CONSERVATOIRE NATIONAL DES ARTS ET METIERS

CNAM CCV109 Bton arm

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CONSERVATOIRE NATIONAL DES ARTS ET METIERS

CHAIRE DE TRAVAUX PUBLICS ET BATIMENT___________" BETON ARME " Chapitre 15 : Etat limite de stabilit de forme

(Code CCV109)Enseignant: J. PAS

2010 - 2011Sommaire

415.Etat limite de stabilit de forme

415.1.Introduction

415.2.Coefficient de remplissage

515.2.1.Coefficient de remplissage en Pivot A

915.2.2.Coefficient de remplissage en Pivot B

1015.3.Cas particulier dune analyse structurale non-linaire

1215.4.Coefficient de fluage effectif.

1315.5.Rappel sur le mcanisme de flambement

1315.5.1.Contrainte critique dEuler

1415.6.Longueur de flambement et lancement

1415.6.1.Longueur de flambement d'un lment isol

1515.6.2.Les poteaux de btiments

1615.7.Elancement

1615.7.1.Valeur de i pour une section rectangulaire

1715.7.2.Valeur de i pour une section circulaire

1715.7.3.Tableau des lancements

1815.8.Mthode gnrale dite Mthode de lquilibre

1915.8.1.Domaine d'application et hypothses

1915.8.2.Notions dexcentricit interne et externe.

2015.8.3.Dforme du poteau excentricit externe

2215.8.4.Rsistance du poteau - Excentricit interne.

2315.8.5.Dfinition de l'quilibre.

2415.8.6.Justification de l'quilibre

2515.8.7.Sections rectangulaires deux nappes d'armatures.

2815.9.Mthode de la rigidit nominale

2815.9.1.Rigidit nominale

2915.9.2.Coefficient de majoration des moments

3015.9.3.Mode opratoire

3115.10.Mthode de la courbure nominale.

3115.10.1.Moment de calcul

3115.10.2.Calcul de la courbure

3215.10.3.Mode opratoire

3315.11.Exercice 1: Dimensionnement d'un poteau par la mthode de la rigidit nominale

3315.11.1.Sollicitations

3315.11.2.Caractristiques gomtriques du poteau.

3415.11.3.Ncessit de calcul au flambement (effets du 2nd ordre).

3415.11.4.Dtermination des excentricits et sollicitations corriges ELU.

3515.11.5.Calcul des armatures au 1er ordre.

3615.11.6.Calcul des effets du second ordre.

4015.11.7.Vrification au flambement

4115.11.8.Itration supplmentaire

4315.12.Exercice 2: Vrifications d'un poteau par la mthode d'quilibre

4315.12.1.Caractristiques gomtriques du poteau

4315.12.2.Calcul des sollicitations

4415.12.3.Calcul du coefficient de fluage effectif

4415.12.4.Ncessit de calcul au flambement (effets du 2nd ordre).

4515.12.5.Mthode de l'quilibre

4915.13.Exercice 3: dimensionnement dun poteau par la mthode de la courbure nominale.

4915.13.1.Sollicitations

4915.13.2.Caractristiques gomtriques du poteau

4915.13.3.Ncessit de calcul au flambement

5015.13.4.Dtermination des excentricits et sollicitations corriges ELU.

5015.13.5.Calcul des armatures au 1er ordre.

5015.13.6.Mthode de la courbure nominale (effet du 2nd ordre).

5315.13.7.Vrification au flambement

5315.13.8.Conclusion

15. Etat limite de stabilit de forme

15.1. Introduction

L'tat limite de stabilit de forme est un tat limite ultime qui sera donc vrifi sous les combinaisons pondres l'E.L.U

Cet tat limite de stabilit de forme est plus communment appel "flambement" et peut survenir dans le cas des pices soumises en compression ou en flexion compose avec compression.

C'est le cas notamment des poteaux d'une structure.

La justification de l'tat limite de stabilit de forme consiste donc dmontrer (pour une section de bton et d'acier connue) qu'il existe un tat de contrainte qui quilibre la section et vrifie galement les critres de vrifications des dformations.Bien entendu, pour ce type de dimensionnement, il est impratif de prendre en compte les effets du second ordre.

Nous avons vu au chapitre 6 sur la flexion compose, quil existe certains critres vrifier pour ne pas avoir prendre en compte les effets du second ordre dans le dimensionnement des lments 5.8.2 et 5.8.3 de lEC2).

Dans ce chapitre de cours, nous aborderons les mthodes qui permettent de prendre en compte les effets du second ordre dans la justification des poteaux:

Mthode de la courbure nominale => mthode simplifie de dtermination des effets du second ordre par estimation des courbures. Mthode de la rigidit nominale => mthode simplifie de dtermination des effets du second ordre par estimation des rigidits. Mthode de lquilibre appele galement mthode gnrale.

Avant daborder ces mthodes, nous allons voir ou revoir quelques notions indispensables lapplication de ces mthodes, telles que la notion de coefficient de remplissage ou la dfinition du coefficient du fluage.Nous ferons ensuite un bref rappel sur la dfinition du phnomne de flambement.15.2. Coefficient de remplissageUsuellement, le dimensionnement en flexion simple (pivot A ou B) se fait en utilisant un diagramme rectangulaire simplifi de hauteur.

En ralit, la loi de comportement du bton est une parabole-rectangle laquelle on associe la notion de coefficient de remplissage.

Le coefficient de remplissage traduit, comme son nom lindique, le degr dutilisation de la partie parabole rectangle correspondant la compression du bton. Ce coefficient varie donc en fonction du niveau de sollicitation de la zone de bton comprim.

Prenons le schma ci-dessous dune section rectangulaire:

Les notations du schma prcdent sont les suivantes:

: la rsultante de compression qui correspond une contrainte uniforme applique sur toute la hauteur de la zone comprime. Dans ce cas, on a .

: la rsultante de compression qui correspond au diagramme parabole rectangle. Cette valeur est une fraction de.

: bras de levier de la rsultante de compression par rapport aux aciers tendus.On appelle coefficient de remplissage ( le coefficient dfini par le rapport entre la rsultante de compression relle et la rsultante de compression du diagramme rectangulaire: .

On dfinit galement un coefficient qui permet de positionner la rsultante du diagramme rel (voir schma ci-dessus).

On voit donc que le coefficient de remplissage dpend entre-autres du raccourcissement du bton et donc du pivot (A, B ou C) sur lequel se situe la section.

On distingue trois cas de figure:

Section en pivot A => le raccourcissement natteint pas 3.5 (sauf limite avec le pivot B). Section en pivot B => le raccourcissement du bton est au maximum, soit 3.5. Section en pivot C => on est dans le cas de la section entirement comprime, on a donc un raccourcissement du bton de 2 .15.2.1. Coefficient de remplissage en Pivot A

En pivot A, la raccourcissement du bton est infrieur 3.5 et la contrainte maximale de compression sur le bton est infrieure .

Lallongement des aciers est quant lui constant et gal :

pour un diagramme palier plastique horizontal.

pour un diagramme palier plastique inclin.

Les valeurs de et dpendent de la classe de lacier:

Nous allons, pour dtailler le principe, dfinir le coefficient de remplissage pour un acier de classe B, en considrantune loi de comportement palier inclin:

k= 1.08On considre un allongement des aciers constant et gal 45.

On peut alors tablir les relations suivantes (voir cours de flexion simple):

Pour la valeur particulire de , on a (= 0.042Prenons 0 ( 0.042Dans ce cas, on a le diagramme suivant:

(Diagramme issu du cours de J.Perchat)

On note (.x la valeur de lordonne qui correspondrait un raccourcissement du bton de 2 , ce qui revient prolonger fictivement le diagramme ci-dessus.

En appliquant le thorme des triangles semblables, on peut dterminer (:

On remplace par la valeur

On obtient

Pour dterminer le coefficient de remplissage, on cherche dterminer laire du diagramme qui est situ sous la parabole (hachure sur le schma prcdent).

Lquation de cette parabole est

Laire recherche vaut donc

On en dduit donc

Le centre de gravit de ce diagramme sobtient en divisant le moment statique par laire du diagramme (formules RDM classiques):

=>

On a donc:

Prenons 0.042 ( 0.072Ce cas correspond 2 3.5.

Dans ce cas, on a le schma suivant:

(Diagramme issu du cours de J.Perchat)

La valeur de ( est la mme que pour le cas prcdent.

Sans en faire la dmonstration, laire du diagramme est donne par la formule

Le coefficient de remplissage vaut donc

La valeur de est calcule de la mme faon que prcdemment (moment statique divis par laire de la section):

On a donc:

On voit que ces expressions sont assez complexes et non que peu dintrt car le pivot A ne peut quasiment pas tre atteint en flexion simple, du fait de la faible valeur de (.

On sintressera donc surtout au coefficient de remplissage pour le pivot B et le pivot C.

15.2.2. Coefficient de remplissage en Pivot B

En pivot B, par dfinition, le raccourcissement du bton est au maximum, soit 3.5.

On a donc la totalit du diagramme parabole-rectangle, ce qui se traduit par le schma:

(Diagramme issu du cours de J.Perchat)

On dtermine, partir de ce diagramme en considrant des rapports gomtriques sans dimension, la valeur du coefficient de remplissage et du coefficient de position du centre de gravit.

Le coefficient de remplissage est donn par la formule:

Le centre de gravit se dtermine en prenant les moments statiques par rapport laxe des abscisses:

avec

On retrouve les valeurs du diagramme rectangulaire simplifi pour le pivot B.

On adopte donc le diagramme rectangulaire simplifi dans le dimensionnement des sections en flexion simple pour les pivots A ou B.

15.3. Cas particulier dune analyse structurale non-linaire Les poteaux doivent faire lobjet dun dimensionnement bas sur une analyse structurale non-linaire qui impose lutilisation dune loi de comportement non-linaire de type Sargin simplifi (voir chapitre 3 du cours CCV004):

Cette loi se traduit par lexpression suivante:

Avec:

ou est la dformation au pic de contrainte. Cette valeur est dfinie dans le tableau du paragraphe III.A (tableau 3.1 de lEC2).

Les valeurs de raccourcissements caractristiques dpendent de la qualit de bton:

Pour une analyse au second ordre (flambement), lEC2 retient cette loi contrainte-dformation en remplaant par et en modifiant la pente en .

En effet, ce diagramme fait appel au module dYoung instantan du bton . Lanalyse en considrant la courbe initiale pourrait amener sous-estimer les dformations et donc les courbures et amener ainsi un sous-dimensionnement de llment. On aurait donc une scurit insuffisante vis--vis des effets du second ordre.

Cest pourquoi, on va dfinir partir de cette loi de comportement, le coefficient de remplissage et la position de la rsultante du diagramme comprim en fonction du raccourcissement du bton et du coefficient de fluage qui traduit lvolution des dformations sous chargement long-terme.Prenons une section compose de deux nappes darmatures:

Le coefficient de remplissage est dfini par la formule suivante (que nous ne dmontrerons pas):

Avec:

Le coefficient reprsente le coefficient de fluage.

On voit que le coefficient k est modifi et affect par le coefficient de fluage.

La position de la rsultante est dfinie par:

15.4. Coefficient de fluage effectif.Pour le calcul au 2nd ordre, lEC2 retient un coefficient de fluage effectif qui est dfinit par la formule:

Avec:

: coefficient de fluage dfinit ci-aprs.

: moment de service du 1er ordre sous combinaison de charges quasi-permanentes.

: moment ELU du 1er ordre (incluant les imperfections gomtriques).Le calcul du coefficient a dj t abord lors des chapitres sur le dimensionnement et la vrification ELS.

15.5. Rappel sur le mcanisme de flambement

Considrons une poutre droite dont les extrmits A et B sont assujetties demeurer sur laxe Ox.

Supposons quune force F longitudinale extrieure la poutre vienne lcarter de sa configuration dquilibre. Il est constat exprimentalement que:

Si F < Fc (charge critique), la poutre revient dans sa position dquilibre.

Si F = Fc, la poutre conserve la forme qui lui a t confre par la force F.

Si F > Fc, la poutre flchit, subit de grandes dformations et sapproche des conditions de rupture.

Avec Fc est la valeur critique de la charge.

Le flambement apparat lorsque deux conditions sont runies:

Elment lanc ( Charge critique Fc atteinte15.5.1. Contrainte critique dEuler

La charge critique Fc peut tre dfinie comme la plus petit force de compression qui est suffisante pour maintenir la barre dans une forme lgrement courbe.

La solution de ce problme a t dcouverte en 1744 par Euler. Il suffit dadmettre que cette forme courbe est ralise, lorsque la barre est soumise une force de compression, et de rechercher sous quelles conditions la poutre est en quilibre dans cet tat.Afin de simplifier lexercice, reprenons la pice droite plan moyen, de longueur L, dont la section A prsente un moment dinertie minimal I, articule ses extrmits, et o le moment flchissant d F vaut M = Fv.

En appliquant lquation de llastique

Nous trouvons lquation diffrentielle suivante:

avec

Aprs rsolution de cette quation, la charge critique de flambement ou charge critique dEuler est de la forme:

Fc =

La contrainte critique sobtient en divisant la charge critique par laire de la section A:

avec = lancement de la pice o i le rayon de giration du poteau

15.6. Longueur de flambement et lancement

15.6.1. Longueur de flambement d'un lment isol

La notion de longueur de flambement a dj t aborde lors du chapitre de compression simple.La longueur de flambement d'un poteau dpend de sa longueur libre et de ses conditions d'appuis.

La valeur de l0 dpend de la raideur des pices qui limitent le dplacement ou la rotation des extrmits du poteau. Or, il est difficile dvaluer ces raideurs qui dpendent des sollicitations, du ferraillage tabli, du degr plus ou moins grand de fissuration des sections etc.

15.6.2. Les poteaux de btiments

Dans le cas de poteaux de btiment, on appelle longueur libre l0 la longueur entre faces suprieures de deux planchers conscutifs:

Cependant, on peut galement mener un calcul exact de la longueur de flambement dun poteau partir de la rigidit des lments environnants.

Cette mthode est trs proche de la mthode dite des coefficients Ka-Kb qui tait applicable selon le BAEL91.

On distingue deux cas de figurepour le calcul de la longueur de flambement :

Elments contrevents structure nuds fixes (schma f ci-dessus):

Elments non-contrevents structure nuds dplaables (schma g ci-dessus):

Les coefficients et sont les coefficients de souplesse relatifs des encastrements partiels: , avec:

: rotation des lments sopposant la rotation pour un moment flchissant M.

EI: rigidit en flexion de llment comprim.

L: longueur libre de llment comprim.

Dans le cas dune ossature avec des poutres et des poteaux au droit du nud considr, le coefficient k peut galement scrire:

Cest le rapport des rigidits verticales sur les rigidits horizontales.

On considre une structure nuds fixes celle dont la stabilit transversale est assure par des contreventements ou des murs de refend.

On considre une structure nuds dplaables celle dont la stabilit transversale est uniquement assure par lencastrement des poutres sur les poteaux.

15.7. Elancement

On appelle lancement le rapport:

avec

rayon de giration de la section transversale

I = moment dinertie de la section transversale dans le plan de flambement

B = aire de la section transversale

Les rayons de giration dune section par rapport ses axes principaux sont dfinis par les formules:

Le rayon de giration est utilis pour vrifier les lments comprims. Cest une image de la distribution de la matire de part et dautre dun axe principal. Plus la matire est loigne de cet axe, plus linertie et le rayon de giration sont levs.

15.7.1. Valeur de i pour une section rectangulaire

Dans le cas dune section rectangulaire a*b, lexpression de i peut se simplifier car on a B = a*b et

donc selon x on trouve: et selon y:

15.7.2. Valeur de i pour une section circulaire

Dans le cas dune section circulaire de diamtre a, lexpression de i peut se simplifier car on a et

donc on trouve:

15.7.3. Tableau des lancements

Dans le tableau prcdent, issu dun ouvrage de RDM, la longueur de flambement est reprsente par la grandeur .

15.8. Mthode gnrale dite Mthode de lquilibreLa mthode gnrale est base sur une analyse non-linaire incluant:

La non-linarit gomtrique (effets du second ordre).

La non-linarit des lois de comportement des matriaux (diagramme contrainte-dformation de Sargin simplifi.

L'quilibre l'tat limite de stabilit de forme consiste dmontrer qu'il existe un quilibre entre la courbure due aux efforts externe et celle due aux efforts internes.Cette mthode peut tre schmatise par lorganigramme ci-dessous (issu de louvrage Maitrise de lEurocode 2 de Jean Roux aux ditions Eyrolles:

On peut galement appliquer les deux mthodes simplifies suivantes:

Mthode de la rigidit nominale

Mthode de la courbure nominale.

15.8.1. Domaine d'application et hypothses

Cette mthode est applicable sous certaines conditions :

Le poteau doit avoir une section constante (aussi bien pour le bton que pour les armatures).

La ligne moyenne est symtrique par rapport la section mdiane.

Le poteau doit tre bi-articul ou encastr en pied et libre en tte. Le poteau doit reprendre en tte des moments en ttes qui conduisent des excentricits non ngligeables (comme par exemple des poteaux de btiments non-intgrs au contreventement).

Le poteau doit tre soumis un effort normal constant.

Le poteau doit tre soumis un moment du 1er ordre constant et maximum l/2.

Les sections planes restent planes.

On considre une parfaite adhrence entre le bton et les armatures (pas de glissement).

Le bton tendu est nglig.

La loi contrainte-dformation des armatures est la suivante (palier inclin ou palier horizontal) : Un diagramme avec palier horizontal de plasticit, tel que celui utilis dans le BAEL91. Dans ce cas, il nest pas ncessaire de vrifier une limite de dformation des aciers.

Un diagramme avec une branche incline et une dformation limite ne devant pas dpasser.

Concernant le bton, Il faut appliquer la loi de comportement que nous avons vu au 9.3

15.8.2. Notions dexcentricit interne et externe.

Nous verrons plus loin dans ce chapitre que lquilibre dun poteau est caractris par un quilibre entre lexcentricit interne et lexcentricit externe.

Lexcentricit externe est directement lie la dformation externe du poteau, c'est--dire la courbure que ce dernier va prendre.

Lexcentricit interne est directement lie la rsistance du poteau, fonction de la section et de la qualit du bton ainsi que de la quantit et de la disposition des armatures.

Le principe de dimensionnement des poteaux est donc de dterminer les dimensions et le ferraillage dun poteau de faon ce que sa rsistance soit suprieure aux effets appliqus.

En dautres termes, on cherche dimensionner le poteau de faon ce que lexcentricit interne (qui traduit la rsistance du poteau) soit suprieure la rsistance externe.

15.8.3. Dforme du poteau excentricit externe

Concernant les forces externes, il faut majorer les forces agissantes en fonction de la dforme du poteau. Lexcentricit externe est donc directement lie la courbure du poteau.On assimile le poteau un mat encastr en pied:

Le moment du second ordre est le moment supplmentaire qui correspond la flche f:

Avant dformation, les sollicitations du 1er ordre en pied de poteau sont :

Le terme ei reprsente lexcentricit due aux imperfections gomtriques.Les sollicitations du second ordre, dues la dformation du poteau, sont :

Les sollicitations totales (1er et 2nd ordre inclus) sont :

Le terme correspond l'excentricit du 1er ordre.Le terme f correspond l'excentricit du 2nd ordre.

L'excentricit "externe" de l'effort normal vaut donc :

On parle d'excentricit externe car cette majoration de l'effort normal est uniquement due la dformation f.

La dforme du poteau est assimile :

Un quart de sinusode pour un poteau encastr en console.

Une demi-onde de sinusode pour un poteau bi-articul.

Par consquent, il est quivalent d'tudier un poteau bi-articul de longueur de flambement L0 ou un poteau encastr-libre en tte de longueur L0/2.

La dforme du poteau a pour quation:

avec qui reprsente la flche maximale du poteau a lieu la demi-hauteur du poteau pour un poteau bi-articul (voir schma ci-dessus) et la hauteur du poteau dans le cas dun poteau encastr en tte.

Les poteaux encastrs en pied et articul en tte seront dimensionns comme des poteaux bi-articuls de longueur , ce qui correspond une longueur de flambement .

La courbure peut tre assimile la driv seconde de la dforme:

Soit en pied de poteau, et en valeur absolue :

L'excentricit externe vaut donc :

On voit donc que cette excentricit est directement proportionnelle la courbure, on a donc la reprsentation graphique suivante :

Nous verrons un plus loin comment dterminer la valeur de la courbure 1/r.15.8.4. Rsistance du poteau - Excentricit interne.

Etudions maintenant ce qui se passe l'intrieur de la section quelconque dfinie par le schma suivant (avec un nombre n de barres):

Dans cette section, l'tat de dformation est dfini par sa courbure qui correspond la pente du diagramme des dformations.

On a donc les relations suivantes :

=> cette courbure est celle que nous avons utilis au paragraphe prcdent pour dterminer lexcentricit externe.On voit donc daprs ce diagramme que pour pouvoir dterminer la courbure du poteau, il nous faut dterminer la position de laxe neutre note x et faire une hypothse sur le raccourcissement du bton not . Ce sera lobjet du dimensionnement du poteau.

Dans un 1er temps, nous allons exprimer les sollicitations internes du poteau en fonction de la position de laxe neutre et donc de la courbure.

D'aprs le diagramme prcdent, on a les quations suivantes :

Pour une valeur donne de l'effort normal, on a donc une relation entre l'excentricit interne et la courbure.

On peut tracer les courbes suivantes :

Il faut bien comprendre que leffort reprsente leffort normal rsistant, pour une section de bton et une section darmatures donne.

Les diffrentes courbes du schma ci-dessous correspondent donc diffrentes courbes rsistantes.

15.8.5. Dfinition de l'quilibre.

Pour dfinir l'quilibre de la section, on superpose les deux types de courbes vues prcdemment, et on cherche les intersections possibles.

Si les deux courbes n'ont pas d'intersection, il n'y a pas d'quilibre possible.

Si les deux courbes ont une intersection, il y a un quilibre possible qui peut tre stable ou instable.

La charge critique Nuc correspond la courbe des Ni qui est la tangente la droite eext

Si en E1, on carte le poteau de sa position d'quilibre en augmentant sa courbure, on a eint qui croit plus vite que eext, ce qui tend le poteau a revenir sa position initiale. On a donc un quilibre stable.

Au point E2, c'est l'inverse qui se produit, on a donc un quilibre instable.

15.8.6. Justification de l'quilibre

On dit que la stabilit gnrale d'une section est assure si, pour une dforme donne, on peut trouver un tat de dformation interne qui satisfait les deux conditions suivantes :

Pour un poteau bi-articul ou encastr en pied, nous avons, au paragraphe prcdent, dfinie la valeur de f en fonction de la courbure.

On a donc :

Ces deux conditions se traduisent par le schma graphique suivant (que lon a vu au paragraphe prcdent):

Chercher l'quilibre revient donc dterminer un point qui soit l'intrieur de la zone grise sur le schma prcdent.

Cette mthode a l'avantage de pouvoir tre applique n'importes quelles formes de section mais prsente l'inconvnient d'tre longue appliquer (calcul itratif).Nous dtaillerons ci-aprs les calculs sur une section rectangulaire.15.8.7. Sections rectangulaires deux nappes d'armatures.

Dans le cas d'une section rectangulaire, on a le diagramme de dformation suivant :

Dans la section la plus sollicite, les dformations sont limites par les valeurs suivantes:

La position de laxe neutre est dfinie par la formule suivante (voir cours de flexion simple):

=> (1)

Pour les aciers comprims: est obtenue partir de la loi de comportement (palier horizontal ou palier inclin). galement fonction de loption choisit pour le diagramme des aciers, paliers horizontal ou inclin.Connaissant l'tat de dformation prcis, on peut dterminer la valeur de l'effort normal interne :

Nint= Fc + Fs2 Fs1 Soit

(2)

avec (, coefficient de remplissage, dfini au dbut de cours.

En fonction de la valeur trouve de Nint, on peut avoir plusieurs cas de figure :

Nint > NextCas o Nint Next mais avec Nint ( Next.

Lorsque l'on a dtermin la valeur de Nint et vrifi Nint ( Next, il faut vrifier le rapport des excentricits, soit .Pour dterminer l'excentricit interne, il nous faut calculer le moment Mint.

On cherche ensuite vrifier :

Si cette condition est galement vrifie, on dit que l'quilibre du poteau est assur.Si cette condition n'est pas assure, on faire des itrations supplmentaires en prenant des couples (1/r, (s) et (1/r, (c) diffrents.

On distingue deux cas de figure :

Si e1 est faible et l0 lve (sans pouvoir les quantifier), on part de :

Si e1 est leve et l0 faible (sans pouvoir les quantifier), on part de :

Avec recalcul du coefficient de remplissage chaque itration.15.9. Mthode de la rigidit nominaleCette mthode est dcrite dans larticle 5.8.7 de lEC2 qui indique: Dans une analyse du second ordre bas sur la rigidit, il convient dutiliser les valeurs nominales de la rigidit en flexion, en tenant compte des effets de la fissuration, de la non-linarit des matriaux et du fluage sur le comportement global.

Puis de dterminer une amplification du moment du 1er ordre.

Cette mthode sapplique aux ossatures et aux poteaux isols.

Attention, cette mthode ne peut tre applique que si elle a t retenue dans lannexe nationale du pays concern, ce qui est le cas de la France.

15.9.1. Rigidit nominale

On estime la rigidit nominale dun poteau ou dun lment dossature partir de la formule suivante:

.

Avec:

est la valeur de calcul du module dlasticit du bton (pour lEC2 de base et lannexe nationale franaise).

: inertie de la section de bton.

: module dlasticit de lacier.

: inertie des armatures par rapport au centre de gravit de la section de bton seul.

c tant lenrobage de larmature longitudinale.

: coefficient qui tient compte des effets de fissuration et du fluage du bton. : coefficient qui tient compte de la contribution des armatures.

Les coefficients et dpendent du ration darmatures en place:

Si

et

(MPa) avec . Si

et

On voit que lorsque le pourcentage darmatures dpasse 1% de la section de bton, on ne tient plus compte des armatures dans lestimation de la rigidit nominale. Bien que lEC2 nindique pas la raison de cette limite, on peut en faire linterprtation suivante:

Lorsque quun poteau contient trop darmatures, ces dernires vont reprendre un effort de compression important et tre sujette au flambement.

De plus, une trop grande section darmatures va engendrer des problmes dadhrenne entre les aciers et le bton.

Par consquent, on voit que la mthode de la rigidit nominale nest intressante que pour des poteaux ayant un pourcentage darmatures infrieur 1%. Au-del, seule la section de bton participe la rigidit nominale (voir exercice 1).

15.9.2. Coefficient de majoration des moments

Le moment total, incluant les effets du second ordre, est dfini comme une valeur majore du moment du 1er ordre:

: moment du 1er ordre ( lELU) tenant compte des imperfections gomtriques.

: effort normal agissant lELU.

est un coefficient qui dpend de la distribution des moments du 1er ordre et du 2nd ordre. Dans le cas dlment isol, de section constante et soumis un effort normal constant, on peut dterminer ce coefficient laide de la formule suivante:

Le coefficient dpend de la distribution du moment du 1er ordre:

si le moment est constant.

pour une distribution parabolique.

pour une distribution triangulaire symtrique.

Dans le cas des lments non soumis une charge transversale, on prend galement.

Dans le cas ou un lment ne rempli pas les conditions prcdentes (section variable, effort normal variable, rpartition de moment autres), on prend . On a alors la formule:

Leffort reprsente la charge de flambement (charge critique dEuler) base sur la rigidit nominale:

On utilise ensuite ce moment de calcul pour faire un dimensionnement en flexion compose, le plus souvent en section entirement comprime (diagrammes dinteraction - Chapitre 6).

On voit bien que le calcul doit tre itratif car il faut connatre la section darmature pour pouvoir dterminer la rigidit nominale et donc les efforts du second ordre.

15.9.3. Mode opratoireLe mode opratoire la mthode de la rigidit nominale est le suivant:

1/ Se fixer la section daciers:

si les armatures sont inconnues => dimensionnement. si les armatures sont connues => vrification.

2/ Calculer llancement de llment:

3/ Vrifier sil est ncessaire de prendre en compte les effets du second ordre: voir chapitre 6 - flexion compose.

4/ Evaluer les sollicitations ultimes corriges en tenant compte des imperfections gomtriques.

5/ Calculer la rigidit nominale de llment.

6/ En dduire le moment de calcul ultime pour le calcul total (1er ordre et 2nd ordre) par rapport au centre de gravit de la section de bton seul.

7/ Calculer les armatures en flexion compose (voir chapitre 6)

8/ Une fois les armatures dtermines, refaire une passe partir de ltape 5 et faire une vrification au flambement pour valider les armatures ainsi trouves.15.10. Mthode de la courbure nominale.

Cette mthode convient avant tout pour les lments isols soumis un effort normal constant. La mthode donne un moment du second ordre calcul par excs partie de la dforme du 2nd ordre.

15.10.1. Moment de calcul

Le moment de calcul vaut:

: moment du 1er ordre incluant les imperfections gomtriques.

: Moment nominal du second ordre.

Lorsque llment est soumis deux moments diffrents ( chacune de ses extrmits), on peut les remplacer par un moment quivalent: avec ().

Il faut prendre les moments et de mme signe sils provoquent la traction sur la mme face et de signes opposs dans le cas contraire.

Le moment est calcul partir de la courbure:

: effort normal agissant de calcul.

: longueur de flambement.

On prend c=8 si le moment est constant, c= 10 dans les autres cas.

15.10.2. Calcul de la courbure

Pour dterminer la courbure partir de la formule ci-dessous, il faut que la section droite soit constante et que le ferraillage soit symtrique:

avec

: coefficient de correction dpendant de leffort normal =>

: coefficient qui tient compte du fluage =>

De la mme faon, on utilise ensuite ce moment de calcul pour faire un dimensionnement en flexion compose (voir chapitre correspondant), le plus souvent en section entirement comprime (diagrammes dinteraction).

15.10.3. Mode opratoire

Le mode opratoire la mthode de la courbure nominale est le suivant:

1/ Se fixer la section daciers:

si les armatures sont inconnues => dimensionnement.

si les armatures sont connues => vrification.

2/ Calculer llancement de llment:

3/ Vrifier sil est ncessaire de prendre en compte les effets du second ordre: voir chapitre 6 - flexion compose.

4/ Evaluer les sollicitations ultimes corriges en tenant compte des imperfections gomtriques.

5/ Calculer la courbure nominale.

6/ En dduire le moment de calcul ultime pour le calcul total (1er ordre et 2nd ordre) par rapport au centre de gravit de la section de bton seul.

7/ Calculer les armatures en flexion compose (voir chapitre 6)

8/ Une fois les armatures dtermines, refaire une passe partir de ltape 5 pour faire une vrification au flambement et valider ainsi les armatures trouves.15.11. Exercice 1: Dimensionnement d'un poteau par la mthode de la rigidit nominale

Prenons le poteau suivant :

Enrobage: 5cm

Distance entre brin d'armatures: a=30cm

Bton C25/30 Acier S500B Poteau encastr en pied et libre en tte.

Poteau considr isol et contrevent.

Classe dexposition XC1. Coefficient de fluage:

Charges :

Poids propre nglig

Permanentes: Ng=15T et Mg=1.5T.m

Exploitation: Nq= 6.5T et Mq=0.7T.m

Le but est de dterminer les effets du second ordre en appliquant la mthode de la rigidit nominale puis de calculer les armatures en considrant une section arme symtriquement.15.11.1. Sollicitations

Calculons leffort normal et le moment appliqu, lELU: NEd= 1.35*15 + 1.50*6.50= 30T= 0,300MN

MEd= 1.35*1.50 + 1.50*0.7= 3.075T= 0,031MN.m

15.11.2. Caractristiques gomtriques du poteau.

Le poteau est considr encastr en pied et libre en tte, on a donc unelongueur de flambement qui vaut:

On calcul ensuite llancement du poteau:

15.11.3. Ncessit de calcul au flambement (effets du 2nd ordre).Nous avons vu, au chapitre 6 sur la flexion compose, les critres vrifier pour la ncessit ou non destimer les effets du second ordre.

Pour un poteau isol, il faut vrifier un lancement limite dfini par la formule suivante:

car le ratio darmatures nest pas connu pour le moment.

car le rapport des moments du 1er ordre nest pas connu.

On a , il faut donc estimer les effets du second ordre.

15.11.4. Dtermination des excentricits et sollicitations corriges ELU.

A lELU, les sollicitations sont les suivantes:

NEd= 1.35*15 + 1.50*6.50= 30T= 0,300MN

MEd= 1.35*1.50 + 1.50*0.7= 3.075T= 0,031MN.m

Il nous faut donc dterminer:

Excentricit du 1er ordre lELU, due aux sollicitations appliques.

Excentricit additionnelle pour le prise en compte des imperfections gomtriques.

Excentricit du 1er ordre

lELU

Excentricit additionnellePour un lment isol, on peut considrer:

Sollicitations corriges.

Les sollicitations corriges, prendre en compte pour le calcul en flexion compose, sont:

NEd= 0,300MN

MEd= (e0 + ei) * NEd= (0,10 + 0,03) * 0,300= 0,039 MN.m

15.11.5. Calcul des armatures au 1er ordre.Pour pouvoir appliquer la mthode de la rigidit nominale, comme nous lavons vu dans le cours, il nous faut partir dune section darmatures de dpart. Pour cela, nous allons dimensionner la section de bton en ne considrant que les effets du 1er ordre.

Nous sommes dans le cas dune section en flexion compose avec effort de compression (voir chapitre 6). Les sollicitations que nous avons dtermines prcdemment sont calcules par rapport au centre de gravit de la section de bton seule. Il faut ramener ces sollicitations au centre de gravit des aciers tendus:

Nous allons maintenant vrifier si la section est partiellement comprime:

On a , on est donc en section partiellement comprime.Calcul des aciers tendus en flexion simple

Calcul de (u:

Calcul du bras de levier zc:

Calcul de la section darmatures:

Calcul des aciers en flexion compose

En flexion compose, on a donc:

A= A N/Fyd= 5,84.10-4 0,300/434,78= -1.06cm On doit mettre en place le pourcentage mini dun Poteau, soit:

( 0,002Ac=3.02cmOn peut mettre en place 4HA10, ce qui reprsente une section de 3.14cm.

15.11.6. Calcul des effets du second ordre.

Nous allons maintenant dterminer les effets du second ordre en appliquantla mthode de la rigidit nominale.

Estimation de la rigidit nominale

On estime la rigidit nominale dun poteau ou dun lment dossature partir de la formule suivante:

.

Avec:

(inertie de la section de bton seul)

: Inertie

et

On a donc:

Sollicitations corrigesLe moment total, incluant les effets du second ordre, est dfini comme une valeur majore du moment du 1er ordre:

(moment du 1er ordre ( lELU) tenant compte des imperfections gomtriques).

(effort normal agissant lELU).

De plus:

avec car le moment est constant (pas deffort horizontal en tte de poteau).

On a donc un moment du 2nd ordre qui vaut:

On trouve un moment du 2nd ordre qui est ngatif car on a leffort normal critique qui est infrieur leffort normal appliqu => instabilit.Il nous faut donc augmenter la section dacier sans dpasser un ratio darmature de 0.01, auquel cas on aurait un coefficient Ks=0.

Prenons une section correspondant un ratio de 5 et recalculons la rigidit quivalente correspondante. .

Avec:

,

: Inertie

On met en place 4HA16 =>

et

On a donc:

On recalcule ensuite les effets du 2nd ordre correspondant:

On a donc un moment du second ordre de 0.346MN.m

Calcul des armatures en flexion compose

On peut maintenant dterminer les armatures partir de ces sollicitations du 2nd ordre.

Il faut ramener les sollicitations que nous avons calcul au centre de gravit des aciers tendus:

Vrification si section partiellement comprime:

On a , on est donc en section partiellement comprime.A titre dexemple, nous allons calculer les armatures du poteau partir du diagramme dinteraction vu au chapitre 6.

Nous aurions pu faire un dimensionnement classique en flexion compose avec aciers comprims.

Le diagramme dinteraction est le suivant:

Les paramtres dentre dans le diagramme sont les suivants:

On obtient , ce qui nous donne .On doit donc mettre en place une section 22.09cm par face, soit 3HA32 par face.

15.11.7. Vrification au flambementNous allons maintenant vrifier que les armatures en place vrifient le non-flambement du poteau.

On reprend donc les tapes prcdentes en mettant jour les donnes qui dpendent de la section darmatures en place: 6HA32 => As= 48.25cm.

Estimation de la rigidit nominale

On estime la rigidit nominale dun poteau ou dun lment dossature partir de la formule suivante:

.

Avec:

: Inertie

Si

et

On a donc:

Sollicitations corriges

Le moment total, incluant les effets du second ordre, est dfini comme une valeur majore du moment du 1er ordre:

(effort normal agissant lELU).

On a donc un moment du 2nd ordre qui vaut:

Calcul des armaturesOn calcul les armatures partir des courbes dinteractions avec les paramtres dentre suivants:

On obtient, ce qui nous donne , soit 3.68cm par face.

On voit que lon obtient ici une section darmatures bien infrieure celle de litration prcdente. Il faudrait donc refaire autant ditrations que ncessaire pour converger vers la valeur finale.

15.11.8. Itration supplmentaire

Faisons une itration supplmentaire en considrant une section proche de 1%, soit As=0.009*0.40=14.40cm. ce qui reprsente 7.2cm par face => on choisit de mettre 3HA16 par face soit 6HA16 dans le poteau, ce qui nous donne As= 12.06cm.Estimation de la rigidit nominale

On calcul la rigidit nominale:

.

: Inertie

Si

et

On a donc:

Calcul des sollicitations du second ordreOn calcul ensuite le moment du 2nd ordre:

(effort normal agissant lELU).

On a donc un moment du 2nd ordre qui vaut:

Calcul des armaturesOn calcul les armatures toujours partir du diagramme dinteraction:

On obtient, ce qui nous donne , soit 6.13cm par face.

On voit que lon retrouve une valeur proche de lhypothse de dpart => ce sera donc le ferraillage final du poteau.

15.12. Exercice 2: Vrifications d'un poteau par la mthode d'quilibre

Prenons l'exemple suivant :

On prend la mme section que lexercice prcdent avec la section darmatures ci-dessus.

Les hypothses de calcul sont les suivantes: Enrobage: 5cm

Distance entre brin darmatures: a= 30cm

Bton C25/30 Acier S500B Classe dexposition X0 Coefficient de fluage effectif dterminer en considrant

Charges:

Poids propre nglig.

Permanentes : Ng=280 KN (effort normal) Exploitation : Nq= 320 KN (effort normal) Charges dexploitation de catgorie B (bureaux). Excentricit initiale e0= 7.2 cm Utilisation dune loi de comportement palier horizontal pour lacier.Le but est de vrifier l'tat limite ultime d'instabilit de forme en appliquant la mthode de lquilibre.15.12.1. Caractristiques gomtriques du poteau

Le poteau est considr bi-articul, on a donc une longueur de flambement: .

Llancement du poteau vaut:

15.12.2. Calcul des sollicitations

Les sollicitations appliques sont:

NEd= 1.35*280+1.5*320= 858KN= 0.858MN

MEd= NEd*e0= 0.858*0.072= 0.06MN.m15.12.3. Calcul du coefficient de fluage effectif

Le calcul du coefficient de fluage effectif est dtermin en utilisant la formule suivante:

Avec:

: coefficient de fluage dfinit ci-aprs.

: moment de service du 1er ordre sous combinaison de charges quasi-permanentes.

: moment ELU du 1er ordre (incluant les imperfections gomtriques).

Le coefficient de fluage est donn dans lnonc et vaut 2.4

Pour le calcul du moment de service sous charges quasi-permanentes, il faut appliquer la combinaison:

En considrant des charges dexploitations de catgorie B (bureau), on a .

Effort normal sous charges quasi-permanentes :.

Moment sous charges quasi-permanentes:

Le moment ELU doit tenir compte des imperfections gomtriques (voir ci-dessous), on a donc:

Le coefficient de fluage effectif vaut donc:

15.12.4. Ncessit de calcul au flambement (effets du 2nd ordre).

Pour un poteau isol, il faut vrifier un lancement limite dfini par la formule suivante:

car le ratio darmatures nest pas connu pour le moment.

car le rapport des moments du 1er ordre nest pas connu.

On a , il faut donc estimer les effets du second ordre.

15.12.5. Mthode de l'quilibre

On va dterminer lexcentricit du 1er ordre:

Excentricit initiale lELU

Excentricit additionnellePour un lment isol, on peut considrer:

Sollicitations corriges.

Les sollicitations corriges, prendre en compte pour le calcul en flexion compose, sont:

NEd= 0,858MN

MEd= (e0 + ei) * NEd= (0,072 + 0,03) * 0,858= 0,087 MN.m

Avec: e1= 0.072 + 0.03= 0.102mMthode de lquilibre

On cherche vrifier :

A) Excentricit externe

Nous allons dans un 1er temps considrer les dformations maximales sur lacier et le bton.

Dformation de l'acier:

Dformation du bton :

Pour un bton C25/30, , ce qui nous donne:

Valeur de l'excentricit externe :

B) Excentricit interne

Contrainte sur les aciers comprims : Position de laxe neutre:

Raccourcissement sur les aciers comprims:

En considrant un diagramme palier horizontal, on a car le raccourcissement sur les aciers comprims est suprieur :

B.1) Effort normal interne :

Effort normal bton comprim :

Connaissant la valeur du coefficient de remplissage, on peut dterminer leffort repris par le bton:

Aciers comprims:

Aciers tendus:

Leffort normal interne vaut donc:

B.2) Moment interne :Le moment interne est dfini par la formule:

On voit que pour dterminer le moment rsistant interne, il faut dterminer le paramtre qui reprsente la position de la rsultante de bton comprim par rapport la fibre suprieure:

La valeur de est dfinie partir de la formule suivante:

Les paramtres k et a ont t dtermins prcdemment pour le calcul du coefficient de remplissage.On a donc:

Connaissant la position de la rsultante de bton comprim, on peut dterminer le moment interne rsistant:

B.3) Excentricit interne :A partir des sollicitations rsistantes internes, on peut en dduire lexcentricit interne:

Vrification de l'quilibre

L'quilibre est assur si:

Nint > Next => 1.19 > 0.858 => OK

eint > eext => 0.376 > 0.344 => OK

La stabilit est donc assure.

15.13. Exercice 3: dimensionnement dun poteau par la mthode de la courbure nominale.

Reprenons lexemple de lexercice 1 que nous allons trait avec la mthode de la courbure nominale.

Le poteau dimensionner est doncle suivant:

Enrobage: 5cm

Distance entre brin d'armatures: a=30cm

Bton C25/30 Acier S500B Poteau encastr en pied et libre en tte.

Poteau considr isol et contrevent.

Classe dexposition XC1.

Coefficient de fluage:

Charges :

Poids propre nglig

Permanentes: Ng=15T et Mg=1.5T.m

Exploitation: Nq= 6.5T et Mq=0.7T.m

15.13.1. Sollicitations

Le calcul des sollicitations est le mme que lexercice 1:

15.13.2. Caractristiques gomtriques du poteau

Idem exercice 1:

Longueur de flambement:

Elancement:

15.13.3. Ncessit de calcul au flambement

Idem exercice 1.

15.13.4. Dtermination des excentricits et sollicitations corriges ELU.Idem exercice 1.

Excentricit du 1er ordre

lELU

Excentricit additionnellePour un lment isol, on peut considrer:

Sollicitations corriges.

Les sollicitations corriges, prendre en compte pour le calcul en flexion compose, sont:

NEd= 0,300MN

MEd= (e0 + ei) * NEd= (0,10 + 0,03) * 0,300= 0,039 MN.m

e1=0.13m

15.13.5. Calcul des armatures au 1er ordre.Idem exercice1:

On met en place 4HA10, soit 3.14cm.

15.13.6. Mthode de la courbure nominale (effet du 2nd ordre).

Calcul de la courbure

En considrant un ferraillage symtrique de 4HA10 (3.14cm), on peut dterminer la courbure partir de la formule suivante:

Avec:

: coefficient de correction dpendant de leffort normal =>

: coefficient qui tient compte du fluage =>

La courbure vaut donc:

Moment de calcul

Comme nous lavons vu au paragraphe 9.10.1, le moment de calcul est estim partir de la formule:

Avec:

: moment du 1er ordre incluant les imperfections gomtriques.

: Moment nominal du second ordre.

Le moment du 2nd ordre est calcul partir de la courbure:

On doit donc dimensionner les armatures en considrantles sollicitations du 2nd ordre suivantes:

Calcul des armatures au 2nd ordre

Nous allons utiliser le diagramme dinteraction.

Les paramtres dentre dans le diagramme sont les suivants:

On obtient , ce qui nous donne .

On doit donc mettre en place une section totale de 4HA16, soit 8.04cm.

15.13.7. Vrification au flambement

Nous allons faire une vrification en considrant les armatures trouves prcdemment (4HA16 - 8.04cm).

Calcul de la courbure

Les armatures ont une influence sur le paramtre uniquement:

: coefficient qui tient compte du fluage =>

La courbure vaut donc:

On voit que lon obtient la mme courbure et donc le mme moment du second ordre, ce qui valide la section darmatures trouves.

15.13.8. Conclusion

On peut en conclure que la mthode de la courbure nominale est plus rapide et plus conomique que la mthode de la rigidit nominale.

En effet, la mthode de la courbure nominale nous donne une section de 8.04cm alors que la mthode de la rigidit nominale nous donne une section de 12cm.

On aurait pu continuer les itrations avec la mthode de la rigidit nominale pour essayer de se rapprocher des rsultats de la mthode de la courbure nominale.

Il est donc prfrable de privilgier lutilisation de la courbure nominale pour dimensionner un poteau.

EMBED MSPhotoEd.3

6 m

40cm

L

M

EMBED Equation.3

P

40cm

6 m

40cm

40cm

M

P

croissant jusqu' EMBED Equation.3

croissant jusqu' EMBED Equation.3 ou linfini selon lhypothse de calcul que lon a pris pour le diagramme de lacier (palier horizontal ou inclin

I

Et on prend de faon forfaitaire:

L0= 0,7 l pour les poteaux lintrieur assembls des poutres de plancher ayant au moins la mme raideur.

L0= l pour les poteaux dextrmits ou de rive

2010-2011

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