

s2f ' (t )→sF ( s)− f (0)

t n→n!

sn+1f (n ) (t )→snF (s )−sn−1 f (0 )−s(n−2 ) f ' (0 )…−f (0)

sinωt→ω

s2+ω2(−t ) ∙ f (t )→F' (s )

cosωt→s

s2+ω2(−t )n ∙ f (t )→F (n )(s)

eat→1s−a t n ∙ f ( t )→ (−1 )n ∙F (n )(s )

δ (t )→1 f ( t )t→∫

s

∞

F (s )ds

δ (n ) ( t )→sn ∫0

t

f (τ )dτ→ F ( s)s

δ (t−a )→e−as f (a∙ t )→ 1a∙ F( s

a)

e−at→F (s+a)