129

Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

������� ����� ��� � ��� �����������������

� �! #"!$&%('*)&+(,�-/.

02143!,5-76/8914':6�;�<>=?,�6/@!1A8B,�6/%DC4EF�'!%(G�1A-/E/%(6IH9;�<KJ!;�L!6/@NMO+D;�-/%("!,

P�QSRUT VWQ7XZY:Q7[(Q7\^]_QS`>acbcdfecgcgce

h�ikjmlfnpoIqsr�tkukuvtxwmlzy|{�}�~����p��h�np�k����������_�����I����o��k�_��rc����r��_�_��oI��rc���p �rmoI~���o�~_�¡��rc���¡w_�7rc�pik�Z�v�_~���iA~_�p¢_ I�£rc�pik���k��o¤j�oI��¥

���¦r�rcoI~�§5j_��iS¨f�p~_oI~ rm�_��r��kn¡n� Iivj_�¡o��¤�k�_~Z~_oI���¦¨4��rm�¦¨_oI����o�rc�v�¡�©rm�_o>���k��o�j�oI�����p�����¡ik����{ª_j�oI I�p¢_ ��kn¡n«l¬�_i� Iiv����o����p I�kn��_��oOikq­rm�_oI��oO�_i�rco���ik���k�ml���o�¨f�¡���¡iv�_��rm�_oI��oIikq®�¡��j�oI��¥���¦r�rcoI~�{

Page 2: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

�p�

Page 3: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

¯±°A²�³ ��´Z�¶µ��S�I´·�2�p�� Iik�� IoI���_oI~����¦rm��j���ikj�oI��rc�poI�¸ikq­rm�_oO�¡�mrmoI¹ko�����º

»m»m»m¼m½O¾¿¼m½OÀ¿¼m½ t ¼m½ZÁI¼ u ¼¿ÁI¼ t ¼�À¿¼I¾¿¼m»I»m»S»Â �_o>¹v��oI�£r>����rm�_oI����rm�¡ ��¡�v�zh��k��n­Ã­���poI~����p S��Ä��k�_���^ I�vn¡npoI~©rm�_�p�Å���_w4Æ�oI Wr�ÇI´·È���µ ² �c�¶È�É�k�_~�ikq:�¦r��_o����v�¡~_º

Ê ��rm�_oI����rm�¡ ��Ë�p��rm�_o¸ÌA��oIoI��ikq5�� I�poI�_ �oI�¤�k��~��k���¦rm�_��o�rc�p ^rm�_o�ÌÍ�_oIo��&ikq����rc��oI����rc�p I��{¡Î

ÏÐrÑ¢_����rÑw_np�_���Òik�_o2���p¹k�mrzrc�_�p�_��rc�_�£rÑikqK�knpn±�v��oI�v�zikqK����rc��oI����rc�p I�& �oI��rc�k�p�_n«lÇI´·È��¶µ ² �c��È�É����_ik�_np~�w�o¤rc�_oO���¡��j_npoI��rc§:w_��r©�¦r��p���Z���_��j����p���p�_¹kn«l¬~_oIo�j�����w4Æ�oI Wrc{

yÓo��k�����_��o!rc�_��r¸��rc�_~�oI�mrc�^�_�Ô¨Uo���iv��o�qÕ�k���pn¡�p�k���¦rÖl���«rc��w_�k���¡ ���o�r�rc�_o�ik��lk§­�k�_~ I�knp I��n¡�_��{±×Ë��r�¨Uo���lÑnp�¦r�rcnpoOikq_rc�_�p���_��rc����oË���pn¡n�w�oK�_oIo�~_oI~�{  i��#¹k��o���r�o�ØÍrco��mr±rm�_owfiAik�¬�¡����oInpqs¥S Iiv�crm�k�p�_oI~_{BÙÚr���oIÌÍ�_�p��o���ik�_n«lÒ�Ñ Io���rc�v�¡�Û�k��ik�_�mr�ikq�����rm�_oI����rm�¡ ��kn����rc�_���¦rÖlk{Ï>��~_§Ð�_ivjfo�qÕ�_n¡n«l¿§�rc�_o©��rc��~_oI�mrcÜp�Knpo�¨Uo�nÝikqÝ����rm�_oI����rm�¡ ��knÐ����rm�_���«rÖl����¡npn�¡�� I��o��k��o��k�Ýrc��o� �ik�_����o�j_��ik¹v��oI����o���{

פoIqÕik��ozrc�_oÑ Iiv�_����o¬�p�ÞiÔ¨UoI�Þ��rc�_~_o��mrc�#���¡npnKwfo��p�mrc��i4~_�� IoI~Ûrci2rc��o���lf� w�iknp�¡ j_��iv¹k���k�����p�_¹�np�k�_¹k�_�v¹ko Ê �vj_n¡o:���_�¡ S���p�Ý�k�oWØf IoInpnpoI�mr!rciAiknAqÕik�ÐoWØ5j�n¡ik���¡��¹K�A��� w�oI�rc�_o�ik��oWrc�p ©ÌÍ�_o���rm�¡ik����{

ÙÖq7lUiv�¸���p���¸rmi���oIo^i�rm�_oI��w�i4ik�Í��ik���Í�_� w�oI�Urc�_o�ik��lk§7rm�k�vo��¸n¡iAik���p��rm�_o�ßOÏàt ¾­Á�k��o��Zivq�rc��o©��rc�k S�Í�>�p��ik�_�¸n¡�pw_���v��l¿{±áO�_oO���Ôl¬�knp��iZikw�rm�k�¡��� �� S�2�¡�mrmoI��o���rm�¡�_¹��k�_~ I�_����o��cr>�p�_qÕik������rm�¡iv���vwfik�7r>�Í�_�©wfo���rm�_oIiv��lÞqÕ��ik�*rm�_o��¡�mrco����_oWrc{�ª_o�o¸j��k��rm�¡ ��_n¡�v��n«lrc�_o>�>oIw����«rcoI�©n¡�p��rmoI~¬�¡�zrm�_o#פ�pw_n¡�pik¹k���kj_�ml¿{  �_o���o�w_���«rco��©wmlÛh��_���¡�Kh��vn¡~��>oInpn±â¦tvã�k�_~Zwcl�}����p !yÓo��¡����rco��¡�¬â ÁkÁ ã­�k��o±o���j�oI ��¡�knpn«l���oI �ik����o��_~_o�~_{  i ��oIo����_��r>�¡�^¹kik�p�_¹ik�2��r¸rc��o qÕ��iv�crm�¡o��±ivqfrc�_o©���_wAÆ�oI �rm§flUiv�2���Sl�rc�v�vo �Zn¡iAik�Þ��r ��ik��o©��oI �oI�mr��p�����_oI�ikqUrc�_oZäÍ� ° ´·å:Ç¿����� ¯¸°4²�³ ��´2æ�µ��S�I´·�������¡ S��lUik�#���¡npn�¢_�_~��p��ik����n¡�pw_���v��l¿{

�p�¡�

Page 4: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

�«¨ ç èÞéKê�ë�ì�é

í o���o¤�k��o¤��iv��oËo�Øf�k��j_npoI��ikqUik��rm��rm�k�_~_�p�_¹K�_�_��ikn«¨UoI~�j_��ikw_npoI���!�p�#�A��� w�oI�5rc��o�¥ik��l¿{2ª_iv��o�ikq�rc�_o���o����pnpn^w�o�~_�¡�� I�_����o�~à�p��rm�_�p�© �ik�_����oI{�Ïî��ivn¡��rm�¡iv��rci��k�mlàik�_oikqÍrc�_o���o�j_��ikw_npoI���:�>ik�_np~z���k��oÅlUik�ZÌÍ�_�¦rmo�qÕ�k��ik�_�>ï��£r�npoI�k��rK�k��ik��¹©����rm�_oI����rm�¦¥ I�p�k�_��ð�{ Ê �k�mlÑivqUrm�_oI��oOj_��ikw�n¡o����� �ik�_ Io�����j_���p��oO�A��� w�oI����{±ÏB��´·È ² ��å °4²�³ ��´Z�¡��k�Ñ�p�crmoI¹ko��©¹v��oI�£rcoI�¤rm�_�k� Á ���_iv��o�ik�_n«lÛjfiv���«rc�«¨Uo�qÕ�k �rmik���O�k��o Á �k��~Þrm�_oZ�p�mrco�¹koI��«rc��o�n¡qÕ{

Á {Zï�ñK�¿��ò ³ Ç¿É�µÐó ô����IåvõI�SÉc� ° ´I�cð }�¨_oI��lÓo�¨_oI�Û�¡�mrmoI¹ko��>ö�÷øt2�¡�¸rc�_oz���_�ùikqÐrÖ��ij_���¡��o���{

tk{Zïmæ�ú!ÈÕå2û�´£È ² �#���IåvõI�SÉc� ° ´I�cð  �_oI��o �k��oO�¡�_¢��_�¦rmoIn«lü���v�cl&rÖ���p��j����p��o���{�â«ÙÖq5ý�k��~�ý�þ9tZ�k��oKj_���p��oI�!��o����Ôlzrm�_��r¸ý��k�_~�ý�þBt��k��oZ��ú!ÈÕåZ��´·È ² ��ôS{¡ã

À {Oϱ��o¤rc�_o���oO�p�_¢_�_�«rco�n¦l¬���k�ml¬j_���¡��oI��ikq­rc�_oOqÕik���?ö5ÿÅþ Á��¾ {Oϱ��o�rm�_oI��oz�p�_¢_�_�«rco�n¦lB���k�mlÓj_���¡��o��#ikq®rc��ozqÕik��� t�� ½ Á���� ���¡��o��ikqÐrc���¡�qÕik���x�k��oO I�knpn¡o�~�� ��´·ô7��åUå:����´·È ² ��ôS{� {Oϱ��o�rc�_o���o��p�_¢_�_�«rco�n¦là���k�mlàj_���¡��oI��ikq�rc�_o�qÕik��� t ÿ þ Á���� ���p��o�� ikq�rc���¡�qÕik���x�k��oO I�knpn¡o�~� Ð��´ ² Ç¿�4��´£È ² ��ôS{� {Zï À ö¤þ Á ���IåvõI�SÉc� ° ´��cð®h�ik�����p~_oI�frm�_o^qÕ�_�_ �rm�¡iv���Z~_o�¢_�_o�~qÕik�:jfik���¦rm�¦¨_oË�p�mrcoI¹voI���öÑ�k��qÕiknpnpiS����º��!ï�öÝð�� À öOþ Á �¡qÍö¬�¡��iA~_~��k�_~��!ï¶öÐð��Bö���t��pq4öÑ�p��o�¨_oI�_{  �_o �ik��Æ�oI Wrc�_��oÑ�¡� rm�_��rzrm�_oÑ��oIÌÍ�_o��_ Io��!ï�öÝð ¼ �!ï��!ï�öÝð�ð ¼ �!ï��!ï��Ýï¶öÝð�ð�ð ¼������ �vn¦�>�Ôl5� �ik�mrc�k�p�_� Á ��i�����r�rco��!������r�rc�_oO��rm�k��rm�¡��¹K¨4�knp�_oOikq­öà�¡��{� {Oϱ��o¸rm�_oI��o �p�_¢_�_�«rco�n¦l ���k�ml j����p��o��^���_iv��o~_�p¹k�«rc�±�¡�2w��k��o Á u��k��o©�knpn:ik�_oI� �� �_� w�oI�������_iv��oO~_�p¹k�¦rm�±�v��oK�knpn�ik�_o��¸�v��oO I�knpnpoI~�´I��� ° åUÈ���ôS{� {Oϱ��o¸rm�_oI��o �p�_¢_�_�«rco�n¦l ���k�ml j�oI��qÕoI Wr#�Í�_� w�oI��� � â¦Ï±�2�p�crmoI¹ko��>�p�^�5��´ �I�SÉc�¤�¡q!�«r�p�Ýrc�_oO����� ikq:�¦rm�¸j���ikj�oI��~_�«¨f�¡��ik����{¡ã

� {OÙÖ��rc��oI��o��OqÕ�k��r>�vn¡¹kiv���«rc�_�?qÕik�!qÕ�k �rmik���p�_¹�n¡�v��¹ko��p�mrcoI¹voI��� � â«Ï rm���_n«lÞqÕ�k��r±�kn¡¹vi�¥���¦rm� qÕik�ÅqÕ�k �rmik���p�_¹±�>ik�_np~Þ�_�Ô¨UoK�p��jfik��rc�k�mrO�p��j_np�¡ ���rc�pik�_��qÕik�Å I��l5j7rcik¹k���kj_�ml�k��~�~���rc����o� I�_���¦rÖlk{¡ã

Page 5: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

¨

�! �"$#&%('*)+%(#&,- �,/.0#&1('3254768 �,-479:,-#�;*%("=<>47?5@+A(47#&?CBæ�ú¸�ED ° �¿�DÇ¿��È��IåUôË��´�� ² ñ(FHG>FIG ÇI´�òI�KJ

ÙÖ� rc�_o�¢_����rÑÌÍ�_i£rc��rm�¡ik� í �k��~�l �p�z��j�oI�v�A�p�_¹ ikq¤rm�_o2qÕ�k��ik�_��ÙÖ�_~_�p�k�Ò����rc�_oW¥����rc�p I�p�k�ML¸�k���k�Í��Æ��k��{  �_�p���¡��rc�_o���ik�_�� �o�ikq�rc��oZikqsrmoI�¬���k~_o���rc�£rcoI��o��cr�rc����rL±�v���v�A�7Æ��k���Í�_oW�îoI�v S���p�mrcoI¹voI�¸jfo�����iv�_�knpn¦lk{

Ù���o���oI� w�oI�!iv�_ IoŹkik�p�_¹^rmi���o�o¤�_�p�Ò����oI�#�_o®�>�k�Ýn«lf�¡��¹��¡npnA��r � ��rm�_o�lk{Ù��_�k~ ���p~_~_o�� �¡� rc�£Ø5�± I�kw �Í�_�©wfo�� Á � t � �k��~*��oI���k���voI~ rc����rzrc��o�Í�_� w�oI����o�oI��oI~Ûrcià��o¬����rc��oI�&�à~_�_npnKik�_oI§©�k�_~ rc�_�£r¬Ù��_ikj�oI~*�«r�>�k�z�_i�r2�k�B���_qÕ�Ô¨Uik���kw_npo�ik��oI�_{ON � ik§pÎÛ�_o2��oIj_np�¡o�~_§PNW�«r2�p�z��¨_oI��l�p�crmoI��oI��rm�¡��¹��Í�_� w�oI�0Q¤�«r��¡�¤rc��o������kn¡npoI��rz�Í�_�©wfo��©oWØfj_��o������pw_npoz�k�¤rc��o����� ikq�rÖ�>i� I�_w�oI�¸�¡�rÖ�>i�~_�SR�oI��o��mr±�>�Ôl5��{±Î� �_��o�����rm�_oI����rm�¡ ��^�p��ik��rc�_oÐ����ikn¡o�~_�p��rm�¡�� �rcn«l���ik��o�����oIqÕ��n¿rm�_�k���kj�¥j_np�¡o�~_{¤Ã­ik�U���_��r��p�Ð����oIqÕ��n��kw�iÔ¨Uo¤�knpnA�¡�frmoI S�_���¡ÌÍ�_o�§��v�_~����rc��oI����rc�p I�vnrco� S�_�_�pÌÍ�_o �p�Ýrc�k�_¹v�cr©���k�p�_n«lzrc�_��ik�_¹k��j_�_��oO���£rc�_o����£rc�p I��{

æ�ú¸�ED ° �¿�DÇ¿��È��IåUô ³ ��T®�S���5�¿��òVUK´��Iå:�SÉXWA��´Ä�i4~Þ�_�k�����k~_o¤rm�_oO�¡�mrco�¹koI����§��knpn4rc��o���oI��r�p�Ýrc�_o¤�>ik���zivq®���k�_{

 �_o#ik���¡¹k�p�_�kn:ÌÍ�_i�rm��rc�pik���p��Ä©o������k�Z�>�k�(Y�È��(ZAÇIåC[7�]\^ÇIµ��­ô7É�µ ° ��ò¿��´z� È�� ³ �ZñK�¿���_^Ç¿�Õ����ô=`a�³ ´·ÈbZA�¤ÈÕô7�c� ��åUô7É�µ���åUú¸��´dW/F Ê ik��o�np�¦rmoI���kn¡n«l¿§¿rc��o�rm���k�_��n¡�£rc�pik�Z�p��N  �_o!���_iknpo�Í�_� w�oI��§# I��o���rco�~Ûrm�_oÑ~_oI�v��Ä�iA~_§©oW¨Uo���lÍrc�_�p�_¹Óo�n¡��oÑ�¡�Þ���k�_Üp���ik���Í{¡Î � i�rmo¬�p�j_�k��rc�p I�_np�k��rc�_��r!\^ÇIµ��f�p�ÅÄ�oI�����k��qÕik�^å °A²�³ ��´£{  �_�¡�Å�¡��rc��o>��o��k��iv��rc����rÅrmi4~��Sl#�>o�_��o qÕik�Ðrm�_oO��oWr ivq®�p�mrcoI¹voI����{

� ��� w�oI�5rc��oIik���¡��rc�!�k��o¤n¡�p�vo�npi�rm�_��¥ÔoI��rmoI���Ie����S¨f�p�_¹Oik�_ �o®rc�k��rco�~�ivqvrc�_�p�qÕiAi4~ rm�_o�l¬ ��k����o�¨Uo��±¹v�¦¨_o��«r©�_j_{

fgD ° �¿��Ç¿�¶È��Iå ³ ��ÉS�Iå:�D� ² �5�I´�ÇI´·��å °4²�³ ��´���µ��S�I´·ÈÕô7�]h�È��Õ� È�Ç ²gi ����ÈÕåjJÏ  Iiv��j���rco����p�rci �Û�Í�_� w�oI�rm�_oIik���¡��rc§np�p�voÑ��rco�n¡o��� Iivjfo¬�¡�rmi �k��k��rc��iv�_ik��oI��{ÓÙÚr#��iv�_n¡~àw�o������_�k��orcizrco��k S�à�k�Û�k��rm��ik�_iv�¸l  �n¡�k������«rc�_ik�7r#rcik�_ S���¡�_¹¬��rco�n¡o��� �ikjfo�QKn¡�p�voW���¡��oI§��«r#�>ik�_np~àw�o&�Ñ���_�v��o rmirco��k S��rc���¡�© Inp�k���±���«rc��ik��r rmoInpn¡�p�_¹Zl_ik� �_iÔ� rci�n¡iAik����r©rc�_oZ�¡�mrco�¹koI���rc����ik�_¹v��rm�_oOn¡o��_��ikq®�� Iiv��j���rco���{

Page 6: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

¨f� ç èÞéKê�ë�ì�é

Page 7: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

kmlonqpsrKtun vwv�vx y rKz�vwt|{~}Hvw���Mz�ps��l x� kVlo�H��p��H�����j���jtu��vw��� �� �]�wn/��nq�H��rKlo����vw�Hvwz�vw�jvw��vw�d��kmlo����n/lo��vwnqz �� ��� nP���w�H��lErK�j�5��nqvw�wvw������p r�¡¢n/r£�¥¤|�j�¦��nql x �§ ��� nP�¨v��Iv�z©v����ª{~�w���clovw� � � xu§« ¬ lonqrK��nqz����������M���5�¨v��Iv�z©�cl x �­ ��� nP�]�jtu��vw�jnqrK�ª{~������lovw� � � � �® y n/¯u���j�q°±z�²&nq�M��r �c§� y ��r£��³Hvw�jz � v��´°±zEµ¶nq� � �I� � ­x¸· kVlovw�MnP¤����¦��nqloz � xx�x¢¹ �jvwºH�jn¦�jr£tu����l»vw¯urK�©v���� � ­x¸� �jnqlo�Mr£��kmlov���nqz�rK�j�5µ¶nql»z©n/�j�jn¦kVlovw�Mnqz � �x � ��� nP�7���jtu��vw����zE¼�r£����½ � ­x¸� k]nql»p¾n/tu�¿¤����¦��nqloz�r£���5µ¶nqloz�nq���jn¦kVlovw�Mnqz § �

¨5�p�

Page 8: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

¨f�¡�p� À�Á¥Â�ÃÅÄÆÂ>ÃÅÇx¸§ �¿�c�j��lo��nq�jtun/z § ­x¸« �¨v��Iv�z©v��jvw�wv��d� � nqz���z¿ps��l tKÈ À È � È � È ÁvÁ «�§x ­ �¨v��Iv�z©v��jvw�wv��d� � nqz���z¿ps��l � rK�j� Á�À « �x¸® µ¶�clonPkmlo����n/lo��vwnqz¿��p��¿���j�clo�jnq��tunqz ­ xx �¦¡Enqz�vw���jnP�¿�wrKz�z�nqz ­ §��· É rK�j�Ê�¿���M�j�wnq��nP¡Enqz�vw�j��nPËj�Hz��©n/��z ­ ���x {~���jvw��vw���5rK���5µ¶�j�w��vw���wvwturK��vw���ªv�� É ® ����¦��� n ¬ lo���j��zEÌ É ® ­� � ��Í � ��� nq��l»nq��z¢��p �]���wnql¢r£���ª�7nql»��rK� ������ kVlo���jrK��vw�wvwz���vwt|kmlovw�MrK�wvw�d� � nqz��©z � ­��§¦��� n y rKz�nÏÎСEnq�jl»nqz�nq�H�©rK��vw���5�cp ö x¸·�x��« �¿�c�����j��rK�©v����5��p]Ñ»Ò ��iA~mÓ x¸· ­� ­ ��� nP¡EËj{ÔËjt � nq�Mn x�x �{ ¡Evw����z�rK�j� ¬ lo�����jz x�x ­

Page 9: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

ª_�p�_ Io¤�Í�_�©wfo��5rc�_o�ik��lZ�p�Ý Iiv�_ Io����_o�~K���«rc� j_��ikj�oI��rc�poI�Ýivqvrc�_o¤�p�mrco�¹koI����§v�>o¤wfo�¹k�p�wml��oWr�rc�p�_¹��j���iv��o±�_i�rm��rc�pik���v�_~���o�¨f�¡oW���¡��¹#��ik��o>w��k���p >j_��ikj�oI��rm�¡o��ËikqÍrc�_o±�¡�mrmoI¹ko����rc�_�£r����¡npn�wfoO�_o�oI~_o�~�np��rco���º

�*Õ ÁI¼ t ¼IÀ¿¼������dÖ ï�rm�_o ��rK�©��lorK���H�j�¦��nqloz ik� ����z�vw��vw��nPvw�H��nq��nql»z ð�*Õ ������¼I½�À¿¼I½ t ¼I½�ÁI¼ u ¼¿ÁI¼ t ¼IÀ¿¼������dÖ ï�rc��o vw�H�©n/��nqloz ð� ö

Ó × ö ¼ ÓÙØ �k�_~�Ó Ú� u ï�rc��o lorK�©v����jrK�¥�H�j�¦��nqloz ð�9rm�_o l»nqrK�´�H���¦��nqloz

� i�rmo�rm�_��r Û Û Û {>Ù¤�k�����_��o©�Z�Í�_iÔ��npoI~_¹ko ikq�rm�_o©w��k���p ©���_npoI�>ivqÐ�_�p¹k��� S�_iAikn��knp¹ko�w_���z���_�p S�B�kj�j_n¦l rci �k�_~2rm�_oI��oIqÕik��o#rmi § �k�_~ {Ò×®l rm�_�¡��Ù��oI�k�zrc���¡�_¹v��n¡�p�vo ÑqÎ � ÎdÑ �k�_~ ÑqÎ þ Ñ/Ü � Ñ ï Î þ Ü ð�{#Ù!���pnpnÝ�_i�rn¡�p��r��knpn:ikq�rc�_o���oj_��ivjfo���rc�poI�!��oI��o�{ í iÔ�>o�¨_oI��§­w�oInpiÔ�NÙ�np�¡��r���iv��o�j��k��rm�¡ ��_n¡�v��n«lz�p��jfik��rc�k�mr�j���ikj�oI��rc�poI�ikq rm�_��r¤���pn¡n5wfo���oIoI~�oI~_{¸Ù� I�knpn4rc��oI� Ç©ÝcÈ�� ² ô����¡�� Io¤��oË���pnpn��_i�rOj���iÔ¨Uo¤rc��oI�x�p�rc�_�p�� Iik������o�{

Ë�����n y rKz�vwt|{~}Iv�����z�ps��lÁ {OÙÖq Ñ § Î Ø §­rm�_oI� Ñ þ Î § Ñ ½ Î �v�_~ ÑqÎ Ø {Zï �p�> �n¡iv��oI~��_�_~_o��>�k~_~��¦rm�¡ik��§����w�rc���k �rm�¡ik���k�_~�� ��n¦rm�¡j_np�p I��rm�¡ik��{¡ð

tk{OÙÖq Ñ Ø rm�_oI��rc�_o���oO�¡���_iÐÞ¦Ø ���_ S��rc�_�£r Ñ>ß Þ ßàÑ þ Á {

À {OÙÖq Ñ § Î Ø �k�_~ ÑqÎ � Á §Arc�_o���oI�«rc��oI� Ñ � Î � Á ik� Ñ � Î � ½�Á {

¾ { ²&r Í z���pá�]}I���c�jnq�H��zqâ íik�ÝöЧ£Ó �p� �k�_~ Ñ § Î �¡� �>o©���S¨_o

Á

Page 10: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

t ÀÅã!äáå!ÃÅÄÆæ$ç¸è�é¥ä!ÇKê�À�ä!ë!ê�Á¥ìPÇ�íîÁ¥æï��vð ï Ñ �Að É � Ñ � Éï�w_ð ï ÑqÎ ð � � Ñ � Î �ï� �ð Ñ � Ñ É � Ñ �¸ï É { �_o���o����_npoI�¸�_iknp~ÞqÕik���knpn_ö ¼ ÓðØ �pq Ñ �k�_~ Î �k��oK��i�rVñIoI��ik{

� { kmlo�c��nqlo��vwnqz¿�cp ����nqºH�jrK�wvw��vwnqzqâ Ã�iv� Ñ § Î § Ü �p� rc�_oOqÕiknpn¡iÔ���p�_¹��_iknp~_ºï��vð ïmæ¿´�ÇIåUôSÈ���ÈbòcÈ��¶�7ð�ÙÖq ÑVß�Î �k�_~ Î¥ßàÜ §�rm�_oI� Ñ>ß�Ü {ï�w_ð�ÙÖq Ñ>ßóÎ rc�_o�� Ñ þ Ü¥ß�Î þ Ü {ï� �ð�ÙÖq Ñ>ßóÎ �k�_~�u ßóÜ rc�_o�� ÑqÜ¥ß�ÎdÜ {ï�~_ð�ÙÖq Ñ>ßóÎ �k�_~ Ü¥ß u�rc�_o�� ÎdÜ�ßóÑqÜ {ï�o�ð ïmæ¿´·È�É�µ��¿��� ² ��ðÄ��«¨UoI� Ñ �v�_~ Î §¸ik�_o&�k��~àiv�_n¦lÒik�_o&ikq!rc�_o&qÕivn¡npiÔ���¡�_¹

��ikn¡~���ºÑ � Î ¼ Ñ>ß�Î ¼ δßóÑ »

� { �V� n¨ôõn/�w�wö8÷Elo��nqlovw���økVlo����nqlo���Mps��l â }�¨Uo���lÑ��ik��¥So���j�rÖl����_w_��oWr�ikq �ik�mrc�k�p�_���ZnpoI�v��r©oInpoI��oI�mrm{

� { �V� nÏkml»vw�jtuvw���wnø�cp(µ¶rK� � nq�Mr£��vwturK�!�����j�jtu��vw�c�´âÐù o�r¿úZï¶öÐð>w�o�z��rc��rmo�¥��oI�mrÞ �ik�_ �oI�����¡�_¹�rm�_oz�p�mrcoI¹voI�±¨4�k���¡�kw�n¡o öÐ{ ù o�röHû&w�o��k�mlB¢�ØfoI~Û�¡�mrmoI¹ko���{úZï¶öÐð�¡��rm���_o&qÕik� �kn¡nË�¡�mrco�¹koI���Köýü öHûÞ�pq±ik��o& I�k�ÛoI��rc�kw�n¡�p���9wfi�rm�ÛikqÝrc�_oqÕiknpnpiS���p�_¹���rm��rco���oI�mrc��ºï��vð�úZï¶öÐð��¡�Ýrm���_oO�pqföø�9öIûc{ï�w_ð�y|��oI�_oW¨UoI��úZï¶öÝð��¡� rm���_o2qÕiv� öHû�þùöÿþ � rc�_o��àúZï¶öÐðz�p�©rc���_o�qÕik�

öø���Kþ Á {yÓoO�_��o�rm�_oO�_�����kn� Iik�m¨_oI�mrc�pik�_��º

Á { Ñ þ Î ��o��k�_� Ñ�ßóÎ ik� Ñ � Î §tk{ Ñ ÷ Î ��o��k�_� Î¥ßàÑ §��k�_~À { Ñ ü Î ��oI�v�_� Î þ Ñ {

���M����lo��rK�H���¿�c�I�cnq�H�©v������ ª_�p�_ Io��p� rc�_�p�& Iik������oz�>oz���¡npn�w�o��kn¡��ik��r¬o�Øf Inp��¥���«¨Uo�n¦l& Iik�_ �oI���_oI~����«rc���¡�mrmoI¹ko����5�>o¤���_�vn¡n_�v��������o�qÕ��ik�|�_iÔ�Niv��ï��_�_npoI���!i�rc��oI�����p��o��rm��rco�~_ðÝrc�_�£r��kn¡n�npiÔ��o��� I�k��o©��ik���k�Þn¡oWr�rco���� Ñ ¼ Î ¼m»m»m»�¼�� �v��oO�¡�mrmoI¹ko�����{

Page 11: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

ÙÖ�Þrm�_�p�©��oI �rm�¡iv�_§ÅÙ±n¡�p��r��Þ�Í�_� w�oI��ikqË��rc��rmoI��oI�mrm�¸rc����r� I�k�¬w�o�j���iÔ¨Uo�~ wmlà�_��o�ikq �_o � ���¡�� I�pj_n¡o�ikq Ê ��rc�_o�����rc�p I�kn�ÙÖ�_~��_ �rm�¡ik��{ Ù¸���pn¡n���oIqÕoI��rmiÞrm�_�¡��j_���¡�_ ��¡j�n¡o��k�ûÆ���±ik��§:���p��j_n¦lk§ÝÈÕå:ò ° Éc�¶È��IåU{�Ï ���k��j_n¡o j_��iAikqÝ�p�>¹k�«¨Uo���wfo�n¡iÔ��{  �_o��o���r±���¡npnÐw�o¹k�«¨UoI���¡�� Inp�k���¸µ����5��� ° �Õ� � ³ �Zô7� ° ò¿��å:��ôS{

{ z�r£�M�j��nÏ�jlo�H��pá�jz�vw����vw�j���jtu��vw���¥â Ù����¡npn�¹k�«¨Uo�rÖ��iO¨UoI�����pik�_�±ikq�rm�_�¡�¸j_��i4ikqÕ{ÙÖ�©rc��o>¢_����rKj���iAikq�Ù!o�Øfj_np�k�p�&�¡�Z~_o�rm�k�pnf�_iÔ�?ik�_o±�_��o��®rc��o � Ê ÙÖ{  �_o���o� Iik��~&j_��iAikq�¡��npoI���>j�oI~_�k¹vik¹k�p I�kn��v�_~��p�!rc�_o¤rÖlfjfo�ikq:j_��iAikq:ÙËoWØ5j�oI Wr��rc�_~�oI�mrc��rci� Iik����rc���_ �rm{>Ù I�knpn�rc�_o���rm��rco���oI�mrzÙ^���k�mr�rci�j_��iÔ¨_o��#��´I���5�IôSÈ���È��IåU{�ÙÚr����p¹k�mrz�vn¡��i�w�oZ ��knpn¡o�~ ��¶µ��S�I´�� ² ^���� ²#² ÇKik��ÉS�I´��¿�Õ��ÇI´·�~_o�jfo��_~_�p�_¹�ik�#rc��o����¦rm�_��rm�¡ik��{kVlo������z�vw��vw��� � � x � ���!ö�ü � ��µ���å2t � ÷ � ö Fû�´I�c�����uF í o���oË�>oK�_��o  ��o � ���¡�� I�pj_n¡oOikq Ê ��rc�_o�����rc�p I�kn5ÙÖ�_~_�_ Wrc�pik�_{ � i�rmoÅrc����r� Ê Ù¤�_�k�ÝrÖ�>iZj��k��rm�!�����¡ S����oO~_o��_i�rco�wml � Ê ÙOï��kð��k�_~ � Ê ÙKï�w_ð�{yÓo±n¡oWrÐúZï¶öÝð�w�o^rm�_o±��rc��rmoI��oI�mrOt � ÷ � öÐ{¤Ã­ik�:öIûÅ�>o^rc�v�vo � {®yÓo¸ Iiv�_n¡~������«rco���p��j_n¦lfº

úZï¶öÐð��Nt � ÷ � öà�k�_~�öHû�� � »� i�rmoËrc�_�£rVú�ï�öÝð���o�j_��o���o��crm�±��ô7��Ç¿�D� ² ��å:��§��_���_�knpn¦l¬�v�&�¡�_o�ÌÍ�_�knp�¦rÖl¬ik���v��o�ÌÍ�_��rc�pik�w_��r���ik��oWrc�p��o�� ����ik��o� Iik��j_np�p I��rmoI~ �v����o���rm�¡ik��{ � iÔ�ø�pq®öª� ¾ rc��oI��ú�ï�öÝðOwfoW¥ Iik��o��Krm�_oÞ��rm��rco���o��mr2t���÷ � �­¾ ���_�p S�B�p��qÕ�kn¡��o� Ó×Ë��r��¡q�ö=� � §áúZï¶öÐð#�¡��rm�_o��rm��rco���o��mr�t�� ÷ � � � ik� À t�÷ t � �����¡ S���p�Årc���_o�k��~���o���S¨_o#oI��rc�kw_np�p���_o�~ � Ê Ùï��kð�{

À

Page 12: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

¾ ÀÅã!ä!åáÃÅÄÆæ���è�åÆæÐÁÐÁ¥í�é��3ê Â����&À�ÃÅê�Á¥Â� iÔ�Nrmi�j_��iÔ¨Uo � Ê ÙOï�w_ðÐ��o�w�oI¹k�p��wml9ÇIôSô °A² ÈÕåCZ�rc�_��r

ú�ï�öÝð �¡�Ýrc���_oOqÕik� � þBö�þ�� »Â �_��r©�p��§��>oO�k�����_��o

t � ÷ � öÛqÕik� � þBö�þ�� »ï�tv{ Á ð �_o �v��������j7rc�pik�àï�tk{ Á ð¸�¡�± I�knpnpoI~Zrm�_o vw�j���jtu��vw��� � �I���c� � nqz�vwz {�yÓo����v�cr±rci�_��o �«r>rciZj_��iÔ¨_o±rc�_�£r¿úZï¶öÝð¸�_iknp~_�����_oI�zö����©þ Á {©ª_iZ�_oI��oIÜp�Å���_��r±��o ~_ik{�×®lï�tv{ Á ð�npo�r�rc�p�_¹Oö����#�>oO�_�Ô¨Uo

t��K÷ � � »Ê �_n«rc�pj_n«l¬wfi£rc�Þ���p~_oI�¸wml&rÖ��i��k�_~#�>o�¹vo�r

t�� ï�� ÷ Á u�� »ï�tv{¡tkð� i£rcoËrc����r���oO�k��oËrc��l5�p�_¹�rci�j_��iÔ¨UoOt � ï���÷ � ï���þ Á ð�{ � iÔ� � ï ��þ Á ð�� � ��þ � ��i�pq­�>o© ��k�����_iÔ� Á u���ü � �Oþ � ��o� I�k���_��o�ï�tk{ptkðÐrci� Iiv��j�n¡oWrco�rc�_oOj_��i4ikqÕ{� iÔ� Á u�� � � ��þ � � �k�_~!� ü � wml?ï�tv{ Á ð#��i"�3ü Á �v�_~Û�_oI�_ �o � ��ü � {

 �_o���oIqÕiv��oÁ u#�¿� � �Kþ � �¿ü � �Kþ � � � ï���þ Á ð »

 �Í�_�t � ï�� ÷ Á u#��ü � ï �Kþ Á ð

��it�� ï�� ÷ � ï��Oþ Á ð »ï�tv{ À ð

rc����r#�p��§ÆúZï¶öÐð>�_iknp~_�Ë���_o��&ö �$� þ Á {#ª_i&�k�����_���p�_¹rc�_o#�p�_~_�� �rc�pik���mlfjfi£rc�_o����p�ï�tv{ Á ðÐ�>oO�_�Ô¨Uo�j_��iÔ¨_oI~ ï�tk{ À ð�{  �Í�_�!��o��_�Ô¨Uo�oI��rc�kw�n¡�p���_o�~ � Ê ÙKï�w_ð�{yÓo����S¨_o�oI��rm�kw_np�¡���_oI~Krc����r�j_�k��rc�¸ï��kðÝ�k�_~�ï�w_ðÝikq � Ê ÙÐ��ikn¡~#qÕiv�frc�_�p�!j_�k��rc�p I�_np�k�úZï¶öÝð®�k�_~�öIûm{˪_iËrm�_o � Ê Ù_rco�n¡np�!�_�frm�_��r�úZï¶öÐðÐ�_ivn¡~_�ÐqÕik�fö�ü � {  �_��r��p��§Ut�� ÷ � ö�_iknp~_��qÕik�Ýö�ü � {ÙË�_iÔ� ¹k�¦¨_o©����ik��o���rc��oI�k��np�¡�_o�~�j_��i4ivqÕ{

kml»������z�vw��vw��� � � � � ���!ö�ü � ��µ���å�t��÷ � ö F

Page 13: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

�û�´I�c�����%cFÝyÓoOj_��iÔ¨Uo�rc�_oOj_��ikjfiv���«rc�pik�Þwcl¬�p�_~_�� �rc�pik��ik�#rc�_o¤¨4�k���p�kw_npo�öÝ{ÙÖqföø� � �>o©���S¨_o©t��>÷ � � � ik� À t�÷*t � ���_�¡ S���¡�Ýrc���_oI{Ï>�����_��o

t � ÷ � ö qÕiv� � þBö�þ&� ï rc�_oO�p�_~_�_ Wrc�pik���mlfj�i�rc�_o����p��ð »Â �v�A�p�_¹Oöø��� ��o��_�Ô¨Uo

t � ÷ � � »Ê �_n«rc�pj_n«l5�p�_¹Zwfi�rm�����¡~�oI�¸wcl�t�¹v�¦¨_oI�

t � ï�� ÷ Á u�� »� iÔ� Á u���� � �Kþ � �Þ�k�_~'��ü � ��i(��ü Á �k�_~#rc��oI��o�qÕik��o � ��ü � { í oI�_ �o

Á u��¿� � �Oþ � ��ü � �Kþ � � � ï��Oþ Á ð »ÙÚr©qÕikn¡npiÔ���Ýrc�_��r

t�� ï�� ÷ Á u���ü � ï��Oþ Á ð�k�_~#rc�_o���o�qÕik��o

t�� ï�� ÷ � ï��Kþ Á ð »í o��_ Io�wml � Ê Ù:�>o© �ik�_ Inp�_~_o�rc����r�t � ÷ � öÛqÕik�!öøü � {��� n ® ��r*)d��l~��r£l»�©z���p�r��jlo�H��pá�I��vw�j���jtu��vw���¥âÁ {OÃÝ�p����r���rc��rmo����_�£rKj_��ikjfiv���«rc�pik��l_ik���k��o±¹vik�¡��¹¸rci�j_��iS¨_oI{ � ��o� IoI~�oÅrc�_o¸��rm��rcoW¥��oI�mrOwml�û^´����5�IôSÈ���È��IåC^Oæ�µ��S�I´�� ² ^jT®� ²#² Ç©^¤���I´��¿�Õ��ÇI´·� ^j ÐÇ¿Éc�_^�ik��æ���û�´��©òA��Js{tk{¤yB���«rco¤rc�_oOû�´��c���¤iv��û��©F^��r�rc�_o¤¨_oI��l¬w�oI¹v�¡�_���¡�_¹�ikqUlUik���¸j���iAikqÕ{À {Oª_�Ôl�rc�_�£r^l_ik�z�k��o±¹vik�¡��¹�rmi©�_��o>�p�_~_�_ Wrc�pik�Ñï���ik��o>j���iAikqÕ��~_i �_i£r��_��o±�p�_~_�� �¥rc�pik�+ pð �k��~ �¡q��«r&�p��_i£r&ikwm¨f�¡iv�_�qÕ��iv� rm�_oz��rc��rmoI��oI�mr�ikq®rm�_ozj_��ikj�ik���«rc�pik��p~_oI�mrc�pqslà InpoI�v��n«l ú�ï�öÝð�§5rm�_o���rm��rco���o��mr©rmi�w�o�j_��iÔ¨Uo�~_§�rc�_o�¨4�k���p�kw_npoKö*�k�_~rc��o���rm�k��rm�¡��¹�¨4�knp�_oZöIûc{ }�¨_oI� rm�_ik�_¹k�¬rc�_�p���p���_���_�knpn¦l  �n¡o��k��§K��ik��o�rc�p��oI�rc��oI��o�rc�_�p�_¹k�Å���Sl��_i£r�w�o±ivwc¨f�pik�_��{¸Ï±�_~_§�ikq� �ik�_����oI§Írc�_o�¨��v���p�kw_npo±�_o�oI~z��i�rw�o�öÐ{�ÙÚr© Iik�_np~�wfoO��o�j_��o���o��crmoI~2�p�����v�cl�~_� R�oI��oI�mr¸���Ôlf��{

¾ { � ��iÔ¨Uo�rc����rVú�ï�öÝð��_ivn¡~_�!���_o���öø�BöIûc{� {OÏ>�����_��oZrm�_��rPú�ï�öÝð��_iknp~_�ZqÕik��öIûøþ ö þ,��{  �_�p�z�k�����_��j�rc�pik�ü���pnpn±w�o��o�qÕoI����oI~#rci��k�Ðrm�_oOÈÕå:ò ° Éc��È��Iå�µ¿�·�5�¿��µ���ôSÈÕôS{

Page 14: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

� ÀÅã!ä!åáÃÅÄÆæ���è�åÆæÐÁÐÁ¥í�é��3ê Â����&À�ÃÅê�Á¥Â� {�-±��orc�_o&�p�_~_�� �rc�pik�à�ml5j�i�rm�_oI���¡�Z�k�_~Û�k�mlÍrc�_�p�_¹¬oInp��orc�_�£r��¡���Í�_iÔ���¬rmi�wform���_o¤rci�j_��iÔ¨Uo�rc�_��rVúZï¶öÐð��_iknp~_�Ý���_oI��öø�.�Oþ Á {

� {Oh�ik�� Inp�_~_oZrm�_��r����¡�� Io�rc��o� Iiv�_~_�«rc�pik�_�&ikqÅrm�_o � Ê Ù��_�Ô¨Uo�wfo�oI�Ò��o�rzrm�_oI�úZï¶öÐð��_iknp~_��qÕik�Ýö�üBöHûc{

� {¤yB���«rco�ßO}0/ ik� ik�á�¸� ik�¸��ik��o�rm�_�p�_¹©rciZ�¡��~_�¡ ���rco�rc�_�£r±l_ik�2�_�Ô¨Uo  Iik��¥j_npo�rmoI~#lUik���¸j���iAikqÕ{

�]}Hnqlotuvwz�n � � x � � ��iÔ¨_o�rm�_��r�t��#÷ � öàqÕik�Ýö�ü � {�]}Hnqlotuvwz�n � � � � � ��iÔ¨_o�rm�_��r Á þBt�þ ����� þüöø� ö�ï¶öÞþ Á ðt qÕiv�ÝöMü Á {�]}Hnqlotuvwz�n � �±�1� � ��iÔ¨_o�rm�_��r��pqÐu ß�Ñ>ßàÎ rc�_o���u ßóÑ � ß�Î �zqÕik���vn¡n�ö�Ø {�]}Hnqlotuvwz�n � � � � � ��iÔ¨_o�rm�_��r�ö2 ß ö �zqÕik�Ýöøü tk{�]}Hnqlotuvwz�n � � § � � ��iS¨_oOrm�_��r��pq Ñ �v�_~'32�k��o���o��kn!�Í�_� w�oI���©�v�_~'3�Ú� Á §�rm�_oI�¬qÕik�ö�ü Á Ñ þ Ñ 3Kþ Ñ 3 ÿ þ ����� þ Ñ 3 � � Ñ ï43 � ï�� ½�Á ð3 ½�Á »Â �_�p�� I�k��wfo¤�����¦r�rcoI���k��qÕiknpn¡iÔ���

Ñ ï53 �¸ï�� ½�Á ð��îï63 ½ Á ðmï Ñ þ Ñ 3Kþ Ñ 3 ÿ þ ����� þ Ñ 3 � ð »Ï>��~��p��jfik��rc�k�mr���jfo� I�p�kn� I�k��o�ivq����_�p S���p�

ï63 � ï�� ½ Á ðÆ� ï53 ½�Á ðcï Á þ73Kþ"3 ÿ þ ����� þ73 � ð »�]}Hnqlotuvwz�n � � « � � ��iÔ¨_o�rm�_��r Á þBt�þBt ÿ þ ����� þBt���� t�� ï�� ½ Á qÕik�Ýö�ü Á {�]}Hnqlotuvwz�n � � ­ � � ��iÔ¨_o�rm�_��r ÁkÁkÁ ������Á

�8� Üp�� Á u�� ½ Á� qÕik�Ýöøü Á {

�]}Hnqlotuvwz�n � � ® � � ��iÔ¨_o!rm�_��r Á ÿ þ�t ÿ þ À ÿ þ ����� þ�ö ÿ � ö�ï�ö�þ Á ðcï�tIöÞþ Á ð� �¡qÍö�ü Á {�]}Hnqlotuvwz�n � �±�1� � ��iÔ¨UoKrc�_�£r��¡q�öªü Á t rc�_o���ö  ��k�üw�o>�����«r�rmoI�¬�k�O�&���_� ivq ¾ Ü¡��k�_~ � Ü¡��{#Ã�iv�>o�Øf�k��j_npoI§!t À � � þ � þ � þ ¾ þ ¾ � À]� � þÒt �A¾ {�9bG¸ÈÕå:��F:��åB�¶µ¿ÈÕôÉSÇIô7�±È���ú!È��Õ��µ��c� �9���&ò¿�&�¶µ��#ÉSÇIô7��ôËöø� Á t¸^ Á�À ^ Á�¾ ^¸ÇIå:ò Á � ô7���5ÇI´IÇ¿���c� �£F�æ�µ���å ° ô7�ÈÕå:ò ° Éc�¶È��IåÛ��� µ�ÇIå:òU���^ö�ü Á � F ;

Page 15: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

��]}Hnqlotuvwz�n � � x¸· � ï��kð�Ã�iv�¸ö�ü Á §:rc�_o2�¶´·È�ÇIåCZ ° ��ÇI´Zå °A²�³ ��´=< � �p�¸rm�_o��Í�_�©wfo��ikq~_i�rm�±�p���Orc���p�k�_¹v�_n¡�v�±�k�����Ôl&rc����r©�_�k��öB��iS�������¦rm�?>±~_i�rc�¸�p��rc��o@>�¥(rc����iÔ��{KÃÝ�p�_~�2qÕik��� �_np��qÕik�A< � §Ðö¶ü Á { ï�w_ð ª_��j_jfiv��o©rm�_��r&qÕiv� oI�v S�2öõü Á { ù oWr'B � w�o©rm�_o�Í�_� w�oI�Oikq�~_i�rm�K�¡���Þ��ÌA���k��o#�k�����Ôl�rm�_��r����k�¤ö ��iÔ���Ë���«rc�&ö ~_i�rm���¡�Ño��k S�Ñ��iÔ��{ÃÝ�p�_~���qÕik��� �_np��qÕik�AB � {  �_o��Í�_� w�oI����B � �k��oK�_�����kn¡n«l¬ I�vn¡npoI~�ô»D ° ÇI´���ôS{�]}Hnqlotuvwz�n � � x�x � ÃÐ�¡�_~¸rc�_o¤¢�����r Á uÅrc���¡�v�_¹k�_np�k�Ð�Í�_�©wfo����!�k��~>rc�_oÅ¢_����r Á u���ÌA���k��o���{y|�_�p S��ikq_rm�_oËrc���¡�k��¹k�_np�k���Í�_� w�oI���¸�p�lUik���¸np�p��r��k��o��knp��i���ÌÍ�_�k��oI� � h��v�#l_ik�Þ¢_�_~rc�_oO�_oWØÍr±rm���p�k�_¹k�_np�k���Í�_�©wfo������_�p S���p������ÌÍ�_�k��o ��]}Hnqlotuvwz�n � � xu� � ª_iv��o±j_��ivjfik���¦rm�¡iv�_��rm�_��r> I�k�Zwfo¸j_��iS¨_oI~&wml��¡��~_�_ �rm�¡iv�z I�k�Z�knp��iwfo¸j_��iS¨_oI~©���«rc��ik��r±�¡��~_�_ �rm�¡iv�_{ � ��iÔ¨Uo¸}�Øfo��� I�p��o���tk{pt©�k��~Ztk{ � ���¦rm�_ik��r>�¡��~_�_ �rm�¡iv�_{9bG±ÈÕå:��ô»J� Ý�I´tv{¡t�ú!´·È��D��B�� Á þztfþ ����� þÑï�ö ½ÑÁ ð/þ ö F�Y�ÈÕ´��SÉc�D� � ° å:ò¿��´O��µ¿ÈÕôK�D ° Ç¿�¶È��Iåú!´·È��D�0B!�9ö�þ2ï¶ö ½�Á ðcþ ����� þZt�þ Á F f�ò¿ò©�¶µ���ô7�±�D ° Ç¿��È��IåUôK��� � ³ ��ÇIÈÕå�t�B!�9ö�ï¶ö�þ Á ð�Fi �¿� òA���I�I´AB/F� Ý�I´DCÆÝA��´�É�ÈÕô7��tk{ � ú!´·È����:ý¢� Ñ þ Ñ 3�þ Ñ 3 ÿ þ ����� þ Ñ 3 �cF#æ�µ���å ²#° ����Ès�Ð� �³ �¿�¶µ�ôSÈ�ò¿��ô©�����¶µ¿ÈÕô �D ° Ç¿��È��Iå ³ ��3¬���ÐZA�c�ÐÇKå:��ú �D ° Ç¿�¶È��Iå�ú!È���µ�37ý ÇIô©�¶µ��������I�fµ�ÇIå:òôSÈ�ò¿��F iU°�³ ��´�Ç¿Éc�±��µ���ô7����ú¸�2�D ° Ç¿�¶È��Iå ���2� ³ ��ÇIÈÕå�ý#3 ½ ýP� Ñ 3 �¸ï�� ½ Ñ F ¯ �Iú ô7�¿� òA��I�I´�ýjF ;

Page 16: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

� ÀÅã!ä!åáÃÅÄÆæ���è�åÆæÐÁÐÁ¥í�é��3ê Â����&À�ÃÅê�Á¥Â

Page 17: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

�¨nFEj�jv��©v����*�1� x �AG × ö ��oI�v�_�¤rc�_o���o#�p�K�k���¡�mrmoI¹ko��:�����_ S�Þrm�_��rKö�� G ��{ G ö��oI�k�_�!rc����r G × öà�¡��qÕ�knp��o�{� i�rmo¤rc�_��r Ñ × Î Ú� Ñ � Î { L±o� I�knpn�rc�_�£r Ñ � Î ��o�j_��o���oI�mrm�^rc��o�qÕ���k �rm�¡iv�IHJ7{ �_o�o�Øfj_��o������¡ik� G × öà���Sl�wfoO��o��k~��¡���k�mlÑikqUrc�_oOqÕiknpnpiS���p�_¹K���Ôlf��ºÁ { G òIÈbòcÈ�ò¿��ô�öÝ{tk{ G �p���2òIÈbòcÈÕô7�I´¸ikq­öÝ{À { G �p���O�IÇ¿Éc���I´>ivq�öÐ{¾ {�öà�¡��� ²#° ���¶Ès�Ð����ikq G { �A����§!rc�_oZqÕikn¡npiÔ���¡��¹�¢�¨Uo&��rc��rmoI��oI�mrc�#�v��ozo�ÌA���¦¨4�knpoI�mrc§Ýrm�_��r&�p��§Ðrm�_o�lÓ�k��oZ�knpn

~_�SRfo���oI�mr¸���Ôlf�¸ikq®���Ôl5�p�_¹Orc�_oO���v��o¤rm�_�¡��¹k{

Á {Ot × � {tk{Ot�~_�«¨5�p~_o�� � {À {Ot��¡����~_�«¨5�p��iv�¸ivq � {¾ {Ot��¡����qÕ�k �rmik��ikq � {� { � �¡����� �_n«rc�pj_npo©ivq®tk{

Page 18: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

Á u ÀÅã!äáå!ÃÅÄÆæ�K�è�Ä0L7ÄÆìPÄÆÂ�ÃCä!æM�N�(êPO&ê Ç£ê é¥êQL7ê�ÃM�ªåÆæÐÁ¥åÆÄÆæ ÃÅê ÄÆÇ/KoI¢��_�¦rm�¡iv�_�Ý���¡npn�j_np�Sl��k���p��jfiv��rc�v�cr���iknpo��p�rc�_�p�� Iik������o�{±ª7rc�_~_o��mrc�¸���_ik��n¡~�n¡o��k����knpn¤~_o�¢_�_�«rc�pik�_���k�_~àwfo&�vw_n¡o rmiÑ��rc�£rcorc�_o�� j_��oI I�p��o�n¦lk{ Ï>�Û�kn«rcoI���_��rm�¦¨_o��>�Ôl rci��rm��rco¤rm�_oO~_oI¢_���¦rm�¡ik��ikq G × öà�¡���k��qÕiknpnpiS����{�¨nRE��jvw��vw�c�5�1� � �DG × öTS?U öø� G � qÕiv����ik��oV��{

ik�����Ôl5w�o�¨nRE��jvw��vw�c�5�1�±�1�DG × ö9�SRzöø� G �&qÕik����iv��o:��{W oIo�j��p�Þ���¡�_~rm�_��r��>oK�k��oK�k�����_���p�_¹Krc�_��rK�kn¡n5n¡oWr�rco���� Ñ ¼ Î ¼m»m»I»m¼�� ��o�j_��o���oI�mr©�p�crmo�¥¹ko�����{Ëá�rm�_oI�����¡��o��>oÝ��iv�_n¡~��_�Ô¨Uo!rciO�k~�~Krm�_�p�^qÕ�v �r!rciOik���!~_oI¢_���¦rm�¡ik����{�áO�_o����¡¹k�mr�knp��i���o�o�rm�_oOqÕiknpn¡iÔ���p�_¹Z~�oI¢_�_�«rc�pik����ik��o�rm�¡��o���{�¨nRE��jvw��vw�c�5�1� � �DG × ö9�pqföÏ� G �&qÕik����ik��o�4{� i£rco�rc�_�£r!S?U §4ÈYX^§A�k�_~�Ès��ÇIå:òO�Iå:� �±Ès��§4�knpn¿��oI�k��rc�_o^���v��o�rc�_�p�_¹k{^ÙÖ� ~�oI¢_�_�«rc�pik�_����� S�¬�v�=/KoI¢_���¦rm�¡ik� À { ¾ Ès� �p���¡�mrmoI��j���o�rmoI~&rciz��o��k��Ès��ÇIå:ò��Iå:� �&Ès��{#ÙÚr�����ik�_np~�wfooI��j_���k���SñIo�~¬rc����r��kn¡n:rc�_oÞ�kw�iÔ¨UoÞ~_oI¢��_�¦rm�¡iv�_�Z�v��o&�k � IoIj7rc�kw_npoI{  �k�vo#lUiv�_��j_�¡ S�Í{פ��r�w�oO I�k��oIqÕ�_n��vwfik�7r����v�A�p�_¹Z�_jlUik�_�¸iÔ����~�oI¢_�_�«rc�pik�_��{

Page 19: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

ÁkÁ��� nq�clonq� �1� x[Z �¨vw�Hvwz�vw��vw�wvw����kmlo����n/lo��vwnqz�\R� ���ÐöÅ^ ÓÏ^�ÇIå:ò G ÇI´���ÈÕå:�D�¾ZA��´·ô �¶µ���å�¶µ��^�I�¿�Õ���Iú!ÈÕåCZ©ô7�DÇ¿��� ² ��å:��ôKµ��¿��òuJÁ {�ö × ö�ï��XòA��´£����µ¿ÈÕåCZ�òIÈbòcÈ�ò¿��ô�È��¶ô7�c� ��ðtk{ G × ö ÇIå:ò¸ö × Ó �8U G × Ó ï���´�ÇIåUôSÈ��¶ÈbòcÈ����­ðÀ { G × ö ÇIå:ò G × Ó �]U G × Ñ ö�þ Î Ó��I�I´ZÇ¿�Õ� Ñ ÇIå:ò Î ï�� ÈÕå:�SÇI´·È����O��´����5��´��¶�­ð¾ { G × öø�8U ÑRG × Ñ ö�ï ²#° ����Ès�Ð� È�ÉSÇ¿�¶È��Iå���´����5��´��¶�­ð� { ÑRG × Ñ ö�ÇIå:ò Ñ Ú� uE�8U G × ö�ï�ÉSÇIå:ÉS�c�Õ��Ç¿��È��IåZ��´����5��´��¶�­ð� { Á × ö�ï��Iå:� òIÈbòcÈ�ò¿��ô��XòA��´·�_��µ¿ÈÕåCZ_ð� {�ö × Á �]U öø��^ Á ï Á ÇIå:ò ½�Á ÇI´I� �¶µ��#�Iå:� ��òIÈbòcÈÕô7�I´·ô���� Á Fsð� { G × u2ï��XòA��´·�_��µ¿ÈÕåCZ�òIÈbòcÈ�ò¿��ô][7��´��kð� {Ou × ö��]U öø� u2ï�[7��´��&òIÈbòcÈ�ò¿��ô��Iå:� �¿[7��´��¿ðÁ uk{_��� G ÇIå:ò�ö�ÇI´��^�5�IôSÈ��¶ÈbòA� ÇIå:ò G × ö���µ���å G þBö ï�ÉS� ² �5ÇI´·ÈÕô7�IåZ��´����5��´��¶�­ð

�]}Hnqlotuvwz�n|�1� x � � ��iÔ¨Uo�oI�v S��ikqUrc�_oOj_��ikj�oI��rm�¡o�� Á rm�_��ik��¹k� Á u��¡�  �_oIiv��oI� À { Á {�¨nFEj�jv��©v������1� § � ÙÖq Ü � Ñ B¤þ Î <�qÕik����ik��o�¡�mrmoI¹ko����`B��v�_~a<���o#���Sl�rc�_�£r Ü �p����wv��jnqrKlEtu���¦�jv��jrK��vw��� ikq Ñ �k�_~ Î {

 �A����§Ý��rc��rmoI��oI�mr À �p�  �_o�ik��o�� À { Á ���Ôlf�Årc�_�£r#�pq G ~_�¦¨f�p~_oI� Ñ �v�_~ Î §�rm�_oI� G~_�«¨5�p~_o��>�knpn�np�¡�_o��k�� Iik�©w_�p�_��rc�pik�_�¸ikq Ñ �k�_~ Î {�ÙÖ��j��k��rm�¡ ��_n¡�v��§ G ~��¦¨f�p~_oI� Ñ þ Î �k�_~Ñ ½ Î {  �_�p�����pn¡n�rm�_����ik��r�rmi�wfoO���_��o�qÕ�_n�qÕ�k �rm{�]}Hnqlotuvwz�n|�1� � � � ��iÔ¨Uo�rc����r©�¡q G × Ñ �k��~ G × Î rc�_o�� G × Ñ ½ Î {�]}Hnqlotuvwz�n��1�±�1� � ��iÔ¨Uo�rc����r#�pq Ñ Ø rm�_oI�zrc��oik�_n«l j�ik���«rc�«¨Uo#~��¦¨f�p��ik�Kikq�w�i�rc� Ñ�k�_~ Ñ þ Á �p� Á {

Page 20: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

Á t ÀÅã!äáå!ÃÅÄÆæ�K�è�Ä0L7ÄÆìPÄÆÂ�ÃCä!æM�N�(êPO&ê Ç£ê é¥êQL7ê�ÃM�ªåÆæÐÁ¥åÆÄÆæ ÃÅê ÄÆÇ

Page 21: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

í o���o±�>o~_o�¢_�_o±rm�_ocb_iAik��§ËÇuF W/FÕÇuFs§Urc�_o©¹k��o���rco���r��p�mrcoI¹voI��§®�k�_~�rm�_o  �oI�pn¡�p�_¹k§�ÇuF W/FÕÇuFs§rc�_oZn¡o��k��r��p�crmoI¹ko���§¤qÕ���_ �rm�¡ik����{ W oI�_�_oWrc� ÙÚ¨_oI����ik� �p�mrc��iA~_�_ �oI~�rm�_�p� �_i�rm��rc�pik�ü�k�_~rc�_o^rcoI�����1d��c�I´��k�_~¬ÉS��È�� ÈÕåCZZ�¡��rc�_o�o��k��n«l Á �¸� uk�fe �k � Iik��~_�p�_¹>rcic/Kiv�_�knp~ W �Í��rc�â � ã^���_iÛ�_�k��~_ik�_o�� npi�rzrmi jfikj��_n¡�v���SñIoZrm�_o��_i�rm��rc�pik�_{ � iÔ� rc�_�p�&�_i�rm��rc�pik�Ó�p���rm�k�_~_�k��~��p����iv��r©�k��o��k��ikq:���£rc�_o����£rc�p I��{�¨nFEj�jv��©v���� � � x � ÙÖq Þ �¡���k�mlÑ��oI�kn��Í�_�©wfo����>oO~_oI¢��_o

g Þ�h>� rc��o�¹v��oI�£rcoI��r©�¡�mrco�¹koI��npoI����rm�_�k��ik��oIÌÍ�_�kn�rmimÞi Þ�j>� rc��o�npoI�v��r©�¡�mrmoI¹ko��¸¹v��oI�£rcoI�Ýrm�_�k��ik��oIÌÍ�_�kn�rmimÞ

g Þ�h#�p�Ë ��kn¡npoI~�rc�_oAk �H��l ikq£Þ2�k�_~ i Þ�j�¡�Å I�knpn¡o�~©rc��o tunqvw��vw�j� ikq/Þ Â �_o�b�i4ik� g Þ�h#�p���ik��oWrc�p��o��>~_o��_i�rmoI~ â Þ�ã��k�_~Þ ��kn¡npoI~�rc�_oO¹k��oI��rmoI��r �p�mrco�¹koI�¸qÕ�_�_ Wrc�pik�_{�פ��r©Ù^j_��o�qÕoI�rc�_oO�_i£rc��rm�¡ik� g Þ�hk{ í oI��oO�k��oO��qÕoW� ���¡��j_npo©oWØf�k��j_n¡o���º

Á { g À¿»DÁ h�� À �v�_~ i À¿»DÁ j�� ¾tk{ g À h�� À �k�_~ i À j¢� ÀÀ { g ½OÀ¿»DÁ h¢�*¥ ¾ �v�_~ i ½OÀ¿»DÁ j¢�*¥ ÀÃ���ik� ��iS� ik����o���ik��rcn«l� Iik�_ �oI�mrc����rco�ik��rm�_oAb_i4iv� g Þ�h¿{¤Ã­ik�!�K��ik��o¸~�o�rc�v�¡npoI~

rc��oI��rm��o��mrOikq�w�i�rc�Orc�_olb_iAik�Å�v�_~z Io��¡np�p�_¹��o�oÅrc��o>w�i4ik� �¿���jtul»nq��n¢µõr£� � nq��rK��övwtuz â � ãp{�Ï> I �ik��~��¡�_¹Orci�rc��o�~�oI¢_�_�«rc�pik��ikq g Þ�h©�>o©���S¨_o

g Þ�h>� ����Ø ÕIöøØ × öMþ�Þ Öï ¾ { Á ð

Á�À

Page 22: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

Á�¾ ÀÅã!äáåáÃÅÄ&æ&m�èàÃÅã!Ä3ínL´ÁÐÁ¥æ�äáÂ�� ÀÅÄ&êQL7ê Âco Á�í�ä¶æ�Ä&älL+Â'�HìPé¥ÄÆæ� i£rcoK�knp��iKrc�_�£r��¡q�ö9�p���k�Þ�¡�mrmoI¹ko����>oO�_�Ô¨UoIº

öø� g Þ�h�S?U ö�þ�Þ ß öÞþ ÁI»ï ¾ {¡tkðí��ik��rc�_�p���¦r©�p�� InpoI�k�Ýrc����r

g Þ�h>þ�Þ �_iknp~_��qÕik���knpnKÞ ¼�k�_~ g Þ�h�� ÞpS?U:ÞPØ »yBo���oIoI~#rc��o�qÕivn¡npiÔ���¡�_¹�npoI������rci�j_��iÔ¨Uo�ik�_���_oWØAr¸rc��oIik��oI��{²&n/���Mr � � x � Ð�I´�Ç¿�Õ�»ÞPØ

Þ ½�Á ß g Þ�h>þ�Þ »û�´��c���©F ù o�r�ö � g Þ�h¿{  �_oI�Bwcl ï ¾ {ptkð>��o��_�Ô¨Uo�ö þ Þ ß öüþ Á {  ���¡��¹k�«¨UoI��p����o�~_�¡�£rcoIn«l2rm�_��r g Þ�h~þ*Þ�§!�v�K�kn¡��oI�k~7l �_i�rmoI~��kw�iÔ¨Uo�{�ÙÚr��knp��i&¹v�¦¨_oI��Þ ß ö2þ Á���_�p S���p��j_n¡�poI�!rc����r Þ ½�Á ß öЧ4rc�_�£r �p��§KÞ ½�Á ß g Þ�hÍ{�]}Hnqlotuvwz�n � � x � ª_�voWrc S��rm�_oK¹k���kj_�Þikq_rc�_oKqÕ���_ �rm�¡ik���!ï Þ�ðÆ� g Þ�h�qÕik� ½OÀ þ�Þ¦þ À {�]}Hnqlotuvwz�n � � � � ÃÝ�p�_~ g4q hk§ i q j¿§ gsr tthͧ i r t�jk§ g ½ q hͧ i ½ q jͧ g ½ r tth¿§_�k�_~ i ½ r t�j¿{�¨nRE��jvw��vw�c� � � � � L±o� I�knpn_rc�_�£r±rm�_o �jnqtuvw�MrK��lon/�jlonqz�nq�H��rK��vw��� ikqÝ��jfiv���«rc�«¨Uo�p��¥rco�¹koI� Ñ �¡��¹k�«¨Uo���wml Ñ � Ñ �vu�� Ñ �#u ÿ ����� Ñ � Ñ û�����oI��o

Ñ � Ñ �#u�� Á u �#u�� þ Ñ �#u ÿ Á u �#u ÿ þ ����� þ Ñ � Á u�þ Ñ ûï ¾ { À ð�k�_~�rc��o�òIÈbZcÈ���ô Ñ �vu�� ¼ Ñ �#u ÿ ¼m»m»m»�¼ Ñ � ¼ Ñ ûÅ�k��oÅ�p��rc�_o^��oWr�Õku ¼kÁI¼ t ¼IÀk¼I¾¿¼ � ¼ � ¼ � ¼ � ¼ � Ö ���«rc�Ñ �#u�� Ú�Nuk{�ÙÖ�rm�_�¡�� ��k��oË�>oO���Ôl�rm�_��r � � n�vw�H��nq��n/lEÑEv�z�r£� ö �jv���vw�¿�H�j�¦��n/l ik�rc����r Ñ�vwz ö �jvw��v��©z��w�����1��]}Hnqlotuvwz�n � �±�n� � ��iÔ¨UoÐrm�_��r Ñ Ø �p�Ý�k��ö�~_�p¹k�«r��Í�_� w�oI�5����oI��oÝöø� g n¡iv¹5ï Ñ ð hfþ Á {í o���oZn¡ik¹���o��k�_� npik¹k�v���«rc�_� rci�w_�k��o Á uk{ÏG¸ÈÕå:��J i µ��Iú �¶µ�Ç¿��Ès�xw ¾ { Àty µ��¿��òIô�ú!È��¶µÑ �#u�� Ú� uÓ�¶µ���å Á u �#u�� þ Ñ�ß Á u � F æ�µ���å Ç��¿�Ð� �à��µ��Znpik¹ ��� Ç¿�Õ�Ë����´ ² ô������¶µ¿ÈÕôÈÕå:�D ° Ç¿� È��¶�£F�]}Hnqlotuvwz�n � � � � -±��o±rm�_oj_��o�¨f�¡iv�_�Ko�ØfoI�� I�p��o�rci&~�o�rco������p�_o>rc�_o �A��� w�oI�Kikq!~_�p¹k�«rc��p�Þrm�_o�~_oI ��¡���kn���o�j_��o���o��crm��rc�pik�üikq�rm�_o��A��� w�oI��t�zQz ÿ �|{ ÿQ} {'~±�SÉSÇ¿�Õ�Ý��µ�Ç¿�!n¡ik¹�ï Þ��cð(�� n¡ik¹�ï Þ�ð�ú!µ���å¢Þ ÇIå:ò � ÇI´��^�5�IôSÈ���ÈbòA��F

Page 23: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

 �_o�¹kik�kn�ivq­rm�_�¡����oI �rm�¡iv���p�!rmi�j_��iÔ¨Uo�rc��o�qÕivn¡npiÔ���¡�_¹��p��j�ik��rc�k�mr���o����_n«rc{��� nq�clonq� § � x&Z0��� n5�¨v��Iv�z©v����${~������lovw� � �7\R� ��� Ñ ÇIå:ò Î ÇI´I��ÈÕå:�D�¾ZA��´·ô¬ÇIå:òÎ ÷Nu2�¶µ���åà��µ���´��#�XÝcÈÕô7� ° åUÈ8D ° �¸ÈÕå:�D�¾ZA��´·ô���ÇIå:ò@3�ô7Ç¿�¶ÈÕô(���7ÈÕåCZ��¶µ��#��ú¸�&ÉS�Iå:òIÈ���È��IåUô»J

Ñ � Î �Ëþ73 ÇIå:ò umþ�3 ßóÎ »ï � { Á ðÙÖ�Ñrm�_�¡�����¦rm�_��rc�pik�!���p�� I�knpn¡o�~Ñrm�_o�D ° �¿��È���å:�©�k��~�3 �¡�# ��kn¡npoI~�rc��o�´�� ² ÇIÈÕå:ò¿��´

���_oI� Ñ ÈÕô�òIÈbòcÈ�ò¿�Sò ³ � Î { � i£rco�rm�_��r�rc�_o���oz�v��oKrÖ��i�j_�v��rc��rci�rc�_�p���o����_n«rc{üáO�_oj_�k��r�p�^rm�_o }��>ÙÖª  } � h�}NikqÐ�¡�mrco�¹koI���_�#�k�_~?3�����rc�p��qslf�p�_¹Ñï � { Á ð¸�k�_~�rc�_o©��oI �ik�_~j_�k��r��¡�!rc�_o�- � ÙÖß�->} � }�ª_ª�ikqUrc�_oO�p�crmoI¹ko����l� �k�_~�3&����rc�p��qslf�p�_¹�ï � { Á ð�{û�´I�c���©F¸Ä©�«¨Uo�� Î ÷ u��v�_~��v�cl Ñ ~_oI¢��_o

� � ÑÎ3 � Ñ ½ Î �

h�n¡o��k��lÛ�>o��_�Ô¨_o Ñ � Î ��þ�34{ פ��r���o��_o�oI~ürmi j_��iS¨_o�rm�_��r�u�þ�3 ß Î { ×:lù oI����� ¾ { Á ��o��_�Ô¨Uo Ñ

Î ½�Á ßÑÎ þ Ñ

Î »� iÔ� � ��n¦rm�¡j_n«lB�kn¡n�rmoI�����©ikq®rc���¡�©�¡�_o�ÌÍ�_�knp�¦rÖlBwml ½ Î {Ѫ_�¡�� Io Î �p� j�ik���«rc�«¨Uo�§ ½ Î �p��_oI¹v��rc�«¨Uo���iKrc�_oO~_�p��o� �rm�¡ik��ikqUrc�_oO�p�_oIÌÍ�_�vn¡�«rÖlü�¡����oW¨Uo�����o�~_§:¹k�¦¨f�p�_¹��_��º

Î ½ Ñ ÷ ½ ÎÑÎ ü ½ Ñ »

Á �

Page 24: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

Á � ÀÅãáä!åáÃÅÄÆæ�� èóÃÅã!Ä��(êPO&ê ÇKê�Á¥Â¶ä�L�omÁ�æ�ê�ÃÅã!ìÙÖqU��o��k~_~ Ñ rmi��vn¡n����¡~_o��±ivq­rm�_oO�¡�_o�ÌÍ�_�knp�¦rÖlü�k�_~Þ��oIj_np�k Io g Ñ � Î hzwml"����o�ikw�rm�k�¡�

Î ÷ Ñ ½ Î �(ü u »ª_�p�_ IoM3¿� Ñ ½ Î �±rc�_�p��¹k�«¨UoI�¸�_�!rc�_oO~_o����p��o�~���o����_n«r©u�þ�3 ß�Î {

yÓo©��rm�¡npn��_�Ô¨Uo±rmiZj_��iÔ¨Uo±rm�_��rc���v�_~(3��k��o©�_���¡ÌÍ�_o�n¦l ~_o�rmoI�����p�_o�~_{  i�~�i�rc���¡��>o��v��������o�rc����r

Ñ � Î � � þ"3 � �v�_~ u�þ�3 � ß�Î ¼�k�_~

Ñ � Î � ÿ þ"3 ÿ �v�_~ u�þ�3 ÿ ß�Î »yBo�� �_��r����_iÔ� rc�_��r�3 � �!3 ÿ �k�_~'� � ��� ÿ {�ÙÖq�3 � Ú��3 ÿ ���«rc�_ik�7r�n¡ik����ikq�¹ko��_oI���kn¡�«rÖl�>o� ��k���k�����_��o�rm�_��r@3 ÿ ÷!3 � {�ª_��w�rc���k �rm�¡�_¹Krc��oI��o�rÖ�>iZo�ÌA����rc�pik�_�!��o�ikw�rm�k�p�

uÐ� Ñ ½ Ñ � ï Î � � þ73 � ð ½ ï Î � ÿ þ"3 ÿ ðÆ� Î ï�� � ½ � ÿ ð�þ ï63 � ½ 3 ÿ ð »Â �_�p���¡��j_np�¡o��^rm�_��r

3 ÿ ½ 3 � � Î ï � � ½ � ÿ ð »ï � {¡tkð �_�p�Ý�p��j�n¡�poI�5rm�_��r Î × 3 ÿ ½ 3 � {Ë×®l  �_o�ik��o�� À { Á ï Á ukðUrc�_�p�Ý�p��j�n¡�poI�5rm�_��r Î þ�3 ÿ ½ 3 � {פ��r����¡�� Io

umþ�3 � ß 3 ÿ ßóÎ�>oK�_�Ô¨UoM3 ÿ ½ 3 � ßóÎ {  �_�¡�� �ik�mrc���k~_�p �rc� Î þ�3 ÿ ½ 3 � {�ª_i>��oK�©�_��r© �ik�_ Inp�_~_o¤rm�_��r3 � ��3 ÿ { � iÔ�|qÕ��ik� ï � {ptkð��>o>���S¨_o�uÐ� Î ï � � ½ � ÿ ð�{�ª_�p�_ Io Î ÷Nu�rc�_�p�:rmoInpn¡�Å�_�:rm�_��r� � ½ � ÿ � uk§Írc�_�£rO�¡��§f� � ��� ÿ {  �_�¡�� �ik��j_n¡oWrco��!rm�_oKj_��i4ikq�ikq_rm�_oK�_�_�pÌÍ�_oI�_o����¸ikq�3�k�_~'��p� ï � { Á ð�{�¨nRE��jvw��vw�c� § � x � ϱ�Û�¡�mrco�¹koI�Kö �p���XòA��åÛ�¡q!öõ��t�� qÕiv���ik��o���§��k��~à�p���cò¿òz�¡qöø�Nt��Kþ Á qÕiv�¸��ik��o`��{�]}Hnqlotuvwz�n § � x � � ��iÔ¨Uo^�_���p�_¹�rc�_o0/K�¦¨f�p���pik� ϱn¡¹vik���«rc�_�àrc�_��rÅoW¨UoI��lZ�¡�mrco�¹koI�:�p�®o��¦rm�_oI�o�¨_oI��ik��i4~�~_§�w_��r��_oW¨Uo��>w�i�rc�_{�¨nRE��jvw��vw�c� § � � � ×®l�rc�_o>�5ÇI´·È�����ikq��k���p�mrco�¹koI�Ë�>o#��oI�k�z���_oWrc�_o��K�¦r��p�Ko�¨_oI�¬ik�iA~_~_{�]}Hnqlotuvwz�n § � � � � ��iÔ¨_o öN�v�_~�ö ÿ �kn«���Ôlf� �_�Ô¨_o�rc��o����v��o�j_�k���¦rÖlk{  �_��r��¡��§®ö �¡�o�¨_oI���¡q:�k�_~�ik�_n«lÑ�pqfö ÿ �p�¸oW¨Uo��_{

Page 25: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

Á ��]}Hnqlotuvwz�n § �±�n� ÃÝ�p�_~�rm�_o`��k�_~�3ÞikqUrc�_o`/K�¦¨f�p���pik��ϱn¡¹vik���«rc�_�xqÕik�Ðrc�_o�qÕiknpn¡iÔ���p�_¹¨4�kn¡��oI�¸ikq Ñ �k�_~ Î º

Á { ù o�r Î � À �k��~ Ñ � u ¼¿ÁI¼I½�ÁI¼kÁ u ¼m½ZÁ uk{tk{ ù o�r Î � Àk¾ � �k�_~ Ñ �Nu ¼m½�Á�¼¿ÁI¼IÀk¾v¾¿¼ � �¸� À¿¼m½ � �¸� À {

�]}Hnqlotuvwz�n § � � � /Ko�¨f�p��oK���o�rm�_iA~&qÕik�Å��ikn«¨5�p�_¹�j_��ikw_npoI���¤np�¡��oËrc�_ik��o��p� rc�_o±j_��oW¨5�«¥ik�_��o�Øfo��� I�p��o�qÕik�¤np�k��¹koKjfiv���«rc�«¨Uo�¨��vn¡�_o���ikq Ñ �k�_~ Î �����p�_¹Z�# ��knp I�_np��rciv��{�ÙÖn¡np�_��rc���£rcowml �_���¡�_¹ Ñ � Á t Àk¾ � � �v�_~ Î � Á t À {¿G¸ÈÕå:��J_��� Ñ � Î ��þ�39ÇIå:ò�u�þ�3 ß=Î �¶µ���åH J ����þ&�J ÇIå:ò�ô7���J ÈÕôz�¶µ�����´IÇ¿Éc��È��Iå:Ç¿�¿�5ÇI´������Z��µ���ò¿�SÉ�È ² Ç¿�­å °4²�³ ��´aHJ F i �(�zÈÕôú!µ�Ç¿�^��� ° ZA�c�^ú!µ���å ��� ° òI´���� �¶µ��±��´�Ç¿Éc��È��Iå:Ç¿�A�5ÇI´v��F��Ëå:ÉS���� ° µ�Ç©òA������� ° ÉSÇIåô7�¿� òA� Ñ � Î �Ëþ"3��I�I´D3HFª_ik��o�rm�¡��o��Ý�>j_��ikw_npoI���p��Í�_� w�oI�­rc�_o�ik��lZ I�v�wfo^��ivn¦¨_oI~#wmlZ~_�¦¨f�p~_�p�_¹Ërc�_oÅ�¡�mrmoI¹ko�����¡�mrmi�¨4�k���pik�_�� Inp�k����oI��~_oIj�oI�_~��¡�_¹ ik�¬rm�_oI�p�Z��oI���k�p�_~_o����©���_o��Ó~_�«¨f�¡~_o�~Ówml ��ik��o�Í�_� w�oI� Î {�íik��oWØ5�v��j�n¡o�§Arc���¡�^�¡�Å�_oInpj_qÕ�_n­�p����ikn¦¨f�p�_¹±rm�_o±qÕivn¡npiÔ���¡�_¹�rÖ��i j_��ikw�n¡o�����{�]}Hnqlotuvwz�n § � § � ª_�_iÔ� rm�_��r©qÕik���knpn��¡�mrmoI¹ko�����öÑrm�_o��A��� w�oI��ö]z ½ ö9�vn¦�>�Ôl5�±�_�k� À�k����qÕ�k �rmik��{�ï�h�ik�_���p~_o���rm�_o¤rc�_��oIoO I�k��oI��º^öø� À �4§�öø� À �Kþ Á §4ö�� À �KþBtk{pð�]}Hnqlotuvwz�n § � « � ª_�_iÔ� rc�_�£r±rm�_o©j���iA~_�_ �r ikqÝ�v�cl&rm�_��o�o  �ik�_��o� I��rm�¦¨_o�p�crmoI¹ko��������k�� �k����qÕ�v �rciv��{©ï í iS� ���k�mlÑ I�k��oI�¸���_iv�_n¡~�lUik���_��o���oI��o � ð�¨nFEj�jv��©v���� § �±�1� íik� Î ÷NuK~_o�¢_�_o Ñ ��iA~ Î ��3±���_o���o23�p�5rc��o���oI���k�p�_~_o���¹k�¦¨_oI�wml�rc�_o�/K�¦¨f�p���pik� ϱn¡¹vik���«rc�_�����_oI� Ñ �¡��~_�«¨5�p~_o�~ wml Î §�rc����rZ�¡��§ Ñ � Î �±þ�3Ñ�k�_~u�þ�3 ß�Î {

Ã�iv��o�Øf�k��j_npo#t À ��i4~ � � t&���¡�� Io#t À � � �ÍÀ þ tz�k��~ ½�¾ ��i4~ � � Á ���¡�� Io½�¾ � � � ï ½�Á ð�þ Á {� i�rmo:rc����r¤��ik��oË ��kn¡ ��_np��rcik���Ð�k��~ ��ik��r¤j_��iv¹k���k�����p�_¹>np�k�_¹k���k¹koI�:�_�Ô¨UoË�>qÕ�_�_ W¥rc�pik��ivqsrcoI��~_o��_i�rco�~2wml7�.��2ï Ñ ¼ Î ð±iv�ÆÓ"� G ï Ñ ¼ Î ðÝ���_ik��o¸¨4�knp�_o©�p�!���_��r¸��o©�_�Ô¨UoÆ��_��r�~_o�¢_�_oI~9�k� Ñ ��i4~ Î {ày|�_o��¬rm�_�¡���p�Orm�_oÞ I�k��o�rm�_o�¨4�knp�_o��`3Û�k��~��2�p�¬rm�_o/K�¦¨f�p���pik��Ï>np¹kik���«rc��� qÕik��¹k�«¨Uo�� Ñ �k��~ Î ÷Nu��k��oO¹k�«¨Uo���wml

3¿� Ñ ��i4~ Î�]� Ñ ½ ï Ñ ��iA~ Î ð

ÎÙÖqÐ�knp��i�rm�_o�b_i4iv��qÕ�_�_ �rm�¡iv���p���S¨4�k�pnp�kw_npo��>o��_�Ô¨Uo

3�� Ñ ��i4~ Î�!� g Ñ � Î h

Page 26: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

Á � ÀÅãáä!åáÃÅÄÆæ�� èóÃÅã!Ä��(êPO&ê ÇKê�Á¥Â¶ä�L�omÁ�æ�ê�ÃÅã!ì�]}Hnqlotuvwz�n § � ­ � � ��iÔ¨_o�rm�_��r��pq Î ÷*uOrm�_oI� Î × Ñ S?U Ñ ��iA~ Î � uk{�]}Hnqlotuvwz�n § � ® � � ��iÔ¨_o�rm�_��r��pq Î Ú� uOrm�_oI� Î × Ñ S(U Ñ � Î Ø {�]}Hnqlotuvwz�n § �±�1� h��knp I��n¡��rmo¤rc�_oOqÕiknpn¡iÔ���p�_¹kºÁ {OuO��i4~ Á utk{ Á t À ��iA~ Á u

À { Á uO��iA~ Á t À¾ { ¾ � � ��iA~ ÀkÀ� {Zï ½ � ð!��iA~ À� {Zï ½�À ð!��iA~ �� {Zï ½ � ð!��iA~ �

�]}Hnqlotuvwz�n § � xu· � ->��ozrc�_o�/K�«¨5�p���pik�*Ï>np¹kik���¦rm�_� rciÛj_��iÔ¨Uo&rc�_o�qÕiknpnpiS���p�_¹à��ik��o¹ko��_oI���knͨ_oI�����pik�_º�ÙÖq Î Ú� u�rc�_o��&qÕik�^�k�ml Ñ rm�_oI��o�o�Øf�p��rc�����_�¡ÌÍ�_o=�O�v�_~3Z���_ S� rm�_��r

Ñ � Î �Ëþ73 �v�_~ u�þ�3 ß × Î × »ï � { À ðG¸ÈÕå:��J�~>�SÉSÇ¿�Õ�­��µ�Ç¿� × Î × ÈÕô Î Ès� Î ü u�ÇIå:ò�ÈÕô ½ Î Ès� 뫧 u�F�h���Wcå:�IúN��µ���ô7�DÇ¿��� ² ��å:�µ��¿��òIô&Ès� Î ÷ u ô7�2ú¸�Ñ�Iå:� �üå:�S�SòÛ���ÛÉS�IåUôSÈ�ò¿��´ ��µ��ÑÉSÇIô7��ú!µ���å Î¦ß u�F���� Î ÈÕôå:�¾ZAÇ¿��ÈbòA���¶µ���å ½ Î ÈÕôÐ�5�IôSÈ���ÈbòA�X^�ô7�>ú¸�KÉSÇIå¬Ç��¿�Ð� �Z�¶µ��¥Y�ÈbòcÈÕôSÈ��Iå¢f�� ZA�I´£È���µ ² ��� Ñ ÇIå:ò½ Î F ¯ �¿��� ��µ�Ç¿� Ñ ÇIô±ú¸�c�Õ�fÇIô��ÞÉSÇIå ³ �©ÇIåU�#ÈÕå:���¾ZA��´·ô»F�æ�µ¿ÈÕô�XÝA��´�É�ÈÕô7� ² ÇI��ÉS� ² ��ÈÕåµ�ÇIå:òI����Ç¿�D��´ F

Page 27: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

�¨nFEj�jv��©v���� « � x ��ù o�r Ñ ¼ Î Ø {�ÙÖq Ñ Ú�Nu ik� Î Ú�Nuk§¿�>o�~_oI¢��_o>¹k �~:ï Ñ ¼ Î ð:rmi w�o^rm�_on¡�v��¹ko���r©�¡�mrmoI¹ko�� G ���_ S��rc�_��r G × Ñ �k�_~ G × Î {ÝyÓoO~_o�¢_�_o�¹k I~�ï�u ¼ uvð��Nuk{

�¨v�z©tu��z�z©v������ ÙÖq2� × Ñ �k�_~�� × Î ��o� I�knpnf�©��ÉS� ²#² �Iå òIÈbòcÈÕô7�I´���� Ñ ÇIå:ò Î { ù o�r��ï Ñ ¼ Î ðÆ�óÕ��±º�� × Ñ �k�_~�� × Î Ö¿¼

rc�_�£r �p��§1�Zï Ñ ¼ Î ð��¡�!rc�_o���oWr#ikq¤Ç¿�Õ�A �ik����iv��~_�«¨f�¡��ik���±ikq Ñ �v�_~ Î { � i�rco¤rc����r���¡�� Ioo�¨_oI��lÍrm�_�¡��¹z~_�«¨5�p~_o��±u �Zï�u ¼ ukð����i�rc�_o���o��p���_iOn¡�k��¹koI��r± Iik����ik��~_�¦¨f�p��ik��ikq�uË���«rc��uk{  �_�p���¡�����ml�>o±�©�_��rò¿���:å:�¹k I~�ï�u ¼ uvð�� uk{�]}HrK�����wn « � x �

��ï Á � ¼IÀ uvð���Õ ½ZÁI¼¿ÁI¼m½ t ¼ t ¼m½�Àk¼IÀ¿¼m½ � ¼ � Ö¿»ª_i�¹k I~�ï Á � ¼IÀ ukð � � {²înq���Mr « � x � ���@� × Ñ �¶µ���å ½ � × Ñ Fû�´I�c���©F¸ÙÖq�� × Ñ rc��oI� Ñ �����2qÕik����ik��o���{  �_oI� Ñ �øï ½ �mðmï ½ ��ð�{�ª_�p�_ Io ½ ���k�_~½ �Þ�k��o��vn¡��i��p�mrco�¹koI��� ½ � × Ñ {²înq���Mr « � � � ��� Ñ Ú� u¸^��¶µ��#��ÇI´ ZA��ô7���5�IôSÈ��¶ÈbòA�±ÈÕå:���¾ZA��´Z�¶µ�Ç¿�^òIÈbòcÈ�ò¿��ô Ñ ÈÕô × Ñ × F

Á �

Page 28: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

tku ÀÅã!äáå!ÃÅÄÆæ��¸èNo æ�ÄÆä�ÃÅÄ&Ç Ã�À�Á¥ìPì�Á¥Â��(êPOÆê Ç7Á¥æû�´��c���©F�L¸oI I�vn¡n�rm�_��r

× Ñ × �Ñ �¡q Ñ ü u½ Ñ �¡q Ñ�ß u »

ÃÝ�p����r�_i£rco�rc�_��r × Ñ × �k Wrc�_�knpn«l ~��¦¨f�p~_oI� Ñ º�ÙÖq Ñ ÷ uk§����¡�_ �o±�>o �Í�_iÔ� Ñ × Ñ �>o �_�Ô¨Uo× Ñ ×7× Ñ {ZÙÖq Ñ~ß uk§ × Ñ × � ½ Ñ {�ÙÖ�&rm�_�p�K I�k��o Ñ �øï ½ Ñ ðcï ½ZÁ ðá� × Ñ × ï ½�Á ð���i × Ñ × �¡�K�qÕ�k Wrcik�¸ikq Ñ {©ª�ik§Ð�p�2oI�«rc��oI�� ��k��o × Ñ × ~_�«¨f�¡~�oI� Ñ §®�v�_~2�p��oI�«rc�_o��> I�v��o × Ñ × ÷?uk§:���p�_ IoÑ Ú� uk{� iÔ�?���_j�jfik��o G × Ñ �k�_~ G �p�¤j�ik���«rc�«¨Uo�{  �_oI� Ñ � G ����ik��o_�Z��i ½ Ñ � G ï ½ ��ð

qÕik����ik��o:�4{¸ª�i G ×C× Ñ × {�ª_i�wml  �_o�ik��o�� À { Á ï Á ukðÐ�>o����S¨_o G þ × Ñ × { �_o�qÕiknpnpiS���p�_¹npoI��������_iÔ���®rc�_�£rK�p�z Iik��j_�7rc�p�_¹¹k �~_Ü¡����o>���Ôl���o���rc���¡ WrKik����¥

��o�n¦¨_oI��rci�rc�_oO ��k��o����_oI��oOwfi�rm���p�mrco�¹koI���±�k��oKjfiv���«rc�«¨UoI{²&n/���Mr « �±�1� ¹v I~�ï Ñ ¼ Î ðÆ� ¹v I~�ï × Ñ × ¼ × Î × ð�Fû�´��c���©F¸ÙÖq Ñ � u¬�k�_~ Î � uk§���o��_�Ô¨Uo × Ñ × � Ñ �k�_~ × Î × � Î {*ª_iü¹v I~�ï Ñ ¼ Î ð¢�¹k �~�ï × Ñ × ¼ × Î × ð�{�ª_�_j_j�ik��o#iv�_o#ikq Ñ ik� Î �¡�K��i�r�uk{ � i�rmo>rc�_��r G × Ñ�  G ×j× Ñ × {Zª_oIo}�ØfoI�� ��¡��o � { Á {�ÙÚr�qÕiknpnpiS���!rc����r

�Zï Ñ ¼ Î ðÆ�.�Zï × Ñ × ¼ × Î × ð »ª_i�rc��o�np�k��¹koI��r  �ik����ik��~_�«¨f�¡��ik��ikq Ñ �k�_~ Î �p�¸�vn¡��iOrm�_oOn¡�k��¹koI��r© Iik����ik��~��¦¨f�p��ik�ikq × Ñ × �k�_~ × Î × {�]}Hnqlotuvwz�n « � x � � ��iÔ¨_o�rm�_��r G × Ñc  G ×C× Ñ ×9bG¸ÈÕå:��J#´��SÉSÇ¿�Õ�!�¶µ�Ç¿� × Ñ × � Ñ Ès� Ñ ü uàÇIå:ò × Ñ × � ½ Ñ Ès� Ñ¦ß uCF i �z��� ° å:�S�Sò����ÉS�IåUôSÈ�ò¿��´���ú¸�zÉSÇIô7��ô»F ;²&n/���Mr « � � � ¹v I~�ï Ñ ¼ Î ðÆ� ¹v I~�ï Î ¼ Ñ ð�Fû�´��c���©F¸h�npoI�k��n¦l��Zï Ñ ¼ Î ðÆ�.�Zï Î ¼ Ñ ð�{�ÙÚr>qÕiknpn¡iÔ����rc�_��r^rc��o±np�k��¹voI��r>�p�crmoI¹ko��Å�p�a�Zï Ñ ¼ Î ð�p�!rm�_oOn¡�v��¹ko���r©�¡�mrmoI¹ko��¸�p����ï Î ¼ Ñ ð�§�rc�_�£r��¡��§�¹k I~:ï Ñ ¼ Î ðÆ� ¹k I~�ï Î ¼ Ñ ð�{²&n/���Mr « � § � ��� Ñ Ú� uÑ�I´ Î Ú� u¸^���µ���å�¹k �~�ï Ñ ¼ Î ð#�XÝcÈÕô7��ô�ÇIå:ò©ô7Ç¿��ÈÕô¡�Ë��ô

u ß ¹k �~�ï Ñ ¼ Î ð&þ ���¡��Õ × Ñ × ¼ × Î × Ö¿»

Page 29: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

t Áû�´I�c���©F � i�rmo�rm�_��rK¹v I~�ï Ñ ¼ Î ðÅ�¡�:rc�_o±n¡�k��¹koI��rK�p�mrcoI¹voI�Ë�p�©rm�_o���oWr��Zï Ñ ¼ Î ðËivq� Iik����ik�~_�«¨5�p���pik�9ikq Ñ �k�_~ Î {Òª��¡�_ �o Á × Ñ �v�_~ Á × Î ��o��Í�_iÔ�xrc����r Á Ø���ï Ñ ¼ Î ð�{ ª_irc�_o�np�k��¹ko���r  Iik����ik�2~��¦¨f�p��ik�±� �_��r#w�o©��r©npoI�k��r Á �k�_~��¡�!rc�_o���o�qÕik��o�jfiv���«rc�«¨UoI{OáO�rc�_oZi�rc��oI� ���k�_~ G Ø���ï Ñ ¼ Î ðcU G ×&× Ñ × �v�_~ G ×´× Î × ��i G �¡� �_i�np�k��¹voI�¸rm�_�k� × Ñ ×�k�_~à�_iÑn¡�v��¹ko��>rc�_�k� × Î × {Òª_i G �p���£r���iv��r�rc�_oÞ�����vn¡npoI��ikq × Ñ × �k�_~ × Î × { í oI�� Io¹k I~�ï Ñ ¼ Î ð&þ����p�CÕ × Ñ × ¼ × Î × Ö {�]}HrK�����wn « � � � í��iv�?rc�_oO�kw�iÔ¨UoOnpoI�����k���>oO�_�Ô¨Uo

¹k I~:ï ¾ � ¼ � À tkð �N¹v I~:ï ½O¾ � ¼ � À tkð�N¹v I~:ï ½O¾ � ¼I½ � À tkð�N¹v I~:ï ¾ � ¼m½ � À tkð »yÓoO�knp��i��Í�_iÔ�Nrm�_��r

u ß ¹k I~:ï ¾ � ¼ � À tkð�þ ¾ � »ª_�p�_ Io&�pq G � ¹k �~�ï ¾ � ¼ � À tkð�§:rm�_oI� G × ¾ � §:rci�¢_�_~ G �>oz���ÔlÒ S�_o� S� ik�_n«l¬���_�¡ S�jfiv���«rc�«¨Uo�~_�¦¨f�p��ik���±ivq ¾ � �knp��i�~_�«¨f�¡~_o � À tv{�]}Hnqlotuvwz�n « � � � ÃÝ�p�_~�¹k I~�ï ¾ � ¼ � À tkð¤�_���¡��¹Z}�Øf�k��j_npo � {ptk{�]}Hnqlotuvwz�n « �±�1� ÃÝ�p�_~�¹k I~�ï Ñ ¼ Î ð¸qÕiv��oI�k S��ikq­rm�_oOqÕiknpn¡iÔ���p�_¹O¨4�knp�_o��¸ivq Ñ �v�_~ Î ºï Á ð Ñ � ½ Î § Î � Á�¾ï�tkð Ñ � ½�Á § Î � � �¸� � ¾ï À ð Ñ � uk§ Î � ½ � �ï ¾ ð Ñ � tk§ Î � ½ � �¸� � ¾­Á

Page 30: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

tkt ÀÅã!äáå!ÃÅÄÆæ��¸èNo æ�ÄÆä�ÃÅÄ&Ç Ã�À�Á¥ìPì�Á¥Â��(êPOÆê Ç7Á¥æ

Page 31: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

->�_np�p�vorc�_ox/K�«¨f�¡���¡iv�9ϱn¡¹kiv���«rc�_��§Ýrc�_o&}��_ �n¡�p~_o��k�9ϱn¡¹vik���«rc�_� ´��SÇ¿�Õ� ��ÈÕô��v�à�vn¡¹ki£¥���«rc�_��{ÑÙÚr&j���iÔ¨f�¡~_o������oWrc�_iA~�rmi� Iiv��j���rcoz¹v I~�ï Ñ ¼ Î ð�{Ѫ_�¡�� Io��v� �knp��o��k~�l9�_i�rmoI~¹k I~�ï�u ¼ uvð&� uk§�¹k �~�ï Ñ ¼ Î ðÆ� ¹k �~:ï × Ñ × ¼ × Î × ð�§5�k��~�¹k �~�ï Ñ ¼ Î ð&�N¹k �~:ï Î ¼ Ñ ð�§��«r����*¢� �oI��rci¹k�«¨Uo�����oWrc�_iA~�rmi� Iik��j_��rmo©¹v I~�ï Ñ ¼ Î ðÝ���_o�� Ñ ü Î ü uk{²înq���Mr ­ � x � ��� Ñ ÷Nu¸^��¶µ���å�¹k �~�ï Ñ ¼ uvð&� Ñ Fû�´I�c���©F¸ª_�¡�� Io�o�¨_oI��là�p�mrco�¹koI��~_�«¨5�p~_o��©uk§��Zï Ñ ¼ uvðK�¡�¤Æ��_��r�rm�_o���oWr�ivqÅ~_�«¨f�¡��ik����ikq Ñ {×®l ù oI����� � {¡t¤rm�_o�n¡�v��¹ko���r±~_�«¨5�p��iv�^ivq Ñ �¡� × Ñ × {˪_�p�_ Io Ñ ÷*uk§ × Ñ × � Ñ {  �_�p�����_iÔ���rc�_�£r�¹k I~:ï Ñ ¼ ukð�� Ñ {~±� ² ÇI´�W � { Á F�ª_i��>o¸�k��o¸�_iÔ����o�~_�_ �oI~©rmi�rm�_o¸j_��ikw�n¡o�� ikq5¢_��~_�¡��¹ ¹k �~�ï Ñ ¼ Î ð����_oI�Ñ ü Î ÷Nuv{�]}Hnqlotuvwz�n ­ � x � � ��iÔ¨Uo�rc����r©�¡q Ñ ÷Nu�rc��oI��¹k I~�ï Ñ ¼ Ñ ð&� Ñ {

� iÔ�*�_�Ô¨f�¡�_¹±~_ik�_o^}�ØfoI�� ��¡��o � { Á �>o^ik�_n«l��_oIo�~±rci¸ Iik�����p~_oI�­rc�_o^ I�k��o Ñ ÷ Î ÷ uv{²înq���Mr ­ � � � T®�c� Ñ ÷ Î ÷*u�F���� Ñ � Î �Ëþ73-^¸�¶µ���å

¹k �~�ï Ñ ¼ Î ðÆ�N¹k �~:ï Î ¼ 34ð »û�´I�c���©F¸ÙÚr����+¢� �oI��rciK���_iÔ�Brc����r@�Zï Ñ ¼ Î ðÆ�.�Zï Î ¼ 34ð�§vrc����r��p��§vrc��o� Iik����ik�#~_�«¨f�¡��ik���ikq Ñ �k�_~ Î �v��o�rm�_o����k��oz�k��rc�_o� Iik����ik� ~_�«¨f�¡��ik��� ikq Î �k�_~�34{  i����_iÔ�îrc�_�p�¢_����r#npo�r G × Ñ �k�_~ G × Î { � i£rco�rc�_��rl3E� Ñ ½ Î �7§U���_�p S�2�p�>��np�p�_oI�k�± Iik�©w_�p�_��rc�pik�ikq Ñ �k�_~ Î {#ª_izwml  �_oIik��oI� À { Á ï À ð G × 34{  �Í�_� G × Î �k�_~ G × 3�{ � o�ØÍr��k�����_��oG × Î �k�_~ G × 34{-±���p�_¹  �_oIiv��oI� À { Á ï À ð>�k¹k�v�¡���k�_~Zrm�_oqÕ�k Wr>rc����r Ñ � Î ��þ�3��p��znp�¡�_o��k�� �ik� w_�p�_��rm�¡iv��ikq Î �k�_~?34§��>o�_�Ô¨Uo G × Ñ {ª_i G × Ñ �k�_~ G × Î {±yÓo �_�Ô¨Uorc�Í�_�¸���_iÔ����rc�_��r:�Zï Ñ ¼ Î ðÆ�.�Zï Î ¼ 34ð�{�ª_i�¹k �~�ï Ñ ¼ Î ðÆ� ¹k �~�ï Î ¼ 34ð�{

t À

Page 32: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

t ¾ ÀÅã!ä!åáÃÅÄÆ椣¸èóÃÅãáÄ3Äc�&ÀnL7êQ�(ÄÆä!Âõä�L�omÁ�æ�ê�ÃÅã!ì~±� ² ÇI´dW � {pt�F  �_o �]��tu�wvw�jn/r£�M{~�w���clovw� � � �¡�5rm�_o�j_��i4 �oI���!ivq������p�_¹ ù o������v� � {¡t�k�_~ � { Á rci� Iik��j_�7rcoO¹k I~:ï Ñ ¼ Î ð!����oI� Ñ ÷ Î ÷*uk{L±�£rc�_o��Årc�_�v��¹k�¦¨_o#�zj_��oI I�p��o���rc��rmoI��oI�mr�ikq�rc��o�knp¹kik���«rc��� ÙÝ���pn¡nݹv�¦¨_o�k��o�ØÍ¥

�k��j_npo¤rci����_iÔ�î��iS� �¦r©¹kiAoI��{�]}Hr£�M�j��n ­ � x �´ù oWrcÜp�¸ �ik��j_��rmo©¹k �~�ï � u À¿¼¿Á � ¾ ð�{

¹v I~�ï � u À¿¼¿Á � ¾ ðð� ¹v I~:ï Á � ¾¿¼IÀkÀ ð ���¡�� Io � u À � Á � ¾ � � þ ÀkÀ¹k I~�ï Á � ¾¿¼�ÀkÀ ðð� ¹v I~:ï ÀvÀ¿¼ tktkð ���¡�_ �o Á � ¾ � ÀkÀ��v¾ þBtkt¹k �~:ï ÀkÀ¿¼ tktkðð� ¹v I~:ï�tvt ¼¿ÁkÁ ð ���¡�_ �o ÀvÀ � tkt �­Á þ ÁkÁ¹k �~:ï�tkt ¼kÁkÁ ðð� ¹v I~:ï ÁvÁI¼ ukð ���p�_ Io�tktÐ� ÁvÁÆ�­Á þ9u¹k �~:ï ÁkÁ�¼ ukðð� ÁvÁI»í o��_ Io�¹k �~�ï � u À¿¼¿Á � ¾ ð � ÁkÁ {~±� ² ÇI´dW � { À F � i£rco¸rm�_��r¸��o©�_�Ô¨UoqÕiv����oI~�rc�_o©¹k I~�ikq � u À �k�_~ Á � ¾ ú!È���µ�� ° ��qÕ�v �¥rciv���p�_¹ � u À �k�_~ Á � ¾ {  ���¡�Å��oWrc�_iA~��¡�^¹koI��oI���vn¡n«l�� �_ S�zqÕ�v��rco���rc�_�k��qÕ�k Wrcik���¡�_¹��k�_~ I�v��¢_��~�¹k �~_Üp�!����oI��qÕ�v �rciv���p�_¹��¡���_i�r�qÕo��k���pw_npoI{�]}Hnqlotuvwz�n ­ � � �´ù o�r Ñ ÷ Î ÷Nuk{�ª��_iÔ�Nrc����r©¹k I~�ï Ñ ¼ Î ð&�N¹k I~�ï Î ¼ Ñ ��i4~ Î ð�{~±� ² ÇI´dW � { ¾ F�ª_i��¡qÍlUik�_�^ I�vn¡ ��_n¡�£rcik�^ I�k�Z Iik��j_�7rco Ñ ��i4~ Î lUiv�����Ôl�����o¸�¦r����_o��o�Øfo� I��rm�¡�_¹Orc�_oO}��_ �n¡�p~_oI�v��Ï>np¹kik���¦rm�_��{�]}Hnqlotuvwz�n ­ �±�n� ÃÝ�¡��~2¹k I~�ï Ñ ¼ Î ð ° ôSÈÕåCZ��¶µ��_C ° Éc� È�ò¿�SÇIåÏf�� ZA�I´·È��¶µ ² qÕik�±o��k S�2ikq�rc�_o¨4�knp�_oI��w�oInpiS��ºï Á ð Ñ � À � § Î � � uï�tvð Ñ � � � À § Î � À­Á � tï À ð Ñ � t � Á � ¾ § Î � ¾ t � tktï ¾ ð Ñ � À �¸� § Î � t ÀkÀ

Page 33: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

²înq���Mr ® � x"Z0y nq¯u�����q°±z>²&nq�M��r+\R� Ð�I´#Ç¿�Õ�ÍÈÕå:�D�¾ZA��´·ô Ñ ÇIå:ò Î ��µ���´I� �XÝcÈÕô7�5ÈÕå:�D�¦¥ZA��´·ô�BÞÇIå:òl<Oô ° É�µÑ��µ�Ç¿�

¹k �~�ï Ñ ¼ Î ðÆ�.B Ñ þ"< Î »û�´I�c���©F¸ÙÖq Ñ � Î �Nu�rc��oI�pB��k�_~�<����ÔlÑw�o��v�clÍrm�_�¡��¹Z���¡�_ �o

¹v I~�ï�u ¼ ukð�� uV��B � u�þ7< � u »ª_iK��oO���Ôl¬�k�����_��o�rm�_��r Ñ Ú� uZik� Î Ú� uk{ ù o�r

§ ��ÕIö Ñ þøÓ Î ºvö ¼ ÓÙØ Ö¿»� i�rmo¤rc�_��r §  �ik�mrc�k�p�_� Ñ § ½ Ñ § Î �k�_~ ½ Î ���p�_ Io

Ñ � Á�� Ñ þBu � ν Ñ �îï ½�Á ð � Ñ þBu � ÎÎ � u � Ñ þ Á�� ν Î � u � Ñ þ ï ½ZÁ ð � Î »

ª_�p�_ Io Ñ Ú� uZiv� Î Ú�NuZik��o©ikqUrc��o©o�n¡o���o��mrc� Ñ § ½ Ñ § Î § ½ Î �p�¸jfik���¦rm�¦¨_oI{±ª_iO�>o  ��k����Ôl�rc�_��r §  Iik�mrc�v�¡�_�>��ik��o j�ik���¦rm�¦¨_o�¡�mrmoI¹ko�����{ ù o�r�¨Ó~_oI�_i£rco±rm�_o©��o�r�ivqÝjfiv���«rc�«¨Uo�¡�mrmoI¹ko����¸�¡� § {  �_�£r �p��§

¨ø�*ÕIö Ñ þ�Ó Î ºvö Ñ þ�Ó Î ÷Nu ¼ ö ¼ ÓÙØ Ö¿»×®l�rm�_o¸yBoInpn¦¥ÔáO��~_o����p�_¹ � ��ikj�oI��rÖl qÕik� §n¨  �ik�mrc�k�p�_�K�z�����kn¡npoI��r�jfiv���«rc�«¨Uo#�p��¥

rco�¹koI��§5 I�vn¡nf�¦r G { ù oWrcÜp�¤����iS� rm�_��r G �N¹k �~�ï Ñ ¼ Î ð�{ � i�rco^rc�_��r����p�_ Io G Ø©¨��>oK�_�Ô¨Uot �

Page 34: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

t � ÀÅãáä!åáÃÅÄÆæ�ªCè�é¥Ä�«&Á(�&Ã`¬ Ç�L7ÄÆìPìPäG �.B Ñ þ:< Î qÕik�Ð��ik��o¤�p�crmoI¹ko�����§�B��v�_~�<·{ � i�rcoÅ�kn¡��iÅrc����r G ÷*uk{ ù oWrA�á�N¹k I~�ï Ñ ¼ Î ð�{ �_o��p� × Ñ �k�_~�� × Î §���iZwcl  ��oIik��oI� À { Á ï À ð@� × B Ñ þ"< Î §Urc����r©�¡�l� × G {±ª_�¡�� Io:��k�_~ G �k��o#jfik���¦rm�¦¨_oI§�wml  �_o�ik��o�� À { Á ï Á uvðÅ��o#���S¨_o��>þ G {�ª_i&�pq��>o� I�k�����_iÔ�rc����r G �¡�Å�© �ik����ik��~_�«¨f�¡��ik�Ëivq Ñ �k�_~ Î ��o!���pn¡n��Í�_iÔ�Òrc�_��r���� G {  i ����iS� G × Ñ�_���¡�_¹Krc��o`/K�«¨f�¡���¡iv��ϱn¡¹kiv���«rc�_�?�>o������«rco Ñ � G �Ëþ"3 ���_o���o�uVþ­3 ß®G { � iÔ�

3¿� Ñ ½ G �� Ñ ½ ï�B Ñ þ7< Î ð¯�� ï Á!½ B°�/ð Ñ þ ï ½ <P�7ð Î »

í o��_ Io±3¿Ø § {¤ÙÖq�3�÷ u¤rm�_oI�_3¿Ø�¨!{¤×Ë��r!rc�_�p�! I�v�_�_i�r¸w�o����p�_ Io±3 ß�G �k��~ G �p�5rc�_o�����knpnpoI��r�¡�mrmoI¹ko��±�p�p¨!{>ª�iO�>o©�©�_��r�_�Ô¨Uo@3�� uv{  �_��r©�p��§ Ñ � G �7{ í oI�� Io G × Ñ {×®l¬�����p���¡np�k�>�v��¹k�_��o��cr¸�>o  I�v������iS� rm�_��r G × Î {  �Í�_��§ G �p�¸�¡�_~�oIoI~��� Iiv����ik�~_�«¨f�¡��ik�Oikq Ñ �k�_~ Î ���p�_ �o G ü�����¹k I~�ï Ñ ¼ Î ð�§��>o��©�_��r��_�Ô¨Uo G � ¹v I~�ï Ñ ¼ Î ð�{&Ï>��_i�rmoI~��knp��oI�v~�l G �.B Ñ þ7< Î §���iKrc��o�rm�_oIiv��oI� �p��j_��iÔ¨_oI~_{�]}Hr£�M�j��n ® � x � Á � ¹v I~�ï�t ¼IÀ ð��v�_~���o��_�Ô¨_o Á � ï ½ZÁ ð�t±þ Á´�AÀ {Zϱn¡��i#�>o#�_�Ô¨UoÁ � t � t�þÑï ½�Á ð À {�ª_iÅrm�_o¤�Í�_� w�oI����B¸�v�_~�<^�¡�#×Ëo©ñIiv��rcÜp� ù oI�����O�k��oÅå:�¿�Í�_���¡ÌÍ�_o�n¦l~_oWrcoI�����¡�_o�~_{¸ÙÖ��qÕ�v �rc§f�k�Ð�>o����pnpn���o�o�np��rmoI�®rm�_oI��oK�k��oKÈÕåv�:åUÈ����c� � ���k�mlÑ S�_iv�¡ �oI��qÕik�B©�v�_~�<>qÕik��oI�v S��j_�v�¡� Ñ ¼ Î {~±� ² ÇI´dW � { Á F  ��oË�kw�iÔ¨UoËj���iAikq_�p�®�k�z�XÝcÈÕô7�D��å:ÉS�_rc�_o�ik��o���{¤ÙÚr¤�v����o���rm��rc��oËo�Øf�p��rmoI�_ �oikq²B±�k��~`<·§­w_��r¸~�i4o��^��i�r±j_��iÔ¨f�¡~�o±�¤�>�Sl#rmiO�k �rm�_�knpn¦lÞ¢��_~?B¸�k�_~�<·{¤Ï>np��i���µ��:��´I�c���~_iAoI����i�r�¹k�«¨Uo��k�ml  Inp�_o��kwfiv��r#�_iÔ�|rci&¹ki&�vwfik�7r# I�vn¡ ��_n¡�£rc�p�_¹'B��k��~�<·{�yBo>���¡npn¹k�«¨UoO�k���knp¹kik���«rc���x�p��rm�_oO�_o�ØÍr© S�_�kj�rmoI�¸qÕik��¢_�_~��¡�_¹(B �k��~�<·{

Page 35: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

ÙÖ�Û�k� �k��rm�¡ �n¡o&�p��rc��o&Ï>�_¹k����r�¥Ôª_oIj7rcoI�©wfo�� Á �¸� À �p�����_oÞikqÝrc�_o¢f ² ��´£È�ÉSÇIå�� Ç¿�¶µ��¦¥² Ç¿�¶È�ÉSÇ¿�I� �Iå:��µ�� ��§®y|{pÏ>{�פnp�k�_�Í�p�_�����¡j��¹k�Ô¨_o������¡��j_npo���oWrc�_iA~�rci�j_��iA~_�_ �o�rm�_o�¡�mrmoI¹ko����@B��v�_~c<>�p�Þפo©ñ�ik��rmÜ¡� ù oI�������k�_~&��rËrc�_oK���k��oËrc�p��oKj���iA~_�_ IoK¹v I~:ï Ñ ¼ Î ð�ºÄ©�«¨Uo�� Ñ ÷ Î ÷ u���o���rm�k��r����«rc�#rc�_oO�k�����Ôl

Ñ Á uÎ u Á

 �_oI���>o� �ik�mrc�p�Í�_o rci��k~_~ �©�_n¦rm�¡j�n¡o��ikq¤ik��o���iÔ� rmi��k�_i£rc�_o�� ��iÔ��§¤�vn¦rmoI������rc�p�_¹ S�_ik�p Io�ikq:��iÔ���±���crm�¡n��>o���oI�v S���k�Þ�k�����ÔlÑikqUrc��o�qÕiv���

u Þ � Þ ÿG � � � ÿik� G � � � ÿu Þ � Þ ÿ �_oI� G � ¹v I~�ï Ñ ¼ Î ðÆ� � � Ñ þ � ÿ Î {©â  �_oO¹kik�kn��p�Ýrci�¹ko�r���u��¡�#rc��o�¢�����r© �ikn¡������{¡ã�]}HrK�����wnqz¢�1� x � ÃÝ�p����r�rc�k��o Ñ � À � § Î � Á � {

À � Á uÁ � u Á

� i�rmo À � � Á � � t�þ � §5�_oI�_ �oÀ � þ Á � ï ½ tkð�� � »³s´8µ°¶t·°¸�¹8º�»�¼*µ°½¡¾¿¹8À`¾¿ÁYÁ¿Âý8Ä6»P½fÅƽ ¾Y·°ÇP¾Y·°Ç�º�µ°¾Y¹fÈDÂɺ µ°»�Ê=º�»MÈ0Ë@¶Pº�º ÂÉ·�º�¾Y»P·*Ì

t �

Page 36: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

t � ÀÅãáä!åáÃÅÄÆæ�Í è�éDL7ä!ÂlÎÐê Â!ÇKãáê å�¬ Ç|ì|Ä!ÃÅã>ÁD�ª_i��>o©�©�_n¦rm�¡j�n¦l¬��iS� t�wcl ½ t��k�_~Þ�k~_~��¦r�rmiZ��iÔ� Á §�¹vo�r�rm�¡��¹

� Á ½ tÁ � u Á

� iÔ� À�� � � Á � ik� Á � þNï ½�À ð � �Nuk§���i���oK�©�_n¦rm�¡j�n¦l¬��iS� Á wml ½OÀ �k�_~Þ�k~_~&�«r�rci��iÔ� tk§�¹koWr�rc�p�_¹� Á ½ tu ½OÀ � »

� iÔ� ��o� I�k�Þ���Sl&rm�_��r¹v I~�ï À � ¼¿Á � ð�� �

�k�_~� � Á��kÀ � þ�ï ½ tkð �­Á � »

ù o�rcÜp�^�_iÔ�  Iiv�_���p~_oI�Å�O��iv��o¸ Iik��j_np�¡ ���rco�~�oWØ5�v��j�n¡o�º  �k��o Ñ � Á � � � § Î � À � � {Á � � � Á uÀ � � u Á

� iÔ� Á � � � � À � � � � þ � Á ��i>�>oK�k~_~ ½ � rc�p��oI�Ðrm�_o���o� Iik��~���iÔ�*rmi>rc�_o>¢_����rO��iÔ��§¹koWr�rc�p�_¹kº

� Á Á ½ �À � � u Á� iÔ� À � � � � Á�� � þ � §���iK��o��k~_~ ½ � rm�¡��o��±��iS� Á rci���iÔ� tv§�¹ko�r�rc�p�_¹kº� Á Á ½ �� ½ � À �

� iÔ� � Á � � � � þ À §���iK�>o��k~_~ ½ � rc�p��oI����iÔ� t�rmiZ��iS� Á §�¹koWr�rm�¡�_¹vº

À ¾kÀ ½ tkt Á� ½ � À �� iÔ� � � Àá� t�þ9tk§���iK�>o��v~_~ ½ tKrc�p��o�����iÔ� Á rci���iÔ� tk§�¹koWr�rc�p�_¹kº

À ¾kÀ ½ tkt Át ½ � À ¾ � � �_o�� À �Nt �­Á þ Á §5��iK��o��k~_~ ½�Á rm�¡��oI�¸��iÔ� tKrmi���iÔ� Á §�¹vo�r�rm�¡��¹kº

Á Á£À � ½ �¸� �t ½ � À ¾ � �

Page 37: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

t �ÃÝ�p�_�knpn¦lk§�tm� ÁÆ� t���iZ�pq­�>o��k~_~ ½ t�rc�p��oI�¸��iÔ� Á rmi���iÔ� tK��oO¹koWrcºï Ïkð Á Á£À � ½ � �¸�u ½OÀ � � Á � � � »Â �_�p��rmoInpn¡���_�!rc�_�£r

¹k I~:ï Á � � � ¼IÀ � � ð�� Á�k�_~ï Ï�Ïkð Á � Á�À � �­Á � � � þ ï ½ �¸�¸� ð À � � »� i�rmo rc�_�£r��¦r#�>�k���_i�r��_o� Io������v��l rciÑ �ik��j_��rcorm�_o&n¡�v��r�rÖ��iÑo��crm���poI� ½�À � � �k�_~Á � � � �p� ï�Ïkð�{>ÙÚr©�p�±��¹kiAi4~Þ�p~_oI�Z�_iÔ��oW¨Uo��Årci� S�_oI S�rm�_��r©oIÌÍ�_��rm�¡iv� ï Ï�Ïkð��_ivn¡~_��{�ÙÖ�rc�_�p�� I�k��o��>oO�_�Ô¨Uo�º

Á�À � �­Á � � � � t �¸� Á�À �ï ½ �¸�¸� ð �kÀ � � � ½ t �¸� Á�À �Á

ª_i��¦r��p�� Iik����oI Wrc{ô � � y �wrK�j³Hvw�jz � vw�´°±z�µ¶nq� � �H� Í ��lo³Hzqâm� i£rco±rm�_��r�Æ��_��r�npi4ik�Í�p�_¹&��r�������r

�_�kj_j�oI�����p��rc�_oÞ¢_����r� Iivn¡�_���ÑlUik�à��o�o#rm�_��r#�>oÞ�k��oÆ��_��r�~_ik�p�_¹Þrm�_o&}��_ Inp�p~_oI�k�Ï>np¹kik���¦rm�_��§!��i���_oI�¬ik�_o�o�n¡o���o��mr��p�Ñ Iiknp�_��� Á �p�Kuk§5rm�_o#i�rc��oI�K�p��§��¡�ÑqÕ�k Wrc§5rm�_o¹k I~�{ � i�rco¤rm�_��r���r�rm�_oO��rc�v��r���oO�_�Ô¨_o

Ñ Á uÎ u Á

�k�_~Ñ � Á�� Ñ þBu � ÎÎ � u � Ñ þ Á�� Î »

áO�_oO I�k�����_iÔ� rm�_��r���r��XòA��´·�#�p�mrcoI����oI~_�p��rco���rmoIjÑ � Þ � Þ ÿÎ � � � � ÿ

��o��kn«���Ôlf�¸�_�Ô¨UoÑ � ��Þ � Ñ þ�Þ ÿ ÎÎ � � � � Ñ þ � ÿ Î ¼

�k�_~#rc�_oO��oI����n¦r©qÕiknpn¡iÔ����{±Ù����¡npn�ik���¦r�rm�_oO~_o�rm�k�pn¡��{

Page 38: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

À u ÀÅãáä!åáÃÅÄÆæ�Í è�éDL7ä!ÂlÎÐê Â!ÇKãáê å�¬ Ç|ì|Ä!ÃÅã>ÁD��]}Hnqlotuvwz�n��n� x � -±��o�פnp�k�_�Í�¡�����_�pj_Üp�Ë��o�rm�_i4~KrciK �ik��j_��rmo�rm�_o@B±�k�_~_<Ë�¡��פo�ñIik��rmÜ¡�ù oI�����ZqÕiv��oI�k S��ikq�rm�_oOqÕiknpn¡iÔ���p�_¹�¨��vn¡�_o��±ivq Ñ �v�_~ Î {ï Á ð Ñ � t � � § Î � ÁkÁ tï�tvð Ñ � t Á � § Î � Á�À �ï À ð Ñ � ÁkÁ�À­Á tk§ Î � ÁkÁ�À t Á

�]}Hnqlotuvwz�n|�1� � � ª_��iS� rc�_�£r �pq Á � Ñ B^þ Î <Ërm�_oI��¹k I~�ï Ñ ¼ Î ðÆ� Á {�]}Hnqlotuvwz�n|�1�±�1� ÃÝ�p�_~��¡�mrmoI¹ko���� Ñ § Î § G §fBc§*<>���_ S��rc�_��r��vn¡n�ikqUrc��o�qÕivn¡npiÔ���¡�_¹��_iknp~ï Á ð Ñ ÷Nuk§ Î ÷*uk§ï�tvð G ��B Ñ þ7< Î §��k��~ï À ð G Ú� ¹k I~�ï Ñ ¼ Î ð�{

� i£rcoËrc����r G �p��}�ØfoI�� I�p��o � { À  I�v�_�_i�r©w�o Á wmlÑ}�ØfoI�� I�p��o � {¡tk{

Page 39: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

�¨nFEj�jv��©v���� x¸· � x � ϱ�*�p�mrco�¹koI�#ý*�¡� �jlovw�Mn �pq�ý ü tÛ�k�_~ rc��o�ik�_n«l�jfiv���«rc�«¨Uo~_�«¨5�p��iv���Kikq�ý��v��o Á �k�_~zýU{©Ï>���p�crmoI¹ko��ËöÓ�p� tu���M����z�vw��n �pq�ö�ü?tz�k�_~zöB�¡����i�rj_���p��oI{~±� ² ÇI´�W Á uk{ Á F  ��o��Í�_�©wfo�� Á �p�¸��oI�«rc�_o��¸j����p��o��_ik�� �ik��jfiv���«rcoI{²înq���Mr xu· � x � f�åzÈÕå:���¾ZA��´!öMü t ÈÕô�ÉS� ² �5�IôSÈ��D��Ès�>ÇIå:ò�Iå:� �©Ès�>��µ���´��KÇI´��ÅÈÕå:�D�¾ZA��´·ôÑ ÇIå:ò Î ô ° É�µ¬��µ�Ç¿�Uöø� ÑqÎ ^ Á ß�Ñ>ß öÅ^¸ÇIå:ò Á ßóÎ�ß ö�Fû�´I�c���©F ù oWr�öóü tv{�ÙÖq®ö �p�© �ik��jfik���¦rmoOrm�_oI��oZ�p����j�ik���«rc�«¨Uo��¡�mrmoI¹ko�� Ñ ���_ S��rc����rÑ Ú� Á § Ñ Ú� öÓ�v�_~ Ñ × öÐ{  �_�p����oI�k���Ërc�_��r>ö�� ÑqÎ qÕik�±��ik��o Î {ª_�p�_ Io±öÒ�k�_~ Ñ�k��oOj�ik���«rc�«¨Uo©��i��¡� Î { í oI�_ �o Á þ Ñ �v�_~ Á þ Î {±×®l  �_o�ik��o�� À { Á ï Á ukð Ñ þÓö9�k�_~Î þBöÝ{�ª��¡�_ �o Ñ Ú� Á �k�_~ Ñ Ú�àö��>o��_�Ô¨Uo Á ß�Ñ�ß öÝ{�ÙÖq Î � Á rc��oI� Ñ �9öݧ¿���_�¡ S��¡�¸�_i�r j�ik�����¡w_npoI§:��i Î Ú� Á {>ÙÖq Î �Òö¬rm�_oI� Ñ � Á §_���_�¡ S���¡�¸�knp��i���i�rj�ik�����pw_n¡o�{Kª_iÁ ßà봧 öÐ{  ��o� �ik�m¨Uo�����o©�¡��ikwm¨f�pik�_��{²înq���Mr x¸· � � � ���Ýö ÷ Á ^���µ���´I�>ÈÕô�Ǹ��´·È ² �^ý2ô ° É�µÑ��µ�Ç¿�­ý × ö Fû�´I�c���©F¸Ï>�����_��o¸rm�_oI��o �p�>��iv��o��p�crmoI¹ko��ÅöÛ÷ Á ���_�p S���_�k�¸�_i�j_���¡��o©~_�¦¨f�p��ik��{ ù oWr¨ ~_o��_i�rmo>rc�_o#��o�r�ikq^�knpnÐ���� S�ü�p�mrcoI¹voI����{z×®l�rc�_o�yBoInpn¦¥Ôá���~_oI���¡��¹ � ��ikjfo���rÖl�rc�_o���o�¡�K�&�����kn¡npoI��rZ���_ S�¬�¡�mrmoI¹ko���§! I�vn¡nÝ�«r(ÓÑ{ � iÔ� Ó ÷ Á �k�_~Ñ�_�k�>�_iÞj_���p��o#~_�¦¨f�p��ik��{ª_iÐÓ  ��k�_�_i�r©w�oOj_���p��oI{ í o��_ Io Ó �p�� Iik��j�ik���«rco�{  �_o���o�qÕik��oOwml ù oI����� Á uv{ Á

Ó � ÑqÎ ¼ Á ßóÑ�ß Ó ¼ Á ßàÎ¥ß Ó »ª_�p�_ Io Á ß�Ñ>ß Ó rc�_o�� Ñ �¡���_i�r��p�#rc�_oO��oWr¨�{�ª_i Ñ �©�_��r©�_�Ô¨_o©��j_���¡��o�~_�¦¨f�p��ik��§ I�knpnÝ�«rKýU{  �_o��Þý × Ñ �k�_~ Ñ × Ó ��i&wml  ��oIik��oI� À { Á §5ý × ÓÑ{  ���¡�O Iiv�crm���k~��¡ Wrc�rc�_o©qÕ�k �r¸rc����r!Ó ���k�>�_iZj_���p��o ~_�«¨f�¡��ik��{�ª_i©rm�_o���o�r�¨Ó� �_��r#w�o oI��j�rÖl �k�_~�rc�_�p�j_��iÔ¨_oI�!rc�_oOnpoI�����k{

À­Á

Page 40: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

À t ÀÅãáä!åáÃÅÄÆæ çvиè�åÆæ�ê ìPÄ5Â'�HìPé¥ÄÆæáÇ��� nq��l»nq� x¸· � xÑZ �]��tu�wvw�´° z ��� nq�clonq�I\�� æ�µ���´��ÛÇI´��ÑÈÕåv�:åUÈ����c� � ² ÇIåU�Ñ��´£È ² �å °A²�³ ��´£ô»Fû�´��c���©F¸Ï>�����_��o�§:wmlZ���ÔlÑikq� �ik�mrc���v~_�¡ Wrc�pik�_§�rm�_��r¤rm�_oI��oK�k��oKik��n¦l2�#¢_�_�«rcoK�Í�_� w�oI�ikq:j_���p��oO�A��� w�oI����§®���Ôl5º

ý � ¼ ý ÿ ¼I»m»m»I¼ ý � »/KoI¢��_o Ò�9ý � ý ÿ ����� ý � þ ÁI»

ª_�p�_ IoÅý � ü tv§f �n¡o��k��n«lÒü À {�ª�i wml ù o������ Á uv{¡t

Ò�_�k�Å�j_���¡��o�~_�«¨f�¡��ik�ÐýU{Ë×®l

�k�����_��j�rm�¡ik��ý��BýRÓÝqÕik����iv��oM>&� Á�¼m»m»m»�¼ öÝ{ ù o�r Ñ �9ý � ����� ý � { � i�rmo¤rc�_��rÑ �9ýRÓ­ï�ý � ý ÿ ����� ý�Ó u�� ýRÓ ï�� ����� ý � ð ¼

��i©ýRÓ × Ñ { � iÔ�Ò� Ñ þ Á �k�_~2wml �k�����_��j�rc�pik�zýRÓ × Ñ þ Á {�ª_izwml }�Ø5o��� ��¡��o À {¡týRÓ × ï Ñ þ Á ð ½ Ñ §frc�_�£r��¡�¤ý�Ó × Á {�×®l ×Ë�k���p #Ï^Øf�pik� À �p�Ñh��_�kj�rmoI� Á rc���¡�K�p��j_n¡�poI�rc����rOýRÓî� Á {  ���¡�O Iiv�crm���k~��¡ Wrc��rc�_o#qÕ�k WrKrc�_�£r�j_���p��oI���k��o�÷ Á {&ÙÚr�qÕiknpnpiS���¤rm�_��rrc��o��v��������j7rc�pik��rm�_��r�rc��oI��oO�k��oOik�_n«lÑ¢_�_�«rco�n¦l¬���k�mlÑj_���¡��o��±�p���_i�r�rc���_oI{

�]}Hnqlotuvwz�n x¸· � x � ->��oÅrc�_o>�¡~_o��#ikq4rm�_o��kw�iÔ¨Uo�j_��i4ivq�rci���_iÔ�*rm�_��rO�pqf� � ¼ � ÿ ¼m»I»m»I¼ � ��k��o¤j_���p��oI��rc��oI��o��p�!�Kj_���p��o@���Ø+Õ�� � ¼I»m»m»I¼ � � Ö { í �p�mrcº  �k��oÒ��� � ����� � � þ Á {Å×®lù oI����� Á uk{¡t�rm�_oI��o��p���Zj����p��o`� ���_ S��rm�_��r� ×

Ò{ � ��iS¨_o�rm�_��r�¨�Ø+Õ�� � ¼m»m»m»�¼ � � Ö {

�]}Hnqlotuvwz�n x¸· � � �´ù oWr¸ý � � t ¼ ý ÿ � À¿¼ ý z � � ¼m»m»I» �v�_~_§��¡��¹koI��oI���vn¡§UýRÓ7�Órc�_oM>D¥Drc�j_���¡��oI{ � ��iÔ¨_o©ik��~��¡��j_��iÔ¨Uo�rc�_�£r

ý � ý ÿ ����� ý � þ Á�p�±j_���¡��o�qÕik���knpn­öMü Á {�9bG¸ÈÕå:��JM����öM� Á ú¸�>µ�Ç©òA�>t±þ Á � À ÈÕô¤��´·È ² ��FA����ö+� tú¸��µ�Ç©òA�>t �¿À þ Á � � ÈÕô¤��´·È ² ��Fl����ö�� À ú¸��µ�Ç©òA��t �kÀá� � þ Á � ÀUÁ ÈÕô¤��´£È ² ��Fæ¿´·�z�¶µ��¤å:�XÝA�¿�I��ú�òAÇ¿� ° ��ô����:ö F�Ô5� °Z² ÇI� ú¸ÇIå:�Ð��� ° ô7�O��µ���å:�XÝA�®�¶µ��S�I´�� ² ����É�µ��SÉXW��´·È ² Ç¿� È��¶�£F ;��� nq��l»nq� x¸· � � � ���!öü÷ Á ÈÕô�ÉS� ² �5�IôSÈ��D���µ���å�öBµ�ÇIô�Ç���´·È ² �#òIÈbòcÈÕô7�I´¤ý¢þ r ö�Fû�´��c���©F ù o�r®öü÷ Á w�o^ Iik��j�ik���«rco�{  �_o��>öø� ÑqÎ ���_oI��o Á ß�Ñ�ß ö��k��~ Á ß�봧 öÝ{Ù¤ �n¡�k�p� rc����riv�_o©ivq Ñ ik� Î �¡�áþ r öÝ{�ÙÖqÐ�_i�r¸rc�_o�� Ñ ÷ r ö9�k�_~ Î ÷ r öÐ{ í o��_ Ioö � Ñ/Î ÷ r ö r ö � öÝ{  ���¡�K�p��j_n¡�poI��öB÷Nöݧ!�& �ik�mrc���v~_�¡ Wrc�pik�_{Zª_i Ñ þ r ö ik�Î þ r öÐ{#ª_�_j_j�ik��o Ñ þ r öÝ{#ª��¡�_ �o Á ß=Ñ §Ðwcl ù oI����� Á uk{pt©rc�_o���o�p�K�zj_���¡��o�ý���� S�Þrm�_��rOý × Ñ { í o��_ Io�§�wcl  �_oIik��oI� À { Á ���¡�_ �o Ñ × ö ��o��_�Ô¨_oOý × öÐ{�Ï>np��i�wml �_o�ik��o�� À { Á ���¡�_ �o¸ý × Ñ �>o��_�Ô¨Uo�ýEþ Ñ þ r öÝ{

Page 41: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

ÀkÀ~±� ² ÇI´�W Á uk{pt�F�yBo� ��k� �_��o  �_o�ik��o�� Á uv{¡t�rci2�_o�n¡j ~�oI I�p~_o©����o�rc��oI�ik���_i�rz�k��¡�mrmoI¹ko����p�Kj_���¡��oIº  i& S�_o� S�����_o�rm�_oI�Oik�>�_i�rKöÓ÷ Á �¡�Kj_���¡��o��>o#�_oIo�~üik��n¦l�rc��lrciz~��¦¨f�p~_o�«r#wmlü�kn¡n:j_���¡��oI�Åý|þ r öÝ{�ÙÖq!�_ik��o ikqfrm�_oI��o#j_���p��oI��~��¦¨f�p~_oI�Ëö¬rc�_o��zö� �_��rw�oOj_���p��oI{�]}HrK�����wn x¸· � x � h�ik�_���p~_o��Orm�_o&�Í�_� w�oI� � � { � i�rco rm�_��r r � � ß r Á ukuM� Á uv{ �_o�j_���p��oI�Vþ Á uÞ�k��o�tk§ À § � §^�v�_~ � {�áO�_o�o��k���pn¦là S��oI S�Í�¸rm�_��r � � ��i4~�t~� Á §� � ��i4~ À � Á § � � ��i4~ � � tk§ � � ��i4~ � � � {�ª_i��_ik�_oOikq­rc�_oOj_���¡��o��±tk§ À § � § �~_�«¨5�p~_o � � �k�_~ � � �¡��j_���¡��oOwml  �_oIiv��oI� Á uk{¡tv{�]}Hnqlotuvwz�n x¸· � �1� ×®l������p�_¹  �_o�ik��o�� Á uk{¡tv§��v�Å�p�Orm�_o>�vwfiÔ¨Uo¸o�Øf�k��j_npoI§f~_o�rmoI�����p�_orc�_oOj_���¡���knp�«rÖl8��ikqUrc�_oOqÕiknpn¡iÔ���p�_¹��¡�mrco�¹koI����º

Á�¾vÀ¿¼ tkt ÁI¼ Á � � ¼ tkt À¿¼ À � t ÁI»�¨nFEj�jv��©v���� x¸· � � ��ù oWrÐÞ�Ø §IÞà÷ uk{ q ï_Þ�ðK~�oI�_i�rmoI�¤rc��o#�A��� w�oI�Oikq�j_���p��oI��ý���_ S��rc�_�£r±ý�þ�Þ�{

Ã�iv�o�Øf�k��j_npoI§±���p�_ Iorc��o&ik�_n«lÒj_���¡��oI��ý�þ Á u��k��oztk§ À § � §��k�_~ � �>oÞ�_�Ô¨Uoq ï Á ukð�� ¾ {í oI��o©�p�¸�Krm�kw_npo©ivq­¨4�knp�_oI�¸ikq q ï Á u Ó ð�qÕik�±>&� t ¼m»I»m»I¼¿Á uk{�ÙË�knp��i��¡�� Inp�_~_o �Í�_iÔ����kj_j_��iÔØ5�p����rc�pik�_�¤rmi q ï_Þ�ð�{ � i£rco>rc����rKrc�_o#qÕiv��� ��n¡�k�KqÕiv�Årc�_o#�vj_j_��iÔØf�p���£rc�pik�_�O~_i�_i�r©¹k�«¨UoO�p�crmoI¹ko���¨4�knp�_o���§�w_��r�qÕik�Ýrm�_o¤rc�kw_npoOÙÅ���S¨_o©��ik�_�_~�oI~�o��k S��rmi�rc�_oO�_o��k��o���r�¡�mrmoI¹ko���{  �_o¤¨��vn¡�_o��±�p�rc�_o¤rm�kw_npo��>oI��o© �ik��j_��rmoI~������p�_¹ Ê �kj_npoI{

Þ q ï Þ�ð ÕÖ �v× Õ°Ø ÕÖ �#× Õ°Ø u�� Õÿ �Ö �#×ÚÙ Ø G <Á umÿ t � tkt t � t �Á u�z Á �¸� Á�¾ � Á �¸� Á � �Á u�� Á tvt � Á u �¸� Á t Á � Á t ¾ �Á u � � � � t �¸�¸�¸� � � Á t �¸� t �Á u�Û � � ¾ �¸� � t À � t � � u À u � �¸� t �Á uRÜ �¸� ¾ � � � � tvu ¾ t Á �¸� Á�¾ � � � � ¾ � Á �Á u } � � � Á�¾ � � � ¾ t �¸�¸� Á � � ¾ u À u ¾ � � � tktku �Á u�{ � u � ¾ � � Àv¾ ¾ � t � ¾ � ¾ t � u � u Á � ¾ t � u � ¾ � t Àk¾Á uR� û ¾ �¸� u � t � ÁvÁ ¾kÀk¾ t � ¾k¾ � t ¾ � ¾ u ÁkÁ � � Á ¾ �¸� u �¸� � Á�¾Ý ik� ���ÔlOÆ��_~_¹koÅqÕik�_lUik������o�n¡qk���_�p S�#�kj_j���iÔØf�¡����rm�¡ik���Ð�kj_j�oI�v�­rmi>w�o:rc��oÅw�oI��rc{  �_�p�

rc�kw�n¡o��_�k�±wfo�oI�2 �ik�mrc�p�A��oI~2�_j�rci Á u ÿ ��§�w_��r jfo�ikj_npo �k��o©��rc�pn¡nU�>ik���Í�p�_¹�ik��¢_�_~_�p�_¹³s´8µ°¾Y¹8ÈDÂɶt·°¹8Ê°Âɺ Âɽ¡ÈD¾¿·°Â±Þ8µÆÂɺ�µÆÂɽ8»P½8·Æ»Pº8ÂɶtßQµl·�à°È�ÅáÂý8¾¿¹8âƽ ¾YÈDÂ�Ì

Page 42: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

Àk¾ ÀÅãáä!åáÃÅÄÆæ çvиè�åÆæ�ê ìPÄ5Â'�HìPé¥ÄÆæáÇrc��o®¨4�kn¡��o�ikq q ï Á u ÿÖÿ ð�{ÅáOq� �ik�_����oI§krm�_o¤�kj_j���iÔØf�¡����rm�¡ik���!�k��o¤o��k��l©rciK �ik��j_��rcoÐ���«rc�Ê �kj�n¡oOw_��r�rm�_oOo�Øf�k �r�¨4�knp�_oOikq q ï Á u ÿÖÿ ð��¡��~_�ã¢� I�_n«r±rmi�¢_�_~_{ �_o��kw�iÔ¨Uo¤�kj�j_��iÔØf�¡����rm�¡iv�_�!�k��oÅw_�k��oI~�ik�±rm�_o¤��i£¥S I�vn¡npoI~�û�´·È ² � ¯¸°4²�³ ��´Zæ�µ��¦¥�I´�� ² ¢_����rZ Iik��Æ�o� �rm�_��o�~ wmlàÄ©�k�����O�¡� Á � � À w_�7r���i�rZj_��iÔ¨Uo�~�rc�pnpn!iS¨_oI� Á ukulUo��k���np��rco���wcl í �k~_�k���k��~Þ�k�_~�ä¸�kn¡nÉåoIo � ik�_�����¡��{��� nq��l»nq� x¸· � � Z0��� nPkmlov���n|¤����¦��nql �V� nq��lon/�7\R�ï Ïkð q ï Þ�ð�æ Þ

np��ï Þ�ð �I�I´ZÇ¿�Õ�»Þ�÷ u »~±� ² ÇI´dW Á uk{ À F�ï Ïkð���oI�k���!rm�_��r

np�¡�Õ°çAèq ï Þ�ðÕéëê × Õ°Ø � ÁI»

Ï>n«rc�_iv�_¹k� rc�_o���o¬�k��oÑ�p�_¢_�_�«rco�n¦l|���k�ml|j_���¡��oI�#rc��oI��oÑ�k��oÑn¡ik��¹9��rc��oWrc S�_o���ikq Iiv�_��o� I��rm�¦¨_o �p�crmoI¹ko����¸ Iik�mrm�k�¡���¡�_¹��_i�j_���p��oI��{��� nq��l»nq� xu· � � � Ý�I´�ÇIåU�#�5�IôSÈ��¶ÈbòA� ÈÕå:���¾ZA��´�ö �¶µ���´��ÈÕô�ÇIåÛÈÕå:�D�¾ZA��´ Ñ ô ° É�µà��µ�Ç¿���µ��Åö�ÉS�IåUô7�SÉ ° �¶ÈbòA�±ÈÕå:���¾ZA��´·ô

Ñ ¼ Ñ þ Á�¼ Ñ þ9t ¼m»m»m»�¼ Ñ þ ï¶ö ½�Á ðÇI´��Ç¿�Õ��ÉS� ² �5�IôSÈ�����Fû�´��c���©F¸Ä��¦¨_oI�Zö�ü Á npo�r Ñ � ï�ö�þ Á ðà kþBtk{ÐyBoO Inp�k�p�?rc�_�£r��kn¡n�rm�_oO�Í�_� w�oI���

Ñ þ7> ¼ uVþ�>îþBö ½�Á�k��o� �ik��jfik���¦rmoI{?ª_�¡�� IoÛï�ö þ Á ð�ü tü InpoI�k��n¦lNt × ï�ö þ Á 𦠸�k�_~9t × tk{ í o��_ Iot × ï¶öÞþ Á ð¦ kþ9tk{�ª_�p�_ Io�ï¶öÞþ Á ð¦ kþ9t�÷Ntk§�ï�ö�þ Á ð¦ vþBt��¡�� �ik��jfik���¦rmoI{�h�ik�_���¡~�oI�

Ñ þ">&� ï¶ö�þ Á ð¦ kþ">�þBt���_o���o�u�þ�>îþBö ½ Á ��i©tmþ�>¿þ�tVþBöKþ Á {  �Í�_�ì>kþ�t × ï¶öKþ Á ð¦ ��k�_~�>¿þ�t × >¿þ�t »Â �_o���oIqÕiv��oM>:þBt × Ñ þ7>�{ � iÔ� Ñ þ7>Å÷�>�þBt©÷ Á §���i Ñ þ7>��p�¸ Iik��j�ik���«rco�{�]}Hnqlotuvwz�n x¸· � � � ->��o:rc�_o � ���¡��o � ��� w�oI�  �_o�ik��o�� �k�_~#�> I�knp I�_np��rmik�frci>�kj_j_��iSØÍ¥�p���£rco¤rc�_oO�Í�_�©wfo��±ikq:j_���¡��oI�áþ Á u } { � i�rmo�np��ï Á u } ðÆ� � np��ï Á ukð�{�]}Hnqlotuvwz�n x¸· � § � ÃÝ�p�_~ Á u� Iik�_��oI ���rc�«¨Uo© Iik��j�ik���«rco��Í�_� w�oI����{

Page 43: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

À ��]}Hnqlotuvwz�n xu· � « � � ��iÔ¨_o±rc�_�£rtZ�¡��rc�_o©ik�_n«l oW¨Uo���j_���p��o �Í�_� w�oI��{&ïsí¿ik�vo�º í oI�� Io�¦r©�p�����k�p~�rm�_��r�t��p��rm�_oOÎki4~�~_oI��rcÎ�j_���p��oI{pð�]}Hnqlotuvwz�n x¸· � ­ � � ��iÔ¨_o±rc�_�£r�pq Ñ �k�_~ZöB�k��o©j�ik���¦rm�¦¨_o�¡�mrmoI¹ko��������_ S�Zrc����r>ö�ü?t�k�_~ Ñ � ½�Á �¡��j_���¡��o�rc�_o�� Ñ � �_��rw�oOtk{M9bG±ÈÕå:��J�î¤��CÆÝA��´IÉ�ÈÕô7�¸t »p¾

Á þ�ÞZþ�Þ ÿ þ ����� þøÞ �#u�� � ï Þc� ½�Á ðÞ ½ Á�¶µ�Ç¿��ÈÕô^

Þ � ½�Á �îï Þ ½ Á ð Á þøÞzþøÞ ÿ þ ����� þ�Þ �vu��Ès�ÆÞ�Ú� Á ÇIå:ò¸ö�ü Á F ;�]}Hnqlotuvwz�n x¸· � ® � ï��kð�ÙÖ�±t�� ½�Á �kn«�>�Slf�±j_���p��o©�pqföMü|t � }�Øfj_np�k�¡��{�ï�w_ð¸ÙÖ�¸t�� ½�Á�kn«���Ôlf�±j����p��o��pq�öà�p�¸j����p��o � }�Ø5j�n¡�k�p�_{�]}Hnqlotuvwz�n x¸· �±�n� ª_�_iÔ� rm�_��r��pqfý��k�_~�� �k��o�j����p��o����k�_~�ý × �/§�rc�_o���ý����/{

Page 44: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

À � ÀÅãáä!åáÃÅÄÆæ çvиè�åÆæ�ê ìPÄ5Â'�HìPé¥ÄÆæáÇ

Page 45: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

áO�_��¹kik�kn��p�rc�_�p�¸ S�_�kj�rmoI���¡�Ýrmi�j���iÔ¨Uo�rc�_oOqÕiknpnpiS���p�_¹�qÕ�_�_~_�v��o��mrc�kn_rc��oIik��oI��{��� nq�clonq� x�x � x�Z8��� nÊ�7�j���jrK��n/�I��rK� �V� nq��lonq� ��pE{~lov�� � ��n/�©v�t�\�� CÆòA��´·�ÈÕå:�D�¾ZA��´�öü÷ Á ÉSÇIå ³ �>ú!´·È��D����å ° åUÈ8D ° �c� ��ÈÕåÛ�¶µ��^�I�I´ ²

öø�9ý � ý ÿ ����� ýRï ¼ú!µ���´���B#ÈÕô�Ç��5�IôSÈ��¶ÈbòA�>ÈÕå:���¾ZA��´�ÇIå:ò¸ý � ¼ ý ÿ ¼m»m»I»I¼ ýRï�ÇI´��^��´·È ² ��ô�ô7Ç¿��ÈÕô(����ÈÕåCZ

ý � þBý ÿ þ ����� þBýRï »~±� ² ÇI´�W ÁkÁ { Á F5ÙÖq¿ö��àý � ý ÿ ����� ýRï����_o���o¤o��k S�KýRÓ5�p�Ýj_���¡��oI§v�>o¤ ��kn¡n/rc�_�p�frm�_o �jl»vw��npsrKtu����lovw¯urK��vw��� ikq­öÝ{  �_oIiv��oI� ÁvÁ { Á �p����ik��o�rm�¡��o��±��rc��rmoI~��v��qÕikn¡npiÔ����º

}�¨Uo���l&�p�mrco�¹koI�5öü÷ Á  I�k� wfo¤oWØfj_��o�����o�~��k�Ý�>j���iA~_�_ �rÝö��àý � ý ÿ ����� ýRqÕik����ik��o#jfiv���«rc�«¨Uo��¡�mrmoI¹ko���B/§5����oI��o�o��k S�&ýRÓ¤�¡�Kj����p��o#�v�_~zrc�_�p�KqÕ�k �¥rciv���SñI��rm�¡ik�Þ�p���_�_�pÌA��o o�Øf �oIj�r qÕik�Ðrc��o�iv��~_o���ikq�rm�_oOj_���p��oI�!ýRÓ({

� i�rmo�qÕiv��o�Øf�k��j_npo�rm�_��r� ukuÐ� t � t � t �kÀ�� � � �� t �vÀ�� t � � � t � �� À�� � � t � t � t � �oWrc I{

� oI���_�kj_��rc�_oO�_�p Io���r¸���ÔlzrmiO�����¦rmo¤rc�_oOj_���¡��oOqÕ�k �rmik���SñI�£rc�pik��ivq � uvu��p�� ukuÐ� t z �kÀ�� � ÿ »

À �

Page 46: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

À � ÀÅã!ä!åáÃÅÄÆæ$ç¸ç¸è$� Â!êPð(�HÄ3í£ämÀ�Ã�Á¥æ�êQ« ä�ÃÅê�Á�ÂÙÖ��¹voI�_o����kn��«r©�¡�� InpoI�v�!rm�_��r�öü÷ Á  I�v��w�oË�����«r�rmoI�����_�¡ÌÍ�_o�n¦l¬�p�#rc�_oOqÕik���

ï Ïkð öø�àý H�ñ� ý H�òÿ ����� ý H�óï §���iv��o:B]ü ÁI¼���_o���o�ý � ß ý ÿ ß ����� ß ý�ï>�k�_~ Ñ Ójü Á qÕik���knpn*>�{¸ª�ik��o�rc�p��oI� ï Ïkð��p�������¦r�rco��

ö��ï

Óõô �ý H÷öÓ »

í o���o ��rm�k�_~_��qÕik��j���iA~_�_ �rm§�Æ��_��r©�k� ��rm�k�_~_�¸qÕik�����_��{ i�j_��iS¨_o  ��oIik��oI� ÁkÁ { Á �>o©�_o�oI~�rci�¢_����r©oI��rm�kw_np�¡������qÕo�� n¡o������v��{

²&n/���Mr xcx � x � ��� Ñ × ÎdÜ ÇIå:ò©¹v I~�ï Ñ ¼ Î ðÆ� Á �¶µ���å Ñ × Ü Fû�´��c���©F¸ª_�p�_ Io�¹k �~�ï Ñ ¼ Î ðÆ� Á wmlÑפo©ñ�ik��rmÜ¡� ù oI�����Orm�_oI��o©�k��o�Bc§+<����� S��rc����r

Á � Ñ B^þ Î < »ÙÖqU��o�� �_n«rc�pj_n«l¬wfi£rc�Þ���p~_oI�±wml Ü �>o©¹koWr

Ü � Ü�Ñ BËþ Ü�Î <¥� Ñ ï Ü B/ð�þ ï ÎdÜ ð�< »×®là�k�����_��j�rm�¡iv� Ñ × ÎdÜ {�h�n¡o��k��n«l Ñ × Ñ ï Ü Bcð ��ik§Ëwml  �_oIiv��oI� À { Á § Ñ ~_�¦¨f�p~_oI�¸rc�_onp�¡�_o��k�� Iik�©w_�p�_��rc�pik� Ñ ï Ü B/ð�þ ï ÎdÜ ð <�� Ü {�¨nRE��jvw��vw�c� x�x � x � yBo����Ôlzrc�_�£r Ñ �k�_~ Î �k��o�´��c��Ç¿��ÈbòA�c� ����´£È ² � �pq:¹k I~�ï Ñ ¼ Î ð&� Á {

ª_iZ�>o&���SlB��o���rm��rco ù o������ ÁkÁ { Á �v�qÕiknpn¡iÔ����º'��� Ñ × ÎdÜ ÇIå:ò Ñ ÈÕôZ´��c��Ç¿��ÈbòA�c� ���´·È ² ���� Î ��µ���å Ñ × Ü F�]}Hr£�M�j��n x�x � x � ÙÚr�p�>�_i£r±rm���_o�¹koI��oI���vn¡n«lÞrc�_��r¸���_o�� Ñ × ÎdÜ rm�_oI� Ñ × Î iv� Ñ × Ü {íik�Oo�Øf�k��j_npoI§ � × ¾Ð� � §^w_��r � ¾ �k�_~ � � { � i£rcoKrc�_��r ù oI����� ÁkÁ { Á ~_iAoI����ܦr�kj_j�n¦lÑ��oI��oO���¡�_ �o©¹v I~:ï � ¼I¾ ð�Ú� Á �k��~�¹k �~�ï � ¼ � ðáÚ� Á {²&n/���Mr xcx � ��Z �!��tu�wvw�¥°±z¿²&n/���Mr+\�� ����ý�ÈÕô#Ǹ��´£È ² � ÇIå:ò±ý × ÑqÎ ^¸�¶µ���åzý × Ñ �I´ý × Î Fû�´��c���©F¸Ï>�����_��oÞrc�_��rÞý × ÑqÎ { ÙÖq±ý × Ñ �>o¬�v��oÑ~_ik�_o�{øª_�_j_j�ik��oÞý Ñ { ù o�rG �N¹k I~�ï�ý ¼ Ñ ð�{ � i�rcoËrm�_��r G ÷Nu#�k�_~ G × ýÞ�v�_~ G × Ñ {�ª_�¡�� Io G × ý�>o����S¨_o G � Áik� G �NýU{�ÙÖq G Ú� Á rc��oI� G �NýU{�פ�7r�rc�_�p�K���Ôlf�¤rc�_�£r�ý × Ñ §f���_�p S�&��o#�k�����_��o�~�>�k���_i�r�rc���_oI{�ª�iK�>oO� �_��r���S¨_o G � Á { í oI�_ �oO¹k I~:ï�ý ¼ Ñ ð�� Á �k�_~#ý × Ñ/Î {�ª_i�wmlù oI����� ÁvÁ { Á §�ý × Î {

Page 47: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

À �²înq���Mr xcx �±�1� T®�c��ý ³ �©��´·È ² ��FªT®�c� Ñ � ¼ Ñ ÿ ¼m»m»m»£¼ Ñ � ^±ö ü Á ^ ³ ��ÈÕå:�D�¾ZA��´·ô»F����ý × Ñ � Ñ ÿ ����� Ñ � ^¸�¶µ���å�ý × Ñ Ó:�I�I´�Ç¿�^���SÇIô7�Å�Iå:�0>îØ+Õ Á�¼ t ¼m»m»I»�¼ ö Ö Fû�´I�c���©F!yÓoK�_��oK�¡��~_�_ �rm�¡iv��ik�öÐ{  �_oK��o����_n«r©�¡�� �n¡o��k���¡qUöø� Á {�ϱ�����_��o�rm�_��r�rm�_on¡o������©�_iknp~_�^qÕik��ö ���_ S��rm�_��r Á þBöMþ��4{ ù o�rcÜp�^���_iÔ���«r±�_iknp~_�ÅqÕiv��öø���^þ Á {¤ª_i�k�����_��o¤ýz�p�¤� j����p��o>�k�_~ ý × Ñ � Ñ ÿ ����� Ñ � Ñ � ï�� { ù o�r Ñ � Ñ � Ñ ÿ ����� Ñ � �v�_~ Î � Ñ � ï�� { �_oI�2ý × Ñ iv�±ý × Î wml ù o������ ÁvÁ {¡tv{ ÙÖqÝý × Ñ � Ñ � ����� Ñ � §¤wml¬rc�_oz�p�_~_�� �rc�pik��ml5j�i�rm�_oI���¡��§�ý × Ñ Ó:qÕik�Å��ik��o�>îØ+Õ ÁI¼I»m»m»£¼ � Ö {¤ÙÖq�ý × Î � Ñ � ï�� rc�_o�� ý × Ñ � ï�� {�ª_i¸�>o I�k�����Sl ý × Ñ Ó�qÕik�®��ik��o2>îØ+Õ ÁI¼ t ¼m»m»m»£¼ �Ðþ Á�Ö {Ū_i¤rm�_o¤npoI��������ikn¡~��!qÕik�5öø���Ðþ Á {í o��_ Io�wml � Ê ÙË�«r ��ikn¡~��¸qÕiv���kn¡n4öMü Á {²înq���Mr x�x � ��Z �!}Hvwz���nq��tun�k!rKlo�|��p ��� nq��l»nq� xcx � x \R� ����ö ÷ Á ��µ���å*�¶µ���´���XÝcÈÕô7�_��´·È ² ��ôËý � ¼m»m»m»�¼ ýRïË�I�I´Oô7� ² ��B]ü Á ô ° É�µÑ��µ�Ç¿�

öø�Bý � ý ÿ ����� ýRïÇIå:ò¸ý � þÓý ÿ þ ����� þBýRï Fû�´I�c���©F � ��i4ivq¤wmlB�p�_~_�� �rc�pik� ik��öݧ®���«rc� ��rc�k��rc�p�_¹Z¨4�knp�_o öó� tvº&ÙÖqÝö��øt�rm�_oI����p�_ Io�tz�p�Kj_���¡��o>�>o# I�k��rm�k�vo�ý � � tk§nB>� Á {�Ï>�����_��o�rc�_o n¡o������Þ�_iknp~_��qÕiv�Ëö���_ S��rc�_�£r tmþÓö�þ���{ ù o�rcÜp�¸���_iÔ�î�«r��_iknp~_�¸qÕik�Ýöø���Kþ Á {�ÙÖq1��þ Á �p��j_���p��o��>o I�k� rm�k�vo=B!� Á �k��~ý � ���±þ Á �k�_~ �>o��k��o>~_ik�_o�{�ÙÖq1��þ Á �p�¤ �ik��jfik���¦rmoË��oK ��k������«rco��þ Á � ÑqÎ ���_oI��o Á ߶Ñ�ß ��þ Á �v�_~ Á ßõÎ�ß �Oþ Á {O×®l&rm�_o �p�_~_�� �rc�pik��ml5j�i�rm�_oI���¡��rc�_o���oO�k��oOj_���¡��o��^ý � ¼m»m»m»�¼ ýRø��k�_~�� � ¼m»I»m»I¼ �Ãù ���� S��rc����r

Ñ �àý � ����� ýRø��k�_~ Î ��� � ����� �¦ù »Â �_�p�±¹k�«¨Uo��±��� �Kþ Á � Ñ/Î �Bý � ý ÿ ����� ýRø�� � � ÿ ����� �¦ù ¼rc�_�£r��p�(��þ Á �p���üj_��i4~��_ �r�ikq>j����p��o���{ ù oWrpBÏ�ûúÑþ�ü�{*×®l*��o�ik��~�oI���p�_¹ü�k�_~��o�n¡�kw�oInp�p�_¹O����oI��o��_o� IoI�����k��lÞ��o��_�Ô¨Uo

�Oþ Á �àý � ý ÿ ����� ýRï���_oI��oËý � þBý ÿ þ ����� þBýRï·{¤ª_i±rm�_o>npoI������_iknp~_�ÅqÕik�:öø���¤þ Á { í oI�� Io�wml � Ê ÙÖ§�¦r©�_ivn¡~_��qÕik���vn¡n�öü÷ Á {²înq���Mr x�x � §�Z0¹ �jv�ºI��nq�jn/z©z¢k]rKlo����p ��� n/��lonq� xcx � x \R� T®�c�

ö��9ý � ý ÿ ����� ý�ï��I�I´Kô7� ² ��B!ü ÁI¼

Page 48: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

¾ u ÀÅã!ä!åáÃÅÄÆæ$ç¸ç¸è$� Â!êPð(�HÄ3í£ämÀ�Ã�Á¥æ�êQ« ä�ÃÅê�Á�ÂÇIå:ò

öø��� � � ÿ ����� � Ù �I�I´Oô7� ² �0<�ü Á�¼ú!µ���´��^ý � ¼I»m»m»I¼ ýRï ¼ � � ¼m»I»m»I¼ � Ù ÇI´��^��´·È ² ��ô�ô7Ç¿�¶ÈÕô(���7ÈÕåCZ

ý � þBý ÿ þ ����� þÓýRïÇIå:ò � � þ�� ÿ þ ����� þ�� Ù »æ�µ���åC^ý<´�.B�ÇIå:ò¸ýRÓ ���ÃÓ��I�I´M>&� ÁI¼ t ¼m»m»m»£¼ < Fû�´��c���©F¸áO�_�Ëj���iAikq��p�¤wml2�p�_~_�_ Wrc�pik�zik�aB/{�ª��_j_j�ik��o_B�� Á {  ��oI�öø�Bý � �p�¤j_���¡��o�k�_~�>o©���S¨_o

ý � �àöø��� � � ÿ ����� � Ù »ÙÖqn<�÷ Á §�rc�_�p�  �ik�mrc���k~_�p �rc�¸rc�_oZqÕ�k �r�rc�_�£rý � �¡�©j_���p��oI{¬ª_i?<¿� Á �v�_~��>o��_�Ô¨Uoý � �.� � §��k�:~_oI���¡��oI~_{ � iÔ�*�k�����_��o®rc��oÅ��oI����n¦r¤�_iknp~_�ÐqÕik�:�knpnFB¤���_ S�±rm�_��r Á þ�Báþ���{yBo��>�k�mr�rci�����iS�Nrc�_��r��«r©�_iknp~_��qÕik�AB!����þ Á {�ª_i��k�����_��o

öø�Bý � ý ÿ ����� ý � ý � ï���k�_~

öø��� � � ÿ ����� � Ù���_o���oý � þ ý ÿ þ ����� þ ý � ï�� �k�_~�� � þþ� ÿ þ ����� þþ� Ù { h�npoI�v��n«l ý � ï�� × ö ��iý � ï�� × � � ����� � Ù {Óª_iÑwml ù oI����� ÁkÁ { À ý � ï�� × �ÃÓ�qÕik�#��ik��oc>¢Ø Õ ÁI¼ t ¼I»m»m»£¼ < Ö {BÙÚrqÕiknpn¡iÔ����qÕ��iv�x}�ØfoI�� ��¡��o Á uv{ � rc����r¸ý � ï�� ���¦Ó�{ í o��_ Io�ý � ï�� �.�ÃÓ�þ�� Ù {×®l9�����¡���pn¡�k� �k��¹k����o��mr�� Ù × öN��i[� Ù × ý � ����� ý � ï�� �v�_~�� Ù � ýRÿ#qÕik�©��ik��o��A{í o��_ Io:� Ù �BýRÿ´þBý � ï�� {  �_�p�¸���_iÔ���!rc�_��r

ý � ï�� þ�� Ù þBý � ï����iOý � ï�� ��� Ù { � i�rmo¤rc�_��r

ý � ý ÿ ����� ý � ý � ï�� ��� � � ÿ ����� � Ùsu�� � Ùª_�p�_ Io�ý � ï�� ��� Ù �>oO I�k�� I�v�_ Io�nUrm�_�p�¸j����p��o�qÕ��iv�xw�i�rc�Þ���p~_o��±�k��~��>o©���S¨_o

ý � ý ÿ ����� ý � ��� � � ÿ ����� � Ùsu�� »� iÔ� wml�rm�_o �p�_~_�� �rc�pik�Ñ�mlfjfi�rm�_oI���¡���~�N< ½?Á �k�_~�ýRÓ�� �¦ÓÅqÕiv��>�� ÁI¼I»m»m»£¼ < ½?Á { �Í�_�Ë�>o#�_�Ô¨Uo��©þ Á ��<��k�_~zý�Ó&�V�ÃÓËqÕik�0>á� ÁI¼ t ¼m»I»m»�¼ <·{#ª_i rc�_o n¡o������Þ�_iknp~_�qÕik�AB����Kþ Á �k�_~�wml&rc�_o � Ê ÙÖ§��«r ��ikn¡~��¸qÕiv���kn¡nfBáü Á {

Page 49: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

¾­Á� iÔ� rc��o�j���iAikqÅivq  �_o�ik��o�� ÁkÁ { Á qÕikn¡npiÔ���©�p����oI~_�p��rco�n¦làqÕ��ik� ù oI�����k� ÁkÁ { ¾�k�_~ ÁkÁ { � {~±� ² ÇI´�W ÁvÁ {¡tCF^ÙÖq Ñ �k�_~ Î �k��o�jfik���¦rm�¦¨_oZ�p�mrco�¹koI�����>o� I�k�¬¢_�_~¬j_���p��oI��ý � ¼m»I»m»I¼ ý ��k�_~��¡�mrmoI¹ko���� Ñ � ¼m»m»m»�¼ Ñ � ¼ Î � ¼m»I»m»I¼ Î � oI�v S�|ü u����� S�Zrc�_�£r

ï Ï�Ïkð Ñ �9ý H ñ� ý H òÿ ����� ý H���Î �Bý J ñ� ý J òÿÏ����� ý J ��íik��o�Øf�k��j_npoI§��pq Ñ � � uku��k�_~ Î �Nt � t���o��_�Ô¨Uo

� ukuÐ�Nt z �kÀ � � � ÿ � � ût � tÐ�Nt ÿ �kÀ ÿ � �û� � »

ÙÚr©qÕikn¡npiÔ���Ýrc�_��r¹k I~:ï � uku ¼ t � tkð � t ÿ �kÀ � � � û � � û »

ÙÖ��¹voI�_o����knp§��¡q Ñ �k��~ Î �v��oO¹k�«¨UoI��wmlBï Ï�ÏkðÐ�>oO�_�Ô¨Uo¹k I~�ï Ñ ¼ Î ð&�9ý���� ê × H�ñ�

J ñ�Ø� ý��� ê × H�ò�� J ò Øÿ ����� ý���� ê × H � �J � Ø� »

 �_�p�®¹k�«¨Uo��®iv�_o��>�ÔlKrci� I�vn¡ ��_n¡�£rco�rc�_o�¹k �~���´��©òcÈ�ò¿�SòËlUik�© I�k��qÕ�k �rmik��w�i�rc���Í�_� w�oI����{פ��r>¹koI��oI���vn¡n«l���j�oI�k�Í�p�_¹qÕ�k Wrcik��� ñ���rc�pik���¡�&òA��´·�&òIÈ �ÓÉ ° ���Q �áO�Krc�_o¸i�rm�_oI�^�_�k�_~�§Írm�_o}��_ Inp�¡~�oI�k���kn¡¹vik���«rc�_�x�¡����o�n¡�£rc�«¨UoIn«l¬qÕ�k��rc{�]}Hnqlotuvwz�n x�x � x � ÃÝ�p�_~©rm�_o¸j_���p��o>qÕ�k Wrcik��� ñ���rc�pik�_�^ikq ÁkÁ£¾ � �v�_~ Á � Á � wml�rc��lf�¡�_¹©�knpnj_���p��oI��ýEþ r ÁkÁ�¾ � ï�ýEþ r Á � Á � ð��¡�����_ � Io������pik�_{

Page 50: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

¾ t ÀÅã!ä!åáÃÅÄÆæ$ç¸ç¸è$� Â!êPð(�HÄ3í£ämÀ�Ã�Á¥æ�êQ« ä�ÃÅê�Á�Â

Page 51: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

ÃÝ�p�_~_�p�_¹Kn¡�v��¹koÅj_���p��oI�!�k�_~#j���iÔ¨f�¡�_¹Ërm�_��r®rc�_oWlz�k��o¤�p�_~_oIo�~�j_���p��o¤�¡�Ð�_i�r�o��k��lk{¤áO�_o���ÔlÞrci�¢_��~�np�k��¹koOj_���¡��o��±�p��rmiZnpiAik�z��r©�Í�_� w�oI���^rm�_��r��_�Ô¨Uo©��ik��o���j�oI ��¡�kn�qÕik����§qÕik��o�Øf�k��j_npoI§��Í�_� w�oI���ËikqÍrc�_o¸qÕik��� Ñ ��þ Á iv� Ñ � ½ÛÁ {�ÙÚr±�p�Åo��k��l#rmiO���_npo±iv��r±��ik��o¨4�kn¡��oI�¸ikq Ñ �k�_~�öÝ{�íik��o�Øf�k��j_npo���oO�_�Ô¨Uo�º��� nq�clonq� x¸� � x � T®�c� Ñ ÷ Á ÇIå:ò±ö ÷ Á F�æ�µ���åï Á ð Ñ � ½�Á ÈÕôÅ��´·È ² ��U Ñ �Nt�ÇIå:ò¸öÓÈÕôË��´·È ² �ï�tkð Ñ � þ Á ÈÕôË��´£È ² �lU Ñ ÈÕô��XòA��åÛÇIå:ò¸öø� t � �I�I´Oô7� ² ���¿ü Á F

û�´I�c��� ���`w y F�yÓoK�Í�_iÔ�îqÕ��ik� }�ØfoI�� I�p��o�tk{ � §�j_�k¹ko � §�rm�_��r

ï�Ïkð Ñ � ½�Á �îï Ñ ½�Á ðcï Ñ �vu�� þ ����� þ Ñ þ Á ð� i�rmoÐrc�_�£r¸�¡q Ñ ÷ tO�k��~Oöü÷ Á rm�_oI� Ñ ½ Á ÷ Á �k�_~ Ñ �#u��vþ ����� þ Ñ þ Á ÷ Ñ þ Á ÷ À��i�wfi�rm�üqÕ�v �rciv�����¡�Bï Ïkð��k��o�÷ Á �k�_~ Ñ � ½ Á �¡���_i�r�j_���¡��oI{ í oI�� Io��pq Ñ � ½ Á �p�j_���p��o±�>o� �_��r��_�Ô¨Uo Ñ � tv{ � iS� ���_j_j�ik��ot�� ½ Á �¡��j����p��o�{¸yBo Inp�k�p� rc�_��r>ö�¡��j_���¡��o�{±ÙÖq:�_i�r�öø��B¯<Å����oI��o Á ß B ß öݧ Á ß < ß öÝ{  �_o��

t � ½�Á �Nt ï Ù ½ Á � ï�t ï ð Ù ½ Á�¡�Ëj_���p��oI{�פ��r¤�>oËÆ��_��rO���_iÔ�>oI~#rc�_�£rK�pq Ñ � ½*Á �p��j_���p��oÅ�>oK� �_��r��_�Ô¨Uo Ñ � tk{�ª_i��o � �_��r��_�Ô¨Uot ï � tk{ í oI�_ �o�BV� Á §²<!� öÐ{ ª_i öÓ�¡����i�r# �ik��jfik���¦rmoI{ í oI�_ �o�ö� �_��rw�oOj_���p��oI{  �_�p�±j���iÔ¨Uo��ï Á ð�{

¾kÀ

Page 52: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

¾k¾ ÀÅãáä!åáÃÅÄÆæ$çt��è�íÅÄ&æ�ìPä�Ã�å&æ�ê ìPÄÆÇ|äáÂ��õìPÄÆæáÇ£Ä&ÂáÂ!Ä5åÆæ�ê ìPÄÆÇû�´��c���©���w¡% y F¸Ã­��iv� ï Ïkð�iv��j_{ ¾vÀ �>oO�_�Ô¨Uoï Ïkð Ñ � ½�Á � ï Ñ ½ Á ðcï Ñ �vu�� þ Ñ �#u ÿ þ ����� þ Ñ þ Á ð »L¸oIj_np�k Io Ñ wml ½ Ñ �p� ï�Ïkð��k�_~��o�¹koWrï Ï�Ïkð ï ½ Ñ ð � ½�Á �îï ½ Ñ ½ Á ð ï ½ Ñ ð �#u�� þ ï ½ Ñ ð �vu ÿ þ ����� þ ï ½ Ñ ð�þ Áª_�p�_ Iozö �¡�ziA~_~_§�ö ½xÁ �¡�zoW¨Uo��_§±ö ½ t �¡�ziA~_~_§ »m»I» §Oo�rc �{¡§��>o��_�Ô¨Uoàï ½ Ñ ð � �½ Ñ � ¼ ï ½ Ñ ðs�vu��Æ� Ñ �vu�� ¼ ï ½ Ñ ðs�vu ÿ � ½ Ñ �#u ÿ ¼I»m»m» §5o�rc �{�ª_i2ï�Ï�ÏkðÐlf�¡o�n¡~_�

½ ï Ñ � þ Á ð�� ½ ï Ñ þ Á ð Ñ �#u�� ½ Ñ �vu ÿ þ ����� þ ½ Ñ þ Á »Ê �_n«rc�pj_n«lf�¡�_¹Zwfi£rc�Þ���p~_oI�¸wml ½�Á �>o�¹vo�r

ï Ñ � þ Á ð�� ï Ñ þ Á ðcï Ñ �#u�� ½ Ñ �#u ÿ þ ������½ Ñ þ Á ð���_o���öà�p�¸iA~_~_{�ÙÖq­ö�ü tK�>oO�_�Ô¨Uo Á ß�Ñ þ Á ßóÑ �±þ Á {  ���¡�¸���_iÔ���!rc�_�£r��¡q­öà�¡�iA~_~z�k�_~ Ñ ÷ Á § Ñ �¤þ Á �p�¤�_i�rOj����p��o�{�ª_�_j_j�ik��o¤ö�� t ï <Ý���_oI��oD<±�p�¤iA~_~_{  ��oI�Þ�¡qÑ � þ Á �¡�¤j����p��o^��o����S¨_o�ï Ñ ÿ ó ð Ù þ Á �p�¤j_���¡��oI{�×Ë��rOwmlZ������rË�>oÅÆ��_��rO���_iÔ�>oI~rc���¡� I�v�_�_i�r�w�o#j_���¡��o#�pqf<��p�Ki4~�~��k�_~a<Ðüîtk{�ª_i �>o#� �_��r��_�Ô¨Uo_<(� Á �k�_~zö � t ï {Ï>np��i Ñ � þ Á j_���p��o��¡��j_np�¡o��:rm�_��r Ñ �p�ÅoW¨Uo������p�_ �o>�pq Ñ �p�^i4~_~���i©�p� Ñ � {  �_o�� Ñ � þ Á�>ik�_np~ wfo�o�¨_oI�_{  �_oZik�_n«lBoW¨Uo�� j_���p��o��p� tk{�פ�7rz���¡�_ �o©�>o��k�����_��o Ñ ÷ Á ��o�_�Ô¨Uo Ñ ü t���i Ñ �>þ Á ü À {�¨nRE��jvw��vw�c� x¸� � x � Ï �Í�_�©wfo���ikq5rm�_oqÕik����� � � t�� ½|Á §fö ü tk§®�¡�>���k�p~Zrci�wfo� µ¶nqloz�nq���jnø�H���¦��nql {�ÙÖq�� � �p�>j����p��o�§Ð�«r#�p�> ��kn¡npoI~�� µ¶nql»z©n/�j�jn��jlov���n {©Ï�Í�_� w�oI�Kivq5rc�_oqÕiv����� � � t�× ÿ Ø þ Á §fö ü uk§Ð�p�� I�vn¡npoI~�� �7nqlo�MrK�~�H�j�¦��nql {�ÙÖq� � �¡��j_���¡��oI§��«r©�¡�� I�vn¡npoI~�� �jnqlo�Mr£���jlov���n {

áO�_o ���Ôlüj_��iÔ¨Uo�rc�_�£r��cû(� À §�� � � � §�� ÿ � Á � §�� z ��t � � �v�_~�� � � � � � À ��k��o¬j����p��o���{ Ï>�#ö��¡�� I��o��k��o���rm�_oÑ�A��� w�oI����� � � tR× ÿ Ø þ Á �¡�_ ���o��k��o¬�¡�*���SñIo¨Uo���lü���vj_�¡~�n¦lk§:�v�_~��k��oO�_i�r©oI�k��lÞrci� S�_oI S��qÕik��j_���p���knp�¦rÖlk{�ÙÚr©�¡�¸�Í�_iÔ���Zrc�_�£r�� � �¡� Iiv��j�ik���¦rmo�qÕik�Ý���k�ml ¨4�knp�_oI�!ivqÍöøü � {  �_�p�!�¡�_ �n¡��~_oI���knpn�öÑ���_ S��rc�_��r � þBö�þ À u�k�_~���np�k��¹ko©�Í�_� w�oI��ivq!i�rc�_o��^¨4�knp�_oI�>ikq5öÓ�p�_ �n¡�_~��¡�_¹ À � t ¾k¾ � ï�rm�_o np�k��¹voI��rik�_o©Ù�Í�_iÔ� ivq�ð�{¤ÙÚr��¡�Ë�_iÔ�  �ik��Æ�oI Wrc�_��oI~#rc�_�£r�� � �¡�� �ik��jfik���¦rmoKqÕik�®ö�ü � {�ª�i#Ã�o�������rmÜ¡�ik���¡¹k�p�_�knÝrm�_ik�_¹k�mrZrc�_��r�� � �¡�Zj_���p��o2qÕik�Oögü uü��oIo���� rci w�o�j_��o�r�rÖl qÕ�k��qÕ��iv���o��knp�¦rÖlk{�]}Hnqlotuvwz�n x¸� � x � -±��o Ê �kj�n¡o±rmi�qÕ�k Wrcik��� � {zâ¦Ä�i©rci��k�ml  ��k��j_�_�� �ik��j_��rco���np�kw_{h�np�¡ S�&ik��~�ik�_w_npo�¥Ô Inp�¡ S�&ik�rm�_o Ê �kj_npoO�¡ �ik�áe iv���k���©rm�_oOn¡�vw��v�����p��rm�k�mr±����oI��o��«r��¡�npi4 ���rco�~_{Ðy|�_oI��rc�_o¤���p�_~_iÔ�î �ik��oI�¸�_j_§�rÖlfjfoO��r�rm�_oOj_��iv��j7r÷ rc�_oOqÕiknpn¡iÔ���p�_¹kº

Page 53: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

¾ ��������! �"�#�$&%('�)�*+'-,/.+0�1

í �«r�rc�_oO��oWrc�_������o�l¬�k��~�l_ik�����pnpn�¹ko�r�rc��o��v�_���>oI��{¡ã� z � t�z ½ Á � � �p�^� Ê o�����oI�_�_o¸j_���¡��o��k�_~�� � � t�� ½ Á � Á � �¡�!� Ê o�����o��_�_o�Í�_� w�oI�����_�¡ S�ü�¡���_i�rZ��j_���p��oI{�ÏÐr�¢�����r��«r��>�k��rc�_iv�_¹k�mr©rm�_��r?��2¿�xt 2 ½ Á �p�j_���p��oÅ���_o��_o�¨_oI�Ýýz�p�¤j_���¡��o�{�פ��r�� �Q� � t��Q� ½BÁ � tku ¾ � � t ÀÆ� �¸� �¡�¤��i�r�j����p��o�{á�¨_oI��rc�_o�l_oI�k����j�oIivj_n¡o��_�Ô¨Uo� �ik�mrc�p�A��oI~�rmi#�>ik���2ik�&rc�_o#j_��ikw_npoI� ikq^~_oWrcoI��¥

���¡�_�p�_¹üqÕik�����_�¡ S�Bj_���p��oI�©ý_§=��2Ï� t 2 ½xÁ �p�Zj_���¡��o�{  iü~_��rmo À � Ê o�����o��_�_oj_���p��oI�O�_�Ô¨Uo#w�oIo��ÑqÕik�_�_~_{�ÙÚr��p�K�Í�_iÔ���Þrm�_��r�t 2 ½ Á �p�Kj_���p��o#�¡q�ýÑ�p�Kik�_o#ikq�rm�_oqÕiknpn¡iÔ���p�_¹ À � j_���p��oI�¤tk§ À § � § � § Á£À § Á � § Á � § ÀUÁ § � Á § � � § Á u � § Á t � § � t Á § � u � § Á t � � §tktku À §�tvt � Á § À t Á � § ¾ t � À § ¾k¾ t À § �¸�¸�¸� § � � ¾­Á § ÁkÁ t Á�À § Á �¸� À � §­t Á � u Á §Ut À tku � § ¾v¾k¾ � � §�¸� t ¾vÀ § ÁkÁ u � u À § Á£À tku ¾ � §5t Á � u � Á § � � �¸� À � § � � � ¾kÀkÀ § Á t � �¸� � � § Á�À �¸� t �¸� §5t � � � tkt Á §À ukt Á£À �¸� § �¸� � t � � À § Á£Àk¾ �¸�¸� Á � { �_o&n¡�v��¹ko���r�ik�_o�§A� �|zQ�QÛQÛQ{P�QÜ � tR�|zQ�QÛQÛQ{P�QÜ ½�Á §Ð�>�k�qÕik���_~Ûik� � iÔ¨_oI� w�oI� Á�¾ §tkuku Á {  �_oÅ~_oI ��¡���kn4��o�j_��o���oI�mrm��rc�pik�#ikq�rm�_�p�Ð�Í�_� w�oI�®�_�k� ¾¿¼ u � Àk¼ � ¾ � ~_�p¹k�«rc��{ËÙÚr®�>�k�qÕik�_�_~�wml#rc�_o!rco��k� ikq Ê �p S�_�ko�nfh��k��o���ik�_§­Ä�oIik��¹koÝyÓivn¦rm���v�_§­ª_ Ii�r�r W ����iÔ�����Í�Ð�c�Ç¿� §f�v�Å�©j_�k��r>ikqÍrc�_o ¬ lonqrK�V���H��nqlo�jn/�mµ¶nql»z©n/�j�jn~kVlovw�Mn~ËjnqrKlot �®Z0¬ ��µ¶kmË1\ §��o�oKh��_���p��h��knp~���o�n¡npÜp�¸j��k¹ko�qÕik�Å��ik��o��vwfik�7r¤rc�_�p��{  ���¡��j_���¡��oK �ik�_np~&wfoÅrm�_o À � rc�Ê oI����o��_�_oj_���¡��o�ï��p��ik��~_oI�¸ikq®���SñIoIð�§®w���r±�>o����¡npn�ik�_n«l¬�A��iS� rm�_�p�±qÕik�����_��o����_oI�Ä©Ù Ê � ª& �ik��j_npo�rco��Ðrco���rc�p�_¹��knpnfoWØfjfik��oI�mrc��w�oInpiÔ� rm�_�¡�Ëik�_oI{ Ý ik�& ��k�z¢_�_~ rm�_o�np�¡���rci�h��_���p�h��knp~��>oInpn¡Üp�#j_�k¹koZik��rm�_o� �n¡�v�����l5npnp�kw_�_�iv� �¸l9�_ik��o�j_�k¹ko�{ ù ��rmoI�¸�>o���_iÔ� rm�_oO Iik���_oI Wrc�pik��w�o�rÖ�>oIo�� Ê o�����o��_�_o©j_���p��oI�¸�k�_~ ��n/lopsnqtu�¿�H�j�¦��nql»z {²înq���Mr x¸� � x � ���A� � ÈÕôÅ��´·È ² �X^���µ���åzöÓÈÕôË��´·È ² ��Fû�´I�c���©F  �_�¡���p���¡����oI~_�p��rmo©qÕ��ik�  �_o�ik��o�� Á tk{ Á ï Á ð�{ �_o���ik��r�w_�k���p �ÌÍ�_oI��rc�pik���kw�ik��r Ê oI����oI�_��o¸j����p��o��!�¡��º´f�´�����µ���´��^ÈÕåv�:åUÈ����c� � ² ÇIåU�� ��´·ô7��åUå:����´·È ² ��ô43�]}Hnqlotuvwz�n x¸� � � � /Ko�rmoI�����p�_o������¡ S� Ê o�����oI�_�_o��Í�_�©wfo����x� � �k��o�j_���¡��o����_oI�t�þÒö�þ Á tk{ Ý ik�����Ôl ����o Ê �kj_npo©qÕik�!rc���¡�¸o�ØfoI�� I�p��o�{  �_o Ê �kj�n¡o© Iik�����k�_~�qÕik�~_o�rmoI�����p�_�p�_¹�����o�rc��oI�¸ik���_i�r©�k�Þ�p�crmoI¹ko��±�Þ�p��j_���p��o©�p��!5�6+$���78�%:9�0�1 �_oÑqÕikn¡npiÔ���¡��¹ j_���p���kn¡�«rÖlÓrmoI��r¬qÕiv� Ê oI����o��_�_oÑ�Í�_� w�oI�������k��oI�Þ�¦r�oI�k���¡o�� rci

 S�_oI S����_oWrc�_o��±iv���_i�r��2O�¡��j_���¡��o����_oI��ý��p����n¡�k��¹koOj_���p��oI{

Page 54: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

¾ � ÀÅãáä!åáÃÅÄÆæ$çt��è�íÅÄ&æ�ìPä�Ã�å&æ�ê ìPÄÆÇ|äáÂ��õìPÄÆæáÇ£Ä&ÂáÂ!Ä5åÆæ�ê ìPÄÆÇ��� nq��l»nq� x¸� � �®Z0��� nϲî�jturKz�ö8²în � �MnqlPµ¶nqloz�nq���jn�kmlovw�Mn � nqz���\R� T®�c�fý ³ �ÇIåài4~_~���´·È ² ��FîY����:å:���µ��>ô7�D ° ��å:ÉS�

3 � ¼ 3 ÿ ¼ 3 z ¼m»m»m»�¼ 3;2 u��³ ���¶µ��>´ ° ����ô 3 � � ¾ÇIå:ò��I�I´`�¿ü t¸^ 3 � � ï63 ÿ� u�� ½ tkð!��i4~(��2 »æ�µ���å[��2ÈÕô^��´£È ² �>Ès��ÇIå:òz�Iå:� �ZÈs��3<2 u�� � uCF

â  ��o#j_��iAikq!ikq5rm�_�¡�>�¡�K�_i£r#oI�v��l¿{�áO�_oj�n¡�k �o>rciz¢��_~Ñ�zj_��iAikq!�p�Årc��owfiAik�5NWϪ_o�n¡o� �rc�pik�©ikq � ��ikw_npoI���®�p��rc�_o  �_o�ik��l�ikq � ��� w�oI����Î>wml�y|{¿ª_�poI��j_�p�_���Í�p§ � o���¹k�k��ik�� ��o�����§ Á � � ¾ {pã�]}Hr£�M�j��n xu� � x �´ù o�r¸ý�� � {  ��oI�p��2á�.� � � ÀUÁ {

3 � � ¾3 ÿ �îï ¾ ÿ ½ tkð!��iA~ ÀUÁ � Á�¾ ��iA~ À­Á � Á�¾3 z �îï Á�¾ ÿ ½ tkð���iA~ À­Á � Á � ¾ ��iA~ À­Á � �3 � �îï � ÿ ½ tkð!��iA~ ÀUÁ � � t���iA~ À­Á � u »í o��_ Io�wmlzrc��o ù �_ ��k��¥ ù oI�_��oI�!rco���rm§f� � � À­Á �¡�¸j_���p��oI{�]}Hnqlotuvwz�n x¸� �±�1� ª_��iS� �_���p�_¹Krc�_o ù �_ ��k��¥ ù oI�_��oI�!rco���r�rc����r:� Ü � Á t � �p��j_���p��oI{~±� ² ÇI´dW Á tk{ Á F � i�rmo±rc����r�rc��o ù �_ I�k��¥ ù oI����o��Ërco���r�qÕik����2V� t 2 ½ Á rm�k�vo��Kik�_n«lý ½ Á ��rco�j_��{�áO�Krc�_o�i�rm�_oI���_�k��~_§­�¡qfik�_o���r�rmoI��j�rm��rmi©j���iÔ¨Uol��2±j����p��o�wml#rco���rm�¡�_¹�knpn�j_���p��oI�!þ ��2©ik�_o�� ����r# �ik�_���¡~_o��±�vwfik�7r t>= ò ��rmoIj_��{  �_�¡�¸�p� Ê -±h í np�k��¹voI�rc���k�#ý��p��¹voI�_o����knp{

Page 55: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

�¨nFEj�jv��©v���� x �1� x � íik�Ýöü÷ u�~_oI¢_��oIº½ ï�öÝðÆ�9rm�_oO�A��� w�oI�¸ikq®j�ik���¦rm�¦¨_o©~_�«¨f�¡��ik���¸ikq­ö ¼¼ ï�öÝðÆ�9rm�_oO���_� ivq­rm�_oOjfik���¦rm�¦¨_o©~��¦¨f�p��ik���±ikq­ö »

�]}HrK�����wn x �1� x � Á tÐ� À�� t ÿ �_�k��j�ik���«rc�«¨Uo�~_�«¨5�p��iv���ÁI¼ t ¼IÀk¼I¾¿¼ � ¼kÁ t »

í o��_ Io½ ï Á tkð�� �

�k�_~¼ ï Á tkð�� Á þ9t¸þ À þ ¾ þ � þ Á tm� t � »

�¨nFEj�jv��©v���� x �1� � � Ï jfiv���«rc�«¨Uo#~_�«¨f�¡��ik� G ivq�öÓ�¡�����k�p~&rmi&wfo � ��lo����nql��jvw�Hvwz���likq­ö9�pq G>ß öÐ{!yBoO~_oI��i�rco¤rc��o����_� ikq:�knpn�j_��ivjfo��¸~��¦¨f�p��ik���±ikq­öàwml ¼@? ï¶öÐð�{� i�rmo�rm�_��r©�pq�ö�ü t�rc�_o��

¼ ? ï¶öÝð�� ¼ ï¶öÐð ½ ö »�]}HrK�����wn x �1� � �´¼ ? ï Á tkð�� Á � {�¨nFEj�jv��©v���� x �1�±�n� öü÷ Á �¡� ��nqlopsnqtu� �pq ¼�? ï¶öÐð&�9öÝ{�]}HrK�����wn x �1�±�1�  �_o�j_��ikj�oI�Z~_�«¨5�p��iv���zikq � �k��o Á §>t �k�_~ À { ª_i ¼@? ï � ð~� � { �_oI��oIqÕik��o � �p��jfo���qÕoI Wrc{

¾ �

Page 56: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

¾ � ÀÅã!äáåáÃÅÄ&æ çtK�èÊÃÅã!Ä5í`� Â�À�ÃÅê�Á¥ÂáÇ ¼ ä!Âl� ½�]}Hnqlotuvwz�n x �1� x � � ��iÔ¨Uo�rc����r�t � �¡��j�oI��qÕoI �rm{

 �_o���o�ØÍrrc��oIik��oI� ���_iÔ��������p��j_n¡oO���Ôl¬rci� Iik��j_��rmo ¼ ï�öÝð©�k�_~ ½ ï¶öÐð qÕ��iv�rc��o�j����p��oOqÕ�k Wrcik��� ñ���rc�pik�Þikq�öÝ{��� nq��l»nq� x �1� x � TÐ�c�

öø�Bý+A ñ� ý+A òÿ ����� ý A�B� ¼ 3�ü ÁI¼ú!µ���´��¸ý � ß ý ÿ ß ����� ß ý � ÇI´��¸��´·È ² ��ô&ÇIå:ò?� Ó�ü u��I�I´��SÇ¿É�µ(>mØàÕ ÁI¼ t ¼m»I»m»�¼ 3 Ö Fæ�µ���åï Á ð ½ ï¶öÝðÆ� ï � � þ Á ðmï � ÿ þ Á ð ����� ï � � þ Á ð

ï�tvð ¼ ï�öÝð�� ý A ñ ï��� ½�Áý � ½�Áý A ò ï��ÿ ½�Áý ÿ ½�Á �����

ý A B ï��� ½ Áý � ½ ÁF

פoIqÕiv��o�j_��iÔ¨f�p�_¹¸rm�_�¡��npo�rmÜ¡�^n¡iAik�©��r±�k�ZoWØf�k��j_n¡o�{  �v�vo�ö�� � tm� � � � �Nt z �ÔÀ ÿm{ �_o¤rc��oIik��oI� ���Ôlf�½ ï � tkðÆ� ï À þ Á ðcï�t¸þ Á ð�� Á t¼ ï � tvð�� t�� ½�Át ½�Á

À z ½�ÁÀ¸½�Á

� Á � �UÁ£À � Á � � »â«û^´��c�������æ�µ��S�I´I� ² Á�À { Á w y ã�Ã���ik� rc��o í�_�_~_�v��o��mrc�kn  �_oIik��oI� ikqÝϱ���«rc�_��o�rm�¡ o�¨_oI��l j�ik���¦rm�¦¨_o qÕ�k Wrcik� G ikq�ö¬���pn¡n:�_�Ô¨Uo©�¦rm�±j����p��o�qÕ�k Wrcik���± �ik���¡�_¹ZqÕ��ik� rm�_ik��o©ikqöÝ{ í oI�_ �o G × ö9�SR G �àý+C ñ� ý�C òÿ ����� ý C B� ����oI��o�qÕik��o��k S��>�º

uVþ*��Ó7þ�� Ó »Â �_��r¬�p��§ qÕik�&oI�k S�à��Ó>�>oÑ I�k�* S�_iAik��oÑ�2¨4�kn¡��o¬�p� rc�_oÑ��o�rüikq:� Ó�þ Á �A��� w�oI���Õku ¼¿Á�¼ t ¼m»m»I»£¼ � Ó Ö {Þª_ik§^�¡�¬�knpn¡§�rm�_oI��oZ�k��o�ï � � þ Á ðcï�� ÿ þ Á ð ����� ï�� � þ Á ðK S�_ik�p IoI�©qÕik�rc��o�oWØfjfik��oI�mrc�á� � ¼ � ÿ ¼m»m»I»I¼ � � {�ª_i�ï Á ð¸��ikn¡~���{â«û^´��c���©���w¡% y ã4yÓoO¢_����r©oI��rc�kw�n¡�p����rÖ��i�n¡o������v��{²&n/���Mr x �1� x � T®�c�Ðöý� ÑqÎ ú!µ���´I� Ñ ÷�u¸^ Î ÷�uÓÇIå:ò�¹k �~:ï Ñ ¼ Î ð�� Á F æ�µ���å¼ ï�öÝðÆ� ¼ ï Ñ ð ¼ ï Î ð�Fû�´��c���©F¸ª_�p�_ Io Ñ �v�_~ Î �_�Ô¨Uo¸ik�_n«l Á �k�!�O Iik����ik��qÕ�k �rmik��§U�����p�_¹�rm�_o�í�_�_~_�k��o��crm�kn �_o�ik��o�� ivqÝÏ>���¦rm�_��o�rc�p  �«r �¡�±oI�k��l�rmi���oIo¸rm�_��r G × ÑqÎl  G � G � G ÿ ���_o���o G � × Ñ

Page 57: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

¾ ��k�_~ G ÿ × Î {  �_�£r��¡��§5rc�_o#~_�«¨f�¡��ik���Oikq ÑqÎ �v��oj_��i4~��_ �rm��ivq�rm�_o~_�«¨f�¡��ik���Oikq Ñ �k�_~rc�_oO~_�«¨f�¡��ik���¸ikq Î { ù oWr

ÁI¼ Ñ � ¼I»m»m»I¼ Ñ ï~_oI��i�rco¤rc��o�~��¦¨f�p��ik���>ikq Ñ �k��~�npo�r

ÁI¼ Î � ¼m»m»m»�¼ Î Ù~_oI��i�rco¤rc��o�~��¦¨f�p��ik���>ikq Î {  ��oI�

¼ ï Ñ ðÆ� Á þ Ñ � þ Ñ ÿ þ ����� þ Ñ ï ¼¼ ï Î ðÆ� Á þ Î � þ Î ÿ þ ����� þ Î Ù »Â �_o�~_�¦¨f�p��ik���±ivq�öø� ÑqÎ  ��k��wfoOnp�¡��rcoI~��k��qÕiknpn¡iÔ���

Á�¼ Î � ¼ Î ÿ ¼m»m»m»�¼ Î Ù ¼Ñ � �­ÁI¼ Ñ � � Î � ¼ Ñ � � Î ÿ ¼I»m»m»I¼ Ñ � � Î Ù ¼Ñ ÿ �­ÁI¼ Ñ ÿ � Î � ¼ Ñ ÿ � Î ÿ ¼I»m»m»I¼ Ñ ÿ � Î Ù ¼{{{Ñ ï �­Á�¼ Ñ ï � Î � ¼ Ñ ï � Î ÿ ¼m»m»m»£¼ Ñ ï � Î Ù »

ÙÚr2�p���¡��j�ik��rm�k�mrZrmi �_i�rmo�rm�_��r����p�_ IoED ÜtG ï Ñ ¼ Î ðE� Á § Ñ Ó Î ÿ|� Ñ � ÎF �p��j_np�¡o���rc����rÑ Ó7� Ñ � �v�_~ Î ÿ´� Î�F {  �_��r©�¡�Ýrm�_oI��o��v��oO�_i���o�jfoWrc�«rc�pik�_�¸�¡�#rc�_oO�kw�iÔ¨UoO�k�����Ôl¿{ÙÖq��>o©���_� oI�v S����iÔ� ��oO¹koWr

Á þ Î � þ ����� þ Î Ù � ¼ ï Î ðÑ � Á þ Ñ � Î � þ ����� þ Ñ � Î Ù � Ñ � ¼ ï Î ð{{{Ñ ï �­Á þ Ñ ï Î � þ ����� þ Ñ ï Î Ù � Ñ ï ¼ ï Î ð »

×®lÑ�k~�~_�¡��¹Orm�_oI��o©j_�v��rc�p�kn����_����rmik¹koWrc�_o��!�>oO¹ko�r¼ ï¶öÐðÆ� ¼ ï Î ð�þ Ñ � ¼ ï Î ð�þ Ñ ÿ ¼ ï Î ð:þ ����� þ Ñ z ¼ ï Î ð� ï Á þ Ñ � þ Ñ ÿ þ ����� þ Ñ ï£ð ¼ ï Î ð� ¼ ï Ñ ð ¼ ï Î ð »

 �_�p�±j_��iÔ¨UoI�!rc��o�npoI�����k{

Page 58: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

� u ÀÅã!äáåáÃÅÄ&æ çtK�èÊÃÅã!Ä5í`� Â�À�ÃÅê�Á¥ÂáÇ ¼ ä!Âl� ½²&n/���Mr x �1� � � ���!ý�ÈÕô�Ǹ��´·È ² �ÇIå:òc�¿ü u�ú¸�>µ�Ç©òA�

¼ ï�ýR��ð�� ý � ï�� ½ Áý ½�Á »û�´��c���©F¸ª_�p�_ Io�ý��¡��j_���¡��o�§Urm�_oO~_�«¨5�p��iv���¸ikq�ý � �k��o ÁI¼ ý ¼ ý ÿ ¼I»m»m»I¼ ý � { í oI�_ �o

¼ ï¶ý � ð�� Á þüý�þüý ÿ þ ����� þüý � � ý � ï�� ½ Áý ½�Á ¼�k��~_o����p��oI~�{û�´��c���©���&æ�µ��S�I´�� ² Á£À { Á w¡% y wSÉS�Iå:�¶ÈÕå ° �Sò y F ù oWr©ö3�?ý+A ñ� ý+A òÿ ����� ý A�B� {ÞáO�_�Oj_��iAikq^�¡�wml��¡�_~��_ �rm�¡ik��ik�34{¤ÙÖq*3�� Á §Aöø�9ý A ñ� �v�_~©rc��o±��oI����n¦rOqÕivn¡npiÔ���ËqÕ��iv� ù o������ Á�À {ptk{ª_�_j�jfik��o^rm�_o���o����_n«rK�p�:rm���_o^���_oI� Á þ�3¿þ&��{¤h�iv�_���p~_oI�Ë�_iÔ�*rm�_o> ��k��o03¿�.��þ Á { �_��r©�p��§�npo�r

öÏ�Bý A ñ� ����� ý A �� ý A �HG ñ� ï�����_o���o�rc�_oOj_���¡��oI�^ý � ¼m»I»m»I¼ ý � ¼ ý � ï�� �v��oO~_�p��rc�p�_ Wr�k��~�� Ójü uk{ ù oWr Ñ �Óý A ñ������� ý A �� §Î �àý A �HG ñ� ï�� {Åh�n¡o��k��n«l�¹k I~�ï Ñ ¼ Î ð&� Á {Ū�i�wml ù o������ Á£À { Á ��oË�_�Ô¨Uo ¼ ï�öÝð�� ¼ ï Ñ ð ¼ ï Î ð�{×®lzrm�_oO�¡��~_�_ �rm�¡iv���mlfjfi£rc�_o����p�

¼ ï Ñ ðÆ� ý A ñ ï��� ½�Áý � ½�Á �����ý A � ï��� ½ Áý � ½ Á

�k�_~Þwml ù oI����� Á£À {¡t¼ ï Î ð&� ý A �HG ñ ï��� ï�� ½�Áý � ï�� ½�Á�k�_~Þ�«r©qÕikn¡npiÔ���Ýrc�_��r

¼ ï¶öÐðÆ� ý+A ñ ï��� ½ Áý � ½ Á �����ý A �HG ñ ï��� ï�� ½�Áý � ï�� ½�Á »

ª_i�rc��o���oI���_n¦r �_iknp~_��qÕik�23��.�Oþ Á {�×®l � Ê ÙË�¦r��_ivn¡~_�¸qÕik�23¿ü Á {�]}Hnqlotuvwz�n x �1� � � ÃÝ�p�_~ ¼ ï¶öÐð��k�_~ ½ ï¶öÐð�qÕik�Ðrc�_oOqÕiknpnpiS���p�_¹K¨4�kn¡��oI��ikqföÐ{ï Á ð�öø� � ukuï�tvð�öø� ¾ �¸�ï À ð�öø� À t

Page 59: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

� Áï ¾ ð#öø� Á t �ï � ð#öø� Á uvt ¾

�]}Hnqlotuvwz�n x �1�±�1� /KoWrco������¡��o©���_�p S�*ï��pq¤�k�mlfð ikq®rm�_o��Í�_�©wfo����#�p� }�ØfoI�� ��¡��o Á�À {pt�k��oOj�oI��qÕoI �rm{�]}Hnqlotuvwz�n x �1� � � /KiAoI� ù oI����� Á�À { Á ��ikn¡~¬�pq��>o���oIj�n¡�k �o ¼ wml ¼@? � 9bG±ÈÕå:��JÑæ�µ��ÇIåUôSú¸��´OÈÕô�å:�©^ ³�° ���:å:ò&�XÝ��Ð� È�É�È���å °4²�³ ��´·ô Ñ ÇIå:ò Î ô ° É�µü��µ�Ç¿�¤��µ��K´���ô ° ���U�IÇIÈ�� ôK���c�¹k I~�ï Ñ ¼ Î ðÆ� Á F ;

Page 60: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

� t ÀÅã!äáåáÃÅÄ&æ çtK�èÊÃÅã!Ä5í`� Â�À�ÃÅê�Á¥ÂáÇ ¼ ä!Âl� ½

Page 61: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

ÙÖq:l_ik� ~_i�����oI�v�� S� qÕiv��j�oI��qÕoI Wr��Í�_�©wfo����©�_j�rmi Á u ¼ ukukul_ik�����pn¡n!¢��_~ ik��n¦l�rm�_oqÕiknpn¡iÔ���p�_¹Zj�oI��qÕoI Wr �Í�_�©wfo�����º� � t �kÀ¿¼t � � t ÿ � � ¼

¾ � � � t � �kÀ­ÁI¼� Á t � � t Û �­Á t � »� i�rmo¤rc�_��r�tIÿá� ¾ §�t z � � §�t � � À tk§�t Ü � Á t � ��iK�>o��_�Ô¨UoIº

� � t � ï�t ÿ ½�Á ð ¼t � � t ÿ � ï�t z ½ Á ð ¼¾ �¸� � t � � ï�t � ½ Á ð ¼� Á t � � t Û � ï�t Ü ½ Á ð »

� i�rmo��knp��i±rm�_��r�tmÿ ½*Á §�t z ½*Á §ft � ½ Á §ft Ü ½ Á �k��o Ê oI����oI���_oOj_���p��oI��{�áO�_o±���p¹k�mr Iik�7Æ�oI �rm�_��o¸rc�_��r �knpn�jfo���qÕoI Wr#�Í�_�©wfo�����qÕiknpnpiS�Nrc�_�p�>j_�£r�rco����_{¤yBo©~��¡�� I�_���Ërci�������ro�ØÍrco��mr±rm�_�¡���p�±�Í�_iÔ���#rci�wfoËrm���_o�{ÝyÓoO��rm�k��r����«rc�#rc�_oOqÕiknpnpiS���p�_¹���o����_n«rc{��� nq�clonq� x¸� � x � ���Ët 2 ½ÛÁ ÈÕô�Ç]� ��´£ô7��åUå:�:��´·È ² �X^^��µ���åÞt 2 u�� � ï�t 2 ½ÛÁ ð¤ÈÕôÐ�5��´ �I�SÉc��Fû�´I�c���©F!yÓ���¦rmoa�¨� t 2 ½îÁ �k�_~ npo�r ö��øt 2 u��¦�/{üª��¡�_ �ox�Þ�¡�©i4~_~ �k�_~ j����p��o�§�wml �_oIiv��oI� Á�À { Á ï�tkð!��o©�_�Ô¨Uo ¼ ï¶öÐð¥� ¼ ï�t 2 u�� �/ð´� ÿ = u��ÿ u�� I

ò u��I u�� �xï�t 2 ½�Á ðcï �¤þ

Á ðÆ� ï�t 2 ½ Á ð�t2 � tIöÐ{  �_��r©�p��§ ¼ ï�öÝðÆ�NtIöà�k��~�öÛ�p�±j�oI��qÕoI Wrc{

� À

Page 62: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

� ¾ ÀÅã!äáåáÃÅÄ&æ çtm�è�åÆÄÆæáí ÄáÀ�à Â�� ìPé´Ä&æ�Ç|äáÂ��õìPÄÆæáÇ£Ä&ÂáÂ!Ä5åÆæ�ê ìPÄÆÇ� iÔ�N�>o����_iÔ� rm�_��r��knpn��XòA��å j�oI��qÕo� �r©�Í�_� w�oI���±���S¨_o�rm�_oO Iik�7Æ�oI �rm�_��o�~�qÕik����{

��� nq��l»nq� xu� � � � ���Kö ÈÕôÑ�XòA��å ÇIå:ò��5��´ �I�SÉc����µ���å���µ���´���ÈÕôÑÇ�� ��´£ô7��åUå:�K��´£È ² �t 2 ½�Á ô ° É�µÑ��µ�Ç¿�­öÏ� t 2 u�� ï�t 2 ½�Á ð�Fû�´��c���©F ù o�r±öBw�o�o�¨Uo��2�k�_~�jfo���qÕo� �rc{Kª��¡�_ �o±ö9�¡�¸o�¨_oI�_§�ö+� t©Ó qÕik����ik��oáÓÑ{^yÓorc�v�voOik��r©�k�����k�ml¬j�iS�>oI���±ivq®t��k��j�ik�����¡w_npo�ikw�rc�v�¡�_�p�_¹ï Ïkð ö��Nt � � � ¼ ��ü Á §f� iA~_~ »ª_�p�_ Io�öÞ�p��jfo���qÕoI Wr ¼@? ï¶öÐð��Böݧmrm�_��r^�p��§ ¼ ï¶öÐð�� tIöÝ{^ª_�p�_ Io0�Ë�p��iA~_~_§Í¹k I~:ï�t � ¼ �7ð�� Á §��i�wml ù oI�����k� Á�À¿»DÁ �v�_~ Á�À¿» tkº

¼ ï¶öÝðÆ� ¼ ï�t � ð ¼ ï��7ðÆ� ï�t � ï�� ½ Á ð ¼ ï��7𠻪_i��>o©�_�Ô¨_o

t � ï�� �!� tIöÏ� ¼ ï¶öÐð&� ï�t � ï�� ½�Á ð ¼ ï��7ð ¼�_o��_ Ioï Ï�Ïkð t � ï�� �]� ï�t � ï�� ½ Á ð ¼ ï �/ð »� iÔ� ¼@? ï �/ðÆ� ¼ ï��7ð ½ �/§���i

¼ ï��7ð�� ¼ ? ï �/ð�þ­� »� ��r�rm�¡��¹Orm�_�¡���p� ï�Ï�ÏkðÐ��oO¹koWr

t � ï�� �]� ï�t � ï�� ½�Á ðmï ¼ ? ï �/ð�þ­�/ðik�

t � ï�� �]� ï�t � ï�� ½�Á ð ¼ ? ï �/ð�þBt � ï�� � ½ ����_�p S���p��j_n¡�poI�ï Ï@Ï@Ïkð ¼ ? ï �/ðcï�t � ï�� ½�Á ð��.� »ÙÖ�ài�rc�_o�����ik��~_��§ ¼ ? ï �/ð��¡���Ñ~_�«¨5�p��iv�Zikq��7{*ª_�p�_ Io��3ü Á �>o����S¨_o�t � ï�� ½ Á ü¾©½îÁ � À {Ûª_i ¼ ? ï �/ð �p�#��j_��ikjfo��~_�«¨f�¡��ik��ikq@�7{Ûפ��r ¼ ? ï �/ð�p�±rc�_o&���_� ivq Ç¿�Õ�j_��ikjfo��±~��¦¨f�p��ik���>ikq±�/{  �_�p�> ��k�2ik��n¦l¬�_�vj_jfo��2�pq±��_�k�±ik�_n«l¬ik�_o�j_��ikj�oI�¸~_�«¨f�¡��ik��{ �_�p�©��o��k�_��rc�_��r(�z�©�_��r�w�o�j����p��o��k��~ ¼@? ï �/ð(� Á {  �_o��Òï�Ï_Ï`ÏkðK���_iÔ���¸rm�_��r�¿��t � ï�� ½?Á {zª_i'�Z�©�_��rZw�o�� Ê oI����oI���_o�j_���¡��o#�k��~7�þ Á � ý¬�p�Kj_���p��oI{&ª_iöø�Nt 2 u�� � ï�t 2 ½�Á ð�§��k��~_o����p��o�~_{

Page 63: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

�¸��¿�clo���w�wrKlo� x¸� � x � æ�µ���´I��ÈÕô�Ç ÁKJ¿Á ÉS�I´£´���ô(�5�Iå:ò¿��å:ÉS� ³ �c��ú¸�S��åÓo�¨_oI�&�5��´Ö�I�SÉc�:å °4² ¥³ ��´·ô�ÇIå:òV� ��´·ô7��åUå:����´·È ² ��ô»F��� lon/n|÷E��nq�MLE��nqz��©v����jzqâÁ {OÏ>��o¤rc�_o���oO�¡��¢_�_�«rcoIn«l¬���k�ml¬o�¨_oI��j�oI��qÕoI Wr �Í�_�©wfo���� �tk{OÏ>��o¤rc�_o���oO�¡��¢_�_�«rcoIn«l¬���k�ml Ê oI����o��_�_o j����p��o�� �À {OÏ>��o¤rc�_o���oO�k�ml¬i4~�~�j�oI��qÕoI Wr �Í�_�©wfo���� �ª_iZqÕ�v���_iZiv�_oO�_�k��qÕik�_�_~Þ�����p�_¹knpoOi4~_~�j�oI��qÕo� �r©�Í�_� w�oI��{±ÙÚr©�p���A��iS����rc�_�£r��¡q

�k��i4~_~Þj�oI��qÕoI �r©�Í�_�©wfo��±oWØ5�p��rm��§:�¦r��©�_��r w�o©÷ Á u � û {~±� ² ÇI´�W Á�¾ { Á F5ª_ik��o®rm�_�¡����rm�_��r�}��_ �n¡�p~_Üp�!�A��iS��npoI~�¹koÐrc�_�£r�t 2 u��mï�t 2 ½ÑÁ ðÐ�p�Ýjfo���qÕo� �r���_oI��t 2 ½ZÁ �¡��j_���¡��o!���Ôl��_�Ô¨Uo�w�oIo������¡����i�rc�«¨4��rc�pik�KqÕik��~�oI¢_�_�p�_¹�j_���¡��o��Í�_� w�oI����{

Page 64: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

� � ÀÅã!äáåáÃÅÄ&æ çtm�è�åÆÄÆæáí ÄáÀ�à Â�� ìPé´Ä&æ�Ç|äáÂ��õìPÄÆæáÇ£Ä&ÂáÂ!Ä5åÆæ�ê ìPÄÆÇ

Page 65: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

�¨nFEj�jv��©v���� x¸§ � x ��ù oWr�Ó ü uk{ZyBoO�����¦rmo Ñ�N Î ï���iA~�ÓÑð��¡q�Ó × Ñ ½ Î §Å�k�_~��oK���Ôl�rc����r Ñ �¡��ÉS�IåCZc´ ° ��å:��rmi α² �cò ° ���]ÓÑ{ í oI��o¥Ó �p�¤���v�¡~rci wfoËrm�_o ² �cò ° � ° ô������µ���ÉS�IåCZc´ ° ��å:ÉS��{  ��o#�_i�rc�£rc�pik� Ñ ÚN Î ï���iA~¿ÓÑð���oI�k�_�^rc�_��r�¦r�¡�>qÕ�kn¡��o±rc����rÑ�N*Î ï���iA~�ÓÑð�{�]}HrK�����wnqz x¸§ � x �ï Á ðÞt � N Á ï���i4~ ¾ ð����p�_ Io ¾ × t ¾ï�tkðÞt � ÚN tÒï���i4~ ¾ ð����p�_ Io ¾ t Àï À ð Á N ½�À ï���i4~ ¾ ð����p�_ �o ¾ × ¾ï ¾ ð Ñ�N*Î ï���iA~ Á ð�qÕik���knpn Ñ § Î ���p�_ Io¦N Á ~_�«¨5�p~_o��±oW¨UoI��lÍrc�_�p�_¹k{pÎï � ð Ñ�N*Î ï���iA~�uvð�S?U Ñ � Î qÕik���vn¡n Ñ § Î ���¡�� Io¦NWu�~_�¦¨f�p~_oI�±ik�_n«lÑuk{pÎ

~±� ² ÇI´�W Á � { Á F5Ï>�fl_ik�#��o�oI§vrm�_o¤ I�v��oI�HÓ � Á �k��~]Óð�Nu>�k��o¤��i�rШ_oI��lz�¡�mrmoI��o���rm�¡�_¹��i���ik��rmn¦lz�>o����¡npn�ik�_n«lÑw�o��p�mrco���oI��rco�~2�¡�#rc��o� ��k��o�Óðü tk{

ô�{~¡E¤���¤ ¬ � /Ki��_i£r �ik�_qÕ�_��o¸rc��o©�_��oikq®��iA~��p�p/Ko�¢_�_�«rc�pik� Á � { Á ���¦rm�Zrc����rikqý/Ko�¢_�_�«rc�pik� � { À {®yÓo����_�knpn���oIo!rc�_�£r^rm�_o!rÖ��i��_��o��Ëikq���i4~��k��o±��oInp��rco�~_§­w_��r>�_�Ô¨Uo~_�SRfo���oI�mr ��oI�k�_�p�_¹k��ºáL¸oI ��knpn

Ñ ��iA~ Î � 32���_oI��o�3Û�p��rc�_o���o����v�¡�_~�oI��¹k�¦¨_oI�9wclrc��o`/K�«¨f�¡���¡iv��ϱn¡¹kiv���«rc�_�?����oI� Ñ �¡�¸~_�«¨f�¡~_o�~�wml Î

� �

Page 66: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

� � ÀÅãáä!åáÃÅÄÆæ çv�¸èóÀ�Á¥Â�o�æ(�HÄ&Â>ÀÅÄÆÇ�k�_~Þwml"/KoI¢��_�¦rm�¡iv� Á � { Á

Ñ�N*Î ï���iA~�ÓÑð���oI�v�_�&Ó × Ñ ½ Î »�]}Hr£�M�j��n xu§ � � �

t � N � ï���i4~ ¾ ð��p�Ýrc����o ¼���p�_ �o ¾ × tku�w_��r t � � � ��iA~ ¾ �p�¸qÕ�vn¡��o ¼���p�_ �o�rm�_oOn¡��r�rco�����o��k�_�¸t � � Á {~±� ² ÇI´dW Á � {pt�F  �_o¤��iA~#�¡� ÑON¶Î ï���i4~¿ÓÑðÝ~_o�¢_�_o��^� ��vw�jrKlo�Plon/�wrK�©v���� §v���_oI��o�¥�k�Ýrc��o���iA~Þ�¡� Ñ ��i4~ Î �p��� �jvw��r£l»������nql»r£��vw�c� {µ¶��l»n���nqlo�Mvw�����w�����Æâ }�Ø5j���oI�����pik�_�±���_ S���k�

ÞP� t¾ ÿ � Á �Þ ÿ þBt�ÞP� ���¡�:ï Þ�ð�þ À

�k��oK I�knpn¡o�~ nqºH�jrK��vw����z {¸×:l¬�k�_�knpik¹�lk§�o�Øfj_��oI�����¡iv�_�>���_ S���k�Þ N t ï���iA~ Á � ðt � N � ï���iA~ � ð

Þ z þBt©Þ N � Þ ÿ þ À ï���iA~�t � ð�k��o! I�knpn¡o�~ tu���j��l»�jnq��tunqz {^פo�qÕik��o�~_�p�� ��_�����¡�_¹±qÕ�_��rm�_oI�_rm�_o!�k�_�knpik¹�lwfoWrÖ��o�oI�©oIÌÍ�_��¥rc�pik�_�©�k�_~  �ik�_¹k���_oI�� IoI��§Ð��o����_iÔ�îrc�_oZ��o�n¡��rm�¡iv�_���_�pj w�o�rÖ�>oIoI�2rm�_o�rÖ�>i2~_�SRfo���o��cr~_o�¢_�_�«rc�pik�_�¸ikq®��iA~_{��� nq��l»nq� x¸§ � x � Ý�I´¥Ó�÷ uÑÇIå:ò��I�I´ZÇ¿�Õ� Ñ ^ Î J

Ñ�N*Î ï���i4~�ÓÑð�S?U Ñ ��iA~(Óð� Î ��iA~ÐÓ »û�´��c���©F~NÉUÓΠϱ�����_��o&rm�_��r ÑPN Î ï���i4~¿ÓÑð�{ ù oWrx3 � � Ñ ��i4~(Ó �k�_~�3 ÿ �Î ��iA~mÓÑ{ÐyBo¤���k�mr¸rci�����iS�Nrc�_��rA3 � ��3 ÿ {�×®l¬~_o�¢_�_�«rc�pik���>o��_�Ô¨Uoï Á ð�Ó × Ñ ½ Î §ï�tvð Ñ ��Ó"� � þ73 � §5u�þ�3 � ß Óѧ��v�_~

Page 67: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

� �ï À ð Î ��Ó"� ÿ þ"3 ÿ §�umþ�3 ÿ ß ÓÃ���ik� ï Á ðÐ��oOikw7rc�k�p� Ñ ½ Î ��Óx<

qÕik����iv��oA<·{ í o��_ IoÑ � Óx<Ðþ Î »->���¡�_¹�ï�tvð��k�_~ ï À ðÐ�>o©��oIo�rc�_�£r

Ñ � Ó"� � þ73 � � Ó ï � ÿ þ"<·ð�þ73 ÿ »ª_�p�_ Io�u�þ 3 � ß Ó �k��~üu�þ 3 ÿ ß Ó wml¬rm�_o��_�_�pÌÍ�_oI�_o����j��k��rZikq�rc�_o�/K�«¨5�p���pik�Ï>np¹kik���¦rm�_�?�>o�ivw�rc�k�p��3 � ��3 ÿ §��k��~_o����p��o�~_{NxSÓÎüÏ>�����_��o�rc�_�£r Ñ ��iA~mÓ � Î ��i4~(ÓÑ{ÒyÓo�� �_��rÑ����iS�ørm�_��r ÑMN Îï���iA~�ÓÑð�{ ù oWrl3>� Ñ ��iA~mÓ � Î ��i4~(Óѧ�rm�_oI��wcl�~_oI¢_���¦rm�¡ik����oO�_�Ô¨_o

Ñ ��Ó"� � þ73 ¼ umþ�3 ß Ó ¼�k�_~

Î � Ó"� ÿ þ73 ¼ umþ�3 ß Ó »í o��_ Io

Ñ ½ Î ��Ó ï�� � ½ � ÿ ð »Â �_�p�±���_iÔ����rm�_��r Ó × Ñ ½ Î �k�_~Þ�_o��_ Io Ñ�N*Î ï���iA~�ÓÑð�§��k��~_oI���¡��oI~_{�]}Hnqlotuvwz�n x¸§ � x � � ��iÔ¨Uo�rc�_�£r qÕiv���kn¡n-Ó ÷Nu��k�_~�qÕik���knpn Ñ º

Ñ�N¶Ñ ��iA~ÐÓ ï���i4~¿ÓÑð »�]}Hnqlotuvwz�n x¸§ � � � ->���¡��¹�/KoI¢��_�¦rm�¡iv� Á � { Á ����iS� rc�_��rOrm�_o�qÕikn¡npiÔ���¡��¹� �ik�_¹k���_oI�_ �oI��k��o¤rm���_o

À � � N À tvt ï���iA~ À ð½OÀ � � N ½OÀ tkt ï���i4~ À ð

Á N ½ZÁ � ï���iA~ À ðÀkÀ N u ï���i4~ À ð »

�]}Hnqlotuvwz�n x¸§ �±�1� ->��o  �_oIiv��oI� Á � { Á rmi ���_iÔ�*rm�_��rÅrc�_o± Iik�_¹v���_o��_ Io����¡�z}�ØfoI�� I�p��oÁ � {pt��k��o¤¨4�knp�¡~_{

Page 68: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

� u ÀÅãáä!åáÃÅÄÆæ çv�¸èóÀ�Á¥Â�o�æ(�HÄ&Â>ÀÅÄÆÇ�]}Hnqlotuvwz�n x¸§ � � � ï��kð�ª_�_iÔ� rm�_��r Ñ �p�ZoW¨UoI�   ÑQN uÓï���iA~�tkð��k��~ Ñ �p�ZiA~_~  ÑRN Á ï���iA~�tkð�{Òï�w_ð©ª��_iÔ��rm�_��r Ñ �p� oW¨Uo��   Ñ ��i4~�tP�øu��k��~ Ñ �¡�iA~_~  Ñ ��i4~�tÐ� Á {�]}Hnqlotuvwz�n xu§ � § � ª_�_iÔ�|rc�_�£r#�pq7Ó ÷ uz�k��~ Ñ �p���k�ml �¡�mrco�¹koI��§5rc�_o���o�p��� ° åUÈ8D ° ��p�crmoI¹ko��±3�Ø+Õku ¼¿ÁI¼ t ¼m»m»m»·¼ Ó ½�Á©Ö ���_ S��rc�_�£r Ñ�N 3Nï���i4~¿ÓÑð�{�]}Hnqlotuvwz�n xu§ � « � ÃÐ�¡�_~Þ�p�mrcoI¹voI��� Ñ �k�_~ Î ���� S��rm�_��rOu ßóÑ>ß Á � §5u ßóÎ�ß Á � �k�_~ÑqÎSN uÒï���i4~ Á � ð�{�]}Hnqlotuvwz�n x¸§ � ­ � ÃÐ�¡�_~��¡�mrco�¹koI��� Ñ �k�_~ Î ���_ S�©rm�_��r Á ßàÑ>ß Á � § Á ßó뫧 Á � §­�k�_~ÑqÎSN Á ï���i4~ Á � ð�{�]}Hnqlotuvwz�n x¸§ � ® � ª_�_iÔ� rc�_��r©�pq G × Ó �k�_~ G ÷*uk§�rc��oI�

Ñ�N*Î ï���iA~¿ÓÑð�U Ñ�N*Î ï���iA~ G ð »Â �_o¸�_o�ØÍrËrÖ�>i¸rm�_oIiv��oI���Å���_iÔ�Órm�_��r> Iik�_¹v���_o��_ Io��Ë�k�_~ZoIÌÍ�_��rm�¡iv�_�Å���_�k��o>���k�ml

���p���¡np�k��j_��ikjfo���rm�¡o���{��� nq��l»nq� x¸§ � �NZ �����j��l»�jnq��tun|v�z�rK�5nqºH�jv��-rK�wnq��tunÏlonq��r£��vw�c�ì\R� Ý�I´ZÇ¿�Õ� Ñ ^ Î ^Ü ÇIå:ò�Ó ÷*uzú¸�>µ�Ç©òA�ï Á ð ÑONõÑ ï���i4~¿ÓÑð â lon k nq}Hvw�Hvw�d� ãï�tvð ÑONõÎ ï���i4~�ÓÑð�U ÎSN*Ñ ï���iA~�ÓÑð â z©�H�M��n/�©l»� ãï À ð ÑONõÎ ï���i4~�ÓÑð�ÇIå:ò ÎSN*Ü ï���iA~�ÓÑð0U Ñ�N*Ü ï���iA~�ÓÑð â ��lorK�jz�vw��vw�Hvw�d� ã

û�´��c���©���Óï Á ð�F Ñ ½ Ñ � uÐ� u � Óѧ���iÐÓ × Ñ ½ Ñ { í oI�_ �o Ñ�N*Ñ ï���iA~¿ÓÑð�{û�´��c���©���Óï�tkð�F¸ÙÖq ÑTN Î ï���iA~¿ÓÑð�§�rm�_oI��Ó × Ñ ½ Î { í o��_ Io Ñ ½ Î �àÓ"�/{ í o��_ IoÎ ½ Ñ � Ó9ï ½ �/ð�§���i(Ó × Î ½ Ñ { í oI�_ �o ÎUN*Ñ ï���i4~¿ÓÑð�{û�´��c���©���Óï À ð�F¸ÙÖq ÑVN Î ï���i4~¿ÓÑð��k�_~ ÎWN Ü ï���i4~¿ÓÑðKrc�_o���Ó × Ñ ½ Î �k�_~Ó × Î ½ Ü {�×®lzrm�_oKnp�¡�_o��k���«rÖlÑj_��ikj�oI��rÖlEÓ × ï Ñ ½ Î ð�þ ï Î ½ Ü ð�{  ����r��¡��§£Ó × Ñ ½ Ü {í o��_ Io Ñ�N*Ü ï���iA~�ÓÑð�{L±o� I�knpn�rc����r�� �����w�H�j���MvwrK� �p�¸�v��oWØ5j���oI�����pik�2ikqUrc��o�qÕiv���

�!ï_Þ�ðÆ� Ñ � Þ � þ Ñ �#u�� Þ �#u�� þ ����� þ Ñ � Þzþ Ñ û »í o���o��>o����pn¡n!�k�����_��oOrc�_��rOrm�_o� IiAo�¢� I�poI�mrc� Ñ � ¼m»I»m»I¼ Ñ ûZ�k��o��p�crmoI¹ko������k�_~¨ÞÓ�knp��i��o�j_��o���o��crm�>�k�Þ�p�mrcoI¹voI�!¨��v���p�kw_npoI{ í o���o�§:ivq® �ik�_����oI§Uö�ü u��k�_~�öÛ�¡�¸�k�Þ�¡�mrmoI¹ko���{

Page 69: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

� Á��� nq�clonq� x¸§ �±�1� ��� Ñ�N*Î ï���iA~�ÓÑðÇIå:ò ÜSN&G ï���iA~�ÓÑð0^¸�¶µ���åï Á ð Ñ ^ ÜUN*Î ^ G ï���iA~�ÓÑðï�tkð ÑqÜUN*Î÷G ï���i4~�ÓÑðï À ð Ñ � N*Î �Nï���iA~¿ÓÑð^�I�I´ZÇ¿�Õ�7ö�ü Áï ¾ ð��!ï Ñ ð N �!ï Î ð2ï���iA~¿ÓÑð:�I�I´�Ç¿�Õ�·�5�¿� �7å:� ² È�Ç¿� ô¥�!ï Þ�ðËú!È���µÈÕå:���¾ZA��´�ÉS�c�X�ÒÉ�È���å:��ô»F

û�´I�c��� ���Bï Á ð�F  iÞj_��iS¨_o�ï Á ðK���¡�_ �o Ñ ½ Ü � Ñ þ ï ½ Ü ð�§!�«r����*¢� �oI��rciÞj_��iS¨_o�ik�_n«lrc�_o�NWþø I�k��oI{pÎ ×:lB�v��������j7rc�pik�¦Ó × Ñ ½ Î �k�_~PÓ × Ü ½ G {ü×®lBn¡�p�_oI�v���«rÖl¿§ Ó ×ï Ñ ½ Î ð�þ ï Ü ½ G ð�§�rc�_��r��p��Ó × ï Ñ þ Ü ð ½ ï Î þ G ð�{ í oI�_ �o

Ñ þ ÜUN*Î þ G ï���iA~�ÓÑð »

û�´I�c��� ���Bï�tkð�F¸ª_�¡�� Io�Ó × Ñ ½ Î �k�_~�Ó × Ü ½ G wcl�n¡�p�_oI�v���«rÖlÓ × Ü ï Ñ ½ Î ð:þ Î ï Ü ½ G ð »

� iÔ� Ü ï Ñ ½ Î ð:þ Î ï Ü ½ G ð�� Ü�Ñ ½ Î÷G §��_o��_ IoÓ × Ü�Ñ ½ ÎPG ¼

�k�_~���i Ü�ÑON¶ÎPG ï���i4~¿ÓÑð�§��k��~_o����p��o�~_{û�´I�c��� ���Bï À ð�F!yÓoj���iÔ¨Uo Ñ � N�Î � ï���iA~�ÓÑð�wml �¡�_~��_ �rm�¡ik�Ñik�zöÐ{ZÙÖq�ö � Á §frm�_o��o����_n«rZ�¡�¤rc���_o#wmlÛik�_�K�v��������j7rc�pik�Þrm�_��r ÑYN Î ï���iA~�ÓÑð�{zÏ>�����_��o��¦r���ikn¡~��KqÕik�öø����{  �_o����o����S¨_o Ñ � N*Î � ï���iA~�ÓÑð�{  �_�¡��§4rciv¹ko�rm�_oI�®���«rc� Ñ�N*Î ï���i4~¿ÓÑð�_���p�_¹2ï�tkð��kw�iÔ¨Uo�§:¹v�¦¨_oI� Ñ/Ñ � N*ÎdÎ � ï���iA~�ÓÑð�{ í oI�_ �o Ñ � ï�� N*Î � ï��2ï���iA~¿ÓÑð�{�ª_i�¦r©�_ivn¡~_��qÕik���vn¡n�ö�ü Á §�wmlzrm�_o � Ê ÙÖ{û�´I�c��� ���Bï ¾ ð�F ù oWrV�!ï_Þ�ðÆ� Ü � Þc�>þ ����� þ Ü � Þ�þ Ü ûc{ÐyBoKj_��iS¨_o©wmlÑ�p�_~_�� �rc�pik��ik�#örc�_�£r��¡q Ñ�N*Î ï���i4~¿ÓÑðÝrc�_o��

Ü � Ñ � þ ����� þ Ü û N*Ü � Î � þ ����� þ Ü û ï���i4~¿ÓÑð »ÙÖq5ö���u��>o ���S¨_o Ü û N=Ü û ï���iA~�ÓÑð¸wml  �_oIik��oI� Á � {pt�ï Á ð�{>Ï>�����_��o±rc��o ��o����_n«r�_iknp~_��qÕik�Ýöø����{  �_o����>o©���S¨_oï Ïkð Ü � Ñ � þ ����� þ Ü � Ñ þ Ü û N*Ü � Î � þ ����� þ Ü � Î þ Ü û ï���i4~¿ÓÑð »

Page 70: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

� t ÀÅãáä!åáÃÅÄÆæ çv�¸èóÀ�Á¥Â�o�æ(�HÄ&Â>ÀÅÄÆÇ×®lj_�k��r>ï À ð��kw�iÔ¨Uo��>o^���S¨_o Ñ � ï�� N¶Î � ï���ï���i4~¿ÓÑð�{^ª_�p�_ Io Ü � ï�� N*Ü � ï�� ï���iA~�ÓÑð�_���¡�_¹�ï�tvð��kwfiÔ¨_o��>oO�_�Ô¨Uoï Ï�Ïkð Ü � ï�� Ñ � ï�� N*Ü � ï�� Î � ï�� ï���iA~�ÓÑð »� iÔ� ��o� I�k�Þ�kj�j_n¦l  ��oIik��oI� Á � { À ï Á ð!rmi�ï Ïkð��k�_~ ï Ï�ÏkðÐrmi�ikw�rc�v�¡�

Ü � ï�� Ñ � ï�� þ Ü � Ñ �¤þ ����� þ Ü û N*Ü � ï�� Î � ï�� þ Ü � Î �¤þ ����� þ Ü û ï���iA~�ÓÑ𠻪_i�wml&rc�_o � Ê ÙÖ§�rm�_oO��oI���_n«r�_ivn¡~_��qÕik�Ýö�ü uk{

פoIqÕiv��o� Iik�mrm�¡�Í�_�p�_¹#rciÞ~_o�¨_oInpikj j���ikj�oI��rc�poI��ikq� Iik�_¹v���_o��_ Io���§:�>o�¹k�«¨UoKrc�_o#qÕikn«¥npiS���p�_¹�o�Øf�k��j_npo�rmi����_iÔ�îik��o��>�Ôl&rc�_�£r� Iik�_¹v���_o��_ Io��± ��k��w�oO�_��o�qÕ�_np{�]}Hr£�M�j��n x¸§ �±�n� ï  �_�p�>oWØ5�v��j�n¡o±�>�k�Årm�k�vo��2qÕ��iv�ùâ Á ãf��å:�¶´��cò ° Éc�¶È��Iå9���¿f�å:Ç¿� ���¶È�ɯ¸°4²�³ ��´2æ�µ��S�I´·� ^:wml  ik� Ï>j�ik��rciknp{¡ð

 �_o�¢_����r ¢7¨UoOíoI������r©�Í�_�©wfo����� û�� À¿¼ � � � � ¼ � ÿ � Á � ¼ � z � t � � ¼ � � � � � ¼ � À �

�k��o¸j����p��o���{ÐyBo����_iÔ���_���¡��¹  Iiv�_¹k����oI�_ �oI�^ú!È��¶µ�� ° �Ð�XÝ��Ð� È�É�È���� �zÉSÇ¿��É ° ��Ç¿��ÈÕåCZZ� � rm�_��r� � � t�z ÿ þ Á �p�¸~_�¦¨f�p���pw_npo©wml � ¾­Á �k��~��p�Ýrc�_o���o�qÕik��oO�_i�r©j_���¡��oOºt ÿ � ¾t � � t ÿ ÿ � ¾ ÿ � Á �t } � t � ÿ � Á � ÿ �Nt � �t �|Û � t } ÿ � t � � ÿ � � � ¼ � À �� � ¼ � À � N Á � ¾ ï���i4~ � ¾­Á ð »

ª_i��>o©�_�Ô¨_ot �|Û N Á � ¾ ï���iA~ � ¾­Á ð »

×®l  ��oIik��oI� Á � { À ï À ð�ºt �|Û ÿ N ï Á � ¾ ð ÿ ï���i4~ � ¾­Á ð »

 �_��r©�p��§t z ÿ N t À¿¼ � Á � ï���iA~ � ¾UÁ ð »

ª_�p�_ Iot Àk¼ � Á � N � ¾ u ï���iA~ � ¾UÁ ð

Page 71: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

� À�k�_~

� ¾ u N ½�Á ï���iA~ � ¾­Á ð��o��_�Ô¨Uot z ÿ N ½ZÁ ï���iA~ � ¾­Á ð�k�_~��_oI�� Iot z ÿ þ Á N u ï���i4~ � ¾­Á 𠻪_i � ¾­Á × t�z ÿ þ Á §U�k�� Inp�k�¡��o�~_{�h�n¡o��k��n«lÞt�z ÿ þ Á Ú� � ¾­Á §U��i©t�z ÿ þ Á �¡�� �ik��jfik���¦rmoI{¤áOq Iik������o�§��¡qUlUik���knp��oI�v~�lÑ~_�p~�}�ØfoI�� I�p��o Á tk{ Á ï�j_{ ¾k¾ ðÐl_ik�#���¡npn��kn¡��oI�k~7lÑ�Í�_iÔ� rc�_�£r

t z ÿ þ Á � ¾¿¼ t � ¾k¼ �¸� � ¼ t � � � ï � ¾­Á ð � ï � ¼ � uku ¼I¾­Á � ð�k�_~&rc�_�£r � ¾­Á �k�_~ � ¼ � uku ¼I¾­Á � �k��o#�p�_~_o�oI~ j����p��o���{ � i�rmo>rc�_�£r � ¾­Á �¡�¤rm�_o ÁkÁ � Ù\[j_���p��oI§O��iü�¡qËl_ik�Ó�_��oI~ rm���p�kn�~_�¦¨f�p���pik� lUiv� ��ik��n¡~Ó���S¨_o2�_�k~¬rci ~��¦¨f�p~_o2wml ÁvÁ �j_���p��oI�Kw�oIqÕik��o ��oI�k S�_�p�_¹&ik��o¸rc����r#~_�«¨f�¡~�oI�Kt�z ÿ þ Á §Ð�k��~Zrc�_�£r#�k�����_��oI�Ërm�_��r±lUik��_�Ô¨Uo���n¡�p��r©ikq­rc�_oO¢_����r ÁkÁ � j_���¡��o���{��� nq�clonq� x¸§ � � � ����Ó ÷ uÑÇIå:ò

Ñ�N 3 ï���i4~¿ÓÑð>ú!µ���´��>umþ�3 ß Ó�¶µ���å Ñ ��iA~(Óð��3HF�]}Hnqlotuvwz�n xu§ �±�1� � ��iÔ¨Uo  �_o�ik��o�� Á � { ¾ {Ûâ í �p�crmº  �_o(/K�¦¨f�p���pik� Ï>np¹kik���¦rm�_� ���ÔlwfoO�_��oIqÕ�_np{pã�]}Hnqlotuvwz�n x¸§ � x¸· � ÃÝ�¡��~9rc�_o�¨��vn¡�_o ikqoI�v S�|ivq>rc�_oüqÕikn¡npiÔ���¡��¹|ï�ú!È���µ�� ° � ° ôSÈÕåCZ� Ç��Ð���� pð�{ï Á ðÞt z ÿ¸��i4~ �ï�tkð Á u�zQ�¸��i4~ �ï À ð À zQ� ��i4~ �

â ] vw�H�qâ -±��o  �_oIik��oI� Á � { ¾ �k�_~rm�_oO�¡~_o��k�¸�_��o�~��p��rm�_oOo�Øf�k��j_npo©iv��j_�v¹ko � tk{pã�]}Hnqlotuvwz�n x¸§ � xcx �îù oWr©¹k I~©ï_Ó � ¼ Ó ÿ ðÆ� Á { � ��iÔ¨Uo�rc����rï Á � { Á ð Ñ�N*Î ï���i4~¿Ó � ð��k�_~ Ñ�N*Î ï���iA~�Ó ÿ ð�¡q®�k�_~Þik�_n«lÑ�pqï Á � {¡tkð Ñ�N*Î ï���iA~�Ó � Ó ÿ ð »â í �¡�mrm{@-±��o ù oI����� ÁkÁ { Á §5j_�k¹ko À � {pã

Page 72: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

� ¾ ÀÅãáä!åáÃÅÄÆæ çv�¸èóÀ�Á¥Â�o�æ(�HÄ&Â>ÀÅÄÆÇ

Page 73: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

L±o� I�knpn�qÕ��ik��/Ko�¢_�_�«rc�pik� ¾ {pt�iv�&j_�k¹ko Á�¾ rm�_��r¤rm�_oK~_o� I�p���vn���oIj���oI��oI�mrc�£rc�pik��ivq­rm�_ojfiv���«rc�«¨Uo��¡�mrco�¹koI� Ñ �p��¹k�«¨UoI��wmlï Á ð Ñ � Ñ �vu�� Ñ �#u ÿ ����� Ñ � Ñ û���_oI�

Ñ � Ñ �#u�� Á u �#u�� þ Ñ �#u ÿ Á u �#u ÿ þ ����� þ Ñ � Á u�þ Ñ û�k�_~�umþ Ñ Ó7þ � qÕik�2>&�Nu ¼kÁI¼m»m»m»�¼ ö ½ Á {��� nq�clonq� x¸« � x � T®�c�^�¶µ��#ò¿�SÉ�È ² Ç¿�A´I����´���ô7��å:��Ç¿�¶È��Iå ��� Ñü³ ��ZcÈbòA��å ³ �9ï Á ð0^��¶µ���åï��kð Ñ ��iA~ZtÐ� Ñ û¸��iA~�t¸^ï�w_ð Ñ ��iA~ � � Ñ û¸��iA~ � ^ï� Ið Ñ ��iA~ À �îï Ñ �#u�� þ ����� þ Ñ ûcð^��iA~ À ^ï�~_ð Ñ ��iA~ � �îï Ñ �#u�� þ ����� þ Ñ ûcð^��iA~ � ^ï�oIð Ñ ��iA~ ÁkÁ � ï Ñ û ½ Ñ � þ Ñ ÿ ½ Ñ z þ ����� ð���i4~ ÁkÁ FפoIqÕik��oOj_��iÔ¨f�¡��¹�rc���¡�Ýrc��oIik��oI��§�n¡oWrcÜp�±¹v�¦¨_o���ik��o©oWØf�k��j_n¡o���{

Á�¾ � � ��iA~ZtÐ� � ��i4~�tÐ� ÁÁ�¾ � � ��iA~ � � � ��i4~ � � t

Á�¾ � � ��iA~ À � ï Á þ ¾ þ � þ � ð!��i4~ À � Á � ��i4~ À� � ��iA~ À �Nt� �

Page 74: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

�¸� ÀÅãáä!åáÃÅÄÆæ çv�¸è��(êPOÆê ÇKê é¥êQL7ê�ÃM�õÃÅÄ&Ç ÃÅÇ|íîÁ¥æ�t_^ À ^ � ^ � ^ ÁkÁÁ�¾ � � ��i4~ � � ï Á þ ¾ þ � þ � ð!��i4~ �� Á � ��i4~ �� � ��iA~ �

� �Á�¾ � � ��iA~ ÁkÁ � � ½ � þ ¾±½ Á ��iA~ ÁkÁ� � ��iA~ ÁkÁ� � »

û�´��c���©���&æ�µ��S�I´�� ² Á � »DÁ F¸h�iv�_���p~_oI�!rc��o�j�ikn«lf�_ik���¡�vn�!ï_Þ�ðÆ� Ñ �#u�� Þ �#u�� þ ����� þ Ñ � Þ�þ Ñ û »

� i£rcoËrc����r Á u N uÒï���iA~�tvð�{�ª_i�wml  �_oIiv��oI� Á � { À ï ¾ ðÑ �vu�� Á u �vu�� þ ����� þ Ñ � Á u�þ Ñ û N*Ñ �vu�� u �#u�� þ ����� þ Ñ � u�þ Ñ û ï���iA~�tkð »

 �_��r©�p��§Ñ�N¶Ñ û ï���iA~�tvð »

 �_�p��§�rcik¹vo�rc��oI�¤���¦rm�  �_o�ik��o�� Á � { Á §!j_��iS¨_oI�©j_�k��r2ï��kð�{&ª_�p�_ �o Á u N uÓï���iA~ � ð�§rc��o�j���iAikq�ikqÐj_�v��r�ï�w�ð��¡�¸���p���¡np�k��{

� i�rmo¤rc�_��r Á u N Á ï���i4~ À ð���iZ�kj�j_n¦lf�p�_¹Krc�_o�ik��o�� Á � { À ï ¾ ð��k¹v�k�¡��§���oO�_�Ô¨UoÑ �vu�� Á u �vu�� þ ����� þ Ñ � Á u�þ Ñ û N*Ñ �vu�� Á �#u�� þ ����� þ Ñ � Á þ Ñ û ï���iA~ À ð »

 �_��r©�p��§Ñ�N*Ñ �vu�� þ ����� þ Ñ � þ Ñ û ï���i4~ À ð »

 �_�p�O�_���p�_¹  �_oIiv��oI� Á � { Á j���iÔ¨Uo���j��k��r�ï� Ið�{Zª_�p�_ Io Á u N Á ï���i4~ � ð�§5rm�_o#j_��i4ikqikq:j_�k��r�ï�~_ð��p�¸���¡���pn¡�v��{� iÔ� Á u N ½ZÁ ï���iA~ ÁkÁ ð���i

Ñ �#u�� Á u �#u�� þ ����� þ Ñ � Á u�þ Ñ û N*Ñ �#u�� ï ½�Á ð �#u�� þ ����� þ Ñ � ï ½ZÁ ð�þ Ñ û ï���i4~ ÁkÁ ð »Â �_��r©�p��§

Ñ�N*Ñ û ½ Ñ � þ Ñ ÿ ½3����� ï���i4~ ÁkÁ ð�k�_~Þwml  �_o�ik��o�� Á � { Á �>oO�k��oO~_iv�_oI{

Page 75: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

� �~±� ² ÇI´�W Á � { Á F � i�rco¤rm�_��r

Ó × Ñ  Ñ ��iA~mÓ �Nu ¼��i�qÕ��ik�  �_oIiv��oI� Á � { Á �>o©ivw�rc�k�p�Þ�¡����oI~��¡��rmoIn«lÞrc�_oOqÕiknpn¡iÔ���p�_¹� Iik��ikn¡np�k��l¿{�¿�clo���w�wrKlo� x¸« � x � TÐ�c� Ѭ³ �áZcÈbòA��å ³ �9ï Á ð0^f�ÅF � � F#æ�µ���åï��kðÞt × Ñc  Ñ û�� u ¼ t ¼I¾¿¼ � �I´ �ï�w_ð � × Ñc  Ñ û�� u��I´ �ï� Ið À × Ñc  À × Ñ ûÅþ Ñ � þ ����� þ Ñ �vu��ï�~_ð � × Ñc  � × Ñ ûÅþ Ñ � þ ����� þ Ñ �vu��ï�oIð ÁkÁ × Ñ  ÁkÁ × Ñ û ½ Ñ � þ Ñ ÿ ½ Ñ z þ ����� F� i�rmo�rm�_��r©�p���vj_j_n«l5�p�_¹2ï� Ið�§^ï�~_ð��v�_~ ï�oIðÝ�>o� ��k���_��o�rc�_oOqÕ�k Wr�rc�_�£r

ï Ñ þ�ÓÑð���iA~mÓ � Ñrci5NW I�v��rZik��rmÎ À Üp��ï�qÕik��ï� Ið�ðO�k��~ � Üp�Zï�qÕik�Zï�~�ð�ð�{ í o���o�Ü¡���k�¬o�Øf�k��j_npo�ikq¿NW I�k��rc�p�_¹ik��r � Üp��ºpÎ

Á�¾ � � ��iA~ � �îï Á þ ¾ þ � þ � ð���iA~ ��îï � þ ¾ þ � ð^��iA~ ��îï ¾ þ � ð���iA~ ��îï�t�þ � ð���iA~ �� tO��iA~ � � t »

ª_i Á�¾ � � ��iA~ � � tk{

� i�rco¤rc����r��¡q:uVþ�3 ß Ó rm�_oI�3#��i4~ÐÓð�!3 »

�]}Hnqlotuvwz�n x¸« � x � ù o�r Ñ � Á � � t � Á�À t ÁkÁ � u � � {�ÃÝ�¡��~ Ñ ��iA~(Ó qÕik�¥Ó � t ¼IÀ¿¼ � ¼ ��k�_~ ÁkÁ {

Page 76: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

�¸� ÀÅãáä!åáÃÅÄÆæ çv�¸è��(êPOÆê ÇKê é¥êQL7ê�ÃM�õÃÅÄ&Ç ÃÅÇ|íîÁ¥æ�t_^ À ^ � ^ � ^ ÁkÁ�]}Hnqlotuvwz�n xu« � � � ù o�r Ñ � Ñ � ����� Ñ � Ñ û±w�oÝrc�_o�~_o� I�p���kn­��oIj���oI��oI�mrc�£rc�pik��ikq Ñ {  �_o��j_��iS¨_oï��vð Ñ ��iA~ Á uÐ� Ñ ûc{ï�w�ð Ñ ��iA~ Á ukuÐ� Ñ � Ñ ûc{ï� �ð Ñ ��iA~ Á ukukuÐ� Ñ ÿ Ñ � Ñ ûm{

�]}Hnqlotuvwz�n x¸« �±�n� � ��iÔ¨Uo�rc�_�£r �pq Î �p���Zj�ik���¦rm�¦¨_o ��ÌÍ�_�v��oI§��p{¡o�{¡§ Î � Ñ ÿ § Ñ ÷ uk§�rm�_oI�rc��oKn¡o��k��r����¡¹k���¡¢_ ��k�mr�~_�p¹k�¦r�ivq Î �p��ik�_oKikq�uk§ Á § ¾ § � § � § � {�â í �¡�mrmº Î ��iA~ Á u#�p�Ðrc�_onpoI�k��r����p¹k�_�p¢_ I�v�cr#~_�¡¹v�¦r�ivq Î {¸yÓ���¦rmo Ñ � Ñ �vu�� ����� Ñ ûm{  �_o�� ÑTNýÑ ûÛï���iA~ Á ukð¸��iÑ ÿ N Ñ ÿû ï���i4~ Á ukð�{ÞÃ�iv�KoI�k S�ü~_�¡¹v�¦r Ñ û¢ØàÕku ¼¿ÁI¼ t ¼m»m»m»£¼ � Ö ¢_�_~ Ñ ÿû ��iA~ Á uk{�-±��o �_o�ik��o�� Á � { ¾ §��k��ik�_¹�i�rm�_oI����oI����n¦rm��{pã�]}Hnqlotuvwz�n x¸« � � � Ï>��oO�k�mlÑikqUrc�_oOqÕiknpn¡iÔ���p�_¹��A��� w�oI���±��ÌÍ�_�k��oI� � }�Øfj_np�k�p�_{

Á u ¼ ÁkÁI¼ Á � ¼ Á � ¼ t ¾¿¼ t � ¼ t � t ¼ t �¸� À¿¼ ÁkÁ uku � ¼ ÁkÁ tku À � �

Page 77: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

��� nq�clonq� x ­ � x � T®�c� Ñ � Ñ � Ñ � u�� ����� Ñ � Ñ û ³ ����µ���ò¿�SÉ�È ² Ç¿�U´I����´���ô7��å:��Ç¿�¶È��IåB��� Ñ Fæ�µ���åï��kð � × Ñc  � × Ñ � ����� Ñ � ½ t Ñ ûqFï�w_ð Á�À × Ñ  Á�À × Ñ � ����� Ñ � ½ � Ñ û/Fâ G ��´�� Ñ � ����� Ñ � � H u Ha`� û � Ñ � Á u � u�� þ ����� þ Ñ ÿ Á u�þ Ñ � Fsã

פoIqÕik��oOj_��iÔ¨f�¡��¹�rc���¡�Ýrc��oIik��oI�?�>o©�pnpn¡�_��rc����rcoO�«r¸���«rc�#rÖ�>iZoWØ5�v��j�n¡o���{� × t ¾ � Á   � × t ¾ � ½ t  � × t ¾ �  � × t ¾±½�Á t  � × Á t

���p�_ Io � Á t���o��_�Ô¨Uo � t ¾ � Á {

Á£À × Á t �¸� �   Á�À × Á t �¸� ½ � À  Á�À × Á t À �  Á�À × Á t À�½Ó¾ �  Á�À × � ����p�_ Io � �­Á�À � � � §A��oO�_�Ô¨Uo Á�À × � � {�ª_iv§�wml  �_oIik��oI� Á � { Á ï�w�ð�§ Á�À × Á t � � � {

�¸�

Page 78: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

� u ÀÅãáä!åáÃÅÄÆæ$ç#£¸è©�(êPO&ê ÇKê é¥êQL7ê�ÃM�õÃÅÄÆÇ7ÃÅÇ|íîÁ¥æ � ä!Â�� Á�Àû�´��c���©��� Á � { Á ï��kð�F ù o�r Ü � Ñ � ����� Ñ � {�ª_iK��oO�_�Ô¨Uo Ñ � Á u Ü þ Ñ ûc{ í o��_ Io ½ t Ñ �½ tku Ü ½ t Ñ ûm{ � iÔ� Á N ½ tkuÓï���iA~ � ð���iO�>oO�_�Ô¨Uo

½ t Ñ�N*Ü ½ t Ñ û ï���iA~ � ð »ÙÚr�qÕiknpn¡iÔ���¸qÕ��ik�  �_oIiv��oI� Á � { Á rm�_��r

½ t Ñ ��iA~ � � Ü ½ t Ñ û±��iA~ � »í o��_ Io�§ � × ½ t Ñc  � × Ü ½ t Ñ ûm{�ª_�p�_ Io�¹k I~:ï � ¼m½ tkð�� Á �>o����S¨_o � × ½ t Ñc  � × Ñ {í o��_ Io � × Ñc  � × Ü ½ t Ñ ûc§A���_�¡ S���¡�Ý���_�£r¸�>o����k�mrmoI~�rmi�j_��iÔ¨Uo�{û�´��c���©��� Á � { Á ï�w_ð�F ï  �_�p�©���k�O�����¡���pn¡�k��j_��i4ikq�rci#rc����rZqÕik� Á � { Á ï��kðO�k�_~¬�¡�OnpoIqsrqÕik�Ðrm�_oO�¡�mrco���o���rco�~���oI�k~_o���{pð�]}Hnqlotuvwz�n x ­ � x � ->��o  �_o�ik��o�� Á � { Á ï��kðËrmiÞ~_o�rmoI�����p�_o����_�p S� ikq�rc�_o#qÕivn¡npiÔ���¡�_¹�k��oK~_�¦¨f�p���pw_npo wml � ºï��vð �¸�¸� ¾ ï�w_ð �¸�¸� À�]}Hnqlotuvwz�n x ­ � � � ÙÖ�&rc�_o��_i�rm��rc�pik�¬ikq  �_o�ik��o�� Á � { Á §����_iÔ� rc����r Ñ ��i4~ � �_oIo�~�_i�r�w�oOoIÌÍ�_�kn�rmi2ï Ñ � ����� Ñ � ½ t Ñ ûmð���iA~ � » {

Page 79: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

��� nq�clonq� x¸® � x � T®�c�cÓ ü|t�F���� Ñ ÇIå:ò]Ó ÇI´���´I�c��Ç¿��ÈbòA�c� �©��´·È ² �X^±�¶µ���´����XÝcÈÕô7�¶ôZÇ° åUÈ8D ° �>ÈÕå:���¾ZA��´ Ñ!? ô ° É�µ¬��µ�Ç¿� ÑqÑ!?bN Á ï���i4~¿ÓÑð#ÇIå:ò�u ßàÑc?&ß Ó FyÓo  I�knpn Ñ!? rc��oÈÕåCòA��´·ô7�Z��� Ñ¢�M�H�j���w� ÓÑ{ � i�rmo±rc�_�£r���o ~_i&�_i�r~_oI�_i£rco Ñ!? wmlÑ u��#���¡�� Io rc���¡�#���p¹k�mrÞ I�k����oÞ��ik��oz �ik�_qÕ�_���¡iv�_{9áOq� Iiv�_����oI§��¡q ÜdNÙÑ!? ï���i4~¿ÓÑðrc�_o�� ÑqÜUN Á ï���iA~�ÓÑðÅ��i Ñ ? �p�Ë�_i£rK�_�_�pÌÍ�_o��_��n¡o����Ð�>o���j�oI ��¡qsl�rc�_�£rKu ß�Ñ ? ß ÓÑ{û�´I�c���©F¸ÙÖq˹k �~�ï Ñ ¼ ÓÑðm� Á §�rc��oI� wmlàפo�ñIik��rmÜ¡� ù oI������rc��oI��oZo�Øf�p��raBz�k�_~�< ���_ S�rc�_�£r

Ñ B^þ�Óx<¥� ÁI»í o��_ Io

Ñ B ½�Á ��Ó9ï ½ <·ð ¼rc�_�£rO�¡��§£Ó × Ñ B ½ Á �k�_~Þ��i Ñ B N Á ï���iA~�ÓÑð�{ ù oWr Ñ!? ��B¸��i4~ÐÓÑ{  �_oI� Ñ!?bN Bï���iA~�ÓÑð���i ÑqÑ ? N Á ï���i4~¿ÓÑð��k�_~� InpoI�k��n¦l¬u ß�Ñ ? ß ÓÑ{ iZ���_iÔ�î�_���¡ÌÍ�_o��_oI�����k�����_��o¸rm�_��r ÑqÜeN Á ï���i4~¿ÓÑð¸�k�_~�u ß*Ü ß ÓÑ{  �_oI�ÑqÜ�N ÑqÑ!? ï���iA~¿ÓÑð�{zª_iÞ�pq��>o�� �_n«rc�pj_n«làwfi£rc�Ñ���p~_oI��ikq�rc���¡�O Iiv�_¹k����oI�_ �o�iv�Þrm�_on¡o�qsrwml Ü �k�_~�����o¸rm�_o qÕ�v �r¸rc�_��r Ü�ÑEN Á ï���iA~�ÓÑð!�>o ikw�rm�k�p� Ü�N Ñ!? ï���iA~�ÓÑð�{ÙÚr©qÕikn¡npiÔ����qÕ��ik� }�Øfo��� I�p��o Á � { � rc�_��r Ü � Ñc? {~±� ² ÇI´�W Á � { Á FÝí��iv�?rc�_oO�kw�iÔ¨Uo�j_��iAikq­��o���o�o¸rc����r©×¤n¡�v�_�Í�¡�_���_�pj_Ü¡� Ê o�rm�_iA~����Ôlwfo��_��oI~�rmiZ �ik��j_��rmo�rm�_oO�¡�m¨Uo�����oikq Ñ ���_oI���¦r©o�Øf�p��rm��§Ðw���r©qÕik�������knpn�Ó ��o����Ôl

� Á

Page 80: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

� t ÀÅã!äáåáÃÅÄ&æ$çtªCè�ì�Á¥æ�Ä3åÆæÐÁ¥åÆÄ&æ�ÃÅê Ä&Ç�Á�íàÀ�Á¥Â�o�æ(�HÄ&Â>ÀÅÄÆÇikqsrmoI��¢_�_~ Ñc? wml�N rc���¡�vn��k�_~�oI����ik��{pΠíik��oWØf�k��j_n¡o�§��¡qcÓÙ� Á � rc�v�vo Ñ � tk{  �_o���>o� ��k�� S�_oI S�ÞoI�v S��oInpoI��o��cr u ¼¿Á�¼ t ¼m»m»I»£¼kÁ�¾ º

t � u¢ÚN Á ï���iA~ Á � ðt �­Á ÚN Á ï���iA~ Á � ðt � t¢ÚN Á ï���iA~ Á � ðt �kÀ ÚN Á ï���iA~ Á � ðt �k¾ ÚN Á ï���iA~ Á � ðt � � ÚN Á ï���iA~ Á � ðt � � ÚN Á ï���iA~ Á � ðt � � ÚN Á ï���iA~ Á � ðt � � N Á ï���iA~ Á � ð����p�_ �o Á � × Á � ½�ÁI»ª_i��>o© ��k��rm�k�voOt ? � � {�]}Hnqlotuvwz�n x¸® � x � ª_�_iÔ� rc����r±rm�_o��¡�m¨Uo�����oikqÝt���i4~_��n¡i � �p�>�_i£r¸rm�_o��¡�m¨Uo�����o#ikqÐt��i4~��_n¡i Á � {��� nq��l»nq� x¸® � � � T®�c�&Ó ÷ u�F���� Ñ/ÎfN Á ï���iA~¿ÓÑð¬�¶µ���å ³ �¿�¶µ Ñ ÇIå:ò Î ÇI´I�´��c��Ç¿�¶ÈbòA�c� ����´·È ² �#���áÓ Fû�´��c���©F¸ÙÖq Ñ/ÎgN Á ï���i4~¿ÓÑð�§Ýrm�_oI�¦Ó × ÑqÎ ½�Á {Bª_i ÑqÎ ½�Á � Óx<zqÕik� ��ik��oc<·{í o��_ Io�§

Ñ/Î þ�Ó9ï ½ <·ðÆ� ÁI»×®l}�Øfo��� I�p��o � {pt�ik�Oj_�k¹ko À uv§crm�_�p�:�p��j_np�¡o��Urm�_��r^¹k �~:ï Ñ ¼ ÓÑð�� Á �k��~�¹v I~�ï Î ¼ ÓÑð&� Á §�k�� Inp�k�p��oI~_{�¿��l»���w�wrKlo� x¸® � x �]Ñ µ�ÇIô¬ÇIåÒÈÕåCòA��´£ô7� ² �cò ° ����Ó Ès��ÇIå:ò �Iå:� � Ès� Ñ ÇIå:ò�Ó ÇI´I�´��c��Ç¿�¶ÈbòA�c� ����´·È ² ��F��� nq��l»nq� x¸® �±� Z ��r£��tunq�w�wrK��vw���1\R� TÐ�c�¸Ó ÷ u&ÇIå:òÇIôSô °A² ����µ�Ç¿��¹k �~�ï Ü ¼ ÓÑð�� Á Fæ�µ���åï Ïkð Ü�Ñ�N*Ü�Î ï���i4~¿ÓÑð0U Ñ�N¶Î ï���iA~�ÓÑð »û�´��c���©F¸ÙÖq˹v I~:ï Ü ¼ ÓÑð(� Á §�rm�_oI��o��p�©�v�ü�p�mrcoI¹voI� Ü ? ���_ S��rm�_��r Ü ? Ü�N Á ï���iA~¿ÓÑð�{� iÔ� ���p�_ Io Ü ? N*Ü ? ï���iA~�ÓÑð��k�_~ Ü�Ñ�N*Ü�Î ï���i4~¿ÓÑð�wcl  ��oIik��oI� Á � { À §5j_{ � Á §

Ü ? Ü�Ñ�N*Ü ? Ü�Î ï���iA~�ÓÑð »

Page 81: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

� Àפ��r Üh?XÜUN Á ï���iA~¿ÓÑð¸��i

Ü ? Ü�Ñ�N*Ñ ï���iA~¿ÓÑð�k�_~

Ü ? Ü�ÎSN*Î ï���iA~�ÓÑð »×®lÑ��o�b_oWØ5�«¨f�¦rÖlü�k��~�rm���k�_���¦rm�¦¨f�«rÖl&rc�_�p�!l5�poInp~_�

Ñ�N*Î ï���i4~�ÓÑð »

�]}Hnqlotuvwz�n x¸® � � � ÃÐ�¡�_~���j�oI ��¡¢� jfiv���«rc�«¨Uo��¡�mrco�¹koI��� Ñ ¼ Î ¼ Ü �k�_~¿Ó ���_ S�Zrc����r Ü ÚN uï���iA~�ÓÑð�§�¹k I~�ï Ü ¼ ÓÑðÅ÷ uk§��k�_~ Ü�Ñ�N¶Ü�Î ï���i4~�ÓÑð�§�w_�7r Ñ ÚN*Î ï���i4~¿ÓÑð�{

Ï>n«rc�_ik��¹k�¬ï ÏkðÅ�kwfiÔ¨_o��¡�Ë�_i�rK¹voI�_o����knpn¦l�rc���_oÅ���_o��&¹k I~�ï Ü ¼ ÓÑð^÷ Á §¿��o�~�i#�_�Ô¨Uorc�_oOqÕiknpnpiS���p�_¹���ik��oO¹ko��_oI���kn��Í�¡�_~��±ikq(NW ��k�_ Io�n¡np��rm�¡ik��º¡Î��� nq�clonq� x¸® � � � ��� Ü ÷Nu¸^ Ó ÷Nu2�¶µ���å

Ñ�N¶Î ï���iA~�ÓÑð   Ü�Ñ�N*Ü�Î ï���iA~ Ü ÓÑð »�]}Hnqlotuvwz�n x¸® �±�n� � ��iÔ¨Uo  �_oIiv��oI� Á � { ¾ {��� nq�clonq� x¸® � § � T®�c�KÓ ÷Nu�ÇIå:òz���c� G � ¹k �~�ï Ü ¼ ÓÑð�F�æ�µ���å

Ü�ÑON¶Ü�Î ï���iA~�ÓÑð0U Ñ�N*Î ï���iA~ Ó G ð »û�´I�c���©F¸ª_�¡�� Io G � ¹k I~:ï Ü ¼ ÓÑð>�>o� I�k�2�����«rco Ü � G ïjik ð#�k�_~ÏÓ � G ï É k ð�{  �_oI�¹k I~�ï ik ¼

Ék ð�� Á { � iÔ� ��o������¦rm�¡�_¹ Ü�ÑON¶Ü�Î ï���iA~¿ÓÑð!�>o��_�Ô¨Uo

G ÜG Ñ�N�G ÜG Î ï���iA~ G Ó G 𠻪_�p�_ Io Ó ÷*uk§ G ÷Nuv§���i�wml  �_oIiv��oI� Á � { ¾ �>o©���S¨_oÜG Ñ�N ÜG Î ï���iA~ Ó G ð »� iÔ� ���¡�� Io�¹k I~:ï ik ¼

Ék ð�� Á §�wml  �_oIik��oI� Á � { À

Ñ�N*Î ï���i4~ Ó G ð »

Page 82: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

� ¾ ÀÅã!äáåáÃÅÄ&æ$çtªCè�ì�Á¥æ�Ä3åÆæÐÁ¥åÆÄ&æ�ÃÅê Ä&Ç�Á�íàÀ�Á¥Â�o�æ(�HÄ&Â>ÀÅÄÆÇ��� nq��l»nq� x¸® � « � ����Ó�÷Nu�ÇIå:ò Ñ�NõÎ ï���i4~¿ÓÑð�ú¸�±µ�Ç©òA�

¹k I~�ï Ñ ¼ ÓÑðÆ� ¹k I~�ï Î ¼ ÓÑð »û�´��c���©F¸ª_�p�_ Io Ñ�N¶Î ï���iA~�ÓÑð���o±�_�Ô¨Uo Ñ ½ Î ��Óx<�qÕik�^��ik��o�<·{�ª�i¸�>o> I�v�©�����«rcoï Á ð Ñ ��Óx<®þ Î�k�_~ï�tvð Î ��Ó9ï ½ <·ð�þ Ñ »ù o�r G � ¹v I~�ï Ó ¼ Ñ ð¸�v�_~��á� ¹k I~�ï_Ó ¼ Î ð�{¸ª_�p�_ Io:� × Ó �v�_~�� × Î §�qÕ��ik� ï Á ð@� × Ñ ��i� �p���� �ik����ik�2~_�«¨f�¡��ik��ikqIÓ �k�_~ Ñ { í oI�� Io��Ðþ G {�->���¡�_¹�ï�tkð!��o ��oIo©���p���¡np�k��n«lrc����r G þ&�m{�ª_i G ���m{�¿��l»���w�wrKlo� x¸® � � � T®�c�7Ó ÷xu�F¢T®�c� Ñ�NgÎ ï���iA~�ÓÑð�FBæ�µ���å Ñ µ�ÇIô�ÇIå ÈÕåCòA��´£ô7�² �cò ° ����Ó Ès� ÇIå:òz�Iå:� ��Ès� Î ò¿�c��ô»Fû�´��c���©F¸ÙÖ����oI~_�p��rco�qÕ��iv�  �_o�ik��o���� Á � { Á § Á � {¡t��k�_~ Á � { � {�]}Hnqlotuvwz�n x¸® � � � /KoWrco������¡��o:���_oWrc�_o��Ðik�:�_i�rÅoI�v S�ikq7rm�_oËqÕivn¡npiÔ���¡�_¹±�¡�Urc���_oI{ ¬ vw��nlonqrKz�����z�vw�5nqrKt � tur£z�n²�ï Á ð�Þ N À ï���iA~ � ð�U ¹k �~�ï_Þ ¼ � ð&� Áï�tvð�¹k �~�ï � � u Á � ¼�À ð � Àï À ð Á t�Þ N Á � ï���iA~ À � ð�U ¾ Þ N � ï���iA~ � ðï ¾ ð�Þ N � ï���iA~ Á tkð�U ¹k �~�ï_Þ ¼kÁ tkð�� �ï � ð À Þ N À � ï���iA~ Á � ð�UOÞ N � ï���i4~ Á � ðï � ð � Þ N � ï���iA~ � ð0U Á � Þ N À � ï���iA~ Á � ðï � ð Á t�Þ N Á t � ï���i4~ Á � ð�UÙÞ N � ï���iA~ � ðï � ð�Þ N � À ï���iA~ � � ð�UÙÞ2��i4~ � � � � Àï � ð�Þ N � À ï���iA~ � � ð��k�_~�umþ�Þ ß � � UÙÞP� � Àï Á uvð  �_o���oO�p�±�_i��p�mrcoI¹voI��Þ ���_ S��rm�_��r

Á t©Þ N � ï���i4~ ÀkÀ ð »

Page 83: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

�¨nFEj�jv��©v���� x �1� x �îù o�r�Ó ÷*uZw�oO¹k�¦¨_oI�_{�íik��o��k S���p�mrco�¹koI� Ñ �>o�~�oI¢_�_oï Á ð â Ñ ãC�*Õ©Þ2º¸Þ N*Ñ ï���i4~¿ÓÑð Ö¿»

ÙÖ�#i�rc�_o��f�>ik��~_��§®â Ñ ã��p�frm�_o¤��oWr�ikqU�knpn��p�mrco�¹koI���5rc�_��r¤�k��oË Iik�_¹v���_o��cr!rmi Ñ ��iA~_�_npiÓÑ{ÝyÓoK ��kn¡n^â Ñ ã4rc��o lonqz�vw�j��nPtu�wrKz©z���p�Ñ��M�I���j�w� ÓÑ{�ª_ik��oOjfo�ikj_npoK I�knpn^â Ñ ã�rm�_oÉS�IåCZc´ ° ��å:ÉS�Éc��ÇIôSô#iv���D ° ÈbòAÇ¿����å:ÉS�Éc��ÇIôSô#��� ÑÞ² �cò ° ����ÓÑ{��� nq�clonq� x �n� x � Ð�I´¥Ó ÷ u�ú¸�>µ�Ç©òA�ï�tkð â Ñ ãC��Õ©Ó"�Ëþ Ñ × �]Ø Ö¿»û�´I�c���©FÆÞ�Øxâ Ñ ã   Þ N Ñ ï���i4~¿ÓÑð   Ó × Þ ½ Ñ7  Þ ½ Ñ ��Ó"��qÕik�©��ik��o�PØ   Þó��Ó"��þ Ñ qÕik���iv��oa�PØ {Ûª_iÛï�tkðqÕiknpn¡iÔ���qÕ��ik� rc�_oz~�oI¢_�_�«rc�pik�ï Á ð�{� i�rmo!rm�_��râ Ñ ãU��oI�knpn«l�~_oIj�oI�_~��Åik�ÐÓ��v�_~Z�«r!�>ik�_np~�w�o¸��ik��o��k I ��_����rmo�rmi¤�����«rco

â Ñ ã É �p�_��rmoI�k~�ikq®â Ñ ãp§Uw_��rÐrc�_�p�5��iv�_n¡~�w�oÐrciAi� I��� w�oI����ik��oI{ � oW¨Uo���rc��oInpoI���Å�¦r����_ik��n¡~wfoO��oIj�r  InpoI�k��n¦l��¡�����¡�_~#rc����rzâ Ñ ã�~_o�jfo��_~_�¸ik�Þ��ik��o��_�_~_o�����rmi4iA~#¨��vn¡�_oOikq�ÓÑ{~±� ² ÇI´�W Á � { Á F  �>i��kn¦rmoI���_��rc�«¨Uo��>�Slf�!rciK�����«rcoZï�tvð��k��oï À ð â Ñ ãC�*Õ©Ó"�Ëþ Ñ × �!� u ¼ ^ ÁI¼ ^�t ¼I»m»m»�Öik�ï ¾ ð â Ñ ãC�*Õ »I»m»�¼I½ t©Óxþ Ñ ¼m½ Ó þ Ñ ¼ Ñ ¼ Óxþ Ñ ¼ t©Óxþ Ñ ¼m»m»m»�Ö¿»

� �

Page 84: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

� � ÀÅã!äáåáÃÅÄ&æ ç#͸è�æ�Ä&Ç£êQ��� ĶÀnL7ä!Ç£ÇKÄÆÇ�]}Hnqlotuvwz�n x �1� x � ª_�_iÔ�Órm�_��r±�¡q/Óð� t�rc��oI��â Á ãU�p��rc�_o¸��oWr>ivq5�knpnUi4~�~Z�p�mrcoI¹voI���^�k�_~â«ukã_�p��rm�_o���oWr±ikqf�vn¡n_oW¨Uo����p�crmoI¹ko�����{�ª_�_iÔ� �knp��i�rc����r � â«ukã(l�â Á ãU�k�_~�â«ukãnmZâ Á ãC�-ok{�]}Hnqlotuvwz�n x �n� � � ª_��iS��rm�_��r#�pqHÓÔ� À §­rc�_o��Ûâ¦uvã®�p�Årc��o��oWr#ikq!�p�mrcoI¹voI���>~_�¦¨f�p���pw_npowml À §¤â Á ã:�¡�Årm�_o ��o�r�ivqÝ�¡�mrmoI¹ko����Ë���_ik��o��o����k�¡��~_oI�Å����oI��~_�«¨f�¡~_o�~Ñwcl À �p� Á §:�k�_~â«tkã��¡�Ýrm�_o©��o�r ikqÐ�p�mrco�¹koI�������_iv��o ��oI���k�p�_~_o������_o���~_�«¨f�¡~�oI~2wml À �¡��tk{¸ª_�_iÔ�î�knp��irc����r �îâ«ukã�l â Á ã+l â¦tvã��k�_~üâ¦uvã�m â Á ãC� â«ukã�m â«tkãK� â Á ãpm â¦tvãK�-ok{��� nq��l»nq� x �1� � � Ý�I´�ÇVZcÈbòA��å ² �cò ° � ° ô¥Ó ÷*uzú¸�>µ�Ç©òA��J

â Ñ ãC�îâ Î ã   Ñ�N¶Î ï���iA~�ÓÑð »û�´��c���©F~NÉUÓΠϱ�����_��oBâ Ñ ãV� â Î ãp{ � i�rmoZrc����r����¡�_ �o ÑPN Ñ ï���iA~�ÓÑð©�>o��_�Ô¨UoÑ Ø â Ñ ãp{ª_�p�_ Io�â Ñ ãH�øâ Î ãU�>o#�_�Ô¨Uo Ñ Ø â Î ãp{×®l ~_oI¢_���¦rm�¡ik��ivq¸â Î ã�rm�_�p��¹k�«¨UoI� ÑZN Îï���iA~�ÓÑð�§��k��~_o����p��oI~�{

NÉSÓÎOÏ>�����_��o Ñ�N*Î ï���i4~¿ÓÑð�{ÐyBo�� �_��r�j_��iÔ¨Uo^rm�_��r�rc��o±��o�rc�>â Ñ ãU�v�_~�â Î ã��v��ooIÌÍ�_�vn¡{  i�~�iOrm�_�¡�!�>o j_��iS¨_o¸rm�_��r©o�¨_oI��lüo�n¡o���o��mr�ikq�â Ñ ã��¡�¸�¡� â Î ã��k�_~#¨f�¡ �o�¥D¨UoI�����k{ù o�rVÞÊØîâ Ñ ãp{  �_oI�PÞ NÿÑ ï���iA~�ÓÑð�{Ѫ_�¡�� Io Ñ�NÿÎ ï���iA~�ÓÑð�§¤wml¬rm���k�����«rc�«¨5�«rÖlÞ N Î ï���iA~�ÓÑð>��i>Þ�Ø�â Î ã¡{�h�ik�m¨_oI����oIn«l¿§��pq7Þ+Ø�â Î ãp§frc��oI�~Þ N Î ï���iA~�ÓÑð�{#×®l��lf����o�rm��l*���p�_ �o ÑqN:Î ï���iA~¿ÓÑð�§ ÎgNOÑ ï���i4~�ÓÑð�§���iÑ�k¹v�k�¡� wml rm���k�����«rc�«¨5�«rÖlÞ N*Ñ ï���i4~�ÓÑð��k�_~¿Þ¦ØÒâ Ñ ã¡{  �_�p�±j���iÔ¨Uo���rm�_��rzâ Ñ ãC� â Î ãp{��� nq��l»nq� x �1� �1� ñËÈbòA��å¢Ó ÷NuCFî Ý�I´��XòA��´·� Ñ �¶µ���´��>ÈÕô�Ç ° åUÈ8D ° ��3�ô ° É�µÑ�¶µ�Ç¿�

â Ñ ãC� â 34ã ÇIå:ò©umþ�3 ß Ó »û�´��c���©F ù o�r?3ª� Ñ ��i4~ÐÓÑ{  ��oI�Òwml }�ØfoI�� I�p��o Á � { Á ï�j_{ � � ðK��o2���S¨_o ÑMN 3ï���iA~�ÓÑð�{ ×®l ~_oI¢_���¦rmik� ivq Ñ ��iA~(Ó �>o¬���S¨_oÑuàþ,3 ß ÓÑ{ ª_�p�_ �o ÑPN 3ï���iA~�ÓÑð#wml  ��oIik��oI� Á � {ptk§©â Ñ ã � â 3�ãp{  iÑj_��iÔ¨Uo#rc����r�3 �p���_�_�pÌA��oI§>���_j_j�ik��o�knp��iÑâ Ñ ã � â 3Kr¡ã����_o���ou�þ�3_r ß ÓÑ{×®l  �_o�ik��o�� Á � {¡t©rm�_�p���¡��j_np�poI�Ërc����r ÑdN 3_rï���iA~�ÓÑð�{  �_�p��§Ðrmik¹koWrc�_o��±���¦rm� u¦þ�3 r ß Óѧ¤�p��j_n¡�poI�#wml  �_oIiv��oI� Á � { ¾ rm�_��r3 r � Ñ ��i4~(Ó ��3�{��� nq��l»nq� x �1� � � ñËÈbòA��å|Ó ÷îu¸^O��µ���´��&ÇI´I�Z�XÝAÇ¿Éc�D� ��Ó òIÈÕô7��ÈÕå:Éc�Ý´I��ôSÈ�ò ° �zÉc��ÇIôSô7��ô² �cò ° ����ÓÏ^!å:Ç ² �c� � ^

â«ukã ¼ â Á ã ¼ â¦tkã ¼m»m»I»�¼ â Ó ½�Á ã »û�´��c���©F¸×®l  �_oIiv��oI� Á � { À �>oK�A��iS�*rc����rKoW¨UoI��lÑ��o����p~_�_oK �n¡�k����â Ñ ãf�¡�¤o�ÌÍ�_�kn4rmiik�_oikqÝrc��o���oI���¡~_��o� �n¡�k����o���ºBâ¦ukã ¼ â Á ã ¼m»m»m»£¼ â Ó ½�Á ã¡{Bª_iÞrm�_oI��o&�k��oÞ�_iÑ��oI���p~_�_o� Inp�k����oI��_i�r �p��rc�_�p�>np�¡��rc{  �_oI��o#��oI���¡~��_o Inp�k����oI�K�v��o ~��¡��rc�p�_ �r�wml�rc�_o©�_�_�pÌÍ�_oI�_o����Oj_�k��r#ikq �_o�ik��o�� Á � { À §Ý���k��oIn«lÛ�¡q�u¢þ&3 � ß Ó �v�_~ÑuEþ.3 ÿ ß Ó �k�_~àâ 3 � ã7� â 3 ÿ 㡧5rm�_oI�wmlzrc��o����_�¡ÌÍ�_o��_oI����j_�k��r�ikq  �_oIik��oI� Á � { À �>o©�©�_��r©�_�Ô¨UoA3 � ��3 ÿ {

Page 85: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

�¸��]}Hnqlotuvwz�n x �1�±�1� Ä��¦¨_oI�ürm�_o���iA~_�_np�_�VÓ ÷ uü���_iÔ� rm�_��r â Ñ ã(� â Ñ þ5ÓÑã��k�_~â Ñ ãC�îâ Ñ ½ ÓÑã�qÕiv���kn¡n Ñ {�]}Hnqlotuvwz�n x �1� � � íik���k�ml~Ó ÷ uk§�����iS�Nrc�_��r��pq ÞPØÒâ Ñ ã�rm�_oI� â Ñ ãC� â Þ�ãp{�¨nFEj�jv��©v���� x �1� � � Ï>�ml o�n¡o���o��mrVÞ�Ø�â Ñ ãÐ�p�K���k�p~zrci&w�o�&´�����´���ô7��å:�DÇ¿��ÈbòA��ikq�rm�_o��o����p~_�_o� Inp�k��� â Ñ ãp{

×®l¬}�Ø5o��� ��¡��o Á � { ¾ �pq Þ �p������oIj���oI��oI�mrc�£rc�«¨UoikqËâ Ñ ã�rm�_oI� â Þ�ãC�îâ Ñ ãp§�rc�_�£r��¡��§^ÇIåU��c��� ² ��å:����� Ç ´I��ôSÈ�ò ° �Éc��ÇIôSô ² ÇI� ³ � ° ô7�Sò&�D� ´�����´���ô7��å:��È��¶{�]}Hnqlotuvwz�n x �1� § � íik���k�ml~Ó ÷ uk§�����iS�Nrc�_��r��pq�â Ñ ã�m â Î ã�Ú�-oKrm�_oI� â Ñ ãC� â Î ãp{�]}Hnqlotuvwz�n x �1� « � íik���k�ml~Ó ÷ uk§�����iS�Nrc�_��r��pq�â Ñ ã�Ú� â Î ãUrm�_oI� â Ñ ãpm â Î ãC�-ok{�]}Hnqlotuvwz�n x �1� ­ �îù o�r�Óð� tv{�ª_�_iÔ�Nrm�_��r

â¦ukã£�îâ¦tvãC� â ¾ ãC� â À tkãC� â ½ tkã�� â ½�À tkã�k�_~

â Á ãC�îâ À ãK�îâ ½�À ãC� â À­Á ãC� â ½OÀ­Á ã »

Page 86: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

� � ÀÅã!äáåáÃÅÄ&æ ç#͸è�æ�Ä&Ç£êQ��� ĶÀnL7ä!Ç£ÇKÄÆÇ

Page 87: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

 �_��iv�_¹k�_ik�7r¸rm�_�p�¸��oI Wrc�pik���>o©�v��������o���¢�ØfoI~���iA~_�_np�_��Ó ÷ uk{�¨nFEj�jv��©v���� ��· � x � yÓoO~_o�¢_�_o

É �*Õ­â Ñ ã × Ñ Ø Ö¿¼rc�_�£r��¡��§ É �¡�¤rc��o#��o�rZikq��knpnÝ��oI���p~_�_o� Inp�k����oI�O��iA~_�_npi¿ÓÑ{�yÓo# ��kn¡n É �¶µ��©´·ÈÕåCZ���ÈÕå:���¾ZA��´·ô ² �cò ° ���¢ÓÑ{ ÙÖ��rm�_oz�_oWØAr& S�_�kj�rmoI�±�>o&���_�vn¡nÅ���_iÔ� �_iÔ�îrci2�k~�~ �k�_~� �_n«rc�pj_n«lÒ��oI���p~_�_o& �n¡�v����o���{  �_�p����k�vo�� É �p�mrci��2´·ÈÕåCZc{ ª�oIozϱj_jfo��_~_�«ØÒÏ qÕik�rc�_o ~_oI¢_���¦rm�¡ik��ivq!´£ÈÕåCZc{©áOqsrcoI����o#~_��ikjZrm�_o´·ÈÕåCZ��k��~�Æ��_��r I�knpn É �¶µ��KÈÕå:�D�¾ZA��´·ô² �cò ° ���(ÓÑ{�Ã���ik�  ��oIik��oI� Á � { ¾

É ��Õ­â«ukã ¼ â Á ã ¼I»m»m»I¼ â Ó ½ Á ã Ö�k�_~¬���p�_ Io��_i#rÖ��i�ikq�rc�_o���o����p~_�_o� Inp�k����oI�zâ¦ukã ¼ â Á ã ¼m»m»m»£¼ â Ó ½ Á ã!�k��o#oIÌÍ�_�kn��>oZ��oIorc�_�£r É ���k��o�Øf�k �rmn¦l¨Ó oInpoI��oI�mrm��{>×:lÑ}�Ø5o��� ��¡��o Á � { ¾ �¡qU�>o© S�_iAik��o

Ñ ûáØÒâ¦uvã ¼ Ñ � ØÒâ Á ã ¼I»m»m»I¼ Ñ É u�� ØÒâ Ó ½�Á ãrc�_o��

â Ñ ûIãC�îâ¦uvã ¼ â Ñ � ãC� â Á ã ¼m»m»m»�¼ â Ñ É u�� ãC� â Ó ½ Á ã »ª_iK��oO�knp��i��_�Ô¨Uo

É ��Õ­â Ñ ûmã ¼ â Ñ � ã ¼m»m»I»I¼ â Ñ É u�� ã Ö¿»� �

Page 88: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

� u ÀÅã!ä!åáÃÅÄÆæ&��иè sgä!Âl�gÀ�Á¥ìPå�L7ÄáÃÅĪæáÄÆÇKêQ���HÄ3Çf�&Ç ÃÅÄ&ì|Ç�]}Hr£�M�j��n �c· � x � ÙÖqcÓð� ¾ �>o©���S¨_oI§�qÕik��oWØ5�v��j�n¡o�§

� ØÒâ«ukã ¼ � ØÓâ Á ã ¼m½ � ØÓâ¦tkã ¼¿ÁkÁ ØÒâ À ã »Ï>��~��_o��_ Io�º

� ��Õ­â � ã ¼ â � ã ¼ â ½ � ã ¼ â ÁkÁ ã Ö¿»�¨nRE��jvw��vw�c� ��· � � � Ï ��oWrivqcÓ �¡�mrco�¹koI���

Õ Ñ û ¼ Ñ � ¼I»m»m»I¼ Ñ É u�� Ö�p�¸ ��knpn¡o�~���ÉS� ² �Ð���c�D�¸´I��ôSÈ�ò ° �±ôS�7ô7�D� ² ² �cò ° ���ÐÓ �¡q

É ��Õ­â Ñ ûcã ¼ â Ñ � ã ¼I»m»m»I¼ â Ñ É u�� ã Ö¿»~±� ² ÇI´dW9tkuv{ Á FËÏx Iik��j_npo�rmo&��oI���¡~��_oÞ��lf��rmoI� ��iA~_�_npiEÓ �¡���ik��o�rm�¡��oI�� ��kn¡npoI~Û�ÉS� ² �Ð���c���±ô7�c�Å����´I����´���ô7��å:��Ç¿�¶ÈbòA��ô^�I�I´ É {�]}Hr£�M�j��n �c· � � � ×®l  �_oIik��oI� Á � { ¾ §5j_{ � � §�qÕik� Ó�÷Nu

Õku ¼¿Á�¼ t ¼m»m»I»£¼ Ó ½�Á©Ö�p�¸�� �ik��j_n¡oWrco���o����p~_�_o���lf��rmoI�ø��i4~_��n¡i(ÓÑ{�]}Hr£�M�j��n ��· �±�1� Ã���ik��rm�_o��kw�iS¨_o�~_�¡�� I�_�����pik� �«r��¡�O �n¡o��k�¤rc�_��r�qÕiv�KoI�k S�¨Ó ÷�urc��oI��o#�v��o�p�_¢_�_�«rco�n¦l ���v�cl ~_�¡��rc�p�_ �r� �ik��j_npo�rco���oI���p~_�_o���l5��rco�������i4~��_n¡i>ÓÑ{�íik�o�Øf�k��j_npoI§��_o���oO�k��o���ik��oOo�Øf�k��j_npoI�>ivq® �ik��j_n¡oWrco���o����p~_�_o���lf��rmoI���>��iA~_�_npi � ºÁ {mÕku ¼kÁI¼ t ¼IÀk¼I¾uÖtk{mÕku ¼kÁI¼ t ¼m½ t ¼m½ZÁ©ÖÀ {mÕ Á u ¼m½ � ¼¿Á t ¼ � ¼¿Á�¾uÖ¾ {mÕku�þ � ö � ¼¿Á þ � ö ÿ ¼ t�þ � ö z ¼�À þ � ö � ¼I¾ þ � ö � Ö ���_o���o¤ö � ¼ ö ÿ ¼ ö z ¼ ö � ¼ ö � ���Ôlw�o�ÇIåU�2�p�crmoI¹ko�����{

�¨nRE��jvw��vw�c� ��· �±�1�  �_oO��o�rVÕku ¼¿ÁI¼m»m»I»£¼ Ó ½NÁ©Ö �p�� I�knpnpoI~rc�_oK��o�r�ikq^���SÇIô7��å:�IåUå:�¾Z�¥Ç¿��ÈbòA�±´���ôSÈ�ò ° ��ô ² �cò ° ���ÐÓÑ{��� nq��l»nq� ��· � x � TÐ�c�KÓ ÷*u ³ �!ZcÈbòA��åjF

Page 89: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

� Áï Á ð���� Óð� t��-^��¶µ���å

Õku ¼¿ÁI¼ t ¼m»m»m»·¼ � ½�ÁI¼ � ¼m½ ï�� ½�Á ð ¼I»m»m»I¼I½ t ¼I½�Á©ÖÈÕô�ÇzÉS� ² �Ð���c���±´���ôSÈ�ò ° �>ôS�7ô7��� ² ² �cò ° ����Ó F

ï�tkð���� Óð� t��Kþ Á ^���µ���åÕku ¼kÁI¼ t ¼m»I»m»·¼ � ¼m½ � ¼m»m»I»I¼m½ t ¼m½ZÁ©Ö

ÈÕô�ÇzÉS� ² �Ð���c���±´���ôSÈ�ò ° �>ôS�7ô7��� ² ² �cò ° ����Ó Fû�´I�c��� ���Bï Á ð�F¸ª_�¡�� IoO�¡qcÓð� t��

É ��Õ­â¦ukã ¼ â Á ã ¼m»m»m»£¼ âÚ��ã ¼ â �Kþ Á ã ¼m»I»m»I¼ âÚ�Kþ7>�ã ¼ âÚ�Kþ­� ½�Á ã Ö¿¼�¦r©���+¢� IoI�!rci��_i�rmoËrc�_�£r wmlÑ}�ØfoI�� I�p��o Á � { À �>o��_�Ô¨Uo

âÚ�Kþ7>�ãC�îâ �Kþ"> ½ t���ãC� â ½ ��þ">ÔãC�îâ ½ ï�� ½ >Ôð�ã »ª_i

â �Oþ Á ã£�îâ ½ ï � ½ Á ð�ã ¼ â �KþBtvãC� â ½ ï�� ½ tkð�ã ¼I»m»m»£¼ â �Kþ�� ½�Á ãC� â ½�Á ã ¼�k��~_oI���¡��oI~_{û�´I�c��� ���Bï�tkð�F¸ÙÖ��rm�_�¡�� ��k��o

â �Kþ7>�ãC�îâ ½ ï�t��Kþ Á ð�þ���þ">ÔãC� â ½ ��þ">�þ Á ãC� â ½ ï � ½ >�þ Á ð�ã��i

âÚ�Kþ Á ãC� â ½ ��ã ¼ â �OþBtvãK�îâ ½ ï�� ½ Á ð�ã ¼m»m»m»�¼ â¦t#��ãK�îâ ½�Á ã ¼�k��~_oI���¡��oI~_{�¨nFEj�jv��©v���� ��· � � �  �_o¸ Iiv��j�n¡oWrco>��oI���¡~_��o>��lf��rcoI����i4~��_n¡i Ó ¹k�«¨Uo��z�p�  �_o�ik��o��tkuk{ Á �¡�� I�vn¡npoI~�rc�_oZ���SÇIô7��Ç ³ ô7�¿� ° ���>´���ôSÈ�ò ° �¸ôS��ô7��� ² ² �cò ° ���(ÓÑ{~±� ² ÇI´�WZtkuk{pt�F5ÙÖq­ik�_oÅ S�_i4iv��oI�Ð�¡�#o��k S�#��o����p~_�_o� Inp�k����â Ñ ãcrc�_oË�����knpn¡o���r¸�_ik���_oI¹k�£rc�«¨Uo�¡�mrmoI¹ko���ik�_o¬ikw�rm�k�p�_��rm�_oB���SÇIô7�Oå:�IåUå:�¾ZAÇ¿��ÈbòA��´���ôSÈ�ò ° ��ôS��ô7��� ² {�ÙÖqik��oü S�_iAik��oI��¡�üoI�k S� ��oI���¡~��_o� �n¡�k���&â Ñ ã^�v� oInpoI��o��crzikq¤�����vn¡npoI��r&j�ik�����¡w_npo��vw_��iknp��rmoO¨4�knp�_o�iv�_oikw�rm�k�¡���!rm�_oZ���SÇIô7�ÅÇ ³ ô7�¿� ° ���±´���ôSÈ�ò ° �>ôS�7ô7�D� ² {�]}Hnqlotuvwz�n ��· � x � ÃÝ�p�_~w�i�rc�±rm�_oËnpoI�v��r���ik�_�_o�¹k��rc�«¨UoË��oI���¡~��_o���lf��rmoI�|�k�_~±rm�_oËnpoI�v��r�kw_��ikn¡�7rcoO��o����p~_�_oI��qÕik�ËoI�k S��ikq_rc�_oK��iA~_�_np��¹k�«¨Uo���w�oInpiÔ��{¸Ï±n¡��ik§��p�ÞoI�k S�� I�k��oK¢_�_~���¶µ¿ÈÕ´�ò� �ik��j_npo�rco���o����p~_�_o���lf��rmoI� òIÈYX>��´���å:�^qÕ��ik�?rc��oI��o¤rÖ�>ik{

Óð� À¿¼ Ó � ¾¿¼ Óð� � ¼ Óð� � ¼ Ó � � ¼ Óð� � »

Page 90: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

� t ÀÅã!ä!åáÃÅÄÆæ&��иè sgä!Âl�gÀ�Á¥ìPå�L7ÄáÃÅĪæáÄÆÇKêQ���HÄ3Çf�&Ç ÃÅÄ&ì|Ç

Page 91: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

ÙÖ� rc�_�p�¤ S�_�vj�rco��Ð��oK���_iÔ� ��iS�*rci ~_oI¢_��oK�k~_~_�«rc�pik�&�k�_~�� �_n«rc�pj_np�¡ ���rc�pik�Þikq���o����p~_�_o Inp�k����oI�K��iA~_�_npi>ÓÑ{±y|�¦rm����o���j�oI �r>rci rc��oI��o w_�¡���k��l ikj�oI���£rc�pik�_� É �¡����´£ÈÕåCZ��k�~_oI¢��_oI~��¡��Ï>j_j�oI��~_�¦Ø¬Ï±{�¨nFEj�jv��©v���� ��x � x � íik��â Ñ ã ¼ â Î ã�Ø É �>o�~_oI¢_��o

â Ñ ã¿þ â Î ãC�îâ Ñ þ Î ã�k�_~

â Ñ ã(â Î ã�� â ÑqÎ ã »�]}HrK�����wn ��x � x � íik�ÅÓð� � �>o��_�Ô¨Uo

â¦tvãkþ â À ãC�îâ � ã ¼�k�_~

â¦tvã â À ãC�îâ � ã »� i�rmo©rc����rÞ���p�_ �o � N uÓï���iA~ � ð �k�_~ � N Á ï���iA~ � ð¸�>o&�_�Ô¨Uoüâ � ã¥� â«ukãÅ�k�_~â � ãC� â Á ã���iK��oO ��k���vn¡��iO�����¦rmo

â«tkãkþ â À ãC� â¦ukãâ¦tvã â À ãC�îâ Á ã »

� À

Page 92: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

� ¾ ÀÅãáä!åáÃÅÄÆæ&��ç¸è�ä��_�(ê�ÃÅê�Á¥Â¶ä!Â��õì®�]L ÃÅê å�L7ê�ÀÅä�ÃÅê�Á� ê  sª_�p�_ Io&�2��oI���¡~_��o� �n¡�v��� ��k� �_�Ô¨Uo&���k�mlÒ��oIj_��oI��oI�mrc��rm�¦¨_oI��§>�«rÞ�¡� �¡��j�ik��rm�k�mrrci

 S�_o� S� rc�_��r�rm�_oK���_npoI�¸¹k�«¨Uo����p��/Ko�¢_�_�«rc�pik�Þt Á { Á ~_i��_i�r©~_oIj�oI��~�ik�rm�_oO��oIj���oI��oI��¥rc�£rc�«¨UoI�¸ S�_ik��oI�_{¸Ã­ik�¤oWØ5�v��j�n¡o�§­���_o���Ó � � ��o��Í�_iÔ� rc����râ � ã£�îâ¦tvã��k�_~ â ÁvÁ ãK�îâ«t Á ã

��iK�>o�ôSµ�� ° ��ò&�_�Ô¨Uoâ � ãkþ â ÁvÁ ãC� â«tkãkþ â¦t Á ã

�k�_~â � ã â ÁkÁ ã£�îâ¦tvã â«t Á ã »

ÙÖ�#rc�_�p�� I�k��o��>o� I�k�� S�_oI S�rm�_��râ � ãkþ â ÁkÁ ãC� â Á � ã��k�_~üâ¦tvãkþ â«t Á ãC� â¦t À ã »

� iÔ��t À N Á � ï���i4~ � ð¸���p�_ Io � × t À>½|Á � { í oI�_ �oÞâ Á � ãI� â«t À ãp§®�v�>~_o����p��oI~�{ Ï>np��iâ � ã â ÁkÁ ãj� â �¸� ãÝ�k�_~Bâ¦tvã â«t Á ãj��â ¾ tkãp{  �_o�� �¸� ½*¾ tE� À � �k�_~ � × À � ��i � � N ¾ tï���iA~ � ð��k�_~��_oI�_ �ozâ �¸� ã£�îâ ¾ tk㡧5�k��~_oI���¡��oI~_{��� nq��l»nq� ��x � x � Ý�I´�ÇIåU� ² �cò ° � ° ô¥Ó�÷Nu�Ès� â Ñ ãC� â Î ã¤ÇIå:òzâ Ü ãC�îâ G ãÅ�¶µ���å

â Ñ ãkþ â Ü ãC�îâ Î ã¿þ â G ãÇIå:ò

â Ñ ã â Ü ãc� â Î ã(â G ã »û�´��c���©F ï  ���¡�©qÕikn¡npiÔ��� �p����o�~_�p��rco�n¦lBqÕ��ik�  ��oIik��oI� Á � { À ï�j_{ � Á ð��k�_~  ��oIik��oI�Á � {pt�ï�j_{ � � ð�{pð�]}Hnqlotuvwz�n ��x � x � � ��iÔ¨Uo  �_o�ik��o�� t Á { Á {

y|�_oI�àj�oI��qÕiv�����¡��¹��k~_~_�«rc�pik�Û�k�_~Û� ��n¦rm�¡j_np�p I��rm�¡ik�à�p� É �_���p�_¹&rc�_o&���_n¡o��#�¡�/KoI¢��_�¦rm�¡iv��t Á { Á §5~_�_o¤rmi  �_oIik��oI� t Á { Á §4��oK���ÔlÑ��rK�k�mlzrc�p��oK��oIj�n¡�k �oZâ Ñ ã�wml9â Ñ rÚã�pq Ñ�N*Ñ r ï���i4~¿ÓÑð�{  �_�p�!���¡npn���ik��oWrc�p��o��±���k��o© ��knp I�_np��rc�pik�_�¸oI�v���poI��{�]}Hr£�M�j��n ��x � � �  �k�vo]Ó � Á � Á {  �_oI� Á � u N ½ZÁ ï���iA~ Á � Á ð±�v�_~ Á�¾ � N ½ tï���iA~ Á � Á ð�§5��i â Á � ukã(â Á£¾ � ãK� â ½ZÁ ã(â ½ tkã�� â«tkã�k�_~

â Á � ukãkþ â Á£¾ � ãK�îâ ½ZÁ ãkþ â ½ tkãC�îâ ½�À ãC� â Á�¾ � ã���p�_ �o Á�¾ � N ½OÀ ï���i4~ Á � Á ð�{

Page 93: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

� �y|�_oI�2�>ik���Í�p�_¹����¦rm� É �«r&�p�ikqsrco�� �_��oIqÕ�_n®rmiZ�����«rco��kn¡n^��o����p~_�_o& �n¡�k����o����p�

rc�_oOnpoI�k��r©�_ik�_�_o�¹k��rm�¦¨_o©��oI���p~_�_o���lf��rcoI��§:�k�Ð�>o©~_i��p�� �ik�_��rc���� �rc�p�_¹Orc�_oOqÕiknpn¡iÔ���p�_¹�k~_~_�«rc�pik���k�_~�� �_n«rc�pj_np�¡ ���rc�pik��rc�kw_npoI��qÕik� � {

þ â¦uvã â Á ã â¦tvã â À ãâ«ukã â¦uvã â Á ã â¦tvã â À ãâ Á ã â Á ã â«tkã â À ã â«ukãâ«tkã â¦tvã â À ã â¦uvã â Á ãâ À ã â À ã â«ukã â Á ã â«tkã

� â¦uvã â Á ã â¦tvã â À ãâ«ukã â¦uvã â«ukã â¦uvã â«ukãâ Á ã â¦uvã â Á ã â¦tvã â À ãâ«tkã â¦uvã â«tkã â¦uvã â«tkãâ À ã â¦uvã â À ã â¦tvã â Á ã

L±o� I�knpn�rc�_�£r wmlÑ}�ØfoI�� I�p��o Á � { Á ï�j_{ � � ðÐ�>oO�_�Ô¨Uo�qÕik���knpn Ñ �k�_~�Ó ÷ uÑ�N¶Ñ ��iA~ÐÓ ï���i4~¿ÓÑð »

ª_i��_���p�_¹���oI���¡~��_o© �n¡�v����o��>��iA~_�_npiÐÓ rc�_�p��¹k�«¨UoI�â Ñ ãC� â Ñ ��iA~mÓÑã »

í oI�� IoI§

â Ñ ãkþ â Î ãC�îâ¡ï Ñ þ Î ð���iA~mÓÑãâ Ñ ã â Î ãC�îâ¡ï ÑqÎ ð���iA~mÓÑã

ª_i��pq Ñ �v�_~ Î �k��o��¡�&rc��oZ��o�r¢Õku ¼¿ÁI¼I»m»m»£¼ Ó ½ Á©Ö §�rc�_o���o�oIÌÍ�_��rm�¡iv�_�©¹v�¦¨_oZ�_������ÔlÑrci�ikw�rm�k�p� ��o�j_��o���o��crm��rc�pik�_� ikq:rm�_oZ���_� �k�_~üj_��iA~_�_ WrzivqKâ Ñ ã��k��~Óâ Î ãÅ�p��rm�_o���k��oZ��o�rm{  �_�¡�©n¡o��k~_��rci��v� �kn«rco����_��rm�¦¨_o��>�Ôl¬rmi�~_o�¢_�_o É �k��~ �k~_~_�«rc�pik�ü�k�_~� �_n«rc�pj_np�¡ ���rc�pik���¡� É {�íik�� �n¡�k���¦rÖl&�>o¤���¡npn��_��o©~_�SR�oI��o��mr�_i£rc��rm�¡ik��{�¨nFEj�jv��©v���� ��x � � � íik� Ó ÷*uZ~_o�¢_�_o

§ É �óÕku ¼¿ÁI¼ t ¼m»m»m»·¼ Ó ½ Á©Ö�k�_~�qÕik� Ñ ¼ Î Ø § É ~_oI¢��_o

Ñut5Î �îï Ñ þ Î ð���i4~ÐÓÑuv5Î �îï ÑqÎ ð���i4~ÐÓ »

Page 94: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

�¸� ÀÅãáä!åáÃÅÄÆæ&��ç¸è�ä��_�(ê�ÃÅê�Á¥Â¶ä!Â��õì®�]L ÃÅê å�L7ê�ÀÅä�ÃÅê�Á� ê  s~±� ² ÇI´dW#t Á { Á F § É ���¦rm� t �v�_~ v �k��~_oI¢_��oI~��¡� vwz����M��lo� � vwt rmi É ���«rc���k~_~��¦rm�¡ik��k�_~9� �_n«rc�pj_np�¡ ���rc�pik�Ó¹v�¦¨_oI�Ówml®/KoI¢_���¦rm�¡ik�9t Á { Á {î⫪�rc��~_oI�mrc�Orc�k�Í�p�_¹ }�npoI��oI�mrc�v��lÏ>w���rc���k �r�Ï>np¹koIw����¸���pnpnfnpoI�k�����©���p¹kik��iv�_�Å~�oI¢_�_�«rc�pik�zivq4rc�_o!rco����î�p��ik��ik��j_�_�p I{�íik��_iÔ��§¿��o�rc�k��o�NW�p��ik��ik��j_�_�p Iαrmi©��o��k� NW�_�v��rm�_o>���k��o±qÕik����{¡Îkã  �_o>�k~�~_�¦rm�¡iv���k�_~� ��n¦rm�¡j_np�p I��rm�¡ik��rc�kw�n¡o��¸qÕiv� § � �v��oIº

t u Á t Àu u Á t ÀÁ Á t À ut t À u ÁÀ À u Á tv u Á t Àu u u u uÁ u Á t Àt u t u tÀ u À t Á�]}Hnqlotuvwz�n ��x � � � � ��iÔ¨Uo:rc�_��r¤qÕik�:o�¨Uo���lz��iA~_�_np�_�cÓ ÷Nu���o¤���S¨_o¤qÕik�:�knpn Ñ ¼ Î Ø § Éâ Ñ ãvþ â Î ãC� â Ñut5Î ã ¼

�k�_~â Ñ ã(â Î ãC� â Ñuv5Î ã »�]}Hnqlotuvwz�n ��x �±�1� h�ik�_��rc���_ �r �k~_~_�«rc�pik�Þ�k�_~�� ��n¦rm�¡j_np�p I��rm�¡ik��rc�kw�n¡o��¸qÕiv� § � {�]}Hnqlotuvwz�n ��x � � � h�È��¶µ�� ° �¤ò¿�IÈÕåCZ�È���§�rco�n¡n:�_iÔ��rciZikw�rc�v�¡�2�v~_~_�«rc�pik�2�k�_~�� �_n«rc�pj_np�¦¥

 I�£rc�pik�rc�kw_npoI�¸qÕik� � qÕ��ik��rc�_o¤�>ik���&�p��}�ØfoI�� I�p��o©t Á { À {�]}Hr£�M�j��n �Åx �±�1�´ù o�rmÜ¡����ikn¦¨_o�rm�_oO Iik��¹k���_o��_ Ioï Á ð t � t©Þ N � u Á ï���i4~ � ð »->���¡��¹Z��oI���p~_�_o� Inp�k����oI�±��i4~_��n¡i � ��o���o�o�rm�_��r�ï Á ð��¡��o�ÌA���¦¨4�knpoI�mr>rmiï�tvð â«t � t©Þ�ãK� â � u Á ã���_�p S���p��oIÌÍ�_�«¨��vn¡o��cr¸rciï À ð â«t � tvã â Þ�ãC� â � u Á ã���_�p S���p��oIÌÍ�_�«¨��vn¡o��cr¸rciï ¾ ð â¦tkã(â Þ�ãC�îâ Á ã »� iÔ� �>o�Í�_iÔ��â Þ�ãIØ�Õ­â«ukã ¼ â Á ã ¼m»m»I»�¼ â � ã Ö ��iZwcl�rc���¡�vn®�k��~�oI����ik����o ��oIo�rc�_�£r]Þ�� ��p�¸����ikn¡�7rc�pik�_{

Page 95: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

�¨nFEj�jv��©v���� �c� � x � ù oWr�Ó ÷xuk{2Ï���o����p~_�_oz �n¡�k���&â Ñ ãÆØ É �p�  ��kn¡npoI~ü� �j��vw� �¡qrc�_o���o©�¡�¸�k�_i�rm�_oI�¸��o����p~_�_o �n¡�v���#â Î ãHØ É ���_ S�Zrm�_��r&â Ñ ã(â Î ã �xâ Á ãp{KÙÖ��rm�_�¡�± I�k��o&â Ñ ã�k�_~ â Î ã��k��oO���k�p~�rmi�wfoOÈÕåCòA��´·ô7��ô����©�SÇ¿É�µÑ�¿��µ���´z�p� É {��� nq�clonq� ��� � x � T®�c� Ó ÷?u�FÐf ´I��ôSÈ�ò ° ��Éc��ÇIôSôzâ Ñ ã7Ø É ÈÕô&Ç ° åUÈ��ÐÈs�#ÇIå:ò��Iå:� �Ès�¸¹k I~�ï Ñ ¼ ÓÑðÆ� Á Fû�´I�c���©F ù oWr�â Ñ ã�w�oK���_�_�«rc{  �_o���rm�_oI��oK�¡����iv��o�â Î ã����_ S�#rc����r�â Ñ ã(â Î ã�� â Á ãp{ í oI�� Ioâ ÑqÎ ã�� â Á ã���i ÑqÎUN Á ï���i4~¿ÓÑð�{�ª_i�wml  �_oIiv��oI� Á � {¡tv§�j_{ � tk§5¹k I~�ï Ñ ¼ ÓÑðÆ� Á { i�j_��iÔ¨_oOrm�_o� Iik�m¨Uo�����oI§Ënpo�rZ¹k �~�ï Ñ ¼ ÓÑð!� Á {  ��oI� wml  ��oIik��oI� Á � { Á §!j_�v¹ko� Á §Írc�_o���o��p�¤�k�z�p�mrco�¹koI� Ñ!? ���� S�#rm�_��r Ñ/Ñ!?wN Á ï���iA~�ÓÑð�{ í o��_ Io�§�â ÑqÑ!? ãC� â Á ãp{�ª_iâ Ñ ã(â Ñ!? ãC�îâ ÑqÑ!? ãK�îâ Á 㡧5�k�_~#��o� I�k�#rc�v�vo Î � Ñ!? {� i�rmo®rc�_�£r¤qÕ��ik�  �_oIik��oI� Á � { � �>o¤��o�o®rc�_�£r��pq:â Ñ ãC� â Î ã�ï��¡{poI{p§ Ñ�N*Î ï���iA~�ÓÑð�ð

rc�_o���¹k I~�ï Ñ ¼ ÓÑðÆ� Á   ¹k �~:ï Î ¼ ÓÑðÆ� Á {˪_iK�p�� S�_oI S�Í�p�_¹�����o�rc��oI��ik�Ý�_i£r�����o����p~_�_o Inp�k���¸�p�¸���_���¦r��>o© ��k������oO�k�mlÑ��o�j_��o���o��crm��rc�«¨Uo ikq­rm�_oO Inp�k����{�]}Hnqlotuvwz�n ��� � x � ª_�_iÔ��rc�_��r â Á ãÅ�k�_~*â Ó ½�Á ãË�k��oz�kn«���Ôlf���_�_�«rc���p� É { í �p�crmºâ Ó ½ Á ãC� â ½ZÁ ãp{�¨nFEj�jv��©v���� ��� � � �  ��o ��oWr#ikqÐ�kn¡n����_�¦rm�>�p� É �¡�±~_oI��i�rco�~2wml Ì É �k�_~��¡�¸ I�vn¡npoI~rc�_oÐZc´�� ° �B��� ° åUÈ���ô�ikq É {�ª_oIoOϱj_jfo��_~_�«Ø¬Ï�qÕik�Ðrc�_oO~_o�¢_�_�«rc�pik��ivq®�¿Zc´�� ° ��{��� nq�clonq� ��� � � � T®�c�KÓ ÷Nu ^��¶µ���å

Ì É ��Õ­â >Ôã × Á þ�>îþ�Ó ÇIå:ò ¹v I~:ï5> ¼ ÓÑðÆ� Á©Ö¿»� �

Page 96: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

�¸� ÀÅã!ä!åáÃÅÄÆæ��#��èÊÃÅã!Ä�o�æÐÁ(� åÆÇ Ì sû�´��c���©F!yBoz�Í�_iÔ�xrc����r&�pq©â Ñ ã�Ø É rc�_o�� â Ñ ã¥� â >�ã:���_o���o&uøþ¤>�þ$Ó ½îÁ {àÙÖqÓ � Á rc�_o�� É � � � Õ­â¦uvã Ö � Õ­â Á ã Ö �k��~ ���p�_ Io¬â Á ã(â Á ã´� â Á ãp§Oâ Á ã^�¡����_�_�«rc§Ì � �gÕ­â Á ã Ö �v�_~Þrm�_oKrc�_o�ik��o�� �_iknp~_��{2ÙÖqjÓ ü tk§�rc��oI� ¹v I~:ï5> ¼ ÓÑðÐ� Á  I�k�üik�_n«l�_�kj�jfo�� �¡q Á þ�>�þ Ó ½îÁ §¤���p�_ Io�¹k I~�ï�u ¼ ÓÑðV� ¹v I~:ï_Ó ¼ ÓÑð�� Ó Ú� Á {üª_i�rc�_orc��oIik��oI� qÕiknpnpiS����qÕ��ik�  �_o�ik��o�� tktk{ Á �v�_~rc�_oO�kw�iÔ¨Uo���oI���k���Í��{��� nq��l»nq� ��� � �1� w Ì É ÈÕô�Ç�Zc´�� ° �7� ° å:ò¿��´ ²#° ����Ès�Ð� È�ÉSÇ¿�¶È��IåjF yï Á ð����©â Ñ ã ¼ â Î ã�Ø Ì É ��µ���åàâ Ñ ã(â Î ãcØ Ì É Fï�tvð� Ð�I´�Ç¿�Õ��â Ñ ãS^¸â Î ãS^±â Ü ã:ÈÕå Ì É ú¸�±µ�Ç©òA�#ï�â Ñ ã(â Î ãpðcâ Ü ãC� â Ñ ã(ï�â Î ã(â Ü ãpð�Fï À ð â Á ã(â Ñ ãC� â Ñ ã â Á ãC�îâ Ñ ã­�I�I´ZÇ¿�Õ��â Ñ ã�Ø Ì É Fï ¾ ð� Ð�I´��SÇ¿É�µÑâ Ñ ã�Ø Ì É ��µ���´I�¸ÈÕô�Ç&â Î ã�Ø Ì É ô ° É�µÑ��µ�Ç¿�Ëâ Ñ ã â Î ãC�îâ Á ãsFï � ð� Ð�I´�Ç¿�Õ��â Ñ ã ¼ â Î ã�Ø Ì É ú¸�>µ�Ç©òA�â Ñ ã â Î ã�� â Î ã(â Ñ ã¾F

�]}Hnqlotuvwz�n ��� � � � � ��iÔ¨Uo  �_o�ik��o�� tktk{ À {�]}Hr£�M�j��n �c� � x � -±���p�_¹  ��oIik��oI� tktk{pt���o���o�o¤rc�_��r

Ì �|� ��Õ­â Á ã ¼ â«tkã ¼ â ¾ ã ¼ â � ã ¼ â � ã ¼ â ÁkÁ ã ¼ â Á�À ã ¼ â Á�¾ ã Ö��Õ­â Á ã ¼ â«tkã ¼ â ¾ ã ¼ â � ã ¼ â ½ � ã ¼ â ½�¾ ã ¼ â ½ tkã ¼ â ½ZÁ ã Ö¿»� i�rmoÐrc�_�£r¸�_���p�_¹O�kw_��ikn¡�7rco�npoI�k��r>��oI���¡~_��o¸��iA~_�_npi Á � ���p��j_n¡�p¢_o��Å�©�_n¦rm�¡j�n¡�p I��rm�¡iv���iv��oW���_��rm{¥L±�£rc�_o��frc�_�v�±�����«rco�ik�7rÐrc��o¤oI�mrc�p��o��©�_n«rc�pj_n¡�p I�£rc�pik��rc�kw_npoI§7��oÐÆ��_��r�¢_�_~

rc��o��p�m¨Uo�����o©ikq:oI�k S��oInpoI��oI�mrikq Ì �|� ºâ Á ã â Á ãC� â Á ãâ«tkã(â ½ � ãC� â¦tkã(â � ãC�îâ Á ãâ ¾ ã â ¾ ãC� â Á ãâ � ã(â ½ tkãC� â � ã(â Á�À ãC� â Á ãâ ½�¾ ã(â ½�¾ ã�� â ÁkÁ ã â ÁkÁ ãC� â Á ãâ ½�Á ã(â ½�Á ã�� â Á�¾ ã â Á�¾ ãC� â Á ã »

�]}Hnqlotuvwz�n ��� � �1� ÃÝ�p�_~�rm�_o�o�n¡o���o��mrc��ikq Ì Ü �p� ³ �¿��µ�npoI�v��rO�_iv�_�_oI¹v��rc�«¨Uo��v�_~z�kw_��i�¥np��rco¤npoI�v��r¸��o����p~_�_o�qÕik���?�v�_~#¢_�_~>rm�_o��¡�m¨_oI����o�ikqUoI�k S��o�n¡o���o��mrc§­�k�!�p�>rc�_o¤oWØf�k��j_n¡o�kw�iÔ¨UoI{

³yxìßú�à°¶tÁ¿ÁYË�zX{h|\}Kz�~K|F¶P½¡Âì¶tÁ¿Ávº�µ°¶tº]¾¿¹ý½ Â:��à°¾¿½¡ÂÉÊ@Ä6»P½&�4�Dº »0ÅvÂ2¶U�K�(�K�4��Ì4�²½ »tâáÂý º Ë�z\�p|R¹¡¶ Ë�¹�º�µÆ¶Pº�4�A¾¿¹ì¶P·��e���������;�`ÇP½¡»PàÆâ Ìc�°ÂÉÂ&xìâÆâáÂ÷°Ê°¾ �uxDÌ

Page 97: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

�¸��¨nFEj�jv��©v���� ��� �±�1� ÙÖq�� �¡�±����oWrc§­rc�_o��Í�_� w�oI��ivqÝoInpoI��oI�mrm�K�¡�T� �¡�±~_oI��i�rco�~2wml× � × {�]}HrK�����wn ��� � � � × Õ Á©Ö × � Á § × Õku ¼¿ÁI¼IÀk¼ � Ö × � ¾ § × É × � Ó �¡qcÓ ÷ uv{�¨nFEj�jv��©v���� ��� � � � ÙÖq Óðü Á §

� ï_ÓÑð�� × Õ�>&Ø × Á þ�>´þ�Ó �k�_~ ¹v I~�ï6> ¼ ÓÑðÆ� Á�Ö × »Â �_o�qÕ�_�� �rc�pik� � �¡�Ë I�knpn¡o�~©rc��o=C ° ����´Å��µ¿È_� ° å:Éc�¶È��Iåüik��rc�_o=C ° ����´#���¿�¶È���å:�A� ° å:Éc��È��IåU{�¿�clo���w�wrKlo� ��� � x � ���ÆÓ ÷*u¸^

× Ì É × � � ï_ÓÑ𠻯 �¿���#��µ�Ç¿�

Ì � �óÕ­â Á ã Ö ô7� � ï Á ð�� ÁÌ ÿ �óÕ­â Á ã Ö ô7� � ï�tkð�� ÁÌ z �óÕ­â Á ã ¼ â«tkã Ö ô7� � ï À ð��NtÌ � �óÕ­â Á ã ¼ â À ã Ö ô7� � ï ¾ ð��NtÌ � �óÕ­â Á ã ¼ â«tkã ¼ â À ã ¼ â ¾ ã Ö ô7� � ï � ð�� ¾Ì Û �óÕ­â Á ã ¼ â � ã Ö ô7� � ï � ð��NtÌ Ü �óÕ­â Á ã ¼ â«tkã ¼ â À ã ¼ â ¾ ã ¼ â � ã ¼ â � ã Ö ô7� � ï � ðÆ� � »

Ä©o��_oI���kn¡n«l � ï ÓÑð^�p�^�_i�r±oI�k��l�rci� I�knp I�_np��rmoI{ í iÔ�>o�¨_oI��§Arc�_o¸qÕiknpn¡iÔ���p�_¹¸rm�_oIik��oI������_iÔ�àrc�_�£r�ik�_ �o®rc��o¤j_���p��o�qÕ�k �rmik���SñI�£rc�pik�ikq¸Ó �p�ݹk�«¨UoI��§U Iik��j_��rm�¡��¹ � ï_ÓÑðÐ�¡�Ýo��k��lk{��� nq�clonq� ��� � � � ��� Ñ ÷Nu2ÇIå:ò Î ÷ u�ÇIå:ò©¹k I~:ï Ñ ¼ Î ð&� Á ^¸��µ���å

� ï ÑqÎ ðÆ� � ï Ñ ð � ï Î ð »��� nq�clonq� ��� � § � ���!ý�ÈÕôË��´·È ² �ÇIå:ò¸öü÷Nu2�¶µ���å

� ï�ý � ðÆ�9ý � ½ ý �#u�� »��� nq�clonq� �c� � « � T®�c�Íý � ¼ ý ÿ ¼m»m»m»�¼ ý � ³ �©òIÈÕô7��ÈÕå:Éc�¿��´·È ² ��ô�ÇIå:ò����c�Aö � ¼ ö ÿ ¼m»I»m»�¼ ö � ³ ��5�IôSÈ��¶ÈbòA�¸ÈÕå:�D�¾ZA��´·ô^¸��µ���å

� ï ý � ñ� ý � òÿ*����� ý � �� ðÆ� ý � ñ� ½ ý � ñ u��� ����� ý � �� ½ ý � � u��� »

Page 98: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

� u ÀÅã!ä!åáÃÅÄÆæ��#��èÊÃÅã!Ä�o�æÐÁ(� åÆÇ Ì sפoIqÕiv��oK~_�p�� ��_�����¡�_¹�rc�_oKj_��i4ivqÕ��ikq_rc�_o���o¤rc�_��oIo¤rc��oIik��oI����§�npo�rmÜ¡���pn¡np�_��rm����rmo¤rc�_o��¡�

�_��oIº

� ï Á tkð�� � t ÿ �kÀ � t ÿ ½ t � À � ½BÀ û � t � tV� ¾� ï � ukukuvð�� � t z � � z �vÀ ÿ � t z ½ t ÿ � z ½ � ÿ À ÿ ½BÀ �� ¾��­Á uku � � �Nt ¾ uku »� i£rcoËrc����r©�¡q­ý��p���k�mlÑj_���¡��o¤rc�_o��

� ï¶ýUðÆ�àý ½�Á�»Ù:���pn¡n����voWrc S�2��j_��iAikq:ikq  �_oIik��oI� tktv{ ¾ �p��}�ØfoI�� I�p��o tvtk{ � w�oInpiS��{ � iS� Ù˹k�«¨Uo

rc��o�j���iAikq�ikq  �_o�ik��o�� tktk{ � {û�´��c���©���&æ�µ��S�I´�� ² tvtk{ � F!yBo����k�mr&rmi  Iik���cr&rm�_o2�Í�_�©wfo���ivqKoInpoI��oI�mrc���p� rc�_o��oWrg� � Õ ÁI¼ t ¼m»m»m»£¼ ýq� Ö rm�_��rZ�k��oZ��oInp��rc�«¨Uo�n¦lBj_���p��oOrmiZýq�Í{ ù o�rd�øwfoKrc�_oZ��oWrzikqoInpoI��o��crm�±ivq��9rm�_��r��_�Ô¨UoO��qÕ�k Wrcik��÷ Á �¡�� Iik����ik����«rc�W�±{ � i£rco¤rc�_�£rO�¡q Î Ø���k�_~ѹk �~©ï Î ¼ ýq�Íð]� G ÷ Á §5rm�_oI� G �p�O�ÞqÕ�k �rmik��ikq�ýq���k��~ G ÷ Á ��i G �_�k�¤ý¬�k�O�qÕ�k Wrcik��{ í o��_ Io Î �Bý���§�qÕik�¤��ik��o���§��k��~ýEþ Î þBý � §���iKý¢þ��7ýEþBý � {�ÙÚr�qÕiknpn¡iÔ���rc����r Á þ��¿þÓýq�vu���{  �_��r©�p��§

�¶� ý ¼ tIý ¼IÀ ý ¼m»m»m»·¼ ��ý ¼m»m»m»�¼ ý �#u�� ý »yBo �k��o �p�crmoI��oI��rmoI~¬�¡��rc�_o©�A��� w�oI�KikqÝo�n¡o���oI�mrc�Oikqw�|�_i�r#�p��� {©ª_�p�_ Io × � × �*ýq��k�_~ × � × �9ýq�vu���§�rc�_�p���Í�_� w�oI�¸�¡�!ýq� ½ ýq�#u���{  ����r©�¡��§ � ï¶ýq�Íð��Býq� ½ ýq�#u���{

 �_ozj_��i4ivq�ikq  �_o�ik��o�� tktk{ � qÕivn¡npiÔ���qÕ��ik�  �_o�ik��o����#tktk{ ¾ �k�_~ tvtk{ � {  �_oj_��i4ikq��p��wcl��¡�_~��_ �rm�¡ik��ik�#öà�k�_~Þ�¡��ÌÍ�_�«rcoO���p���¡np�k�Ýrci�rm�_oOj_��iAikq:ikq  ��oIik��oI� Á�À { Áï�tvð�ik�Þj_�k¹ko � uk§5��i�ÙËik���«r�rc�_oO~_oWrc�k�pn¡��{�]}Hnqlotuvwz�n ��� � � � ÃÐ�¡�_~ rm�_o���oWrc� Ì É §�qÕik� � þ:Ó þ tvuk{ � i�rmo�rc�_��r × Ì É × �� ï ÓÑð�{.-±��o  �_oIik��oI� tktk{ � rci¬ I�knp I�_np��rmo � ï ÓÑðZ�v�_~B S�_o� S�Ñrm�_��r�lUiv�Ó�_�Ô¨Uo�rc�_o���p¹k�mr��Í�_� w�oI�¸ikq®oInpoI��oI�mrc�¸qÕik��o��k S����o�r Ì É § � þ�ÓÙþ tvuk{�]}Hnqlotuvwz�n ��� � § � ª_�_iÔ� rc�_��r©�pq

Ó �Bý � ñ� ý � òÿó����� ý � �����_o���o�ý � ¼m»m»I»I¼ ý � �v��oK~_�p��rm�¡�_ Wrj����p��o��±�v�_~�o��k S��ö8Ó7ü Á §�rc��oI�

� ï_ÓÑð���Ó Á!½ Áý � Á!½ Áý ÿ ����� Á!½ Áý � »

Page 99: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

� Á�]}Hnqlotuvwz�n ��� � « �]ù oWr Ñ �v�_~ Î w�o2��oInp��rc�«¨Uo�n¦l�j����p��o�j�ik���¦rm�¦¨_o��¡�mrco�¹koI����{ yÓ���¦rmoöø� ÑqÎ {A/Ko�¢_�_o¤rc�_oO���kj_j��¡�_¹���wml&rc�_oO����n¡o

�Ýï�â Þ�ã � ðÆ� ï�â Þ�ã H ¼ â Þ�ã J ð »í o���o!��o�~_o��_i�rco!rc��o¸��oI���¡~_��o> Inp�k���^ivq-Þ2��iA~_�_npi�Ó wmlüâ Þ�ã É {ËÃÝ�¡����r¸�pn¡np�_��rc���£rco¸oI�k S�ikq®rm�_oZqÕivn¡npiÔ���¡�_¹�qÕik�¤rc�_oZ��j�oI I�p�kn^ I�k��o Ñ � À �k�_~ Î � � {  �_oI� j_��iÔ¨Uo�oI�k S� �p�¹koI��oI���vn¡{©ï  ��o©j_��i4ivq:�p��~_�ã¢� ��_n«r�k��~��p��ikj�rc�pik�_�vn¡{pðÁ {m�Ѻ ��� HO� J �¡�Kik��o�¥(rmi�¥Siv�_o �k��~�ik�mrcik{�ï  �_�¡�K�p�� ��kn¡npoI~zrm�_oÞ�е¿ÈÕå:��ô7�~±� ² ÇIÈÕå:ò¿��´�æ�µ��S�I´�� ² {¡ðtk{m�&º Ì ��� Ì H � Ì J �¡���knp��i���ik�_o�¥Drci�¥Ôik�_o�§�ik�mrci����kj_j_�p�_¹k{À {Oh�ik�_ �n¡��~_o©qÕ��ik� ï�tkðÝrc�_�£r � ï ÑqÎ ðÆ� � ï Ñ ð � ï Î ð�{

Page 100: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

� t ÀÅã!ä!åáÃÅÄÆæ��#��èÊÃÅã!Ä�o�æÐÁ(� åÆÇ Ì s

Page 101: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

Ý��´ ² Ç¿��ó ô=î¤ÈbZüæ�µ��S�I´�� ² ik��§��k���«r �p�¸�kn¡��iZ ��knpn¡o�~_§7 Ý��´ ² Ç¿��ó ô]T®ÇIô7��æ�µ��S�I´�� ² ��rc��rmoI�rc�_�£rVÞc��þ � �¨� � ���_�k�O�_i���ivn¡��rm�¡iv�_�O�¡�üjfik���¦rm�¦¨_oZ�p�mrco�¹koI����Þ ¼ � ¼�� ���_oI��ö*÷�tv{ �_�p���>�k� j���iÔ¨Uo�~ wmlàÏ>�_~���o�� y|�¡npoI�©�¡� Á �¸� � iÔ¨Uo�� À � u#l_oI�k���©�vqsrcoI�O�«rO���k��¢_����r��oI�mrc�pik�_o�~�wcl íoI�����£rc{  �_o¸rm�_oIiv��oI� rc����r �ik�_ �oI�������_�>�p�Zrm�_�¡�± S�_�kj�rmoI�±�¡�á Ý��´÷¥² Ç¿�Ôó ô�T:È��������¬æ�µ��S�I´I� ² {  �_�p��rm�_oIiv��oI� �¡�O� �� S� oI�v���poI�¤rciÞj_��iS¨_oI§^w_��r��_�v����ik��oqÕ�k�^��oI�v S�_�¡��¹ Iik����oIÌÍ�_o��_ Io���qÕik���kj_j_np�¡ ���rc�pik�_�:rci� I��lfj�rmik¹k���kj_�ml2�v�_~���oI I����oÅrm���k�_��¥���¡�����pik�2ikq®~_��rc��ik��rc�_o�ÙÖ�mrcoI���_o�rm{  �_o�¢_����r±rm�_oIik��oI�øw�oInpiS� �¡�¸�Z¹voI�_o����knp� ñ���rc�pik�ikq:Ã�o�������rmÜ¡� ù �¦r�rcnpo  �_oIik��oI� ~_��o�rmi�}^��n¡o���{

��� nq�clonq� � �1� x7Z �]�j�wn/l-°±z ��� nq�clonq�I\�� ����Ó ÷*u�ÇIå:ò Ñ ÈÕô�´��c��Ç¿��ÈbòA�c� ����´£È ² � �D�Ó �¶µ���å

Ñ;¡ × É Ø N Á ï���iA~¿ÓÑð »��� nq�clonq� � �1� �®Z �7n/lo��rK�q°±z¢²&vw�����wn ��� n/��lonq�I\R� ����ý¬ÈÕô¤��´£È ² ��ÇIå:ò Ñ ÈÕô�´��c��Ç�¥�¶ÈbòA�c� �K��´·È ² ����±ýà�¶µ���å

Ñ 2 u�� N Á ï���iA~�ý_ð »ù oWrcÜp�±npiAik����r���ik��o©oWØf�k��j_n¡o���{  �v�vo Óð� Á t�rm�_oI�

� ï_ÓÑð�� � t ÿ �kÀ � t ÿ ½ t ï À¸½�Á ð�� ¾¿»� À

Page 102: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

� ¾ ÀÅãáä!åáÃÅÄÆæ��vK�èàÃU¢�ÁýÃÅãáÄ!Á¥æ�ÄÆìPÇ�Á¥í�Ä��]L7Ä&æ*äáÂ��õí ÄÆæáì|ä�à�_oOj�ik���«rc�«¨Uo��¡�mrmoI¹ko���� Ñ>ß Óø���¦rm��¹k �~�ï Ñ ¼ ÓÑðÆ� Á �k��o Á § � § � �k�_~ ÁkÁ {

Á � N Á ï���iA~ Á tkð �p�� InpoI�k�� ÿ N Á ï���iA~ Á tkð ���¡�� Io Á t × t � ½ Á

£ � ÿ ÿ N Á ÿ ï���iA~ Á tvð£ � � N Á ï���iA~ Á tkð »

� iÔ� � N ½ � ï���iA~ Á tkð��k�_~����p�_ Io ¾ �¡�¸o�¨_oI�� � N � � ï���i4~ Á tkð

£ � � N Á ï���iA~ Á tkð »ÁkÁ N ½�Á ï���i4~ Á tkð��v�_~��v¹k�k�p�����¡�� Io ¾ �p��o�¨_oI���>o��_�Ô¨Uo

ÁkÁ � N ï ½ZÁ ð � ï���i4~ Á tkð�k�_~

ÁkÁ � N Á ï���i4~ Á tk𠻪_iK��oO�_�Ô¨Uo�¨Uo����p¢_oI~  �_oIiv��oI� t À { Á qÕik�Ðrm�_oO���p�_¹knpo© ��k��o�Ó � Á tk{

�]}Hnqlotuvwz�n � �1� x � ä¸oI���pqsl rm�_��r  ��oIik��oI� t À {¡t>�_iknp~_�!�¡qký�� � wmlz~_�¡��oI Wr¸ I�knp I�_np��rm�¡ik��k���p�#rm�_oO�kw�iS¨_o©oWØf�k��j_n¡o�{�¨nRE��jvw��vw�c� � �1� x � ï � iÔ��o����©ikqÅ��oI���¡~_��o� Inp�k����oI��{¡ðBÙÖqKâ Ñ ã Ø Ì É ~_oI¢��_o2â Ñ ã � � â Ñ ã�k�_~�qÕik�:öü÷ Á §!â Ñ ã � � â Ñ ã(â Ñ ã ����� â Ñ ãA����oI��o^rc�_o���o>�v��oÅö  Iikj��¡o��¤ikq�â Ñ ãfik��rc�_o±���p¹k�mrc{��� nq��l»nq� � �1� �1� ���©â Ñ ã�Ø Ì É ^¸��µ���åÛâ Ñ ã ��Ø Ì É �I�I´�ö�ü Á ÇIå:ò�â Ñ ã �>�îâ Ñ �ÍãsFû�´��c���©F!yBo�j���iÔ¨Uo�rc�_�£r�â Ñ ã �>�îâ Ñ �Íã�Ø Ì É qÕik�Ýö�ü Á wcl��¡�_~��_ �rm�¡ik��ik�#öÝ{ÙÖqföÏ� Á §�â Ñ ã � � â Ñ ã�� â Ñ � ã��k�_~�wml¬�k�����_��j�rc�pik� â Ñ ã�Ø Ì É {�ª��_j_j�ik��o

â Ñ ã � � Ñ � Ø Ì ÉqÕik����ik��o:��ü Á {  �_o��

â Ñ ã � ï�� �îâ Ñ ã � â Ñ ã� Ñ � â Ñ ã wmlzrm�_oO�¡�_~��_ �rm�¡ik���ml5j�i�rm�_oI���¡�� Ñ � Ñ wml�/KoI¢��_�¦rm�¡iv��t Á { Á §5j_{ � À� Ñ � ï�� ���¡�_ �o Ñ � Ñ � Ñ � ï�� »

ª_i�wml&rc�_o � Ê ÙÖ§�rm�_o¤rc�_o�ik��o�� �_iknp~_��qÕik�Ýö�ü Á {

Page 103: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

� �� i�rmo©rc�_�£r&qÕik��¢�ØfoI~¦Ó ÷øu2�¡q�¹v I~�ï Ñ ¼ ÓÑð>� Á rc�_o��*â Ñ ã´Ø Ì É { Ï>��~ �_���p�_¹

 �_oIiv��oI� t À { À �>o©���S¨_oÑ � N Á ï���iA~�ÓÑð0S?U â Ñ � ãK�îâ Á ã�S?U â Ñ ã � �îâ Á ã »

ÙÚr�qÕiknpn¡iÔ���Ërc����r#}��_npoI��Ü¡�  �_o�ik��o�� ï  �_oIik��oI� t À { Á ð>�p�KoIÌÍ�_�«¨4�kn¡o��mrKrci rc��oqÕikn«¥n¡iÔ���p�_¹Krc�_o�ik��o���{��� nq�clonq� � �n� � � ����Ó ÷ uÑÇIå:òzâ Ñ ã�Ø Ì É ��µ���å

â Ñ ã ¡ × É Ø � â Á ã »Ï�j_��iAikq�ikq  ��oIik��oI� t À { ¾ �p�±ik�7rcnp�¡�_o�~��p�#rc�_oOqÕiknpn¡iÔ���p�_¹�o�ØfoI�� I�p��oI{�]}Hnqlotuvwz�n � �1� �®Z ÷E�j��vw����rK�s\R�´ù oWr Ì É � Õ�� � ¼ � ÿ ¼m»I»m»I¼ � ¡ × É Ø Ö { í oI��o���o¸�����«rco�(Ó�qÕiv������oI���¡~_��o© �n¡�k���±�p� Ì É rci����p��j_n¡�pqsl¬�_i�rm��rc�pik�_{Á {Oª_�_iÔ� rc�_��r©�pq>� Ø Ì É rm�_oI�

Õ���� � ¼ ��� ÿ ¼�������¼ ��� ¡ × É Ø Ö � Ì É »tk{Oª_�_iÔ� rc�_��r©�pq>� Ø Ì É rm�_oI�

��� � ��� ÿ ����� ��� ¡ × É Ø �¤� � � ÿ ����� � ¡ × É Ø »À { ù o�r��5�V� � � ÿ ����� � ¡ × É Ø {�ª_��iS�Nrc�_��r��pq�� Ø Ì É rm�_oI�¥� ¡ × É Ø �3�¦� »¾ {Oh�ik�_ �n¡��~_o©qÕ��ik� ï À ðÝrc�_�£r§� ¡ × É Ø � â Á ã��k�_~��_oI�� Io  �_oIik��oI� t À { ¾ �p�Ýrc����oI{Ï>np��i  �_oIiv��oI� t À { ¾ �p�¤�k�&oI�v��l� Iik�_��oIÌÍ�_o��_ Io�ikq T®Ç©Zc´�ÇIåCZA�Aó ôÞæ�µ��S�I´�� ² §¿���_�¡ S���rm�_~_oI�mrm�©���_i�rm�k�vo ï�ik���_�Ô¨_oZrc�k��oI�_ð��  �ik�_����o��p�B�vw_��rm���k Wr2�knp¹ko�w_���Þ���¡npn±npoI�v���

�kw�ik��r�ï�iv�Ð���¡npn��kn¡��oI�k~7lÑ�Í�_iÔ��ð�{�]}Hnqlotuvwz�n � �n�±�1� ª_�_iÔ� rm�_��r¬Ã­oI������rcÜp� ù �¦r�rcnpo  ��oIik��oI� qÕiknpn¡iÔ���&qÕ��ik� }��_npoI��Ü¡� �_oIiv��oI��{�]}Hnqlotuvwz�n � �1� � � ª��_iÔ�*rm�_��r��¡qUý&�p��j_���p��oÅrc��oI� Ñ 2 N*Ñ ï���iA~Zý_ðËqÕik�Å�kn¡nf�¡�mrmoI¹ko����Ñ { í �p�mrcº&h�ik�����p~_oI�>rÖ�>i2 I�v��oI��º�ÙÖ{^¹k �~�ï Ñ ¼ ýUðV� Á �k�_~ Ù�ÙÖ{Źv I~�ï Ñ ¼ ýUð÷ Á { � i�rmorc�_�£r��¡�#rc�_oO��oI Iiv�_~� ��k��o�ý × Ñ {�]}Hnqlotuvwz�n � �1� § �áù o�r�Ó ÷ uk{ ù o�r�¹k �~�ï Ñ ¼ ÓÑð¿� Á {Ûª_�_iÔ� rm�_��r Ñ ¡ × É Ø u����p�#�k��¡�m¨_oI����o qÕik� Ñ ��iA~_�_npi(ÓÑ{©ï�ª_o�o  �_o�ik��o�� Á � { Á §�j�{ � Á {pð

Page 104: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

�¸� ÀÅãáä!åáÃÅÄÆæ��vK�èàÃU¢�ÁýÃÅãáÄ!Á¥æ�ÄÆìPÇ�Á¥í�Ä��]L7Ä&æ*äáÂ��õí ÄÆæáì|ä�Ã�]}Hnqlotuvwz�n � �1� « � íik�¤�vn¡n Ñ Ø+Õ ÁI¼ t ¼�À¿¼I¾¿¼ � ¼ � Ö ¢_��~#rm�_oO�¡�m¨_oI����o Ñ!? ikq Ñ ��i4~��_n¡i �wmlÑ�_��o©ikq:}�ØfoI�� ��¡��o t À { � {�h���i4ik��o Ñc? �p��o��k S�� ��k��o���iKrc����r Á þ Ñ!? þ � {�]}Hr£�M�j��n � �n� x �Æ� i�rmoËrc�_�£rOíoI������rmÜ¡� ù �«r�rmn¡o  ��oIik��oI�x ��k�Þwfo>�_��o�~#rmi#���p��j_n¡�pqslrc��o¤ Iik��j_�7rc��rm�¡ik�#ivq Ñ � ��iA~�ý�����oI��oÝý��p�Ýj_���¡��o�{¥L±o� I�knpn7rm�_��r��pq Ñ � N 3 ï���i4~�ýUð���_o���o u¿þN3 ß ýU§Urc�_o�� Ñ ���iA~Ký¨�N34{¤yÓo© I�k��~_i©rÖ�>i©rc���¡�_¹v�^rciZ���p��j_n¡�pqsl�rc�_o Iiv��j���rc��rm�¡iv�_ºï Á ð�L¸oIj_np�k �o Ñ wcl Ñ ��i4~OýU{ï�tvð�L¸oIj_np�k �o�öàwml&ö¬��i4~�ï¶ý ½ Á ð�{

ª_�_j�jfik��o¤��o����v�cr�rmiZ ��kn¡ ��_np��rco

Á t Àk¾ Ü } ÛQ�Q�QzQ� ��i4~ ÁkÁI»� i£rco®rm�_��r Á t Àk¾ N ½�Á þ&t ½&À þ ¾ ï���iA~ ÁvÁ ð�§�rm�_��r��p��§ Á t Àk¾ N t ï���iA~ ÁkÁ ð�{^ª_�p�_ Io¹k �~�ï�t ¼kÁkÁ ð&� Á ��o©�_�Ô¨Uo©tR� û N Á ï���i4~ ÁkÁ ð�{ � iÔ� � � � � ¾kÀ � � ï � �¸� � ¾kÀ ð ��Á u¸þ ���i

t Ü } ÛQ�Q�QzQ� N t × Ü } ÛQ�Q�Qz Ø�¨ � û ïv� ï���i4~ ÁkÁ ðN t � û Ü } ÛQ�Q�Qz � t � ï���i4~ ÁkÁ ðN Á Ü } ÛQ�Q�Qz � t � ï���i4~ ÁkÁ ðN t � ï���iA~ ÁkÁ ð ¼

�k�_~Þt���� À t N Á uÓï���iA~ ÁkÁ ð�{ í o��_ Io�§

Á t Àv¾ Ü } ÛQ�Q�QzQ� N Á u ï���iA~ ÁkÁ ð »ÙÚr�qÕiknpn¡iÔ���!rc�_�£r

Á t Àk¾ Ü } ÛQ�Q�QzQ� ��iA~ ÁkÁ � Á u »�]}Hnqlotuvwz�n � �1� ­ � ->��o¤rc�_o¤rco� S�_�_�pÌÍ�_o �p��rm�_oO�kw�iS¨_o©oWØf�k��j_n¡o�rci� ��kn¡ ��_np��rco

t � � ÿ û ÿ ��iA~ Á�Àk»â í oI��o¤lUik�� I�k���_i�r©�_��o�rc��o���iA~ ÁkÁ rc���p S�ͧ�ikq® �ik�_����oI{pã

Page 105: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

Ï> � Iik��~_�¡��¹Krmi#íoI������rmÜ¡� ù �«r�rmn¡o  �_oIik��oI��§��pq­ýÞ�p�¤j_���¡��oK�k��~ Á þ Ñ þBý ½*Á §Arm�_oI�Ñ 2 u�� N Á ï���iA~�ý_ð »

 �_o� Iik�m¨Uo�����o �p�¸�vn¡��iKrm���_oO�p��rm�_oOqÕiknpn¡iÔ���p�_¹Z��oI�_��oIº��� nq�clonq� ��� � x � ����ÓÙü t2ÇIå:ò¸�I�I´�Ç¿�Õ� Ñ ô ° É�µÑ��µ�Ç¿� Á þ Ñ þ�Ó ½ Á ú¸�>µ�Ç©òA�

Ñ É u�� N Á ï���iA~¿ÓÑð�¶µ���åEÓ ²#° ô7� ³ �^��´£È ² ��Fû�´I�c���©F¸ÙÖqfrc�_o �clfj�i�rc��oI���p�K�_iknp~_��§�rc��oI�2qÕik�¸�knpn Ñ ���«rc� Á þ Ñ þàÓ ½|Á §U��o �A��iS�rc�_�£r Ñ �_�k�Ë�v�z�¡�m¨_oI����oO��iA~_�_npi!Óѧf�_�k��oIn«l¿§ Ñ É u ÿO�¡�Å�k�z�p�c¨_oI����oOqÕik� Ñ ��iA~_�_npi]ÓÑ{×®l  ��oIik��oI� Á � {¡tv§Arc���¡�����Slf�Ðrm�_��rOqÕik� Á þ Ñ þ5Ó ½NÁ §f¹k I~�ï Ñ ¼ ÓÑðÆ� Á {¤×Ë��r��¡qCÓ��o���o��_i�r�j_���¡��o�§�rm�_oI�z�>o���ik��n¡~ü�_�Ô¨Uo(Ó � ÑqÎ ���«rc� Á ß�Ñ¨ß Óѧ Á ß�Îmß ÓÑ{ �_oI��¹k I~�ï Ñ ¼ ÓÑðÆ� Ñ ÷ Á §��� Iik�mrc���k~_�p �rm�¡ik��{¸ª�iÐÓ � �_��rw�oOj_���p��oI{

->���p�_¹�rc�_o¸�kw�iS¨_o^rm�_oIik��oI�Nrmi© S�_o� S��rc�_��rÅýZ�¡�^j_���p��o��>o^�>ik�_np~����S¨_o^rmi© S�_o� S�rc�_�£r Ñ 2 u�� N Á ï���i4~�ýUð&qÕik� Ñ � ÁI¼ t ¼IÀ¿¼m»m»I»£¼ ý ½ Á {  �_�p���¡�&�Ûnpi�rÑikq���iv���Í{ª_�_j_j�ik��o��>o�Æ�����r©�Í�_iÔ� rc�_��r�t É u�� N Á ï���iA~�ÓÑð�qÕik����iv��o�Ó ÷ tk{ Ê �_��ráÓ w�oj_���p��o � -±�_qÕik��rm�_�_��rmoIn«l¿§Írc�_o��v�_���>oI�¤�p�¤�_iv{  �_o>�����knpn¡o���r� Iiv��j�ik���¦rmo´Óù����rm�¡��qsl5�p�_¹t É u�� N Á ï���i4~¿ÓÑð��¡�ÆÓð� Àk¾­Á {�]}Hnqlotuvwz�n ��� � x � -±��o Ê �kj_npoÑï�ik��~_i2�«r ¨f�p�2�_�k��~ �k�_~ iv�© ��kn¡ ��_np��rcik��ð¸rmiZ¨Uo����pqslrc�_�£r�t�zQ� û N Á ï���i4~ Àk¾­Á ð��k�_~#rc�_��r Àv¾­Á �¡���_i�r�j����p��o�{

� �

Page 106: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

�¸� ÀÅã!ä!åáÃÅÄÆæ��#m�è�å&æ(Á�é´ä!é¥êQL7ê Ç7ÃÅê�À�åÆæ�ê ìPä�L7ê�ÃM�õÃÅÄ&Ç ÃÅÇ �_oK��ik���vnf�p�Ðrc�_�£rKo�¨_oI���¡q�t É u�� N Á ï���iA~�ÓÑð�§Arm�_oK�Í�_� w�oI� Óù�_o�oI~Þ�_i�r�wfo

j_���¡��oI{�ËåÛ��µ��#�¿�¶µ���´Oµ�ÇIå:òI§� �ik�_���p~_o���rm�_oO I�k��o�ivqcÓ � � À { � i�rco¤rc����rt Û � � ¾ N Á ï���i4~ � À ð »

í o��_ Io�§:t�Û N Á ï���i4~ � À ð�{�L±�v�¡���¡�_¹�w�i�rc�Þ���p~_o���rmiOrm�_o Á u�rc�Þj�iÔ��o��!�>o��_�Ô¨Uot Û û N Á ï���iA~ � À ð »

 �_o����©�_n¦rm�¡j�n¦lf�p�_¹zw�i�rc�Þ���p~_o��±wml¬t ÿ �>o©¹koWrt Û ÿ N ¾ ï���iA~ � À ð

���p�_ �o¾ ÚN Á ï���i4~ � À ð

�>o����S¨_ot Û ÿ ÚN Á ï���iA~ � À ð »

 �_�p�^rmoInpn¡�±�_��rm�_��r � À �p�¸å:�¿��j����p��o�§®ú!È���µ�� ° �U�IÇ¿Éc���I´£ÈÕåCZ � À {ÅyÓo©oI��j_�_�v���SñIo±rm�_��r�p��¹ko��_oI���kn��pq®t É u��áÚN Á ï���iA~�ÓÑðÝrm�_oI�#��o� I�v��w�oO���_��o�rm�_��r�Ó �¡���_i�r©j_���¡��o�{

�I{�� � �  �_oI��o��v��o ¾ �¸� §pu � tv§ � ÁvÁ i4~�~àj����p��o��Ký5þ Á uR� û §¸�knpn¤ikq!���_�¡ S�9����rm�¡��qslt 2 u�� N Á ï���iA~�ý_ð�{  �_oI��o �k��o ik��n¦l Á�¾ § �¸� ¾  Iiv��j�ik���¦rmo �Í�_� w�oI����t ß ÓÔþ Á uR� ûrc����r2����rc�p��qsl t É u�� N Á ï���iA~�ÓÑð�{  �A����§K�pq�t ß Ó þ Á u � û �k�_~øÓ ����rm�¡��¢_oI�t É u�� N Á ï���iA~�ÓÑð�§�rc�_oOj_��ikw_�kw_�pnp�¦rÖl¨Ó �¡��j_���¡��oO�¡�

¾ �¸� ¼ u � t ¼ � ÁvÁ¾ � � ¼ u � t ¼ � ÁkÁ þ Á�¾¿¼ �¸� ¾�© » � �¸�¸�¸� � t � t »

ÙÖ�Ñi�rc��oI�Å�>ik��~���§��¡q�lUiv�¬¢��_~zrc�_��r#t É u�� N Á ï���i4~�ÓÑð�§frm�_oI�¬�«r��¡�K���¡¹k��n¦lÛnp�p�voIn«lï�w���r&�_i£r&�2 �oI��rm�k�p�crÖlfð>rm�_��r>Ó �p�j_���¡��o�§���r&npoI�k��r���_o��PÓ þ Á u � û {  �A���>rc�_oqÕiknpn¡iÔ���p�_¹ Ê �kj_npoOj_��iA Io�~_�_��o¤���pn¡n��knp��ik��r©�kn«�>�Slf�¸¹k�«¨Uo¤rc�_oO �ik����oI �r©�k�����>oI��º���+5+ª�6!$�#�«�ª�6!$���7�8&¬X­+6+$�#+ %:9�0

����9¯®<­�. #�$�°�#�±�8�$²%:'&³:9�´!.+0Q7�#�µ�9¶®!�·.¤"+¸�8�9$�8�"!¹+$+9»º:9�#�"�6+$��<7�8�º+1

8+¼!5+8$�8�"!¹+$+9»º:6+$�#<«���«�¼�½¦6+$��7�8�º+1

8�9!µ¶���²18<9+µP6!$�#+ &¬

Page 107: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

�¸�� i�rmo±rc�_�£r±rm�_o Ê �kj�n¡o �ik�����k�_~ °�#�±8�$&%���³(9�´+.+0Q7�#<µP9 �¡���v�2o�¢� I�poI�mrK�>�Ôl

rci© Iik��j_��rmo Ñ �#u��!��i4~KöÐ{ÐyÓo¸~_�p�� I�����®rm�_�¡�^�p�z��ik��o¸~_o�rm�k�pn�np��rmoI��{  �_o>j_��i4 �oI~_����o�+5!ª�6+$�#�«ª�6+$���78�%:9�0 Æ��_��r�~_oI¢��_oI~Þ��oWrc�_���_��NÖj_��ikw��kw_n«l�j����p��o�Î#�¡q�t��#u��Ý��i4~Oöø� Á�k�_~ NÖ�_i�r>j_���p��oIÎ#�pq�ö�þ Á ik�^�¡q�t��vu��Ý��iA~Oö5Ú� Á {�ÙÖq4rm�_o>�k�����>oI���p��NW�_i£r�j_���¡��o�Îk§rc�_o�� ��o��Í�_iÔ� ~_o�¢_�_�«rcoIn«lBrm�_��r�ö �¡���_i�r�j����p��o�{ ÙÖqËrc�_o��k�_���>oI�&�p� NWj���ikw_�vw_n¦lj_���p��oIÎk§��>o��A��iS�Nrc�_��r�rm�_oI��oO�¡���K¨UoI��l¬�����knpn�j_��ivw_�kw_�pn¡�«rÖl&rc����r�öà�¡���_i�r�j����p��o�{

ÙÖ�2j_���v �rc�p Io�§­rm�_oI��o©�v��o�wfoWr�rco��±j���ikw_�vw_�¡np�p��rc�p  j����p���vn¡�«rÖlÞrcoI��rc�!rc�_�v��rc����r��o���¥rc�pik�_o�~��kw�iÔ¨UoI{±Ã­ik����ik��oO~_oWrc�k�pn¡�¸��o�oI§:qÕik��o�Øf�k��j_npoI§]NW}�npoI��oI�mrc�v��l � �_�©wfo��  ��o�¥ik��lk§¡Î�íik�_��rc�Þ}�~_�¦rm�¡iv�_§�wml W oI�_�_oWrc��L±ik��oI�_{

 �_o�w_�_�pn«r�¥S�p� Ê �vj_n¡o>j_��iA Io�~_�_��o �+5<6+$���7�8 �p�Ë�±¨_oI��l���ivj_�_�p��rc�p I�£rcoI~Þj_��ikw_�kw��¡np�¡��¥rc�p Oj_���p���kn¡�«rÖl&rco���rm{  �_o� Iiv�����k��~ �+5�6!$���7�8�%(9�0 ��oWrc�_���_�¸qÕ�kn¡��oO�¡q�ö9�p���_i�r©j_���¡��o�k�_~2��o�rm�_���_��rc���_o �pq5öÓ�p�>j���ikw_�vw_n¦lüj_���¡��o�{©ª_iZqÕ�k�¸�_izik�_o��_�k�±qÕik�_�_~��k���p�mrcoI¹voI�öàqÕik�Ð���_�p S� �+5�6!$���7�8�%(9�0 ¹k�«¨Uo���rm�_o¤����ik�_¹��k�_����o���{

á���o©���p¹k�mr�k��� ���_��r �_�kj_j�oI���±�pq��>o©����o À �p�_��rmoI�k~�ikqÐt��¡��rc�_oO�kw�iÔ¨Uo�j_��ivw�¥�kw_�pn¡�p��rm�¡  j_���p���kn¡�«rÖlÞrco���rc{©áO��§�wfoWr�rmoI�^l_o�rm§����_��r�¡q5�>o oW¨4�kn¡����rco Ñ É u�� ��iA~mÓ qÕik���oW¨UoI���kn�~_�SRfo���oI�mr¸¨4�kn¡��oI�¸ikq Ñ {

h�ik�_���p~_o���rm�_oOqÕikn¡npiÔ���¡��¹Z~_�£rc�kºÂ �_o©�Í�_�©wfo��±ivq®j_���¡��o��!þ Á u�Û©�p� � � § ¾ �¸� { �_o��Í�_� w�oI�ÝivqU Iik��j�ik���«rco¤�Í�_�©wfo����HÓðþ Á u�Û����� S�>rc�_��r¤t É u�� N Á ï���i4~¿ÓÑð�¡��t ¾ � { �_o��Í�_� w�oI�ÝivqU Iik��j�ik���«rco¤�Í�_�©wfo����HÓðþ Á u�Û����� S�>rc�_��r¤t É u�� N Á ï���i4~¿ÓÑð�k�_~ ÀÉ u�� N Á ï���i4~¿ÓÑð��¡� �¸� {

 �_o¤�Í�_� w�oI�!ivq_ Iik��j�ik���«rcoË�A��� w�oI���HÓðþ Á u�Û¤���_ S�>rc����r Ñ É u�� N Á ï���i4~¿ÓÑðqÕik� Ñ Ø+Õkt ¼IÀ¿¼ � ¼ � ¼¿ÁkÁI¼kÁ�À¿¼¿Á � ¼¿Á � ¼IÀUÁI¼IÀ � ¼£¾­Á©Ö �p�¸uv{ �A����§U��oO�_�Ô¨Uo�rc��o�qÕivn¡npiÔ���¡�_¹���o����_n«rcº

����Ó þ Á u�ÛÑÇIå:ò Ñ É u�� N Á ï���iA~�ÓÑð��I�I´ Ñ ØàÕkt ¼IÀ¿¼ � ¼ � ¼¿ÁvÁI¼¿Á � ¼kÁ � ¼IÀ­Á�¼IÀ � ¼I¾UÁ�Ö ^�¶µ���åEÓ ÈÕôË��´·È ² ��F �_o©�vwfiÔ¨UoO��oI����n¦rm�±qÕik� Óðþ Á u�Û¤��o���o�qÕik�_�_~��_���¡�_¹ Ê �kj�n¡o�{ÙÖq Ó ÷ Á u�Û��k�_~ Ñ É u�� N Á ï���i4~�ÓÑð�qÕik� Ñ Ø�Õkt ¼�À¿¼ � ¼ � ¼¿ÁkÁI¼¿Á � ¼¿Á � ¼�À­ÁI¼IÀ � ¼I¾UÁ©Ö §�¦r��p�O�_�p¹k�_n«lÛn¡�p�vo�n¦lk§Åw���r��_i�r� �oI��rm�k�p�_§�rc�_��rÐÓ �p��j����p��o�{&Ï> Wrc�_�knpn«l2rc�_o�j_���¡���knp�«rÖl

rco���r �+5<6+$���7�8 rm�_��r��p��w_�_�pn¦r©�p�crmi Ê �kj_npo�����oI�¸����ik��o�������r©~_� R�oI��oI�mr �¡~_o��k{�]}Hnqlotuvwz�n ��� � � � ->��o Ê �vj_n¡o¤rmi����_iÔ� rc����r

Page 108: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

Á uku ÀÅã!ä!åáÃÅÄÆæ��#m�è�å&æ(Á�é´ä!é¥êQL7ê Ç7ÃÅê�À�åÆæ�ê ìPä�L7ê�ÃM�õÃÅÄ&Ç ÃÅÇï Á ð À { û N Á ï���i4~ � Á ð�§�w_��r � Á �p�¸��i�r©j_���p��oI{ï�tvð�t É u�� N Á ï���iA~¿ÓÑð±�k��~ À É u�� N Á ï���iA~�ÓÑð¸qÕik��ÓO� ÁkÁ u � §�w���r ÁvÁ u � �¡��_i£r�j_���p��oI{â ] vw�H��zR��� i�rco©rm�_��r Ñ � N Á ï���iA~�ÓÑð   Ñ ���i4~ÐÓ � Á {ÛÙÖ� Ê �kj_npoI§ À { û�p�O�����¦r�rcoI� *�)<¾+¿ �k�_~ À { û ��i4~ � Á �¡�K�����«r�rmoI� *�)�¾+¿�7�#�µ�¾�. { ÏøqÕ�k��rmoI�K���ÔlÛrci

 Iiv��j���rco Ñ � ��i4~ÐÓ �¡� Ê �kj_npo&�¡�>rmi��_��o rm�_o& Iik�����k�_~ °�#�±�8<$&%���³:90Q7�#�µ�7 {L¸oI I�vn¡n�rm�_��r �����! �"�#�$&%(7�0 �p�Ýrc�_oO �ik�����v�_~�rmiZqÕ�v �rciv� ÓÑ{¡ã

Page 109: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

�¨nFEj�jv��©v���� ��§ � x �îù o�r Î ü t��k�_~�öü÷Nuk{ÐyBo������¦rmoï Á ð öÏ�îâ Ñ � ¼ Ñ � u�� ¼m»m»m»£¼ Ñ � ¼ Ñ ûmã J�¡q®�k�_~Þik�_n«lÑ�pqÐqÕik����ik��o`��ü u

ö�� Ñ � Î � þ Ñ � u�� Î � u�� þ ����� þ Ñ � Î þ Ñ û���_oI��o Ñ ÓjØMÕku ¼¿ÁI¼m»I»m»�¼ Î ½ Á©Ö qÕik�ì>î�Nu ¼¿ÁI¼m»I»m»�¼ ��{Oâ Ñ � ¼ Ñ � u�� ¼m»I»m»I¼ Ñ � ¼ Ñ ûIã5�p�¤ I�knpnpoI~&�³ ÇIô7� Î ´I����´���ô7��å:��Ç¿�¶È��Iå ���zöÝ{~±� ² ÇI´�W�t � { Á F±îKÇIô7� Î �p�¸ ��knpn¡o�~

³ ÈÕå:ÇI´·� �pq Î �Nt ¼�D��´·å:ÇI´·� �pq Î � À¿¼�cÉc��Ç¿� �pq Î � � ¼ò¿�SÉ�È ² Ç¿� �pq Î � Á u ¼µ��XÝAÇ¿ò¿�SÉ�È ² Ç¿� �pq Î � Á � »ÙÖq Î �p�©�_��~_oI����rciAiA~_§Ëo���j�oI I�p�knpn¦l9�pq Î � Á uk§��>o������¦rmo Ñ � Ñ � u�� ����� Ñ � Ñ û��p� j_np�k Io�ikqâ Ñ � ¼ Ñ � u�� ¼m»m»I»I¼ Ñ � ¼ Ñ ûmã � û { ÙÖ�¬rc�_o2 ��k��o�ikq Î � Á � §Ë�����¡ S�Ò�p�z�_��oI~ÒqÕ��o�ÌÍ�_oI�mrcn«l �p� Iik��j_�7rcoI�O�� I�poI�_ �oI§�rc�_oMNÖ~_�¡¹v�¦rm��Î Á uk§ ÁkÁ § Á tv§ Á�À § Á£¾ �k�_~ Á � �k��o#��o�j_n¡�v IoI~Ñwml¤�¸§� §f�O§8��§ÁÀ �k�_~W�O§���o���j�oI �rm�¦¨_oIn«l¿{

Ã�iv���&¢�ØfoI~Ñw_�k��o Î ü tk§frc��o�Í�_� w�oI��� Ñ Ó&Ø5Õku ¼¿ÁI¼ t ¼m»m»m»£¼ Î ½?Á©Ö �¡��o�ÌÍ�_��rc�pik�ï Á ð��v��o� ��kn¡npoI~#rc��o�òIÈbZcÈ��¶ô#ikq_rm�_oKw_�k��o Î ��o�j_��o���oI�mrm��rc�pik��ivq­öÐ{�ÙÖ�rc�_oOw_�p�_�k��l� I�v��oÑ ÓjØMÕku ¼¿Á©Ö �k�_~rc��o Ñ Ó(Üp���k��oK ��knpn¡o�~ ³ È���ô�ï ³ ÈS�_�k��l�~_�p¹k�(�¶ô�ð�{Á u Á

Page 110: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

Á ukt ÀÅã!ä!åáÃÅÄÆæ&���¸èàÃÅã!Ä3é¥äáÇKÄP�=æáÄÆåÆæ�Ä&Ç£Ä&Â>Ã�ä�ÃÅê�Á¥ÂgÁ�íÒ

] nqlon|rKlonPrøpsn Í nq}Hr£�M�j��nqzqâï Á ð�t � � � â � ¼IÀ¿¼¿Á ã Ü���¡�_ �o©t � � � � � � ÿ þ À�� � þ Á {ï�tvð Á�¾ � � â Á�¼ u ¼ u ¼kÁI¼ u ¼ u ¼¿ÁI¼¿Á ã ÿ���¡�_ �o Á£¾ � � Á�� tRÜ�þBu � t�Û�þBu � t���þ ÁÆ� t��^þBu � t�zÅþ9u � t ÿ þ Á�� t�þ Á {ï À ð ¾ � � � �îâ ¾¿¼ � ¼ � ¼ � ã � û���¡�_ �o ¾ � � � � ¾��­Á u�z�þ � �­Á u ÿ þ � �UÁ u�þ � {ï ¾ ð Á u � u � � � � �îâÂ� ¼IÀ¿¼ � ¼ � ¼ u ¼ ��ã �|Û���¡�_ �o Á u � u � � � � � Á u �­Á � � þ À��UÁ � � þ � �­Á � z þ ÁkÁ��­Á � ÿ�þBu �­Á � þ Á � {ï � ð Á u � u � � � � Á �îâ Á u � ¼ � � ¼ � � Á ã � û û û���¡�_ �o Á u � u � � � � Á � Á u � �­Á ukukuIÿ^þ � � �­Á ukuvu¸þ � � Á {

��� nq��l»nq� ��§ � x � ��� Î ü t¸^Ð�¶µ���å��XòA��´·�Åöü÷Nu�µ�ÇIô±Ç ° åUÈ8D ° � ³ ÇIô7� Î ´I����´���ô7��å:��Ç¿�¶È��Iå���©��µ��^�I�I´ ² öÏ�îâ Ñ � ¼m»m»m»�¼ Ñ � ¼ Ñ ûmã J ú!È��¶µ Ñ � ÷Nu�Fû�´��c���©F¸Ï>j�j_n¦l¬��oIj�oI��rmoI~_n«l&rc��o`/K�«¨f�¡���¡iv��ϱn¡¹kiv���«rc�_� �v��qÕikn¡npiÔ����º

öø� Î �0ûÅþ73�û ¼ uVþ�3�û ß�Î�0ûá� Î � � þ73 � ¼ uVþ�3 � ß�Î� � � Î � ÿ þ73 ÿ ¼ uVþ�3 ÿ ß�Î{{{� � u�� � Î � � þ73 � ¼ umþ�3 � ßóÎ� � � Î � � ï�� þ73 � ï�� ¼ u�þ�3 � ï�� ß�Î »

ÙÚr��p�¸o��k��l&rmi���oIo�rc����r��¡qn� � ÷Nuvºöü÷��8û�÷�� � ÷ ����� ÷.� � »

ª_�p�_ Io�rc�_�p�Ë ��k�_�_i£r�¹ki�ik�ZqÕik��oW¨UoI����o±o�¨_oI�mrc�_�vn¡n«l�ikw7rc�k�p�a� F � u qÕik����ik��oÄÃ7{  �_o���>o����S¨_o � F u�� � Î � u�þ"3 F »Ù^ Inp�k�¡��rc�_�£r�ö�� â 3 F ¼ 3 F u�� ¼m»m»m»�¼ 3�ûmã5�¡q�à �p�Ýrc�_oK�����kn¡npoI��r�p�mrco�¹koI�����_ S��rm�_��r`� F �Nuk{ i���oIo�rc�_�p��§���i�rco¤rc����r

öø� Î �0û^þ73�û

Page 111: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

Á u À�k�_~ �0û�� Î � � þ73 � »í o��_ Io

öø� Î ï Î � � þ73 � ð�þ73�ûöø� Î ÿ � � þ Î 3 � þ"3�û »

h�ik�mrc�p�Í�_�¡��¹��p��rm�_�¡�Ý�>�Ôl&��o�¢_�_~#rc�_�£röø� Î F ï�� � F þ Î F 3 F þ ����� þ Î 3 � þ"3�û »

Ï>�_~�§����p�_ Io:� F � u��>o©�_�Ô¨_oï Ïkð öø� Î F 3 F þ ����� þ Î 3 � þ"3�û ¼���_�p S������iS���!rc����r

öø�îâ 3 F ¼m»m»I»I¼ 3 � ¼ 3�ûmã J »Â i���o�o¤rc�_��r�rm�_�¡����oIj_��oI��o��mrc��rm�¡ik���¡���_���¡ÌÍ�_o�§®�_i£rcoËrc����r©qÕ��ik��ï ÏkðÐ�>o©�_�Ô¨_o

öø� Î Î F u�� 3 F þ ����� þ"3 � þ"3�û ¼ uVþ�3�û ßàÎ »×®l¬rc�_ox/K�«¨f�¡���¡ik� ϱn¡¹vik���«rc�_�ù�«r&qÕiknpn¡iÔ���>rm�_��rc3�û&�¡�#�_���¡ÌÍ�_o�n¦lÓ~_o�rmoI�����p�_oI~àwml öЧ�k�O�¡��rc��oZÌÍ�_i�rm�¡o��mrx�¢� Î F u���3 F þ ����� þ!3 � {�Ïî���p���¡np�k���k��¹v�_��oI�mrz���_iÔ���¸rm�_��r`3 ��¡���_���¡ÌÍ�_o�n¦l ~_oWrcoI�����¡�_o�~_{Nh�iv�crm�¡�Í�_�p�_¹ü�¡��rc�_�p�����Ôl �>o���oIorc����r��kn¡n:rc�_oÞ~_�p¹k�«rc�3 F ¼ 3 F u�� ¼m»I»m»I¼ 3�û��v��oO�_�_�pÌÍ�_oIn«lü~_o�rmoI�����p�_oI~�{�]}HrK�����wn ��§ � x �ï Á ðyBo�¢��_~�rm�_oOw_�k��o � ��o�j_��o���o��crm��rc�pik��ikq Á § � ¾ � {

Á � ¾ � � t ¾ � � � þ �t ¾ � � À � � � þ ¾À � � � � � þ9u� � u � � þ �

í o��_ Io Á � ¾ � � â � ¼ u ¼I¾¿¼ � ã Ü {

Page 112: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

Á u ¾ ÀÅã!ä!åáÃÅÄÆæ&���¸èàÃÅã!Ä3é¥äáÇKÄP�=æáÄÆåÆæ�Ä&Ç£Ä&Â>Ã�ä�ÃÅê�Á¥ÂgÁ�íÒ

ï�tvð�yBoO¢_�_~#rc�_oOw_�k��o Á t���oIj���oI��oI�mrc�£rc�pik��ikq Á � § Á � Á {Á � ¼kÁ � Á � Á � � � �­Á t�þ ÁkÁÁI¼ � � � � Á�À t �­Á t�þ ÁkÁÁ�À tÐ� ÁkÁ��UÁ t¸þ9uÁkÁ � u �­Á t�þ ÁkÁ

£ Á � ¼¿Á � Á � â ÁvÁI¼ u ¼¿ÁvÁI¼¿ÁkÁ ã � ÿ {ï À ð�ÃÝ�p�_~rc��o�w��k��o Á u���o�j_��o���oI�mrm��rc�pik��ivq Á §ptku À {

Á tku À � Á tku �­Á u�þ ÀÁ tvum� Á t �­Á u�þBuÁ tm� Á��­Á u�þBtÁ � u �­Á u�þ Á

£ Á tku À �îâ ÁI¼ t ¼ u ¼IÀ ã � ûI{ï ¾ ð�ÃÝ�p�_~rc��o�w��k��o�t�ï ³ ÈÕå:ÇI´·�­ð���oIj���oI��oI�mrc�£rc�pik��ikq Á�À � {

Á£À � � t � �¸� þ Á�¸� � t �kÀk¾ þBuÀk¾ � t �­Á � þBuÁ � � t � � þ Á� � t �k¾ þBu¾ � t � t�þButÐ� t �­Á þBuÁ � t � u�þ Á

£ Á£À � � â ÁI¼ u ¼ u ¼ u ¼¿ÁI¼ u ¼ u ¼¿Á ã ÿ {�]}Hnqlotuvwz�n ��§ � x � Ä�oI�_o����knp� ñ�o�rm�_oOqÕiknpn¡iÔ���p�_¹�ikw_��o���¨4��rm�¡ik���À �îâ Á�¼¿Á ã ÿ� �îâ Á�¼¿ÁI¼¿Á ã ÿÁ � �îâ Á�¼¿ÁI¼¿ÁI¼kÁ ã ÿÀ­Á �îâ Á�¼¿ÁI¼¿ÁI¼kÁI¼¿Á ã ÿ� À �îâ Á�¼¿ÁI¼¿ÁI¼kÁI¼¿ÁI¼¿Á ã ÿ

� ��iÔ¨Uo�lUiv�_��¹koI�_o����knp�SñI��rm�¡ik��{ â í Ù �  º�ª_oIoO}�ØfoI�� ��¡��o tk{ � ik��j_�k¹ko � {pã

Page 113: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

Á u ��]}Hnqlotuvwz�n ��§ � � � Ä©o��_oI���knp� ñ�o�rm�_oOqÕikn¡npiÔ���¡��¹Zikw���oI��¨4��rc�pik�_º

� �îâ«t ¼ tvã zt � �îâ«t ¼ t ¼ tkã z� uÐ�îâ«t ¼ t ¼ t ¼ tkã zt ¾ tÐ�îâ«t ¼ t ¼ t ¼ t ¼ tkã z� ��iÔ¨Uo�lUik���¸¹voI�_o����knp� ñ���rc�pik�_{ â í Ù �  º�ª�oIo�}�Øfo��� I�p��o©tk{ � iv��j��k¹ko � {pã�]}Hnqlotuvwz�n �c§ �±�1� Ä©o��_oI���knp� ñ�o^}�ØfoI�� I�p��o��Ðt � »DÁ �k�_~Ot � » tÝrci��v���v��w_�«rc���k��lw_�k��o Î ü tv{~±� ² ÇI´�Wüt � {pt�F  i&¢_��~�rc�_ow��¡�_�v��l ��oIj���oI��oI�mrc�£rc�pik�Ñikq!�&�����knpnÐ�Í�_�©wfo���§5rc��oqÕikn«¥n¡iÔ���p�_¹���oWrc�_iA~��¡��ikqsrmoI��oI�k���¡o��!rm�_�k�#rc�_oO�kw�iÔ¨Uo���o�rc��i4~_º

Ä©�«¨Uo��Zö ÷NuZnpo�r t � ñ w�o¤rc�_o�np�k��¹ko���r©j�iS�>oI�¸ikq®t�����rc�p��qslf�p�_¹zt � ñ þÒöÐ{ ù oWrt � òwfo¤rm�_oOn¡�k��¹koI��r©jfiÔ�>oI��ikq:tZ����rc�p��qslf�p�_¹

t � ò þBö ½ t � ñ »ù o�r©t��KÅ�w�o¤rc�_oOnp�k��¹ko���r�j�iÔ��o��±ikq:t�����rm�¡��qslf�¡�_¹

t � Å þBö ½ t � ñ ½ t � ò »� i�rmo¤rc�_��r��£r�rc�_�p�±j�ik�p�mr���o��_�Ô¨Uo

umþBö ½ ï�t � ñ þBt � ò þBt � Å ð ß ö ½ ï�t � ñ þ9t � ò ð ß ö ½ t � ñ ß ö »h�ik�mrc�p�Í�_�¡��¹��p��rm�_�¡�Ý�>�Ôl¿§�o�¨_oI�mrc�_�vn¡n«lÞ��o�¹ko�r

uÐ�Bö ½ ï�t � ñ þBt � ò þ ����� þBt � � ð »Â �_oI�öø� t�� ñ þ¬t�� ò þ ����� þüt�� � §f�v�_~©rc���¡�Źk�¦¨_oI�®rm�_o>w��¡�_�v��l���o�j_��o���oI�mrm��rc�pik�Þikq�öÐ{�]}HrK�����wn �c§ � � �  �v�vo>ö � Á�À � { � i£rco±rm�_��r#t�� � tv§Ðt ÿ � ¾ §®t�z�� � §Ýt��m� Á � §t��P� À tv§¸t�ÛP� � ¾ §¸tRÜ�� Á t � §¸�k�_~Ût } � t � � {­->���¡��¹Þrm�_oÞ�kwfiÔ¨_o���oWrc�_iA~Ñ�>o Iik��j_�7rcoIº

Á�À � ½ t Ü � Á£À � ½ Á t � � � ¼� ½ t z � Á�¼Á!½ t

û �Nu »ª_iK��oO�_�Ô¨Uo

Á�À � �Nt Ü þ � �Nt Ü þBt z þ Á�¼£ Á£À � �Nt Ü þBukt Û þ9ukt � þBuvt � þBt z þBukt ÿ þ9u � t�þ ÁI»

ª_i Á�À � � â ÁI¼ u ¼ u ¼ u ¼¿Á�¼ u ¼ u ¼kÁ ã ÿ {

Page 114: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

Á u � ÀÅã!ä!åáÃÅÄÆæ&���¸èàÃÅã!Ä3é¥äáÇKÄP�=æáÄÆåÆæ�Ä&Ç£Ä&Â>Ã�ä�ÃÅê�Á¥ÂgÁ�íÒ

�]}Hnqlotuvwz�n ��§ � � � ª_�_iÔ�î�_iÔ� rmi��_��o ³ �¿��µ ² �c�¶µ��còIô�rci�¢_�_~�rc�_o�w_�p�_�k��l¬��oIj���oI��oI��¥rc�£rc�pik�Þikq ¾ �¸� {�]}Hnqlotuvwz�n ��§ � § ��Ê �k��o��>¨Uo���rc�p I�vn5np�¡��rOikq�rc��o�w_�p�_�k��l���o�j_��o���o��crm��rc�pik�Þikq�rm�_o��p�crmo�¥¹ko���� Á rci Á � {

Page 115: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

ù o�rcÜp�¸¢_����r  �ik�_���¡~_o��^rm�_oOÌA��oI��rm�¡iv�_º�h�µ�Ç¿�:ÈÕô���µ��>ô ² Ç¿�Õ����ô7��å °A²�³ ��´Z��� ²#° ����Ès�Ð� È�ÉSÇ�¥�¶È��IåUôK´��D ° ÈÕ´��Sòz�D�&ÉS� ² � ° ��� Ñ Ò ú!µ���´��

ÒÈÕô�ÇIåU���5�IôSÈ���ÈbòA�>ÈÕå:�D�¾ZA��´Æ3

ª_�_j_j�ik��o¸��o����k�mr±rci� ��knp I�_np��rco©t�}m{KáO�_o����Ôlü�¡��rciZjfo���qÕik��� rc�_o©qÕikn¡npiÔ���¡��¹ �� �_n«rc�pj_np�¡ ���rc�pik�_��º

t ÿ � t � tm� ¾t z � t �k¾ � �t � � t � � � Á �t � � t �­Á � � À tt Û � t �kÀ tm� � ¾t Ü � t � � ¾ � Á t �t } � t �­Á t � � t � �פ��r��>o� ��k��~_iZ�«r��p��ik��n¦l À � ��n¦rm�¡j_np�p I��rm�¡ik����º

t ÿ � t � tm� ¾t � � t ÿ ÿ � ¾ �k¾ � Á �t } � t � ÿ � Á � �­Á � � t � �

ÙÖ��¹voI�_o����knp§��_���p�_¹Krc�_oO��o�rm�_iA~_ºÑ ÿ � Ñ � Ñ ¼ Ñ z � Ñ ÿ � Ñ ¼ Ñ � � Ñ z � Ñ ¼I»m»m»I¼ Ñ � � Ñ �#u�� � Ñ

��o�ÌA���¡��oI��ö ½ Á �©�_n¦rm�¡j�n¡�p I��rm�¡iv�_��rmi� Iik��j_��rmo Ñ �Í{

Á u �

Page 116: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

Á u � ÀÅã!äáå!ÃÅÄÆæ&���¸èàÀ�Á¥ìPåc�&ÃCä�ÃÅê�Á� Á¥íQ� Ò Ê á�/.�áO�Ûrm�_oÑi�rc�_o��Þ�_�k�_~*�¡q¸öÿ� t � rc�_o��Û�>o¬ I�k�* Iik��j_�7rco Ñ �Ówml|���_ I �oI�����¦¨_o

��ÌÍ�_�v���p�_¹O���«rc��ik�_n«l"�Þ� �_n«rc�pj_np�¡ ���rc�pik�_��ºÑ ÿ � Ñ � ÑÑ ÿ ò � Ñ ÿ ÿ � Ñ ÿ � Ñ ÿÑ ÿ Å � Ñ ÿ ò ÿ � Ñ ÿ ò � Ñ ÿ ò{{{ {{{Ñ ÿ � � Ñ ÿ �ÈÇ ñ ÿ � Ñ ÿ �Ç ñ � Ñ ÿ �Ç ñ

� i£rcoËrc����r�rc�_oOqÕ�k Wr�rc�_��rt � � t � u�� tm�Nt � u�� þBt � u��

rciv¹ko�rm�_oI�Ý���«rc�#rc�_o ù �Ô���¸ivq®}�Øfjfiv�_oI�mrc��ºï Ñ � ð É � Ñ � É

�k�_~Ñ � � Ñ É � Ñ �¸ï É

�p�Å���_��r����k��oI�Ërm�_�¡�K��oWrc�_iA~���iv���Í{ � i�rmo¸rc����r��pq�ö�� t � rc��oI���2�p��¹koI��oI���vn¡n«l �npi�r������knpn¡o���rm�_�k�#ö ½ Á {�íik��oWØ5�v��j�n¡o�§

Á uvt ¾ �Nt � û�k�_~ Á u��p�±ÌÍ�_�«rcoO��w_�«r©�����knpn¡o���rm�_�k� Á ukt À {ÙÖqföÛ�p���_i�r©��jfiÔ�>oI�¸ikq®t��>o© ��k�Þ�_��o�rc��o�qÕivn¡npiÔ���¡�_¹���o�rm�_i4~#rci� �ik��j_��rco Ñ �A{

��� n y vw�jrKlo��µ¶nq� � �I�Êp¾�cl~�!}H������nq�H��vwrK�©v������ ù o�r¸öBw�o��Zj�ik���«rc�«¨Uo©�¡�mrmoI¹ko���{ù o�r Þ wfoO�k�mlÑ��oI�kn��Í�_�©wfo���{  �_�¡�¸�p�¸����o�rm�_iA~�qÕik�� �ik��j_��rm�¡�_¹mÞc�A{Ëj��nq� x � ÃÝ�p�_~#rc�_oOw_�p�_�k��lÑ��o�j_��o���oI�mrm��rc�pik�

öø�îâ Ñ � ¼ Ñ � u�� ¼m»m»I»I¼ Ñ ûmã ÿqÕik�ÝöÐ{

Page 117: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

Á u �Ë��©n/� � � h�ik��j_��rmo�rm�_oOjfiÔ�>oI���

Þ ÿ ¼ Þ ÿ ò ¼ Þ ÿ Å ¼m»m»m»£¼ Þ ÿ Bwml¬���_ � IoI�����«¨Uo��ÌÍ�_�k���p�_¹Z�k�����_iÔ�����kwfiÔ¨_oI{Ë��©n/�5�1� h�ik��j_��rmo�rm�_oOj_��iA~_�_ Wr

Þ � ��Þ H B ÿ B � Þ H B Ç ñ ÿ B Ç ñ ����� Þ H�ñ ÿ � Þ Ha` »â � i�rcoOo��k S� Ñ Ó!�p�¸u�ik� Á §5��i��kn¡n���oIoI~�oI~�qÕ�v �rciv���Ð�>oI��o�ikw�rm�k�p�_oI~��¡��ª�rmoIj�tk{¡ã�]}HrK�����wn ��« � x �Ðù o�rmÜ¡�Þ Iiv��j���rco À �|�m{ � i�rmo&rm�_��r Á � � t�zOþ t ÿ þ t�þ Á �â Á�¼¿ÁI¼¿ÁI¼kÁ ã ÿ {�ª_iKrc�_�p�Ýrc�k��oI�¸ I�k��o�ivq®ª�rmoIj Á {�íik��ª�rmoIj�tk§���oO�_i£rco¤rc�_�£r

À ÿ � À��kÀ � �À ÿ ò � � � � � � ÁÀ ÿÅ � � Á�� � Á � � � � Á

ª_i À �|�á� À ÿ Å �kÀ ÿ ò �kÀ ÿ �kÀ ��{�íik�®rm�_�¡�!�>o���oIoI~ À � �_n«rc�pj_np�¡ ���rc�pik�_��ºÀ��kÀ ÿ � À�� � �Nt �

À��kÀ ÿ ��À ÿ ò � t � � � Á � t Á � �À��kÀ ÿ �kÀ ÿ ò À ÿ

Å � t Á � � � � � � Á � Á£¾kÀk¾ �¸� u �ª_iK��oO�_�Ô¨Uo

À �|� � Á�¾vÀk¾ �¸� u � »� i�rmoOrm�_��rO�>o��_�Ô¨UoZ�_��o�~�Æ��_��r � � �_n«rc�pj_np�¡ ���rc�pik�_��§®���_�p S� �p�©npoI���¸rc���k��rm�_o Á£¾ �«r��iv�_n¡~¸rc�k��oË�pq���oÅ�_��o�~±rc��oÅ�_�v�¦¨_oË��o�rm�_i4~�{ ù o�rmÜ¡�®�_i�rËqÕik��¹koWr�rc�_��rË��iv��oÅ�k~_~_�«rc�pik�_�vno©R�ik��rÅ���v�Ë�_o�oI~_o�~#rmi  �ik��j_��rco^rc�_o±w_�¡���k��l���o�j_��o���o��crm��rc�pik�Þikq Á � §fw���rK�_i£r��©�_ S�_{��� nq�clonq� ��« � x � ��� ² � ° �¶ÈÕåCZ>Þc� ° ôSÈÕåCZ¬��µ�� ³ ÈÕå:ÇI´·� ² �c��µ��cò�´��D ° ÈÕ´���ô g npik¹ ÿ ï¶öÐð hÇ��¿�Ð� È�ÉSÇ¿�¶È��IåUô�������µ��ÅY�ÈbòcÈÕôSÈ��Iå>f�� ZA�I´·È���µ ² ÇIå:òKÇ¿� ² �Iô7�¿t g npik¹ ÿ ï¶öÐð h ²#° ���¶Ès�Ð� È�ÉSÇ¿��È��IåUô»Fû�´I�c���©F¸ÙÖq�öø�îâ Ñ � ¼m»m»I»I¼ Ñ ûmã ÿ § Ñ � � Á §�rm�_oI��öø�Nt � þ ����� þ Ñ � t�þ Ñ ûc{ í oI�_ �oï Ïkð t � þBö�þ t � þ9t � u�� þ ����� þBt�þ Á � t � u�� ½ Á ß t � ï�� »ª_�p�_ Io#npik¹ ÿ ï�t Õ ð��óÞÛ�k�_~�����oI��u ß=ÑEß Î �>o�_�Ô¨_o#n¡ik¹ ÿ ï Ñ ð ß npik¹ ÿ ï Î ð�§��>o#�_�Ô¨UoqÕ��ik��ï ÏkðÝrc����r

n¡iv¹ ÿ ï�t � ðÆþ npik¹ ÿ ï�öÝð ß npik¹ ÿ t � ï��

Page 118: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

ÁkÁ u ÀÅã!äáå!ÃÅÄÆæ&���¸èàÀ�Á¥ìPåc�&ÃCä�ÃÅê�Á� Á¥íQ� Ò Ê á�/.�ik� 3�þ n¡ik¹ ÿ ï¶öÝð ß 3Kþ ÁI»í o��_ Io=3�� g n¡ik¹ ÿ ï�öÝð�h¿{ � i�rco¸rc�_��r=32�p�Årc�_o#�Í�_�©wfo��Oikq5rc�p��oI�¤��o#��oIoI~zrmi&�kj_j_n«lrc��o�/K�«¨5�p���pik�zϱn¡¹vik���«rc�_� rmiikw�rm�k�¡�Orc�_o±w_�p�_�k��l���o�j_��o���o��crm��rc�pik�öø�îâ Ñ � ¼m»m»I»I¼ Ñ ûmã ÿ §Ñ � � Á {  i  �ik��j_��rmo�rc�_o2j�iÔ��o�����Þ ¼ Þ ÿ ¼ Þ ÿ ò ¼m»m»m»£¼ Þ ÿ B wmlN���_ � IoI�����«¨Uoü��ÌÍ�_�k���¡�_¹��o�ÌÍ�_�¡��oI��3�� g npik¹ ÿ ï�öÝð hZ� ��n¦rm�¡j_np�p I��rm�¡ik���±�k��~����¡���pn¡�k��n¦l&rmi� Iik��j_��rmo¤rc�_oOj_��i4~_�� �r

Þ ÿ B � Þ H B Ç ñ ÿ B Ç ñ ����� Þ H ñ ÿ � Þ H `��o�ÌÍ�_�¡��oI�_3 �©�_n«rc�pj_n¡�p I�£rcik�_��{Bª_i��vqsrcoI� ikw�rc�v�¡�_�p�_¹�rm�_o&w_�p�_�k��lÓ��o�j_��o���oI�mrm��rc�pik�2��o�_o�oI~���r©��iv��r©t�3�� t g npik¹ ÿ ï¶öÐð hZ� �_n«rc�pj_np�¡ ���rc�pik�_��{¹ z�n���p>r3turK�wtu�j�wrK����l¦���5tu���M�j���©n npik¹ ÿ ï Þ�ð â  i�¢��_~ npik¹ ÿ ï_Þ�ðOik��oZ���Ôl9�_��orc��o�qÕiv��� ��n¡�

npik¹ ÿ ï Þ�ð&� Án¡��ï�tkð n¡��ï_Þ�ðik�

n¡ik¹ ÿ ï Þ�ð ©Áï�u » �¸� À­Á�¾ � Á � ð

n¡�:ï Þ�ð���_o���o^n¡�:ï Þ�ð:�p�Urc�_o^�_��rm�_���kn¿npik¹k�v���«rc�_� ivq Þ�{^Ã�iv�:�����kn¡nm¨4�knp�_oI�:ikq»Þz�«r¤�p�®��ik��o�rm�¡��oI�qÕ�k��rcoI�Ýrmi�����o¤rc�_oOqÕ�k Wr�rc�_��rA3>� g npik¹ ÿ ï_Þ�ð�h��p��oIÌÍ�_�«¨��vn¡o��cr¸rci

t � þ�Þ ß t � ï�� ¼rc����r^�¡��§�3K�¡�_rm�_o!n¡�v��¹ko���rÅjfiv���«rc�«¨Uo��¡�mrmoI¹ko��:���_ S�¸rm�_��r^t � þ�Þ�{  �_o Ê �kj_npo� Iik�����k�_~qÕik��npik¹ ÿ ï Þ�ð¸�p� ¼+#<ɧÊy'+Ë&%(Ì�0 {� i�rmo�rm�_��r��¡q^��o� Iik�_�mr��k�B�vj_j_np�¡ ���rc�pik�BivqÅrc�_o'/K�«¨5�p���pik�Óϱn¡¹vik���«rc�_� �v�_~B�� ��n¦rm�¡j_np�p I��rm�¡ik�#�v��rc��oË���v��o�§�rc��oË�kw�iÔ¨Uo®rmoInpn¡�®�_��rm�_��rÐ�>o¤�_o�oI~�£r���ik��r À g npik¹ ÿ ï�öÝð hikj�oI����rc�pik�_�Ýrci� �ik��j_��rco Þc�Í{¸ª�ik§�qÕik��o�Øf�k��j_npoI§��pqföø� Á u�Ûm§�rc��oI���¦r©�p�¸o��k��l&rmi���oIorc����r À g npik¹ ÿ ï�öÝð hV� � � {�ª_i>�>o����Ôl� �ik��j_��rmo Þ1� � û û û � û û û ���«rc�Þik�_n«l � � ivjfo�����rm�¡ik����{�]}Hnqlotuvwz�n ��« � x � h��knp I�_np��rmo À g n¡iv¹ ÿ ï¶öÝð�h�qÕiv�Ýö�� t ¼ ukuvu ¼ ukukuv{�]}Hnqlotuvwz�n ��« � � � ->��o¤rc�_oOw_�p�_�k��l¬��oWrc�_iA~#rci� Iik��j_�7rcoOt ÿ �c{�]}Hnqlotuvwz�n �c« �±�1� Ï>j�j_��iÔØf�¡����rmoIn«lÛ�_iÔ� ���k�ml ikj�oI����rc�pik�_����ik��n¡~Ñw�o��o�ÌA���¡��oI~zrci Iiv��j���rcoOt � ���_o���öø� Á u � û û � }�Øfj_n¡�v�¡�_{�]}Hnqlotuvwz�n ��« � � ��� i�rco>rm�_��r � � �_n«rc�pj_np�¡ ���rc�pik�_���k��o#�_��o�~�rciÞ �ik��j_��rco À �|���_���¡�_¹rc��o©w_�p�_�k��l¬��o�rc��i4~_{>ª_�_iÔ� rc����r©ik�_o� I�k�� Iik��j_��rmo À �|�����¦rm��qÕoW��o���rm�_�k� � � ��n¦¥rc�pj_np�¡ ���rc�pik�_��{©â Ý ik�#���pn¡n��_�Ô¨_o�rmi�oWØfjfo����p��o��mrc{pã

Page 119: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

ÁvÁkÁÍ #&"ÏÎ(%(,-.81�ÐÒÑÔÓ 8B;:"QÕ×Ö yBoO�_��o¤rm�_oOw_�¡���k��l¬��o�rm�_iA~�qÕik��oWØfjfik��oI�mrc�p��rc�pik����¦rm�2rc�_oz�v~_~_oI~2rm���p S��rc����rÞ�kqsrmoI�oW¨UoI��l � ��n¦rm�¡j_np�p I��rm�¡ik�2�>o&��o�~_�_ IoÞ��iA~_�_npiEÓѧrc�_�£rÞ�¡��§Ð��o&~��¦¨f�p~_o&wmlMÓ �k�_~�rm�k�vo�rc�_o&��oI���k�p�_~_oI��{  �_�p�#�voIo�j_��rc�_o�j_��iA~_�_ Wrc�qÕ��ik� ¹ko�r�rc�p�_¹KrciAi�w��¡¹k{�]}HrK�����wn ��« � � � yÓoO �ik��j_��rco À �|�¸��i4~ Á ukº

À ÿ � À �kÀ � � N � ï���i4~ Á ukðÀ � � � � � � � Á N Á ï���iA~ Á uvðÀ } N Á��­Á N Á N Á ï���iA~ Á uvð

£ À �|� � À } �kÀ � �kÀ ÿ �vÀ � N Á��­Á�� � �kÀ �Nt � N � ï���iA~ Á ukð »� i�rmo�rm�_��r À �|� N � ï���i4~ Á ukð©�¡��j_np�poI�±rm�_��r À �|� ��iA~ Á u|� � {Óâ L±o� I�knpn�rc�_��rzik�j_�k¹ko Á u � �>o& I�knp I��n¡��rmoI~2rc����r À �|� � Á�¾kÀk¾ � � u � �����¡ S�Û�p�# InpoI�k��n¦lÓ Iik�_¹v���_o��cr rci� ��iA~ Á uk§�w_�7r¸rm�_oO� �_n«rc�pj_np�¡ ���rc�pik�_����o���o��_i�r���iZo��k��lk{¡ã�]}HrK�����wn ��« �±�n�îù o�rcÜp��¢_�_~�t�ÛQ�Q�¸��iA~ � ¾ � {�ÙÚr��p�±o��k��l�rci���o�o�rm�_��r

� ¾v¾ � â Á�¼ u ¼¿ÁI¼ u ¼ u ¼ u ¼ u ¼¿ÁI¼ u ¼ ukã ÿ �_��r��¡��§ � ¾k¾ �Nt�{:þütRÜ_þ t ÿ � � Á t!þ Á t � þ ¾ { � iS�?wml����_ � IoI�����«¨Uo���ÌÍ�_�k���¡��¹#�k�_~��o�~_�_ I�p�_¹Z��iA~_�_npi � ¾ � �>o©¹koWr

t ÿ �Nt � tÐ� ¾ N ¾ ï���i4~ � ¾ � ðt � N ¾��v¾ � Á � N Á � ï���i4~ � ¾ � ðt } N Á � �­Á � �Nt � � N t � � ï���i4~ � ¾ � ðt �|Û N t � � � t � � � � � ¼ � À � N À � Á ï���iA~ � ¾ � ðt z ÿ N À � Á �kÀ � Á � Á � t ¼ �¸� Á N Á � ï���iA~ � ¾ � ðt ÛQ� N Á � �­Á � �Nt � � N t � � ï���i4~ � ¾ � ðt � ÿQ} N t � � � t � � � � � ¼ � À � N À � Á ï���iA~ � ¾ � ðt ÿ �QÛ N À � Á �kÀ � Á � Á � t ¼ �¸� Á N Á � ï���iA~ � ¾ � ðt �P� ÿ N Á � �­Á � �Nt � � N t � � ï���i4~ � ¾ � ð »� iÔ�

t ÛQ�Q� �Nt �P� ÿ � t � ÿQ} � t � ¼�_oI�� Io

t ÛQ�Q� N t � � �kÀ � Á �­Á � ï���i4~ � ¾ � ð »

Page 120: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

ÁkÁ t ÀÅã!äáå!ÃÅÄÆæ&���¸èàÀ�Á¥ìPåc�&ÃCä�ÃÅê�Á� Á¥íQ� Ò Ê á�/.�ª_i

t � � �kÀ � Á � Á ukuvu �¸� N Á t Á ï���iA~ � ¾ � ð�k�_~

Á t Á �­Á � � Á � À � N Á ï���iA~ � ¾ � ð��iK�>o����S¨_o©t�ÛQ�Q� N Á ï���i4~ � ¾ � ð�{ í o��_ IoOt�ÛQ�Q�±��iA~ � ¾ � � Á {�]}Hnqlotuvwz�n ��« � § � h��knp I�_np��rmo�t �P�|z ��i4~ Á uk{�]}Hnqlotuvwz�n ��« � « � h��knp I�_np��rmo�t �P�QÜ ��i4~ Á ukuv{�]}Hnqlotuvwz�n �c« � ­ � ÙÖq�lUik�¬� �_n«rc�pj_np�¡o�~üiv��r�t��P�QÜ�§Ý��iS�x���k�ml ~_o� I�p���kn!~_�p¹k�¦rm�Ë��iv�_n¡~lUiv��ikw7rc�k�p� � ⫪_oIo�}�ØfoI�� ��¡��o ¾ { À ik��j_�k¹ko Á�¾ {¡ã�]}Hnqlotuvwz�n ��« � ® ��� i�rco�rc�_��r>ik�zj��k¹ko �¸� �>o� I�vn¡ ��_n¡�£rcoI~ Á t Àk¾ Ü } ÛQ�Q�QzQ�±��i4~ ÁkÁ ���«rc�¨Uo���l|qÕoW� � ��n¦rm�¡j_np�p I��rm�¡ik����{�y|�ml| ��k�Û�>oÑ�_i�rü�_��oÞrm�_��r¬��o�rm�_i4~ rciÛ �ik��j_��rcoÁ t Àv¾ Ü } ÛQ�Q�QzQ� ��iA~ Á t �

Page 121: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

ÙÖ��rc�_�p�K S�_�kj7rcoI�^��o#~_�p�� ��_���¤rm�_ow_�k���¡�Kivq5rc�_o��i�¥S ��knpn¡o�~ ¡EË�{ z�t � n/��n {  ���¡���p�rc�_o±��ik��r��¡��j�ik��rm�k�mr�oWØ5�v��j�n¡o�ivq��¸� °5³ � È�É WA���&É�´£�S�Ð���XZc´IÇ���µ¿È�ɤô7É�µ�� ² ��{  ��o!L¸ª_Ï�� S�_o���oK�¡�¤~��_oÅrciVL±{cL¸�¦¨_oI��rm§�Ï>{�ª_�_�v���p�¤�k��~ ù {fϱ~_oInp���k� � �k�_~����k�Ë~_�¡�� IiÔ¨Uo���o�~wml�rc�_o�� �¡� Á � �¸� { yÓo����_iÔ�ø��iS�?rci��¡��j_npoI��o��crz�¦rZ�p�ü��ik��o�~_o�rm�k�¡n!np��rmoI�O�_���p�_¹Ê �kj_npoI{ í oI��o��>o�¹v�¦¨_o�rm�_oO�A��� w�oI��¥Drc�_o�ik��oWrc�p ©���_~_oI��j_�p�_�_�p�_¹�ikqUrc��o��� S�_oI��o�{

yÓo��k�����_��o�rc�_�£rKrc�_o#��oI�����k¹voK�>o����¡���ÞrmiÞ��oI��~ü�_�v�Kwfo�oI�¬ Iik�m¨Uo���rmoI~�rmi&�k��¡�mrmoI¹ko��¸�p�#rc�_oO��oWr § É ��Õku ¼¿ÁI¼ t ¼I»m»m»£¼ Ó ½ Á©Ö ���_oI��o�Ó �¡����ik��o�j�ik���¦rm�¦¨_o©�p�mrcoI¹voI�rci w�o�~�o�rco������p�_oI~_{ Ä©o��_oI���kn¡n«lÛrc�_�p�z�p��� np�k��¹ko��p�mrco�¹koI��{*yBoZ���¡npn¸��oIÌÍ�_�p��o�rÖ��iqÕ�_�_ Wrc�pik�_��º

À�º § É � § É ï�}BqÕik����å:É�Ès��µ���´Að�k�_~ �îº § É � § É ïs/?qÕik��ò¿�SÉ�Ès��µ���´Að »Â iÑw�oÞ�kw_npo rciÑ�_��o'� rci�~�oI I�pj_�_o��O������r�À��_�k�#oI�� I�pj_�_oI��oI~ü�>oÞ�_oIo�~ÑrmiÑ�_�Ô¨Uo��ïØÀ�ï_Þ�ð�ð´�5ÞÛqÕik���knpn�ÞøØ § É {  i�����iS����iS�¶Óѧ�À©§��k��~p� �v��o� S�_ik��o��Z�>o ¢_����rj_��iÔ¨_o©��npoI�����kº²înq���Mr � ­ � x � T®�c��ýBÇIå:ò�� ³ ��ÇIåU�Ñ�¶ú¸��òIÈÕô7��ÈÕå:Éc�­��´·È ² ��ô�ÇIå:ò����c�cÓÔ� ý��-F]T®�c��&ÇIå:ò Gѳ � ÇIåU����ú¸���5�IôSÈ���ÈbòA�¸ÈÕå:���¾ZA��´£ô±ú!µ¿È�É�µ2ÇI´���ÈÕåCòA��´£ô7��ô�����SÇ¿É�µ��¿�¶µ���´ ² �cò ° ���� ï ÓÑð�F�æ�µ���å

Þ A k N Þ ï���i4~¿ÓÑð�I�I´ZÇ¿�Õ�»ÞîF

³yx�ßûPâ�Ë�»PÄnº�µÆÂ�â°¶PâvÂɽTÙÚx�À�Âɺ µ°»�ÊxÄ6»P½OÛýÅƺ�¶P¾Y·°¾Y·°Ç�Ü1¾YÇP¾Yº�¶tÁÁ�°¾YÇP·°¶tº�à°½¡ÂɹM¶t·°Êd��à°ÅÆÁ¿¾Yß�ÝßÞ±ÂÉ˼*½¡Ë�â°º�»t¹ Ë�¹¡º�ÂÉÈD¹Hà8ÈD¶ ËnÅvÂ�ÊÆ» Þ8·°Á¿»t¶PÊ°ÂÃʱÄ6½ »tÈpµ�º º�âcá âãâtßɾYº�Âù ÂÃÂɽ Ì ·nä¦Ì ·°ÂÃß�Ì ßÉ»PÈSât½ ¾ åPÂù ºnæÈçPÈDÂú�µ°»�Ê Ì µ�º�ÈDÁÁkÁ�À

Page 122: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

ÁkÁ�¾ ÀÅãáä!åáÃÅÄÆæ���£¸èóÃÅãáÄ3æáÇ£äõÇ ÀÅã!ÄÆìPÄû�´��c���©F¸×®l  �_o�ik��o�� tktv{ � § � ï ÓÑð¥�xï¶ý ½?Á ðcï � ½|Á ð�{Oª_�¡�� Io�� GEN Á ï���i4~ � ï ÓÑð�ð�>o����S¨_o?� G ½ Á �¤� � ï_ÓÑð!����ï�ý ½ Á ðcï � ½ Á ðKqÕik�K��ik��o���{ � i�rco���÷îuÞ�_�_npoI���� G � Á �p�#���_�¡ S�� I�k��o�rm�_o¤rc�_o�ik��o�� �p�¸ivwc¨f�pik�_��{±ª_i��>o©���S¨_oï Ïkð � G ��� � ï_ÓÑð�þ Á ����ï¶ý ½�Á ðcï�� ½�Á ð�þ ÁqÕik����ik��o:��÷ uv{� iÔ� wcl íoI������rmÜ¡� ù �«r�rmn¡o  ��oIik��oI��§ �pqO¹k I~�ï Þ ¼ ýUðP� Á �>o��_�Ô¨Uo~Þ 2 u�� N Áï���iA~�ý_ð��k�_~����k�¡���¡��¹&wfi�rm�����p~_oI�Kivq�rm�_o �ik�_¹k���_oI�_ �o�rci©rm�_o#jfiÔ�>oI��ï�� ½?Á ð¦����oikw�rm�k�p�_º

Þ × 2 u�� Ø × I u�� Ø � N Á ï���iA~�ýUð�k�_~Þ�©�_n¦rm�¡j�n¦lf�p�_¹zw�i�rc�Þ���p~_o��±wml¨Þ��>oO�_�Ô¨Uo

Þ × 2 u�� Ø × I u�� Ø � ï�� N Þ ï���iA~�ýUð �_��r©�p��§�wml9ï�Ïkðï Ï�Ïkð Þ A k N Þ ï���iA~�ýUð »� iÔ� �>o�j���iÔ¨Uo�~*ï Ï�Ïkð¤���_oI� ¹k I~:ï Þ ¼ ýUðÐ� Á §Åw_��r��¡q¤¹v I~�ï Þ ¼ ýUðm� ý �«rz�p��ikwm¨5�pik�_����p�_ �o�rc��oI�|Þ N uÓï���i4~�ýUð�{�ª_i��p� �knpn� I�k��oI�Þï�Ï�ÏkðO�_iknp~_��{ÑÏ����p���pnp�k� �k��¹k�_��oI�mrj_��iS¨_oI�!rc�_�£r�qÕik���knpnKÞ

Þ>A k N Þ ï���i4~��/𠻪_i�wml¬}�Ø5o��� ��¡��o Á � { ÁkÁ §fj_�k¹ko � À §4��o��_�Ô¨Uo����p�_ �o©¹k �~�ï¶ý ¼ �7ð�� Á

Þ A k N Þ ï���iA~�ÓÑðqÕik���knpn£Þ�{��� nq��l»nq� � ­ � x � TÐ�c� § É ��Õku ¼¿ÁI¼ t ¼m»m»m»·¼ Ó ½�Á©Ö ÇIå:ò&ò¿���:å:�eÀ�º § É � § É ³ �

À�ï_Þ�ðÆ��Þ A ��iA~mÓÇIå:ò� º § É � § É ³ � ��ï Þ�ð&��Þ k ��i4~ÐÓ »æ�µ���å¤À ÇIå:òx� ÇI´I�ÈÕåCòA��´·ô7��ô����z�SÇ¿É�µB�¿��µ���´�Ès�!ÓÏ^�� ÇIå:ò G ÇI´I��ÇIô�ÈÕå�TÐ� ²#² Çt � { Á F

Page 123: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

ÁvÁ �û�´I�c���©F¸ÙÚr ���+¢� Io��Årci����_iÔ� rm�_��r��ïXÀzï_Þ�ð�ð´�3Þ qÕik���kn¡nCÞÏØ § É { ù oWr!Þ¦Ø § É �k�_~n¡oWr À�ï_Þ�ðÆ� Þ A ��iA~mÓ ��3 � {¤Ï±n¡��inpo�r=�?ï63 � ðÆ��3 k � ��iA~mÓ ��3 ÿ {:yÓo¸� �_��rO����iS�rc�_�£rA3 ÿ ��Þ�{¸ª��¡�_ �o�Þ A ��iA~(Óð��3 � �>o��Í�_iÔ� rm�_��r

Þ A N 3 � ï���iA~�ÓÑð »í o��_ Io Þ A k N 3 k � ï���iA~¿ÓÑð�{ÝyÓoO�knp��i��Í�_iÔ� rm�_��r

3 k � N 3 ÿ ï���i4~¿ÓÑð »í o��_ Io Þ A k N 3 ÿ ï���iA~�ÓÑð�{�×®l ù oI�����Zt � { Á Þ A k N Þ�ï���iA~�ÓÑð���iO�>o©���S¨_o

Þ N 3 ÿ ï���iA~�ÓÑ𠻪_�p�_ Io�w�i�rc�~ÞÓ�v�_~x3 ÿ �v��o#�p� § É ��o��_�Ô¨_oZwmlÛ}�ØfoI�� I�p��o Á � { � rm�_��rÐÞ���3 ÿ {  �_�p� Iik��j_npo�rmoI�!rc�_oOj_��i4ivqÕ{

Ê ik��oZ~_o�rm�k�pn¡�iv��rc��o��_��ozikq®rm�_o¢L¸ª_Ï��� S�_o���o ���pnpnÅw�o�¹k�«¨Uo�� �p��rc�_o Ê �kj_npo��iv���Í���_o�o�rm�������¡ S�#�k��oË�Ô¨4�k�pn¡�kw�n¡oÅqÕ��ik�Brm�_oË �ik�_����o®�>oIw_���¦rmoÐ���_�¡ S�#���Ôl�wfoÅ��oI�v S�_oI~qÕ��ik� �¸l¬�_iv��oOj_�v¹koIº ¸+"!"+6§¬:è+è<±+±+±§éy7��"+¸§éy¹5��§é:8�µ!¹�è+ê!8! +¼+�<$!ë {

Page 124: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

ÁkÁ � ÀÅãáä!åáÃÅÄÆæ���£¸èóÃÅãáÄ3æáÇ£äõÇ ÀÅã!ÄÆìPÄ

Page 125: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

 �_o�����rmoI���¡�kn��p�¬rm�_�¡���kj_j�oI��~_�¦Ø �p�Zivj�rc�pik�_�kn���oI�k~��¡�_¹v{ í iÔ��oW¨Uo���§KqÕik�Krc�_o����v�voikqË �ik��j_npo�rco��_oI���±�>oZ��rc��rmo���oI��oKrc��o�~�oI¢_�_�«rc�pik�üikqË��´·ÈÕåCZ¬�v�_~Þrm�_o�~_oI¢��_�¦rm�¡iv� ikq�PZc´�� ° ��{ ÙÖqÝl_ik� �k��oZ�¡�mrmoI��o���rmoI~à�¡� npoI�k���_�p�_¹���ik��o©l_ik� ���¡¹v�cr rc�k��o rc�_oz �ik�_����oC±��� ² ��å:�DÇI´·�¿f ³ ô7�¶´�Ç¿Éc�Hf�� ZA� ³ ´�ÇI{ í �Ô¨f�¡��¹����k~rc�_�p�� Iik������oO���_ik�_np~����k��oK�¦r��#np�«r�rcnpooI�k���¡o���rmi��_�_~_o�����rm�k�_~�rc�_oO�p~_oI�k���p���vw_��rm���k Wr �vn¡¹ko�w_�����k��~�¨f�p Io�¨UoI�����k{

Ã�iv�#��iv��oÞ~_o�rm�k�pn¡�KlUik�à���Ôl*~_iÔ���_n¡iv�k~Ñrm�_oÞqÕ��o�o�w�iAik� �!��nq��n/�I��rKlo�ý{~�jöz���lorKtu�¿{~�w��n/�jlor qÕ��ik�x��l¬�_ik��oIj��k¹koIº¸!"+"+6§¬:è!è�±+±+±§éX7���"+¸§éX¹�5��§é:8<µ+¹è+ê!8+ !¼+�<$+ëÏ>n«rco����_��rm�¦¨_oIn«l¿§_npiAik�>�p�O�kn¡��ik��rÅ�k�ml�wfiAik�!���_ik��o�rm�¦rmn¡o� Iiv�crm�k�p�_�_rc�_o��>ik��~_�7f ³ ô7��´�Ç¿Éc�f�� ZA� ³ ´�Ç�ik�(� �cò¿��´£åMf�� ZA� ³ ´IÇI{ ù i4ik��qÕik�Kik�_o>���«rc�"��å:��´��cò ° Éc���I´·� ik�_C±��� ² ��å:��ÇI´·��¡�#rc��o�rm�¦rmn¡o�{�¨nFEj�jv��©v����à{"� x � Ï lov��j� �p���k��ik��~_o���o�~�rc���pj_npoÞïØì ¼ þ ¼©� ð!���_oI��o¥ì �¡������o�r#�k�_~þ �k�_~ � �k��oOw_�¡���k��lÑivjfo�����rm�¡ik���¸iv�Wì|����rm�¡��qslf�¡�_¹Orc�_oOqÕiknpnpiS���p�_¹�j_��ivjfo���rc�poI��º{ x Ñ þ ï Î þ Ü ð��îï Ñ þ Î ð�þ Ü qÕik���knpn Ñ § Î § Ü �¡�Wì�{{ � Ñ þ Î � Î þ Ñ qÕik���knpn Ñ § Î �p��ì�{{~�  �_oI��oO�¡���k��oInpoI��oI�mr u�Øqì|����rc�p��qslf�p�_¹ Ñ þBum� Ñ qÕik���vn¡n Ñ �¡�Wì�{{ � íik�¤o�¨_oI��l Ñ Ø�ìÒrm�_oI��o©�p���k�ÞoInpoI��oI�mr Î Ø�ì����_ S��rc�_��r Ñ þ Î � uv{µ x Ñ � ï Î � Ü ð��îï Ñ � Î ð � Ü qÕik���knpn Ñ § Î § Ü �¡�Wì�{� x Ñ � ï Î þ Ü ð�� Ñ � Î þ Ñ � Ü qÕiv���kn¡n Ñ § Î § Ü �p��ì�{

ÁkÁ �

Page 126: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

ÁkÁ � ä!åÆåÆÄÆÂ��(ê ëõä�è~æáê Âco Ç¨äáÂ���o æÐÁ(�Hå&Ç� � ï Î þ Ü ð � Ñ � Î � Ñ þ Ü � Ñ qÕik���knpn Ñ § Î § Ü �p�Yì�{ �Í�_��§_rmi�~�oI�� ����pwfo������p�_¹�ik�_oO� �_��r��jfo� I�pqsl&rc�_��oIo¤rc���¡�_¹v��º

Á {O����oWrc§tk{O��w_�p�_�k��lÑikj�oI���£rc�pik�Þik��rm�_oO��oWr  ��knpn¡o�~�� ��n¦rm�¡j_np�p I��rm�¡ik��§

À {O��w_�p�_�k��lÑikj�oI���£rc�pik�Þik��rm�_oO��oWr  ��knpn¡o�~��k~_~��¦rm�¡ik��{ �_o��_§�ik�_oK� ����r¸¨UoI���¡qsl&rm�_��r�rm�_oOj_��ikj�oI��rc�poI�¸�kw�iS¨_oO�k��oO���£rc�p��¢_o�~_{�]}Hr£�M�j��n¢{"� x �Ýí oI��o¸�v��o���ik��o¸o�Øf�k��j_npoI�Åikqf���¡��¹k��{  ��o�rÖ�>i w_�p�_�k��lÞikj�oI����rc�pik�_�þ �v�_~ � �v��oO�¡�Þo��k S�� ��k��o¤rc��o�iv�_oI�!rc�_�£r�lUik���k��oOqÕ�k���pn¡�p�k�Ð���«rc�_{Á {Zï ¼ þ ¼�� ð�ekrm�_o����¡�_¹�ikq:��o��kn��Í�_� w�oI����{tk{Zï ¼ þ ¼�� ð�ekrm�_oK���p�_¹�ikq:����rm�¡iv�_�kn��Í�_�©wfo�����{À {Zï ¼ þ ¼©� ð�evrc�_oK���¡�_¹�ikq:�p�crmoI¹ko�����{¾ {Zï � ¼ þ ¼�� ð�ekrm�_oK���p�_¹�ikq:�¡�mrco�¹koI���±��iA~_�_npi�öÐ{� {Zï�� � ï ð ¼ þ ¼�� ðwekrc��o����p�_¹�ikq®�vn¡n�ö � öà����rm���p IoI�¸iÔ¨Uo�� {

�¨nRE��jvw��vw�c�Ê{"� � � Ï �clo���j� �p�>�v��ik��~_oI��oI~2j_�v�¡� ïØí ¼ ÏkðÝ���_oI��o�í �p�>����o�r�k�_~pÏ�p�¸��w_�p�_�k��lÑikj�oI����rc�pik��ik�Yí ����rm�¡��qsl5�p�_¹Krc�_oOqÕiknpnpiS���p�_¹�j_��ivjfo���rc�poI�

Á {�Þ?Ï ï � Ï � ð&� ï_ÞaÏ � ð8Ï � qÕiv���kn¡nKÞ�§ � § � �¡�WíO{tk{  �_o���o©�¡���v��oInpoI��o��cr(�ÐØVíî����rc�p��qslf�p�_¹��DÏÆÞM�ªÞÛ�k�_~¢ÞxÏ��(�ÊÞÛqÕiv�>�knpnCÞ�p�Yí�{

À {Oíik�ÅoI�k S�&o�n¡o���o��mráÞ¬�p��íÒrm�_oI��oK�¡�Ë�k�&oInpoI��oI�mr � �¡��í����£rc�p��qslf�¡��¹ÐÞ�Ï � ����k��~ � ÏÆÞ|�.�m{

�¨nRE��jvw��vw�c��{"�±�1� ÏN¹k��ik�_j�ïXí ¼ ÏkðÅ�p�Ë���k�¡~�rciw�o {~��nq�wvwrK� �pqKÞ:Ï � � � Ï ÞÑqÕiv�Ë�knpnÞ ¼ � Øqí�{ �Í�_��§_rmi�~�oI�� ����pwfo���¹k��ik��j�iv�_oO� �_��r��jfo� I�pqsl&rÖ��iKrc�_�p�_¹k��º

Á {O����oWrc§��k��~tk{O��w_�p�_�k��lÑikj�oI���£rc�pik�Þik��rm�_oO��oWrc{

Page 127: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

ÁvÁ � �_oI��§:iv�_o©�©�_��r¸¨Uo����pqsl&rc�_�£r¸rm�_oOw_�p�_�k��l¬ivjfo�����rm�¡ik���p�¸�v����iA I�p��rm�¦¨_oI§Urc�_��r�rm�_oI��o��p��k���¡~_o��mrc�«rÖl¬�¡�#rc�_oO��o�rc§��v�_~�rm�_��r�oW¨UoI��lüoInpoI��oI�mr �¡�#rc�_oO��o�r©�_�k���k���¡�m¨_oI����oI{�]}HrK�����wn�{"� � ��í oI��o��k��o���iv��o�oWØ5�v��j�n¡o�� ikq^¹k��iv�_j_��{  �_o�w_�p�_�k��làikjfo�����rm�¡iv�_��k��oO�p��o��k S�� I�k��o�rm�_oOik�_o���rm�_��r�lUiv���k��oOqÕ�k���¡np�¡�v�Ð���¦rm�_{

Á {Zï ¼ þOð��p���Z¹k��ik�_j���«rc���¡~_o��mrc�«rÖl uv{  �_o©�p�m¨Uo�����o©ikq�Þ¦Ø �p� ½ Þ�{tk{Zï ¼ þOð��p�±��¹k��ik�_j���¦rm���p~_o��crm�¦rÖlüuk{  ��o©�p�m¨UoI����o©ikqcÞPØ �p� ½ Þ�{À {Zï ¼ þOð��p�¸��¹k��ik�_j#���¦rm���p~_o��crm�¦rÖl¬uv{  ��o��p�m¨Uo�����o©ikq�Þ¦Ø �p� ½ Þ�{¾ {Zï ½ Õku Ö¿¼�� ð±�p���z¹k��ik�_jZ���«rc���p~_o��crm�¦rÖl Á {  ��o�¡�m¨_oI����o�ikqHÞ+Ø ½ Õku Ö �p�Þ u�� {� {Zï ½ Õku Ö¿¼�� ð>�p���&¹k��iv�_jZ���«rc�Ñ�¡~�oI�mrc�«rÖl Á {  ��o#�¡�m¨Uo�����o�ivq7Þ+Ø ½ Õku Ö �p�Þ1u���{� {Zï � ¼ þOðO�¡����¹v��ik�_j&���«rc� �p~_o��crm�¦rÖl9uk{  �_o��¡�m¨Uo�����ozikq�Þ3Ø � �¡��ö ½ ÞÓ�¡qÞ�Ú�Nuk§4rc��o��p�m¨Uo�����o©ikq:u��p�¸uk{� {Zï Ì � ¼�� ð¸�p�>��¹v��ik�_j����¦rm�2�p~_oI�mrc�«rÖlÒâ Á ãp{  �_o �p�m¨Uo�����o#ivq�â Ñ ãIØ Ì � ���v�����_iÔ���rci�oWØ5�p��r �p��h��_�vj�rco��¸tvtk{� {Zï � ¼ þOðK����oI��o�þ �¡�K¨Uo� �rciv�z�k~_~_�«rc�pik�_{  ��o��p~_oI�mrc�«rÖlN�¡�Orc�_o�ñIo���i�¨_oI �rmik�ï�u ¼ u ¼m»m»I»�¼ uvð��v�_~¬rm�_o��p�m¨Uo�����o�ikq^rm�_o�¨_oI Wrcik� } � ï_Þ � ¼ Þ ÿ ¼m»m»m»�¼ Þ � ð��p��rm�_o¨Uo� �rmik� ½ } �îï ½ Þ � ¼m½ Þ ÿ ¼m»m»m»�¼m½ Þ � ð�{

� {Zï � � ï ð ¼ þOð�{  �_�p� �p��rm�_o�¹k��iv�_jüivqË�knpn�ö � ö*����rm���p IoI�©iÔ¨UoI� �k��~ þx�p�����rc���¦Ø��k~_~_�«rc�pik�_{

Page 128: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

Á tku ä!åÆåÆÄÆÂ��(ê ëõä�è~æáê Âco Ç¨äáÂ���o æÐÁ(�Hå&Ç

Page 129: Elementary Number Theory - W. Edwin Clark.pdf

â Á ã  ik��ϱjfik��rciknp§*��å:�¶´��cò ° Éc�¶È��Iå�����f�å:Ç¿� ���¶È�É ¯±°A²�³ ��´Zæ�µ��S�I´·��§4ª_j_���¡�_¹voI��¥ ä¸oI��n¡�k¹v§� o�� Ý ik���m¥ í oI�p~_o�n¡w�oI��¹k§ Á � � � {

â«tkãOh��_���p��h��kn¡~7��o�n¡np§Oæ�µ��¸û^´·È ² ��ô�û±Ç©ZA��ôS§¸!"+"+6§¬:è!è�±+±+±§éX¹+"+7§é:8<µ+¹�è�$�8!5+8+��$� ;¸�è�6+$���7�8+5cè

â À ã¤y|{�}�~����¡��h�n¡�v���ͧ ¯±°A²�³ ��´2æ�µ��S�I´£�¿T�ÈÕåCWcôS§¸!"+"+6§¬:è!è�±+±+±§éX7���"+¸§éX¹�5��§é:8<µ+¹�è+ê+8c +¼+��$cë�è�9+¹c7+"+¸�8+#�$+½�ª+¼+��9cë�5&éy¸c"+7�¼

â ¾ ãO}^�v��n�ÃÝ�pqÕoO�k�_~ ù �k����l í ���� S�_§ ¯¸°4²�³ ��´2æ�µ��S�I´·�pw¾� Ç¿��µ�� ² Ç¿�¶È�É�ô]f�´�É�µ¿ÈbòA��ôS§¸!"+"+6§¬:è!è+��$� �¸��î�8+5&éX7���"+¸§éX¹+"+ë§é:8;µ+¹�è�"�#�6��+ c5+è�9c¹+7+«�8;$+ï+¸�8c#�$+½§éظ+"+7�¼

â � ãÐL±ik���kn¡~&Ä����v�_�k��§ý/Kik���kn¡~ W �Í��rm�_§��k�_~&áO��oI� � ��rm�k�����_�¡�ͧ^���Iå:É�´��c����� Ç¿�¶µ��¦¥² Ç¿�¶È�É�ôS§�ϱ~_~_�p��ik�7¥(yBoI��npo�lk§ Á �¸� ¾ {â � ã�/Kik�_�knp~ W �Í��rm� æ�µ���f�´��Ñ��� ��� ² � ° �D��´Bû^´��XZc´�Ç ²#² ÈÕåCZc§(ä¸iknp�ÛÙ �k��~ Ù�ÙÖ§

Ï>~_~_�p��iv��¥(yBoI��n¡oWl¿§ Á �¸� � {â � ã  �_o Ê ��rc��íik������§ ¯±°A²�³ ��´2æ�µ��S�I´£� i È�����ô

¸!"+"+6§¬:è!è�7���"+¸!��#�$+¹+7eé:#�$+É�è!¼+��«+$��;$+½�è�"�#�6��+ c5+è�9c¹+7+«�8;$�ª�"+¸�8+#�$+½�èâ � ãOá�lf��rcoI�p�záO��o�§ ¯¸°A²�³ ��´�æ�µ��S�I´·�&ÇIå:ò�È���ô�G¸ÈÕô7���I´£�7§ý/KiÔ¨_oI� � �_w�n¡�p I��rm�¡iv�_��§ Á �¸�¸� {â � ãOh��k��n � ik��o����k�_ �o��k�_~PL¸�¡ S���k��~�h����k�_~_�knpnp§Ýû�´£È ² � ¯¸°4²�³ ��´·ô J f ��� ² � ° ��Ç�¥

�¶È��Iå:Ç¿�4û±��´·ô(�5�SÉc��ÈbòA��§�ª_j_���¡�_¹voI�Ý¥¡ä¸o���np�k¹k§�tkuvu Á {â Á ukã W o��_�_oWrc�øÏ>{�L±ik��oI�_§�C±��� ² ��å:��ÇI´£� ¯±°A²�³ ��´ æ�µ��S�I´·�7§*ï�íik�_��rc� }�~_�«rc�pik�_ð�§

Ï>~_~_�p��iv��¥(yBoI��n¡oWl¿§:tkukukuk{â ÁvÁ ãO}^���¡ ¤yBoI�p����rcoI�p�_§(hÑ�I´���òz����� Ç¿��µ�� ² Ç¿�¶È�É�ô J ¯¸°4²�³ ��´�æ�µ��S�I´·� i �SÉc�¶È��IåU§¸!"+"+6§¬:è!è�7���"+¸!±�#�$�¼�µeéy±�#+¼��!$���7§é: c#�7�è�"�#�6��+ c5+è�ðc¹+7+«�8;$+ï+¸�8c#�$+½§éظ+"+7�¼

Á t Á