ELEKTRİK DEVRE TEMELLERİ - yildiz.edu.trayten/edt2011_bolum1.pdf · verilen uçtan uca ölçme yöntemine göre bu elemanın dört bağlantı noktası (uç) arasında altı adet

ELEKTRİK DEVRE TEMELLERİ

1.BÖLÜM: FİZİKSEL SİSTEMLER

Sistem Nedir?

Birbirleriyle ilişkide olan elemanlar topluluğuna sistem denir.

Başlıca Fiziksel Sistemler:

•Mekanik Sistemler

•Hidrolik Sistemler

•Termik Sistemler

•Elektriksel Sistemler

Sistem Teorisinin Kurulması

Bir matematiksel teori;•Tanımlanmamış Terimler•Aksiyomlar(Postulalar)•Tanımlanmış Büyüklükler•Teoremlerdenoluşur.

Aksiyom: Doğru olduğu kabul edilen ve ispatlanamayan önermelerdir.


Sistem teorisininin aksiyomlarını belirlerken dikkat edilecek hususlar;•Ortaya koyulan aksiyomların minimum sayıda olması.•Birbirleriyle çelişmemesidir.

Fiziksel evrene uygulanabilen teorilerin aksiyomları Fizik Yasalarıdır.

Bu yasaların bulunması için ise gözlem ve ölçü yapılması gereklidir. Yapılan bu gözlem ve ölçüler fiziksel evrenle matematiksel teori arasında bir köprü görevi yaparlar.

Sistem Teorisinin KurulmasıFiziksel Sistemlerde Ölçme

Mekanik sistemlerde Kuvvet ve HızElektriksel sistemlerde Akım ve GerilimHidrolik sistemlerde Debi ve BasınçTermik sistemlerde Isının akış hızı ve Sıcaklık

Ölçmeler sonucunda bu sistemlerde geçerli olan yasalar elde edilmiştir. Deney ve ölçüler sonucu bulunan KirchoffYasaları bunlara en belirgin örnektir. Bu yasalar öncelikle elektriksel sistemler için ortaya atılmış olmalarına karşın öteki fiziksel sistemler için de geçerlidirler.


Fiziksel büyüklüklerin matematiksel olarak tanımlanması ancak başka fiziksel büyüklüklerin cinsinden yapılabilir. Başka birinin cinsinden tanımlamanın ise sonu yoktur.

Minimum sayıda fiziksel büyüklüğü matematiksel tanımı olmadan kullanmak gerekir. Aksiyomatik bir matematiksel teoride bunlara tanımlanmamış büyüklükler denmektedir.

Böyle bir teoride tanımlanmamış olarak seçilecek büyüklükler aksiyomların içerdikleri terimlerdir.

Kirchoff yasaları sistem teorisinde Kirchoff Aksiyomlarıolarak, akım ve gerilim büyüklükleri de bu teorinin tanımlanmamış terimleri olarak alınmıştır.

Sistemin içindeki her bir elemanın bağlantı uçlarından görülen davranışları (özellikleri) de belirlenmelidir. Bunlar da tanımlanmamış büyüklükler cinsinden verilen denklemlerdir. Bu denklemlere Elemanların Uçsal Matematiksel Modelleri denir.

Öyleyse, bir sistemin matematiksel modelinin elde edilebilmesi için;

1. Sistem içindeki elemanların bağlantılarının matematiksel modeli

2. Elemanların matematiksel modelleriverilmeleridir.

Bir Sistemin Matematiksel Modeli

İşlemsel (operasyonel) Tanım

Fiziksel evren ile teori arasındaki köprü akım ve gerilimin işlemsel olarak tanımlanması ile kurulur. Teoriyi fiziksel evrene bağlamak için tanımlanmamış terimlerin fiziksel sistemde hangi büyüklüklere karşı düştüğünün ve bunların fiziksel sistemde ne şekilde ölçüldüğünün belirlenmesine İşlemsel (operasyonel)Tanım denir.

Fiziksel sistemde en basit yoldan ölçülebilen büyüklükleri teoride tanımlanmamış terim olarak alacağız. En basit yoldan yapılabilen ölçmeler ise iki türlüdür:

1. İçten (seri) ölçme2. Uçtan uca (paralel) ölçme.

İçten ölçme sonucunda elde edilen büyüklüğe İçdeğişken,

Uçtan uca yapılan ölçme sonucunda elde edilene ise Uçdeğişken denir.

Fiziksel sistemlerde ölçü yaparken, ölçü aletinin sisteme bağlanmasının hiçbir şekilde sisteme etkimeyeceğini yani sistemin davranışını değiştirmeyeceğini varsaymaktayız.

İçdeğişken ve Uçdeğişken Ölçer Uç Referansları

İçdeğişken (akım, kuvvet, akışkanın akış hızı, ısının akış hızı ) ve uçdeğişken (gerilim, hız, basınç, sıcaklık) ölçen ölçü aletleri iki uçlu olup devreye bu uçlarından bağlanırlar.

y

x

Ölçü Aletinin Uç Referansı

y

İçdeğişken Ölçer Uç Referansının Anlamı: Bir içdeğişken ölçer t=t1 anında (+) yönde saparsa;

• İçdeğişkenin o andaki değeri olan y(t1)’in (+) değerli yani y(t1)>0 olduğu

• Ölçülen y(t) içdeğişkenin t1 anındaki yönünün simgeli uçtan öteki uca doğru olduğu varsayılır.

Uçdeğişken Ölçer Uç Referansının Anlamı: Bir uçdeğişken ölçer t=t1 anında (+) yönde saparsa; •Uçdeğişkenin o andaki değeri olan x(t1)’in (+) değerli yani x(t1)>0 olduğu•Ölçülen x(t) uçdeğişkeninin t1 anındaki yönünün aletin simgesiyle uyumlu olduğu varsayılır.

x

Elektrik Sistemlerinde Kullanılan Ölçü Aletleri

Bir Fiziksel Sistemin Uyduğu Yasalar:

Kirchoff Yasaları

Sistemden çözüldükleri zaman sistemi iki parçaya ayıran her bir içdeğişken ölçer grubunu birer çizgiyle keselim. Bu şekilde sistemin iki parçaya ayrılmasına kesitleme denir.

Her bir kesitlemenin ayırdığı parçalardan birinden ötekine doğru keyfi bir kesitleme yönü seçilsin ve bu yön bir ok ile belirlensin.

Kirchoff İçdeğişkenler Yasası:

Herhangi bir sistemde k ıncı kesitleme için dır. Burada yi, k ıncıkesitlemeye giren içdeğişken ölçerlerin gösterdikleri değerlerdir. Kesitleme oku bir içdeğişken ölçerin simgeli ucundan giriyorsa denklemde ona ilişkin içdeğişkenin işareti (+), öteki ucundan giriyorsa (-) alınır. İlgili içdeğişken ölçer (+) yönde saparsa ’nin sayısal değeri (+), (-) yönde saparsa ’nin sayısal değeri (-) alınır.

0iy± =∑

1) y5+y8+y6=02) y1+y10-y5=03) y1+y3+y4+y7+y8=04) y7+y9=0

Kirchoff Uçdeğişkenler Yasası:

Bir sistemde bir bağlantı noktasından kalkıp başka bağlantı noktaları üzerinden yine aynı bağlantı noktasına gelindiğinde izlenen yola çevre diyoruz. Her bir çevre için keyfi bir yön seçelim ve bunu çevre içinde bir ok ile gösterelim.

Kirchoff Uçdeğişkenler Yasası: Herhangi bir sistemde k ıncıçevre için dır. Burada xi, k ıncı çevreye giren uçdeğişken ölçerlerin gösterdikleri değerlerdir. Çevre oku bir uçdeğişken ölçerin simgeli ucundan giriyorsa denklemde ona ilişkin uçdeğişkenin işareti (+), öteki ucundan giriyorsa (-) alınır. İlgili uçdeğişken ölçer (+) yönde saparsa xi’nin sayısal değeri (+), (-) yönde saparsa xi’nin sayısal değeri (-) alınır.

0ix± =∑

x1-x6-x4=0

x1-x2-x6=0

x1-x6-x5-x7=0

Sistemin Uçları İçin İçdeğişken ve Uçdeğişken Referansları

Kirchoff yasalarına göre ve uçdeğişken ile içdeğişken ölçerlerin referansları kullanılarak yazılan denklemlerin ölçü aletleri olmadan da yazılabilmesi için ölçü aletlerinin bağlandıkları uçlara bu aletlerin uç referanslarının yerini alacak simgelerin koyulması gerekir. Bunlar söz konusu uçlara ölçü aletlerinin ne şekilde bağlandıklarını bildiren simgelerdir. İçdeğişken ölçmeleri için ölçü aletinin bağlandığı uca, uçdeğişken ölçmeleri için ise her bir uç çiftine bir simge konur. Bu simgelere biz sırasıyla İçdeğişken Referansı ve UçdeğişkenReferansı diyoruz. İçdeğişken referansı içdeğişken ölçerin simgesinin, uçdeğişken referansı da uçdeğişken ölçerin simgesinin yerini alır.

İçdeğişken Referansı

y ( )y t

İçdeğişken referansının anlamı: Sistemin herbir içdeğişken ölçerin bağlandığı ucuna ve yönü ölçü aletinin simgeli ucundan öteki ucuna doğru olan bir ok konmuş olacağı için içdeğişken ölçerlerin devreye nasıl bağlanmış oldukları belirlenmiş olur. Dolaysıyla da aletler devreden çıkartılabilir ve Kirchoff içdeğişkenler yasasına göre yazılan denklemler bu kez içdeğişken referanslarına göre yazılabilir. Bu durumdaki tek fark, yi’lerin işaretlerini belirlerken kesitleme okunun aletlerin (+) simgeli ucundan girip girmediğine bakmak yerine kesitleme yönü ile içdeğişkenreferanslarının aynı yönde olup olmamasına bakmak gerektiğidir.

Elemanın, içdeğişken ölçerin bağlandığı ucuna ve yönü ölçü aletinin simgeli ucundan öteki ucuna doğru olan bir ok konur. Buna elemanın söz konusu ucu için içdeğişken referansı denir. Ölçü aletinin bağlanış şekli keyfi olduğuna göre bu okun yönü de keyfidir.

İçdeğişken referansının anlamı şudur:Bir sistemin herhangi bir elemanının bir ucuna bağlanmış olan bir içdeğişken ölçer t=t1 anında;

(+) yönde saparsa o anda elemanının söz konusu ucuna ilişkin içdeğişkenin yönünün içdeğişken referans okunun yönünde olduğu varsayılır ve içdeğişkenin sayısal değeri y(t1)>0 alınır.(-) yönde saparsa o anda elemanının söz konusu ucuna ilişkin içdeğişkenin yönünün içdeğişken referans okunun ters yönünde olduğu varsayılır ve içdeğişkenin sayısal değeri y(t1)<0 alınır.

Elemanın, uçdeğişken ölçerin (+) simgeli ucunun bağlandığı ucuna bir (+) simgesi konur (Şek.1.4(b)). Buna söz konusu uç çifti içinuçdeğişken referansı denir. Ölçü aletinin bağlanış şekli keyfi olduğuna göre (+) simgesinin konulacağı uç ta keyfidir.

x

Uçdeğişken referansı

Uçdeğişken referansının anlamı

Uçdeğişken referansının anlamı şudur: Bir sistemin herhangi bir elemanının iki ucuna bağlanmış olan bir uçdeğişken ölçer t=t1 anında;(+) yönde saparsa o anda söz konusu uç çiftine ilişkin uçdeğişkeninyönünün uçdeğişken referansıyla uyumlu olduğu varsayılır ve uçdeğişkenin sayısal değeri x(t1)>0 alınır.(-) yönde saparsa o anda söz konusu uç çiftine ilişkin uçdeğişkeninyönünün uçdeğişken referansıyla uyumsuz olduğu varsayılır ve uçdeğişkenin sayısal değeri x(t1)<0 alınır.

Çok Uçlu Fiziksel Elemanların Matematiksel Modelleri ve Uç Grafları

Buraya dek sistemdeki elemanların birbirlerine bağlantılarının tanımladığı matematiksel modeli gördük. Bu model içdeğişkenlerin ve uçdeğişkenlerin sağladıkları yasaların, elemanların bağlantı şekline göre matematiksel olarak ifade edilmesi sonucu elde edilen denklemler ile belirlenir. Sistemin matematiksel modelinin tam olarak belirlenebilmesi için elemanların uçsal matematiksel modellerinin de verilmesi gerekir. Bir Elemanın Uçsal Matematiksel Modelinin tanımı sonraki altbölümlerde verilecektir.

İki Uçlu Fiziksel Eleman

Şekil (a )’da iki uçlu eleman ve Şekil (b)’de iki uçlu bir elemanda yapılabilecek içdeğişken ölçmeleri gösterilmiştir. Şekil (c)’de ise aynı elemanda yapılabilecek uçdeğişken ölçmesi gösterilmiştir.

(a) (b)

(c) (d)

Şekil (d)’de gösterilen kesitleme yönü için Kirchhoff İçdeğişkenlerYasasına göre:

y1+y2=0 y1=-y2

İki uçlu bir elemanda yalnız bir içdeğişken ölçmesi yeterlidir. Böyle bir elemanın matematiksel modelini çıkartabilmek için biri içdeğişken, biri uçdeğişken olmak üzere iki büyüklük ölçmesi yapmak gereklidir ve yeter.

Burada ölçülen her x ve y değeri bir çift oluşturmaktadır bu çiftin değerlerine göre x ve y büyüklükleri arasındaki ilişki elde edilir. İşte iki uçlu bir elemana ilişkin içdeğişken y ile uçdeğişken x arasındaki matematiksel bağıntıya bu elemanın Matematiksel Modeli denir.

Bir elemanın Matematiksel Modeli

Sözkonusu matematiksel bağıntıyı yazabilmemiz için iki uçluya ilişkin içdeğişken ve uçdeğişken referans yönlerinin belirlenmiş olması gereklidir. Aşağıdaki şekilde birbirinden bağımsız olarak seçilen içdeğişken ve uçdeğişken referans yönlerinin ortaya çıkarttığı sekiz olası durum verilmiştir.

Uyumlu Referans Yön

Her iki uç içdeğişkenlerinin eşit olduğunu bildiğimize göre 8 durumdan yalnızca dördünün alınması yeterli olacaktır. Öte yandan, değişkenler için yönler keyfi seçilebildiğine göre, iç ve uç değişken için ayrı yönler seçileceği gibi, birinin referans yönünü ötekininkine bağlı olarak seçmekle bir kısıtlamaya gidilebilir. Örneğin, yukarıdaki durumlardan yalnızca uçdeğişken referans yönünü belirleyen (+) simgesinin içdeğişken referans yönünü belirleyen okun kuyruğunda olduğu durumları alabiliriz. Bu ise şekildeki durumlardan yalnızca (a) ve (h) dakilerin alınması demektir. İki uçlu elemana ilişkin değişkenlerin aslında keyfi olarak seçilebilen referans yönlerinin birbirlerine göre bu şekilde seçilmesine Uyumlu Referans Yönleri denir.

İki Uçlu Elemanın Uç Grafı

(+) simgesini kullanmadığımızı varsaydığımıza iki uçlu bir eleman için yapılan iki çeşit ölçmeden elde edilen (x,y) çiftine yönlü bir çizgi parçası karşı düşürelim.

,x y

,x y

Bu yönlü çizgi parçasına İki Uçlu Elemanın Uç Grafı denir.

İki Uçlu Fiziksel Elemanın MatmatikselModeli

Herhangi bir iki uçlu elemanın uçlarında oluşabilecek Değişken Çiftleri yalnızca bu eleman tarafından belirlenir. Bu çiftlere Elemanın Uçlarında Kabul Edebileceği Değişken Çiftleri denir. Bu çiftler elemanın iç yapısının belirlediği zorlamalara göre oluşur. Bu özellikteki çiftlerin tümünün oluşturduğu küme ikili bir matematiksel bağıntı ile tanımlanır. Şimdi bu belirleyici zorlamaları soyut olarak Zile gösterelim. Zorlamaların y ve x üzerindeki etkisi yZx ile gösterilsin. Matematiksel olarak Z, çiftlerinin tümü üzerinde tanımlanmış matematiksel bir ikili ilişkidir.

İki Uçlu Fiziksel Elemanın Matmatiksel Modeli: Z ikili bir bağıntı olduğuna göre iki uçlu bir eleman (’ın matematiksel modeli) bu elemanın uç grafıyla tanımlanan [x,y] çiftlerinin arasındaki ikili ilişkidir.

Burada hemen belirtilmesi gereken husus bu matematiksel ilişkinin en genel durumda y ve x’in değerlerini gösteren sayılardan oluşan bir tablo olabileceği gibi y ve x’in n’inci mertebeden türevlerini içeren lineer veya lineer olmayan bir bağıntı olabileceğidir.

[ ]{ },E x y x y= Z

İki Uçlu Elemanlarda Eşdeğerlik Kavramı

Çeşitli nedenlerle bir 2-uçlu eleman yerine iç yapısı farklı bir 2-uçlu elemanın kullanılması gerekebilir. Bu, ancak kullanılması yeğlenen eleman sisteme yerleştirildiğinde sistemdeki tüm uç ve iç-değişkenlerin değişmemesi, yani sistemin matematiksel modelinin aynı kalması durumunda mümkün olur. Bunun için de söz konusu ikiuçlu eleman ile yerini aldığı iki uçlu elemanın uçsal matematiksel modellerinin aynı olması gerekir. Uçsal matematiksel modelleri aynı olan 2-uçlulara Eşdeğer 2-Uçlular diyoruz.

Çok-Uçlu Fiziksel Eleman, Uç Grafı ve Sistem Teorisinin 1. Aksiyomu

Aşağıdaki şekildeki 3 elemanı, sisteme dört bağlantı noktasında bağlanmıştır. Böyle bir elemana Dört Uçlu Eleman denir. Şekil 2’deki y2, y6, y9, y10 ve içdeğişken ölçerleri bu elemanın sisteme bağlandığı uçlardaki içdeğişkenleri ölçmektedir. Ayrıca yukarıda verilen uçtan uca ölçme yöntemine göre bu elemanın dört bağlantı noktası (uç) arasında altı adet de uçdeğişken ölçmesi yapılabilir. Dört uçlu bir eleman için yapılabilecek uçdeğişken ölçmeleri de aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

'2y

'1y

'3y '

4y

+

+

+

+

1x+

2x+

3x+

4x+

5x

6x

+

+A

B

CD

Dört Uçlu Eleman

1

2

3

4

56

'3y

'2y

4'y

1'y

Şimdi basitleştirmek amacıyla her bir ölçü aletini ve dolaysıyla da ölçtüğü büyüklüğü yandaki şekildeki gibi bir yönlü çizgi parçasıyla simgeleyelim. Elemanın dört ucuna bağlanan çizgiler aynı zamanda bu elemanın sisteme bağlantılarını göstermekte ve elemanın uçları olarak adlandırılmaktadır. Bu çizgi parçalarının üstündeki yönler içdeğişken ölçerlerin uç referanslarını, de ölçtükleri içdeğişkenlerin değerlerini göstermektedir. Bu elemanın dört bağlantı noktasının (uç) oluşturduğu altı uç çifti için altı adet de uçdeğişken ölçmesi yapılabilir. Her bir uç çifti için yapılan uçdeğişken ölçümüne bir yönlü çizgi parçası karşı düşürelim. Çizgi parçalarının üzerindeki yönler, uçdeğişken ölçerlerin uç referanslarını göstermektedir.

' ' ' '1 2 3 4, , ve y y y y

Dört Uçlu Eleman

Dört Uçlu Eleman

Dört-uçlu elemanın uçlarından bir sisteme bağlı olduğunu düşünelim ve elemanı sistemden ayıran bir kesitleme alalım. Bu kesitleme için Kirchoff içdeğişkenler yasası ve alınan kesitleme yönüne göre

' ' ' '1 2 3 4 0y y y y+ + + =

yazılabilir. Öte yandan Kirchoff uçdeğişkenler yasasına göre de aşağıdaki şekilde gösterilen çevreler için;

Dört Uçlu Eleman

1

2

3

4

56

'3y

'2y

4'y

1'y

I

IIIIIyazılabilir. Bu denklemlereden

' ' ' '4 1 2 3y y y y= − − −

elde edilir.

0:III0 :II

0:I

621

532

4321

=−+=−+

=+++

xxxxxx

xxxx

216

325

3214

xxxxxx

xxxx

+=+=

−−−=

Dört Uçlu Eleman

Bu denklemlere göre içdeğişkenlerden biri ( ) geriye kalan üçü ( ); uçdeğişkenlerden üçü ( ) ise geri kalan üçü ( ) cinsinden ifade edilebilir. Yani yalnızca üç içdeğişken ( ) ile üç uçdeğişken( ) bağımsız olarak seçilebilir. Şimdi yalnızca uçdeğişkenölçmelerine ilişkin çizgi parçalarını çizelim.

'4y ' ' '

1 2 3, ,y y y

4 5 6, ,x x x 1 2 3, ,x x x' ' '1 2 3, ,y y y

1 2 3, ,x x x

1

2

3

4

56

31

2

Dört-Uçlu Elemanın Uçdeğişken Ölçmeler

Grafı

Dört Uçlunun Uç Grafı

Dört Uçlu Eleman

Şimdi de bağımlı uçdeğişkenlere ilişkin olan 4,5 ve 6 numaralı çizgi parçalarını bu graftan çıkartalım. Görüldüğü üzere bu şekilde elde edilen sağdaki şekildeki grafta çevre yoktur. Bunun nedeni ise bağımlı uçdeğişkenlere ilişkin graf elemanlarının her birinin bir çevre oluşturması ve graftan çıkartıldığında bu çevrenin yok olmasıdır. Demek ki, bu şekilde tanımlanan elemanlar graftan çıkartılarak çevre içermeyen bir graf elde edilebilir. Burada dikkat edilecek husus bu işlemlerin sonunda elde edilen grafın bağlantı noktalarının (uçların) tümünü içinde bulundurması ve birleşik olmasıdır. Soldaki şekilde verilen graftan bu yöntemle 16 adet graf elde edilebilir. Bu alt graflaraDört Uçlunun Uç Grafları denir. Uçgrafının eleman sayısının; uç sayısı-1=3 olacağını gösterebiliriz.

Dört Uçlu Eleman

Dört Uçlu Eleman

Yukarıdaki şekildeki her bir alt graf için bağımsız ve bağımlı uçdeğişken takımlarının farklı olacağı açıktır. Şimdi bunlardan birincisini ele alalım. Bu graftaki bağımsız uçdeğişkenler ile bağımsız içdeğişkenleri arasında dört uçlunun iç yapısının belirlediği bağıntılar dört uçluyu matematiksel olarak tanımlar.

1'y

1x

'3y4

'y

'2y

2x

3x

1 2 3, ,x x x' ' '1 2 3 , ,y y y

Şimdi bu alt grafınelemanlarına içdeğişkenlerini karşı düşürelim.

1 2 3, ve y y y

Dört Uçlu Eleman

1'y

1y

'3y4

'y

'2y

2y

3y

' ' '1 2 3, ,y y y 1 2 3, ,y y yiçdeğişkenleri cinsinden

'1 1'2 2'3 3

1 1 00 1 10 0 1

y yy yy y

⎡ ⎤ −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

şeklinde yazılabildiğinden, arasında yazılan bağıntılardan arasındaki bağıntılar elde edilebilir. Öyleyse dört uçlu arasındaki matematiksel bağıntılar ile de tanımlanabilir.

' ' '1 2 3 1 2 3, , ile , ,x x x y y y

1 2 3 1 2 3, , ile , ,x x x y y y

1 2 3 1 2 3, , ile , ,x x x y y y

Dört Uçlu Elemanın Matematiksel Modeli

Şimdi bu bağıntıların sayısının, uç sayısı-1=3 olacağını gösterebiliriz. Fiziksel olarak bu sistemde her t anında uçdeğişkenler ve içdeğişkenler belli değerler alacaktır. Matematiksel olarak bu değerleri bulmak sistemin çözümünü bulmak demektir. Bunun için ise sistem denklemlerinin içine dört uçlunun matematiksel modelinin yerleştirilmesi gerekir. Dört uçlu üç adet graf elemanı ile temsil edildiğine göre, dört uçlunun sistem içinde bulunması sistemin bilinmeyenlerine her bir graf elemanından bir çift olmak üzere altı adet daha bilinmeyen ekleyecektir. Bu bilinmeyenlerin çözülebilmesi için altı adet denklem gereklidir. 2. Bölümde görüleceği üzere her bir graf elemanı Kirchoff yasalarından biri ile belirlenen bağımsız bir denklem tanımlar. Dört uçlu bir eleman sistem içinde üç graf elemanı ile temsil edildiğinden Kirchoff yasalarına göre dört uçlu sistem denklemlerine üç adet bağımsız denklem ekler. Öyleyse denklem sisteminin çözülebilmesi için üç adet daha denklem gereklidir. Bu denklemler dört uçlunun uçdeğişkenleri ile içdeğişkenleri arasındaki matematiksel bağıntılardır. Denklem sisteminin çözülebilmesi dört uçlu için yazılan üç adet denklemin yeterli olduğunu gösterir. Bu ise dört uçlunun uç grafıyla tanımlanan üç içdeğişken ile üç uçdeğişken arasındaki üç matematiksel bağıntıyla tam olarak belirlendiğinigösterir. Bu bağıntılara Dört Uçlu Elemanın Matematiksel Modeli denir.

n-Uçlu Eleman

Tanım: Bir sistemde n adet bağlantı noktası ile öteki elemanlara bağlanabilen elemanlara n-Uçlu Eleman denir ve böyle bir eleman aşağıdaki şekilde verildiği gibi gösterilir.

n uçlueleman

1

2

3

4

5

n-1

n

n-Uçlu Elemanın Uç Grafı

Tanım: n tane noktayı birbirine birleştiren fakat hiçbir kapalı yol (çevre) oluşturmayan n-1 çizgi parçasından oluşan kümeye bu nnoktasının ağacı denir. Bu n nokta bir n-uçlu elemanın uçlarına karşı düşüyorsa, bu durumda elde edilen ağaca n-Uçlu Elemanın Uç Grafı denir.

Sistem Teorisinin 1. Aksiyomu

Dört uçlu için yapılanlara benzer irdelemeler n uçlu için de yapılabilir ve bir n uçlunun, uç grafındaki yönlü çizgi parçalarının karşı düştüğü n-1 bağımsız içdeğişken ile n-1 bağımsız uçdeğişken arasındaki n-1 bağıntıyla belirlenebileceği gösterilmeye çalışılabilir. Fakat dört uçlu için olduğu gibi bu irdelemelerin sonucunda böyle bir sonucu kanıtlamak mümkün değildir. Dolaysıyla bu irdelemeleri yapmak yerine bu önerme Sistem Teorisinin 1. Aksiyomu olarak alınmış ve aşağıdaki şekilde verilmiştir:

Sistem Teorisinin 1. Aksiyomu: n uçlu bir fiziksel eleman, bu eleman için seçilen uç grafıyla tanımlanan n-1 içdeğişken ile n-1 uçdeğişkenarasındaki n-1 ikili matematiksel ilişkiyle tam olarak belirlenir.

Bu ilişkilere n Uçlu Elemanın Matematiksel Modeli denir.

Çok-Kapılı Sistemler

Bir uç çiftine ilişkin içdeğişkenler ters yönlü olmak üzere (kesitlemeyeters yönlü giriyorlarsa) eşit iseler bu uç çiftine Kapı denir. Çok-uçlu bir sistemde bütün uç çiftleri kapı niteliğinde ise bu çok uçluya Çok Kapılı Sistem denir.

1i

2i

4i3i

5i


n-uçlu bir sistemde oluşturulabilecek en fazla kapı sayısı uç grafındaki eleman sayısına eşittir, yani n-1 dir. Bunun nedeni uç grafındaki n-1 graf elemanına ilişkin gerimlerin ve akımların bağımsız olması ve ölçmeler grafından elde edilen ve daha fazla graf elemanı içeren altgrafların hiçbirinin bu özelliğe sahip olmamasıdır. Bu durumda sistemin toplam olarak 2(n-1)=2n-2 ucu olması gerekir. Sistemin n adet ucu bulunduğuna göre bu sistemi 2n-2 uçlu hale getirebilmek için (2n-2)-n=n-2 adet uç eklenmesi gerekir.

Uç grafının topolojisine göre değişik durumlar ortaya çıkar: Eklemelerdeki kural şudur: Uç grafında p sayıda grafelemanının bağlı olduğu bir uca p-1 adet uç eklenir.


'1y

'2y

'4y

'3y

'5y

'1y

'2y

'4y

'3y

1

2 3

4

4-kapılı

'1y

'2y

'3y

'4y 3'

4'2'1'

Bu şekilde Şek. 1.20 (a) daki beş uçlu sistem üç adet uç eklenmesiyle Şek.1.20(b) deki dört kapılı; Şek.1.21(a) daki üç uçlu sistem ise bir adet uç eklenmesiyle Şek.1.21(b) deki iki kapılı hale getirilmiştir.

Şek.1.20(a) Şek.1.20(b)


'1y

'3y

'2y '

1y

2x

'2y

'1y '

2y1x


Öte yandan eğer n-uçlu bir sitemde uç eklemesi yapmadan kapılar oluşmuş ise, n bir çift sayı olmak koşuluyla n/2 adet kapı var demektir. n-uçlu bir sitemde n-1 adet içdeğişken bağımsız olarak seçilebilecektir. Halbuki, n/2 kapılı bir sistemde yukarıda verilen kapı tanımına göre her bir kapının bir ucuna ilişkin içdeğişkeni öteki ucuna ilişkin içdeğişkenineeşittir.


'5y

'1y

'2y

'4y

'3y

'6y

1y2y3y

4y 5y

Şimdi Şek.1.22 deki altı uçluyu göz önüne alalım. Gösterilen uç grafı için

'1 1

'2 2

'3 3

'4 4

'5 5

1 0 0 0 01 1 0 0 01 1 1 0 01 1 1 1 01 1 1 1 1

y yy yy yy yy y

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

yazılabilir. Şimdi 1-2,3-4 ve 5-6 uçlarının üç adet kapıyı tanımladıklarını düşünelim. Bu kapılardaki uçlara ilişkin içdeğişkenlerinin eşitliğinden yukarıdakilerine ek olarak


denklemleri elde edilir. Bu ek denklemler yukarıda yerine koyulursa

' ' ' ' ' '1 2 3 4 5 6, vey y y y y y= − = − = −

' '1 1 2

2'

3 3 4

4' '

5 5 6

0

'0

y y yy

y y yy

y y y

= = −=

= = −

=

= = −


bulunur. Bu sonuç altı uçlu elemanın beş elemanlı uç grafı ile tanımlanan ( )uçdeğişkenleri ile ( ) içdeğişkenleriarasındaki beş adet matematiksel ilişki ile belirlenen altı uçlu elemanın bu beş matematiksel ilişkinin ikisinin

1 2 3 4 5, , , ,x x x x x1 2 3 4 5, , , ,y y y y y

2

4

00

yy==


denklemleri olduğunu gösterir. Demek ki, üç kapılı bir eleman bir altı uçlu olup, bunun beş elemanlı uç grafının belirlediği matematiksel bağıntılardan ikisi karşı düştükleri graf elemanlarına ilişkin içdeğişkenlerin sıfır değerli olduklarını veren denklemlerdir. Bu ise uç grafından iki adet grafelemanının çıkartılabileceğini göstermektedir. Geri kalan

' '1 1 2

'3 3 4

' '5 5 6

'

y y y

y y y

y y y

= = −

= = −

= = −


denklemleri ise uç grafındaki öteki üç elemandan her birinin uçlarıyla birlikte bir kapı oluşturduğunu göstermektedir. Öyleyse üç kapılı elemanın uç grafının üç elemanlı olduğunu ve dolaysıyla da üç kapılı elemanın üç elemanlı uç grafıyla tanımlanan üç içdeğişken ile üç uçdeğişken arasındaki matematiksel ilişkiler ile tanımlanacağını da söyleyebiliriz. Şek.1.22 deki 6-uçlu elemanın uç grafındann/2-1= 2 eleman çıkartılarak elde edilen uç grafı ve 3-kapılı eleman Şek.1.23 de gösterilmiştir.


4-uçlu eleman ve seçilen uç grafıŞek.1.24(a) da verilmiştir. Bu eleman için5y

1y

1y

3y

3y

5y

5y

1y3y

Şek.1.23

'1 1

'2 2

'3 3

1 0 01 1 01 1 1

y yy yy y

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Çok-Kapılı Sistemleryazılabilir. Şimdi bu elemanın iki 1-2 ve 3-4 uç çiftlerinin

kapı oluşturduğunu düşünelim. Bu durumda

yazılabilir. Bu denklemler yukarıdakilerde yerine koyularak

bulunur. Bu denklemlere göre 2 numaralı eleman sistemden çıkartılabilir ve Şek.1.24(b) deki iki kapılı sistem elde edilir.

' '1 2' '3 4

y y

y y

= −

= −

1 1

2

3 3 4

'0

' '

y yyy y y

=== = −


'1y

'3y'

2y

'4y

1y2y 3y 1y 3y

1y

1y

3y

3y

Şek.1.24(a) Şek.1.24(b)


Şimdi Şek.1.25 de verilen ideal transformatör elemanını ele alalım.

Şek.1.25

1v 2v

1i 2i

1i 2i

:1n


1-2 ve 3-4 uç çiftlerinin akımları ikişer ikişer eşit olduğuna göre bu 2-kapılı bir elemandır. Bu eleman aşağıdaki iki adet kapı bağıntısıyla verilir:

İki kapılı olmasının yanında bu eleman aynı zamanda dört uçlu bir elemandır. Öyleyse 4-1=3 uç bağıntısıyla da verilebilir. Yukarıda açıklandığı gibi dört uçlunun üç elemanlı uç grafının üçüncü elemanına ilişkin içdeğişkenin sıfır değerli olduğunu veren

denklemi üçüncü bağıntı olacaktır.

12 nvv = 121 in

i −=

3 0i =

Çok-Kapılı SistemlerBu dört uçlu için uç grafı Şek.1.26 daki şekilde

verilebilir:

Şek.1.26

1i 2i

1i

1 1,v i

3 3, 0v i =

2 2,v i

2i


olduğundan bu iki kapılının uç grafı Şek.1.27 deki gibidir.

Şek. 1.27

Sonuç olarak ideal transformatör bir 4 uçlu eleman olmasına karşın, uç grafı iki yönlü çizgi parçasından oluşmaktadır. Bu özellikleri olan bir elemana izolasyon elemanı da denir.

3 0i =

1 2

1

2

3

4

v1(t) i1(t)v2(t)

i2(t)


Bu sonucu bağımsız uç büyüklükleri kavramından yararlanarak şöyle açıklayabiliriz: n-uçlu bir sistemden n/2 kapı elde edilmesi n/2 ek akım denkleminin yazılması demektir. Bu denklemler akımların ikişer ikişer toplamlarını sıfır olmaya zorlayan denklemlerdir. Bir n-uçlu için KirchoffAkımlar Yasası da n adet uç akımının toplamını sıfır olmaya zorlayan bir denklem verdiğine göre n/2 adet akım denkleminin (n/2-1)’i bağımsızdır. Öte yandan her bir ek bağımsız denklem bağımsız akımların sayısını 1 azaltır. Bunun anlamı şudur: Sistem teorisinin 1. aksiyomuna göre n-uçlu eleman uç grafına ilişkin n-1 adet bağımsız akım ile n-1 adet bağımsız gerilim arasındaki n-1 adet matematiksel bağıntı ile belirlenir. Bu durumda ise bağımsız akım sayısı n/2-1 adet azalmıştır. Bu ise uç grafından da n/2-1 adet eleman çıkartılmasını gerektirir.

Öyleyse n/2 kapılı elemanın uç grafının n/2 elemanlı olduğunu ve bu grafın elemanlarına ilişkin n/2 içdeğişken ile n/2 uçdeğişken arasındaki matematiksel ilişkiler ile tanımlanacağını da söyleyebiliriz.

ÇEŞİTLİ İKİ UÇLU ELEMANLARIN MATEMATİKSEL MODELLERİ

Elemanların matematiksel modelleri elemanlar hakkındaki bütün bilgiyi içerir. Başka bir deyişle, bir elemanın matematiksel modeli verilince o elemanın cinsi (direnç, kapasite, self, kütle, yay v.b.) anlaşılacağı gibi, o elemanın özellikleri (lineerlik, pasiflik, zamanla değişirlik v.b.) de anlaşılmış olur.Burada ele alınacak fiziksel sistemler elektriksel, mekanik, hidrolik ve termik sistemler olacaktır. Bu sistemlerde iç ve uç değişkenlerin hangi büyüklükler olduğu aşağıdaki çizelgede gösterilmiştir.

ÇEŞİTLİ İKİ UÇLU ELEMANLARIN MATEMATİKSEL MODELLERİ

Şimdi çeşitli fiziksel sistemlerde bulunan iki uçlu elemanların matematiksel modellerini verebiliriz. Lineer zamanla değişmeyen iki uçlu elemanların ve kaynakların tanım bağıntıları ve şematikgösterimleri Çizelge 1.2 de gösterilmiştir.

ÇEŞİTLİ n-UÇLU ELEMANLARIN MATEMATİKSEL MODELLERİ

Kaldıraç Elemanı: Kaldıraç elemanı 3 uçlu bir elemandır. Uçları 0,1 ve 2 dir.

Bu elemanın sağdaki şekilde gösterilen uç grafının gösterdiği ölçmeleri yaparak, kaldıraçın kütlesi, atmosferin etkisi gibi etkiler ihmal edilirse

Bu denklemlere sürtünmesiz ve kütlesiz kaldıraçelemanının matematiksel modelidenir.


İdeal Transformatör: İdeal transformatör 4 uçlu bir elemandır.

İdeal transformatör elemanı bir 4 uçlu eleman olmasına karşın, uç grafı iki yönlü çizgi parçasından oluşmaktadır. Çünkü, bu elemanın tanımı gereğince, 1 ve 2 uçlarına ilişkin akımlar eşit ve i1 değerinde, 3 ve 4 uçlarına ilişkin akımlar eşit ve i2 değerindedir. Öyleyse 1 ile 3 uçları arasına ya da 2 ile 4 uçları arasına konulabilecek çizgi elemanına ilişkin akım sıfır olacaktır.


Tranzistör Elemanı: Bu eleman üç uçlu bir elemanolduğuna göre uç grafı iki yönlü çizgi parçasından oluşacaktır. Bir tranzistör elemanının tanım bağıntıları karma h biçiminde verilebilir.


Eğer bu eleman herhangi bir elektrik devresinde emetör montajında kullanılıyorsa karma h bağıntıları;

taban montajında kullanılıyorsa karma h bağıntıları;


İşlemsel Kuvvetlendirici:

Yine bu eleman için de v3 ve i3değişkenleri için hiçbir bağıntınınbulunmaması, bu değişkenlerin, elemanlarının bağlandığı devreye bağlı olacağınısöylemektedir.

BİR SİSTEMİN GRAFI

Buraya dek, sistemleri oluşturan elemanların tanım bağıntıları ve uç grafları üzerinde duruldu. Halbuki bir sistemin incelenebilmesi için sistemi oluşturan elemanların birbirlerine nasıl bağlı olduklarının da (kavramsal olarak) bilinmesi gereklidir. İşte sistem grafı bize sistemdeki elemanların birbirleriyle nasıl bağlı olduklarını gösteren bir araçtır. Herhangi bir fiziksel sistem ele alındığında, bu sistem için Kirchhoff Yasalarının verdikleri denklemler yalnızca sistemdeki elemanların birbirlerine nasıl bağlanmış olduklarına bağlıdır. Fiziksel sistem için verilen Kirchhoff Yasalarının matematiksel teoriye aksiyomolarak aktarılabilmeleri için, fiziksel sistemin bağlantı şeklinin matematiksel modelinin de bu teori içinde yer alması gerekecektir. Böylece bir fiziksel sistemi inceleyebilmek için gereklimatematiksel teorinin kurulması sağlanabilir.

Sistem Grafı

Tanım: Bir sistemin grafı, sistemi oluşturan elemanlardan her birinin uç graflarındaki noktaların, elemanların sistemi oluşturmak için uçlarının bağlanış biçimiyle birebir karşı düşürülerek birleştirilmesinden elde edilen, yönlü çizgi parçaları ve noktalardan (düğüm) oluşan topolojik biçimidir.

Sistem Grafı

Bu uç graflarının uç noktalarının elemanların sistemdeki bağlanış biçimiyle birebir karşı düşürülerek birleştirilmesiyle aşağıdaki şekildeki graf elde edilir. Bir sistem grafında, sistemdeki her bağlantı noktasına karşılık bir nokta, uç graflarındaki her yönlü çizgi parçasına karşılık biryönlü çizgi parçası bulunur.

Çeşitli Fiziksel Sistemlerin GraflarınınÇizilmesi

Fiziksel sistemlerin graflarının çizimine geçmeden önce, şimdiye dek sözü edilen ‘Kavramsal Bağlantı’ ya bir örnek verelim.

Boşlukta hareket eden bir M kütlesi okla gösterilen doğrultuda hareket etsin.


Bu elemanın uç grafı hangi uçlar arasında yapılan ölçmeye göre çizilecektir? Bir M kütlesi üzerindeki bütün noktaların aynı hızda hareket ettiği kabul edilmektedir. Öyleyse ölçü yapılacak uçlardan biri M kütlesi üzerinde ise öteki bu kütlenin dışında olacaktır. Bu nokta, hızı sıfır kabul edilen bir cisim üzerinde alınırsa, kütle elemanı, bir ucu sıfır hızla hareket eden iki uçlu bir eleman gibi düşünülebilir ve uç grafı bir önceki sayfadaki gibi alınır. Öyleyse bir sistem içinde M elemanı varsa bu elemanın hızının ölçülmesinde referans olarak alınan nokta kavramsal bir uç noktası olmaktadır. Sistem içindeki başka elemanlarda bu referans noktasına bağlıysa, bunlar kütle elemanına bu noktada kavramsal olarak bağlıdır.


Aşağıda verilen mekanik sistemin grafını çizmeye çalışalım.

Önce bu sistemdeki her bir elemanın uç graflarını çizelim (yer çekiminin olmadığınıvarsayıyoruz).


Şimdi bu uç graflarını uç noktalarının sistemdeki bağlanış biçimiyle birebir karşı düşürerek birleştirilmesiyle mekanik sistemin grafı elde edilir.


Eğer yer çekimi varsa, bu M kütlesi üzerine etki eden bir uyarıcı kuvvettir ve ayrı bir uç grafı (g) ile gösterilir. Bu durumda sistem grafı


Şimdi de aşağıdaki şekildeki sürtünmeli kütle elemanının grafını çizmeye çalışalım.

Buradaki sürtünmeyi bir yüzeyin (veya noktanın) bir yüzeye (veya noktaya) sürtünmesi olarak düşünebiliriz. Öyleyse yandaki sistem iki elemandan oluşmaktadır: Bir kütle elemanı ve bir sürtünme elemanı. Bu elemanların uç grafları aşağıda gösterilmiştir.


Yukarıda verilen sistemin, bir kütlenin sürtünen bir yüzey üzerine bağlanmasından oluştuğu düşünülürse, bu sistemin grafı sistem grafıtanımına göre aşağıdaki şekildeki gibi olacaktır.


Mekanik Sistem Mekanik Sistemin Grafı


Bu grafta, kaynak eleman dışındaki elemanların uç graflarının yönlendirilmesi gelişigüzelolarak yapılır. Fakat kaynak elemanına ilişkin uç grafının yönlendirilmesi sistemde verilen (+)yöne göre yapılacaktır.


Aşağıdaki şekilde bir hidrolik sistem verilmiştir. Bu sistemin grafı da, sistem grafı tanımı kullanılarak çizilecektir. Bu sistem üç tür elemandan oluşmuştur. Bunlar hidrolik direnç, hidrolik kapasite ve debi kaynağıdır.


Bu sistem üç tür elemandan oluşmuştur. Bunlar termik direnç, termik kapasite ve ısı kaynağıdır. Yine bu sistemde de kavramsal bir bağlantı noktası vardır. Bu nokta burada da atmosferdir. Atmosferin sıcaklığının bu sistem etrafındaki bütün noktalarda aynı olduğu kabul edilirse, busistemdeki ısı kaynağı, R1, CT1, CT2 ve R3 elemanlarının bir uçlarının bu noktaya kavramsalolarak bağlandığı varsayılabilir.


GraflarSistemlerin matematiksel modellerinin bulunabilmesi için grafların bir araç olarak kullanıldığı önceki altbölümlerde görüldü. Burada graf kavramının bir tanımı verilerek grafların özellikleri incelenecektir.

• Birleştirme İlişkisi: Elimizde p tane elemanı olan bir noktalar kümesi N ve q tane elemanı olan bir çizgiler kümesi Ç olsun. Her ye, N kümesinden tek bir nokta çifti karşı düşüyorsa bu ilişkiye “ nin ile yı birleştirmesi” ilişkisi denir. Bu ilişkinin varolduğu çizgileri ve nokta çiftleri için

ile gösterilir.

iç),( kj nn iç

jn kniç ),( kj nn

( , )i j kç n n⇒

Graflar• Graf: Çizgiler kümesi Ç ile, noktalar kümesi N arasındaki

birleştirme ilişkisinin tanımlandığı yapıya graf denir. Bu tanımda kullanılan kümelerin elemanlarına başka isimler de verilebilirdi. Yukarıdaki isimlerin verilmesinin nedeni, soyut bir kavram olarak bir kavram olan grafın çizgisel bir gösterimine olanak sağlayabilmektedir.

Örnek: 1 2 3 4 5 6N ( , , , , , )n n n n n n=

1 2 3 4 5 6 7Ç ( , , , , , , )ç ç ç ç ç ç ç=

Graflar• Graf: Çizgiler kümesi Ç ile, noktalar kümesi N arasındaki

birleştirme ilişkisinin tanımlandığı yapıya graf denir. Bu tanımda kullanılan kümelerin elemanlarına başka isimler de verilebilirdi. Yukarıdaki isimlerin verilmesinin nedeni, soyut bir kavram olarak bir kavram olan grafın çizgisel bir gösterimine olanak sağlayabilmektedir.

Örnek: 1 2 3 4 5 6N ( , , , , , )n n n n n n=

1 2 3 4 5 6 7Ç ( , , , , , , )ç ç ç ç ç ç ç=

GraflarBu ilişkiye göre tanımlanan graf Şek.1.38 deki gibi çizilebilir.

ç1

ç5

ç6

ç3

ç7ç2

ç4

n1

n2n4

n5

n6

n3

Şek.1.29

GraflarGraf Elemanı : Her ilişkisi bir graf

elemanı tanımlanır.• Düğüm : Bir grafta bulunan noktalara düğüm denir.

Yukarıdaki tanımlardan aşağıdaki sonuçlar çıkar:1. Bir graf elemanının uç noktaları düğümlerdir. (Bir

graf elemanı, uç noktaları olan düğümlere bağlıdır denir.) .

2. Bir graftan bütün graf elemanları çıkartılırsa geride düğümler kalır.

( , )i j kç n n⇒

Graflar

Bu iki sonuçtan birincisi açıktır. İkincisi için şu söylenebilir: Graf elemanları düğüm çiftlerinin çizgi parçalarıyla birleştirilmesinden oluştuğu ve grafelemanlarının bir graftan çıkartılması birleştirmenin ters işlemi olduğuna göre geride düğümler kalacaktır.

GraflarYönlendirilmiş Graf: Bir grafta bulunan graf

elemanları yönlendirilmiş graf elemanlarıyla tanımlanırsa yönlendirilmiş ya da yönlü graflar elde edilir (Şek.1.30) .

1

5

32

4

1

6

8

32

7 9 4

5

Şek.1.30

Graflar• Yönlendirilmiş Graf Elemanı: Eğer bir graf

elemanına, uç düğümlerinin sıralandırılmasına göre bir yönlendirme karşı düşüyorsa buna Yönlendirilmiş Graf Elemanı denir.

• Buradan sonra bir graftan söz edildiğinde, grafın yönlü olduğu varsayılacaktır. Ayrıca ele alınan graflar j ≠ k olmak üzere düğüm çiftleriyle tanımlanan graflar olacak, örneğin Şek.1.38 deki ve ün tanımlandığı gibi tek bir düğüm içeren çevreler bulunmayacaktır.

),( kj nn

7c 4n

Graflar

yG

Altgraf: Bir G grafının bazı elemanlarından oluşan grafına G nin altgrafı denir.

Bir Düğümün Derecesi: Bir graftaki herhangi bir düğüme bağlı ya da o düğümü uç noktası olarak kabul eden graf elemanlarının sayısına o düğümün derecesi denir ve için ile gösterilir.

Yol: Herhangi bir G grafının k tane elemanı olan bir alt grafı olsun. aşağıdaki özellikleri sağlıyorsa ’ye G içinde bir yoldur denir.

1- ’de k + 1 tane düğüm vardır.2- ’nin elemanları ve düğümleri öyle numaralandırılmadır ki, ’nin

elemanının bağlı olduğu düğümler ve dir.3- ’nin ve düğümlerinin dereceleri 1, öteki bütün düğümlerin

dereceleri 2’dir. Bir yoldaki dereceleri 1 olan düğümlere Uç Düğümleridenir.

aG

kn )( knδyG

yGyGyG yG kg

kn 1+knyG 1n kn

Graflar• Birleşik Graf: Bir graftaki her düğüm çifti arasında en

az bir yol varsa bu grafa birleşik graf denir.• Ayrık Graf: Bir graf birleşik değilse bu grafa ayrık graf

denir.• Çevre: Bir G grafının bir altgrafı olsun. bütün

düğümlerin derecesi 2 olan birleşik bir grafsa, bu altgrafaG’ nin bir çevresidir denir (Şek.1.40) .

çG çG

Graflar• Kapalı Yol: Bir yoldaki uç düğümleri çakışıksa bu yola

kapalı yol denir.Çevre ve kapalı yol tanımlarından anlaşılacağı üzere, her çevre kapalı bir yoldur.

• Çevre Yönü: Bir çevreyi oluşturan yol üzerinde herhangi bir düğümden başlayarak elemanlar üzerinden tekrar aynı düğüme gelmek için seçilen yöne çevre yönü denir. Bu yön çevre içine çizilen yönlü bir çizgi parçasıyla gösterilir (Şek.1.31) .Çevre yönü tanımına göre bir çevre için seçilebilecek yön sayısı 2 dir.

• Teorem: Bir birleşik grafta bazı düğüm çiftleri arasında birden fazla yol bulunması için gerek ve yeter koşul bu grafta en az bir çevrenin bulunmasıdır.

Graflar• Tanıt: Gereklilik: Bir grafta herhangi iki düğüm

arasında iki yol varsa; bu yolların ikisinde ortak olmayan elemanların bir kapalı yol oluşturacakları açıktır. Öyleyse böyle bir grafta çevre vardır.

• Yeterlilik: Bir grafta bir çevre varsa, bu çevre içindeki herhangi iki düğüm arasında iki yolun bulunacağı açıktır. Graf birleşik olduğuna göre, grafın herhangi iki düğümü arasında da en az bir yol vardır. Öyleyse, çevre dışındaki bir düğüm ile çevre üzerindeki düğümlerden biri arasında en az bir yol bulunacaktır. Çevre üzerindeki bu düğüm olsun. Şimdi çevre üzerinde başka bir düğümünü göz önüne alalım. ile arasında iki yol bulunacağından, çevre dışındaki söz konusu düğüm ile arasında iki yol bulunacaktır. Böylece teorem tanıtlanmış olur.

çinçjn

çin çjn

çjn

GraflarAğaç: Bir G grafının b,r altgrafı olsun. , G ninbütün düğümlerini içeren ve içinde çevre bulunmayan birleşik bir grafsa, bu grafa G nin bir ağacı denir. Şek.1.41 de, Şek.1.39 daki grafın iki değişik ağacı gösterilmiştir.

tG tG

1

1

4

3

5

2

6

5

31 2

3

4 5

2

9

6

5

Şek.1.41

Graflar

• Teorem: Birleşik bir grafın ağaç olabilmesi için gerekli ve yeter koşul, bu graftaki bütün düğüm çiftleri arasında yalnız tek bir yol bulunmasıdır.

• Tanıt: Ağaçta çevre olmadığına göre bu teoremin doğruluğu Teorem1.1 den açık olarak bellidir.

Graflar• Teorem: Bir ağaçta derecesi bir olan en az bir düğüm vardır.• Tanıt: Bunun tersinin doğru olduğunu varsayalım. Öyleyse

bütün düğümlerin dereceleri 2 olur. Böyle bir grafta herhangi bir düğümünü ele alalım. Bu düğüme bağlı olan grafelemanlarından biri olsun. nin bağlı olduğu öteki düğümü de ile gösterelim. düğümüne en az bir elemanı bağlı olmalıdır. Her düğüme en az iki eleman bağlı olduğuna göre bu biçimdeki düşünüşle bir yol oluşturulabilir ve bu yolun bir uç düğümü yoktur. Ancak düğüm sayısı sonlu olduğuna göre bu biçimdeki düşünceyle oluşturulan yoldaki birbirinden farklı düğümlerin sayısı da sonlu olacaktır. Yolda uç düğümü olmadığına ve birbirinden farklı düğüm sayısı sonlu olduğuna göre bu yol kapalı olmalıdır. Öyleyse söz konusu grafta çevre vardır. Bu ise teoremin hipoteziyle çelişir. Demek ki, düğümlerden en az birinin derecesi 1 olmalıdır.

injg jg

1+in 1+in1+jg

Graflar• Teorem: n düğümlü bir grafın herhangi bir

ağacında n-1 graf elemanı vardır.• Tanıt: Bu teorem tümevarım ile tanıtlanabilir:• Graftaki düğüm sayısı için, ağaçtaki

eleman sayısı dir ve teorem doğrudur. Teoremin için doğru olduğunu ve olduğunu varsayalım. Ağacın birleşik oluşu ve çevre içermeyeceği koşulundan ötürü, ağaca eklenen her graf elemanı ve nin değerini bir arttıracaktır. Öyleyse için de dirve teorem doğrudur.

2=dn1=en

nnd = 1−= nne

dn en1+= nnd

nne =

Graflar• Ağaç Tümleyeni: Bir G grafının herhangi bir

ağacı olsun. yi oluşturan graf elemanları G den çıkartıldığında geride kalan elemanların oluşturduğu altgraf ise, ye, nin G içindeki tümleyeni denir.

• Kiriş: Birleşik bir G grafındaki ağaç tümleyeni nin elemanlarına kiriş denir.Şek.1.42 deki grafta seçilen ağaç kesiksiz çizgilerle, bu ağaca karşı düşen kirişlerde kesikli çizgilerle gösterilmiştir. Birleşik bir graftaki eleman sayısı ne, düğüm sayısı nd ise, ağaçtaki eleman sayısı nd – 1 olacağına göre, bu graftaki kiriş sayısı ne – nd + 1 dir.

tG tG

'tG '

tG tG

'tG

Graflar• Şek.1.42 den de

görüleceği üzere, bir kiriş ağaçtaki iki düğüm arasında bulunacaktır. Bu iki düğüm arasında ağaç içinde bir yol vardır. Söz konusu kiriş bu iki düğüm arasında ikinci bir yolu oluşturacaktır. Öyleyse ağaç içindeki yolu oluşturan elemanlar ile bu kiriş bir çevre oluştururlar.

1

1

4

7

68

32

5

I

II

III

IV

Şek.1.42

Graflar• Temel Çevre: Birleşik bir grafta seçilen bir ağaca

karşıdüşen kirişlerden yalnızca tek bir tanesinin içinde bulunduğu herhangi bir çevreye temel çevre denir. Birleşik bir graftaki temel çevrelerin sayısının ne – nd + 1 olduğu açıktır. Bu sayıda temel çevrenin oluşturduğu kümeye ise temel çevreler kümesi denir. Birleşik bir grafta temel çevreler kümelerinin sayısı ise bu graftaseçilebilecek ağaç sayısına eşittir. Bir temel çevrenin yönü, zorunlu olmamakla birlikte, genellikle o temel çevreyi tanımlayan kirişlerin yönü ile aynı seçilir. Şek.1.42 de, seçilen ağaç için temel çevreler ve yönleri gösterilmiştir.

Graflar

• Kesitleme: Birleşik bir G grafının bir altgrafı Gk olsun. Eğer Gk yı oluşturan elemanlar G den çıkartıldığında geriye kalan graf iki ayrı birleşik graftan oluşan ayrık bir grafsa, ve Gknın hiçbir altgrafı aynı özellikte değilse Gk ya G grafının bir kesitlemesi denir.

Graflar• Düğüm Kesitlemesi: Birleşik bir G grafının

herhangi bir kesitlemesi Gk olduğuna göre K’kaltgrafını oluşturan iki birleşik graftan biri tek bir düğümden oluşuyorsa, böyle bir kesitlemeyedüğüm kesitlemesi denir. (Şek.1.43 de Gk = {1,2,3}).

• Kesitleme Yönü ve Çizgisi: Bir birleşik grafdaherhangi bir kesitlemenin tanımladığı iki düğüm grubundan birinden ötekine doğru seçilen yöne kesitleme yönü, kesitlemeyi oluşturan grafelemanlarının hepsini keserek grafı iki parçaya ayıran çizgiye kesitleme çizgisi denir.(Şek.1.44.).

Graflar• Kesitlemelerden bazıları özel türdendir. Bunlar bir dal ile

tanımlanırlar. Şimdi bir G grafında bir Gt ağacının seçildiğini düşünelim. G den dallar dışındaki elemanları yani kirişleri çıkartalım. Bu durumda geriye yalnız Gtgrafında nd – 1 tane kesitleme vardır ve bunların herbiriyalnız bir daldan oluşur. Bu kesitlemelerden herbiri Gtnin düğümlerini iki gruba ayırır. Şimdi tekrar G grafınıgöz önüne alalım. Gt de G de bulunan düğümlerin hepsi bulunduğuna göre, Gt deki kesitlemelerin herbirinintanımlandığı ikişer düğüm grubunu g de gözönünealalım. Bu düğüm grupları G de de birer kesitlemetanımlarlar. Çünkü, G nin herbir düğüm grubunu içine alan altgrafı birleşiktir. Ayrıca sözkonusu düğüm grubu çiftlerini birleştiren altgrafların herbirindeki elemanların biri G nin seçilen ağacının biri dal öteki ise kirişlerdir. Bunlardan herhangi birisi grafta bırakılır ötekiler çıkartılırsa geriye kalan graf birleşiktir. Öyleyse herbirdüğüm grubu çiftini birleştiren bu elemanlar birer kesitleme oluştururlar.

Graflar1

5

4

23

I

III

IV

II

6

7 3

5

4

2

1

Şek.1.44

Graflar• Temel Kesitleme: Birleşik bir G grafında

seçilen bir Gt ağacının dallarından yalnız birini içeren kesitlemelere temel kesitlemedenir.Birleşik bir grafta seçilecek herhengi bir ağacın dallarının tanımladığı temel kesitlemelerin sayısı nd – 1 dir. Bu nd – 1 kesitlemenin tanımlandığı kümeye temel kesitlemeler kümesi denir. Şek.1.44 de seçilen bir ağaç için temel kesitlemelergösterilmiştir.

Kirchhoff Aksiyomları

Daha önce altbölümde fiziksel sistemlerde Kirchhoff Yasalarının geçerliolduğundan sözedilmiş ve bir fiziksel sistem için bunların ne olduğu kısaca gösterilmeye çalışılmıştı.

Bir fiziksel sistemde ölçülen içdeğişkenler kendi aralarında, uçdeğişkenlerde kendi aralarında Kirchhoff Yasalarına göre birbirlerine bağlıdırlar. Bu bağlılık, bir fiziksel sistemdeki elemanların yalnızca birbirlerine ne biçimde bağlı olduğu ile ilgilidir. Bir fiziksel sistemin grafı ile fiziksel sistemde elemanların birbirlerine bağlanış biçimi arasında birebir karşıdüşme bulunduğuna göre sözkonusu yasalar grafüzerinde de benzer biçimde verilebilir. Bu yasalar matematiksel teoride aksiyomlar olarak alınmaktadır.

Sistem Teorisinin İkinci Aksiyomu: Kirchhoffİçdeğişkenler Aksiyomu

Bir sistemin grafının elemanlarına ilişkin içdeğişkenler yi ile gösterildiğine göre, bu graftaki herhangi bir kesitleme için

dır. Burada i herhangi bir kesitlemeye giren elemanları göstermektedir. Eğer bir elemanın yönü kesitleme yönü ile aynı ise +yi, ters ise –yialınmaktadır. Bu denklemlere Kirchhoff İçdeğişkenler Denklemi denir ve bunların sayısı graftaki kesitleme sayısına eşittir.

Sistem Teorisinin Üçüncü Aksiyomu: Kirchhoff Uçdeğişkenler Aksiyomu

Bir sistemin grafının elemanlarına ilişkin uçdeğişkenler xi ile gösterildiğine göre, bu graftaki herhangi bir çevre için;

dır. Burada i herhangi bir çevreye giren elemanları göstermektedir. Eğer bir elemanın yönü çevre yönü ile aynı ise +xi, ters ise –xialınmaktadır. Bu denklemlere Kirchhoff Uçdeğişkenler Denklemi denir ve bunların sayısı graftaki çevre sayısına eşittir.

0ix± =∑

Documents

ELEKTRİK DEVRE TEMELLERİ - yildiz.edu.trayten/edt2011_bolum1.pdf · verilen uçtan uca ölçme yöntemine göre bu elemanın dört bağlantı noktası (uç) arasında altı adet