ELEMENTÁRNÍ FUNKCE

Mgr. Vladimír Wasyliw- s využitím práce Mgr. Petra Šímy – SŠS Jihlava

Elementární funkce

Obsah:

3. Mocninná funkce

4. Lineární lomená funkce

5. Exponenciální funkce

1. Lineární a konstantní funkce

2. Kvadratická funkce

6. Logaritmická funkce

Lineární a konstantní funkce

Lineární funkcí nazýváme každou funkci f: y = ax+b , a,b R, D(f)max = R.

Grafem každé lineární je přímka.(pro D(f) R je grafem část přímky)

U

Př.: f1: y = 2x - 3 , f2: y = - 0,5x +1 , f3: y = x , f4: y = 10x apod.

Graf lineární funkce je určen dvěma libovolnými různými body (pro dvě různá x D(f) určíme f(x)).

y = ax + b

x1

x2

f(x1)

f(x2)

Ű Zpět na obsah

Vlastnosti lineární funkce:

1) Je-li a = 0, stává se lineární funkce f: y = ax + b funkcí konstantní f: y = b. Grafem konstatní funkce je přímka (nebo její část), která je rovnoběžná se souřadnicovou osou x a procházející bodem [0; b].


by = b

D(f) = R *) H(f) = {b} je omezená není prostá v každém x D(f) je maximum i minimum je sudá

*) uvedené vlastnosti platí pro D(f)max = R, pro D(f) R se mohou změnit

Ű Zpět na obsah


2) Je-li b = 0 , a ą 0, jde o tzv. přímou úměrnost f: y = ax. Grafem přímé úměrnosti je přímka (nebo její část) různoběžná se souřadnicovými osami a procházející bodem [0;0].


y = ax , a > 0

y = ax , a < 0


Ű Zpět na obsah

D(f) = R *) H(f) = R není omezená shora není omezená zdola pro a > 0 je rostoucí pro a < 0 je klesající je prostá nemá maximum nemá minimum je lichá


3a) Pro a > 0, b ą 0 , má funkce f: y = ax + b tyto vlastnosti:

D(f) = R *) H(f) = R je rostoucí není omezená shora není omezená zdola je prostá nemá maximum nemá minimum


y = ax + ba > 0

*) uvedené vlastnosti platí pro D(f)max = R, pro D(f) R se mohou změnitU

[0;b]

[-b/a;0]

Ű Zpět na obsah


3b) Pro a < 0, b ą 0 , má funkce f: y = ax + b tyto vlastnosti:

D(f) = R H(f) = R je klesající není omezená shora není omezená zdola je prostá nemá maximum nemá minimum


y = ax + ba < 0


[0;b]

[-b/a;0]

*)

Ű Zpět na obsah

Kvadratická funkce

Kvadratickou funkcí nazýváme každou funkci f: y = ax2 + bx + c ,

a, b, c R, a ą 0, D(f)max = R.

U

Grafem každé kvadratické funkce je křivka zvaná parabola , která je osově souměrná podle osy rovnoběžné se souřadnicovou osou y. Průsečík osy paraboly a paraboly se nazývá vrchol paraboly (většinou označen V).

(pro D(f) R je grafem část paraboly)

Př.: f1: y = 2x2 - 3x + 5 f2: y = x2 +1 f3: y = -4x2+x f4: y = 3x2

apod.

f: y = ax2 + bx + c

kvadratický člen

lineární člen

absolutní člen

ax2 + bx + c

kvadratický trojčlen

Ű Zpět na obsah

Vlastnosti kvadratické funkce:

1) Je-li b = c = 0 , jde o tzv. ryze kvadratickou funkci f: y = ax2. Grafem každé ryze kvadratické funkce je parabola s osou totožnou se souřadnicovou osou y a s vrcholem v bodě [0;0].

Kvadratická funkce

1a) Pro a > 0 :

D(f) = R *) H(f) = 0; +Ą) je omezená zdola není omezená shora je klesající na (-Ą; 0 je rostoucí na 0; +Ą) není prostá má ostré abs. minimum v xm = 0 nemá maximum je sudá


V=[0;0]

y = ax2 , a > 0

Ű Zpět na obsah


1) Je-li b = c = 0 , jde o tzv. ryze kvadratickou funkci f: y = ax2. Grafemem každé ryze kvadratické funkce je parabola s osou totožnou se souřadnicovou osou y a s vrcholem v bodě [0;0].

Kvadratická funkce

1b) Pro a < 0 :

D(f) = R *) H(f) = (- Ą je omezená shora není omezená zdola je rostoucí na (-Ą; 0 je klesající na 0; +Ą) není prostá má ostré abs. maximum v xM = 0 nemá minimum je sudá


V=[0;0]

y = ax2 , a < 0

Ű Zpět na obsah

Kvadratická funkce

Tvar paraboly - grafu ryze kvadratické funkce y = ax2 ovlivňuje hodnota

koeficientu a . Nejjednodušší kvadratickou funkcí (tzv. základní kvadratickou funkcí) je funkce : y = 1.x2 = x2 (tj. a = 1, b = c = 0). Grafy ostatních ryze kvadratických funkcí y = ax2

jsou v porovnání s ní a) užší . . . pro |a| > 1 b) širší . . . pro 0 < |a| < 1

a = 1

a = 2

a = 3

y = ax2 y = ax2

a = -1

a = -2

a = -3

Ű Zpět na obsah

Kvadratická funkce

Graf funkce y = ax2 + k vznikne posunutím grafu funkce y = ax2

ve směru osy y o k jednotek (pro k > 0 nahoru, pro k < 0 dolů). Vrchol paraboly je bod V = [ 0 ; k ].

y = ax2 + 2

y = ax2 + 1

y = ax2

a > 0, k > 0

Ű Zpět na obsah

y = ax2 + k

y = ax2 - 3

y = ax2 - 1

y = ax2

vrchol V = [ 0 ; k ]

a < 0, k < 0

Kvadratická funkce

Graf funkce y = a(x-m)2 vznikne posunutím grafu funkce y = ax2 ve

směru osy x o m jednotek (pro m > 0 doprava, pro m < 0 doleva). Vrchol paraboly je bod V = [ m ; 0 ].

Ű Zpět na obsah

y = a(x-m)2

y = a(x+3)2

y = a(x+1)2

y = ax2

vrchol V = [ m ; 0 ]

a > 0, m < 0

y = a(x-3)2

y = a(x-1)2

y = ax2

a < 0, m > 0

Kvadratická funkce

Graf funkce y = a(x-m)2 + k vznikne posunutím grafu funkce y = ax2 ve

směru osy x o m jednotek (pro m > 0 doprava, pro m < 0 doleva) a ve směru osy y o k jednotek (pro k > 0 nahoru, pro k < 0 dolů). Vrchol paraboly je bod V = [ m ; k ].

vrchol V = [ m ; k ]

Ű Zpět na obsah

y = a(x-m)2 + k

y = a(x+1)2 + 2

y = ax2

a > 0, m < 0, k > 0


2) Graf každé kvadratické funkce f: y = ax2 + bx + c lze získat

posunutím grafu ryze kvadratické funkce y = ax2 . Vrchol

paraboly, která je grafem kvadratické funkce f: y = ax2 + bx + c ,

je bod V = [xV;yV], kde

Kvadratická funkce

Funkční předpis každé kvadratické funkce (kvadratický trojčlen) lzeupravit na tvar . Hodnota m určuje posun grafu funkce y = ax2 ve směru osy x, hodnota k posun ve směru osy y.

-m

k

Ű Zpět na obsah

Vlastnosti kvadratické funkce - příklad:

Kvadratická funkce

y = x2y = x2 - 2x - 3

V = [ 1; -4 ]

V = [ 0; 0 ]

V = [ 1; -4 ]

y = x2- 2x - 3 = (x-1)2 - 4

Ű Zpět na obsah

Vlastnosti kvadratické funkce f: y = ax2 + bx + c :

Kvadratická funkce

Pro a > 0 :

D(f) = R *) H(f) = Ą je omezená zdola není omezená shora je rostoucí na ; +Ą) je klesající na (- Ą není prostá má ostré abs. minimum v xm = nemá maximum


x

y

0

V

Ű Zpět na obsah


Kvadratická funkce

Pro a < 0 :

D(f) = R *) H(f) = (- Ą; ´ je omezená shora není omezená zdola je rostoucí na (- Ą je klesající na Ą) není prostá má ostré abs. maximum v xM = nemá minimum


x

y

V

Ű Zpět na obsah

0


Kvadratická funkce

Při sestrojování grafu kvadratické funkce f: y = ax2 + bx + c

nám mohou pomoci další jeho body (pokud existují) - průsečíky se souřadnicovými osami: průsečík s osou y - bod [ 0 ; f(0) ] průsečíky s osou x - body [ x1; 0 ], [ x2 ; 0 ] , kde x1, x2 jsou řešení kvadratické rovnice ax2

+ bx + c = 0

x

y

0

[ x1; 0 ] [ x2 ; 0 ]

[ 0 ; f(0) ]

Ű Zpět na obsah

Mocninnou funkcí s přirozeným exponentem n je každá funkce f: y = xn, n N, D(f)max = R.

Grafem této mocninné funkce je pro n = 1 přímka (jde o nejjednodušší lineární funkci y = x), pro n >1 parabola n-tého stupně (pro n = 2 jde o nejjednodušší kvadratickou funkci y = x2).

Mocninná funkce

Př.: y = x3

y = x4

y = 2x5

y = -x3+2

Ű Zpět na obsah

Vlastnosti mocninné funkce f: y = xn, n N :

Mocninná funkce

y = x1

y = x3

y = x5

[-1;-1]

[1;1]

a) Pro n liché :

D(f) = R *) H(f) = R není omezená shora není omezená zdola je rostoucí je prostá nemá maximum nemá minimum je lichá


Ű Zpět na obsah

Vlastnosti mocninné funkce f: y = xn, n N :

Mocninná funkce

b) Pro n sudé :

D(f) = R *) H(f) = R je omezená zdola není omezená shora je klesající na (- Ą 0 je rostoucí na 0;+Ą) není prostá má ostré abs. minimum v xm = 0 nemá maximum je sudá


y = x2

y = x4

y = x6

[-1; 1] [1;1]

[0;0]

Ű Zpět na obsah

Mocninnou funkcí se záporným celočíselným exponentem n je každá funkce f: y = xn , n Z-, D(f)max = R - {0}.

Grafem této mocninné funkce je hyperbola s asymptotami splývajícími se souřadnicovými osamu x, y.

Mocninná funkce

Př.: y = x-1

y = x-2

y = 4x-3

Ű Zpět na obsah

Vlastnosti mocninné funkce f: y = xn , n Z-

Mocninná funkce

a ) Pro n liché :

D(f) = R- {0} *) H(f) = R - {0} není omezená shora není omezená zdola je klesající v (-Ą; 0) U (0;+Ą) je prostá nemá maximum nemá minimum je lichá

y = x-1

y = x-3

y = x-5

[-1; -1]

[1;1]

[0;0]

*) uvedené vlastnosti platí pro D(f)max = R-{0}, pro D(f) R-{0} se mohou změnitU

Ű Zpět na obsah

Vlastnosti mocninné funkce f: y = xn , n Z-

Mocninná funkce

b ) Pro n sudé :

D(f) = R- {0} *) H(f) = R - {0} není omezená zdola není omezená shora je rostoucí v (-Ą; 0) je klesající v (0;+Ą) není prostá nemá maximum nemá minimum je sudá


y = x-2

y = x-4

y = x-6

[-1; 1] [1;1]

[0;0]

Ű Zpět na obsah

Speciálním případem mocninné funkce se záporným celým exponentem je funkce nepřímá úměrnost, tj. funkce f: y = , D(f)max = R- {0}, k R, k ą 0.

Mocninná funkce

Grafem nepřímé úměrnosti je rovnoosá hyperbola (souměrná posle os kvadrantů a podle počátku k.s.s.) s asymptotami v osách x, y.

[-1; -k]

[1;k]

[0;0]


kx

Pro k > 0: D(f) = R- {0} *) H(f) = R - {0} není omezená shora není omezená zdola je klesající v (-Ą; 0) U (0;+Ą) je prostá nemá maximum nemá minimum je lichá

[k;1]

[-k; -1]

x

1,5

y =

Ű Zpět na obsah

Mocninná funkce

Pro posuny a změny tvaru mocninných funkcí platí stejná pravidla jako pro funkci kvadratickou. Graf funkce y = a(x-m)n + k vznikne posunutím grafu funkce y = axn

ve směru osy x o m jednotek (pro m > 0 doprava, pro m < 0 doleva) a ve směru osy y o k jednotek (pro k > 0 nahoru, pro k < 0 dolů). Střed popř. vrchol křivky je bod V = [ m ; k ].

x´

y´

2

x2

2(x-3)

2+ 1

Ű Zpět na obsah

Exponenciální funkce se základem a je funkce f: y = ax , a Ą),a ą 1, D(f)max = R.

Grafem exponenciální funkce je křivka nazývaná exponenciální křivka (nebo exponenciála), která prochází body [0;1], [1;a] , [-1; ] a která se asymptoticky blíží k ose x.

Exponenciální funkce

( pro a = 1 by šlo o funkci konstatní y = 1x = 1 ): Př.: y = 2x , y =( )x , y = 10x

Speciální případy:

dekadická exponenciální funkce - exponenciální funkce se základem a = 10 , tj. funkce f: y = 10x

přirozená exponenciální funkce - exponenciální funkce se základem a = e , tj. funkce f: y = ex

e - Eulerovo číslo , e = 2,718

1

a

Ű Zpět na obsah

1

3

Vlastnosti exponenciální funkce f: y = ax , a Ą),a ą 1:



Pro 0 < a < 1 : D(f) = R *) H(f) = (0; +Ą) je omezená zdola není omezená shora je klesající je prostá nemá maximum nemá minimum

y = ax

0 < a < 1

a

1

[1;a]

[-1; ]

Ű Zpět na obsah

Vlastnosti exponenciální funkce f: y = ax , a Ą),a ą 1:



U

Pro a > 1 : D(f) = R *) H(f) = (0; +Ą) je omezená zdola není omezená shora je rostoucí je prostá nemá maximum nemá minimum

y = ax

a > 1

[1;a]

a

1[-1; ]

Ű Zpět na obsah

Vlastnosti exponenciální funkce f: y = ax , a R+,a ą 1:


Graf funkce y = ax se pro a >1 s rostoucím (resp. pro a < 0 < 1 s klesajícím) a stává "strmějším". Graf funkce f: y = ax-m + k je posunutým grafem funkce f: y = ax.

y = 3x

y = 2x

y = 4x y = 2x

y = 2x+1 - 3

Ű Zpět na obsah

y = 0,25xy = 0,33x

y = 0,5x

Logaritmická funkce se základem a je funkce f: y = log a x , a (0; +Ą),a ą 1, D(f)max = (0; +Ą).

Logaritmická funkceŰ Zpět na obsah

Logaritmická funkce se základem a je tzv. inverzní funkce k funkci

exponenciální se základem a. Pro každé x (0;+ Ą y R, a Ą), a ą 1 platí: log a x = y ay = x.

1

a

Grafem logaritmické funkce je křivka zvaná logaritmická křivka, která je osově symetrická podle osy I. a III. kvadrantu souř.soustavy s exponenciální křivkou se stejným základem a asymptoticky se blíží k souřadnicové ose y. Každá logaritmická křivka prochází body [1;0], [a;1] , [ ;-1].

Speciální případy:

dekadická logaritmická funkce - logaritmická funkce se základem a = 10, tj. funkce f: y = log10x = log x přirozená logaritmická funkce - logaritmická funkce se základem a = e , tj. funkce f: y = ln x (e - Eulerovo číslo , e = 2,718)

Vlastnosti logaritmické funkce f: y = loga x , a (0; +Ą),a ą 1 :


*) uvedené vlastnosti platí pro D(f)max = Ą), pro D(f) (0;+Ą) se mohou změnitU

Pro a > 1 : D(f) = Ą) *) H(f) = R není omezená zdola není omezená shora je rostoucí je prostá nemá maximum nemá minimum

[1;0]

[a;1]

a

1[ ;-1 ]

y = logax a > 1



*) uvedené vlastnosti platí pro D(f)max = Ą), pro D(f) (0;+Ą) se mohou změnitU

Pro 0 < a < 1 : D(f) = Ą) *) H(f) = R není omezená zdola není omezená shora je klesající je prostá nemá maximum nemá minimum [1;0]

[ ;-1]a

1

[ a ; 1 ]

y = logax0 < a < 1



Graf funkce y = log ax se při a >1 s rostoucím (resp. pro a < 0 < 1 s klesajícím)a stává "pozvolnějším".

y = log4x

y = log3x

y = log2x

y = log0,5x

y = log1/3x

y = log0,25x

Graf funkce f: y = log a(x-m) + k je posunutým grafem funkce f: y = log a x.

y = log2(x-1)+2

y = log2x

0 1 x

y

-1

-1

1

0 1 x

y

-1

-1

1

Goniometrické funkceŰ Zpět na obsah

Každému reálnému číslu x lze přiřadit na jednotkové kružnici právě jeden bod K = [ xK ; yK ] tak, že délka oblouku JK je rovna x.(délka oblouku je měřena po jednotkové kružnici proti směru hodinových ručiček pro x > 0, po směru pro x < 0; měří se ve stejných jednotkách jaké jsou v k.s.s., J = [1;0])

x

K

J

x

K

J

yK

xKxK

yK

Každému reálnému číslu x lze tedy takto jednoznačně přiřadit dvě reálná čísla xK ( x-ová souřadnice bodu K ) a yK (y-ová souřadnice bodu K).

Zobrazení množiny R do jednotkové kružnice

|JK| = x

0 1 x

y

-1

-1

1

0 1 x

y

-1

-1

1


K

J

Každý bod K jednotkové kružnice je obrazem nekonečně mnoha reálných čísel v uvedeném zobrazení. Jejich velikost se liší o násobek hodnoty 2délka jednostkové kružnice).

yK

Jestliže x = x0 + k.2 , kde k Z , x0 0; 2, je číslům x i x0 přiřazen stejný bod K na jednotkové kružnici.

x = x0 + 1.2

K

J

yK

x0

xKxK

0 1 x

y

-1

-1

1

0 1 x

y

-1

-1

1


x

K

J

Funkcí sinus nazýváme funkci, která každému reálnému číslu x přiřazuje číslo yK (y-ová souřadnice bodu K).

sin x

yK

x K yK = sin x

x

K

J

yK

sin x

přechod do programu Cabri Geometry II Plus Ü sinus_4.figSoubor FIG

0 1 x

y

-1

-1

1

0 1 x

y

-1

-1

1


x

K

J

Funkcí kosinus nazýváme funkci, která každému reálnému číslu x přiřazuje číslo xK (x-ová souřadnice bodu K).

cos x

x K xK = cos x

x

K

Jcos x

xK

xK

0 1 x

y

-1

-1

1

0 1 x

y

-1

-1

1


x

K

J

Velikost oblouku JK může vyjadřovat velikost úhlu J0K v obloukové míře - |JK| = | J0K | = x rad. Funkce sinus a kosinus lze tedy definovat i pro každý úhel (libovolný úhel umístit v k.s.s. tak, aby bod 0 byl jeho vrcholem a polopřímky 0J a 0K jeho ramena, proti směru, > 0 po směru hodinových ručiček)

sin = sin x

yK

ş J0K

x

K

J

yK

sin = sin x

|| = | J0K| = x rad

K yK = sin = sin x

cos = cos x

cos = cos x

K xK = cos = cos x


Vlastnosti funkce f: y = sin x :

2

2 2

3

23 2

2

D(f) = R *) H(f) = -1;1 je omezená zdola je omezená shora je klesající pro x + 2k; + 2k

je rostoucí pro x k; + 2k

je lichá není prostá má minimum v xm = k

má maximum v xM = k

je periodická s periodou

2

2

3

2

23

2

2

*) uvedené vlastnosti platí pro D(f)max = R, pro D(f) R se mohou změnit. Protože jde o funkci periodickou s periodou p = 2, často se její graf studuje pouze na tzv. první periodě, tj. na intervalu 0; 2 ) .

U

} je omezená

( k Z )

2

2 2

3

23 2 2

D(f) = R *) H(f) = -1;1 je omezená zdola je omezená shora je klesající pro x 0 + 2k; + 2k

je rostoucí pro x 2k; 2 2k

je sudá není prostá má minimum v xm = 2k

má maximum v xM = 2k

je periodická s periodou 2

} je omezená

Goniometrické funkce

Vlastnosti funkce f: y = cos x :

*) uvedené vlastnosti platí pro D(f)max = R, pro D(f) R se mohou změnit. Protože jde o funkci periodickou s periodou p = 2, často se její graf studuje pouze na tzv. první periodě, tj. na intervalu 0; 2 ) .

U

Ű Zpět na obsah

( k Z )

Význačné hodnoty goniometrických funkcí sin x a cos y pro x 0;2

sin x

cos x

22

X (°)

X 340

0

6

35

64

3 2 7 5 4

36

4 3

2 5

3 7

4 11

6

30 45 60 90 120 135 150 180 210 225 240 270 300 315 330 360

232

2 2

1

1

0

00 0

0

1

1

2

223

2

1

2

1 2

2 23 1

1

23

23

232

2

2

2

2

2

2

2

2

2 2

1

2

1

2

1

23

23

2

1

2

1


y = sin x , D(f) = 0; 2) y = cos x , D(f) = 0; 2)


sin x

cos x

x

y = sin x

y = cos x

2

23 2

2

23 2(0; )

2

( ; ) ( ; )

23

( ; )

+ +

+ +

- -

- -

sin x

cos x

x 2

23 2(0; )

2

( ; ) ( ; )

23

( ; )

rost. kles. kles.

kles. kles.

rost.

rost. rost.

Ű Zpět na obsah


Vlastnosti goniometrických funkcí sinus a kosinus:

Ű Zpět na obsah

Pro posuny a změny tvaru grafů funkcí sinus a kosinus platí stejná pravidla jako pro jiné funkce.

y = sin x

y = 2.sin x

y = 0,5.sin x

y = a.sin x ( resp.y = a.cos x )



Ű Zpět na obsah


y = sin x

y = sin x + 1

y = sin x - 2

y = sin x + n (resp. y = cos x + n )



Ű Zpět na obsah


y = sin x

y = sin( x - )

y = sin(x - m) (resp. y = cos(x - m) )

3

3

y = cos x

y = cos( x+ )4

4



Ű Zpět na obsah


y = sin x

y = sin(2x)

y = sin(k.x) (resp. y = cos(k.x) ) , k ą 0

y = cos x

y = cos( x)1

2

Perioda funkce y = sin(kx) resp. y = cos(kx)

je

k

2p =

0 1 x

y

-1

-1

1


Funkce tangens se nazývá funkce daná rovnicí y = sin xcos x

sin xcos xtg x = Je tedy f:

, x ą (2k+1). 2

Funkci tangens lze také definovat pomocí jednotkové kružnice a její tečny bodem J = [1;0]:

K

J

xK

K´

tg x

t

x

D(f) = R - U{(2k+1). }k Z 2

D(f) = R - U{(2k+1). }k Z 2

tj.

0 1 x

y

-1

-1

1


Funkci tangens lze také definovat pomocí jednotkové kružnice a její tečny bodem L = [0;1]:

K

J

xK

K´

x

D(f) = R - U{2k. }

k Z2

tj.

Funkce kotangens se nazývá funkce daná rovnicí y = sin x

cos x

sin x

cos xcotg x = Je tedy f:

, x ą 2k. 2

tL cotg x


Vlastnosti funkce f: y = tg x :

2

2 2

3

23 2

2

H(f) = R není omezená zdola není omezená shora je periodická s periodou je rostoucí pro x ( k; + k) je lichá není prostá nemá minimum nemá maximum

2

2

*) uvedené vlastnosti platí pro D(f)max = , pro D(f) D(f)max se moho u změnit. Protože jde o funkci periodickou s periodou p = , často se její graf studuje pouze na tzv. první periodě, tj. na intervalu 0; ) nebo ; ) .

U

( k Z )

D(f) = R - U{(2k+1). }k Z 2

*)

2

2

D(f) = R - U{(2k+1). }

k Z2

y = tg x


Vlastnosti funkce f: y = cotg x :

2

2 2

3

23 2

2

H(f) = R není omezená zdola není omezená shora je periodická s periodou je klesající pro x ( 0 +k; + k) je lichá není prostá nemá minimum nemá maximum

*) uvedené vlastnosti platí pro D(f)max = , pro D(f) D(f)max se moho u změnit. Protože jde o funkci periodickou s periodou p = , často se její graf studuje pouze na tzv. první periodě, tj. na intervalu 0; ) .

U

( k Z )

D(f) = R - U{2k. }k Z 2

*)

D(f) = R - U{(2k. }

k Z2

y = cotg x


Pro posuny a změny tvaru grafů funkcí tangens a kotangens platí stejná pravidla jako pro funkce sinus a kosinus.

Zdroje:

Doc. RNDr. Josef Polák, CSc. - Přehled středoškolské matematiky (Prometheus)

Použitá literatura:

Doc. RNDr. Oldřich Odvárko, RNDr. Jana Řepová - Matematika pro SOŠ a studijní obory SOU 3. (Prometheus)

Doc. RNDr. Oldřich Odvárko, RNDr. Jana Řepová, RNDr. Ladislav Skříček - Matematika pro SOŠ a studijní obory SOU 2. (Prometheus)

Cabri Geometry II plus - vlastník licence: SŠS Jihlava

Použitý software:

ACTIVstudio PE - vlastník licence: SŠS Jihlava

TI Inter Active! - vlastník licence: SŠS Jihlava

Documents

ELEMENTÁRNÍ FUNKCE