� Osnovne elementarne funkcije su:

a) polinomi,

b) racionalne funkcije,

c) eksponencijalne funkcije,

d) logaritamske funkcije,

e) opća potencija,

f) trigonometrijske funkcije,

g) ciklometrijske funkcije.

� Polinom stupnja n je funkcija Pn : R → R :

gdje su a0, a1, … an realni brojevi, an ≠ 0. Brojeve a0, a1, … an

nazivamo koeficijentima polinoma.

( ) ∑=

−

−=++++=

n

i

i

i

n

n

n

nn xaaxaxaxaxP0

01

1

1 L

POLINOMIPOLINOMI

� Ako je an ≠ 0, broj n nazivamo stupnjem polinoma.

� Primjer: Odredite stupanj polinoma:

P(x)=13x3 + 2x2 + 5x – 7

� Dva su polinoma P i Q jednaka ako ∀ x ∈ R vrijedi: P(x) = Q(x) i

pišemo P = Q.

� Kriterij jednakosti:

Dva polinoma po varijabli x identično su jednaka akko su

koeficijenti jednako visokih potencija međusobno jednaki.koeficijenti jednako visokih potencija međusobno jednaki.

� Primjer:

P(x) = x2 + 2x + 1

Q(x) = (x + 1)2

� Broj x0 za koji vrijedi P(x0) = 0 naziva se nultočka ili korijen polinoma P.

Nultočke mogu biti realni i kompleksni brojevi, a ako se neke od njih

ponavljaju, govorimo o višestrukim nultočkama (kratnost nultočaka).

� Kompleksne nultočke dolaze u paru, tj. Ako je x1= a + bi nultočka

polinoma, onda je i konjugirano komlpeksni broj x2= a - bi nultočka

tog polinoma. tog polinoma.

� Svaki se polinom n-tog stupnja može rastaviti u produkt od n lineranih

faktora:

gdje su x1, x2, … , xn nultočke tog polinoma.

� Primjer:

( ) ( )( ) ( )nnn xxxxxxaxP −−−= ...21

( ) 1644 23−−+= xxxxf

POLINOMI 0. STUPNJA (KONSTANTNA FUNKCIJA)

� Konstantna funkcija je funkcija oblika: f(x)=a.

� Svojstva:

� Kodomena je samo jedan element.Kodomena je samo jedan element.

� Konstante su omeđene, parne, monotone funkcije

� Primjer: ( ) 7=xf

POLINOMI 1. STUPNJA (LINEARNA FUNKCIJA)

� Linearna funkcija je funkcija oblika: f(x)=ax + b, a ≠ 0.

� Svojstva:

a) D ∈ R

b) graf je pravac

a – koeficijent smjera:c) a – koeficijent smjera:

a > 0 – funkcija raste

a < 0 – funkcija pada

d) b – odsječak na ordinati

e) nultočka:

� Primjer: f(x) = - 2x + 1

a

bx −=0

� Kvadratna funkcija je funkcija oblika: f(x)=a2x2 + a1x + a0, a ≠ 0.

� Svojstva:

a) D ∈ R

b) a–vodeći koef., b–linearni koef., c–slobodni koef.

c) graf je parabola

POLINOMI 2. STUPNJA (KVADRATNA FUNKCIJA)

c) graf je parabola

d) nultočke:

e) diskriminanta: D = b2 – 4ac

� Primjer: f(x) = - 2x2 + x + 1

a

acbbx

2

42

2,1

−±−=

RACIONALNE FUNKCIJERACIONALNE FUNKCIJE� Funkcije oblika: , pri čemu su Pn i Qm polinomi

n-tog, odnosno m-tog stupnja koji nemaju zajedničkih nultočaka.

� Ukoliko je stupanj polinoma:

� m > n – prava racionalna funkcija

� m ≤ n – možemo podijeliti polinom Pn s polinomom Qm i dobijemo funkciju:

( )( )

( )( ) 0, ≠= xQ

xQ

xPxf m

m

n

� Svojstva:

�Domena: skup R osim nultočaka polinoma nazivnika

�Kodomena: skup R,

�Nultočke polinoma u brojniku su ujedno i nultočke racionalne funkcije

� Primjer: Odredite domenu i nultočke:

( )( )

( )( ) 0, ≠+= xQ

xQ

xTSxf n

m

lk

( ) 0≠xQm

( ) 0=xPn

( )422

1052

−+

−=

xx

xxf

EKSPONENCIJALNA FUNKCIJA� Neka je a > 0, a ≠ 1, realan broj. Funkcija f(x) = ax, ∀ x ∈ R, naziva se

eksponencijalna funkcija.

� Za eksponencijalnu funkciju vrijedi:

a) D ∈ R

b) K ∈ R+b) K ∈ R+

c) neomeđena, ni parna ni neparna, strogo monotona

d) svojstva:

( )

pada funkcija 1 je ako

raste funkcija 1 je ako

1

21

0

21

212

1

2121

⇒<

⇒>

=⇒=

=

=

=⋅

⋅

+

a

a

xxaa

a

aa

aaa

xx

xxxx

xxxx

� graf eksponencijalne funkcije

LOGARITAMSKA FUNKCIJA� Funkcija f (x) = logax, ∀ x ∈ R, a>0, a ≠ 1; naziva se logaritamska

funkcija i to je inverzna funkcija eksponencijalne funkcije.

� Za logaritamsku funkciju vrijedi:

a) D ∈ R+

b) K ∈ Rb) K ∈ R

c) strogo monotone, ni parne ni neparne i neomeđene,

d) svojstva:

( )

pada funkcija 1 je ako

raste funkcija 1 je ako

loglog

logloglog

loglog

logloglog

loglog)log(

2121

⇒<

⇒>

=⇒=

=

=

−=

+=

a

a

xxxx

xbx

xrx

yxy

x

yxxy

aa

baa

a

r

a

� Dekadski logaritam je logaritam s bazom 10, f (x) = log10x = logx

� Prirodni logaritam je logaritam s bazom e: f (x) = logex = lnx

� graf logaritamske funkcije:

OPĆA POTENCIJA� Funkcija oblika naziva se opća potencija.

� Svojstva :

� Domena i kodomena R+

� Graf funkcija: i njezinog inverzna

( ) ( ) Rcxeexfxccxc

∈>=== ,0 ,x lnln

( ) Znxxfn

∈>= ,0 ,x ( ) Znxxf n ∈>= ,0 ,x

1

� Graf funkcija: i njezinog inverzna( ) Znxxfn

∈>= ,0 ,x ( ) Znxxf n ∈>= ,0 ,x

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE

� sinus

� kosinus

� tangens� tangens

� kotangens

TRIGONOMETRIJSKA KRUŽNICA

� Trigonometrijska kružnica je kružnica sa središtem u ishodištu i

radijusom 1. Početna točka odgovara točki (1, 0). Puni krug ima 2π

radijana.

SINUS I KOSINUS

� Sinus kuta x je ordinata točke u kojoj drugi krak toga kuta siječe

trigonometrijsku kružnicu: f(x) = sinx : R → [-1,1]

� Kosinus kuta x je apscisa točke u kojoj drugi krak toga kuta siječe

trigonometrijsku kružnicu: f(x) = cosx : R → [-1,1]

� sinusoida

GRAFIČKI PRIKAZ SINUSA I KOSINUSA

� kosinusoida

� (Ne)parnost sinx i cosx

� sin(-x) = - sin x - neparna funkcija

� cos(-x) = cos x - parna funkcija

� Periodičnost sinx i cosx

SVOJSTVA SINUSA I KOSINUSA

� Periodičnost sinx i cosx

� sin x = sin (x + 2kπ) - temeljni period 2π

� cos x = cos (x + 2kπ) - temeljni period 2π

� Tangens kuta x ordinata je točke u

kojoj pravac koji sadrži drugi krak

toga kuta siječe tangentu trig.

TANGENS I KOTANGENS

toga kuta siječe tangentu trig.

kružnice kojoj je diralište u

jediničnoj točki x-osi.

� Kotangens kuta x apscisa je točke

u kojoj pravac koji sadrži drugi

krak toga kuta siječe tangentu trig. krak toga kuta siječe tangentu trig.

kružnice kojoj je diralište u

jediničnoj točki y-osi.

� tangensoida

� kotangensoida

� (Ne)parnost tgx i ctgx

� tg(-x) = - tg x - neparna

� ctg(-x) = - ctg x - neparna

� Periodičnost tgx i ctgx

SVOJSTVA TANGENSA I TANGENSA

� Periodičnost tgx i ctgx

� tg x = tg (x + kπ) - temeljni period π

� ctg x = cos (x + kπ) - temeljni period π

xctgx

x

xtgx

xx

cos.3

cos

sin.2

1cossin.1 22

=

=

=+

OSNOVNI ODNOSI IZMEĐU TRIG. FUNKCIJA

ctgxtgx

x

xctgx

1.4

sin

cos.3

=

=

� arcsin, arccos, arctg i arcctg

CIKLOMETRIJSKE ILI ARKUS FUNKCIJE