Elementarna matematika 1Oblici matematickog mišljenja

2007/2008

Elementarna matematika 1

Mišljenje (psihološka definicija) =izdvajanje u covjekovoj spoznajiodredenih strana i svojstavapromatranog objekta i njihovodovodenje u odgovarajuce veze sdrugim objektima u cilju stjecanja novihznanja.Osnovni oblici mišljenja:

poimanjesudenjezakljucivanje

Elementarna matematika 1

Rezultat tih oblika mišljenja:pojmovijednostavni sudovisloženi sudovi

=

matematicki pojamaksiomteorem

Elementarna matematika 1

Aksiomatska izgradnja nekematematicke teorije

cetiri etape izgradnje matematicketeorije:

navodenje osnovnih pojmovaformuliranje aksiomadefiniranje novih pojmovaformuliranje i dokazivanje teorema

Elementarna matematika 1

Drugim rijecima:Matematicke teorije su tvorevineosnovnih pojmova, aksioma, izvedenihpojmova i teorema.

Elementarna matematika 1

Matematicki pojam

(Matematicki) pojam = oblik mišljenja ukojemu se odražavaju bitna svojstvaobjekata koji se proucavaju.Vrste pojmova (neke matematicketeorije):

osnovni pojamizvedeni pojam

Elementarna matematika 1

Osnovni pojam = (u pravilu jednostavni)pojam koji se smatra poznatim pa se nedefinira, tj. ne opisuje uz pomoc drugihpojmova.Primjeri:

tockapravacravninaprostorskup

Elementarna matematika 1

Izvedeni pojam = pojam koji se definira,tj. cije se znacenje opisuje pomocuosnovnih pojmova ili ranije definiranihizvedenih pojmova.Definicija pojma = navodenje nužnih idovoljnih obilježja pojma povezanihlogicnom recenicom ili simbolickimzapisom.

Elementarna matematika 1

Svako obilježje pojma koje ulazi udefiniciju mora biti nužno, a sva obilježjazajedno dovoljna za jasno i preciznoopisivanje pojma.

Elementarna matematika 1

Primjeri definicija pojmovaI Kvadrat

Pravokutnik kojemu susjednestranice imaju jednake duljinenaziva se kvadrat.Kažemo da je pravokutnik kvadratako su mu dijagonale medusobnookomite.Kvadrat je romb kojemu je kutizmedu susjednih stranica pravi.

Elementarna matematika 1

Primjeri definicija pojmova

I RombParalelogram kojemu susjednestranice imaju jednake duljinenaziva se romb.Romb je paralelogram kojemu sudijagonale medusobno okomite.

Elementarna matematika 1

Primjeri definicija pojmova

I Kvadratna jednadžbaJednadžba oblika ax2 + bx + c = 0, gdjesu a, b, c ∈ R, a 6= 0 zove se kvadratnajednadžba.Uocimo kljucne rijeci u definiciji:

kažemo da jenaziva sezove se

Elementarna matematika 1

Uocimo:Neki pojam cesto možemo definirati naviše nacina.

Sve definicije istog pojma moraju bitimedusobno ekvivalentne, tj. moraju

odredivati isti skup objekata.

Elementarna matematika 1

Odaberemo li jednu od definicija pojmakao „radnu", onda njoj ekvivalentnedefinicije poprimaju znacenje teoremakoji su njene posljedice.

=⇒ KARAKTERIZACIJE POJMA

Elementarna matematika 1

Još neki nacini definiranjapojmova

Konvencionalna definicija = konvencija,dogovor.Primjeri:

Skup bez ijednog elementa zove seprazan skup.0 6= 1a0 = 1

Elementarna matematika 1

Induktivna definicija = (intuitivno)izgradnja pojma korak po korak.Primjer:Niz kojemu je svaki clan, pocevši oddrugog, jednak zbroju prethodnog clanai konstante naziva se aritmeticki niz. Nizkojemu je svaki clan, pocevši oddrugog, jednak zbroju prethodnog clanai konstante naziva se aritmeticki niz.

an = an−1 + d , ∀∀∀n ≥ 2

Elementarna matematika 1

Geneticka definicija = (intuitivno) opisnastajanja pojma.Primjer:Tijelo koje nastaje rotacijompravokutnika oko jedne njegove stranicenaziva se valjak.

Elementarna matematika 1

PAžNJA

Definicija mora biti:primjerena definiranom pojmu —niti preuska, niti preširoka — morarazotkrivati bit pojmapregledna i sažeta.

Elementarna matematika 1

Definicija ne smije biti:

izrecena slikovitim ili na neki druginacin dvosmislenim jezikomcirkularnanegativna ako može biti pozitivna.

Mora postojati bar jedan objekt kojegdefinicija opisuje.

Elementarna matematika 1

Primjeri pogreški

IZa dva pravca kažemo da su paralelniako se podudaraju ili se ne sijeku.Pogreška:Preširoka definicija — obuhvaca imimoilazne pravce (oni nisu paralelni)Izostavljeno je nužno obilježje leže uravnini.

Elementarna matematika 1

Primjeri pogreški

IZa dva pravca kažemo da su paralelniako se podudaraju ili se ne sijeku.Ispravna definicija:Za dva pravca u ravnini kažemo da suparalelni ako se podudaraju ili se nesijeku.

Elementarna matematika 1

Primjeri pogreški

IParalelogram je cetverokut koji imadva para medusobno paralelnih stranicajednakih duljina.Obilježja:A = Nasuprotne stranice su paralelne.B = Nasuprotne stranice su jednakihduljina.Ocito: A⇐⇒ B

Elementarna matematika 1

Pogreška:U definiciji se nalaze dva ekvivalentnadovoljna obilježja!Ispravne definicije:

Paralelogram je cetverokut koji imadva para paralelnih stranica.Kažemo da je cetverokutparalelogram ako ima dva paranasuprotnih stranica jednakihduljina.

Elementarna matematika 1

Primjeri pogreški

I Pravci koji zatvaraju pravi kut nazivajuse okomiti pravci. Kut ciji su krakovimedusobno okomiti naziva se pravi kut.Pogreška:Cirkularna definicija!Ispravna definicija:Pravi kut je kut koji je jednak svomesuplementu.

Elementarna matematika 1

Primjeri pogreški

I Kružnica je skup svih tocaka jednakoudaljenih od središta kružnice.Pogreška:

cirkularna definicija (kružnica jedefinirana pomocu pojma središtekružnice)nedostaje nužno obilježje skup svihtocaka ravnine

Elementarna matematika 1

Primjeri pogreški

I Kružnica je skup svih tocaka jednakoudaljenih od središta kružnice.Ispravna definicija:Kružnica je skup svih tocaka ravninejednako udaljenih od jedne cvrste tockete ravnine. Tu cvrstu tocku nazivamosredište kružnice.

Elementarna matematika 1

Primjeri pogreški

I Iracionalan broj je realan broj koji nijeracionalan.Pogreška:Negativna definicija — ne kaže ništa osadržaju pojma vec samo ono što onnije.

Elementarna matematika 1

Primjeri pogreški

I Iracionalan broj je realan broj koji nijeracionalan.Ispravna definicija:Realan broj koji se zapisuje u oblikubeskonacnog neperiodicnogdecimalnog broja zove se iracionalanbroj.

Elementarna matematika 1

Primjeri pogreški

I Trokut koji ima dva prava kuta zove sedvopravokutni trokut.Pogreška:U euklidskoj geometriji takav trokut nepostoji! (postoji u sfernoj geometriji).

Elementarna matematika 1

Matematicki sudovi

Najvažnije vrste matematickih sudova:aksiomiteoremi

Elementarna matematika 1

AksiomAksiom = osnovna tvrdnja o danimosnovnim pojmovima koja se smatraistinitom i koja se ne dokazuje.

Aksiom se bez dokaza prihvaca kaoistinita tvrdnja.

Postulat = (u Euklidovoj aksiomatskojizgradnji geometrije) osnovna tvrdnjageometrijskog sadržaja, koja se smatraistinitom i ne dokazuje se.

Elementarna matematika 1

Obicno se želi da izabrani aksiomi zadoljavajusljedeca tri principa:

konzistentnost (neproturjecnost) — izsustava aksioma ne smije se moci dokazatiistovremeno i neka tvrdnja i njena negacija;

potpunost — svaka tvrdnja teorije, ili njenanegacija, dokaziva je u danom sustavuaksioma;

nezavisnost — niti jedan aksiom sustavane može se dobiti kao posljedica ostalihaksioma tog sustava.

Elementarna matematika 1

Primjeri aksioma

I Cjelina je veca od dijela.I (Aksiom o paralelama) Zadanomtockom T izvan danog pravca p prolazinajviše jedan pravac q paralelan s p.I (Paschov aksiom) Ako pravac sijecejednu stranicu trokuta i ne prolazi nitijednim vrhom na toj stranici, onda onsijece još bar jednu stranicu tog trokuta.

Elementarna matematika 1

Primjeri aksioma

(Arhimedov aksiom) Za svaka dvapozitivna realna broja a i b postojiprirodni broj n takav da je na > b.Aksiomi skupa R (Matematickaanaliza 1)Aksiomi vektorskog prostora(Linearna algebra 1)

Elementarna matematika 1

POMOCU LOGIKE DOKAZUJEMO, ALIPOMOCU INTUICIJE OTKRIVAMO

Henri Poincaré

Elementarna matematika 1