54
Elektrodinamika-II Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr. Jože Ritonja Učni cilj: spoznati osnovne koncepte v modeliranju in analizi časovno zveznih dinamičnih sistemov na področju elementarnih elementov, električnih vezij, elektromagnetnih in elektromehanskih naprav. 1

Elektrodinamika-drugi del Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr ... · Elektrodinamika-II Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr. Jože Ritonja Učni cilj: spoznati osnovne koncepte v modeliranju in

  • Upload
    voque

  • View
    231

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Elektrodinamika-drugi del Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr ... · Elektrodinamika-II Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr. Jože Ritonja Učni cilj: spoznati osnovne koncepte v modeliranju in

Elektrodinamika-II Prof.dr. Bojan GrčarDoc.dr. Jože Ritonja

Učni cilj: spoznati osnovne koncepte v modeliranju in analizi časovno zveznih dinamičnih sistemov na področju elementarnih elementov, električnih vezij, elektromagnetnih in elektromehanskih naprav.

1

Page 2: Elektrodinamika-drugi del Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr ... · Elektrodinamika-II Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr. Jože Ritonja Učni cilj: spoznati osnovne koncepte v modeliranju in

Področje in cilj:

Elektromagnetne in elektromehanske naprave (transformatorji, motorji, generatorji, pogone,...) in sisteme (elektroenergetski sistemi) lahko obravnavamo v ustaljenih ali prehodnih stanjih. Ustaljena stanja karakterizira ravnotežje dovedene in porabljene moći, prehodna stanja pa nastopijo pri spremembah ravnotežnih stanj zaradi: spremembe obremenitve, spreminjanja krmilnih (vhodnih, vzbijalnih) količin, vpliva okolice (motnje), spremenjene strukture in parametrov, pri vklopih, izklopih in kratkih stikih, pri nastanku nesimetrije v trifaznih sistemih, ...

Obravnava prehodnih stanj zahteva poznavanje fizikalnega dogajanja in matematičnih postopkov za analizo. Drugi del predmeta je zato namenjen splošnim matematičnim postopkom in metodam, ki jih potrebujemo v analizi prehodnih stanj elektromagnetnih in elektromehanskih naprav in sistemov. V obravnavi se bomo omejili na kavzalne, časovno zvezne sisteme pri katerih je izhod: odvisen le od trenutnih in predhodnih vzbujanj, in notranja stanja so zvezne funkcije časa.

2

Page 3: Elektrodinamika-drugi del Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr ... · Elektrodinamika-II Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr. Jože Ritonja Učni cilj: spoznati osnovne koncepte v modeliranju in

Vsebina, obveznosti in preverjanje:

Predavanja: Uvod T.1. Energija, energijski akumulatorji, spremenljivke stanja, modeli

elementarnih elementov in vezij. Lagrangeova funkcija, Euler-lagrangeova metoda

T.2. Lineaenost, linearizacija, T.3. Oblike modelov, pretvorbe T.3. Stabilnost, T.4. Analitična rešitev, homogena in partikularna rešitev, standardni

vzbujalni signali T.5. Obravnava primerov iz področja elektromehanskih sistemov. Pričakovano predznanje: osnove matrične algebre, diferencialne

enačbe, Laplace-ova transformacija

Vaje: Uporaba programskega orodja

MATLAB/SIMULINK v analizi dinamičnih sistemov

......

Obveznosti: sodelovanje na predavanjih, opravljene domače naloge, prisotnost na vajah, poročilo o vajah.

Preverjanje znanja:

a.)Zagovor vajKolokvij (>40%) Domače naloge (20 %)Ustni zagovor

b.)Zagovor vaj, pisni izpit ((>50%), ustni izpit

3

Page 4: Elektrodinamika-drugi del Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr ... · Elektrodinamika-II Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr. Jože Ritonja Učni cilj: spoznati osnovne koncepte v modeliranju in

Dinamični sistemi:

Tehnološki proces je zbirka elementov in notranjih povezav, ki omogočajo energijsko-masne pretvorbe. Tehnološke procese opisujemo s fizikalnimi količinami. Tehnološki procesi so praviloma v interakciji s svojo okolico.

Na energijsko-masne pretvorbe v obravnavanem sistemu lahko vplivamo preko aktorjev in krmilnih vhodov, stanja sistema opazujemo preko senzorjev, okolica pa na sistem vpliva preko motenj.

Poleg tehnoloških velja omeniti še npr. biološke, kemijske, in nematerialne sisteme kot npr. sociološke, ekonomske, informacijske, ......

Dinamika sistemov- znastvena disciplina, ki opisuje obnašanje sistema ob prehajanju iz ravnotežnih stanj pod vplivom sprememb (krmilnih) vhodov, motenj, parametrov ali notranje strukture. Proučevanje dinamike sistemov zahteva:

definiranje sistema, njegovih vhodov, izhodov in interakcij z okolico,

postavitev matematičnega modela, ki ga izpelejemo na osnovi fizikalnih zakonitosti,

analizo dinamičnega obnašanja, vplivnih veličin, strukturnih lastnosti,

na snovi spoznanj iz analize morebitne spremebe konstrukcije, strukture ali parametrov sistema.

Sistemi pri katerih so izhodi in notranja stanja vsak trenutek odvisni le od trenutnih vhodov (vzbujanj) so statični sistemi.

Sistemi pri katerih so izhodi in notranja stanja vsak trenutek odvisni od trenutnih in vseh predhodnih vhodov (vzbujanj) so dinamični sistemi.

Dinamični sistemi vsebujejo energijske akumulatorje oziroma elemente, ko omogočajo hranjenje različnih vrst energije.

Spremenljivke, ki opisujejo stanja neodvisnih energijskih akumulatorjev imenujemo spremenljivke stanja sistema.

Tehnološki proces

SenzorjiAktorji

Krmilno-regulacijske naprave

Energijsko-masni tok

Informacijski tok

Začetno stanje

Konćno stanje

OKOLICAMotnje (veličine na ketere na moremo vplivati s krmilno’regulacijskimi napravami)

4

Page 5: Elektrodinamika-drugi del Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr ... · Elektrodinamika-II Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr. Jože Ritonja Učni cilj: spoznati osnovne koncepte v modeliranju in

Dinamični sistemi:

Klasifikacija dinamičnih sistemov: eno- ali večvhodni, linearni ali nelinearni, s koncentriranimi ali porazdeljenimi parametri, časovno zvezni ali časovno diskretni in s konstantnimi ali spremenljivimi parametri.

Dinamične sisteme pa lahko razdelimo tudi glede na fizikalno naravo spremenljivk in parametrov s katerimi je sistem opisan, npr. elektriški, mehanski, termični, hidravlični, elektromehanski, .....

Matematična obravnava dinamičnih sistemov: sisteme s koncentriranimi parametri opišemo z linearnimi

ali nelinearnimi diferencialnimi enačbami. sisteme s porazdeljenimi parametri opišemo s

parcaialnimi diferncialnimi enačbami. če se omejimo na analizo ravnotežnih stanj opišemo

takšne sisteme z linearnimi ali nelinearnimi algebrajskimi enačbami.

Izhodiščna faza pri obravnavi dinamičnih sistemov je (fizikalno) modeliranje, ki povzema “bistvene” lastnosti sistema in vodi na določeno obliko matematičnega modela. Matematični modeli so lahko parametrični (parametri sistema nastopajo v eksplicitni obliki) ali neparametrični (utežna funkcija, impulzni odziv), kjer

se vpliv parametrov obravnavanega sistema kaže v implicitni obliki. Modeliranje je pogosto iterativni proces v katerem matematični model postopno dopolnjujemo, da dovolj natančno opišemo lastnosti sistema, ki jih želimo analizirati. Matematični modeli,ki temeljijo na vpeljanih abstrakcijah in poenostavitvah vedno predstavljajo le približek realnih fizikalnih sistemov.

Sistemska teorija nam omogoča, da za sisteme z različno fizikalno naravo izpeljemo enakovredne oblike matematičnih modelov, ki jih lahko formalno analiziramo na poenoten način, tako v smislu dinamičnega obnašanja kot tudi z vidika njihovih strukturnih lastnosti.

Analiza

Vrednotenje ?model ni ustrezen

Matematični model

Modeliranje (hipoteze, poenostavitve,

struktura,parametri)

Fizikalni sistem

Analitična

Numerična

5

Linearni

)(,,,, sGDCBAΣ

Nelinearni

),(

)0(;),(

uxgy

xuxfx

==

Page 6: Elektrodinamika-drugi del Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr ... · Elektrodinamika-II Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr. Jože Ritonja Učni cilj: spoznati osnovne koncepte v modeliranju in

Dinamični sistemi:

a.) Postavitev matematičnega modela -klasični pristop: ravnotežne enačbe (Kirchoff , Newton, ), ohranitveni

zakoni (mase, energije) konstitutivne enačbe (podajajo zveze med količinami) v primeru sestavljenih (kompleksnih) sistemov

strukturiramo celoto v več smiselnih podsitemov in določimo njihove medsebojne povezave izpeljan matematični model zapišemo v obliki, ki je

najbolj primerna za nadaljno analizo

b.) Postavitev matematičnega modela -energijski pristop; izhaja iz temeljnega zakona o

ohranitvi energije

.....

6

i1 + i4 = i2 + i3 v1 + v2 + v3 + v4 =

0

energijenotranje spremembamoč

porabljenamočdovedena

Edt

dPP pd =−

volumnaspremembapretok

izstopnipretokvzstopni

Vdt

dqq outin =−

0

posp.silasil vsota

=−∑ amFi

i 0

navorposp.

navorov vsota

=α−∑ JTi

i

0

konst.!

=

→=−=

dt

dL

VTL

Sistem s konstantno notranjo energijo

Konzervativni sistem= brez izgub in aktivnih izvorov

kinetična

potencialna

energijska funkcija

Page 7: Elektrodinamika-drugi del Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr ... · Elektrodinamika-II Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr. Jože Ritonja Učni cilj: spoznati osnovne koncepte v modeliranju in

Model elektromehanskega sistema (EMS):

-mehanski podsistem:

•Gibanje membrane duši zrak; d-koeficient dušenja, M masa gibljivih delov (boben in navitje), k-koeficient elestičnosti membrane;

•Vzbujalna sila je proporcionalna toku skozi navitje

•Mehanska ravnotežna enačba:

−−=×

iiF

xkxbicxM

vpetja elast.dušenje

silavzbujalna

pospešek masa

)/1(

-električni podsistem:

• napetost izvora je proporcionlna zvočnemu signalu iz ojačevalnika

• inducirana protinapetost e je proporcionalna hitrosti gibanja, posledica gibaja membrane v polju permenentnega magneta

napetostna ravnotežna enačba

e -napetost inducirana

napetostvzbujalna

xcviRiL −=+

R

L x

e

v

i

vhod izhod

Permanentni magnet

Boben

MembranaNavitje

Elastično vpetje

7

Page 8: Elektrodinamika-drugi del Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr ... · Elektrodinamika-II Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr. Jože Ritonja Učni cilj: spoznati osnovne koncepte v modeliranju in

EMS-nadaljevanje:

)())/1()()(((

)(

))/1()()(((

))/1()()(((

_________________________

)(

))/1((

....,:,:

)(

22

22

22

2

22

2

sVkscbMsRLs

csX

sD

vkDcbMDRLD

cx

cvxkDcbMDRLD

cDxviRLD

icxkbDMD

Ddt

dD

dt

d

sG

++++=

++++=

=++++

−=+=++

→==

L

Vhodno-izhodni opis sistema podaja zvezo med vzbujalno napetostjo in pomikom membrane. Omogoča nam, da z izbiro parametrov oblikujemo ustrezno frekvenčno karakteristiko.

)(DG)(tv )(tx

)(sG)(sV )(sX

Operatorski polinom !

8

Page 9: Elektrodinamika-drugi del Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr ... · Elektrodinamika-II Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr. Jože Ritonja Učni cilj: spoznati osnovne koncepte v modeliranju in

EMS-simulacijski diagram:

_________________________

)(/1)(

))/1((/1))/1(( 22

+−−=→−=++−−=→=++vcDxRiLDicDxviRLD

cixkbDxMxDicxkbDMDStanja sistema !

L/1

R

)(ti

c

c)(tF

M/1

b

k/1

)(tx

)(tv )(tx)(tx

Električni podsistem Mehanski podsistem

9

Page 10: Elektrodinamika-drugi del Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr ... · Elektrodinamika-II Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr. Jože Ritonja Učni cilj: spoznati osnovne koncepte v modeliranju in

Obravnavan model je torej definiran z:

vhodom in izhodom

s stanji sistema

in vektorjem parametrov

Model je tretjega reda zaradi treh neodvisnih energijskih akumulatorjev (integratorjev), ki jih opisjejo spremenljivke stanja sistema. Model izražen s stanji sistema v matrični obliki je torej:

EMS-nadaljevanje:

)(tx)(tv

[ ] T)()()( titxtx

[ ] T/1 kcbMRL

4,5 N/AMagnetna konstanta (c)

N/m

Koeficient elestičnosti (1/k)

1,3 kg/sDušenje (b)

11 gMasa gbljivih delov (M)

4,5 Upornost tuljave (R)

0,2 mHInduktivnost tuljave (L)

Ω

3102,1 •

Podatki za simulacijo:

buA

v

Li

x

x

L

R

L

cM

c

M

b

kMi

x

x

+=

+

−−

−−=

xx

10

0

0

1010

10

Page 11: Elektrodinamika-drugi del Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr ... · Elektrodinamika-II Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr. Jože Ritonja Učni cilj: spoznati osnovne koncepte v modeliranju in

Model mehanskega sistema:

- kinetična energija v trenutku

dt

dvmvFvP

dt

d

vm

0000

0

200 2

1

===

=

E

E Ker je energija vsak trenutek odvisna od hitrosti vozila, jo izberemo kot spremenljivko stanja.

0

0

sila pogonska

)(1

)()( vdFm

tvtFvdt

dm

t

pp +=→∫= ∫ ττ

hitrostpogonska sila

trenjetrenje

zračni upor

0t

-če zanemarimo zračni upor in kotalno trenje dobimo z odvajanjem nergije po času:

-če je: ?)(konst.)( =→= tvtFp- kakšna bo hitrost : ?)( =→∞→ tvt

-če upoštevamo zračni upor in kotalno trenje velja:

0

0

2

00

2

upor zracni

trenje kotalno

sila pogonska

)()()(1

)()()()(

)()()(

vdvm

kdv

m

kdF

mv

tvktvtktF

tFtFtFvdt

dm

tzu

tt

t

p

zutp

zuktp

+−−=

→−−=

=−−=

∫∫∫ ττττττ

- prevožena razdalja: ττ dvtxt

∫=1

0

)()(

- pri konstantni pogonski sili bo vozilo doseglo končno (konstantno) hitrost:

0;.2

42

==++−

=dt

dvkonst

k

Fkkkv

zu

pzutt

k

)(tv)(tx

0v 0x

tk

zuk

pF

m/1

pospešek hitrost

razdalja

Stanje v katerem so odvodi spremenljivk stanja enaki nič imenujemo ravnotežno stanje. Kaj opazimo v obravnavanem primeru ?

11

Page 12: Elektrodinamika-drugi del Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr ... · Elektrodinamika-II Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr. Jože Ritonja Učni cilj: spoznati osnovne koncepte v modeliranju in

ygmVymT == 2

2

1

Euler-Lagrangeova metoda:

x

y

f

gm

mgfym

fymi

i

−=

= ∑

Ravnotežna enačba:

Kinetična (T) in potencialna energija (V):

Lagraneova funkcija :

Joseph-Louis de Lagrange1 736 – 1813diferencialne enačbe, variacijski račun,...

ygmymL −= 2

2

1

mgmgyyy

V

y

L

ymymyy

T

y

L

−=∂∂−=

∂∂−=

∂∂

=∂∂=

∂∂=

∂∂

)(

)2

1( 2

gibalna količina

sila teže

Euler-Lagraneova enačba: fy

L

y

L

dt

d =∂∂−

∂∂

mgfym

fmgymdt

d

−=

→=+

srememba gibalne količine po času=sila

VTL −=:

Leonhard Euler, švicarski matematik, fizik in astronom,, 1707-, 1783,algebra,diferencialni račun, izrek o ohranitvi kinetične in potencialne energije

12

položaj in hitrost energ.stanje s premenljivki stanja

Page 13: Elektrodinamika-drugi del Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr ... · Elektrodinamika-II Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr. Jože Ritonja Učni cilj: spoznati osnovne koncepte v modeliranju in

Euler-Lagrangeova metoda:

gmfy

mgfym

−=−=/

NDE:

Ravnotežje:

13

yyymf /

g

ryy

y

mgfy

==

=→=0

0

Izraženo s stanji sistema:

gfm

xx

xx

yxyx

+

+

=

=

→==

1

0

/1

0

00

10

;

2

1

21

Page 14: Elektrodinamika-drugi del Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr ... · Elektrodinamika-II Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr. Jože Ritonja Učni cilj: spoznati osnovne koncepte v modeliranju in

Euler-Lagrangeova metoda:

Izhajamo iz ravnotežnega stanja, tako da velja

Kinetična (T) in potencialna energija (V):

2

00

2

2

1

2

1ykydykydFVymT

yy=′′=′== ∫∫

Lagraneova funkcija L :

22

2

1

2

1ykymVTL −=−=

kykyyy

V

y

L

ymymyy

T

y

L

−=∂∂−=

∂∂−=

∂∂

=∂∂=

∂∂=

∂∂

)2

1(

)2

1(

2

2

Euler-Lagraneova enačba:

fy

L

y

L

dt

d =∂∂−

∂∂

fykym

fkyymdt

d

=+

→=+

y

f

m

kravnotežno

stanje00 =→= fyVpliv težnosti lahko tako zanemarimo, f predstavlja vzbujalno silo.

NDE 2 stopnje (2 energ. akumolatorja):

14

Page 15: Elektrodinamika-drugi del Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr ... · Elektrodinamika-II Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr. Jože Ritonja Učni cilj: spoznati osnovne koncepte v modeliranju in

y1s

1s

1/m

k

f

Euler-Lagrangeova metoda:

)(/1

/)/(

fykmy

mfymky

fykym

+−==+

=+

u

[ ] xcxy

xbuAxfm

xmkx

xx

T==

+=

+

=

=

01

;/1

0

0/

100

2

1

m

kj

m

kmj ±=±=2,1λ

Re+

Im+

Lastne vrednosti sistemske matrike A :

0,]N/m[2],Kg[1 0 === xkm]N[)(tu

)(st

1,0

1

Za primer :

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8x 10

-3

)s(t

)(ty

s4,4=T

-6 -4 -2 0 2 4 6

x 10-3

-0.01

-0.008

-0.006

-0.004

-0.002

0

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

]m[y

]m/s[y

15

2x1x

Page 16: Elektrodinamika-drugi del Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr ... · Elektrodinamika-II Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr. Jože Ritonja Učni cilj: spoznati osnovne koncepte v modeliranju in

Rezultat fizikalnega modeliranja je matematični model, ki ga dobimo v obliki linearne ali nelinearne diferencialne anačbe (ali sistema takšni enačb). Z vpeljavo koncepta spremenljivk stanj, ki se navezujejo na energijske akumulatorje sitema, lahko tovrstne ančbe pretvorimo v sistem linearnih ali nelinearnih enačb prvega reda. Večina realnih fizikalnih sistemov je v osnovi nelinearna, linearni modeli predstavljajo praviloma le aproksimacijo realnih sistemov v izbranem in omejenem področju obratovanja.

Matematična oblika modelov:

16

),(

;),( 0

uxgy

xuxfx

==

DuCxy

xBuAxx

+=+= 0;

)()()( sUsGsY =

Nelinearni sistemi

Linearni sistemi

I/O opis

Linearna aproksimacija

Pretvorba (?!)stopnja=n

stopnja=n

stopnja=

Izpejane modele potrebujemo za:

• določitev ravnotežnih stanj• analizo strukturnih lastnosti• analizo dinamičnega obnašanja• analizo stabilnosti • analizo vpliva začetnih pogojev • vpliv parametrov• načrtovanje vodenja

(.),(.))( ,,, gfsG DCBA∑ ⊃⊃

nm ≤

Page 17: Elektrodinamika-drugi del Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr ... · Elektrodinamika-II Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr. Jože Ritonja Učni cilj: spoznati osnovne koncepte v modeliranju in

Linearne sisteme v “prostoru stanj” rešujemo bodisi analitično ali numerično. Dobljena rešitev podaja “gibanje” sistema, ki je rezultat začetnih pogojev x(0) in zunanjega vzbujanja u(t). Za časovno invariantne linerne sisteme so A, B, C in D konstantne matrike, ke se nanašajo na strukturo in parametre obravnavanega sistema. Do dimenzije n=3 lahko gibanje, ki ga opisuje vektor stanja x(t) tudi grafično prikažemo :

Običano bomo predpostavili:p-štev. vhodov, q-štev. izhodov, z n pa bomo označevali stopnjo sistema oziroma dimenzijo vektorja spremenljivk stanja. Sledi, da so dimenzije sistemske -A, vhodne-B , izhodene –C in prehodene -D matrike za multivariabilne sisteme (MIMO):

Za univariabilne sisteme se modeli seveda poenostavijo, saj velja da je p=q=1

Matematična oblika modelov:

17

A

10x

20x

30x

1x

3x

2x

0x )( ktx

)(tx

trajektorija

pqD

nqC

pnB

nnA

×=×=×=×=

dim

dim

dim

dim3X∈x

oziroma

3R∈x

Evklidski prostor je realni topološki vektorski prostor v katerem je definirana metrika na osnovi skalarnega produkta: norma (dolžina), kot med dvema vektorjema in razdalja. Dimenzija prostora je definirana s številonm baznih vektorjev oziroma s številom komponent vektorja stanja x. Lastnosti vektorjev in njihove medsebojne zveze so neodvisne (invariantne) glede na vse nesingularne linearne transformacije tipa

Evklidski prostor

oziroma

0det; ≠=′ TxTx

=

=

=

−=−=

><=θ

=><=

++=>=<

n

iii

n

ii

nn

n

iii

yxyxyxd

yx

yx

xxxx

yxyxyxyxyx

1

2

1

1

2

22111

)(),(

).

(cos

)(.

....skalarni produkt

norma (dolžina)

kot med x in y

razdalja med x in z

0x)(tu

+)(tx

B C

D)(ty)(tx

+

Page 18: Elektrodinamika-drugi del Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr ... · Elektrodinamika-II Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr. Jože Ritonja Učni cilj: spoznati osnovne koncepte v modeliranju in

Opis dinamičnih sistemov temelji na osnovnih (elementarnih) elementih, ki definirajo energijsko stanje sistema, pretoke energije znotraj sistema in energijsko bilanco med sistemom in okolico. Zakon o ohranitvi energije predstavlja temelj pri definiranju osnovnih elementov. Naj velja, da si sistem lahko izmenjuje energijo z okolico preko končnega števila sponk (portov). Nadalje predpostavljamo, da sistem tvorijo samo osnovni (pasivni) elementi, torej je sistem brez notranjih energijskih izvorov. Potem velja za (notranjo) energijo sistema:

kjer je P(t) trenutna moč izmenjav z okolico. Za p povezav sistema z okolico velja bilanca moči:

Pozitivni predznak moči pomeni povečevanje notranje energije sistema, negativni predznak pa njeno zmanjševanje.

Energija, moč, stanja:

Če ima sistem n enargijskih akumulatorjev potem velja za (totalno) notranjo energijo:

in dalje:

Spremenljivke stanja ( krajše: stanja sistema ali samo: stanja ) definirajo energijsko stanje osnovnih elementov sistema. Ker se energijsko stanje elementov lahko spreminja le časovno zvezno, so tudi spremenljivke stanja časovno zvezne veličine.

0

0

E)()(EE

)( +=↔= ∫ ττ dPtdt

dtP

t

∑=

=+++=p

iip tPtPtPtPtP

121 )()(...)()()(

∑=

=+++=n

jjn ttEttt

121 )(E)(...)(E)(E)(E

Dinamični sistem

)(1 tP)(2 tP

)(3 tP

)(4 tP )(5 tP

)(tPp

∑∑==

=n

j

jp

ii dt

tdtP

11

)(E)(

http://teachers.stupidchicken.com/files/active/0/Work,%20Energy%20&%20Power.ppt

18

Page 19: Elektrodinamika-drugi del Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr ... · Elektrodinamika-II Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr. Jože Ritonja Učni cilj: spoznati osnovne koncepte v modeliranju in

Spremembo notranje energije elektriškega sistema v času dt lahko izrazimo kot:

V elektriških sistemih definiramo dve vrsti energije:

- magnetno, ki je akumulirana v magnetnem polju tuljave

-električno, ki je akumulirana v električnem polju kondenzatorja

V primeru, da elektriški sistem tvorijo samo idealni elementi brez izgub lahko vloženo (akumulirano) magnetno ali električno energijo kadarkoli dobimo vrnjeno, oziroma jo sistemu v celoti zopet odvzamemo. Za električno moč velja:

Notranje energijo sistema izrazimo kot:

V elektriških.sistemih vpeljemo še dve spremenljivki- električni naboj q [C] ali [As]:

in magnetni sklep [Wb] oziroma [Vs]:

Elektriški sistemi:

)()()( tutitP = [ ] [ ] [ ]V,A,W −−− uiP

0

00

)()()( EduidPEtt

+τττ=ττ= ∫∫

dtidqqditqt

=→+= ∫ )0()()(0

ττ

dtuddutt

=→+= ∫ ψψττψ )0()()(0

dqudtiudiudtdE ==→= )(E/ električle

dtiudiudtdE )(E/ adisipativn =→=

Sprememba energije kot posledica spremembe magnetnega sklepa .

Sprememba energije kot posledica spremembe naboja..

Sprememba energije kot posledica električmih izgub zaradi električne upornosti. Pri tem pride do pretvorbe električne energije v toplotno, ki prehaja v okolico. Spremeba je nepovratna (ireverzibilna), v toploto pretvorjene energije ni več mogoče vrniti elektriškemu sistemu električne izgube.

)()()( tutitP =

)(tu

)(ti

ψdidtuidiudtdE ==→= )(E/ magnetna

ψ

+ →

19

Page 20: Elektrodinamika-drugi del Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr ... · Elektrodinamika-II Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr. Jože Ritonja Učni cilj: spoznati osnovne koncepte v modeliranju in

Idealna tuljava; osnovni element za katerega je podana enoumna zveza med magnetnim sklepom in tokom:

Ob predpostavljeni linearni zvezi :

kjer je L proporcionalna konstanta (induktivnost) v [H] oziroma [Vs/A], velja za akumulirano magnetno energijo:

Za zvezo med napetostjo na tuljavi in tokom velja:

Elektriški sistemi-osnovni elementi: (

)(if=ψ

iL=ψ

22

00 2

1

2

11E Li

Ld

Ldi ==== ∫∫ ψψψψ

ψψ

Idealni kondenzator; osnovni element za katerega je podana enoumna zveza med nabojem q in napetostjo u:

Ob predpostavljeni linearni zvezi:

kjer je C proporcionalna konstanta (kapacitivnost) v [F] oziroma [C/V] velja za akumulirano električno energijo:

Za zvezo med tokom in napetosrjo na kondenzatorju velja:

)(ufq =

uCq =

22

00 2

1

2

11E Cuq

Cdqq

Cdqu

qq

==== ∫∫

21 uuu −=

)(1 tu

)(ti

C

u

q

)(ufq =Akumulirana

energija v električnem

polju

refu

)(2 tu

21 uuu −=

)(1 tu

)(ti

L

i

ψ)(if=ψAkumulirana

energija v magnetnem

polju

refu

)(2 tu

dt

diLui

dt

diLiLi

dt

d

dt

duiP =→==== :/)

2

1(

E 2

dt

duCiu

dt

duCuCu

dt

d

dt

duiP =→==== :/)

2

1(

E 2

20

Page 21: Elektrodinamika-drugi del Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr ... · Elektrodinamika-II Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr. Jože Ritonja Učni cilj: spoznati osnovne koncepte v modeliranju in

Idealni izvori; v elektriških sistemih uporabljamo idealne napetostne in tokevne izvore, kjer sta vzbujalna napetost ali tok neodvisna od stanja v točki priključitve izvora. Idealni izvori lahko sprejemajo ali oddajajo neskončno električno moč. Realnejše razmere dobimo če na ustrezen način razširimo idealne izvore z notranjo upornostjo.

Idealni upor; osnovni element za katerega je podana enoumna zveza med tikom in napetostjo:

Ob predpostavljeni linearni upornosti :

kjer je R proporcionalna konstanta (upornost) v [ ] oziroma [V/A], velja za izgubno (disipativno) električno moč:

Elektriški sistemi-osnovni elementi: (

)(ufi =

uR

i1=

22 1P u

RRiiu ===

21 uuu −=

)(1 tu

)(ti

R

u

i)(ufi =

refu

)(2 tu

Ω

)(2 tu

)(tis

)(1 tu )(2 tu

)()()( 21 tututus −=

)(1 tu+

21

Page 22: Elektrodinamika-drugi del Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr ... · Elektrodinamika-II Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr. Jože Ritonja Učni cilj: spoznati osnovne koncepte v modeliranju in

Spremembo notranje energije meganskega sistema v času dt lahko izrazimo kot:

V mehanskih sistemih definiramo dve vrsti energije:

- kinetično, ki je posledica gibanja elementov s končno maso in

- potencialno, ki je posledica elestičnih deformacij elementov

V primeru, da mehanski sistem tvorijo samo mehanski elementi brez izgub lahko vloženo (akumulirano) kinetično ali potencialno energijo kadarkoli dobimo vrnjeno, oziroma jo sistemu v celoti zopet odvzamemo. Za mehansko moč velja:

Notranje energijo sistema, ki jo izkoristimo za opravlajnje mehanskega dela izrazimo kot:

V translatornih mehanskih.sistemih vpeljemo še dve spremenljivki- (linearni) pomikx [m]:

in gibalno kolićino p [Ns]

Mehanski sistemi-osnovni elementi: (translatorni)

)()()( tvtFtP = [ ] [ ] [ ]m/s,,W −−− vNFP

τττττ dvFdPEtt

)()()(00∫∫ ==

dtvdxxdvtxt

=→+= ∫ )0()()(0

ττ

dtFdppdFtpt

=→+= ∫ )0()()(0

ττ

dpvdtFvdFvdtdE ==→= )(E/ kinetičin

dtvFdFvdtdE )(E/ adisipativn =→=

Sprememba energije kot posledica spremembe položaja zaradi elestične deformacije elementa.

Sprememba energije kot posledica spremembe gibalne količine, ki je povezan z gibanjem mase..

Sprememba energije kot posledica mehanskih izgub zaradi trenja (dušenja). Pri tem pride do spremembe mehanske energije v toplotno, ki prehaja v okolico. Spremeba je nepovratna (ireverzibilna), v toploto pretvorjene energije ni več mogoče vrniti mehanskemu sistemu mehanske izgube.

refx)()()( tvtFtP =

)(tv

)(tF

)(tx

dxFdtvFdFvdtdE ==→= )(E/ apotencialn

Lep pregled SI sistema merskih enot najdete na: http://physics.nist.gov/cuu/Units/

22

Page 23: Elektrodinamika-drugi del Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr ... · Elektrodinamika-II Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr. Jože Ritonja Učni cilj: spoznati osnovne koncepte v modeliranju in

Idealna vzmet; osnovni element za katerega je podana enoumna zveza med silo in pomikom:

Akumulirana energija:

Za linearno vzmet velja:

kjer je K konstanta vzmeti v [N/m]

Za zvezo med silo in hitrostjo velja:

Mehanski sistemi-osnovni elementi: (translatorni)

)(Ffx =

1

021 lxxx −−=

)(1 tv

)(tF

1x

)(2 tv

2x

0l

)(tF

K

2

F

x)(Ffx =

Akumulirana energija

dxFx

∫=0

E

xKF =

22

00 2

1

2

1E F

KxKdxxKdxF

xx

==== ∫∫

)( 21 vvKxdt

dKF

dt

d −==

Predstavitev s posplošenim vezjem (analogija)

f

1e

2ef –posplošena vzdolžna variabla

e –posplošena prečna variablaL~

KL

eefdt

dL

/1~

~21

=

−=Predstavitev s simulacijskim diagramom:

f

1e

2e

L~

/1

0f

refx

23

Page 24: Elektrodinamika-drugi del Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr ... · Elektrodinamika-II Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr. Jože Ritonja Učni cilj: spoznati osnovne koncepte v modeliranju in

Masa: osnovni element za katerega je podana enoumna zveza med gibalno količino p in hitrostjo v:

Predpostavimo, da je v << c, kjer je c hitrost svetlobe

Za akumulirano energijo mase m, ki se giblje s hitrostjo v velja:

Za zvezo med silo in hitrostjo velja:

oziroma:

Mehanski sistemi-osnovni elementi: (translatorni)

)(vfp =)(tv

2x

)(tF

m

v

p

)(vfp =Akumulirana

energija

dt

dvmF =

Predstavitev s posplošenim vezjem (analogija)

fe f –posplošena vzdolžna variabla

e –posplošena prečna variablaC~

0

0

)(~1

~

edfC

e

dt

deCf

t

+=

=

∫ ττ

vmp =

22

00 2

1

2

1E vmp

mdp

m

pdpv

pp

==== ∫∫

0

0

)(1

vdFm

vt

+= ∫ ττ

Pri velikih hitrostih velja za gibalno količino:

2)/(1 cv

vmp

−=

V izvajanju predpostavljamo, da je telo togo (se ne deformira pod vplivom zunanjih sil) in da je masa m kostantna.

Predstavitev s simulacijskim diagramom:

ef

C~

/1

0e

refx

24

Page 25: Elektrodinamika-drugi del Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr ... · Elektrodinamika-II Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr. Jože Ritonja Učni cilj: spoznati osnovne koncepte v modeliranju in

Dušenje-trenje: osnovni element za katerega je podana enoumna zveza med silo trenja/dušenja in hitrostjo v:

Če predpostavimo linearno zvezo med silo in hitrostjo (viskozno dušenje/trenje) potem velja:

kjer je B koeficient dušenja v [Ns/m]. Moč, ki se nepovratno izgublja pri dušenju je:

Idealni dušilni element je torej brez dinamike, saj ne akumulira mehanske energije. Zveza med hitrostjo in silo je podana s statično karakteristiko. Poleg linearnega (viskoznega) dušenja v mehanskih sistemih pogosto upoštevamo nelinearne karakteristike, ki opisujejo Culombovo trenje, hitrostno odvisno trenje, zračni upor,.....

Mehanski sistemi-osnovni elementi: (translatorni)

)(vfF =)(1 tv

21 vvv −=

)(tFB

v

F)(vfF =

Predstavitev s posplošenim vezjem (analogija)

f –posplošena vzdolžna variabla

e –posplošena prečna variabla

BR

fRee

/1~

~21

=

=−

)( 21 vvBvBF −==

22 1P F

BvBvF ===

)(2 tv

)(tF

f2e

R~1e

Predstavitev s simulacijskim diagramom:

1e

2eR~

/1v

F

f

refx

25

Page 26: Elektrodinamika-drugi del Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr ... · Elektrodinamika-II Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr. Jože Ritonja Učni cilj: spoznati osnovne koncepte v modeliranju in

Vzbujanje mehanskih sistemov; kot vzbujalni veličini nastopajo v mehanskih sistemih sile in/ali hitrosti, ki jih generirajo idealni izvori. So neodvisni od stanja v točki kjer delujejo na sistem in lahko oddajajo ali sprejemajo neskončno moč. Realne izvore opišemo tako, da jim na ustrezen način dodamo dušilne elemente.

Mehanski sistemi: (translatorni)

)(1 tv

)(tF

)(2 tv

1 2

)(1 tv

)(tV

)(2 tv

1 2

− +

V translatornih mehanskih sistemih so položaj, hitrost, pospešek, vzbujalna sila in obremenitev vedno povezani v integratorski (kinematični) verigi.

)(tv )(tx)(ta

)(tFb

)(tFa

m/10v 0x

vzbujalna sila

obremenitev

pospešek hitrost

položaj

)(tu )(ty

)(tF K m B

Sistem je enorazsežen (ena prostostna stopnja), zaradi dveh energijskih akumulatorjev pa drugega reda. Ravnotežna enačba:

ymvmamFi

i ===∑Za silo vzmeti in dušenje velja:

yBF

yuKF

d

v

−=−= )(

NDE/,/;

:/

001001

====++=++

mKbamBaubyayay

muKyKyBym

yyyu 0y0y

0a

1a

Spremenljivki stanja sta očitno položaj in hitrost oziroma izhoda iz obeh integratorjev

0b

1x2x

refx

26

Page 27: Elektrodinamika-drugi del Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr ... · Elektrodinamika-II Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr. Jože Ritonja Učni cilj: spoznati osnovne koncepte v modeliranju in

Mehanski sistemi: (translatorni)

Zapišemo v matrični obliki:

→===→==

yxxyx

yxyx

221

21

,

,

[ ] xcy

buAxubx

x

aax

xx

T

02

1

102

1

01

010

==

+=

+

−−

=

=

Z vpeljavo spremenljivk stanja smo NDE drugega reda pretvorili v sistem diferencialnih enačb prvega reda.. Tako zapisan sistem, ki ga podajajo sistemska matrika A, vhodna matrika (vektor) b in izhodna matrika (vektor) c bomo imenovali “model v prostoru stanj-MPS”.

Ali je to edina možna oblika modela v prostoru stanj ?

Ne, MPS lahko zapišemo na mnogo načinov, le nekatere značilne (normalne) oblike pa uporabljamo v analizi in sintezi dinamičnih sistemov.

yyaubya

ubyayay

x

−−+−=→=++

=

100

001

1

0

2x=

0=

[ ] xy

ub

xa

ax

xaxx

ubxax

yxyx

yaxxyaxx

ubyax

10

01

0

0

0

1

0

2112

0201

22

112112

001

=

+

−−

=

−=+−=

−−−−−−−−−−−−−−−−

=∫ ∫→−=

−=∫→−=

+−=

y2x1xu

0a 1a

10x20x

27

Page 28: Elektrodinamika-drugi del Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr ... · Elektrodinamika-II Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr. Jože Ritonja Učni cilj: spoznati osnovne koncepte v modeliranju in

V rotacijskih mehanskih sistemih prav tako nastopata dve vrsti energije:

- kinetična, ki je posledica vrtenja elementov s končno maso okrog rotacijske osi in

- potencialna, ki je posledica torzijske elestičnosti

V primeru, da rotacijski mehanski sistem tvorijo samo mehanski elementi brez izgub lahko vloženo (akumulirano) kinetično ali potencialno energijo kadarkoli dobimo vrnjeno, oziroma jo sistemu v celoti zopet odvzamemo. Za mehansko moč velja:

kjer je T mahanski navor in kotna hitrost. Notranjo energijo rotacijskega mehanskega sistema je:

V rotacijskih mehanskih.sistemih vpeljemo še dve spremenljivki- (linearni) zasuk [rad]:

in vrtilno kolićino h [Nms]

Spremembo notranje energije rotacijskega sistema v času dt lahko izrazimo kot:

Mehanski sistemi: (rotacijski

)()()( ttTtP Ω= [ ] [ ] [ ]rad/s,Nm,W −Ω−− TP

τττττ dTdPtt

)()()(E00

Ω== ∫∫

dtddtt

Ω=Θ→Θ+Ω=Θ ∫ )0()()(0

ττ

dttTdhhdTtht

)()0()()(0

=→+= ∫ ττ

dhdtTdTdtdE Ω=Ω=→Ω= )(E/ kinetičin

dtTdTdtdE )(E/ adisipativn Ω=→Ω=

Θ=Ω=→Ω= dTdtTdTdtdE )(E/ apotencialn

Ω

Θ

)()()( ttTtP Ω=

)(tT)(tΩ

r

F

rFT ×=os vrtenja

r

v

rv /=Ωos vrtenja

refΩ

28

Page 29: Elektrodinamika-drugi del Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr ... · Elektrodinamika-II Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr. Jože Ritonja Učni cilj: spoznati osnovne koncepte v modeliranju in

Torzijska vzmet; osnovni element za katerega je podana enoumna zveza med navorom in zasukom:

:

Akumulirana energija:

Za idealno torzijsko vzmet velja:

kjer je K konstanta vzmeti v [Nm/rad]

Za zvezo med navorom in vrtilno hitrostjo velja:

Mehanski sistemi-osnovni elementi: (rotacijski)

)(Tf=Θ)(1 tΩ

)(tT)(tT

K

T

Θ)(Tf=Θ

Akumulirana energija

Θ= ∫Θ

dT0

E

TK

1=Θ

22

00 2

1

2

1E T

KKdKdT =Θ=ΘΘ=Θ= ∫∫

ΘΘ

)( 21 Ω−Ω=Θ= Kdt

dKT

dt

d

Predstavitev s posplošenim vezjem (analogija)

f

1e

2ef –posplošena vzdolžna variabla

e –posplošena prečna variablaL~

KL

eefdt

dL

/1~

~21

=

−=Predstavitev s simulacijskim diagramom:

f

1e

2e

L~

/1

0f

)(2 tΩ

)()()( 21 ttt Ω−Ω=Ω

refΩ

29

Page 30: Elektrodinamika-drugi del Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr ... · Elektrodinamika-II Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr. Jože Ritonja Učni cilj: spoznati osnovne koncepte v modeliranju in

Rotacijska vztrajnost: osnovni element za katerega je podana enoumna zveza med vrtilno količino h in krožno hitrostjo :

Če predpostavimo linerno odvisnost med med vrtilno količino in vrtilno hitrostjo

kjer smo z J označili vztrajnostni moment v . Za akumulirano energijo velja:

Za zvezo med navorom in vrtilno hitrostjo velja:

oziroma:

Mehanski sistemi-osnovni elementi: (rotacijski)

)(Ω= fh

)(tΩ

)(tTJ

Ω

h)(Ω= fh

Akumulirana energija

dt

dJT

Ω=

Predstavitev s posplošenim vezjem (analogija)

fe f –posplošena vzdolžna variabla

e –posplošena prečna variablaC~

0

0

)(~1

~

edfC

e

dt

deCf

t

+=

=

∫ ττ

Ω= Jh

22

00 2

1

2

1E Ω===Ω= ∫∫ Jh

Jdh

J

hdh

hh

0

0

)(1 Ω+=Ω ∫

t

dTJ

ττ

refΩ

Ω

[ ]2mkg

30

Page 31: Elektrodinamika-drugi del Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr ... · Elektrodinamika-II Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr. Jože Ritonja Učni cilj: spoznati osnovne koncepte v modeliranju in

Rotacijsko dušenje: osnovni element za katerega je podana enoumna zveza med dušilnim navorom in vrtilno hitrostjo:

Če predpostavimo linearno zvezo med navorom in vrtilno hitrostjo (viskozno dušenje/trenje) potem velja:

kjer je B koeficient dušenja v [Nm/s]. Moč, ki se nepovratno izgublja pri dušenju je:

Idealni rotacijski dušilni element je torej brez dinamike, saj ne akumulira mehanske energije. Zveza med vrtilno hitrostjo in navorom je podana s statično karakteristiko. Poleg linearnega (viskoznega) dušenja v rotacijskih mehanskih sistemih pogosto upoštevamo nelinearne karakteristike, ki opisujejo Culombovo dušenje, ventilatorsko karakteristiko,.....

Mehanski sistemi-osnovni elementi: (rotacijski)

)(Ω= fT

)(1 tΩ

21 Ω−Ω=Ω

)(tT

B

Ω

T)(Ω= fT

Predstavitev s posplošenim vezjem (analogija)

f –posplošena vzdolžna spremenljivka

e –posplošena prečna spremenljivka

BR

fRee

/1~

~21

=

=−

)( 21 Ω−Ω=Ω= BBT

22 1P T

BBT =Ω=Ω=

)(2 tΩ

f2e

R~1e

Ω

T

refΩ

)(tT

31

Page 32: Elektrodinamika-drugi del Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr ... · Elektrodinamika-II Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr. Jože Ritonja Učni cilj: spoznati osnovne koncepte v modeliranju in

2 2 20

2 2

1 1

2 2(1 cos ), the change in elevation

is (1 cos )

1( ) (1 cos ) 0

2

T J m

U mg

d dT U m mg

dt dt

θ θ

θθ

θ θ

= =

= −−

+ = + − = ÷

l

l

l

l l

Mehanski sistemi: (rotacijski)

( )2

2

2

(sin ) 0

(sin ) 0

(sin ) 0

( ) sin ( ) 0

( ) ( ) 0 n

m mg

m mg

m mg

gt t

g gt t

θθ θ θ

θ θ θ

θ θ

θ θ

θ θ ω

+ =

⇒ + =

⇒ + =

⇒ + =

⇒ + = ⇒ =

l l

l l

l l

l

l l

l2lmJ =

gm

m

θ

32

Ker zanimarimo izgube mora biti notranja energija konstantna, torej je njen časovni odvod enak nič.

Če predpostavimo majhna odstopanja okrog naravne ravnotežne lege, kjer velja:

⇒≈ )()(sin tt θθ

1x=θ2x=θθ

lg /

0θ0θ

0;0/

10xx

lgx

=

lgj

lg

/

0/

2,1

2

±=

→=+

λ

λ→=− 0)det( AIλ

Rešitev karakteristične enačbe:

možno le, če je izraz v oklepaju

enak nič:

Page 33: Elektrodinamika-drugi del Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr ... · Elektrodinamika-II Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr. Jože Ritonja Učni cilj: spoznati osnovne koncepte v modeliranju in

Vzbujanje rotacijskih mehanskih sistemov; kot vzbujalni veličini nastopajo v rotacijskih mehanskih sistemih navori in/ali vrtilne hitrosti, ki jih generirajo idealni izvori. So neodvisni od stanja v točki kjer delujejo na sistem in lahko oddajajo ali sprejemajo neskončno moč. Realne izvore opišemo tako, da jim na ustrezen način dodamo dušilne elemente.

Mehanski sistemi: (rotacijski)

)()()( 12 ttt Ω−Ω=Ω− +

V rotacijskih mehanskih sistemih so zasuk, vrtilna hitrost, kotni pospešek, vzbujalni in bremenski navor vedno povezani v integratorski (kinematični) verigi.

)(tΩ )(tΘ)(tα

)(tTb

)(tTa

J/10Ω 0Θ

vzbujalni navor

bremenski navor

kotni pospešek

vrtilna hitrost

zasuk

Ravnotežna enačba:

bbbbbm

bmmmmmm

ii

BJK

KBJT

mmJT

Θ+Θ=Θ−Θ

Θ−Θ+Θ+Θ=

→Θ=Ω==∑

)(

)(

α

)(1 tΩ

)(tT

)(2 tΩ )(1 tΩ )(2 tΩ

KbJ

mB)(tTm

)(

)(

t

t

m

m

ΘΩ

)(

)(

t

t

b

b

ΘΩ

mJbB

pogonska stran

bremenska stran

Zgled: Dvomasni rotacijski sistem (elektromotorski pogoni, turbina-generator,...):

Stanja sistema:

Θ==Θ=

Θ==Θ=

mb

bb

xxx

xxx

343

121

,

,

2213

1344

)(

)(

xBxJxxK

xxKxBxJT

bb

mmm

+=−−++=

33

Page 34: Elektrodinamika-drugi del Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr ... · Elektrodinamika-II Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr. Jože Ritonja Učni cilj: spoznati osnovne koncepte v modeliranju in

1/s1/s

1/s1/s

1

1

1

1

1

Mehanski sistemi: (rotacijski)

Dalje sledi:

+−−==

+−−==

mmmmmm

bbbb

TJxJKxJBxJKx

xx

xJKxJBxJKx

xx

/1///

///

3414

43

3212

21

ubxA

T

J

x

JBJKJK

JKJBJKx m

mmmmm

bbbb

+=

=

+

−−

−−=

/1

0

0

0

//0/

1000

0///

0010

mT mJ/1

bJ/1

mB

bB

K

mΘmm Ω=Θ

bb Ω=Θ 0bΘ0bΘ

0mΘ0mΘ

34

Page 35: Elektrodinamika-drugi del Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr ... · Elektrodinamika-II Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr. Jože Ritonja Učni cilj: spoznati osnovne koncepte v modeliranju in

Zgled; na osnovi analogij zapišimo model mehanskega sistema s posplošenim vezjem

Analogije-zgled:

1m 2m 2B1B K

sF

1v 2v

0=refv

0;0 321 =−−=−− ffffff LLs

1

~C

0=refu

2

~C

)(tf s

)(~

2 tR)(~

1 tR L~

)(1 tf )(2 tf

)(3 tf

1e2e

Ravnotežne enečbe

vozliščne

0;0 22211 =−=−−− RLR eeeeee zančne

∫∫

=

==

==

t

LL

RLR

tt

deL

f

fRefRe

dfC

edfC

e

0

32211

0

2

2

2

0

1

1

1

~1

~~~1

~1

τ

ττ

sf

1

~/1 C

1e

2e

Lf

1

~R

2

~/1 R

2

~/1 C

L~

/110e0Lf

20e

1f

35

Page 36: Elektrodinamika-drugi del Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr ... · Elektrodinamika-II Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr. Jože Ritonja Učni cilj: spoznati osnovne koncepte v modeliranju in

Analogije-zgled:

Ob upoštevanju stanj sistema :

→= T21 ][ Lfeex

[ ] 2

0

1

2

1

1

222

1

2

1

010

;

0

0

~/1

~/

~~/1

~/1

~/1

~~/10

~/100

excxy

xubxA

f

C

f

e

e

LRLL

CRC

C

f

e

e

x

T

s

LL

===

+=

=

+

−−−

−=

=

36

Page 37: Elektrodinamika-drugi del Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr ... · Elektrodinamika-II Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr. Jože Ritonja Učni cilj: spoznati osnovne koncepte v modeliranju in

Lagrange-ovo funkcijo (L) izrazimo kot razliko med kinetično (T) in potencialno energijo (V) v posplošenih koordinatah:

Zakon o ohranitvi energije za konzervativne sisteme (brez disipacije in znanjih vzbujanj):

Ker bomo v nadaljevanju obranavali sisteme z različno fizikalno naravo si najprej izberimo posplošene koordinate pri čemer bomo izhajali iz analogij med različnimi sistemi in njihovimi predstavitvami.

Euler-Lagrangeova metoda:

energ. pot.energ. kin.

)(),(),( qVqqTqqL −=

EL metoda omogoča opisovanje linearnih in nelinearnih dinamičnih sistemov na osnovi energijskih funkcij, ki jih izrazimo v “posplošenih koordinatah”. Primerna je za opisovanje mehanskih sistemov, elektriških vezij, elektromagnetnih pretvornikov in lektromehanskih sistemov.

Izbira posplošenih koordinat je deloma intuitivna, kljub temu pa lahko za vse energijske akumulatorje obravnavenega sistema praviloma najdemo konsistenten nabor koordinat.

Poleg poslošenega položaja potrebujemo za opis sistema tudi prve odvode (posplošene “hitrosti”) in druge odvode (posplošeni “momenti”).

Postopek: izberemo koordinate, ki določajo konfiguracijo sistema, za posamične energijske akumulatorje zapišemo kinetično energijo v izbranih koordinatah in poiščemo pripadajoče prve odvode določimo še potencialno energijo in posplošene sile (vzbujalne, disipacijske) sistem zapišemo v obliki EL enačbe in ga prevedemo v standardno obliko:

),(

ali,,,

uxfxDCBA

=∑

posplošene koordinate (položaji v meh sist.)

posplošene “hitrosti”

0

konst.!

=

→=−=

dt

dL

VTL

37

Page 38: Elektrodinamika-drugi del Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr ... · Elektrodinamika-II Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr. Jože Ritonja Učni cilj: spoznati osnovne koncepte v modeliranju in

Euler-Lagrangeova metoda:

el.1

1

meh.

=+

=+

−−−−−−−−−−

=+

=+

iL

C

uqC

qL

TKJ

fxKxm

ψψ

θθ

ψi CL

L

uCq

θ

T

K

Jm

K

x

f

Torej lahko kot posplošene koordinate privzamemo:•položaj oziroma kot zasuka v mehanskih sistemih in• naboj oziroma magnetni sklep v elektriških sistemih. Napetosti in toki, ki jih običajno uporabljamo za opisovanje elektriških vezij, predstavljajo torej odvode pospološenih koordinat (“posplošene hitrosti”):

(navor)

(naboj)

Ravnotežne enačbe:

uiq == ψ ,

38

Page 39: Elektrodinamika-drugi del Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr ... · Elektrodinamika-II Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr. Jože Ritonja Učni cilj: spoznati osnovne koncepte v modeliranju in

Euler-Lagrangeova metoda:

Na osnovi posplošenih koordinat lahko postavimo naslednje analogije:

Posplošene koordinate

Posplošene hitrosti

Kinetična energija

(T)

Potencialna

energija (V)

Posplošene gibalne količine

(momenti ) (p)

Potencialne sile

Posplošene vzbujalne sile

Translacija položaj hitrost

Rotacija zasuk kotna hitr.

Zaporedno naboj tok

Vzporedno magnetni sklep

napetost

θ

x x

θ

qiq =

ψ u=ψ

2

2

1xm

2

2

1 θJ

2

2

1qL

2

2

1 ψC

2

2

1xK

2

2

1 θK

2

2

1q

C

2

2

1 ψL

xm

θJ

qL

ψC

xK

θK

qC

1

ψL

1

f

T

u

i

39

Page 40: Elektrodinamika-drugi del Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr ... · Elektrodinamika-II Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr. Jože Ritonja Učni cilj: spoznati osnovne koncepte v modeliranju in

Euler-Lagrangeova metoda:

Kinetično in potencialno energijo lahko dobimo z integracijo posplošenih gibalnih količin oziroma potencialnih sil::

i

q

i

N

i

i

q

i

N

i

qdqfqV

qdqqpqqT

′′=

′′=

∫∑

∫∑

=

=

0 1

0 0

)()(

),(),(

1q′

2q′

3q′

)0,0,( 1q)0,,( 21 qq

),,( 321 qqq

2q

3q

oziroma::

∂∂

∂∂

=∂∂=

∂∂

∂∂

=∂∂=

NN q

V

q

V

q

Vqf

q

T

q

T

q

Tqqp

11

)(;),(

Ker je rezultat neodvisen od poti integracije velja za primer N=3

3

0

3213

2

0

2121

0

11

3

21

),,,(

)0,,,()0,0,,(),(

qdqqqqp

qdqqqpqdqqpqqT

q

qq

′′′′+

+′′′+′′=

∫∫

40

Page 41: Elektrodinamika-drugi del Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr ... · Elektrodinamika-II Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr. Jože Ritonja Učni cilj: spoznati osnovne koncepte v modeliranju in

Euler-Lagrangeova metoda:

Za primer na sliki izberemo kot posplošene koordinate:

[ ]T321

321 ,,

qqqq

qqqqxq ba

=

→===

K1qx =

m

av bv)( 1qM ab

aR bR

2qqa =3qqb =

C

)( 1qLa )( 1qLb

Posplošeni momenti:

++=

2131

3121

1

)()(

)()(),(

qqMqqL

qqMqqL

qm

qqp

abb

aba

Kinetično energijo dobimo z integracijo posplošenih momentov:

321231

221

21

321

0

312

0

211

0

1

0

3

0

)()(2

1)(

2

1

2

1

))()(()(

),(),(

321

qqqMqqLqqLqm

qdqqMqqLqdqqLqdqm

qdqqpqqT

abba

ab

q

b

q

a

q

i

q

ii

+++=

=′+′+′′+′′=

=′′=

∫∫∫

∫∑= • Posamezni členi so odvisni od več

kot ene spremenljivke kar je značilno za povezane elektromehanske sisteme

• Lastne in medsebojne induktivnosti so poleg snovno-geometrijskih lastnosti odvisne tudi od posplošene koordinate x (položaj).

• Predpostavili smo magnetno linearnost

P1:

41

Page 42: Elektrodinamika-drugi del Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr ... · Elektrodinamika-II Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr. Jože Ritonja Učni cilj: spoznati osnovne koncepte v modeliranju in

Euler-Lagrangeova metoda:

Potencialno energijo dobimo z integracijo potencialnih sil:

22

2122

0

11

0

2

1

2

1

2

11

0

1)(

21

qC

KqqdqC

qdqKV

qC

qK

qf

qq

+=′′+′′=

=

∫∫

Lagrange-ova funkcija je potem:

))(2)()((2

1 221

222 CuKxiixMixLixLxm

VTL

baabbbaa −−+++=

=−=

2222 2

1

2

1Cuq

CCuq =→=

42

Page 43: Elektrodinamika-drugi del Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr ... · Elektrodinamika-II Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr. Jože Ritonja Učni cilj: spoznati osnovne koncepte v modeliranju in

Euler-Lagrangeova metoda:

VTL

xxKxKxKV

xmxmT

−=

−++=

+=

2213

222

211

222

211

)(2

1

2

1

2

12

1

2

1

P2:

2K

2x

1x

1K 3K1m

2m

43

Page 44: Elektrodinamika-drugi del Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr ... · Elektrodinamika-II Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr. Jože Ritonja Učni cilj: spoznati osnovne koncepte v modeliranju in

Euler-Lagrangeova enačba:

sile)(vzbujalne

zunanje

silekedisipacijs

sileepotencialn

sile nepospeševal

kol. gibalne posplošene

)(),(),(f

q

qD

q

qqL

q

qqL

dt

d =∂

∂+∂

∂−

∂∂

Pri tem za Rayleightovo disipacijsko funkcijo D velja:

kjer M podaja število disipacijskih elementov in pripadajoče dušilne koeficiente.

=

=

=∂

=

M

iii

M

iii

qq

qD

qqD

1

1

2

)(

2

1)(

β

β

Z EL enačno torej opišemo gibanje sistema na osnovi ravnotežja med pospoeševalnimi, potencalnimi, disipacijskimi in zunanjimi, vzbujalnimi silami. Omogoča nam, da na sistematičen, fizikalno utemeljen način opišemo obravnavan sistem v obliki linearnih ali nelinearnih diferencialnih enačb drugega reda. Ker postopek temelji na energijskem konceptu je na ta način omogočena njabolj naravna povezava s spremenljivkami stanja. Modeli zapisani v obliki sistema diferencialnih enačb prvega reda na osnovi stanj sistema, omogočajo namreč vpeljavo množice formalnih postopkov za analizo oziroma sintezo.

44

Page 45: Elektrodinamika-drugi del Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr ... · Elektrodinamika-II Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr. Jože Ritonja Učni cilj: spoznati osnovne koncepte v modeliranju in

Euler-Lagrangeova metoda:

2

2122

11

223

2212

211

222

211

)(2

1

2

12

1)(

2

1

2

12

1

2

1

θθθ

θθθθ

θθ

−+=

+−+=

+=

BBD

KKKV

JJT

P2:

1K2K 3K

1θ 2θ

11,TJ

22 ,TJ1B

2B

vrstni red ni pomemben, ker gre za relativno hitrost

EL enačbo razvijemo po komponentah, posebaj za in :1θ 2θ

)(

)(

212111

212111

111

111

θθθθ

θθθθ

θθ

θθ

−+=∂∂

−+=∂∂

=

∂∂→=

∂∂

BBD

KKV

JT

dt

dJ

T

1212112121111 )()( TBBKKJ =−++−++ θθθθθθθ

za :1θ

In podobno za :2θ

21223312222 )()( TBkKJ =−++−+ θθθθθθ

45

Page 46: Elektrodinamika-drugi del Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr ... · Elektrodinamika-II Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr. Jože Ritonja Učni cilj: spoznati osnovne koncepte v modeliranju in

Euler-Lagrangeova metoda:

P2:

Energijsko stanje sistema je torej odvisno od zasukov in kotnih hitrosti obeh cilindrov zato je naravna izbira spremenljivk stanja sistema :

[ ] [ ]T4321

T

2211 xxxxx == θθθθ

1K2K 3K

1θ 2θ

11,TJ

22 ,TJ1B

2B

Vzbujanje je podano z obema navoroma: [ ] [ ]T21

T21 uuTTu ==

( )

( )

+−−−−−=

=

+−−−−−−=

=

2242331322

4

43

142211312111

2

21

)()(1

)()(1

uxxBxKxxKJ

x

xx

uxxBxBxxKxKJ

x

xx

0

2

1

2

1

4

3

2

1

2

2

2

32

2

2

2

2

1

2

1

1

1

21

1

21

;

10

00

01

00

1000

0010

xuBxAx

u

u

J

J

x

x

x

x

J

B

J

KK

J

B

J

K

J

B

J

K

J

BB

J

KK

x

+=

+

−+−

−−+−+−=

46

Page 47: Elektrodinamika-drugi del Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr ... · Elektrodinamika-II Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr. Jože Ritonja Učni cilj: spoznati osnovne koncepte v modeliranju in

Euler-Lagrangeova metoda:

Pri postavitvi energijske L funkcije je potrebno izbrati nabor posplošenih koordinat, ki mora biti konsistenten, posamezne koordinate pa med seboj linearno neodvisne. Če ima obravnavan sistem N neovisnih energijskih akumulatorjevj e seveda potrebno izbrati tudi N posplošenih koordant, ki na enoumen način opisujejo energijsko stanje celotnega sistema. V nekaterih primerihso lahko posplošene koordinate med seboj vezane z dodatnimi pogoji (omejitvami) v obliki algebrajskih ali diferencialnih enačb:

Omenjeni dodatni pogoji definirajo število prostorskih stopenj, ki ga ne smemo zamenjevati s stopnjo sistema. Poglejmo primer:

0),...,,....(ali0),....( 111 == NNN qqqqgqqf

1x

m

K

2x

a.)

21 xxx ==m

K

b.)

0

ali0

21

21

=−=−

xx

xx

V primeru a.) imamo dva energ. akumolatorja in deve neodvisni posplošeni koordinati. Stopnja sistema je 2, prav tako je tudi število prostorskih stopenja enako 2.

V primeru b.) lahko izberemo le eno posplošeno koordinato kar pomeni, da ima sistem le eno prostorsko stopnjo.

V splošnem velja, da je število posplošenih koordinat in s tem število prostostnih stopenj podano kot razlika med številom energijskih akumulatorjev in številom dodatnih pogojev (omejitev):

pps NNN −=Štev.pospl. Koord.

Štev.pospl. koord.

Štev. omejitev

Štev.energ. Akum.

47

Page 48: Elektrodinamika-drugi del Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr ... · Elektrodinamika-II Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr. Jože Ritonja Učni cilj: spoznati osnovne koncepte v modeliranju in

Euler-Lagrangeova metoda:

+=

0

)(),( 12111 qLqqL

qqp

Očitno velja omejitev:

P3:

2L

3=N

0oz. 3131 =−= qqqq

Izberemo lahko le dve posplošeni koordinati , sistem ima torej dve prostostni stopnji. Izhajamo iz posplošenih momentov:

21, qq

“Kinetično “ energijo dobimo z integracijo posplošenih momentov:

2120 1111 2

1)(

1

qLqdqqLTq

+′′′= ∫Za potencialno energijo velja:

222

1q

CV =

in za disipacijo:

222

2211 2

1)(

2

1qRqqRD +−=

Za komponento velja:1q

)()()(

)(in0

)(

)(

211121

111

21111

121

111

1

121111

auqqRqLq

LqL

qqRq

D

q

V

qLq

LqL

q

T

dt

d

qLqqLq

T

=−+

+

∂∂+

−=∂∂=

∂∂

+

∂∂+=

∂∂

+=∂∂

Za komponento velja:2q

)(01

)(

)(

1;0

211221

112212

222

bqC

qRqRR

qRqRRq

D

qCq

V

q

T

=+−+

−+=∂∂

=∂∂=

∂∂

1q

3q

2q

)( 11 qL

1R

2R

Cu

oe

48

Page 49: Elektrodinamika-drugi del Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr ... · Elektrodinamika-II Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr. Jože Ritonja Učni cilj: spoznati osnovne koncepte v modeliranju in

Euler-Lagrangeova metoda:

Enačbi (a ) in (b) podajata nelinearni model vezja. Če se v obravnavi omejimo na linearno področje potem velja:

P3:

konst.!0 11

1 =→=∂∂

Lq

L

( )

2

211221

211121

1

01

)(

)(

qC

e

qC

qRqRR

uqqRqLL

o =

=+−+

=−++

Enačba (a ) postane linearna tako da lahko zapišemo linerani model:

Ker v modelu ne nastopajo izberemo kot spremenljivke stanja:21 in qq

=

=

C

qx

qx

22

11 ( )→

=+−+

=−++

0)(

)(

211221

211121

xxRxCRR

uCxxRxLL

[ ]xy

uLLx

RRCRRC

RRRLL

R

RRLL

RR

x

10

0

1

)(

1

)(

))(())((21

2121

1

2121

1

2121

21

=

++

+−

+

++++=

49

)( 11 qL

1q

Page 50: Elektrodinamika-drugi del Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr ... · Elektrodinamika-II Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr. Jože Ritonja Učni cilj: spoznati osnovne koncepte v modeliranju in

Euler-Lagrangeova metoda:

P4:

50

Ob predpostavljeni magnetni linearnosti velja za pospološeni moment:

ixL )(=ψMagnetno energijo dobimo z integracijo posplošenega momenta po toku:

2

0

)(2

1)( ixLidixLT

i

mag =′′= ∫Silo, ki deluje na gibljiv element z maso m lahko izrazimo kot spremembo magnetne energije glede na pomik x:

Ku

B

i m

x xd −

dl

g

g

m

x

xLi

x

Tf mag

∂∂−=

∂∂

−= )(

2

1 2

Ker velja:

ixLi

Tmag )(=∂

sledi za elektromagnetni podsistem:

))(

)(()( xx

xLiixL

i

T

dt

d mag ∂

∂+=∂

Če upoštevamo še ohmsko upornost navitja dobimo:

uiRxx

xLiixL =+

∂∂+ )(

)(

Page 51: Elektrodinamika-drugi del Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr ... · Elektrodinamika-II Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr. Jože Ritonja Učni cilj: spoznati osnovne koncepte v modeliranju in

Euler-Lagrangeova metoda:

P4:

51

Za mehanski podsistem velja:

Za, od položaja x odvisno, induktivnost velja:

fxBKxxm

xBDxKVxmTmeh

=++→

===

222

2

1;

2

1;

2

1

g

xdlNxL

2

)()(

20 −= µ

od koder dobimo izraz za mehansko silo:

22202

4

)(

2

1iCiN

g

l

x

xLif

C

==∂

∂−=

µ

Page 52: Elektrodinamika-drugi del Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr ... · Elektrodinamika-II Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr. Jože Ritonja Učni cilj: spoznati osnovne koncepte v modeliranju in

Euler-Lagrangeova metoda:

P4:

52

Kot spremenljivke stanja izberemo tok, položaj in hitrost:

[ ] →= xxix

0

2123

3

311

;),(

)(

1

)(

1)(

)(

xuxfx

xm

CX

m

Kx

m

Bx

uxL

xxxLdx

xdLx

xL

R

x

=

+−−

+−−

=

Page 53: Elektrodinamika-drugi del Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr ... · Elektrodinamika-II Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr. Jože Ritonja Učni cilj: spoznati osnovne koncepte v modeliranju in

Euler-Lagrangeova metoda:

P5:

53

Za mehanski podsistem velja:

u

mg

i

f0x

x

→== xmgVxmTmeh ;2

1 2

),(

),()(

ixfmgxm

ixfx

V

x

T

dt

d meh

−=−

→−=∂∂−

∂∂

Za električni podsistem velja:

ixL )(=ψ

2

0

)(2

1)( ixLidixLT

i

mag =′′= ∫

x

xLi

x

Tixf mag

∂∂−=

∂∂

−= )(

2

1),( 2

Zaradi ohmske upornosti je disipacija :

2

2

1RiD =

EL enečba elektromagnetnega podsistema je potem:

uRixx

xLiixL

ui

DixL

dt

d

ui

D

i

T

dt

d mag

=+∂

∂+

→=∂∂+

=∂∂+

∂∂

)()(

))((

)(

Page 54: Elektrodinamika-drugi del Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr ... · Elektrodinamika-II Prof.dr. Bojan Grčar Doc.dr. Jože Ritonja Učni cilj: spoznati osnovne koncepte v modeliranju in

Euler-Lagrangeova metoda:

P5:

54

Za odvisnost :induktivnosti od položaja krogle velja:

20000

1

)()(

x

xL

x

xL

x

xLLxL −=

∂∂→+=

Induktivnost brez krogle:

Induktivnost z kroglo v ravnotežnem položaju:

Za silo, ki deluje na kroglo velja:

2

2

2

200

2002

2

22

1

)(

2

1

x

iC

x

ixL

x

xLi

x

xLi

x

Tf

C

mag

==

−−

=∂

∂−=∂

∂−=

=

Kot spremenljivke stanja izberemo::

→==== ixxxxxx 3121 ;;

1

0

132

1

1

13

1

21

23

2

;),(

)(

1)(

)(

1

)(

xy

xuxfx

uxL

xxdx

xdL

xLx

xL

Rx

x

m

Cg

x

x

==

+−−

−=

Nelinerani model v prostoru stanj: