Elektrizität und

Magnetismus

Für Studierende der PharmazieAndreas J. KunglInstitut für Pharmazeutische WissenschaftenUniversität GrazStand: Dezember 2004

1. Das elektrostatische Feld1.1. Elektrische Ladungen

Es gibt zwei unterschiedliche elektrische Ladungen:positive (+) und negative (-) können einander neutralisieren

Gleichnamige Ladungen stoßen einander ab,ungleichnamige Ladungen ziehen einander an.

Die elektrische Ladung ist an einem materiellen Träger gebunden.

Die SI-Einheit der Ladung ist das Coulomb C. Es ist eine abgeleitete Einheit: 1C = 1A x s. Das Ampere (A) ist die Einheit der Stromstärke.

Die elektrische Ladung ist gequantelt (kommt nur als ganzzahliges Vielfaches der Elementarladung vor).

negative Ladung trägt Elektron positive Ladung trägt Proton

Ladungen bleiben in einem abgeschlossenem System immer erhalten.

Ladungen werden mit Elektroskopen oder Elektrometern nachge- wiesen (beruhen i.a. auf der Abstoßung gleichnamiger Ladungen).

Ce 1910602,1

1.1.1. Leiter – Nichtleiter - Halbleiter

Leiter: Materialien, in denen sich elektrische Ladungen nahezu frei bewegen können, z.B.: Metalle (Cu, Al, An und Ag), Salzlö- sungen, heiße Gase

Nichtleiter (Isolatoren): zB Glas, Kunststoffe, Porzellan, Quarz, etc. Es gibt keinen idealen Nichtleiter, sehr gut isolierende Wir- kung hat zB Quarzglas (isoliert 1025-mal besser als Cu)

Leitung beruht auf der quasifreien Bewegung von Elektronen als Ladungsträger im Metall, positive Ladungen sind unbeweglich. In anderen Leitern, zB Elektrolyte, bewegen sich sowohl negative als auch positive Ladungsträger (Ionen).

Halbleiter: zB Elementhalbleiter Silicium und Germanium. Zum Ladungstransport tragen sowohl negative (Elektronen) als auch positive (Defektelektronen) bei.

1.2. Influenz

Störung der Gleichgewichts-Ladungsverteilung durch Annäherung einer Ladung an einen (metallischen) Leiter

MetallischerLeiter

++++++

+Der Effekt verschwindet nach Entfernung der Ladung.

1.3. PolarisationNähert man einem Nichtleiter eine Ladung so findet zwar keine Ladungstrennung, wohl aber ein Auftauchen von Ladungen an der Oberfläche des Nichtleiters statt.

Dieser Effekt verschwindet nach Entfernung der Ladung.

1.4. Das elektrische Feld

Im elektrostatischen Feld

verlaufen die Feldlinien von einer Ladung einer Polarität zur Ladung der entgegengesetzten Polarität

beginnen oder enden Feldlinien nie im freien Raum

schneiden sich Feldlinien niemals

gibt es keine in sich geschlossenen Feldlinien

beginnen Feldlinien an der positiven und enden an der negativen Ladung

ist die Dichte der Feldlinien ein Maß für die Stärke des Feldes

… ist der Raum um elektrische Ladungen, in dem andere Ladungen Kräfte erfahren. Beschreibung des elektrischen Feldes mittels Feldlinien.

Ein Plattenkondensator besteht aus zwei Platten unterschiedlicher Ladung (betragsmäßig gleich). Im Inneren des Kondensators verlaufen die Feldlinien parallel das elektrische Feld hat überall die gleiche Richtung und Stärke = homogen (außen: inhomogen).

Kugelkondensator: Im Inneren einer geordneten Hohlkugel befindet sich eine positiv geladenen Metallkugel Influenz, Feldlinien verlaufen radical und das inhomogene Feld hängt nur von der Ladung der inneren Kugel ab.

2. Kräfte zwischen Ladungen

2.1. Das Coulomb‘sche Gesetz

102

21

0

2 4

1Fr

r

QQF

Zwei punktförmige Ladungen Q1 und Q2 befinden sich im Abstand r, dann ist F2 die Kraft, die von Q1 auf Q2 ausgeübt wird und umgekehrt.

Sind Q1 und Q2 gleichnamig wirken die Kräfte abstoßend, sind sie ungleichnamig kommt es zu einer Anziehung.

1F

1Q 0r

r

2Q 2F

27

0

* 104

1cf

22

2

910...)987551787,8(sA

mN

Der Faktor ist eine Maßsystemkonstante (f*).04

1

Der Wert der elektrischen Feldkonstanten ε0 beträgt

2

22

12

010...)854187817,8(

mN

sA

2.2. Elektrische Feldstärke

Definiert für eine Punkladung Q im Abstand r von einer anderen Ladung.

0204

1r

r

QE

Dabei ist r0 der Einheitsvektor in radialer Richtung, dh Felder von Punkt- ladungen sind Radialfelder. Eine Probe- oder Testladung q, deren eigenes elektrisches Feld vernachlässigt werden kann, erfährt daher im elektrischen Feld der Ladung Q die Kraft.

allgemeine Definition der elektrischen Feldstärke:

EqF

q

FE

C

NEinheit :

Befindet sich q im elektrischen Meld von mehreren Ladungen Qi Gesamtkraft Fges durch Vektoraddition der Einzelkräfte:

0210

1 4r

r

QqFF

i

im

ii

m

iges

Daraus ergibt sich die Gesamtfeldstärke Eges

Qualitativ: Veranschaulichung durch Feldlinien;

Tangente in einem Punkt der Feldlinie zeigt die Richtung der Feldstärke in diesem Punkt (auch die Richtung der Kraft auf einer Probeladung).

Feldliniendichte ist ein Maß für die Stärke des elektrischen Feldes.

)()(

)(1

rEq

rFrE i

m

i

gesges

2.3. Einfluss des Dielektrikums zwischen den Ladungen

Befindet sich zwischen den aufeinander wirkenden Ladungen ein Isolator Polarisation berücksichtigen bei der Ermittlung der elektrischen Feld- stärke bzw der Kraft. Durch die Polarisation wird innerhalb des Isolators ein elektrisches Gegenfeld aufgebaut, , welches das ohne Dielektrikum herrschende elektrische Feld schwächt.

Vakuumr

Diel EE 1

DE

VE

Solche Isolatoren nennt man Dielektrike. Maß für die makroskopische Polarisationseigenschaft des Isolators ist die Dielektrizitätszahl (im Vakuum=1). Befindet sich eine Ladung in einem Dielektrikum mit so verringert sich die Feldstärke.

r

Eine Verringerung der elektrischen Feldstärke bedeutet eine geringere Coulombkraft zwischen zwei Ladungen, die durch ein Dielektrikum mit getrennt werden.

r

221

04

1

r

QQF

r

2.4. Elektrische Ladungen in elektrischen Feldern

Homogenes elektrisches Feld ( überall konstant)

Einbringen einer positiven Ladung, die im gesamten Feldbereich die konstante Kraft erfährt. Diese beschleunigt die Ladung in Richtung des Feldes. Beschleunigung a = F/m = (q x E)/m

2202

xvm

Eey

E

EqF

0vvh

Eine Ladung q mit Masse m fliegt mit der Horizontalgeschwindigkeit senkrecht zu den Feldlinien. Als positive Ladung erfährt sie eine Kraft und damit eine Beschleunigung, wie auch als negative. Für ein Elektron gilt zum Zeitpunkt t:

in x-Richtung: x = v0 x tin y-Richtung: y = (a x t2)/2=

= [(e x E)/(2m)] x t2

Daraus ergibt sich die Parabelbahn des Elektrons zu

Inhomogenes elektrisches Feld: bringt man eine Probeladung q mit Masse m zB in das radiale Feld einer punktförmigen Einzelladung Q, dann erfährt sie eine Kraft . Im Falle einer positiven Ladung zeigt die Kraft in Richtung des Feldes. Da E ~ 1/r2 ist die Kraft nicht konstant und ist unmittelbar bei Q am größten.

)()( rEqrF

2.5. Elektrische Dipole in elektrischen FeldernZwei ungleichnamige Ladungen +Q und –Q im Abstand l nennt man einen elektrischen Dipol. Elektrisches Dipolmoment p ist gegeben durch ( l = Radiusvektor).

lQp

Dieser Dipol erfährt in einem elektrischen Feld eine Kraft, die von der Art des elektrischen Feldes und von der Lage des Dipols im Feld abhängt.

Homogenes elektrisches Feld

wenn der Dipol parallel zur elektrischen Feldstärke liegt, ist die Summe der Einzelkräfte –Q x E und +Q x E gleich null.

Liegt der Dipol beliebig im Feld (α = Winkel zwischen Dipolachse und Feldrichtung), so erfährt er ein Drehmoment , das ihn in Feldrichtung bringen will.

T

EpElQT

sin ElQT

Das Drehmoment verschwindet, sobald das Dipolmoment parallel zur Feldstärke steht.

Inhomogenes elektrisches Feld

Elektrische Feldstärke ist längs Feldlinien nicht konstant Feldgra- dient, dh das elektrische Feld ändert sich entlang um . Auf den Dipol wirkt sowohl ein Drehmoment als auch eine resultierende Kraft, die den Dipol in Richtung zunehmender Feldstärke zieht.

rd

Ed

)()()( rErprT

rd

EdpF

3. Elektrisches Potential

Verschiebt man in einem elektrostatischen Feld eine Ladung q vom Ort 1 zum Ort 2, so ist dafür eine Kraft notwendig und es wird entlang des Weges folgende Arbeit verrichtet:

F

sd

2

121

sdFW

PO sei ein Bezugspunkt und die Ladung werde bis zu P verschoben Zuordnung von potentieller Energie.

P

P

P

P

spot dsFsdFPE0 0

)(

Fs: Komponente von in Richtung .F

s

Die potentielle Energie ist eine für jeden Raumpunkt P des Feldes charakteristische Größe, sobald P0 festgelegt ist. Mit folgt:EqF

P

P

pot sdEqPE0

)(

Charakterisierung des Punktes P unabhängig vom Probeladung q Einführung der feldbeschreibenden Zustandsgröße

P

P

pot

q

PEsdEP

0

)()(

Elektrisches Potential

Als Bezugspunkt wird in Elektrostatik meinst ein unendlich ferner Punkt gewählt (oft Punkt der Erdoberfläche Bezeichnung des Punkts als „Erde“). Potential des Bezugspunkts P0 wird gleich null gesetzt: φ(P0)=0.

Das Potential φ(P) im Punkt P(x, y, z) ist nur abhängig vom extern vorgege- benen elektrischen Feld und nimmt in Richtung von fortschreitend ab E

gradE

),,( zyx

Linien bzw Flächen gleichen Potentials nennt man Äquipotentiallinien bzw –flächen. Das elektrische Feld steht in jedem Punkt normal auf die Äquipotentialflächen. Beim Verschieben einer Ladung auf einer Äquipotential- fläche wird keine Arbeit verrichtet.

Verschiebt man eine Ladung q zwischen zwei beliebigen Punkten des felderfüllten Raums, zB von (1) nach (2), so verrichtet man die Arbeit W21, für die gilt

qqEWpot

21

Die Potentialdifferenz Δφ = φ (2) – φ(1) nennt man die Spannung U21 zwischen den Punkten 1 und 2.

)1()2(21

U

q

WsdE 21

2

1

C

JV 11

Einheit: 1Volt

Liegt bei der Bewegung einer Ladung im elektrischen Feld keine zusätz- liche Kraft vor, so gewinnt die Ladung die vom Feld an ihr verrichtete Arbeit als kinetische Energie.

21

2

1

2

2 2

1

2

1WvmvmE

kin

Unter Berücksichtigung des Energieerhaltungssatzes ΔEkin + ΔEpot=0 ergibt sich

21UqqEkin

In diesem Fall wird U21 als Beschleunigungsspannung bezeichnet. Wenn die Ladung q durch eine äußere Kraft verschoben wird, so ist von dieser die Arbeit W21* aufzubringen (W21*= - W21). Dadurch nimmt die potentielle Energie ΔEpot der Ladung zu.

21

*

21UqEW

pot

4. Die Kapazität

Da die elektrische Feldstärke E proportional Q ist und die Spannung proportional E, so ist auch Q proportional der Spannung: Q ~ U

Die entsprechende Proportionalitätskonstante wird als Kapazität bezeichnet.

U

QC Einheit: Farad (F)

V

CF 11

Ein Kondensator besitzt die Kapazität C = 1F, wenn zwischen seinen Platten, die je eine Ladung Q = 1C tragen, eine Potentialdifferenz U=1V herrscht. Zur Berechnung wird die gesamte Ladung eines Vorzeichens verwendet.

Die Kapazität eines Leiters ist bei vorgegebener Spannung ein Maß für sein Ladungsspeichervermögen.

4.1. Parallelschaltung von Kondensatoren

n

iiCC

1

Q1 = C1 x U; Q2 = C2 x U; … Qn = Cn x U

Die gesamte Ladung, die von der Spannungsquelle transportiert wird, ergibt sich zu

Q = Q1 + Q2 + … + Qn = (C1 + C2 + … + Cn) x U = C x U

Für die Gesamtkapazität gilt daher, dass sie die Summe der Einzelkapa- zitäten im Fall von parallelgeschaltenen Kondensatoren ist

Leiterfläche eines Kondensators direkt mit je einem Pol der Spannungsquelle und zugleich mit Leiterfläche gleicher Polarität der anderen Kondensatoren verbunden. An jedem Konden- sator liegt die gleiche Spannung U. Für n parallel geschaltete Kondensatoren mit der Kapazität C; gilt: (i = 1, …, n)

Die Leiterfläche des ersten und eine Leiterfläche des letzten Kondensators sind mit je einem Pol der Span- nungsquelle verbunden. Zuerst Aufladen der direkt mit der Spannungsquelle verbundenen Leiterplatten und erst dann durch Influenz Aufladung der dazwischen liegenden Leiterplatten. Die Gesamtspannung ergibt sich aus den Einzelspannungen.

U = U1 + U2 + … + Un

Da U=Q/C ergibt sich für die Gesamtspannung

4.2. Serienschaltung von Kondensatoren

C

Q

CCCQU

n

)1

...11

(21

Die resultierende Gesamtkapazität erhält man daraus

1

21

)1

...11

( nCCCU

QU oder

n

ii

CC 1

11

Bei Serienschaltungen ist der Kehrwert der Gesamtkapazität gleich der Summe der Kehrwert der Einzelkapazitäten.

5. Der elektrische StromIm Gegensatz zur Elektrostatik: bewegte Ladungen. Für den Ladungstransport stehen als Ladungsträger vor allem Elektronen (in Metallen) oder positive/negative Ionen zur Verfügung (letztere v.a. in Elektrolytlösungen).

5.1. ElementarladungLadungen treten immer als ganzzahlige Vielfache z einer Elementarladung auf Elementarquant e

e = (1,602176462 + 0,000000063) x 10-19C 1,6 x 10-19C

Jede Ladung q lässt sich in der Formq = z x e

darstellen. Elektron und Proton tragen betragsmäßig die gleiche Ladung, wobei die Elektronenladung negativ und die Protonenladung positiv ist.

qElektron = -e

qProton = e

t

Q

I

5.2. StromstärkeWenn zwei Punkte eines Leiter, 1 und 2, unterschiedliches Potential aufweisen, so herrscht eine Spannung U = φ2 – φ1. Dadurch entsteht ein elektrisches Feld, das auf die Ladungen eine Kraft q x E ausübt Ladungen werden im Leiter transportiert (es fließt Strom) bis die Potentiale gleich sind. Wird die Potentialdifferenz aufrechterhalten, so fließt in der Zeit ∆t eine konstante Ladungsmenge ∆Q durch den Leiter. Die Stromstärke I ergibt sich zu

Bei zeitlich nicht konstanter Stromstärke gilt

dt

dQI

Einheit: 1 Ampere (A)

Bei einer Stromstärke von 1A fließt in 1s die Ladungsmenge 1C durch den Leiter.

Stromrichtung: vereinbart von plus zu minus

5.3. Stromdichte… ist jene Stromstärke, die die Fläche A durchfließt, die senkrecht zur Bewegungsrichtung der Ladungsträger steht.

At

Q

Aj

IEinheit: A/m2

5.4. Arbeit und Leistung des elektrischen Stroms

UqEpot

Es wird eine Arbeit dW = W21 = -U21 x dq an der Ladung dq errichtet, wenn sie im elektrischen Feld zwischen zwei Punkten mit der Potentialdifferenz U21 = ∆φ = (φ 2 – φ1) bewegt wird. Eine positive Ladung +q erfährt durch die Beschleunigungsarbeit im elektrischen Feld eine Änderung ihrer potentiellen Energie um

Bei der Bewegung von der positiven Platte des Kondensators erhält die Ladung die kinetische Energie m/2 x v2 = q x U (U = Spannung am Kondensator). Die Gesamtenergie, die die Ladung erhält, wird der Spannungsquelle entzogen.

Handelt es sich bei den beschleunigten Teilchen um solche mit der Elementarladung e, so lautet die durch die Beschleunigungsspannung verrichtete Arbeit

W = e x U

Bei Beschleunigungsspannung von 1V erhält das Teilchen die Energie

W = 1eV 1,6 x 10-19J

Wenn in einem metallischen Leiter in der Zeit t der Strom I fließt, so wird die Ladung Q = I x t transportiert. Die von der Spannungsquelle aufgebrachte Arbeit lautet

W = Q x U = U x I x t

Daraus ergibt sich die aufgebrachte Leistung mit

P = U x IEinheit: Watt (W)

1W = 1V x A = 1 J/s

Bei zeitlich nicht konstanter Spannung oder Strom ergibt sich die Momentanleistung zu

P(t) = U(t) x I(t)

bzw die von der Spannungsquelle verrichtete Arbeit aus der Integration von P(t) zwischen t1 und t2.

2

1

)(I)(t

t

dtttUW

6. Elektrischer Widerstand

Wenn sich Ladungen in Materie bewegen, so stellt diese dem Stromfluss den sog. elektrischen Widerstand entgegen (Reibungskräfte). Daher muss, um elektrische Ladungen durch Materie zu transportieren, im Leiter ein elektrisches Feld E 0 vorhanden sein, dh es muss eine Spannung U 0 anliegen, damit der Stromfluss aufrechterhalten und die Reibungskräfte kompensiert werden.

Der elektrische Widerstand R eines Leiters wird definiert durch (Ohm‘ sches Gesetz)

I

UR

Einheit: Ohm (Ω)

A

V

1

11

Der Leitwert G eines Leiters ist als Kehrwert des Widerstands definiert

RG

1 Einheit: Siemens (S)

V

AS

1

111

Unterscheidung zwischen ohmschen und nichtohmschen Leitern erfolgt anhand der Strom-Spannungs-Charakteristik des Leiters Kennlinie des Leiters

Ohmsche Widerstände ergeben eine Gerade mit Anstieg G = 1/R

6.1. Spezifischer WiderstandDer elektrische Widerstand eines Leiters ist abhängig vom atomaren Aufbau und der Geometrie.

A

lR

l: Länge des Leiters

A: Querschnittsfläche

ρ: spezifischer elektrischer Widerstand (materialspezifische Größe), Einheit: Ω x m

Daraus ergibt sich die elektrische Leitfähigkeit

1

und der Leitwert eines drahtförmigen Leitersl

AG

6.2. Spannungsabfall am WiderstandWenn zwischen den Enden A und B eines Leiters der Länge l mit der Querschnittsfläche A (Rl = ρ x l/A) eine Spannung U = φA – φB anliegt, so fließt durch den Leiter ein Strom.

lR

UI

Das Potentialgefälle an dem Teilstück x zwischen A und C beträgt Ux = φA – φC und wird als Spannungsabfall am Teilwiderstand RX (= ρ x x/A) des Leiters bezeichnet. Daher ist

l

xU

R

RUU

RU

l

X

X

xX

I

bzw

Die Spannung Ux ist proportional x, also kann man an einem Widerstand jede Spannung Ux zwischen null und der am Widerstand angelegten Spannung U abgreifen.

Diese Schaltung nennt man Spannungsteiler- oder Potentiometerschalung.

6.3. Schaltung von WiderständenBisher nur einfache Stromkreise betrachtet bestehend aus Spannungsquelle und Widerstand, indem Strom fließt (geschlossener Stromkreis).Bei mehreren Spannungsquellen und Widerständen, bzw bei Vorhandensein von Kapazitäten und Induktivitäten Anwendung der Kirchhoff‘schen Regeln zur Ermittlung des Gesamtstroms, des Gesamtwiderstands, etc

6.4. Knotenregel (1. Kirchhoff‘sche Regel)

„Die Summe der zufließenden Ströme (positiv gerechnet) und der abfließenden Ströme (negative gerechnet) ist gleich null in einem Verzweigungspunkt eines Netzwertes.“

0I...IIII321

1

n

n

kk

bzw die Summe der zufließenden Ströme ist gleich der Summe der abfließenden Ströme

6.5. Maschenregel (2. Kirchhoff‘sche Regel)

„Die Summe der elektromotorischen Kräfte UEMK ist gleich der Summe der an den Widerständen Ri durch die sie durchfließenden Ströme Ii erzeugten Spannungsabfälle Ri Ii“

Eine geschlossene Masche eines Netzwerks enthält ohm‘sche Widerstände und Spannungs- quellen (zB Batterien). An den Polen der Batterie liegt eine Potentialdifferenz vor. Im unbelasteten Zustand der Batterie, dh wenn kein Strom fließt (I=0), wird die an den Polklemmen herrschende Spannung als elektromotorische Kraft (EMK), UEMK, bezeichnet. Im Stromkreis einer Masche betrach- tete Spannungsquellen sind EMKs. Dann gilt:

i

n

lii

l

lk

EMKk IRU

Bei Anwendung der Maschenregel muss auf die Vorzeichen der Span- nungsquellen und die Richtungen der Ströme Acht gegeben werden: in Umlaufrichtung fließende Ströme werden positiv gerechnet, ebenso wird bei Durchquerung einer Spannungsquelle in Richtung EMK die Potential- änderung (Spannung) positiv gezählt.

7. Elektromagnetismus

7.1. Magnetische Felder

Erde stellt einen Permanentmagneten dar:

magnetischer Südpol geographischer Nordpol

magnetischer Nordpol geographischer Südpol

Magnetische Feldlinien sind von Nord nach Süd gerichtet und sind in sich geschlossen

Gleichnamige Pole stoßen sich ab, ungleichnamige ziehen sich an.

Es gibt keine magnetischen Monopole (Nord- und Südpol treten immer paarweise als Dipol auf).

Ein gerader, zylindrischer, stromdurch- flossener Leiter besitzt ein zirkulares Magnetfeld, dessen Feldlinien konzen- trische Kreise senkrecht zur Stromrich- tung ausbilden. Die Stärke des Magnet- felds fällt nach außen ab.

Eine stromdurchflossene Zylinderspule (Solenoid) erzeugt ein starkes Magnet- feld, das im Inneren der Spule homogen ist.

7.2. Magnetische KraftflussdichteMagnetische Flussdichte zur Beschreibung des Felds eines Permanent- magneten wie auch einer Spule. Betrag der Flussdichte .B

l

NI

l

NIB errerr

r

0

Ierr: Erregerstrom

l: Länge der Spule

N: Windungszahl der Spule

µr: Permeabilitätszahl (relative Permeabilität) eines Stoffes. Gibt an, um wieviel sich die magnetische Flussdichte vergrößert, wenn der vorher leere Raum innerhalb der Spule mit Materie gefüllt wird (µr: 1 für Vakuum); µr = µ/µ0

µ: Permeabilität

µ0: magnetische Feldkonstante (Vakuumpermeabilität)

Einheit: Tesla (T)

211m

sVT

Charakterisierung des magnetischen Feldes im Vakuum durch die magnetische Feldstärke .H

BB

Hr

0

Einheit: A/m

7.3. Kräfte auf stromdurchflossene Leiter im Magnetfeld

Wird ein stromdurchflossener Leiter der Länge l in ein homogenes Magnetfeld eingebracht, so erfährt er eine Kraft , die sowohl senkrecht auf die Richtung des Stroms I als auch senkrecht auf das Feld steht.

F

BlF

IDer Betrag der Kraft ergibt sich zu

Wobei α der Winkel zwischen der positiven Stromrichtung und dem Feld der magnetischen Flussdichte ist.B

sinI BlF

7.3. Kräfte auf bewegte LadungenElektrischer Strom ist die Bewegung von Einzelladungen der Ladung q mit der Driftgeschwindigkeit v. Wenn n die Anzahl der Ladungsträger pro Volumeneinheit ist, dann ist die Stromdichte j = n x q x v und die Strom- stärke I = j x A (A: Querschnittsfläche des Leiters) Kraft auf den strom- durchflossenen Leiter

)( BvAlnqF

Damit ergibt sich die Kraft auf eine einzelne positive Ladung q, die sich mit v im Magnetfeld der Flussdichte bewegt zuB

)( BvqF

Lorentzkraft

7.4. MassenspektrometerIn einer Ionenquelle erfolgt die Ionisierung der Teilchen und die Bildung eines Ionenstrahls. Die Ionenerzeugung erfolgt durch: Elektronenstoß- ionisation, Feldionisation, Oberflächenionisation, Photoionisation, Hoch- frequenzgasentladung, Ladungsaustausch–Reaktion.

Die ionisierten Teilchen werden durch eine Spannung U elektrostatisch beschleunigt. Danach gelangt der Ionenstrahl zur Massentrennung in ein homogenes Magnetfeld der Flussdichte senkrecht zur Feldrichtung. Dabei durchlaufen die Ionen Kreisbahnen, deren Radien sich folgender- maßen ergeben

B

q

mU

Br 2

1

Daraus erhält man die spezifische Ladung q/m

22

2

Br

U

m

q

Dabei ist die Ladung q ein ganzzahliges Vielfaches der Elementarladung e:q = z x e. Die räumliche Trennung der Massen wird durch einen geeigneten Detektor (zB Photoplatte) bestimmt.

Massenseperatoren sind Kombinationen aus elektrischen und magneti- schen Ablenkverfahren. Im Massenspektrometer nach F. W. Aston erfolgt die Ablenkung des Ionenstrahls mittels gekreuzter elektrischer und magne- tischer Felder Fokussierung von Ionen mit verschiedener Geschwindig- keit aber gleicher spezifischer Ladung.

7.5. Magnetische InduktionInduktion in bewegten Leiter bei zeitlich konstantem Magnetfeld: erst bei Verschiebung des Drahtbügels beobachtet man am Amperemeter einen Ausschlag, dh im Leiterkreis fließt Strom es liegt Spannung vor: Induktionsspannung und Induktionsstrom.

Induktion im ruhenden Leiter bei zeitlich veränderlichem Magnetfeld: zB Annäherung eines Stabmagneten an eine Leiterschleife wieder beo- bachtet man Induktionsspannung und Induktionsstrom.

Elektrische Felder können daher auf zwei Arten erzeugt werden:

1) Elektrische Ladungen erzeugen ein elektrisches Feld

2) Zeitlich veränderliche magnetische -Felder erzeugen ein elektrisches Feld mit in sich geschlossenen Feldlinien (quellenfreies Wirbelfeld). Die Induktionsspannung Uind eines solchen Feldes wird definiert über das Wegintegral der elektrischen Feldstärke längs der geschlossenen Leiterschleife

B

sdEU ind

Die Induktionsspannung wird verursacht durch das zeitlich variable -Feld in einer Leiterschleife der Fläche A. Daher kann Uind folgendermaßen angeschrieben werden

B

dt

BdAU ind

Daraus erhält man mit dem magnetischen Fluss = x das Faraday‘sche Induktionsgesetz

B

A

AdBdt

d

dt

dU ind

7.6. Lenz‘sche RegelAls Folge der induzierten Spannung Uind fließt in einer geschlossenen Lei- terschleife ein Induktionsstrom Iind, der wiederum selbst ein Feld erzeugt = Bind. Die Richtung, in welcher der Strom Iind fließt, wird durch die Lenz‘sche Regel festgelegt:

„Der Induktionsstrom ist stets so gerichtet, dass sein Feld Bind der Ursache der Induktion entgegenwirkt, dh das Feld Bind sucht die Änderung dB/dt des vorgegebenen Feldes B zu kompensieren.“

7.7. SelbstinduktionDer sich ändernde Kraftfluss durchsetzt auch die felderzeugende Spule selbst, dh dass in ihr ebenfalls ein Induktionsvorgang stattfindet. Lt. Lenz‘scher Regel ist der Induktionsstrom Iind so gerichtet, dass er dem feld- erzeugenden Strom I in der Spule entgegenwirkt. Die infolge der Selbstin- duktion erzeugte Induktionsspannung Uind ist abhängig von der Änderung des Kraftflusses und von einem Spulenfaktor = Selbstinduktionskoeffi- zient oder Induktivität L.

dt

dLU ind

I Einheit: Henry (H)

A

sVH

11

Für die Selbstinduktionsspannung gilt

Die Induktivität hängt nur von den geometrischen Daten der Spule und dem sie erfüllenden Material ab (relative Permeabilität μr).

l

ANL r 2

0

8. Wechselstrom

tt sinI)(I 0

Strom, der periodisch seine Richtung und Stärke ändert, wird als Wechsel- strom bezeichnet und wird durch eine entsprechend periodisch veränder- liche Wechselspannung hervorgerufen. Beide lassen sich durch die harmo- nischen Funktionen Sinus und Cosinus darstellen. So ist der Momentan- wert I(t) der Stromstärke für sinusförmigen Wechselstrom

I0 = Scheitelwert (Amplitude) des Stroms

ω = Kreisfrequenz

Analog läßt sich der Momentanwert der Spannung U(t) darstellen

tUtU sin)( 0

Zwischen Frequenz v, Kreisfrequenz ω und Periodendauer T besteht folgender Zusammenhang

Tv

2

2

8.1. Effektivwerte von Spannung und StromDie momentane Leistung einer Wechselspannungsquelle, die am ohm‘schen Widerstand R anliegt beträgt

)(sinI)(I)()( 200 tUttUtP

und ist ebenfalls eine periodische Funktion der Zeit.

Wenn man sin2(ω x t) = ½ (1 - cos (2ωt)) schreibt, so sieht man, dass die Wechselstromleistung mit der doppelten Frequenz (2ω) um einen mittleren Wert P schwankt. Die mittlere Leistung ergibt sich zu

T

dttUT

P0

200 )(sinI

1

00 I2

1 U

Dh ein von einer Gleichspannung U0/√2 erzeugter Gleichstrom I0/√2 erbringt die gleiche Leistung wie der Wechselstrom mit dem Scheitelpunkt I0 erzeugt vom der Wechselstromspannung mit der Amplitude U0. Daher führt man Effektivwerte für die Spannung und die Stromstärke eines Wechselstroms ein

20UU eff

2

II 0eff

Def: die effektive Stromstärke eines Wechselstroms entspricht der Strom- stärke eines Gleichstroms, der an einen ohm‘schen Widerstand die- selbe Leistung erzielt wie ein Wechselstrom (analog für Spannung).

8.2. WechselstromwiderstandWenn der Wechselstromkreis neben ohm‘schen Widerständen auch Induk- tivitäten L und/oder Kapazitäten C enthält, dann sind Strom und Spannung ia nicht mehr in Phase Phasenverschiebung φ

Für den Strom gilt dann

)sin(I)(I 0 tt

)2

sin(I)(I 0 t

Tt

8.3. Ohm‘scher Widerstand

Strom erzeugt nur Joule‘sche Wärme

)sin()( 0~ tUtUU

Nach der Maschenregel gilt U = R x I, dh dass die Stromstärke ebenfalls sinusförmig mit derselben Kreisfrequenz ω ist.

)sin(I 0~~ t

R

U

R

U

Die Phase zwischen Strom und Spannung wird durch einen rein ohm‘schen Widerstand nicht beeinflusst.

8.4. Kapazitiver WiderstandWenn Kondensator mit der Gesamtkapazität C an eine Wech-selspannungsquelle U~ angeschlossen wird, so gilt U~ = Q/C. Da I = dQ/dt folgt für den Strom durch zeitliche Differentiation I = C x dU~/dt, und man erhält für die Stromstärke

)2

sin(0~

tUCI

Beim rein kapazitiven Widerstand eilt der Strom der Spannung um den Phasenwinkel φ = π/2, dh um eine viertel Periode (T/4) voraus

Bei der Kapazität C ergibt sich für die Scheitelwerte von Spannung u Strom

Daraus ergibt sich der kapazitive Widerstand zu

CC CU ,0,0 I

1

CRC

1

8.5. Induktiver Widerstand

Die Spule setzt dem Wechselstrom einen größeren Widerstand entgegen als dem Gleichstrom. Anwendung der Maschenregel auf diesen Stromkreis ergibt U~ + Uind = 0. Mit Uind = -L x dI/dt und daher U~ = L x dI/dt erhält man

)2

sin(I0~

tLU

Die Scheitelwerte von Spannung und Strom ergeben sich zu

LL LU ,0,0 I

Daraus erhält man den induktiven Widerstand

LRL